Повернутися до розділу "Зв'язок між частинками та полями" .
Можна пов'язати поля, що описуються незвідними спінорними представленнями групи Лоренца , та частинки, що описуються незвідними нескінченновимірними представленнями групи Пуанкаре , у рамках спінорного формалізму.
Із розділу про групу Пуанкаре відомо, що оператори Казиміра
W
^
μ
W
^
μ
,
P
^
μ
P
^
μ
{\displaystyle \ \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}, \hat {P}_{\mu }\hat {P}^{\mu}}
незвідних представлень групи мають спектр
W
^
μ
W
^
μ
ψ
=
−
m
2
s
(
s
+
1
)
ψ
,
P
^
μ
P
^
μ
ψ
=
m
2
ψ
(
.6
)
{\displaystyle \ \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}\psi = -m^{2}s(s + 1)\psi , \quad \hat {P}_{\mu }\hat {P}^{\mu}\psi = m^{2}\psi \qquad (.6)}
,
де
ψ
{\displaystyle \ \psi}
- функція поля,
s
{\displaystyle \ s}
- спінове число.
В силу рівності
P
^
μ
=
i
∂
μ
{\displaystyle \ \hat {P}_{\mu} = i\partial_{\mu}}
другу рівність можна переписати як
(
◻
+
m
2
)
ψ
=
0
{\displaystyle \ \left(\square + m^{2}\right)\psi = 0}
,
що називається рівнянням Клейна-Гордона.
Якщо використати спінорне представлення полів, то можна довести таку теорему: якщо симетричне окремо за точковими та неточковими індексами релятивістське поле
ψ
a
1
.
.
.
a
n
a
˙
1
.
.
.
a
˙
m
{\displaystyle \ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}}}
, що являється незвідним представленням групи Лоренца
(
n
2
,
m
2
)
{\displaystyle \ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)}
, задовольняє рівнянням
(
◻
+
m
2
)
ψ
a
1
.
.
.
a
n
a
˙
1
.
.
.
a
˙
m
=
0
(
.7
)
{\displaystyle \ \left(\square + m^{2}\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} = 0 \qquad (.7)}
,
∂
a
a
˙
ψ
a
a
1
.
.
.
a
n
−
1
a
˙
a
˙
1
.
.
.
a
˙
m
−
1
=
0
(
.8
)
{\displaystyle \ \partial^{a \dot {a}}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = 0 \qquad (.8)}
,
то воно реалізує незвідне представлення групи Пуанкаре із масою
m
{\displaystyle \ m}
та спіном
s
=
n
+
m
2
{\displaystyle \ s = \frac{n + m}{2}}
.
Доведення проводиться у декілька етапів.
По-перше , треба показати, що у функції поля в такому представленні є
2
s
+
1
{\displaystyle \ 2s+1}
незалежних компонент. Для цього можна використати те, що рівняння
(
.7
)
,
(
.8
)
{\displaystyle \ (.7), (.8)}
являються явно коваріантними, тому, для спрощення, можна використати ІСВ, у якій частинка покоїться. Для неї
p
μ
=
(
m
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \ p_{\mu} = (m, 0, 0, 0) }
, і тому
p
μ
ψ
=
m
ψ
,
p
a
a
˙
ψ
a
a
1
.
.
.
a
n
−
1
a
˙
a
˙
1
.
.
.
a
˙
m
−
1
=
(
σ
~
μ
)
a
a
˙
p
μ
ψ
a
a
1
.
.
.
a
n
−
1
a
˙
a
˙
1
.
.
.
a
˙
m
−
1
=
δ
a
a
˙
m
ψ
a
a
1
.
.
.
a
n
−
1
a
˙
a
˙
1
.
.
.
a
˙
m
−
1
=
0
(
.9
)
{\displaystyle \ p_{\mu}\psi = m \psi , \quad p^{a \dot {a}}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = (\tilde {\sigma}^{\mu})^{a \dot {a}}p_{\mu}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = \delta^{a \dot {a}}m\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = 0 \qquad (.9)}
.
