Ще раз про дискретні симетрії групи Лоренца

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

У розділі про Дискретні перетворення групи Лоренца були введені оператори просторової, часової інверсій та зарядового спряження на спінорних представленнях групи Лоренца. У даному розділі будуть отримані явні вирази для дії операторів на біспінорні представлення, що задовольняють рівнянню Дірака, та розглянуто їх зв'язок із фізичними величинами.

Для аналізу дії операторів на просторі біспінорних представлень треба згадати вирази для густин енергії, імпульсу, заряду та струму (у операторному вигляді) для біспінорів:

$$\ W = T_{00} = \Psi^{+}\hat {p}_{0}\Psi = \Psi^{+}(m\beta + (\mathbf {\alpha } \cdot \hat {\mathbf p}))\Psi, \quad \mathbf P = \mathbf e^{i}T_{0i} = \Psi^{+}\hat {\mathbf p}\Psi , \quad \mathbf j = \Psi^{+}\mathbf {\alpha}\Psi , \quad j_{0} = \Psi^{+}\Psi \qquad (1)$$,

де

$$\ \beta = \alpha^{0}, \quad \mathbf {\alpha}_{i} = \gamma_{0}\gamma_{i}, \quad \hat {p}_{\alpha} = i\partial_{\alpha}$$.

При різних інверсіях повинні змінюватися знаки у цих величин. Це і дозволить визначити явний вираз для дії операторів дискретних симетрій на біспінорні представлення.

Оператор просторової інверсії
При просторовій інверсії змінюється знак у виразів для імпульсу та струму, але не змінюються знаки енергії та заряду. Отже, нехай інверсія $$\ \mathbf r \to -\mathbf r$$ відповідає дії деякої матриці $$\ \hat {U}$$ на біспінорне представлення:

$$\ \Psi \to \Psi ' (\mathbf r, t) = \hat {P} \Psi (\mathbf r , t) = \hat {U} \Psi (-\mathbf r , t)$$.

З інваріантності заряду одразу виходить, що матриця є унітарною:

$$\ Q' = Q \Rightarrow \Psi^{+}{'}\Psi {'} = \Psi^{+} \hat {U}^{+}\hat {U}\Psi = \Psi^{+}\Psi \Rightarrow \hat {U}^{+}\hat {U} = 1$$.

Вираз для енергії є незмінним, тому

$$\ T_{00}{'} = \Psi^{+}(m\hat {U}^{+}\beta \hat {U} - (\hat {U}^{+}\mathbf {\alpha }\hat {U} \cdot \hat {\mathbf p}))\Psi = \Psi^{+}(m\beta + (\mathbf {\alpha } \cdot \hat {\mathbf p}))\Psi \Rightarrow \hat {U}^{+}\beta \hat {U} = \beta, \quad \hat {U}^{+}\mathbf {\alpha }\hat {U} = -\mathbf {\alpha }$$,

де враховано, що $$\ \hat {\mathbf p}{'} = -\hat {\mathbf p}$$.

Домножуючи отримані умови зліва на $$\ \hat {U}$$, можна отримати

$$\ \beta \hat {U} = \hat {U}\beta, \quad \mathbf {\alpha }\hat {U} = -\hat {U}\mathbf {\alpha}$$.

Враховуючи комутаційні співвідношення для гамма-матриць, можна стверджувати, що $$\ \hat {U} = \delta \gamma_{0}$$, де $$\ \delta =e^{i\kappa }$$ в силу унітарності оператора $$\ \hat {U}$$.

Фазу можна зафіксувати, вамагаючи, щоб перетворення полярного 4-вектора $$\ (A_{0}, \mathbf A )$$, що відповідають даному біспінору $$\ \Psi$$, мали вигляд $$\ (A_{0}, -\mathbf A )$$; тоді $$\ \delta = i$$. Дійсно, у спінорному представленні

$$\ i\gamma_{0} \Psi = i \begin{pmatrix} 0 & \hat {\mathbf E} \\ \hat {\mathbf E} & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi^{a} \\ \kappa_{\dot {a}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \kappa^{a} \\ \psi_{\dot {a}}\end{pmatrix}$$,

тобто,

$$\ \psi^{1} \to i\kappa_{\dot {1}}, \quad \psi^{2} \to i\kappa_{\dot {2}}, \quad \kappa_{\dot {1}} \to i\psi^{1}, \quad \kappa_{\dot {2}} \to i\psi^{2}$$,

або, після піднімання індексів за допомогою метрики $$\ \varepsilon_{ab} = - \varepsilon^{\dot {a}\dot {b}}$$,

$$\ \psi_{1} \to i\kappa_{\dot {2}}, \quad \psi_{2} \to -i\kappa_{\dot {1}}, \quad \kappa_{\dot {1}} \to -i\psi_{2} , \quad \kappa_{\dot {2}} \to i\psi_{1}$$.

