NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до статті "Загальна теорія відносності".

Тетрадний формалізм[]

Згідно до принципу еквівалентності, в кожній точці простору-часу для довільної метрики існує така система локальних координат , що рух тіла буде відбуватися по прямій лінії:

(тут - тензор Мінковського).

Нехай тепер обрано іншу систему координат . В її термінах рівняння набуває вигляду

.

Домножаючи це рівняння на і вводячи зв'язність ,

можна отримати вже знайоме рівняння руху по геодезичній:

.

Аналогічно, власний час можна переписати як

,

де введений метричний тензор

.

Оскільки координати фіксуються у кожній точці раз і назавжди, то при заміні координат величина перетворюється як , що дозволяє вважати її не тензором, а набором із чотирьох коваріантних векторних полів. Їх називають тетрадами.

Маючи контраваріантне векторне поле , можна за допомогою тетрад утворити 4 скаляри , які задають його компоненти у системі координат (що є локально-інерціальною у даній точці):

.

Аналогічно - із 4-тензорами довільного рангу. При цьому векторний індекс тетради піднімається чи опускається за допомогою метричного тензора, а "лоренцевий" індекс піднімається чи опускається за допомогою метрики Мінковського. В силу рівності виконується рівність

.

Оскільки будь-яке тензорне поле можна перетворити у набір скалярів за допомогою тетрад, то можна розглянути загальний рецепт побудови дії для полів у викривленому просторі-часі. По-перше, дія повинна бути загально-коваріантною, а всі поля, окрім тетради, варто розглядати як скаляри. По-друге, дія повинна бути інваріантною відносно перетворень Лоренца:

.

Довільне поле перетворюється при цьому за матричними перетвореннями групи Лоренца:

.

Ці два принципи дають класифікацію полів як координатних і лоренцевих скалярів і тензорів. Наприклад, спінорне поле являється лоренцевим спінором і координатним скаляром, тетрада - координатним і лоренцевим вектором, і т.д.

Дія повинна бути лоренцевим і координатним скаляром. Хоча координатно-скалярні компоненти метричного тензора дорівнюють , метрика виникає у дії внаслідок наявності похідних. Для того, щоб дія з похідною була координатним скаляром, треба зробити заміну ; при такій заміні, втім, утворена похідна не буде лоренцевим скаляром.

Якщо використати , то можна буде отримати закон перетворення такої координатно-скалярної похідної від довільного поля :

.

У результаті, ця величина не є лоренцевим вектором, тому замість треба включати величину . Тут , звісно, залежить від представлення групи Лоренца конкретним полем, оскільки вимога "векторності" відносно перетворень Лоренца вимагають від неї перетворення за правилом

.

Враховуючи, що інфінітезимальні перетворення групи Лоренца мають вигляд , а відповідні їм матричні перетворення -

(нагадаю, що - генератори групи Лоренца у даному представленні). Тоді

.

Можна отримати елегантний вираз для . Враховуючи, що при таких же позначеннях

,

виходить

.

Якщо домножити цей вираз на і застосувати комутаційні співвідношення (у дійсній формі і замінивши там ), можна отримати, що диктує наступний вигляд для :

.

У результаті, дію гравітації на будь-яку фізичну систему можна врахувати, замінивши всі похідні на тетрадні коваріантні похідні

,

де введено спінову зв'язність .

Вищеописане дозволяє побудувати лоренц- і координатно-інваріантну дію речовини, що знаходиться у викривленому просторі-часі.

Тетрадні і координатні символи Кристоффеля[]

Для подальшого розвитку тетрадного формалізму треба побудувати у ньому всі основні об'єкти ЗТВ. Для цього зручно розпочати із тетрадної похідної. Доцільно попередньо ввести координатні і тетрадні вісі : . Відповідно до визначення, координатна вісь інваріантна відносно тетрадних перетворень, а тетрадна - відносно координатних.

Тетрадна похідна (незалежна від вибору системи координат) не є комутативною, на відміну від координатної похідної :

.

Треба побудувати об'єкт, який є аналогічним коваріантній координатній похідній. Для цього треба розпочати із тривіального твердження: вираз , де - скаляр, є тетрадним 4-вектором, тому . Нехай далі ; тоді

.

Оскільки цей об'єкт за побудовою є тетрадним 4-вектором, то об'єкт являється істинним 4-тензором. Аналогічно - для нижніх індексів. Визначений вище об'єкт називається тетрадним символом Кристоффеля, або тетрадною зв'язністю.

