Спін 1. Доведення

Доведення 1
Перехід до трьох векторів поляризації для масивного електромагнітного поля.

Можна виписати у явному вигляді суму по поляризаційним векторам і амплітудам з урахуванням $$\ (.2)$$:

$$\ \sum_{\lambda}e_{\mu}^{\lambda}a_{\lambda} = e_{\mu}^{1}a_{1} + e_{\mu}^{2}a_{2} + \left(e_{\mu}^{0}\frac{|\mathbf p |}{\epsilon_{\mathbf p}} + e_{\mu}^{3}\right)a_{3} = \left|a_{3} \to a_{3}\sqrt{\left|1 - \frac{p^{2}}{\epsilon^{2}_{\mathbf p}}\right|}\right| = e^{1}_{\mu}a_{1} + a_{\mu}^{2}a_{2} + e_{\mu}^{3}a_{3}$$,

де визначено новий вектор поляризації

$$\ e_{\mu}^{3} = \frac{e_{\mu}^{0}\frac{|\mathbf p |}{\epsilon_{\mathbf p}} + e_{\mu}^{3}}{\sqrt{\left|1 - \frac{p^{2}}{\epsilon^{2}_{\mathbf p}}\right|}}, \quad e_{\mu}^{3}e^{\mu, 3} = -1$$.

Утворена трійка векторів, вочевидь, має властивості

$$\ e_{\mu}^{\lambda}e^{\mu, \lambda {'}} = -\delta_{\lambda \lambda {'}}, \quad p^{\mu}e_{\mu , \lambda} = 0$$.

Дійсно, друга властивість для перших двох векторів не змінилася, а для введеного третього справедлива (враховується явний вигляд "старих" векторів $$\ e_{\mu}^{0}, e_{\mu}^{3}$$) рівність

$$\ p^{\mu}e_{\mu}^{3} = \frac{p^{\mu}n_{\mu}\frac{|\mathbf p |}{\epsilon_{\mathbf p }} + p^{\mu}e_{\mu}^{3}}{\sqrt{\left|1 - \frac{p^{2}}{\epsilon^{2}_{\mathbf p}}\right|}} = \frac{|\mathbf p | - |\mathbf p|}{\sqrt{\left|1 - \frac{p^{2}}{\epsilon^{2}_{\mathbf p}}\right|}} = 0$$.

Доведення 2
Сума по поляризаціям для масивного векторного поля.

В силу властивостей трійки векторів $$\ e_{\mu}^{\lambda}$$,

$$\ e_{\mu}^{\lambda}e^{\mu, \lambda {'}} = -\delta_{\lambda \lambda {'}}, \quad p^{\mu}e_{\mu , \lambda} = 0$$,

можна, застосувавши ці властивості та прийнявши анзац

$$\ \Delta_{\mu \nu} = \sum_{\lambda = 1}^{3}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda} = Ag_{\mu \nu} + Bp_{\mu }p_{\nu} \qquad (1)$$,

отримати

$$\ \quad p^{\mu} \Delta_{\mu \nu} = Ap_{\nu} + Bp^{2}p_{\nu} = p_{\nu}(A + Bm^{2}) = 0, \quad \Delta_{\mu \mu} = -3 = -2A + Bm^{2}$$.

Звідси $$\ A = 1, B = -\frac{1}{m^{2}}$$.

Аргументи щодо такого вигляду анзацу очевидні: права частина $$\ (1)$$ є коваріантним об'єктом, що може залежати лише від тензорів - метричного тензору, тензору $$\ p_{\alpha}p_{\beta}$$, згортки $$\ p_{\alpha}p_{\beta}$$ із символом Леві-Чивіта (що тотожньо рівна нулю в силу антисиметричності тензору Леві-Чивіта).

Доведення 3
Співвідношення для подвійного добутку матриць Паулі.

Вираз 1
Треба знайти явний вигляд виразу $$\ \tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]}$$.

З самого початку можна пригадати вирази

$$\ \sigma_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta} = g_{\alpha \beta}\sigma_{0} + i\varepsilon_{0 \alpha \beta \gamma}\sigma^{\gamma} + \delta_{\alpha}^{0}(\tilde {\sigma}_{\beta} - \delta^{0}_{\beta}\sigma_{0}) + \delta^{0}_{\beta}(\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0}), \quad \sigma_{\beta} = (\sigma_{0}, \sigma ), \quad \tilde {\sigma}_{\beta} = (\sigma_{0}, -\sigma ), \quad \sigma^{\alpha} = g^{\alpha \beta}\sigma_{\beta} = (\sigma_{0}, -\sigma ) \qquad (1)$$.

