Аксіони

Повернутися до розділу "За межами Стандартної моделі".

Вступ. Аксіон як рішення сильної CP-проблеми
У розділі про інстантони показано, що врахування інстантонів у КХД призводить до появи доданку виду

$$\ L_{\theta} = -\frac{\bar{\theta} }{64 \pi^{2}}F \wedge F$$

($$\ \wedge$$ позначає згортку із тензором Леві-Чивіта). Там же отримано експериментальне обмеження зверху на параметр $$\ \bar{\theta}$$, оскільки ним, зокрема, визначається дипольний момент нейтрона, який є дуже малим: $$\ \theta < 10^{-9}$$. Стає питання, що називається сильною CP-проблемою: чому цей параметр такий малий? Наївно можна було б просто покласти його дуже малим; дійсно, ця проблема в деякій мірі схожа на проблему малості маси електрону у порівнянні із масою топ-кварку. Проте така малість не очікується через те, що всі характерні величини у КХД порядку одиниці. При цьому сильна взаємодія автоматично зберігає $$\ C-, CP-$$інваріантність. Як описано у тому ж розділі про інстантони, кіральним перетворенням кваркових полів параметр $$\ \theta $$ можна занулити, проте при цьому зміниться масова матриця - у неї будуть введені комплексні фази із тета-параметром, що все одно порушують C-, CP-інваріантність.

Для розв'язку CP-проблеми Печчеї та Куінн (PQ) запропонували ідею, згідно із якою $$\ \bar{\theta} $$ у дійсності являється динамічною змінною, яка релаксує до нуля. Природнім чином це можна описати, ввівши нову симетрію $$\ U_{PQ}(1)$$, яка спонтанно порушується на енергіях, значно вищих за шкалу КХД (вона, окрім того, явно порушена інстантонним членом $$\ L_{\theta}$$ починаючи з енергій шкали КХД). При цьому тета-член зникає, і виникає поле псевдоголдстоунівського бозона, що має назву аксіон. Він взаємодіє із калібрувальними полями із лагранжіаном $$\ L(a) \sim \frac{a}{f_{a}}\sum_{b}F_{b} \wedge F_{b}$$ ($$\ b$$ нумерує калібрувальні групи, із якими генерується взаємодія аксіону $$\ a(x)$$).

На початку аксіон вважався сильновзаємодіючою частинкою, проте ряд експериментальних обмежень (див. підрозділ "Аксіон та еспериментальні обмеження" нижче) наклав обмеження на константу взаємодії $$\ f_{a}$$ знизу, зробивши її дуже великою. Аксіон, таким чином, є слабковзаємодіючою частинкою. Це дає передумови для його ролі у космології, зокрема - ролі генерування магнітних полів та ролі основної частинки темної матерії (про це - у відповідних підрозділах нижче).$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Приклад фундаментальної моделі із виникненням аксіону
Тут розглядається один із класів моделей аксіону, що полягає у додаванні до СМ масивних ферміонів та скалярного поля із новою глобальною симетрією (представником класу є так званий механізм КСВЗ). Є ще один клас (представником є механізм ДФШЖ), що полягає у введенні аксіону через додавання лише нових n-плетів скалярних полів.

Отже, нехай на додачу до полів СМ є масивні ферміонні поля $$\ \psi = \psi_{L} + \psi_{R}$$, що взаємодіють із скалярним комплексним полем $$\ \sigma$$. Відповідний лагранжіан інваріантний відносно глобальної $$\ U(1)$$ симетрії, що називається PQ-симетрією. Поля СМ моделі не заряджені відносно цієї групи симетрії. Поля $$\ \psi_{L}$$ мають заряд $$\ +1$$, $$\ \psi_{R}$$ - $$\ -1$$, а поля $$\ \sigma $$ - $$\ +2$$. Окрім того, поля $$\ \psi$$ утворюють триплет групи $$\ SU(3)$$ КХД. Відповідно, високоенергетичний $$\ PQ-$$інваріантний лагранжіан моделі має вигляд

$$\ L = L_{kinetic} - h(\bar{\psi}_{L}\sigma \psi_{R} + h.c.) - V(\sigma ) - \frac{g_{s}^{2}}{32\pi^{2} }\bar{\theta}G_{a}^{\mu \nu}\wedge G^{a}_{\mu \nu} \qquad (1)$$.

Тут включений тета-член КХД, взаємодія між новими ферміонами та скалярним полем є $$\ PQ-$$інваріантною, а кінетичний член містить член взаємодії із глюонами та фотонами. PQ-симетрія, втім, явно порушується на квантовому рівні через інстантонні переходи.

Внаслідок динаміки потенціалу $$\ V(\sigma )$$ скалярне поле $$\ \sigma $$ набуває ненульове вакуумне середнє $$\ \frac{v}{\sqrt{2}}$$, і виникає спонтанне порушення симетрії; відповідно, у ферміонів $$\ \psi $$ з'являється масовий член із безмасовою модою $$\ \varphi $$ скаляру $$\ \sigma$$ як фазою:

$$\ L_{mass} = -\frac{hv}{\sqrt{2}}(\bar{\psi}_{L}e^{i\frac{\varphi}{v}}\psi_{R} + h.c.)$$.

Підібравши відповідне кіральне перетворення полів $$\ \psi $$, можна позбутися $$\ \theta-$$члену і відновити СР-інваріантність КХД. Для цього треба здійснити перетворення $$\ \psi \to e^{-i\frac{\varphi \gamma_{5}}{2Nf_{a}}}\psi$$, де $$\ N $$ відповідає нормуванню генераторів представлення $$\ SU(3)$$, якому належать поля $$\ \psi$$, $$\ tr[t_{a}t_{b}] = \frac{N}{2}\delta_{ab}$$ (для даної моделі $$\ N$$ дорівнює одиниці), а константа $$\ f_{a}$$ дорівнює $$\ f_{a} = \frac{v}{N}$$. Вказане перетворення генерує доданок

$$\ \frac{g_{s}^{2}}{16 \pi^{2}Nf_{a}}tr[t_{a}t_{b}]G_{a}\wedge G_{b} \equiv -\frac{g_{s}^{2}}{8 \pi^{2}}\frac{\varphi }{f_{a}}G_{a}\wedge G_{a}$$.

Додаючи його до $$\ (1)$$, можна побачити, що останній член модифікується як

$$\ -\frac{g_{s}^{2}}{32\pi^{2} }\bar{\theta}G_{a}^{\mu \nu}\wedge G^{a}_{\mu \nu} \to -\frac{g_{s}^{2}}{32\pi^{2} }\left(\bar{\theta}+ \frac{\varphi }{f_{a}} \right)G_{a}^{\mu \nu}\wedge G^{a}_{\mu \nu} \equiv -\frac{g_{s}^{2}}{32 \pi^{2}}\frac{a}{f_{a}}G_{a} \wedge G_{a}$$,

де введене поле аксіону $$\ a \equiv \varphi + f_{a}\bar{\theta}$$.

Окрім того, оскільки поля $$\ \psi $$ мають заряд відносно електромагнітної підгрупи групи СМ, то також генерується доданок

$$\ L_{EM} = -\frac{e^{2}}{32 \pi^{2}}\frac{E}{N}aF \wedge F, \quad E \equiv 2\sum Q_{EM}^{2}$$.

Якщо маси полів $$\ \psi $$ дуже великі, то за їх ступенями вільності можна здійснити інтегрування. Відповідна низькоенергетична ефективна дія має тоді вигляд

$$\ L_{eff} = L_{SM} -\frac{1}{2}\partial_{\mu}a\partial^{\mu}a -\frac{g_{s}^{2}}{32 \pi^{2}}\frac{a}{f_{a}}G_{a}\wedge G_{a} - \frac{e^{2}}{32 \pi^{2}}\frac{E}{N}\frac{a}{f_{a}}F \wedge F \to L_{SM} -\frac{1}{2}\partial_{\mu}a\partial^{\mu}a -\frac{g_{s}^{2}}{32 \pi^{2}}\frac{a}{f_{a}}G_{a}\wedge G_{a} - \frac{e^{2}}{32 \pi^{2}}\frac{E}{N}\frac{a}{f_{a}}F \wedge F \qquad (2)$$.