Можна отримати зв'язок координатної зв'язності (інша назва символів Кристоффеля) і тетрадної. Для цього варто помітити, що , тому

(тут повністю аналогічно до тетрадної зв'язності вводиться координатна). Домножаючи цей вираз на і враховуючи, що , маємо таку рівність:

.

Тепер треба визначити основні геометричні об'єкти.

Тензор кручення[]

Як і в координатному формалізмі, тензор кручення визначається із співвідношення

.

Враховуючи некомутативність похідних , можна отримати явний вигляд для тензору :

.

Якщо кручення дорівнює нулю, то з виразу вище маємо рівність

.

Тензор кривини[]

Тензор кривини визначається із комутатора

.

Аналогічним до методу попереднього підрозділу чином, можна отримати, що

.

Якщо кривина дорівнює нулю, то з'являються наступні симетрії:

,

де визначає антисиметричність, - симетризацію.

Спінова зв'язність. Теорія Ейнштейна-Картана[]

У ЗТВ постулюється принцип еквівалентності, тензор кручення прирівнюється до нуля, і включення до дії Ейнштейна-Гільберта дії будь-яких матерії і полів не змінює це. Можна, втім, не фіксувати рівність тензору кручення нулю. Математично це еквівалентно тому, що метрика і аффінна зв'язність вважаються незалежними величинами; дія варіюється по метриці і по зв'язності, і перше рівняння дає рівняння, що відповідає рівнянню Ейнштейна, а друге - зв'язок між метрикою і зв'язністю. Можна також переписати дію у термінах тетрад і спінової зв'язності (на цю ідею наводить вигляд для коваріантної похідної матерії). Відповідна теорія називається теорією Ейнштейна-Картана.

Отже, стартуючи із виразу ,

,

і використовуючи співвідношення ортогональності для , можна легко виразити символи Кристоффеля через тетради і спінову зв'язність:

.

Тепер можна виразити основні геометричні характеристики через спінову зв'язність:

,

,

.

Відповідно, дія Ейнштейна-Гільберта може бути записана як

.

Тепер, вважаючи тетради та спінову зв'язність функціонально незалежними, варіацією дії по ним можна отримати два рівняння. Варіація по тетрадам призводить до рівняння, по формі аналогічного рівнянню Ейнштейна. Цікавим є рівняння, що отримується варіацією по спіновій зв'язності. Для цього спершу доцільно записати як

.

Дійсно, для доведення справедливості спершу треба врахувати, що , і . Підставивши цей вираз у , можна відновити .

Тепер можна проваріювати дію по зв'язності:

,

що слідує із явного вигляду коваріантної похідної у термінах спінової зв'язності. Перекидаючи тепер цю похідну (а вона задовольняє правилу Лейбніца) і враховуючи при цьому, що антисиметризацію по можна не виписувати явно (за неї відповідає тензор Леві-Чивіта), можна отримати

.

Тепер треба врахувати (використовуючи маніпулятивні визначення тензорів Леві-Чивіта і роль абсолютно антисиметричних тензорів при явному записі детермінантів), що , тому

.

Звідси, опускаючи знак інтегралу та варіаційний множник, і використовуючи вираз для тензору кручення, можна отримати рівняння

.

Згортка цього рівняння із дає , що при підстановці у початкове рівняння призводить до висновку про нульове кручення.

Проте нехай дія містить також дію для матерії. Тоді маємо

,

і у правій частині буде ненульовий член, що призведе до появи ненульового кручення.

Спінори[]

Поява ненульового кручення[]

Відповідно до написаного вище, (симетризована) дія для теорії масивних частинок зі спіном , варіація якої призводить до рівняння Дірака у плоскому просторі-часі, має вигляд

,

де . Варіація по зв'язності призводить до виразу

.

Тому рівняння модифікується як

,

або у векторній формі:

,

де - тензор спіну діраківських ферміонів.

Із цього виразу можна явно отримати вираз для кручення. Для цього його треба згорнути із . Враховуючи, що , маємо

.

Підставляючи цю рівність у початкове рівняння, отримуємо

.

Якщо використати рівність

до , то можна отримати, що

.

Рівняння Хеля-Датти[]

Можна ефективно позбутися кручення у рівняннях Дірака, якщо виокремити із коваріантної похідної частину, що містить кручення, переписати її у термінах , і після цього підставити у рівняння. Для виділення кручення достатньо згадати вираз : треба знати, як кручення модифікує вираз для символу Кристоффеля. Щоб отримати вираз, можна скористатися тим же трюком, що і для отримання виразу без кручення, проте вважати, що :

(тут знак тильди означає величини, взяті при нульовому крученні), або, враховуючи вираз ,

.

