Від рівняння Дірака до рівняння Майорани

Повернутися до розділу "Нейтрино".

Як було показано у розділі Алгебра матриць Дірака, рівняння Дірака є інваріантним відносно перетворень

$$\ \Psi ' = \hat {U} \Psi, \bar {\Psi}' = \bar {\Psi} \hat {U}^{\dagger} $$,

і при цьому матриці Дірака змінюються,

$$\ \quad \gamma_{\mu}{'} = \hat {U}^{\dagger}\gamma_{\mu}\hat {U} $$.

Тоді, взявши за основу стандартне представлення,

$$\ \gamma_{0} = \begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & 0 \\ 0 & -\hat {\mathbf E} \end{pmatrix}, \quad \gamma_{i} \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{i} \\ -\sigma_{i} & 0 \end{pmatrix}$$,

та подіявши на біспінори унітарною матрицею $$\ \hat {U} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \hat {\sigma}_{y} & -\hat {\mathbf E}\end{pmatrix}$$, можна (використовуючи антикомутаційні співвідношення для матриць Паулі) отримати:

$$\ \tilde {\gamma}_{0} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \hat {\sigma}_{y} & -\hat {\mathbf E}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & 0 \\ 0 & -\hat {\mathbf E} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \hat {\sigma}_{y} & -\hat {\mathbf E}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix} \qquad (1)$$,

$$\ \tilde {\gamma}_{1} = \begin{pmatrix} i\sigma_{3} & 0 \\ 0 & i\sigma_{3} \end{pmatrix}, \quad \tilde {\gamma}_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix}, \quad \tilde {\gamma}_{3} = \begin{pmatrix} -i\sigma_{1} & 0 \\ 0 & -i\sigma_{1} \end{pmatrix} \qquad (2)$$.

Таким чином, всі гамма-матриці є суто уявними, а тому рівняння Дірака

$$\ (i\gamma_{\mu}\partial^{\mu} - m)\Psi = 0 \qquad (3)$$

містить лише суто дійсні коефіцієнти. Тому його розв'язком може бути (не обов'язково) біспінор, що містить лише дійсні величини.

Тепер можна згадати визначення спінора, зарядове спряження якого дає самого себе: за визначенням,

$$\ \Psi^{c} = \hat {C}\bar {\Psi}^{T} = \Psi, \quad \hat {C} = \alpha_{2} \qquad (4)$$.

У стандартному представленні $$\ \alpha_{2} $$ має вигляд $$\ \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix}$$.

Використовуючи перетворення для оператора зарядового спряження,

$$\ \hat {C}_{M} = \hat {U}\hat {C}\hat{U}^{T} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & -\hat {\mathbf E} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \hat {\mathbf E} & \sigma_{2} \\ \sigma_{2} & -\hat {\mathbf E} \end{pmatrix} = -\alpha_{2}$$,

можна перетворити $$\ (4)$$ до вигляду

$$\ \Psi^{c} = \hat {C}_{M} \bar {\Psi}_{M}^{T} = \hat {C}_{M} \gamma^{0}_{M} \Psi_{M}^{*} = \hat {\alpha}_{2}^{2}\Psi_{M}^{*} = \Psi_{M}^{*}$$.

Таким чином, у базисі $$\ (1)-(2)$$ (надалі він буде називатися майоранівським) операція зарядового спряження еквівалентна до комплексного спряження спінора. Тому спінор, що не має електричного заряду, у майоранівському базисі повинен бути суто дійсним. Це автоматично означає і відсутність симетрії лагранжіану відносно глобального перетворення $$\ U(1)$$.

Отже, було отримано перехід від рівняння Дірака до його "частинного випадку" - рівняння Майорани, до якого у минулому розділі привели міркування про відсутність електричного заряду у частинки-ферміона:

$$\ (i\gamma_{\mu}\partial^{\mu} - m)\Psi = 0, \quad \Psi^{c} = \Psi \qquad (5)$$.

Дві умови на спінор $$\ (5)$$ можна об'єднати, записавши рівняння

$$\ i\gamma_{\mu}\partial^{\mu}\Psi - m\Psi^{c} = 0$$,

яке описує майоранівську частинку у будь-якому базисі гамма-матриць.

Можна також записати лагранжіан Майоранівської частинки:

$$\ L = \bar{\Psi}_{M}(i \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi_{M}$$.

Цей же лагранжіан нескладно переписати у термінах, наприклад, $$\ \Psi_{L}$$, де $$\ \Psi_{M} = \Psi_{L} + \hat{C}\Psi_{L}$$ (це знадобиться у подальшому):

$$\ L = 2\bar{\Psi}_{L}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{L} - m(\Psi_{L}^{T}\hat{U}\Psi_{L} + h.c.), \quad \hat{U} = i\gamma_{2}\gamma_{0}$$.