Тензор напруженості

Повернутися до розділу "Теорія електромагнітного поля".

Усі однозначні величини в фізиці поділяються на три типи: тензорні, векторні та скалярні. Кожен тип має свої властивості.

Сила Лоренца, що діє на частинку зі сторони електромагнітного поля, виражається через вектори напруженості електричного поля та індукції магнітного поля. Їх, в принципі, можна було б вважати просторовими компонентами двох 4-векторів, проте невідомо, які величини приймати часовими компонентами цих векторів. Тому виникає думка, що ці вектори повинні бути компонентами тензора. У розділі про тензори у СТВ було показано, що антисиметричний 4-тензор другого рангу може бути заданий через компоненти двох 3-векторів. У розділі "Потенціали поля" було показано, що вектори індукції магнітного поля та напруженості електричного поля можуть бути записані через похідні компонент 4-потенціалу. Окрім того, перетворення їх компонент при переході між ІСВ співпадають із перетвореннями компонент антисиметричного тензора при переході від однієї ІСВ до іншої. Звідси виникає ідея записати ці два вектори у вигляді антисиметричного тензора, компоненти якого рівні $$\ F_{\alpha \beta} = \partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta}A_{\alpha}$$.

Для компонент з $$\ \alpha = 0$$, враховуючи, що $$\ A_{\alpha} = (\varphi, -\mathbf A)$$ можна отримати:

$$\ F_{01} = -\partial_{0}A_{x} - \partial_{x}\varphi = E_{x}, \quad F_{02} = E_{y}, \quad F_{03} = E_{z}$$.

Для компонент з наступними значеннями $$\ \alpha, \beta$$ можна отримати:

$$\ F^{32} = \partial_{3}A_{y} - \partial_{2}A_{z} = B_{x}, \quad F_{13} = B_{y}, \quad F_{21} = B_{z}$$.

Тоді, враховуючи зв'язок між компонентами антисиметричного тензора, можна отримати явний вигляд для $$\ F_{\alpha \beta}, F^{\alpha \beta}$$:

$$\ F_{\alpha \beta} = \begin{pmatrix} 0 & E_{x} & E_{y} & E_{z} \\ -E_{x} & 0 & -B_{z} & B_{y} \\ -E_{y} & B_{z} & 0 & -B_{x} \\ -E_{z} & -B_{y} & B_{x} & 0 \end{pmatrix}, \quad F^{\alpha \beta} = \begin{pmatrix} 0 & -E_{x} & -E_{y} & -E_{z} \\ E_{x} & 0 & -B_{z} & B_{y} \\ E_{y} & B_{z} & 0 & -B_{x} \\ E_{z} & -B_{y} & B_{x} & 0 \end{pmatrix}$$.

Тому даний тензор доцільно назвати тензором напруженості електромагнітного поля.

Отримання виразу для дуального тензора $$\ *F_{\mu \nu} = \frac{1}{2}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}F^{\alpha \beta}$$ можна подивитися у розділі "Доведення".

За допомогою даного тензору можна компактно записати рівняння руху. Дійсно, якщо зліва записати вираз для 4-вектора сили,

$$\ f^{\mu} = \gamma_{\mathbf v} \left( \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v )}{c}, \mathbf F \right) = \frac{d p^{\mu}}{d\tau} = m \frac{d v^{\mu}}{d \tau} = m\frac{d}{d \tau}\left( \gamma_{\mathbf v }c, \gamma_{\mathbf v }\mathbf v\right)$$,

а зправа - згортку тензора $$\ F^{\mu \nu}$$ з 4-вектором $$\ v^{\nu}$$, домножену на $$\ \frac{q}{c}$$, можна отримати коваріантне 4-векторне рівняння

$$\ m \frac{d v^{\mu}}{d \tau} = |d\tau = (\gamma_{\mathbf v})^{-1} dt| = \gamma_{\mathbf v } m \frac{d v^{\mu}}{dt} = \frac{q}{c} F^{\mu \nu}v_{\nu}$$.

Інтуїтивно така згортка слідує з того, що сила Лоренца, яка і повинна бути записана таким рівнянням, складається з доданків напруженості електричного поля та індукції магнітного поля, помноженого на 3-вектор швидкості.

Для часової компоненти такого вектора $$\ \mu = 0$$ і, знаючи явний вигляд тензора напруженості та коваріантність вектора $$\ v_{\nu} =\gamma_{\mathbf v} (c, -\mathbf v ) $$, можна отримати, що

$$\ \gamma_{\mathbf v } m\frac{d v^{0}}{dt} = \gamma_{\mathbf v}\frac{1}{c}\frac{dE_{k}}{dt} =_{right} = \frac{q}{c} F^{0\nu}v_{\nu} = \gamma_{\mathbf v}\frac{q}{c}(\mathbf E \cdot \mathbf v ) \Rightarrow \frac{d E_{k}}{dt} = (\mathbf F \cdot \mathbf v )$$.

Для просторових компонент $$\ \mu = 1, 2, 3$$ можна отримати, що

$$\ \gamma_{\mathbf v} \frac{d p^{\mu}}{dt} = \frac{q}{c}F^{\mu \nu}v_{\nu} = \frac{q}{c}\left( cE_{\mu} - 0 + B_{z}v_{y} - B_{y}v_{z}\right) = q \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf v \cdot \mathbf B ] \right)_{\mu} \Rightarrow \frac{d p^{\mu}}{d \tau} = f^{\mu}$$.

За допомогою тензора напруженості можна записати рівняння Максвелла у явно коваріантному вигляді:

$$\ \partial_{\alpha}F^{\alpha \beta} = 4 \pi j^{\beta}, \quad \partial_{\alpha}*F^{\alpha \beta} = 0$$.

Наостанок можна отримати рівняння неперевності із коваріантних рівнянь Максвелла. Якщо взяти похідну $$\ \partial_{\beta}$$ від першого коваріантного рівняння Максвелла, то можна отримати згортку симетричного тензора $$\ \partial_{\alpha \beta} = \partial_{\beta}\partial_{\alpha}$$ із антисиметричним тензором $$\ F^{\alpha \beta}$$. Така згортка, як показано у розділі Антисиметричні тензори, рівна нулю. Тоді

$$\ \partial_{\alpha}\partial_{\beta}F^{\alpha \beta} = 4 \pi \partial_{\beta } j^{\beta} = 4 \pi \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \mathbf j \right) = 0$$.

Отже, локальний закон збереження заряду пов'язаний із лінійністю рівнянь Максвелла та антисиметричністю тензора напруженості. Як буде показано у подальшому, це має тісний зв'язок із калібрувальною інваріантністю рівнянь поля.