NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Квантування калібрувальних теорій за допомогою континуального інтегралу. Духи Фаддєєва-Попова[]

Стоїть питання такого квантування (і отримання правил Фейнмана) неабелевої калібрувальної теорії, щоб воно було калібрувально-інваріантним. Для цього зручно використати метод континуального інтегралу.

Отже, розглянемо інтеграл

,

де - будь-який калібрувально-інваріантний об'єкт (наприклад, стандартна експонента від дії Янга-Міллса). В силу калібрувальної інваріантності весь вираз не дуже добре визначений, оскільки доводиться інтегрувати по полям, що зв'язані калібрувальним перетворенням, а це означаю появу нескінченної кількості "зайвих" інтегрувань. Стоїть задача позбутися цих інтегрувань, залишивши при цьому інтеграл калібрувально-інваріантним.

Нагадаю, по-перше, основні властивості калібрувальних полів і об'єктів, побудованих за допомогою цих полів, при перетвореннях:

.

Перепозначивши калібрувальні перетворення через , можна отримати з

.

Розглянемо тепер формальне континуальне інтегрування по калібрувальним полям (векторний індекс опускається для меншої громіздкості). Введемо також функцію, яка фіксує калібрування, . На поверхні калібрувального зв'язку вона рівна нулю. Якщо ввести деяке інше калібрувальне перетворення (із параметром ), , то ця умова (рівність нулю) порушується. Зробимо наступне формальне перетворення, використавши властивості континуального інтегрування:

.

У цій рівності треба пояснити останній перехід.

Введений оператор - калібрувально-інваріантний і визначається лише виглядом . Це зручно показати, якщо переписати його обернений оператор (цей вигляд слідує із самого введення у ) у неінфінітезимальному вигляді, , здійснити калібрувальне перетворення, , і перейти в інтегралі до нової змінної інтегрування :

.

Оскільки перетворення поля являється лише зсувом і унітарним поворотом, то міра інтегрування являється інваріантною по відношенню до калібрувальних перетворень. Це все разом означає, що перед останнім знаком рівності можна здійснити калібрувальне перетворення , у результаті чого інтеграл дасть (нескінченний) множник, який можна "опустити".

У результаті стає справедливою наступна формула:

,

де - будь-який калібрувально-інваріантний об'єкт. Зайві поля виключаються калібрувальною умовою (довільною) . Платою за це є поява . Увесь інтеграл як ціле, звісно, не залежить від , що слідує із .

Перепишемо тепер через континуальний інтеграл на поверхні зв'язків . Детермінанти можна переписати через грассмановий континуальний інтеграл (див. вираз ) по деяким ферміонним полям :

.

Отже, усі пророблені викладки, що знімають зайві інтегрування, призводять до модифікації початкового лагранжіану виразом , який називається лагранжіаном духів Фаддєєва-Попова (або гостів Фаддєєва-Попова).

Оберемо найстандартніше калібрування: . Тоді

,

де було враховано, що на поверхні зв'язків, і введено тензор . Відповідно до цього,

.

Усі пророблені викладки являються еквівалентним до модифікації лагранжіану доданками

.

На цьому конкретному лагранжіані можна показати загальні риси гостів. Вони являються фіктивними частинками, оскільки введені лише в ході механізму калібрувально-інваріантного квантування теорії Янга-Міллса. У результаті вони можуть давати вклад лише як замкнуті петлі. Структура лагранжіану гостів визначається виглядом функції . У даному випадку із вигляду лагранжіану можна зробити висновок, що пропагатор гостів відповідає скалярному пропагатору із множником (при цьому вони являються ферміонами, що відповідає неправильному зв'язку спіну із статистикою). Можна також зрозуміти, чому гости не можуть виникати у квантовій електродинаміці при використанні "звичайної" калібрувальної умови Лоренца: це пов'язано з тим, що група є абелевою, тому усі структурні константи дорівнюють нулю.

Пропагатор у калібрувальних теоріях[]

У статті про континуальний інтеграл було показано, що для найпростіших теорій "вільний" пропагатор відповідає оберненню оператора лагранжіану теорії. На жаль, для випадку калібрувальних теорій отримати таким чином пропагатор неможливо, оскільки він є виродженим. Дійсно, для найпростішої калібрувальної теорії U(1) маємо

(тут на етапі останньої рівності виконане інтегрування по частинам для двох доданків лагранжіану).

Відповідно, у імпульсному представленні

.

Звідси видно, що є необоротним; наприклад, , тобто оператор має нульові моди (які, звичайно, є наслідком калібрувальної симетрії лагранжіану).

Виявляється, для того, щоб мати можливість застосування континуального інтегрування до калібрувальних теорій, треба порушути у них калібрувальну інваріантність, причому зробити це так, щоб порушення не впливало на симетрію усієї теорії, порушуючи інваріантність лише окремо для -точок. Це робиться включенням калібрувально-неінваріантного доданку . Модифікований лагранжіан тоді буде мати вигляд

.

Абсолютно аналогічним чином модифікується і лагранжіан неабелевої калібрувальної теорії:

.

Виявляється, дійсно, що така модифікація не порушує калібрувальну інваріантність усієї теорії у тому сенсі, що континуальний інтеграл із її введенням змінюється на фактор-множник (при цьому функції Гріна, звісно, від нього залежать). Довести це твердження можна за допомогою попереднього підрозділу. Для цього модифікуємо зв'язок із на (взагалі, виявляється, що можна використовувати будь-який калібрувальний зв'язок, тому загальність цих викладок не зменшується через фіксацію зв'язку). Відповідно до визначення , це його не змінить. Сам інтеграл , відповідно до його отримання, не залежить від , а отже, і від . У результаті, якщо його додатково проінтегрувати по , це змінить його лише на множник-фактор, який скорочується при нормуванні. Тому є справедливими наступні викладки:

.

Це доводить, що континуальні інтеграли не залежать від величини параметру . Якщо ж , що відповідає звичайному лоренцевому калібруванню, з'являється дельта-функція , яка може трактуватися як ліміт експоненти при .

Правила Фейнмана[]

Advertisement