Випадок скалярного поля

Спін $$\ 0$$ відповідає представленню $$\ (0, 0)$$ групи Лоренца. В результаті, умова $$\ (.8)$$ для реалізації одночастинкових станів не потрібна, і основним рівнянням на поле є умова $$\ (.7)$$. В сенсі перетворення таке поле відповідає скалярній функції. В плані особливостей розв'язку та квантів поля є два принципово різні варіанти для поля - дійсне та комплексне. Друге поле, як можна було побачити у статті "Теорія поля", відповідає ненульовому нетерівському струму та має відповідну величину, що зберігається - заряд. Нижче розглянуто квантування поля для цих двох випадків.

Лагранжів формалізм
Найпростіше перейти від класичної до релятивістської квантової механіки за допомогою введення полів. Це робиться наступним чином: спочатку розглядається лагранжіан для деякого поля, після цього отримуються вирази для енергії-імпульсу поля та для самого поля, а після цього отримані вирази записуються у термінах операторів.

Наприклад, для скалярного дійсного поля Клейна-Гордона, рівняння для якого у операторному вигляді задовільняють релятивістський зв'язок між енергією-імпульсом для безмасового поля, лагранжіан має вигляд ($$\ c = 1, \quad \frac{\mu}{\hbar} = m$$)

$$\ L = \frac{1}{2}\left( (\partial \varphi )^{2} - m^{2}\varphi^{2}\right)$$.

Тензор енергії-імпульсу має вигляд

$$\ T^{\alpha \beta} = \frac{\partial L}{\partial_{\alpha }\varphi }\partial^{\beta}\varphi - g^{\alpha \beta}L = \partial^{\alpha}\varphi \partial^{\beta}\varphi - \frac{g^{\alpha \beta }}{2}((\partial \varphi )^{2} - m^{2}\varphi^{2})$$,

а отже, енергія $$\ H$$ та імпульс $$\ \mathbf P$$ такого поля рівні

$$\ H = \int T^{00}d^{3}\mathbf r = \int \left[(\partial^{0}\varphi )^{2} - \frac{1}{2}\left((\partial^{0}\varphi )^{2} - (\nabla \varphi )^{2} - m^{2}\varphi^{2}\right)\right]d^{3}\mathbf r = \frac{1}{2}\int \left( \dot \varphi ^{2} + (\nabla \varphi )^{2} + m^{2}\varphi^{2}\right)d^{3}\mathbf r $$,

$$\ \mathbf P = -\int \partial_{0}\varphi \partial_{i}\varphi d^{3}\mathbf r = -\int \dot {\varphi }(\nabla \varphi )d^{3}\mathbf r $$.

Розв'язок рівняння динаміки для поля,

$$\ (\partial^{2} + m^{2})\varphi = (\partial_{0}^{2} - \nabla^{2} + m^{2})\varphi = 0$$,

можна отримати за допомогою перетворення Фур'є по просторовій координаті:

$$\ \varphi (\mathbf k, t) = \int \varphi (\mathbf r , t)e^{i (\mathbf k \cdot \mathbf r )}d^{3}\mathbf r$$.

Дійсно, після підстановки перетворення у рівняння динаміки можна отримати

$$\ \partial_{0}^{2}\varphi + (m^{2} + k^{2})\varphi = 0 \Rightarrow \varphi = {a_{1}}_{\mathbf k }e^{i\sqrt{m^{2} + k^{2}}t} + {a_{2}}_{\mathbf k}^{*}e^{-i\sqrt{m^{2} + k^{2}}t}$$.

Тоді, виконуючи обернене перетворення Фур'є, можна отримати

$$\ \varphi (\mathbf r, t) = \int \left( {a_{1}}_{\mathbf k}e^{i(\sqrt{m^{2} + k^{2}}t - (\mathbf k \cdot \mathbf r))} + {a_{2}}_{\mathbf k}e^{-i(\sqrt{m^{2} + k^{2}}t + (\mathbf k \cdot \mathbf r))}\right)\frac{d^{3}\mathbf k}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}} = \int \left( {a_{1}}_{\mathbf k}e^{i kx} + {a_{2}}_{\mathbf k}e^{-i(\sqrt{m^{2} + k^{2}}t + (\mathbf k \cdot \mathbf r))}\right)\frac{d^{3}\mathbf k}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}}$$,

де у першому доданку $$\ kx = \epsilon_{\mathbf k} t - (\mathbf k \cdot \mathbf r ), \epsilon_{\mathbf k} = \sqrt{k^{2} + m^{2}}$$.

