Група Пуанкаре. Доведення

Комутаційні співвідношення для оператора
Просто показати нульову рівність комутатора $$\ [\hat {P}_{\alpha}, \hat {W}_{\beta}]$$:

$$\ [\hat {P}_{\alpha}, \hat {W}_{\beta}] = \frac{1}{2}\varepsilon_{\beta \gamma \delta \epsilon} [\hat {P}_{\alpha}, \hat {J}^{\gamma \delta}]\hat {P}^{\epsilon} = \frac{i}{2}\varepsilon_{\beta \gamma \delta \epsilon}\left( \delta^{\gamma}_{\alpha}\hat {P}^{\delta} - \delta^{\delta}_{\alpha}\hat {P}^{\gamma} \right)\hat {P}^{\epsilon} = 0$$,

як результат згортки симетричного тензора $$\ \hat {P}^{\mu}\hat {P}^{\nu}$$ із антисиметричним $$\ \varepsilon_{\alpha \beta \mu \nu}$$.

Для знаходження комутатора $$\ [\hat {J}_{ij}, \hat {W}_{\alpha}] $$ можна використати ортогональність $$\ \hat {P}_{\mu}, \hat {W}^{\mu}$$: дійсно,

$$\ \hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu \alpha \beta \gamma}\hat {J}_{\alpha \beta}\hat {P}_{\gamma }\hat {P}_{\mu} = 0$$.

Тому комутатор $$\ [\hat {J}_{\kappa \lambda}, \hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu}]$$ тотожньо рівний нулю. З іншого боку, якщо його розписати, то можна отримати

$$\ 0 = [ \hat {J}_{\kappa \lambda}, \hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu}] = \hat {W}^{\mu}[ \hat {J}_{\kappa \lambda}, \hat {P}_{\mu}] + [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} = -i\hat {W}^{\mu}(g_{\mu \kappa }\hat {P}_{\lambda} - g_{\mu \lambda}\hat {P}_{\kappa }) + [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} \Rightarrow [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} = i\hat {W}^{\mu}(g_{\mu \kappa }\hat {P}_{\lambda} - g_{\mu \lambda}\hat {P}_{\kappa })$$,

або, згортаючи із символами Кронекера, $$\ \delta^{0}_{0} = 1, \delta^{i}_{i} = -1$$,

$$\ [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} = i\hat {W}^{\mu}(g_{\mu \kappa }\hat {P}_{\lambda} - g_{\mu \lambda}\hat {P}_{\kappa }) = i(\hat {W}_{\kappa}\hat {P}_{\lambda} - \hat {W}_{\lambda}\hat {P}_{\kappa}) = i\left(\hat {W}_{\kappa}\delta^{\mu}_{\lambda} - \hat {W}_{\lambda}\delta^{\mu}_{\kappa}\right)\hat {P}_{\mu} \Rightarrow [\hat {W}_{\mu}, \hat {J}_{\kappa \lambda }] = i\left( \hat {W}_{\lambda}g_{\mu \kappa} - \hat {W}_{\kappa}g_{\mu \lambda}\right)$$.

Нарешті, якщо використати ці два комутатори, можна отримати

$$\ [\hat {W}^{\alpha}, \hat {W}^{\kappa }] = \frac{1}{2}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}[\hat {J}_{\beta \gamma}, \hat {W}^{\kappa}]\hat {P}_{\delta } = \frac{i}{2}\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}\left( \delta^{\kappa}_{\gamma}\hat {W}_{\beta } - \delta^{\kappa}_{\beta}\hat {W}_{\gamma}\right)\hat {P}_{\delta} = \frac{i}{2}\varepsilon^{\alpha \beta \kappa \delta}\hat {W}_{\beta }\hat {P}_{\delta} - \frac{i}{2}\varepsilon^{\alpha \kappa \gamma \delta}\hat {W}_{\gamma }\hat {P}_{\delta} = i \varepsilon^{\alpha \beta \kappa \delta}\hat {W}_{\beta}\hat {P}_{\delta}$$.

