Перетворення Лоренца для полів. Доведення

Доведення 1
Обернене перетворення для напруженості електричного поля.

Нехай, навпаки,

$$\ \mathbf v = \mathbf u, \quad \mathbf v' = 0, \quad \mathbf F' = q\mathbf E' , \quad \mathbf F = q \mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]$$.

Тоді вираз $$\ (.2)$$ набуде вигляду:

$$\ \frac{\mathbf F}{\gamma \left( 1 - \frac{\mathbf u^{2}}{c^{2}}\right)} = \frac{\gamma^{2}\mathbf F}{\gamma} = \gamma \mathbf F = \mathbf F' + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F') \Rightarrow \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) = \mathbf E' + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F') \Rightarrow \left| (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf E ) \right| \Rightarrow $$

$$\ \Rightarrow \mathbf E' = \gamma \left( \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E)$$.

Проміжний вираз $$\ (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf E )$$ був отриманий із виразу $$\ (.4)$$ наступним чином:

$$\ (\mathbf u \cdot \mathbf E ) = \gamma (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) - \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E) \Rightarrow (\mathbf u \cdot \mathbf E ) = \frac{\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf E')}{1 + \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}} = \left| \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma - 1 \right| = \frac{\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf E')}{\gamma} = (\mathbf u \cdot \mathbf E' ) \qquad (.6)$$.

З цього виразу, окремо, слідує інваріантність продольної (до вектору швидкості пробного заряду) компоненти напруженості поля. Дійсно, напруженість поля не залежить від швидкості пробного заряду, а отже, вибір $$\ \mathbf v = 0$$ не обмежує загальності $$\ (.6) $$.

Доведення 2
Перетворення Лоренца для полів.

$$\ [\mathbf u \times \mathbf E' ] = \gamma [\mathbf u \times \mathbf E ] + \frac{\gamma }{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B ]] = \left| (.4) \right| = \gamma^{2}[\mathbf u \times \mathbf E' ] - \frac{\gamma^{2}}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B' ]] + \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B ]] \Rightarrow $$

$$\ \Rightarrow (\gamma^{2} - 1)[\mathbf u \times \mathbf E' ] - \frac{\gamma^{2}}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B' ]] + \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B ]] = \left| \gamma^{2} - 1 = \frac{u^{2}}{c^{2}}\gamma^{2} \right| = \frac{u^{2}}{c^{2}}\gamma^{2}[\mathbf u \times \mathbf E' ] - \frac{\gamma^{2}}{c}\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) + \gamma^{2}\frac{u^{2}}{c}\mathbf B' + \frac{\gamma}{c}\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf B ) - \gamma \frac{u^{2}}{c}\mathbf B = $$

$$\ = \left| (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf B ), \quad 1 - \gamma = -\Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} \right| = \frac{u^{2}}{c}\gamma^{2} \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) + (1 - \gamma)\gamma\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) - \frac{u^{2}}{c}\gamma\mathbf B = 0 \Rightarrow $$

$$\ \Rightarrow \frac{u^{2}}{c}\gamma \mathbf B = \frac{u^{2}}{c}\gamma^{2} \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) - \Gamma \gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}\frac{\mathbf u}{c}(\mathbf B' \cdot \mathbf u ) \Rightarrow \mathbf B = \gamma \left(\mathbf B' + \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E' ]\right) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf B' \cdot \mathbf u )$$.

Проміжний вираз $$\ (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) = (\mathbf u \cdot \mathbf B )$$ можна вивести наступним чином.

Нехай $$\ (\mathbf u \cdot \mathbf v ) = 0$$. Перетворення $$\ (.2)$$ матиме вигляд:

$$\ \mathbf F = \gamma \mathbf F' - \gamma^{2}\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf v' \cdot \mathbf F' ) + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf F')$$.

Якщо його векторно домножити зліва на $$\ \mathbf u$$, то зправа залишаться лише один доданок:

$$\ [\mathbf u \times \mathbf F ] = \gamma [\mathbf u \times \mathbf F']$$.

Тоді, використовуючи вираз $$\ (.4)$$, перетворення Лоренца для вектора швидкості за цієї умови і вирази для сил $$\ \mathbf F, \mathbf F'$$, можна записати:

$$\ \mathbf v' = \frac{\mathbf v + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf v) - \gamma \mathbf u}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}} \right)} = \frac{\mathbf v}{\gamma} - \mathbf u \qquad (.9)$$.

Тоді зліва можна буде отримати

$$\ q[\mathbf u \times \mathbf E ] + \frac{q}{c}[\mathbf u \times [\mathbf v \times \mathbf B ]] = \left| (.4) \right| = q\left[ \mathbf u \times \left( \gamma (\mathbf E' - \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf B' ]) - \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf E' ) \right)\right] + \frac{q}{c}[\mathbf u \times [\mathbf v \times \mathbf B ]]$$,

а зправа, використовуючи $$\ (.9)$$,

$$\ = q\gamma [\mathbf u \times \mathbf E' ] + \frac{q\gamma }{c}\left[\mathbf u \times \left[\left( \frac{\mathbf v}{\gamma} - \mathbf u \right) \times \mathbf B \right]\right] \Rightarrow \gamma [\mathbf u \times \mathbf E'] - \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B']] + \frac{1}{c}[ \mathbf u \times [\mathbf v \times \mathbf B ]] = \gamma [\mathbf u \times \mathbf E' ] + \frac{1}{c}[\mathbf u \times [ \mathbf v \times \mathbf B' ]] - \frac{\gamma}{c}[\mathbf u \times [\mathbf u \times \mathbf B']] $$.

Прирівнявши ліву і праву частини, можна буде отримати, що

$$\ \Rightarrow \frac{1}{c}\mathbf v (\mathbf u \cdot \mathbf B ) - \frac{1}{c}\mathbf B (\mathbf u \cdot \mathbf v) = \frac{1}{c}\mathbf v (\mathbf u \cdot \mathbf B' ) - \frac{1}{c}\mathbf B' (\mathbf u \cdot \mathbf v ) \Rightarrow (\mathbf u \cdot \mathbf B  ) = (\mathbf u \cdot \mathbf B')$$.

Цей вираз, знову ж таки, означає інваріантність продольної (по відношенню до вектора швидкості заряда) компоненти вектора магнітної індукції при перетвореннях Лоренца.