Якщо розглянути окремо другий доданок, зробивши заміну $$\ \mathbf k \to - \mathbf k$$, то, в силу симетричності меж інтегрування, вони не зміняться, вираз-степінь експоненти можна буде записати у вигляді $$\ -ipx$$, а амплітудний множник $$\ {a_{2}}_{\mathbf k}$$ перейде в $$\ {a_{2}}_{-\mathbf k}$$, тому, в силу дійсності шуканого поля, він буде рівен спряженому першому амплітудному множнику: $$\ {a_{2}}_{-\mathbf k} = {a_{1}}^{*}_{\mathbf k} = a^{*}_{\mathbf k}$$.

Отже,

$$\ \varphi (\mathbf r, t) = \int \left( a_{\mathbf k}^{*}e^{ikx} + a_{\mathbf k}e^{-ikx} \right)\frac{d^{3}\mathbf k}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}} = \int \left( b_{\mathbf k}^{*}e^{ikx} + b_{\mathbf k}e^{-ikx}\right)\frac{d^{3}\mathbf k}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k}}}$$,

де перехід $$\ a = \frac{b}{\sqrt{2 \epsilon}}$$ виконаний з міркувань нормування (буде показано на прикладі отримання виразів для енергії та імпульсу нижче).

Тепер можна записати енергію та імпульс у "явному" вигляді:

$$\ \mathbf P = \frac{1}{2}\int \mathbf k \left(b_{\mathbf k}b_{\mathbf k}^{*} + b_{\mathbf k}^{*} b_{\mathbf k} \right)d^{3}\mathbf k, \quad H = \frac{1}{2}\int \epsilon_{\mathbf k}\left( b_{\mathbf k}b_{\mathbf k}^{*} + b_{\mathbf k}^{*}b_{\mathbf k}\right) d^{3}\mathbf k$$.

Квантування поля
Перехід до квантової теорії здійснюється за допомогою переходу від фізичних величин до їх операторів. Таким чином, імпульс і енергія стають операторами. Оскільки, далі, енергія та імпульс залежать від амплітуд, то самі амплітуда стають операторами, і тоді отримані вирази мають вигляд

$$\ \hat {\mathbf P} = \frac{1}{2}\int \mathbf k \left(\hat {b}_{\mathbf k}\hat {b}_{\mathbf k}^{+} + \hat {b}_{\mathbf k}^{+} \hat {b}_{\mathbf k} \right)d^{3}\mathbf k, \quad \hat {H} = \frac{1}{2}\int \epsilon_{\mathbf k}\left( \hat {b}_{\mathbf k}\hat {b}_{\mathbf k}^{+} + \hat {b}_{\mathbf k}^{+} \hat {b}_{\mathbf k}\right) d^{3}\mathbf k$$.

Отже, у квантовій теорії поля польова функція $$\ \varphi (\mathbf r, t)$$ стає оператором $$\ \hat {\varphi } (\mathbf r , t)$$. Це - множина операторів, які нумеруються за допомогою різних значень $$\ \mathbf r$$ і які залежать від часу.

Залишається накласти на оператори амплітуд комутаційні співвідношення. Для подальших викладок треба знайти вираз для комутатора

$$\ [\hat {b}_{\mathbf k}, \hat {b}_{\mathbf K}]$$.

Для цього треба отримати вираз для комутатора

$$\ [\hat {\varphi }(\mathbf r, t) , \hat {\dot {\varphi }} (\mathbf x , t) ] = [\hat {\varphi }(\mathbf r ,  t) , \hat { \pi} (\mathbf x , t) ]$$.

