Ортохронна група Лоренца. Алгебра генераторів

Повернутися до розділу "Група Лоренца".

Власна група Лоренца. Генератори
Власна група Лоренца - група, що об'єднує групи обертання у 3-просторі та перетворення Лоренца. Відповідно, група - 6-параметрична. Розглядається простір-час, і для нього - обертання навколо фіксованих ортогональних вісей $$\ Ox_{i}$$ на кути $$\ \alpha_{i}$$ та перетворення Лоренца при співнапрямленні вектора відносної швидкості $$\ v_{i}$$ ІСВ вздовж вісей $$\ Ox_{i}$$. Відповідні перетворення мають вигляд

$$\ x_{i}{'} = \gamma (x_{i} - vt), \quad x_{j}{'} = x_{j}, \quad t' = \gamma (t - \frac{vx_{i}}{c^{2}})$$,

$$\ x' = xcos(\alpha ) + ysin(\alpha ), y' = -xsin(\alpha )+ ycos(\alpha ) $$,

$$\ x' = xcos(\alpha ) + zsin(\alpha ), z' = -xsin(\alpha ) + z cos(\alpha ) $$,

$$\ y' = ycos(\alpha ) + zsin(\alpha ), z' = -ysin(\alpha ) + zcos(\alpha )$$,

а матриці переходу -

$$\ \hat {L}_{x} = \begin{pmatrix} \gamma_{1} & -\gamma_{1} \frac{v_{1}}{c^{2}} & 0 & 0 \\ -\gamma_{1} v_{1} & \gamma_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \hat {L}_{y} = \begin{pmatrix} \gamma_{2} & 0 & -\gamma_{2} \frac{v_{2}}{c^{2}} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\gamma_{2} v_{2} & 0 & \gamma_{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \hat {L}_{z} = \begin{pmatrix} \gamma_{3} & 0 & 0 & -\gamma_{3} \frac{v_{3}}{c^{2}} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\gamma_{3} v_{3} & 0 & 0 & \gamma_{3} \end{pmatrix}$$,

$$\ \hat {R}_{x} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & cos(\alpha_{1} ) & sin(\alpha_{1} ) \\ 0 & 0 & -sin(\alpha_{1} ) & cos(\alpha_{1} ) \end{pmatrix}, \quad \hat {R}_{y} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\alpha_{2}) & 0 & sin(\alpha_{2} ) \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -sin (\alpha_{2} ) & 0 & cos(\alpha_{2} ) \end{pmatrix}, \quad \hat {R}_{z} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\alpha_{3}) & sin(\alpha_{3}) & 0 \\ 0 & -sin(\alpha_{3}) & cos(\alpha_{3}) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$.

Щоб отримати генератори групи, треба матриці розкласти в ряд по параметрам перетворення, залишивши лише лінійні по параметрам матриці (генератором буде матриця при параметрі). Для матриць перетворення Лоренца у такому випадку $$\ \gamma_{i} \approx 1 $$, для матриць повороту - $$\ cos(\alpha_{i}) \approx 1, sin(\alpha_{i}) \approx \alpha_{i}$$, і тоді генератори перетворень мають вигляд

$$\ \hat {\mathbf L}_{1} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{c^{2}} & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat {\mathbf L}_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\frac{1}{c^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat {\mathbf L}_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{c^{2}} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$,

$$\ \hat {\mathbf R}_{1} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat {\mathbf R}_{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \hat {\mathbf R}_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$.

Алгебру групи визначають комутатори генераторів. На прикладі комутатора генераторів $$\ \hat {\mathbf L}_{1}, \hat {\mathbf L}_{2}$$ перетворення Лоренца можна продемонструвати отримання комутаційних співвідношень:

$$\ [\hat {\mathbf L}_{1}, \hat {\mathbf L}_{2}] = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{c^{2}} & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & -\frac{1}{c^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\frac{1}{c^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{c^{2}} & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{c^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{c^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = $$

$$\ = \frac{1}{c^{2}}\hat {\mathbf R}_{3}$$.