Відповідно до цього, врахувавши, що $$\ \psi^{a}\kappa^{\dot {b}} \to c^{a \dot {b}} \to A_{\mu}$$, для перетворення просторової інверсії можна отримати

$$\ c^{1 \dot {1}} \to c^{2 \dot {2}}, \quad c^{2\dot {2}} \to c^{1 \dot {1}}, \quad c^{1 \dot {2}} \to -c^{2 \dot {1}}, \quad c^{2 \dot {1}} \to -c^{1 \dot {2}}$$,

а тому, врахувавши вираз для спінорного тензорну $$\ c^{\alpha \dot {\beta}}$$ через компоненти вектора $$\ A_{\mu}$$, можна нарешті отримати

$$\ \begin{pmatrix} A_{0} + A_{3} & A_{1} - iA_{2} \\ A_{1} + iA_{2} & A_{1} - A_{3}\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} A_{0} - A_{3} & A_{1} + iA_{2} \\ A_{1} - iA_{2} & A_{0} + A_{3}\end{pmatrix} \Rightarrow (A_{0}, \mathbf A ) \to (A_{0}, -\mathbf A )$$.

Отже, остаточно для просторової інверсії дія відповідного оператора має вигляд

$$\ \hat {P} \Psi (\mathbf r, t) = i\gamma^{0}\Psi(-\mathbf r , t) \qquad (2)$$.

Оператор часової інверсії
Аналогічно до випадку з просторовою інверсією змінюються вирази $$\ (1)$$ у випадку часової інверсії. Наївно це пояснюється тим, що 4-імпульс і струм вільної частинки пропорційний 4-швидкості, часова компонента якої не змінює знак ні при яких просторово-часових інверсіях, а просторові - змінюють що при часовій, що при просторовій.

Знову ж таки, можна задати перетворення $$\ \Psi (\mathbf r, t) \to \Psi {'} = \hat {U} \Psi (-t, \mathbf r) , \quad \hat {U}^{+}\hat {U} = 1$$, де унітарність матриці перетворення знову слідує із інваріантності заряду. Однак у даному випадку густина імпульсу явним чином від часу не залежить, тому для зміни його знаку при перетворенні часової інверсії треба змінити вищенаведене визначення на

$$\ \Psi (\mathbf r, t) \to \Psi {'} = \hat {T}\Psi(\mathbf r , t) = \hat {U} \Psi^{*} ( \mathbf r , -t) , \quad \hat {U}^{+}\hat {U} = 1$$.

Тепер можливість зміни знаку виникає через зведення виразу для "інверсного" імпульсу до початкового через інтегрування по частинам (імпульс є просторовим інтегралом від густини імпульсу). Якби спінори мали б векторну метрику, то інтегрування по частинам змінювало б знак виразу на протилежний. Проте в силу грасманової природи спінорів знак при "перекиданні" спінорів змінюється. В результаті, треба додати ще одну властивість операції часової інверсії:

$$\ \hat {T} (\Psi_{1} \Psi_{2}) = \hat {T}(\Psi_{2})\hat {T}(\Psi_{1})$$.

Тепер можна це продемонструвати:

$$\ \mathbf p {'} = \int \mathbf P {'} d^{3}\mathbf r = \int \hat {T}(\Psi^{+} \hat {\mathbf p} \Psi)d^{3}\mathbf r = \int \hat {T} (\hat {\mathbf p } \Psi )\hat {T} (\Psi^{+})d^{3}\mathbf r = \int (\hat {\mathbf p}\hat {U}\Psi^{*})(\Psi^{T}\hat {U}^{*})d^{3}\mathbf r = -\int \hat {U}\Psi^{*} \hat {\mathbf p}\Psi^{T}\hat {U}^{*}d^{3}\mathbf r = |\hat {U}^{*} = (\hat {U}^{T})^{+}| = $$

$$\ = - \int \Psi^{*}_{b}U_{ab}U^{+}_{ca}\hat {\mathbf p}\Psi_{c}d^{3}\mathbf r = - \int \Psi^{*}_{b}\delta_{bc}\hat {\mathbf p}\Psi_{c}d^{3}\mathbf r = -\int \Psi^{+} \hat {\mathbf p} \Psi d^{3}\mathbf r = -\mathbf p $$.

