Спін 0. Доведення

Доведення 1

Енергія-імпульс через амплітуди.

Для початку, похідна по часу і градієнт рівні

$\ {\dot {\varphi }}=i\int {\sqrt {\varepsilon _{\mathbf {k} }}}\left(b_{\mathbf {k} }^{*}e^{ikx}-b_{\mathbf {k} }e^{-ikx}\right){\frac {d^{3}\mathbf {k} }{\sqrt {2(2\pi )^{3}}}},\quad (\nabla \varphi )=i\int \mathbf {k} \left(b_{\mathbf {k} }e^{-ikx}-b_{\mathbf {k} }^{*}e^{ikx}\right){\frac {d^{3}\mathbf {k} }{\sqrt {2\varepsilon _{\mathbf {k} }(2\pi )^{3}}}}$.

Тоді вираз для імпульсу має вигляд

$\ \mathbf {P} =\int {\dot {\varphi }}(\nabla \varphi )d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{2}}\int \left[\int \int {\sqrt {\epsilon _{\mathbf {k} }}}\mathbf {K} \left(b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {K} }^{*}e^{i(K-k)x}+b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {K} }e^{i(k-K)x}-b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {K} }e^{-ikx-iKx}-b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {K} }^{*}e^{ikx+iKx}\right){\frac {d^{3}\mathbf {k} d^{3}\mathbf {K} }{(2\pi )^{3}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {K} }}}}}\right]d^{3}\mathbf {r} =$

$\ =\int \int {\frac {\sqrt {\epsilon _{\mathbf {k} }}}{2}}\mathbf {K} \left[b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {K} }^{*}\delta (\mathbf {K} -\mathbf {k} )e^{i(\epsilon _{\mathbf {K} }-\epsilon _{\mathbf {k} })t}+b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {K} }\delta (\mathbf {k} -\mathbf {K} )e^{i(\epsilon _{\mathbf {k} }-\epsilon _{\mathbf {K} })t}-b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {K} }\delta (K+k)e^{-i(\epsilon _{\mathbf {k} }+\epsilon _{\mathbf {K} })t}-b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {K} }^{*}\delta (K+k)e^{i(\epsilon _{\mathbf {k} }+\epsilon _{\mathbf {K} })t}\right]{\frac {d^{3}\mathbf {k} d^{3}\mathbf {K} }{\sqrt {\varepsilon _{\mathbf {K} }}}}=$

$\ ={\frac {1}{2}}\int \mathbf {k} \left(b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {k} }^{*}+b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {k} }\right)d^{3}\mathbf {k}$,

де інтеграли від двох останніх доданків зануляються, оскільки підінтегральна функція антисиметрична, а межі - симетричні. Дійсно, проінтегрувавши їх по $\ d^{3}\mathbf {K}$, під інтегралом можна отримати $\ \mathbf {k} b_{\mathbf {k} }b_{-\mathbf {k} }+\mathbf {k} b_{\mathbf {k} }^{+}b_{-\mathbf {k} }^{+}$. Добуток операторів є симетричним на області інтегрування, а множник $\ \mathbf {k}$ - антисиметричним.

Вираз для енергії, $\ E=\int d^{3}\mathbf {r} \left((\partial _{0}\varphi )^{2}+m^{2}\varphi ^{2}+(\nabla \varphi )^{2}\right)$ же можна отримати наступним чином. Перший доданок рівний

$\ H_{1}={\frac {1}{4}}\int \left[\int {\sqrt {\epsilon _{\mathbf {k} }}}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {K} }}}\left(b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {K} }^{*}e^{i(K-k)x}+b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {K} }e^{i(k-K)x}-b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {K} }e^{i(k+K)x}-b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {K} }^{*}e^{-i(k+K)x}\right){\frac {d^{3}\mathbf {k} d^{3}\mathbf {K} }{(2\pi )^{3}}}\right]d^{3}\mathbf {r} =$

$\ ={\frac {1}{4}}\int \epsilon _{\mathbf {k} }\left(b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {k} }^{*}+b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {k} }\right)d^{3}\mathbf {k} -{\frac {1}{4}}\int d^{3}\mathbf {k} \epsilon _{\mathbf {k} }(b_{\mathbf {k} }^{2}e^{2i\epsilon _{\mathbf {k} }t}+(b_{\mathbf {k} }^{*})^{2}e^{-2i\epsilon _{\mathbf {k} }t})$,