Тоді різниця цього виразу та такого ж з переставленими місцями індексами має вигляд

$$\ \sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = g_{\alpha \beta}\sigma_{0} + i\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta}\sigma^{\delta} + \delta_{\alpha}^{0}(\tilde {\sigma}_{\beta} - \delta^{0}_{\beta}\sigma_{0}) + \delta^{0}_{\beta}(\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0}) - g_{\alpha \beta}\sigma_{0} - i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}\sigma^{\delta} - \delta_{\beta}^{0}(\tilde {\sigma}_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0}) - \delta^{0}_{\alpha}(\sigma_{\beta} - \delta^{0}_{\beta}\sigma_{0}) = $$

$$\ = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta } + \delta^{0}_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{\beta} + \delta^{0}_{\beta}\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\alpha} = |\sigma_{\beta} - \tilde {\sigma}_{\beta} = 2\sigma_{\beta} - 2\delta^{0}_{\beta}\sigma_{0}| = $$

$$\ = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta } - 2\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{\beta} + 2\delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\beta}\sigma_{0} + 2\delta^{0}_{\beta}\sigma_{\alpha} - 2\delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\beta}\sigma_{0} = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta } + 2\delta^{0}_{\beta}\sigma_{\alpha} - 2\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{\beta}$$.

Подіявши на цей вираз матрицею $$\ \tilde {\sigma}_{\gamma}$$, можна отримати

$$\ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}g_{\gamma \varepsilon}\tilde {\sigma}^{\varepsilon}\sigma^{\delta} - \delta^{0}_{\alpha}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{\beta} + \delta^{0}_{\beta}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{\alpha}$$.

Використавши для кожного з доданків вираз $$\ (1)$$, можна отримати

$$\ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} g_{\gamma \varepsilon}[g^{\varepsilon \delta} + i\varepsilon^{0 \varepsilon \delta \kappa }\sigma_{\kappa} + \delta^{\varepsilon}_{0} (\sigma^{\delta} - \delta^{\delta}_{0}\sigma^{0}) + \delta^{\delta }_{0}(\tilde {\sigma}^{\varepsilon} - \delta^{\varepsilon}_{0}\sigma^{0})] - $$

$$\ - \delta^{0}_{\alpha}[g_{\gamma \beta} + i\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta }\sigma^{\delta } + \delta^{0}_{\gamma}(\sigma_{\beta} - \delta^{0}_{\beta} \sigma_{0}) + \delta^{0}_{\beta}(\tilde {\sigma}_{\gamma} - \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{0})] + \delta^{0}_{\beta}[g_{\gamma \alpha} + i\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta }\sigma^{\delta } + \delta^{0}_{\gamma}(\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha} \sigma_{0}) + \delta^{0}_{\alpha}(\tilde {\sigma}_{\gamma} - \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{0})]$$.

Найважче перетворити доданок у перших квадратних лапках. Для цього, по перше, треба врахувати, що $$\ \varepsilon_{aabc} = 0$$, тому всі доданки із $$\ \delta^{\delta}_{0}$$ рівні нулю, тому він виглядає як

$$\ -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} g_{\gamma \varepsilon}[g^{\varepsilon \delta} + i\varepsilon^{0 \varepsilon \delta \kappa }\sigma_{\kappa} + \delta^{\varepsilon}_{0}\sigma^{\delta} ]$$.

По-друге, треба згадати формулу

$$\ \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta} \varepsilon^{\delta \mu \nu \sigma} = \delta^{\mu}_{\alpha}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\beta \gamma} + \delta^{\mu}_{\gamma}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\alpha \beta} + \delta^{\mu}_{\beta}\varepsilon^{\nu \sigma}_{\gamma \alpha}$$.

Тому згортка двох символів Леві-Чивіти буде рівна

$$\ -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}i\varepsilon^{0 \varepsilon \delta \kappa }\sigma_{\kappa} g_{\gamma \varepsilon} = \varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}\varepsilon^{\delta 0 \varepsilon \kappa }\sigma_{\kappa} g_{\gamma \varepsilon} = \sigma_{\kappa} g_{\gamma \varepsilon} [\delta^{\varepsilon}_{\beta} \delta^{\kappa}_{\alpha} - \delta^{\varepsilon}_{\alpha} \delta^{\kappa}_{\beta} + \delta^{0}_{\alpha}(\delta^{\varepsilon}_{0} \delta^{\kappa}_{\beta} - \delta^{\varepsilon}_{\beta} \delta^{\kappa}_{0}) + \delta^{0}_{\beta}(\delta^{\varepsilon}_{\alpha} \delta^{\kappa}_{0} - \delta^{\varepsilon}_{0} \delta^{\kappa}_{\alpha})] = |g_{\gamma \varepsilon}\delta^{\varepsilon}_{0} = \delta^{0}_{\gamma} | = $$

$$\ = \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\beta}g_{\gamma \alpha} + \delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} - g_{\gamma \beta}\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha}$$,

де проміжне позначення у прямих дужках використано чисто для зручності у подальших викладках (хоч і не зовсім чисте з точки зору додержання правил підняття індексів). Отже, весь доданок має вигляд (враховується, що $$\ g_{\gamma \varepsilon}g^{\varepsilon \delta} = \delta^{\delta}_{\gamma}$$)

$$\ -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma } + \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\beta}g_{\gamma \alpha} + \delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} - g_{\gamma \beta}\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha} -i\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}\sigma^{\delta} $$.

