Перенормування мас і полів спінів 0, 1/2

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Самодіюче скалярне поле
Розглянемо скалярне поле (неперенормоване)

$$\ L(\varphi_{B}) = \frac{1}{2}(\partial \varphi_{B} )^{2} - \frac{1}{2}m_{B}^{2}\varphi_{B} +V(\varphi_{B} )$$.

Введемо перенормовані поле та масу:

$$\ \varphi = \frac{1}{\sqrt{Z}}\varphi_{B}, \quad m^{2} = m_{B}^{2} + \delta m^{2}$$,

де $$\ Z$$ обирається так, щоб поле задовольняло вираз $$\ (10)$$, а $$\ \delta m^{2}$$ - з умови задовільненню умови наявності полюса в $$\ q^{2} = m^{2}$$ пропагатора. Тоді лагранжіан може бути переписаний як

$$\ L = \left[ \frac{1}{2}(\partial \varphi )^{2} - \frac{1}{2}m^{2}\varphi^{2} \right] + \left[ \frac{Z - 1}{2}\left((\partial \varphi )^{2} - m^{2}\varphi^{2} \right) - \frac{1}{2}Z\delta m^{2}\varphi^{2} - V(\varphi )\right] = L_{0} + L_{1} \qquad (1)$$.

На основі цього визначимо константи $$\ Z, \delta m^{2}$$. Для цього треба розрахувати точний пропагатор $$\ \Delta '(q)$$ для перенормованого поля із лагранжіаном $$\ (11)$$. Зручно при цьому розглядати сильнозв'язні діаграми (див. попередній розділ), які відповідають таким діаграмам, які не можна зробити незв'язними розрізанням однієї лінії. Прийнято (опускаючи множники $$\ \frac{-i}{(2 \pi )^{4}}\frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon }$$ від двох зовнішніх ліній), позначати суму таких діаграм як $$\ i (2\pi )^{4}\prod^{*}(q^{2})$$. Цей вираз обчислюється як сума безпетльових діаграм, що виникають від однократної вставки вершин, які відповідають $$\ (\partial \varphi )^{2}, \varphi^{2}$$, а також петлів, що входять у вершину (від самодії):

$$\ \prod^{*}(q^{2}) = \frac{Z - 1}{2}\left(q^{2} - m^{2} \right) - Z\delta m^{2} + \prod^{*}_{Loop}(q^{2}) \qquad (2)$$.

Тоді точний пропагатор визначається як нескінченний ряд із однієї, двох і т.д. таких діаграм, що з'єднані вільними пропагаторами:

$$\ -\frac{i}{(2 \pi )^{4}}\Delta '(q) = \frac{1}{q^{2}- m^{2} - i\varepsilon } + \left[\frac{-i}{(2 \pi)^{4}}\frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\right]\left( i (2 \pi)^{4}\prod^{*}(q^{2})\right)\left[\frac{-i}{(2 \pi)^{4}}\frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\right] + ... = \frac{1}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon - \prod^{*}(q^{2})}$$.

Умова того, що $$\ m^{2}$$ - справжня маса частинки, може бути отримана як умова того, що полюс точного пропагатора знаходиться в точці $$\ q^{2} = m^{2}$$. Звідси

$$\ \prod^{*}(m^{2}) = 0 \qquad (3)$$.

Окрім того, в силу того, що полюс пропагатора при $$\ q^{2} = m^{2} $$ має одиничний лишок, є також умова

$$\ \left( \frac{\partial}{\partial q^{2}} \prod^{*}(q^{2})\right)_{q^{2} = m^{2}} = 0 \qquad (4)$$.

Звідси з $$\ (2)$$ отримуємо умови

$$\ Z\delta m^{2} = \prod^{*}_{Loop}(m^{2}), \quad Z = 1 + \left( \frac{\partial}{\partial q^{2}} \prod_{loop}^{*}(q^{2})\right)_{q^{2} = m^{2}} $$.

Отже, $$\ \delta m^{2}, Z - 1$$ задаються рядами по ступеням константи зв'язку без нульових членів.

