Вираз для оператору імпульсу та його власні функції. Імпульсне представлення

Повернутися до розділу "Основи квантової механіки".

Із виразу для комутатора $$\ [\hat {x}, \hat {p}] = i \hbar $$ можна отримати явний вигляд оператору імпульса $$\ \hat {p}$$. Дійсно, домноживши його зліва на $$\ \langle x |$$, а зправа - на спряжений до нього $$\ | x' \rangle$$, можна отримати

$$\ \langle x |\hat {x}\hat {p}_{x} - \hat {p}_{x}\hat {x}| x'\rangle = (x - x')\langle x | \hat {p}_{x}| x' \rangle =_{right} = i\hbar \langle x | x' \rangle = i \hbar \delta (x - x')$$.

Щоб рівність виконувалась, потрібно, щоб

$$\ \langle x | \hat {p}_{x}| x' \rangle = -i\hbar \delta ' (x - x')$$.

Ця рівність є справедливою в тому сенсі, що наші вирази є операторами, які повинні подіяти на функцію. Тому вони є еквівалентними у тому сенсі, що при дії їх на функцію отримується одна й та сама інша функція. Дійсно, оскільки матриця оператора згортається з вектором шляхом сумування (у випадку неперервного набору значень - інтегрування), то інтегруванням по частинам при дії оператора на довільну функцію $$\ \Psi = \langle x | \Psi (x) \rangle $$ можна отримати

$$\ \int \limits_{-\infty }^{\infty}X\delta ' (X)\Psi (X)dX = \delta (X)X\Psi(x)\bigg|_{-\infty}^{\infty} - \int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta (X)(\Psi '(X)X + \Psi (X))dX = |\delta (-\infty) = \delta (\infty) = X\delta (X) = 0| = -\int \limits_{-\infty}^{\infty}\delta (X)\Psi (X)dX$$,

тобто дія оператору лівої частини рівняння-умови на матрицю відповідає дії оператору правої частини.

Дія же матриці $$\ \langle x | \hat {p}_{x}| x' \rangle$$ на довільну функцію $$\ \Psi (x) = \langle x | \Psi \rangle$$ може бути описана через суму

$$\ \sum_{x'}\langle x | \hat {p}_{x}| x' \rangle \langle x' | \Psi \rangle -> -i\hbar \int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{d\delta (x - x')}{dx}\Psi (x')dx' = -i \hbar \frac{d}{dx}\Psi (x) \Rightarrow \hat {p}_{x} = -i \hbar \frac{d}{dx}$$.

Аналогічно - для операторів проекції імпульсу на інші осі.

Можна також знайти власні функції оператора проекції імпульса. Із визначення,

$$\ -i \hbar \frac{d}{dx}\Psi (x) = p\Psi (x) \Rightarrow \Psi (x) = Ce^{\frac{i}{\hbar}(px)}$$.

Константу $$\ C$$ можна знайти з ортогональності скалярного добутку:

$$\ \langle p' | p \rangle = \sum_{x} \langle p' | x \rangle \langle x | p \rangle = \int \Psi^{*}_{p'}(x)\Psi(x)dx = C^{2}\hbar \int e^{i(p - p')x}dx = 2 \pi \hbar C^{2} \delta (p - p') \Rightarrow C = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}}$$.