Повернутися до розділу "Спін 1/2" .
Побудова розв'язку рівняння Дірака [ ]
Оскільки рівняння Дірака - лінійне, то за допомогою методу Фур'є можна шукати розв'язок у вигляді
Ψ
(
r
,
t
)
=
∫
Ψ
(
p
,
t
)
e
i
(
p
⋅
r
)
d
3
p
{\displaystyle \ \Psi (\mathbf r , t) = \int \Psi (\mathbf p , t)e^{i (\mathbf p \cdot \mathbf r)}d^{3}\mathbf p}
,
де
Ψ
(
p
,
t
)
{\displaystyle \ \Psi (\mathbf p, t)}
- деякий біспінор.
Підстановка у рівняння Дірака цього виразу дає
i
∂
Ψ
(
p
,
t
)
∂
t
=
(
−
i
(
α
,
∇
)
+
β
m
)
∫
Ψ
(
p
,
t
)
e
i
(
p
⋅
r
)
d
3
p
=
(
(
α
⋅
p
)
+
β
m
)
Ψ
(
p
,
t
)
{\displaystyle \ i \frac{\partial \Psi (\mathbf p , t)}{\partial t} = (-i(\alpha , \nabla ) + \beta m)\int \Psi (\mathbf p , t)e^{i (\mathbf p \cdot \mathbf r)}d^{3}\mathbf p = ((\alpha \cdot \mathbf p) + \beta m)\Psi(\mathbf p , t)}
.
Нехай далі
Ψ
(
p
,
t
)
=
u
(
p
)
e
−
i
λ
t
{\displaystyle \ \Psi (\mathbf p , t) = u(\mathbf p )e^{-i \lambda t}}
.
Тоді рівняння спроститься до
λ
u
(
p
)
=
(
(
α
,
p
)
+
β
m
)
u
(
p
)
{\displaystyle \ \lambda u (\mathbf p ) = ((\alpha , \mathbf p) +\beta m) u (\mathbf p )}
.
Оскільки (розв'язок будується у діраківському представленні )
u
(
p
)
=
(
ε
p
θ
p
)
,
γ
^
0
=
(
E
^
0
^
0
^
−
E
^
)
,
γ
^
i
=
(
0
^
σ
^
−
σ
^
0
^
)
,
α
^
i
=
γ
^
0
γ
^
i
=
(
0
^
σ
^
i
σ
^
i
0
^
)
{\displaystyle \ u (\mathbf p ) = \begin{pmatrix} \varepsilon_{\mathbf p} \\ \theta_{\mathbf p} \end{pmatrix}, \quad \hat {\gamma}_{0} = \begin{pmatrix} \hat {E} & \hat {0} \\ \hat {0} & - \hat {E} \end{pmatrix}, \quad \hat {\gamma}_{i} = \begin{pmatrix} \hat {0} & \hat {\sigma } \\ - \hat {\sigma } & \hat {0} \end{pmatrix}, \quad \hat {\alpha}_{i} = \hat {\gamma}_{0}\hat {\gamma}_{i} = \begin{pmatrix} \hat {0} & \hat {\sigma }_{i} \\ \hat {\sigma }_{i} & \hat {0} \end{pmatrix}}
,
то, перейшовши від біспінорного запису до спінорного, можна отримати систему
(
λ
−
m
)
ε
p
=
(
σ
^
,
p
)
θ
p
,
(
λ
+
m
)
θ
p
=
(
σ
^
,
p
)
ε
p
(
.1
)
{\displaystyle \ (\lambda - m)\varepsilon_{\mathbf p} = (\hat {\sigma }, \mathbf p )\theta_{\mathbf p}, \quad (\lambda + m)\theta_{\mathbf p} = (\hat {\sigma }, \mathbf p )\varepsilon_{\mathbf p} \qquad (.1)}
.
