Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії" .
BRST-перетворення [ ]
У попередньому розділі було показано, що застосовність континуального інтегрування до неабелевих калібрувальних теорій та "вирізання" інтегрувальних ступенів вільності, які є залежними через фіксацію калібрування, призводить до модифікації лагранжіану
L
0
=
−
1
4
F
μ
ν
a
F
a
μ
ν
→
L
=
−
1
4
F
μ
ν
a
F
a
μ
ν
−
1
2
α
(
∂
μ
B
a
μ
)
2
−
∂
μ
c
¯
a
∂
μ
c
a
−
g
f
a
c
b
∂
μ
c
¯
a
B
c
μ
c
b
(
1
)
{\displaystyle \ L_{0} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} \to L = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} - \frac{1}{2 \alpha }(\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})^{2} -\partial_{\mu}\bar{c}^{a}\partial^{\mu}c_{a} - gf^{acb}\partial_{\mu}\bar{c}_{a}B^{\mu}_{c}c_{b} \qquad (1)}
.
Цей підрозділ покаже, як поява цієї модифікації виникає із вимоги інваріантності лагранжіану відносно перетворень специфічної симетрії BRST.
Розглянемо формальні оператори перетворення виду
δ
=
c
i
t
i
−
i
2
f
i
j
k
c
i
c
j
∂
∂
c
k
,
[
t
i
,
t
j
]
=
i
f
i
j
k
t
k
,
c
i
c
j
=
−
c
j
c
i
(
2
)
{\displaystyle \ \delta = c_{i}t^{i} - \frac{i}{2}f_{ijk}c^{i}c^{j}\frac{\partial }{\partial c^{k}}, \quad [t_{i}, t_{j}] = if_{ijk}t^{k}, \quad c_{i}c_{j} = -c_{j}c_{i} \qquad (2)}
.
Тут
t
i
{\displaystyle \ t_{i}}
- генератори деякої групи.
Введений оператор являється нільпотентним, тобто
δ
2
=
0
{\displaystyle \ \delta^{2} = 0}
.
Дійсно, при дії на деяке поле
φ
{\displaystyle \ \varphi }
(яке не відповідає
c
i
{\displaystyle \ c_{i}}
)
δ
2
φ
=
δ
(
c
i
t
i
φ
)
=
−
i
2
f
l
i
j
c
l
c
j
t
i
φ
+
c
j
c
i
t
j
t
i
φ
=
|
c
j
c
i
t
j
t
i
=
1
2
c
j
c
i
(
t
j
t
i
−
t
i
t
j
)
|
=
{\displaystyle \ \delta^{2}\varphi = \delta (c_{i}t^{i}\varphi ) = -\frac{i}{2}f_{lij}c^{l}c^{j}t^{i}\varphi + c_{j}c_{i}t_{j}t_{i}\varphi = \left| c_{j}c_{i}t_{j}t_{i} = \frac{1}{2}c_{j}c_{i}(t_{j}t_{i} - t_{i}t_{j}) \right| = }
=
−
i
2
f
l
i
j
c
l
c
j
t
i
φ
+
i
2
f
l
i
j
c
l
c
j
t
i
φ
=
0
{\displaystyle \ = -\frac{i}{2}f_{lij}c^{l}c^{j}t^{i}\varphi + \frac{i}{2}f_{lij}c^{l}c^{j}t^{i}\varphi = 0 }
,
а при дії на грассманове поле
c
i
{\displaystyle \ c_{i}}
δ
2
c
i
=
−
i
2
f
j
k
i
δ
(
c
j
c
k
)
=
1
2
f
j
k
i
f
m
n
k
c
j
c
m
c
n
=
0
{\displaystyle \ \delta^{2}c_{i} = -\frac{i}{2}f_{jki}\delta (c_{j}c_{k}) = \frac{1}{2}f_{jki}f^{mnk}c_{j}c_{m}c_{n} = 0}
в силу тотожності Якобі для структурних констант .
