Доведення 1 [ ]
Рівняння для S-оператору .
Взявши похідну по часу від виразу
(
.6
)
{\displaystyle \ (.6)}
по часу, можна отримати
∂
S
^
∂
t
=
∑
n
=
1
∞
(
1
i
ℏ
)
n
1
n
!
∫
t
0
t
d
t
1
.
.
.
∫
t
0
t
d
t
n
−
1
n
H
^
(
t
)
N
^
(
H
^
(
t
1
)
.
.
.
H
^
(
t
n
−
1
)
)
{\displaystyle \ \frac{\partial \hat {S}}{\partial t} = \sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{i \hbar}\right)^{n}\frac{1}{n!}\int \limits_{t_{0}}^{t}dt_{1}...\int \limits_{t_{0}}^{t}dt_{n - 1}n\hat {H}(t)\hat {N}(\hat {H}(t_{1})...\hat {H}(t_{n - 1}))}
,
де враховано, що завдяки
N
^
{\displaystyle \ \hat{N}}
підинтегральний вираз є симетричним, а момент
t
{\displaystyle \ t}
є пізнішим за інші моменти. Дійсно, після дифереціювання кожного доданку ряду в силу того, що момент
t
{\displaystyle \ t}
є пізнішим від інших моментів
t
i
{\displaystyle \ t_{i}}
, оператор
H
^
(
t
)
{\displaystyle \ \hat {H}(t)}
виноситься за знак оператора
N
^
{\displaystyle \ \hat{N}}
; те, що залишилось, зводиться оператором
N
^
{\displaystyle \ \hat{N}}
до однакового вигляду; звідси з'явився множник
n
{\displaystyle \ n}
. Залишається лише скоротити
n
{\displaystyle \ n}
у чисельнику та знаменнику, перепозначивши після цього
n
→
n
−
1
{\displaystyle \ n \to n - 1}
, і винести
1
i
ℏ
H
^
(
t
)
{\displaystyle \ \frac{1}{i\hbar}\hat {H}(t)}
за знак інтегралу.
Доведення 2 [ ]
Комутаційні вирази полів та операторів народження і знищення .
Треба використати розв'язки для комплексного скалярного , біспінорного та електромагнітного полів, а також - відповідні комутаційні співвідношення для операторів:
φ
^
(
x
)
=
∫
(
a
^
(
p
)
e
i
p
x
+
b
^
+
(
p
)
e
−
i
p
x
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ε
p
,
φ
^
+
(
x
)
=
∫
(
a
^
+
(
p
)
e
−
i
p
x
+
b
^
(
p
)
e
i
p
x
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ε
p
{\displaystyle \ \hat {\varphi} (x) = \int \left( \hat {a}(\mathbf p )e^{ipx} + \hat {b}^{+}(\mathbf p)e^{-ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\varphi}^{+}(x) = \int \left( \hat {a}^{+} (\mathbf p )e^{-ipx} + \hat {b}(\mathbf p )e^{ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}}}
,
[
a
^
(
p
)
,
a
^
+
(
k
)
]
=
[
b
^
(
p
)
,
b
^
+
(
k
)
]
=
δ
(
p
−
k
)
,
[
a
^
(
p
)
,
a
^
(
k
)
]
=
[
a
^
+
(
p
)
,
a
^
+
(
k
)
]
=
0
{\displaystyle \ [\hat {a}(\mathbf p ) , \hat {a}^{+}(\mathbf k)] = [\hat {b}(\mathbf p ) , \hat {b}^{+}(\mathbf k)] = \delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {a}(\mathbf p ), \hat {a}(\mathbf k)] = [\hat {a}^{+}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}(\mathbf k)] = 0}
;
Ψ
^
(
x
)
=
∫
(
a
^
s
(
p
)
e
−
i
p
x
A
s
,
p
+
b
^
s
+
(
p
)
e
i
p
x
B
s
,
p
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
,
Ψ
¯
^
(
x
)
=
∫
(
e
i
p
x
A
¯
s
,
p
a
^
s
+
(
p
)
+
e
−
i
p
x
B
¯
s
,
p
b
^
s
(
p
)
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
{\displaystyle \ \hat {\Psi} (x ) = \int \left( \hat {a}_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}A_{s, \mathbf p } + \hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p)e^{ipx}B_{s , \mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\bar {\Psi}} (x) = \int \left( e^{ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p }\hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p) + e^{-ipx}\bar {B}_{s , \mathbf p}\hat {b}_{s}(\mathbf p) \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}}