Друге рівняння можна помножити на
(
σ
^
,
p
)
{\displaystyle \ (\hat {\sigma }, \mathbf p)}
, підставивши до нього перше рівняння (і використовуючи тотожність
(
σ
^
,
p
)
(
σ
^
,
p
)
=
p
2
{\displaystyle \ (\hat {\sigma }, \mathbf p)(\hat {\sigma }, \mathbf p) = \mathbf p^{2} }
із підрозділу про кватерніони):
(
λ
+
m
)
(
σ
^
,
p
)
θ
p
=
(
λ
2
−
m
2
)
ε
p
=
r
i
g
h
t
=
(
σ
^
,
p
)
2
ε
p
=
p
2
ε
p
{\displaystyle \ (\lambda + m)(\hat {\sigma }, \mathbf p )\theta_{\mathbf p} = (\lambda^{2} - m^{2})\varepsilon_{\mathbf p} =_{right} = (\hat {\sigma }, \mathbf p )^{2}\varepsilon_{\mathbf p} = \mathbf p^{2}\varepsilon_{\mathbf p}}
.
Звідси
p
2
=
λ
2
−
m
2
⇒
λ
=
±
p
2
+
m
2
=
±
ϵ
p
{\displaystyle \ \mathbf p^{2} = \lambda^{2} - m^{2} \Rightarrow \lambda = \pm \sqrt{\mathbf p ^{2} + m^{2}} = \pm \epsilon_{\mathbf p}}
.
Тому загальний розв'язок може бути записаний як сума розв'язків, кожен з яких відповідає своєму
λ
{\displaystyle \ \lambda}
:
Ψ
(
r
,
t
)
=
∫
(
u
1
(
p
)
e
i
(
−
ϵ
p
t
+
(
p
⋅
r
)
)
+
u
2
(
p
)
e
i
(
ϵ
p
t
+
(
p
⋅
r
)
)
)
d
3
p
=
∫
(
u
1
(
p
)
e
−
i
p
x
+
u
2
(
p
)
e
i
(
λ
t
+
(
p
⋅
r
)
)
)
d
3
p
{\displaystyle \ \Psi (\mathbf r , t) = \int \left(u_{1}(\mathbf p )e^{i (-\epsilon_{\mathbf p} t + (\mathbf p \cdot \mathbf r))} + u_{2}(\mathbf p )e^{i (\epsilon_{\mathbf p} t + (\mathbf p \cdot \mathbf r ))}\right)d^{3}\mathbf p = \int \left(u_{1}(\mathbf p )e^{-ipx} + u_{2}(\mathbf p )e^{i (\lambda t + (\mathbf p \cdot \mathbf r ))}\right)d^{3}\mathbf p}
,
де
p
=
(
ϵ
p
,
p
)
{\displaystyle \ p = (\epsilon_{\mathbf p} , \mathbf p )}
.
Якщо у другому доданку зробити заміну
p
→
−
p
{\displaystyle \ \mathbf p \to -\mathbf p}
, то, як уже було написано у розділі про скалярне поле, в силу симетричності меж інтегрування останні не зміняться, степінь експоненти згорнеться у
i
p
x
{\displaystyle \ ipx}
, і тоді
Ψ
(
r
,
t
)
=
∫
(
u
1
(
p
)
e
−
i
p
x
+
u
2
(
−
p
)
e
i
p
x
)
d
3
p
(
.2
)
{\displaystyle \ \Psi (\mathbf r , t) = \int \left(u_{1}(\mathbf p )e^{-ipx} + u_{2}(-\mathbf p )e^{ipx}\right)d^{3}\mathbf p \qquad (.2)}
.