Тепер можна виключити взаємодію аксіону та глюонів для роботи лише з електромагнітною взаємодією. Для цього за аналогією до кірального перетворення полів масивних ферміонів можна здійснити кіральне перетворення кваркових полів,

$$\ q \to e^{i\frac{a}{f_{a}}\frac{\gamma_{5}}{2 \times 3}}q \qquad (3)$$,

яке призводить до занулення доданку $$\ G_{a} \wedge G_{a}$$ у $$\ (2)$$. Проте при цьому треба враховувати, що кіральна симетрія у КХД із самого початку порушена масовими членами (і до того ж не є локальною), що означає, що також будуть генеруватися додаткові самодії аксіонного поля --- аксіонний потенціал.

Для отримання його явного вигляду зручно розглянути лагранжіан КХД на низьких масштабах, коли кварки адронізуються у мезонні стани. Відповідна теорія мезонів як псевдоголдстоунівських бозонів була розглянута у розділі про мезони, його варто прочитати перед розглядом наступних викладок.

Перетворення $$\ (3)$$ призводить до наступного кварк-аксіонного вигляду лагранжіану $$\ (2)$$

$$\ L_{aq} = i\bar{q}D_{\mu}\gamma^{\mu}q + \frac{1}{2}(\partial_{\mu}a)^{2} + \frac{1}{6f_{a}}\bar{q}\gamma^{\mu}\gamma_{5}q\partial_{\mu}a + \left( \bar{q}_{L}Me^{\frac{ia}{3f_{a}}}q_{R} + h.c.\right) - \frac{e^{2}}{32 \pi^{2}}\left( \frac{E}{N} - \frac{4}{3}\right)\frac{a}{f_{a}}F\wedge F$$,

де $$\ M = diag (m_{u}, m_{d}, m_{s})$$ --- масова матриця кварків. У низькоенергетичному ліміті, коли кварки адронізуються в мезони, у лідуючому порядку по $$\ \tilde{M} = Me^{\frac{ia}{3f_{a}}}$$ виникає доданок

$$\ L_{mass} = \frac{1}{2}\mu f_{\pi}^{2}Tr[\tilde{M}\Sigma ] + h.c., \quad \Sigma = e^{2 i\frac{\pi^{a}T_{a}}{f_{\pi}}} \qquad (4)$$.

де $$\ \mu$$ --- невизначена константа. Її величину можна отримати, розкладаючи в ряд $$\ \Sigma$$ та $$\ e^{\frac{ia}{3f_{a}}}$$ та порівнюючи теоретично передбачувані значення в термінах $$\ \frac{m_{u}}{m_{d}} = z, \frac{m_{u}}{m_{s}} = \omega, f_{a}, \mu , \frac{E}{N} $$ із експериментально отриманими значеннями мас мезонів. Обмеження на $$\ f_{a}$$ при цьому накладаються із результатів експериментальних пошуків аксіонів (див. підрозділ про аксіони та експеримент нижче).

Аксіонний потенціал. Дух Венеціано
Як видно із $$\ (2)$$, взаємодія аксіону із полями Стандартної моделі є інваріантною (принаймні на рівні теорії збурень) відносно глобального перетворення $$\ \varphi \to \varphi + c$$, тобто, має вигляд

$$\ L_{\int} = \sum_{i}C_{i}\partial_{\mu}\varphi J^{\mu}_{i} \qquad (3.1)$$,

що і повинно бути вірним для голдстоунівського бозону. Дійсно, топологічні заряди $$\ G \tilde{G}, F\tilde{F}$$ можна подати у вигляді $$\ \partial_{\mu}K^{\mu}$$, що і призводить до $$\ (3.1)$$. Відповідно, однопетльові поправки до пропагатора аксіону при нульовому імпульсі, які порушують зсувову інваріантність, мають вигляд

$$\ \delta m^{2} = \lim_{p \to 0}p_{\mu}p_{\nu}K^{\mu \nu}(p) \qquad (3.2)$$,

де

$$\ K^{\mu \nu} \equiv \lim_{y \to 0}\int d^{4}xe^{ip(x-y)}\langle 0| T(K^{\mu}(x)\tilde{K}^{\nu}(y)) |0\rangle_{\varphi = 0}$$.

Вираз $$\ (3.2)$$ не дорівнює нулю лише у тому випадку, коли $$\ K^{\mu \nu}$$ має полюс у $$\ p^{2} = 0$$, тобто, якщо

$$\ \lim_{p \to 0}K^{\mu \nu}(p) = a\frac{g^{\mu \nu}}{p^{2}} + b \frac{p^{\mu}p^{\nu}}{p^{4}} \qquad (3.3)$$.

Це означає, що зі струмами $$\ K^{\mu}$$ має взаємодіяти якась безмасова ступінь вільності. Оскільки $$\ K^{\mu}$$ - калібрувально-неінваріантний струм, така ступінь вільності є нефізичною, тобто, на мові квантової теорії поля, не спостерігається у $$\ in-, out-$$ станах. Такі ступені вільності ще називають гостами (духами). Даний дух має назву духу Венеціано. Можна показати, обчисливши у явному вигляді $$\ (3.2)$$, що існування полюсу $$\ (3.3)$$ (або ж духу Венеціано) вимагає ненульове вакуумне середнє $$\ \langle 0|\bar{q}q |0\rangle$$, де $$\ q$$ - кваркові поля. Тобто, полюс виникає під час фазового переходу КХД. Очевидно, звичайно ж, що $$\ (3.3)$$ - суто непертурбативний результат. У рамках теорії збурень $$\ \lim_{p \to 0}K^{\mu \nu}(p) = 0$$

Аналогічно до $$\ (3.2)$$ можна розрахувати і старші члени: $$\ \varphi^{4}, \varphi^{6}$$ і т.д. У першому порядку по кварковим масам для цього достатньо скористатися масовим членом кварків після здійснення кірального перетворення, $$\ \bar{q}_{i}M^{ij}e^{i\frac{\varphi}{3f_{a}}\gamma_{5}}q_{j}$$ (для спрощення викладок буде вважатися, що є лише два покоління кварків; втім, отриманий результат буде нескладно узагальнити на випадок трьох поколінь):

$$\ \bar{q}_{i}M_{ij}e^{i\gamma_{5}\frac{\varphi}{3f_{a}}}q_{j} = \left| q^{i} = q_{L}^{i} + q_{R}^{i}, \gamma_{5}q_{L/R} = \pm q_{L/R}, \bar{q}_{L}q_{L} = 0\right| =$$

$$\ \bar{q}_{L}^{i}M_{ij}e^{-i\frac{\varphi}{3f_{a}}}q_{R}^{j} +\bar{q}_{R}^{i}M_{ij}e^{i\frac{\varphi}{3f_{a}}}q_{L}^{j} \to \left| q_{i} = (U\tilde{q})_{i}, \quad U = e^{i\gamma_{5}\frac{\Pi}{\sqrt{2}f_{\pi}}}\tilde{q}, \quad \langle \bar{\tilde{q}}^{i}\tilde{q}^{j}\rangle = -\langle \bar{\tilde{u}}_{L}\tilde{u}\rangle\delta^{ij}, \quad \langle \bar{\tilde{q}}^{i}\gamma_{5}\tilde{q}^{j}\rangle \approx 0\right| \to$$

