Повна група Лоренца

Повернутися до розділу "Група Лоренца".

Повною групою Лоренца називають множину перетворень

$\ x^{\mu}{'} = \Lambda^{\mu}_{\quad \nu}x^{\nu} \qquad (.1)$,

які залишають квадратичну форму - норму 4-вектора

$\ s^{2} = x^{\mu}x_{\mu} = g_{\mu \nu}x^{\mu }x^{\nu} = x_{0}^{2} - \mathbf x^{2} \qquad (.2)$

інваріантною.

Таке визначення одразу дає класифікацію матриць $\ \Lambda$. Вирази $\ (.1), (.2)$ дають

$\ g_{\mu \nu}x^{\mu }x^{\nu} = g_{\alpha \beta}x^{\alpha}{'}x^{\beta}{'} = g_{\alpha \beta }\Lambda^{\alpha}_{\quad \mu}\Lambda^{\beta}_{\quad \nu}x^{\mu}x^{\nu} \Rightarrow g_{\mu \nu} = g_{\alpha \beta }\Lambda^{\alpha}_{\quad \mu}\Lambda^{\beta}_{\quad \nu} \Rightarrow \hat {\mathbf g} = \hat {\mathbf \Lambda}^{T}\hat {\mathbf g}\hat {\mathbf \Lambda} \qquad (.3)$.

Звідси для визначників матриць зліва та зправа можна отримати

$\ det \left(\hat {\mathbf g}\right) = -1 =_{right} = det \left( \hat {\mathbf \Lambda}^{T}\hat {\mathbf g}\hat {\mathbf \Lambda}\right) = -det (\hat {\mathbf \Lambda})^{2} \Rightarrow det \left(\hat {\mathbf \Lambda }\right) = \pm 1$.

На відміну від звичайного аналізу матриць перетворення Лоренца у рамках СТВ (див. розділ Матричні перетворення Лоренца статті Теорія відносності), треба залишити випадок з від'ємним визначником. Ці два випадки розбивають неперервні перетворення групи на дві підмножини, які не можна отримани одна з одної шляхом неперервних перетворень (такі підмножини називаються компонентами зв'язності). Ці дві підмножини називають $\ L_{+}, L_{-}$ відповідно. Перша з них містить одиничний елемент (в силу одиничності визначника), а отже, може називатися підгрупою. Друга одиничний елемент не містить, тому не є підгрупою.

Далі, умова $\ (.3)$ може розбити підмножини ще на дві підмножини. Використовуючи цей вираз для випадку $\ \mu , \nu = 0$, можна отримати

$\ g_{00} = 1 =_{right} = g_{\alpha \beta }\Lambda^{\alpha}_{\quad 0}\Lambda^{\beta}_{\quad 0} = \left(\Lambda^{0}_{\quad 0}\right)^{2} - \sum_{i = 1}^{3}\left(\Lambda^{i}_{ \quad 0}\right)^{2} \Rightarrow \left(\Lambda^{0}_{\quad 0}\right)^{2} = 1 + \sum_{i = 1}^{3}\left(\Lambda^{i}_{ \quad 0}\right)^{2} \geqslant 1$.

Звідси можливі два випадки:

$\ \Lambda^{0}_{\quad 0} \geqslant 1 , \quad \Lambda^{0}_{\quad 0} \leqslant -1$.

Знову ж таки, матриці для першого випадку не можуть бути зведені до матриць другого випадку шляхом неперервних перетворень. Тому кожна з підмножин $\ L_{+}, L_{-}$ додатково розбивається на дві підмножини $\ L^{\uparrow}, L^{\downarrow}$ (стрілка вгору відповідає додатньому значенню нульової компоненти матриці перетворення, стрілка вниз - від'ємному). Перша підмножина містить одиничний елемент, а друга - не містить (нульова компонента може бути лише від'ємною, тому одиничний елемент не може бути представлений). Тому перша підмножина утворює підгрупу, а друга - ні.

Отже, група Лоренца складається із чотирьох компонент зв'язності

$\ L = L_{+}^{\uparrow}\cup L_{-}^{\uparrow}\cup L_{+}^{\downarrow}\cup L_{-}^{\downarrow} \qquad (.4)$.

Якщо не враховувати об'єднань компонент, єдиною підгрупою у групі є компонента $\ L^{\uparrow}_{+}$. Ця компонента називається ортохронною (власною) групою Лоренца. Фізично їй відповідають перетворення Лоренца та напрямленість часу у "майбутнє".

Проте повна група Лоренца може містити не лише неперервні перетворення, а й дискретні. Дійсно, умова $\ (.3)$ допускає також перетворення

$\ \quad Ex = (x^{0}, \mathbf x ), \quad Tx = (-x^{0}, \mathbf x), \quad Px = (x^{0}, -\mathbf x), \quad PTx = (-x^{0}, -\mathbf x )$.

Перша операція відповідає одиничному елементу (чисто формально це відповідає дискретному перетворенню), друга - часовій інверсії, третя - просторовій інверсії, четверта - комбінації часової та просторової інверсій.

Явний вигляд матриць перетворень відповідає

$\ \hat {\mathbf E } = diag (1, 1, 1, 1), \quad \hat {\mathbf T} = diag (-1, 1, 1, 1), \quad \hat {\mathbf P} = diag(1, -1, -1, -1), \quad \hat {\mathbf P \mathbf T} = diag(-1,-1,-1,-1)$.

Такі дискретні перетворення можуть переводити одну компоненту зв'язності у іншу. Дійсно, другу компоненту зв'язності з $\ (.4)$ можна отримати з першої при дії на неї перетворення $\ P$, третю - при дії $\ TP$-перетворення, четверту - при дії $\ T$-перетворення. Тому має сенс аналізувати лише ортохронну групу Лоренца (її позначають як $\ SO^{\uparrow }(3, 1)$).

Подальший аналіз дискретних перетворень частково наведено у підрозділі про просторову інверсію наступного розділу (для однозначних представлень) та Дискретні перетворення групи Лоренца... розділу Спінорні представлення групи Лоренца (для двозначних представлень). У наступному же підрозділі буде досліджуватися ортохронна група Лоренца.