Перенормування зарядів та калібрувальна інваріантність

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Перенормування заряду
Необхідність перенормовування зарядів обумовлена необхідністю перенормування полів. Для того, щоб дійти планомірного висновку про перенормування, треба розглянути (по більшій мірі - згадати, оскільки частинні випадки вже були розглянуті для спінів 0, 1/2; зв'язок зарядів частинок та античастинок розглянуто тут) властивості оператора заряду.

В усіх теоріях комплексних не-майоранівських полів $$\ \Psi (x) $$ існує глобальна фазова інваріантність (що просто доводиться виглядом відповідних польових рівнянь) $$\ \Psi (x) \to e^{-iq_{L}\alpha }\Psi (x)$$. Відповідно до теореми Нетер, інваріантність лагранжіану (а він за необхідністю інваріантний, оскільки теорія інваріантна) відносно таких перетворень дає нетерівський струм $$\ J^{\mu} = \sum_{i}\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{i})}\left(\frac{\partial (e^{-iq_{i}\alpha } \Psi_{i})}{\partial_{\alpha}}\right)_{\alpha \to 0} = -i\sum_{i}q_{i}\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{i})}\Psi_{i}, \quad \partial_{\mu}J^{\mu} = 0$$.

Звідси слідує інваріантність скалярної величини - заряду, якщо існує відповідний їй інтеграл:

$$\ \frac{d}{dt}Q = \frac{d}{dt}\int J_{0}d^{3}\mathbf r = [Q, H]_{P} = 0$$,

де використаний гамільтонів формалізм для еволюції функції через лапки Пуассона.

В силу того, що відповідний оператор заряду є скаляром, його дія на одночастинковий стан дає його ж самого, домноженого на деяку константу:

$$\ \hat {Q}| \mathbf p, \sigma , n\rangle = q_{n}| \mathbf p , \sigma , n\rangle \qquad (1)$$.

Розглянемо тепер випадок, коли фазова інваріантність відповідає наявності електричного заряду. Пов'яжемо цю константу із величиною $$\ q_{L}$$, що стоїть при електромагнітному полі $$\ A_{\mu}$$ при включенні взаємодії із ним (це робить калібрувальну інваріантність локальною; як приклад, див. тут). Спершу визначимо вираз для комутатора

$$\ [\hat {J}_{0}(\mathbf x, t), \hat {\Psi}_{l}(\mathbf y , t)] = -i\sum_{i}q_{i}\left[\frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}\Psi_{i}(\mathbf x , t ))}\Psi_{i}(\mathbf x , t), \Psi_{l}(\mathbf y , t) \right] = -\delta (\mathbf x - \mathbf y )q_{l}\Psi_{l}(\mathbf x , t)$$,

де враховані "традиційні" перестановочні співвідношення для канонічних координат та імпульсів $$\ \pi_{i} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}\Psi_{i})}$$.

Цю ж рівність можна проінтегрувати по $$\ d^{3}\mathbf x$$:

$$\ [\hat {Q}, \hat {\Psi}_{l}(\mathbf y, t)] = -q_{l}\Psi_{l}(\mathbf y , t)$$.

Беручи деяку функцію від полів та їх похідних $$\ F(y)$$, дія оператору заряду на поля-аргументи якої визначена, можна отримати

$$\ [\hat {Q}, \hat {F}(y)] = q_{F}\hat {F}(y) \qquad (2)$$.

Взявши тепер матричний елемент від $$\ (2)$$ з урахуванням $$\ (1)$$, можна отримати

$$\ \langle |[\hat {Q}, \hat {F}(y)]| \mathbf p, \sigma , n\rangle = |\langle 0| \hat {Q} = 0| = -\langle |\hat {F}(y) \hat {Q} |\mathbf p , \sigma , n \rangle = q_{n}\langle |\hat {F}(y)| \mathbf p , \sigma , n\rangle = q_{F}\langle |\hat {F}(y)| \mathbf p , \sigma , n\rangle \Rightarrow (q_{n} - q_{F})\langle |\hat {F}(y)| \mathbf p , \sigma , n\rangle = 0$$.

Звідси слідує, що для ненульових елементів $$\ \langle |\hat {F}(y)| \mathbf p, \sigma , n\rangle$$ виконується рівність $$\ q_{F} = q_{n}$$ (фізичний заряд, який вимірюється, рівний заряду у лагранжіані) для будь-яких одночастинкових станів (у тому числі і тих, поля, що відповідають яким, не входять явно у лагранжіан). Це майже повністю фіксує заряд у теорії із взаємодією (тобто, різні діаграми по випромінюванню та поглинанню фотонів зарядженими частинками не вносять вклад у заряд).

