NAME_XXX Wiki
Register
Advertisement

Повернутися до розділу "Поза межами Стандартної моделі".

Див. також розділ Аномалії та ефективні теорії поля: кіральні ефективні теорії поля.

Як умова вільності від аномалій впливає на структуру ефективних теорій поля[]

Нехай є деяка теорія, що включає набір ферміонних полів , які взаємодіють із калібрувальними полями (позначення відповідає взаємодії із лівими та правими ферміонами), що належать приєднаному представленню підгруп калібрувальної групи , що ізоморфна прямому добутку груп . Теорія є вільною від аномалій, причому скорочення аномалій відбувається нетривіальним чином (якщо просто "прибрати" частину ферміонів із дії, то теорія перестане бути вільною від аномалій). Деякі підгрупи групи є спонтанно порушеними ненульовими вакуумними середніми полів; відповідно, частина калібрувальних полів набуває маси; ферміони також набувають маси. Нехай, нарешті, є ферміони, що мають маси , набагато більші за маси інших ферміонів, тобто, існує ієрархія мас.

Частинним випадком описаної теорії є Стандартна модель. Дійсно, її калібрувальною групою є , є спонтанне порушення симетрії, у результаті якого бозони набувають масу; роль ферміонів грають кварки та лептони, причому скорочення аномалій відбувається нетривіально - лише при наявності усіх поколінь кварків та лептонів; маса топ-кварку, ГеВ, значно вища за маси інших ферміонів.

Нехай здійснено формальний перехід . Відповідно, можна проінтегрувати за ступенями вільності масивних ферміонів для отримання ефективної теорії поля, ( позначає квантову ефективну дію). При цьому виникає питання: якщо покоління ферміонів, за якими проінтегровано дію, давали внесок в нетривіальне скорочення аномалій, то за допомогою чого ефективна дія буде вільною від аномалій без цих поколінь, та чи буде взагалі? Відповіді на ці питання одразу дають цікаві особливості ефективних теорій поля.

По-перше, аномальні члени мають топологічну структуру, а це означає, що вони є масштабно-інваріантними. Іншими словами, неінваріантність ефективної дії відносно калібрувальних перетворень повинна в точності відтворювати неінваріантність початкової дії; якщо ж початкова дія є інваріантною відносно калібрувальних перетворень, то і ефективна дія також є інваріантною. Ефективні же теорії поля зазвичай характеризуються лагранжіаном, який є розкладом по розмірному параметру, який приймається малим; типовим прикладом є лагранжіан Ейлера-Гейзенберга та теорія Фермі; іншими словами, лагранжіан містить оператори розмірності більше за чотири, пригнічені дуже малими розмірними константами. В даному випадку, здавалося б, ефективний лагранжіан містить (окрім членів, що були присутні у початковій дії і не містили полів ) лише члени, пригнічені вакуумними середніми хіггсівських полів та масами ферміонів. Проте масштабна інваріантність аномальних вкладів говорить про те, що містить також оператори розмірності чотири, які приймають участь у скороченні аномалій. Більше того, у випадку, коли взаємодія є кірально-векторною, , через умову вільності від аномалій у ефективній дії генеруються оператори розмірності 4, які містять нові взаємодії векторних бозонів теорії за типом , де означає згортку з антисиметричною формою - тензором Леві-Чивіта.

Детально це питання було досліджено д'Хокером та Фаррі у зв'язку із "відщепленням" топ-кварку в Стандартній моделі; нижче я наведу спрощену модель (яка за своїми властивостями імітує Стандартну модель), що демонструє усі особливості ефективних теорій поля із нетривіальним скороченням аномалій.

Члени Весса-Зуміно[]

Нехай є "кварк" та "лептон" , які мінімально взаємодіють за групою симетрії ; відповідна дія описується виразом

.

Поля , у визначення яких включені константи зв'язку, можуть відповідати, наприклад, . Відповідні струми не зберігаються,

,

зате зберігається різниця "лептонного" та "кваркового" струмів (в той час як сума не зберігається).

