Калібрувально-інваріантна теорія

В даній статті буде використовуватися варіаційний метод отримання різних виразів у явному вигляді (а не лагранжів формалізм).

Глобальна калібрувальна інваріантність
У статті "Електродинаміка" було встановлено, що лагранжіан електромагнітного поля, а отже, і рівняння Максвелла не змінюються при перевизначенні 4-вектору потенціалу як

$$\ A^{\mu} \to A^{\mu} - \partial^{\mu}\alpha (\mathbf x, t)$$.

Така інваріантність названа локальною калібрувальною інваріантністю. Вона відповідає розкладу доданку $$\ e^{-i \alpha (\mathbf x, t)}A_{\mu}$$ в ряд по степеням $$\ \alpha $$ зі збереженням лише нульового та першого по степені доданків.

Щоб побудувати взаємодію електромагнітного поля із (у даному випадку) скалярним полем, треба, щоб теорія скалярного поля також була калібрувально-інваріантна.

Отже, треба розглянути симетрії комплексного поля Клейна-Гордона (дійсне поле немає сенсу розглядати, оскільки у нього немає струму, а частинка та античастинка співпадають). Лагранжіан, що відповідає цьому полю, виглядає як

$$\ L_{0} = (\partial^{\mu} \varphi^{*})(\partial_{\mu}\varphi ) - m^{2}\varphi \varphi^{*} \qquad (.1)$$.

Цей лагранжіан є інваріантним по відношенню до перетворень

$$\ \varphi \to e^{i q \alpha }\varphi, \quad \varphi^{*} \to e^{-i q \alpha }\varphi^{*} , \quad \alpha = const$$,

які називаються глобальними калібрувальними перетвореннями.

Дійсно, розкладаючи експоненту в ряд по степеням $$\ \alpha $$, можна отримати

$$\ \varphi' \approx \varphi + \left(\frac{\partial (e^{i q \alpha }\varphi )}{\partial \alpha}\right)_{\alpha = 0}\alpha = \varphi + iq \alpha \varphi \Rightarrow \delta \varphi \approx i q \alpha \varphi, \quad \partial_{\mu} \varphi ' = \partial_{\mu}\varphi + i q \alpha \partial_{\mu} \varphi \Rightarrow \delta (\partial_{\mu} \varphi ) \approx i q \alpha \partial_{\mu} \varphi \qquad (.2)$$,

$$\ \delta \varphi^{*} \approx - iq\alpha \varphi^{*}, \quad \delta (\partial_{\mu} \varphi ) \approx -i q \alpha \partial_{\mu} \varphi^{*} \qquad (.3)$$,

і, як і для будь-якого перетворення симетрії (прирівнявши варіацію лагранжіана до нуля, $$\ \delta L_{0} = 0$$), із використанням рівнянь Ейлера-Лагранжа одержується

$$\ \delta L_{0} = i \alpha \partial_{\mu}j^{\mu}, \quad j^{\mu} = q\left( \varphi \partial^{\mu}\varphi^{*} - \varphi^{*}\partial^{\mu} \varphi \right)$$,

де введене позначення для Нетерівського струму, що зберігається і має свій інваріант

$$\ Q = \int j^{0}d^{3}\mathbf x $$.

Локальна калібрувальна інваріантність
Глобальна калібрувальна інваріантність означає, що при повороті навколо деякої точки простору поля $$\ \varphi $$ на кут $$\ \alpha $$ відповідні повороти повинні також відбуватися і навколо всіх інших точок простору одночасно, що не зовсім стикується зі спеціальною теорією відносності. Для зникнення цього протиріччя можна перейти до поля, яке інваріантне відносно локальних калібрувальних перетворень, тобто, відносно перетворень $$\ \varphi \to \varphi e^{i q \alpha (\mathbf x, t)} = G(\mathbf x , t) \varphi = G \varphi $$. Чисто фізично введення локальних калібрувальних перетворень означає введення деякого калібрувального векторного поля, фізична інтерпретація якого буде зрозуміла із його властивостей, що будуть слідувати із введення.

Введення локальних калібрувальних перетворень примушує перебудувати лагранжіан $$\ (.1)$$. Дійсно, уже із того, що $$\ \partial_{\mu}\varphi = (\partial_{\mu}G) \varphi + (\partial_{\mu}\varphi )G$$, слідує, що у загальному випадку $$\ \delta L_{0} \neq 0$$. Отже, першим кроком по перебудові лагранжіану буде зміна виразу похідної

$$\ \partial_{\mu} : \partial_{\mu} \to D_{\mu} = \partial_{\mu} + iqA_{\mu} $$,

де $$\ A_{\mu}$$ - деяке векторне поле, властивості і фізичний зміст якого будуть встановлені пізніше, а множники при $$\ A_{\mu} $$ вибрані такими через зв'язок $$\ p_{\mu} = i \partial_{\mu}$$ і фігурування множника $$\ q$$ при калібрувальних перетвореннях полів $$\ \varphi, \varphi^{*}$$. Метод цей називається подовження похідної і досить часто використовується у теорії поля.

