Доведення 1 [ ]
Перша Лема Шура .
В силу комутації
I
^
{\displaystyle \ \hat {\mathbf I}}
з будь-яким незвідним представленням, для
u
{\displaystyle \ \mathbf u}
, який є власним вектором матриці
I
^
{\displaystyle \ \hat {\mathbf I}}
, перетворення
u
i
=
T
^
(
g
i
)
u
{\displaystyle \ \mathbf {u} _{i}={\hat {\mathbf {T} }}(g_{i})\mathbf {u} }
також є власним вектором, що відповідає тому ж власному числу, що і початковий вектор:
I
^
T
^
(
g
i
)
u
=
T
^
(
g
i
)
I
^
u
=
λ
u
i
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {I} }}{\hat {\mathbf {T} }}(g_{i})\mathbf {u} ={\hat {\mathbf {T} }}(g_{i}){\hat {\mathbf {I} }}\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} _{i}}
.
Далі, набір векторів
u
i
{\displaystyle \ \mathbf {u} _{i}}
утворює інваріантний простір сукупності всіх матриць представлення групи (дія операторів на вектор знову дає вектор, що належить даному простору):
T
^
(
g
j
)
u
i
=
T
^
(
g
j
)
T
^
(
g
i
)
u
=
T
^
(
g
k
)
u
=
u
k
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {T} }}(g_{j})\mathbf {u} _{i}={\hat {\mathbf {T} }}(g_{j}){\hat {\mathbf {T} }}(g_{i})\mathbf {u} ={\hat {\mathbf {T} }}(g_{k})\mathbf {u} =\mathbf {u} _{k}}
,
якщо
g
i
{\displaystyle \ g_{i}}
пробігає всю групу.
Незвідні представлення не можуть мати інваріантні підпростори. Тому розмірність векторів
u
i
{\displaystyle \ \mathbf {u} _{i}}
співпадає з розмірністю всього простору, і вектори утворюють базис усього простору. В результаті, для довільного вектора
v
{\displaystyle \ \mathbf v}
, розклавши його по базису з цих векторів, можна записати, що
I
^
v
=
I
^
∑
i
a
i
u
i
=
λ
∑
i
a
i
u
i
=
λ
v
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {I} }}\mathbf {v} ={\hat {\mathbf {I} }}\sum _{i}a_{i}\mathbf {u} _{i}=\lambda \sum _{i}a_{i}\mathbf {u} _{i}=\lambda \mathbf {v} }
,
що можливе лише тоді, коли
I
^
=
λ
E
^
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {I} }}=\lambda {\hat {\mathbf {E} }}}
.
Доведення 2 [ ]
Умова ортогональності незвідних представлень .
Для доведення можна ввести матрицю
M
^
=
∑
i
=
1
γ
T
^
(
g
i
)
X
^
T
^
(
g
i
−
1
)
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {M} }}=\sum _{i=1}^{\gamma }{\hat {\mathbf {T} }}(g_{i}){\hat {\mathbf {X} }}{\hat {\mathbf {T} }}(g_{i}^{-1})}
, де
X
^
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {X} }}}
- довільна матриця. Така матриця комутує з будь-якою матрицею-представленням,
T
^
(
g
j
)
M
^
=
∑
i
=
1
γ
T
^
(
g
j
)
T
^
(
g
i
)
X
^
T
^
(
g
i
−
1
)
=
∑
i
=
1
γ
T
^
(
g
j
)
T
^
(
g
i
)
X
^
T
^
(
g
i
−
1
)
T
^
(
g
j
−
1
)
T
^
(
g
j
)
=
|
g
k
=
g
j
g
i
|
=
∑
i
=
1
γ
T
^
(
g
k
)
X
^
T
^
(
g
k
−
1
)
T
^
(
g
j
)
=
M
^
T
^
(
g
j
)
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {T} }}(g_{j}){\hat {\mathbf {M} }}=\sum _{i=1}^{\gamma }{\hat {\mathbf {T} }}(g_{j}){\hat {\mathbf {T} }}(g_{i}){\hat {\mathbf {X} }}{\hat {\mathbf {T} }}(g_{i}^{-1})=\sum _{i=1}^{\gamma }{\hat {\mathbf {T} }}(g_{j}){\hat {\mathbf {T} }}(g_{i}){\hat {\mathbf {X} }}{\hat {\mathbf {T} }}(g_{i}^{-1}){\hat {\mathbf {T} }}(g_{j}^{-1}){\hat {\mathbf {T} }}(g_{j})=|g_{k}=g_{j}g_{i}|=\sum _{i=1}^{\gamma }{\hat {\mathbf {T} }}(g_{k}){\hat {\mathbf {X} }}{\hat {\mathbf {T} }}(g_{k}^{-1}){\hat {\mathbf {T} }}(g_{j})={\hat {\mathbf {M} }}{\hat {\mathbf {T} }}(g_{j})}
,
а тому, за лемою Шура, пропорційна одиничній. Тепер у матриці
X
^
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {X} }}}
можна покласти рівними нулю всі елементи, крім елементу з фіксованими індексами
X
α
0
,
β
0
=
λ
{\displaystyle \ X_{\alpha _{0},\beta _{0}}=\lambda }
.
