Теорема Паулі

Повернутися до розділу "Поля довільного спіну".

Формулювання теореми
Стан фізичної системи у квантовій теорії поля описується одиничним вектором в деякому просторі $$\ H$$. Нехай цей простір відповідає додатній метриці,

$$\ \langle \Psi | \hat {A}^{+} \hat {A} | \Psi \rangle > 0$$,

і нехай, крім того, всім станам $$\ H$$ відповідає додатня енергія системи. Тоді можна сформулювати теорему Паулі: у локальній лоренц-інваріантній теорії, для якої справедлива умова додатньості енергії та додатності метрики простору векторів стану фізичної системи, поля, які відповідають частинкам цілого спіну, локально комутують одне з одним та із спінорними функціями, а поля, які відповідають частинкам напівцілого спіну, локально антикомутують одне з одним.

Доведення
1. Отже, нехай $$\ x, y$$ - довільні точки простору Мінковського, розділені простороподібним інтервалом $$\ (x - y)^{2} = (t_{x} - t_{y})^{2} - (\mathbf x - \mathbf y )^{2} < 0$$. За час $$\ t_{x} - t_{y}$$ збурення, яке вийшло з точки $$\ x$$ та розповсюджується із швидкістю в $$\ c$$, пройде відстань $$\ c|t_{x} - t_{y}|$$ меншу, ніж $$\ |\mathbf x - \mathbf y|$$. Тому точка $$\ y$$ не зазнає дії сигналу, який вийшов із точки $$\ x$$, а отже, вимірювання у точках $$\ x, y$$ не вплинуть один на одного. Звідси випливає, що оператори, які відповідають фізичним величинам $$\ L(x), L(y)$$ при $$\ (x - y)^{2} < 0$$, повинні комутувати один із одними:

$$\ [\hat {L} (x), \hat {L} (y)] = 0, \quad (x - y)^{2} < 0 \quad (1)$$.

Як правило, усі оператори квантової теорії поля, що відповідають основним фізичним величинам, являються деякими функціями по полям, точніше - поліномами виду

$$\ \hat {L}^{\sigma}_{AB} = \sum_{A_{i}, B_{j}}G^{\sigma}_{AA_{1}...A_{n}BB_{1}...B_{m}}\hat {\Psi}_{A_{1}}(x)...\hat {\Psi}_{A_{n}}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{1}}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{m}}(x)$$.

Тут $$\ G^{\sigma}_{AA_{1}...A_{n}BB_{1}...B_{m}}$$ побудований із лоренц-коваріантних об'єктів - тензору Леві-Чивіта, метричного тензора, матриць Паулі, гамма-матриць, метрики спінорів і т.д., $$\ A_{i}, B_{j}$$ - набори спінорних індексів.

Це означає, що для виконання $$\ (1)$$ необхідно накласти одну з умов

$$\ [\hat {\psi}_{A} (x), \hat {\psi}_{B}^{\dagger} (y)]_{\pm} = G^{\pm}_{AB}(x - y)D^{(\pm )}_{0}(x - y)$$,

де $$\ D_{0}(x - y) = 0, \quad (x - y)^{2} < 0$$. Аналогічні рівності також повинні бути справедливі для всіх можливих (анти)комутаторів полів (два поля ермітово спряжені, два неспряжені).

З іншого боку, у розділі про S-матрицю буде показано, що умовою її Пуанкаре-коваріантності (а отже, і Пуанкаре-коваріантності КТП) є інваріантність S-оператору, що дає

$$\ [\hat {H}_{I}(x), \hat {H}_{I}(y)] = 0, \quad \hat {H}_{I}^{\dagger}(x) = \hat {H}_{I}(x), \quad (x - y)^2 < 0$$.