другий -

$\ {\frac {1}{4}}\int \left[\int (\mathbf {K} \cdot \mathbf {k} ){\sqrt {\epsilon _{\mathbf {k} }}}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {K} }}}\left(b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {K} }^{*}e^{i(K-k)x}+b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {K} }e^{i(k-K)x}-b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {K} }e^{i(k+K)x}-b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {K} }^{*}e^{-i(k+K)x}\right){\frac {d^{3}\mathbf {k} d^{3}\mathbf {K} }{(2\pi )^{3}}}\right]d^{3}\mathbf {r} =$

$\ ={\frac {1}{4}}\int {\frac {\mathbf {k} ^{2}}{\epsilon _{\mathbf {k} }}}\left(b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {k} }^{*}+b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {k} }\right)d^{3}\mathbf {k} +{\frac {1}{4}}\int d^{3}\mathbf {k} {\frac {\mathbf {k} ^{2}}{\epsilon _{\mathbf {k} }}}(b_{\mathbf {k} }^{2}e^{2i\epsilon _{\mathbf {k} }t}+(b_{\mathbf {k} }^{*})^{2}e^{-2i\epsilon _{\mathbf {k} }t})$,

останній -

$\ {\frac {1}{4}}\int {\frac {m^{2}}{\epsilon _{\mathbf {k} }}}\left(b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {k} }^{*}+b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {k} }\right)d^{3}\mathbf {k} +{\frac {1}{4}}\int d^{3}\mathbf {k} {\frac {m^{2}}{\epsilon _{\mathbf {k} }}}(b_{\mathbf {k} }^{2}e^{2i\epsilon _{\mathbf {k} }t}+(b_{\mathbf {k} }^{*})^{2}e^{-2i\epsilon _{\mathbf {k} }t})$.

Сума цих трьох доданків (з урахуванням дисперсійного співвідношення) скорочує члени, що залежать від часу, і отримуємо

$\ H={\frac {1}{2}}\int \epsilon _{\mathbf {k} }\left(b_{\mathbf {k} }b_{\mathbf {k} }^{*}+b_{\mathbf {k} }^{*}b_{\mathbf {k} }\right)d^{3}\mathbf {k}$.

Доведення 2

Комутаційні співвідношення для операторів амплітуд.

Для доведення можна взяти інтеграл для оператору поля, домножити його на експоненту $\ e^{-i(\mathbf {q} \cdot \mathbf {x} )}$ і проінтегрувати по $\ {\frac {d^{3}\mathbf {x} }{\sqrt {(2\pi )^{3}}}}$:

$\ \int \varphi (\mathbf {r} ,t)e^{-i(\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} )}{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{\sqrt {(2\pi )^{3}}}}=\int \int \left(b_{\mathbf {k} }^{*}e^{-i((\mathbf {k} +\mathbf {q} )\cdot \mathbf {x} )+i\epsilon _{\mathbf {q} }t}+b_{\mathbf {k} }e^{i((\mathbf {k} -\mathbf {q} )\cdot \mathbf {x} )-i\epsilon _{\mathbf {q} }t}\right){\frac {d^{3}\mathbf {k} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2\epsilon _{\mathbf {k} }}}}{\frac {d^{3}\mathbf {x} }{\sqrt {(2\pi )^{3}}}}=$

$\ =\int \left(b_{\mathbf {k} }^{*}\delta (\mathbf {k} +\mathbf {q} )e^{i\varepsilon _{\mathbf {q} }t}+b_{\mathbf {k} }\delta (\mathbf {k} -\mathbf {q} )e^{-i\varepsilon _{\mathbf {q} }t}\right){\frac {d^{3}\mathbf {k} }{\sqrt {2\varepsilon _{\mathbf {k} }}}}={\frac {1}{\sqrt {2\epsilon _{\mathbf {q} }}}}\left(b_{-\mathbf {q} }^{*}e^{i\epsilon _{\mathbf {q} }t}+b_{\mathbf {q} }e^{-i\epsilon _{\mathbf {q} }t}\right)$.

