Оператори Казиміра спінорного представлення групи Лоренца

Повернутися до розділу "Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца".

Тепер можна перейти до операторів Казиміра спінорного представлення групи. Ними є квадрати спінорних тензорів

$$\ C_{1} = J_{(ab)}J^{(ab)}, \quad C_{2} = J_{(\dot {a}\dot {b})}J^{(\dot {a} \dot {b})}$$:

$$\ [C_{1}, J_{(cd)}] = [C_{2}, J_{(\dot {c} \dot {d})}] = 0$$.

Після цього можна прямо перейти до визначення власних значень операторів Казиміра. Перед цим треба розглянути дію генераторів $$\ J_{(a b)}, J_{(\dot {a} \dot {b})}$$ на симетричні спінорні тензори.

Нехай спінор $$\ \psi_{\alpha}$$ перетворюється за правилом (що відповідає фундаментальному представленню $$\ SL(2, C)$$ групи Лоренца)

$$\ \psi_{\alpha}{'} = N_{\alpha}^{\quad \beta}\psi_{\beta}, \quad \psi_{\dot {\beta}} {'} = (N^{*})_{\dot {\beta}}^{\quad \dot {\alpha}} \psi_{\dot {\alpha}} = \psi_{\dot {\alpha}}(N^{+})^{\dot {\alpha}}_{\quad \dot {\beta}}$$,

де $$\ N_{\alpha}^{\quad \beta}$$ - матриця класу $$\ SL(2, C)$$. Її можна подати у експоненціальному вигляді,

$$\ \hat {N} = e^{\hat {B}}$$,

де $$\ \hat {B}$$ - деяка матриця. Згідно із формулою Якобі,

$$\ \det (\hat {N}) = e^{Tr(B)} = 1$$,

тому матриця $$\ B$$ повинна бути безслідовою. Далі, представлення повинно містити шість параметрів групи Лоренца, а отже, відповідає шести матрицям, що повинні утворювати базис шестивимірного лінійного простору безслідових матриць (умова на нульовий слід накладає по умові на дійсну та уявну частини сліду, а кожна компонента матриці $$\ \hat {B}$$ є комплексною (усього вісім компонент)) та утворювати компоненти антисиметричного тензору. Як матриці $$\ \hat {B}$$ можна вибрати матриці $$\ \hat {\sigma}^{\mu \nu}$$. Дійсно, вони задовольняють всім вказаним вимогам.

Тому можна представити $$\ \hat {N}$$ як

$$\ \hat {N} = e^{\frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}\sigma_{\mu \nu}} = e^{-\frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}(i\sigma_{\mu \nu})} \qquad (1)$$,

де $$\ \omega^{\mu \nu}$$ - локальні координати групи $$\ SL(2, C)$$.

Оскільки $$\ (\sigma^{*}_{\mu \nu})_{a}^{\quad b} = (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}$$, то перетворення групи Лоренца для представлення $$\ \left( 0, \frac{1}{2}\right)$$ виглядає як

$$\ \psi_{\dot {a}}{'} = (N^{*})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}\psi_{\dot {b}} = \left(e^{\frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}\tilde {\sigma}_{\mu \nu} }\right)_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}\psi_{\dot {b}} \qquad (2)$$.

В силу того, що для групи Лоренца

$$\ \psi_{\alpha}{'} = \left(e^{\frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu}}\psi\right)_{\alpha }$$,

генераторами фундаментального представлення групи Лоренца можна вибрати

$$\ (J_{\mu \nu})_{a}^{\quad b} = -i(\sigma_{\mu \nu})_{a}^{\quad b}, \quad (J_{\mu \nu}\psi)_{a} = -i(\sigma_{\mu \nu})^{\quad b}_{a}\psi_{b}$$

Аналогічно, для представлення $$\ \left(0, \frac{1}{2} \right)$$ -

$$\ (J_{\mu \nu})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} = -i(\tilde {\sigma}_{\mu \nu})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}, \quad (J_{\mu \nu}\psi)_{\dot {a}} = -i(\tilde{\sigma}_{\mu \nu})^{\quad \dot {b}}_{\dot {a}}\psi_{\dot {b}}$$.

