Історично рівняння Дірака отримувалося із потреби модифікування рівняння Клейна-Гордона, яке містило декілька проблем. По-перше, якщо інтерпретувати квадрат модуля функції як густину ймовірності, то виявлялося, що вона не є додатньо визначеною у загальному випадку. По-друге, якщо записати для такої теорії рівняння руху у електромагнітному полі, то виявлялося, що розв'язком одного і того ж рівняння можуть бути функція, що відповідає заряду та енергії , та функція, що відповідає заряду та енергії , причому можливі спонтанні переходи від першого до другого стану. По-третє, рівняння ніяк не враховувало спінові ступені вільності.
Отже, слідуючи методу Дірака, можна записати рівняння у формі
.
Тут - двокомпонентна функція-спінор, а всі коефіцієнти (у загальному випадку - матричні) не залежать від точки простору-часу (в силу однорідності простору-часу). При коефіцієнт можна було б зробити одиничним, оскільки завжди можна домножити рівняння на деякий обернений коефіцієнт, зробивши один з коефіцієнтів одиничним та змінивши інші. Проте саме така форма рівняння буде найзручнішою. Рівняння може бути записане у Шредінгеровій формі, а отже, не містить проблем із знаковизначеністю квадрату модуля функції. Також воно містить спінові ступені вільності.
Можна визначити явний вигляд коефіцієнтів. Це рівняння повинно задовольняти релятивістському співвідношенню для енергії-імпульсу,
,
тому, подіявши зліва на оператором , можна отримати
.
Звідси та з слідує, що повинні виконуватися рівності
,
де спеціально не були опущені оператори імпульсів в першій рівності.
Можна розглянути випадок вибору коефіцієнтів як матриць 2*2. Вибір трьох "просторових" матриць є очевидним - це є матриці Паулі, помножені на уявну одиницю. Вони задовольняють комутаційним співвідношенням. Вибір же четвертої матриці не є очевидним. Для того, щоб отримати "наведення" на вибір, треба згадати вищенаведений аргумент про рівняння руху у електромагнітному полі. Якщо хвильові функції будуть відповідати частинкам без електричного заряду, то проблема автоматично зникне. Відсутність електричного заряду означає відсутність глобальної симетрії (не лише локальної) у лагранжіані. А це можливо, якщо серед присутній якийсь оператор, через який не можна пронести комплексне число - оператор комплексного спряження . Пошук матриці з урахуванням цього наводить на оператор . Оскільки
,
то
,
.
Отже, можна ввести четвірку матриць ,
переписавши за допомогою них рівняння у вигляді
.
Це рівняння називається рівнянням Майорани для спінора.
Спряжений спінор. Закон збереження. Лагранжіан[]
Можна отримати закон збереження та лагранжіан. Вводячи величину , де використана властивість .
та домножаючи рівняння на оператор , можна отримати
,
або, спрягаючи це рівняння,
.
Тепер, домножаючи зліва на , - зправа на і додаючи їх, можна отримати струм
.
Відповідний рівнянням лагранжіан має вигляд
.
Він, дійсно, не інваріантний відносно глобального перетворення групи .
Тут варто наголосити одразу на двох аспектах.
Перший відповідає питанню, чи можна записати величину в лоренц-інваріантному лагранжіані. Для перевірки цієї можливості треба згадати (вираз ) закон перетворення спінора :
,
де зручно записати (див. п. 7) . Враховуючи, що , , а також - те, що , можна для білінійної форми записати перетворення Лоренца як
.
Отже, лоренц-інваріантність доданку доведена.
Другий аспект пов'язаний із тим, що сам по собі масовий доданок рівний нулю, якщо забути про те, що - грассманове число. Дійсно,
.
Цей аспект демонструє те, що завжди варто враховувати грассмановість ферміонних полів.
Чотирикомпонентне рівняння Майорани[]
Оператора комплексного спряження можна позбутися, якщо розбити хвильову функцію на дійсну та уявну частини: :
,
звідки (враховується, що ) одразу слідують рівняння для дійсної та уявної частин (у квадратних дужках рівняння вище):
,
,
де
.
Ввівши тепер комбінації , два рівняння можна записати у формі
.
Об'єднавши у єдиний біспінор , можна отримати
,
або
,
де
.
Нарешті, вводячи спряжений біспінор
,
домножаючи рівняння на та ермітово спрягаючи його, можна отримати
.
Отже, рівняння називаються рівняннями Майорани. Біспінори та всі коефіцієнти у рівняннях є дійсними.