Закон збереження повних енергії та імпульсу частинок і поля

Повернутися до розділу "Тензор енергії-імпульсу".

Закон збереження сумарного тензору енергії-імпульсу
Із останнього доведеного у попередньому підрозділі виразу видно, що при наявності заряджених частинок у просторі-часі ($$\ j^{\alpha} \neq 0$$), для якого записаний тензор енергії-імпульсу електромагнітного поля, тензор енергії-імпульсу поля не зберігається у сенсі рівності нулю 4-дивергенції від нього. Проте зберігається сума тензорів енергії-імпульсу поля та частинок. Дійсно, оскільки, із щойно доведеного,

$$\ \partial_{\beta}T^{\alpha \beta} = -j_{\beta}F^{\alpha \beta}$$,

а у підрозділі про тензор енергії-імпульсу для частинок було доведено, що

$$\ \partial_{\beta}\Tau^{\alpha \beta} = j_{\beta}F^{\alpha \beta}$$,

очевидно, що їх сума є інваріантом і зберігається. Це і відповідає збереженню сумарної енергії та імпульсу поля і частинок та виражає принцип самоузгодженого поля, у якому частинки взаємодіють із полем, і навпаки. Звичайно, все це стосується і релятивістського поля будь-якої природи. У подальшому в даній статті (у розділі Застосування теореми Нетер) буде доведене твердження про зв'язок між збереженням сумарного енергії-імпульсу та однорідності простору-часу.

Інтегральне представлення 4-імпульсу через тензор моменту-імпульсу
Через тензор енергії-імпульсу можна визначити повні імпульс та енергію системи за формулами

$$\ p^{\mu} = \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{t = const}} T^{\mu 0}d^{3}\mathbf r, \quad \partial_{0}P^{\mu} = \frac{1}{c}\int \partial_{0}T^{\mu 0}d^{3}\mathbf r = 0$$,

де інтегрування відбувається по всьому 3-простору при $$\ t = const$$ (по гіперповерхні $$\ \Sigma_{t = const}$$), а величина зправа не залежить від вибору моменту часу $$\ t = const$$ і є 4-вектором відносно перетворень Лоренца. Доведення цього твердження є нетривіальним, оскільки неочевидно, по-перше, що інтегрування не залежить від вибору гіперповерхні інтегрування, а по-друге, величина зправа на перший погляд перетворюється не як 4-вектор. Без закону $$\ \partial^{\mu}T_{\mu \nu} = 0$$ твердження було б невірним, і зараз я продемонструю, чому.

Отже, нехай є 4-вектор (за побудовою)

$$\ P^{\mu} = \frac{1}{c}\int_{\Sigma} T^{\mu \nu}dS_{\nu}, \quad \partial_{\mu}T^{\mu \nu} = 0 \qquad (1)$$,

де інтегрування проводиться по деякій просторовоподібній гіперповерхні $$\ \Sigma $$ (що означає, що вектор нормалі до гіперповерхні є часоподібним у всіх точках), яка охоплює весь тривимірний простір. Спершу можна показати, що цей 4-вектор не залежить від вибору гіперповерхні інтегрування. Для цього треба сформулювати умову незалежністі. Нехай поверхня $$\ \Sigma $$ після деформації перейшла у $$\ \Sigma{'}$$, причому об'єм $$\ \Omega (x)$$, що знаходиться між $$\ \Sigma, \Sigma {'}$$, є дуже малим (в сенсі застосування теореми про середнє). Інтеграл $$\ \frac{1}{c}\int_{\Sigma} T^{\mu \nu}dS_{\nu}$$ є функціоналом від $$\ \Sigma $$, $$\ p^{\mu} = F[\Sigma ]$$. Тому умова незалежності виразу $$\ (1)$$ від вибору гіперповерхні може бути сформульована як

$$\ \frac{\delta F [\Sigma ]}{\delta \Sigma (x)} = 0 \qquad (2)$$.

Використавши $$\ (1)$$, у лівій частині $$\ (2)$$ можна отримати

$$\ \frac{\delta F [\Sigma ]}{\delta \Sigma (x)} = \frac{1}{c}\frac{\delta }{\delta \Sigma (x)}\int_{\Sigma} T^{\mu \nu}dS_{\nu} = \frac{1}{c}\lim_{\Omega (x) \to 0}\frac{\int_{\Sigma {'}}T^{\mu \nu}dS_{\nu} - \int_{\Sigma }T^{\mu \nu}dS_{\nu}}{\Omega (x)} = \frac{1}{c}\lim_{\Omega (x) \to 0} \frac{\oint_{\Sigma }T^{\mu \nu}dS_{\nu}}{\Omega (x)}$$.

Застосувавши у цьому виразі теорему Стокса і теорему про середнє, можна отримати

$$\ \frac{\delta F [\Sigma ]}{\delta \Sigma (x)} = \frac{1}{c} \lim_{\Omega (x) \to 0} \frac{\int \partial_{\nu}T^{\mu \nu} d^{4}\Omega }{\Omega (x)} = \frac{1}{c}\partial_{\nu}T^{\mu \nu} = 0$$.

Отже, вибір гіперповерхні не впливає на величину $$\ p^{\mu}$$ саме через наявність диференціального закону збереження. Тому у деякій фіксованій системі відліку без "втрати загальності" можна взяти гіперповерхню $$\ \Sigma_{t = const}$$, і тоді

$$\ p^{\mu} = \frac{1}{c}\int T^{\mu 0}dS_{0} = \frac{1}{c}\int T^{\mu 0}d^{3}\mathbf r \qquad (3)$$.