Проте сам заряд $$\ q_{L}$$, що входить у лагранжіан, визначений з точністю до масштабного фактору. А оскільки фізичні заряда визначають відгук поля частинок на перенормоване поле $$\ A_{\mu}$$, а перенормоване поле $$\ A_{\mu}$$ пов'язане із неперенормованим $$\ A_{\mu}^{n}$$ через $$\ A_{\mu} = \frac{1}{\sqrt{Z_{3}}}A_{\mu}^{n}$$ (індекс - історична традиція), то умова того, що перенормоване поле $$\ A_{\mu}$$ входить у лагранжіан через подовження похідної як $$\ \partial_{\mu} - iq_{L}A_{\mu}$$, дає визначення фізичного заряду через "голий":

$$\ q_{L} = \sqrt{Z_{3}}q_{L}^{n}$$.

Коефіцієнт $$\ Z_{3}$$ однаковий для усіх частинок, що для сильновзаємодіючого протона, що для позитрона. Це означає, що якимось чином усі поправки до заряду, що виникають через перенормування полів частинок (відповідних мас і пропагаторів), повинні "скорочуватись" пи вкладі у заряд (еквівалентно - скорочуються поправки до пропагаторів та електромагнітних вершин взаємодії заряджених частинок). Кількісно це можна показати через тотожності Уорда-Такахаші, що розглянуті нижче.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Тотожності Уорда
Розглянемо вираз

$$\ \int d^{4}xd^{4}yd^{4}z e^{-ikx - ipy + imz}\langle | \hat {N}\left( \hat {J}^{\mu}(x)\hat {\Psi}_{l}(y)\hat {\bar {\Psi}}_{n}(z)\right)|\rangle = -iqS_{ll'}(k)\Gamma^{\mu}_{l' n'}(k, p)S_{n' n}(p)\delta (m - k - p) \qquad (3)$$,

визначивши через нього електромагнітну діраківську вершину $$\ \Gamma^{\mu}$$.

Тут $$\ \hat {\Psi}_{l}(y)$$ - діраківське поле, вираз $$\ S_{ll'}(k)$$,

$$\ -iS_{ll'}(k)\delta (k - p) = \int d^{4}yd^{4}z e^{-iky + ipz}\langle | \hat {N}\left( \Psi_{l}(y)\bar {\Psi}_{l'}(z)\right)|\rangle$$,

визначає точний діраківський пропагатор (тобто суму всіх діаграм із однією in-лінією і однією out-лінією ферміона спіну $$\ \frac{1}{2}$$), а сам вираз $$\ (3)$$ відповідає сумі діаграм, що відповідають точному діраківському пропагатору; при цьому також є зовнішня фотонна лінія, але коефіцієнтна функція для неї опущена.

Якщо взаємодія відсутня, то функції $$\ S(k), \Gamma^{\mu}$$ набувають вигляду

$$\ S(k) \to \frac{\gamma^{\mu}k_{\mu} + m}{k^{2} - m^{2} + i\varepsilon}, \quad \Gamma^{\mu} \to \gamma^{\mu}$$.

Визначимо співвідношення між $$\ S(k), \Gamma^{\mu}$$ у теорії із взаємодією. Для цього використаємо тотожність

$$\ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\hat {N}\left( \hat {J}^{\mu}(x)\hat {\Psi}_{n}(y)\hat {\bar {\Psi}}_{m}(z)\right) = \hat {N}\left((\partial_{\mu}J^{\mu}) \hat {\Psi}_{n}(y)\hat {\bar {\Psi}}_{m}(z)\right) + \delta (x_{0} - y_{0})\hat {N}\left( [\hat {J}^{0}(x),\hat {\Psi}_{n}(y)]\hat {\bar {\Psi}}_{m}(z)\right) + \delta (x_{0} - z_{0})\hat {N}\left( \hat {\Psi}_{n}(y)[\hat {J}^{0}(x), \hat {\bar {\Psi}}_{m}(z)]\right)$$,

де дельта-функції виникають внаслідок наявності функцій Хевісайда у часовому впорядкуванні. Враховуючи закон збереження струму, комутаційні співвідношення із минулого розділу, $$\ [\hat{J}_{0}(\mathbf x, t), \hat {\Psi}_{n}(\mathbf y , t)] = -q\delta (\mathbf x - \mathbf y)\hat {\Psi}_{n}(\mathbf y , t)$$ (для спряженого спінора комутаційне співвідношення буде, вочевидь, відрізнятися знаком), можна отримати

$$\ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}}\hat {N}\left( \hat {J}^{\mu}(x)\hat {\Psi}_{n}(y)\hat {\bar {\Psi}}_{m}(z)\right) = -q\delta (x - y)\hat {N}\left(\hat {\Psi}_{n}(y)\hat {\bar {\Psi}}_{m}(z) \right) + q\delta (x - z)\hat {N}\left(\hat {\Psi}_{n}(y)\hat {\bar {\Psi}}_{m}(z) \right)$$.