,
[
a
^
s
(
p
)
,
a
^
m
+
(
k
)
]
+
=
δ
m
s
δ
(
p
−
k
)
,
[
a
^
s
(
p
)
,
a
^
m
(
k
)
]
+
=
[
a
^
s
+
(
p
)
,
a
^
m
+
(
k
)
]
+
=
0
,
A
s
,
p
+
A
f
,
p
=
B
s
,
p
+
B
f
,
p
=
2
δ
s
f
ϵ
p
{\displaystyle \ [\hat {a}_{s}(\mathbf p), \hat {a}^{+}_{m}(\mathbf k )]_{+} = \delta_{ms}\delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {a}_{s}(\mathbf p), \hat {a}_{m}(\mathbf k)]_{+} = [\hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p), \hat {a}^{+}_{m}(\mathbf k)]_{+} = 0, \quad A^{+}_{s, \mathbf p }A_{f , \mathbf p } = B^{+}_{s, \mathbf p }B_{f , \mathbf p } = 2\delta_{sf}\epsilon_{\mathbf p} }
;
A
^
μ
(
x
)
=
∫
∑
λ
=
1
,
2
e
μ
λ
(
p
)
(
a
^
λ
(
p
)
e
i
p
x
+
a
^
λ
+
(
p
)
e
−
i
p
x
)
d
3
p
2
(
2
π
)
3
ϵ
p
{\displaystyle \ \hat {A}_{\mu}(x) = \int \sum_{\lambda = 1, 2}e_{\mu}^{\lambda }(\mathbf p )\left( \hat {a}_{\lambda }(\mathbf p)e^{ipx} + \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)e^{-ipx}\right) \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi)^{3} \epsilon_{\mathbf p}}}}
,
[
a
^
λ
(
p
)
,
a
^
s
+
(
k
)
]
=
δ
s
λ
δ
(
p
−
k
)
,
[
a
^
λ
+
(
p
)
,
a
^
s
+
(
k
)
]
=
[
a
^
λ
(
p
)
,
a
^
s
(
k
)
]
=
0
{\displaystyle \ [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf k )] = \delta_{s \lambda}\delta (\mathbf p - \mathbf k), \quad [\hat {a}^{+}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf k )] = [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}_{s}(\mathbf k )] = 0}
.
Тепер просто визначити комутатори операторів та полів:
[
a
^
(
k
)
,
φ
^
+
(
x
)
]
=
∫
[
a
^
(
k
)
,
a
^
+
(
p
)
]
e
−
i
p
x
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
=
e
−
i
k
x
(
2
π
)
3
2
ϵ
k
{\displaystyle \ [\hat {a}(\mathbf k ), \hat {\varphi }^{+}(x)] = \int [\hat {a}(\mathbf k ), \hat {a}^{+}(\mathbf p )]e^{-ipx}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{-ikx}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k}}}}
,
[
a
^
f
(
k
)
,
Ψ
¯
^
]
+
=
∫
e
i
p
x
A
¯
s
,
p
[
a
^
f
(
k
)
,
a
^
s
+
(
p
)
]
+
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
=
e
i
k
x
A
¯
f
,
k
(
2
π
)
3
2
ϵ
k
{\displaystyle \ [\hat {a}_{f}(\mathbf k) , \hat {\bar {\Psi}}]_{+} = \int e^{ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p }[ \hat {a}_{f}(\mathbf k ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p)]_{+}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{ikx}\bar {A}_{f , \mathbf k}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k }}}}
,
[
a
^
s
(
k
)
,
A
^
μ
(
x
)
]
=
∫
e
μ
λ
(
p
)
[
a
^
s
(
k
)
,
a
^
λ
+
(
p
)
]
e
−
i
p
x
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
=
e
μ
s
(
k
)
e
−
i
k
x
(
2
π
)
3
2
ϵ
k
{\displaystyle \ [\hat {a}_{s}(\mathbf k) , \hat {A}_{\mu}(x)] = \int e^{\lambda}_{\mu}(\mathbf p)[\hat {a}_{s}(\mathbf k) , \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)]e^{-ipx}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{s}_{\mu}(\mathbf k) e^{-ikx}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k }}}}
.
Доведення 3 [ ]
Вакуумні середні для біспінорних, масивних векторних та електромагнітних полів .