Початкова функція, на яку не накладено жодної умови, має
(
n
+
1
)
(
m
+
1
)
{\displaystyle \ (n +1)(m + 1)}
кількість незалежних компонент. Умова
(
.9
)
{\displaystyle \ (.9)}
зменшує кількість перестановок індексів на один для неточкового та один для точкового індексів. Таким чином, з цією умовою є
(
n
+
1
−
1
)
(
m
+
1
−
1
)
=
n
m
{\displaystyle \ (n + 1 - 1)(m + 1 - 1) = nm}
тривіальних компонент. Число ж нетривіальних компонент рівне
(
n
+
1
)
(
m
+
1
)
−
n
m
=
n
+
m
+
1
=
2
(
n
+
m
)
2
+
1
=
2
s
+
1
{\displaystyle \ (n + 1)(m + 1) - nm = n + m + 1 = 2\frac{(n + m)}{2} + 1 = 2s + 1}
,
що й потрібно було довести.
Далі треба показати, що дія оператору Казиміра - квадрату оператора Паулі-Любанського - на поле дає
W
μ
W
μ
ψ
a
a
1
.
.
.
a
n
−
1
a
˙
a
˙
1
.
.
.
a
˙
m
−
1
=
−
m
2
s
(
s
+
1
)
ψ
a
a
1
.
.
.
a
n
−
1
a
˙
a
˙
1
.
.
.
a
˙
m
−
1
{\displaystyle \ W_{\mu}W^{\mu}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}}}
.
Для цього треба переписати вираз для квадрату оператора у рамках спінорного формалізму. Тоді (доведення )
W
a
a
˙
W
a
a
˙
=
1
2
(
M
a
c
M
a
c
+
M
a
˙
c
˙
M
a
˙
c
˙
)
∂
2
−
M
a
˙
c
˙
M
a
d
∂
c
˙
a
∂
a
˙
d
{\displaystyle \ W_{a\dot {a}}W^{a \dot {a}} = \frac{1}{2}\left( M_{ac}M^{ac} + M_{\dot {a}\dot {c}}M^{\dot {a}\dot {c}}\right)\partial^{2} - M_{\dot {a}\dot {c}}M_{a d}\partial^{\dot {c}a}\partial^{\dot {a}d}}
.
Дія першого доданку на функцію стану може бути зведена до дії квадратів операторів групи Лоренца. Треба визначити дію першого доданку:
∂
α
˙
α
∂
β
˙
β
M
a
b
M
a
˙
b
˙
ψ
c
1
.
.
.
c
n
c
˙
1
.
.
.
c
˙
m
=
−
∂
a
˙
a
∂
b
˙
b
M
a
b
i
2
2
∑
i
=
1
m
ε
c
˙
i
a
˙
ψ
c
1
.
.
.
c
n
b
˙
c
˙
1
.
.
.
c
~
˙
i
.
.
.
c
˙
m
=
{\displaystyle \ \partial^{\dot {\alpha} \alpha}\partial^{\dot {\beta }\beta }M_{ab}M_{\dot {a}\dot {b}}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = -\partial^{\dot {a}a}\partial^{\dot {b}b}M_{ab}\frac{i}{2}2\sum_{i = 1}^{m}\varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} = }
=
−
1
2
∂
a
˙
a
∂
b
˙
b
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
(
ε
c
˙
i
a
˙
ε
c
j
b
ψ
a
c
1
.
.
.
c
~
j
.
.
.
c
n
b
˙
c
˙
1
.
.
.
c
~
˙
i
.
.
.
c
˙
m
+
ε
c
˙
i
a
˙
ε
c
j
a
ψ
b
c
1
.
.
.
c
~
j
.
.
.
c
n
b
˙
c
˙
1
.
.
.
c
~
˙
i
.
.
.
c
˙
m
)
=
{\displaystyle \ = -\frac{1}{2}\partial^{\dot {a}a}\partial^{\dot {b}b}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\left( \varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}}\varepsilon_{c_{j}b}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} + \varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}}\varepsilon_{c_{j}a}\psi_{bc_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}}\right) = }
=
−
1
2
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
(
∂
c
˙
i
a
∂
c
j
b
˙
ψ
a
c
1
.