Оскільки густина гамільтоніану також конструюється через поля,

$$\ \hat {H}_{I}(x) = \sum_{A, B}\sum_{A_{i}, B_{j}}g_{A_{1}...A_{n}B_{1}....B_{m}}\hat {\Psi}_{A_{1}}(x)...\hat {\Psi}_{A_{n}}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{1}}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{m}}(x)$$,

то аналогічно повинно бути

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}_{B}^{\dagger}(y)]_{\pm} = G^{\pm}_{AB}(x - y)D_{0}(x - y)$$.

Для подальших викладок треба згрупувати результати, отримані у минулих розділах.

Масивним полем спіну $$\ s$$ $$\ \hat {\Psi}_{A}(x)$$ є об'єкт, означений у минулому розділі:

$$\ \hat {\Psi}_{A}(x) = \sum_{\sigma} \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2p_{0}}}\left( k_{1}u^{\sigma}_{A}(\mathbf p)\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p )e^{-ipx} + k_{2}v_{A}^{\sigma}(\mathbf p)\hat {b}_{\sigma}^{\dagger}(\mathbf p ) e^{ipx}\right)$$,

де мітка $$\ \sigma$$ пробігає $$\ 2s+1$$ значень, а коефіцієнтні функції пов'язані співвідношеннями

$$\ u_{A}^{\sigma}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p)$$

для полів цілого спіну та не інваріантних відносно операції просторової інверсії представлень напівцілого спіну, і

$$\ u_{A}^{\sigma}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p) $$

для представлень напівцілого спіну, інваріантних відносно операції просторової інверсії.

Безмасовим полем спіральності $$\ \lambda$$ є вираз

$$\ \hat {\Psi}^{(\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}u^{(-\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(\mathbf p)\left( k_{1}e^{-ipx}\hat {a}_{-\lambda}(\mathbf p) + k_{2}e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p)\right), \quad s = \lambda$$.

Безмасовим полем спіральності $$\ -\lambda$$ є вираз

$$\ \hat {\Psi}^{(-\lambda )}_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}u^{(-\lambda )}_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s}}(\mathbf p)\left( k_{3}e^{-ipx}\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p) + k_{4}e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{-\lambda}(\mathbf p)\right), \quad s = \lambda$$.

Справедливі релятивістські хвильові рівняння цілого та напівцілого спіну для масивних станів та відповідних спіральностей для безмасових станів.

2. Нехай існує вакуумний стан, оператори народження та знищення утворюють фоківський базис та задовольняють одному із типів співвідношень - комутаторним чи антикомутаторним рівностям

$$\ [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}^{\dagger}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = [\hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = [\hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}^{\dagger}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = 0$$,

$$\ [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {a}^{\dagger}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = [\hat {b}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}^{\dagger}_{\sigma{'}}(\mathbf k)]_{\pm} = \delta_{\sigma \sigma{'}}\delta(\mathbf p -\mathbf k )$$,

причому для одного поля $$\ \hat {a}, \hat {b}$$ мають статистику одного типу (комутаційну чи антикомутаційну).

Із цих співвідношень одразу слідує, що

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}_{B}(y)]_{\pm} = [\hat {\Psi}_{A}^{\dagger}(x), \hat {\Psi}_{B}^{\dagger}(y)]_{\pm} = 0$$

для будь-яких $$\ x, y$$.

Випадок довільного спіну (масивний та безмасовий випадок) без діраківської реалізації
3. Розглянемо (анти)комутатор $$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm}$$ і застосуємо до нього співвідношення п. 2:

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = \sum_{\sigma, \sigma {'}}\int \frac{d^{3}\mathbf pd^{3}\mathbf k}{(2 \pi)^{3}2\sqrt{p_{0}k_{0}}}\left( |k_{1}|^{2}u^{\sigma}_{A}(\mathbf p){u^{\sigma '}}^{\dagger}_{B}(\mathbf k )e^{-i(px - ky)} \pm (-1)^{2s + \sigma + \sigma{'}}|k_{2}|^{2}u^{\sigma}_{A}(\mathbf p){u^{\sigma ' }}^{\dagger}_{B}(\mathbf k)e^{i(px - ky)}\right)\delta (\mathbf p - \mathbf k) \delta_{\sigma \sigma {'}} = $$

$$\ = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2 p_{0}}u^{\sigma}_{A}(\mathbf p){u^{\sigma}}^{\dagger}_{B}(\mathbf p ) \left( |k_{1}|^{2}e^{-ip(x - y)} \pm (-1)^{2s + 2 \sigma}|k_{2}|^{2}e^{ip(x - y)}\right), \quad (-1)^{2s + 2 \sigma} = 1 \qquad (2)$$.