Біспінорне поле [ ]
Використовуючи вирази для біспінорних полів,
Ψ
^
(
x
)
=
∫
(
a
^
s
(
p
)
e
−
i
p
x
A
s
,
p
+
b
^
s
+
(
p
)
e
i
p
x
B
s
,
p
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
,
Ψ
¯
^
(
x
)
=
∫
(
e
i
p
x
A
¯
s
,
p
a
^
s
+
(
p
)
+
e
−
i
p
x
B
¯
s
,
p
b
^
s
(
p
)
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
{\displaystyle \ \hat {\Psi} (x ) = \int \left( \hat {a}_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}A_{s, \mathbf p } + \hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p)e^{ipx}B_{s , \mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\bar {\Psi}} (x) = \int \left( e^{ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p }\hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p) + e^{-ipx}\bar {B}_{s , \mathbf p}\hat {b}_{s}(\mathbf p) \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}}
,
[
a
^
(
p
)
,
a
^
+
(
k
)
]
+
=
δ
(
p
−
k
)
,
[
a
^
+
(
p
)
,
a
^
+
(
k
)
]
+
=
[
a
^
(
p
)
,
a
^
(
k
)
]
+
=
0
{\displaystyle \ [\hat {a}(\mathbf p), \hat {a}^{+}(\mathbf k )]_{+} = \delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {a}^{+}(\mathbf p), \hat {a}^{+}(\mathbf k )]_{+} = [\hat {a}(\mathbf p), \hat {a}(\mathbf k )]_{+} = 0}
нескладно переконатися, що єдиним нетривіальним вакуумним середнім є
[
Ψ
(
x
)
,
Ψ
¯
(
y
)
]
+
=
∫
∫
∑
s
,
k
=
1
2
[
a
^
s
(
k
)
,
a
^
f
+
(
p
)
]
+
A
s
,
p
A
¯
f
,
k
e
−
i
p
x
+
i
k
y
d
3
k
d
3
p
2
(
2
π
)
3
ϵ
p
ϵ
k
=
∫
∑
s
=
1
2
A
s
,
p
A
¯
s
,
p
e
i
p
(
y
−
x
)
d
3
p
2
(
2
π
)
3
ϵ
p
=
∫
(
γ
μ
p
μ
+
m
)
e
−
i
p
(
x
−
y
)
d
3
p
2
(
2
π
)
3
ϵ
p
=
{\displaystyle \ [\Psi (x), \bar {\Psi}(y)]_{+} = \int \int \sum_{s, k = 1}^{2}[\hat {a}_{s}(\mathbf k), \hat {a}^{+}_{f}(\mathbf p)]_{+}A_{s, \mathbf p}\bar {A}_{f, \mathbf k}e^{-ipx + iky}\frac{d^{3}\mathbf k d^{3}\mathbf p }{2(2\pi )^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p }\epsilon_{\mathbf k}}} = \int \frac{\sum_{s = 1}^{2}A_{s, \mathbf p}\bar {A}_{s, \mathbf p}e^{ip(y - x)}d^{3}\mathbf p}{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p }} = \int \frac{(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)e^{-ip(x - y)}d^{3}\mathbf p}{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p }} = }
=
(
i
γ
μ
∂
μ
−
i
m
)
∫
e
−
i
p
(
x
−
y
)
d
3
p
2
(
2
π
)
3
ϵ
p
{\displaystyle \ = (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - im)\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{3}\mathbf p}{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p }}}
,
де використано вираз
∑
s
=
1
2
A
s
,
p
A
¯
s
,
p
=
γ
μ
p
μ
+
m
{\displaystyle \ \sum_{s = 1}^{2}A_{s, \mathbf p}\bar {A}_{s, \mathbf p} = \gamma^{\mu}p_{\mu} + m}
. Тепер можна, як і в випадку зі скалярним полем, перейти до допоміжних змінних
D
−
(
x
−
y
)
=
i
[
Ψ
−
(
x
)
,
Ψ
¯
+
(
y
)
]
+
=
i
⟨
|
Ψ
(
x
)
Ψ
¯
(
y
)
|
⟩
=
i
(
i
γ
μ
∂
μ
−
i
m
)
∫
e
−
i
p
(
x
−
y
)
d
3
p
2
(
2
π
)
3
ϵ
p
,
D
(
x
−
y
)
=
i
[
Ψ
(
x
)
,
Ψ
¯
(
y
)
]
+
=
D
−
(
x
−
y
)
+
D
−
(
y
−
x
)
{\displaystyle \ D^{-}(x - y) = i[\Psi^{-}(x), \bar {\Psi}^{+}(y)]_{+} = i\langle | \Psi(x) \bar {\Psi}(y) | \rangle = i(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - im)\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{3}\mathbf p}{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p }}, \quad D(x - y) =i[\Psi (x), \bar {\Psi} (y)]_{+} = D^{-}(x - y) + D^{-}(y - x)}
.
Використовуючи антикомутаційні співвідношення для біспінорних полів,
[
Ψ
(
t
0
,
x
)
,
Ψ
¯
(
t
0
,
y
)
]
+
=
i
δ
(
x
−
y
)
,
[
Ψ
¯
(
t
0
,
x
)
,
Ψ
¯
(
t
0
,
y
)
]
+
=
[
Ψ
(
t
0
,
x
)
,
Ψ
(
t
0
,
y
)
]
+
=
0
{\displaystyle \ [\Psi (t_{0}, \mathbf x), \bar {\Psi }(t_{0}, \mathbf y )]_{+} = i\delta (\mathbf x - \mathbf y ), \quad [\bar {\Psi} (t_{0}, \mathbf x), \bar {\Psi }(t_{0}, \mathbf y )]_{+} = [\Psi (t_{0}, \mathbf x), \Psi (t_{0}, \mathbf y )]_{+} = 0}
,
можна для проміжних змінних отримати ті ж самі властивості, що й у випадку із змінними для скалярного поля:
(
−
∂
2
+
m
2
)
D
(
x
)
=
(
−
∂
2
+
m
2
)
D
−
(
x
)
=
0
,
D
(
0
,
x
)
=
0
,
∂
0
D
(
0
,
x
)
=
δ
(
x
)
{\displaystyle \ (-\partial^{2} + m^{2})D(x) = (-\partial^{2} + m^{2})D^{-}(x) = 0, \quad D(0, \mathbf x ) = 0, \quad \partial_{0}D(0, \mathbf x ) = \delta (\mathbf x )}
,
де перші два рівняння справедливі в силу того, що
D
−
(
x
−
y
)
{\displaystyle \ D^{-}(x - y)}
пропорційний до аналогічної функції для скалярного випадку, а коефіцієнт пропорційності
(
i
γ
μ
∂
μ
−
i
m
)
{\displaystyle \ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - im)}
не залежить від координати.