Взявши від цього виразу похідну по часу, можна отримати

$\ \int \pi (\mathbf {r} ,t)e^{-i(\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} )}{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{\sqrt {(2\pi )^{3}}}}=i{\sqrt {\frac {\epsilon _{\mathbf {q} }}{2}}}\left(-b_{\mathbf {q} }e^{-i\epsilon _{\mathbf {q} }t}+b_{-\mathbf {q} }^{*}e^{i\epsilon _{\mathbf {q} }t}\right)$.

Із цих двох виразів, як із системи лінійних алгебраїчних рівнянь, можна виключити $\ b_{\mathbf {q} }$:

$\ b_{\mathbf {q} }={\frac {\int \left(i{\sqrt {\frac {\epsilon _{\mathbf {q} }}{2}}}\varphi -{\frac {\pi }{\sqrt {2\epsilon _{\mathbf {q} }}}}\right)e^{i\epsilon _{\mathbf {q} }t-i(\mathbf {q} \cdot \mathbf {r} )}{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{\sqrt {(2\pi )^{3}}}}}{{\frac {i}{2}}+{\frac {i}{2}}}}=\int \left(\epsilon _{\mathbf {q} }\varphi +i\pi \right)e^{iqx}{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{\sqrt {2\epsilon _{\mathbf {q} }(2\pi )^{3}}}}$.

Тоді, користуючись, знову ж таки, тим, що оператори полів - ермітові, можна отримати значення операторів амплітуд:

$\ {\hat {b}}_{\mathbf {q} }=\int \left(\epsilon _{\mathbf {q} }{\hat {\varphi }}+i{\hat {\pi }}\right)e^{iqx}{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{\sqrt {2\epsilon _{\mathbf {q} }(2\pi )^{3}}}},\quad {\hat {b}}_{\mathbf {q} }^{+}=\int \left(\epsilon _{\mathbf {q} }{\hat {\varphi }}-i{\hat {\pi }}\right)e^{-iqx}{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{\sqrt {2\epsilon _{\mathbf {q} }(2\pi )^{3}}}}$.

Тоді

$\ [{\hat {b}}_{\mathbf {q} },{\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}]=\int \left(-i\int [{\hat {\varphi }},{\hat {\pi }}']e^{i(qx-px')}\epsilon _{\mathbf {q} }{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{2(2\pi )^{3}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {p} }\epsilon _{\mathbf {q} }}}}}+i\int [{\hat {\pi }},{\hat {\varphi }}']e^{i(qx-px')}\epsilon _{\mathbf {p} }{\frac {d^{3}\mathbf {r} }{2(2\pi )^{3}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {p} }\epsilon _{\mathbf {q} }}}}}\right)d^{3}\mathbf {r} '=$

$\ =\hbar \left(\int e^{i(\epsilon _{\mathbf {q} }-\epsilon _{\mathbf {p} })t-((\mathbf {q} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {r} ')}\epsilon _{\mathbf {q} }{\frac {d^{3}\mathbf {r} '}{2(2\pi )^{3}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {q} }\epsilon _{\mathbf {p} }}}}}+\int e^{i(\epsilon _{\mathbf {q} }-\epsilon _{\mathbf {p} })t-((\mathbf {q} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {r} ')}\epsilon _{\mathbf {p} }{\frac {d^{3}\mathbf {r} '}{2(2\pi )^{3}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {q} }\epsilon _{\mathbf {p} }}}}}\right)=\hbar \delta (\mathbf {q} -\mathbf {p} )$,

де перехід при останній рівності зроблений через те, що при $\ \mathbf {q} \neq \mathbf {p}$ амплітудний множник $\ e^{i(\epsilon _{\mathbf {q} }-\epsilon _{\mathbf {p} })t}\epsilon _{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }$ не змінює рівність нулю виразу.

Аналогічні викладки, проте з однаковим знаком доданків-інтегралів при першій рівності (що дає тотожний нуль), можуть бути проведені для визначення комутаторів

$\ [{\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+},{\hat {b}}_{\mathbf {q} }^{+}]=[{\hat {b}}_{\mathbf {p} },{\hat {b}}_{\mathbf {q} }]=0$.

Доведення 3

Енергія-імпульс комплексного скалярного поля.

Лагранжіан скалярного комплексного поля має вигляд

$\ L=(\partial ^{\mu }\varphi )(\partial _{\mu }\varphi ^{*})-m^{2}\varphi \varphi ^{*}$.