Введемо тепер фіктивне скалярне поле
b
{\displaystyle \ b}
, модифікувавши
(
2
)
{\displaystyle \ (2)}
(без порушення нільпотентності) наступним чином:
δ
=
c
i
t
i
−
i
2
f
i
j
k
c
i
c
j
∂
∂
c
k
+
b
i
∂
∂
c
¯
i
⇒
δ
2
=
0
,
δ
c
i
=
−
i
2
f
j
k
i
c
j
c
k
,
δ
c
i
¯
=
−
b
i
,
δ
b
i
=
0
,
δ
φ
=
c
i
t
i
φ
(
3
)
{\displaystyle \ \delta = c_{i}t^{i} - \frac{i}{2}f_{ijk}c^{i}c^{j}\frac{\partial }{\partial c^{k}} + b_{i}\frac{\partial }{\partial \bar{c}_{i}} \Rightarrow \delta^{2} = 0, \quad \delta c_{i} = -\frac{i}{2}f_{jki}c_{j}c_{k}, \quad \delta \bar{c_{i}} = -b_{i}, \quad \delta b_{i} = 0, \quad \delta \varphi = c_{i}t^{i}\varphi \qquad (3)}
.
Відповідні перетворення відповідають так званим BRST-перетворенням. Після введення полів
b
{\displaystyle \ b}
генератори
t
i
{\displaystyle \ t_{i}}
стають генераторами калібрувальної групи, тобто при дії на поле різних типів дають калібрувальне перетворення, яке відповідає полю даного типу. Із виразу
(
3
)
{\displaystyle \ (3)}
видно також, що відносно цих перетворень поля
c
i
,
c
¯
j
{\displaystyle \ c_{i}, \bar{c}_{j}}
перетворюються зовсім по-різному, що призводить до твердження, що вони є незалежними в тому сенсі, що одне поле не можна отримати ермітовим спряженням іншого.
У явному вигляді перетворення
(
3
)
{\displaystyle \ (3)}
записуються як
δ
ψ
i
=
i
g
c
a
t
a
i
j
ψ
j
,
δ
B
μ
a
=
∂
μ
c
a
−
g
f
a
b
c
c
b
B
μ
,
c
,
δ
c
a
=
−
g
2
f
a
b
c
c
b
c
c
{\displaystyle \ \delta \psi^{i} = igc^{a}t_{a}^{ij}\psi_{j}, \quad \delta B_{\mu}^{a} = \partial_{\mu}c^{a} - gf^{abc}c_{b}B_{\mu , c}, \quad \delta c_{a} = -\frac{g}{2}f_{abc}c^{b}c^{c}}
.
Розглянемо тепер лагранжіан
(
1
)
{\displaystyle \ (1)}
, переписавши його як
L
=
L
0
+
δ
Λ
{\displaystyle \ L = L_{0} + \delta \Lambda }
,
де
Λ
=
(
−
f
i
+
α
2
b
i
)
c
i
(
4
)
{\displaystyle \ \Lambda = (-f_{i} + \frac{\alpha }{2}b_{i})c^{i} \qquad (4)}
,
f
i
{\displaystyle \ f_{i}}
- умова, яка фіксує калібрування. У явному вигляді
L
=
L
0
−
c
j
t
j
f
i
c
¯
i
−
f
i
b
i
+
α
2
b
i
b
i
{\displaystyle \ L = L_{0} - c_{j}t^{j}f^{i}\bar{c}_{i} - f_{i}b^{i} + \frac{\alpha}{2}b_{i}b^{i}}
.
Відповідність
(
4
)
{\displaystyle \ (4)}
виразу
(
1
)
{\displaystyle \ (1)}
перевіряється доповненням поліному по
b
{\displaystyle \ b}
до повного квадрату та інтегруванням по цих полях.
