Кіральна ефективна теорія поля та член Весса-Зуміно

Повернутися до розділу "Стандартна модель".

Аномалії як об'єкти топологічної природи є масштабно-інваріантними, що, зокрема, означає, що вільна від калібрувальних аномалій теорія залишається такою на будь-яких енергіях. У розділі про аномалії та ефективні теорії поля було показано, що внаслідок цієї властивості ефективні теорії поля, що отримані із вільних від аномалій фундаментальних теорій відинтегровуванням ступенів вільності, містять масштабно-інваріантні члени, які в точності відтворюють аномальний внесок відинтегрованих ступенів вільності. У окремих випадках такі члени містять також нетривіальну взаємодію полів за типом черн-саймонівської, $$\ \partial \wedge A \wedge \partial \wedge B$$, де $$\ \wedge$$ позначає згортку із тензором Леві-Чивіта.

Метою цього розділу є застосування того ж самого підходу до теорій, у яких відбувається спонтанне порушення глобальної симетрії, внаслідок чого у спектрі частинок з'являються голдстоунівські бозони.

Зайві симетрії "наївної" кіральної ефективної теорії поля. Член Весса-Зуміно
Як відомо, у квантовій хромодинаміці на масштабі $$\ \Lambda_{QCD}$$ відбувається спонтанне порушення (майже точної) глобальної групи симетрії кварків $$\ SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$$ до $$\ SU_{f}(3)$$, внаслідок чого виникає 8 псевдоголдстунівських бозонів - мезонів (роль порушуючого симетрію доданку у фундаментальній КХД, що дає мезонам масу, грає масовий член кварків). Низькоенергетичний лагранжіан КХД можна переписати у термінах мезонних полів, виділяючи їх ступені вільності у кваркових полях та замінюючи білінійні форми кваркових полів у лагранжіані ненульовим вакуумним середнім. Отриманий лагранжіан називається кіральною ефективною теорією поля:

$$\ L = \frac{F_{\pi}^{2}}{16}Tr[\partial_{\mu}U\partial^{\mu}U] + ... \qquad (0)$$,

де три крапки позначають масовий член та можливі старші доданки із більшим числом матриць $$\ U$$, які у принципі виникають внаслідок того, що у дійсності побудова повної кіральної ефективної теорії поля є непертурбативною, і у $$\ (0)$$ мають бути присутніми усі доданки, дозволені кіральною симетрією. У найнижчому порядку $$\ U \approx \text{1} + \frac{i}{F_{\pi}^{2}}\sum_{a}\lambda_{a}\epsilon^{a}$$.

Із врахуванням першого члену $$\ (0)$$ рівняння руху будуть мати вигляд

$$\ \frac{1}{8 F_{\pi}^{2}}\partial_{\mu}(U^{\dagger}\partial^{\mu}U) = 0 \qquad (1)$$.

Проінтерпретуємо $$\ (0), (1)$$ у контексті КХД. Лагранжіан $$\ (0)$$ містить, звичайно, симетрії КХД: глобальні перетворення $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ та перетворення парності $$\ U(\mathbf r, t) \to U^{\dagger}(-\mathbf r , t)$$. Окрім того, він також містить "зайві" окремі симетрії

$$\ U(\mathbf r, t) \to U(-\mathbf r , t), \quad U(x) \to U^{\dagger}(x) \equiv U^{-1}(x) \qquad (2)$$,

яких не має КХД. Дійсно, при $$\ \mathbf r \to -\mathbf r$$ похідна перетворюється як $$\ \partial_{\mu}\to\partial^{\mu}$$, і $$\ (0)$$ не змінюється. Аналогічно, внаслідок циклічної перестановки під знаком сліду, не змінюється $$\ (0)$$ і при перетвореннях $$\ U \to U^{\dagger}$$.

Ці симетрії забороняють, зокрема, процеси $$\ K^{+}K^{-} \to \pi^{+}\pi^{-}\pi^{0}$$ та $$\ \eta \pi^{0} \to \pi^{+}\pi^{-}\pi^{0}$$, які у загальному випадку відповідають розпаду парної кількості псевдоскалярних мезонів у непарну. Для демонстрації цих тверджень варто згадати явний вигляд матриці $$\ \hat{B}$$ у виразі $$\ U = e^{i\hat{B}}$$ через мезонні поля.

Ці процеси відбуваються завдяки кіральним аномаліям у КХД, а теорія $$\ (1)$$, отримана наївною заміною кваркових білінійних форм на вакуумне середнє, не знає про аномалії. Щоб усунути протиріччя теорії $$\ (0)$$ та КХД, треба у дію $$\ (0)$$ чи, еквівалентно, у рівняння $$\ (1)$$, додати член, який забороняв би окремі симетрії $$\ (2)$$. Найпростіше це можна зробити, явно порушивши симетрію заміни $$\ \mathbf r \to -\mathbf r$$. Це відповідає тому, що у рівняння $$\ (1)$$ треба включити член із тензором Леві-Чивіта. Вимога отримати коваріантне рівняння руху та збереження симетрії $$\ U(\mathbf r) \to U^{\dagger}(-\mathbf r)$$ при порушенні $$\ U(x) \to U^{\dagger}(x)$$ дозволяє сконструювати явний вигляд члену:

$$\ \lambda\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(U^{\dagger}\partial_{\mu}UU^{\dagger}\partial_{\nu}U U^{\dagger}\partial_{\alpha}UU^{\dagger}\partial_{\beta}U)$$.