Накладемо умову (визначається останнім знаком рівності)

$$\ (D_{\mu}\varphi )' = (\partial_{\mu}\varphi)' + iq (A_{\mu} \varphi )' = \partial_{\mu}( G \varphi ) + iqA'_{\mu}G \varphi = (\partial_{\mu}G)\varphi + (\partial_{\mu}\varphi )G + iqA'_{\mu}G \varphi = GD_{\mu }\varphi$$.

Ця умова задає калібрувальне перетворення на $$\ A'$$: вона виконується, тільки якщо

$$\ iqA'_{\mu}G \varphi = -\varphi \partial_{\mu} G + iqG \varphi A_{\mu} \Rightarrow A'_{\mu} = \frac{i}{q}G^{-1}\partial_{\mu}G + A_{\mu} = A_{\mu} - \partial_{\mu}\alpha $$.

Отже, калібрувальне перетворення для $$\ A_{\mu}$$ встановлене. Це перетворення в точності відповідає калібрувальному перетворенню 4-потенціалу електромагнітного поля. Тому можна припустити, що врахування електромагнітної взаємодії у лагранжіані дає локальну калібрувальну симетрію. Тоді $$\ A_{\mu}$$ відразу можна ототожнити із 4-потенціалом.

Перейдемо до наступного етапу модифікації 4-потенціалу. Оскільки

$$\ \delta L_{0} = - \alpha \partial_{\mu}J^{\mu} - (\partial_{\mu}\alpha) J^{\mu}$$,

то треба до початкового лагранжіану додати такий лагранжіан, щоб зникав другий доданок. Можна додати $$\ L_{1} = -J_{\mu}A^{\mu}$$. Для такого доданку

$$\ \delta L_{1} = -(\delta J_{\mu})A^{\mu} - J_{\mu} (\delta A^{\mu}) = 2q^{2}\varphi \varphi^{*}A^{\mu}\partial_{\mu}\alpha - J_{\mu}\partial^{\mu}\alpha$$.

В сумі маємо

$$\ \delta (L_{0} + L_{1}) = -\alpha (x)\partial_{\mu}J^{\mu} + 2q^{2}\varphi \varphi^{*}A^{\mu}(\partial_{\mu}\alpha )$$.

Третій етап модифікації лагранжіану - додавання до нього компоненти $$\ L_{2} = q^{2}A_{\mu}A^{\mu}\varphi \varphi^{*}$$.

$$\ \delta L_{2} = q^{2}(\delta A_{\mu})A^{\mu}\varphi \varphi^{*} + q^{2}A_{\mu}(\delta A^{\mu}) \varphi \varphi^{*} + q^{2}A_{\mu}A^{\mu}(\delta \varphi )\varphi^{*} + q^{2}A_{\mu}A^{\mu}\varphi (\delta \varphi^{*}) = -2q^{2}A^{\mu}\partial_{\mu}\alpha + q^{3}i\alpha \varphi \varphi^{*}A_{\mu}A^{\mu} - q^{3}i\alpha \varphi \varphi^{*}A_{\mu}A^{\mu} = $$

$$\ = -2q^{2}A^{\mu}\varphi \varphi^{*}\partial_{\mu}\alpha $$.

Тоді для сумарного лагранжіану маємо

$$\ L = \delta (L_{0} + L_{1} + L_{2}) = -\alpha \partial_{\mu}J^{\mu}$$.

Окрім того, оскільки у лагранжіані фігурує доданок $$\ J_{\mu}A^{\mu}$$, то, по аналогії із лагранжіаном для класичного електромагнітного поля (див. відповідний розділ), можна додати вираз

$$\ -\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}, \quad F_{\mu \nu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu}$$

(множник вибрано для зручності; див. подальші викладки). Цей доданок відповідає локальній інваріантності поля $$\ A_{\mu}$$

Отже, кінцевий лагранжіан має вигляд

$$\ L = (\partial_{\mu}\varphi )(\partial^{\mu}\varphi^{*}) - m^{2}\varphi \varphi^{*} - J_{\mu}A^{\mu} + q^{2}A_{\mu}A^{\mu}\varphi \varphi^{*} - \frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$$.