.
.
c
~
j
.
.
.
c
n
b
˙
c
˙
1
.
.
.
c
~
˙
i
.
.
.
c
˙
m
+
∂
c
j
c
˙
i
∂
b
˙
b
ψ
b
c
1
.
.
.
c
~
j
.
.
.
c
n
b
˙
c
˙
1
.
.
.
c
~
˙
i
.
.
.
c
˙
m
)
{\displaystyle \ =-\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\left( \partial_{\dot {c}_{i}}^{\quad a}\partial^{\dot {b}}_{\quad c_{j}}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} + \partial_{c_{j}\dot {c}_{i}}\partial^{\dot {b}b}\psi_{bc_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}}\right)}
.
Другий доданок рівен нулю в силу умови
(
.8
)
{\displaystyle \ (.8)}
, а перший доданок можна перетворити (див. розділ "Основні властивості...") як
∂
c
˙
i
a
∂
c
j
b
˙
=
∂
a
˙
a
∂
c
j
β
˙
ε
b
˙
β
˙
ε
c
˙
i
a
˙
=
−
∂
a
˙
a
∂
c
j
β
˙
(
δ
c
˙
i
b
˙
δ
a
˙
β
˙
−
δ
a
˙
b
˙
δ
c
˙
i
β
˙
)
=
−
∂
β
˙
a
∂
c
j
β
˙
δ
c
˙
i
b
˙
+
∂
a
˙
a
∂
c
j
c
˙
i
{\displaystyle \ \partial_{\dot {c}_{i}}^{\quad a}\partial^{\dot {b}}_{\quad c_{j}} = \partial^{\dot {a}a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\varepsilon^{\dot {b}\dot {\beta}}\varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}} = -\partial^{\dot {a}a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\left( \delta^{\dot {b}}_{\dot {c}_{i}}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {a}} - \delta^{\dot {b}}_{\dot {a}}\delta^{\dot {\beta}}_{\dot {c}_{i}} \right) = -\partial^{\dot {\beta }a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\delta^{\dot {b}}_{\dot {c}_{i}} + \partial^{\dot {a}a}\partial_{c_{j}\dot {c}_{i}}}
.
Дія другого доданку зводиться до виразу
(
.8
)
{\displaystyle \ (.8)}
, а дія першого дає
1
2
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
∂
β
˙
a
∂
c
j
β
˙
δ
c
˙
i
b
˙
ψ
a
c
1
.
.
.
c
~
j
.
.
.
c
n
b
˙
c
˙
1
.
.
.
c
~
˙
i
.
.
.
c
˙
m
=
1
2
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
∂
2
δ
c
j
a
ψ
a
c
1
.
.
.
c
~
j
.
.
.
c
n
c
˙
1
.
.
.
c
˙
m
=
m
2
2
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
ψ
c
1
.
.
.
c
n
c
˙
1
.
.
.
c
˙
m
=
m
2
2
m
n
ψ
c
1
.
.
.
c
n
c
˙
1
.
.
.
c
˙
m
{\displaystyle \ \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n} \partial^{\dot {\beta }a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\delta^{\dot {b}}_{\dot {c}_{i}}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\partial^{2}\delta^{a}_{c_{j}}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = \frac{m^{2}}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = \frac{m^{2}}{2}mn\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}}}
.
Отже, дія оператору Казиміра зводиться до
C
2
ψ
c
1
.
.
.
c
n
c
˙
1
.
.
.
c
˙
m
=
(
1
2
(
M
a
c
M
a
c
+
M
a
˙
c
˙
M
a
˙
c
˙
)
∂
2
−
M
a
˙
c
˙
M
a
d
∂
c
˙
a
∂
a
˙
d
)
ψ
c
1
.
.
.
c
n
c
˙
1
.
.
.
c
˙
m
=
−
m
2
2
(
m
(
m
+
2
)
+
n
(
n
+
2
)
2
+
m
n
)
ψ
c
1
.
.
.
c
n
c
˙
1
.
.