Як слідує із
(
4
)
{\displaystyle \ (4)}
, лагранжіан неабелевої калібрувальної теорії є BRST-інваріантним: поля у доданку
L
0
{\displaystyle \ L_{0}}
перетворюються за звичайним законом калібрувального перетворення із грассмановими параметрами, тому він є інваріантним (можна додати і лагранжіан взаємодії із матерією). Другий же доданок є інваріантним в силу нільпотентності
δ
{\displaystyle \ \delta }
.
Тотожності Славнова-Тейлора [ ]
Розглянемо генеруючий функціонал для неабелевої теорії:
Z
[
J
,
.
.
.
]
=
∫
D
(
B
,
c
,
c
¯
,
b
,
ψ
)
e
i
(
S
0
+
S
s
o
u
r
c
e
)
(
5
)
{\displaystyle \ Z[J, ...] = \int D(B, c, \bar{c}, b, \psi ) e^{i(S_{0} + S_{source})} \qquad (5)}
,
де
S
0
{\displaystyle \ S_{0}}
дається виразом
S
0
=
∫
d
4
x
(
−
1
4
F
a
μ
ν
F
μ
ν
a
−
1
2
α
(
∂
μ
B
a
μ
)
2
−
c
¯
a
M
a
b
c
b
)
{\displaystyle \ S_{0} = \int d^{4}x \left(-\frac{1}{4}F^{\mu \nu}_{a}F_{\mu \nu}^{a} - \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})^{2} - \bar{c}^{a}M_{ab}c^{b}\right)}
(взагалі кажучи, вибір калібрування тут несуттєвий і впливає (див. вираз
(
5
)
{\displaystyle \ (5)}
за посиланням) лише на явний вигляд другого та третього доданків, а на загальність викладок, що подані нижче, не впливає вибір конкретного калібрування), а
S
s
o
u
r
c
e
=
∫
d
4
x
(
J
μ
a
B
a
μ
+
η
¯
a
c
a
+
c
¯
a
η
a
+
I
a
b
a
+
J
i
ψ
i
)
{\displaystyle \ S_{source} = \int d^{4}x(J_{\mu}^{a}B_{a}^{\mu} + \bar{\eta}^{a}c_{a} + \bar{c}_{a}\eta^{a}+ I^{a}b_{a} + J^{i}\psi_{i})}
,
(останній доданок включає в себе також джерела для спряжених діраківських полів).
Як було показано, дія
S
{\displaystyle \ S}
є інваріантною відносно перетворень BRST. Цей факт вказує на те, що для отримання тотожностей типу тотожностей Уорда для КЕД треба застосовувати саме BRST-перетворення.
Використовуючи метод, аналогічний до методи отримання тотожностей Уорда, можна отримати, що при BRST-перетворенні
(
5
)
{\displaystyle \ (5)}
маємо
δ
Z
[
J
,
.
.
.
]
=
i
∫
D
(
B
,
c
,
c
¯
,
b
,
ψ
)
(
∫
d
4
x
(
J
μ
a
δ
B
a
μ
+
η
¯
a
δ
c
a
+
δ
c
¯
a
η
a
+
J
i
δ
ψ
i
)
)
e
i
(
S
0
+
S
s
o
u
r
c
e
)
=
0
(
6
)
{\displaystyle \ \delta Z[J, ...] = i\int D(B, c, \bar{c}, b, \psi )\left( \int d^{4}x \left( J_{\mu}^{a}\delta B_{a}^{\mu} + \bar{\eta}^{a}\delta c_{a} + \delta \bar{c}_{a}\eta^{a} + J^{i}\delta \psi_{i}\right)\right)e^{i(S_{0} + S_{source})} = 0 \qquad (6)}
.
