NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Поля довільного спіну".

Для випадку незвідних представлень напівцілого спіну можна вибрати представлення , що відповідає спін-тензору .

У даному випадку конвертація усіх спінорних індексів у векторні неможлива, оскільки для одного неточкового індексу не вистачає точкової пари. Тому відповідне представлення може бути подане лише в вигляді

.

Вочевидь, як і для представлення цілого спіну, об'єкт є симетричним за усіма векторними індексами. Відносно спінорного індексу виконується так звана -безслідовість:

як згортка антисиметричного із симетричним спінорним тензором.

Із цієї властивості витікає безслідовість тензора по векторним індексам. Дійсно,

,

де використана властивість .

Звичайно, для векторних компонент існує умова поперечності:

.

Таким чином, незвідне представлення групи Пуанкаре зі спіном реалізується представленням

.

У статті про дискретні перетворення показано, що дія операторів дискретних перетворень групи Лоренца на представлення переводить їх у . Тому треба брати пряму суму цих представлень. В результаті, треба буде знайти оператори проектування, яким повинні задовольняти відповідні підпростори потрібної для незвідності представлення розмірності.

Нехай, знову ж таки, розглядається представлення . Воно реалізується стовпчиком

,

який, в принципі, є аналогічним до діраківського спінору за своїми властивостями.

-безслідовість кожного спінору відповідає -безслідовості такого біспінору. Властивості векторних індексів залишаються незмінними:

.

Для забезпечення незвідності треба накласти також умову задовільнення спінором рівняння Дірака:

.

Спінорні хвилі[]

Варто зазначити, що у розв'язку рівнянь

функції задовольняють рівнянням

,

а також - співвідношенням

.

Ці рівності є очевидним записом вищенаведених умов незвідності у імпульсному представленні.

Окрім того, можна ввести проекційний оператор .

Варто також додати декілька слів про суму по поляризаціям. В силу рівності можна стверджувати, що тензор має структуру

.

Поліном зібраний, у силу коваріантності виразу, побудований як сума добутків парного числа імпульсів та гамма-матриць і добутків непарного числа імпульсів та гамма-матриць.

Маючи ці твердження, можна отримувати явні вирази для сум по поляризаціях. Наприклад, для спіну найбільш загальним виразом буде

.

Тут матриця , яка являється псевдоскаляром, з'явилася внаслідок того, що тензор Леві-Чивіта є, у свою чергу, псевдотензором (а оскільки сума по поляризаціях - тензор, то може складатися лише із суто тензорних величин; нагадаю, що псевдоскалярність слідує із того, що вона містить згортку псевдотензора Леві-Чивіти із тензорною величиною).

Застосування усіх умов незвідності дозволяє зафіксувати величини , якщо виконується рівняння (іншими словами, розглядається масова поверхня), тобто, якщо можна замінити на . За умови того, що сума по поляризаціях діє на спінор (як складова пропагатора),

;

.

Тут рівність була отримана із наступних міркувань: в лівій частині стоїть псевдотензор, антисиметричний за індексами, тому у правій може стояти лише величина . Згорнувши вираз із , отримаємо, згідно із визначенням ,

.

Врахувавши далі, що , маємо

;

нарешті, .

Advertisement