Магнітний момент

Повернутися до розділу "Дипольний і магнітний моменти".

Аналогічні до пророблених у розділі з дипольним моментом операції можна зробити із виразами для магнітного потенціалу та магнітної індукції:

$\ \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{c}}\int \limits _{V}{\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} }{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\approx {\frac {1}{c|\mathbf {x} |}}\int \limits _{V}\mathbf {j} (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} +{\frac {1}{c|\mathbf {x} |^{3}}}\int \limits _{V}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} (\mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r}$.

Перший доданок рівен нулю, оскільки струми стаціонарні і замкнуті. Дійсно, від інтеграл від густини по об'єму локалізації струму можна перейти до інтегралу від сили струму по замкнутому контуру (струм замкнутий). Оскільки струм стаціонарний, то його можна винести за знак інтегралу, і тоді залишиться інтеграл від замкнутої кривої, тотожно рівний нулю.

Враховуючи, що

$\ (\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {j} =(\mathbf {x} \cdot \mathbf {j} )\mathbf {r} -[\mathbf {x} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} ]]\qquad (.3)$,

можна отримати:

$\ \mathbf {A} ={\frac {[\mathbf {m} \times \mathbf {x} ]}{|\mathbf {x} |^{3}}}$,

де

$\ \mathbf {m} ={\frac {1}{2c}}\int \limits _{V}[\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )]d^{3}\mathbf {r} \qquad (.4)$

- магнітний момент системи.

Взявши ротор від цього виразу, можна отримати вираз для індукції магнітного поля:

$\ \mathbf {B} ={\frac {3\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {x} |^{3}}}$,

де $\ \mathbf n$ - направляючий вектор в напрямку $\ \mathbf x$.

Сила, момент сили та потенціальна енергія, пов'язані із магнітним моментом

Користуючись $\ (.2)$, вираз для індукції поля у околі початку координат можна розкласти як

$\ \mathbf {B} \approx \mathbf {B} _{0}+(\mathbf {r} \nabla )\mathbf {B} _{0}\qquad (.6)$.

Використовуючи інтегральне представлення сили Лоренца, що було отримано у розділі "Магнітостатика", можна отримати наступний вираз:

$\ \mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\int [\mathbf {j} \times \mathbf {B} ]d^{3}\mathbf {r} \approx \left|(.6)\right|=-{\frac {1}{c}}\left[\mathbf {B} _{0}\times \int \mathbf {j} d^{3}\mathbf {r} \right]+{\frac {1}{c}}\int [\mathbf {j} \times (\mathbf {r} \nabla )\mathbf {B} _{0}]d^{3}\mathbf {r} \qquad (.7)$.

Перший доданок у $\ (.7)$ рівен нулю, оскільки струми замкнуті і обмежені. Другий же доданок можна перетворити наступним чином. Оскільки в точці, де немає струмів, що утворюють магнітне поле, ротор від індукції магнітного поля рівен нулю, можна отримати наступне співвідношення (з урахуванням того, що оператор набла діє лише на індукцію поля):

$\ [\mathbf {r} \times [\mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} _{0}]]=\nabla (\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})-\mathbf {B} _{0}(\mathbf {r} \nabla )=0\Rightarrow \mathbf {B} _{0}(\mathbf {r} \nabla )=\nabla (\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})$.

Тоді $\ (.7)$ можна записати як

$\ \mathbf {F} \approx {\frac {1}{c}}\int [\mathbf {j} \times \nabla (\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})]d^{3}\mathbf {r} =-{\frac {1}{c}}\int [\nabla \times \mathbf {j} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})]d^{3}\mathbf {r} \qquad (.8)$.

Використовуючи міркування, що були отримані при знаходженні виразу для векторного потенціалу при $\ \nabla \mathbf j = 0$,

$\ \int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r = -\int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r - \int \limits_{V}[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] d^{3}\mathbf r \Rightarrow \int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r = -\frac{1}{2}\int \limits_{V}[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] d^{3}\mathbf r$,

де замість $\ \mathbf x$ може стояти будь-який постійний вектор, $\ (.8)$ можна переписати як

$\ \mathbf {F} \approx {\frac {1}{2c}}\left[\nabla \times \int [\mathbf {B} _{0}\times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} ]]d^{3}\mathbf {r} \right]=[\nabla \times [\mathbf {B} _{0}\times \mathbf {m} ]]=\mathbf {B} _{0}(\mathbf {m} \nabla )-\mathbf {m} (\nabla \mathbf {B} _{0})=\mathbf {B} _{0}(\mathbf {m} \nabla )=\nabla (\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} _{0})$.

