Класифікація полів за представленнями групою Лоренца

Повернутися до розділу "Група Лоренца".

Як показано у попередньому підрозділі, група Лоренца не є унітарною, і тому не зберігає норму, а отже, не може бути використана для побудови представлень, які описують частинку (центральним об'єктом для описання частинок є хвильова функція, квадрат модуля якої описує ймовірність знаходження частинки у даному "стані"; тому її еволюція зобов'язана бути унітарною). Проте ними можна описувати поля, оскільки вони не зобов'язані мати додатню лоренц-інваріантну норму. Більше того, класифікація полів як представлень групи Лоренца одразу визначає їх математичну природу.

Дійсно, із попереднього підрозділу відомо, що алгебра незвідного представлення групи Лоренца ізоморфна прямому добутку двох алгебр $$\ SU(2)$$. Кожне незвідне представлення $$\ SU(2)$$ характеризується значенням $$\ j$$ оператора Казиміра: таким чином,

$$\ \hat {\mathbf S}^{(j_{1}, j_{2})} = \hat {\mathbf S}^{j_{1}}\times \hat {\mathbf S}^{j_{2}}$$,

де $$\ \hat {\mathbf S}^{j_{i}}$$ - матриці незвідних представлень групи $$\ SU(2)$$, які мають розмірність $$\ (2j_{i} + 1)$$.

(Дещо відступаючи від теми, зауважу, що з отримання такого розщеплення (зв'язку генераторів цих груп із генераторами групи Лоренца $$\ SO(3, 1)$$) видно, що представлення виду $$\ ( a, 0)$$ перетворюється як комплексно спряжене представлення виду $$\ ( 0, a)$$. Більше того, ці два представлення виявляються пов'язаними дискретними симетріями групи Лоренца, що найпростіше можна побачити із алгебри оператора просторової інверсії.)

Відповідно до цього, якщо є деяка багатокомпонентна величина, то вона перетворюється по такому загальному представленню при перетвореннях Лоренца та 3-поворотах як

$$\ \psi_{\alpha \beta}' = S_{\alpha \mu}^{j_{1}}S_{\beta \nu}^{j_{2}}\psi_{\mu \nu}$$.

Розмірність багатокомпонентної величини складає $$\ (2j_{1} + 1)\times (2j_{2} + 1)$$. Можна класифікувати ці величини у залежності від значень $$\ (j_{1}, j_{2})$$. Детальний аналіз такої класифікації наведений у розділі про спінорні представлення групи Лоренца, а зараз же можна чисто якісно описати найпростіші представлення.

Якщо представлення має вигляд $$\ (0, 0)$$, то це відповідає скаляру. Дійсно, нульові значення максимальних власних чисел дають також відсутність матриць незвідних представлень для перетворення даної величини (формально, залишаються лише одиничні матриці розмірності $$\ (0 + 1)\times (0 + 1)$$, і сама величина має таку ж саму розмірність), а отже, величина ніяк не змінюється при 3-поворотах чи лоренцівських бустах. Це відповідає скаляру. Відповідне поле, що пов'язане з ним, може бути суто дійсним або комплексним.

Якщо представлення має вигляд $$\ \left(\frac{1}{2}, 0\right)$$ або $$\ \left( 0, \frac{1}{2}\right)$$, то розмірність багатокомпонентної величини складає $$\ 2\times 1$$, і вона називається спінором (відповідно лівим або правим).

Для представлення $$\ (1, 0)$$ або $$\ (0, 1)$$ перетворюваною величиною є 3-вектор $$\ \mathbf a + i \mathbf b$$, який перетворюється як антисиметричний тензор.

Нарешті, представлення $$\ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$ характеризує 4-вектор. Він представляється матрицею із розмірністю $$\ 2 \times 2 $$.

Величина $$\ j_{1} + j_{2}$$ характеризує представлення наступним чином: якщо сума є цілим числом, то представлення є однозначним (векторним), якщо напівцілим - то двозначним (спінорним). Найпростіше це продемонструвати на прикладі перетворення спінора при повороті на $$\ 2 \pi $$ навколо певної вісі. Його компоненти змінюють знак на протилежний. А отже, для даної орієнтації компоненти спінора можуть приймати два різні значення. На мові теорії груп означає, що подібні представлення являються гомоморфними однозначному векторному представленню.

Окрім того, величина $$\ j_{1} + j_{2}$$ являється максимальним власним числом незвідного представлення оператора $$\ \hat {\mathbf J}_{3} + \hat {\mathbf K}_{3} = \hat {\mathbf R}_{3}$$, який є генератором обертань навколо вісі $$\ Oz$$. Оператор являється ермітовим, тому із застосуванням принципу відповідності ермітовому оператору фізичної величини число $$\ j_{1} + j_{2}$$ починає відповідати спостережуваній величині, яка має зміст моменту імпульсу. Це значення є інваріантним відносно перетворення координат і визначається лише видом поля. У розділі про класифікацію незвідних представлень групи Пуанкаре буде показано, що ця величина визначає квадрат моменту імпульсу у власній системі відліку, і, з точністю до множника $$\ \hbar$$, називається спіном.