Повернутися до розділу "Теорія розсіяння" .
Самодіюче скалярне поле [ ]
Розглянемо скалярне поле (неперенормоване)
L
(
φ
B
)
=
1
2
(
∂
φ
B
)
2
−
1
2
m
B
2
φ
B
+
V
(
φ
B
)
{\displaystyle \ L(\varphi_{B}) = \frac{1}{2}(\partial \varphi_{B} )^{2} - \frac{1}{2}m_{B}^{2}\varphi_{B} +V(\varphi_{B} )}
.
Введемо перенормовані поле та масу:
φ
=
1
Z
φ
B
,
m
2
=
m
B
2
+
δ
m
2
{\displaystyle \ \varphi = \frac{1}{\sqrt{Z}}\varphi_{B}, \quad m^{2} = m_{B}^{2} + \delta m^{2}}
,
де
Z
{\displaystyle \ Z}
обирається так, щоб поле задовольняло вираз
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
, а
δ
m
2
{\displaystyle \ \delta m^{2}}
- з умови задовільненню умови наявності полюса в
q
2
=
m
2
{\displaystyle \ q^{2} = m^{2}}
пропагатора. Тоді лагранжіан може бути переписаний як
L
=
[
1
2
(
∂
φ
)
2
−
1
2
m
2
φ
2
]
+
[
Z
−
1
2
(
(
∂
φ
)
2
−
m
2
φ
2
)
−
1
2
Z
δ
m
2
φ
2
−
V
(
φ
)
]
=
L
0
+
L
1
(
1
)
{\displaystyle \ L = \left[ \frac{1}{2}(\partial \varphi )^{2} - \frac{1}{2}m^{2}\varphi^{2} \right] + \left[ \frac{Z - 1}{2}\left((\partial \varphi )^{2} - m^{2}\varphi^{2} \right) - \frac{1}{2}Z\delta m^{2}\varphi^{2} - V(\varphi )\right] = L_{0} + L_{1} \qquad (1)}
.
На основі цього визначимо константи
Z
,
δ
m
2
{\displaystyle \ Z, \delta m^{2}}
. Для цього треба розрахувати точний пропагатор
Δ
′
(
q
)
{\displaystyle \ \Delta '(q)}
для перенормованого поля із лагранжіаном
(
11
)
{\displaystyle \ (11)}
. Зручно при цьому розглядати сильнозв'язні діаграми (див. попередній розділ), які відповідають таким діаграмам, які не можна зробити незв'язними розрізанням однієї лінії. Прийнято (опускаючи множники
−
i
(
2
π
)
4
1
q
2
−
m
2
−
i
ε
{\displaystyle \ \frac{-i}{(2 \pi )^{4}}\frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon }}
від двох зовнішніх ліній), позначати суму таких діаграм як
i
(
2
π
)
4
∏
∗
(
q
2
)
{\displaystyle \ i (2\pi )^{4}\prod^{*}(q^{2})}
. Цей вираз обчислюється як сума безпетльових діаграм, що виникають від однократної вставки вершин, які відповідають
(
∂
φ
)
2
,
φ
2
{\displaystyle \ (\partial \varphi )^{2}, \varphi^{2}}
, а також петлів, що входять у вершину (від самодії):
∏
∗
(
q
2
)
=
Z
−
1
2
(
q
2
−
m
2
)
−
Z
δ
m
2
+
∏
L
o
o
p
∗
(
q
2
)
(
2
)
{\displaystyle \ \prod^{*}(q^{2}) = \frac{Z - 1}{2}\left(q^{2} - m^{2} \right) - Z\delta m^{2} + \prod^{*}_{Loop}(q^{2}) \qquad (2)}
.
Тоді точний пропагатор визначається як нескінченний ряд із однієї, двох і т.д. таких діаграм, що з'єднані вільними пропагаторами:
−
i
(
2
π
)
4
Δ
′
(
q
)
=
1
q
2
−
m
2
−
i
ε
+
[
−
i
(
2
π
)
4
1
q
2
−
m
2
−
i
ε
]
(
i
(
2
π
)
4
∏
∗
(
q
2
)
)
[
−
i
(
2
π
)
4
1
q
2
−
m
2
−
i
ε
]
+
.
