Перетворення Лоренца для полів

Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца для полів".

Основні вирази, з якими будуть виконуватися викладки - це сила Лоренца і перетворення для 3-вектора сили:

$$\ \mathbf F = q \mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B ] \qquad (.1)$$,

$$\ \frac{\mathbf F}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}}\right)} = \mathbf F' - \gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf v' \cdot \mathbf F' ) + \Gamma \frac{\mathbf u }{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) \qquad (.2)$$.

Перетворення Лоренца для напруженості електричного поля
В силу принципу відносності вибір ІСВ не може позначитися на загальності перетворень, що були отримані для переходу між обраними ІСВ. Це дозволяє спростити вирази, наприклад, для перетворення 3-вектора сили при переході до нової ІСВ.

Нехай у ІСВ А пробний заряд покоїться, $$\ \mathbf v = 0$$. Тоді у ІСВ А', що рухається із швидкістю $$\ \mathbf u$$, заряд має швидкість $$\ \mathbf v' = - \mathbf u$$. Тоді, використовуючи $$\ (.2)$$, можна записати:

$$\ \frac{\mathbf F}{\gamma} = \mathbf F' - \gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) = \mathbf F' + (\mathbf u \cdot \mathbf F' )\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\Gamma - \gamma) = \left| \Gamma = \frac{\gamma^{2}}{1 + \gamma} \right| = \mathbf F' - (\mathbf u \cdot \mathbf F' )\frac{\mathbf u}{c^{2}}\frac{\gamma}{1 + \gamma} = \mathbf F' - \frac{\Gamma}{\gamma}\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' )$$.

Звідси слідує, що

$$\ \mathbf F = \gamma \mathbf F' - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F' ) \qquad (.3)$$.

З урахуванням того, що відносно ІСВ А сила $$\ \mathbf F$$, що діє на пробний заряд $$\ q$$, рівна

$$\ \mathbf F = q\mathbf E$$,

а відносно ІСВ А' ця ж сила рівна

$$\ \mathbf F' = q \mathbf E' - \frac{q}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ' ]$$,

можна перетворити $$\ (.3)$$:

$$\ q \mathbf E = q\left[\gamma \left( \mathbf E' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}} (\mathbf u \cdot \mathbf E' )\right]$$,

де враховано, що $$\ (\mathbf u \cdot [\mathbf u \times \mathbf B ]) = 0$$ у доданку при $$\ \Gamma$$.

Отже,

$$\ \mathbf E = \gamma \left( \mathbf E' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E') \qquad (.4)$$,

що і є шуканим перетворенням Лоренца для вектора напруженості електричного поля.

Обернене перетворення отримується шляхом замін

$$\ \mathbf u \to -\mathbf u, \quad \mathbf E' \to \mathbf E , \quad \mathbf E \to \mathbf E' \quad \quad \mathbf B' \to \mathbf B$$:

$$\ \mathbf E' = \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E ) \qquad (.5)$$,

у чому можна, при бажанні, переконатися і "в лоб".

Якщо вибрати орієнтацію вісей ІСВ таким чином, що $$\ \mathbf u = (u, 0, 0)$$, то $$\ (.5)$$ зручно також розписати покомпонентно. Дійсно,

$$\ \mathbf E' = \gamma \mathbf E + \frac{1}{c}\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u & 0 & 0 \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \end{vmatrix} - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}uB_{x} = \gamma (E_{x}, E_{y}, E_{z}) + \frac{1}{c}(0, -uB_{z}, uB_{y}) - \Gamma \frac{u}{c^{2}}B_{x}(u, 0, 0) = $$

$$\ = \left(\left(\gamma - \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}}\right)E_{x}, \gamma \left(E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right), \gamma \left(E_{z} + \frac{u}{c}B_{y} \right)\right) = \left| \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma - 1 \right| = \left(E_{x}, \gamma \left( E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right), \gamma \left( E_{z} + \frac{u}{c}B_{y}\right)\right) \qquad (.7)$$.

Перетворення Лоренца для індукції магнітного поля
Маючи перетворення для напруженості електричного поля, можна знайти перетворення для індукції магнітного поля. Це не є випадковістю, оскільки індукція визначається через швидкість ІСВ і напруженість електричного поля.

Для початку, вираз $$\ (.5)$$ можна домножити зліва на швидкість ІСВ $$\ \mathbf u$$, після чого - підставити зправа вираз $$\ (.4)$$. Тоді

$$\ \mathbf B = \gamma \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf B' \cdot \mathbf u ) \qquad (.8)$$.

Аналогічно до перетворень із напруженістю електричного поля, із $$\ (.8)$$ можна отримати:

$$\ \mathbf B' = \gamma \left(\mathbf B - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf B \cdot \mathbf u ) \qquad (.10)$$.