Явний вигляд матриці перетворення можна знайти, використавши умову знакосталості енергії і знакозмінності густини струму:

$$\ E{'} = \int \hat {T}(\Psi^{+}(\beta m + (\hat {\mathbf p} \cdot \alpha ))\Psi )d^{3}\mathbf r = \int \hat {T}(\Psi_{a} )(\beta_{ca} m - (\hat {\mathbf p} \cdot \alpha_{ca} ))\hat {T}(\Psi^{*}_{c})d^{3}\mathbf r = \int U_{ab}\Psi^{*}_{b}(\beta_{ca} m - (\hat {\mathbf p} \cdot \alpha_{ca} ))U_{cd}^{*}\Psi_{d}d^{3}\mathbf r = $$

$$\ = \int \Psi^{*}_{b}U_{ba}^{T}(\beta^{T}_{ac} m - (\hat {\mathbf p} \cdot \alpha^{T}_{ac} ))U^{*}_{cd} \Psi_{d}d^{3}\mathbf r = \int \Psi^{+}(\beta m + (\hat {\mathbf p} \cdot \alpha ))\Psi d^{3}\mathbf r$$,

$$\ \mathbf j {'} = \Psi^{*}_{b} U_{ba}^{T}\alpha^{T}_{ac}U^{*}_{cd} \Psi_{d} = -\Psi^{+}\mathbf {\alpha} \Psi$$,

де у першому перетворенні поява знаку "мінус" аналогічна до випадку з імпульсом. Звідси

$$\ U_{ba}^{T}\beta^{T}_{ac}U^{*}_{cd} = ({U}^{+}\beta \hat {U})^{T} = \beta \Rightarrow \hat {U}^{+}\beta \hat {U} = \beta^{T}, \quad U_{ba}^{T}\alpha^{T}_{ac}U^{*}_{cd} = -\hat {\alpha} \Rightarrow \hat {U}^{+}\alpha \hat {U} = -\alpha^{T}$$.

Враховуючи, що для спінорного представлення справедливі рівності

$$\ (\gamma^{0})^{T} = \gamma^{0}, (\alpha^{i})^{T} = -\gamma^{2}\alpha^{i}\gamma^{2}$$,

можна отримати

$$\ \hat {U}^{+}\beta \hat {U} = \beta, \quad \hat {U}^{+}\alpha^{i} \hat {U} = \gamma^{2}\alpha^{i}\gamma^{2}$$.

Матриця, яка задовольняє дані співвідношення, може бути вибрана як (множник i - фаза - зафіксований для ермітовості матриці) $$\ \hat {U} = i\gamma^{3}\gamma^{1}$$.

Дійсно, використовуючи властивості 1, 6 та те, що квадрат матриць $$\ \gamma^{5}, \gamma^{0}$$ рівен одиниці, а $$\ \gamma^{1}, \gamma^{3}$$ - мінус одиниці,

$$\ \hat {U}^{+}\beta \hat {U} = -i^2 (\gamma^{1})^{+}(\gamma^{3})^{+}\gamma^{0}\gamma^{3}\gamma^{1} = \gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{3}\gamma^{3}\gamma^{1} = \gamma^{0} = \beta$$,

$$\ \hat {U}^{+}\alpha^{i} \hat {U} = \gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{3}\gamma^{0}\alpha^{i}\gamma^{3}\gamma^{1} = -\gamma^{0}\gamma^{1}(\gamma^{2})^{2}\gamma^{3}\gamma^{0}\alpha^{i}\alpha^{3}\alpha^{1} = -i\gamma^{5}\gamma^{2}\gamma^{0}\alpha^{i}\gamma^{3}\gamma^{1} = -i\gamma^{5}\gamma^{2}\alpha^{i}\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{3} = \gamma^{5} \gamma^{2}\alpha^{i}\alpha^{2}\gamma^{5} = \gamma^{2}\alpha^{i}\alpha^{2} (\gamma^{5})^{2} = \gamma^{2}\alpha^{i}\alpha^{2}$$.