Тут враховано декілька фактів. Перший факт полягає у тому, що BRST-перетворення є лише комбінацією трансляцій та поворотів у калібрувальному просторі, тому континуальний інтеграл відносно такого перетворення не змінюється (це виражається у рівності нулю). Другий факт полягає у тому, що міра
D
(
B
,
c
,
c
¯
,
b
,
ψ
)
{\displaystyle \ D(B, c, \bar{c}, b, \psi )}
є інваріантом BRST-перетворень. Дійсно, із розділу про виведення тотожностей Уорда у рамках континуального інтегрування відомо, що перетворення інтегрувальної міри визначається як
D
φ
ω
=
D
φ
(
1
+
t
r
(
∂
δ
ω
φ
∂
φ
)
)
{\displaystyle \ D\varphi^{\omega} = D\varphi \left(1 + tr \left( \frac{\partial \delta_{\omega}\varphi }{\partial \varphi }\right) \right)}
,
тому з набору тотожностей (для доведення використаний вираз
(
3
)
{\displaystyle \ (3)}
)
∂
δ
B
μ
a
∂
B
μ
a
=
−
g
f
a
b
a
δ
μ
μ
c
b
=
0
,
∂
δ
ψ
i
∂
ψ
i
=
i
g
(
t
a
)
i
i
c
a
=
0
,
∂
δ
c
a
∂
c
a
=
g
f
a
a
c
c
c
=
0
,
∂
δ
c
¯
a
δ
c
¯
a
=
0
{\displaystyle \ \frac{\partial \delta B_{\mu}^{a}}{\partial B_{\mu}^{a}} = -gf^{aba}\delta^{\mu}_{\mu}c_{b} = 0, \quad \frac{\partial \delta \psi_{i}}{\partial \psi_{i}} = ig (t^{a})_{i}^{i}c_{a} = 0, \quad \frac{\partial \delta c_{a}}{\partial c_{a}} = gf^{aac}c_{c} = 0, \quad \frac{\partial \delta \bar{c}_{a}}{\delta \bar{c}_{a}} = 0}
і слідує твердження про інваріантність міри.
Нарешті, із виразу
(
3
)
{\displaystyle \ (3)}
слідує,
δ
b
i
=
0
{\displaystyle \ \delta b_{i} = 0}
, що відображено у
(
6
)
{\displaystyle \ (6)}
у вигляді відсутності джерела
b
{\displaystyle \ b}
не в експоненті.
Можна модифікувати дію
S
{\displaystyle \ S}
у
(
5
)
{\displaystyle \ (5)}
так, щоб поля не в експоненті виразу
(
6
)
{\displaystyle \ (6)}
можна було записати через варіаційні похідні, і при цьому дія залишилась би BRST-інваріантною. Враховуючи нільпотентність
δ
{\displaystyle \ \delta }
, таку модифікацію можна подати як
S
0
→
S
=
S
0
+
∫
d
4
x
(
K
a
μ
δ
B
μ
a
+
K
i
δ
ψ
i
+
L
a
δ
c
a
)
{\displaystyle \ S_{0} \to S = S_{0} + \int d^{4}x \left( K^{\mu}_{a}\delta B_{\mu}^{a} + K^{i}\delta \psi_{i} + L^{a}\delta c_{a}\right)}
.
Тоді
(
6
)
{\displaystyle \ (6)}
можна переписати у формі (враховуючи також тотожність
δ
c
¯
a
=
b
a
=
−
1
α
f
a
{\displaystyle \ \delta \bar{c}_{a} = b_{a} = -\frac{1}{\alpha}f_{a}}
(остання рівність є "ефективною"))
δ
Z
[
J
,
.
.
.
]
=
i
∫
D
(
B
,
c
,
c
¯
,
b
,
ψ
)
(
∫
d
4
x
(
J
μ
a
δ
S
δ
K
μ
a
+
η
¯
a
δ
S
δ
L
a
−
1
α
f
a
η
a
+
J
i
δ
S
δ
K
i
)
)
e
i
(
S
+
S
s
o
u
r
c
e
)
=
0
(
7
)
{\displaystyle \ \delta Z [J, ...] = i\int D(B, c, \bar{c}, b, \psi )\left( \int d^{4}x \left( J_{\mu}^{a}\frac{\delta S}{\delta K_{\mu}^{a}} + \bar{\eta}^{a}\frac{\delta S}{\delta L_{a}} - \frac{1}{\alpha}f_{a}\eta^{a} + J^{i}\frac{\delta S}{\delta K^{i}}\right)\right)e^{i(S + S_{source})} = 0 \qquad (7)}
.
