Повернутися до розділу "Зв'язок між частинками та полями" .
Відповідно до написаного вище , безмасові представлення групи Пуанкаре характеризуються власними значеннями оператора спіральності . Ці власні значення мають зміст проекцій спіну на напрямок руху (не варто забувати, що власне оператор Казиміра, що задає спінове число безмасового представлення, тотожно рівний нулю). Спіральність даного представлення є інваріантом перетворень групи Пуанкаре, тому поле, що реалізує таке представлення, має одну нетривіальну компоненту. Як і у випадку з масивними представленнями , можна побудувати незвідні представлення групи Пуанкаре на спін-тензорних представленнях виду
(
n
2
,
m
2
)
{\displaystyle \ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)}
,
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
{\displaystyle \ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}}
. Умова незвідності, проте, буде реалізовуватися по-іншому.
Для безмасового представлення справедлива наступна теорема: симетричне окремо за точковими та неточковими індексами поле
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
{\displaystyle \ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}}
реалізує безмасове незвідне представлення групи Пуанкаре зі спіральністю
λ
=
n
−
m
2
{\displaystyle \ \lambda = \frac{n - m}{2}}
, якщо
∂
c
˙
c
ψ
c
a
1
.
.
.
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
0
,
∂
c
˙
c
ψ
a
1
.
.
.
a
n
c
˙
.
.
.
b
˙
m
−
1
=
0
(
.10
)
{\displaystyle \ \partial^{\dot {c} c}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0 , \quad \partial^{\dot {c}c}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot c...\dot {b}_{m - 1}} = 0 \qquad (.10)}
.
Доведення можна провести наступним чином.
По-перше, варто зазначити, що умова
∂
2
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
0
{\displaystyle \ \partial^{2}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0}
є наслідком умов
(
.10
)
{\displaystyle \ (.10)}
. Дійсно, наприклад, продиференціювавши першу умову, можна отримати
∂
a
n
c
˙
∂
c
˙
c
ψ
c
a
1
.
.
.
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
=
∂
μ
∂
ν
(
σ
μ
)
a
n
c
˙
(
σ
~
ν
)
c
˙
c
ψ
c
a
1
.
.
.
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
=
|
∂
μ
∂
ν
(
σ
μ
)
a
n
c
˙
(
σ
~
ν
)
c
˙
c
=
1
2
∂
μ
∂
ν
(
σ
μ
σ
~
ν
+
σ
ν
σ
~
μ
)
a
n
c
=
1
2
g
μ
ν
δ
a
n
c
∂
μ
∂
ν
|
=
{\displaystyle \ \partial_{a_{n}\dot {c}}\partial^{\dot {c}c}\psi_{ca_{1}...a_{n-1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}} = \partial_{\mu}\partial_{\nu}(\sigma^{\mu})_{a_{n}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\nu})^{\dot {c}c}\psi_{ca_{1}...a_{n-1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}} = |\partial_{\mu}\partial_{\nu}(\sigma^{\mu})_{a_{n}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\nu})^{\dot {c}c} = \frac{1}{2}\partial_{\mu }\partial_{\nu}(\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu} + \sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu})^{\quad c}_{a_{n}} = \frac{1}{2}g^{\mu \nu}\delta^{c}_{a_{n}}\partial_{\mu}\partial_{\nu}|= }
=
∂
2
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
=
0
{\displaystyle \ = \partial^{2}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}} = 0}
.
Переписавши
(
.10
)
{\displaystyle \ (.10)}
у імпульсному вигляді, можна отримати
p
c
˙
c
ψ
c
a
1
.
.
.
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
0
,
p
c
˙
c
ψ
a
1
.
.
.
a
n
c
˙
.
.
.
b
˙
m
−
1
=
0
(
.11
)
{\displaystyle \ p^{\dot c c}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0, \quad p^{\dot {c} c}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot c...\dot {b}_{m - 1}} = 0 \qquad (.11)}
.