Потенціальна енергія тоді буде мати вигляд

$\ U=-(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} _{0})$,

а момент сил, для наближення однорідного поля,

$\ \mathbf {M} =\sum _{i}[\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{i}]={\frac {1}{c}}\int \left[\mathbf {r} \times [\mathbf {j} (\mathbf {r} )\times \mathbf {B} ]\right]d^{3}\mathbf {r} \approx {\frac {1}{c}}\int \left[\mathbf {r} \times [\mathbf {j} (\mathbf {r} )\times \mathbf {B} _{0}]\right]d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{c}}\int \mathbf {j} (\mathbf {r} )(\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})d^{3}\mathbf {r} -{\frac {1}{c}}\int \mathbf {B} _{0}(\mathbf {j} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r}$.

Другий інтеграл рівен нулю, оскільки для стаціонарних струмів

$\nabla (\mathbf {j} \mathbf {r} ^{2})=2(\mathbf {j} \cdot \mathbf {r} )$,

і тоді

$\ {\frac {1}{c}}\int \mathbf {B} _{0}(\mathbf {j} (\mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} )d^{3}\mathbf {r} ={\frac {1}{c}}\mathbf {B} _{0}\oint \mathbf {j} (\mathbf {r} )\mathbf {r} ^{2}d\mathbf {S} =0$,

оскільки струми не витікають за поверхню S.

Для першого ж інтегралу, знову ж таки, можна використати тотожність

$\ \mathbf {j} (\mathbf {r} )(\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})=-{\frac {1}{2}}[\mathbf {\mathbf {B} } _{0}\times [\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )]={\frac {1}{2}}[[\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )]\times \mathbf {B} _{0}]$,

і тоді

$\ {\frac {1}{c}}\int \mathbf {j} (\mathbf {r} )(\mathbf {r} \cdot \mathbf {B} _{0})d^{3}\mathbf {r} =\left[{\frac {1}{2c}}\int [\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )]d^{3}\mathbf {r} \times \mathbf {B} _{0}\right]=[\mathbf {m} \times \mathbf {B} _{0}]$.

Прецесія

Нехай струм $\ I$ тече по плоскому контуру тонкого провідника. Тоді можна здійснити заміну $\ \mathbf j d^{3} \mathbf r \Rightarrow I d \mathbf r$. Внаслідок цього $\ (.4)$ набуде вигляду

$\ \mathbf {m} ={\frac {I}{2}}\oint [\mathbf {r} \times d\mathbf {r} ]=\left|d\mathbf {S} =\mathbf {k} dS={\frac {[\mathbf {r} \times d\mathbf {r} ]}{2}}\right|=IS\mathbf {k}$,

де введена площа трикутника $\ d\mathbf {S} =dS\mathbf {k}$, побудованого на векторах $\ \mathbf {r} ,d\mathbf {r}$ (при інтегруванні дає площу витка провідника), та вектор нормалі $\ \mathbf {k}$ до неї.

Можна визначити магнітний момент системи частинок, що мають постійне відношення заряду до маси (інтеграл від тривимірної дельта-функції рівний одиниці):

$\ \mathbf {m} ={\frac {1}{2c}}\oint \left[\mathbf {r} _{i}\times \left(\sum _{i}Q_{i}\mathbf {v} _{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})\right)\right]d^{3}\mathbf {r} ={\frac {Q}{2mc}}\sum _{i}[\mathbf {r} _{i}\times m\mathbf {v} _{i}]={\frac {Q}{2mc}}\mathbf {L} \qquad (.5)$,

де $\ \mathbf {L}$ - механічний момент імпульсу системи.

Для стаціонарних випадків (для кільцевого струму, наприклад) швидкість частинок по модулю постійна, тому $\ \mathbf {v} _{i}={\frac {\mathbf {p} _{i}c^{2}}{E_{i}}}$. Для однакових частинок, за умови однакової їх швидкості, можна винести енергію за знак суми, і тоді у виразі вище буде стояти релятивістський момент імпульса, а замість маси у знаменнику буде стояти енергія.

Тоді момент сил, що діє на частинку в однорідному магнітному полі, можна переписати як

$\ \mathbf {N} =[\mathbf {m} \times \mathbf {B} ]=\left[{\frac {q_{i}}{2m_{i}c}}\mathbf {L} \times \mathbf {B} \right]=-\left[{\frac {q_{i}}{2m_{i}c}}\mathbf {B} \times \mathbf {L} \right]=[\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ]$.

Звідси слідує, що вектор кутової швидкості частинки рівен

$\ \mathbf {\omega } =-{\frac {q}{2mc}}\mathbf {B}$.

Таким чином, вектор моменту імпульсу $\ \mathbf {L}$ прецесіює із незмінними довжиною та кутом до вектора індукції поля із кутовою швидкістю в $\ \mathbf \omega$.