NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Цей розділ являється вступним до непертурбативних результатів у квантовій теорії поля, тобто таких, які визначають деяку загальну властивість теорії, що є вірною для будь-якого порядку теорії збурень. Це є надзвичайно зручним, оскільки, маючи вказані результати, можна не виводити їх кожного разу для свого порядку теорії збурень.

Гейзенбергівські функції Гріна[]

Для можливості застосування непертурбативних методів треба ввести n-точкову функцію Гріна:

.

Оператори записані у представленні Гейзенберга, а не у представленні взаємодії, на відміну від оператору лагранжіану в S-операторі. Для зв'язку ж елементів S-матриці із треба ввести варіаційний аналіз. Це робиться наступним чином.

Нехай до гамільтоніану взаємодії (який є еквівалентним до лагранжіану взаємодії, але є більш близьки до представлення Гейзенберга) додано взаємодію з деяким набором полів . Відповідна добавка має вигляд (тут , і по a - сума)

.

Струми є довільними операторами, еволюція яких по часу визначається представленням взаємодії: . Це означає, що S-матриця для довільного переходу стає функціоналом (подібна ідея вже була частково реалізована у підрозділі про недовизначеність хронологічного впорядкування). В результаті, у додаток до вершин від треба включити також вершини, що даються : якщо є добутком польових множників, то будь-яка відповідна цьому оператору вершина має вклад , помножений на числовий множник, що дається структурою , а кількість ліній, що входять і виходять із вершини, є рівною . Звідси слідує, що r-та варіаційна похідна цієї модифікованої S-матриці по полям дає при дає в координатному представленні діаграми із вершинами, до яких приєднано відповідно внутрішніх ліній; зовнішні лінії відсутні. По координатам , звісно, інтегрування не проводиться. У частинному випадку, якщо усі струми являються полями, то r-та варіаційна похідна відповідає діаграмам, до кожної із яких підходить лише одна зовнішня лінія, яка відповідає індексу поля оператора. Такі лінії, при цьому, можуть розглядатися як зовнішні лінії поза масовою оболонкою, з тією різницею, що у S-матриці вклад від зовнішніх ліній давався коефіцієнтною функцією при відповідному оператору поля, а тут він дається пропагатором, домноженим на від вершини лінії. Це означає, що для того, щоб в імпульсному представленні отримати діаграми, що відповідають матричному елементу і додатковим зовнішнім лініям, достатньо взяти варіаційну похідну від S-матриці,

,

взяти Фур'є образ по усім координатам і замінити пропагатори на коефіцієнтні функції полів, домножені на (при цьому зв'язавши компоненти 4-імпульсу дисперсійним співвідношенням). У результаті можна обходитися варіаційними похідними для (тобто - для вакуумних станів), роблячи наступний трюк: якщо нам потрібні діаграми в імпульсному просторі із зовнішніми лініями in-стану та зовнішніми лініями out-стану, достатньо взяти варіаційну похідну , після цього здійснити перетворення Фур'є за , і нарешті - замінити пропагатори, яки виникають від "спарювання" операторів із полями S-оператору, на конкретні коефіцієнтні функції.

Що це означає? Що формально можна оперувати діаграмами із лініями поза масовою оболонкою, а при бажанні отримання діаграми із декількома лініями на масовій оболонці просто замінювати відповідні пропагатори у варіаційній похідній на коефіцієнтні функції. Це є дуже зручним результатом, оскільки будь-яку складну діаграму на масовій поверхні можна "розкласти" на внутрішні діаграми, усі лінії між якими є внутрішніми, тобто формально знаходяться не на масовій поверхні. Таким чином, діаграми поза масовою поверхнею є більш загальними, ніж діаграми із лініями на масовій поверхні.

Виявляється також, що сума фейнманівських діаграм даного порядку пов'язана із як

,

де , тобто, являється гейзенбергівським оператором, а - відповідно out-, in-стани повного (!) гамільтоніану (на відміну від станів S-матриці, які є власними для вільного гамільтоніану).

Дійсно, відповідно до дайсонівського розкладу S-матриці і написаного у даному розділі,

.

Нехай для визначеності . Тоді всі , що більші за , можна позначити як , всі , що лежать між - як , і т.д. Після цього можна подати у вигляді

.

Замість підсумовування по з урахуванням зв'язку можна підсумовувати окремо по , а замінити на . Звідси

,

де . Цей оператор задовольняє рівнянню . Звідси, як і для S-матриці (тільки в оберненому порядку), .

Враховуючи тепер також початкове припущення (можна вираз між станами у замінити на часове впорядкування), а також - співвідношеннями між in-, out-станами повного гамільтоніану та вільного (із розділу про S-матрицю), ,

отримуємо

,

що співпадає із .

Таким чином, ми пов'язали гейзенбергівські функції Гріна із елементами S-матриці через вираз . Навіщо ж вивчати саме об'єкти ? Це варто робити, оскільки для операторів у представленні Гейзенберга визначені канонічні комутаційні співвідношення, еволюція по часу задається повним оператором Гамільтона. Це означає, що можна аналізувати симетрії S-матриці, визначати властивості вершинних операторів і т.д. Більше того, як показано у наступних розділах, цей результат є суто непертурбативним.

Наведений варіаційний апарат буде широко застосовуватися в розділі про континуальний інтеграл.

Advertisement