Спінорне представлення
p
c
˙
c
{\displaystyle \ p^{\dot {c} c}}
пов'язане з векторним
p
μ
{\displaystyle \ p^{\mu}}
як
p
c
˙
c
=
p
μ
(
σ
~
μ
)
c
˙
c
{\displaystyle \ p^{\dot {c}c} = p^{\mu}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {c} c}}
, де
p
μ
p
μ
=
0
{\displaystyle \ p^{\mu }p_{\mu} = 0}
, як повинно бути для безмасових частинок. В силу коваріантності умов можна розглянути
(
.11
)
{\displaystyle \ (.11)}
відносно довільної системи відліку. Наприклад, можна вибрати систему відліку, для якої
p
μ
=
(
E
,
0
,
0
,
−
E
)
{\displaystyle \ p^{\mu} = (E, 0, 0, -E)}
. Тоді відповідне спінорне представлення запишеться у вигляді
p
c
˙
c
=
E
(
E
^
−
σ
^
~
3
)
=
E
(
(
1
0
0
1
)
+
(
1
0
0
−
1
)
)
=
2
E
(
1
0
0
0
)
(
.11
)
{\displaystyle \ p^{\dot {c} c} = E\left( \hat {\mathbf E} - \tilde {\hat {\sigma}}_{3}\right) = E\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\right) = 2E \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad (.11)}
.
Це означає, що будь-яка компонента спін-тензора
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
{\displaystyle \ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}}
, яка має хоч один індекс
1
{\displaystyle \ 1}
, рівна нулю. Дійсно, вирази
(
.10
)
{\displaystyle \ (.10)}
при явному вигляді
p
c
˙
c
(
.11
)
{\displaystyle \ p^{\dot {c} c} (.11)}
дають
2
E
ψ
1...
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
0
,
2
E
ψ
a
1
.
.
.
a
n
1
˙
.
.
.
b
˙
m
−
1
=
0
{\displaystyle \ 2E\psi_{1...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0 , \quad 2E\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {1}...\dot {b}_{m - 1}} = 0}
.
Отже, існує єдина нетривіальна компонента
ψ
2
1
.
.
.2
n
2
˙
1
.
.
.
2
˙
m
{\displaystyle \ \psi_{2_{1}...2_{n}\dot {2}_{1}...\dot {2}_{m}}}
, що відповідає незвідності представлення по спіральності.
Далі, умови
(
.10
)
{\displaystyle \ (.10)}
можуть бути представлені як
∂
c
˙
c
ψ
c
a
1
.
.
.
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
ε
c
d
∂
d
c
˙
ψ
c
a
1
.
.
.
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
1
2
ε
c
d
(
∂
d
c
˙
ψ
c
a
1
.
.
.
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
−
∂
c
c
˙
ψ
d
a
1
.
.
.
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
)
=
0
{\displaystyle \ \partial^{\dot {c} c}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \varepsilon^{cd}\partial_{d}^{\quad \dot {c}}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \frac{1}{2}\varepsilon^{cd} \left( \partial_{d}^{\quad \dot {c}}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} - \partial_{c}^{\quad \dot {c}}\psi_{da_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}\right) = 0 }
,
p
c
˙
c
ψ
a
1
.
.
.
a
n
c
˙
.
.
.
b
˙
m
−
1
=
1
2
ε
c
˙
d
˙
(
∂
d
˙
d
ψ
a
1
.
.
.
a
n
c
˙
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
−
1
−
∂
c
˙
d
ψ
a
1
.
.
.
a
n
d
˙
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
−
1
)
=
0
{\displaystyle \ p^{\dot {c} c}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot c...\dot {b}_{m - 1}} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\dot {c}\dot {d}} \left( \partial^{d}_{\quad \dot {d}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {c}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m - 1}} - \partial^{d}_{\quad \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {d}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m - 1}}\right) = 0}
,
де враховано, що
ε
c
d
∂
c
c
˙
ψ
d
a
1
.
.
.
a
n
−
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
−
p
c
c
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
c
˙
.
.
.
b
˙
m
−
1
{\displaystyle \ \varepsilon^{cd}\partial_{c}^{\quad \dot {c}}\psi_{da_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = -p^{c \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot c...\dot {b}_{m - 1}}}
.
Далі, рівність
ε
a
c
T
a
c
=
0
{\displaystyle \ \varepsilon^{ac}T_{ac} = 0}
для згортки довільного спінорного тензора із антисиметричним тензором
ε
a
c
{\displaystyle \ \varepsilon^{ac} }
означає, що
T
a
c
−
T
c
a
=
0
{\displaystyle \ T_{ac} - T_{ca} = 0}
, що відповідає рівності нулю антисиметричної частини тензора. Тоді (індекси спінора похідної опущені)
∂
d
d
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
∂
a
i
c
˙
ψ
c
a
1
.
