NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

BRST-перетворення[]

У попередньому розділі було показано, що застосовність континуального інтегрування до неабелевих калібрувальних теорій та "вирізання" інтегрувальних ступенів вільності, які є залежними через фіксацію калібрування, призводить до модифікації лагранжіану

.

Цей підрозділ покаже, як поява цієї модифікації виникає із вимоги інваріантності лагранжіану відносно перетворень специфічної симетрії BRST.

Розглянемо формальні оператори перетворення виду

.

Тут - генератори деякої групи.

Введений оператор являється нільпотентним, тобто .

Дійсно, при дії на деяке поле (яке не відповідає )

,

а при дії на грассманове поле

в силу тотожності Якобі для структурних констант.

Введемо тепер фіктивне скалярне поле , модифікувавши (без порушення нільпотентності) наступним чином:

.

Відповідні перетворення відповідають так званим BRST-перетворенням. Після введення полів генератори стають генераторами калібрувальної групи, тобто при дії на поле різних типів дають калібрувальне перетворення, яке відповідає полю даного типу. Із виразу видно також, що відносно цих перетворень поля перетворюються зовсім по-різному, що призводить до твердження, що вони є незалежними в тому сенсі, що одне поле не можна отримати ермітовим спряженням іншого.

У явному вигляді перетворення записуються як

.

Розглянемо тепер лагранжіан , переписавши його як

,

де

,

- умова, яка фіксує калібрування. У явному вигляді

.

Відповідність виразу перевіряється доповненням поліному по до повного квадрату та інтегруванням по цих полях.

Як слідує із , лагранжіан неабелевої калібрувальної теорії є BRST-інваріантним: поля у доданку перетворюються за звичайним законом калібрувального перетворення із грассмановими параметрами, тому він є інваріантним (можна додати і лагранжіан взаємодії із матерією). Другий же доданок є інваріантним в силу нільпотентності .

Тотожності Славнова-Тейлора[]

Розглянемо генеруючий функціонал для неабелевої теорії:

,

де дається виразом

(взагалі кажучи, вибір калібрування тут несуттєвий і впливає (див. вираз за посиланням) лише на явний вигляд другого та третього доданків, а на загальність викладок, що подані нижче, не впливає вибір конкретного калібрування), а

,

(останній доданок включає в себе також джерела для спряжених діраківських полів).

Як було показано, дія є інваріантною відносно перетворень BRST. Цей факт вказує на те, що для отримання тотожностей типу тотожностей Уорда для КЕД треба застосовувати саме BRST-перетворення.

Використовуючи метод, аналогічний до методи отримання тотожностей Уорда, можна отримати, що при BRST-перетворенні маємо

.

Тут враховано декілька фактів. Перший факт полягає у тому, що BRST-перетворення є лише комбінацією трансляцій та поворотів у калібрувальному просторі, тому континуальний інтеграл відносно такого перетворення не змінюється (це виражається у рівності нулю). Другий факт полягає у тому, що міра є інваріантом BRST-перетворень. Дійсно, із розділу про виведення тотожностей Уорда у рамках континуального інтегрування відомо, що перетворення інтегрувальної міри визначається як

,

тому з набору тотожностей (для доведення використаний вираз )

і слідує твердження про інваріантність міри.

Нарешті, із виразу слідує, , що відображено у у вигляді відсутності джерела не в експоненті.

Можна модифікувати дію у так, щоб поля не в експоненті виразу можна було записати через варіаційні похідні, і при цьому дія залишилась би BRST-інваріантною. Враховуючи нільпотентність , таку модифікацію можна подати як

.

Тоді можна переписати у формі (враховуючи також тотожність (остання рівність є "ефективною"))

.

Враховуючи тепер зв'язок функціоналу для зв'язних діаграм із функціоналом усіх діаграм, , рівність можна переписати як

.

Перепишемо цю ж саму багатострадальну рівність через генеруючий функціонал для сильнозв'язних діаграм:

.

Враховуючи, що джерела виражаються як варіаційні похідні від функціоналу як

,

а також - те, що

,

вираз можна подати як

.

Рівності називаються тотожностями Славнова-Тейлора, які, подібно до тотожностей Уорда у електродинаміці, застосовуються для доведення перенормовності неабелевих калібрувальних теорій.

Поперечність повного пропагатора[]

Одним із застосувань тотожностей Славнова-Тейлора до неабелевих калібрувальних теорій є доведення поперечності повного пропагатора. У даному випадку доведення буде пророблене для вільної неабелевої теорії (без полів матерії), проте узагальнення не є складним, оскільки тотожності Славнова-Тейлора у разі наявності матерії модифікуються простим чином.

Отже, покладемо у . Тоді воно набуде вигляду

.

Як калібрувальна умова буде вибрана "звичайна" умова .

Виразимо варіаційні похідні у явному вигляді:

.

Врахуємо тепер : , і

.

Використовуючи цю рівність, продиференціюємо по , поклавши як поля, так і джерела рівними нулю (що означає вакуумний процес): отримаємо

.

Здійснимо перетворення Фур'є цього виразу, враховуючи при цьому, що вирази виду у імпульсному просторі відповідають оберненим пропагаторам. Отримаємо

,

де позначає перетворення Фур'є.

Отримаємо схожу на рівність за допомогою рівняння руху для гостів через сильнозв'язні діаграми (нагадаю, що вона справедлива у фейнманівському калібруванні; узагальнення, втім, елементарне),

:

подіявши на нього похідною , отримаємо із врахуванням

,

або, у імпульсному просторі,

.

Рівності показують поперечну структуру пропагаторів (або на жаргонній мові - поперечну поляризованість вакууму).

Для демонстрації цього достатньо записати обернений пропагатор неабелевих бозонів як суму поперечної та продольної частин

(для вільного пропагатора ).

Використовуючи рівність і підставляючи її у , можна отримати

,

або ж, після використання ,

.

Звідси слідує факт, що структура пропагатора - поперечна, і продольні вклади успішно перенормовуються.

Більш наочне виведення[]

Advertisement