Отже,

$$\ \hat {T}(\Psi(\mathbf r, t)) = \hat {U} \Psi (\mathbf r , -t), \quad \hat {U} = i\gamma_{3}\gamma_{1}, \quad \hat {T}(\Psi_{1}\Psi_{2}) = \hat {T} (\Psi_{2}) \hat {T} (\Psi_{1}) \qquad (3)$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Оператор зарядового спряження
При зарядовому спряженні повинні змінити знак струм та заряд, а енергія та імпульс повинні залишитися без змін.

Це означає, що можна задати перетворення у вигляді $$\ \hat {C} \Psi (\mathbf r, t) = \hat {U} \Psi^{*}(\mathbf r , t), \quad \hat {U}^{+}\hat {U} = 1$$.

Користуючись міркуваннями попереднього розділу, треба залишити порядок біспінорів при дії на них оператору незмінним, оскільки тоді вираз для повного імпульсу після інтегрування по частинам залишиться незмінним в силу грасманової природи біспінорів, а заряду - зміниться. Умови ж на енергію та густину струму дають

$$\ \hat {C} W = U^{*}_{ba}\Psi_{b}(\beta_{ac} m + (\hat {\mathbf p} \cdot \alpha_{ac} ))U_{cd}\Psi^{*}_{d} = \Psi_{b}U^{*}_{ba}(\beta_{ac} m + (\hat {\mathbf p} \cdot \alpha_{ac} ))U_{cd}\Psi^{*}_{d} = \Psi_{b}(\hat {U}^{+}[ \beta m + (\hat {\mathbf p} \cdot \alpha )]\hat {U} )_{bc}\Psi^{*}_{c} \Rightarrow $$

$$\ \hat {C} E = - \int \Psi^{+}(\hat {U}^{+}[ \beta m - (\hat {\mathbf p} \cdot \alpha )]\hat {U} )^{T}\Psi d^{3}\mathbf r$$,

де у останній рівності одночасно були поміняні місцями біспінори та проінтегровано по частинам доданок з $$\ \hat {\mathbf p}$$,

$$\ \hat {C} \mathbf j = -\Psi^{+}( \hat {U}^{+} \hat {\alpha }\hat {U} )^{T}\Psi $$

Звідси

$$\ \hat {U}^{+}\hat {\beta}\hat {U} = -\beta, \quad \hat {U}^{+}\hat {\alpha}^{i}\hat {U} = \hat{\alpha}^{T} = -\gamma^{2}\alpha^{i}\gamma^{2}$$.

Тому $$\ \hat {U} = \delta \gamma^{2}$$ (фаза вибрана довільно), що дуже просто перевіряється прямо, враховуючи антиермітовість $$\ \gamma^{2}$$.

Отже,

$$\ \hat {C} \Psi (\mathbf r, t) = \gamma^{2}\Psi^{*} (\mathbf r , t) = \gamma^{2}\gamma^{0} \gamma^{0}\Psi^{*} (\mathbf r , t) = -\alpha^{2} \bar {\Psi}^{T} \qquad (4)$$.

Враховуючи, що

$$\ \hat {\alpha}^{2} = \delta \begin{pmatrix} -\sigma_{2} & 0 \\ 0 & \sigma_{2}\end{pmatrix} = -i\delta \begin{pmatrix} -\varepsilon & 0 \\ 0 & \varepsilon \end{pmatrix}$$,

видно, що дана операція співпадає з точністю до фази із введеною раніше.

Нескладно отримати базисні перетворення для оператору зарядового спряження. Нехай є біспінор $$\ \hat {C} \Psi$$. Перетворення базису $$\ \Psi {'} = \hat {A} \Psi, \hat {A}^{+} = \hat {A}^{-1}$$ повинні діяти на нього як на деякий біспінор, $$\ (\hat {C} \Psi )' = \hat {A} (\hat {C} \Psi )$$, тому

$$\ (\hat {C} \Psi ){'} = \hat {A} \hat {C} \Psi = \hat {A} \hat {U} \Psi^{*} = \hat {A} \hat {U} (\hat {A}^{+} \hat {A}\Psi )^{*} = \hat {A} \hat {U} \hat {A}^{T} (\hat {A} \Psi )^{*} = \hat {U}{'} (\Psi^{*}){'} \Rightarrow \hat {U}{'} = \hat {A} \hat {U} \hat {A}^{T}$$.

Інваріантність рівняння Дірака відносно С, Р, Т-перетворень
Рівняння Дірака

$$\ (i\gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m)\Psi = 0$$

є інваріантним відносно усіх трьох типів перетворень. Це твердження є очевидним з точки зору побудови біспінора як прямої суми представлень групи Лоренца, оскільки саме біспінорне представлення будувалось як таке, яке є інваріантним відносно дискретних симетрій групи Лоренца. Проте не заважає переконатись у цьому прямо, записуючи рівняння, а потім здійснюючи відповідні перетворення біспінора та координат.