Квадрат оператора
Використовуючи рівність

$$\ \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \lambda}\varepsilon^{\lambda \mu \nu \sigma} = \delta^{\mu}_{\alpha}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\beta \gamma} + \delta^{\mu}_{\gamma}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\alpha \beta } + \delta^{\mu}_{\beta}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\gamma \alpha}$$,

а також - умову антисиметричності тензору спіну $$\ \hat {S}_{\alpha \beta}$$ (в силу однаковості алгебр $$\ \hat {S}_{\alpha \beta}$$ і $$\ i(x_{\alpha}\hat {P}_{\beta} - x_{\beta }\hat {P}_{\alpha})$$), вираз для квадрату оператора Паулі-Любанського можна переписати як

$$\ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda} = \frac{1}{4}\varepsilon_{\lambda \alpha \beta \gamma }\hat {J}^{\alpha \beta}\hat {P}^{\gamma }\varepsilon^{\lambda \mu \nu \sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = -\frac{1}{4}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \lambda}\varepsilon^{\lambda \mu \nu \sigma}\hat {J}^{\alpha \beta}\hat {P}^{\gamma }\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = -\frac{1}{4}\left(\delta^{\mu}_{\alpha}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\beta \gamma} + \delta^{\mu}_{\gamma}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\alpha \beta} + \delta^{\mu}_{\beta}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\gamma \alpha}\right)\hat {J}^{\alpha \beta}\hat {P}^{\gamma }\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = $$

$$\ = -\frac{1}{4}\left( \delta^{\mu}_{\alpha}\delta^{\nu}_{\beta}\delta^{\sigma}_{\gamma} - \delta^{\mu}_{\alpha}\delta^{\nu}_{\gamma}\delta^{\sigma}_{\beta} + \delta^{\mu}_{\gamma}\delta^{\nu}_{\alpha}\delta^{\sigma}_{\beta} - \delta^{\mu}_{\gamma}\delta^{\nu}_{\beta}\delta^{\sigma}_{\alpha} + \delta^{\mu}_{\beta}\delta^{\nu}_{\gamma}\delta^{\sigma}_{\alpha} - \delta^{\mu}_{\beta}\delta^{\nu}_{\alpha}\delta^{\sigma}_{\gamma} \right)\hat {J}^{\alpha \beta}\hat {P}^{\gamma }\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = $$

$$\ =-\frac{1}{4}\left( \hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} - \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}\hat {J}_{\mu \gamma}\hat {P}_{\sigma} + \hat {J}^{\nu \sigma}\hat {P}^{\mu}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} - \hat {J}^{\sigma \nu}\hat {P}^{\mu}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} + \hat {J}^{\sigma \mu}\hat {P}^{\nu}\hat {J}_{\mu \nu }\hat {P}_{\sigma} - \hat {J}^{\nu \mu}\hat {P}^{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma}\right) = $$

$$\ = \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}\hat {J}_{\mu \gamma}\hat {P}_{\sigma} - \frac{1}{2}\hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}_{\sigma}\hat {J}_{\mu \gamma}\hat {P}^{\gamma} - \frac{1}{2}\hat {P}_{\sigma}\hat {P}^{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu}\hat {J}^{\mu \nu} = \hat {N}^{\mu}\hat {N}_{\mu } - \frac{1}{2}\hat {P}^{\sigma}\hat {P}_{\sigma}\hat {J}^{\mu \nu }\hat {J}_{\mu \nu }$$,

де $$\ \hat {N}^{\mu} = \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}_{\sigma}$$, а перехід до передостанньої рівності зроблений за допомогою комутаційних співвідношень групи Пуанкаре: для першого доданку

$$\ \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}\hat {J}_{\mu \gamma}\hat {P}_{\sigma} = \hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\sigma }\hat {J}_{\mu \gamma} - i\hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}(g_{\sigma \mu }\hat {P}_{\gamma} - g_{\sigma \gamma}\hat {P}{\mu}) = \hat {N}^{\mu}\hat {N}_{\mu} + i\hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}_{\sigma}(\delta^{\gamma}_{\mu }\hat {P}_{\gamma} - \delta^{\gamma}_{\gamma}\hat {P}_{\mu}) - i\hat {J}^{\mu \sigma}\hat {P}^{\gamma}(g_{\sigma \mu }\hat {P}_{\gamma} - g_{\sigma \gamma}\hat {P}{\mu}) = \hat {N}^{\mu}\hat {N}_{\mu}$$

(другий-п'ятий доданки зникають через згортку симетричного тензора $$\ \hat {P}_{\mu}\hat {P}_{\gamma}$$ із антисиметричним тензором $$\ \hat {J}^{\mu \gamma}$$,

для другого доданку (із використанням першого оператора Казиміра) -

$$\ \hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma} \hat {J}_{\mu \nu}\hat {P}_{\sigma} = \hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma}\hat {P}_{\sigma}\hat {J}_{\mu \nu} - i\hat {J}^{\mu \nu}\hat {P}^{\sigma}(g_{\sigma \mu}\hat {P}_{\nu} - g_{\sigma \nu}\hat {P}_{\mu}) = \hat {P}^{\sigma}\hat {P}_{\sigma}\hat {J}^{\mu \nu}\hat {J}_{\mu \nu}$$.

