Нейтринні осциляції

Повернутися до розділу "Нейтрино".

Майоранівська маса. Відмінність її від діраківської
Отже, виведене рівняння Майорани і відповідний лагранжіан мають вигляд

$$\ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0, \quad L = \bar {\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi , \quad \Psi = \begin{pmatrix} \psi \\ -i \sigma_{2} \psi^{*} \end{pmatrix}$$.

Лагранжіан і рівняння не є інваріантними відносно глобальної $$\ U(1)$$-симетрії, причому винен у цьому масовий член. На відміну від діраківського спінору, у якого компоненти є формально незалежними, тому можна задати єдине глобальне перетворення $$\ \Psi \to e^{i\alpha} \Psi, \bar {\Psi} \to e^{-i\alpha} \bar {\Psi}$$, для майоранівського ферміона так сказати вже не можна. Дійсно, якщо одна компонента перетворюється по закону $$\ \psi \to e^{i \alpha}\psi$$, то друга, яка є комплексно спряженою, перетворюється як $$\ \psi^{*} \to e^{-i\alpha }\psi^{*} $$. Проте рівняння було б інваріантним відносно цього перетворення, якби не масовий член. Дійсно, спряжений біспінор має вигляд

$$\ \bar {\Psi} = \begin{pmatrix} (-i \sigma_{2} \psi^{*})^{+} & \psi^{+} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \psi^{T}i \sigma_{2} & \psi^{+} \end{pmatrix}$$,

кінетичний член у спінорному представленні,

$$\ \gamma_{\mu} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{\mu}\\ \tilde {\sigma}_{\mu} & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_{\mu} = (\hat {\mathbf E}, \sigma ), \quad \tilde {\sigma }_{\mu} = (\hat {\mathbf E} , -\sigma )$$,

рівен

$$\ L_{k} = \begin{pmatrix} \psi^{T}i \sigma_{2} & \psi^{+} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \sigma_{\mu}\\ \tilde {\sigma}_{\mu} & 0 \end{pmatrix}\partial^{\mu}\begin{pmatrix} \psi \\ -i \sigma_{2} \psi^{*} \end{pmatrix} = \psi^{+}\tilde {\sigma}_{\mu}\partial^{\mu}\psi + \psi^{T}\sigma_{2}\sigma_{\mu}\partial^{\mu}\sigma_{2}\psi^{*}$$

(варто зазначити, що другий доданок рівен першому).

Звідси очевидно, що він є інваріантним відносно глобальних перетворень $$\ \psi \to e^{i\alpha } \psi$$. Унітарні перетворення переходу до різних базисів, звісно, не змінюють цієї інваріантності.

Тепер треба розглянути масовий член: скалярний добуток спінорів у ньому дасть

$$\ -\frac{1}{m}L_{M} = \bar {\Psi}\Psi = \begin{pmatrix} \psi^{T}i \sigma_{2} & \psi^{+} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi \\ -i \sigma_{2} \psi^{*} \end{pmatrix} = \psi^{T}i \sigma_{2}\psi - \psi^{+}i\sigma_{2}\psi^{*}$$,

а отже, масовий член не буде інваріантним відносно перетворення.

Це означає, що майоранівська маса суттєво відрізняється від діраківської, тому їх треба розглядати окремо.

Нехай тепер є дві різні майоранівські частинки $$\ \psi_{L}, \psi_{R}$$, маси яких - $$\ m_{L}, m_{R}$$. Функції $$\ \psi_{L}, \psi_{R}$$ задовольняють двокомпонентним рівнянням Майорани $$\ (3), (4)$$. Тоді відповідні чотирикомпонентні спінори матимуть вигляд

$$\ \Psi_{L} = \begin{pmatrix} i\sigma_{2}\psi^{*}_{L}\\ \psi_{L} \end{pmatrix}, \quad \Psi_{R} = \begin{pmatrix} \psi_{R} \\ -i\sigma_{2}\psi^{*}_{R} \end{pmatrix} \Rightarrow \bar {\Psi}_{L} = \begin{pmatrix} \psi_{L}^{+} & -\psi_{L}^{T}i\sigma_{2} \end{pmatrix}, \quad \bar {\Psi}_{R} = \begin{pmatrix} \psi_{R}^{T}i \sigma_{2} & \psi_{R}^{+} \end{pmatrix}$$.

Тому досить природньо, що лагранжіан суми цих двох полів буде містити, окрім суто майоранівських масових членів, також і діраківський масовий член:

$$\ L = \bar {\Psi}_{L}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{L} + \bar {\Psi}_{R}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{R} - \bar {\Psi}_{L}m_{L}\Psi_{L} - \bar {\Psi}_{R}m_{R}\Psi_{R} - \psi_{L}^{+}m_{D}\psi_{R} - \psi_{R}^{+}m_{D}\psi_{L} $$.

