Тензор кривини

Повернутися до розділу "Загальна теорія відносності".

Введення тензору кривини
Отже, відповідно до написаного у попередньому підрозділі, треба визначити комутатор коваріантних похідних, діючих на векторне поле $$\ A^{\rho}$$.

$$\ [D_{\mu}, D_{\nu}]A^{\rho} = \left|D_{\mu}T_{\nu}^{\quad \beta } = \partial_{\mu}T_{\nu}^{\quad \beta } - \Gamma^{\gamma}_{\nu \mu}T_{\gamma}^{\quad \beta } + \Gamma^{\beta}_{\gamma \mu}T_{\nu}^{\quad \gamma }\right| = \partial_{\mu}(D_{\nu}A^{\rho}) - \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}D_{\lambda}A^{\rho } + \Gamma^{\rho}_{\mu \sigma }D_{\nu}A^{\sigma } - \partial_{\nu}(D_{\mu}A^{\rho}) + \Gamma^{\lambda}_{\nu \mu}D_{\lambda}A^{\rho} - \Gamma_{\nu \sigma}^{\rho}D_{\mu}A^{\sigma } = $$

$$\ = \left| \partial_{\mu}(D_{\nu}A^{\rho}) = \partial_{\mu}\partial_{\nu}A^{\rho } + (\partial_{\mu}\Gamma^{\rho}_{\nu \lambda })A^{\lambda} + \Gamma^{\rho}_{\nu \lambda }\partial_{\mu}A^{\lambda} = \partial_{\mu}\partial_{\nu}A^{\rho } + (\partial_{\mu}\Gamma^{\rho}_{\nu \sigma })A^{\sigma} + \Gamma^{\rho}_{\nu \sigma }\partial_{\mu}A^{\sigma}\right| = $$

$$\ = \partial_{\mu}\partial_{\nu}A^{\rho} + (\partial_{\mu}\Gamma^{\rho}_{\nu \sigma })A^{\sigma} + \Gamma^{\rho}_{\nu \sigma}\partial_{\mu}A^{\sigma} - \Gamma_{\mu \nu}^{\lambda}\Gamma_{\lambda \sigma}^{\rho}A^{\sigma } + \Gamma_{\mu \sigma}^{\rho}\partial_{\nu}A^{\sigma } + \Gamma_{\mu \sigma}^{\rho }\Gamma_{\nu \lambda}^{\sigma }A^{\lambda } - \partial_{\nu}\partial_{\mu}A^{\rho} - (\partial_{\nu}\Gamma^{\rho}_{\mu \sigma })A^{\sigma} - \Gamma^{\rho}_{\mu \sigma}\partial_{\nu}A^{\sigma} + \Gamma_{\nu \mu}^{\lambda}\Gamma_{\lambda \sigma}^{\rho}A^{\sigma } + \Gamma_{\nu \sigma}^{\rho}\partial_{\mu}A^{\sigma } + \Gamma_{\nu \sigma}^{\rho }\Gamma_{\mu \lambda}^{\sigma }A^{\lambda } = $$

$$\ = \left(\partial_{\mu}\Gamma^{\rho}_{\nu \sigma} - \partial_{\nu}\Gamma^{\rho }_{\mu \sigma} + \Gamma^{\rho}_{\mu \lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu \sigma} - \Gamma^{\rho}_{\nu \lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu \sigma}\right)A^{\sigma} - (\Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} - \Gamma^{\lambda}_{\nu \mu})D_{\lambda}A^{\rho} = R^{\rho}_{\quad \sigma \mu \nu}A^{\sigma }$$,

де введений вираз $$\ R^{\rho}_{\quad \sigma \mu \nu}$$ називають тензором кривини. Його тензорна природа, дійсно, очевидна із того, що вираз комутатора відповідає тензору третього рангу, а тому вираз зправа може бути згорткою поля $$\ A^{\sigma}$$ лише з тензором четвертого рангу.

Можна розглянути також альтернативне виведення.

