У загальному випадку групи взаємодія із ферміонами також включається просто. Треба взяти лагранжіан ферміонів і подовжити у ньому похідну , де поле є матрицею у кольоровому просторі. Оскільки група має генераторів, то маємо взаємодію кожного із ферміонів із калібрувальними полями . Окрім того, треба додати член, що описує самодію і вільні поля . Як і в двох минулих підрозділах, таким членом виступає , де
.
Тут структурна константа визначається з умови
.
Врешті-решт, фінальний лагранжіан має вигляд
.
Нижче також наведені основні закони перетворення для калібрувальних полів та об'єктів, що із них побудовані (за основу взятий вираз для реалізації SU(2), оскільки за формою викладки мають загальний вигляд):
.
Жирним виділені ті поля, які не розкладені за базисом генераторів (тобто, ці поля ще являються матрицями). Поля - стовпчики, які складаються із ферміонних (зазвичай) полів.
Не зайвим також буде отримати інфінітезимальні перетворення для цих об'єктів, враховуючи, що калібрувальні перетворення - локальні. Враховуючи, що, відповідно до експоненціального закону, ( - генератори), маємо інфінітезимальне перетворення
.
Звідси перетворення для полів мають вигляд
,
.
Нагадаю, що калібрувальні поля відповідають приєднаному представленню групи .
Зв'язки другого роду[]
Маємо лагранжіан для неабелевої калібрувальної теорії :
,
де .
Стоїть задача проквантувати таку теорію. Наївно можна сподіватися, що через формалізм полів народження і знищення поля , як 4-вектори, мають два ступені вільності, оскільки при відсутності взаємодії між ними кожне з них реалізує незвідне безмасове представлення групи Пуанкаре спіральності 1 при накладанні калібрувальної умови. Проте у випадку взаємодії між полями такий наївний аналіз є дещо ускладненим. Тому використаємо аналіз зв'язків, що містяться у , слідуючи діраківському підходу, і канонічне квантування.
Перш за все, визначимо первинні зв'язки. Ними є
.
Відповідні цим зв'язкам вторинні зв'язки отримуються з рівняння Лагранжа для :
,
де використане визначення канонічних імпульсів.
Нескладно переконатися, що (позначивши як відповідно) ці зв'язки задовольняють комутаційним співвідношенням , тому вони відповідають зв'язкам першого роду, що було майже очевидним, враховуючи те, що теорії є калібрувально-інваріантними (порівняйте із випадком ЕМ поля).
Тепер оберемо калібрування (найпопулярніший спосіб боротьби зі зв'язками першого роду; втім, має недоліки). Калібрування із похідними (найбільш стандартні - кулонівська та лоренцева) містять неоднозначність, що заключається у тому, що навіть при умові обернення в нуль на нескінченності для кожного розв'язку існують інші розв'язки, що відрізняються кінцевими калібрувальними перетвореннями (так звана неоднозначність Грибова). Для неабелевих теорій це надто суттєво. Тому оберемо (аксіальне) калібрування .
Перепишемо тепер із врахуванням такого калібрування: при цьому , і тому маємо
.
Оскільки струми не залежать від полів ,
,
то вираз визначає як функціонал від канонічних координат та імпульсів полів та матерії, і може бути розв'язаний відносно .
Це визначає канонічні змінні у даній теорії, за допомогою чого можна перейти до стандартного канонічного квантування.