Враховуючи тепер зв'язок функціоналу для зв'язних діаграм із функціоналом усіх діаграм,
Z
[
J
]
=
e
W
[
J
]
{\displaystyle \ Z[J] = e^{W[J]}}
, рівність
(
7
)
{\displaystyle \ (7)}
можна переписати як
∫
d
4
x
(
J
μ
a
δ
S
δ
K
μ
a
+
η
¯
a
δ
S
δ
L
a
−
1
α
f
a
η
a
+
J
i
δ
S
δ
K
i
)
W
[
J
]
=
0
(
8
)
{\displaystyle \ \int d^{4}x\left( J_{\mu}^{a}\frac{\delta S}{\delta K_{\mu}^{a}} + \bar{\eta}^{a}\frac{\delta S}{\delta L_{a}} - \frac{1}{\alpha}f_{a}\eta^{a} + J^{i}\frac{\delta S}{\delta K^{i}}\right)W[J] = 0 \qquad (8)}
.
Перепишемо цю ж саму багатострадальну рівність через генеруючий функціонал для сильнозв'язних діаграм :
Γ
[
A
,
.
.
.
]
=
W
[
J
,
.
.
.
]
−
∫
d
4
x
(
J
a
μ
A
μ
a
+
J
i
ψ
i
+
η
¯
a
c
a
+
c
¯
a
η
a
)
{\displaystyle \ \Gamma [A, ...] = W[J, ...] - \int d^{4}x\left( J^{\mu}_{a}A_{\mu}^{a} + J^{i}\psi_{i} + \bar{\eta}^{a}c_{a} + \bar{c}^{a}\eta_{a}\right)}
.
Враховуючи, що джерела виражаються як варіаційні похідні від функціоналу
Γ
{\displaystyle \ \Gamma}
як
J
i
=
−
∂
Γ
∂
ψ
i
,
.
.
.
{\displaystyle \ J_{i} = -\frac{\partial \Gamma }{\partial \psi_{i}}, ...}
,
а також - те, що
δ
S
δ
L
a
=
δ
W
δ
L
a
=
δ
Γ
δ
L
a
,
.
.
.
{\displaystyle \ \frac{\delta S}{\delta L_{a}} = \frac{\delta W}{\delta L_{a}} = \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}, ...}
,
вираз
(
12
)
{\displaystyle \ (12)}
можна подати як
∫
d
4
x
(
δ
Γ
δ
K
μ
a
δ
Γ
δ
A
a
μ
+
δ
Γ
δ
K
i
δ
Γ
δ
ψ
i
−
δ
Γ
δ
L
a
δ
Γ
δ
c
a
−
1
α
f
a
δ
Γ
δ
c
¯
a
)
=
0
(
9
)
{\displaystyle \ \int d^{4}x \left( \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta A^{\mu}_{a}} + \frac{\delta \Gamma}{\delta K_{i}}\frac{\delta \Gamma}{\delta \psi^{i}} - \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta c^{a}} - \frac{1}{\alpha}f^{a}\frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}_{a}}\right) = 0 \qquad (9)}
.
Рівності
(
9
)
{\displaystyle \ (9)}
називаються тотожностями Славнова-Тейлора, які, подібно до тотожностей Уорда у електродинаміці, застосовуються для доведення перенормовності неабелевих калібрувальних теорій.
Поперечність повного пропагатора [ ]
Одним із застосувань тотожностей Славнова-Тейлора до неабелевих калібрувальних теорій є доведення поперечності повного пропагатора. У даному випадку доведення буде пророблене для вільної неабелевої теорії (без полів матерії), проте узагальнення не є складним, оскільки тотожності Славнова-Тейлора у разі наявності матерії модифікуються простим чином.
