У минулому розділі було встановлено однозначний зв'язок між 4-векторами та спінорними тензорами з точковим та неточковим індексом. У розділі Група SU(2) було показано також, що група SU(2) гомоморфна групі SO(3). Відповідно до цього, у розділі Ортохронна група Лоренца. Алгебра генераторів було також встановлено, що алгебру групи Лоренца можна представити як прямий добуток алгебр груп чи . У цьому розділі буде показано, що алгебра групи тісно пов'язана з групою (матриць, визначник яких рівен одиниці, на відміну від загального випадку SU(2), визначник матриць для якого рівен одиниці по модулю): вони пов'язані гомоморфізмом, тобто .
Із попередніх розділів відомо, що 4-вектору можна співставити спінорний тензор . Це можна продемонструвати тепер на мові формалізму теорії груп.
Отже, відповідає ермітовій матриці. Введено також спряжений спінорний тензор . Це задає норму :
.
Нехай тепер заданий закон перетворення , де матриці належать представленню групи . Новий спінорний тензор знову є ермітовим. Відповідно, детермінант спінорного тензора , або його норма , залишаються незмінними при такому перетворенні, оскільки визначники матриць групи рівні одиниці.
Все це разом означає, що можна пов'язати координати базису лінійним співвідношенням
.
Матриця належить групі Лоренца. Для того, щоб показати це, треба врахувати унімодулярність матриць . Тоді можна записати
,
або
.
Отже, матриці належать повній групі Лоренца (див. вираз посилання).
Тобто, отримано відображення групи Лоренца у групу . Воно є гомоморфізмом. Дійсно, для послідовних перетворень та можна записати
,
що означає, що добутку матриць відповідає послідовне виконання перетворень групи Лоренца.
Далі, одиниця групи відображається у одиницю групи Лоренца:
.
Тому перетворення являється (у загальному випадку) гомоморфним. Ядром гомоморфізму групи в групу Лоренца, або сукупністю елементів групи, які при відображенні переходять в одиницю групи Лоренца, є . Дійсно, із визначення для (а отже, і для довільного ) слідує
. Тоді
,
що означає, що матриця комутує з будь-якою матрицею . Це означає, що вона пропорційна одиничній матриці (за лемою Шура) із деяким множником . В силу виходить, що , що і доводить твердження . Це означає, що будь-який елемент групи Лоренца (образ) відповідає двом елементам групи (прообразам) : .
Нарешті, можна довести твердження, що образом гомоморфізму є ортохронна група Лоренца: . Дійсно, група є зв'язною (і визначається умовою одиничности визначника матричних представлень), а оскільки - гладкий гомоморфізм, то відображення ведеться у зв'язну компоненту групи Лоренца. Далі, відображення ведеться у компоненту зв'язності, що містить одиницю групи Лоренца, що означає, що воно ведеться в . Залишається лише довести, що кожній матриці групи Лоренца можна поставити у відповідність дві матриці групи . Для цього достатньо взяти матриці перетворення групи Лоренца, три матриці повороту та три бусти, та поставити їм у відповідність матриці 2 на 2 з одиничним визначником.
Матрицями групи Лоренца, записаними у "полярній" та "гіперполярній" формах, є
.
Відповідно, їх прообразами із групи є
,
,
в чому нескладно переконатись, використавши відповідність 4-вектора та матриці , а також закон перетворення для них.
Отже, гомоморфізм
називається спінорним гомоморфізмом. Група називається подвійною накриваючою групою групи Лоренца.
Аналогічно, існує сюр'єктивний гомоморфізм
,
де власна група Пуанкаре, - група перетворень матриць ,
,
із ядром .
Важливість спінорного гомоморфізму[]
Навіщо розглядати спінорний гомоморфізм? Важливість гомоморфізмів проявляється у відповідності представлень груп та їх подвійних накриваючих груп. Нехай - комплексне незвідне представлення групи . Тоді
.
Останнє вірно в силу леми Шура: , де . Тому існують незвідні представлення групи двох типів:
,
,
Представлення першого типу можна розглядати фактично як представлення власної групи Лоренца. Для цього достатньо покласти
.