Тому спінорними компонентами генератора $$\ J_{\mu \nu}$$ є

$$\ (J_{cd})_{a}^{\quad b} = \frac{1}{2}(\sigma^{\mu \nu})_{cd}(J_{\mu \nu})_{a}^{\quad b} = -\frac{i}{2}(\sigma^{\mu \nu})_{cd}(\sigma_{\mu \nu})_{a}^{\quad b} = -\frac{i}{2}\varepsilon^{b \beta}\left( \varepsilon_{a c}\varepsilon_{\beta d} + \varepsilon_{ad}\varepsilon_{\beta c}\right) = -\frac{i}{2}\left( \varepsilon_{a c}\delta^{b}_{\quad d} + \varepsilon_{ad}\delta^{b}_{\quad c}\right)$$,

$$\ (J_{\dot {c}\dot {d}})_{a}^{\quad b} = -\frac{i}{2}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}(\sigma_{\mu \nu})_{a}^{\quad b} = -i\varepsilon^{b \beta}\frac{1}{16}\left( (\sigma^{\beta})_{b\dot {c}}(\sigma^{\nu})_{a\dot {d}} + (\sigma^{\beta })_{b \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{a \dot {c}} + (\sigma^{\beta })_{a \dot {c}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {d}} + (\sigma^{\beta})_{a \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {c}}\right) = $$

$$\ = -i\frac{\varepsilon^{b \beta}}{4}\left( \varepsilon_{\beta a}\varepsilon_{\dot {c}\dot {d}} + \varepsilon_{\beta a}\varepsilon_{\dot {d}\dot {c}} + \varepsilon_{a\beta }\varepsilon_{\dot {c}\dot {d}} + \varepsilon_{a\beta }\varepsilon_{\dot {d}\dot {c}}\right) = 0$$,

де у першому виразі була використана згортка 2, а у другому - згортка 5, після чого - рівність

$$\ (\sigma^{\beta})_{b \dot {c}}(\sigma_{\beta})_{a \dot {d}} = 2\varepsilon_{b a}\varepsilon_{\dot {c} \dot {d}}$$,

що є простим наслідком властивості 1 $$\ (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\tilde {\sigma }_{\mu})^{\dot {\beta }\beta } = 2\delta^{\beta}_{\alpha}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {\alpha}}$$. Дійсно,

$$\ \varepsilon_{b \beta}\varepsilon_{\dot {b}\dot {\beta }}(\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\tilde {\sigma }_{\mu})^{\dot {\beta }\beta } = (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\sigma_{\mu})_{b \dot {b}} =_{right} = 2\varepsilon_{b \beta}\varepsilon_{\dot {b}\dot {\beta }}\delta^{\beta}_{\alpha}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {\alpha}} = 2\varepsilon_{\alpha b}\varepsilon_{\dot {\alpha }\dot {b}}$$.

Отже,

$$\ (J_{cd}\psi )_{a} = -\frac{i}{2}\left( \varepsilon_{a c}\delta^{b}_{\quad d} + \varepsilon_{ad}\delta^{b}_{\quad c}\right)\psi_{b} = -\frac{i}{2}\left( \varepsilon_{a c}\psi_{d} + \varepsilon_{ad}\psi_{c}\right), \quad (J_{\dot {c}\dot {d}}\psi)_{a} = 0$$.

Аналогічно показується, що

$$\ (J_{\dot {c}\dot {d}}\psi )_{\dot {a}} = -\frac{i}{2}\left( \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}\psi_{\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}\psi_{\dot {c}}\right), \quad (J_{cd}\psi)_{\dot {a}} = 0$$.

Це легко узагальнюється на випадок неточкового спін-тензору довільного рангу:

$$\ (J_{cd}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = -\frac{i}{2}\sum_{i = 1}^{n}\left( \varepsilon_{a_{i}c}\psi_{da_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}} + \varepsilon_{a_{i}d}\psi_{ca_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}}\right), \quad (J_{\dot {c} \dot {d}}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = 0$$,

$$\ (J_{\dot {c}\dot {d}}\psi)_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{n}} = -\frac{i}{2}\sum_{i = 1}^{n}\left( \varepsilon_{\dot {a}_{i}\dot {c}}\psi_{\dot {d}\dot {a}_{1}...\tilde {\dot {a}}_{i}...\dot {a}_{n}} + \varepsilon_{\dot{a}_{i}\dot {d}}\psi_{\dot {c}\dot {a}_{1}...\tilde {\dot {a}}_{i}...\dot {a}_{n}}\right), \quad (J_{c d}\psi)_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{n}} = 0$$,

де $$\ \tilde {a}_{i}$$ позначає, що індекс $$\ a_{i}$$ відсутній у тензора.

Тепер можна знайти власні значення операторів Казиміра групи.

$$\ (C_{1}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = -\frac{n(n + 2)}{2}\psi_{a_{1}...a_{n}}, \quad (C_{2}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = 0, \quad (C_{1}\psi)_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} = 0, \quad (C_{2}\psi)_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} = -\frac{m(m + 2)}{2}\psi_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}}$$.