Два останні члени виникають через звичайну "діраківську" згортку

$$\ \begin{pmatrix} \Psi_{R}^{+} & \Psi_{L}^{+}\end{pmatrix}m_{D}\begin{pmatrix} \Psi_{L} \\ \Psi_{R}\end{pmatrix}$$.

Масову частину лагранжіану можна згорнути, якщо врахувати тотожності

$$\ \bar{\Psi}_{L}\Psi_{R} = \begin{pmatrix} \psi_{L}^{+} & -\psi_{L}^{T}i\sigma_{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_{R} \\ i\sigma_{2}\psi^{*}_{L} \end{pmatrix} = \psi_{L}^{+}\psi_{R} - \psi_{L}^{T}\psi_{R}^{*} = |\psi_{L}^{T}\psi_{R}^{*} = -\psi_{R}^{+}\psi_{L}| = \psi_{L}^{+}\psi_{R} + \psi_{R}^{+}\psi_{L}$$

$$\ \bar{\Psi}_{R}\Psi_{L} = \psi_{L}^{+}\psi_{R} + \psi_{R}^{+}\psi_{L} $$.

Тоді

$$\ L = \bar {\Psi}_{L}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{L} + \bar {\Psi}_{R}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{R} - \bar {\Psi}_{L}m_{L}\Psi_{L} - \bar {\Psi}_{R}m_{R}\Psi_{R} - \frac{1}{2}\bar {\Psi}_{L}m_{D}\Psi_{R} - \frac{1}{2}\bar{\Psi}_{R}m_{D}\Psi_{L}$$,

або, якщо перепозначити $$\ \frac{m_{D}}{2} \to m_{D}$$,

$$\ L = \begin{pmatrix} \bar {\Psi}_{L} & \bar {\Psi}_{R} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} & 0 \\ 0 & i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Psi_{L} \\ \Psi_{R} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \bar {\Psi}_{L} & \bar {\Psi}_{R} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} m_{L} & m_{D} \\ m_{D} & m_{R} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \Psi_{L} \\ \Psi_{R} \end{pmatrix}$$.

Таким чином, видно, що для майоранівської частинки діраківська маса відповідає взаємодії з іншою майоранівською частинкою, а майоранівська маса відповідає звичайній масовій частині лагранжіану, що задовольняє дисперсійному співвідношенню для вільної частинки. За допомогою деякого унітарного перетворення полів матрицю мас у лагранжіані можна діагоналізувати, і у такому базисі взаємодія буде відсутня, хоч правохіральні та лівохіральні частинки будуть перемішані.

Нейтринні осциляції
Дослід показав, що є процеси розпаду частинок, у ході яких з'являються три типи нейтрино. Кожен тип асоційований з електроном, мюоном або тау-мезоном. Відповідно, є мюонні, електронні та таонні нейтрино. Кожному з типів нейтрино приписувався окремий лептонний заряд - мюонний, електронний та таонний. Вважалося, що для кожного з цих зарядів виконуються свої закони збереження. Проте було виявлено (насамперед, при детекції сонячних електронних нейтрино, що виникають, в основному, через бета-плюс розпад протону при утворенні Дейтерію у ядрі), що серед цих нейтрино існує деяка доля нейтрино інших типів. Тому досить природньою є думка, що нейтрино можуть перетворюватися один в одний.

Така теорія відповідає випадку, коли є взаємодія, причому базиси, де матриця мас діагональна, і де діагональна взаємодія нейтрино із відповідними зарядженими лептонами (див. розділ Стандартна модель), не співпадають. Коли кажуть про нейтрино із заданим (лептонним) зарядом, то матриця зарядів є діагоналізованою, а матриця мас - ні. Зарядом нейтрино характеризується реакція розпаду; проте у такому базисі стан не має визначеної маси. А щоб розглядати вільне розповсюдження нейтрино після його появи у результаті розпаду, треба розв'язувати рівняння руху типу шредінгерівського. Тому треба переходити від кольорового базису до масового. Часова еволюція масового стану змінює початковий стан, і тому функція вже буде відповідати нейтрино не одного кольору, а суперпозиції кольорів.

Таку задачу можна розглянути. Спочатку треба знайти матрицю, яка переводить кольоровий базис у масивний. Нехай у кольоровому базисі, $$\ \hat {Q} = diag (Q_{1}, Q_{2})$$, матриця мас має вигляд

$$\ \hat {M} = \begin{pmatrix} m_{L} & m_{D} \\ m_{D} & m_{R} \end{pmatrix}$$.

Її можна діагоналізувати за допомогою унітарного перетворення $$\ \Psi_{m} = \hat {U}\Psi_{f}$$, запараметризувавши матрицю перетворення як

$$\ \hat {U} = \begin{pmatrix} cos(\theta ) & -sin(\theta ) \\ sin(\theta ) & cos(\theta ) \end{pmatrix}$$.