Із написаного в попередньому підрозділі слідує, що вздовж геодезичної кривої $$\ D v^{i} = 0$$, де $$\ v^{i}$$ за змістом може бути будь-яким вектором, дотичним до кривої у даній точці. Це означає, що паралельний перенос з $$\ x^{i}$$ до $$\ x^{i} + d x^{i}$$ даного вектора дає вектор $$\ v^{i} + dv^{i}$$, який є дотичним до геодезичної кривої в точці $$\ x^{i} + dx^{i}$$. Тому вектор дотичної переноситься паралельно самому собі.

З іншого боку, при паралельному переносі двох векторів "кут" між ними залишається незмінним. Тому при паралельному переносі будь-якого вектора вздовж геодезичної кривої кут між цим вектором та дотичною не змінюється. Отже, компоненти вектора по геодезичній кривій не змінюються при переносі вздовж геодезичної кривої. Через це паралельний перенос вектора вздовж замкненої траєкторії дає вектор, що не співпадає з початковим вектором, і перенос вектора вздовж кривої дає різні результати, якщо переноси здійснюється по різним шляхам.

Можна визначити вираз для зміни вектора при паралельному переносі вздовж нескінченно малого замкненого контуру:

$$\ \Delta A_{k} = \oint \Gamma^{i}_{kl}A_{i}dx^{l} \qquad (1)$$.

Хоч значення вектора $$\ A_{i}$$ в точках контура не є однозначними, ця неоднозначність - другого порядку малості. Тому з точністю другого порядку можна вважати $$\ A_{i}$$ однозначно визначеними значеннями на самому контурі по формулам $$\ \delta A_{i} = \Gamma^{n}_{il}A_{n}dx^{l}$$, звідки $$\ \partial_{l}A_{i} = \Gamma^{n}_{il}A_{n}$$.

Тому, застосовуючи до $$\ (1)$$ теорему Стокса, можна отримати $$\ $$

$$\ \Delta A_{k} = \frac{1}{2}\int \left( \partial_{l}\Gamma^{i}_{km}A_{i} - \partial_{m}\Gamma^{i}_{kl}A_{i} \right)ds^{lm} = |\partial_{l}A_{i} = \Gamma^{n}_{il}A_{n}| = \frac{1}{2}\int \left( \partial_{l}(\Gamma^{i}_{km})A_{i} + \Gamma^{i}_{km}\Gamma^{n}_{il}A_{n} - \partial_{m}(\Gamma^{i}_{kl})A_{i} - \Gamma^{i}_{kl}\Gamma^{n}_{im}A_{n}\right)ds^{lm}$$.

Оскільки індекси $$\ i, n$$ - німі, можна зробити перепозначення $$\ n -> i, i -> n$$ у другому та четвертому доданках. Тоді

$$\ \Delta A_{k} = \frac{1}{2}\int \left( \partial_{l}(\Gamma^{i}_{km})A_{i} + \Gamma^{n}_{km}\Gamma^{i}_{nl}A_{i} - \partial_{m}(\Gamma^{i}_{kl})A_{i} - \Gamma^{n}_{kl}\Gamma^{i}_{nm}A_{i}\right)ds^{lm} = \frac{1}{2}\int \left( \partial_{l}(\Gamma^{i}_{km}) + \Gamma^{n}_{km}\Gamma^{i}_{nl} - \partial_{m}(\Gamma^{i}_{kl}) - \Gamma^{n}_{kl}\Gamma^{i}_{nm}\right) A_{i}ds^{lm} = $$

$$\ = \frac{1}{2}\int R^{i}_{\quad lkm}A_{i}ds^{lm} \approx \frac{1}{2}R^{i}_{\quad lkm}A_{i}\Delta s^{lm}$$,

де $$\ R^{i}_{\quad lkm}$$ - тензор кривини.