$$\ \to -\langle \bar{\tilde{u}}_{L}\tilde{u}_{R}\rangle e^{-i\frac{3\varphi}{f_{a}}}\text{Tr}\left[ Me^{-i\frac{2\sqrt{2}\Pi}{f_{\pi}}}\right] -\langle \bar{\tilde{u}}_{L}\tilde{u}_{R}\rangle e^{i\frac{3\varphi}{f_{a}}}\text{Tr}\left[ Me^{i\frac{2\sqrt{2}\Pi}{f_{\pi}}}\right] = -\langle \bar{\tilde{u}}_{L}\tilde{u}_{R}\rangle\text{Tr}\left[ 2Mcos\left( 2\sqrt{2}\frac{\Pi}{f_{\pi}} + \frac{\varphi}{3f_{a}}\right)\right] = $$

$$\ = -\langle \bar{\tilde{u}}_{L}\tilde{u}_{R}\rangle\text{Tr}\left[\text{M}cos\left( \begin{pmatrix} \frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}}+\frac{\varphi}{3f_{a}} & 2\sqrt{2}\frac{\pi^{+}}{f_{\pi}} \\ 2\sqrt{2}\frac{\pi^{-}}{f_{\pi}} & -\frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}}+\frac{\varphi}{3f_{a}} \end{pmatrix}\right)\right] = -\langle \bar{\tilde{u}}_{L}\tilde{u}\rangle\left(m_{u}cos\left(\frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}} +\frac{\varphi}{3f_{a}}\right) + m_{d}cos\left( \frac{\varphi}{3f_{a}} - \frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}}\right)\right) $$.

Цей вираз можна перетворити за допомогою тригонометричних співвідношень:

$$\ m_{u}cos\left(\frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}} +\frac{\varphi}{3f_{a}} \right) + m_{d}cos\left( \frac{\varphi}{3f_{a}} - \frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}}\right) = (m_{u}+m_{d})cos\left( \frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}}\right)cos\left(\frac{\varphi}{3f_{a}}\right) + (m_{u} - m_{d})sin\left( \frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}}\right)sin\left( \frac{\varphi}{3f_{a}}\right) = $$

$$\ = \sqrt{(m_{u}+m_{d})^2cos^2\left( \frac{\varphi}{3f_{a}}\right) + (m_{u}-m_{d})^2sin^2\left(\frac{\varphi}{3f_{a}} \right)}\left[cos\left(\frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}}\right)cos(\varphi_{a}) +sin\left( \frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}}\right)sin(\varphi_{a})\right]$$,

де

$$\ \varphi_{a} = \text{arccos}\left( \frac{cos\left( \frac{\varphi}{3f_{a}}\right)(m_{u}+m_{d})}{\sqrt{(m_{u}+m_{d})^2cos^2\left( \frac{\varphi}{3f_{a}}\right) + (m_{u}-m_{d})^2sin^2\left(\frac{\varphi}{3f_{a}} \right)}} \right) = \text{arctg}\left( \frac{m_{u}-m_{d}}{m_{u}+m_{d}}tg\left( \frac{\varphi}{3f_{a}}\right)\right)$$.

Отже, остаточно,

$$\ \bar{q}_{i}M^{ij}e^{\frac{i\varphi}{3f_{a}}\gamma_{5}}q_{j} = -|\langle \bar{\tilde{u}}\tilde{u}\rangle |\sqrt{(m_{u}+m_{d})^{2}cos^{2}\left( \frac{\varphi}{3f_{a}} \right) + (m_{u}-m_{d})^{2}sin^{2}\left( \frac{\varphi}{3f_{a}} \right)}cos\left( \frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}} - \varphi_{a}\right)$$.

Оскільки знак, із яким вираз $$\ \bar{q}_{i}M^{ij}e^{\frac{i\varphi}{3f_{a}}\gamma_{5}}q_{j}$$ входить у лагранжіан, є від'ємним, то мінімуму енергії системи,

$$\ V_{eff}[\Pi, \varphi] = -\bar{q}_{i}M^{ij}e^{\frac{i\varphi}{3f_{a}}\gamma_{5}}q_{j}$$,

відповідає максимум абсолютного значення цього доданку. Це означає, зокрема, що множник $$\ cos\left( \frac{2\pi^{0}}{f_{\pi}} - \varphi_{a}\right)$$ має дорівнювати одиниці, тобто, піонне поле набуває вакуумного середнього $$\ \langle \pi^{0}\rangle = \frac{f_{\pi}}{2}\varphi_{a}$$. Тоді потенціал ефективно набуває вигляду аксіонної самодії:

$$\ V_{eff}[\varphi] = \langle V_{eff}[\pi^{0}, \varphi] \rangle = -|\langle \bar{\tilde{u}}\tilde{u}\rangle |\sqrt{(m_{u}+m_{d})^{2}cos^{2}\left(\frac{\varphi}{3f_{a}}\right) + (m_{u}-m_{d})^{2}sin^{2}\left(\frac{\varphi}{3f_{a}} \right)} = $$

$$\ = -|\langle \bar{\tilde{u}}\tilde{u}\rangle |(m_{u} + m_{d})\sqrt{1 - \frac{4m_{u}m_{d}}{(m_{u}+m_{d})^2}sin^{2}\left( \frac{\varphi }{3f_{a}}\right)} \qquad (5)$$.

Отже, аксіон набуває маси внаслідок непертурбативних ефектів під час фазового переходу КХД: поля кварків замінюються на вакуумне середнє, вони адронізуються із утворенням мезонів, і генерується маса аксіона. Отже, в теорії аксіону є два масштаби: масштаб порушення симетрії PQ, який наразі не фіксовано експериментом (хоча обмеження згори та знизу накладені - див. підрозділ про експериментальні обмеження), і масштаб порушення симетрії у КХД (набуття аксіоном маси), який відповідає енергіям у $$\ \Lambda_{QCD} = 1$$ ГеВ.

Із розвиненої теорії видно, що для легких аксіонів основною модою розпаду є розпад у два фотони.

Обмеження на аксіонні моделі
Основні обмеження на аксіонні моделі слідують із загальної космології та астрофізичних даних.

Обмеження із астрофізичних даних слідують із спостережень процесів, у яких наявність аксіона може давати значний вклад. Наприклад, якщо у надрах зірок, що охолоджуються (на кшталт червоних гігантів), відбудеться конверсія двох фотонів у аксіон (в літературі такий ефект навіть має назву - обернений ефект Примакова) через доданок $$\ \frac{a}{f_{a}}F\wedge F$$, то аксіон, що майже не взаємодіє із матерією, без перешкод вилетить за межі зірки (на відміну від фотонів, які б зазнали багатократного поглинання та випромінювання). Аксіони, таким чином, через обернений ефект Примакова призводять до прискореного охолодження зірок, а це накладає обмеження на аксіонну константу зв'язку знизу (тоді доля енергії, що уноситься аксіонами, буде малою внаслідок малої інтенсивності оберненої конверсії $$\ \sim \frac{1}{f_{a}^{2}}$$): $$\ f_{a} > 10^{8} \text{ GeV}$$.

Таке обмеження каже про те, що аксіон слабко взаємодіє із електромагнітним полем. У результаті він може бути (проте не обов'язково) кандидатом на роль темної матерії (про що див. розділ нижче). У будь-якому разі, якщо аксіон існує, його вклад у густину матерії Всесвіту та його еволюцію не має суперечити експериментальним даним. Загальне космологічне обмеження на модель аксіона слідує із вимагання того, що густина енергії аксіонів не повинна перевищувати сучасну густину енергії Всесвіту.

Космологічне обмеження
Є декілька механізмів генерації аксіонів. Їх можна поділити на групи теплового та нетеплових механізмів. Тепловий механізм полягає у народженні аксіонів у первинній плазмі до тих пір, поки вони знаходяться у тепловій рівновазі. Популяція утворених аксіонів буде мати тепловий розподіл по енергіям, і таким чином у ранньому Всесвіті вони будуть "гарячими" (тобто, релятивістськими). В силу малості їх маси потрібні дуже довгий час для їх охолодження (після виходу аксіонів із теплової рівноваги (час $$\ t_{\text{out}}$$) їх імпульси змінюються за законом \ |\mathbf p (t_{\text{present}})| = \frac{|\mathbf p (t_{\text{out}})|a(t_{\text{out}})}{a(t_{\text{present}})}), і вони можуть просто не встигнути охолодитися до моменту, коли мали утворюватися структури у Всесвіті. Таким чином, популяція теплових аксіонів хоч і вносить внесок у густину енергії, не може грати роль холодної темної матерії.