.
.
a
~
i
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
i
.
.
.
b
˙
m
(
.12
)
{\displaystyle \ \partial_{d \dot {d}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \partial_{a_{i}\dot {c}}\psi_{ca_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{i}...\dot {b}_{m}} \qquad (.12)}
,
∂
d
d
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
∂
d
b
˙
i
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
i
.
.
.
b
˙
m
(
.13
)
{\displaystyle \ \partial_{d \dot {d}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \partial_{d \dot {b}_{i}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{i}...\dot {b}_{m}} \qquad (.13)}
.
Тепер можна визначити зв'язок між діями операторів трансляцій та Любанського-Паулі для полів, на які накладено умови
(
.10
)
{\displaystyle \ (.10)}
.
Відповідно до розділу "Оператори Казиміра спінорного представлення групи Лоренца" статті "КТП. Спінорний формалізм",
(
J
c
d
ψ
)
a
1
.
.
.
a
n
=
−
i
2
∑
i
=
1
n
(
ε
a
i
c
ψ
d
a
1
.
.
.
a
~
i
.
.
.
a
n
+
ε
a
i
d
ψ
c
a
1
.
.
.
a
~
i
.
.
.
a
n
)
,
(
J
c
˙
d
˙
ψ
)
a
1
.
.
.
a
n
=
0
{\displaystyle \ (J_{cd}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = -\frac{i}{2}\sum_{i = 1}^{n}\left( \varepsilon_{a_{i}c}\psi_{da_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}} + \varepsilon_{a_{i}d}\psi_{ca_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}}\right), \quad (J_{\dot {c} \dot {d}}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = 0 }
,
(
J
c
˙
d
˙
ψ
)
a
˙
1
.
.
.
a
˙
n
=
−
i
2
∑
i
=
1
n
(
ε
a
˙
i
c
˙
ψ
d
˙
a
˙
1
.
.
.
a
˙
~
i
.
.
.
a
˙
n
+
ε
a
˙
i
d
˙
ψ
c
˙
a
˙
1
.
.
.
a
˙
~
i
.
.
.
a
˙
n
)
,
(
J
c
d
ψ
)
a
˙
1
.
.
.
a
˙
n
=
0
{\displaystyle \ (J_{\dot {c}\dot {d}}\psi)_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{n}} = -\frac{i}{2}\sum_{i = 1}^{n}\left( \varepsilon_{\dot {a}_{i}\dot {c}}\psi_{\dot {d}\dot {a}_{1}...\tilde {\dot {a}}_{i}...\dot {a}_{n}} + \varepsilon_{\dot{a}_{i}\dot {d}}\psi_{\dot {c}\dot {a}_{1}...\tilde {\dot {a}}_{i}...\dot {a}_{n}}\right), \quad (J_{c d}\psi)_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{n}} = 0}
,
а тому
W
c
c
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
(
∂
c
˙
d
J
c
d
−
∂
c
d
˙
J
c
˙
d
˙
)
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
{\displaystyle \ W_{c \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \left( \partial^{d}_{\quad \dot {c}}J_{cd} - \partial_{c}^{\quad \dot {d}} J_{\dot {c} \dot {d}}\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = }
=
i
2
[
∂
c
˙
d
∑
i
=
1
n
(
ε
a
i
c
ψ
d
a
1
.
.
.
a
~
i
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
+
ε
a
i
d
ψ
c
a
1
.
.
.
a
~
i
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
)
−
∂
c
d
˙
∑
i
=
1
m
(
ε
b
˙
i
c
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
d
˙
b
˙
1
.
.
.
b
~
˙
i
.
.
.
b
˙
m
+
ε
b
˙
i
d
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
c
˙
b
˙
1
.
.
.
b
~
˙
i
.
.
.
b
˙
m
)
]
=
{\displaystyle \ = \frac{i}{2}\left[ \partial^{d}_{\quad \dot {c}}\sum_{i = 1}^{n}(\varepsilon_{a_{i}c}\psi_{da_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} + \varepsilon_{a_{i}d}\psi_{ca_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}) - \partial_{c}^{\quad \dot {d}}\sum_{i = 1}^{m}(\varepsilon_{\dot {b}_{i}\dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {d}\dot {b}_{1}...\dot {\tilde b}_{i}...\dot {b}_{m}} + \varepsilon_{\dot {b}_{i}\dot {d} }\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {c}\dot {b}_{1}...\dot {\tilde b}_{i}...\dot {b}_{m}})\right] =}
=
i
2
[
∑
i
=
1
n
∂
a
i
c
˙
ψ
c
a
1
.
