Випромінювання системи зарядів. Доведення

Доведення 1
Наближений вираз для векторного потенціалу.

Перший доданок рівен

$$\ \frac{1}{c|\mathbf x |}\int \mathbf j(\mathbf r, T)d^{3}\mathbf r = \left|\mathbf e_{i}\int \nabla (x^{i}\mathbf j )d^{3}\mathbf r = \mathbf e_{i}\int j^{i}d^{3}\mathbf r + \mathbf e_{i}\int x^{i}(\nabla \mathbf j)d^{3}\mathbf r = \int \mathbf e_{i} j^{i}d^{3}\mathbf r - \int \mathbf e_{i}x^{i}\partial_{T}\rho d^{3}\mathbf r = 0\right| = $$

$$\ = \frac{1}{c|\mathbf x |} \int \mathbf r \partial_{T}\rho (\mathbf r, T)d^{3}\mathbf r = \frac{\dot {\mathbf d}}{c|\mathbf x |}$$,

де допоміжний інтеграл рівен нулю через те, що при переході від об'ємного до поверхневого добуток $$\ (\mathbf j \cdot d\mathbf S ) = j_{n}S $$ рівен нулю, і використано рівняння неперевності.

Другий доданок можна перетворити, використовуючи рівність

$$\ \mathbf e_{i}\int \mathbf {\nabla }(\mathbf j x^{i} (\mathbf n \cdot \mathbf r ))d^{3}\mathbf r = \int (\nabla \mathbf j )\mathbf r (\mathbf n \cdot \mathbf r ) d^{3}\mathbf r + \int \mathbf j (\mathbf n \cdot \mathbf r )d^{3}\mathbf r + \int \mathbf r (\mathbf j \cdot \mathbf n )d^{3}\mathbf r = \int (\nabla \mathbf j )\mathbf r (\mathbf n \cdot \mathbf r ) d^{3}\mathbf r + 2\int \mathbf j (\mathbf n \cdot \mathbf r )d^{3}\mathbf r + \int [\mathbf n \times [\mathbf r \times \mathbf j ]]d^{3}\mathbf r =_{right} = 0$$,

де було підставлено $$\ \mathbf r (\mathbf j \cdot \mathbf n )d^{3}\mathbf r = [\mathbf n \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] + \mathbf j (\mathbf n \cdot \mathbf r )$$.

Тоді

$$\ \partial_{T}\int \mathbf j (\mathbf n \cdot \mathbf r )d^{3}\mathbf r = -\frac{1}{2}\partial_{T}\int (\nabla \mathbf j )\mathbf r (\mathbf n \cdot \mathbf r ) d^{3}\mathbf r - \frac{1}{2}\partial_{T}\int [\mathbf n \times [\mathbf r \times \mathbf j ]]d^{3}\mathbf r = \frac{1}{2}\partial^{2}_{T}\int \rho (\mathbf r, T)(\mathbf n \cdot \mathbf r )\mathbf r d^{3}\mathbf r + c [\dot {\mathbf m} \times \mathbf n ]$$.

Далі, перший доданок даної рівності можна перетворити як

$$\ \frac{1}{2}\partial^{2}_{T}\int \rho (\mathbf r, T)(\mathbf n \cdot \mathbf r )\mathbf r d^{3}\mathbf r = \frac{1}{2}\partial^{2}_{T}\int \rho n^{\alpha}r^{\alpha }r^{\beta}\mathbf e_{\beta }d^{3}\mathbf r = \frac{n_{\alpha}\mathbf e_{\beta}}{6}\partial^{2}_{T}\int \rho \left( 3r^{\alpha}r^{\beta } - \delta^{\alpha \beta}r^{2}\right)d^{3}\mathbf r + \frac{n_{\alpha}\mathbf e_{\beta}}{6}\partial^{2}_{T}\int \rho \delta^{\alpha \beta}r^{2}d^{3}\mathbf r = $$

$$\ = \frac{1}{6}\ddot {Q}^{\alpha \beta}n_{\alpha}\mathbf e_{\beta} + \frac{\mathbf n}{6}\int \ddot {\rho} r^{2}d^{3}\mathbf r $$.