Можна обмежити явний вигляд амплітуд
u
1
,
2
(
p
)
{\displaystyle \ u_{1, 2}(\mathbf p )}
. Для цього треба використати систему
(
.1
)
{\displaystyle \ (.1)}
. Виразивши із її другого рівняння
θ
p
{\displaystyle \ \theta_{\mathbf p }}
, підставивши перед цим
λ
=
p
2
+
m
2
=
ϵ
p
{\displaystyle \ \lambda = \sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} = \epsilon_{\mathbf p} }
, а із першого, після підстановки
λ
=
−
p
2
+
m
2
=
−
ϵ
p
,
p
→
−
p
{\displaystyle \ \lambda = -\sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} = -\epsilon_{\mathbf p }, \mathbf p \to -\mathbf p}
, спінор
ε
p
{\displaystyle \varepsilon_{\mathbf p}}
, можна отримати, що
u
1
(
p
)
=
(
ε
p
(
p
σ
^
)
ϵ
+
m
ε
p
)
,
u
2
(
−
p
)
=
(
(
p
σ
^
)
ϵ
+
m
θ
−
p
θ
−
p
)
(
.3
)
{\displaystyle \ u_{1}(\mathbf p ) = \begin{pmatrix} \varepsilon_{\mathbf p} \\ \frac{(\mathbf p \hat {\sigma })}{\epsilon + m}\varepsilon_{\mathbf p} \end{pmatrix}, \quad u_{2}(-\mathbf p ) = \begin{pmatrix} \frac{(\mathbf p \hat {\sigma })}{\epsilon + m}\theta_{-\mathbf p } \\ \theta_{-\mathbf p } \end{pmatrix} \qquad (.3)}
.
Біспінори
u
1
(
p
)
,
u
2
(
p
)
{\displaystyle \ u_{1}(\mathbf p ), u_{2}(\mathbf p )}
можна записати через власні вектори матриці
(
σ
^
p
p
)
=
(
σ
^
n
)
{\displaystyle \ (\hat {\sigma}\frac{\mathbf p}{p}) = (\hat {\sigma}\mathbf n )}
. Тому, розкладаючи амплітуди
(
.3
)
{\displaystyle \ (.3)}
по власним векторам
w
(
s
)
{\displaystyle \ w^{(s)}}
матриці
(
p
σ
^
)
=
|
p
|
(
n
σ
^
)
=
ϵ
p
2
−
m
2
(
n
σ
^
)
{\displaystyle \ (\mathbf p \hat {\sigma }) = |\mathbf p |(\mathbf n \hat {\sigma }) = \sqrt{\epsilon_{\mathbf p }^{2} - m^{2}}(\mathbf n \hat {\sigma })}
як
ε
p
=
ϵ
p
+
m
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
a
s
(
p
)
w
(
s
)
,
θ
−
p
=
ϵ
p
+
m
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
b
s
∗
(
p
)
w
(
s
)
{\displaystyle \ \varepsilon_{\mathbf p } = \frac{\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}}{\sqrt{(2 \pi)^{3}2 \epsilon_{\mathbf p}}}a_{s}(\mathbf p )w^{(s)}, \quad \theta_{-\mathbf p } = \frac{\sqrt{\epsilon_{\mathbf p } + m}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2 \epsilon_{\mathbf p }}}b_{s}^{*} (\mathbf p )w^{(s)}}
,
вираз
(
.2
)
{\displaystyle \ (.2)}
можна переписати:
Ψ
(
r
,
t
)
=
∫
(
(
ε
p
(
p
σ
^
)
ϵ
+
m
ε
p
)
e
−
i
p
x
+
(
(
p
σ
^
)
ϵ
+
m
θ
−
p
θ
−
p
)
e
i
p
x
)
d
3
p
=
∫
(
a
s
(
p
)
e
−
i
p
x
(
ϵ
p
+
m
w
(
s
)
s
ϵ
p
−
m
w
(
s
)
)
+
b
s
∗
(
p
)
e
i
p
x
(
s
ϵ
p
−
m
w
(
s
)
ϵ
p
+
m
w
(
s
)
)
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
=
{\displaystyle \ \Psi (\mathbf r , t) = \int \left( \begin{pmatrix} \varepsilon_{\mathbf p} \\ \frac{(\mathbf p \hat {\sigma })}{\epsilon + m}\varepsilon_{\mathbf p} \end{pmatrix}e^{-ipx} + \begin{pmatrix} \frac{(\mathbf p \hat {\sigma })}{\epsilon + m}\theta_{-\mathbf p } \\ \theta_{-\mathbf p } \end{pmatrix}e^{ipx}\right)d^{3}\mathbf p = \int \left( a_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}\begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p } + m}w^{(s)} \\ s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p } - m}w^{(s)} \end{pmatrix} + b_{s}^{*}(\mathbf p)e^{ipx}\begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p } - m}w^{(s)} \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p } + m}w^{(s)} \end{pmatrix} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}} = }