Це можна зробити, користуючись аналогією із нерелятивістською квантовою механікою. У лагранжевій механіці

$$\ p_{i} = \frac{\partial L }{\partial \dot {x}_{i}} = m \dot {x}_{i}$$,

а у досліджуваній теорії скалярного поля

$$\ \frac{\partial L}{\partial \dot {\varphi }} = \dot {\varphi } = \pi$$.

Тому, роблячи заміну

$$\ \delta_{ij} \to \delta (\mathbf r - \mathbf x ), \quad \hat {x} \to \hat {\varphi }, \quad \hat {p} \to \hat {\pi }$$,

із принципу невизначеності можна отримати

$$\ [\hat {\varphi }(\mathbf r, t) , \hat { \pi} (\mathbf x , t) ] = i\hbar \delta (\mathbf r - \mathbf x), \quad [\hat {\varphi }(\mathbf r ,  t), \hat {\varphi }(\mathbf x ,  t)  ] = [\hat {\pi }(\mathbf r ,  t), \hat {\pi }(\mathbf x ,  t)  ] = 0$$.

Тепер можна отримати правило комутації для амплітуд:

$$\ [\hat {b}_{\mathbf k}, \hat {b}_{\mathbf K}^{+}] = \hbar \delta (\mathbf k - \mathbf K ), \quad [\hat {b}_{\mathbf k}, \hat {b}_{\mathbf K}] = [\hat {b}_{\mathbf k}^{+}, \hat {b}_{\mathbf K}^{+}] = 0$$.

При використанні отриманих комутаційних співвідношень вирази операторів енергії-імпульсу набудуть вигляду

$$\ \hat {\mathbf P} = \frac{1}{2}\int \mathbf k \left(\hat {b}_{\mathbf k}\hat {b}_{\mathbf k}^{+} + \hat {b}_{\mathbf k}^{+} \hat {b}_{\mathbf k} \right)d^{3}\mathbf k = \int \mathbf k \hat {b}_{\mathbf k}^{+} \hat {b}_{\mathbf k} d^{3}\mathbf k + \hbar \int \mathbf k \delta (0)d^{3}\mathbf k, \quad \hat {H} = \int \epsilon_{\mathbf k}\hat {b}_{\mathbf k}^{+} \hat {b}_{\mathbf k}d^{3}\mathbf k + \hbar \int \epsilon_{\mathbf k}\delta (0) d^{3}\mathbf k$$.

Другі доданки - нескінченні, проте ними можна знехтувати, оскільки енергія-імпульс поля (якщо поле - вільне!) відраховуються від деякого нульового значення, яке можна вибрати довільним чином.

Можна встановити фізичний зміст операторів-амплітуд. Для цього треба, користуючись комутаційними співвідношеннями для операторів амплітуд, визначити комутатори оператора енергії та операторів амплітуд:

$$\ [\hat {H}, \hat {b}_{\mathbf p}^{+} ] = \int \epsilon_{\mathbf k}[\hat {b}_{\mathbf k}^{+}\hat {b}_{\mathbf k}, \hat {b}_{\mathbf p}^{+}]d^{3}\mathbf k = \int \epsilon_{\mathbf k}\hat {b}_{\mathbf k }^{+}[\hat {b}_{\mathbf k }, \hat {b}_{\mathbf p}^{+}] d^{3}\mathbf k = \int \epsilon_{\mathbf k}\hat {b}_{\mathbf k }^{+}\hbar \delta (\mathbf p - \mathbf k) d^{3}\mathbf k = \epsilon_{\mathbf p }\hbar \hat {b}_{\mathbf p}^{+}$$.

Аналогічно,

$$\ [\hat {H}, \hat {b}_{\mathbf p }] = -\epsilon_{\mathbf p}\hbar \hat {b}_{\mathbf p }$$.

