NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Виведення рівняння Дірака[]

Одночастинкові стани реалізуються представленнями , що відповідають спінорам , кожне з яких має дві незалежні компоненти. На такі представлення, звичайно, не потрібно накладати умову . Якщо накласти умову інваріантності відносно дискретних симетрій, то треба розглядати не вказані представлення окремо, а їх суму. Тоді, звичайно, розмірність представлення буде на два більше, ніж треба. В результаті варто шукати рівняння поля, яке б зменшило вказану розмірність.

Як було описано у підрозділі Біспінорне представлення, прямій сумі представлень відповідає діраківський біспінор

.

Отже, для нього треба побудувати оператор проектування на простір двовимірних незвідних представлень, який є інваріантним відносно спряжень та групи Пуанкаре. Для цього доцільно пригадати оператори , що пов'язують стани одного спіну, але різних представлень, та відповідну їм четвірку виразів (див. розділ про масивні представлення)

.

Матриця оператору для перестановки індексів може будуватись із перетворення

,

звідки

.

У явному вигляді оператор записується як

,

де - матриці Дірака.

Операторами проектування на підпростори є оператори

.

Дійсно, згідно із властивостями операторів проектування (сума операторів проектування дає тотожнє перетворення, що відповідає відповідності одного оператора даному підпростору; квадрат оператору проектування дає оператор проектування, тобто на власному підпросторі його дія відповідає дії тотожного оператору; добуток двох операторів проектування повинен бути рівен нулю, що відповідає дії оператора не на власному підпросторі як тривіальній),

.

Функція повинна бути власним підпростором одного з цих операторів. Наприклад, нехай функція є власним підпростором оператору . Тоді

,

або, записуючи у явному вигляді матрицю ,

.

Отримане рівняння називається рівнянням Дірака. Воно забезпечує незвідність представлення, оскільки зменшує його "розмірність" до двох, водночас залишаючи інваріантним відносно дискретних перетворень групи Лоренца. Дійсно, в силу коваріантності рівняння його можна записати у системі, в якій . Тоді

,

що і забезпечує наявність лише двох незалежних компонент.

Розв'язки рівняння Дірака також є розв'язками рівняння Клейна-Гордона. Дійсно, подіявши на нього оператором та використавши антикомутатор матриць Дірака, можна отримати

.

Таким чином, забезпечується незвідність представлення відносно перетворень групи Пуанкаре. Водночас представлення є незвідним відносно перетворень повної групи Лоренца.

Рівняння для спряженого біспінора[]

У розділі про біспінори був введений спряжений до даного спінора спінор для того, щоб задати інваріантну відносно перетворень групи Лоренца згортку:

.

Тому для повного описання частинок зі спіном доведеться отримати рівняння і для цього біспінора. Для цього можна взяти рівняння Дірака та ермітово спрягти його:

.

У наступному розділі буде показано, що . Зараз же просто можна скористатися цим, отримавши

.

Домноживши, нарешті, це рівняння зправа на і врахувавши, що , можна отримати

.

Кіральні проектори та рівняння Вейля[]

Рівняння Дірака є інваріантним відносно перетворень повної групи Лоренца проектором суми представлень на одне з них. При цьому деякий інтерес представляє проектор, який вирізав би дві степені вільності у біспінора, перетворюючи його, фактично, на спінор. Враховуючи при цьому основні властивості проекційних операторів,

,

можна ввести оператори

(до речі, уже із самого свого виду матриця поводиться як псевдоскаляр, оскільки містить тензор Леві-Чивіти, а далі буде показано, що веде себе при перетвореннях інверсії як вектор).

Дійсно, належність до операторів підтверджується властивостями

,

а при дії на біспінор можна отримати

.

Проектори називаються кіральними проекторами. Матриця називається оператором кіральності. Вона має власні значення . Оскільки вона комутує із матрицею власних перетворень Лоренца (за деталями доведення звертатися до наступного розділу),

,

то кіральність є інваріантном неперервних перетворень групи Лоренца. Проте вона комутує із гамільтоніаном лише при нульовій масі частинки (деталі доведення - знову у тому ж розділі про алгебру матриць Дірака),

,

що означає (див. розділ про гамільтонів формалізм), що у загальному випадку вона не зберігається із часом. Нескладно побачити, що це еквівалентно перемішуванню ліво- та правокіральних станів масовим доданком. Дійсно, подіявши проекторами на рівняння Дірака та врахувавши, що

,

можна отримати

.

При можна отримати незалежні рівняння

,

або у двокомпонентному вигляді

.

Ці рівняння відповідають рівнянням, що були отримані як незвідні безмасові представлення групи Пуанкаре у відповідному розділі (див. кінець розділу). Вони називаються рівняннями Вейля.

Пізніше буде показано, що у безмасовому випадку власні числа оператору спіральності відповідають власним числам оператору кіральності.

Нарешті, варто написати про те, що при унітарному перетворенні матриці Дірака перетворюються як , а тому рівняння Дірака у такому базисі набуде вигляду

.

Тобто матриця здійснює зв'язок між проектуючими операторами та із першого підрозділу.

Перетворення гамма-матриць по групі Лоренца[]

Рівняння Дірака побудовано із релятивістьки коваріантних об'єктів, тому є лоренц-коваріантним. Звідси вже можна було б отримати закон перетворення, проте не буде зайвим зробити це "в лоб".

Вже було отримано, що

.

Для матриць Паулі справедливе перетворення

,

де останній перехід здійснено за допомогою властивості .

Отже, враховуючи явний вигляд матриць Дірака,

,

де - та ж сама матриця, що задає закон перетворення біспінора .

Це перетворення, вочевидь, залишає рівняння Дірака коваріантним:

.

Advertisement