Нагадаю, що для безмасових випадків однієї спіральності сума по $$\ \sigma$$ відсутня, і також відсутній фактор $$\ (-1)^{s + \sigma}$$ у виразі зв'язку коефіцієнтних функцій. Всі викладки тут і нижче при цьому повністю справедливі і для безмасового випадку.

Згідно із визначенням коефіцієнтних функцій, величина $$\ \sum_{\sigma }u^{\sigma}_{A}(\mathbf p){u^{\sigma}}^{\dagger}_{B}(\mathbf p ) = G_{AB}(p)$$ перетворюється за групою Пуанкаре як коваріантна величина

$$\ G_{AB}(\Lambda p) = \sum_{\sigma, \sigma{'}, \sigma{}}T_{A}^{\ A_{1}}{T^{*}_{B}}^{\ B_{1}}D_{\sigma {'}\sigma}(R(\Lambda, \mathbf p ))D^{*}_{\sigma {} \sigma}(R(\Lambda , \mathbf p))u^{\sigma {'}}_{A_{1}}(\mathbf p){u^{\sigma {''}}}^{\dagger}_{B_{1}}(\mathbf p ) = T_{A}^{\ A_{1}}{T^{*}_{B}}^{\ B_{1}}G_{A_{1}B_{1}}( p)$$,

де перехід до останньої рівності здійснено через унітарність матриці малої групи $$\ D_{\sigma {'}\sigma}(R(\Lambda, \mathbf p ))$$.

4. Нехай спочатку розглядаються представлення виду $$\ \left(s, 0 \right)$$. В силу того, що незвідні спінорні представлення групи Пуанкаре відповідають симетричним спінорам, $$\ G_{AB}(p) = p_{(a_{1} \dot {b}_{1}}p_{a_{2s} \dot {b}_{2s})}$$ з точністю до нормуючого множника (тут круглі дужки позначають симетризацію за індексами). Дійсно, спінорні коваріантні об'єкти, з яких принципово може бути побудований спін-тензор $$\ G_{AB}(p)$$ - це лише $$\ \varepsilon_{ab}, \varepsilon_{\dot {a} \dot {b}}, (\sigma^{\mu})_{a \dot {b}}$$. А оскільки метрика є антисиметричною, то з точністю до нормуючого множника $$\ G_{AB}(p)$$ може бути побудований лише із добутку згорток $$\ (\sigma^{\mu})_{a \dot {b}}p_{\mu}$$.

Із попереднього абзацу зрозуміло, що при $$\ s = k$$ спін-тензор $$\ G_{AB}(p)$$ є поліномом, парним за степенями $$\ p$$, тобто $$\ G_{AB}(p) = G_{AB}(-p)$$, а при $$\ s = k + \frac{1}{2}$$ $$\ G_{AB}(p)$$ є поліномом, непарним за степенями $$\ p$$, $$\ G_{AB}(p) = -G_{AB}(-p)$$.

Тепер можна розглянути довільне представлення $$\ \left(\frac{m}{2}, \frac{k}{2} \right), \frac{m}{2} + \frac{k}{2} = s$$. Цей об'єкт [Зв'язок полів та масивних одночастинкових станів#Оператор зв'язку різних представлень|зводиться]] (для безмасового випадку подібний оператор знаходиться тут) до представлення $$\ \left( n, 0 \right)$$ за допомогою оператора $$\ \Delta_{a}^{\quad \dot {b}} = \frac{1}{m}\partial_{a}^{\quad \dot {b}}$$. Тому твердження минулого абзацу виконується і для таких випадків.

