Антисиметричні тензори

Повернутися до розділу "Тензори у СТВ".

Антисиметричний тензор та перетворення Лоренца для нього
Антисиметричний тензор $$\ T$$ другого рангу, за визначенням, тензор такий, що $$\ T^{ij} = -T^{ji}$$. Такий тензор у чотиривимірному просторі-часі має лише шість незалежних нетривіальних компонент. Дійсно,

$$\ A^{ii} = 0, A^{j0} = -A^{0j}, A^{ij} = -A^{ji} \Rightarrow A^{01}, A^{02}, A^{03}, A^{12}, A^{23}, A^{13} \neq 0$$.

Вирази $$\ (.4), (5), (.6), (.7)$$ значно спростяться для такого тензора. Маючи, що

$$\ u_{l}u_{n}T^{ln} = -u_{n}u_{l}T^{nl} = 0$$, можна отримати:

$$\ {T^{00}}' = 0$$,

$$\ {T^{0j}}' = \gamma \left( T^{0j} - \frac{1}{c}u_{k}T^{kj} \right) + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}u^{j}u_{k}T^{k0} + \frac{\Gamma \gamma}{c^{2}}u^{j}u_{l}T^{0l} = \gamma \left( T^{0j} - \frac{1}{c}u_{k}T^{kj} \right) + \frac{\gamma}{c^{2}}u^{j}u_{k}T^{k0}(\Gamma + \gamma) = \left| \Gamma = \frac{\gamma^{2}}{1 - \gamma}\right| = $$

$$\ = \gamma \left( T^{0j} - \frac{1}{c}u_{k}T^{kj} \right) + \frac{\Gamma\gamma}{c^{2}}u^{j}u_{k}T^{0k}$$,

$$\ {T^{j0}}' = -{T^{0j}}'$$,

$$\ {T^{ij}}' = T^{ij} + \frac{\Gamma}{c^{2}}(u_{l}u^{j}T^{il} + u_{l}u^{i}T^{lj}) - \frac{\gamma}{c}(u^{j}T^{i0} + u^{i}T^{0j})$$.

Для перетворень Лоренца при векторі відносної швидкості, напрямленому вздовж осі $$\ Ox$$, можна отримати, що, при заданні тензора деякими двома векторами $$\ \mathbf a, \mathbf b$$,

$$\ A^{\alpha \beta} = \begin{pmatrix} 0 & -a_{x} & -a_{y} & -a_{z} \\ a_{x} & 0 & b_{z} & -b_{y} \\ a_{y} & -b_{z} & 0 & b_{x} \\ a_{z} & b_{y} & -b_{x} & 0 \end{pmatrix}, \quad A_{\alpha \beta} = \begin{pmatrix} 0 & a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ -a_{x}  & 0 & b_{z} & -b_{y} \\ -a_{y} & -b_{z} & 0 & b_{x} \\ -a_{z} & b_{y} & -b_{x} & 0 \end{pmatrix} = (\mathbf a, \mathbf b)$$,

у штрихованій системі відліку його компоненти будуть записані як

$$\ A^{\gamma \delta} = \begin{pmatrix} \gamma & -\frac{\gamma u}{c} & 0 & 0 \\ -\frac{\gamma u}{c} & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -a_{x} & -a_{y} & -a_{z} \\ a_{x}  & 0 & b_{z} & -b_{y} \\ a_{y} & -b_{z} & 0 & b_{x} \\ a_{z} & b_{y} & -b_{x} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \gamma & -\frac{\gamma u}{c} & 0 & 0 \\ -\frac{\gamma u}{c}  & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Звідси просто отримати, що

$$\ a'_{x} = a_{x}, \quad a'_{y} = \gamma \left( a_{y} + \frac{ub_{z}}{c}\right), \quad a'_{z} = \gamma \left( a_{z} - \frac{u b_{y}}{c}\right)$$,

$$\ b'_{x} = b_{x}, \quad b'_{y} = \gamma \left( b_{y} - \frac{ua_{z}}{c}\right), \quad a'_{z} = \gamma \left( b_{z} + \frac{u a_{y}}{c}\right)$$.

