Побудуємо теорію гільбертового простору, що містить стани із довільною кількістю невзаємодіючих частинок, взявши за основу перетворення для одночастинкових станів групи Пуанкаре. Нагадаю, що одночастинковий стан (використаю для нього як "мітки" 4-імпульс на масовій поверхні, проекцію спіну на вісь (чи спіральність), і масу, заряд тощо, які будуть позначатися міткою ) перетворюється по групі Пуанкаре як
.
Із двох попередніх розділів відомо, що представлення малої групи для масивних станів відповідає групі , а для безмасових - групі Евкліда, .
Якщо частинки за початковою умовою невзаємодіючі, то можна природньо припустити, що багаточастинкові стани перетворюються як тензорний добуток одночастинкових станів:
.
Оскільки при перестановці двох тотожніх частинок місцями вектор стану може лише змінюватись на фазу, яка рівна , а вищевведені вектори стану мають деяку довільність у виписуванні одночастинкових станів, то можна прийняти (!), що для частинок різного сорту
,
де поки що не фіксується залежність від параметрів стану частинки.
Можна отримати правило ортогональності таких векторів. Враховуючи вирази, можна записати
,
де останній доданок включає у себе всі можливі перестановки.
Постулюється, що введені вище вектори багаточастинкових станів утворюють базис у гільбертовому просторі станів. Такий базис називається фоківським. Варто ще ввести нульовий вектор , задавши його нормуванням і перетворенням за групою Пуанкаре,
.
В силу представлення перетворення групи Пуанкаре через генератори,
,
звідси слідує, що
,
що означає, що - стан із нульовими енергією, моментом імпульсу та імпульсом.
Звідси також слідує, що фоківський базис не можна вибрати як базис взаємодіючих станів. Використовуючи і , маємо при
.
Диференціюючи це співвідношення по і беручи ліміт , можна отримати
,
що означає, що базис дійсно відповідає лише невзаємодіючим частинкам, як постулювалось на початку (немає "перехресних" добутків імпульсів).
Оператори народження та знищення[]
Структура фоківського базису дозволяє природним чином ввести оператори народження та знищення.
Оператор народження (на масовій оболонці) визначається як
,
а отже, довільний фоківський стан можна представити як
.
Маючи визначення оператору народження, легко ввести оператор знищення : він діє на фоківський стан як
,
тобто, цей оператор видаляє із багаточастинкового стану стан . Дійсно, ліва і права частини мають однакові скалярні добутки із будь-яким вектором фоківського базису, а отже, із будь-яким станом. Тому в силу і маємо
.
Тут , а сума береться по усім із групи підстановок, у залежності від сумарної фази, що накручується як результат сумарної кількості перестановок частинок із від'ємною фазою.
Ця сума може бути представлена як сума по цілому числу , яке підставляється на перше місце, , і по підстановкам усіх інших чисел, причому
.
Тоді, нарешті,
,
що й треба було довести.
Одним із наслідків є те, що вектор ортогональний до усіх векторів, і тому рівний нулю.
Нескладно перевірити, що оператори народження та знищення задовольняють рівностям
,
,
які називаються канонічними перестановочними співвідношеннями для операторів народження та знищення.
Представлення довільного оператору фоківського базису через оператори народження і знищення[]
Оператори народження і знищення дозволяють представляти довільний оператор у лінійному просторі багаточастинкових станів:
.
Іншими словами, стверджується, що коефіцієнти можна завжди підібрати так, щоб матричні елементи приймали наперед задані значення.
Доведення можна провести методом індукції по коефіцієнту . Користуючись і виразом , для нього можна написати
.
Якщо зробити індуктивне припущення, що при чи можуть бути зроблені довільними шляхом підбору коефіцієнтних функцій з , то очевидно, що можна зробити довільним за рахунок . А база індукції, , очевидно, є.
Перетворення Пуанкаре операторів народження та знищення[]
Оскільки для фоківського простору справедлива ,
,
то кожен із операторів з умови справедливості рівності перетворюється як
.
Дійсно, при дії перетворення Пуанкаре на з урахуванням пуанкаре-інваріантності вакууму та вищенаведеного виразу можна отримати
,
як і повинно бути відповідно до .
Закон перетворення для операторів знищення отримується ермітовим спряженням :