Перенормування

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Структура сингулярностей однопетльових діаграм
Розглянемо узагальнення однопетльової діаграми скалярного поля, що використана як приклад у минулому підрозділі на випадок ненульової маси, застосувавши розмірну регуляризацію:

$$\ \int d^{n}p\frac{1}{(p^{2} - m^{2})((k - p)^{2} - m^{2})}, \quad n = 4 - 2\varepsilon $$,

причому шукати будемо лише вигляд для сингулярної частини. Структура розбіжності не змінилася, тому сингулярна частина знову матиме обернену пропорційність по $$\ \varepsilon $$, $$\ \frac{A}{\varepsilon}$$. Величина $$\ A$$ не може залежати від зовнішнього імпульсу і від квадрату маси, оскільки в силу перестановочності операцій диференціювання по параметру і регуляризованого інтегрування видно, що при однократному диференціюванні по $$\ k$$ чи по $$\ m^{2}$$ інтеграл стає збіжним, тому сингулярна частина рівна нулю, а отже, $$\ \frac{\partial A}{\partial k} = \frac{\partial A}{\partial m^{2}} = 0$$. "Додаючи" у чисельник поліном по $$\ p$$, можна отримати вигляд матричного елементу як полінома. Це повністю узгоджується із описаним в розділі про розбіжність матричних елементів твердженняи, згідно з яким матричний елемент має вигляд поліному по зовнішнім імпульсам, де константи можуть бути сингулярними; отже, ми на правильному шляху.

Фур'є-образом константи являється дельта-функція, а поліному - похідні від дельта-функції. Це означає, що якщо розглянути вклад деякої однопетльової n-хвостки, то сингулярна частина (а не весь елемент!) буде представлятися локальним виразом. Тут локальність означає поліноміальність по імпульсам в імпульсному представленні та виконання одного інтегрування по координатній змінній від локального по $$\ x$$ виразу в координатному представленні. Дійсно, розглянемо, наприклад, 3-хвостку $$\ \int d^{4}xd^{4}yd^{4}z \varphi (x) \varphi (y) \varphi (z)F(x, y, z)$$ (тут три поля відповідають зовнішнім лініям). В силу написаного в попередньому підрозділі Фур'є образ $$\ F(x, y, z)$$ буде мати вигляд (із врахуванням закону збереження імпульсу)

$$\ \delta (p + q + k)\left( \frac{A}{\varepsilon} + O(1)\right)$$.

Звідси сингулярна частина функції в координатному представленні має вигляд

$$\ \int \delta (p + q + k)e^{ipx + iqy + ikz}\frac{A}{\varepsilon} dpdqdk = \frac{A}{\varepsilon}\delta(x - z)\delta (y -z)$$

(якщо А - константа; якщо вона була поліномом по імпульсам, то виникнуть похідні від дельта-функцій).

Тому сингулярна частина 3-хвостки буде записуватись як

$$\ G_{s} = \frac{A}{\varepsilon} \int d^{4}x \varphi^{3}(x)$$

(якщо А - константа; якщо ж вона була поліномом по імпульсам, то, перекидаючи похідні з дельта-функції на поля, можна отримати похідні по полю під знаком інтегралу).

Отже, розбіжності з однопетльових діаграм можна прибрати, включивши до лагранжіану локальні доданки, що за структурою відповідають початковому лагранжіану (у повній відповідності із загальними викладками розділу про розбіжність матричних елементів).

Старші порядки теорії збурень. Контрчлени
Розглянемо двопетльову діаграму, використавши той же приклад, що і в попередньому випадку - безмасове скалярне поле (узагальнення на випадок ненульової маси не вплине структурно на вигляд сингулярної частини; розмірність $$\ (\mu^{2})^{2 \varepsilon}$$, знову ж таки, виникла за рахунок зміни розмірності константи зв'язку після розмірної регуляризації):

$$\ (\mu^{2})^{2 \varepsilon }\int d^{n}pd^{n}q\frac{1}{p^{2}q^{2}(k - p)^{2}(p - q)^{2}} \qquad (5)$$.

Двічі використаємо вираз $$\ (4)$$

$$\ \int d^{n}p\frac{1}{(p^{2})^{\alpha}((k - p)^{2})^{\beta}} = \frac{i\pi^{2}}{1 - \varepsilon}\frac{\Gamma (1 - \varepsilon )\Gamma (\alpha + \beta - 2 + \varepsilon )\Gamma (2 - \alpha - \varepsilon ) \Gamma (2 - \beta - \varepsilon )}{(k^{2})^{\alpha + \beta -2 + \varepsilon }\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta ) \Gamma (4 - \alpha - \beta - 2\varepsilon )} $$

із попереднього підрозділу: отримаємо

$$\ -\pi^{4}\left( \frac{1}{2\varepsilon^{2}} + \frac{5}{2\varepsilon} - \frac{1}{\varepsilon}ln\left( \frac{k^{2}}{\mu^{2}}\right)\right) + O(1) $$.

Тут є нелокальний доданок $$\ \frac{1}{\varepsilon}ln\left( \frac{k^{2}}{\mu^{2}} \right)$$; проте, що цікаво, він скорочується, якщо додати до лагранжіану локальний доданок, що знищує однопетльову розбіжність. Дійсно, внутрішній інтеграл $$\ (5)$$ по $$\ d^{n}q$$ відповідає інтегралу з сингулярністю $$\ \frac{i \pi^{2}}{\varepsilon}$$ (див. вираз $$\ (5)$$ минулого підрозділу). Тому $$\ (5)$$ треба модифікувати як

$$\ (\mu^{2})^{\varepsilon }\int d^{n}p\frac{1}{p^{2}(k - p)^{2}}\left((\mu^{2})^{\varepsilon }\int d^{n}q\frac{1}{q^{2}(p - q)^{2}} - \frac{i\pi^{2}}{\varepsilon}\right) = \pi^{4}\left( \frac{1}{2\varepsilon^{2}} - \frac{1}{2\varepsilon }\right) + O(1)$$.

Це - природньо, оскільки диференціювання по $$\ k$$ знищує розбіжність інтегралу по $$\ p$$, в той час як вираз у квадратних дужках є регулярним за побудовою. А це і означає, що сингулярність не повинна залежати від зовнішнього імпульсу $$\ k$$.

Це можна узагальнити за подібною ж схемою для будь-якої теорії.

Отже, є наступне твердження: додаючи у лагранжіан перенормовних теорій локальні за структурою доданки, що скорочують сингулярності однопетльових діаграм, ми скорочуємо нелокальні сингулярності двопетльових діаграм. Додаючи після цього локальні доданки для скорочення сингулярності двопетльових діаграм, ми скорочуємо нелокальні сингулярні доданки трьохпетльових діаграм, і т.д.

Такий розгляд перенормувань базується на пертурбативних методах. Важливо, вочевидь, знати, що повне перенормування теорії є можливим і вкладається у якусь загальну схему. Відповідний результат отримано за допомогою редукційної теореми, яка каже, що усі нескінченності поглинаються перенормуванням мас, констант взаємодії та полів теорії. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$