.
.
a
~
˙
i
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
−
∑
i
=
1
m
∂
c
b
˙
i
ψ
a
1
.
.
.
a
n
c
˙
b
˙
1
.
.
.
b
~
˙
i
.
.
.
b
˙
m
+
∑
i
=
1
n
ε
a
i
c
∂
c
˙
d
ψ
d
a
1
.
.
.
a
~
i
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
−
∑
i
=
1
m
ε
b
˙
i
c
˙
∂
c
d
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
d
˙
b
˙
1
.
.
.
b
~
˙
i
.
.
.
b
˙
m
]
=
{\displaystyle \ = \frac{i}{2}\left[ \sum_{i = 1}^{n}\partial_{a_{i} \dot {c}}\psi_{ca_{1}...\dot {\tilde a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} - \sum_{i = 1}^{m}\partial_{c \dot {b}_{i}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {c}\dot {b}_{1}...\dot {\tilde b}_{i}...\dot {b}_{m}} + \sum_{i = 1}^{n}\varepsilon_{a_{i}c}\partial^{d}_{\quad \dot {c}}\psi_{da_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} - \sum_{i = 1}^{m}\varepsilon_{\dot {b}_{i}\dot {c}}\partial_{c}^{\quad \dot {d}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {d}\dot {b}_{1}...\dot {\tilde b}_{i}...\dot {b}_{m}}\right] =}
=
i
2
(
∑
i
=
1
n
∂
c
c
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
−
∑
i
=
1
m
∂
c
c
i
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
)
=
i
2
(
n
−
m
)
∂
c
c
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
|
i
∂
c
c
˙
=
p
c
c
˙
|
=
n
−
m
2
p
c
c
˙
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
{\displaystyle \ = \frac{i}{2}\left( \sum_{i = 1}^{n}\partial_{c \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} - \sum_{i = 1}^{m}\partial_{c c_{i}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}\right) = \frac{i}{2}(n - m)\partial_{c \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = |i\partial_{c \dot c} = p_{c \dot {c}}| = \frac{n - m}{2}p_{c\dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}}
,
де у третій стрічці використані вирази
(
.10
)
,
(
.12
)
−
(
.13
)
{\displaystyle \ (.10), (.12)-(.13)}
. Таким чином, показано, що на просторі полів
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
→
(
n
2
,
m
2
)
{\displaystyle \ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} \to \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)}
, на які накладені умови
(
.10
)
{\displaystyle \ (.10)}
, реалізовується незвідне безмасове представлення групи Пуанкаре із спіральністю
λ
=
n
−
m
2
{\displaystyle \ \lambda = \frac{n - m}{2}}
; поле має одну нетривіальну компоненту.
Відповідно до того, що кількість ненульових компонент рівна одиниці, цілі числа
n
,
m
{\displaystyle \ n, m}
для довільного представлення можуть бути будь-якими. Це означає, що існує нескінченна кількість полів представлення
(
m
2
,
n
2
)
{\displaystyle \ \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)}
, які реалізують дане представлення групи Пуанкаре.
Оператор зв'язку різних представлень однієї спіральності [ ]
Із попереднього підрозділу очевидно, що представлення
(
n
2
,
m
2
)
,
(
n
+
k
2
,
m
+
k
2
)
{\displaystyle \ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right), \left(\frac{n + k}{2}, \frac{m + k}{2} \right)}
, що задовольняють рівнянням
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
, реалізують безмасове представлення групи Пуанкаре із однією і тією ж самою спіральністю
λ
=
n
−
m
2
{\displaystyle \ \lambda = \frac{n - m}{2}}
. Виникає питання, чи є вони еквівалентні у тому сенсі, що являються пов'язаними через деякий оператор.
Такий оператор дійсно існує і має вигляд
Δ
a
b
˙
0
=
p
^
μ
(
σ
μ
)
a
b
˙
{\displaystyle \ \Delta^{0}_{a \dot {b}} = \hat {p}^{\mu}(\sigma_{\mu})_{a \dot {b}}}
.
