Лагранжів формалізм. Доведення

Доведення 1
Вираз для дії вільного ЕМ поля.

Можна розписати згортку $$\ F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = (\partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial^{\beta}A^{\alpha}) = \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha} - \partial_{\beta}A_{\alpha}\partial^{\alpha}A^{\beta} + \partial_{\beta}A_{\alpha}\partial^{\beta}A^{\alpha}$$.

Оскільки згортка призводить до скалярного виразу, то всі індекси - сумаційні. Через це їх можна перепозначити довільною буквою. Якщо у третьому та четвертому доданках перепозначити індекси $$\ \alpha, \beta$$, то вийде

$$\ F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = (\partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta}A_{\alpha})(\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial^{\beta}A^{\alpha}) = \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha} + \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} = 2\left( \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha}\right)$$.

Отже,

$$\ L = - \frac{1}{c}A^{\alpha}j_{\alpha} -\frac{1}{16 \pi c}F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = - \frac{1}{c^{2}}A^{\alpha}j_{\alpha} -\frac{1}{8 \pi c}\left( \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\alpha}A^{\beta} - \partial_{\alpha}A_{\beta}\partial^{\beta}A^{\alpha}\right)$$.

В принципі, константу $$\ b$$ можна було б покласти рівною нулю, оскільки при використанні калібровки Лоренца величини, що стоять при ній, не грають ніякої ролі у визначенні напруженості та індукції полів, а отже, вклад цієї величини для класичної електродинаміки є лише у функцію Лагранжа. Проте цей доданок фігурує у лагранжіані, щоб мати можливість обирати довільне калібрування в отриманих (вирази $$\ (2), (3)$$ у посиланні) у статті "Електродинаміка" рівняннях поля.

Перший доданок у $$\ (.1)$$ обрано із множником $$\ -\frac{1}{c}$$, щоб він повністю відповідав польовому вкладу у дію для частинки у електромагнітному полі (і в функцію Лагранжа). Дійсно,

$$\ -\frac{1}{c}\int A_{\alpha}j^{\alpha}d^{4}x = -\frac{q}{c}\int A_{\alpha}\frac{dx^{\alpha}}{cdt}\delta (\mathbf r - \mathbf r_{0}(t) )cdt d^{3}\mathbf x = -\frac{q}{c}A_{\alpha}x^{\alpha}dt$$,

де дельта-функція згортає інтеграл по об'єму так, що $$\ \mathbf A (\mathbf r, t) -> \mathbf A (\mathbf r_{0}(t), t)$$.

Отже, тоді сумарна дія для зарядів і поля буде рівною

$$\ S = -mc^{2}\int ds - \frac{q}{c}\int A_{\alpha}dx^{\alpha} - \frac{1}{16 \pi c}\int F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta}d^{4}x$$.

За такої дії відразу враховується принцип самоузгодженого поля.