Спін відповідає представленню групи Лоренца. В результаті, умова для реалізації одночастинкових станів не потрібна, і основним рівнянням на поле є умова. В сенсі перетворення таке поле відповідає скалярній функції. В плані особливостей розв'язку та квантів поля є два принципово різні варіанти для поля - дійсне та комплексне. Друге поле, як можна було побачити у статті "Теорія поля", відповідає ненульовому нетерівському струму та має відповідну величину, що зберігається - заряд. Нижче розглянуто квантування поля для цих двох випадків.
Лагранжів формалізм[]
Найпростіше перейти від класичної до релятивістської квантової механіки за допомогою введення полів. Це робиться наступним чином: спочатку розглядається лагранжіан для деякого поля, після цього отримуються вирази для енергії-імпульсу поля та для самого поля, а після цього отримані вирази записуються у термінах операторів.
Наприклад, для скалярного дійсного поля Клейна-Гордона, рівняння для якого у операторному вигляді задовільняють релятивістський зв'язок між енергією-імпульсом для безмасового поля, лагранжіан має вигляд ()
.
Тензор енергії-імпульсу має вигляд
,
а отже, енергія та імпульс такого поля рівні
,
.
Розв'язок рівняння динаміки для поля,
,
можна отримати за допомогою перетворення Фур'є по просторовій координаті:
.
Дійсно, після підстановки перетворення у рівняння динаміки можна отримати
.
Тоді, виконуючи обернене перетворення Фур'є, можна отримати
,
де у першому доданку .
Якщо розглянути окремо другий доданок, зробивши заміну , то, в силу симетричності меж інтегрування, вони не зміняться, вираз-степінь експоненти можна буде записати у вигляді , а амплітудний множник перейде в , тому, в силу дійсності шуканого поля, він буде рівен спряженому першому амплітудному множнику: .
Отже,
,
де перехід виконаний з міркувань нормування (буде показано на прикладі отримання виразів для енергії та імпульсу нижче).
Тепер можна записати енергію та імпульс у "явному" вигляді:
.
Квантування поля[]
Перехід до квантової теорії здійснюється за допомогою переходу від фізичних величин до їх операторів. Таким чином, імпульс і енергія стають операторами. Оскільки, далі, енергія та імпульс залежать від амплітуд, то самі амплітуда стають операторами, і тоді отримані вирази мають вигляд
.
Отже, у квантовій теорії поля польова функція стає оператором . Це - множина операторів, які нумеруються за допомогою різних значень і які залежать від часу.
Залишається накласти на оператори амплітуд комутаційні співвідношення. Для подальших викладок треба знайти вираз для комутатора
.
Для цього треба отримати вираз для комутатора
.
Це можна зробити, користуючись аналогією із нерелятивістською квантовою механікою. У лагранжевій механіці
,
а у досліджуваній теорії скалярного поля
.
Тому, роблячи заміну
,
із принципу невизначеності можна отримати
.
Тепер можна отримати правило комутації для амплітуд:
.
При використанні отриманих комутаційних співвідношень вирази операторів енергії-імпульсу набудуть вигляду
.
Другі доданки - нескінченні, проте ними можна знехтувати, оскільки енергія-імпульс поля (якщо поле - вільне!) відраховуються від деякого нульового значення, яке можна вибрати довільним чином.
Можна встановити фізичний зміст операторів-амплітуд. Для цього треба, користуючись комутаційними співвідношеннями для операторів амплітуд, визначити комутатори оператора енергії та операторів амплітуд:
.
Аналогічно,
.
Тепер цим же комутатором можна подіяти на власний вектор оператору енергії, , розписавши спочатку комутатор у явному вигляді, а після використавши отриманий вираз для комутатора:
,
і
.
Аналогічно - з імпульсом:
,
,
.
Звідси слідує, що при дії оператора амплітуди власний вектор-стан енергії переходить у новий стан, що відповідає енергії, змешненій на (при дії спряженого оператора - навпаки), а вектор-стан імпульсу - у стан, що відповідає імпульсу, збільшеному на . Відповідно до цього видний фізичний зміст - зникає або народжується частинка, що має енергію-імпульс . Тому ці оператори називаються відповідно операторами знищення і народження частинок.
Оператори імпульсу та енергії комутують:
.
Це означає, що їх власні вектори співпадають. Тому стан, що відповідає найнижчій енергії, відповідає і стану з найнижчим імпульсом. Такий стан називається вакуумом, . Оскільки, за визначенням, енергію вакууму зменшити не можна, то дія на такий стан оператору знищення не призводить до нових станів:
.
Відповідно,
.
Таким чином, вакуум відповідає нульовій енергії системи.
Якщо подіяти на нульовий стан оператором народження, то можна буде отримати одночастинковий стан з деякими визначеними імпульсом та енергією"
.
При повторній дії оператора народження можна отримати двочастинковий стан,
,
причому, в силу комутації цих двох операторів народження,
,
тобто, стан системи не змінюється при перестановці частинок. Така тотожність частинок відповідає статистиці Бозе, а частинки - бозонами.
Перестановочні співвідношення для довільних моментів часу[]
Отже, нехай є проквантоване дійсне скалярне поле (повністю аналогічні, втім, викладки для комплексного поля):
.
Побудуємо тепер комутатор поля самого з собою, проте поле береться у різні моменти часу. Оскільки оператори народження та знищення не залежать від часу, то їх комутаційні співвідношення залишаються незмінними. Тому
,
де у передостанній рівності була зроблена заміна для другого доданку.
Для моментів співвідношення дає нуль. Дійсно,
.
Аналогічно можна знайти комутаційні співвідношення для . Дійсно, очевидно, що вони будуть відрізнятися лише похідними по часу від :