.
.
=
1
q
2
−
m
2
−
i
ε
−
∏
∗
(
q
2
)
{\displaystyle \ -\frac{i}{(2 \pi )^{4}}\Delta '(q) = \frac{1}{q^{2}- m^{2} - i\varepsilon } + \left[\frac{-i}{(2 \pi)^{4}}\frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\right]\left( i (2 \pi)^{4}\prod^{*}(q^{2})\right)\left[\frac{-i}{(2 \pi)^{4}}\frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\right] + ... = \frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon - \prod^{*}(q^{2})}}
.
Умова того, що
m
2
{\displaystyle \ m^{2}}
- справжня маса частинки, може бути отримана як умова того, що полюс точного пропагатора знаходиться в точці
q
2
=
m
2
{\displaystyle \ q^{2} = m^{2}}
. Звідси
∏
∗
(
m
2
)
=
0
(
3
)
{\displaystyle \ \prod^{*}(m^{2}) = 0 \qquad (3)}
.
Окрім того, в силу того, що полюс пропагатора при
q
2
=
m
2
{\displaystyle \ q^{2} = m^{2}}
має одиничний лишок, є також умова
(
∂
∂
q
2
∏
∗
(
q
2
)
)
q
2
=
m
2
=
0
(
4
)
{\displaystyle \ \left( \frac{\partial}{\partial q^{2}} \prod^{*}(q^{2})\right)_{q^{2} = m^{2}} = 0 \qquad (4)}
.
Звідси з
(
2
)
{\displaystyle \ (2)}
отримуємо умови
Z
δ
m
2
=
∏
L
o
o
p
∗
(
m
2
)
,
Z
=
1
+
(
∂
∂
q
2
∏
l
o
o
p
∗
(
q
2
)
)
q
2
=
m
2
{\displaystyle \ Z\delta m^{2} = \prod^{*}_{Loop}(m^{2}), \quad Z = 1 + \left( \frac{\partial}{\partial q^{2}} \prod_{loop}^{*}(q^{2})\right)_{q^{2} = m^{2}} }
.
Отже,
δ
m
2
,
Z
−
1
{\displaystyle \ \delta m^{2}, Z - 1}
задаються рядами по ступеням константи зв'язку без нульових членів.
Зручно відняти від
∏
L
o
o
p
∗
(
q
2
)
{\displaystyle \ \prod^{*}_{Loop}(q^{2})}
поліном першого порядку по
q
2
{\displaystyle \ q^{2}}
з коефіцієнтами такими, щоб ця різниця задовольняла умовам
∏
∗
(
m
2
)
=
0
,
(
∂
∂
q
2
∏
∗
(
q
2
)
)
q
2
=
m
2
=
0
{\displaystyle \ \prod^{*}(m^{2}) = 0, \left( \frac{\partial}{\partial q^{2}} \prod^{*}(q^{2})\right)_{q^{2} = m^{2}}= 0}
. Ця процедура скорочує нескінченності, що виникають при розрахунку інтегралів, що відповідають
∏
L
o
o
p
∗
(
q
2
)
{\displaystyle \ \prod^{*}_{Loop}(q^{2})}
, проте саме по собі перенормування мас та полів не має нічого спільного з існуванням нескінченностей, а необхідність в ньому виникає навіть за умови відсутності цих нескінченностей.
Вирази
(
3
)
,
(
4
)
{\displaystyle \ (3), (4)}
також мають за наслідок той факт, що зовнішні лінії на масовій поверхні не містять радіаційних поправок. Це зумовлюється тим фактом, що вони дають вклад який рівний
(
Π
∗
(
p
2
)
1
p
2
−
m
2
−
i
ε
+
Π
∗
(
p
2
)
1
p
2
−
m
2
−
i
ε
Π
∗
(
p
2
)
1
p
2
−
m
2
−
i
ε
+
.
.
.
