Використовуючи далі постулат Дірака про перенесення формалізму лапок Пуассона до квантової механіки, можна також ввести повну похідну від оператора по часу. Використовуючи вираз для повної похідної фізичної величини-функції через лапки Пуассона,
,
доведене у попередньому розділі співвідношення та принцип відповідності, можна отримати відповідний операторний вираз
.
Таким чином, продовження застосування Пуассонового формалізму до квантової механіки дозволило ввести оператор повної та частинної похідних операторів по часу. Тепер треба з'ясувати, для яких випадків виконується . У загальному випадку це, звісно, не так, оскільки, використовуючи визначення для похідної через границю, можна побачити, що це потребує точного визначення значення фізичної величини у даний момент часу, що призводить до невизначеності значень цієї ж фізичної величини у подальші моменти часу.
Нехай проведене усереднення по координатам фазового простору оператора та взята повна похідна по часу від цього усереднення. Тоді в силу того, що проведене усереднення по координатам, повна похідна по часу відповідає частинній похідній по часу, і
.
З іншого боку, можна провести усереднення : тоді
.
Якщо постулювати, що , то виконанням рівності можна отримати умову
.
Звідси природньо слідує, що
.
Рівняння називаються рівняннями Шредінгера.
Якщо провести усереднення для рівняння, , де - власні вектори стану, що не залежать від часу, і вважати, що усереднення рівне, рівняння набуде вигляду
.
Якщо, далі, до рівняння існує початкова умова , а оператор не залежить від часу, то можна отримати розв'язок-середнє значення
,
де називається оператором еволюції. Дійсно, якщо підставити цей розв'язок у початкове рівняння, можна отримати
,
де використана відсутність явної залежності оператора Гамільтона від часу:
.
Таке представлення, у якому від часу залежить оператор, а його власні вектори є константами, називається представленням Гейзенберга.
З іншого боку, розв'язок операторного рівняння можна представити як
.
Дійсно,
.
Тоді замість рівняння на оператор можна розглянути рівняння на власний вектор,
,
розв'язок якого співпадає із для початкової умови .
Отримане рівняння називається нестаціонарним рівнянням Шредінгера, а відповідне представлення еволюції - шредінгерівським.