Ці перетворення (як і більш загальні, при відсутності співнапрямленості координатної осі із вектором швидкості) залишають інваріантами комбінації

$$\ \mathbf a^{2} - \mathbf b^{2}, \quad (\mathbf a \cdot \mathbf b) \qquad (.8)$$.

Тензор Леві-Чивіта
Можна розглянути символ Леві-Чивіта з чотирма індексами $$\ \varepsilon_{ijkl}$$. Оскільки він антисиметричний по перестановці двох індексів, то виникає ідея назвати його антисиметричним тензором рангу 4. Це можна довести наступним чином.

Із формули повного розкладу визначника довільної квадратної матриці слідує, що детермінант матриці порядка 4 на 4 рівен

$$\ det (\hat {a_{ij}}) = \varepsilon_{ijkl}a_{0i}a_{1j}a_{2k}a_{3l} \qquad (.9)$$.

Використовуючи також формулу перетворення компонент довільного тензора у рамках СТВ (через матрицю перетворень Лоренца), можна отримати вираз

$$\ \varepsilon_{0123}' = \tilde {\Lambda^{\alpha}_{0}}\tilde {\Lambda^{\beta}_{1}}\tilde {\Lambda^{\gamma}_{2}}\tilde {\Lambda^{\delta}_{3}}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta} = |(.9)| = det \tilde {\Lambda} = 1 \qquad (.10)$$.

Аналогічно можна отримати інваріантність значень інших компонент тензора (використовуючи властивості тензора при перестановці індексів), причому для компонент, що мають два однакові індекси, $$\ \varepsilon_{iijk} $$, значення у штрихованій системі відліку рівне нулю, оскільки буде відбуватися згортка симетричного тензора $$\ \tilde {\Lambda^{\alpha}_{i}} \tilde {\Lambda^{\beta}_{i}}$$ з антисиметричним $$\ \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}$$ по двом індексам. Звідси слідує, що символ Леві-Чивіта четвертого порядку утворює тензор відносно перетворень Лоренца.

Важливість тензору Леві-Чивіта, в принципі, досить очевидна. По-перше, він є одним із "фундаментальних" лоренц-інваріантних об'єктів. По-друге, використовуючи властивості згортки тензорів по індексам, можна отримувати нові антисиметричні тензори із початкових шляхом згортки початкових тензорів із символом Леві-Чивіта. Наприклад, для тензора $$\ A^{ij}$$ таким тензором буде

$$\ *A_{kl} = k\varepsilon_{ijkl}A^{ij}$$.

Коефіцієнт $$\ k$$ обирається таким, що

$$\ k = \frac{1}{n!}$$,

де $$\ n!$$ відповідає числу перестановок індексів початкового тензора. У даному випадку це число рівне $$\ 2! = 2$$, і тоді

$$\ *A_{kl} = \frac{1}{2}\varepsilon_{ijkl}A^{ij}$$.

Такий новий тензор називаються дуальним по відношенню до старого.

Якщо ввести дуальний тензор, то вирази $$\ (.8)$$ можуть бути переписані як

$$\ A_{\alpha \beta}A^{\alpha \beta} = 2(\mathbf b^{2} - \mathbf a^{2}), \quad *A_{\alpha \beta}A^{\alpha \beta} = 4 (\mathbf a \cdot \mathbf b )$$.

Варто також побачити, чому його правильно називати не тензором, а псевдотензором. До перетворень Лоренца, взагалі, входять також операції інверсії часу та координат (так звані невласні перетворення Лоренца; детальніше - див. тут). Для них усіх детермінанти відповідних матриць мають значення -1. Тому, використовуючи вираз $$\ (10)$$, маємо при невласному перетворенні

$$\ \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}{'} = -\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}{'}$$.

На відміну від "звичайного" тензору 4-го рангу, що перетворюється як добуток чотирьох об'єктів, визначені компоненти яких не змінюють знак при просторовій інверсії (наприклад, "просторова" компонента $$\ A_{2342}$$ деякого тензору $$\ A_{\mu \nu \alpha \beta}$$, що визначається як добуток 4 4-імпульсів, $$\ A_{\mu \nu \alpha \beta} = p_{\mu}p_{\nu}p_{\alpha}p_{\beta}$$) цей тензор змінює знак. Звідси і приставка "псевдо-" (як псевдовектор, всевдоскаляр тощо).