Взявши Фур'є-перетворення від даного співвідношення і використавши означення функцій $$\ S, \Gamma^{\mu}$$ із $$\ (3)$$, можна отримати

$$\ (l - k)_{\mu}S(k)\Gamma^{\mu}(k, l)S(l) = iS(l) - iS(k)$$,

або ж

$$\ (l - k)_{\mu}\Gamma^{\mu}(k, l) = iS^{-1}(k) - iS^{-1}(l) \qquad (4)$$.

Вираз $$\ (4)$$ називається тотожністю Уорда-Такахаші. Нехай тепер $$\ l \to k$$. Тоді з $$\ (4)$$ можна отримати тотожність Уорда:

$$\ \Gamma^{\mu}(k, k) = -i\frac{\partial}{\partial k_{\mu}}S^{-1}(k)$$.

Як відомо із попереднього розділу, $$\ S^{-1}(k) = i\gamma^{\mu}k_{\mu} - m - i\Eta (k^{\mu}\gamma_{\mu})$$, тому з тотожності Уорда маємо

$$\ \Gamma^{\mu}(k, k) = \gamma^{\mu} + i\frac{\partial }{\partial k_{\mu}}\Eta (k^{\mu}\gamma_{\mu})$$.

Якщо діраківське поле - перенормоване, то на масовій оболонці (спінорні хвилі задовольняють рівнянню Дірака, а похідна від поправки до пропагатора на масовій оболонці рівна нулю)

$$\ \bar {u}{'}(k)\Gamma^{\mu}(k, k)u (k) = \bar {u}{'}(k)\gamma^{\mu}(k, k)u (k)$$.

Тобто, перенормування діраківського поля забезпечує скорочення поправок до вершинної функції $$\ \Gamma^{\mu}$$ на масовій оболонці ферміонів, що взаємодіють з ЕМ полем при нульовій передачі імпульсу, що відповідає процедурі вимірювання електричного заряду.

Калібрувальна інваріантність на мові фейнманівських діаграм
Розглянемо теорії типу спінорної електродинаміки. Для них матричним елементом із випромінюванням та поглинанням фотонів, що мають 4-імпульси $$\ q_{1},q_{2}$$ є вираз

$$\ M_{ab}^{\mu_{1}\mu_{2}...} = \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}... e^{-iq_{1}x_{1}-iq_{2}x_{2}-...}\langle b| \hat{N}(\hat{J}^{\mu_{1}}(x_{1})\hat{J}^{\mu_{2}}(x_{2})...)|a\rangle \qquad (5)$$.

Тут пропагаторні функції та поляризаційні вектори для фотонів опущені.

Виконується рівність

$$\ q_{\mu_{i}}M^{...\mu_{i}...}_{ab} = 0 \qquad (6)$$

для будь-якого індексу.

Дійсно, після інтегрування лівої частини $$\ (6)$$ по частинам (амплітуда дається інтегралом $$\ (5)$$) можна отримати, що

$$\ q_{\mu_{i}}M^{...\mu_{i}...} = i \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}... \partial_{\mu_{i}}\left(e^{-iq_{1}x_{1}-iq_{2}x_{2}-...}\right)\langle b| \hat{N}(\hat{J}^{\mu_{1}}(x_{1})\hat{J}^{\mu_{2}}(x_{2})...)|a\rangle = -i\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1} -...}\langle b| \partial_{\mu_{i}}\hat{N}\left( ...\hat{J}^{\mu_{i}}(x_{i})...\right)| a\rangle $$.

Похідна у інтегралі рівна нулю. Дійсно, для випадку двох струмів

$$\ \partial_{\mu}\hat{N}\left(\hat{J}^{\mu }(x)\hat{J}^{\nu}(y)\right) = \partial_{\mu}(\theta (x^{0} - y^{0})\hat{J}^{\mu }(x)\hat{J}^{\nu}(y) + \theta (y^{0} - x^{0})\hat{J}^{\nu }(y)\hat{J}^{\mu}(x)) = \delta (x^{0} - y^{0})[\hat{J}^{0}(x), \hat{J}^{\nu}(y)] + \partial_{\mu}\hat{J}^{\mu}(x) J^{\mu}(y) = $$

$$\ = \left|[\hat{J}^{0}(x), \hat{J}^{\nu}(y)] = -q_{J}J^{\nu}(x)\delta (\mathbf x - \mathbf y), \quad \partial_{\mu}J^{\mu} = 0 \right| = 0 \qquad (7)$$,

де враховано, що заряд, що переноситься струмом $$\ J$$, рівний нулю, оскільки наша теорія - типу спінорної електродинаміки.

