Відповідно до написаного у попередньому підрозділі, представлення групи дається матрицями вигляду
,
де виділені генератори групи.
Вони мають алгебру ,
і при домноженні на співпадають з матрицями Паулі.
Гомоморфність групи групі []
Можна показати, що група гомоморфна групі .
Матрицю групи можна також подати у вигляді
.
Замість можна ввести чотири дійсні параметри (два з них пов'язані співвідношенням, тому формально кількість незалежних параметрів рівна трьом, як і повинно бути) . Тоді матриця , переписана в генераторному вигляді, виражається через параметри як
.
Параметри групи пов'язані із параметрами як
.
Вираз можна записати у полярній формі
.
Дійсно,
,
і тоді розклад експоненти набуде вигляду
.
Якщо перепозначити локальні параметри групи як , то можна отримати комутаційні співвідношення виду
,
що співпадає із алгеброю генераторів групи . Більш звичним комутаційним співвідношенням, звичайно, є перехід
.
Можна побудувати ермітову матрицю
.
Тоді, відповідно до матричного закону перетворення, вибравши у якості матриць переходу матриці та вважаючи, що
,
можна отримати
.
Звідси
,
що відповідає повороту у тривимірному просторі навколо вісі на кут . Обравши , можна отримати перетворення, що описують повороти навколо вісей відповідно.
Отже, між представленнями груп та існує відповідність. Залишається лише визначити її однозначність. У представленні параметр пробігає значення , визначаючи різні матриці. В той же час для відповідної матриці представлення пробігає значення , причому .
Тому одній матриці представлення відповідають дві матриці представлення . Таким чином, група гомоморфна групі .
Група U(2)[]
Якщо розглянути групу, для якої , але немає вимоги на одиничний визначник, то вийде група . Матриці-представлення групи можуть бути подані у загальному вигляді
.
можна розглядати як деяку матрицю рангу 1, яка діє на комплексне число . В силу унітарності такої матриці відповідне представлення є представленням групи . Для дія матриці еквівалентна поворотам у площині , що однозначно відповідає повороту навколо вісі (у площині ). Це означає, що група ізоморфна групі . Окрім того, група може бути представлена як прямий добуток груп .