Зручно відняти від $$\ \prod^{*}_{Loop}(q^{2})$$ поліном першого порядку по $$\ q^{2}$$ з коефіцієнтами такими, щоб ця різниця задовольняла умовам $$\ \prod^{*}(m^{2}) = 0, \left( \frac{\partial}{\partial q^{2}} \prod^{*}(q^{2})\right)_{q^{2} = m^{2}}= 0$$. Ця процедура скорочує нескінченності, що виникають при розрахунку інтегралів, що відповідають $$\ \prod^{*}_{Loop}(q^{2})$$, проте саме по собі перенормування мас та полів не має нічого спільного з існуванням нескінченностей, а необхідність в ньому виникає навіть за умови відсутності цих нескінченностей.

Вирази $$\ (3), (4)$$ також мають за наслідок той факт, що зовнішні лінії на масовій поверхні не містять радіаційних поправок. Це зумовлюється тим фактом, що вони дають вклад який рівний

$$\ \left( \Pi^{*}(p^{2})\frac{1}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon} + \Pi^{*}(p^{2})\frac{1}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon} \Pi^{*}(p^{2})\frac{1}{p^{2} - m^{2} - i\varepsilon} + ...\right)_{p^{2} = m^{2}} = 0$$.

Аналогічний результат застосовний і для полів довільних спінів, що буде продемонстровано нижче на частинному випадку діраківських полів.

Спін 1/2
Візьмемо лагранжіан для діраківського поля,

$$\ L = \bar{\Psi}_{B}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m_{B})\Psi_{B} + V_{B}(\Psi_{B})$$,

і введемо перенормовані поля та масу:

$$\ \Psi_{B} = \sqrt{Z_{2}}\Psi, \quad m_{B} = m - \delta m$$.

Тоді лагранжіан можна буде переписати як

$$\ L = \bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + \left((Z_{2}- 1)\bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + Z_{2}\delta m \bar{\Psi}\Psi + V_{B}(Z_{2}\bar{\Psi}\Psi ) \right) = L_{0} +L_{1} \qquad (5)$$.

Нехай $$\ i(2 \pi )^{4}\Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu})$$ - сума усіх зв'язних діаграм із одною вхідною лінією з 4-імпульсом $$\ k$$ і одною вихідною лінією із таким же імпульсом, які не можна зробити незв'язними шляхом розрізання однієї внутрішньої лінії, причому пропагаторні множники для зовнішніх ліній опущені. Тоді повний ферміонний пропагатор в імпульсному представленні має вигляд

$$\ \frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\varepsilon } + \frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\varepsilon }\Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu})\frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\varepsilon } + ... = \frac{1}{\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - \Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu}) - i\varepsilon} \qquad (6)$$.

$$\ \Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu})$$ враховує вклад найнижчих діаграм від доданків $$\ (Z_{2}- 1)\bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + Z_{2}\delta m \bar{\Psi}\Psi$$, а також - вклад петльових діаграм, за які відповідає $$\ V_{B}(Z_{2}\bar{\Psi}\Psi ) $$. Тобто,

$$\ \Eta^{*} (\gamma^{\mu}k_{\mu}) = (Z_{2} - 1)(\gamma^{\mu} k_{\mu} - m) + Z_{2}\delta m + \Eta^{*}_{Loop}(\gamma^{\mu}k_{\mu}) \qquad (7)$$.

Умова того, щоб пропагатор мав полюс при $$\ k^{2} = m^{2}$$ із тим же лишком, що й і вільний пропагатор, має вигляд

$$\ \Eta^{*}(m) = 0, \quad \left(\frac{\partial \Eta^{*}(\gamma^{\mu}k_{\mu})}{\partial (\gamma^{\mu}k_{\mu})}\right)_{\gamma^{\mu}k_{\mu} = m} = 0 \qquad (8)$$.

Звідси з $$\ (6)$$ маємо

$$\ Z_{2}\delta m = -\Eta^{*}_{Loop}(\gamma^{\mu} k_{\mu}), \quad Z_{2} = 1 - \left(\frac{\partial \Eta^{*}_{Loop}(\gamma^{\mu}k_{\mu})}{\partial (\gamma^{\mu}k_{\mu})}\right)_{\gamma^{\mu}k_{\mu} = m}$$.