.
c
˙
m
=
{\displaystyle \ C_{2}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = \left( \frac{1}{2}\left( M_{ac}M^{ac} + M_{\dot {a}\dot {c}}M^{\dot {a}\dot {c}}\right)\partial^{2} - M_{\dot {a}\dot {c}}M_{a d}\partial^{\dot {c}a}\partial^{\dot {a}d}\right)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = -\frac{m^{2}}{2}\left( \frac{m(m + 2) + n(n + 2)}{2} + mn\right)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = }
=
−
m
2
4
(
m
+
n
)
(
m
+
n
+
2
)
ψ
c
1
.
.
.
c
n
c
˙
1
.
.
.
c
˙
m
=
−
m
2
s
(
s
+
1
)
ψ
c
1
.
.
.
c
n
c
˙
1
.
.
.
c
˙
m
{\displaystyle \ = -\frac{m^{2}}{4}(m + n)(m + n + 2)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}}}
.
Отже, теорему доведено.
Для випадків різного спіну у подальших із цієї теореми будуть отримані відповідні рівняння на функції поля. Наголошу, що полями відповідні функції називаються відповідно до визначення поля як функції на просторі-часі Мінковського, а не тому, що об'єкт, який вони описують, є полем.
Оператор зв'язку різних представлень [ ]
Для подальшого аналізу релятивістських рівнянь треба дослідити зв'язок між представленнями
(
n
2
,
m
2
)
{\displaystyle \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)}
із однаковим спіном, проте різними
n
,
m
{\displaystyle \ n, m}
. Для цього можна ввести оператор
Δ
a
a
˙
=
i
m
P
a
a
˙
=
−
1
m
∂
a
a
˙
(
.10
)
{\displaystyle \Delta_{a\dot {a}} = \frac{i}{m}P_{a \dot {a}} = -\frac{1}{m}\partial_{a \dot {a}} \qquad (.10)}
.
У просторі розв'язків рівняння Клейна-Гордона оператор може бути обернений:
Δ
a
a
˙
Δ
a
˙
b
ψ
=
1
m
2
∂
a
a
˙
∂
a
˙
b
=
1
m
2
∂
μ
∂
ν
(
σ
μ
)
a
a
˙
(
σ
ν
)
a
˙
b
ψ
=
|
(
σ
ν
)
a
˙
b
ψ
=
(
σ
ν
~
)
a
˙
b
|
=
{\displaystyle \Delta_{a}^{\quad \dot {a}}\Delta^{b}_{\quad \dot {a}}\psi = \frac{1}{m^{2}}\partial_{a}^{\quad \dot {a}}\partial^{b}_{\quad \dot {a}} = \frac{1}{m^{2}}\partial_{\mu }\partial_{\nu}(\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\sigma^{\nu})^{b}_{\quad \dot {a}}\psi =\left|(\sigma^{\nu})^{b}_{\quad \dot {a}}\psi = (\tilde {\sigma^{\nu}})_{\dot {a}}^{\quad b}\right| =}
=
1
2
m
2
(
(
σ
μ
)
a
a
˙
(
σ
ν
~
)
a
˙
b
+
(
σ
ν
)
a
a
˙
(
σ
μ
~
)
a
˙
b
)
∂
μ
∂
ν
ψ
=
1
2
m
2
2
g
μ
ν
δ
a
b
∂
μ
∂
ν
ψ
=
δ
a
b
ψ
{\displaystyle = \frac{1}{2m^{2}}\left( (\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\nu}})_{\dot {a}}^{\quad b} + (\sigma^{\nu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\mu}})_{\dot {a}}^{\quad b}\right) \partial_{\mu}\partial_{\nu}\psi = \frac{1}{2m^{2}}2g^{\mu \nu}\delta^{b}_{a}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\psi = \delta^{b}_{a}\psi}
,
де використана рівність 3 :
(
σ
μ
)
a
a
˙
(
σ
ν
~
)
a
˙
b
+
(
σ
ν
)
a
a
˙
(
σ
μ
~
)
a
˙
b
=
2
g
μ
ν
δ
a
b
{\displaystyle (\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\nu}})_{\dot {a}}^{\quad b} + (\sigma^{\nu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\mu}})_{\dot {a}}^{\quad b} = 2g^{\mu \nu}\delta^{b}_{a}}
.