Тепер цим же комутатором можна подіяти на власний вектор оператору енергії, $$\ \hat {H}| E\rangle = E|E \rangle $$, розписавши спочатку комутатор у явному вигляді, а після використавши отриманий вираз для комутатора:

$$\ (\hat {H}\hat {b}_{\mathbf p}^{+} - \hat {b}_{\mathbf p}^{+}\hat {H})|E\rangle = (\hat {H} - E)\hat {b}_{\mathbf p }^{+}|E\rangle =_{right} = \epsilon_{\mathbf p}\hbar \hat {b}_{\mathbf p }^{+}|E\rangle \Rightarrow \hat {H}\hat {b}_{\mathbf p }^{+}|E\rangle = (E + \epsilon \hbar )\hat {b}_{\mathbf p }^{+}|E\rangle = (E + \epsilon_{0} )\hat {b}_{\mathbf p }^{+}|E\rangle $$,

і

$$\ \hat {H}\hat {b}_{\mathbf p }|E\rangle = (E - \epsilon_{0} )\hat {b}_{\mathbf p }|E\rangle$$.

Аналогічно - з імпульсом:

$$\ [\hat {\mathbf P}, \hat {b}_{\mathbf p }^{+}] = \mathbf p \hbar \hat {b}_{\mathbf p}^{+}, \quad [\hat {\mathbf P}, \hat {b}_{\mathbf p }] = -\mathbf p \hbar \hat {b}_{\mathbf p}$$,

$$\ \hat {\mathbf P}\hat {b}_{\mathbf p }^{+}|\mathbf P\rangle = ( \mathbf P + \mathbf p \hbar )\hat {b}_{\mathbf p }^{+}|\mathbf P \rangle = ( \mathbf P + \mathbf p_{0} )\hat {b}_{\mathbf p }^{+}|\mathbf P \rangle $$,

$$\ \hat {\mathbf P}\hat {b}_{\mathbf p }|\mathbf P\rangle = ( \mathbf P - \mathbf p_{0} )\hat {b}_{\mathbf p }|\mathbf P \rangle$$.

Звідси слідує, що при дії оператора амплітуди власний вектор-стан енергії переходить у новий стан, що відповідає енергії, змешненій на $$\ \epsilon_{0}$$ (при дії спряженого оператора - навпаки), а вектор-стан імпульсу - у стан, що відповідає імпульсу, збільшеному на $$\ \mathbf p_{0}$$. Відповідно до цього видний фізичний зміст - зникає або народжується частинка, що має енергію-імпульс $$\ \varepsilon_{0}, \mathbf p_{0}$$. Тому ці оператори називаються відповідно операторами знищення і народження частинок.

Оператори імпульсу та енергії комутують:

$$\ [\hat {H}, \hat {\mathbf P }] = [\int \epsilon_{\mathbf k}\hat {b}_{\mathbf k}^{+}\hat {b}_{\mathbf k}d^{3}\mathbf k , \int \mathbf p \hat {b}_{\mathbf p }^{+}\hat {b}_{\mathbf p} d^{3}\mathbf p] = \int ( \int \mathbf p \epsilon_{\mathbf k} [\hat {b}_{\mathbf k}^{+}\hat {b}_{\mathbf k} , \hat {b}_{\mathbf p}^{+}\hat {b}_{\mathbf p}] d^{3}\mathbf p )d^{3}\mathbf k = \int \int \epsilon_{\mathbf k }\mathbf p \left( \hat {b}_{\mathbf k}^{+}\hbar \delta (\mathbf k - \mathbf p )\hat {b}_{\mathbf p } - \hat {b}_{\mathbf p }^{+}\hbar \delta (\mathbf k - \mathbf p)\hat {b}_{\mathbf k }\right) d^{3 }\mathbf p d^{3}\mathbf k = 0$$.

Це означає, що їх власні вектори співпадають. Тому стан, що відповідає найнижчій енергії, відповідає і стану з найнижчим імпульсом. Такий стан називається вакуумом, $$\ | \rangle$$. Оскільки, за визначенням, енергію вакууму зменшити не можна, то дія на такий стан оператору знищення не призводить до нових станів:

$$\ \hat {b}_{\mathbf p }| \rangle = 0$$.

Відповідно,

$$\ \hat {H}| \rangle = 0$$.

Таким чином, вакуум відповідає нульовій енергії системи.

Якщо подіяти на нульовий стан оператором народження, то можна буде отримати одночастинковий стан з деякими визначеними імпульсом та енергією"

$$\ \hat {b}_{\mathbf p}^{+}|\rangle = |\mathbf P \rangle $$.

