Група SU(3)

Повернутися до розділу "Теорія груп".

Використовуючи загальні властивості генераторів

$$\ \hat {U} = \hat {E} + \hat {A}_{i}a_{i} = \hat {E} + \hat {A}$$

груп $$\ SU(n)$$,

$$\ \hat {U}\hat {U}^{+} = \hat {E} \Rightarrow \hat {A}^{+} = -\hat {A}, \quad det \hat {U} = 1 \Rightarrow Tr(\hat {A}) = 0$$,

можна записати явний вигляд генераторів для групи $$\ SU(3)$$. Перша умова визначає відсутність дійсних частин у діагональних компонент генератора $$\ \hat {A}$$ та фіксує вигляд недіагональних компонент $$\ A_{ij} = a_{ij} + ib_{ij}, A_{ji} = -a_{ij} + ib_{ij}$$. Друга умова веде до нульового сліду, $$\ \sum_{i} A_{ii} = 0$$. В результаті можна записати наступний вигляд для матриці $$\ \hat {A}$$:

$$\ \hat {A} = i\begin{vmatrix} a_{3} + a_{8} & a_{1} - ia_{2} & a_{4} - ia_{5} \\ a_{1} + ia_{2} & a_{8} - a_{3} & a_{6} - ia_{7} \\ a_{4} + ia_{5} & a_{6} + ia_{7} & -2a_{8} \end{vmatrix} $$.

Залишається лише розкласти матрицю через $$\ \sum_{i}a_{i}\hat {A}_{i} $$. Отримані матриці $$\ \hat {A}_{i}$$ називаються матрицями Гелл-Манна.

Оператори Казиміра. Сходинкові оператори
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$