NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Розділ доповнюється.

Генеруючий функціонал для фейнманівських діаграм[]

Повернемось знову до гейзенбергівських функцій Гріна, записавши їх одразу як вакуумне середнє гейзенбергівських операторів

.

Ми вже мали справу із такою функцією; було показано, що вона дорівнює ,

де

,

а є функціональним аргументом, який можна називати джерелом. Він є неоператорною функцією, проте якщо поле, якому воно відповідає, є ферміонним, то це джерело - грассманове. Для кожного поля потрібне своє джерело.

Нагадаю, яким чином можна, маючи гейзенбергівську функцію Гріна (у даному випадку - вакуумну) і її зв'язок із Фейнманівською діаграмою, відновити суму діаграм. Зовнішні лінії для такого функціоналу відсутні, оскільки відсутні in-, out-стани, проте з'явились вклади від (точніше, від його Фур'є-образу), які відповідають внутрішнім лініям, що з'єднують вершину з джерелом. Тобто, замість вкладів від in-, out-станів будуть інтеграли виду . В силу довільності параметра можна ці вклади співставляти вкладам від in-,out-станів. Отже, формально містить всю інформацію про кожний член розкладу -матриці. Це дозволяє досліджувати менш громіздкі вирази типу замість розгляду загального вигляду для членів розкладу.

Для спрощення можна опустити суму по і працювати лише із одним джерелом (усі подальші викладки запросто узагальнюються на випадок багатьох полів). Введенемо також функціонал за формулою

.

Варіаційний апарат та найпростіші наслідки для твірної функції[]

Для подальшої роботи треба ввести варіаційний апарат для твірної функції. Для цього треба постулювати співвідношення

.

Звідси слідує, що

,

.

Це означає, що справедливе твердження

.

У даних переходах враховано те, що параметр не містить операторів, тому його спокійно можна проносити через знак оператора впорядкування та за знак вакуумного усереднення. Після цього можна переписати лагранжіан взаємодії так, що замість аргументу-поля, який є оператором, у ньому є аргумент-функціональний параметр. Звичайно, такі записи функціоналу є еквівалентними, оскільки після розкладу експоненти в ряд та дії кожного члену розкладу на експоненту під знаком вакуумного усереднення знову отримується лагранжіан від .

Далі, експоненту під знаком вакуумного усереднення можна спростити, скориставшись теоремою Віка. Ненульовий вклад дають лише доданки -го порядку, оскільки, згідно з теоремою Віка,

,

для -го порядку залишиться одне поле, яке не знаходиться під виразом вакуумних середніх, а отже, дає нуль для вкладу через дію на вакуумні стани.

Вклад же від -того доданку зводиться до добутку виразів, що відповідають одній і тій же діаграмі - два джерела, з'єднані пропагатором. Факторіальний множник дається Тейлорівським множником та множником, що відповідає числу всіх можливих попарних згорток полів , тобто .

Отже,

,

і набуде вигляду

,

.

Останній вираз дає компактний запис усього ряду теорії збурень. Ще раз нагадаю, що для кожного поля необхідне своє джерело .

Континуальний інтеграл[]

Генеруючий функціонал можна переписати у вигляді так званого континуального інтегралу:

.

Тут формальний знак інтегралу може бути інтерпретований (!) як інтегрування по нескінченній кількості елементарних 4-об'ємів, у межах яких поле є константою. При цьому вважається, що у правій частині є простою змінною інтегрування, а не оператором; зберігається лише вид перестановочного співвідношення. Проте насправді інтегрування по є лише формальним записом.

Цей запис, проте, повинен також відтворювати вираз . Тобто, повинно виконуватися співвідношення

.

Тепер треба навчитися працювати із інтегралами виду :

.

Для цього можна конкретизувати вигляд . Оскільки під знаком експоненти є інтегрування по частинам, то вільний лагранжіан для будь-якого поля (тут маються на увазі клейн-гордонівське, діраківське, проківське та фірцівське; ймовірніше за все, за допомогою спінорних представлень це твердження можна довести для поля будь-якого спіну) поля можна записати у вигляді (знак комплексного спряження позначає різні операції для відповідних полів). Тут двійка обрана для зручності. Наприклад, лагранжіан вільного клейн-гордонівського поля має вигляд

,

і через наявність інтегралу можна проінтегрувати перший доданок по частинам:

.

Тому оператор має вигляд .

В результаті, для всіх полів вказаний вище інтеграл має вигляд гауссового:

.

Тут з'явився доданок через незалежність функцій . Це є простим наслідком того, що, як уже було сказано у попередньому підрозділі, для кожної функції необхідне своє джерело.

