Тензор енергії-імпульсу для поля

У електродинаміці функція Лагранжа для поля задається через компоненти 4-потенціалу $$\ A_{\gamma}$$: $$\ L = L(A_{\gamma}, \partial_{\alpha} A_{\gamma})$$ (наведене дуже просто узагальнюється: для довільного поля замість $$\ A_{\gamma}$$ стоїть деяка функція даного поля). Якщо взяти повну похідну від функції Лагранжа, то, з урахуванням наведеної залежності, можна отримати, що

$$\ \partial_{\beta}L = \frac{\partial L}{\partial A_{\gamma}}\partial_{\beta}A_{\gamma} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha} A_{\gamma})}\partial_{\beta}(\partial_{\alpha}A_{\gamma}) $$.

Використовуючи рівняння Лагранжа для поля у першому доданку,

$$\ \frac{\partial L}{\partial A_{\gamma}} = \partial_{\alpha}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha} A_{\gamma})}\right)$$,

та переставляючи похідні у другому доданку, $$\ \partial_{\alpha}\partial_{\beta} = \partial_{\beta}\partial_{\alpha}$$,

можна отримати:

$$\ \partial_{\beta}L = \partial_{\alpha}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha} A_{\gamma})}\right) \partial_{\beta}A_{\gamma} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha} A_{\gamma})}\partial_{\alpha}\partial_{\beta}A_{\gamma} = \partial_{\alpha}\left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha} A_{\gamma})}\partial_{\beta}A_{\gamma}\right)$$.

Вираз же $$\ \partial_{\beta}L$$ можна переписати як $$\ \partial_{\alpha}(\delta^{\alpha}_{\beta}L), \delta^{\alpha}_{\beta}$$ - символ Кронекера.

Отже,

$$\ \partial_{\alpha} (\delta^{\alpha}_{\beta}L) = \partial_{\alpha}\left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha} A_{\gamma})}\partial_{\beta}A_{\gamma}\right) \Rightarrow \partial_{\alpha}T^{\alpha}_{\beta} = 0 \qquad (.1)$$,

де

$$\ T^{\alpha}_{\beta} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha} A_{\gamma})}\partial_{\beta}A_{\gamma} - \delta^{\alpha}_{\beta}L$$,

є тензором, одними з компонент якого є енергія-імпульс поля.

Безпосереднє обГрунтування цього твердження буде наведене у розділі про теорему Нетер, а зараз же можна скористатися наочною аргументацією.

Нехай є функція Лагранжа пробної частинки у стаціонарному полі, потенціали поля якого не залежать від часу. Це означає, що функція Лагранжа є функцією лише від просторових координат. Тоді, за умовою,

$$\ \frac{\partial L}{\partial t} = \frac{\partial L}{\partial \mathbf r}\frac{\partial \mathbf r}{\partial t} + \frac{\partial L}{\partial \mathbf v}\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} = \left| \frac{\partial L}{\partial \mathbf r} = \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf v}\right)\right| = \frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial L}{\partial \mathbf v}\right)\mathbf v + \frac{\partial L}{\partial \mathbf v}\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} = \frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{\partial L}{\partial \mathbf v}\mathbf v\right) \Rightarrow \frac{\partial L}{\partial \mathbf v}\mathbf v - L = const$$.

Дана величина називається узагальненою енергією частинки. Похідна функції Лагранжа по швидкості називається узагальненим імпульсом частинки.

По формі тензор у виразі $$\ (.1)$$ відповідає узагальненій енергії частинки. Звідси його й називають тензором енергії-імпульсу. Окрім того, можна визначити, користуючись законами збереження енергії та імпульсу, отриманими у статті "Електродинаміка", що його $$\ 0i$$-ті компоненти відповідають густинам енергії та потоку енергії.

