Згідно із експериментами (найвідоміший із них - експеримент Ву) праве нейтрино не приймає участі у електрослабких взаємодіях. Саме тому праве нейтрино відсутнє у лагранжіані Стандартної моделі. Деякі досліди прямо вказують на те, що у нейтрино є маса. Найбільш очевидним доведенням наявності маси є факт нейтринних осциляцій: нейтрино різних сортів переходять одне у одне. Окрім того, експерименти вказують на малість мас нейтрино. Все вказує на те, що треба розширити Стандартну модель, додавши у неї механізм генерування мас нейтрино, що пояснює малі маси і осциляції.
Без введення правого нейтрино неможливо записати діраківський масовий член (нагадаю, що діраківський член - це ). Можна було б записати майоранівський масовий член, проте тут без правого нейтрино неможливо записати член розмірності 4, що необхідно для побудови більш-менш фундаментальної теорії. Дійсно, масовий член лівого нейтрино має бути калібрувально-інваріантим, в той час як ліве нейтрино являється дублетом відносно групи . Пошук оператора, що давав би масу лівому нейтрино і водночас був би калібрувально- та лоренц-інваріантним, дає оператор мінімальної розмірності 5 (так званий "оператор Вайнберга"),
,
який після вакуумного зсуву хіггсівського дублету генерує майоранівську масу .
Оператор Вайнберга є лоренц- та калібрувально-інваріантним. Лоренц-інваріантність слідує із лоренц-інваріантності майоранівського члену (нагадаю, що відносно перетворень Лоренца перетворюється так само, як і ). Для перевірки калібрувальної інваріантності варто розглянути перетворення по групі Стандартної моделі кожного із множників .
Перший множник. Гіперзаряд лівого дублету дорівнює, а гіперзаряд хіггсівського дублету дорівнює . Тоді гіперзаряди спряженого лівого дублету та спряженого хіггсівського поля дорівнюють відповідно. Тому оператор є інваріантним відносно перетворення групи Стандартної моделі. Щодо перетворення , то
.
Другий множник. В силу того, що , групові перетворення зарядово спряженого дублету мають вигляд
,
а відповідні перетворення дублету Хіггса -
,
і тому і цей множник є калібрувально-інваріантним.
Оператор Вайнберга, втім, є ефективним, а отже, слідує із деякої більш фундаментальної теорії, яка має нові відносно Стандартної моделі ступені вільності. Механізм, реалізований такою теорією, має призводити до появи мас у нейтрино (діраківської чи майоранівської) і, бажано, пояснювати малість мас.
Механізм see-saw[]
Одним із таких механізмів є так званий механізм "качелей" (see-saw mechanism). Суть однієї (найпростішої) із його реалізацій полягає у наступному: стартують із лагранжіану, який описує взаємодію лептонів (і нейтрино) із скалярним дублетом полів (на кшталт кваркового); вводять праве нейтрино. Окрім того, на відміну від кваркового лагранжіану, вводять майоранівську масу для правого нейтрино. Такий член у лагранжіані є калібрувально-інваріантним, оскільки праве нейтрино перетворюється як синглет відносно групи . Маса правого нейтрино нічим не фіксована, оскільки праві нейтрино не приймають участі у взаємодії; утім, від них варто позбутися у лагранжіані. Для цього обирають масу дуже великою (на декілька порядків більшою, ніж характерні лептонні маси), переходять до нового "нейтринного базису" (лінійних комбінацій правого і лівого нейтрино), причому в силу дуже великої маси правого нейтрино одне "нове" нейтрино містить ліве і надзвичайно мало правого нейтрино, а інше - навпаки. Переходячи затим до ліміту нескінченної маси, "викидають" друге "нове" нейтрино із лагранжіану.
Продемонструю тепер цей механізм у деталях. Отже, як було написано, стартуємо із лагранжіану
.
Тут - симетрична комплексна матриця, - довільні комплексні матриці, а . Нагадаю, що останній член відповідає майоранівському масовому члену.
Другий доданок є лоренц- та калібрувально-інваріантним (див. доведення калібрувальної інваріантності оператору Вайнберга).
Використавши унітарне калібрування та "зсунувши" вакуум, можна отримати для масових членів
.
Варто зазначити, що у випадку другим доданком виразу одразу буде генеруватися діраківська маса (на кшталт до випадку із кварками у СМ). В такому випадку унітарна матриця може бути зведена перетвореннями фаз до чотирьохпараметричної матриці типу матриці ККМ.
Доданки із нейтринними матрицями можна записати у вигляді
,
де - добре знайоме зарядове спряження: . Дійсно, наприклад (при транспонуванні ферміонів їх білінійні комбінації змінюють знак),
,
де використана алгебра матриць Дірака для визначення , а множник виникає через "подвоєння" недіагональних членів у порівнянні із ;
,
і т.д.
Тепер перейдемо до діагоналізації . Введемо таку матрицю унітарну матрицю , що
,
і знайдемо її явний вигляд з урахуванням того, що у матриці є властивість (усі характерні значення першої матриці значно більші за відповідні характерні значення другої).
Запишемо матрицю у вигляді , вважаючи при цьому, що .
Виконаємо множення:
.
Прирівняємо, як і треба, нижню ліву компоненту до нуля, знехтувавши другим членом (в силу вказаних вище властивостей): отримаємо
.
Використаємо одну із умов унітарності матриці :
.
Підставимо у "діагональні" компоненти матриці:
,
,
де врахована симетричність матриці (а отже, і оберненої до неї). Можна знову скористатися малістю : тоді
.
Переходячи до формального ліміту , можна вважати, що ; тоді
.
Тепер ефективно набуде вигляду
.
Змінимо знак першого доданку перефазуванням . Тепер отримано два масові члени для лівого та правого нейтрино. Звісно, масовий член для лівого нейтрино "генерує" осциляції. Окрім того, як і у випадку із кварками, матриця для діагоналізації масової матриці, з'являється у зарядженому струмі. Її комплексність (в силу того, що нейтрино - майоранівське, вона має не 4 параметри, як кваркова матриця, а 6) зумовлює порушення збереження лептонного числа.
Нарешті, можна врахувати член взаємодії лівого і правого нейтрино із бозоном Хіггса, і, у ефективному ліміті (знехтувавши кінетичним членом для правого нейтрино), виразити через за допомогою рівнянь поля. В результаті буде отриманий ефективний доданок порядку 5 у лагранжіані.