Формалізм лапок Пуассона для квантової механіки

Повернутися до розділу "Основи квантової механіки".

Тепер можна застосувати отриманий загальний вираз для операторів імпульсу і координат.

Для цього можна розглянути ідею, висунуту Діраком. Суть ідеї полягає постулюванні того, що теорія лапок Пуассона, які є своєрідними комутаторами у класичній механіці, '''переноситься у квантову механіку із збереженням усіх властивостей. При цьому, проте, також, враховується операторна природа величин під виразом лапок'''. Ця особливість, знову ж таки, визначається тим, що від величин-векторів у класичній механіці було здійснено перехід до операторів у квантовій механіці, а оператори мають матричне представлення. Таким чином, Дірак виходив з того, що у випадку квантової механіки можна пов'язати лапки Пуассона із комутатором для відповідних величин і, таким чином, отримати із загального принципу невизначеності фізичні наслідки неможливості визначення траєкторії.

Отже, властивості "квантових лапок Пуассона" (у подальшому - лапок Дірака) є наступними:

$$\ [(\hat {A} + \hat {B}), \hat {C}]_{d} = [\hat {A}, \hat {C}]_{d} + [\hat {B}, \hat {C}]_{d}, \quad [\hat {A}, (\hat {B} + \hat {C})]_{d} = [\hat {A}, \hat {B}]_{d} + [\hat {A}, \hat {C}]_{d}$$,

$$\ [\hat {A} \hat {B}, \hat {C} ]_{d} = [\hat {A}, \hat {C}]_{d}\hat {B} + \hat {A}[\hat {B}, \hat {C}]_{d}, \quad [\hat {A}, \hat {B} \hat {C}] = [\hat {A}, \hat {B}]_{d}\hat {C} + \hat {B}[\hat {A}, \hat {C}]_{d}$$,

$$\ [\hat {A}, [\hat {B}, \hat {C}]_{d}]_{d} + [\hat {C}, [\hat {A}, \hat {B}]_{d}]_{d} + [\hat {B}, [\hat {C}, \hat {A}]_{d}]_{d} = 0$$.

Дві властивостей із другої строки можна застосувати для отримання виразу для комутатора двох довільних операторів. Для цього треба за допомогою кожної з цих властивостей спростити вираз для лапки Дірака $$\ [\hat {A}\hat {B}, \hat {C} \hat {D}]_{d}$$, а потім прирівняти один вираз до іншого.

Застосування спочатку першої властивості із подальшим застосуванням другої дає

$$\ [\hat {A}\hat {B}, \hat {C} \hat {D}]_{d} = [\hat {A}, \hat {C} \hat{D}]_{d}\hat {B} + \hat {A}[\hat {B}, \hat {C} \hat {D}]_{d} = [\hat {A}, \hat {C}]_{d}\hat {D}\hat {B} + \hat {C}[\hat {A}, \hat {D}]_{d}\hat {B} + \hat {A}[\hat {B}, \hat {C}]_{d}\hat {D} + \hat {A}\hat {C}[\hat {B}, \hat {D}]_{d}$$,

а застосування спочатку другої -

$$\ [\hat {A}\hat {B}, \hat {C} \hat {D}]_{d} = [\hat {A} \hat {B}, \hat {C}]_{d}\hat {D} + \hat {C}[\hat {A} \hat {B}, \hat {D}]_{d} = \hat {A}[\hat {B}, \hat {C}]_{d}\hat {D} + [\hat {A}, \hat {C}]_{d}\hat {B} \hat {D} + \hat {C} \hat {A}[\hat {B}, \hat {D}]_{d} + \hat {C}[\hat {A}, \hat {D}]_{d}\hat {B}$$.

Прирівнюючи ці два вирази, можна отримати

$$\ [\hat {A}, \hat {C}]_{d}[\hat {B}, \hat {D}] = [\hat {B}, \hat {D}]_{d}[\hat {A}, \hat {C}]$$.

Оскільки рівність повинна бути тотожньою, то звідси слідує, що

$$\ [\hat {A}, \hat {C}]_{d} = iC[\hat {A}, \hat {C}], \quad [\hat {B}, \hat {D}]_{d} = iC[\hat {B}, \hat {D}]$$,

де С - деяка дійсна стала. Її дійсність слідує з ермітовості операторів: якщо взяти ермітове спряження від будь-якого виразу вище, можна отримати

$$\ [\hat {A}, \hat {C}]_{d}^{*} = [\hat {A}, \hat {C}]_{d} =_{right} = -iC^{*}[\hat {A}, \hat {C}]^{*} = -iC^{*}[\hat {C}, \hat {A}] = \frac{C^{*}}{C}[\hat {A}, \hat {C}]_{d} \Rightarrow C = C^{*}$$.

Із явного виразу для лапок Пуассона у класичній механіці слідує, що розмірність $$\ C$$ повинна мати розмірність, обернену розмірності енергії, поділеної на секунду. Експериментально встановлене значення дає редуковану сталу Планка: $$\ C = \frac{1}{\hbar }$$. Звідси

$$\ [\hat {A}, \hat {B}] = \frac{\hbar }{i}[\hat {A}, \hat {B}]_{d}$$.

У класичному випадку $$\ \hbar -> 0$$, і комутатор операторів вироджується в нуль.

Можна припустити, що вирази для фундаментальних лапок Пуассона вірні і в випадку лапок Дірака. Тоді комутатори мають вигляд

$$\ [\hat {p}_{i}, \hat {x}_{j}] = \frac{\hbar}{i}\delta_{ij } \Rightarrow [\hat {x}_{i}, \hat {p}_{j}] = i \hbar \delta_{ij}, \quad [\hat {p}_{i}, \hat {p}_{j}] = [\hat {x}_{i}, \hat {x}_{j}] = 0$$.

Підстановка першої з цих рівностей до загального принципу невизначеності Гейзенберга дає

$$\ \langle (\Delta \hat {x}_{i})^{2}\rangle \langle (\Delta \hat {p}_{i})^{2}\rangle \geqslant \frac{\hbar^{2}}{4}$$,

що є принципом невизначеності для імпульсу і координати у проекції на одну задану вісь.