)
p
2
=
m
2
=
0
{\displaystyle \ \left( \Pi^{*}(p^{2})\frac{1}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon} + \Pi^{*}(p^{2})\frac{1}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon} \Pi^{*}(p^{2})\frac{1}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon} + ...\right)_{p^{2} = m^{2}} = 0}
.
Аналогічний результат застосовний і для полів довільних спінів, що буде продемонстровано нижче на частинному випадку діраківських полів.
Спін 1/2 [ ]
Візьмемо лагранжіан для діраківського поля,
L
=
Ψ
¯
B
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
B
)
Ψ
B
+
V
B
(
Ψ
B
)
{\displaystyle \ L = \bar{\Psi}_{B}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m_{B})\Psi_{B} + V_{B}(\Psi_{B})}
,
і введемо перенормовані поля та масу:
Ψ
B
=
Z
2
Ψ
,
m
B
=
m
−
δ
m
{\displaystyle \ \Psi_{B} = \sqrt{Z_{2}}\Psi , \quad m_{B} = m - \delta m}
.
Тоді лагранжіан можна буде переписати як
L
=
Ψ
¯
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
Ψ
+
(
(
Z
2
−
1
)
Ψ
¯
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
Ψ
+
Z
2
δ
m
Ψ
¯
Ψ
+
V
B
(
Z
2
Ψ
¯
Ψ
)
)
=
L
0
+
L
1
(
5
)
{\displaystyle \ L = \bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + \left((Z_{2}- 1)\bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + Z_{2}\delta m \bar{\Psi}\Psi + V_{B}(Z_{2}\bar{\Psi}\Psi ) \right) = L_{0} +L_{1} \qquad (5)}
.
Нехай
i
(
2
π
)
4
H
∗
(
γ
μ
k
μ
)
{\displaystyle \ i(2 \pi )^{4}\Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu})}
- сума усіх зв'язних діаграм із одною вхідною лінією з 4-імпульсом
k
{\displaystyle \ k}
і одною вихідною лінією із таким же імпульсом, які не можна зробити незв'язними шляхом розрізання однієї внутрішньої лінії, причому пропагаторні множники для зовнішніх ліній опущені. Тоді повний ферміонний пропагатор в імпульсному представленні має вигляд
1
γ
μ
k
μ
−
m
−
i
ε
+
1
γ
μ
k
μ
−
m
−
i
ε
H
∗
(
γ
μ
k
μ
)
1
γ
μ
k
μ
−
m
−
i
ε
+
.
.
.
=
1
γ
μ
k
μ
−
m
−
H
∗
(
γ
μ
k
μ
)
−
i
ε
(
6
)
{\displaystyle \ \frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\varepsilon } + \frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\varepsilon }\Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu})\frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\varepsilon } + ... = \frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - \Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu}) - i\varepsilon} \qquad (6)}
.
H
∗
(
γ
μ
k
μ
)
{\displaystyle \ \Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu})}
враховує вклад найнижчих діаграм від доданків
(
Z
2
−
1
)
Ψ
¯
(
i
γ
μ
∂
μ
−
m
)
Ψ
+
Z
2
δ
m
Ψ
¯
Ψ
{\displaystyle \ (Z_{2}- 1)\bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + Z_{2}\delta m \bar{\Psi}\Psi}
, а також - вклад петльових діаграм, за які відповідає
V
B
(
Z
2
Ψ
¯
Ψ
)
{\displaystyle \ V_{B}(Z_{2}\bar{\Psi}\Psi ) }
. Тобто,
H
∗
(
γ
μ
k
μ
)
=
(
Z
2
−
1
)
(
γ
μ
k
μ
−
m
)
+
Z
2
δ
m
+
H
L
o
o
p
∗
(
γ
μ
k
μ
)
(
7
)
{\displaystyle \ \Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu}) = (Z_{2} - 1)(\gamma^{\mu} k_{\mu} - m) + Z_{2}\delta m + \Eta^{*}_{Loop}(\gamma^{\mu}k_{\mu}) \qquad (7)}
.