Отже, рівність $$\ (6)$$ доведена. Тепер можна перейти до наслідків із неї. Один із наслідків - інваріантність $$\ (5)$$ (вже доповненої поляризаційними векторами і пропагаторами фотонів) відносно заміни поляризаційних векторів на $$\ \varepsilon^{\lambda}_{\mu}(q) \to \varepsilon^{\lambda}_{\mu}(q) + aq_{\mu}$$ і пропагаторів на $$\ D_{\mu \nu}(q) \to D_{\mu \nu}(q) + c_{\mu}q_{\nu} + d_{\nu}q_{\mu}$$. Тут $$\ c, d, a$$ - довільні величини. Для доведення випишемо явно матричний член $$\ (5)$$ із пропагаторами і поляризаційними векторами:

$$\ M_{ab} = \int d^{4}q_{1}...\varepsilon^{\lambda_{1}}_{\mu_{1}}(p_{1})...(\varepsilon^{\lambda{'}_{1}}_{\epsilon_{1}})^{*}(P_{1})...D_{\nu_{1}\rho_{1}}(q_{1})M^{\mu_{1}...\epsilon_{1}...\nu_{1}\rho_{1}...}(p, q, P)$$.

Тому інваріантність відносно вищенаведених перетворень є очевидною. Варто зазначити, що ця інваріантність виконується не для окремих діаграм, а лише для сум діаграм для даного порядку. Окрім того, варто відмітити цікавий факт: справедливість отриманих у даному підрозділі результатів не залежить від того, якою є маса у фотона, оскільки струм $$\ J^{\mu}$$ зберігається у будь-якому разі: при нульовій масі він зберігається внаслідок локальної калібрувальної симетрії, а при ненульовій - внаслідок глобальної калібрувальної симетрії.

Застосування цього результату є дуже широким. В частинному випадку воно дозволяє знайти вигляд для точного фотонного пропагатора. Він має вигляд

$$\ D_{\mu \nu}{'}(q) = D_{\mu \nu}(q) + D_{\mu \rho }(q)M^{\rho \sigma }(q)M_{\sigma \nu}(q)$$,

де $$\ M^{\rho \sigma}$$ пропорційний $$\ (5)$$ із двома струмами, а $$\ D_{\mu \nu}(q)$$ - вільний пропагатор, що в $$\ \epsilon$$-незалежному калібруванні має вигляд

$$\ D_{\mu \nu}(q) = \frac{g_{\mu \nu} - \epsilon (q)\frac{q_{\mu}q_{\nu}}{q^{2}}}{q^{2} - i\varepsilon} $$.

Оскільки виконується рівність $$\ (6)$$, то

$$\ q^{\mu}D_{\mu \nu}{'}(q) = -\varepsilon (q^{2})\frac{q_{\nu}}{q^{2} - i\varepsilon}$$.

З іншого боку, точний фотонний пропагатор (по аналогії із точними пропагаторами для скалярних і спінорних частинок) можна подати як

$$\ D_{\mu \nu}{'}(q) = D_{\mu \nu}(q) + (D(q)\Pi (q)D(q))_{\mu \nu} + ... = \left(\frac{1}{\Delta (q)^{-1} + \Pi (q)^{-1}}\right)_{\mu \nu}$$,

або ж

$$\ D_{\mu \nu}{'}(q) = D_{\mu \nu}(q) + D_{\mu \rho } (q)\Pi^{\rho \sigma }(q)M_{\sigma \nu}(q)$$.

Звідси для задовільнення $$\ (6)$$ повинно бути $$\ q_{\rho}\Pi^{\rho\sigma} = 0$$. Звідси і з умови лоренц-коваріантності повинно бути

$$\ \Pi^{\rho \sigma} = (q^{2}g^{\rho \sigma} - q^{\rho}q^{\sigma})\pi (q^{2})$$.

Звідси повний фотонний пропагатор має вигляд

$$\ D_{\mu\nu}{'}(q) = \frac{g_{\mu \nu} - \tilde{\varepsilon}\frac{q_{\mu} q_{\nu}}{q^{2}}}{(q^{2} - i\varepsilon )(1 - \pi^{2}(q))}, \quad \tilde{\varepsilon} = \varepsilon (1 - \pi (q^{2})) + \pi (q^{2}) \qquad (8)$$.

Оскільки далі $$\ \Pi (q^{2})$$ містить вклади лише від однофотонно незвідних діаграм, можна очікувати, що вона не має полюса при $$\ q^{2} = 0$$. Відсутність полюса при доданку із $$\ q^{2} $$ в $$\ \Pi (q)$$ каже про те, що у $$\ \pi (q)$$ також немає такого полюса. Звідси слідує, що полюс у точному пропагаторі залишається в $$\ q^{2} = 0$$, що означає, що фотон не набуває маси внаслідок радіаційних поправок.

Нарешті, визначимо константу перенормування ЕМ поля $$\ Z_{3}$$. Для перенормованого поля радіаційні поправки не змінюють калібрувально-інваріантну частину лишку в $$\ (8)$$, тому $$\ \pi (0) = 0 $$. Лагранжіан перенормованої електродинаміки має вигляд

$$\ L = -\frac{1}{4}Z_{3}(\partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu})^{2} + L_{M}(\Psi, (\partial_{\mu} - iq\sqrt{Z_{3}}A_{\mu}\Psi ))$$.