=
∫
(
a
s
(
p
)
e
−
i
p
x
A
s
,
p
+
b
s
∗
(
p
)
e
i
p
x
B
s
,
p
)
d
3
p
(
2
π
)
3
2
ϵ
p
{\displaystyle \ = \int \left( a_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}A_{s, \mathbf p } + b_{s}^{*}(\mathbf p)e^{ipx}B_{s , \mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}}
,
де величини
A
s
,
p
e
−
i
p
x
=
ψ
+
,
B
s
,
p
e
i
p
x
=
ψ
−
{\displaystyle \ A_{s, \mathbf p}e^{-ipx } = \psi_{+}, \quad B_{s, \mathbf p }e^{ipx} = \psi_{-}}
називаються біспінорними хвилями.
Властивості біспінорних хвиль [ ]
1. Біспінорні хвилі задовольняють рівнянню Дірака,
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
E
^
)
ψ
±
=
0
{\displaystyle \ \left( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu } - m\hat {\mathbf E}\right)\psi_{\pm} = 0}
,
і співвідношенням
(
γ
μ
p
μ
−
m
)
A
s
,
p
=
0
,
(
γ
μ
p
μ
+
m
)
B
s
,
p
=
0
{\displaystyle \ \left( \gamma^{\mu}p_{\mu} - m\right)A_{s, \mathbf p } = 0 , \quad \left( \gamma^{\mu}p_{\mu} + m\right)B_{s, \mathbf p } = 0}
.
2. Умова ортогональності для біспінорних хвиль
A
s
,
p
,
B
s
,
p
{\displaystyle \ A_{s, \mathbf p}, B_{s, \mathbf p}}
.
З урахуванням явних виразів для
A
s
,
p
,
B
s
,
p
{\displaystyle \ A_{s, \mathbf p}, B_{s, \mathbf p}}
, умови ортогональності
w
(
s
)
+
w
(
s
′
)
=
δ
s
s
′
{\displaystyle \ {w^{(s)}}^{+}w^{(s')} = \delta_{ss'}}
і того, що при інверсії
p
→
−
p
{\displaystyle \ \mathbf p \to -\mathbf p}
власне число змінюється як
s
→
−
s
(
s
2
=
1
)
{\displaystyle \ s \to -s (s^{2} = 1)}
, можна отримати
A
s
,
p
+
A
s
′
,
p
=
(
ϵ
p
+
m
w
(
s
)
+
s
ϵ
p
−
m
w
(
s
)
(
+
)
)
(
ϵ
p
+
m
w
(
s
)
s
ϵ
p
−
m
w
(
s
)
)
=
2
ϵ
p
δ
s
s
′
=
B
s
,
p
+
B
s
′
,
p
(
.4
)
{\displaystyle \ A^{+}_{s, \mathbf p}A_{s', \mathbf p} = \begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}{w^{(s)}}^{+} & s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}{w^{(s)}}^{(+)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}w^{(s)} \\ s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}w^{(s)} \end{pmatrix} = 2\epsilon_{\mathbf p }\delta_{ss'} = B^{+}_{s, \mathbf p}B_{s', \mathbf p} \qquad (.4)}
,
A
s
,
p
+
B
s
′
,
−
p
=
(
ϵ
p
+
m
w
(
s
)
+
s
ϵ
p
−
m
w
(
s
)
(
+
)
)
(
−
s
ϵ
p
−
m
w
(
s
)
ϵ
p
+
m
w
(
s
)
)
=
B
s
,
p
+
A
s
′
,
−
p
=
0
(
.5
)
{\displaystyle \ A_{s, \mathbf p}^{+}B_{s', -\mathbf p} = \begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}{w^{(s)}}^{+} & s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}{w^{(s)}}^{(+)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}w^{(s)} \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}w^{(s)} \end{pmatrix} = B_{s, \mathbf p}^{+}A_{s', -\mathbf p} = 0 \qquad (.5)}
.