Тепер можна зайнятися другим та третім доданками у квадратних дужках. Із ними не виникає ніякої складності: додавши їх та скоротивши ідентичні доданки, можна отримати

$$\ -\delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta}\sigma_{0} - i\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta }\sigma^{\delta } - \delta^{0}_{\alpha} \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} + i\delta^{0}_{\beta} \varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta } \sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha}$$.

Тому сумою трьох доданків буде вираз

$$\ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = -i\varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma } + \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\beta}g_{\gamma \alpha} + \delta^{0}_{\alpha}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} - g_{\gamma \beta}\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha} -i\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta}\sigma^{\delta} -\delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta}\sigma_{0} - $$

$$\ - i\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta }\sigma^{\delta } - \delta^{0}_{\alpha} \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\beta} + \delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} + i\delta^{0}_{\beta} \varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta } \sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\delta^{0}_{\gamma}\sigma_{\alpha} = $$

$$\ = i[-\delta^{0}_{\gamma} \varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} \sigma^{\delta} - \varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma} - \delta^{0}_{\alpha} \varepsilon_{0 \gamma \beta \delta}\sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta} \sigma^{\delta} ] + [2\delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - 2\delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta}\sigma_{0} + \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\beta} g_{\gamma \alpha}]$$.

Досить неочевидно можна доданки у квадратних дужках згорнути в компактні вирази.

1. Можна показати, що доданок у перших дужках рівен $$\ -\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta}$$: для цього треба розкласти згортку символу Леві-Чивіта як

$$\ -\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} = -g_{\kappa \gamma}\varepsilon^{\kappa}_{\quad \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} = -\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{i}_{\gamma}\varepsilon_{i \alpha \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} = -\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{i}_{\gamma}\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{i 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{i}_{\gamma}\delta^{j}_{\alpha}\varepsilon_{i j \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} = $$

$$\ = -\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{i}_{\gamma}\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{i 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{i}_{\gamma}\delta^{j}_{\alpha}\delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{i j 0 \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{i}_{\gamma}\delta^{j}_{\alpha}\delta^{k}_{\beta}\varepsilon_{i j k \delta}\tilde {\sigma}^{\delta}$$.

Тепер можна зробити наступну "хитрість". У другому доданку виразу після останнього знаку рівності індекс $$\ \gamma$$ може набувати лише три "просторові" значення (для цього і розбивалася згортка $$\ \delta^{\kappa}_{\gamma}\varepsilon_{\kappa \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta}$$). Проте нічого не заважає відняти від нього тотожньо нульовий (в силу властивостей символу Леві-Чивіта) вираз $$\ \delta^{0}_{\gamma}\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta}$$. Це дозволить знову формально згорнути суму $$\ \delta^{i}_{\gamma}\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{i 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta}$$ у $$\ -\delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{\gamma 0 \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta}$$. Повністю аналогічні викладки можуть бути пророблені із наступним доданком, який перетвориться у $$\ \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{\gamma \alpha 0 \delta}\tilde {\sigma}^{\delta}$$. Останній же доданок не рівен нулю лише при $$\ \delta = 0$$. Тому весь вираз приймає вигляд

$$\ -\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} = -\delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \alpha \beta \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{\gamma 0 \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{\gamma \alpha 0 \delta}\tilde {\sigma}^{\delta} - \varepsilon_{\gamma \alpha \beta 0}\sigma^{0} = -\varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma } + \delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta } \tilde {\sigma}^{\delta} + \delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} - \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta }\tilde {\sigma}^{\delta}$$.

Наостанок залишається лише врахувати, що останні три доданки приймають ненульові значення лише при $$\ \delta \neq 0$$. Тому вирази $$\ \tilde {\sigma}^{\delta} = (\sigma^{0}, \sigma )$$ можуть бути замінені на $$\ -\sigma^{\delta} = - (\sigma^{0}, -\sigma )$$. Тоді

$$\ -\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta} = -\varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma } - \delta^{0}_{\gamma}\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta} - \delta^{0}_{\alpha}\varepsilon_{0 \gamma \beta \delta}\sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta }\sigma^{\delta}$$,

що й треба було довести.