Отже, величина $$\ (3)$$ є 4-вектором, оскільки вона повністю еквівалентна інтегралу $$\ \frac{1}{c}\int T^{\mu \nu}dS_{\nu}$$, який є 4-вектором за побудовою. Тобто, вірним є ланцюжок

$$\ p^{\mu} = \frac{1}{c}\int_{t = const} T^{\mu 0}dS_{0} = \frac{1}{c}\int T^{\mu \nu}dS_{\nu} = \frac{1}{c}\Lambda^{\mu}_{\quad \alpha}\int T^{\alpha \nu}{'}dS{'}_{\nu} = \frac{1}{c}\Lambda^{\mu}_{\quad \alpha} \int_{t = const}T^{\alpha 0}{'}dS{'}_{0} = \Lambda^{\mu}_{\quad \alpha}p{'}^{\alpha}$$.

Доведення на цьому є завершеним.

4-векторність імпульсу. Наочна демонстрація
Цікаво детально продемонструвати, як із незалежності від вибору гіперповерхні інтегрування слідує 4-векторна природа.

Нехай вираз $$\ (1)$$ записано для двох ІСВ (1 і 2), причому у кожній з них відповідна гіперповерхня інтегрування відповідає $$\ t, t' = const$$. Проте якщо записати кожен з інтегралів у одній ІСВ (для визначеності - ІСВ 1), то одна гіперповерхня на графіку $$\ t-x$$ буде відповідати прямій лінії із $$\ t = const$$, а інша буде відповідати прямій, нахиленій під кутом до вісі $$\ Ox$$ (в силу лінійності перетворень Лоренца). Якщо на нескінченності ці дві прямі з'єднати часоподібними гіперповерхнями, то можна буде утворити замкнену гіперповерхню. В результаті можна утворити інтеграл

$$\ \frac{1}{c}\oint T^{\mu \nu}dS_{\nu} = \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{t = const}}T^{\mu \nu}dS_{\nu} - \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{t'}}T^{\mu \nu}dS_{\nu} + \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{\pm \infty}}T^{\mu \nu}dS_{\nu} = \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{t = const}}T^{\mu \nu}dS_{\nu} - \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{t'}}T^{\mu \nu}dS_{\nu} = 0$$,

де знак мінус перед другим доданком останньої рівності стоїть через те, що нормалі до гіперповерхонь є зовнішніми (це обмеження накладається можливістю застосування теореми Стокса). Останній інтеграл другої рівності зануляється для всіх систем, для яких тензор енергії-імпульсу достатньо швидко прямує до нуля на великих відстанях від локалізації системи, а рівність нулю відповідає застосуванню теореми Стокса для першої рівності.

Отже, із цього виразу можна отримати

$$\ \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{t = const}}T^{\mu \nu}dS_{\nu} = \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{t'}}T^{\mu \nu}dS_{\nu} \qquad (4)$$.

Праву частину виразу можна перетворити. Дійсно, якщо врахувати, що матриця перетворення Лоренца не залежить від координат інтегрування, а у ІСВ 2 $$\ t' = const$$, то, враховуючи незалежність підінтегрального виразу від вибору моменту часу, можна отримати

$$\ \int_{\Sigma_{t'}}T^{\mu \nu}dS_{\nu} = \int_{\Sigma_{t' = const}} \Lambda^{\mu}_{\quad \alpha}T{'}^{\alpha \beta}\Lambda_{\beta}^{\quad \nu}\Lambda_{\nu}^{\quad \gamma}dS{'}_{\gamma} = \Lambda^{\mu}_{\quad \alpha} \int T{'}^{\alpha \gamma }dS{'}_{\gamma} = \Lambda^{\mu}_{\quad \alpha}\int T{'}^{\alpha 0}d^{3}\mathbf r{'} $$.

Звідси із $$\ (4)$$ слідує

$$\ p^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\quad \alpha}p{'}^{\alpha}$$,

тобто, величина

$$\ \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{t = const}}T^{\mu 0} d^{3}\mathbf r$$

є 4-вектором.

Висновки
Формулювання $$\ (3)$$ є досить загальним, оскільки може бути застосоване для співставлення інтегралу будь-якій величині, для якої є закон збереження і яка є нулем на нескінченності: $$\ A^{\mu_{1}...\mu_{n}}, \quad \partial^{\mu_{i}}A_{\mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{n}} = 0 \Rightarrow a^{\mu_{1}...\mu_{n - 1}} = \frac{1}{c}\int_{\Sigma_{t = const}} A^{\mu_{1}...0}d^{3}\mathbf r $$,

причому величина-інтеграл перетворюється як тензор рангу на один менше, ніж "материнська" величина, відносно перетворень Лоренца. Для можливості побудови таких інтегральних величин тепер достатньо лише перевірити, чи виконується закон збереження для відповідної "материнської" величини. Наприклад, із закону збереження електромагнітного 4-струму $$\ \partial_{\mu}j^{\mu} = 0$$ слідує, що можна отримати скаляр-інваріант - заряд

$$\ Q = \int j^{\mu}dS_{\mu} = \int j^{0}d^{3}\mathbf r = inv$$.

Подібним чином можна співставити момент імпульсу нетерівському тензору моменту імпульсу. Аналогічно, у більш пізніх розділах (типу рівнянь Клейна-Гордона та Дірака) ці ж міркування будуть призводити до лоренц-інваріантності відповідно заданих норм для хвильових функцій та функцій поля.