Як і для безмасових частинок, $$\ (8)$$ каже про те, що зовнішні лінії не містять радіаційних поправок, що перевіряється побудовою виразу, аналогічного до $$\ (7)$$, для зовнішніх ліній.

Однопетльова поправка для ферміонного пропагатора у КЕД
Розглянемо обчислення констант перенормування для однопетльової поправки у вираз для ферміонного пропагатора у КЕД у загальному калібруванні $$\ \eta \neq 1$$ методом розмірної регуляризації. Нагадаю, що загальне калібрування у КЕД означає, що голий фотонний пропагатор (у імпульсному представленні) має вигляд

$$\ D_{\mu \nu}(p) = -\frac{g_{\mu \nu} - (1 - \eta )\frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}}}{k^{2} + i\varepsilon } = -\frac{g_{\mu \nu} - \epsilon \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}}}{k^{2} + i\varepsilon }$$.

Тоді однопетльова поправка до пропагатора дається виразом

$$\ \Sigma_{1loop}(p) = -q_{e}^{2}\int d^{4}k \gamma^{\mu}\frac{(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + m }{(p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon }\gamma^{\nu}\frac{\left(g_{\mu \nu} - \epsilon \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}} \right)}{k^{2} + i\varepsilon } \qquad (9)$$.

У більшості випадків є два типи розбіжностей: ультрафіолетова та інфрачервона. Обидві можуть бути регуляризовані шляхом розмірної регуляризації (перший випадок відповідає зсуву розмірності на від'ємну величину, другий - на додатню). Перепишемо $$\ (9)$$, переходячи від розмірності 4 до розмірності $$\ d$$ і використовуючи вирази для гамма-матриць при такому переході: отримаємо

$$\ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2} \left[\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \epsilon \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{k\!\!\!/ (2 (p \cdot k) - k^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} \right]$$.

Добуток $$\ (p \cdot k)$$ доцільно записати як

$$\ 2(p \cdot k) = p^{2} +k^{2} - D_{1} - m^{2}, \quad D_{1} = (p - k)^{2} - m^{2}$$.

Тоді, остаточно,

$$\ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2}\left[ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \epsilon \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\left( \frac{k\!\!\!/ (p^{2} - m^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \frac{k\!\!\!/}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}}\right) \right] = $$

$$\ = -q_{e}^{2}M^{4 - d}\left[ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{i(2 - d)(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + dm }{(k^{2} + i\varepsilon )((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} - \epsilon \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \frac{k\!\!\!/ (p^{2} - m^{2}) - (p\!\!\!/ - m )k^{2}}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} \right] \qquad (10)$$,

де доданок $$\ \frac{k\!\!\!/}{(k^{2} + i\varepsilon )^{2}}$$ зник через явну антисиметричність функції. Видно, що на масовій поверхні, коли $$\ p\!\!\!/ - m = p^{2} - m^{2} = 0$$, внеску до перенормування маси калібрувально-неінваріантної частини не буде. Втім, внесок у перенормування поля від калібрувально-неінваріантної частини буде ненульовим.

Для обчислення інтегралів виразу $$\ (10)$$ зручно ввести фейнманівські параметри (вираз $$ (2)$$ тут):

$$\ \frac{1}{(k^{2} + i\varepsilon )^{n}((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )} = 2\int \limits_{0}^{1}\frac{x^{n - 1}dx}{(k^{2}x + (1 - x)((p - k)^{2} - m^{2}) + i\varepsilon)^{n + 1}} = 2\int \limits_{0}^{1}\frac{x^{n - 1}dx}{((k - p(1 - x))^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{n + 1}}$$.

Для остаточного завершення попередньої роботи треба тепер зробити зсув (який ніяк не змінить міру інтегрування) $$\ k \to k + p(1 - x)$$. Тоді $$\ (10)$$ набуде вигляду (лінійні по $$\ k$$ доданки занулені одразу після зсуву)

$$\ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2}\left[ (2 - d)p\!\!\!/ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{2}} + dm\frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{2}}\right] + $$

$$\ +M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon \left[ (p^{2} - m^{2})\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{3}} - (p\!\!\!/ - m)\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}} \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(k^{2} -(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x)) + i\varepsilon)^{2}}\right] (11)$$.