Цей вираз можна підставити у рівняння Дірака:

.

Використовуючи знову вираз , можна отримати, що

,

де використаний вираз для згортки тензорів Леві-Чивіта. Отже, рівняння Дірака набуває вигляду

.

Комплексно зпрягаючи це рівняння і домножаючи на (використовуючи при цьому рівності ), можна отримати рівняння на зарядово спряжений спінор : всі доданки, окрім кубічного, змінять знак, а кубічний доданок у термінах запишеться після спряження у вигляді

.

Через це зарядово спряжене рівняння буде відрізнятися знаком при цьому доданку:

.

Рівняння (називається ще рівнянням Хеля-Датти) і рівняння на діраківськи спряжений спінор можуть бути отримані із лагранжіану

.

Отже, теорія Ейнштейна-Картана призводить до появи нелінійного (кубічного) доданку по діраківським полям у порівнянні з ЗТВ. Цей доданок у класичному випадку знімає виродження відносно зарядового спряження.

Рівняння Ейнштейна і поправки, що вносяться крученням[]

Можна записати рівняння Ейнштейна теорії Ейнштейна-Картана, виділивши в них явно частину, що відноситься до кручення. Для цього треба, знову ж таки, скористатися виразом для символів Кристоффеля із крученням і виразом для тензору кривини через символи Кристоффеля. Тоді рівняння набуде вигляду (підставлено рівняння на зв'язок кручення і тензору спіну)

.

Тут - канонічний тензор енергії-імпульсу (який також залежить від кручення),

.

Тензор енергії-імпульсу для діраківської дії дорівнює

.

Враховуючи рівняння , його діраківськи спряжену версію,

,

цей вираз можна переписати як

.

Тоді сума дорівнює

.

Передбачення теорії Ейнштейна-Картана[]

Теорія Ейнштейна-Картана на початку свого виникнення не мала жодних переваг перед ЗТВ, оскільки питаннями типу баріогенезису, Великого Вибуху, асиметрії матерії-антиматерії тощо ніхто не цікавився, а за відповідних сучасному Всесвіту густин матерії дуже складно, тому вона не відрізняється від ЗТВ у своїх експериментальних передбаченнях (можливо, у областях поблизу Чорних дір передбачення теорій починають відрізнятися). Із розвитком науки виникали нові теорії і поставали нові теоретичні та експериментальні проблеми, які треба було вирішити. Таким чином виникла концепція Великого вибуху, яка пізніше була доповнена моделлю інфляції; треба пояснити баріогенезис і асиметрію матерія-антиматерія, природу темної матерії та енергії тощо. Для цього Загальну теорію відносності доповнюють моделями з фізики частинок; згідно із сучасними уявленнями, поле бозона Хіггса виступає як інфлатонне поле, у ролі темної матерії можуть виступати майоранівські нейтрино чи аксіони, ті ж нейтрино, але з іншими масами, можуть виступати у ролі генераторів баріогенезису.

Актуальність теорії Ейнштейна-Картана на тлі цього проявляється у тому, що вона теоретично може вирішити частину із цих проблем за рахунок одного лише кручення, описанню чого і присвячений розділ. Неможливість протестувати теорію є найважливішою причиною того, що зараз вона не надто популярна серед спільноти. Втім, якщо деякі з сучасних моделей зазнають краху, на неї можуть звернути більше уваги.

1. Асиметрія матерія-антиматерія[]

Із вигляду рівнянь видно, що рівняння на частинку та античастинку не співпадають. Можна порівняти енергетичні рівні частинки та античастинки у наближенні плоских хвиль та нульових символів Кристоффеля. Наближення плоских хвиль означає, що треба усереднити білінійну форму у кубічному члені. Якщо простір-час однорідний, то усереднення просторових компонент кірального струму дає нуль, у той час як усереднення часової компоненти дає густину "кірального заряду" . Тоді маємо

.

Виконавши перетворення Фур'є і записавши , для діраківського представлення гамма-матриць можна отримати

.


у ці рівняння та врахувавши, що , можна отримати для члену лагранжіану рівність

.

Нехтуючи другим доданком, рівняння можна при нехтуванні символами Кристоффеля та у випадку нехтовно малих імпульсів можна записати як

.

Замінюючи вираз на і нехтуючи у порівнянні із , можна отримати в (виконавши Фур'є-перетворення)

.

Advertisement