Переписавши його як

$$\ L = L_{0} + L_{1}, \quad L_{0} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}, \quad L_{1} = -\frac{1}{4}(Z_{3} - 1)F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} + L_{M}(\Psi, (\partial_{\mu} - iq_{0}A_{\mu}\Psi ))$$,

маємо загальний вигляд для $$\ \pi (q^{2}): \pi (q^{2}) = 1 - Z_{3} + \pi_{loop}(q^{2})$$.

Умова $$\ \pi (0) = 0$$ дає $$\ Z_{3} = 1 + \pi_{loop}(0)$$.

Власна енергія фотона
Користуючись виразом вище, можна знайти константу перенормування фотонного поля та, відповідно, константу перенормування заряду, із використанням однопетльових діаграм. Без тотожності Уорда довелося би розраховувати константи перенормування вершинної функції і константу перенормування ферміонів (що доведеться робити у КХД), оскільки

$$\ q_{r} = q\frac{Z_{2}\sqrt{Z_{3}}}{Z_{1}}$$,

де $$\ Z_{2}$$ - відома із попередньої статті константа перенормування ферміонних полів, $$\ Z_{1}$$ - константа перенормування вершинної функції. Проте, як було пояснено у підрозділі вище, в силу тотожності Уорда $$\ Z_{1} = Z_{2}$$, і $$\ q_{r} = q\sqrt{Z_{3}}$$.

Отже, власна енергія фотона має вигляд

$$\ \Pi^{\mu \nu}(q) = -iq^{2}\int \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}}Tr \left( \frac{\gamma^{\mu}(k\!\!\!/ +m)}{k^{2} - m^{2} + i\epsilon}\gamma^{\nu}\frac{(k\!\!\!/ - p\!\!\!/ + m)}{(p - k)^{2} - m^{2} + i\epsilon }\right)$$.

Як і власну енергію електрона, розрахуємо власну енергію фотона методом розмірної регуляризації. Представивши знаменник як

$$\ \frac{1}{(k^{2} - m^{2} + i\epsilon )((k - p)^{2} - m^{2} + i\epsilon)} = \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{((k - p)^{2} - m^{2})x - (k^{2} - m^{2})(1 - x))^{2}} = \int \frac{dx}{((k - px)^{2} - (m^{2} - p^{2}x(1 - x)))^{2}}$$,

зробивши зсув $$\ k \to k + px$$, відкинувши лінійні по $$\ k$$ доданки у чисельнику, перейшовши до розмірної регуляризації $$\ \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}} \to \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}$$ і використавши тотожність $$\ Tr(\gamma_{\mu}\gamma_{\alpha}\gamma_{\nu}\gamma_{\beta}) = 4(g_{\mu \beta}g_{\nu \alpha} - g_{\mu \nu}g_{\alpha \beta} + g_{\mu \alpha}g_{\nu \beta})$$,

можна отримати

$$\ \Pi^{\mu \nu}(q) = -4ie^{2}\int dx \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{-(2p^{\mu}p^{\nu} - g^{\mu \nu}p^{2})x(1 - x) + (2k^{\mu}k^{\nu} - g^{\mu \nu}k^{2}) + m^{2}g^{\mu \nu})}{(k^{2} - (m^{2} - p^{2}x(1 - x)))^{2}}$$.

Для обчислення інтегралів по $$\ k$$ можна використати вирази

$$\ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{1}{(k^{2} - \Delta)^{2}} = \frac{i\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}\Delta^{2 - \frac{d}{2}}}, \quad \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{k^{2}}{(k^{2} - \Delta)^{2}} = -\frac{ig^{\mu \nu}d}{2}\frac{\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}\Delta^{2 - \frac{d}{2}}}, \quad \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{k^{\mu}k^{\nu}}{(k^{2} - \Delta)^{2}} = -\frac{ig^{\mu \nu}}{2}\frac{\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}\Delta^{2 - \frac{d}{2}}}$$

тут ($$\ \Delta = m^{2} - p^{2}x(1 -x)$$).

Із ними

$$\ \Pi^{\mu \nu}(q) = 4\frac{q^{2}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\left[-\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2} \right)(2p^{\mu}p^{\nu} - g^{\mu \nu}p^{2})\int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{\Delta^{2 - \frac{d}{2}}} - \Gamma \left( 1 - \frac{d}{2} \right)(d - 2)\frac{g^{\mu \nu}}{2}\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{\Delta^{1 - \frac{d}{2}}} + m^{2} g^{\mu \nu}\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{\Delta^{2 - \frac{d}{2}}}\right] = $$

$$\ = \left| \left(1 - \frac{d}{2}\right)\Gamma \left(1 - \frac{d}{2}\right) = \Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)\right| = \frac{4q^{2}}{16 \pi^{2}}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)\left[ -(2p^{\mu}p^{\nu} - g^{\mu \nu}p^{2})\int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{\Delta^{2 - \frac{d}{2}}} + g^{\mu \nu}\int \limits_{0}^{1}\frac{m^{2} - m^{2} + p^{2}x(1 - x)}{\Delta^{2 - \frac{d}{2}}}\right] = $$

$$\ = -\frac{q^{2}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{2 \pi^{2}}(p^{\mu}p^{\nu} - g^{\mu \nu}p^{2})\int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{\Delta^{2 - \frac{d}{2}}}$$.

