NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Ідея регуляризації[]

У попередньому розділі говорилося, що розбіжні діаграми можна подати як поліноми по зовнішнім імпульсам, причому константи при степенях будуть розбіжні усі, за винятком вільного члена. У тому ж розділі говорилося, що в силу недовизначеності хронологічного впорядкування залишаються, так би мовити, додаткові ступені вільності для матричних елементів; вони реалізуються через квазілокальні оператори . В результаті стоїть наступна задача: зафіксувати ці квазілокальні оператори таким чином, щоб матричні елементи існували в сенсі скінченних значень відповідних інтегралів. Для цього треба запараметризувати нескінченні константи у поліномі по зовнішнім імпульсам таким чином, щоб ними можна було оперувати як формально обмеженими величинами, які обертаються в нескінченність при формальному граничному переході. Іншими словами, треба, щоб ці константи були функцією від деяких параметрів , , причому при деякому граничному переході вони оберталися б у нескінченність, . Процедура параметризації констант називається регуляризацією.

Є декілька видів регуляризації.

Один з видів Грунтується на модифікації пропагаторів таким чином, щоб вони самі (а також, звісно, їх добутки) були регулярними на світловому конусі (розбіжність на світловому конусі є еквівалентом ультрафіолетових розбіжностей (для імпульсного представлення) в координатному представленні). Стандартним прикладом є регуляризація Паулі-Вілларса, за якої пропагатор модифікують як , де - пропагатори фіктивних полів масою . Константи підбираються з умов регулярності поведінки в ультрафіолетовій області. Зняття регуляризації здійснюється переходом . Проте майже очевидно, що така регуляризація не являється калібрувально інваріантною. Дійсно, якщо взяти пропагатор фотона і модифікувати його за Паулі-Вілларсом, то він стане являти собою сумму пропагатора калібрувально-інваріантної теорії та пропагатора масивної частинки, що не відповідає калібрувально-інваріантній теорії.

Інший тид регуляризації не змінює вирази для пропагаторів і заключається в побудові регулярних наближень до їх добутків та інтегралів по віртуальним 4-імпульсам. До таких видів регуляризації можна віднести регуляризацію обрізанням меж інтегрування і розмірну регуляризацію (буде розглянута у розділі нижче), за якої формально змінюється розмірність простору інтегрування. Регуляризація обрізанням дуже проста у використанні, проте, на жаль, порушує калібрувальну інваріантність. Дійсно, така регуляризація еквівалентна виникненню функції Хевісайда у пропагаторі електрона, а модифікація електронного пропагатора, згідно із тотожностями Уорда (будуть доведені у наступній главі), призводить до модифікації вершинної функції у КЕД. Ця модифікація призводить до порушення поперечності поляризації вакууму, що свідчить про порушення калібрувальної інваріантності. Перевагою розмірної регуляризації є збереження калібрувальної симетрії, оскільки вона не пов'язана із розмірністю простору-часу. Проблемою же, вочевидь, є зникнення симетрій, що відповідали симетріям, пов'язаних із простором-часом та його розмірністю. Такою симетрією є кіральна симетрія. Дійсно, у випадку дробових розмірностей введення матриці із антикомутаційними співвідношеннями є неможливим. Її можна ввести лише за умови модифікації антикомутаційних співвідношень, що призводить до порушення кіральної симетрії та виникнення аномалій (детальніше про саме поняття аномалії - у відповідному розділі).

Розмірна регуляризація[]

Ідея методу полягає в тому, щоб зменшити кратність інтегралів по імпульсам з чотирьох до . Навіть найменше відхилення від степені "вгору" в інтегралі зробить його збіжним; на подібних міркуваннях і Грунтується доцільність даного методу. Оскільки коло цільових підинтегральних виразів є обмеженим, то не доведеться будувати послідовну теорію неціломірних просторів; все зведеться до зміни формального числа розмірності простору. Наприклад, розглянемо інтеграл і перетворимо його, перейшовши до узагальнених сферичних координат -вимірного простору (виникаючий множник при інтегралі по радіальній координаті відповідає площі m-вимірної сфери):

.

Видно, що ніяких "містичних" дробових інтегрувань не виникає. Тепер розглянемо імпульсний інтеграл і проведемо евклідізацію, замінивши на : в результаті

.

Домножимо (заради зручності) інтеграл на величину , яка при взятті ліміту рівна одиниці, так що не змінює значення інтеграла після взяття ліміту: тоді

.

Для подальших застосувань методу необхідні декілька шаблонних формул, пов'язаних із гамма-функцією :

,

.

Звідси отримуються робочі формули ()

,

,

при цьому всі розбіжності будуть з'являтися у вигляді від'ємних степенів по . Для розуміння цього достатньо розглянути випадок безмасової скалярної діаграми, що відповідає добутку двох пропагаторів (так званої однопетльової діаграми): . За допомогою формули маємо

,

а це є саме тим, що потрібно від регуляризації. Тут був введений деякий параметр , що відповідає зміні розмірності константи зв'язку при переході до розмірної регуляризації: з одиничної розмірності вони стають рівними .

Отже, узагальнимо написане. Діаграма називається розмірно регуляризовною, якщо відповідний їй інтеграл можна звести до канонічного вигляду за допомогою алгебраїчних перетворень типу , а також імпульсних трансляцій. В розмірній регуляризації допускається диференціювання по зовнішнім імпульсам, масам. Ці факти (вкупі з трансляційною інваріантністю) можна узагальнити:

.

Друга рівність виражає трансляційну інваріантність і, водночас, дозволяє проводити інтегрування по частинам.

Через ці властивості можна, дифереціюючи співвідношення , отримати наступні вирази для інтегрування:

,

,

.

Нарешті, коваріантні величини в рамках розмірної регуляризації визначаються наступними співвідношеннями:

,

і т.д.

Advertisement