Знову ж таки, враховуючи визначення оператора
N
^
{\displaystyle \ \hat{N}}
,
⟨
|
N
^
(
Ψ
(
x
)
Ψ
¯
(
y
)
)
|
⟩
=
−
i
h
(
x
0
−
y
0
)
⟨
|
i
Ψ
(
x
)
Ψ
¯
(
y
)
|
⟩
−
i
h
(
y
0
−
x
0
)
⟨
|
i
Ψ
¯
(
y
)
Ψ
(
x
)
|
⟩
=
−
i
h
(
x
0
−
y
0
)
D
−
(
x
−
y
)
−
i
h
(
y
0
−
x
0
)
D
−
(
y
−
x
)
=
−
i
D
c
(
x
−
y
)
⇒
{\displaystyle \ \langle |\hat {N}(\Psi (x)\bar {\Psi}(y))|\rangle = -ih(x_{0} - y_{0})\langle | i\Psi(x)\bar {\Psi}(y) |\rangle - ih(y_{0} - x_{0})\langle |i \bar {\Psi}(y)\Psi (x)| \rangle = -ih(x_{0} - y_{0})D^{-}(x - y) - ih(y_{0} - x_{0})D^{-}(y - x) = -iD^{c}(x - y) \Rightarrow
}
D
c
(
x
−
y
)
=
h
(
x
0
−
y
0
)
D
−
(
x
−
y
)
+
h
(
y
0
−
x
0
)
D
−
(
y
−
x
)
{\displaystyle \ D^{c}(x - y) = h(x_{0} - y_{0})D^{-}(x - y) + h(y_{0} - x_{0})D^{-}(y - x)}
.
Тому, провівши ті ж самі рутинні операції, що і для випадку зі скалярним полем (подіявши оператором Клейна-Гордона, встановивши, що результат рівен дельта-функції, і т.д.) можна остаточно отримати
⟨
|
N
^
(
Ψ
(
x
)
Ψ
¯
(
y
)
)
|
⟩
=
−
i
D
c
(
x
−
y
)
=
i
(
2
π
)
4
∫
(
γ
μ
p
μ
+
m
)
e
−
i
p
(
x
−
y
)
d
3
p
p
2
−
m
2
+
i
0
{\displaystyle \ \langle |\hat {N}(\Psi (x) \bar {\Psi }(y)) | \rangle = -iD^{c}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)e^{-ip(x - y)}d^{3}\mathbf p }{p^{2} - m^{2} + i0}}
.
Векторні поля [ ]
Для випадку масивного векторного поля справедливі рівності
A
^
μ
(
x
)
=
∫
∑
λ
=
0
3
e
μ
λ
(
p
)
(
a
^
λ
(
p
)
e
−
i
p
x
+
a
^
λ
+
(
p
)
e
i
p
x
)
d
3
p
2
(
2
π
)
3
ϵ
p
,
A
^
μ
+
(
x
)
=
∫
∑
λ
=
0
3
e
μ
λ
(
p
)
(
a
^
λ
+
(
p
)
e
i
p
x
+
a
^
λ
(
p
)
e
−
i
p
x
)
d
3
p
2
(
2
π
)
3
ϵ
p
{\displaystyle \hat {A}_{\mu}(x) = \int \sum_{\lambda = 0}^{3}e_{\mu}^{\lambda }(\mathbf p )\left( \hat {a}_{\lambda }(\mathbf p)e^{-ipx} + \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)e^{ipx}\right) \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi)^{3}\epsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {A}_{\mu}^{+}(x) = \int \sum_{\lambda = 0}^{3}e_{\mu}^{\lambda }(\mathbf p )\left( \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)e^{ipx} + \hat {a}_{\lambda }(\mathbf p)e^{-ipx}\right) \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi)^{3}\epsilon_{\mathbf p}}}}
,
[
a
^
λ
(
p
)
,
a
^
δ
+
(
k
)
]
=
δ
λ
δ
δ
(
p
−
k
)
,
[
a
^
λ
+
(
p
)
,
a
^
δ
+
(
k
)
]
=
[
a
^
λ
(
p
)
,
a
^
δ
(
k
)
]
=
0
{\displaystyle \ [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{\delta}(\mathbf k )] = \delta_{\lambda \delta}\delta (\mathbf p -\mathbf k ), \quad [\hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{\delta}(\mathbf k )] = [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}_{\delta}(\mathbf k )] = 0}
,
∑
λ
=
1
3
e
μ
λ
e
ν
λ
=
g
μ
ν
−
p
μ
p
ν
m
2
{\displaystyle \ \sum_{\lambda = 1}^{3}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda} = g_{\mu \nu} - \frac{p_{\mu }p_{\nu}}{m^{2}}}
.