Тоді переписуючи добутки

$$\ G_{AB}(p)e^{\pm ip(x - y)} = G_{AB}\left( \mp i\partial_{x}\right)e^{\pm ip(x - y)}, \quad G_{AB}\left( - i\partial_{x}\right) = (-1)^{2s}G_{AB}\left(i\partial_{x}\right)$$,

вираз $$\ (2)$$ можна подати у вигляді

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = G_{AB}\left(i\partial_{x}\right)\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2p_{0}}\left(|k_{1}|^{2}e^{-ip(x - y)} \pm (-1)^{2s}|k_{2}|^{2}e^{ip(x - y)} \right) =$$,

$$\ = G_{AB}\left(i\partial_{x}\right)(|k_{1}|^{2}D_{m}(x - y) \pm (-1)^{2s}|k_{2}|^{2}D_{m}(y - x)), \quad D_{m}(x - y) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2p_{0}}e^{-ip(x - y)} \qquad (3)$$.

Функція $$\ D_{m}(x - y)$$ парна при заміні $$\ x - y \to y - x$$ для простороподібних інтервалів. Дійсно, вибравши систему координат так, що $$\ x_{0} = 0$$ (це можна зробити в силу лоренц-інваріантності функції), і перейшовши до сферичної системи координат, можна отримати

$$\ D_{m}(x) = \frac{2 \pi}{(2 \pi )^{3}} \int sin(\theta ) d\theta d\rho \frac{p\rho^{2}e^{i\rho \sqrt{-x^{2}}cos(\theta)}}{\sqrt{\rho^{2} + m^{2}}} = -\frac{i}{2(2 \pi)^{2} \sqrt{-x^{2}}}\int \limits_{- \infty}^{\infty} \frac{\rho e^{i\rho \sqrt{-x^2}}}{\sqrt{\rho^{2} + m^{2}}}d \rho = -\frac{i}{2(2 \pi)^{2} \sqrt{-x^{2}}}K_{1}(m\sqrt{-x^{2}})$$,

де було проінтегровано спочатку по двом кутам, а потім перейдено до меж $$\ -\infty, \infty$$ для полярного інтегралу в силу його симетричності, а після цього - виділена модифікована функція Бесселя другого роду. При $$\ -x^{2} > 0$$ вираз є парним.

Отже, $$\ (3)$$ можна переписати як

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = G_{AB}\left(i\partial_{x}\right)D_{m}(x - y)\left( |k_{1}|^{2} \pm (-1)^{2s}|k_{2}|^{2}\right)$$.

Вираз може стати нулем лише за умови, що $$\ |k_{2}|^{2} = k^{2}_{1}$$.

Тоді

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = |k_{2}|^{2}G_{AB}\left(i\partial_{x}\right)D_{m}(x - y)\left( 1 \pm (-1)^{2s}\right)$$.

Звідси очевидно, що для напівцілого спіну вираз обернеться в нуль лише для випадку антикомутаційних співвідношень, а для цілого спіну - лише для випадку комутаційних співвідношень.

Доведення для діраківської реалізації представлень
Тепер ту ж саму процедуру доведення можна провести для діраківської реалізації представлень спіну $$\ s + \frac{1}{2}$$, якій відповідає пряма сума представлень $$\ \left( \frac{s + 1}{2}, \frac{s}{2}\right) \oplus \left( \frac{s}{2}, \frac{s + 1}{2}\right)$$.