Умова того, щоб пропагатор мав полюс при
k
2
=
m
2
{\displaystyle \ k^{2} = m^{2}}
із тим же лишком, що й і вільний пропагатор, має вигляд
H
∗
(
m
)
=
0
,
(
∂
H
∗
(
γ
μ
k
μ
)
∂
(
γ
μ
k
μ
)
)
γ
μ
k
μ
=
m
=
0
(
8
)
{\displaystyle \ \Eta^{*}(m) = 0, \quad \left(\frac{\partial \Eta^{*}(\gamma^{\mu}k_{\mu})}{\partial (\gamma^{\mu}k_{\mu})}\right)_{\gamma^{\mu}k_{\mu} = m} = 0 \qquad (8)}
.
Звідси з
(
6
)
{\displaystyle \ (6)}
маємо
Z
2
δ
m
=
−
H
L
o
o
p
∗
(
γ
μ
k
μ
)
,
Z
2
=
1
−
(
∂
H
L
o
o
p
∗
(
γ
μ
k
μ
)
∂
(
γ
μ
k
μ
)
)
γ
μ
k
μ
=
m
{\displaystyle \ Z_{2}\delta m = -\Eta^{*}_{Loop}(\gamma^{\mu} k_{\mu}), \quad Z_{2} = 1 - \left(\frac{\partial \Eta^{*}_{Loop}(\gamma^{\mu}k_{\mu})}{\partial (\gamma^{\mu}k_{\mu})}\right)_{\gamma^{\mu}k_{\mu} = m}}
.
Як і для безмасових частинок,
(
8
)
{\displaystyle \ (8)}
каже про те, що зовнішні лінії не містять радіаційних поправок, що перевіряється побудовою виразу, аналогічного до
(
7
)
{\displaystyle \ (7)}
, для зовнішніх ліній.
Однопетльова поправка для ферміонного пропагатора у КЕД [ ]
Розглянемо обчислення констант перенормування для однопетльової поправки у вираз для ферміонного пропагатора у КЕД у загальному калібруванні
η
≠
1
{\displaystyle \ \eta \neq 1}
методом розмірної регуляризації . Нагадаю, що загальне калібрування у КЕД означає, що голий фотонний пропагатор (у імпульсному представленні) має вигляд
D
μ
ν
(
p
)
=
−
g
μ
ν
−
(
1
−
η
)
k
μ
k
ν
k
2
k
2
+
i
ε
=
−
g
μ
ν
−
ϵ
k
μ
k
ν
k
2
k
2
+
i
ε
{\displaystyle \ D_{\mu \nu}(p) = -\frac{g_{\mu \nu} - (1 - \eta )\frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}}}{k^{2} + i\varepsilon } = -\frac{g_{\mu \nu} - \epsilon \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}}}{k^{2} + i\varepsilon }}
.
Тоді однопетльова поправка до пропагатора дається виразом
Σ
1
l
o
o
p
(
p
)
=
−
q
e
2
∫
d
4
k
γ
μ
(
p
/
−
k
/
)
+
m
(
p
−
k
)
2
−
m
2
+
i
ε
γ
ν
(
g
μ
ν
−
ϵ
k
μ
k
ν
k
2
)
k
2
+
i
ε
(
9
)
{\displaystyle \ \Sigma_{1loop}(p) = -q_{e}^{2}\int d^{4}k \gamma^{\mu}\frac{(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + m }{(p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon }\gamma^{\nu}\frac{\left(g_{\mu \nu} - \epsilon \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}} \right)}{k^{2} + i\varepsilon } \qquad (9)}
.
У більшості випадків є два типи розбіжностей: ультрафіолетова та інфрачервона. Обидві можуть бути регуляризовані шляхом розмірної регуляризації (перший випадок відповідає зсуву розмірності на від'ємну величину, другий - на додатню). Перепишемо
(
9
)
{\displaystyle \ (9)}
, переходячи від розмірності 4 до розмірності
d
{\displaystyle \ d}
і використовуючи вирази для гамма-матриць при такому переході: отримаємо
Σ
1
l
o
o
p
(
p
)
=
−
M
4
−
d
q
e
2
[
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
(
2
−
d
)
(
p
/
−
k
/
)
+
d
m
(
k
2
+
i
ε
)
(
(
p
−
k
)
2
−
m
2
+
i
ε
)
−
ϵ
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
k
/
(
2
(
p
⋅
k
)
−
k
2
)
−
(
p
/
−
m
)
k
2
(
k
2
+
i
ε
)
2
(
(
p
−
k
)
2
−
m
2
+
i
ε
)
]
{\displaystyle \ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2} \left[\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \epsilon \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{k\!\!\!/ (2 (p \cdot k) - k^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} \right]}
.