Для спрощення нижче буде використовуватися модель, у якій відсутні топологічні дефекти (див. нижче), тому аксіонне поле можна вважати однорідним.

Отже, густина енергії аксіонного поля має вигляд

$$\ T_{00} = \frac{1}{2}f_{a}^{2}(\partial_{0}a)^{2} + \frac{f_{a}^{2}}{2}m_{a}^{2}a^{2} \approx m_{a}^{2}a^{2}$$,

де була використана теорема про віріал, $$\ \frac{1}{2}f_{a}^{2}\langle (\partial_{0}a)^{2} \rangle \approx \frac{f_{a}^{2}}{2}\langle m_{a}^{2}a^{2} \rangle $$.

Щоб знайти порядок густини енергії, треба розв'язати рівняння руху для аксіона. Усі пояснення та викладки наведені у підрозділі про когерентну осциляцію аксіонного поля (див. розділ про аксіон як темну матерію нижче). У результаті рівняння для просторово-однорідного аксіонного без врахування члену взаємодії із електромагнітним полем мають вигляд

$$\ \partial_{t}^{2}a + 3 H a + \left(m_{a}(T(t))\right)^{2}f_{a}sin\left( \frac{a}{f_{a}}\right) = 0$$,

або, розкладаючи в ряд останній доданок,

$$\ \partial_{t}^{2}a + 3 H a + \left(m_{a}(T(t))\right)^{2}a = 0$$.

Для епохи домінування випромінювання $$\ H \equiv \frac{\dot {a}}{a} = \frac{1}{2t}, T(t) \sim \frac{1}{\sqrt{t}}$$. Інстантонні розрахунки на гратці показують, що $$\ m_{a} = 0.04\frac{\alpha_{s}^{-3} \pi^{2}}{f_{a}T^{4}}\left( m_{u}m_{d}m_{s}\Lambda_{QCD}\right)^{\frac{1}{2}}$$ (константа сильної взаємодії також залежить від температури, проте цим знехтувано). У результаті, як показано у розділі про когерентну осциляцію,

$$\ a = \left( \sqrt{\frac{m(t_{1})}{m(t)}}\left[\frac{T}{T_{1}}\right]^{\frac{3}{2}}\right) cos(m_{a}t)$$.

Тут $$\ t_{1}$$ - момент включення масового доданку, що визначається умовою $$\ m_{a}(t_{1})t_{1} = 1$$: $$\ T_{1} = \frac{10^{11} GeV}{f_{a}}$$, тому

$$\ A_{present} \approx 10^{-21}\left( \frac{f_{a}}{10^{11} \text{ GeV}}\right)^{\frac{7}{12}}$$.

Повертаючись тепер до густини енергії,

$$\ T_{00} \approx m_{a}^{2}a_{0}^{2}f_{\pi}^{2}m_{\pi}^{2}$$,

і вимагаючи, щоб її величина була менша за космологічну критичну густину енергії $$\ \rho_{cr} = 10^{-47} \text{ GeV}^4$$, можна отримати обмеження

$$\ A_{present} < 10^{-23}$$.

Звідси $$\ f_{a} < 10^{12} $$ ГеВ. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Аксіони як темна матерія. Просторово-однорідний випадок
Як було написано у розділі про баріогенезис, при деяких температурах спонтанно порушена симетрія відновлюється. Виявляється, що число народжених аксіонів (а отже, і їхня роль у космології) сильно залежить від того, як співвідноситься температура фазового переходу PQ $$\ T_{PQ} \sim v$$ із температурою інфляції. Якщо фазовий перехід відбувся раніше гіпотетичної інфляції Всесвіту, то будь-які просторові неоднорідності аксіонного поля (включаючи топологічні дефекти як струни тощо) розмилися, і аксіонне поле фактично стало просторово-однорідним. Якщо ж фазовий перехід відбувся пізніше за інфляцію, то аксіонне поле являється просторово-неоднорідним. Останній випадок має специфічні канали народження аксіонів, що пов'язаний із топологічними конфігураціями - аксіонними струнами та доменними стінками. Вони будуть розглянуті у розділі нижче, а зараз буде описана "стандартна" теорія аксіону-темної матерії.

Для описання аксіонів як частинок використовувати лагранжіан класичного аксіонного поля, здавалося б, є неприйнятним. Проте виявляється, що при низьких імпульсахв силу великого значення числа заповнення квантове поле аксіону можна замінити на його вакуумне середнє - конденсат, що відповідає когерентним станам аксіону.

Генерація аксіонної темної матерії. Перебудова вакууму
Розглянемо теорію класичного безмасового дійсного скалярного поля $$\ \theta (x)$$. Цій теорії відповідає лагранжіан

$$\ L = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\theta (x) )^{2}$$.

Теорія має симетрію відносно зсувів поля $$\ \theta (x) $$, $$\ \theta (x) \to \theta (x) + a$$. Яким чином ця симетрія присутня у відповідній квантовій теорії поля?

Квантування теорії означає квантування лапок Пуассона і визначення вакуумного стану. Канонічними змінними у даній теорії є величини $$\ \theta, \pi_{\theta} \equiv \partial_{0}\theta$$. Відповідно, квантування означає заміну лапок Пуассона комутатором:

$$\ [\hat{\theta}(\mathbf x, t), \hat{\pi}_{\theta}(\mathbf y, t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y), \quad [\hat{\theta}(\mathbf x , t), \hat{\theta}(\mathbf y , t)] = [\hat{\pi}_{\theta}(\mathbf x , t), \hat{\pi}_{\theta}(\mathbf y, t)] = 0$$.

Переписавши поля через оператори народження та знищення,

$$\ \hat{\theta} (x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2E_{\mathbf p}(2 \pi)^{3}}}\left( \hat{a}_{\mathbf p}^{\dagger}e^{ipx} + \hat{a}_{\mathbf p}e^{-ipx}\right), \quad E_{\mathbf p} = |\mathbf p|$$,

можна перейти від комутаційних співвідношень для поля та відповідного імпульсу перейти до комутаційних співвідношень для операторів народження та знищення:

$$\ [\hat{a}_{\mathbf p}, \hat{a}^{\dagger}_{\mathbf k}] = \delta (\mathbf p - \mathbf k), \quad [\hat{a}_{\mathbf p}, \hat{a}_{\mathbf k}] = [\hat{a}^{\dagger}_{\mathbf p}, \hat{a}^{\dagger}_{\mathbf k}] = 0$$.

Гамільтоніан у термінах операторів народження та знищення має вигляд

$$\ \hat{H} = \int d^{3}\mathbf p E_{\mathbf p}\hat{a}^{\dagger}_{\mathbf p}\hat{a}_{\mathbf p}$$,

одночастинковий стан визначається як

$$\ | \mathbf p\rangle = \hat{a}^{\dagger}_{\mathbf p}| \text{vac}\rangle$$,

де $$\ | \text{vac}\rangle$$ - вакуумний стан, який відповідає умові мінімуму енергії:

$$\ \hat{H}|\text{vac}\rangle = 0$$.

Для теорії масивного поля вакуумний стан визначений однозначно як стан із нульовою кількістю одночастинкових станів. Проте у теорії із безмасовим полем вакуумний стан визначений неоднозначно. Наприклад, стан $$\ | N_{0}\rangle = \frac{(\hat{a}^{\dagger}_{0})^{N_{0}}}{(N_{0})!}| 0\rangle$$ із довільним числом заповнення $$\ N_{0} $$ являється вакуумним:

$$\ \hat{H}| N_{0}\rangle = E_{0}N_{0}| N_{0}\rangle = 0$$.

