Лінеаризована ЗТВ

Повернутися до розділу "Загальна теорія відносності".

Процедура лінеаризації. Рівняння поля
Нехай метричний тензор можна представити як

$$\ g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}, \quad ||h_{\mu \nu}|| << 1$$.

Це відповідає ситуації, коли розглядається гравітаційне поле вдалі від гравітуючого тіла, а отже, метричні коефіцієнти можуть бути представлені розкладом в ряд по деякому параметру та обмеженням по заданому порядку малості. Усі рівняння, що пов'язані із метрикою, повинні утримувати перший порядок малості по $$\ h_{\mu \nu}$$, тому всі рівняння будуть лінійними. Відповідно, така теорія називається лінеаризованою ЗТВ.

Отже, можна отримати лінеаризовані вирази для тензорів Рімана, Річчі, скалярної кривини, рівняння геодезичних та Ейнштейна у такій теорії, а потім проаналізувати передбачення та розв'язки рівнянь для теорії.

Геометричні величини
На початку треба отримати вираз для метричного тензора з верхніми індексами: це можна зробити з умови

$$\ g_{ik}g^{il} = \delta^{l}_{k}$$,

що одразу дає, при умові збереження першого порядку малості по тензору $$\ h_{ik}$$,

$$\ g^{ik} = \eta^{ik} - h^{ik}$$.

Досить просто отримати вирази для геометричних величин у рамках лінеаризованої ЗТВ. Наприклад, використовуючи формулу $$\ (2)$$ розділу про тензор кривини та враховуючи, що у виразах для згорток символів Кристоффеля кожен доданок містить лише квадратичні по похідним від $$\ h_{\mu \nu}$$ доданки, якими треба знехтувати, можна одразу записати, що тензор кривини рівен

$$\ R_{iklm} = \frac{1}{2}(\partial_{k}\partial_{l}h_{im} + \partial_{i}\partial_{m}h_{kl} - \partial_{k}\partial_{m}h_{il} - \partial_{i}\partial_{l}h_{km})$$.

Відповідно, його згортки виражаються як

$$\ R_{k m} = \eta^{il}R_{iklm} = \frac{1}{2}(\partial_{k}\partial^{i}h_{im} + \partial_{m}\partial^{i}h_{ki} - \partial_{k}\partial_{m}h - \partial^{2}h_{km}), \quad R = \eta^{km}R_{km} = \partial^{i}\partial^{j}h_{ij} - \partial^{2}h$$.

Рівняння Ейнштейна. Калібрувальна інваріантність та загальні умови на тензор-поправку
Відповідні рівняння Ейнштейна набудуть вигляду

$$\ R_{km} - \frac{1}{2}\eta_{km} R = 8 \pi G T_{km} \Rightarrow \partial_{k}\partial^{i}h_{im} + \partial_{m}\partial^{i}h_{ki} - \partial_{k}\partial_{m}h - \partial^{2}h_{km} - \eta_{km}(\partial^{i}\partial^{j}h_{ij} - \partial^{2}h) = 16 \pi G T_{km}$$.

Можна також ввести величину

$$\ \bar {h}_{\mu \nu} = h_{\mu \nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu \nu}h, \quad \bar {h} = 0 \Rightarrow h_{\mu \nu} = \bar {h}_{\mu \nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu \nu} h$$.

Із її введенням рівняння Ейнштейна може бути переписане як

$$\ \partial_{m}\partial^{i}\bar {h}_{ik} + \partial_{k}\partial^{i}\bar {h}_{im} - \partial^{2}\bar {h}_{km} - \eta_{km} \partial^{i}\partial^{j}\bar {h}_{ij} = 16 \pi G T_{km}$$.

Ліва частина отриманого рівняння відповідає рівнянню на безмасове поле спіральності 2 $$\ C_{\mu \nu \alpha \beta}$$ у плоскому просторі-часі при введенні поля $$\ h_{\mu \nu}$$). Можна також показати, що на тензор $$\ h_{\alpha \beta}$$ можна накласти умову поперечності $$\ \partial_{\mu}h^{\mu \nu} = 0$$. Дійсно, оскільки тензор Рімана є інваріантним відносно таких перетворень, то тензор Ейнштейна, ліва частина рівняння Ейнштейна, також є калібрувально-інваріантним. Тому завжди можна підібрати чотири вектори $$\ \varepsilon_{\nu}$$ так, що буде виконуватись умова $$\ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} = 0$$:

$$\ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu}{'} = \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} + \partial^{2}\varepsilon^{\nu} + \partial^{\nu}\partial_{\mu}\varepsilon^{\mu} - 2 \frac{1}{2}\partial_{\nu} \eta^{\mu \nu}\partial_{\mu }\varepsilon^{\mu} = \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} + \partial^{2}\varepsilon^{\nu} = 0 \Rightarrow \partial^{2}\varepsilon^{\nu} = -\partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu}$$.

Для подальших застосувань ізометрій треба тепер враховувати, що повинна зберігатись умова поперечності $$\ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu} = 0$$. Це означає, що повинна виконуватись умова

$$\ \partial_{\mu}\bar {h}^{\mu \nu}{'} = \partial^{2}\varepsilon^{\nu} = 0$$.

З урахуванням же умови поперечності рівняння Ейнштейна може бути записане як

$$\ -\partial^{2}\bar {h}_{km} = 16 \pi G T_{km} \qquad (1)$$.

Деякі розв'язки-передбачення, що даються теорією
У загальному випадку, як і для електромагнітного поля із його рівнянням $$\ \partial^{2}A_{\mu} = 4 \pi \rho $$, розв'язок для рівняння Ейнштейна $$\ (1)$$ має вигляд ($$\ G = 1$$)

$$\ \bar {h}_{\mu \nu}(t, \mathbf x) = 4 \int \frac{T_{\mu \nu}(t - |\mathbf x - \mathbf x ' |, \mathbf x')d^{3}\mathbf x'}{|\mathbf x - \mathbf x '|} \qquad (2)$$.