Комутатор цього оператора із $$\ \hat {P}_{\alpha}$$, очевидно, рівен нулю в силу $$\ [\hat {P}_{\alpha}, \hat {W}_{\beta }] = 0$$. Комутатор же із оператором групи Лоренца рівен

$$\ [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {W}_{\gamma}\hat {W}^{\gamma}] = \hat {W}_{\gamma}[\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {W}^{\gamma}] + [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {W}_{\gamma}]\hat {W}^{\gamma } = i\left( g_{\gamma \beta}\hat {W}_{\alpha}\hat {W}^{\gamma} - g_{\gamma \alpha}\hat {W}_{\beta}\hat {W}^{\gamma} + \hat {W}_{\gamma}\delta^{\gamma}_{\beta}\hat {W}_{\alpha} - \hat {W}_{\gamma}\delta^{\gamma}_{\alpha}\hat {W}_{\beta}\right) = i[\hat {W}_{\alpha}, \hat {W}_{\beta }] - i[\hat {W}_{\beta}, \hat {W}_{\alpha}] = 0$$.

Доведення 4
Канонічні співвідношення для операторів народження і знищення.

Перша рівність $$\ (8)$$ визначається визначенням оператору народження та симетрією відносно перестановок частинок,

$$\ | ...,(..., n_{i}),...,(..., n_{j})\rangle = (-1)^{\varepsilon (n_{i})\varepsilon(n_{j})}| ...(..., n_{j}),..., (..., n_{i}) \rangle, \quad \varepsilon (n_{j}) = 1, 0$$.

Дійсно,

$$\ \hat{a}^{\dagger}_{\sigma, n}(\mathbf p )\hat{a}^{\dagger}_{\sigma ' , n'}(\mathbf p ')| ...., (, ..., n_{i}), ...\rangle = | (p , \sigma , n), (p{'}, \sigma {'}, n{'}), ...\rangle = (-1)^{\varepsilon (n_{i})\varepsilon(n_{j})}|(p{'}, \sigma {'}, n{'}), (p , \sigma , n), ...\rangle = (-1)^{\varepsilon (n_{i})\varepsilon(n_{j})}\hat{a}^{\dagger}_{\sigma ' , n'}(\mathbf p ')\hat{a}^{\dagger}_{\sigma , n}(\mathbf p ')| ...., (, ..., n_{i}), ...\rangle$$.

Друга рівність $$\ (8)$$ отримується ермітовим спряженням першої.

Нарешті, вираз $$\ (9)$$ можна перевірити через вираз для дії оператору знищення (вираз $$\ (7)$$) на фоківський стан:

$$\ \hat{a}_{\sigma ', n'}(\mathbf p' )\hat{a}^{\dagger}_{\sigma, n}(\mathbf p )| ...., (, ..., n_{i}), ...\rangle = \hat{a}_{\sigma {'}, n{'}}| (p , \sigma , n),...\rangle = (-1)^{\varepsilon (n)(\varepsilon (n') + 1)}\delta (\mathbf p - \mathbf p ')\delta_{\sigma \sigma '}\delta_{n n'}|..., (...,n_{i}), ... \rangle + $$

$$\ + \sum_{r = 1}^{N}(-1)^{\varepsilon (n{'})(\varepsilon (n_{1})+...+\varepsilon (n_{r}) + 1)}\delta_{\sigma {'}\sigma_{r}}\delta(\mathbf p' - \mathbf p_{r})\delta_{n{'}n_{r}}| (p, \sigma, n)...(... n_{r -1}), (..., n_{r + 1}),... \rangle = (-1)^{\varepsilon (n)(\varepsilon (n') + 1)}\delta_{\sigma \sigma '}\delta_{n n'}\delta (\mathbf p - \mathbf p ')|..., (...,n_{i}), ... \rangle +$$

$$\ + (-1)^{\varepsilon (n) \varepsilon (n')}\hat{a}^{\dagger}_{\sigma, n}(\mathbf p) \hat{a}_{\sigma {'}, n{'}}(\mathbf p ')|..., (...,n_{i}), ... \rangle $$,

що, оскільки $$\ (-1)^{\varepsilon (n)(\varepsilon (n') + 1)}\delta_{n n'} = \delta_{nn'}$$, і доводить рівність.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$