Відповідний тензор енергії-імпульсу має вигляд

$\ T^{\mu \nu }={\frac {\partial L}{\partial _{\mu }\varphi }}\partial ^{\nu }\varphi +{\frac {\partial L}{\partial _{\mu }\varphi ^{*}}}\partial ^{\nu }\varphi ^{*}-g^{\mu \nu }L=\partial ^{\mu }\varphi ^{*}\partial ^{\nu }\varphi +\partial ^{\mu }\varphi \partial ^{\nu }\varphi ^{*}-g^{\mu \nu }L$.

Тоді вираз для густини енергії відповідає виразу

$\ T^{00}=2\partial ^{0}\varphi \partial ^{0}\varphi ^{*}-\partial ^{0}\varphi \partial ^{0}\varphi ^{*}+(\nabla \varphi )(\nabla \varphi ^{*})+m^{2}\varphi \varphi ^{*}={\dot {\varphi }}{\dot {\varphi }}^{*}+(\nabla \varphi )(\nabla \varphi ^{*})+m^{2}\varphi \varphi ^{*}$,

$\ T^{0i}={\dot {\varphi }}^{*}\partial ^{i}\varphi +{\dot {\varphi }}\partial ^{i}\varphi ^{*}$.

Відповідно,

$\ H=\int \left({\dot {\varphi }}^{*}{\dot {\varphi }}+(\nabla \varphi ^{*})(\nabla \varphi )+m^{2}\varphi ^{*}\varphi \right)d^{3}\mathbf {r} ,\quad \mathbf {P} =\int \left({\dot {\varphi }}^{*}\nabla \varphi +{\dot {\varphi }}\nabla \varphi ^{*}\right)d^{3}\mathbf {r}$.

Використовуючи вирази для $\ \varphi , \varphi^{*}$, комутаційні співвідношення на оператори $\ a, b$, нехтуючи нескінченними константами, повністю аналогічно до дій підрозділу про лагранжів формалізм дійсного скалярного поля можна отримати шуканий результат.

Доведення 4

Вираз для оператора заряду.

Заряд відповідає інтегралу по об'єму від нульової компоненти густини струму:

$\ {\hat {Q}}=\int {\hat {J}}^{0}d^{3}\mathbf {r} =i\int \left({\hat {\varphi }}(\partial ^{0}{\hat {\varphi }}^{*})-{\hat {\varphi }}^{*}(\partial ^{0}{\hat {\varphi }})\right)d^{3}\mathbf {r}$.

Маючи вирази для

$\ {\hat {\varphi }}(x)=\int \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{ipx}+{\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}e^{-ipx}\right){\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2\varepsilon _{\mathbf {p} }}}},\quad {\hat {\varphi }}^{+}(x)=\int \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}e^{-ipx}+{\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{ipx}\right){\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {(2\pi )^{3}2\varepsilon _{\mathbf {p} }}}}\Rightarrow$

$\ \partial ^{0}\varphi =i\int {\sqrt {\epsilon _{\mathbf {p} }}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{ipx}-{\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}e^{-ipx}\right){\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2(2\pi )^{3}}}},\quad \partial ^{0}\varphi ^{+}=i\int {\sqrt {\epsilon _{\mathbf {p} }}}\left({\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{ipx}-{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}e^{-ipx}\right){\frac {d^{3}\mathbf {p} }{\sqrt {2(2\pi )^{3}}}}$,

можна підставити їх у вираз для оператора заряду:

$\ {\hat {Q}}={\frac {1}{2}}\int \int \int \left[{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {k} }}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{ipx}+{\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}e^{-ipx}\right)\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{+}e^{-ikx}-{\hat {b}}_{\mathbf {k} }e^{ikx}\right)-{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {k} }}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}e^{-ipx}+{\hat {b}}_{\mathbf {p} }e^{ipx}\right)\left({\hat {b}}_{\mathbf {k} }^{+}e^{-ikx}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} }e^{ikx}\right)\right]{\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {p} }}}}}d^{3}\mathbf {r}$.