При повторній дії оператора народження можна отримати двочастинковий стан,

$$ \hat {b}_{\mathbf k}^{+}\hat {b}_{\mathbf p}^{+}|\rangle = | \mathbf k, \mathbf p \rangle$$,

причому, в силу комутації цих двох операторів народження,

$$\ | \mathbf k, \mathbf p \rangle = | \mathbf p , \mathbf k \rangle$$,

тобто, стан системи не змінюється при перестановці частинок. Така тотожність частинок відповідає статистиці Бозе, а частинки - бозонами.

Перестановочні співвідношення для довільних моментів часу
Отже, нехай є проквантоване дійсне скалярне поле (повністю аналогічні, втім, викладки для комплексного поля):

$$\ \hat {\varphi} (\mathbf x, t) = \int \left( \hat {c}^{+}_{\mathbf p} e^{-ipx} + \hat {c}_{\mathbf p} e^{ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{2 \epsilon_{\mathbf p} (2 \pi )^{3}}}$$.

Побудуємо тепер комутатор поля самого з собою, проте поле береться у різні моменти часу. Оскільки оператори народження та знищення не залежать від часу, то їх комутаційні співвідношення залишаються незмінними. Тому

$$\ [\hat {\varphi} (\mathbf x, t), \hat {\varphi} (\mathbf y, t')] = \int \int \frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{2(2 \pi )^{3} \sqrt{\varepsilon_{\mathbf p} \varepsilon_{\mathbf k}}}\left[\left( \hat {c}^{+}_{\mathbf p} e^{ipx} + \hat {c}_{\mathbf p} e^{-ipx}\right), \left( \hat {c}^{+}_{\mathbf k} e^{iky} + \hat {c}_{\mathbf k} e^{-iky}\right)\right] = $$

$$\ = \int \int \frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{2(2 \pi )^{3} \sqrt{\varepsilon_{\mathbf p} \varepsilon_{\mathbf k}}}\left( -\delta (\mathbf p - \mathbf k ) e^{i(px - ky)} + \delta (\mathbf p - \mathbf k )e^{-i(px - ky)}\right) = \int \left(e^{-i\epsilon_{\mathbf p}(t - t') + i (\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y ))} - e^{i\epsilon_{\mathbf p} (t - t') - i (\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y ))} \right) \frac{d^{3}\mathbf p}{2 (2 \pi )^{3} \epsilon_{\mathbf p}} = $$

$$\ = -i\int \frac{sin\left(\epsilon_{\mathbf p}(t - t')\right)}{\epsilon_{\mathbf p}}\frac{e^{i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y ))}d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}} = -iD_{0}(\mathbf x - \mathbf y, t - t') \qquad (1)$$,

де у передостанній рівності була зроблена заміна $$\ \mathbf p \to -\mathbf p$$ для другого доданку.

Для моментів $$\ t = t'$$ співвідношення $$\ (1)$$ дає нуль. Дійсно,

$$\ \lim_{t \to t'}D_{0}(\mathbf x - \mathbf y, t - t') = 0$$.

Аналогічно можна знайти комутаційні співвідношення для $$\ [\hat {\pi}(\mathbf x, t) , \hat {\pi} (\mathbf y , t')], [\hat {\varphi}(\mathbf x , t) , \hat {\pi} (\mathbf y , t')]$$. Дійсно, очевидно, що вони будуть відрізнятися лише похідними по часу від $$\ D_{0}$$:

$$\ [\hat {\pi}(\mathbf x, t) , \hat {\pi} (\mathbf y , t')] = -i\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial t'}D_{0}(\mathbf x - \mathbf y, t - t'), \quad \lim_{t \to t' } \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial t'}D_{0}(\mathbf x - \mathbf y, t - t') = 0$$,

$$\ [\hat {\varphi}(\mathbf x, t) , \hat {\pi} (\mathbf y , t')] = -i\frac{\partial}{\partial t'}D_{0}(\mathbf x - \mathbf y, t - t'), \quad \lim_{t \to t' } \frac{\partial}{\partial t'}D_{0}(\mathbf x - \mathbf y, t - t') = \int e^{i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y))}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}} = \delta (\mathbf x - \mathbf y)$$.