Отже, нарешті,

$$\ \mathbf A = \frac{\dot {\mathbf d}}{c|\mathbf x|} + \frac{[\dot {\mathbf m} \times \mathbf n]}{c|\mathbf x|} + \frac{1}{6}\frac{1}{c^{2}|\mathbf x|}\ddot {Q}^{\alpha \beta}n_{\alpha}\mathbf e_{\beta} + \frac{1}{6}\frac{\mathbf n}{c^{2}|\mathbf x|}\int \ddot {\rho} r^{2}d^{3}\mathbf r$$.

Доведення 1
Наближені вирази для полів.

Залишаючи лише члени з $$\ \frac{1}{|\mathbf x |}$$, можна отримати

$$\ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A ] \approx \left[ \nabla \times \left( \frac{\dot {\mathbf d}}{c|\mathbf x|} + \frac{[\dot {\mathbf m} \times \mathbf n]}{c|\mathbf x|} + \frac{1}{6}\frac{1}{c^{2}|\mathbf x|}\ddot {Q}^{\alpha \beta}n_{\alpha}\mathbf e_{\beta} + \frac{1}{6}\frac{\mathbf n}{c^{2}|\mathbf x|}\int \ddot {\rho} r^{2}d^{3}\mathbf r\right)\right]$$.

Подіявши оператором набла на кожен з доданків окремо,

$$\ \frac{1}{c}\left[ \nabla \times \frac{\dot {\mathbf d}}{|\mathbf x|}\right] = -\frac{1}{c|\mathbf x|^{3}}[\mathbf x \times \dot {\mathbf d}] + \frac{1}{c|\mathbf x |}[\nabla \times \dot {\mathbf d} ] \approx \frac{1}{c|\mathbf x |}\varepsilon_{ijk}\mathbf e^{i}\partial^{j}\dot {d}^{k} = \frac{1}{c|\mathbf x |}\varepsilon_{ijk}\mathbf e^{i}\partial^{j}(T)\ddot {d}^{k} = -\frac{1}{c^{2}|\mathbf x |}\varepsilon_{ijk}\mathbf e^{i}n^{j}\ddot {d}^{k} = \frac{1}{c^{2}|\mathbf x|}[\mathbf \ddot {\mathbf d} \times \mathbf n]$$,

$$\ \frac{1}{c}\left[ \nabla \times \frac{\left[\dot {\mathbf m} \times \mathbf x \right]}{|\mathbf x|^{2}}\right] \approx \frac{1}{c|\mathbf x|^{2}}[\nabla \times [\dot {\mathbf m}\times \mathbf x]] \approx -\frac{1}{c|\mathbf x|^{2}}(\mathbf x (\nabla \cdot \dot {\mathbf m }) - (\mathbf x \nabla )\dot {\mathbf m}) = -\frac{1}{c|\mathbf x|^{2}}(\mathbf x (\mathbf n \cdot \ddot { \mathbf m }) - \mathbf e_{i}(\mathbf x \nabla \dot {m}_{i})) = \frac{1}{c^{2}|\mathbf x|^{2}}(\mathbf x (\mathbf n \cdot \ddot { \mathbf m }) - \ddot {\mathbf m} (\mathbf n \cdot \mathbf x)) = $$

$$\ =\frac{1}{c^{2}|\mathbf x |}[[\ddot {\mathbf m }\times \mathbf n]\times \mathbf n]$$.

$$\ \frac{1}{6c^{2}}\left[\nabla \times \frac{\ddot {Q}^{\alpha \beta}\mathbf e_{\alpha }n_{\beta }}{|\mathbf x|}\right] \approx \frac{1}{6}\frac{n_{\beta }}{c^{2}|\mathbf x |}[\nabla \times \ddot {Q}^{\alpha \beta}\mathbf e_{\alpha } ] = \frac{1}{6}\frac{1}{c^{3}|\mathbf x |}[\partial_{T}^{3} \mathbf Q \times \mathbf n]$$,

$$\ \frac{1}{6c}\left[\nabla \times \frac{\mathbf n \int \ddot {\rho} r^{2}d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x|} \right] = 0$$

(оскільки дія ротору зводиться до добутку $$\ [\mathbf n \times \mathbf n ]$$ і до $$\ [\nabla \times \mathbf x ]$$, які рівні нулю),

для індукції можна отримати вираз

$$\ \mathbf B = \frac{1}{c^{2}|\mathbf x |}\left( [\ddot {\mathbf d }\times \mathbf n] + [[\ddot {\mathbf m} \times \mathbf n ]\times \mathbf n ] + \frac{1}{6c}[ \partial_{T}^{3}\mathbf Q \times \mathbf n ]\right)$$.

