NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Тепер можна перейти до зв'язку незвідних представлень групи Пуанкаре та стану частинки у квантовій теорії поля. Для цього треба використати факт, що у квантовій механіці 4-імпульс частинки відповідає оператору , а вектор моменту імпульсу - одному із 3-операторів, з яких побудований тензор групи Лоренца.

Відповідно до цього,

,

де - квадрат маси частинки.

Далі, квадрат оператору Любанського-Паулі у системі, в якій просторовий імпульс частинки рівен нулю (при використанні відповідності операторів відповідним спостережуваним величинам маємо ), при дії на функцію стану дає

,

де - спінове квантове число. Тут був використаний факт того, що , тому, згідно із властивостями антисиметричних тензорів,

.

В силу інваріантності оператора Казиміра відносно трансляцій та перетворень групи Лоренца це власне число не залежить від вибору системи відліку, тобто .

Згадаємо тепер, що незвідні представлення групи Лоренца характеризувались прямим добутком двох представлень групи , які (недбало кажучи) пов'язані комплексним спряженням:

,

де числа є максимальними власними числами операторів вказаних груп, які, у свою чергу, пов'язані із генераторами бустів і 3-поворотів незвідного представлення групи Лоренца як . Якщо підставити наведений зв'язок у , можна отримати

.

Ця взагалі-то формальна викладка наочно демонструє зроблене раніше твердження, що математична природа об'єкту визначає фізично спостережувану величину - спін.

Таким чином, вільна частинка із точки зору Пуанкаре-симетрії (а інші симетрії для вільної частинки у просторі-часі Мінковського не мають сенсу) характеризується спіном і масою.

Вігнером була розроблена класифікація представлень залежності від значення маси .

1. . Власні значення ненульові. Стан характеризується квадратами маси та спіну . Стани представлення відрізняються значенням проекції спіну на задану (найчастіше обирають z) вісь, (таким чином, є спінових ступенів вільності), і неперервними власними значеннями компонент 4-оператора . Отже, представлення відповідають частинці маси , спіну , імпульсу та проекції спіну на напрямок руху . Про реалізацію унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре для масивних частинок написано у розділі про спінорні представлення груп Лоренца та Пуанкаре.

2. . Власні значення обох операторів Казиміра обертаються в нуль. Тому кожен із відповідних векторів є світлоподібним. Окрім того, . Це означає, що оператори повинні бути пропорційними: . Дійсно, тоді рівність нулю скалярного добутку тотожно задовольняється: . Отже, стан однієї безмасової частинки характеризується одним числом . Воно має розмірність моменту імпульсу і називається спіральністю. Про спіральність та особливості алгебри для безмасової частинки - у відповідному підрозділі. Про реалізацію унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре для безмасових частинок написано у розділі про спінорні представлення груп Лоренца та Пуанкаре.

3. рівний нулю, проте спін приймає неперервні значення. Довжина вектора Паулі-Любанського приймає від'ємні значення. Такий тип представлення описує частинку із нульовою масою та нескінченним числом станів поляризації, що індукуються неперервним спіном. Детальніше про такий випадок написано у розділі про малу групу безмасових представлень.

Наостанок варто помітити, що група Пуанкаре є групою лише кінематичних симетрій. Повна група симетрій являється прямим добутком , де - група внутрішніх симетрій, яка належить унітарним групам (із умови збереження норми). Типовим прикладом є наявність електричного заряду. Відповідно, частинка характеризується, взагалі, не лише квадратом маси та спіну, а й деякими дискретними числами, що відповідають групам внутрішніх симетрій. Проте побудова незвідних представлень групи Пуанкаре є першим кроком до побудови одночастинкових станів, оскільки при наявності у теорії частинок лише одного виду ці частинки є вільними, а тому внутрішні симетрії "виморожені".

Advertisement