Функція Лагранжа та дія для частинки у електромагнітному полі

Повернутися до розділу "Лагранжів формалізм".

У розділі "Сила" статті "СТВ" був отриманий вираз для дії вільної частинки: $$\ S_{free} = -mc^{2} \int \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt$$.

Якщо частинка знаходиться у електромагнітному полі, то дія буде задаватися як

$$\ S = -mc^{2}\int \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt - \frac{q}{c}\int A_{i}dx^{i} = \int \left(-mc^{2}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} + \frac{q}{c}(\mathbf A \cdot \mathbf v) - q \varphi \right)dt$$,

де підінтегральна функція називається функцією Лагранжа.

Коефіцієнт-множник $$\ \frac{q}{c}$$ стоїть при цьому доданку через те, щоб із функції Лагранжа виходило рівняння руху, що дає силу Лоренца. Дійсно, нехай

$$\ L = -mc^{2} \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} - a(\mathbf A \cdot \mathbf v ) + ac\varphi$$.

Тоді, як слідує з векторних рівнянь Лагранжа,

$$\ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \mathbf v}\right) = \frac{\partial L}{\partial \mathbf r} \Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{m \mathbf v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} - a\mathbf A \right) = \frac{d \mathbf p}{dt} - a \frac{d \mathbf A}{dt} = \mathbf F = a\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} - a (\mathbf v \nabla)\mathbf A =_{right} = -\frac{\partial \mathbf (A \cdot \mathbf v)}{\partial \mathbf r} + ac \nabla \varphi = -a(\mathbf v \cdot \nabla ) \mathbf A + ac \nabla \varphi $$.

Переносячи всі доданки, що пов'язані із 4-потенціалом, та використовуючи зв'язок компонент 4-потенціалу з 3-векторами поля, можна отримати:

$$\ \mathbf F = -ac \left( -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right) - a((\mathbf v \cdot \nabla ) \mathbf A - a(\mathbf v \cdot \nabla ) \mathbf A) = -ac \left( \mathbf E + \frac{1}{c} [\mathbf v \times \mathbf B ]\right)$$.

Звідси очевидно, що

$$\ \alpha = - \frac{q}{c}$$.