Проводячи аналогічні розрахунки, можна отримати комутаційні співвідпошення для усіх матриць:

$$\ [\hat {\mathbf R}_{i}, \hat {\mathbf R}_{j}] = -\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf R}_{k}, \quad [\hat {\mathbf L}_{i}, \hat {\mathbf R}_{j}] = -\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf L}_{k}, \quad [\hat {\mathbf L}_{i}, \hat {\mathbf L}_{j}] = \frac{1}{c^{2}}\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf R}_{k}$$.

Видно, що при $$\ c \to \infty$$ останній комутатор рівен нулю (результат для генератора перетворення Галілея). Ненульові комутатори для генераторів виражають той факт, що композиція двох перетворень у загальному випадку (або повороти навколо різних вісей, або перетворення Лоренца при непаралельних двох відносних швидкостях) не дає знову перетворення Лоренца. Символи Леві-Чивіта у кожному комутаторі пов'язані з тим, що група Лоренца - група обертання у 4-вимірному просторі-часі.

Як видно, комутатори двох генераторів лоренцевських бустів рівні, з точністю до коефіцієнта, генератору тривимірних обертань. Цей факт пов'язаний із тим, що група Лоренца не є унітарною. Дійсно, перейшовши від антиермітових (комплексне спряження та транспонування дає умову на коефіцієнти $$\ a_{ji}^{*} = -a_{ij}$$) матриць $$\ \hat {\mathbf R}_{i}$$ до матриць $$\ -i\hat {\mathbf R}_{i}$$, які не змінюються при ермітовому спряженні, і від матриць $$\ \hat {\mathbf L}_{i}$$ до матриць $$\ -i\hat {\mathbf L}_{i}$$, можна отримати вирази комутаторів

$$\ [\hat {\mathbf R}_{i}, \hat {\mathbf R}_{j}] = i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf R}^{k}, \quad [\hat {\mathbf L}_{i}, \hat {\mathbf R}_{j}] = i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf L}^{k}, \quad [\hat {\mathbf L}_{i}, \hat {\mathbf L}_{j}] = -i\frac{1}{c^{2}}\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf R}^{k}$$.

Із них видно, що при ермітовому представленні групи обертань група лоренцевських бустів є антиермітовою (а отже, не унітарною) і некомпактною (комутатор двох генераторів бустів дає генератор обертань). Умова унітарності оператора пов'язана із збереженням норми деякої величини незалежно від системи відліку. Отже, таким чином, представленням групи Лоренца не можна описувати частинки (вони мають додатньо визначену лоренц-інваріантну норму, пов'язану із масою, а у квантовій механіці густина їх ймовірності описується додатньо визначеним квадратом модуля амплітуди хвильового вектора).

Розщеплення алгебри групи
Можна "розщепити" алгебру операторів групи Лоренца, ввівши ермітові (в силу ермітовості генератора обертань та антиермітовості генератора бустів) оператори

$$\ \hat {\mathbf J}_{k} = \frac{1}{2}(\hat {\mathbf R}_{k} + \hat {\mathbf L}_{k}), \quad \hat {\mathbf K}_{k} = \frac{1}{2}(\hat {\mathbf R}_{k} - \hat {\mathbf L}_{k})$$.

Їх алгебра задовільняє наступним співвідношенням (що перевіряється за допомогою співвідношень, отриманих для $$\ \hat {R}_{i}, \hat {K}_{i}$$):

$$\ [\hat {\mathbf J}_{i}, \hat {\mathbf J}_{j}] = i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf J}^{k}, \quad [\hat {\mathbf K}_{i}, \hat {\mathbf K}_{j}] = i\varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf K}^{k}, \quad [\hat {\mathbf J}_{i}, \hat {\mathbf K}_{j}] = 0 \qquad (.5)$$.

