Отримання виразів для енергії та імпульсу без використання класичної механіки

Повернутися до розділу "Енергія та імпульс у СТВ".

Отримання релятивістських виразів для енергії та імпульсу можливе і без використання класичної механіки. Для цього досить розглянути зіткнення точкових частинок з однаковими (для спрощення викладок без зменшення їхньої загальності) масами $\ m$. Розпочати можна з виразу для енергії частинки.

Нехай пружне зіткнення є симетричним - дві однакові частинки налітають одна на одну зі швидкостями, рівними по модулю та протилежними за знаком. Експеримент показує, що при такому розкладі після зіткнення частинок вони розлітаються у протилежні напрямки, змінивши знаки швидкостей на протилежні. Виходячи з цього, а також - з ізотропності простору, для описання такого процесу можна ввести деяку функцію, яка залежить від швидкості у степені $\ v^{2}$. Окрім того, враховуючи те, що при зіткненні частинок з різними масами симетрія по швидкостям розльоту порушується у відповідності до відношення мас, можна прийняти, що така функція пропорційна $\ m$. Отже, назвавши таку функцію енергією, можна записати, що

$\ E = mf(\mathbf v ^{2})$,

і допустити, що для системи частинок при їх зіткненнях (частинки не знаходяться у полях та не діють одна із одною за допомогою полів) сума таких функцій зберігається. Тоді, якщо розглянути дві частинки однакових мас, які рухалися одна на одну з однаковими за модулями та протилежними за знаками швидкостями і зіткнулися непружно, то при умові точковості частинок та умові збереження функції енергії слідує, що функція енергії не приймає нульового значення за нульової швидкості. Зберігаючи пропорційність за розмірністю по квадрату швидкості, можна покласти

$\ E (0) = mc^{2}, \quad f(\mathbf v^{2}) \to f \left( \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}} \right)$.

Далі можна розглянути абсолютно непружне лобове зіткнення частинок. Нехай частинки летять по осі $\ Oy$ із однаковими швидкостями $\ |\mathbf v_{y}| = |\mathbf v |$. Тоді закон збереження енергії у такій буде мати вигляд

$\ 2mc^{2}f\left( \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}\right) = Mc^{2} \Rightarrow M = 2m f\left( \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}\right) \qquad (.1)$.

Нехай тепер здійснено перехід до ІСВ, що рухається із швидкістю $\ \mathbf u_{x} = \mathbf u$ по осі $\ Ox$. Тоді закон збереження буде мати вигляд

$\ v'_{y} = v \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}, \quad v'_{x} = u \Rightarrow$,

$\ \Rightarrow 2mc^{2}f\left( \frac{\mathbf v'^{2} }{c^{2}}\right) = 2mc^{2}f\left( \frac{u^{2} + \mathbf v^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}{c^{2}}\right) = Mc^{2}f\left(\frac{u^{2}}{c^{2}}\right) = |(.1)| = 2mc^{2}f\left(\frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}\right)f\left(\frac{u^{2}}{c^{2}}\right) \Rightarrow$

$\ \Rightarrow f\left( \frac{u^{2} + \mathbf v^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}{c^{2}}\right) = f\left(\frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}\right)f\left(\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)$.

Якщо взяти похідну по квадрату швидкості $\ \frac{u^{2}}{c^{2}}$ і прирівняти її після цього до нуля, можна буде отримати

$\ f'\left( \frac{u^{2} + \mathbf v^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right)}{c^{2}}\right)\left[ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right]_{u = 0} = f'_{\frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}}\left(\frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}\right)\left[ 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right] =_{right} = f'(0)f\left( \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}} \right) \Rightarrow f\left( \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}\right) = \frac{1}{\left( 1 - \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}\right)^{f'(0)}} \Rightarrow E = \frac{mc^{2}}{\left( 1 - \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}\right)^{f'(0)}}$.

Для визначення значення $\ f'(0)$ можна розглянути інший випадок зіткнення. Нехай дві однакові частинки рухаються по осі $\ Ox$ із однаковими по модулю швидкостями назустріч одна одній ($\ \mathbf v_{1} = v, \mathbf v_{2} = -v$). При переході до ІСВ, що рухається із швидкістю, рівній за модулем і знаком швидкості частинки, що рухається із швидкістю $\ -v$, можна отримати:

$\ v'_{1} = \frac{v - (-v)}{1 - \frac{v(-v)}{c^{2}}} = \frac{2v}{1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}}, \quad v_{2}' = 0$,

$\ \frac{mc^{2}}{\left( 1 - \frac{4v^{2}}{c^{2}\left( 1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{2}} \right)^{f'(0)}} + mc^{2} = \frac{Mc^{2}}{\left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{f'(0)}} = |(.1)| = \frac{2mc^{2}}{\left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{2f'(0)}} \qquad (.2)$.

Після скорочення на $\ mc^{2}$, врахування того, що

$\ 1 - \frac{4v^{2}}{\left( 1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{2}} = \left(\frac{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}{1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}}\right)^{2}$,

і піднесення до спільного знаменника із $\ (.2)$ можна отримати

$\ \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right)^{2 f'(0)} + \left(\frac{\left(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{2}}{1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}}\right)^{2a} = 2\left(\frac{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}{1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}}\right)^{2a} \Rightarrow \left( 1 + \frac{v^{2}}{c^{2}} \right)^{2 f'(0)} + \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} \right)^{2 f'(0)} = 2 \qquad (.3)$.

Звідси слідує, що для довільних швидкостей $\ v$ вираз $\ (.3)$ буде справедливий лише тоді, коли

$\ f'(0) = \frac{1}{2}$.

Тоді, нарешті, вираз для енергії частинки набуде вигляду

$\ E = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}}}$.

Тепер можна розглянути вираз для енергії частинки, що рухається із швидкістю $\ \mathbf v$, при переході до нової ІСВ, яка рухається із довільною швидкістю $\ \mathbf u$. Враховуючи вираз

$\ 1 - \frac{\mathbf v'^{2}}{c^{2}} = \frac{\left( 1 - \frac{\mathbf u^{2}}{c^{2}}\right) \left( 1 - \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}}\right)^{2}}$,

можна отримати:

$\ E' = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{mc^{2}\left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}}\right)}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{\mathbf u^{2}}{c^{2}}}} = \frac{E - (\mathbf u \cdot \mathbf p )}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (.3)$,

де

$\ \mathbf p = \frac{m\mathbf v}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}}}$

- релятивістський імпульс.

Оскільки для системи частинок зберігається енергія, в силу принципу відносності, незалежно від ІСВ, то із $\ (.3)$ слідує, що зберігається і релятивістський імпульс:

$\ E' = \frac{\sum E_{i} - (\mathbf u \cdot \sum \mathbf p_{i} )}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf u^{2}}{c^{2}}}} = const \Rightarrow \sum \mathbf p_{i} = const$.