Єдиним нетривіальним вакуумним середнім буде вираз
⟨
|
N
^
(
A
μ
(
x
)
A
ν
+
(
y
)
)
|
⟩
=
−
i
D
c
(
x
−
y
)
{\displaystyle \ \langle | \hat {N}(A_{\mu}(x) A^{+}_{\nu}(y))|\rangle = -iD^{c}(x - y)}
.
Аналогічно до розглянутих випадків,
D
c
(
x
−
y
)
=
h
(
x
0
−
y
0
)
D
−
(
x
−
y
)
+
h
(
y
0
−
x
0
)
D
−
(
y
−
x
)
{\displaystyle \ D^{c}(x - y) = h(x_{0} - y_{0})D^{-}(x - y) + h(y_{0} - x_{0})D^{-}(y - x)}
,
D
−
(
x
−
y
)
=
i
[
A
μ
−
(
x
)
,
A
ν
+
(
y
)
]
=
i
⟨
|
A
μ
−
(
x
)
A
ν
+
(
y
)
|
⟩
,
D
(
x
−
y
)
=
i
[
A
μ
(
x
)
,
A
ν
(
y
)
]
=
D
−
(
x
−
y
)
−
D
−
(
y
−
x
)
{\displaystyle \ D^{-}(x - y) = i[A_{\mu}^{-}(x), A_{\nu}^{+}(y)] = i\langle | A_{\mu}^{-}(x)A_{\nu}^{+}(y) | \rangle , \quad D(x - y) = i[A_{\mu}(x), A_{\nu}(y)] = D^{-}(x - y) - D^{-}(y - x)}
.
Залишається лише порахувати комутатор
[
A
μ
−
,
A
ν
+
]
{\displaystyle \ [A_{\mu}^{-}, A_{\nu}^{+}]}
:
[
A
μ
−
(
x
)
,
A
ν
+
(
y
)
]
=
∫
∫
∑
λ
,
λ
′
e
μ
λ
e
ν
λ
′
[
a
^
λ
(
p
)
,
a
^
λ
′
+
(
k
)
]
e
i
k
y
−
i
p
x
d
3
p
d
3
k
2
(
2
π
)
3
ϵ
p
ϵ
k
=
∫
∑
λ
e
μ
λ
e
ν
λ
e
−
i
p
(
x
−
y
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
=
{\displaystyle \ [A_{\mu}^{-}(x), A_{\nu}^{+}(y)] = \int \int \sum_{\lambda , \lambda '}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda {'}}[\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p), \hat {a}^{+}_{\lambda {'}}(\mathbf k)]e^{iky - ipx}\frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{2(2 \pi)^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}\epsilon_{\mathbf k}}} = \int \sum_{\lambda}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda }e^{-ip(x - y)}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2\epsilon_{\mathbf p}} = }
=
∫
(
g
μ
ν
−
p
μ
p
ν
m
2
)
e
−
i
p
(
x
−
y
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
{\displaystyle \ = \int \left(g_{\mu \nu} - \frac{p_{\mu}p_{\nu}}{m^{2}} \right)e^{-ip(x - y)}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}
.
Звідси очевидно, що, знову,
(
−
∂
2
+
m
2
)
D
−
(
x
)
=
(
−
∂
2
+
m
2
)
D
(
x
)
=
0
{\displaystyle \ (-\partial^{2} + m^{2})D^{-}(x) = (-\partial^{2} + m^{2})D(x) = 0}
,
тому наш оператор
D
c
(
x
−
y
)
{\displaystyle \ D^{c}(x - y)}
знову є функцією Гріна оператора Клейна-Гордона, і тому
⟨
|
N
^
(
A
μ
(
x
)
A
ν
+
(
y
)
)
|
⟩
=
−
i
D
c
(
x
−
y
)
=
i
(
2
π
)
4
∫
(
g
μ
ν
−
p
μ
p
ν
m
2
)
e
−
i
p
(
x
−
y
)
p
2
−
m
2
+
i
0
d
4
p
{\displaystyle \ \langle | \hat {N}(A_{\mu}(x)A_{\nu}^{+}(y))|\rangle = -iD^{c}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{\left(g_{\mu \nu} - \frac{p_{\mu}p_{\nu}}{m^{2}} \right)e^{-ip(x - y)}}{p^{2} - m^{2} + i0}d^{4}p }
.
