Випадок комплексного скалярного поля

Повернутися до розділу "Спін 0".

Лагранжів формалізм, квантування, античастинки
Для випадку комплексного скалярного поля у розв'язку рівняння поля

$$\ \hat {\varphi} (x) = \int \left( \hat {a}_{\mathbf p}e^{ipx} + \hat {b}^{+}_{\mathbf p}e^{-ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\varphi}^{+}(x) = \int \left( \hat {a}^{+}_{\mathbf p}e^{-ipx} + \hat {b}_{\mathbf p}e^{ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}}$$

оператор $$\ \hat {b}^{+}$$ не відповідає ермітово спряженому оператору $$\ \hat {a}$$. Таким чином, оператори $$\ \hat {a}^{+}, \hat {b}^{+}$$ відповідають частинкам одного поля, проте різних "сортів" (про це - див. нижче). Відповідно, накладаються наступні комутаційні співвідношення:

$$\ [a_{\mathbf p }, a^{+}_{\mathbf k }] = \delta (\mathbf p - \mathbf k), \quad [b_{\mathbf p }, b^{+}_{\mathbf k}] = \delta (\mathbf p - \mathbf k), \quad [a_{\mathbf p }, b_{\mathbf k }] = 0, ...$$.

Вирази для енергії-імпульсу рівні

$$\ \hat {\mathbf P} = \int \mathbf k \left( \hat {a}^{+}_{\mathbf k}\hat {a}_{\mathbf k } + \hat {b}^{+}_{\mathbf k}\hat {b}_{\mathbf k}\right)d^{3}\mathbf k, \quad \hat {H} = \int \epsilon_{\mathbf k} \left( \hat {a}^{+}_{\mathbf k}\hat {a}_{\mathbf k } + \hat {b}^{+}_{\mathbf k}\hat {b}_{\mathbf k}\right)d^{3}\mathbf k$$.

Аналогічно до розрахунків із дійсним полем, просто показується, що

$$\ [\hat {H}, \hat {a}^{+}_{\mathbf p}] = \epsilon_{\mathbf p}\hat {a}^{+}_{\mathbf p }, \quad [\hat {H}, \hat {b}^{+}_{\mathbf p}] = \epsilon_{\mathbf p}\hat {b}^{+}_{\mathbf p }$$.

Кванти, народження яких відповідає дії операторів $$\ a^{+}_{\mathbf p}, b^{+}_{\mathbf p }$$ мають однакову залежність енергії-імпульсу, проте мають протилежні за знаком нетерівські заряди. Дійсно, лагранжіан є інваріантним відносно перетворення $$\ \varphi {'} = e^{i \alpha }\varphi, \quad \varphi^{*}{'} = e^{-i\alpha }\varphi^{*}$$.

Тому вираз для нетерівського струму (індекс $$\ k$$ нумерує поле та спряжене до нього)

$$\ J^{\mu} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\varphi_{k})}Y_{k} - \left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\varphi_{k})}\partial_{\nu}\varphi_{k} - \delta_{\nu}^{\mu}L\right)X^{\nu}, \quad X^{\nu} = 0, \quad Y_{0} = \left(\frac{\partial \varphi {'} }{\partial \alpha}\right)_{\alpha = 0} = i\varphi, \quad Y_{2} = \left(\frac{\partial \varphi^{*} {'} }{\partial \alpha}\right)_{\alpha = 0} = -i\varphi^{*}$$

набуває вигляду

$$\ J^{\mu} = i \varphi(\partial^{\mu} \varphi^{*}) - i \varphi^{*}(\partial^{\mu} \varphi) = i \left( \varphi(\partial^{\mu} \varphi^{*}) - \varphi^{*}(\partial^{\mu} \varphi)\right)$$.

Тоді

$$\ \hat {J}^{\mu} = i \left( \hat {\varphi} (\partial^{\mu} \hat {\varphi}^{+}) - \hat {\varphi}^{+}(\partial^{\mu} \hat {\varphi})\right)$$,

і оператор нетерівського заряду рівен

$$\ \hat {Q} = \int \left( \hat {a}^{+}_{\mathbf p}\hat {a}_{\mathbf p } - \hat {b}^{+}_{\mathbf p }\hat {b}_{\mathbf p}\right)d^{3}\mathbf p$$.

Оператори $$\ \hat {Q}, \hat {H}, \hat {\mathbf p }$$ комутують (показується аналогічно до відповідних викладок із оператором числа частинок для дійсного скалярного поля), а отже - мають спільні власні функції.