Можна отримати спектр власних значень для операторів $$\ \hat {\mathbf J}_{3}, \hat {\mathbf K}_{3} $$. Викладки справедливі і для операторів обертання, які утворюють групу $$\ SO(3)$$, і для групи $$\ SU(2)$$, утвореної унітарними матрицями з одиничним визначником. Відповідно до них ці два оператори характеризуються цілим або напівцілим числом $$\ j$$, яке може приймати $$\ 2s + 1$$ значень $$\ s, s - 1, ..., -s$$. Відповідна розмірність матриці оператора - $$\ 2s + 1$$. Заодно можна дослідити теорію оператора моменту імпульсу для координатного представлення (знадобиться для наступного розділу).

Отже, за допомогою введення операторів $$\ \hat {\mathbf J}_{3}, \hat {\mathbf K}_{k}$$ алгебра групи Лоренца розщепилася на дві алгебри виду алгебри груп $$\ SU (2)$$ чи $$\ SO(3)$$. Кожна з алгебр повністю характеризується максимальним власним числом $$\ j_{i}$$. Можна також ввести матриці-оператори, які комутують із усіма операторами відповідної групи. Такі оператори називаються операторами Казиміра. Такими матрицями у даному випадку є квадрати операторів відповідної групи ($$\ \hat {J}_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat {J}_{1} \pm i \hat {J}_{2})$$):

$$\ \hat {\mathbf J}^{2} = \hat {\mathbf J}_{i}\hat {\mathbf J}^{i} = \hat {\mathbf J}_{+}\hat {\mathbf J}_{-} + \hat {\mathbf J}_{-}\hat {\mathbf J}_{+} + \hat {\mathbf J}_{3}^{2}, \quad \hat {\mathbf K}^{2} = \hat {\mathbf K}_{i}\hat {\mathbf K}^{i} = \hat {\mathbf K}_{+}\hat {\mathbf K}_{-} + \hat {\mathbf K}_{-}\hat {\mathbf K}_{+} + \hat {\mathbf K}_{3}^{2}$$.

Нескладно перевірити, що

$$\ [\hat {\mathbf K}_{i}, \hat {\mathbf K}^{2}] = 0, \quad [\hat {\mathbf J}_{i}, \hat {\mathbf J}^{2}] = 0$$,

тому вектори $$\ \psi_{k}$$ операторів відповідної групи являються власними векторами операторів Казимира, і, наприклад, для власного вектора $$\ \psi_{j}$$

$$\ \hat {\mathbf J}^{2} \psi_{j} = \left( \hat {\mathbf J}_{+}\hat {\mathbf J}_{-} + \hat {\mathbf J}_{-}\hat {\mathbf J}_{+} + \hat {\mathbf J}_{3}^{2}\right) \psi_{j} = \left( [\hat {\mathbf J}_{+}, \hat {\mathbf J}_{-}] + 2\hat {\mathbf J}_{-}\hat {\mathbf J}_{+} + {\hat {\mathbf J}_{3}}^{2}\right)\psi_{j} = |\hat {\mathbf J}_{+}\psi_{j} = 0| = (j^{2} + j)\psi_{j} = j(j + 1)\psi_{j}$$.

Дещо відступаючи від теми, варто розкрити зміст операторів Казиміра.

В силу леми Шура, якщо представлення - незвідне, то оператор Казиміра пропорційний одиничній матриці, а отже, незалежно від вектора базису, його дія на цей вектор дає цей же вектор, помножений на одне й те саме число, яке визначає дане представлення. Якщо таких операторів - декілька, то їх набір визначає незвідне представлення з точністю до перетворення еквівалентності. Наприклад, для групи $$\ SO(3)$$ оператором Казиміра є $$\ \hat{\mathbf R}^{2} = -l(l + 1)$$, а зв'язок $$\ l $$ із представленням визначається максимальним значенням оператора $$\ \hat{R}_{3}$$.