Дійсно, перетворення $$\ U \to U^{\dagger}$$ переводить вираз $$\ L_{\mu} \equiv U\partial_{\mu}U^{\dagger}$$ у

$$\ U^{\dagger}\partial_{\mu}U = -\partial_{\mu}U^{\dagger} U = -UL_{\mu}U^{\dagger}$$.

Це означає, що вираз $$\ L_{\mu}L_{\alpha}L_{\gamma}L_{\delta}$$ переходить у

$$\ UL_{\mu}L_{\alpha}L_{\gamma}L_{\delta}U^{\dagger}$$,

а вираз $$\ \partial_{\mu}(L^{\mu})$$ - у

$$\ -\partial_{\mu}(UL^{\mu}U^{\dagger}) = -U\partial_{\mu}L^{\mu}U^{\dagger}$$.

У результаті рівняння

$$\ \frac{F_{\pi}^{2}}{2}\partial_{\mu}L^{\mu} + \lambda \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}L_{\mu}L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta} = 0$$

перейде у

$$\ \frac{F_{\pi}^{2}}{2}\partial_{\mu}L^{\mu} - \lambda \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}L_{\mu}L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta} = 0$$.

Отже, член із тензором Леві-Чивіта порушує симетрії $$\ (2)$$, проте зберігає комбіноване перетворення $$\ U(\mathbf r ) \to U^{\dagger}(-\mathbf r ) $$.

Як записати цей член у лагранжіан? Виявляється, що у чотиривимірному просторі не вдасться записати відповідний $$\ SU(3)\times SU(3)$$-інваріантний доданок. Дійсно, єдиним кандидатом на роль цього доданку може бути лише вираз $$\ L_{4} = \epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}[L_{\mu}L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta}]$$, проте він зануляється в силу перестановочних властивостей сліду. Варто також зазначити, що за формою вираз $$\ \int d^{4}x L_{4}$$ співпадає із інтегральним інваріантом Маурера-Картана для $$\ d = 4$$, а, як було показано, цей інваріант не рівний нулю лише для простору непарної розмірності.

Рівняння $$\ (1)$$ можна отримати, ввівши у дію член

$$\ n\Gamma_{WZ} = \frac{ni}{240 \pi^{2}}\int_{B_{5}} d^{5}x\epsilon^{ijklm}L_{i}L_{j}L_{k}L_{l}L_{m} \qquad (3)$$,

де $$\ i, j, k, l, m$$ приймають 5 значень, що відповідають координатам $$\ x_{\mu}, s$$, а $$\ B_{5} $$ - п'ятивимірна куля, поверхнею якої є 4-сфера; множник $$\ \frac{i}{240 \pi^{2}}$$ введено для зручності, а $$\ L_{k}$$ - функції, записані у термінах полів $$\ U(x, s)$$, які є формально визначеними через граничні умови: $$\ U(x, 0) = U(x, 1) \equiv U(x)$$ (докладніше про це - див. у підрозділі "Топологічне квантування члену Весса-Зуміно" нижче).

Використовуючи вираз для $$\ U(x)$$, $$\ U(x) = e^{2\sqrt{2}i\frac{B}{F}}$$, де $$\ B$$ - матриця полів голдстоунівських бозонів, можна переписати вираз $$\ (3)$$ у вигляді інтегралу по простору Мінковського:

$$\ n\Gamma_{WZ} \approx \frac{8\sqrt{2}in}{15 F_{\pi}^{5}\pi^{2}}\int d^{5}x \epsilon^{ijklm}\left[\partial_{i}B\partial_{j}B\partial_{k}B\partial_{l}B\partial_{m}B \right] = \frac{8\sqrt{2}in}{15 F_{\pi}^{5}\pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\int d^{4}x\left[ B\partial_{\mu}B\partial_{\nu}B\partial_{\alpha}B\partial_{\beta}B\right] \qquad (4)$$,

де була використана теорема Гаусса. Отриманий вираз є кірально-інваріантним, проте його не можна записати як інтеграл від кірально-інваріантної густини, оскіьки така густина має бути побудована із перших або більш високих похідних голдстоунівських бозонів, що означає, що ця густина має починатися із доданку лише із похідними від $$\ B$$.

Член $$\ (3)$$ називається членом Весса-Зуміно. У загальному випадку він виникає у будь-якій теорії із спонтанним порушенням симетрії деякої групи до її підгрупи, причому підгрупа має мати нетривіальну гомотопічну групу. Це можна зрозуміти наступним чином. Доповнюється.

