Загальний вигляд матричних елементів

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Матричний елемент
Отже, для визначення амплітуди розсіяння і пов'язаної із неї ймовірності переходу треба обчислити матричний елемент $$\ S_{in \to out}$$. Він рівен

$$\ S_{in \to out} = \langle out| \hat {S}| in\rangle, \quad \hat {S} = \sum_{i = 1}^{\infty }\frac{1}{(i \hbar c)^{n}}\frac{1}{n!}\int \limits_{- \infty}^{\infty }d^{4}x_{1}...d^{4}x^{n}\hat {N}(H (x_{1})...H(x_{n})) $$.

Тоді, якщо представити $$\ in-,out-$$стани як

$$\ | in\rangle = \hat {a}^{+}(\mathbf p_{1})...\hat {a}^{+}(\mathbf p_{s}) | \rangle, \quad | out \rangle = \hat {a}^{+}(\mathbf p{'}_{1})...\hat {a}^{+}(\mathbf p{'}_{r})| \rangle $$,

вклад від $$\ n-$$того члену розкладу $$\ S$$-матриці у матричний коефіцієнт дає

$$\ \frac{1}{(i\hbar c)^{n}}\frac{1}{n!}\langle |\hat {a} (\mathbf p{'}_{1})...\hat {a}(\mathbf p{'}_{r})\int \limits_{-\infty}^{\infty}d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}\hat {N}[\hat {H}(x_{1})...\hat {H}(x_{n})]\hat {a}^{+}(\mathbf p_{1})...\hat {a}^{+}(\mathbf p_{s})| \rangle \qquad (.1)$$.

Цей вираз можна перетворити, вважаючи, що у гамільтоніанах стоять добутки полів, кожне з яких не поліноміальне по операторам народження та знищення. Це означає, що його можна представити у вигляді

$$\ \hat {\psi} = \hat {\psi}^{+} + \hat {\psi}^{-}$$,

де знаки $$\ \pm$$ відносяться до наявності оператора народження та знищення відповідно. Тоді вираз може бути обрахований "простою" перестановкою операторів: при перестановці операторів народження та знищення, причому оператори народження рухаються вліво, а знищення - вправо, утворюються дельта-функції. В "останньому" доданку всі оператори народження пересунуті вліво, а знищення - вправо, і, відповідно до визначення вакуумного стану,

$$\ \hat {a}(\mathbf p )|\rangle = 0, \quad \langle |\hat {a}^{+}(\mathbf k ) = 0$$,

доданок буде рівним нулю. Залишаться лише доданки із дельта-функціями. Тепер вся задача зводиться до перестановки операторів та аналізу випадків виникнення дельта-функції. Усього можливі три випадки.

Перший випадок відповідає перестановці операторів $$\ in-$$ та $$\ out$$-станів. Фізично це відповідає ситуації, коли частинки з $$\ in$$-стану пролітає повз інші такі частинки практично без взаємодії. Вклад таких доданків у $$\ S$$-матрицю є, проте у більшості випадків відповідні процеси нецікаві.

Другий та третій випадки відповідають перестановці операторів "усередині" полів та між полями та одночастинковими in-, out-станами. Це відповідає процесам, які можуть бути описані як взаємодія через народження та зникнення проміжних багаточастинкових станів.

Просто отримати комутатори та антикомутатори для оператору з in-out-стану та оператору поля під знаком нормального впорядкування: наприклад,

$$\ [\hat {a}(\mathbf k ), \hat {\varphi }^{+}(x)] = \int [\hat {a}(\mathbf k ), \hat {a}^{+}(\mathbf p )]e^{-ipx}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{-ikx}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k}}} \qquad (.2)$$,

$$\ [\hat {a}_{f}(\mathbf k), \hat {\bar {\Psi}}]_{+} = \int e^{ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p }[ \hat {a}_{f}(\mathbf k ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p)]_{+}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{ikx}\bar {A}_{f , \mathbf k}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k }}} \qquad (.3)$$,

$$\ [\hat {a}_{s}(\mathbf k), \hat {A}_{\mu}(x)] = \int e^{\lambda}_{\mu}(\mathbf p)[\hat {a}_{s}(\mathbf k) , \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)]e^{-ipx}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{s}_{\mu}(\mathbf k) e^{-ikx}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k }}} \qquad (.4)$$.