Назва тензору кривини походить із наступних міркувань: у плоскому просторі-часі всі символи Кристоффеля і похідні від них рівні нулю, а отже, нулю рівен і тензор кривини. Навпаки, якщо нулю рівен тензор кривини, то можна прийти до факту плоского простору-часу, користуючись наступними міркуваннями. Зробивши паралельний перенос вектору з точки 1 до точки 2, а потім - з точки 2 до точки 1 по дещо відмінному шляху, можна отримати той же самий вектор, оскільки тензор Рімана рівен нулю. Звідси слідує, що при переносі базисного вектора $$\ e_{\mu}$$ з точки 1 до точки 2 той же вектор у точці 2 не буде відрізнятися від початкового ні за напрямком, ні за величиною. Усе це справедливе для будь-якого базисного вектору і для будь-якої точки простору, а тому при переносі всього базису у довільну точку дає поле системи відліку, базисні вектори якого не змінюються. Це означає, що $$\ D_{\lambda} e_{\mu} = 0$$, звідки автоматично випливає рівність нулю комутаторів

$$\ [e_{\mu}, e_{\nu}] = D_{\mu}e_{\nu} - D_{\nu}e_{\mu}$$.

Це означає, що можна ввести координати $$\ x_{\mu}$$, кожна з яких зростає в напрямку відповідного базисного вектору. Тоді $$\ e_{\mu} = \partial_{\mu}$$, і за стандартною формулою

$$\ D_{\alpha}e_{\mu} = \partial_{\alpha} e_{\mu} + \Gamma^{\sigma}_{\alpha \mu}e_{\sigma} = \Gamma^{\sigma}_{\alpha \mu}e_{\sigma} = 0$$,

звідки випливає рівність нулю всіх символів Кристоффеля, що означає, що простір-час є плоским.

У теорії, де справедливий принцип еквівалентності, тензор кривини в силу написаного відіграє надзвичайно важливу роль. Природнім є припущення, що тензор (його згортки) також буде фігурувати у рівняннях для полів у викривленому просторі-часі. Це встановлять наступні розділи.

Властивості тензору кривини
Щоб аналізувати симетрії, доцільно означити тензор

$$\ R_{\alpha \sigma \mu \nu} = g_{\alpha \delta} R^{\delta}_{\quad \sigma \mu \nu}$$,

або

$$\ R_{\alpha \sigma \mu \nu} = g_{\alpha \rho}R^{\rho}_{\quad \sigma \mu \nu} = \partial_{\mu}\Gamma_{\alpha \nu \sigma} - \partial_{\nu}\Gamma_{\alpha \mu \sigma} + g_{\alpha \rho}(\Gamma^{\rho}_{\mu \lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu \sigma} - \Gamma^{\rho}_{\nu \lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu \sigma}) = $$

$$\ = \frac{1}{2}\left(\partial_{\mu} \partial_{\nu}g_{\alpha \sigma} + \partial_{\mu}\partial_{\sigma}g_{\alpha \nu} - \partial_{\mu} \partial_{\alpha}g_{\nu \sigma} - \partial_{\nu} \partial_{\mu} g_{\alpha \sigma} - \partial_{\nu} \partial_{\sigma} g_{\mu \alpha} + \partial_{\nu} \partial_{\alpha} g_{\mu \sigma}\right) + g_{\alpha \rho}(\Gamma^{\rho}_{\mu \lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu \sigma} - \Gamma^{\rho}_{\nu \lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu \sigma}) = $$

$$\ = \frac{1}{2}\left(\partial_{\mu}\partial_{\sigma}g_{\alpha \nu} - \partial_{\mu} \partial_{\alpha}g_{\nu \sigma} - \partial_{\nu} \partial_{\sigma} g_{\mu \alpha} + \partial_{\nu} \partial_{\alpha} g_{\mu \sigma}\right) + g_{\alpha \rho}(\Gamma^{\rho}_{\mu \lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu \sigma} - \Gamma^{\rho}_{\nu \lambda}\Gamma^{\lambda}_{\mu \sigma}) \qquad (2)$$.

З даного виразу очевидні симетрії

$$\ R_{\alpha \sigma \mu \nu} = -R_{\sigma \alpha \mu \nu} = -R_{\alpha \sigma \nu \mu}, \quad R_{\alpha \sigma \mu \nu} = R_{\mu \nu \alpha \sigma }$$.

