NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Почнемо із доведених у попередньому підрозділі тотожностей Славнова-Тейлора,

,

і рівнянь для гостів через сильнозв'язні діаграми:

.

Введемо модифіковану ефективну сильнозв'язну діаграму , покладемо всі некалібрувальні поля рівними нулю і формально перепозначимо . Отримаємо

.

Співвідношення не містять констант зв'язку та явної інформації про групові властивості. Тому вони зручні для аналізу перенормовності теорії.

Перенормовність теорії[]

Розглянемо деяку сильнозв'язну діаграму, розклавши її за ступенями . Запишемо розклад регуляризованого (використовується розмірна регуляризація, яка не порушує калібрувальну інваріантність теорії) доданку, пропорційного , яка побудована уже із врахуванням усіх контрчленів для доданків, пропорційних нижчим порядкам сталої Планка:

,

де перший доданок відповідає скінченній частині доданку, а другий - нескінченній. Із слідує, що усі функціонали залежать від лише як від їх комбінації .

Розклавши за степенями , , а також - ввівши компактне позначення

,

можна, підставивши вказаний розклад у , отримати набір тотожностей

.

Таким чином, питання перенормовності теорії стоїть тепер у питанні існування контрчленів для довільних порядків, які б задовольняли виразу для перенормованих діаграм . Для доведення зручно використати рекурсивний метод.

Для цього почнемо із , яке, по суті, співпадає із дією (індекси опускаються, проте, звичайно, маються на увазі):

.

Воно, звісно, задовольняє . Для першого порядку маємо дві рівності:

.

Друге рівняння співпадає із при , а перше рівняння визначає структуру контрчлена першого порядку. Для знищення розбіжного члену можна спробувати модифікувати дію як . При цьому необхідна рівність не виконується: . Проте тут права частина пропорційна . Звідси слідує, що повинно мати вигляд , де відповідає інтегралу від локального поліному четвертої степені, має другий порядок по і підібраний так, щоб скоротити у рівності . Ця модифікація не зачіпає .

Структуру можна отримати, виходячи із структури . Якщо виявиться, що

,

де

,

то природнім вибором буде . Тоді

.

При

виконується рівність , і рекурентне доведення можна продовжити.

Треба довести .

Доведення виразів []

Знайдемо загальний розв'язок рівняння

.

Як видно із таких позначень, , що слідує із та із антикомутативності наборів . У деякому сенсі є узагальненням БРСТ-перетворень.

Видно також, що якщо деякий функціонал залежить лише від полів , то

.

Тут, по-перше, підставлений явний вираз (врахований вид BRST-перетворення для і явний вигляд коваріантної похідної), а по-друге, використаний той факт, що в силу калібрувальної інваріантності функціоналу виконується наступне:

,

де може бути і гостом.

Це означає, що розв'язок можна подати як .

Використаємо цей факт для отримання явного виразу для . Із врахуванням того, що духове число повинно зберігатися, що розмірність діаграми має бути рівною нулю і що вона може залежати лише від комбінації , маємо такий вираз:

,

де розмірність складає чотири, розмірність складає один (мають максимум лінійну залежність від калібрувальних полів), - числа. Якщо припустити, що глобальна калібрувальна симетрія не порушується, то

.

Підстановка всіх цих виразів до дає

.

Розв'язок цього рівняння складається із частинного і загального,

.

Отже,

,

де мають порядок .

Використовуючи властивість однорідності "голого" лагранжіану ,

, можна буде звести до вигляду

.

Цей результат і доводить вірність виразів . Дійсно, по-перше, із нього слідує, що перенормовуються однаковим чином (однаковість константи при варіаційній похідній); по-друге, записавши

,

і підставивши у рекурсійну рівність

,

можна отримати, що

.

Висновки[]

Попередні викладки показують, що неабелеві калібрувальні теорії можна перенормувати без втрати калібрувальної інваріантності, тобто, у кожному порядку теорії збурень вдається підібрати такі контрчлени, які скорочують нескінченності та водночас задовольняють тотожностям Славнова-Тейлора. Більше того, наведений результат можна узагальнити на випадок взаємодії із ферміонами (випадок, що виникає при наявності кіральних взаємодій, буде описаний у розділі про кіральні аномалії), що побудована мінімальним чином - подовженням похідної. Дійсно, тоді єдина відмінність буде полягати у тому, що у тотожностях Славнова-Тейлора будуть доданки, що відповідають цим полям, і це призведе до незначної модифікації . По суті, таке "просте" узагальнення диктується вже розглянутим твердженням про те, що перенормування можна заховати у константи зв'язку та маси.

Advertisement