Така неоднозначність проявляється і у тому, що квантове поле $$\ \hat{\theta}$$ може мати довільне ненульове вакуумне середнє:

$$\ \hat{\theta} \to \hat{\theta} + \int d^{3}\mathbf p \delta (\mathbf p) |\text{vac}\rangle \langle \text{vac}|\theta$$.

Нехай тепер у деякий момент часу у поля включилася маса $$\ m_{\theta}$$. Механізм "включення" не є суттєвим: можна, наприклад, вважати, що маса генерується при спонтанному порушенню симетрії, а можна вважати, що через розширення Всесвіту маса стає суттєвою лише після деякого моменту часу. Класичний лагранжіан втрачає зсувову симетрію. Відповідно, неоднозначність квантового вакууму усувається, і наявність вакуумного середнього із відповідним станом стає суттєвою. Іншими словами, вакуум безмасової теорії у загальному випадку переходить не у вакуум, а у збуджений стан масивної теорії, і причиною цього є наявність ненульового числа заповнення частинок із нульовим імпульсом.

Дійсно, діючи гамільтоніаном масивної теорії на вакуумний стан безмасової теорії із числом заповнення $$\ N$$, можна отримати

$$\ \hat{H}| \text{vac}\rangle = NE_{0}| \text{vac}\rangle = m_{\theta}N | \text{vac}\rangle$$.

Число заповнення $$\ N$$ контролюється початковою величиною вакуумного середнього, визначивши через нього число частинок $$\ N$$. Гамільтоніан у термінах полів має вигляд

$$\ \hat{H} =\int d^{3}\mathbf p \left(\frac{1}{2}(\partial_{0}\hat{\theta})^{2} + \frac{1}{2})\nabla \hat{\theta})^{2} \frac{1}{2}m_{\theta}^{2}\hat{\theta}^{2} \right)$$,

і його середнє значення дорівнює

$$\ \langle \text{vac}|\hat{H} |\text{vac}\rangle = \frac{m_{\theta}^{2}}{2}\theta^{2}$$.

Описаний процес називається перебудовою вакууму (vacuum misalignment). Він описує генерування частинок із нульовим 3-імпульсом у безмасовій теорії при виникненні маси. Слово "генерування" тут використовується у тому сенсі, що неспостережуване вакуумне середнє, яке відповідає набору одночастинкових станів нульового імпульсу, при генеруванні маси стає спостережуваним. Відповідно, спостережуваними стають і одночастинкові стани.

Тепер повернемося до теорії аксіону. Він як голдстоунівський бозон ефективно виникає в момент спонтанного порушення симетрії $$\ U_{PQ}(1)$$. У причинно незв'язаних областях в межах горизонту виникають вакууми із незкорельованими значеннями вакуумного середнього $$\ \theta$$. Величина $$\ \frac{\theta}{f_{a}}$$ називається кутом перебудови (misalignment angle). Середнє по областям значення цього кута, $$\ \frac{\langle \theta \rangle}{f_{a}}$$, у загальному випадку є ненульовим.

Поки маса аксіону відсутня (або нею можна знехтувати), це вакуумне середнє є невидимим. Маса аксіону генерується на етапі фазового переходу КХД. У момент, коли вона стає суттєвою для визначення динаміки (нагадаю, це відповідає моменту $$\ m_{a}(t_{1}) = H(t_{1})$$), вакуумне середнє починає бути спостережуваним, і генеруються "холодні" аксіони.

Когерентна осциляція аксіонного поля
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Когерентна осциляція аксіонного поля
Наш Всесвіт на великих масштабах описується метрикою Фрідмана:

$$\ ds^{2} = dt^{2} - A^{2}(t)d\mathbf r^{2}$$.

Лагранжіан для класичного поля аксіона на фоні метрики Фрідмана подається у формі $$\ L = \frac{1}{2}g^{\mu \nu}\partial_{\mu}a(x)\partial_{\nu}a(x) - V(a)$$, де $$\ V(a) = m_{a}^{2}f_{a}^{2}\left( 1 - cos\left(\frac{a}{f_{a}}\right)\right)$$ - потенціал, згенерований ефектами КХД. Нагадаю, що коваріантні похідні від скалярного поля співпадають із звичайними. У результаті коваріантні рівняння руху $$\ D_{\mu}\left(\frac{\partial L}{\partial (D_{\mu} a)}\right) = \frac{\partial L}{\partial a}$$ мають вигляд

$$\ D^{\mu}(\partial_{\mu}a(x)) - V'(a) = \left( \partial_{t}^{2} + 3 \frac{\dot {A}}{A}\partial_{t} - \frac{1}{A^{2}}\Delta\right)a(x) + m_{a}^{2}(T(t))f_{a}sin\left( \frac{a}{f_{a}}\right)= 0$$,

або, у імпульсному представленні,

$$\ \left( \partial_{t}^{2} + 3 \frac{\dot {A}}{A}\partial_{t} + \frac{k^{2}}{A^{2}}\right)a_{k}(t) + m_{a}^{2}(T(t))f_{a}sin\left( \frac{a_{k}(t)}{f_{a}}\right)= 0$$,

Градієнтний вклад у густину енергії аксіона, що відповідає ненульовим $$\ k$$, збільшує енергію аксіонної конфігурації. У результаті енергетично вигідними є конфігурації із достатньо малими імпульсами. У Всесвіті, що розширюється, такими імпульсами є всі ті, що задовольняють умову $$\ \frac{k}{A} < H$$, коли можна знехтувати доданком із імпульсами у рівнянні. Тоді

$$\ \ddot{a}(t) + 3 \frac{\dot {A}}{A}\dot{a}(t) +m_{a}^{2}(T(t))f_{a}sin\left( \frac{a(t)}{f_{a}}\right)= 0$$

Маса аксіону, що генерується інстантонними ефектами, сильно пригнічена при температурах, вищих за шкалу КХД $$\ \Lambda_{QCD} \sim 1 \text{ GeV}$$. Масовий член стає суттєвим (визначає поведінку розв'язку рівняння руху) в деякий момент $$\ t_{1}$$, що визначається умовою $$\ m_{a}(t_{1}) = H(t_{1}) \Rightarrow m_{a}(t_{1})t_{1} = 1$$. Вважаючи амплітуду аксіонного поля малою, $$\ \sin \left(\frac{a}{f_{a}}\right) \approx \frac{a}{f_{a}}$$, позначивши $$\ a(t) = t^{-\frac{3}{4}}\psi $$, можна отримати рівняння

$$\ \left( \partial^{2}_{t} +w^{2}\right)\psi = 0, \quad w^{2} = m^{2} + \frac{3}{16 t^{2}}$$.

При $$\ t > t_{1}$$ для мод $$\ \frac{k^{2}}{A^{2}} << H$$ маємо $$\ \partial_{t} ln(w) < w \sim m_{a}$$. Цей режим характеризується адіабатичним інваріантом $$\ \psi_{0}^{2}(t)w^{2}(t)$$, де $$\ \psi_{0}^{2}(t)$$ - змінна амплітуда $$\ \psi^{2}(t)$$. Звідси

$$\ \psi (t) = \frac{c}{\sqrt{m}}cos\left[\int \limits_{}^{t}w(t)dt\right]$$,

і

$$\ a(t) = a_{0}\sqrt{\frac{m_{a}(t_{0})}{m_{a}(t)}}\left(\frac{A(t_{0})}{A(t)}\right)^{\frac{3}{2}}\cos\left[\int \limits_{}^{t}w(t)dt\right] = B(t)cos\left[ \int \limits_{}^{t}w(t)dt\right]$$,

де $$\ R(t)$$ - масштабний фактор.

Густина енергії таких мод дорівнює

$$\ \rho_{0} = \sim B^{2}m_{a}(t)m_{a}(t_{0}) \sim \frac{1}{A^{3}}$$.