1. $$\ P$$-інверсія: $$\ \Psi \to i\gamma^{0}\Psi(-\mathbf r, t) , \mathbf r \to -\mathbf r$$, і

$$\ i (i\gamma^{0}\partial_{0} - i\gamma^{i}\partial_{i} - m)\gamma^{0}\Psi = i\gamma^{0} (i \gamma^{0}\partial_{0} + i\gamma^{i}\partial_{i} - m)\Psi = 0$$,

де були використані комутаційні властивості гамма-матриць.

2. $$\ T$$-інверсія: $$\ i\gamma^{3}\gamma^{1}\Psi (\mathbf r, t) \to \Psi^{*}(\mathbf r , -t) , \quad t \to -t$$: комплексно зпрягши рівняння і здійснивши перетворення

$$\ \Psi^{*}(\mathbf r, -t) \to -i (\gamma^{3}\gamma^{1})^{*}\Psi (\mathbf r, -t) = -i((\gamma^{3})^{+})^{T}((\gamma^{1})^{+})^{T}\Psi^{*}(\mathbf r, -t) = -i\gamma^{3}\gamma^{1}\Psi , \quad t \to -t$$,

можна отримати

$$\ -i(i\gamma^{0}\partial_{0} + i\gamma^{2}\gamma^{i}\gamma^{2}\partial_{i} - m)\gamma^{3}\gamma^{1}\Psi = |\gamma^{2}\gamma^{i}\gamma^{2} = \gamma^{0}(\alpha^{i})^{T}, \quad (\alpha^{i})^{T}(i\gamma^{3}\gamma^{1}) = -(i\gamma^{3}\gamma^{1})^{+}\alpha^{i}, \quad (\gamma^{i})^{+} = \gamma^{0}\gamma^{i}\gamma^{0}| = $$

$$\ = -i\gamma^{3}\gamma^{1}i\gamma^{0}\partial_{0}\Psi + i(i)\partial_{i}(\gamma^{0})^{2}\gamma^{1}\gamma^{3}\gamma^{0}\alpha^{i}\Psi + i\gamma^{3}\gamma^{1} m\Psi = -i\gamma^{3}\gamma^{1}(i\gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m)\Psi = 0 $$.

Хоч згортка $$\ \gamma^{2}\gamma^{i}\gamma^{2} = \gamma^{0}(\alpha^{i})^{T}$$ і справедлива лише для спінорного представлення та представлень, пов'язаних із ним ортогональним перетворенням, справедливість інваріантності в одному базисі автоматично означає справедливість у будь-якому іншому. Рівність $$\ (\alpha^{i})^{T}(i\gamma^{3}\gamma^{1}) = -(i\gamma^{3}\gamma^{1})^{+}\alpha^{i}$$ була однією з умов отримання виразу для матриці оператора часової інверсії (див. підрозділ вище)

3. $$\ C$$-інверсія: $$\ \hat {C} \Psi (\mathbf r, t) = \gamma^{2}\Psi^{*}(\mathbf r , t)$$. Здійснивши перетворення $$\ \Psi \to \hat {U} \Psi^{*}$$, а потім - комплексно зпрягши рівняння Дірака, можна отримати

$$\ -i(\gamma^{\mu})^{*} \partial_{\mu}\hat {U}^{*}\Psi - m\hat {U}^{*}\Psi = 0$$.

Залишається лише домножити лише на $$\ (U^{*})^{-1}$$:

$$\ -i (U^{*})^{-1}(\gamma^{\mu})^{*}\hat {U}^{+}\partial_{\mu}\Psi - m\Psi = -i(\hat {U}^{+}\gamma^{\mu}\hat {U})^{*}\partial_{\mu} - m\Psi = |(\gamma^{2})^{+} = \gamma^{0}\gamma^{2}\gamma^{0}| = -i \gamma^{0}\gamma^{2}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{2}\partial_{\mu}\Psi - m\Psi = i\gamma^{2}\gamma^{\mu}\gamma^{2}\partial_{\mu}\Psi - m\Psi = $$

$$\ = i \gamma^{2}(g^{2\mu} - \gamma^{2}\gamma^{\mu})\partial_{\mu}\Psi - m\Psi = i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi - m\Psi = 0$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$