Випадок електромагнітного поля ,
A
^
μ
=
∫
∑
λ
=
0
3
e
μ
λ
(
p
)
(
a
^
λ
(
p
)
e
−
i
p
x
+
a
^
λ
+
(
p
)
e
i
p
x
)
d
3
p
2
(
2
π
)
3
{\displaystyle \ \hat {A}_{\mu} = \int \sum_{\lambda = 0}^{3}e_{\mu}^{\lambda }(\mathbf p )\left( \hat {a}_{\lambda }(\mathbf p)e^{-ipx} + \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)e^{ipx}\right) \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi)^{3}}}}
,
[
a
^
λ
(
p
)
,
a
^
λ
′
+
(
k
)
]
=
−
g
λ
λ
′
δ
(
p
−
k
)
,
[
a
^
λ
+
(
p
)
,
a
^
λ
′
+
(
k
)
]
=
[
a
^
λ
(
p
)
,
a
^
λ
′
(
k
)
]
=
0
{\displaystyle \ [\hat {a}_{\lambda }(\mathbf p ), \hat {a}_{\lambda {'}}^{+}(\mathbf k )] = -g_{\lambda \lambda {'}}\delta (\mathbf p -\mathbf k ), \quad [\hat {a}_{\lambda }^{+}(\mathbf p ), \hat {a}_{\lambda {'}}^{+}(\mathbf k )] = [\hat {a}_{\lambda }(\mathbf p ), \hat {a}_{\lambda {'}}(\mathbf k )] = 0}
,
∑
λ
e
μ
λ
e
ν
λ
=
g
μ
ν
,
e
μ
λ
e
μ
,
λ
′
=
g
λ
λ
′
{\displaystyle \ \sum_{\lambda}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda} = g_{\mu \nu}, \quad e_{\mu }^{\lambda}e^{\mu , \lambda {'}} = g^{\lambda \lambda {'}}}
,
аналогічно зводиться до вакуумного середнього
⟨
|
N
^
(
A
μ
(
x
)
,
A
ν
+
(
y
)
)
|
⟩
=
−
i
D
c
(
x
−
y
)
=
i
(
2
π
)
4
∫
g
μ
ν
e
−
i
p
(
x
−
y
)
d
4
p
p
2
−
m
2
+
i
0
{\displaystyle \ \langle| \hat {N}(A_{\mu}(x), A^{+}_{\nu}(y))|\rangle = -iD^{c}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi )^{4}}\int \frac{g_{\mu \nu}e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{p^{2} - m^{2} + i0}}
.
Доведення 4 [ ]
Континуальний інтеграл для дійсного клейн-гордонівського поля .
Трансляційна заміна буде відповідати
φ
(
x
)
→
φ
(
x
)
+
φ
0
(
x
)
{\displaystyle \ \varphi (x) \to \varphi (x) + \varphi_{0}(x)}
. Інтеграл тоді перетвориться як
I
[
J
]
=
∫
D
φ
e
i
∫
d
4
x
(
[
φ
(
x
)
+
φ
0
(
x
)
]
K
^
2
[
φ
(
x
)
+
φ
0
(
x
)
]
+
(
φ
(
x
)
+
φ
0
(
x
)
)
J
(
x
)
)
=
{\displaystyle \ I[J] = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left([\varphi(x) + \varphi_{0}(x)]\frac{\hat {K}}{2}[\varphi (x) + \varphi_{0}(x)] + (\varphi (x) + \varphi_{0}(x))J(x)\right)} = }
=
∫
D
φ
e
i
∫
d
4
x
(
φ
(
x
)
K
^
2
φ
(
x
)
+
φ
(
x
)
J
(
x
)
+
φ
0
(
x
)
K
^
2
φ
(
x
)
+
φ
(
x
)
K
^
2
φ
0
(
x
)
+
φ
0
(
x
)
K
^
2
φ
0
(
x
)
+
φ
0
(
x
)
J
(
x
)
)
{\displaystyle \ = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left(\varphi (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) + \varphi (x)J(x) + \varphi_{0}(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) + \varphi (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi_{0} (x) + \varphi_{0} (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi_{0} (x) + \varphi_{0}(x)J(x)\right)}}
.
Щоб занулити усі неквадратичні по полям
φ
(
x
)
{\displaystyle \ \varphi (x)}
доданки, треба обрати
φ
0
(
x
)
{\displaystyle \ \varphi_{0}(x) }
розв'язком рівняння
K
^
φ
0
(
x
)
=
−
J
(
x
)
{\displaystyle \ \hat {K}\varphi_{0}(x) = -J(x)}
.