Нагадаю, що для нього справедливі рівняння

$$\ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi_{\mu_{1}...\mu_{s}} = 0, \quad \gamma^{\mu}\Psi_{\mu \mu_{1}...\mu_{s - 1}} = 0, \quad \partial^{\mu}\Psi_{\mu \mu_{1}...\mu_{s - 1}} = 0, \quad \Psi^{\mu}_{\ \mu \mu_{1}...\mu_{n - 2}} = 0, \quad \Psi_{\mu \mu_{1}...\mu_{s - 1}} = \Psi_{(\mu_{1}...\mu_{s})} \qquad (4)$$,

де

$$\ \hat {\Psi}_{\mu_{1}...\mu_{s}}(x) = \begin{pmatrix} \varphi_{a, \mu_{1}...\mu_{s}} \\ \kappa^{\dot {a}}_{\ \mu_{1}...\mu_{s}} \end{pmatrix} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2 \pi)^{3}2p_{0}}}\left( k_{1}u^{\sigma}_{\mu_{1}...\mu_{s}}(\mathbf p )e^{-ipx}\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p) + (-1)^{s + \sigma}\gamma^{5}k_{2}u^{-\sigma}_{\mu_{1}...\mu_{s}}e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)\right) $$.

Відповідний (анти)комутатор поля та спряженого до нього (у даному випадку роль спряженого грає діраківськи спряжене поле $$\ \hat {\bar {\Psi}} = \hat {\Psi}^{\dagger}\gamma^{0}$$) має вигляд

$$\ [\hat {\Psi}_{\mu_{1}...\mu_{s}}(x), \hat {\bar {\Psi}}_{\nu_{1}...\nu_{s}}(y)]_{\pm} = |[\gamma_{5}, \gamma_{0}]_{+} = 0| = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}\left( |k_{1}|^{2}u^{\sigma}_{\mu_{1}...\mu_{s}}(\mathbf p)\bar {u}^{\sigma}_{\nu_{1}...\nu_{s}}(\mathbf p)e^{-ip(x - y)} \mp |k_{2}|^{2}\gamma_{5}u^{\sigma}_{\mu_{1}...\mu_{s}}(\mathbf p)\bar {u}^{\sigma}_{\nu_{1}...\nu_{s}}(\mathbf p)\gamma_{5}e^{-ip(y - x)}\right) \qquad (5)$$.

В силу того, що у діраківських реалізацій є спінорні індекси, які ще не трансформовано у векторні, не можна стверджувати, що тензор $$\ P_{AB}(\mathbf p) = P_{\mu_{1}...\mu_{s}\nu_{1}...\nu_{s}}(\mathbf p) = \sum_{\sigma}u^{\sigma}_{\mu_{1}...\mu_{s}}(\mathbf p)\bar {u}^{\sigma}_{\nu_{1}...\nu_{s}}(\mathbf p)$$ має певну симетрію при заміні $$\ p \to -p$$. Проте нагадаю, що в силу аглебраїчної версії $$\ (4)$$ (похідні замінюються на імпульси) можна переписати $$\ P_{AB}(\mathbf p)$$ як

$$\ P_{AB}(\mathbf p) = (\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)R_{AB}(\mathbf p)$$.

де $$\ R_{AB}(\mathbf p)$$ також не має визначеної симетрії відносно інверсії 4-імпульсу, проте він зібраний, у силу коваріантності виразу, із добутку парного числа імпульсів та гамма-матриць чи добутку непарного числа імпульсів та гамма-матриць. Внаслідок цього можна записати, що

$$\ \gamma_{5}P_{AB}(p)\gamma_{5} = \gamma_{5}(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)R_{AB}(p)\gamma_{5} = |[\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0| = (-\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)\gamma_{5}R_{AB}(p)\gamma_{5} = (-\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)R_{AB}(-p) = P_{AB}(-p)$$,

де враховано, що $$\ \gamma_{5}$$ антикомутує із добутком непарної кількості матриць Дірака, тому це еквівалентно заміні $$\ p \to -p$$, а у випадку доданків із парною кількістю матриць знак доданку не змінюється, проте нічого не зміниться і при заміні $$\ p \to -p$$ в такому доданку в силу парної кількості імпульсів у добутку. Отже, тепер $$\ (5)$$ можна звести до вигляду

