Основи теорії груп. Доведення

Доведення 1
Перша Лема Шура.

В силу комутації $$\ \hat {\mathbf I}$$ з будь-яким незвідним представленням, для $$\ \mathbf u$$, який є власним вектором матриці $$\ \hat {\mathbf I}$$, перетворення $$\ \mathbf u_{i} = \hat {\mathbf T}(g_{i})\mathbf u$$ також є власним вектором, що відповідає тому ж власному числу, що і початковий вектор:

$$\ \hat {\mathbf I}\hat {\mathbf T}(g_{i})\mathbf u = \hat {\mathbf T}(g_{i})\hat {\mathbf I}\mathbf u = \lambda \mathbf u_{i} $$.

Далі, набір векторів $$\ \mathbf u_{i}$$ утворює інваріантний простір сукупності всіх матриць представлення групи (дія операторів на вектор знову дає вектор, що належить даному простору):

$$\ \hat {\mathbf T}(g_{j})\mathbf u_{i} = \hat {\mathbf T}(g_{j})\hat {\mathbf T}(g_{i})\mathbf u = \hat {\mathbf T} (g_{k})\mathbf u = \mathbf u_{k}$$,

якщо $$\ g_{i}$$ пробігає всю групу.

Незвідні представлення не можуть мати інваріантні підпростори. Тому розмірність векторів $$\ \mathbf u_{i}$$ співпадає з розмірністю всього простору, і вектори утворюють базис усього простору. В результаті, для довільного вектора $$\ \mathbf v$$, розклавши його по базису з цих векторів, можна записати, що

$$\ \hat {\mathbf I}\mathbf v = \hat {\mathbf I}\sum_{i}a_{i}\mathbf u_{i} = \lambda \sum_{i}a_{i}\mathbf u_{i} = \lambda \mathbf v$$,

що можливе лише тоді, коли $$\ \hat {\mathbf I} = \lambda \hat {\mathbf E}$$.

Доведення 2
Умова ортогональності незвідних представлень.

Для доведення можна ввести матрицю $$\ \hat {\mathbf M} = \sum_{i = 1}^{\gamma}\hat {\mathbf T}(g_{i})\hat {\mathbf X}\hat {\mathbf T}(g_{i}^{-1})$$, де $$\ \hat {\mathbf X}$$ - довільна матриця. Така матриця комутує з будь-якою матрицею-представленням,

$$\ \hat {\mathbf T}(g_{j}) \hat {\mathbf M} = \sum_{i = 1}^{\gamma }\hat {\mathbf T}(g_{j})\hat {\mathbf T}(g_{i})\hat {\mathbf X}\hat {\mathbf T}(g_{i}^{-1}) = \sum_{i = 1}^{\gamma }\hat {\mathbf T}(g_{j})\hat {\mathbf T}(g_{i})\hat {\mathbf X}\hat {\mathbf T}(g_{i}^{-1})\hat {\mathbf T}(g_{j}^{-1})\hat {\mathbf T}(g_{j}) = |g_{k} = g_{j}g_{i}| = \sum_{i = 1}^{\gamma }\hat {\mathbf T}(g_{k})\hat {\mathbf X}\hat {\mathbf T}(g_{k}^{-1})\hat {\mathbf T}(g_{j}) = \hat {\mathbf M}\hat {\mathbf T}(g_{j})$$,

а тому, за лемою Шура, пропорційна одиничній. Тепер у матриці $$\ \hat {\mathbf X}$$ можна покласти рівними нулю всі елементи, крім елементу з фіксованими індексами $$\ X_{\alpha_{0}, \beta_{0}} = \lambda$$.

Тоді у індексному вигляді

$$\ M_{\alpha \beta } = \sum_{i = 1}^{\gamma}T_{\alpha \mu }(g_{i})X_{\mu \nu}T_{\nu \beta }(g_{i}^{-1}) = \sum_{i = 1}^{\gamma}T_{\alpha \alpha_{0}}(g_{i})T_{\beta_{0}\beta }(g_{i}^{-1}) = \lambda \delta_{\alpha \beta} = |\alpha = \beta | = n\lambda $$.

З іншого боку, при $$\ \alpha = \beta$$

$$\ \sum_{i = 1}^{\gamma}T_{\alpha \alpha_{0}}(g_{i})T_{\beta_{0}\alpha }(g_{i}^{-1}) = \sum_{i = 1}^{\gamma}(T(g_{i}g^{-1}_{i}))_{\alpha_{0}\beta_{0}} = \gamma\delta_{\alpha_{0}\beta_{0}}$$.

Звідси $$\ \lambda = \frac{\gamma}{n}\delta_{\alpha_{0}\beta_{0}}$$.

Отже, $$\ M_{\alpha \beta } = \lambda \delta_{\alpha \beta} = \frac{\gamma}{n}\delta_{\alpha_{0}\beta_{0}}\delta_{\alpha \beta}$$.

Доведення 3
Рівність

$$\ [f(\mathbf X), \mathbf Y ] = f ' (\mathbf X )\alpha $$.

Дійсно,

$$ [f(\mathbf X), \mathbf Y ] = \sum_{n = 0}^{\infty}c_{n}[\mathbf X^{n}, \mathbf Y ] = \sum_{n} c_{n}(\mathbf X^{n}\mathbf Y - \mathbf Y \mathbf X^{n}) = \sum_{n}c_{n}(\mathbf X^{n - 1}\mathbf X \mathbf Y - \mathbf Y \mathbf X^{n}) = \sum_{n}c_{n}(\mathbf X^{n - 1}(\alpha + \mathbf Y \mathbf X ) - \mathbf Y \mathbf X^{n}) = $$

$$ = \sum_{n}c_{n}(\mathbf X^{n - 1}\alpha + \mathbf X^{n - 2}\mathbf X \mathbf Y \mathbf X - \mathbf Y \mathbf X^{n}) = \sum_{n}c_{n}(\mathbf X^{n - 1}\alpha + \mathbf X^{n - 2}\alpha \mathbf X + \mathbf X^{n - 2}\mathbf Y \mathbf X^{2} - \mathbf Y \mathbf X^{n}) = \sum_{n}(2\alpha \mathbf X^{n - 1} + \mathbf X^{n - 2}(\alpha + \mathbf Y \mathbf X )\mathbf X^{2} - \mathbf Y \mathbf X^{n}) = $$

$$ = \sum_{n}c_{n}((n - 1)\alpha \mathbf X^{n} + (\alpha + \mathbf Y \mathbf X )\mathbf X^{n - 1} - \mathbf Y \mathbf X^{n}) = \alpha \sum_{n}c_{n}n\mathbf X^{n - 1} = \alpha f'(\mathbf X )$$.