Проінтегруємо по $$\ k$$ з використанням табличного інтегралу

$$\ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{1}{(k^{2} - \Delta + i\varepsilon )^{n}} = \frac{(-1)^{n}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{\Gamma \left( n - \frac{d}{2}\right)}{\Gamma (n)}\frac{1}{\Delta^{n - \frac{d}{2}} }$$.

Якщо $$\ \Delta $$ являється від'ємним, то такі інтеграли набувають уявну частину. Оскільки $$\ \Delta $$ являється функцією імпульсу і маси, то при деяких співвідношеннях між ними власна енергія буде мати стрибок. Для правильної роботи із такими розривами треба робити модифікацію $$\ \Delta \to \Delta - i\varepsilon $$ (вже після інтегрування). Отже, $$\ (11)$$ тепер набуде вигляду

$$\ \Sigma_{1loop}(p) = -M^{4 - d}q_{e}^{2}\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\left[ (2 - d)p\!\!\!/\int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}} + dm\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}\right] + $$

$$\ +M^{4 - d}q_{e}^{2}\epsilon \left[ (p^{2} - m^{2})\frac{\Gamma \left( 3 - \frac{d}{2} \right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2} }} \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{3 - \frac{d}{2}}} - (p\!\!\!/ - m)\frac{\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}} \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{((m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}\right]$$.

Врахуємо тепер, що

$$\ \frac{\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\left(\frac{1}{\Delta }\right)^{2 - \frac{d}{2}} = \frac{1}{(4 \pi )^{2}}\left(\frac{2}{\delta} - \gamma - ln (\Delta ) + ln(4 \pi ) + O(\delta ) \right), \quad \delta = 4 - d, \quad \gamma = 0.57$$,

занісши перед цим параметр $$\ M^{4 - d}$$ у $$\ m^{2}(1 - x) - p^{2}x(1 - x), \Delta = \frac{m^{2}}{M^{2}}(1 - x) - \frac{p^{2}}{M^{2}}x(1 -x)$$.

У результаті отримаємо інтеграли виду

$$\ \int \limits_{0}^{1}\frac{xdx}{m^{2} - p^{2}x} = -\frac{m^{2}}{p^{4}}ln\left( 1 - \frac{p^{2}}{m^{2}}\right) - \frac{1}{p^{2}}$$,

$$\ \int \limits_{0}^{1}xdxln\left( \frac{m^{2}}{M^{2}}(1 - x) - \frac{p^{2}}{M^{2}}x(1 - x)\right) = -\frac{3}{4} -\frac{2m^{2} + p^{2}}{4p^{2}} - 2\frac{1}{M^{4}}(m^{4} - p^{4})ln\left( \frac{m^{2} - p^{2}}{M^{2}}\right) + 2m^{4}ln\left( \frac{m^{2}}{M^{2}}\right)$$,

$$\ \int \limits_{0}^{1}dxln\left( \frac{m^{2}}{M^{2}}(1 - x) - \frac{p^{2}}{M^{2}}x(1 - x)\right) = -2 + \left( 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}\right)ln\left( \frac{m^{2} - p^{2}}{M^{2}}\right) + \frac{m^{2}}{p^{2}}ln \left( \frac{m^{2}}{M^{2}}\right)$$,

кожен з яких є кінечним на масовій поверхні або внаслідок власної структури, або внаслідок того, що перед ними стоять множники $$\ 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}$$, внаслідок тотожності $$\ \lim_{p^{2} \to m^{2}} \left( 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}\right)ln\left( 1 - \frac{m^{2}}{p^{2}}\right) = 0$$.

Тепер можна використати результати попереднього підрозділу:

$$\ Z_{2} = 1 - \left(\frac{\partial \Sigma_{1loop}(p)}{\partial p\!\!\!/}\right)_{p^{2} = m^{2}}, \quad \delta m = -\left( \Sigma_{1loop}(p)\right)_{p^{2} = m^{2}}$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$