Одночастинкові стани реалізуються представленнями , що відповідають спінорам , кожне з яких має дві незалежні компоненти. На такі представлення, звичайно, не потрібно накладати умову. Якщо накласти умову інваріантності відносно дискретних симетрій, то треба розглядати не вказані представлення окремо, а їх суму. Тоді, звичайно, розмірність представлення буде на два більше, ніж треба. В результаті варто шукати рівняння поля, яке б зменшило вказану розмірність.
Як було описано у підрозділі Біспінорне представлення, прямій сумі представлень відповідає діраківський біспінор
.
Отже, для нього треба побудувати оператор проектування на простір двовимірних незвідних представлень, який є інваріантним відносно спряжень та групи Пуанкаре. Для цього доцільно пригадати оператори , що пов'язують стани одного спіну, але різних представлень, та відповідну їм четвірку виразів (див. розділ про масивні представлення)
.
Матриця оператору для перестановки індексів може будуватись із перетворення
,
звідки
.
У явному вигляді оператор записується як
,
де - матриці Дірака.
Операторами проектування на підпростори є оператори
.
Дійсно, згідно із властивостями операторів проектування (сума операторів проектування дає тотожнє перетворення, що відповідає відповідності одного оператора даному підпростору; квадрат оператору проектування дає оператор проектування, тобто на власному підпросторі його дія відповідає дії тотожного оператору; добуток двох операторів проектування повинен бути рівен нулю, що відповідає дії оператора не на власному підпросторі як тривіальній),
.
Функція повинна бути власним підпростором одного з цих операторів. Наприклад, нехай функція є власним підпростором оператору . Тоді
,
або, записуючи у явному вигляді матрицю ,
.
Отримане рівняння називається рівнянням Дірака. Воно забезпечує незвідність представлення, оскільки зменшує його "розмірність" до двох, водночас залишаючи інваріантним відносно дискретних перетворень групи Лоренца. Дійсно, в силу коваріантності рівняння його можна записати у системі, в якій . Тоді
,
що і забезпечує наявність лише двох незалежних компонент.
Розв'язки рівняння Дірака також є розв'язками рівняння Клейна-Гордона. Дійсно, подіявши на нього оператором та використавши антикомутатор матриць Дірака, можна отримати
.
Таким чином, забезпечується незвідність представлення відносно перетворень групи Пуанкаре. Водночас представлення є незвідним відносно перетворень повної групи Лоренца.
Рівняння для спряженого біспінора[]
У розділі про біспінори був введений спряжений до даного спінора спінор для того, щоб задати інваріантну відносно перетворень групи Лоренца згортку:
.
Тому для повного описання частинок зі спіном доведеться отримати рівняння і для цього біспінора. Для цього можна взяти рівняння Дірака та ермітово спрягти його:
.
У наступному розділі буде показано, що . Зараз же просто можна скористатися цим, отримавши
.
Домноживши, нарешті, це рівняння зправа на і врахувавши, що , можна отримати
.
Кіральні проектори та рівняння Вейля[]
Рівняння Дірака є інваріантним відносно перетворень повної групи Лоренца проектором суми представлень на одне з них. При цьому деякий інтерес представляє проектор, який вирізав би дві степені вільності у біспінора, перетворюючи його, фактично, на спінор. Враховуючи при цьому основні властивості проекційних операторів,
,
можна ввести оператори
(до речі, уже із самого свого виду матриця поводиться як псевдоскаляр, оскільки містить тензор Леві-Чивіти, а далі буде показано, що веде себе при перетвореннях інверсії як вектор).
Дійсно, належність до операторів підтверджується властивостями
,
а при дії на біспінор можна отримати
.
Проектори називаються кіральними проекторами. Матриця називається оператором кіральності. Вона має власні значення . Оскільки вона комутує із матрицею власних перетворень Лоренца (за деталями доведення звертатися до наступного розділу),
,
то кіральність є інваріантном неперервних перетворень групи Лоренца. Проте вона комутує із гамільтоніаном лише при нульовій масі частинки (деталі доведення - знову у тому ж розділі про алгебру матриць Дірака),
,
що означає (див. розділ про гамільтонів формалізм), що у загальному випадку вона не зберігається із часом. Нескладно побачити, що це еквівалентно перемішуванню ліво- та правокіральних станів масовим доданком. Дійсно, подіявши проекторами на рівняння Дірака та врахувавши, що
,
можна отримати
.
При можна отримати незалежні рівняння
,
або у двокомпонентному вигляді
.
Ці рівняння відповідають рівнянням, що були отримані як незвідні безмасові представлення групи Пуанкаре у відповідному розділі (див. кінець розділу). Вони називаються рівняннями Вейля.
Пізніше буде показано, що у безмасовому випадку власні числа оператору спіральності відповідають власним числам оператору кіральності.
Нарешті, варто написати про те, що при унітарному перетворенні матриці Дірака перетворюються як , а тому рівняння Дірака у такому базисі набуде вигляду
.
Тобто матриця здійснює зв'язок між проектуючими операторами та із першого підрозділу.
Перетворення гамма-матриць по групі Лоренца[]
Рівняння Дірака побудовано із релятивістьки коваріантних об'єктів, тому є лоренц-коваріантним. Звідси вже можна було б отримати закон перетворення, проте не буде зайвим зробити це "в лоб".