Добуток
(
p
⋅
k
)
{\displaystyle \ (p \cdot k)}
доцільно записати як
2
(
p
⋅
k
)
=
p
2
+
k
2
−
D
1
−
m
2
,
D
1
=
(
p
−
k
)
2
−
m
2
{\displaystyle \ 2(p \cdot k) = p^{2} +k^{2} - D_{1} - m^{2}, \quad D_{1} = (p - k)^{2} - m^{2}}
.
Тоді, остаточно,
Σ
1
l
o
o
p
(
p
)
=
−
M
4
−
d
q
e
2
[
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
(
2
−
d
)
(
p
/
−
k
/
)
+
d
m
(
k
2
+
i
ε
)
(
(
p
−
k
)
2
−
m
2
+
i
ε
)
−
ϵ
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
(
k
/
(
p
2
−
m
2
)
−
(
p
/
−
m
)
k
2
(
k
2
+
i
ε
)
2
(
(
p
−
k
)
2
−
m
2
+
i
ε
)
−
k
/
(
k
2
+
i
ε
)
2
)
]
=
{\displaystyle \ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2}\left[ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \epsilon \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\left( \frac{k\!\!\!/ (p^{2} - m^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \frac{k\!\!\!/}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}}\right) \right] = }
=
−
q
e
2
M
4
−
d
[
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
i
(
2
−
d
)
(
p
/
−
k
/
)
+
d
m
(
k
2
+
i
ε
)
(
(
p
−
k
)
2
−
m
2
+
i
ε
)
−
ϵ
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
k
/
(
p
2
−
m
2
)
−
(
p
/
−
m
)
k
2
(
k
2
+
i
ε
)
2
(
(
p
−
k
)
2
−
m
2
+
i
ε
)
]
(
10
)
{\displaystyle \ = -q_{e}^{2}M^{4 - d}\left[ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{i(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \epsilon \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{k\!\!\!/ (p^{2} - m^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} \right] \qquad (10)}
,
де доданок
k
/
(
k
2
+
i
ε
)
2
{\displaystyle \ \frac{k\!\!\!/}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}}}
зник через явну антисиметричність функції. Видно, що на масовій поверхні, коли
p
/
−
m
=
p
2
−
m
2
=
0
{\displaystyle \ p\!\!\!/ - m = p^{2} - m^{2} = 0}
, внеску до перенормування маси калібрувально-неінваріантної частини не буде. Втім, внесок у перенормування поля від калібрувально-неінваріантної частини буде ненульовим.
Для обчислення інтегралів виразу
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
зручно ввести фейнманівські параметри (вираз
(
2
)
{\displaystyle (2)}
тут ):
1
(
k
2
+
i
ε
)
n
(
(
p
−
k
)
2
−
m
2
+
i
ε
)
=
2
∫
0
1
x
n
−
1
d
x
(
k
2
x
+
(
1
−
x
)
(
(
p
−
k
)
2
−
m
2
)
+
i
ε
)
n
+
1
=
2
∫
0
1
x
n
−
1
d
x
(
(
k
−
p
(
1
−
x
)
)
2
−
(
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
)
+
i
ε
)
n
+
1
{\displaystyle \ \frac{1}{(k^{2} + i\varepsilon )^{n}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} = 2\int \limits_{0}^{1}\frac{x^{n - 1}dx}{(k^{2}x + (1 - x)((p - k)^{2} - m^{2}) + i\varepsilon)^{n + 1}} = 2\int \limits_{0}^{1}\frac{x^{n - 1}dx}{((k - p(1 - x))^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{n + 1}}}
.