Представлення другого типу не можна інтерпретувати як представлення групи Лоренца, оскільки у цьому випадку кожному перетворенню Лоренца треба співставляти два оператори, що відрізняються знаком:
.
Один зі знаків неможливо відкинути без порушення властивості неперервності та основної групової властивості
.
Як висновок, маючи гомоморфізм та ядро гомоморфізму , можна отримати ізоморфізм груп
.
Виявляється, проте, що замість групи Лоренца для побудови незвідних представлень групи Пуанкаре треба розглядати групу , тобто, включати двозначні представлення. Чому так? Відповідь криється у тому, що на фізичних станах реалізовуються проективні представлення групи Пуанкаре, а не звичайні. Про це коротко йшлося у розділі про побудову незвідних представлень групи Пуанкаре, проте тут це питання буде досліджено більш детально.
Проективні представлення та розширення групи Лоренца[]
Отже, як було показано, для представлень групи Пуанкаре, що задають незвідне представлення групи, реалізується рівність
,
причому фаза задовольняє співвідношенню (це слідує із умови асоціативності)
.
У загальному випадку фаза може бути представлена як
.
Виділена фаза є особливою тим, що її можна прибрати, перевизначивши оператори як
.
За визначенням, множина функцій , яка задовольняють і відрізняються лише на фазу , що дана виразом , називається 2-коциклом. Коцикл називається тривіальним, якщо він містить функцію , тобто якщо він складається із функцій виду , які можна прибрати перевизначенням операторів представлення.
Стоїть питання, чи може група Пуанкаре мати нетривіальні коцикли. Існує загальна теорема, яка каже, для даного проективного представлення існує лише тривіальний коцикл, якщо:
1) Генератори групи в представленні можуть бути перевизначені (зсунуті) так, щоб ефект від перевизначення фаз ніяк не впливав на комутаційні співвідношення - не було центральних зарядів (див. пояснення нижче); інакше група буде проективною уже в околі одиниці, що, звісно, впливає на комутаційні співвідношення;
Розглянемо ефект від перевизначення операторів на комутаційні співвідношення . Для цього варто використати твердження, що фаза дорівнює нулю при при або . Це означає, що в околі одиничних фаза має бути малою. Параметризуючи групові елементи неперервними координатами , це твердження можна подати у вигляді
,
де - дійсні числові константи. Враховуючи це, комутаційні співвідношення між генераторами групи набувають вигляду
.
Доданки виду називаються центральними зарядами групи. Відповідні тотожності Б'янкі мають вигляд
.
Розв'язками цього рівняння є, наприклад,
.
У такому випадку, перепозначивши генератори групи як , можна прибрати центральні заряди із комутаційних співвідношень. Якщо існують лише розв'язки , то перша умова теореми виконується.
Отже, алгебра групи Пуанкаре, модифікована центральними зарядами, має вигляд
,
,
,
.
де - антисиметричні по та константи. Підставляючи у тотожності Якобі для генераторів групи Пуанкаре, можна отримати набір рівностей на константи . Із них слідує, що
,
а інші константи мають структуру
,
.
Звідси видно, що якщо ввести нові генератори
,
то комутаційні співвідношення редукуються у у термінах .
Отже, група Пуанкаре задовольняє першій умові теореми.
Топологія[]
Із попереднього пункту відомо, що існує ізоморфізм
.
При дослідженні топології групи Лоренца зручно перейти до групи .
Представимо матрицю групи у вигляді
,
де
.
З умови та слідує, що
.
Представлення однозначне, тому, зокрема, топологічно група являється прямим добутком просторів усіх матриць та усіх матриць
Проте виявляється, що у квантовій теорії достатньо мати не звичайні, а проективні представлення групи симетрії. Тому представлення другого типу являються допустимими, і називаються двозначними представленнями власної групи Лоренца. Двозначні представлення власної групи являються однозначними представленнями її подвійної накриваючої групи. Аналогічне твердження справедливе і відносно двозначних представлень групи Пуанкаре.
У наступних статтях буде розглянуті незвідні представлення групи .