Сила у СТВ

Повернутися до розділу "Енергія та імпульс у СТВ".

У рамках СТВ загальний вираз для вектора сили дається похідною від вектора імпульсу:

$$\ \mathbf F = \frac{d \mathbf p}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{m \mathbf v}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}) = \frac{m \frac{d \mathbf v}{dt}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} + m \mathbf v \frac{d \mathbf v}{dt}\frac{d}{d \mathbf v}(\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}})}{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} = \frac{m \frac{d \mathbf v}{dt}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} + \frac{m \mathbf v (\mathbf v \cdot \frac{d \mathbf v}{dt})}{c^{2}(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} \qquad (.0)$$.

Для величини $$\ \frac{d \mathbf v}{dt}$$ не вводиться ніякого позначення, оскільки у релятивістській фізиці, як видно із $$\ (.0)$$, вона не може бути названою прискоренням, виходячи із визначення сили як $$\ \mathbf F = m \mathbf a$$.

Сила, як 3-вектор, не є інваріантною у рамках СТВ. Для визначення закону зв'язку векторів сили відносно спостерігачів у ІСВ $$\ K, K'$$ для сили, вектор якої співнапрямлений з вектором відносної швидкості ІСВ (який задає вісь $$\ O_{x}$$), треба послідовно знайти диференціали

$$\ dE' = \frac{dE - dp_{x}u}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad dp_{x}' = \frac{dp_{x} - \frac{dE u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (.1)$$.

Для початку, похідна від енергії по часу рівна

$$\ \frac{dE}{dt} = (\mathbf F \cdot \mathbf v)$$.

Дійсно,

$$\ \frac{dE}{dt} = \frac{d \mathbf v}{dt} \frac{d}{d \mathbf v} \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{d \mathbf v}{dt} \frac{m \mathbf v}{(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} = \frac{d \mathbf v}{dt} \frac{m \mathbf v - m \mathbf v \frac{v^{2}}{c^{2}} + m \mathbf v \frac{v^{2}}{c^{2}}}{(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} = \frac{m (\mathbf v \cdot \mathbf a)}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} + \frac{m v^{2} (\mathbf v \cdot \mathbf a)}{c^{2}(1 - \frac{v^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} = (\mathbf F \cdot \mathbf v)$$.

Далі треба знайти власний час частинки, інваріантний відносно будь-якої ІСВ. В принципі, вираз для нього уже був отриманий при аналізі інтервалу причинно пов'язаних подій, але доцільно буде отримати інше виведення. Для цього можна записати перетворення Лоренца для часу:

$$\ \sqrt{1 - \frac{v{'}^{2}}{c^{2}} }dt{'} = \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt \qquad (2)$$.

Цей вираз слідує із доведеного раніше виразу про зв'язок між швидкостями у різних ІСВ та перетворень Лоренца для часу:

$$\ \sqrt{1 - \frac{v{'}^{2}}{c^{2}}} = \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \frac{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{uv_{x}}{c^{2}}} \Rightarrow \left|dt' = \gamma \left(1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}}\right)\right| \Rightarrow \sqrt{1 - \frac{v{'}^{2}}{c^{2}}} dt{'} = \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt $$.

Якщо розділити $$\ (1) $$ на $$\ (2) $$, можна буде отримати перетворення Лоренца для компонент 3-сили:

$$\ \frac{(\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) - F_{x}u}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$,

$$\ \frac{F_{x}'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{F_{x} - \frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v) u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$.

Векторними перетвореннями сили при переході між ІСВ є, аналогічно до перетворень вектора швидкості як похідній по часу від перетворень радіус-вектора, похідна по власному часу від виразу перетворення вектора імпульсу:

$$\ \frac{d \mathbf p'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}dt'} = \frac{d \mathbf p - \gamma \frac{\mathbf u dE}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot d \mathbf p)}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} \Rightarrow \frac{\mathbf F'}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\mathbf F - \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F \cdot \mathbf v)}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F)}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} $$.

Обернене перетворення має наступний вигляд:

$$\ \frac{\mathbf F}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\mathbf F' + \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}} \Rightarrow \left| \frac{\sqrt{1 - \frac{v'^{2}}{c^{2}}}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf u)}{c^{2}}} \right| \Rightarrow \frac{\mathbf F \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf u)}{c^{2}}} = \mathbf F' + \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}}$$.

Аналогічно з інтервалом та 4-вектором енергії-імпульсу, для сили є власний 4-вектор з компонентами, які отримуються шляхом диференціювання компонент 4-вектора енергії-імпульса по власному часу:

$$\ f^{\mu} = \frac{dp^{\mu}}{d\tau} = \frac{dp^{\mu}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} = \frac{(\frac{dE}{c}, dp_{x}, dp_{y}, dp_{z})}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}dt} = \left(\frac{(\mathbf F \cdot \mathbf v)}{c\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \frac{F_{x}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \frac{F_{y}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}, \quad \frac{F_{z}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)$$.