Для остаточного завершення попередньої роботи треба тепер зробити зсув (який ніяк не змінить міру інтегрування)
k
→
k
+
p
(
1
−
x
)
{\displaystyle \ k \to k + p(1 - x)}
. Тоді
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
набуде вигляду (лінійні по
k
{\displaystyle \ k}
доданки занулені одразу після зсуву)
Σ
1
l
o
o
p
(
p
)
=
−
M
4
−
d
q
e
2
[
(
2
−
d
)
p
/
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
∫
0
1
x
d
x
(
k
2
−
(
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
)
+
i
ε
)
2
+
d
m
d
d
k
(
2
π
)
d
∫
0
1
d
x
(
k
2
−
(
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
)
+
i
ε
)
2
]
+
{\displaystyle \ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2}\left[ (2 - d)p\!\!\!/ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{2}} + dm\frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{2}}\right] + }
+
M
4
−
d
q
e
2
ϵ
[
(
p
2
−
m
2
)
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
∫
0
1
x
(
1
−
x
)
d
x
(
k
2
−
(
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
)
+
i
ε
)
3
−
(
p
/
−
m
)
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
∫
0
1
d
x
(
k
2
−
(
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
)
+
i
ε
)
2
]
(
11
)
{\displaystyle \ +M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon \left[ (p^{2} - m^{2})\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{3}} - (p\!\!\!/ - m)\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{2}}\right] (11)}
.
Проінтегруємо по
k
{\displaystyle \ k}
з використанням табличного інтегралу
∫
d
d
k
(
2
π
)
d
1
(
k
2
−
Δ
+
i
ε
)
n
=
(
−
1
)
n
(
4
π
)
d
2
Γ
(
n
−
d
2
)
Γ
(
n
)
1
Δ
n
−
d
2
{\displaystyle \ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{1}{(k^{2} - \Delta + i\varepsilon )^{n}} = \frac{(-1)^{n}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{\Gamma \left( n - \frac{d}{2}\right)}{\Gamma (n)}\frac{1}{\Delta^{n - \frac{d}{2}} }}
.
Якщо
Δ
{\displaystyle \ \Delta}
являється від'ємним, то такі інтеграли набувають уявну частину. Оскільки
Δ
{\displaystyle \ \Delta}
являється функцією імпульсу і маси, то при деяких співвідношеннях між ними власна енергія буде мати стрибок. Для правильної роботи із такими розривами треба робити модифікацію
Δ
→
Δ
−
i
ε
{\displaystyle \ \Delta \to \Delta - i\varepsilon }
(вже після інтегрування). Отже,
(
11
)
{\displaystyle \ (11)}
тепер набуде вигляду
Σ
1
l
o
o
p
(
p
)
=
−
M
4
−
d
q
e
2
Γ
(
2
−
d
2
)
(
4
π
)
d
2
[
(
2
−
d
)
p
/
∫
0
1
x
d
x
(
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
)
2
−
d
2
+
d
m
∫
0
1
d
x
(
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
)
2
−
d
2
]
+
{\displaystyle \ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2}\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\left[ (2 - d)p\!\!\!/\int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}} + dm\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}\right] + }
+
M
4
−
d
q
e
2
ϵ
[
(
p
2
−
m
2
)
Γ
(
3
−
d
2
)
(
4
π
)
d
2
∫
0
1
x
(
1
−
x
)
d
x
(
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
)
3
−
d
2
−
(
p
/
−
m
)
Γ
(
2
−
d
2
)
(
4
π
)
d
2
∫
0
1
d
x
(
(
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
)
2
−
d
2
]
{\displaystyle \ +M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon \left[ (p^{2} - m^{2})\frac{\Gamma \left( 3 - \frac{d}{2} \right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}
}} \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{3 - \frac{d}{2}}} - (p\!\!\!/ - m)\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{((m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}\right]}
.