3. Можна показати, що вектори
A
s
,
p
,
B
s
,
p
{\displaystyle \ A_{s, \mathbf p}, B_{s, \mathbf p}}
мають такі властивості (сума по поляризаціям ):
∑
s
A
s
,
p
A
¯
s
,
p
=
γ
μ
p
μ
+
m
,
∑
s
B
s
,
p
B
¯
s
,
p
=
γ
μ
p
μ
−
m
{\displaystyle \ \sum_{s}A_{s, \mathbf p} \bar {A}_{s, \mathbf p} = \gamma_{\mu}p^{\mu} + m, \quad \sum_{s}B_{s, \mathbf p} \bar {B}_{s, \mathbf p} = \gamma_{\mu}p^{\mu} - m}
.
У цьому нескладно переконатися. Дійсно, якщо використати явний вигляд для, наприклад,
B
s
,
p
{\displaystyle \ B_{s, \mathbf p}}
,
B
s
,
p
=
(
s
ϵ
p
−
m
w
(
s
)
ϵ
p
+
m
w
(
s
)
)
⇒
B
¯
s
,
p
=
(
s
ϵ
p
−
m
(
w
(
s
)
)
+
−
ϵ
p
+
m
(
w
(
s
)
)
+
)
{\displaystyle \ B_{s, \mathbf p} = \begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}w^{(s)} \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}w^{(s)} \end{pmatrix} \Rightarrow \bar {B}_{s, \mathbf p} = \begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}(w^{(s)})^{+} & -\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}(w^{(s)})^{+} \end{pmatrix}}
,
то при взятті суми можна отримати
∑
s
B
s
,
p
B
¯
s
,
p
=
∑
s
(
s
ϵ
p
−
m
w
(
s
)
ϵ
p
+
m
w
(
s
)
)
(
s
ϵ
p
−
m
(
w
(
s
)
)
+
−
ϵ
p
+
m
(
w
(
s
)
)
+
)
=
|
ϵ
p
2
−
m
2
=
p
|
=
{\displaystyle \ \sum_{s}B_{s, \mathbf p} \bar {B}_{s, \mathbf p} = \sum_{s}\begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}w^{(s)} \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}w^{(s)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}(w^{(s)})^{+} & -\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}(w^{(s)})^{+} \end{pmatrix} = |\sqrt{\epsilon^{2}_{\mathbf p} - m^2} = p| = }
=
∑
s
(
(
ϵ
p
−
m
)
w
(
s
)
(
w
(
s
)
)
+
−
s
p
w
(
s
)
(
w
(
s
)
)
+
s
p
w
(
s
)
(
w
(
s
)
)
+
−
(
ϵ
p
+
m
)
w
(
s
)
(
w
(
s
)
)
+
)
{\displaystyle \ = \sum_{s}\begin{pmatrix} (\epsilon_{\mathbf p} - m)w^{(s)}(w^{(s)})^{+} & -s p w^{(s)}(w^{(s)})^{+} \\ spw^{(s)}(w^{(s)})^{+} & -(\epsilon_{\mathbf p} + m)w^{(s)}(w^{(s)})^{+} \end{pmatrix}}
.