Брати інтеграл (звичайно, формально) можна таким же шляхом, як і звичайні гауссові інтеграли. Для цього треба лише припустити, що оператор має обернений, а також інваріантність інтегралу відносно трансляції функціонального аргументу . Після цього можна зробити трансляційну заміну поля, звівши інтеграл до типового гауссового. Результат інтегрування повинен відповідати виразу , оскільки за початковим припущенням підхід функціонального інтегралу еквівалентний "підходу" вакуумного усереднення.

Для кращого розуміння знову варто проробити викладки для клейн-гордонівського дійсного поля. Результат буде рівний

,

де перехід до останньої рівності зроблений за аналогією із гауссовими інтегралами звичайних змінних.

Отриманий результат, до речі, підтверджує вірність розвинутого формалізму співставлення варіаційного функціоналу континуальному інтегралу: вираз відповідає виразу з точністю до множника . Взагалі, цей фактор є досить проблемним з одного боку (в силу формальної рівності нескінченності детермінанту у багатьох випадках) і зручним з іншого (в силу причин, пов'язаних з перенормуванням; буде описано у наступних розділах).

Аналогічно просто отримати вирази для комплексного клейн-гордонівського поля та діраківського поля:

,

,

де остання рівність є узагальненням грассманового гауссового інтегрування.

Тут можна помітити те, що у рамках континуального інтегрування пропагатор даного поля відповідає простому оберненню оператора лагранжіану. Випадок, коли пропагатор так просто не отримується (випадок сингулярних теорій, у яких лагранжіан містить зв'язки між канонічними змінними), буде розглянуто потім.

Можна помітити декілька особливостей функціонального інтегрування у квантовій теорії поля. По-перше, при його введенні всі величини стають неоператорними, що дещо спрощує роботу із ними. По-друге, він містить явно інформацію про симетрії вільних полів через наявність вільного лагранжіану. По-третє, при введенні комплексного часу (його ще називають поворотом Віка) інтеграл стає суто дійсним. По-четверте, на відміну від операторозначних полів, що були до введення континуального інтегралу, неоператорозначні поля не знаходяться на масовій поверхні, тобто, не є розв'язками відповідних вільних рівнянь. Це означає, що вся інформація про вільні частинки, що містилась у виразах для операторів полів, тепер поступає напряму із .

Властивості континуального інтегрування[]

Вирази можна вважати базовими визначеннями континуального інтегрування. На їх основі можна отримати деякі основні властивості континуального інтегрування.

1. Правило інтегрування по частинам:

.

Оскільки загальний випадок із добутком полів можна отримати шляхом варіювання по джерелам гауссої функції, то доведення достатньо провести лише для гауссових інтегралів:

.

2. Правило заміни змінної.

Від перейменування змінної інтегрування нічого не залежить, тобто . Це означає, що

.

Тут, як і в п.1, знак комплексного спряження позначає своє спряження для кожного виду поля - бозонного чи ферміонного, а дорівнює відповідно для бозонів та ферміонів.

3. Дельта-функція.

За визначенням, у континуальному інтегруванні дельта-функція визначається як

.

Звідси слідує, що

.

Нескладно переконатися, що викладки із комплексними полями (скалярним, ферміонним тощо) будуть ідентичні до викладок із дійсним скалярним полем. Тому доводимо для нього:

.

Звідси і з попередніх пунктів слідують рівності

.

Континуальний інтеграл та квантування сингулярних теорій за допомогою гамільтонового формалізму[]

Для цього розділу знадобиться розділ про гамільтонів формалізм. Нехай є гамільтонова система, у якій існують зв'язки . Запишемо дію для неї як

.

Тут - лагранжеві множники. Звичайно, у слабкому сенсі . Нехай теорія - сингулярна, тобто виконуються також рівності (є лише зв'язки першого роду)

.

Проквантувати теорію можна наступним чином. Нехай є додаткових умов , для яких виконуються умови

(остання умова не є суттєвою, проте вона часто виконується для більшості реалістичних теорій); ці додаткові умови, нагадаю, можуть обиратися внаслідок калібрувальної довільності гамільтоніану при існуванні зв'язків першого роду). Підпростір фазового простору , який визначається умовами , представляє собою редукований підпростір . Внаслідок другої умови, що накладається на , можна вибрати як співпадаючі із першими канонічними координатами. Тоді перша умова може бути переписана як

(тут - спряжені до перших канонічних координат імпульси). В результаті рівняння зв'язків можна розв'язати відносно перших канонічних імпульсів, а поверхня тепер задається рівняннями

( - канонічні n - m координати).

Тому фазові простори із врахуванням умов і еквівалентні.

На рівні континуального інтегралу можна показати, що інтеграли

і

еквівалентні. Дійсно, інтегруючи по другий інтеграл, можна отримати

.

Якщо перейти канонічними перетворенням до координат , то вираз перетвориться у . Нарешті, інтегруючи по , можна звести другий інтеграл до першого.

Отже, схема квантування сингулярних теорій у формалізмі континуального інтегрування побудована.

Advertisement