Врахуємо тепер, що
Γ
(
2
−
d
2
)
(
4
π
)
d
2
(
1
Δ
)
2
−
d
2
=
1
(
4
π
)
2
(
2
δ
−
γ
−
l
n
(
Δ
)
+
l
n
(
4
π
)
+
O
(
δ
)
)
,
δ
=
4
−
d
,
γ
=
0.57
{\displaystyle \ \frac{\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\left(\frac{1}{\Delta }\right)^{2 - \frac{d}{2}} = \frac{1}{(4 \pi )^{2}}\left(\frac{2}{\delta} - \gamma - ln (\Delta ) + ln(4 \pi ) + O(\delta ) \right), \quad \delta = 4 - d, \quad \gamma = 0.57}
,
занісши перед цим параметр
M
4
−
d
{\displaystyle \ M^{4 - d}}
у
m
2
(
1
−
x
)
−
p
2
x
(
1
−
x
)
,
Δ
=
m
2
M
2
(
1
−
x
)
−
p
2
M
2
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle \ m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x), \Delta = \frac{m^{2}}{M^{2}}(1 - x) - \frac{p^{2}}{M^{2}}x(1 -x)}
.
У результаті отримаємо інтеграли виду
∫
0
1
x
d
x
m
2
−
p
2
x
=
−
m
2
p
4
l
n
(
1
−
p
2
m
2
)
−
1
p
2
{\displaystyle \ \int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{m^{2} - p^{2}x} = -\frac{m^{2}}{p^{4}}ln\left( 1 - \frac{p^{2}}{m^{2}}\right) - \frac{1}{p^{2}}}
,
∫
0
1
x
d
x
l
n
(
m
2
M
2
(
1
−
x
)
−
p
2
M
2
x
(
1
−
x
)
)
=
−
3
4
−
2
m
2
+
p
2
4
p
2
−
2
1
M
4
(
m
4
−
p
4
)
l
n
(
m
2
−
p
2
M
2
)
+
2
m
4
l
n
(
m
2
M
2
)
{\displaystyle \ \int \limits_{0}^{1}xdxln\left( \frac{m^{2}}{M^{2}}(1 - x) - \frac{p^{2}}{M^{2}}x(1 - x)\right) = -\frac{3}{4} -\frac{2m^{2} + p^{2}}{4p^{2}} - 2\frac{1}{M^{4}}(m^{4} - p^{4})ln\left( \frac{m^{2} - p^{2}}{M^{2}}\right) + 2m^{4}ln\left( \frac{m^{2}}{M^{2}}\right)}
,
∫
0
1
d
x
l
n
(
m
2
M
2
(
1
−
x
)
−
p
2
M
2
x
(
1
−
x
)
)
=
−
2
+
(
1
−
m
2
p
2
)
l
n
(
m
2
−
p
2
M
2
)
+
m
2
p
2
l
n
(
m
2
M
2
)
{\displaystyle \ \int \limits_{0}^{1}dxln\left( \frac{m^{2}}{M^{2}}(1 - x) - \frac{p^{2}}{M^{2}}x(1 - x)\right) = -2 + \left( 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}\right)ln\left( \frac{m^{2} - p^{2}}{M^{2}}\right) + \frac{m^{2}}{p^{2}}ln \left( \frac{m^{2}}{M^{2}}\right)}
,
кожен з яких є кінечним на масовій поверхні або внаслідок власної структури, або внаслідок того, що перед ними стоять множники
1
−
m
2
p
2
{\displaystyle \ 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}}
, внаслідок тотожності
lim
p
2
→
m
2
(
1
−
m
2
p
2
)
l
n
(
1
−
m
2
p
2
)
=
0
{\displaystyle \ \lim_{p^{2} \to m^{2}} \left( 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}\right)ln\left( 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}\right) = 0}
.
Тепер можна використати результати попереднього підрозділу:
Z
2
=
1
−
(
∂
Σ
1
l
o
o
p
(
p
)
∂
p
/
)
p
2
=
m
2
,
δ
m
=
−
(
Σ
1
l
o
o
p
(
p
)
)
p
2
=
m
2
{\displaystyle \ Z_{2} = 1 - \left(\frac{\partial \Sigma_{1loop}(p)}{\partial p\!\!\!/}\right)_{p^{2} = m^{2}}, \quad \delta m = -\left( \Sigma_{1loop}(p)\right)_{p^{2} = m^{2}}}
.
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }
{\displaystyle \ }