Аномалії як об'єкти топологічної природи є масштабно-інваріантними, що, зокрема, означає, що вільна від калібрувальних аномалій теорія залишається такою на будь-яких енергіях. У розділі про аномалії та ефективні теорії поля було показано, що внаслідок цієї властивості ефективні теорії поля, що отримані із вільних від аномалій фундаментальних теорій відинтегровуванням ступенів вільності, містять масштабно-інваріантні члени, які в точності відтворюють аномальний внесок відинтегрованих ступенів вільності. У окремих випадках такі члени містять також нетривіальну взаємодію полів за типом черн-саймонівської, , де позначає згортку із тензором Леві-Чивіта.
Метою цього розділу є застосування того ж самого підходу до теорій, у яких відбувається спонтанне порушення глобальної симетрії, внаслідок чого у спектрі частинок з'являються голдстоунівські бозони.
Зайві симетрії "наївної" кіральної ефективної теорії поля. Член Весса-Зуміно[]
Як відомо, у квантовій хромодинаміці на масштабі відбувається спонтанне порушення (майже точної) глобальної групи симетрії кварків до , внаслідок чого виникає 8 псевдоголдстунівських бозонів - мезонів (роль порушуючого симетрію доданку у фундаментальній КХД, що дає мезонам масу, грає масовий член кварків). Низькоенергетичний лагранжіан КХД можна переписати у термінах мезонних полів, виділяючи їх ступені вільності у кваркових полях та замінюючи білінійні форми кваркових полів у лагранжіані ненульовим вакуумним середнім. Отриманий лагранжіан називається кіральною ефективною теорією поля:
,
де три крапки позначають масовий член та можливі старші доданки із більшим числом матриць , які у принципі виникають внаслідок того, що у дійсності побудова повної кіральної ефективної теорії поля є непертурбативною, і у мають бути присутніми усі доданки, дозволені кіральною симетрією. У найнижчому порядку .
Із врахуванням першого члену рівняння руху будуть мати вигляд
.
Проінтерпретуємо у контексті КХД. Лагранжіан містить, звичайно, симетрії КХД: глобальні перетворення та перетворення парності . Окрім того, він також містить "зайві" окремі симетрії
,
яких не має КХД. Дійсно, при похідна перетворюється як , і не змінюється. Аналогічно, внаслідок циклічної перестановки під знаком сліду, не змінюється і при перетвореннях .
Ці симетрії забороняють, зокрема, процеси та , які у загальному випадку відповідають розпаду парної кількості псевдоскалярних мезонів у непарну. Для демонстрації цих тверджень варто згадати явний вигляд матриці у виразі через мезонні поля.
Ці процеси відбуваються завдяки кіральним аномаліям у КХД, а теорія , отримана наївною заміною кваркових білінійних форм на вакуумне середнє, не знає про аномалії. Щоб усунути протиріччя теорії та КХД, треба у дію чи, еквівалентно, у рівняння , додати член, який забороняв би окремі симетрії . Найпростіше це можна зробити, явно порушивши симетрію заміни . Це відповідає тому, що у рівняння треба включити член із тензором Леві-Чивіта. Вимога отримати коваріантне рівняння руху та збереження симетрії при порушенні дозволяє сконструювати явний вигляд члену:
.
Дійсно, перетворення переводить вираз у
.
Це означає, що вираз переходить у
,
а вираз - у
.
У результаті рівняння
перейде у
.
Отже, член із тензором Леві-Чивіта порушує симетрії , проте зберігає комбіноване перетворення .
Як записати цей член у лагранжіан? Виявляється, що у чотиривимірному просторі не вдасться записати відповідний -інваріантний доданок. Дійсно, єдиним кандидатом на роль цього доданку може бути лише вираз , проте він зануляється в силу перестановочних властивостей сліду. Варто також зазначити, що за формою вираз співпадає із інтегральним інваріантом Маурера-Картана для , а, як було показано, цей інваріант не рівний нулю лише для простору непарної розмірності.
Рівняння можна отримати, ввівши у дію член
,
де приймають 5 значень, що відповідають координатам , а - п'ятивимірна куля, поверхнею якої є 4-сфера; множник введено для зручності, а - функції, записані у термінах полів , які є формально визначеними через граничні умови: (докладніше про це - див. у підрозділі "Топологічне квантування члену Весса-Зуміно" нижче).
Використовуючи вираз для , , де - матриця полів голдстоунівських бозонів, можна переписати вираз у вигляді інтегралу по простору Мінковського:
,
де була використана теорема Гаусса. Отриманий вираз є кірально-інваріантним, проте його не можна записати як інтеграл від кірально-інваріантної густини, оскіьки така густина має бути побудована із перших або більш високих похідних голдстоунівських бозонів, що означає, що ця густина має починатися із доданку лише із похідними від .
Член називається членом Весса-Зуміно. У загальному випадку він виникає у будь-якій теорії із спонтанним порушенням симетрії деякої групи до її підгрупи, причому підгрупа має мати нетривіальну гомотопічну групу. Це можна зрозуміти наступним чином. Доповнюється.
Топологічне квантування члену Весса-Зуміно[]
Коефіцієнт при має бути цілим числом. Дійсно, за формою вираз для відповідає інтегралу Маурера-Картана, який є інваріантним відносно координатних перетворень та інфінітезимальних перетворень . Проте здійснення скачковидної варіації такої, що залишається постійною на границі п'ятивимірної кулі, змінюють . Це і накладає обмеження на множник. Для з'ясування обмеження кулю можна представити як половину сфери , а простір-час - як границю між та іншою половиною сфери . Оскільки являється границею одночасно і , то доданок можна подати одночасно і як доданок , де - інтеграл по , а знак мінус виникає внаслідок того, що границя є чотири-сферою із протилежною орієнтацією.
Різниця цих величин,
,
має бути кратною , оскільки лише при цьому вона на не впливає на ваговий множник континуального інтегралу . Оскільки інтеграл по будь-якій п'ятивимірній сфері від величини у дорівнює , величина із топологічних міркувань має бути цілим числом.
Нарешті, варто поговорити про законність розширення полів на п'ятивимірний простір у .
Коли група спонтанно порушується до підгрупи , множина допустимих значень голдстоунівських полів у будь-якій точці простору-часу (евклідового часу) визначають точку у суміжному класі . Тому множина визначає відображення просторово-часової сфери на . У залежності від топології (тривіальна чи ні відповідна гомотопічна група ) можна продеформувати усю сферу у в одну точку. Іншими словами, якщо , можливо розширити неперервні функції у функції , де і , а задає будь-яку точку на початковій сфері, наприклад, .
У випадку, коли , а , то , і . Це означає, що для таких теорій можна розширити матриці до унімодулярної матриці , де задає п'ятивимірну кулю із координатами та , поверхня якого визначає чотиривимірну сферу простору-часу.
Можна також "спростити" топологію кулі , користуючись тим, що . У евклідовому часі топологія сфери може бути подана у вигляді
,
де відповідає компактифікованій часовій евклідовій координаті. Ця сфера є границею кулі . Оскільки , то відображення може бути розширене на відображення , де , і - двовимірний диск.