NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Доведення 1[]

Перша Лема Шура.

В силу комутації з будь-яким незвідним представленням, для , який є власним вектором матриці , перетворення також є власним вектором, що відповідає тому ж власному числу, що і початковий вектор:

.

Далі, набір векторів утворює інваріантний простір сукупності всіх матриць представлення групи (дія операторів на вектор знову дає вектор, що належить даному простору):

,

якщо пробігає всю групу.

Незвідні представлення не можуть мати інваріантні підпростори. Тому розмірність векторів співпадає з розмірністю всього простору, і вектори утворюють базис усього простору. В результаті, для довільного вектора , розклавши його по базису з цих векторів, можна записати, що

,

що можливе лише тоді, коли .

Доведення 2[]

Умова ортогональності незвідних представлень.

Для доведення можна ввести матрицю , де - довільна матриця. Така матриця комутує з будь-якою матрицею-представленням,

,

а тому, за лемою Шура, пропорційна одиничній. Тепер у матриці можна покласти рівними нулю всі елементи, крім елементу з фіксованими індексами .

Тоді у індексному вигляді

.

З іншого боку, при

.

Звідси .

Отже, .

Доведення 3[]

Рівність

.

Дійсно,

.

Advertisement