Оператори
(
.10
)
{\displaystyle (.10)}
дозволяють перетворювати точкові індекси спінорного тензору у неточкові. Це, очевидно, і встановлює зв'язок між представленнями. Дійсно, нехай є представлення
(
0
,
s
)
{\displaystyle (0, s)}
, яке має
2
s
+
1
{\displaystyle 2s + 1}
компонент. В результаті для нього не потрібна умова
(
.8
)
{\displaystyle \ \qquad (.8)}
. Подіявши на нього
n
{\displaystyle \ n}
операторами
Δ
a
i
b
˙
2
s
−
i
{\displaystyle \Delta_{a_{i}}^{\dot {b}_{2s - i}}}
, можна отримати
k
{\displaystyle \ k}
точкових індексів та
n
{\displaystyle \ n}
неточкових,
n
+
k
=
2
s
{\displaystyle n + k = 2s}
, і відповідний симетричний тензор:
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
k
=
Δ
a
1
b
˙
k
+
1
.
.
.
Δ
a
n
b
˙
k
+
n
ψ
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
+
k
{\displaystyle \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{k}} = \Delta_{a_{1}}^{\quad \dot {b}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{k + n}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}}}
.
Даний тензор задовольняє умові
(
.8
)
{\displaystyle (.8)}
,
∂
a
1
b
˙
1
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
k
=
(
σ
~
μ
)
b
˙
1
a
1
∂
μ
Δ
a
1
b
˙
k
+
1
.
.
.
Δ
a
n
b
˙
k
+
n
ψ
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
+
k
=
−
1
m
∂
μ
∂
ν
(
σ
~
μ
)
b
˙
1
a
1
(
σ
ν
)
a
1
b
˙
k
+
1
.
.
.
Δ
a
n
b
˙
n
+
k
ψ
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
+
k
=
{\displaystyle \partial^{a_{1}\dot {b}_{1}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{k}} = (\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {b}_{1}a_{1}}\partial_{\mu}\Delta_{a_{1}}^{\quad \dot {b}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{k + n}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = -\frac{1}{m}\partial_{\mu}\partial_{\nu}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {b}_{1}a_{1}}(\sigma^{\nu})_{a_{1}}^{\quad \dot {b}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{n + k}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = }
=
−
1
m
∂
μ
∂
ν
ε
b
˙
k
+
1
c
˙
1
(
σ
~
μ
)
b
˙
1
a
1
(
σ
ν
)
a
1
c
˙
k
+
1
.
.
.
Δ
a
n
b
˙
n
+
k
ψ
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
+
k
=
−
2
m
∂
μ
∂
ν
g
μ
ν
ε
b
˙
k
+
1
b
˙
1
.
.
.
Δ
a
n
b
˙
n
+
k
ψ
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
+
k
=
0
{\displaystyle = -\frac{1}{m}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\varepsilon^{\dot {b}_{k + 1}\dot {c}_{1}}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {b}_{1}a_{1}}(\sigma^{\nu})_{a_{1} \dot {c}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{n + k}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = -\frac{2}{m}\partial_{\mu}\partial_{\nu}g^{\mu \nu}\varepsilon^{\dot {b}_{k + 1}\dot {b}_{1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{n + k}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = 0}
в силу незвідності спінорного представлення
ψ
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
+
k
{\displaystyle \psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}}}
.
Таким чином, є взаємозв'язок між представленням
(
0
,
s
)
{\displaystyle (0, s)}
та будь-яким іншим із відповідним спіновим числом, включаючи
(
s
,
0
)
{\displaystyle (s, 0)}
. Для "проміжних" представлень треба використовувати умову
(
.8
)
{\displaystyle (.8)}
, для "першого" й "останнього" - ні.
Тепер, нарешті, можна перейти до отримання рівнянь поля для відповідних представлень зі спіном
s
{\displaystyle s}
.