Розкривши лапки та перегрупувавши доданки, можна отримати

$\ {\hat {Q}}={\frac {1}{2}}\int \int \int {\sqrt {\epsilon _{\mathbf {k} }}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{+}e^{ix(p-k)}-{\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {b}}_{\mathbf {k} }e^{ix(k-p)}+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {k} }e^{ix(k-p)}-{\hat {b}}_{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{\mathbf {k} }^{+}e^{i(p-k)x}\right){\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {p} }}}}}d^{3}\mathbf {r} +$

$\ +{\frac {1}{2}}\int \int \int {\sqrt {\epsilon _{\mathbf {k} }}}\left({\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{+}e^{-ix(p+k)x}-{\hat {a}}_{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{\mathbf {k} }e^{i(p+k)x}-{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {b}}_{\mathbf {k} }^{+}e^{-ix(p+k)}+{\hat {b}}_{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }e^{ix(p+k)}\right){\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {k} }{(2\pi )^{3}{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {p} }}}}}d^{3}\mathbf {r}$.

Перший інтеграл дає (див. підрозділ про дійсне поле; нескінченною константою нехтується) вираз

$\ {\frac {1}{2}}\int \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}-{\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {b}}_{\mathbf {p} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {p} }-{\hat {b}}_{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}\right)d^{3}\mathbf {p} =\int \left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {p} }-{\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {b}}_{\mathbf {p} }\right)d^{3}\mathbf {p}$.

Другий же доданок рівен

$\ {\frac {1}{2}}\int {\sqrt {\epsilon _{\mathbf {k} }}}\left({\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {k} }^{+}e^{-i(\epsilon _{\mathbf {p} }+\epsilon _{\mathbf {k} })t}\delta (\mathbf {p} +\mathbf {k} )-{\hat {a}}_{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{\mathbf {k} }e^{i(\epsilon _{\mathbf {p} }+\epsilon _{\mathbf {k} })t}\delta (\mathbf {p} +\mathbf {k} )-{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {b}}_{\mathbf {k} }^{+}e^{-i(\epsilon _{\mathbf {p} }+\epsilon _{\mathbf {k} })t}\delta (\mathbf {p} +\mathbf {k} )+{\hat {b}}_{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{\mathbf {k} }e^{i(\epsilon _{\mathbf {p} }+\epsilon _{\mathbf {k} })t}\delta (\mathbf {p} +\mathbf {k} )\right){\frac {d^{3}\mathbf {p} d^{3}\mathbf {k} }{\sqrt {\epsilon _{\mathbf {p} }}}}=$

$\ ={\frac {1}{2}}\int \left({\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{-\mathbf {p} }^{+}e^{-2i\epsilon _{\mathbf {p} }t}-{\hat {a}}_{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{-\mathbf {p} }e^{2i\epsilon _{\mathbf {p} }t}-{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {b}}_{-\mathbf {p} }^{+}e^{-2i\epsilon _{\mathbf {p} }t}+{\hat {b}}_{\mathbf {p} }{\hat {a}}_{-\mathbf {p} }e^{2i\epsilon _{\mathbf {p} }t}\right)d^{3}\mathbf {p} =$

$\ ={\frac {1}{2}}\int \left({\hat {b}}_{\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{-\mathbf {p} }^{+}e^{-2i\epsilon _{\mathbf {p} }t}-{\hat {b}}_{-\mathbf {p} }^{+}{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{+}e^{-2i\epsilon _{\mathbf {p} }t}-{\hat {a}}_{\mathbf {p} }{\hat {b}}_{-\mathbf {p} }e^{2i\epsilon _{\mathbf {p} }t}+{\hat {a}}_{-\mathbf {p} }e^{2i\epsilon _{\mathbf {p} }t}{\hat {b}}_{\mathbf {p} }\right)d^{3}\mathbf {p}$,

де в останній рівності використані нульові комутатори для $\ {\hat {a}},{\hat {b}},{\hat {a}}^{+},{\hat {b}}^{+}$.

Можна побачити, що перший-другий та третій-четвертий доданки антисиметричні при перестановці $\ \mathbf p \to -\mathbf p$. Оскільки межі інтегрування симетричні, то інтеграл рівен нулю.

Доведення 5

Інваріант для глобально-калібрувально інваріантного скалярного поля.