Далі, лобовою підстановкою виразу для тензора можна переконатися, що рівна нулю сума (перша тотожність Б'янкі)

$$\ R_{\mu \nu \alpha \beta} + R_{\alpha \mu \nu \beta} + R_{\nu \alpha \mu \beta} = 0$$,

де циклічно переставляються будь-які три індекси.

Далі, використовуючи тотожність Якобі (елементарно перевіряється розкриттям виразів для комутаторів)

$$\ [D_{\mu}, [D_{\alpha}, D_{\beta}]] + [D_{\beta}, [D_{\mu}, D_{\alpha}]] + [D_{\alpha}, [D_{\beta}, D_{\mu}]] = 0$$,

можна довести другу тотожність Б'янкі

$$\ D_{\lambda}R^{\rho}_{\quad \sigma \mu \nu} + D_{\nu}R^{\rho}_{\quad \sigma \lambda \mu} + D_{\mu}R^{\rho}_{\quad \sigma \nu \lambda} = 0$$.

Дійсно, показавши спершу, що, згідно з визначенням тензора кривини через комутатор на векторне поле та лінійністю операції коваріантної похідної,

$$\ [[D_{\mu}, D_{\nu}], D_{\lambda}]A^{\rho} = [D_{\mu}, D_{\nu}]D_{\lambda}A^{\rho} - D_{\lambda}([D_{\mu}, D_{\nu}]A^{\rho}) = -R^{\tau}_{\quad \lambda \mu \nu}D_{\tau}A^{\rho} + R^{\rho}_{\quad \sigma \mu \nu}D_{\lambda}A^{\sigma} - D_{\lambda}(R^{\rho}_{\quad \sigma \mu \nu}A^{\sigma}) = -R^{\tau}_{\quad \lambda \mu \nu}D_{\tau}A^{\rho} - D_{\lambda}(R^{\rho}_{\quad \sigma \mu \nu})A^{\sigma}$$.

Тоді залишається лише взяти три доданки з циклічно переставленими індексами $$\ \mu, \nu , \lambda$$. З одного боку цей вираз тотожньо рівен нулю в силу тотожності Якобі, а з іншого - виразу

$$\ -R^{\tau}_{[\lambda \mu \nu]}D_{\tau}A^{\rho} - (D_{\lambda}R^{\rho}_{\quad \sigma \mu \nu} + D_{\nu}R^{\rho}_{\quad \sigma \lambda \mu } + D_{\mu}R^{\rho}_{\quad \sigma \nu \lambda })A^{\sigma} = - (D_{\lambda}R^{\rho}_{\quad \sigma \mu \nu} + D_{\nu}R^{\rho}_{\quad \sigma \lambda \mu } + D_{\mu}R^{\rho}_{\quad \sigma \nu \lambda })A^{\sigma} = 0$$,

де доданок при $$\ D_{\tau}A^{\rho}$$ рівен нулю в силу першої тотожності Б'янкі. Звідси тотожність доведена.

Можна отримати вигляд згорток для тензора. Оскільки він є антисиметричним за двома парами індексів, то першою згорткою є згортка $$\ R_{\alpha \beta} = g^{\mu \nu}R_{\mu \alpha \nu \beta} $$, або

$$\ R_{\alpha \beta} = \partial_{l}\Gamma^{l}_{\alpha \beta} - \partial_{\beta}\Gamma^{l}_{\alpha l} + \Gamma^{l}_{\alpha \beta}\Gamma^{m}_{lm} - \Gamma^{m}_{\alpha l}\Gamma^{l}_{m\beta}$$.

Отриманий тензор називається тензором Річчі. Він є симетричним за індексами, що видно з його явного вигляду.

Ще один інваріант можна отримати, згорнувши тензор Річчі із метричним тензором. Отриманий інваріант називається скалярною кривиною $$\ R = g^{\alpha \beta}R_{\alpha \beta}$$.

Можна було б спробувати утворити інший скаляр-інваріант, $$\ \kappa = \frac{1}{\sqrt {g}}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}R_{\alpha \beta \gamma \delta}$$, проте такий інваріант тотожньо рівен нулю в силу першої тотожності Б'янкі.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$