Аналогічно для $$\ \mathbf E$$:

$$\ \mathbf E = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\partial_{t}\mathbf A$$,

$$\ -\nabla \varphi = -\frac{1}{c}\nabla \left( \frac{(\mathbf n \cdot \dot {\mathbf d} )}{|\mathbf x |}\right) \approx -\frac{1}{c|\mathbf x|}\nabla (\mathbf n \cdot \dot {\mathbf d} ) \approx -\frac{1}{c|\mathbf x|}\left( [\mathbf n \times [\nabla \times \dot {\mathbf d}]] + (\mathbf n \nabla )\dot {\mathbf d }\right) = \frac{1}{c^{2}|\mathbf x |}[[\ddot {\mathbf d }\times \mathbf n] \times \mathbf n ] + \frac{1}{c^{2}}\frac{\ddot {\mathbf d}}{|\mathbf x|}$$,

$$\ -\frac{1}{c^{2}}\partial_{t}\left( \frac{\dot {\mathbf d}}{|\mathbf x|}\right) = -\frac{1}{c^{2}}\frac{\ddot {\mathbf d}}{|\mathbf x|}$$,

$$\ -\frac{1}{c^{2}|\mathbf x|}\partial_{t}\left( [\dot {\mathbf m} \times \mathbf n ]\right) = -\frac{1}{c^{2}|\mathbf x |}[\ddot {\mathbf m }\times \mathbf n ] = \frac{1}{c^{2}|\mathbf x |}[\mathbf n \times \ddot {\mathbf m }]$$,

$$\ -\frac{1}{6c^{3}|\mathbf x|}\partial_{t}\left( \ddot \mathbf Q \right) = -\frac{1}{6c^{3}|\mathbf x|}\partial_{T}^{3} \mathbf Q = -\frac{1}{6c^{3}|\mathbf x|}\partial_{T}^{3} \mathbf Q$$,

$$\ -\frac{\mathbf n}{6 c^{2}|\mathbf x|}\partial_{t}\int \ddot {\rho} r^{2}d^{3}\mathbf r = -\frac{\mathbf n}{6 c^{2}|\mathbf x|}\int \partial_{T}^{3}{\rho} r^{2}d^{3}\mathbf r$$.

Можна показати, що останній доданок рівен $$\ \mathbf n (\partial_{T}^{3}\mathbf Q \cdot \mathbf n)$$ за умови нехтування доданком із $$\ \frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r )^{2}}{c^{2}}$$. Дійсно,

$$\ \mathbf n (\partial_{T}^{3}{\mathbf D} \cdot \mathbf n) = \mathbf n \partial_{T}^{3}\int \rho \left( 3r^{\alpha }r^{\beta}\mathbf e_{\alpha }n_{\beta}\mathbf n - \delta^{\alpha \beta}r^{2}\mathbf e_{\alpha }n_{\beta}\mathbf n \right)d^{3}\mathbf r = \mathbf n \partial_{T}^{3}\int \rho \left( 3(\mathbf n \cdot \mathbf r)^{2} - r^{2}n_{\alpha}n^{\alpha}\right)d^{3}\mathbf r \approx -\mathbf n \partial_{T}^{3}\int \rho r^{2} d^{3}\mathbf r$$.

Тоді можна скласти останній та передостанній доданки і отримати

$$\ -\frac{1}{6c^{3}|\mathbf x|}\partial_{T}^{3} \left( \mathbf Q - \mathbf n (\mathbf Q \cdot \mathbf n )\right)d^{3}\mathbf r = -\frac{1}{6c^{3}|\mathbf x|}[\mathbf n \times [\partial_{T}^{3}\mathbf Q \times \mathbf n]] = \frac{1}{6c^{3}|\mathbf x|} [[\partial_{T}^{3}\mathbf Q \times \mathbf n] \times \mathbf n ]$$.

Отже, якщо все просумувати, можна отримати

$$\ \mathbf E \approx \frac{1}{c^{2}|\mathbf x|}\left( [[\ddot {\mathbf d }\times \mathbf n ]\times \mathbf n ] + \frac{1}{6c}[[\partial_{T}^{3} \mathbf Q \times \mathbf n ]\times \mathbf n ] + [\mathbf n \times \ddot {\mathbf m}] \right)$$