Тоді у індексному вигляді
M
α
β
=
∑
i
=
1
γ
T
α
μ
(
g
i
)
X
μ
ν
T
ν
β
(
g
i
−
1
)
=
∑
i
=
1
γ
T
α
α
0
(
g
i
)
T
β
0
β
(
g
i
−
1
)
=
λ
δ
α
β
=
|
α
=
β
|
=
n
λ
{\displaystyle \ M_{\alpha \beta }=\sum _{i=1}^{\gamma }T_{\alpha \mu }(g_{i})X_{\mu \nu }T_{\nu \beta }(g_{i}^{-1})=\sum _{i=1}^{\gamma }T_{\alpha \alpha _{0}}(g_{i})T_{\beta _{0}\beta }(g_{i}^{-1})=\lambda \delta _{\alpha \beta }=|\alpha =\beta |=n\lambda }
.
З іншого боку, при
α
=
β
{\displaystyle \ \alpha =\beta }
∑
i
=
1
γ
T
α
α
0
(
g
i
)
T
β
0
α
(
g
i
−
1
)
=
∑
i
=
1
γ
(
T
(
g
i
g
i
−
1
)
)
α
0
β
0
=
γ
δ
α
0
β
0
{\displaystyle \ \sum _{i=1}^{\gamma }T_{\alpha \alpha _{0}}(g_{i})T_{\beta _{0}\alpha }(g_{i}^{-1})=\sum _{i=1}^{\gamma }(T(g_{i}g_{i}^{-1}))_{\alpha _{0}\beta _{0}}=\gamma \delta _{\alpha _{0}\beta _{0}}}
.
Звідси
λ
=
γ
n
δ
α
0
β
0
{\displaystyle \ \lambda ={\frac {\gamma }{n}}\delta _{\alpha _{0}\beta _{0}}}
.
Отже,
M
α
β
=
λ
δ
α
β
=
γ
n
δ
α
0
β
0
δ
α
β
{\displaystyle \ M_{\alpha \beta }=\lambda \delta _{\alpha \beta }={\frac {\gamma }{n}}\delta _{\alpha _{0}\beta _{0}}\delta _{\alpha \beta }}
.
Доведення 3 [ ]
Рівність
[
f
(
X
)
,
Y
]
=
f
′
(
X
)
α
{\displaystyle \ [f(\mathbf {X} ),\mathbf {Y} ]=f'(\mathbf {X} )\alpha }
.
Дійсно,
[
f
(
X
)
,
Y
]
=
∑
n
=
0
∞
c
n
[
X
n
,
Y
]
=
∑
n
c
n
(
X
n
Y
−
Y
X
n
)
=
∑
n
c
n
(
X
n
−
1
X
Y
−
Y
X
n
)
=
∑
n
c
n
(
X
n
−
1
(
α
+
Y
X
)
−
Y
X
n
)
=
{\displaystyle [f(\mathbf {X} ),\mathbf {Y} ]=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}[\mathbf {X} ^{n},\mathbf {Y} ]=\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n}\mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n-1}\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n-1}(\alpha +\mathbf {Y} \mathbf {X} )-\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=}
=
∑
n
c
n
(
X
n
−
1
α
+
X
n
−
2
X
Y
X
−
Y
X
n
)
=
∑
n
c
n
(
X
n
−
1
α
+
X
n
−
2
α
X
+
X
n
−
2
Y
X
2
−
Y
X
n
)
=
∑
n
(
2
α
X
n
−
1
+
X
n
−
2
(
α
+
Y
X
)
X
2
−
Y
X
n
)
=
{\displaystyle =\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n-1}\alpha +\mathbf {X} ^{n-2}\mathbf {X} \mathbf {Y} \mathbf {X} -\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\sum _{n}c_{n}(\mathbf {X} ^{n-1}\alpha +\mathbf {X} ^{n-2}\alpha \mathbf {X} +\mathbf {X} ^{n-2}\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{2}-\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\sum _{n}(2\alpha \mathbf {X} ^{n-1}+\mathbf {X} ^{n-2}(\alpha +\mathbf {Y} \mathbf {X} )\mathbf {X} ^{2}-\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=}
=
∑
n
c
n
(
(
n
−
1
)
α
X
n
+
(
α
+
Y
X
)
X
n
−
1
−
Y
X
n
)
=
α
∑
n
c
n
n
X
n
−
1
=
α
f
′
(
X
)
{\displaystyle =\sum _{n}c_{n}((n-1)\alpha \mathbf {X} ^{n}+(\alpha +\mathbf {Y} \mathbf {X} )\mathbf {X} ^{n-1}-\mathbf {Y} \mathbf {X} ^{n})=\alpha \sum _{n}c_{n}n\mathbf {X} ^{n-1}=\alpha f'(\mathbf {X} )}
.