Квазіньютонівські поля
Нехай $$\ T_{00} >> |T_{0j}|, T_{00} >> |T_{ik}|$$, при цьому також положення точки, у якій визначається поле, знаходиться достатньо близько до джерела (у нехвильовій зоні), тому запізненням можна знехтувати. Тоді задача відповідає квазіньютонівському випадку, і можна записати, що

$$\ \bar {h}_{00} = 4 \int \frac{T_{00}(t, \mathbf x' )d^{3}\mathbf x'}{|\mathbf x - \mathbf x' |} = -4\Phi, \quad \bar {h}_{0k} = \bar {h}_{jk} = 0$$.

Це означає, що

$$\ h_{00} = -2 \Phi, \quad h_{ii} = 2\Phi , \quad h_{jk} = 0$$,

і остаточно метрика може бути записана у вигляді

$$\ ds^{2} = (1 + 2 \Phi )dt^{2} - (1 - 2\Phi ) d\mathbf r^{2}$$.

Якщо маємо точкове статичне джерело маси $$\ T_{00} = M\delta^{3}(\mathbf x ), \quad T_{0k} = T_{ij} = 0$$, можна отримати точну метрику

$$\ ds^{2} = (1 - 2 \frac{M}{r} )dt^{2} - (1 + 2 \frac{M}{r} ) d\mathbf r^{2}$$.

Наведена метрика не враховує: нелінійні поправки порядку $$\ \Phi^{2}$$, оскільки вони зникають через лінеаризацію; поправки через ненульові значення $$\ \bar {h}_{0j}$$ (вони пропорційні $$\ \Phi v \approx \Phi \frac{|T_{0j}|}{T_{00}}$$, де швидкість відповідає характерній швидкості руху джерела); поправки через ненульові значення $$\ \bar {h}_{jk} \approx \Phi \left(\frac{|T_{jk}|}{T_{00}}\right)$$.

Тепер можна оцінити, як точно результати, що даються, будуть узгоджуватися із експериментальними.

Відхилення світла
Можна записати рівняння геодезичних для фотона ($$\ d\tau \to \frac{d\tau}{m}$$),

$$\ \frac{d p^{\alpha}}{d \tau} + \Gamma^{\alpha}_{\beta \gamma} p^{\beta} p^{\gamma} = 0$$,

опустивши індекси та внісши у першому доданку метрику під знак похідної. Тоді

$$\ \frac{dP_{\alpha}}{d \tau} - p^{\delta}\frac{d h_{\delta \alpha}}{d \tau} + \frac{1}{2}(\partial_{\beta}h_{\alpha \gamma} + \partial_{\gamma}h_{\alpha \beta} - \partial_{\alpha} h_{\beta \gamma})p^{\beta}p^{\gamma} = |\frac{d}{d \tau} = p^{\beta}\partial_{\beta}| = \frac{d P_{\alpha}}{d \tau} - p^{\beta}p^{\delta}\partial_{\beta}h_{\alpha \delta} + p^{\beta}p^{\delta}\partial_{\beta}h_{\alpha \delta} - \frac{1}{2} \partial_{\alpha} h_{\beta \gamma}p^{\beta}p^{\gamma} = \frac{d P_{\alpha}}{d \tau} - \frac{1}{2} \partial_{\alpha} h_{\beta \gamma}p^{\beta}p^{\gamma} = 0$$,

де $$\ P_{\alpha} = (\eta_{\alpha \beta} + h_{\alpha \beta})p^{\beta}$$.

Нехай тепер відхилення відбувається у площині $$\ xz$$, при цьому "незбурене" світло рухалося по вісі $$\ Oz$$, а прицільний параметр вздовж вісі $$\ Ox$$ був рівен $$\ l$$. Оскільки похідні від метрики приймають дуже малі значення, то можна грубо припустити, що наближено на всій траєкторії виконуються рівності

$$\ p^{1} = p^{2} = 0, \quad p^{0} = p^{3} = \frac{dz}{d\lambda} = \omega = const$$,

і тому

$$\ \frac{dP_{1}}{d\lambda} = \frac{1}{2}\partial_{1}(h_{00} + 2h_{03} + h_{33})\omega^{2} = -2\frac{Mx}{r^{3}}\omega^{2} \Rightarrow \frac{1}{\omega^{2}}\frac{dP_{1}}{d \lambda} = \frac{1}{\omega} \frac{d \lambda}{d z}\frac{dP_{1}}{d\lambda} = \frac{1}{\omega}\frac{dP_{1}}{dz} = -\frac{2Mx}{r^{3}}$$.

Шукану зміну кута наближено можна знайти як (порівняння траєкторій у початковій та кінцевій точках, причому кінцева точка знаходиться на нескінченності, тому $$\ P_{1} \approx p_{1}$$)

$$\ \Delta \varphi \approx -\left( \frac{p_{1}}{p_{3}}\right)_{final} \approx -\left( \frac{P_{1}}{p_{3}}\right)_{final} = -\frac{1}{\omega}\int \frac{dP_{1}}{dz}dz = \int \frac{2Mx_{final}dz}{(x^2_{final} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} = |x_{final} \approx l| = \frac{4 M}{l}$$.

Цей результат узгоджується з експериментальними даними (наприклад, із даними для світла, для якого прицільна відстань була рівна радіусу Сонця).

Зміщення перигелію
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Червоне зміщення
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Гравітаційні плоскі хвилі
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Лагранжів формалізм. Протирічливість теорії
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Від лінеаризованих рівнянь до рівнянь Ейнштейна
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$