NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

У цьому розділі в рамках непертурбативного підходу будуть отримані результати, що дозволять прояснити фізичний зміст введення контрчленів у лагранжіанах перенормовних теорій.

Полюсна апроксимація амплітуд[]

Для подальших викладок знадобляться результати, що апроксимують матричні елементи полюсними вкладами.

Отже, розглянемо у імпульсному представленні амплітуду

,

де - довільна операторозначна локальна функція полів та їх похідних. У частинному випадку, коли відповідають полям, вираз визначає суму всіх діаграм, що відповідають зовнішнім лініям , причому по цім лініям текуть 4-імпульси , які не знаходяться на масовій поверхні (формально, такі вирази відповідають внутрішнім діаграмам).

Спростимо цей вираз, привівши його до якогось осмисленого результату. Серед можливих часових впорядкувань виразу у виразі існують таких, для яких всі перші моментів більше, ніж останні . Виділяючи вклад цієї частини доданків у , його можна записати як

,

де три точки означають доданки з усіма можливими іншими способами часового впорядкування. Вставимо між двома часовими впорядкуваннями повний базис і виділимо явний вклад від одночастинкових станів цієї суми (все інше піде у три крапки). Отримаємо (по імпульсам інтегруємо)

.

Зсунемо тепер змінні інтегрування: та .

Завдяки цьому набуде вигляду

.

Підинтегральний вираз має полюс першого порядку 1. В силу цього можна покласти вираз в експоненті від інтегрального представлення функції Хевісайда рівним нулю. Тоді інтеграли по стають тривіальними (в силу дельта-функції), в результаті чого перетворюється в

,

де . Три крапки містять подібні доданки із полюсами в інших точках.

Окрім того, перепозначимо тепер (що можна зробити в силу малості ): отримаємо

.

Отже, нарешті,

.

Для деякої інтерпретації змісту можна переписати цей вираз як

.

Це означає, що якби всі були б полями, то наш вираз відповідав би вкладу від фейнманівської діаграми із єдиною внутрішньою лінією, що відповідає частинці масою і що з'єднує перші зовнішніх ліній із останніми зовнішніми лініями. При цьому не обов'язково, щоб частинка відповідала полю, що входить в лагранжіан даної теорії (тоді полюсів - нескінченність); натомість вона може відповідати зв'язаним станам елементарних частинок, яким відповідають поля лагранжіану (як атом водню, позитроній тощо). Цей результат вже не міг би бути отриманим у рамках теорії збурень.

Редукційна формула. Перенормування мас та полів[]

Використаємо тепер вираз у частинному випадку - коли з усіх 4-імпульсів зовнішніх ліній лише один наближається до масової оболонки. Це відповідає у виразі . Замість тоді можна записати

,

де - оператор, що має такі ж трансформаційні властивості відносно перетворень групи Лоренца, як і поле ; всі інші оператори є довільними локальними гейзенбергівськими операторами. Нехай також існує одночастинковий стан такий, що елементи не рівні нулю. Тоді згідно до виразу

.

В силу вказаної властивості оператора справедливий вираз (порівняйте із загальним виразом для коваріантного поля)

,

де - деяка константа. Ввівши також формально величину за формулою

,

вираз можна переписати як

.

Величина, що входить як множник при , являється нічим іншим, як пропагатором у імпульсному просторі для вільного поля, що має такі ж властивості щодо перетворень за групою Лоренца, що й . Таким чином, у можна інтерпретувати як суму всіх діаграм, зовнішні лінії яких (з імпульсами ) відповідають операторам , причому всі пропагатори, що відповідають , відкинуті. Тоді формула відповідає звичайному виразу для визначення матричного елемента вивільнення частинки у вигляді суми фейнманівських діаграм: треба відкинути пропагатор частинки, замінивши його згорткою з множником для зовнішньої лінії. Єдиною відмінністю є наявність множника .

Результат, сформульований вище, називається редукційною формулою. У частинному випадку, коли є одним з полів лагранжіану, ця формула каже, що для визначення матричних елементів за правилами Фейнмана треба спочатку перевизначити поля так, щоб із зник множник .

Цей множник виникає також у тому випадку, якщо в замість купи операторів написати один оператор , що є спряженим до . Тоді вираз можна записати (з урахуванням ) як

,

тобто, виникає пропагатор. Проте згідно із , множник у ньому міститися не повинен; він зникає, якщо перенормувати поле .

Отже, перенормоване поле - це таке поле, пропагатор якого має таку ж поведінку в околі полюса, як і вільне поле, а перенормована маса визначається положенням полюса.

Представлення Челлена-Лемана. Наочна демонстрація фізичного змісту полюсів[]

Множник , що введений у , визначає перенормування поля для випадків теорії із взаємодією. Оцінимо його для скалярного поля.

Для цього розглянемо вакуумне середнє

.

В силу трансляційної інваріантності та того факту, що стани є власними для оператору 4-імпульсу , можна записати

.

Цей вираз можна переписати (із введенням проміжного формального інтегрування ) як

,

де введена скалярна функція спектральної густини (функція Хевісайда з'явилась в силу того, що стани фоківського базису мають фізичну енергію). Ввівши ще одне формальне інтегрування, можна переписати як

,

де - добре знайомий вираз із розділу про теорему Паулі, переписаний у явно лоренц-інваріантному вигляді.

Зовсім аналогічно можна показати, що .

Як і для вільної теорії, повинен виконуватися принцип причинності, звідки для простороподібних інтервалів

. Дійсно, функція (як відомо із тієї ж статті про теорему Паулі) є парною функцією при простороподібних інтервалах, тому комутатор визначається різницею .

Знайдемо тепер вираз для "узагальненого" пропагатора у імпульсному представленні. Для цього введемо функцію

.

В силу вже відомих викладок цей вираз рівний

,

де - пропагатор скалярного поля. Врахувавши тепер, що оператор по координаті є прямим перетворенням Фур'є, а інтеграл у пропагаторі - оберненим, маємо

.

Врахувавши тепер, що для ще неперенормованого скалярного поля справедлива рівність

,

а також те, що для функції справедлива рівність , маємо

.

Тепер залишається зробити останній крок. В силу того, що пропагатори перенормованих полів повинні мати полюс при з залишком , функцію спектральної густини можна переписати як .

Звідси з маємо

.

Випадок відповідає ситуації, коли частинка є складовою, а не елементарною, тобто що її поле не міститься у лагранжіані.

Є ідея, що цей результат також можна отримати для полів довільного спіну (хоч така можливість "затуманена" тим, що для полів різних спінів канонічні імпульси виглядають по-різному, і тому складніше буде отримати щось на кшталт ). Можна також зробити більш ясними слова попереднього підрозділу про те, що треба модифікувати повний пропагатор. Дійсно, виділивши у одночастинковий вклад, можна отримати (врахувавши вищенаведений вигляд функції спектральної густини), що

.

Ще один наочний спосіб демонстрації необхідності модифікації пропагатора (більш стандартний і пов'язаний із теорією збурень) виникне при переписуванні вакуумного середнього двох полів у представленні Гейзенберга через представлення взаємодії. Отже, повний пропагатор у теорії із взаємодією вже не являє собою "просту" пряму лінію на мові фейнманівських діаграм. Тепер усередині будуть різні петльові замкнуті діаграми. Про те, як їх враховувати, див. наступний розділ.

Advertisement