Отже, покладемо у
(
13
)
{\displaystyle \ (13)}
J
i
,
K
i
=
0
{\displaystyle \ J_{i}, K_{i} = 0}
. Тоді воно набуде вигляду
∫
d
4
x
(
δ
Γ
δ
K
μ
a
δ
Γ
δ
A
a
μ
−
δ
Γ
δ
L
a
δ
Γ
δ
c
a
−
1
α
f
a
δ
Γ
δ
c
¯
a
)
=
0
(
10
)
{\displaystyle \ \int d^{4}x \left( \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta A^{\mu}_{a}} - \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta c^{a}} - \frac{1}{\alpha}f^{a}\frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}_{a}}\right) = 0 \qquad (10)}
.
Як калібрувальна умова буде вибрана "звичайна" умова
f
a
=
(
∂
μ
B
a
μ
)
{\displaystyle \ f_{a} = (\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})}
.
Виразимо варіаційні похідні у явному вигляді:
δ
Γ
δ
K
μ
a
=
δ
W
δ
K
μ
a
=
−
i
δ
δ
K
μ
a
l
n
(
Z
)
=
−
i
Z
δ
Z
δ
K
μ
a
=
1
Z
∫
D
(
B
,
.
.
.
)
δ
B
μ
a
e
i
(
S
+
S
s
o
u
r
c
e
)
{\displaystyle \ \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}} = \frac{\delta W }{\delta K_{\mu}^{a}} = -i \frac{\delta }{\delta K_{\mu}^{a}}ln (Z) = -\frac{i}{Z}\frac{\delta Z}{\delta K_{\mu}^{a}} = \frac{1}{Z} \int D (B,...) \delta B_{\mu}^{a} e^{i(S + S_{source})}}
.
Врахуємо тепер
(
3
)
{\displaystyle \ (3)}
:
δ
B
μ
a
=
∂
μ
c
a
−
g
f
a
b
c
c
b
B
μ
,
c
{\displaystyle \ \delta B_{\mu}^{a} = \partial_{\mu}c^{a} - gf^{abc}c_{b}B_{\mu , c}}
, і
δ
Γ
δ
K
μ
a
=
1
Z
∫
D
(
B
,
.
.
.
)
(
∂
μ
c
a
−
g
f
a
b
c
c
b
B
μ
,
c
)
e
i
(
S
+
S
s
o
u
r
c
e
)
=
∂
μ
x
1
Z
δ
Z
i
δ
η
¯
a
−
g
f
a
b
c
1
Z
δ
2
Z
i
δ
J
μ
c
i
δ
η
¯
b
=
{\displaystyle \ \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}} = \frac{1}{Z} \int D (B,...) \left( \partial_{\mu}c^{a} - gf^{abc}c_{b}B_{\mu , c}\right) e^{i(S + S_{source})} = \partial_{\mu}^{x}\frac{1}{Z}\frac{\delta Z}{i \delta \bar{\eta}^{a}} - gf^{abc}\frac{1}{Z}\frac{\delta^{2}Z}{i \delta J_{\mu}^{c} i\delta \bar{\eta}^{b}} = }
=
∂
μ
x
δ
(
i
W
)
i
δ
η
¯
a
−
g
f
a
b
c
[
δ
2
(
i
W
)
i
δ
J
μ
c
i
δ
η
¯
b
+
δ
(
i
W
)
i
δ
J
μ
c
δ
(
i
W
)
i
δ
η
¯
b
]
(
11
)
{\displaystyle \ = \partial_{\mu}^{x} \frac{\delta (iW)}{i\delta \bar{\eta}^{a}} - gf^{abc}\left[ \frac{\delta^{2}(iW)}{i \delta J_{\mu}^{c} i \delta \bar{\eta}^{b}} + \frac{\delta (iW)}{i\delta J_{\mu}^{c}}\frac{\delta (iW)}{i\delta \bar{\eta}^{b}}\right] \quad (11)}
.