Тоді "массовий" член лагранжіану може бути перетворений як

$$\ \bar {\Psi}_{f}\hat {m} \Psi_{f} = \bar {\Psi }_{m} \hat {U}^{+} \hat {m} \hat {U} \Psi_{m} = \bar {\Psi }_{m} \hat {M} \Psi_{m}$$,

де

$$\ \hat {M} = \begin{pmatrix} m_{L}c^{2} + m_{R}s^{2} + 2m_{D}cs & m_{D}(c^2 - s^2) - sc(m_{L} - m_{R}) \\ m_{D}(c^2 - s^2) - sc(m_{L} - m_{R}) & m_{R}c^{2} + m_{L}s^{2} - 2m_{D}cs \end{pmatrix}, \quad c = cos(\theta ), \quad s = sin(\theta )$$.

Недіагональні елементи зануляються, коли

$$\ ctg(2 \theta ) = \frac{1}{2}\frac{m_{L} - m_{R}}{m_{D}}$$.

Отже, нехай відбувся деякий процес, у ході якого в точці $$\ x = 0, t = 0$$ було утворено нейтрино нейтрино одного даного сорту $$\ \alpha$$. Його можна розкласти по масовому базису:

$$\ |\Psi_{\alpha}\rangle = \sum_{m = 1}^{2} u_{\alpha m}|m\rangle, \quad \hat {u}^{+}\hat {u} = 1$$.

Масові стани є власними функціями гамільтоніану. Тоді для довільного моменту часу одразу можна записати, що

$$\ |\Psi (x, t)\rangle = \sum_{m = 1}^{2}u_{\alpha m} | m\rangle e^{ip_{m}x - iE_{m}t}$$.

Нехай розглядається координата $$\ x = L$$. Це означає, що для двох хвиль, які відповідають частинкам з масами $$\ m_{1,2}$$ відповідний час $$\ t$$ буде рівен $$\ t = \frac{x}{v_{gr.}} = \frac{L(E_{1} + E_{2})}{p_{1} + p_{2}}$$.

Нейтрино сорту $$\ \beta$$:

$$\ |\Psi_{\beta}\rangle = \sum_{m = 1}^{2} u_{\beta m}|m\rangle$$.

Тоді ймовірність знайти нейтрино сорту $$\ \beta $$ на відстані $$\ x = L$$ буде рівна

$$\ W_{\alpha \to \beta}(L, m, p) = |\langle \Psi_{\beta} | \Psi (x, t)\rangle |^{2} = \sum_{m, m' = 1}^{2}u_{\beta m '}u^{*}_{\beta m}u^{*}_{\alpha m'} u_{\alpha m}e^{iL (p_{x} - p_{x'}) - i\frac{L(E_{1} + E_{2})}{p_{1} + p_{2}} (E_{m} - E_{m'})} \qquad (1)$$.

Нехай імпульси, що відповідають двом масовим станам, однакові. Таке припущення може бути використане, якщо відшукати таку систему відліку, у якій імпульси однакові. Тоді, прийнявши також, що $$\ m_{1,2} << |p|$$, для такої системи відліку можна зробити перетворення:

$$\ E_{m} \approx p + \frac{M_{m}}{2p^2}, \quad t (x = L) \approx L + \frac{M_{1}^2 + M_{2}^{2} }{2p^{2}} \approx L, \quad E_{m} - E_{m'} \approx \frac{M_{m}^{2} - M_{m'}^{2}}{2p} = \frac{\Delta (M^{2})_{mm'}}{2p}$$.

В результаті $$\ (1)$$ набуде вигляду

$$\ W_{\alpha \to \beta}(L, M) = |\langle \Psi_{\beta} | \Psi (x, t)\rangle |^{2} = \sum_{m, m' = 1}^{2}u_{\beta m '}u^{*}_{\beta m}u^{*}_{\alpha m'} u_{\alpha m}e^{-iL\frac{\Delta (M^{2})_{mm'}}{2p}} = \sum_{m = 1}^{2}|u_{\alpha m}|^{2}|u_{\beta m}|^{2} + \sum_{m \neq m'}u_{\beta m '}u^{*}_{\beta m}u^{*}_{\alpha m'} u_{\alpha m}cos\left( L\frac{\Delta (M^{2})_{mm'}}{2p}\right) \qquad (2)$$.

Нарешті, враховуючи явний вигляд матриці $$\ \hat {u}$$, можна отримати з $$\ (2)$$

$$\ W_{\alpha \to \beta}(L, M) = \frac{1}{2}sin^{2}(2 \theta )\left[1 - cos\left( L\frac{\Delta (M^{2})}{2p}\right) \right]$$.

Видно, що взаємодія включається періодично.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$