Це означає, що у системі координат, прив'язаній до космологічного фону, густина залишається постійною. Відповідно, її можна задати заданням значення аксіонного поля $$\ a(t)$$ у момент часу $$\ t_{1}$$: $$\ a(t_{1}) = f_{a}\alpha_{1}$$. Для випадку інфляції до фазового переходу PQ значення $$\ \alpha_{1}$$, яке лежить у межах $$\ [-\pi, \pi ]$$ (відповідно до визначення аксіонного поля як фази), змінюється від одного причинного горизонту КХД до іншого.

Аналогічно, можна показати (обчислюючи $$\ T_{ii}$$), що тиск аксіонного поля дорівнює нулю. У результаті аксіонне поле на великих масштабах поводиться як нерелятивістська матерія - пил, і може грати роль темної матерії. Умова на аксіонну густину енергії, що забезпечує можливість виступати у ролі темної матерії, має вигляд

$$\ \rho_{a}(t_{\text{present}}) = \rho_{DM}(t_{\text{present}}) = \rho_{cr}\times \Omega_{DM} \approx 2\times 10^{-47} \text{ GeV}^4$$,

звідки

$$\ \left( \frac{a_{0}}{1\text{ GeV}}\right)^{2} \left(\frac{f_{a}}{10^{12} \text{ GeV}}\right)^{\frac{7}{12}} < 10^{24}$$.

Таким чином, після включення масового доданку нульові моди аксіонного поля (у сенсі малості оберненого імпульсу в порівнянні із радіусом Всесвіту) еволюціонують як нерелятивістська матерія - пил. По причині того, що цим модам відповідають малі імпульси, походження відповідного полю аксіонного конденсату називають нетепловим.

Космологічне обмеження на масу аксіона як частинки темної матерії
Ще одне обмеження на аксіонні моделі слідує із обмеження на час життя аксіона. Він дається оберненою шириною розпаду аксіона: $$\ \tau = \frac{1}{\Gamma_{a \to \gamma\gamma }}$$. Оскільки введена у $$\ (5)$$ маса аксіона веде себе як $$\ m_{a} \sim \frac{m_{\pi}f_{\pi}}{f_{a}}$$ (звідси можна виразити аксіонну константу через масу), то ширина двочастинкового розпаду для лагранжіану $$\ (2)$$, $$\ L \sim \frac{\alpha}{f_{a}}aF \wedge F$$ дорівнює $$\ \Gamma = \frac{1}{32 \pi^{3}}\frac{|\mathbf p_{\gamma}|}{m_{a}}\int |\overline{M}|^{2}d \Omega \frac{\alpha^{2}m^{5}}{64m_{\pi}^{2}f_{\pi}^{2} \pi^{3}}$$. Звідси з умови того, що час життя аксіона є більшим, ніж час життя Всесвіту (ще одна умова на частинки темної матерії), можна отримати

$$\ m_{a} < 25 \text{ eV}$$.

До речі, можна показати, що внесок "теплових" аксіонів, що народжуються із плазми, при такій масі не дає ніякого вкладу у темну матерію. Дійсно, внесок теплових частинок у густину енергії матерії дається виразом

$$\ \Omega \approx \frac{m_{a}n_{a}}{\rho_{critical}}$$,

де $$\ \rho_{critical}$$ - критична густина Всесвіту. Для того, щоб теплові частинки були "теплою" темною матерією, вони мають мати масу більше кеВ'а.

Випадок інфляції до фазового переходу PQ. Струни та доменні стінки
У цьому випадку основні вклади у число аксіонів вносять три процеси: випромінювання аксіонів топологічними струнами, випромінювання аксіонів доменними стінками і розглянута вище когерентна осциляція аксіонного поля. На етапі фазового переходу PQ народжуються струни, які еволюціонують із випромінюванням аксіонів. Деякі із струн доживають до етапу фазового переходу КХД, під час якого народжуються доменні стінки. Відповідна система струна-доменна стінка зтягується і зникає, також випромінюючи аксіони.

Нижче розглядається кожен із процесів.

Аксіонні струни
Розглянемо, з урахуванням результатів попереднього підрозділу, частинний випадок дії для поля $$\ \sigma = |\sigma |e^{i\theta }$$:

$$\ L = \frac{1}{2}\partial_{\mu}\sigma \partial^{\mu}\sigma^{*} - h(|\sigma |^{2} - v^{2})^{2} - m^{2}f_{a}^{2}\left(1 - cos(\theta )\right) \qquad (6)$$.

Другий доданок у цьому лагранжіані - частинний випадок потенціалу $$\ V(\sigma )$$ у виразі $$\ (1)$$, а третій доданок згенерований непертурбативними ефектами КХД (вираз $$\ (5)$$). Доданок із взаємодією аксіону та електромагнітного поля для спрощення не врахований.

Розв'язки рівнянь руху, що даються виразом, $$\ (6)$$ описують різні топологічні конфігурації в залежності від масштабу енергії - близько до фазового переходу PQ чи до фазового переходу КХД.

Нехай енергії близькі до енергії фазового переходу PQ. В такому випадку маса аксіону $$\ m$$ дорівнює нулю, і останнього доданку у $$\ (6)$$ немає. Розв'язками рівняння руху є неперервні струнні конфігурації виду $$\ \sigma = fe^{in\theta }$$, де функції $$\ f, \theta $$ даються розв'язками рівнянь руху. Виявляється, що конфігурації із різними цілими значеннями $$\ n$$ є стабільними у тому сенсі, що ніяким неперервним перетворенням не можна перевести конфігурацію із одним $$\ n$$ у конфігурацію із іншим. Причина цьому - топологічної природи. Дійсно, в силу того, що мінімум потенціалу $$\ V(\sigma )$$ відповідає значенню $$\ |\sigma |^{2} = v^{2}$$, то поле $$\ \sigma $$ дорівнює $$\ \sigma (x) = f(x)e^{i n\theta }$$, де $$\ v(x)$$ дорівнює $$\ v$$ на нескінченності та нулю в особливих точках $$\ \theta $$ (це диктується неперервністю розв'язку). Поле $$\ \theta $$ фактично "живе" на сфері $$\ S_{1}$$, і відповідна гомотопічна група дорівнює $$\ \pi_{1}(S_{1}) = Z$$; тому $$\ n$$ - ціле число (інваріант Картана-Маурера). Це ж саме число можна подати як $$\ \int \nabla \theta \cdot d \mathbf l$$. Воно не змінюється при неперервних деформаціях $$\ \theta$$, і може змінитися лише тоді, коли $$\ \theta $$ є сингулярним. При цьому $$\ v(x)$$ дорівнює нулю. Це і означає, що розв'язки із різними $$\ n$$ відділені один від одного бар'єрами. Вказані протяжені конфігурації є фактично одновимірними (в силу того, що $$\ \theta $$ живе на сфері $$\ S_{1}$$) і називаються струнами. Вони, фактично, виникають внаслідок спонтанного порушення неперервних глобальних груп симетрій. Занулення вакуумного середнього на лінії струни означає, що група симетрії в них не порушена.

Випромінювання аксіонних струн. Дія Калба-Рамона
Як було сказано, аксіонні струни випромінюють, і випромінювання є подібним до випромінювання електричним зарядом, що прискорено рухається. Це твердження можна довести аналітично. Для цього у виразі $$\ (6)$$ без останнього доданку можна виділити голдстоунівську моду $$\ \theta $$ за допомогою анзацу $$\ \sigma = \psi e^{i\theta }$$:

$$\ L = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\psi )^{2} + \frac{1}{2}\psi^{2} (\partial_{\mu}\theta )^{2} - h (\psi^{2} - v^{2})^{2} \qquad (7)$$.