Використовуючи цю рівність, продиференціюємо
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
по
δ
δ
c
b
(
y
)
δ
B
ν
c
(
z
)
{\displaystyle \ \frac{\delta }{\delta c^{b}(y)\delta B_{\nu}^{c}(z)}}
, поклавши як поля, так і джерела рівними нулю (що означає вакуумний процес): отримаємо
−
∂
μ
y
δ
2
Γ
δ
B
μ
b
(
y
)
δ
B
ν
c
(
z
)
−
g
f
a
l
c
∫
d
4
w
d
4
x
(
−
i
δ
2
Γ
δ
c
b
(
y
)
δ
c
¯
d
(
w
)
)
(
δ
3
(
i
W
)
i
δ
η
d
(
w
)
i
δ
η
¯
l
(
x
)
i
δ
J
μ
c
(
x
)
)
(
δ
2
Γ
δ
B
ν
c
(
z
)
δ
B
a
μ
(
x
)
)
+
1
α
∂
z
ν
δ
2
Γ
δ
c
b
(
y
)
δ
c
¯
c
(
z
)
=
0
(
12
)
{\displaystyle \ -\partial_{\mu}^{y}\frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta B_{\mu}^{b}(y) \delta B_{\nu}^{c}(z)} - gf^{alc}\int d^{4}w d^{4}x\left( \frac{-i\delta^{2}\Gamma}{\delta c^{b}(y) \delta \bar{c}^{d}(w)}\right)\left( \frac{\delta^{3}(iW)}{i\delta \eta_{d}(w) i\delta \bar{\eta}^{l}(x)i\delta J_{\mu}^{c}(x)}\right) \left( \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta B^{c}_{\nu}(z)\delta B^{\mu}_{a}(x)}\right) + \frac{1}{\alpha}\partial^{\nu}_{z}\frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta c^{b}(y)\delta \bar{c}^{c}(z)} = 0 \qquad (12)}
.
Здійснимо перетворення Фур'є цього виразу, враховуючи при цьому, що вирази виду
δ
2
Γ
δ
φ
i
δ
φ
j
∗
{\displaystyle \ \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta \varphi_{i} \delta \varphi_{j}^{*}}}
у імпульсному просторі відповідають оберненим пропагаторам. Отримаємо
p
μ
(
G
−
1
)
μ
ν
c
b
(
p
)
−
i
g
f
a
d
e
G
ν
μ
c
a
(
p
)
Δ
f
b
−
1
X
μ
f
e
f
+
1
α
p
ν
(
Δ
−
1
)
c
b
(
p
)
=
0
,
X
μ
f
e
f
=
F
[
⟨
|
N
^
(
c
d
(
x
)
c
¯
f
(
w
)
B
μ
,
e
(
x
)
)
|
⟩
]
(
13
)
{\displaystyle \ p^{\mu}(G^{-1})^{cb}_{\mu \nu}(p) - igf^{ade}G^{ca}_{\nu \mu}(p)\Delta^{-1}_{fb}X^{\mu f e f} + \frac{1}{\alpha}p^{\nu}(\Delta^{-1})^{cb}(p) = 0, \quad X^{\mu f e f} = F\left[\langle | \hat{N}\left( c^{d}(x)\bar{c}^{f}(w)B^{\mu , e}(x)\right)|\rangle \right]\qquad (13)}
,
де
F
[
]
{\displaystyle \ F[]}
позначає перетворення Фур'є.