Звідси
φ
0
(
x
)
=
∫
J
(
y
)
d
4
y
K
(
x
−
y
)
=
−
∫
J
(
y
)
D
c
(
x
−
y
)
d
4
y
{\displaystyle \ \varphi_{0}(x) = \int \frac{J(y)d^{4}y}{K(x - y)} = -\int J(y)D^{c}(x - y)d^{4}y}
,
де введений клейн-гордонівський пропагатор.
Така функція виводить всю залежність від джерела
J
(
x
)
{\displaystyle \ J(x)}
за знак інтегралу. Дійсно,
φ
(
x
)
K
^
2
φ
0
(
x
)
=
−
1
2
φ
(
x
)
J
(
x
)
{\displaystyle \ \varphi (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi_{0} (x) = - \frac{1}{2}\varphi (x)J(x)}
, а
φ
0
(
x
)
K
^
2
φ
(
x
)
{\displaystyle \ \varphi_{0}(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x)}
можна, користуючись тим, що цей вираз знаходиться під знаком інтегралу, перетворити інтегруванням по частинам як
∫
d
4
x
φ
0
(
x
)
K
^
2
φ
(
x
)
=
∫
d
4
x
φ
(
x
)
K
^
2
φ
0
(
x
)
⇒
φ
0
(
x
)
K
^
2
φ
(
x
)
=
−
1
2
J
(
x
)
φ
(
x
)
{\displaystyle \ \int d^{4}x\varphi_{0}(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) = \int d^{4}x\varphi (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi_{0} (x) \Rightarrow \varphi_{0}(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) = -\frac{1}{2}J(x)\varphi (x)}
.
В результаті,
I
[
J
]
=
∫
D
φ
e
i
∫
d
4
x
(
φ
(
x
)
K
^
2
φ
(
x
)
+
1
2
∫
d
4
y
J
(
y
)
D
c
(
x
−
y
)
J
(
x
)
)
=
e
i
2
∫
d
4
x
d
4
y
J
(
y
)
D
c
(
x
−
y
)
J
(
x
)
∫
D
φ
e
i
∫
d
4
x
(
φ
(
x
)
K
^
2
φ
(
x
)
)
=
e
i
2
∫
d
4
x
d
4
y
J
(
y
)
D
c
(
x
−
y
)
J
(
x
)
(
d
e
t
K
)
−
1
{\displaystyle \ I[J] = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left(\varphi(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) + \frac{1}{2}\int d^{4}yJ(y)D^{c}(x - y)J(x)\right)} = e^{\frac{i}{2}\int d^{4}xd^{4}yJ(y)D^{c}(x - y)J(x)}\int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left(\varphi(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x)\right)}= e^{\frac{i}{2}\int d^{4}xd^{4}yJ(y)D^{c}(x - y)J(x)}(det K)^{-1}}
.
Доведення 5 [ ]
Перетворення для функції Гріна .
Отже, маємо вираз
(
3
)
{\displaystyle \ (3)}
,
G
(
q
1
,
.
.
.
,
q
n
)
=
∑
σ
∫
d
3
p
∫
d
4
x
1
.
.
.
d
4
x
n
e
−
i
q
1
x
1
−
.
.
.
−
i
q
n
x
n
θ
(
m
a
x
(
x
1
0
,
.
.
.
,
x
r
0
−
m
i
n
(
x
r
+
1
0
,
.
.
.
,
x
n
0
)
×
{\displaystyle \ G(q_{1},...,q_{n}) = \sum_{\sigma} \int d^{3}\mathbf p \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1}-...-iq_{n}x_{n}}\theta (max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0} - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0}) \times }
×
⟨
|
N
^
(
A
^
1
(
x
1
)
.
.
.
A
^
r
(
x
r
)
)
|
(
p
,
σ
)
⟩
⟨
(
p
,
σ
)
|
N
^
(
A
^
r
+
1
(
x
r
+
1
)
.
.
.
A
^
n
(
x
n
)
)
|
⟩
+
.
.
.
(
3
)
{\displaystyle \ \times \langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)|(\mathbf p, \sigma )\rangle \langle (\mathbf p, \sigma )|\hat {N}\left( \hat {A}_{r +1}(x_{r+1})...\hat{A}_{n}(x_{n})\right)| \rangle + ... \qquad (3)}
,
та заміни
x
i
→
x
1
+
y
i
,
i
=
2
,
.
.
.
,
r
{\displaystyle \ x_{i} \to x_{1} + y_{i}, i = 2, ..., r}
та
x
i
→
x
r
+
1
+
y
i
,
i
=
r
+
2
,
.
.
.
,
n
{\displaystyle \ x_{i} \to x_{r + 1} + y_{i}, i = r + 2, ..., n}
.
Перший крок - врахування того, що функції
A
^
i
(
x
i
)
{\displaystyle \ \hat {A}_{i}(x_{i})}
є локальними функціями полів та канонічних імпульсів. Тому через трансляційну інваріантність справедлива рівність
[
P
^
μ
,
A
^
i
(
x
i
)
]
=
i
∂
∂
x
μ
A
i
(
x
i
)
{\displaystyle \ [\hat {P}_{\mu}, \hat {A}_{i}(x_{i})] = i\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}A_{i}(x_{i})}
.