Тому дія оператора $$\ \hat {b}^{+}$$ призводить до зменшення, а дія оператору $$\ \hat {a}^{+}$$ - до збільшення заряду на одиницю. Дійсно, використовуючи комутаційні співвідношення для операторів народження, при дії комутатора $$\ [\hat {Q}, \hat {b}^{+}_{\mathbf p }]$$ на вакуумний стан можна отримати

$$\ [\hat {Q}, \hat {b}^{+}_{\mathbf p }]| \rangle = -\int \hat {b}^{+}_{\mathbf k} [\hat {b}_{\mathbf k }, \hat {b}^{+}_{\mathbf p }]d^{3}\mathbf k | \rangle = -\hat {b}_{\mathbf p}^{+}| \rangle$$

з одного боку, і

$$\ [\hat {Q}, \hat {b}^{+}_{\mathbf p }]| \rangle = \hat {Q}(\hat {b}^{+}_{\mathbf p}| \rangle ) - 0$$

з іншого. Тому

$$\ \hat {Q}(\hat {b}^{+}_{\mathbf p}| \rangle ) = -\hat {b}^{+}_{\mathbf p}| \rangle$$,

що відповідає зменшенню заряду із народженням частинки сорту $$\ \hat {b}_{\mathbf p}^{+}$$ (аналогічно, при народженні частинок сорту $$\ \hat {a}^{+}_{\mathbf p}$$ заряд збільшується).

Скалярний добуток на просторі розв'язків рівняння Клейна-Гордона
У розділі про тензор енергії-імпульсу говорилося, що будь-якому 4-тензору відносно перетворень (групи) Лоренца $$\ A^{\mu_{1}...\mu_{n}}$$, якому відповідає закон збереження $$\ \partial_{\mu_{i}}A^{\mu_{1}...\mu_{i}...\mu_{n}} = 0$$, можна співставити дочірній тензор рангу на 1 менше, який пов'язаний із $$\ A^{\mu_{1}...\mu_{n}}$$ співвідношенням

$$\ a^{\mu_{1}...\mu_{n - 1}} = \int_{\Sigma_{t = const}} A^{\mu_{1}...0}d^{3}\mathbf r \qquad (1)$$,

причому права частина не залежить від моменту часу $$\ t$$. Цей же вираз можна подати у більш загальному вигляді

$$\ a^{\mu_{1}...\mu_{n - 1}} = \int_{\Sigma } A^{\mu_{1}...\mu_{n}}dS_{\mu_{n}}$$,

причому права частина не залежить від вибору гіперповерхні, яка при цьому повинна охоплювати весь простір. Умова незалежності результату інтегрування від вибору гіперповерхні та тензорна природа інтегралу фіксується законом збереження тензору $$\ A$$.

Цю теорію можна застосувати для побудови лоренц-інваріантного скалярного добутку на просторі розв'язків рівнянь Клейна-Гордона. Дійсно, для відповідного поля, як було з'ясовано у попередньому підрозділі, існує нетерівський струм $$\ j^{\mu} = \frac{i}{2m}(\Psi\partial^{\mu} \Psi^{*} - \Psi^{*} \partial^{\mu}\Psi )$$ (множник $$\ \frac{1}{2m}$$ обрано із умови відповідності релятивістського струму шредингерівському струму при граничному нерелятивістському переході), який має закон збереження. Відповідно, саме із ним треба пов'язувати інваріантну норму

$$\ \langle \Psi | \Psi \rangle = \int_{\Sigma} j^{\mu}dS_{\mu} = \int_{\Sigma_{t = const}} j^{0}d^{3}\mathbf r = \frac{i}{2m}\int (\Psi\partial^{0} \Psi^{*} - \Psi^{*} \partial^{0}\Psi ) d^{3}\mathbf r$$,

яку треба пов'язувати із зарядом, який може приймати два значення (відповідно, знову ж, до попереднього підрозділу):

$$\ \langle \Psi | \Psi \rangle = \pm 1$$.

Аналогічно можна показати, що скаляром є норма

$$\ \langle \psi | \kappa \rangle = \frac{i}{2m}\int (\psi^{*}\partial^{\mu} \kappa - \kappa\partial^{\mu}\psi^{*} ) dS_{\mu} = \frac{i}{2m}\int (\psi^{*}\partial^{0} \kappa - \kappa\partial^{0}\psi^{*} ) d^{3}\mathbf r, \quad (\partial^{2} + m^{2})\psi , \kappa = 0$$.

Дійсно, $$\ \partial_{\mu}(\psi^{*}\partial^{\mu} \kappa - \kappa\partial^{\mu}\psi^{*} ) = \partial_{\mu}\psi^{*}\partial^{\mu}\kappa - \partial_{\mu}\kappa \partial^{\mu}\psi^{*} + \psi^{*}\partial^{2}\kappa - \kappa \partial^{2}\psi^{*} = -m^{2}\psi^{*}\kappa + m^{2}\psi^{*}\kappa = 0$$.