Для довільного поля аналогічно можна записати

$$\ [\hat {a}_{\sigma}(\mathbf k ), \hat {\Psi }^{+}_{l}(x)] = \frac{e^{-ikx}(u^{\sigma}_{l})^{\dagger}(\mathbf k)}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2 \epsilon_{\mathbf k}}}$$.

Проте у випадку (анти)комутаторів полів усередині хронологічного впорядкування виникає складність. Потрібно розкрити це впорядкування по часу, а це буде надзвичайно громіздко робити кожного разу "в лоб". Тому треба якось спростити цей вираз. Передмовою до спрощення є наступний підрозділ.

Пропагатор
Розглянемо тепер часове впорядкування двох полів - "звичайного" і ермітово спряженого - під знаком вакуумного усереднення (не варто плутати $$\ \hat{N}$$ із нормальним впорядкуванням):

$$\ -iD_{lm}^{c}(x - y) = \langle | \hat {N}\left(\hat{\Psi}_{l}(x) \hat {\Psi}_{m}^{\dagger}(y) \right)|\rangle \qquad (5)$$.

Для подальших викладок поля' зручно знову представляти як суму полів народження та знищення,

$$\ \hat {\Psi}_{m}(x) = \hat {\Psi}^{+}_{m}(x) + \hat {\Psi}^{-}_{m}(x), \quad \hat {\Psi}^{+}_{m}(x) = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3}2p_{0}}}u^{\sigma}_{m}(\mathbf p )e^{-ipx}\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p ), \quad \hat {\Psi}^{-}_{m}(x) = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3}2p_{0}}}v^{\sigma}_{m}(\mathbf p )e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p ) \qquad (6)$$.

Враховуючи, що вакуумні обкладки "знищують" доданки виду $$\ (+)(-)^{\dagger}, (-)(+)^{\dagger}$$, вираз $$\ (5)$$ можна переписати як

$$\ -iD_{lm}^{c}(x - y) = \langle | \hat {N}\left(\hat{\Psi}^{+}_{l}(x) (\hat {\Psi}^{+}_{m})^{\dagger}(y) + \hat {\Psi}^{-}_{l}(x)(\hat {\Psi}^{-}_{m})^{\dagger}(y) \right)|\rangle = \theta (x_{0} - y_{0})\langle | \hat{\Psi}^{+}_{l}(x) (\hat {\Psi}^{+}_{m})^{\dagger}(y)|\rangle \pm \theta (y_{0} - x_{0})\langle |(\hat {\Psi}^{-}_{m})^{\dagger}(y)\hat {\Psi}^{-}_{l}(x) |\rangle$$,

де в останній рівності враховане визначення оператора часового впорядкування і той факт (врахований вже вдруге), що при дії на правий вакуум оператор знищення дає нуль (аналогічно, при дії на лівий вакуум оператор народження дає нуль). Знак $$\ \pm$$ береться відповідно до того, є поле бозоном чи ферміоном.

Вираз можна додатково спростити, втретє врахувавши дію операторів народження та знищення на лівий та правий вакуум відповідно. Щоб позбавитись операторів у цьому виразі, треба перенести, наприклад, оператори народження вліво:

$$\ -iD_{lm}^{c}(x - y) = \theta (x_{0} - y_{0})\langle | \hat{\Psi}^{+}_{l}(x) (\hat {\Psi}^{+}_{m})^{\dagger}(y)|\rangle + \theta (y_{0} - x_{0})\langle |(\hat {\Psi}^{-}_{m})^{\dagger}(y)\hat {\Psi}^{-}_{l}(x) |\rangle = $$

$$\ = \theta (x_{0} - y_{0})\langle | [\hat{\Psi}^{+}_{l}(x), (\hat {\Psi}^{+}_{m})^{\dagger}(y)]_{\pm} | \rangle \pm \theta (y_{0} - x_{0}) \langle | [(\hat {\Psi}^{-}_{m})^{\dagger}(y), \hat {\Psi}^{-}_{l}(x)]_{\pm}|\rangle \qquad (7)$$.

Тепер треба пригадати всі викладки для коефіцієнтних функцій полів народження та знищення для випадків різних спінів. Із їх врахуванням та врахуванням (анти)комутаційних співвідношень для операторів народження та знищення вираз $$\ (7)$$ набуде вигляду (після зникнення операторів під знаком вакуумного усереднення можна "пронести" вакуумні дужки одну до одної та скористатися його ортонормованістю: $$\ \langle | \rangle = 1$$):

$$\ -iD_{lm}^{c}(x - y) = \theta (x_{0}- y_{0}) P_{lm}\left( i\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle | \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}e^{-ip(x - y)} |\rangle + \theta (y_{0} - x_{0})P_{lm}\left( i\frac{\partial}{\partial x}\right)\langle | \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}e^{ip(x - y)} |\rangle = $$

$$\ = \theta (x_{0} - y_{0}) P_{lm}\left( i\frac{\partial}{\partial x}\right)D_{m}(x - y) + \theta (y_{0} - x_{0})P_{lm}\left( i\frac{\partial}{\partial x}\right)D_{m}(y - x) = -iP_{lm}\left( i\frac{\partial}{\partial x}\right)D^{c}(x - y) \qquad (8)$$,

де вираз

$$\ D^{c}(x - y) = i\theta (x_{0} - y_{0}) D_{m}(x - y)  + i\theta (y_{0} - x_{0}) D_{m}(y - x) \qquad (9)$$

називається фейнманівським пропагатором.

У виразі $$\ (8)$$ спін-тензор $$\ P_{lm}\left( i\frac{\partial}{\partial x}\right)$$ - коваріантний поліном, структура якого повністю визначається спіном представлення та масою. Для цілого спіну він відповідає симетричному 4-тензору рангу $$\ 2s$$, в усі доданки якого похідні входять парною кількістю раз. Для напівцілого спіну він відповідає деякому коваріантному спін-тензору виду $$\ P_{AB}\left( i\frac{\partial }{\partial x}\right) = (i \gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m)R_{AB}\left( i\frac{\partial}{\partial x}\right)$$, де в кожний доданок спін-тензору $$\ R_{AB}$$ похідні та гамма-матриці входять одночасно непарну або парну кількість раз.

Отримання виразу $$\ (8)$$ для полів цілого спіну зовсім не представляє складнощів, оскільки для них (вираз $$\ (1)$$) є проста рівність $$\ u_{\sigma}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}v_{-\sigma}(\mathbf p)$$. Звідси

$$\ \sum_{\sigma}v_{\sigma, l}(\mathbf p )v^{\dagger}_{\sigma , m}(\mathbf p) = P_{lm}(p)$$,

і

$$\ \int P_{lm}(p) e^{ip(x - y)}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}} = P_{lm}\left( -i\frac{\partial }{\partial x}\right)\int e^{ip(x - y)}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}} = P_{lm}\left( i\frac{\partial }{\partial x}\right)\int e^{ip(x - y)}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}$$,

оскільки поліном має лише парні ступені $$\ \frac{\partial}{\partial x}$$.

Розглянемо тепер випадок напівцілого спіну із діраківською реалізацією (випадок без неї абсолютно аналогічний розглянутому вище випадку цілого спіну, тільки буде з'являтися мінус при переході від $$\ x$$ до $$\ -x$$). Для нього (див. передостанню формулу підрозділу) $$\ u_{\sigma}(\mathbf p) = (-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}v_{-\sigma}(\mathbf p)$$.

Звідси

$$\ \int \sum_{\sigma}v_{\sigma, l}(\mathbf p)\bar{v}_{\sigma , m}(\mathbf p )e^{ip(x - y)}d^{3}\mathbf p = - \int \gamma_{5}(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)R_{lm}(p)\gamma_{5} e^{ip(x - y)}d^{3}\mathbf p = \left| [\gamma_{\mu}, \gamma_{5}]_{+} = 0, \gamma_{5}^{2} = 1 \right| = \int d^{3}\mathbf p (-\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)R_{lm}(-p)e^{ip(x - y)} = $$

$$\ = -(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}^{x} + m)R_{lm}\left( i\frac{\partial }{\partial x}\right)\int d^{3}\mathbf p e^{ip(x - y)} = -P_{lm}\left( i\frac{\partial }{\partial x}\right)\int d^{3}\mathbf p e^{ip(x - y)}$$,

і знову отримуємо $$\ (8)$$. Тут було використано те, що $$\ R_{ab}(p)$$ складається або одночасно з парних, або одночасно із непарних кількостей гамма-матриць та імпульсів.

Фейнманівський пропагатор як функція Гріна
Враховуючи рівняння Клейна-Гордона та комутаційні властивості для операторів скалярного поля,

$$\ (-\partial^{2} + m^{2})\hat {\varphi}(x) = 0, \quad [\hat {\varphi} (t_{0}, \mathbf x), \hat {\varphi} (t_{0}, \mathbf y)] = 0, \quad [\hat {\varphi} (t_{0}, \mathbf x), \hat {\pi} (t_{0}, \mathbf y)] = \delta (\mathbf x - \mathbf y)$$,

можна отримати проміжні властивості функції $$\ D_{m}(x)$$, яка входить у вираз для фейнманівського пропагатора:

$$\ (-\partial^{2} + m^{2})D_{m}(x) = 0, \quad \left(D_{m}(x) - D_{m}(-x)\right)_{x_{0} = 0} = 0, \quad \partial_{0}((D_{m}(x) - D_{m}(-x))_{x_{0} = 0} = -i\delta (\mathbf x ) \qquad (10)$$.

Вираз для фейнманівського пропагатору можна записати у більш компактному вигляді. Перепозначивши $$\ x - y \to x$$ та подіявши на $$\ (9)$$ оператором $$\ -\partial^{2} + m^{2}$$, використовуючи при цьому $$\ (10)$$, можна отримати

$$\ (-\partial^{2} + m^{2})D^{c}(x) = i\theta(x_{0})(-\partial^{2} + m^{2})D_{m}(x) + i\theta(-x_{0})(-\partial^{2} + m^{2})D_{m}(-x) + 2i\partial_{0}(\theta(x_{0}))\partial_{0}D_{m}(x) + 2i\partial_{0}(\theta(-x_{0}))\partial_{0}D_{m}(-x) + $$

$$\ + i\partial_{0}^{2}(\theta(x_{0}))D_{m}(x) + i\partial_{0}^{2}(\theta(-x_{0}))D_{m}(-x) = |\theta'(x_{0}) = \delta (x_{0})| = 2i\delta (x_{0})(\partial_{0}D_{m}(x) - i\partial_{0}D_{m}(-x)) + i\partial_{0}(\delta(x_{0}))(D_{m}(x) - D_{m}(-x)) = $$

$$\ = i\delta (x_{0})(\partial_{0}D_{m}(x) - \partial_{0}D_{m}(-x)) + i\partial_{0}(\delta (x_{0})[D_{m}(x) - D_{m}(-x)]) = |\delta (x_{0})(\partial_{0}D_{m}(x) - \partial_{0}D_{m}(-x)) = \delta (x_{0})(\partial_{0}D_{m}(x) - \partial_{0}D_{m}(-x))_{x_{0} = 0}| = $$

$$\ = |\partial_{0}(\delta (x_{0})[D_{m}(x) - D_{m}(-x)] = \partial_{0}(\delta (x_{0})\left(D_{m}(x) - D_{m}(-x)\right)_{x_{0} = 0}))| = -i\delta (x_{0})\delta (\mathbf x) = -\delta(x)$$.

Звідси формально можна записати, що $$\ D^{c}(x)$$ є функцією Гріна оператора Клейна-Гордона. Це означає, що через Фур'є представлення $$\ D^{c}(x) \to \int e^{-ipx}D^{c}(x)d^{4}x$$ можна представити розв'язок у вигляді

$$\ D^{c}(x - y) = \frac{1}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{m^{2} - p^{2} - i0} \Rightarrow \langle | \hat {N}(\varphi (x) \varphi^{+}(y))|\rangle = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{p^{2} - m^{2} - i0} \qquad (11)$$,

де $$\ i0$$ формально задає обхід полюсів для інтегрування по $$\ p_{0}$$. Знак величини $$\ x_{0}$$ вказує, у якій напівплощині - верхній чи нижній - треба замикати контур, після чого можна буде звести його до визначення лишку (вся постановка інтегрування повністю аналогічна випадку із розв'язком задачі про потенціал заряду, що рухається прискорено). Після інтегрування отримується вираз $$\ (8)$$ для конкретного випадку $$\ x_{0} > 0, x_{0} < 0$$:

$$\ D_{lm}(x - y) = P_{lm}\left( i\frac{\partial}{\partial x}\right)\frac{1}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{m^{2} - p^{2} - i0}$$.

Інтегрування очевидно означає, що Фур'є-змінна не пов'язана із $$\ m^{2}$$ релятивістським співвідношенням $$\ p^{2} = m^{2}$$, а отже - не знаходиться на масовій поверхні. Окрім того, це означає, що немає релятивістськи-інваріантного співвідношення.

Наведу конкретні результати виразів вакуумних середніх $$\ (5)$$ (у подальшому я буду називати їх пропагаторами) для стандартних полів: вирази були отримані аналогічно до перестановочних співвідношень, тому для скалярних, діраківських, масивних та безмасових векторних полів маємо

$$\ D^{sc.}_{lm}(x - y) = D^{c}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{m^{2} - p^{2} - i0}$$,

$$\ D^{d.}_{lm}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m)\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{m^{2} - p^{2} - i0} $$,

$$\ D^{pr.}_{lm}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\left(g_{\mu \nu} + \frac{\partial_{\mu}\partial_{\nu}}{m^{2}} \right)\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{m^{2} - p^{2} - i0} $$,

$$\ D^{el.}_{lm}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi )^{4}}g_{\mu \nu}\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{-p^{2} - i0}$$.

Нормальне впорядкування. Теорема Віка
Перед здійсненням завершального кроку треба розглянути операцію нормального упорядкування. Вона визначена на фоківському просторі та діє виключно на оператори народження і знищення. У результаті всі оператори знищення стоять лівіше оператора народження. Наприклад (операція позначається двокрапками зліва і зправа від виразу)

$$\ :\hat {a}_{1}...\hat {a}_{n}\hat {a}^{+}_{1}...\hat {a}^{+}_{m}: = \hat {a}^{+}_{1}...\hat {a}^{+}_{m}\hat {a}_{1}...\hat {a}_{n}, \quad : A_{1}(x)A_{2}(y): = A_{1}^{+}(x)A_{2}^{+}(y) + A_{1}^{-}(x)A_{2}^{-}(y) + A_{1}^{+}(x)A_{2}^{-}(y) \pm A_{2}^{+}(y)A_{1}^{-}(x)$$,

де знак при останньому доданку відповідає парній чи непарній перестановці ферміонних операторів відповідно.

Тепер можна перейти до теореми, що дозволяє зводити визначення членів розкладу матриці розсіяння до виразів-пропагаторів для полів. Такою теоремою є теорема Віка:

$$\ T(A_{1}...A_{n}) = \sum (-1)^{\sigma}\bar {A_{i_{1}}A_{i_{2}}}...\bar {A_{i_{k - 1}}A_{i_{k}}}:A_{i_{k + 1}}...A_{i_{n}}:, \quad \bar {A_{i_{k - 1}}(x)A_{i_{k}}(y)} = \langle |T(A_{i_{k - 1}}(x)A_{i_{k}}(y))|\rangle = -iD^{c}(x - y) \qquad (.11)$$,

де сума береться по всім попарним згорткам полів, $$\ 0 \leqslant k \leqslant n$$, причому $$\ k$$ - парний індекс. Якщо $$\ n$$ - непарний, то буде відсутній доданок, у якому є лише попарні вакуумні середні. Поля, що не ввійшли до попарних вакуумних середніх, заносяться під знак нормального впорядкування. Множник $$\ (-1)^{\sigma}$$ виникає внаслідок перестановок комутаторів ферміонних полів.

Доведення може бути проведене наступним чином. Кожне поле розкладається як $$\ A_{i} = A_{i}^{+} + A_{i}^{-}$$. Для отримання нетривіальних членів для $$\ S$$-матриці треба послідовно переміщувати оператори народження вправо, а оператори знищення - вліво. Через це будуть виникати: по-перше, комутатори, при дії на які оператора часового упорядкування будуть виникати вакуумні середні; по-друге, нормальні упорядкування. Наприклад,

$$\ \varphi (x)\varphi (y) = \varphi^{+}(x)\varphi^{+}(y) + \varphi^{+}(x)\varphi^{-}(y) + \varphi^{-}(x)\varphi^{-}(y) + \varphi^{-} (x)\varphi^{+} (y) = \varphi^{+}(x)\varphi^{+}(y) + \varphi^{+}(x)\varphi^{-}(y) + \varphi^{-}(x)\varphi^{-}(y) + \varphi^{+} (y)\varphi^{-} (x) + [\varphi^{-} (x), \varphi^{+}(y)] = $$

$$\ = :\varphi (x)\varphi (y): + \langle |\varphi (x)\varphi (y) |\rangle = -iD^{-}(x - y) + :\varphi (x)\varphi (y):$$,

$$\ \hat {N}(\varphi (x)\varphi (y)) = h(x_{0} - y_{0})\varphi(x)\varphi (y) + h(y_{0} - x_{0})\varphi(y)\varphi (x) = h(x_{0} - y_{0})(-iD^{-}(x - y) + :\varphi (x)\varphi (y):) + h(y_{0} - x_{0})(-iD^{-}(y - x) + :\varphi (y)\varphi (x):) = $$

$$\ =-iD^{c}(x - y) + :\varphi (x)\varphi (y):$$.

Для інших полів - аналогічно (у випадку спінорних перед виразом нормального упорядкування буде мінус).

Далі, нічого не зміниться, якщо одночасно переставити поля зліва та зправа виразу $$\ (.11)$$. Тому (в даному випадку) без зменшення загальності доведення можна вважати, що оператори розташовані у хронологічній послідовності, і $$\ \varphi (x)\varphi (y) = T(\varphi (x)\varphi (y)) = -iD^{c}(x - y) + :\varphi (x)\varphi (y):$$.

Тепер для наглядності доцільно розглянути вираз

$$\ \varphi (z)\varphi (x)\varphi (y) = \varphi (z) (-iD^{c}(x - y) + :\varphi (x)\varphi (y):)$$.

З першим доданком можна нічого не робити, оскільки $$\ -iD^{c}(x - y)$$ не містить операторів. Узагальнюючи, можна стверджувати, що у виразах після перестановок операторних функцій будуть нагромаджуватися множники-пропагатори. Для другого доданку можна записати (тимчасово перепозначивши $$\ \varphi (x) \to x$$)

$$\ (z^{+} + z^{-})(x^{+}y^{+} + x^{+}y^{-} + x^{-}y^{-} + y^{+}x^{-}) = $$

$$\ = :\varphi^{+}(z)\varphi (x)\varphi (y): + [z^{-}, x^{+}]y^{+} + x^{+}[z^{-}, y^{+}] + x^{+}y^{+}z^{-} + z^{-}x^{-}y^{-} + [z^{-}. x^{+}]y^{-} + x^{+}z^{-}y^{-} + [z^{-}, y^{+}]x^{-} + y^{+}z^{-}x^{-} = $$

$$\ = |[\varphi^{-}(z), \varphi^{+}(y)] = -iD^{c}(z - y)| = :\varphi (x) \varphi (y) \varphi (z): -i\varphi (y)D^{c}(z - x) -i \varphi (x)D^{c}(z - y)$$,

і т.д.

Після цього особливо прозорими становляться наступні висновки, які не змінюються від кількості полів: по-перше, під оператор впорядкування завжди потрапляє функція $$\ \varphi (z)$$, а не її частина, оскільки при нетривіальних перестановках полів виникає комутатор, який дає доданок з вакуумним усередненням, а при тривіальних перестановках "додатня" частина поля веде себе таким же чином, як і "від'ємна", і врешті їх знову можна виокремити в поле. Отже, теорема доведена. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$