Матричні перетворення Лоренца

Повернутися до розділу "Тензори у СТВ".

Оскільки перетворення Лоренца - лінійні, то їх дію на 4-вектор можна записати у матричному вигляді. Використовуючи перетворення Лоренца для нульової та просторової компоненти 4-вектора,

$$\ \mathbf A ' = \mathbf A + \frac{\Gamma \mathbf u}{c^{2}}(\mathbf A \cdot \mathbf u) - \frac{\gamma }{c}\mathbf u A_{0}, \quad A_{0}' = \gamma \left( A_{0} - \frac{(\mathbf A \cdot \mathbf u)}{c} \right) \qquad (.1) $$,

та вводячи коваріантні позначення,

$$\ A^{\alpha} = (A^{0}, \mathbf A), \quad A'^{\alpha} = \sum \limits_{\beta}\Lambda^{\alpha}_{\beta}A^{\beta} = A^{0}\Lambda^{\alpha}_{0} + A^{1}\Lambda^{\alpha }_{1} + A^{2}\Lambda^{\alpha }_{2} + A^{3}\Lambda^{\alpha }_{3}$$,

можна ввести матрицю перетворення Лоренца:

$$\ \begin{pmatrix} {A^{0}}' \\ {A^{1}}'  \\  {A^{2}}'  \\ {A^{3}}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda_{00} & \Lambda_{01} & \Lambda_{02} & \Lambda_{03} \\ \Lambda_{10} & \Lambda_{11} & \Lambda_{12} & \Lambda_{13} \\ \Lambda_{20} & \Lambda_{21} & \Lambda_{22} & \Lambda_{23} \\ \Lambda_{30} & \Lambda_{31} & \Lambda_{32} & \Lambda_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_{0} \\ A_{1} \\  A_{2} \\ A_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Lambda_{00}A_{0} + \Lambda_{01}A_{1} + \Lambda_{02}A_{2} + \Lambda_{03}A_{3} \\ \Lambda_{10}A_{0} + \Lambda_{11}A_{1} + \Lambda_{12}A_{2} + \Lambda_{13}A_{3} \\ \Lambda_{20}A_{0} + \Lambda_{21}A_{1} + \Lambda_{22}A_{2} + \Lambda_{23}A_{3} \\ \Lambda_{30}A_{0} + \Lambda_{31}A_{1} + \Lambda_{32}A_{2} + \Lambda_{33}A_{3} \end{pmatrix} = |(.1)| = $$

$$\ = \begin{pmatrix} \gamma A_{0} - \gamma\frac{u_{1}}{c}A_{1} - \gamma\frac{u_{2}}{c}A_{2} - \gamma\frac{u_{3}}{c}A_{3} \\ -\gamma \frac{u_{1}}{c}A_{0} + \left( 1 + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{1}^{2} \right)A_{1} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{1}u_{2}A_{2} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{1}u_{3}A_{3} \\ -\gamma \frac{u_{2}}{c} A_{0} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{1}u_{2}A_{1} + \left( 1 + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{2}^{2} \right)A_{2} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{3}u_{2}A_{3} \\ -\gamma \frac{u_{3}}{c}A_{0} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{1}u_{3}A_{1} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{2}u_{3}A_{2} + \left( 1 + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{3}^{2} \right)A_{3} \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf \Lambda^{\alpha}_{\ \beta} = \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma\frac{u_{1}}{c} & -\gamma\frac{u_{2}}{c} & -\gamma\frac{u_{3}}{c} \\ -\gamma\frac{u_{1}}{c} & 1 + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{1}^{2} & \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{1}u_{2} & \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{1}u_{3} \\ -\gamma\frac{u_{2}}{c} & \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{2}u_{1} & 1 + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{2}^{2} & \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{2}u_{3} \\ -\gamma\frac{u_{3}}{c} & \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{3}u_{1} & \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{3}u_{2} & 1 + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{3}^{2} \end{pmatrix} \qquad (.2)$$,

де $$\ \Lambda^{\alpha}_{\beta}$$ - симетрична матриця перетворення Лоренца.