Аксіонна фаза $$\ \theta $$ може бути розділена на дві частини - неперервну флуктуацію $$\ \eta $$ і струнний розв'язок $$\ \varphi$$, який сингулярний у нулі. $$\ \eta $$ задовольняє умові $$\ [\partial_{\mu}, \partial_{\nu}]\eta = 0$$, а струна $$\ \varphi $$ - ні: для випадку, коли струна розташована по вісі $$\ Oz$$, маємо

$$\ [\partial_{x}, \partial_{y}]\varphi \equiv [\partial_{x}, \partial_{y}]arctg\left[\frac{y}{x}\right] = \partial_{x}\left[ \frac{x}{x^{2} + y^{2} + a^{2}}\right]_{\lim a \to 0} + \partial_{y}\left[ \frac{y}{x^{2} + y^{2} + a^{2}}\right]_{\lim a \to 0} = \left[\frac{2a^{2}}{(x^{2} + y^{2} + a^{2})^{2}}\right]_{\lim a \to 0} = $$

$$\ = 2 \pi \left[\frac{a^{2}}{\pi}\frac{1}{(r^{2} + a^{2})} \right]_{\lim a =0} = 2 \pi \delta_{a}(\mathbf r) \quad (8)$$.

Це, як буде показано, є важливим у подальшому.

Записавши для лагранжіану $$\ (7)$$ континуальний інтеграл, $$\ Z = \int D\psi D \eta D \varphi e^{i S[\varphi, \eta , \psi]}$$, можна подати другий доданок цього лагранжіану в формі

$$\ L_{G} = G^{\mu}\partial_{\mu}\theta - \frac{1}{\psi^{2}}G^{2} \equiv G^{\mu}\partial_{\mu} \eta + G^{\mu}\partial_{\mu}\varphi - \frac{1}{\psi^{2}}G^{2} \qquad (9)$$.

При цьому

$$\ Z = \int DG D\varphi D \eta D\psi e^{iS[\varphi, \eta , \psi , G]}$$.

Дійсно, виділивши у $$\ L_{G}$$ повний квадрат по $$\ G$$, можна відновити другий доданок $$\ (7)$$, а інтегрування за $$\ G$$ дає несуттєвий мультиплікативний фактор; уся залежність від $$\ G$$, таким чином, зникає. Рівняння руху по $$\ \eta$$ дають умову

$$\ \partial_{\mu}G^{\mu} = 0 \qquad (10)$$.

Ту ж саму умову дає континуальне інтегрування по цьому полю; інтегрування же по $$\ \varphi $$ не може бути виконано елементарним через її сингулярність. Щоб тотожньо задовольнити умову $$\ (10)$$, можна $$\ G_{\mu}$$ представити у вигляді $$\ \frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \lambda \rho}\partial^{\nu}B^{\lambda \rho}$$, де введене поле $$\ B$$ фактично є калібрувальним. У результаті дія $$\ (9)$$ набуває вигляду

$$\ S_{G} \equiv \int d^{4}x \left[\frac{1}{2}\epsilon^{\mu \nu \lambda \rho}\partial_{\nu}B_{\lambda \rho} \partial_{\nu}\varphi - \frac{1}{4\psi^{2}}(\epsilon^{\mu \nu \lambda \rho}\partial_{\nu}B_{\lambda \rho})(\epsilon_{\mu \nu{'} \lambda{'} \rho{'}}\partial^{\nu{'}}B^{\lambda {'} \rho {'}}) \right] \qquad (11)$$.

Виконавши перетворення

$$\ \epsilon_{\mu \nu \lambda \rho}\epsilon^{\mu \nu{'}\lambda{'}\rho{'}} = -\left( \delta^{\nu{'}}_{\nu}(\delta^{\lambda{'}}_{\lambda}\delta^{\rho{'}}_{\rho} - \delta^{\lambda{'}}_{\rho} \delta^{\rho{'}}_{\lambda} ) + \delta^{\lambda{'}}_{\nu}(\delta^{\rho{'}}_{\lambda}\delta^{\nu{'}}_{\rho}  - \delta^{\rho{'}}_{\rho} \delta^{\nu{'}}_{\lambda} ) + \delta^{\rho{'}}_{\nu}(\delta^{\nu{'}}_{\lambda}\delta^{\lambda{'}}_{\rho}  - \delta^{\nu{'}}_{\rho} \delta^{\lambda{'}}_{\lambda} )\right)$$,

останній доданок виразу $$\ (11)$$ можна подати у вигляді

$$\ - \frac{1}{4\psi^{2}}(\epsilon^{\mu \nu \lambda \rho}\partial_{\nu}B_{\lambda \rho})(\epsilon_{\mu \nu{'} \lambda{'} \rho{'}}\partial^{\nu{'}}B^{\lambda {'} \rho {'}}) = \frac{1}{4\psi^{2}}\partial_{\nu{'}}B_{\lambda{'}\rho{'}}\left( 2\partial^{\nu{'}}B^{\lambda{'}\rho{'}} + 2\partial^{\lambda{'}}B^{\rho{ '}\nu{'}} + 2\partial^{\rho{'}}B^{\nu{'}\lambda{'}}\right) \equiv \frac{1}{6 \psi^{2}}H^{2}$$,

де було введене поле $$\ H_{\mu \nu \lambda} = \partial_{\mu}B_{\nu \lambda} + \partial_{\nu}B_{\lambda \mu} + \partial_{\lambda} B_{\mu \nu}$$ і зроблена симетризація $$\ \partial_{\nu{'}}B_{\lambda{'}\rho{'}}$$ (виник фактор $$\ \frac{1}{3}$$).

Нарешті, розглянемо перший доданок $$\ (11) $$. Він, здавалося б, має дорівнювати нулю (в силу рівності $$\ \epsilon_{\mu \nu \lambda \rho}\partial^{\nu}\partial^{\lambda} = 0$$), проте в силу того, що для струнних розв'язків комутатор $$\ [\partial_{\nu}, \partial_{\lambda}]\varphi $$ не дорівнює нулю (див. вираз $$\ (8)$$), то, узагальнивши вираз $$\ (8)$$ на випадок довільної кривої $$\ X(\tau, s)$$ ($$\ \tau$$ відповідає часу, а $$\ s$$ - просторовій кривій струни) локалізації струни, можна отримати

$$\ \epsilon^{\mu \nu \lambda \rho}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\varphi = 4 \pi J^{\lambda \rho}, \quad J^{\lambda \rho} = \frac{1}{2}\int d\sigma^{\lambda \rho}\delta^{4}(x - X(\tau, s))$$.

Тут $$\ d\sigma^{\lambda \rho} \equiv \epsilon^{ab}\partial_{a}X^{\lambda}\partial_{b}X^{\rho}d s d \tau$$ - елемент "площі", що дається в термінах кривої струни, яка "замітається" нульовим значенням поля $$\ \psi$$.

Отже, перетворена дія $$\ (6)$$ тепер має вигляд

$$\ S = \int d^{4}x \left( (\partial_{\mu}\psi )^{2} + \frac{1}{6 \psi^{2}}H^{2} - h (\psi^{2} - v^{2})^{2}\right) - 2 \pi \int B_{\mu \nu}d\sigma^{\mu \nu} \qquad (12)$$.

Поблизу струни можна записати $$\ X^{\mu} $$ як $$\ X^{\mu} = x^{\mu} - m^{\mu}_{a}\rho^{a}$$, де $$\ m^{\mu}_{a}$$ є двома ортогональними векторами перпендикулярні до "поверхні" струни та $$\ \rho^{a}$$ є відповідними координатами. Нарешті, означивши натяг "голої" струни як

$$\ \mu_{0} = - \int d^{2}\rho \left( (\partial_{\mu}\psi )^{2} + \frac{1}{6}\left( \frac{1}{\psi^{2}} - \frac{1}{v^{2}}\right)H^{2} - h(\psi^{2} - v^{2})^{2}\right)$$,

дію $$\ (12)$$ можна переписати у вигляді дії Калба-Рамона:

$$\ S = -\mu_{0}\int \sqrt{-\gamma}d\sigma d \tau + \frac{1}{6 v^{2}}\int d^{4}x H^{2} - 2 \pi \int B_{\mu \nu}d\sigma^{\mu \nu}, \quad \gamma_{ab} = g_{\mu \nu}\partial_{a}X^{\mu}\partial_{b}X^{\nu}, \quad \gamma = det (\gamma_{ab})$$.

