Представлення та алгебра групи

Повернутися до розділу "Теорія груп".

Групи $$\ SU(n)$$ складаються з набору квадратних матриць рангу $$\ n$$, які є унітарними, $$\ \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U} =\hat {\mathbf E}$$, та мають одиничний визначник, $$\ det \hat {\mathbf U} = 1$$.

Внаслідок цього зберігається норма відповідного $$\ n$$-компонентного комплексного вектора $$\ \mathbf z$$, який перетворюється як $$\ \mathbf z{'} = \hat {\mathbf U}\mathbf z$$. Дійсно, для скалярного добутку в унітарних просторах

$$\ \mathbf z^{+}\mathbf z = (\hat {\mathbf U}\mathbf z )^{+}\hat {\mathbf U}\mathbf z = \mathbf z^{+}\hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U}\mathbf z = \mathbf z^{+}\mathbf z = inv$$.

Можна розкласти матрицю в ряд в околі одиничного перетворення:

$$\ \hat {\mathbf U} \approx \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A }$$.

Матриця $$\ \hat {\mathbf A}$$ повинна бути антиермітовою та безслідовою. Дійсно,

$$\ \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U} \approx \left( \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}^{+} \right) \left( \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}\right) \approx \hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}^{+} + \hat {\mathbf A} = \hat {\mathbf E} \Rightarrow \hat {\mathbf A}^{+} = -\hat {\mathbf A}$$,

$$\ det \left(\hat {\mathbf U}\right) \approx det (\hat {\mathbf E} + \hat {\mathbf A}) \approx 1 + tr (\hat {\mathbf A}) = 1 \Rightarrow tr (\hat {\mathbf A}) = 0$$.

Кількість незалежних параметрів такої матриці рівна $$\ n^{2} - 1$$. Дійсно, як комплексна матриця рангу $$\ n$$ вона має $$\ 2n^{2}$$ незалежних компонент. Антиермітовість матриці дає умовою рівність нулю дійсних частин кожної діагональної компоненти, $$\ A^{*}_{ii} = -A_{ii} \Rightarrow Re(A_{ii}) = 0$$, що відповідає $$\ n$$ незалежним умовам на компоненти, та $$\ n^2 - n$$ умов на недіагональні елементи. Безслідовість накладає ще одну умову. Тому кількість незалежних умов складає $$\ 2n^2 - n^2 - n + n -1 = n^{2} - 1$$.

Можна розглянути конкретні випадки, що буде зроблено у наступних розділах.