Можна отримати рівняння руху:

$$\ -J_{electr.}^{\nu} = -J^{\nu} + 2q^{2}\varphi \varphi^{*}A^{\nu}$$.

Отже, лагранжіан поля, інваріантного відносно локальних калібрувальних перетворень, побудовано. Повертаючись тепер до фізичного змісту інваріанту, отриманого при побудові Нетерівського струму для інваріантного відносно глобальних калібрувальних перетворень поля, можна зрозуміти, що цей інваріант - електричний заряд. Як було показано раніше, той же закон збереження (рівняння неперервності), отриманий із рівнянь Максвелла, пов'язаний із їх лінійністю та антисиметрисністю тензора напруженості поля. Отже, як можна припустити, між локальною калібрувальною інваріантністю лагранжіану поля та антисиметричністю тензора напруженості поля і лінійністю рівнянь поля існує деякий зв'язок. Дійсно, антисиметричність тензора означає, що можна ввести деякий 4-вектор $$\ A^{\mu}$$, який характеризує поле, за виразом

$$\ F^{\mu \nu} = \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu}$$.

Лінійність же рівнянь поля дозволяє накласти однозначну умову, що дає калібрувальну інваріантність для цих рівнянь.

Можна детальніше розглянути отриманий Лагранжіан. Доданок $$\ q^{2}A_{\mu}A^{\mu}\varphi \varphi^{*}$$ може бути отриманий при модифікації маси скалярного поля як $$\ m^{2} \to m^{2} - q^{2}A_{\mu}A^{\mu}$$. Доданок $$\ J^{\mu}A_{\mu}$$ відповідає взаємодії протилежно заряджених частинок скалярного поля шляхом обміну квантами електромагнітного поля. Частинки та античастинки поля тотожні одна одній, оскільки поле - дійсне (заряд рівен нулю). Поле - безмасове (додавання масивного члену $$\ m^{2}A_{\mu }A^{\mu}$$ призвело б до порушення калібрувальної інваріантності).

Геометрична інтерпретація локальної калібрувальної інваріантності
Вище було показано, що при локальній калібрувальній інваріантності $$ \varphi {'} = U\varphi $$ похідна $$\ \partial_{\mu} \varphi {'}$$ не перетворюється коваріантно:

$$\ \partial_{\mu}\varphi {'} = U\partial_{\mu}\varphi + \varphi \partial_{\mu }U$$.

Причину нековаріантності можна інтерпретувати як результат чисто геометричних міркувань. Поля

$$\ \varphi (x), \varphi (x + dx) = \varphi (x) + d\varphi (x)$$,

які відносяться до нескінченно близьких точок 4-простору $$ x, x + dx$$, вимірюються по відношенню до різних вісей в ізопросторі, які повернуті одна відносно одної як результат глобального калібрувального перетворення. Таким чином, $$\ d\varphi (x)$$ несе інформацію і про нескінченно мале перенесення як у 4-просторі, так і в ізотопічному просторі. Тому замість поля $$\ \psi (x + dx)$$ треба розглядати поле, яке відповідає переносу у 4-просторі, проте із такою ж орієнтацією вісей у ізотопічному просторі. Таким чином, можна буде побудувати коваріантну похідну. Міркування є аналогічними до міркувань, використаних для отримання виразу для коваріантної похідної у статті Загальна теорія відносності.

Отже, можна визначити перетворення, пов'язане лише з переорієнтцію ізотопічних вісей, як

$$\ \delta \varphi = igM^{a}A^{a}_{\mu}dx^{\mu}\varphi$$,

де $$ M^{a}$$ - матриці базису даного калібрувального представлення, $$ A^{a}_{\mu}$$ - розклад матриць калібрувального поля по базису $$ M^{a}$$.

Отже, коваріантна похідна тоді буде визначатися виразом

$$\ D\varphi = (\varphi + d \varphi ) - (\varphi + \delta \varphi ) = d\varphi - \delta \varphi = d\varphi - igM^{a}A^{a}_{\mu}dx^{\mu}\varphi \Rightarrow \frac{D\varphi }{dx^{\mu}} = D_{\mu }\varphi = \partial_{\mu}\varphi - igM^{a}A^{a}_{\mu}\varphi $$.

Цей загальний вираз можна використати для коваріантної похідної будь-якого представлення калібрувального поля. У статті "КТП. Квантова хромодинаміка та теорія електрослабких взаємодій" будуть введені коваріантні похідні для представлень $$\ SU(2), SU(3)$$.