Прийнявши $$\ \mathbf u = (u, 0, 0)$$, $$\ (.10)$$ можна просто розписати покомпонентно:

$$\ \mathbf B' = \gamma \mathbf B - \frac{\gamma}{c}(0, -uE_{z}, uE_{y}) - \frac{\Gamma}{c^{2}}(u, 0, 0)uB_{x} = \left( B_{x}\left(\gamma - \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}\right), \gamma \left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z}\right), \gamma \left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y}\right)\right) = $$

$$\ = \left( B_{x}, \gamma \left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z}\right), \gamma \left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y}\right)\right) \qquad (.11)$$.

Інваріанти перетворень електромагнітного поля
Використовуючи $$\ (.7), (.11)$$, можна показати інваріантність наступних виразів:

$$\ (\mathbf E' \cdot \mathbf B' ), \quad \mathbf E'^{2} - \mathbf B'^{2}$$.

Дійсно,

$$\ (\mathbf E' \cdot \mathbf B' ) = E_{x}B_{x} + E_{y}B_{y} + E_{z}B_{z} = E_{x}B_{x} + \gamma^{2}\left( E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right)\left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z} \right) + \gamma^{2}\left( E_{z} + \frac{u}{c}B_{y}\right)\left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y} \right) = $$

$$\ = E_{x}B_{x} + E_{y}B_{y}\gamma^{2}\left(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}} \right) + E_{z}B_{z}\gamma^{2}\left(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}} \right) + \frac{u}{c}\gamma^{2}E_{y}E_{z} - \frac{u}{c}\gamma^{2}B_{y}B_{z} - \frac{u}{c}\gamma^{2}E_{y}E_{z} + \frac{u}{c}\gamma^{2}B_{y}B_{z} = (\mathbf E \cdot \mathbf B ) = inv$$;

$$\ \mathbf E'^{2} - \mathbf B'^{2} = (\mathbf E' - \mathbf B' )(\mathbf E' + \mathbf B') = ( \left[ E_{x} - B_{x}, \gamma \left( E_{y} - B_{y} - \frac{u}{c}(B_{z} + E_{z}) \right), \gamma \left( E_{z} - B_{z} + \frac{u}{c}(E_{y} + B_{y})\right) \right]  \cdot $$

$$\ \cdot \left[ E_{x} + B_{x}, \gamma \left( E_{y} + B_{y} + \frac{u}{c}(E_{z} - B_{z})\right), \gamma \left( E_{z} + B_{z} + \frac{u}{c}(B_{y} - E_{y})\right) \right] ) = $$

$$\ = E_{x}^{2} - B_{x}^{2} + \gamma^{2}E_{y}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) - \gamma^{2}B_{y}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) + \gamma^{2}E_{z}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) - \gamma^{2}B_{z}^{2}\left( 1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) + $$

$$\ + \gamma^{2}\frac{u}{c}\left[ E_{y}E_{z} - E_{y}B_{z} - 2E_{z}B_{y} + B_{y}B_{z} - E_{y}B_{z} - E_{y}E_{z} - B_{y}B_{z} + 2E_{z}B_{y} - E_{y}E_{z} - B_{y}B_{z} + E_{y}B_{z} + E_{y}E_{z} + E_{y}B_{z} + B_{y}B_{z} \right] = $$

$$\ = \mathbf E^{2} - \mathbf B^{2} = inv$$.

Розглядаючи ці інваріанти, можна зробити декілька важливих висновків.

1. Якщо $$\ \mathbf B^{2} > \mathbf E^{2}, \mathbf E \bot \mathbf B$$, то можна вибрати ІСВ таку, що у ній $$\ \mathbf E' = \mathbf 0, \mathbf B' \neq \mathbf 0$$ (нуль-вектор ортогональний будь-якому вектору). Це значно спрощує розв'язок рівнянь Максвелла і аналіз динаміки заряджених тіл у полі. Якщо ж друга умова не виконується, то вибрати таку ІСВ неможливо.

2. Аналогічно, якщо $$\ \mathbf B^{2} < \mathbf E^{2}, \mathbf E \bot \mathbf B$$, можна вибрати ІСВ таку, що у ній $$\ \mathbf B' = \mathbf 0, \mathbf E' \neq \mathbf 0$$.

3. Якщо у деякій ІСВ $$\ \mathbf B = \mathbf 0, \mathbf E \neq \mathbf 0$$, то при переході до іншої ІСВ, у загальному випадку, буде як електричне, так і магнітне поля, причому вектори індукції магнітного поля і напруженості електричного поля будуть ортогональними.

4. Плоска хвиля, для якої $$\ \mathbf E \bot \mathbf B, |\mathbf E | = |\mathbf B | $$, залишається такою у будь-якій ІСВ.