Вираз для оператору імпульсу та його власні функції. Імпульсне представлення

Повернутися до розділу "Основи квантової механіки".

Із виразу для комутатора $\ [{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ можна отримати явний вигляд оператору імпульса $\ {\hat {p}}$. Дійсно, домноживши його зліва на $\ \langle x|$, а зправа - на спряжений до нього $\ |x'\rangle$, можна отримати

$\ \langle x|{\hat {x}}{\hat {p}}_{x}-{\hat {p}}_{x}{\hat {x}}|x'\rangle =(x-x')\langle x|{\hat {p}}_{x}|x'\rangle =_{right}=i\hbar \langle x|x'\rangle =i\hbar \delta (x-x')$.

Щоб рівність виконувалась, потрібно, щоб

$\ \langle x|{\hat {p}}_{x}|x'\rangle =-i\hbar \delta '(x-x')$.

Ця рівність є справедливою в тому сенсі, що наші вирази є операторами, які повинні подіяти на функцію. Тому вони є еквівалентними у тому сенсі, що при дії їх на функцію отримується одна й та сама інша функція. Дійсно, оскільки матриця оператора згортається з вектором шляхом сумування (у випадку неперервного набору значень - інтегрування), то інтегруванням по частинам при дії оператора на довільну функцію $\ \Psi =\langle x|\Psi (x)\rangle$ можна отримати

$\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }X\delta '(X)\Psi (X)dX=\delta (X)X\Psi (x){\bigg |}_{-\infty }^{\infty }-\int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (X)(\Psi '(X)X+\Psi (X))dX=|\delta (-\infty )=\delta (\infty )=X\delta (X)=0|=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (X)\Psi (X)dX$,

тобто дія оператору лівої частини рівняння-умови на матрицю відповідає дії оператору правої частини.

Дія же матриці $\ \langle x|{\hat {p}}_{x}|x'\rangle$ на довільну функцію $\ \Psi (x)=\langle x|\Psi \rangle$ може бути описана через суму

$\ \sum _{x'}\langle x|{\hat {p}}_{x}|x'\rangle \langle x'|\Psi \rangle ->-i\hbar \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\delta (x-x')}{dx}}\Psi (x')dx'=-i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x)\Rightarrow {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {d}{dx}}$.

Аналогічно - для операторів проекції імпульсу на інші осі.

Можна також знайти власні функції оператора проекції імпульса. Із визначення,

$\ -i\hbar {\frac {d}{dx}}\Psi (x)=p\Psi (x)\Rightarrow \Psi (x)=Ce^{{\frac {i}{\hbar }}(px)}$.

Константу $\ C$ можна знайти з ортогональності скалярного добутку:

$\ \langle p'|p\rangle =\sum _{x}\langle p'|x\rangle \langle x|p\rangle =\int \Psi _{p'}^{*}(x)\Psi (x)dx=C^{2}\hbar \int e^{i(p-p')x}dx=2\pi \hbar C^{2}\delta (p-p')\Rightarrow C={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}$.