Нескладно переконатися, що добуток симетричного поля
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
{\displaystyle \ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}}
, що задовольняло рівнянням
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
, і оператора
Δ
a
b
˙
0
{\displaystyle \ \Delta^{0}_{a \dot {b}}}
дає нове симетричне поле виду
ψ
a
1
.
.
.
a
n
+
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
+
1
{\displaystyle \ \psi_{a_{1}...a_{n + 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m + 1}}}
, що також задовольняє
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
.
Дійсно, симетричність поля очевидна в силу його побудови, а задовільнення рівностей
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
можна побачити із наступних викладок та рівності
σ
μ
σ
~
ν
=
g
μ
ν
−
i
ε
0
μ
ν
k
σ
k
−
δ
μ
0
(
δ
ν
0
−
σ
~
ν
)
−
δ
ν
0
(
δ
μ
0
−
σ
μ
)
{\displaystyle \ \sigma_{\mu}\tilde {\sigma}_{\nu} = g_{\mu \nu} - i\varepsilon_{0 \mu \nu k}\sigma^{k} - \delta_{\mu 0}(\delta_{\nu 0} - \tilde {\sigma}_{\nu}) - \delta_{\nu 0}(\delta_{\mu 0} - {\sigma}_{\mu})}
:
p
^
c
˙
a
n
+
1
ψ
a
1
.
.
.
a
n
+
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
+
1
=
p
^
c
˙
a
n
+
1
(
σ
μ
)
a
n
+
1
b
˙
m
+
1
p
^
μ
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
p
^
μ
p
^
α
(
σ
~
α
)
c
˙
a
n
+
1
(
σ
μ
)
a
n
+
1
b
˙
m
+
1
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
{\displaystyle \ \hat {p}^{\dot {c} a_{n + 1}}\psi_{a_{1}...a_{n + 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m + 1}} = \hat {p}^{\dot {c} a_{n + 1}}(\sigma^{\mu})_{a_{n + 1}\dot {b}_{m + 1}}\hat {p}_{\mu}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \hat {p}_{\mu}\hat {p}_{\alpha} (\tilde {\sigma}^{\alpha})^{\dot {c} a_{n + 1}}(\sigma^{\mu})_{a_{n + 1}\dot {b}_{m + 1}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = }
=
p
^
μ
p
^
α
(
g
μ
α
−
i
ε
0
α
μ
k
σ
k
−
δ
μ
0
(
δ
ν
0
−
σ
~
α
)
−
δ
α
0
(
δ
μ
0
−
σ
μ
)
)
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
|
p
^
2
=
0
,
p
^
μ
p
^
α
ε
0
μ
α
k
=
0
|
=
(
p
^
0
(
p
^
μ
σ
μ
−
p
^
0
)
+
p
^
0
(
p
^
μ
σ
~
μ
−
p
^
0
)
)
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
{\displaystyle \ = \hat {p}_{\mu}\hat {p}_{\alpha}\left( g^{\mu \alpha} - i\varepsilon^{0 \alpha \mu k}\sigma_{k} - \delta^{\mu 0}(\delta^{\nu 0} - \tilde {\sigma}^{\alpha}) - \delta^{\alpha 0}(\delta^{\mu 0} - \sigma^{\mu})\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = |\hat {p}^{2} = 0, \hat {p}_{\mu}\hat {p}_{\alpha}\varepsilon^{0 \mu \alpha k} = 0| = \left( \hat {p}_{0}(\hat {p}^{\mu}\sigma_{\mu} - \hat {p}_{0}) + \hat {p}_{0}(\hat {p}^{\mu}\tilde {\sigma}_{\mu} - \hat {p}_{0})\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = }
=
(
−
2
p
^
0
2
+
p
^
0
p
^
μ
(
σ
μ
+
σ
~
μ
)
)
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
|
σ
μ
+
σ
~
μ
=
(
2
σ
0
,
0
)
|
=
(
−
2
p
^
0
2
+
2
p
^
0
2
)
ψ
a
1
.
.
.
a
n
b
˙
1
.
.
.
b
˙
m
=
0
{\displaystyle \ = (-2\hat {p}_{0}^{2} + \hat {p}_{0}\hat {p}^{\mu}(\sigma_{\mu} + \tilde {\sigma}_{\mu}))\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = |\sigma_{\mu} + \tilde {\sigma}_{\mu} = (2\sigma_{0}, 0)| = (-2\hat {p}_{0}^{2} + 2\hat {p}_{0}^{2})\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0}
.
