Група SU(2)

Повернутися до розділу "Теорія груп".

Представлення групи SU(2)
Відповідно до написаного у попередньому підрозділі, представлення групи $$\ SU(2)$$ дається матрицями вигляду

$$\ \hat {\mathbf A} = \begin{pmatrix} ia_{3} & -a_{2} + ia_{1} \\ a_{2} + ia_{1} & -ia_{3} \end{pmatrix} = a_{1}\begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} + a_{2}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + a_{3}\begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{pmatrix} = a_{1}\hat {\mathbf X}_{1} + a_{2}\hat {\mathbf X}_{2} + a_{3}\hat {\mathbf X}_{3} \Rightarrow $$

$$\ \hat {\mathbf U} \approx \hat {\mathbf E} + a_{1}\hat {\mathbf X}_{1} + a_{2}\hat {\mathbf X}_{2} + a_{3}\hat {\mathbf X}_{3}$$,

де виділені генератори $$\ \hat {\mathbf X}_{i}$$ групи.

Вони мають алгебру $$\ [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}] = -2i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf X}^{k}$$,

і при домноженні на $$\ -1$$ співпадають з матрицями Паулі.

Гомоморфність групи $$\ SU(2)$$ групі $$\ SO(3)$$
Можна показати, що група $$\ SU(2)$$ гомоморфна групі $$\ SO(3)$$.

Матрицю групи можна також подати у вигляді

$$\ \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix}, \quad |a|^{2} + |b|^{2} = 1, \quad Re(a) = 0 $$.

Замість $$\ a, b$$ можна ввести чотири дійсні параметри (два з них пов'язані співвідношенням, тому формально кількість незалежних параметрів рівна трьом, як і повинно бути) $$\ n_{x}, n_{y}, n_{z}, \varphi, |n| = 1$$. Тоді матриця $$\ SU(2)$$, переписана в генераторному вигляді, виражається через параметри як

$$\ \hat {\mathbf U} = \hat {\mathbf E}cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)$$.

Параметри групи $$\ a_{i}$$ пов'язані із параметрами $$\ n, \varphi $$ як

$$\ sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \approx \frac{\varphi }{2}, \quad cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) \approx 1 \Rightarrow a_{i} = \frac{1}{2}n_{i}\varphi_{i}$$.

Вираз можна записати у полярній формі

$$\ \hat {\mathbf U} = e^{\frac{\varphi }{2}(\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})}$$.

Дійсно,

$$\ (\mathbf n \cdot \mathbf X ) = \begin{pmatrix} in_{3} & n_{2} + in_{1} \\ -n_{2} + in_{1} & -in_{3} \end{pmatrix}, \quad (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})^{2} = -\hat {\mathbf E}, \quad (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})^{3} = -(\mathbf n \cdot \mathbf X ), \quad (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X })^{4} = \hat {\mathbf E}$$,

і тоді розклад експоненти набуде вигляду

$$\ e^{\frac{\varphi }{2}(\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})} = \hat {\mathbf E} + (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X })\frac{\varphi }{2} - \frac{1}{2}\left(\frac{\varphi }{2}\right)^{2}\hat {\mathbf E} - (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X })\frac{\left(\frac{\varphi }{2}\right)^{3}}{3!} = ... = \hat {\mathbf E}cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + (\mathbf n \cdot \hat {\mathbf X})sin\left(\frac{\varphi}{2}\right)$$.

Якщо перепозначити локальні параметри $$\ a_{i}$$ групи як $$\ a_{i} \to 2a_{i}, \quad \hat {\mathbf X}_{i} \to \frac{1}{2}\hat {\mathbf X}_{i}$$, то можна отримати комутаційні співвідношення виду

$$\ [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}] = -\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf X}^{k}$$,

що співпадає із алгеброю генераторів групи $$\ SO(3)$$. Більш звичним комутаційним співвідношенням, звичайно, є перехід

$$\ \hat {X}_{j} \to -i \hat {X}_{j} \Rightarrow [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}] = i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf X}^{k}$$.

Можна побудувати ермітову матрицю

$$\ \hat {\mathbf F} = \begin{pmatrix} z & x - iy \\ x + iy & -z \end{pmatrix}, \quad det \left(\hat{\mathbf F}\right) = -|\mathbf r|^{2}$$.

Тоді, відповідно до матричного закону перетворення, вибравши у якості матриць переходу матриці $$\ \hat {\mathbf U}$$ та вважаючи, що

$$\ \mathbf n = (0, 0, 1), \quad cos\left(\frac{\varphi}{2}\right) = c, \quad sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) = s$$,

можна отримати

$$\ \hat {\mathbf F}{'} = \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf F}\hat {\mathbf U} = \begin{pmatrix} c + is & 0 \\ 0 & c - is \end{pmatrix}\begin{pmatrix} z & x - iy \\ x + iy & -z \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c - is & 0 \\ 0 & c + is \end{pmatrix}$$.

Звідси

$$\ x' + iy' = xcos\left(\frac{\varphi}{2}\right) + ysin\left(\frac{\varphi}{2}\right) + i\left(ycos\left(\frac{\varphi}{2}\right) - xsin\left(\frac{\varphi}{2}\right) \right), \quad z' = z$$,

що відповідає повороту у тривимірному просторі навколо вісі $$\ Oz$$ на кут $$\ \varphi $$. Обравши $$\ \mathbf n = (0, 1, 0), \mathbf n = (1, 0, 0) $$, можна отримати перетворення, що описують повороти навколо вісей $$\ Oy, Ox$$ відповідно.

Отже, між представленнями груп $$\ SO(3)$$ та $$\ SU(2)$$ існує відповідність. Залишається лише визначити її однозначність. У представленні $$\ SU(2)$$ параметр $$\ \varphi $$ пробігає значення $$\ [0, 4 \pi )$$, визначаючи різні матриці. В той же час для відповідної матриці представлення $$\ SU(3)$$ $$\ \varphi $$ пробігає значення $$\ [0, 2 \pi )$$, причому $$\ \hat {\mathbf T}(\varphi + 2 \pi ) = \hat {\mathbf T}(\varphi )$$.

Тому одній матриці представлення $$\ SO(3)$$ відповідають дві матриці представлення $$\ SU(2)$$. Таким чином, група $$\ SU(2)$$ гомоморфна групі $$\ SO(3)$$.

Група U(2)
Якщо розглянути групу, для якої $$\ \hat {\mathbf U}^{+}\hat {\mathbf U} = \hat {\mathbf E} \Rightarrow |\hat {\mathbf U}| = 1 $$, але немає вимоги на одиничний визначник, то вийде група $$\ U(2)$$. Матриці-представлення групи можуть бути подані у загальному вигляді

$$\ \hat {\mathbf u} = e^{i \Psi}\begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix}, \quad |a|^{2} + |b|^{2} = 1$$.

$$\ e^{i \Psi}$$ можна розглядати як деяку матрицю рангу 1, яка діє на комплексне число $$\ x: x' = e^{i \Psi} x$$. В силу унітарності такої матриці відповідне представлення є представленням групи $$\ U(1)$$. Для $$\ z = x + iy$$ дія матриці $$\ e^{-i \Psi} = cos(\Psi) - isin(\Psi )$$ еквівалентна поворотам у площині $$\ xy$$, що однозначно відповідає повороту навколо вісі $$\ Oz$$ (у площині $$\ xy$$). Це означає, що група $$\ U(1)$$ ізоморфна групі $$\ SO(2)$$. Окрім того, група $$\ U(2)$$ може бути представлена як прямий добуток груп $$\ U(1) \times SU(2)$$.