Нескладно показати, що матриця переходу - ортогональна. Для доведення цього треба розглянути скалярний добуток векторів у просторі Мінковського:

$$\ ( \mathbf A \cdot \mathbf B ) = \mathbf A \mathbf g_{\alpha \beta} \mathbf B = A_{0}B_{0} - A_{1}B_{1} - A_{2}B_{2} - A_{3}B_{3} $$.

де $$\ g_{\alpha \beta}$$ називається матрицею Мінковського і має вигляд

$$\ \mathbf g_{\alpha \beta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$.

Вона є інваріантом перетворення Лоренца. Для деякого іншого базису, що задається матрицею переходу $$\ \Lambda^{\alpha}_{ \beta}$$, можна, користуючись інваріантністю скалярного добутку, записати (для довільних векторів):

$$\ (\mathbf A' \cdot \mathbf B ' ) = \mathbf \Lambda^{\alpha}_{\ \mu} \mathbf A^{\mu} \mathbf g_{\alpha \beta } \mathbf \Lambda^{\beta}_{\ \nu}\mathbf B = \mathbf A \mathbf \Lambda^{\alpha}_{\ \mu} \mathbf g_{\alpha \beta } \mathbf \Lambda^{\beta}_{\ \nu} \mathbf B = |(.2)| = \mathbf A \mathbf g_{\mu \nu} \mathbf B = inv \Rightarrow \mathbf \Lambda^{\alpha}_{\ \mu} \mathbf g_{\alpha \beta } \mathbf \Lambda^{\beta}_{\ \nu} = \mathbf g_{\mu \nu} \qquad (.3)$$.

Отримана умова називається умовою ортогональності. Для того, щоб позбутися зайвих індексів (і отримати зліва матричний добуток), можна згорнути тензор $$\ \Lambda^{\alpha}_{\mu} $$ шляхом домноження $$\ (.3)$$ на $$\ \mathbf g^{\gamma \mu}$$. Тоді зліва можна отримати

$$\ \mathbf g^{\gamma \mu}\Lambda^{\alpha}_{\ \mu} \mathbf g_{\alpha \beta } \mathbf \Lambda^{\beta}_{\ \nu} = \tilde {\mathbf \Lambda}^{\ \gamma}_{\beta}\mathbf \Lambda^{\beta}_{\ \nu} = {\left( \tilde {\mathbf \Lambda } \right)^{T}}^{\gamma}_{\ \beta }\mathbf \Lambda^{\beta}_{\ \nu}$$,

а зправа -

$$\ \mathbf g^{\gamma \mu}\mathbf g_{\mu \nu} = \delta^{\gamma}_{\nu}$$.

Прирівнявши ліву частину до правої, можна отримати

$$\ \tilde {\Lambda }^{T}\Lambda = \mathbf 1 \Rightarrow det \left( (\mathbf g \mathbf \Lambda \mathbf g )^{T}\mathbf \Lambda \right) = det(\mathbf \Lambda )^{2} = 1 \Rightarrow det(\mathbf \Lambda ) = 1 $$.

Знак "плюс" обрано через обчислення визначника матриці Лоренца для одновимірних перетворень (або ж, еквівалентно, через те, що тотожнє перетворення не повинно нічого змінювати):

$$\ det (\mathbf \Lambda_{1} ) = det \begin{pmatrix} \gamma & -\gamma \frac{u}{c} & 0 & 0 \\ -\gamma \frac{u}{c} & \gamma & 0 & \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1$$.

Матриця $$\ \tilde {\mathbf \Lambda}$$ відповідає оберненим перетворенням Лоренца і є, формально, матрицею перетворення ковекторів. Це можна побачити із її запису для одновимірних перетворень:

$$\ \tilde {\mathbf \Lambda} = \mathbf g \mathbf \Lambda \mathbf g = \begin{pmatrix} \gamma & \gamma \frac{u}{c} & 0 & 0 \\ \gamma \frac{u}{c} & \gamma & 0 & \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$.