Отримаємо схожу на
(
13
)
{\displaystyle \ (13)}
рівність за допомогою рівняння руху для гостів через сильнозв'язні діаграми (нагадаю, що вона справедлива у фейнманівському калібруванні; узагальнення, втім, елементарне),
δ
Γ
δ
c
¯
a
(
z
)
=
−
∂
z
μ
δ
Γ
δ
K
μ
,
a
(
z
)
{\displaystyle \ \frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}^{a}(z)} = -\partial^{\mu}_{z}\frac{\delta \Gamma}{\delta K^{\mu , a}(z)}}
:
подіявши на нього похідною
δ
δ
c
b
(
y
)
{\displaystyle \ \frac{\delta}{\delta c^{b}(y)}}
, отримаємо із врахуванням
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
δ
2
Γ
δ
c
b
(
y
)
δ
c
¯
a
(
z
)
=
−
∂
2
δ
a
b
δ
(
y
−
z
)
+
g
f
a
d
c
∫
d
4
w
(
−
i
δ
2
Γ
δ
c
b
(
y
)
δ
c
¯
f
(
w
)
)
∂
z
μ
(
δ
3
(
i
W
)
i
δ
J
μ
c
(
z
)
i
δ
η
f
(
w
)
i
δ
η
¯
d
(
z
)
)
{\displaystyle \ \frac{\delta^{2} \Gamma}{\delta c^{b}(y) \delta \bar{c}^{a}(z)} = -\partial^{2}\delta^{ab}\delta (y - z) + gf^{adc}\int d^{4}w\left(\frac{-i\delta^{2}\Gamma}{\delta c^{b}(y)\delta \bar{c}^{f}(w)} \right)\partial_{z}^{\mu}\left( \frac{\delta^{3}(i W)}{i \delta J_{\mu}^{c}(z)i\delta \eta^{f}(w)i\delta \bar{\eta}^{d}(z)}\right)}
,
або, у імпульсному просторі,
i
(
Δ
−
1
)
a
b
=
p
2
δ
a
b
−
i
g
f
a
d
c
p
μ
X
μ
d
c
f
(
Δ
−
1
)
f
b
(
14
)
{\displaystyle \ i(\Delta^{-1})^{ab} = p^{2}\delta^{ab} -i gf^{adc}p^{\mu}X_{\mu}^{dcf}(\Delta^{-1})^{fb} \qquad (14)}
.
Рівності
(
13
)
−
(
14
)
{\displaystyle \ (13)-(14)}
показують поперечну структуру пропагаторів (або на жаргонній мові - поперечну поляризованість вакууму).
Для демонстрації цього достатньо записати обернений пропагатор неабелевих бозонів як суму поперечної та продольної частин
(
G
μ
ν
a
b
)
−
1
=
(
G
μ
ν
a
b
)
T
−
1
+
i
α
a
δ
a
b
p
μ
p
ν
{\displaystyle \ (G_{\mu \nu}^{ab})^{-1} = (G_{\mu \nu}^{ab})^{-1}_{T} + \frac{i}{\alpha}a \delta^{ab}p_{\mu}p_{\nu}}
(для вільного пропагатора
a
=
1
{\displaystyle \ a = 1}
).
Використовуючи рівність
p
μ
(
G
μ
ν
a
b
)
−
1
=
i
a
α
δ
a
b
p
2
p
ν
{\displaystyle \ p^{\mu}(G_{\mu \nu}^{ab})^{-1} = i\frac{a}{\alpha }\delta^{ab}p^{2}p_{\nu}}
і підставляючи її у
(
13
)
{\displaystyle \ (13)}
, можна отримати
i
a
α
p
4
δ
c
b
=
−
1
α
p
2
δ
c
b
−
a
α
p
2
g
f
c
d
e
p
μ
X
μ
d
e
f
(
Δ
f
b
)
−
1
{\displaystyle \ i \frac{a}{\alpha}p^{4}\delta^{cb} = -\frac{1}{\alpha}p^{2}\delta^{cb} - \frac{a}{\alpha}p^{2}gf^{cde}p_{\mu}X^{\mu def}(\Delta^{fb})^{-1}}
,
або ж, після використання
(
14
)
{\displaystyle \ (14)}
,
−
1
α
p
2
δ
c
b
+
a
α
p
2
δ
c
b
=
0
⇒
a
=
1
{\displaystyle \ -\frac{1}{\alpha}p^{2}\delta^{cb} + \frac{a}{\alpha}p^{2}\delta^{cb} = 0 \Rightarrow a = 1}
.
Звідси слідує факт, що структура пропагатора - поперечна, і продольні вклади успішно перенормовуються.
Більш наочне виведення [ ]
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }