N-ліміт квантової хромодинаміки

Повернутися до розділу "Стандартна модель".

Кіральна теорія поля із N-ліміту
Дія для кіральної теорії поля, включаючи стандартні кінетичні та масовий член, та член Весса-Зуміно може бути отриманий напряму із фундаментальної теорії із ферміонами $$\ N_{f}$$ на кшталт "наївної" кіральної ефективної теорії поля, яка отримується із припущення спонтанного порушення глобальної кіральної групи симетрії. Напряму це можна побачити, розглянувши фундаментальну теорію із ферміонами та взаємодіючими лише із ними калібрувальними полями ("виключивши" при цьому всі калібрувальні поля, які взаємодіють не лише із ферміонами $$\ N_{f}$$), замінивши кваркові білінійні форми вакуумними середніми, а білінійні форми калібрувальних полів - на відповідний ефективний потенціал (відповідно, розглядаючи калібрувальне поле як класичне фонове поле).

Можна розглянути реалістичну теорію - квантову хромодинаміку, у якій кіральна група симетрії $$\ U_{L}(N_{c})\times U_{L}(N_{c})$$ порушується до $$\ U_{V}(N_{c})$$ через ненульове вакуумне середнє кваркових білінійних форм, $$\ \langle \bar{q}q\rangle = v_{QCD}$$ за рахунок конфайнменту - явищу неспостереження вільних кварків. Генеруючий функціонал КХД має вигляд

$$\ Z_{QCD} = \langle 0^{+}|0^{-}\rangle = \int DG_{\mu}^{a}Dq D \bar{q}Dc D\bar{c}e^{i(S_{\text{QCD}}[q, \bar{q}, G] +S_{\text{gauge}}[G] + S_{\text{FP}}[G, c, \bar{c}])} \equiv \int D[\text{QCD}]e^{i(S_{\text{QCD}} + S_{\text{qauge}} + S_{\text{FP}})}\qquad (.1)$$,

де

$$\ S_{QCD} = \int d^{4}x\left[\bar{Q}(i\gamma^{\mu}D_{\mu} - m_{Q})Q - \frac{1}{4}G_{\mu \nu}^{a}G^{\mu \nu}_{a}\right]$$

- дія КХД,

$$\ S_{\text{gauge}} = -\int d^{4}x\frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}G^{\mu}_{a})^{2}$$

- дія, що необхідна для фіксування калібрування глюонних полів,

$$\ S_{\text{FP}} = \int d^{4}x\bar{c}\partial_{\mu}D^{\mu}(G)c$$

- дія гостів, що виникає у більшості калібруваль неабелевих калібрувальних теорій для усунення повторних інтегрувань по ступеням вільності, що можуть бути зв'язаними обраним калібруванням, а

$$\ S_{\text{FP}} = \int d^{4}x\bar{c}\partial_{\mu}D^{\mu}(G)c$$

- дія гостів, що виникає при фіксування більшості калібрувальних умов у неабелевих калібрувальних теорій для усунення повторних інтегрувань по ступеням вільності, зв'язаних калібруванням.

Теорія, що дається $$\ (.1)$$, на високих енергіях, коли можна знехтувати кварковим масовим членом, має глобальну $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ кіральну симетрію. Задачею є отримати із $$\ (.1)$$ низькоенергетичну ефективну дію у припущенні, що на низьких енергіях відбувається спонтанне порушення глобальної $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ кваркової симетрії із виникненням голдстоунівських бозонів, які ототожнюються із псевдоскалярними мезонами. Вираз $$\ (.1)$$ еквівалентний функціоналу

$$\ Z_{QCD} = \int D[QCD]D\sigma D\sigma^{\dagger}D\mu[U]\delta (\sigma - \sigma^{\dagger})\delta (\bar{q}_{L}q_{R} - U^{\dagger}\sigma)\delta (\bar{q}_{R}q_{L} - \sigma^{\dagger}U)e^{i(S_{QCD} + S_{\text{FP}} + S_{\text{gauge}})} \qquad (.2)$$.

При цьому вираз $$\ (.2)$$ містить інформацію про спонтанно порушену симетрію. Дельта-функції можна підняти у експоненту за допомогою введення скалярних та псевдоскалярних полів:

$$\ \delta (\bar{q}_{L}q_{R} - \sigma^{\dagger}U) \equiv \int D(S+iP)e^{-i\int d^{4}x\text{Tr}\left[\bar{q}_{L}(S + iP)q_{R} -(S+iP)\sigma^{\dagger}U\right]}$$.

Підставивши цей вираз у $$\ (.2)$$ та здійснивши унітарну та вільну від аномалій (некіральну) заміну $$\ S + iP \to U^{\dagger}(S+iP)$$, можна отримати, що

$$\ Z_{QCD} = \int D[\text{QCD}]DSDPD\mu [U]D\sigma D\sigma^{\dagger}\delta (\sigma - \sigma^{\dagger})e^{i(S_{\text{QCD}} + S_{\text{FP}} + S_{\text{gauge}})}\times e^{-i\int d^{4}x\text{Tr}[\bar{q}_{L}U^{\dagger}(S+iP)q_{R} + \bar{q}_{R}(S-iP)Uq_{L} - 2S\sigma]}$$,

де із врахуванням $$\ q_{L/R} = \frac{1 \mp \gamma_{5}}{2}q$$ показник другої експоненти може бути поданий у вигляді

$$\ \text{Tr}[\bar{q}_{L}U^{\dagger}(S+iP)q_{R} + \bar{q}_{R}(S-iP)Uq_{L}] = \text{Tr}[\bar{q}U_{5}^{\dagger}(S + iP\gamma_{5})q]$$,

і введена матриця псевдоскалярних голдстоунівських бозонів - мезонів: $$\ U_{5} = e^{i\gamma_{5}\lambda^{a}\pi_{a}}$$. У результаті,

$$\ Z_{QCD} = \int D[\text{QCD}]DSDPD\sigma D\sigma^{\dagger}\delta(\sigma - \sigma^{\dagger})e^{i(S_{\text{QCD}} + S_{\text{FP}} + S_{\text{GF}})}e^{-i\int d^{4}x\text{Tr}[\bar{q}U_{5}^{\dagger}(S+iP\gamma_{5})q - 2S\sigma]} \qquad (.3)$$.

Розглянемо тепер частину функціоналу $$\ (.3) $$, яка пов'язана із глюонами та гостами:

$$\ \tilde{Z}[J] = \int DG_{\mu}^{a}D\bar{c}Dc e^{i\int d^{4}x\left[-\frac{1}{4}\text{Tr}[F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}] - G_{\mu}^{a}J^{\mu}_{a}\right]}\times e^{i \int d^{4}x\left[ -\frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}G^{\mu}_{a})^{2} + \bar{c}\partial_{\mu}D^{\mu}[G]c\right]}$$.

Тут $$\ J_{\mu}^{a} = g\bar{q}\gamma_{\mu}\lambda^{a}q$$ - кварковий глюонний струм.

Цей функціонал являється кірально-інваріантним функціоналом струму $$\ J_{\mu}^{a}$$, проте не являється калібрувально-інваріантним. Це, у загальному випадку, нетривіальний складний функціонал, і його обчислення у загальному випадку не було проведене, що, власне кажучи, має пряме відношення до проблеми конфайнменту. Втім, можна використати припущення про те, що відинтегровані глюони залишають після себе лише скалярний потенціал у найнижчому порядку по $$\ \frac{1}{g}$$,

$$\ \tilde{Z}[J] = e^{-i\int d^{4}x[V_{G}[\bar{q}q] + ...]} \qquad (.4)$$.

Із урахуванням $$\ (.4)$$ та при переході до евклідового простору-часу, $$\ x^{0} \to -ix_{0}$$, вираз $$\ (.3)$$ переписується у вигляді

$$\ Z_{QCD} \sim \int D\bar{q}DqDSDPDUDU^{\dagger}D\sigma D\sigma^{\dagger}\delta (\sigma - \sigma^{\dagger})e^{-\int d^{4}x_{E}\left[\bar{q}(\gamma_{i}\partial^{i} + m + U_{5}^{\dagger}(S+i\gamma_{5}P)) q + V_{G}(\bar{q}q) - 2\text{Tr}[S\sigma]\right]}\qquad (.5)$$.

При низьких енергіях можна припустити, що $$\ V_{G}(\bar{q}q) \sim V_{G}(\langle \bar{q}q\rangle) \sim V(\sigma) $$. Тоді в $$\ (.5)$$ можна явно проінтегрувати по кварковим ступеням вільності: згадуючи основні правила інтегрування по грассмановим змінним, $$\ \int dc_{1}dc_{2}e^{c_{1}\cdot K \cdot c_{2}} = \text{det} K $$, можна отримати

$$\ Z_{QCD} \sim \int DSDPDUDU^{\dagger}D\sigma D\sigma^{\dagger}\delta (\sigma - \sigma^{\dagger})\left[\text{det}\left[\partial_{i}\gamma^{i} + m + U_{5}^{\dagger}(S + iP\gamma_{5})\right]\right]^{N_{c}} \times e^{-\int d^{4}x(V_{G}(\sigma ) - 2\text{Tr}[S\sigma])}= $$

$$\ = \int DSDPDUDU^{\dagger}D\sigma D\sigma^{\dagger}\delta (\sigma - \sigma^{\dagger})e^{N_{c}\text{Tr}ln(\partial_{i}\gamma_{i} + m + U_{5}^{\dagger}(S+iP\gamma_{5})) - \int d^{4}x(V_{G}(\sigma ) - 2\text{Tr}[S\sigma])} \qquad (.6)$$.

В силу парності КХД $$\ P = 0$$; вираз же $$\ (.6)$$ може бути апроксимований сідловою точкою показника експоненти:

$$\ Z_{QCD} \sim \int DU DU^{\dagger}DSe^{N_{c}\text{Tr}[ln(\partial_{i}\gamma_{i} + m + SU_{5}^{\dagger})]}\times e^{\int d^{4}x(2\text{Tr}[S\bar{\sigma} - V_{G}[\bar{\sigma}]])} \qquad (.6)$$,

де $$\ \bar{\sigma}$$ визначається положенням сідлової точки:

$$\ S = \frac{1}{2}\left(\frac{\delta V_{G}[\sigma]}{\delta \sigma}\right)_{\sigma = \sigma_{c}} = 0$$.

Визначивши звідси $$\ \bar{\sigma}$$, можна визначити звідси, в силу рівності $$\ \langle \bar{q}_{L}q_{R}\rangle = \bar{q}_{R}q_{L} = \bar{\sigma}$$, поведінку вакуумного конденсата із ростом енергії.

Повернемось тепер до виразу $$\ (.6)$$. Еліптичний оператор під знаком логарифму не є ермітовим (в силу $$\ \partial = -\partial$$). Це означає, що ефективна дія у $$\ (.6)$$ є комплексною. У результаті ефективна теорія, здавалося б, знаходиться у конфлікті із $$\ CPT$$-теоремою. Виявляється, проте, що уявна частина дії є нелокальною у 3+1 вимірах, тому умови виконання СРТ-теореми не виконуються; ця уявна частина відповідає члену Весса-Зуміно.

Отримаємо вираз для уявної частини. Експоненту виразу $$\ (.6)$$ можна подати у вигляді

$$\ e^{iS_{1} + S_{2}} = e^{N_{c}\text{Tr}ln(\partial_{i}\gamma^{i} + (m + SU_{5}^{\dagger}))} \qquad (.7)$$.

Тут $$\ \text{Tr}$$ відповідає сумі по координатним (інтегруванню), кіральним індексам матриці голдстоунівських бозонів та спінорним індексам гамма-матриць. Дії $$\ S_{2}$$, як можна показати, відповідає лагранжіан кіральної ефективної теорії поля без члену Весса-Зуміно. Зараз же цікавить явний вигляд $$\ S_{1}$$. Отримаємо його.

Функціональна варіація від $$\ (.7)$$ по полям голдстоунівських бозонів $$\ \varphi_{a}, U_{5} = e^{i \gamma_{5}\lambda_{a}\varphi^{a}}$$, дає аномальне рівняння для $$\ S_{1}$$,

$$\ \frac{\delta S_{1}}{\delta \varphi_{a}} = N_{c}\text{Re}\text{Tr}[\partial_{i}\gamma_{i} + (m + \bar{S}U_{5}^{\dagger})^{-1}(\bar{S}U_{5}^{\dagger}\lambda^{a}\gamma_{5})] \qquad (.8)$$.

Використовуючи той факт, що аномалії являються масштабно-інваріантними, можна дійти до висновку, що $$\ (.8) $$ не залежать від $$\ m$$. У результаті

$$\ \frac{\delta S_{1}}{\delta \varphi_{a}} = -N_{c}\text{Re}\text{Tr}[\lambda^{a}\gamma_{5}(-\partial^{2} + \bar{S}^{2} - \bar{S} \partial_{i}\gamma_{i} U_{5}^{\dagger})^{-1}(\bar{S}^{2} - \bar{S}\partial_{i}\gamma_{i}U_{5}^{\dagger})]$$.

Позначивши вираз $$\ \partial_{i}\gamma_{i}\varphi$$ як $$\ \Phi$$, а вираз $$\ (-\partial^{2} + \bar{S}^{2})$$ - як $$\ \Delta^{-1}$$, можна отримати

$$\ \frac{\delta S_{1}}{\delta \varphi_{a}} = -N_{c}\text{Re}\text{Tr}[\lambda^{a}\gamma_{5}\Delta (\bar{S}^{2} + i\bar{S}\Phi) -\lambda_{a}\gamma_{5}i\Delta \bar{S}\Phi \gamma_{5}\Delta (\bar{S}^{2} + i\bar{S}\Phi \gamma_{5}) + \lambda^{a}\gamma_{5}i\Delta \Phi \gamma_{5}i\Delta \bar{S}\Phi \gamma_{5}i\Delta\bar{S}\Phi \gamma_{5}\Delta (\bar{S}^{2} + i\bar{S}\Phi \gamma_{5}) + $$

$$\ + \lambda_{a}\gamma_{5}i\Delta \bar{S}\Phi \gamma_{5}i\Delta \bar{S}\Phi \gamma_{5}i\Delta \bar{S}\Phi \gamma_{5}i\Delta \bar{S}\Phi \gamma_{5}\Delta (\bar{S}^{2} + i\bar{S}\Phi \gamma_{5})]$$.