Нехай тепер симетрія "кваркового" сектора спонтанно порушена до вакуумним середнім поля . Такий вигляд скалярного поля говорить про те, що його маса прямує до нескінченності; таке поле ще називають Штюкельбергівським, і у загальному випадку довільної спонтанно порушеної калібрувальної групи воно ще дається у вигляді , . Таке спрощення якісно ніяк не впливає на результати, що будуть отримані. У результаті виникає "масовий" доданок

.

Якщо маса дуже велика, можна проінтегрувати за ступенями вільності , отримавши ефективну дію . Якщо позначити лептонну складову цієї дії як , причому вона змінюється відносно інфінітезимального калібрувального перетворення як

,

то ефективні доданки повинні давати варіацію в точності таку ж, але із протилежним знаком. Відповідні доданки у літературі називають членом Весса-Зуміно. Варто показати, як він конструюється; для цього треба визначити, як змінюється "кваркова" дія відносно калібрувальних перетворень. Для цього треба виписати закон перетворення полів відносно групи :

,

звідки

.

Це означає, що серед згенерованих ефективних операторів має бути деякий член , варіація якого дорівнює

.

У загальгому випадку такі члени носять назву членів Весса-Зуміно. Користуючись , можна отримати вираз для члену Весса-Зуміно у даній теорії:

.

Отже, калібрувально-інваріантна ефективна дія побудована.

Члени Черна-Саймонса[]

Нехай тепер "кварки" взаємодіють додатково із деяким "фоновим" полем , якому формально відповідає своя калібрувальна група. Наприклад, це відповідає введенню нової калібрувальної групи , приєднаному представленню якого відповідає поле , яке взаємодіє лише із кварком (і голдстоунівським бозоном ). Фоновим воно названо через те, що, по-перше, є інваріантним відносно -перетворень, а по-друге - тому, що по всім частинкам (у даному випадку - по кварку), із якими воно взаємодіяло, відбулося інтегрування (фаза голдстоунівського поля може бути прибрана калібрувальним перетворенням). Доданок Весса-Зуміно тепер перестає гарантувати калібрувальну інваріантність ефективної теорії: дійсно,

,

де дається виразом

.

Калібрувальну інваріантність можна відновити, якщо додати "контрчлен" , варіація якого скорочувала б . Такий контрчлен дійсно існує і дорівнює

.

Сума члену Весса-Зуміно та цього контрчлену дорівнює

,

де

.

У випадку, коли (на кшталт до фотону та бозону), вираз спрощується до

,

де , а останній перехід здійснено інтегруванням по частинам та наступним фіксуванням калібрування .

Описане ускладнення відповідає, зокрема, спрощеному варіанту побудування ефективної теорії поля зі Стандартної моделі, коли "фонове поле" -мезону взаємодіє із баріонним струмом у КХД. Реалістичний варіант ефективної теорії може бути побудований за допомогою отримання виразу для неабелевого члену Весса-Зуміно та відповідного контрчлену. Наведене же ускладнення іграшкової моделі демонструє появу нових взаємодій виду . Їх називають генералізованими членами Черна-Саймонса; у загальному випадку своєю появою вони завдячують нетривіальному скороченню аномалій у початковій теорії, причому для їх появи необхідно, щоб "ліві" калібрувальні поля не співпадали із "правими" . У противному випадку контрчлен "знищує" ці члени; він називається контрчленом Бардіна.

Наостанок варто сказати, як саме генеруються член Весса-Зуміно та контрчлен у ефективній теорії поля. Член Весса-Зуміно генерується середнім у однопетльовому наближенні із трикутних off-shell діаграм (у яких "бігають" поля ), у той час як контрчлен створюється трикутними діаграмами виду , де поля можуть бути полями (проте є принаймні одне поле ).

Виявляється, що у різних розширеннях Стандартної моделі можуть виникати ефективні черн-саймонівські члени, які можуть призводити до можливості перевірки цих розширень на досяжних енергіях. Приклад таких розширень розглядається у статті [1].

Advertisement