Абсолютно аналогічно доводиться друга рівність
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
.
Наявність вказаного оператора остаточно дозволяє обирати найбільш зручне представлення. Найчастіше такими являються представлення виду
(
λ
,
0
)
,
(
0
,
λ
)
{\displaystyle \ \left( \lambda , 0 \right), \left( 0, \lambda \right)}
, оскільки для їх реалізації потрібне лише одне з рівнянь
(
10
)
{\displaystyle \ (10)}
.
Частинні випадки [ ]
Скалярне безмасове поле, якому відповідає спіральність 0, може бути реалізоване скалярним полем
φ
{\displaystyle \ \varphi }
та полем
(
n
2
,
n
2
)
{\displaystyle \ \left( \frac{n}{2}, \frac{n}{2}\right)}
.
Представленню спіральності
λ
=
1
2
{\displaystyle \ \lambda = \frac{1}{2}}
відповідає поле
(
n
+
1
2
,
n
2
)
→
ψ
a
1
.
.
.
a
n
+
1
b
˙
1
.
.
.
b
˙
n
{\displaystyle \ \left( \frac{n + 1}{2}, \frac{n}{2}\right) \to \psi_{a_{1}...a_{n + 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}}}
, а представленню
−
1
2
{\displaystyle \ -\frac{1}{2}}
-
(
n
2
,
n
+
1
2
)
{\displaystyle \ \left( \frac{n}{2}, \frac{n + 1}{2}\right)}
. Наприклад, для
(
1
2
,
0
)
{\displaystyle \ \left( \frac{1}{2}, 0\right)}
умовами незвідності
(
.10
)
{\displaystyle \ (.10)}
є
∂
a
a
˙
ψ
a
=
0
{\displaystyle \ \partial^{a \dot a}\psi_{a} = 0}
, а для "протилежного" представлення
(
0
,
1
2
)
{\displaystyle \ \left( 0, \frac{1}{2} \right)}
-
∂
a
a
˙
ψ
a
˙
=
0
{\displaystyle \ \partial^{a \dot a}\psi_{\dot {a}} = 0}
.
Представленню спіральності
λ
=
1
{\displaystyle \ \lambda = 1}
у частинному випадку
(
1
,
0
)
{\displaystyle \ (1, 0)}
відповідає тензор
F
a
b
,
∂
a
a
˙
F
a
b
=
0
{\displaystyle \ F_{ab}, \partial^{a \dot {a}}F_{ab} = 0}
, представленню
(
0
,
1
)
{\displaystyle \ (0, 1)}
відповідає
F
a
˙
b
˙
,
∂
b
b
˙
F
a
˙
b
˙
=
0
{\displaystyle \ F_{\dot {a}\dot {b}}, \partial^{b \dot {b}}F_{\dot {a}\dot {b}} = 0}
.
Згадуючи із розділу про антисиметричний тензор , що антисиметричному 4-тензору
F
μ
ν
{\displaystyle \ F_{\mu \nu}}
можна співставити тензор
F
μ
ν
=
1
2
(
σ
μ
ν
)
a
b
F
a
b
−
1
2
(
σ
~
μ
ν
)
a
˙
b
˙
F
a
˙
b
˙
,
F
a
b
=
(
σ
μ
ν
)
a
b
F
μ
ν
,
F
a
˙
b
˙
=
(
σ
μ
ν
)
a
˙
b
˙
F
μ
ν
{\displaystyle \ F_{\mu \nu} = \frac{1}{2}(\sigma^{\mu \nu} )^{ab}F_{ab} - \frac{1}{2}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})^{\dot {a}\dot {b}}F_{\dot {a}\dot {b}}, \quad F_{ab} = (\sigma^{\mu \nu})^{ab}F_{\mu \nu}, \quad F_{\dot {a}\dot {b}} = (\sigma^{\mu \nu})^{\dot {a} \dot {b}}F_{\mu \nu}}
,
можна побудувати представлення спіральності 1. Як буде показано у наступному розділі, таке представлення будується для електромагнітного поля .
Також у відповідному розділі буде побудоване рівняння для безмасового поля спіну 2 , яке виявляється тензором Вейля. Йому відповідає лінеаризована ЗТВ.