Повернутися до розділу "Спін 1/2".
Побудова розв'язку рівняння Дірака
Оскільки рівняння Дірака - лінійне, то за допомогою методу Фур'є можна шукати розв'язок у вигляді
,
де - деякий біспінор.
Підстановка у рівняння Дірака цього виразу дає
.
Нехай далі
.
Тоді рівняння спроститься до
.
Оскільки (розв'язок будується у діраківському представленні)
,
то, перейшовши від біспінорного запису до спінорного, можна отримати систему
.
Друге рівняння можна помножити на , підставивши до нього перше рівняння (і використовуючи тотожність із підрозділу про кватерніони):
.
Звідси .
Тому загальний розв'язок може бути записаний як сума розв'язків, кожен з яких відповідає своєму :
,
де .
Якщо у другому доданку зробити заміну , то, як уже було написано у розділі про скалярне поле, в силу симетричності меж інтегрування останні не зміняться, степінь експоненти згорнеться у , і тоді
.
Можна обмежити явний вигляд амплітуд . Для цього треба використати систему . Виразивши із її другого рівняння , підставивши перед цим , а із першого, після підстановки , спінор , можна отримати, що
.
Біспінори можна записати через власні вектори матриці . Тому, розкладаючи амплітуди по власним векторам матриці
як
,
вираз можна переписати:
,
де величини
називаються біспінорними хвилями.
Властивості біспінорних хвиль
1. Біспінорні хвилі задовольняють рівнянню Дірака,
,
і співвідношенням
.
2. Умова ортогональності для біспінорних хвиль .
З урахуванням явних виразів для , умови ортогональності і того, що при інверсії власне число змінюється як , можна отримати
,
.
3. Можна показати, що вектори мають такі властивості (сума по поляризаціям):
.
У цьому нескладно переконатися. Дійсно, якщо використати явний вигляд для, наприклад, ,
,
то при взятті суми можна отримати
.
Тепер треба врахувати, що і що сума (це справедливо в силу того, що утворюють повний базис; при бажанні рівність перевіряється "в лоб"). Тому
.
Рівність для перевіряється аналогічно.
4. Справедливим є співвідношення .
Дійсно,
.
Тут були використані рівняння (його було ермітово спряжено і домножено на ) і явний вигляд для доведення співвідношення (див. п. 2, 3).