Рівняння $$\ (.1)$$ є аналогом рівняння неперервності. Дійсно,

$$\ \partial_{\alpha}T^{\alpha \beta} = \frac{\partial T^{0 \beta}}{\partial t} + \nabla_{j}T^{j \beta} = 0$$.

З його явного вигляду видно, що компоненти $$\ T^{0 \beta}$$ зберігаються у часі в деякому об'ємі, якщо потік деяких величин $$\ T^{j \beta}$$ через поверхню, що обмежує даний об'єм, рівен нулю.

Тепер можна знайти явний вигляд тензора енергії-імпульсу електромагнітного поля у випадку відсутності частинок:

$$\ T^{\alpha \beta} = -\frac{F^{\alpha \gamma}}{4 \pi c}\partial^{\beta}A_{\gamma} + \frac{g^{\alpha \beta}}{16 \pi c}F_{\varepsilon \delta}F^{\varepsilon \delta}$$.

Вигляд тензору за умови $$\ j_{\alpha} = 0$$ можна звести до симетричної форми. Можна відняти від нього величину

$$\ \frac{1}{4 \pi c}\partial_{\gamma}(F^{\gamma \alpha} A^{\beta}) = |\partial_{\gamma}F^{\gamma \alpha } = 4 \pi j^{\alpha} = 0| = \frac{1}{4 \pi c}F^{\gamma \alpha}\partial_{\gamma} A^{\beta}$$.

Коваріантна похідна від цієї функції тотожньо рівна нулю, оскільки відбувається згортка симетричного тензора похідних та антисиметричного тензора напруженості поля. $$\ T^{\alpha \beta} = -\frac{F^{\alpha \gamma }}{4 \pi c}\partial^{\beta}A_{\gamma} + \frac{g^{\alpha \beta}}{16 \pi c}F_{\varepsilon \delta}F^{\varepsilon \delta} - \frac{1}{4 \pi c}\partial_{\gamma}(F^{\alpha \gamma} A^{\beta}) = -\frac{1}{ 4 \pi c}\left( F^{\alpha \gamma }\partial^{\beta}A_{\gamma} + (\partial_{\gamma}F^{\gamma \alpha})A^{\beta} + F^{\gamma \alpha}\partial_{\gamma}A^{\beta}\right) + \frac{g^{\alpha \beta}}{16 \pi c}F_{\varepsilon \delta}F^{\varepsilon \delta} = |\quad F^{\gamma \alpha} = -F^{\alpha \gamma}| = $$

$$\ -\frac{1}{4 \pi c}\left( F^{\alpha \gamma }\partial^{\beta}A_{\gamma} - F^{\alpha \gamma}\partial_{\gamma}A^{\beta}\right) + \frac{g^{\alpha \beta}}{16 \pi c}F_{\varepsilon \delta}F^{\varepsilon \delta} = -\frac{1}{4 \pi c}F^{\alpha \gamma}F^{\beta}_{\gamma} + \frac{g^{\alpha \beta}}{16 \pi c}F_{\varepsilon \delta}F^{\varepsilon \delta} = -\frac{1}{4 \pi c}F^{\alpha \mu}F^{\nu \beta}g_{\mu \nu} + \frac{g^{\alpha \beta}}{16 \pi c}F_{\varepsilon \delta}F^{\varepsilon \delta}$$.

У такому вигляді тензор залежить лише від напруженості та індуктивності полів, оскільки від є функцією лише від тензору напруженості. Такий запис одразу є калібрувально інваріантним, оскільки будь-який перехід $$\ A_{\gamma} -> A_{\gamma} + \partial_{\gamma}f(\mathbf r)$$ не змінює тензор напруженості $$\ \partial_{\alpha}A_{\beta} - \partial_{\beta}A_{\alpha}$$.

Не зайвим буде також довести рівність

$$\ \partial_{\alpha}T^{\alpha}_{\beta} = j^{\gamma}F_{ \beta \gamma}$$, фізичний зміст якої наведений у наступному розділі.