Топологічне квантування члену Весса-Зуміно
Коефіцієнт $$\ n$$ при $$\ \Gamma_{WZ}$$ має бути цілим числом. Дійсно, за формою вираз для $$\ \Gamma_{WZ} $$ відповідає інтегралу Маурера-Картана, який є інваріантним відносно координатних перетворень та інфінітезимальних перетворень $$\ U(x)$$. Проте здійснення скачковидної варіації $$\ U(x)$$ такої, що $$\ U(x)$$ залишається постійною на границі п'ятивимірної кулі, змінюють $$\ \Gamma_{WZ}$$. Це і накладає обмеження на множник. Для з'ясування обмеження кулю $$\ B_{5}$$ можна представити як половину сфери $$\ S_{5}$$, а простір-час $$\ S_{4}$$ - як границю між $$\ B_{5} $$ та іншою половиною сфери $$\ B_{5}{'}$$. Оскільки $$\ S_{4}$$ являється границею одночасно і $$\ B_{5}{'}$$, то доданок $$\ n\Gamma_{WZ}$$ можна подати одночасно і як доданок $$\ -n\Gamma_{WZ}{'}$$, де $$\ \Gamma_{WZ}{'}$$ - інтеграл по $$\ B_{5}{'}$$, а знак мінус виникає внаслідок того, що границя $$\ B_{5}{'}$$ є чотири-сферою $$\ S_{4}$$ із протилежною орієнтацією.

Різниця цих величин,

$$\ n\Gamma_{WZ} - (-n\Gamma_{WZ}{'})$$,

має бути кратною $$\ 2\pi$$, оскільки лише при цьому вона на не впливає на ваговий множник континуального інтегралу $$\ e^{in\Gamma_{WZ} - i(-n\Gamma_{WZ}{'})} $$. Оскільки інтеграл по будь-якій п'ятивимірній сфері від величини у $$\ \Gamma_{WZ}$$ дорівнює $$\ 2\pi$$, величина $$\ n$$ із топологічних міркувань має бути цілим числом.

Нарешті, варто поговорити про законність розширення полів $$\ U(x)$$ на п'ятивимірний простір у $$\ (3)$$.

Коли група $$\ G$$ спонтанно порушується до підгрупи $$\ H$$, множина допустимих значень голдстоунівських полів $$\ \epsilon_{a}(x)$$ у будь-якій точці простору-часу (евклідового часу) визначають точку у суміжному класі $$\ G/H$$. Тому множина $$\ \epsilon_{a}(x)$$ визначає відображення просторово-часової сфери $$\ S_{4}$$ на $$\ G/H$$. У залежності від топології $$\ G/H$$ (тривіальна чи ні відповідна гомотопічна група $$\ \pi_{4}(G/H)$$) можна продеформувати усю сферу $$\ S_{4}$$ у $$\ G/H$$ в одну точку. Іншими словами, якщо $$\ \pi_{4}(G/H) = 0$$, можливо розширити неперервні функції $$\ \epsilon_{a}(x)$$ у функції $$\ \epsilon_{a}(x, s)$$, де $$\ s \in (0, 1)$$ і $$\ \epsilon_{a}(x, 0) = \epsilon_{a}(x)$$, а $$\ \epsilon_{a}(x, 1) $$ задає будь-яку точку на початковій сфері, наприклад, $$\ \epsilon_{a} = 0$$.

У випадку, коли $$\ G \simeq SU(N)\times SU(N)$$, а $$\ H \simeq SU(N)$$, то $$\ G/H \simeq SU(N)$$, і $$\ \pi_{4}(SU(N)) = 0$$. Це означає, що для таких теорій можна розширити матриці $$\ U(x)$$ до унімодулярної матриці $$\ U(y)$$, де $$\ y$$ задає п'ятивимірну кулю $$\ B_{5}$$ із координатами $$\ x_{\mu}$$ та $$\ s$$, поверхня якого визначає чотиривимірну сферу простору-часу.

Можна також "спростити" топологію кулі $$\ B_{5}$$, користуючись тим, що $$\ \pi_{1}(SU(N)) = 0$$. У евклідовому часі топологія $$\ M$$ сфери $$\ S_{4}$$ може бути подана у вигляді

$$\ M\sim S_{3}\times S_{1}$$,

де $$\ S_{1}$$ відповідає компактифікованій часовій евклідовій координаті. Ця сфера є границею кулі $$\ B_{5}$$. Оскільки $$\ \pi_{1}(SU(3)) = 0$$, то відображення $$\ M \to SU(N)$$ може бути розширене на відображення $$\ Q \to SU(3)$$, де $$\ Q \sim S_{3}\times D$$, і $$\ D$$ - двовимірний диск.

Член Весса-Зуміно у групі $$\ SU(2)$$
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$