$\ \delta L_{0}=\delta (\varphi ^{*}){\frac {\partial L_{0}}{\partial \varphi ^{*}}}+\delta (\partial _{\mu }\varphi ^{*}){\frac {\partial L_{0}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi ^{*})}}+\delta (\varphi ){\frac {\partial L_{0}}{\partial \varphi }}+\delta (\partial _{\mu }\varphi ){\frac {\partial L_{0}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}=iq\alpha \left(-\varphi ^{*}{\frac {\partial L_{0}}{\partial \varphi ^{*}}}-(\partial _{\mu }\varphi ^{*}){\frac {\partial L_{0}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi ^{*})}}+\varphi {\frac {\partial L_{0}}{\partial \varphi }}+(\partial _{\mu }\varphi ){\frac {\partial L_{0}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)=$

$\ =\left|{\frac {\partial L_{0}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }{\frac {\partial L_{0}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}},\quad {\frac {\partial L_{0}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}=-\partial ^{\mu }\varphi ^{*},\quad {\frac {\partial L_{0}}{\partial \varphi ^{*}}}=\partial _{\mu }{\frac {\partial L_{0}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi ^{*})}},\quad {\frac {\partial L_{0}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi ^{*})}}=-\partial ^{\mu }\varphi \right|=$

$\ =-iq\alpha \left(-\partial _{\mu }\left(\varphi ^{*}\partial ^{\mu }\varphi \right)+\partial _{\mu }\left(\varphi \partial ^{\mu }\varphi ^{*}\right)\right)=-iq\alpha \partial _{\mu }j^{\mu }=0$.

Доведення 6

Варіація першої модифікації лагранжіану.

Знайдемо спочатку $\ \delta \varphi ,\delta (\partial _{\mu }\varphi )$:

$\ \delta \varphi =iq\alpha \varphi ,\quad \delta (\partial _{\mu }\varphi )=iq\alpha \partial _{\mu }\varphi +iq\varphi \partial _{\mu }\alpha$.

Тоді

$\ \delta J_{\mu }=iq\delta (\varphi D_{\mu }\varphi ^{*}-\varphi ^{*}D_{\mu }\varphi )=iq\delta \left[\varphi \partial _{\mu }\varphi ^{*}+iq\varphi A_{\mu }\varphi ^{*}-\varphi ^{*}\partial _{\mu }\varphi -iq\varphi ^{*}A_{\mu }\varphi \right]=-iq\left[(\delta \varphi )(\partial _{\mu }\varphi ^{*})+\varphi \delta (\partial _{\mu }\varphi ^{*})-(\delta \varphi ^{*})(\partial _{\mu }\varphi )-\varphi ^{*}\delta (\partial _{\mu }\varphi )\right]=$

$\ =iq\left[iq\alpha \varphi (\partial _{\mu }\varphi ^{*})-iq\varphi (\varphi ^{*}\partial _{\mu }\alpha +\alpha \partial _{\mu }\varphi ^{*})+iq\alpha \varphi ^{*}(\partial _{\mu }\varphi )-iq\varphi ^{*}(\varphi \partial _{\mu }\alpha +\alpha \partial _{\mu }\varphi )\right]=-2q^{2}\varphi \varphi ^{*}\partial _{\mu }\alpha$.

Далі,

$\ A'^{\mu }=A^{\mu }-\partial ^{\mu }\alpha \Rightarrow \delta A_{\mu }=-\partial ^{\mu }\alpha$.

Тоді

$\ \delta L_{1}=2q^{2}\varphi \varphi ^{*}A^{\mu }(\partial _{\mu }\alpha )-J_{\mu }(\partial ^{\mu }\alpha )$.

Доведення 7

Рівняння руху.

$\ {\frac {\partial L}{\partial A_{\nu }}}=\partial _{\mu }{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}$,

$\ {\frac {\partial L}{\partial A_{\nu }}}=-J^{\nu }+2q^{2}\varphi \varphi ^{*}A^{\nu }$.

Користуючись написаним у підрозділі "Функція Лагранжа та дія для електромагнітного поля", можна отримати

$\ \partial _{\mu }{\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}=-{\frac {2}{4}}\partial _{\mu }{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu })=-{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }(2\partial ^{\mu }A^{\nu }-2\partial ^{\nu }A^{\mu })=-\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=J_{electr.}^{\nu }$.

Звідси

$\ -J_{electr.}^{\nu }=-J^{\nu }+2q^{2}\varphi \varphi ^{*}A^{\nu }\Rightarrow J_{electr.}^{\nu }=J^{\nu }-2q^{2}\varphi \varphi ^{*}A^{\nu }$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$