NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Перетворення групи Пуанкаре базисних станів. Мала група[]

Нехай розглядається деяке незвідне представлення групи Пуанкаре , де перший індекс позначає групу Лоренца, а другий - групу трансляцій. В силу того, що група Пуанкаре відповідає напівпрямому добутку груп трансляцій та Лоренца, представлення можна характеризувати двома представленнями: .

Оскільки генератори трансляцій групи Пуанкаре комутують, (група є абелевою), то існує набір (нескінченний в силу неперервності 4-імпульсу) власних функцій , для яких

.

Тут визначає всі дискретні ступені вільності для даного стану (як спінове, що відповідає незвідності представлення, так і зарядові числа, що відповідають внутрішнім симетріям типу унітарної і які не пов'язані із групою Пуанкаре). Також враховано, що для даних станів повинно виконуватись співвідношення незвідності . В силу написаного вище, треба подивитись, як перетворюються функції стану при дії на них . Друге перетворення є очевидним в силу :

.

Нехай далі із усіх компонент зв'язності групи Пуанкаре виділена одна - ортохронна підгрупа. Це означає, що будь-який можна зв'язати з іншим за допомогою перетворення неперервної групи Лоренца . Тому стан також є власним станом оператора із власним значенням :

.

Це означає, що дається лінійною комбінацією станів :

.

Для остаточного знаходження перетворення групи Пуанкаре базисних треба знайти коефіцієнти .

Мала група[]

Щоб це зробити, зручно зафіксувати 4-імпульс одночастинкового стану. Ортохронне перетворення Лоренца залишає інваріантним величину та знак . Набір імпульсів , для яких ці величини фіксовані, називається орбітою групи Лоренца. Будь-який 4-імпульс орбіти може бути виражений через деякий "стандартний" 4-імпульс за допомогою деякого "стандартного" перетворення ,

.

Відповідно до цього, можна постулювати, що стани пов'язані один із одним через співвідношення виду

.

Тут - деякий нормуючий множник, а . Вираз являється визначенням мітки і встановлює її зв'язок із 4-імпульсом.

Тоді

,

де останній перехід було зроблено в силу групової властивості . Тут було виділене представлення , дія якого на залишає останній інваріантним:

.

Відповідні представлення називаються представленнями малої групи . Навіщо було потрібно їх виділяти? Справа у тому, що для фіксованого імпульсу розмірність представлення (для більшості орбіт) є скінченною, на відміну від нескінченної розмірності для представлення . Це значно спрощує пошук явного вигляду реалізації незвідного представлення на одночастинкових станах.

Нехай тепер у перетворення відповідають . Тоді

.

З виразу видно, що утворюють унітарне незвідне представлення малої групи. Підставивши цей вираз у та врахувавши , можна отримати

.

Наведене продемонструвало, що побудова унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре з точністю до нормування визначається побудовою унітарних незвідних представлень малої групи. Тому, врешті-решт, частинка з точки зору Пуанкаре-симетрії характеризується "орбітою" групи Лоренца у імпульсному просторі Мінковського та незвідним унітарним представленням малої групи "орбіти".

Нарешті, можна визначити вираз для нормуючого множника: врахувавши унітарність оператору трансляцій та представлення малої групи , можна отримати

.

Вираз повинен бути справедливим для будь-яких значень , тому

.

З іншого боку, на основі можна написати

для будь-яких . Враховуючи, що , , тому при використанні можна отримати

.

Тому визначаючим для нормувального множника є вираз

.

Враховуючи рівність

, цей вираз можна переписати як

.

Тут N - формальний фазовий множник, а як можна взяти . Отже, нарешті, перетворення групи Пуанкаре базисних станів мають вигляд

.

Побудова малої групи для масивного випадку розглянута нижче, а для безмасового - подана у наступному розділі.

Масивний випадок[]

Нехай . Тоді за стандартний вектор на такій оболонці прийнято обирати . Яка (мала) група залишає вектор інваріантним? Така, яка не зачіпає часову координату. Такою групою є - група тривимірних поворотів :

,

де є матрицями незвідного представлення групи поворотів для спіну :

,

,

.

Отже, для масивного стану мітка пробігає значень, де - спін представлення.

Advertisement