Для виділення розбіжної частини треба замінити $$\ \Delta^{2 - \frac{d}{2}}$$ на $$\ \mu^{4 - d}$$: тоді

$$\ \Pi^{\mu \nu}(q) = -\frac{q^{2}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{2 \pi^{2}\mu^{4 - d}}(p^{\mu}p^{\nu} - g^{\mu \nu}p^{2})\int \limits_{0}^{1}x(1 - x)dx = -\frac{q^{2}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{12 \pi^{2}\mu^{4 - d}}(p^{\mu}p^{\nu} - g^{\mu \nu}p^{2})$$.

Отже, тепер

$$\ Z_{3} = 1 - \frac{q^{2}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{12 \pi^{2}\mu^{4 - d}}$$,

і

$$\ q_{r} = q\sqrt{1 - \frac{q^{2}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{12 \pi^{2}\mu^{4 - d}}}$$.

У подальшому буде показано, що усю залежність від $$\ 4 - d = \varepsilon, \mu$$ можна "заховати" у $$\ ln \left(\frac{\Lambda}{\mu} \right)$$, де $$\ \Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right) \approx \frac{2}{\varepsilon} \sim ln \left( \frac{\Lambda^{2}}{\mu^{2}}\right)$$. Для цього треба знайти бета-функцію (вираз $$\ (10)$$)

$$\ \beta (q) = \mu \frac{dq_{r}(q, \mu)}{d\mu} \approx q\mu \frac{d}{d \mu}\left( \frac{1}{2}\delta_{3}\right), \quad \delta_{3} = Z_{3} - 1$$,

$$\ \beta (q) = q^{3} \mu \frac{d}{d\mu}\lim_{\varepsilon \to 0}\left[ -\frac{ln\left( \frac{\Lambda}{\mu}\right)}{12 \pi^{2}\mu^{\varepsilon}}\right] = \frac{q^{3}}{12 \pi^{2}}$$.

Аналогічно, ввівши константу $$\ \alpha = \frac{q^{2}}{4 \pi}$$, маємо

$$\ \alpha_{r} = \alpha \sqrt{1 - \frac{\alpha \Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{3 \pi \mu^{4 - d}}} \Rightarrow \beta (\alpha ) = \frac{\alpha^{2}}{3 \pi}$$.

Підставивши це у ренормгрупове рівняння $$\ (6)$$ на "біжучу" константу зв'язку

$$\ t \partial_{t} \bar{\alpha}(t, \alpha) = \beta (\bar{\alpha}) = \frac{\bar{\alpha}^{2}}{3 \pi} \Rightarrow |\bar{\alpha} (1, \alpha ) = \alpha |\Rightarrow \bar{\alpha}(t, \alpha)= \frac{\alpha}{1 - \alpha \frac{\pi}{3}ln(t)}, \quad t = \frac{\Lambda}{\mu}$$.

Це означає, що при рості енергії константа зв'язку збільшується.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Тотожності Уорда та континуальний інтеграл
Розглянемо континуальний інтеграл у деякій теорії:

$$\ Z[J] = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x (L(\varphi ) + \varphi J)} $$.

Нехай здійснюється деяке інфінітезимальне перетворення, що задається функцією $$\ \omega (x)$$: $$\ \varphi \to \varphi^{\omega} \tilde{=} \varphi + \delta_{\omega}\varphi $$. Така заміна не змінює континуальний інтеграл, оскільки він являється трансляційно-інваріантним. Відповідно,

$$\ \left(\frac{\delta }{\delta \omega (x)}\int D \varphi^{\omega}e^{i \int d^{4}z(L(\varphi ) + \delta_{\omega}L(\varphi ) + \varphi J + \delta_{\omega}\varphi J)}\right)_{\omega = 0} = 0 \qquad (9)$$.

Спростимо $$\ (9)$$, враховуючи формулу $$\ det M = e^{Tr(ln(M))}$$:

$$\ D\varphi^{\omega} = D\varphi det \left( \frac{\partial \delta_{\omega}\varphi }{\partial \varphi }\right), \quad det \left( \frac{\partial \delta_{\omega}\varphi }{\partial \varphi }\right) = e^{Tr\left(ln\left[ \frac{\partial }{\partial \varphi }(1 + \delta_{\omega} \varphi )\right] \right)} \approx \left| ln(1 + x) \approx x \right| \approx e^{Tr \left( \frac{\partial \delta_{\omega}\varphi }{\partial \varphi }\right)}\approx 1 + Tr \left( \frac{\partial \delta_{\omega}\varphi }{\partial \varphi }\right)$$,

$$\ e^{i \int d^{4}z(L(\varphi ) + \delta_{\omega}L(\varphi ) + \varphi J + \delta_{\omega}\varphi J)} \approx (1 + \int d^{4}y \left( \delta_{\omega}L(\varphi )+ \delta_{\omega}\varphi J \right))e^{i \int d^{4}z(L(\varphi ) + \varphi J)}$$.