Трейс від перших трьох членів дорівнює нулю в силу рівностей $$\ \text{tr}(\gamma_{5}) =\text{tr}(\gamma_{5}\gamma_{i}\gamma_{j})= \text{tr}[\gamma_{5}\gamma_{1}...\gamma_{2i-1}] = 0$$, де $$\ \text{tr}$$ позначає трейс лише по діраківським індексам. Тому

$$\ \frac{\delta S_{1}}{\delta \varphi^{a}} = N_{c}\bar{S}^{4}\text{Re}\text{Tr}[\lambda_{a}\gamma_{5}\Delta \Phi \Delta \Phi \Delta \Phi \Delta \Phi] - N_{c}\bar{S}^{6}\text{Re}\text{Tr}[\lambda_{a}\gamma_{5}\Delta \Phi \Delta \Phi \Delta \Phi \Delta \Phi \Delta] + ...$$.

Розписуючи явний вигляд $$\ \text{Tr} \equiv \int d^{4}x_{1}... \text{tr}$$, значення трейсу $$\ \text{tr}[\gamma_{5}\gamma_{i}\gamma_{j}\gamma_{k}\gamma_{l}] = 4\epsilon^{ijkl}$$ у евклідовому просторі та переходячи до представлення Фур'є, можна отримати

$$\ \frac{\delta S_{1}}{\delta \varphi_{a}} = 4N_{c}\bar{S}^{4} \int d^{4}p \frac{d^{4}k_{1}}{(2\pi)^{4}}...\frac{d^{4}k_{2}}{(2 \pi)^{4}}\delta \left(\frac{1}{4}(k_{1} + k_{2} + k_{3} + k_{4})\right)\left(1 - \bar{S}^{2}(p + k_{1}) + \bar{S}^{2}\right)^{-1}\prod_{i =1}^{4}((p + k_{i})^{2} + \bar{S}^{2})^{-1}\times $$

$$\ \times \epsilon^{ijkl}\text{tr}[\lambda_{a}\partial_{i}\varphi_{i}\partial_{j}\varphi_{j}\partial_{k}\varphi_{k}\partial_{l}\varphi_{l}]$$.

У найнижчому порядку по градієнтним розкладам звідси можна отримати

$$\ \frac{\delta S_{1}}{\delta \varphi_{a}} = \frac{N_{c}}{48 \pi^{2}}\epsilon^{ijkl}\int d^{4}x\text{tr}[\lambda_{a}\partial_{i}\varphi \partial_{j}\varphi \partial_{k}\varphi \partial_{l}\varphi] + ...$$.

Це функціональне рівняння можна проінтегрувати, розглянувши набір гомотопічно еквівалентних польових варіацій, ввівши гомотопічне перетворення як

$$\ \varphi (x, t) = t \varphi (x), \quad \delta_{t}\varphi (x, t) = \delta t \partial_{t}\varphi (x , t) = \delta t \varphi (x), \quad t \in [0, 1]$$,

звідки

$$\ \delta_{t}S_{1} = \frac{N_{c}}{48 \pi^{2}}\epsilon^{ijkl}\int d^{4}x\text{tr}[\delta_{t}\varphi \partial_{i}\varphi \partial_{j}\varphi \partial_{k}\varphi \partial_{l}\varphi] + ...$$,

і, нарешті,

$$\ S_{1} = \frac{N_{c}}{240 \pi^{2}}\int \limits_{0}^{1}dt \int d^{4}x\epsilon^{ijklm}\text{tr}[\partial_{i}\varphi \partial_{j}\varphi \partial_{k}\varphi \partial_{l}\varphi \partial_{m}\varphi] + ... \qquad (.9)$$

Оскільки, нарешті, повністю просумований ряд $$\ (.9) $$ (за відсутності калібрувальних полів) має бути кірально-інваріантним, можна, маючи у явному вигляді перший член $$\ (.9)$$, отримати повний вираз для уявної частини дії:

$$\ S_{1} = \frac{N_{c}}{240 \pi^{2}}\int \limits_{R^{4}\times [0,1]} d^{5}x \epsilon^{ijklm}\text{tr}[L_{i}L_{j}L_{k}L_{l}L_{m}], \quad U(x, 0) = \text{1}, \quad U(x, 1) = U(x)$$,

що співпадає із виразом для члену Весса-Зуміно. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$