Це означає, що справедлива рівність (із виразу
(
3
)
{\displaystyle \ (3)}
взяте перше хронологічне впорядкування; окрім того, варто згадати , що фоківський базис є власним для оператору імпульсу)
(
0
−
p
μ
)
⟨
|
N
^
(
A
^
1
(
x
1
)
.
.
.
A
^
r
(
x
r
)
)
|
p
⟩
=
⟨
|
N
^
(
[
P
^
μ
,
A
^
1
(
x
1
)
.
.
.
A
^
r
(
x
r
)
]
)
|
p
⟩
=
i
(
∂
∂
x
1
μ
+
.
.
.
∂
∂
x
r
μ
)
⟨
|
N
^
(
A
^
1
(
x
1
)
.
.
.
A
^
r
(
x
r
)
)
|
p
⟩
{\displaystyle \ (0 - p_{\mu})\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)| \mathbf p \rangle = \langle |\hat {N}\left( \left[ \hat {P}_{\mu}, \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r}) \right]\right)| \mathbf p \rangle = i\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}^{\mu}} + ... \frac{\partial}{\partial x_{r}^{\mu}}\right)\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)| \mathbf p \rangle}
.
Це означає, що справедлива рівність
⟨
|
N
^
(
A
^
1
(
x
1
)
.
.
.
A
^
r
(
x
r
)
)
|
p
⟩
=
e
i
p
x
1
⟨
|
N
^
(
A
^
1
(
0
)
.
.
.
A
^
r
(
x
r
−
x
1
)
)
|
p
⟩
{\displaystyle \ \langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)| \mathbf p \rangle = e^{ipx_{1}}\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(0)...\hat{A}_{r}(x_{r} - x_{1})\right)| \mathbf p \rangle }
.
Підставляючи сюди вказану вище заміну, можна отримати, що
⟨
|
N
^
(
A
^
1
(
x
1
)
.
.
.
A
^
r
(
x
1
+
y
r
)
)
|
p
⟩
=
e
i
p
x
1
⟨
|
N
^
(
A
^
1
(
0
)
.
.
.
A
^
r
(
y
r
)
)
|
p
⟩
{\displaystyle \ \langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{1} + y_{r})\right)| \mathbf p \rangle = e^{ipx_{1}}\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(0)...\hat{A}_{r}(y_{r})\right)| \mathbf p \rangle }
.
Аналогічне можна зробити із другим хронологічним впорядкуванням (там експонента буде зі знаком "мінус", оскільки стан із
p
{\displaystyle \ \mathbf p}
там - лівий).
Другий крок - перетворення функції Хевісайда. Перепишемо її аргумент із врахуванням заміни як
m
a
x
(
x
1
0
,
.
.
.
,
x
r
0
−
m
i
n
(
x
r
+
1
0
,
.
.
.
,
x
n
0
=
x
1
0
−
x
r
+
1
0
+
m
i
n
(
0
,
y
2
0
,
.
.
,
y
r
0
)
−
m
a
x
(
0
,
y
r
+
2
0
,
.
.
.
,
y
n
0
)
{\displaystyle \ max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0} - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0} = x_{1}^{0} - x_{r + 1}^{0} + min(0, y_{2}^{0},..,y_{r}^{0}) - max(0, y_{r + 2}^{0}, ..., y_{n}^{0})}
та представимо її через інтеграл як
θ
(
a
)
=
∫
−
∞
∞
d
ω
ω
+
i
ε
e
−
i
ω
a
{\displaystyle \ \theta (a) = \int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{\omega + i\varepsilon}e^{-i\omega a}}
.
Третій крок - інтегрування по
x
1
,
x
r
{\displaystyle \ x_{1}, x_{r}}
. В силу того, що підинтегральний вираз залежить від цих змінних (після кроків 1-2) лише експоненціально, виникають дві дельта-функції по імпульсам. Нарешті, нульова компонента 4-імпульсу
p
{\displaystyle \ p}
залежить від маси. Що це за маса? Вочевидь, це - маса одночастинкового стану
(
p
,
σ
)
{\displaystyle \ (\mathbf p , \sigma )}
, для якого стани
A
^
1
d
a
g
g
e
r
(
x
1
)
.
.
.
A
^
r
†
(
x
r
)
|
p
⟩
,
⟨
p
|
A
^
r
+
1
(
x
r
+
1
)
.
.
.
A
^
n
(
x
n
)
{\displaystyle \ \hat {A}^{dagger}_{1}(x_{1})...\hat {A}^{\dagger}_{r}(x_{r})| \mathbf p\rangle , \quad \langle \mathbf p|\hat {A}_{r + 1}(x_{r + 1})...\hat {A}_{n}(x_{n})}
є ненульовими.