Відповідно, $$\ (9)$$ набуде вигляду

$$\ \left(\frac{\delta }{\delta \omega (x)}\int D \varphi \left[ Tr \left( \frac{\partial \delta_{\omega}\varphi }{\partial \varphi }\right) + i\int d^{4}y \left( \delta_{\omega}L(\varphi )+ \delta_{\omega}\varphi J \right)\right] e^{i \int d^{4}z(L(\varphi ) + \varphi J)}\right)_{\omega = 0} = 0 \qquad (10)$$.

Розглянемо конкретні застосування ідеї виразу $$\ (9)-(10)$$ на прикладі спінорної квантової електродинаміки. Вона $$\ L = L_{0} + L_{\alpha}$$, де

$$\ L_{0} = \bar {\Psi}(\gamma^{\mu}iD_{\mu} - m)\Psi - \frac{1}{16 \pi}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$$,

а $$\ L_{\alpha} -\frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}A^{\mu})^{2}$$ забезпечує можливість застосування континуального інтегрування для КЕД і не порушує калібрувальну інваріантність усієї S-матриці.

Для цього використаємо функціонал

$$\ Z[J] = \int D\bar{\Psi}D\Psi D A e^{i\int d^{4}x \left( L + J^{\mu}A_{\mu} + \bar{\eta}\Psi + \bar{\Psi}\eta \right)}$$

і розглянемо його інваріантність відносно перетворень

$$\ \Psi \to \Psi^{\omega} = \Psi (1 + iq\omega ), \quad \bar{\Psi} \to \bar{\Psi}^{\omega} = \bar{\Psi}(1 - iq\omega ), \quad A_{\mu} \to A_{\mu}^{\omega} = A_{\mu} - \partial_{\mu}\omega$$.

Перетворення міри континуального інтегралу у першому порядку по $$\ \omega $$ дорівнює одиниці,

$$\ \prod_{\Psi, \bar{\Psi}, A} \left[ \left( \frac{\partial \delta_{\omega}\varphi }{\partial \varphi }\right) \right] = 1$$,

і тоді, за ідеєю $$\ (10)$$, маємо

$$\ \int D\bar{\Psi}D\Psi DA \int d^{4}x\left(\delta_{\omega}L +iq\omega \bar{\eta}\Psi -iq\omega \bar{\Psi} - J^{\mu}\partial_{\mu}\omega \right)e^{i\int d^{4}y \left( L + J^{\mu}A_{\mu} + \bar{\eta}\Psi + \bar{\Psi}\eta \right)} = 0$$.

Величина $$\ \delta_{\omega}L$$ дорівнює (використаний той факт, що під знаком інтегралу похідні можна "перекидати")

$$\ \delta_{\omega}L = \frac{1}{\alpha}\partial^{2}\omega \partial_{\mu}A^{\mu} \to \frac{1}{\alpha}\omega \partial^{2}\partial_{\mu}A^{\mu}$$,

і тому

$$\ \int D\bar{\Psi}D\Psi DA \int d^{4}x\left(\frac{1}{\alpha}\omega \partial^{2}\partial_{\mu}A^{\mu} +iq\omega \bar{\eta}\Psi -iq\omega \bar{\Psi}\eta - J^{\mu}\partial_{\mu}\omega \right)e^{i\int d^{4}y \left( L + J^{\mu}A_{\mu} + \bar{\eta}\Psi + \bar{\Psi}\eta \right)} = 0 $$,

або, переписавши через варіаційні похідні,

$$\ \int d^{4}x \omega \left(\frac{1}{\alpha} \partial^{2}\partial_{\mu}\left( \frac{\delta}{i\delta J_{\mu}}\right) +iq \bar{\eta}\frac{\delta }{i\delta \bar{\eta}} -iq \eta\frac{\delta }{i\delta \eta} +\partial_{\mu}J^{\mu} \right)Z[J, \eta, \bar{\eta}] = 0$$.

Звідси маємо тотожності Уорда для КЕД:

$$\ \left(\frac{1}{\alpha} \partial^{2}\partial_{\mu}\left( \frac{\delta}{i\delta J_{\mu}}\right) +i q\bar{\eta}\frac{\delta }{i\delta \bar{\eta}} -iq \eta\frac{\delta }{i\delta \eta} +\partial_{\mu}J^{\mu} \right)Z[J, \eta, \bar{\eta}] = 0 \qquad (11)$$.

$$\ (11)$$ також можна переписати у термінах генеруючого функціоналу для сильнозв'язних діаграм.