Тут перший доданок - дія вільної струни, другий доданок - дія для вільного зовнішнього поля, що, по суті, представляє аксіон, і третій - контактна взаємодія зовнішнього поля із струною. Фактично, взаємодія аксіону із аксіонною струною відповідає взаємодії ЕМ поля із джерелом.

Розв'язуючи відповідні нелінійні рівняння руху, можна отримати число випромінених аксіонів струною. Розв'язками цих рівнянь є два типи струн - замкнута петля та періодична нескінченно довга струна. Перший тип параметризується довжиною петлі, що пов'язана із характеристичною частотою петлі, а другий тип - довжиною хвилі та відношенням довжини хвилі до амплітуди.

Із моделювань виявляється, що довгі струни при пересіканні (у тому числі самі із собою) "обрубають" кінці, утворюючи замкнуті петлі. Топологічні числа петель дорівнюють нулю, і внаслідок випромінювання вони можуть повністю зникнути. У результаті встановлюється такий розподіл довгих струн, що їх число у межах причинного горизонту є порядку одиниці; іншими словами, відстань $$\ \Delta$$ є порядку часу з моменту Великого вибуху $$\ t$$. На відміну від петльових струн, що випромінюють дуже швидко, довгі струни доживаюсь до етапу формування доменних стінок; випромінюють лише "перегини" цих довгих струн.

Із масштабних міркувань можна оцінити еволюцію густини енергії струн. Позначивши цю кількість як $$\ \epsilon = O(1)$$, можна, з іншого боку, подати її як $$\ \frac{\rho_{str}}{E}t^{2}$$, де $$\ \rho_{str}$$ - густина енергії струни. Дійсно, за змістом $$\ E$$ є енергією на одиницю довжини (що дорівнює лінійному розміру області, обмеженої горизонтом подій), тому відношення $$\ \frac{\rho_{str}}{E}$$ дорівнює поверхневій густині струн горизонту подій. Домноживши на поверхневу площу горизонту $$\ L^{2} \sim t^{2}$$, можна отримати число струн. У результаті

$$\ \rho_{str} = \epsilon \frac{E (t)}{t^{2}}, \quad E(t) = 2 \pi v^{2}\frac{ln \left( \frac{t}{\sqrt{\epsilon}\delta}\right)}{t^{2}} \qquad (13)$$.

Тепер можна обрахувати вклад випромінювання струн у сумарну кількість аксіонів. Еволюція струнної та аксіонної густин енергії зумовлюється при цьому двома факторами - розширенням Всесвіту та випромінюванням аксіонів (можна показати, що гравітаційне випромінювання на три порядки слабше). Струна - двовимірна топологічна конфігурація, а аксіони - чотиривимірна; у результаті рівняння на еволюцію даються виразами

$$\ \frac{d\rho_{str}}{dt} = -2H\rho_{str} - \left(\frac{d\rho_{str}}{dt}\right)_{emission}, \quad \frac{d\rho_{a}}{dt} = -4H\rho_{a} + \left(\frac{d\rho_{str}}{dt}\right)_{emission} \qquad (14)$$.

Маючи вираз $$\ (13)$$, можна отримати, що $$\ \left(\frac{d\rho_{str}}{dt}\right)_{emission} = 2\pi v^{2} \frac{\epsilon}{t^{3}}\left( ln\left( \frac{t}{\sqrt{\epsilon}\delta}\right) - 1 \right)$$. В результаті, вводячи енергію аксіонів, що випромінюються, зв'язаною із космологічним фоном, $$\ E_{a, str} = a^{4}(t)\rho_{a}(t) $$, можна отримати з $$\ (14)$$ рівняння

$$\ \frac{dE_{a, str}}{dt} = a^{4}(t)\left(\frac{d \rho_{str}}{dt}\right)_{emission}$$.

Відповідно, густина аксіонів, що були отримані із випромінювання струн, дорівнює

$$\ n_{a, str}(t_{0}) = \frac{N_{a, str}(t > t_{1})}{a^{3}(t_{0})}, \quad N_{a, str} = \int \limits_{t_{c}}^{t_{1}} dt'\frac{1}{a(t')\langle w_{a}(t')\rangle}\frac{dE_{a, str}}{dt} = \int \limits_{t_{c}}^{t_{1}} dt'\frac{1}{a(t')\langle w_{a}(t')\rangle} 2 \pi v^{2}\frac{\epsilon}{t^{3}}\left(ln\left( \frac{t}{\sqrt{\epsilon}\delta}\right) - 1 \right)$$.

Тут $$\ t_{1}$$ - час фазового переходу КХД, під час якого генерується маса аксіона і доменні стінки (випромінювання струн у пізніші часи включається у випромінювання системи струна-доменна стінка), $$\ \langle w_{a}(t)\rangle$$ - власна енергія аксіона у час $$\ t$$. Якщо припустити, що типова довжина хвилі випроміненого аксіона відповідає лінійному розміру причинного горизонту, $$\ k \sim \frac{2\pi}{t}$$, можна оцінити цю енергію як $$\ \langle w_{a}\rangle = \eta \frac{2 \pi}{t}$$. Звідси

$$\ n_{a, str}(t_{0}) = \left(\frac{a(t_{1})}{a(t_{0})}\right)^{3} \times \frac{v^{2}\epsilon }{t_{1}\eta}ln \left( \frac{t_{1}}{\sqrt{\epsilon}\delta }\right)$$. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Доменні стінки
Якщо ж енергії знаходяться близько до $$\ \Lambda_{QCD}$$, то в гру вступає останній доданок $$\ (6)$$. Він згенерований інстантонними ефектами КХД, і явно порушує симетрію групи $$\ U_{PQ}(1)$$ до підгрупи $$\ Z(1): \theta \to \theta + 2 \pi f_{a}$$. Ця ж симетрія спонтанно порушується вакуумним середнім поля $$\ \sigma $$. Топологічні структури, що виникають при спонтанному порушенні дискретної групи симетрії, називаються доменними стінками (нижче буде явно продемонстрована їх стійкість відносно малих збурень), і вони визначаються як розв'язки, які пропагають від одного положення мінімуму потенціалу до іншого (у тому числі - до самого себе). Елементарні розв'язки для доменних стінок можна отримати, знехтувавши другим доданком у $$\ (6)$$. У результаті, подавши $$\ \sigma $$ як $$\ ve^{i \alpha}$$, можна отримати лагранжіан у формі

$$\ L = v^{2}(\partial_{\mu}\alpha )^{2} + m^{2}v^{2}(1 - cos(\alpha))$$.

Тоді для фази $$\ \alpha$$ розв'язком є $$\ \alpha = 4arctg\left( e^{\frac{mz}{4}}\right)$$. Відповідно до форми розв'язку, товщина стінки - порядку $$\ \delta_{w} = \frac{1}{m}$$.

Поверхнева енергія стінки дорівнює

$$\ E = \int dz T^{00} = v^{2} \int \limits_{-\infty}^{\infty} \left( \partial_{z}\alpha\right)^{2} = 192 mv^{2}$$,

а відповідний тиск по осям $$\ Ox, Oy$$ -

$$\ p_{x} = p_{y} = \int T_{11}dz = -E$$.

Аналогічно до густини енергії струн, можна отримати вираз для густини енергії доменних стінок:

$$\ \rho_{w} = \frac{E}{t} = \frac{192 mv^{2}}{t}$$.

З умови рівності $$\ \rho_{w} = \rho_{str} $$ можна визначити момент часу $$\ t$$, при якому еволюція аксіонів починає визначатись доменними стінками.

Аксіони та генерація магнітних полів
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Аксіони та експеримент
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$