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\bar {\Psi}}_{B}(y)]_{\pm} = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}\left( |k_{1}|^{2}P_{AB}(p)e^{-ip(x - y)} \mp |k_{2}|^{2}P_{AB}(-p)e^{-ip(y - x)}\right) = P_{AB}\left(i\frac{\partial}{\partial x}\right)\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}\left( |k_{1}|^{2}e^{-ip(x - y)} \mp |k_{2}|^{2}e^{-ip(y - x)}\right) = $$

$$\ = P_{AB}\left(i\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( |k_{1}|^{2}D_{m}(x - y) \mp |k_{2}|^{2}D_{m}(y - x)\right) = (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m)R_{AB}\left(i\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( |k_{1}|^{2}D_{m}(x - y) \mp |k_{2}|^{2}D_{m}(y - x)\right)$$.

Звідси очевидно (по аналогії із попереднім підрозділом), що $$\ |k_{1}| = |k_{2}|$$, а у якості співвідношень треба обирати антикомутаційні.

Тепер теорема Паулі доведена остаточно.

Функція Dm(x)
Доповнюється.

Запишемо тепер вираз для (анти)комутатора поля довільного спіну для точок, розділених довільним інтервалом:

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = |k_{1}|^{2}P_{AB}\left( i \frac{\partial}{\partial x} \right) \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2p_{0}}\left( e^{-ip(x - y)} - e^{ip(y - x)}\right) \qquad (6)$$.

У другому доданку окремо зробимо заміну $$\ \mathbf p \to -\mathbf p$$. Тоді знак при експоненті не зміниться, а експонента змінить вигляд на $$\ e^{ip_{0}(t_{x} - t_{y}) + i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y))}$$. Тоді у другої та першої експоненти за дужки можна винести "імпульсну" частину, і вираз $$\ (6)$$ набуде вигляду

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = |k_{1}|^{2}P_{AB}\left( i \frac{\partial}{\partial x} \right) \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}e^{i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y))}\left( e^{-ip_{0}(t_{x} - t_{y})} - e^{ip_{0}(t_{x} - t_{y})}\right) = -|k_{1}|^{2}P_{AB}\left( i \frac{\partial}{\partial x} \right) \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}p_{0}}e^{i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y))}sin(p_{0}(t_{x} - t_{y}))$$.

Інтеграл визначає функцію $$\ D_{m}(x)$$, яка відповідає за причинність у (анти)комутаторах для будь-якого поля. Опишу її властивості.

1. Як уже було показано вище, для простороподібних інтервалів функція є симетричною: $$\ D_{m}(x) = D_{m}(-x)$$.

2. Інтегральний вираз для $$\ D_{m}(x)$$ можна переписати у явно лоренц-інваріантному вигляді:

$$\ D_{m}(x) = \frac{i}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p \frac{p_{0}}{|p_{0}|} e^{ipx}\delta (k^{2} - m^{2})$$.

Дійсно,

$$\ \frac{i}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p e^{ipx}\delta (k^{2} - m^{2}) = \frac{i}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p \frac{p_{0}}{|p_{0}|} e^{ipx}\delta (k^{2} - m^{2}) = \frac{i}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p \frac{p_{0}}{|p_{0}|} e^{ipx}\frac{1}{2p_{0}}\left( \delta (p_{0} - \sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}}) - \delta (p_{0} + \sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}})\right) = $$

$$\ = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}p_{0}}e^{i(\mathbf p \cdot\mathbf x)}sin(p_{0}t)$$.

Лоренц-інваріантність же очевидна: 4-об'єм - лоренц-інваріантний, аргумент дельта-функції - скаляр, знак $$\ p_{0}$$ також є інваріантним відносно власних перетворень групи Лоренца.

3. $$\ \lim_{t \to t'} \partial_{t}D_{m}(x - x') = \delta (\mathbf x - \mathbf x')$$:

$$\ \lim_{t \to t'} \partial_{t}D_{m}(x - x') = \lim_{t \to t'}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}}e^{i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf x'))}cos(\mathbf p_{0} \cdot (t - t')) = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int e^{i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf x '))} = \delta (\mathbf x - \mathbf x')$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$