Враховуючи, що функціонал $$\ Z[J]$$ пов'язаний із генеруючим функціоналом для зв'язних діаграм як $$\ Z[J] = e^{iW[J]}$$. Далі, в силу лінійності по полям виразу $$\ (11)$$ його можна переписати як

$$\ \partial_{\mu}J^{\mu} + \left(-i q\eta\frac{\delta }{\delta \eta} + i q\bar{\eta}\frac{\delta }{i\delta \bar{\eta}} + \frac{1}{\alpha} \partial^{2}\partial_{\mu}\left( \frac{\delta}{i\delta J_{\mu}}\right)\right)W[J, \eta , \bar{\eta}] = 0 \qquad (12)$$.

Генеруючий функціонал $$\ W$$ пов'язаний із генеруючим функціоналом для сильнозв'язних діаграм $$\ \Gamma$$ як

$$\ \Gamma = W - \int d^{4}x (J^{\mu}A_{\mu} + \bar{\eta}\Psi + \bar{\Psi}\eta )$$,

окрім того, маємо наступні вирази для струмів і полів через варіаційні похідні по сильнозв'язному та зв'язному функціоналах відповідно (нагадаю, це слідує із їх введення):

$$\ J_{\mu} = -\frac{\delta \Gamma}{\delta A_{\mu}}, \quad \eta = -\frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{\Psi}}, \quad \bar{\eta} = -\frac{\delta \Gamma}{\delta \Psi}$$,

$$\ A_{\mu} = \frac{\delta W}{i\delta J_{\mu}}, \quad \Psi = \frac{\delta W}{i\delta \bar{\eta}}, \quad \bar{\Psi} = \frac{\delta W}{i\delta \eta}$$.

Отже, тотожність Уорда перепишеться як

$$\ \frac{1}{\alpha}\partial^{2}\partial_{\mu}A^{\mu} - \partial_{\mu}\frac{\delta \Gamma}{\delta A_{\mu}} + iq\frac{\delta \Gamma}{\delta \Psi}\Psi - iq\bar{\Psi}\frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{\Psi}} = 0 \qquad (13)$$.

Цей вираз є зручним у отриманні окремих тотожностей Уорда, що буде продемонстровано нижче.

Тотожності Уорда-Такахаші і поляризація вакууму
Проваріюємо $$\ (13)$$ по $$\ \frac{\delta^{2}}{\delta \Psi_{a}(y)\delta \bar{\Psi}_{b}(z)}$$. Отримаємо

$$\ \partial_{x}^{\mu}\frac{\delta^{3}\Gamma}{\delta \Psi_{a}(y)\delta \bar{\Psi}_{b}(z)\delta A^{\mu}(x)} = iq\left( \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta \Psi_{a}(y)\delta \bar{\Psi}_{b}(x)}\delta (x - z) - \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta \Psi_{a}(x)\delta \bar{\Psi}_{b}(z)}\delta (x - y)\right)$$,

або ж, у компактному вигляді,

$$\ \partial_{x}^{\mu}\Gamma_{\mu ba}(x, y, z) = iq\left(\Gamma_{ba}(x, y) \delta (x - z) - \Gamma_{ba}(z, x) \delta (x- y)\right)$$.

Отже, отримана тотожність Уорда-Такахаші.

Далі, проваріюємо $$\ (13)$$ по $$\ \frac{\delta}{\delta A_{\nu}(z)}$$, поклавши всі поля рівними нулю: отримаємо

$$\ \frac{1}{\alpha}\partial^{2}\partial_{\mu}g^{\mu \nu}\delta (x - z) = \partial^{x}_{\mu} \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta A_{\nu}(z) \delta A_{\mu}(x)} \qquad (14)$$.

У імпульсному представленні отримаємо

$$\ \frac{1}{\alpha}p^{2}p^{\nu} = p_{\mu}G^{\mu \nu}(p) \qquad (15)$$

(тут $$\ G_{\mu \nu}$$ - повний пропагатор). Ця рівність доводить, що продольні вклади від радіаційних поправок для повного пропагатора дорівнюють нулю. Дійсно, розділимо $$\ (G^{\mu \nu})^{-1}(p)$$ на поперечну та продольну частини:

$$\ G_{\mu \nu}(p) = A(p^{2})g_{\mu \nu} + B(p^{2})\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{p^{2}}$$.

Підставимо це у $$\ (15)$$: отримаємо $$\ A(p^{2}) + B(p^{2}) = \frac{1}{\alpha}$$, звідки

$$\ G_{\mu \nu}(p) = A(p^{2})\left( g_{\mu \nu} - \frac{p_{\mu} p_{\nu}}{p^{2}}\right) + \frac{1}{\alpha p^{2}}p_{\mu}p_{\nu}$$.

Отже, непертурбативним чином доведено, що пропагатор дійсно має поперечну структуру для усієї теорії, оскільки вклад від $$\ \alpha$$, як показано у відповідному розділі, не впливає на інваріантність усієї теорії.