Введемо модифіковану ефективну сильнозв'язну діаграму , покладемо всі некалібрувальні поля рівними нулю і формально перепозначимо . Отримаємо
.
Співвідношення не містять констант зв'язку та явної інформації про групові властивості. Тому вони зручні для аналізу перенормовності теорії.
Перенормовність теорії[]
Розглянемо деяку сильнозв'язну діаграму, розклавши її за ступенями . Запишемо розклад регуляризованого (використовується розмірна регуляризація, яка не порушує калібрувальну інваріантність теорії) доданку, пропорційного , яка побудована уже із врахуванням усіх контрчленів для доданків, пропорційних нижчим порядкам сталої Планка:
,
де перший доданок відповідає скінченній частині доданку, а другий - нескінченній. Із слідує, що усі функціонали залежать від лише як від їх комбінації .
Розклавши за степенями , , а також - ввівши компактне позначення
,
можна, підставивши вказаний розклад у , отримати набір тотожностей
.
Таким чином, питання перенормовності теорії стоїть тепер у питанні існування контрчленів для довільних порядків, які б задовольняли виразу для перенормованих діаграм . Для доведення зручно використати рекурсивний метод.
Для цього почнемо із , яке, по суті, співпадає із дією (індекси опускаються, проте, звичайно, маються на увазі):
.
Воно, звісно, задовольняє . Для першого порядку маємо дві рівності:
.
Друге рівняння співпадає із при , а перше рівняння визначає структуру контрчлена першого порядку. Для знищення розбіжного члену можна спробувати модифікувати дію як . При цьому необхідна рівність не виконується: . Проте тут права частина пропорційна . Звідси слідує, що повинно мати вигляд , де відповідає інтегралу від локального поліному четвертої степені, має другий порядок по і підібраний так, щоб скоротити у рівності . Ця модифікація не зачіпає .
Структуру можна отримати, виходячи із структури . Якщо виявиться, що
,
де
,
то природнім вибором буде . Тоді
.
При
виконується рівність , і рекурентне доведення можна продовжити.
Треба довести .
Доведення виразів []
Знайдемо загальний розв'язок рівняння
.
Як видно із таких позначень, , що слідує із та із антикомутативності наборів . У деякому сенсі є узагальненням БРСТ-перетворень.
Видно також, що якщо деякий функціонал залежить лише від полів , то
.
Тут, по-перше, підставлений явний вираз (врахований вид BRST-перетворення для і явний вигляд коваріантної похідної), а по-друге, використаний той факт, що в силу калібрувальної інваріантності функціоналу виконується наступне:
,
де може бути і гостом.
Це означає, що розв'язок можна подати як .
Використаємо цей факт для отримання явного виразу для . Із врахуванням того, що духове число повинно зберігатися, що розмірність діаграми має бути рівною нулю і що вона може залежати лише від комбінації , маємо такий вираз:
,
де розмірність складає чотири, розмірність складає один (мають максимум лінійну залежність від калібрувальних полів), - числа. Якщо припустити, що глобальна калібрувальна симетрія не порушується, то
.
Підстановка всіх цих виразів до дає
.
Розв'язок цього рівняння складається із частинного і загального,
.
Отже,
,
де мають порядок .
Використовуючи властивість однорідності "голого" лагранжіану ,
, можна буде звести до вигляду
.
Цей результат і доводить вірність виразів . Дійсно, по-перше, із нього слідує, що перенормовуються однаковим чином (однаковість константи при варіаційній похідній); по-друге, записавши
,
і підставивши у рекурсійну рівність
,
можна отримати, що
.
Висновки[]
Попередні викладки показують, що неабелеві калібрувальні теорії можна перенормувати без втрати калібрувальної інваріантності, тобто, у кожному порядку теорії збурень вдається підібрати такі контрчлени, які скорочують нескінченності та водночас задовольняють тотожностям Славнова-Тейлора. Більше того, наведений результат можна узагальнити на випадок взаємодії із ферміонами (випадок, що виникає при наявності кіральних взаємодій, буде описаний у розділі про кіральні аномалії), що побудована мінімальним чином - подовженням похідної. Дійсно, тоді єдина відмінність буде полягати у тому, що у тотожностях Славнова-Тейлора будуть доданки, що відповідають цим полям, і це призведе до незначної модифікації . По суті, таке "просте" узагальнення диктується вже розглянутим твердженням про те, що перенормування можна заховати у константи зв'язку та маси.