Тепер треба врахувати, що
s
p
w
(
s
)
=
(
σ
⋅
p
)
w
(
s
)
{\displaystyle \ s p w^{(s)} = (\sigma \cdot \mathbf p ) w^{(s)}}
і що сума
∑
s
w
(
s
)
(
w
(
s
)
)
+
=
E
^
{\displaystyle \ \sum_{s}w^{(s)}(w^{(s)})^{+} = \hat {\mathbf E}}
(це справедливо в силу того, що
w
(
s
)
{\displaystyle \ w^{(s)}}
утворюють повний базис; при бажанні рівність перевіряється "в лоб"). Тому
∑
s
B
s
,
p
B
¯
s
,
p
=
(
ϵ
p
−
m
−
(
σ
⋅
p
)
(
σ
⋅
p
)
−
(
ϵ
p
+
m
)
)
=
(
ϵ
p
0
0
−
ϵ
p
)
−
(
0
(
σ
⋅
p
)
−
(
σ
⋅
p
)
0
)
−
(
m
0
0
m
)
=
γ
μ
p
μ
−
m
{\displaystyle \ \sum_{s}B_{s, \mathbf p} \bar {B}_{s, \mathbf p} = \begin{pmatrix} \epsilon_{\mathbf p} - m & -(\sigma \cdot \mathbf p ) \\ (\sigma \cdot \mathbf p ) & -(\epsilon_{\mathbf p} + m) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \epsilon_{\mathbf p} & 0 \\ 0 & -\epsilon_{\mathbf p} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & (\sigma \cdot \mathbf p ) \\ -(\sigma \cdot \mathbf p ) & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{pmatrix} = \gamma^{\mu}p_{\mu} - m}
.
Рівність для
A
s
,
p
{\displaystyle \ A_{s, \mathbf p}}
перевіряється аналогічно.
4. Справедливим є співвідношення
A
¯
s
,
p
γ
μ
A
s
′
,
p
=
2
p
μ
δ
s
s
′
{\displaystyle \ \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} = 2p^{\mu}\delta_{ss'}}
.
Дійсно,
A
¯
s
,
p
γ
μ
A
s
′
,
p
=
1
m
A
¯
s
,
p
γ
μ
∂
α
p
α
A
s
′
,
p
=
|
[
γ
α
,
γ
β
]
+
=
2
g
α
β
|
=
2
p
μ
m
A
¯
s
,
p
A
s
′
,
p
−
A
¯
s
,
p
γ
α
p
α
γ
μ
A
s
′
,
p
=
{\displaystyle \ \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} = \frac{1}{m}\bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}\partial^{\alpha}p_{\alpha}A_{s', \mathbf p} =|[\gamma_{\alpha}, \gamma_{\beta}]_{+} = 2g_{\alpha \beta}| = \frac{2p^{\mu}}{m}\bar{A}_{s, \mathbf p}A_{s', \mathbf p} - \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\alpha}p_{\alpha}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} = }
|
A
¯
p
(
γ
μ
p
μ
−
m
)
=
0
,
A
¯
s
,
p
A
s
′
,
p
=
2
m
δ
s
s
′
|
=
4
p
μ
δ
s
s
′
−
A
¯
s
,
p
γ
μ
A
s
′
,
p
⇒
A
¯
s
,
p
γ
μ
A
s
′
,
p
=
2
p
μ
δ
s
s
′
{\displaystyle \ |\bar {A}_{\mathbf p}(\gamma^{\mu}p_{\mu} - m) = 0, \bar{A}_{s, \mathbf p}A_{s', \mathbf p} = 2m\delta_{ss'}| = 4p_{\mu}\delta_{ss'} - \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} \Rightarrow \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} = 2p^{\mu}\delta_{ss'} }
.
Тут були використані рівняння
(
γ
μ
p
μ
−
m
)
A
s
,
p
=
0
{\displaystyle \ (\gamma^{\mu}p_{\mu} - m)A_{s, \mathbf p} = 0}
(його було ермітово спряжено і домножено на
γ
0
{\displaystyle \ \gamma_{0}}
) і явний вигляд
A
s
,
p
{\displaystyle \ A_{s, \mathbf p}}
для доведення співвідношення
A
¯
s
,
p
A
s
′
,
p
=
2
m
δ
s
s
′
{\displaystyle \ \bar{A}_{s, \mathbf p}A_{s', \mathbf p} = 2m\delta_{ss'}}
(див. п. 2, 3).