2. Другий доданок у квадратних дужках рівен $$\ \tilde {\sigma}_{\beta}g_{\gamma \alpha} - \tilde {\sigma}_{\alpha} g_{\gamma \beta}$$. Дійсно, для випадку $$\ \gamma = \alpha = \beta = 0$$ він рівен $$\ \sigma_{0}$$, а для випадку $$\ \gamma = \alpha = 0, \beta \neq 0$$ - $$\ \sigma_{\beta}$$. Тому сума $$\ 2\delta^{0}_{\beta}g_{\gamma \alpha}\sigma_{0} - \sigma_{\beta} g_{\gamma \alpha}$$ рівна $$\ \tilde {\sigma}_{\beta}g_{\alpha \gamma} $$. Аналогічно, $$\ - 2\delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta}\sigma_{0} + \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta} = -\tilde {\sigma}_{\alpha} g_{\beta \gamma}$$.

Отже, нарешті,

$$\ \tilde {\sigma}_{\gamma}\sigma_{[\alpha}\tilde {\sigma}_{\beta ]} = 2[\tilde {\sigma}_{\beta}g_{\alpha \gamma} -\tilde {\sigma}_{\alpha} g_{\beta \gamma} -i\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta} \tilde {\sigma}^{\delta}]$$.

Вираз 2
Треба знайти явний вигляд виразу $$\ \tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]}\tilde {\sigma}_{\gamma}$$.

Для $$\ \tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]}$$ викладки, аналогічні до викладок для виразу 1, призводять до

$$\ \tilde {\sigma}_{[\alpha}\sigma_{\beta ]} = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta }\sigma^{\delta } - 2\delta^{0}_{\beta}\sigma_{\alpha} + 2\delta^{0}_{\alpha}\sigma_{\beta}$$.

Домноживши зправа на $$\ \tilde {\sigma}_{\gamma}$$, можна отримати (слідкуючи за порядком індексів у тензора Леві-Чивіти)

$$\ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]}\tilde {\sigma}_{\gamma} = -2i\varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} g_{\gamma \varepsilon}[g^{\varepsilon \delta} + i\varepsilon^{0 \delta \varepsilon \kappa} \sigma_{\kappa} + \delta^{\varepsilon}_{0}(\sigma^{\delta} - \delta^{\delta}_{0} \sigma^{0}) + \delta^{\delta}_{0}(\tilde {\sigma}^{\varepsilon} - \delta^{\varepsilon}_{0}\sigma^{0})] - $$

$$\ - \delta^{0}_{\beta}[g_{\alpha \gamma} + i\varepsilon_{0 \alpha \gamma \delta} \sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\alpha}(\tilde {\sigma}_{\gamma} - \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{0}) + \delta^{0}_{\gamma}(\sigma_{\alpha} - \delta^{0}_{\alpha}\sigma_{0})] + \delta^{0}_{\alpha}[g_{\beta \gamma} + i\varepsilon_{0 \beta \gamma \delta} \sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}(\tilde {\sigma}_{\gamma} - \delta^{0}_{\gamma}\sigma_{0}) + \delta^{0}_{\gamma}(\sigma_{\beta} - \delta^{0}_{\beta}\sigma_{0})]$$.

Цей вираз дуже схожий на той, який використовувався для виведення виразу 1, проте варто помітити відмінність знаків при $$\ \delta_{\alpha}^{0}, \delta^{0}_{\beta}$$, а також перестановку індексів у всіх символах Леві-Чивіта в квадратних дужках (що також зумовлює відмінність у знаках). Виконавши всі дії, що були виконані для отримання виразу 1, можна отримати

$$\ \frac{1}{2}\tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]}\tilde {\sigma}_{\gamma} = i[-\delta^{0}_{\gamma} \varepsilon_{0 \beta \alpha \delta} \sigma^{\delta} - \varepsilon_{0 \beta \alpha \gamma} - \delta^{0}_{\alpha} \varepsilon_{0 \gamma \beta \delta}\sigma^{\delta} + \delta^{0}_{\beta}\varepsilon_{0 \gamma \alpha \delta} \sigma^{\delta} ] - 2\delta^{0}_{\beta}g_{\alpha \gamma} + \sigma_{\beta}g_{\alpha \gamma} + 2 \delta^{0}_{\alpha}g_{\gamma \beta} - \sigma_{\alpha}g_{\gamma \beta}$$,

де всі вирази є старими знайомими із доведення вище (лише знаки інші). Отже,

$$\ \tilde {\sigma}_{[\alpha} \sigma_{\beta ]}\tilde {\sigma}_{\gamma} = 2(-i\varepsilon_{\gamma \alpha \beta \delta }\tilde {\sigma}^{\delta} - \tilde {\sigma}_{\beta} g_{\gamma \alpha} + \tilde {\sigma}_{\alpha}g_{\gamma \beta})$$.