S-матриця та S-оператор

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Введення S-матриці
Розглядається задача розсіяння. Нехай є набір з частинок, які можуть взаємодіяти одна з одною. У початковому стані вважається, що вони не взаємодіють (при наявній взаємодії знаходяться дуже далеко одна від одної). Далі відбувається процес розсіяння: частинки можуть обмінюватися імпульсами, можуть перетворюватися в інші частинки, деякі можуть просто пролетіти одна повз одну. Після цього результуючі частинки розлітаються і реєструються. На їх етапі реєстрації вважається, що ці частинки вже не взаємодіють. Як формалізувати цю задачу?

Нехай початковий стан називається $$\ | \Psi, in \rangle$$, а кінцевий - $$\ | \Psi , out\rangle$$. Вони відповідають вільним частинкам. Це означає, що ці стани можуть бути розкладені у фоківському базисі:

$$\ | \Psi, in \rangle = | (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}),...,(\mathbf p_{n}, \sigma_{n}), in\rangle , \quad | \Psi , out \rangle = | (\mathbf p{'}_{1}, \sigma{'}_{1}),...,(\mathbf p{'}_{m}, \sigma{'}_{m}), out\rangle$$.

Частинки можна вважати формально невзаємодіючими у цих станах, якщо вони відповідають частинкам, що знаходяться на нескінченних відстанях одна від одної, тобто для моментів $$\ t \to \pm \infty$$ відповідно для $$\ out, in$$-станів. А як переходити до такого ліміту? Для початку треба зробити короткий відступ про представлення, у якому записані стани. Як відомо, у квантовій механіці є декілька основних представлень - Шредінгера, взаємодії та Гейзенберга. Переходи між хвильовими функціями та операторами для цих представлень даються виразами

$$\ |\Psi \rangle_{H} = e^{i\hat {H}t}|\Psi \rangle_{Sh}, \quad \hat {A}_{H} = e^{i\hat {H}t}\hat {A}_{Sh}e^{-i\hat {H}t} \qquad (1)$$,

$$\ |\Psi \rangle_{I} = e^{i\hat {H}_{0}t}|\Psi \rangle_{Sh}, \quad \hat {A}_{I} = e^{i\hat {H}_{0}t}\hat {A}_{Sh}e^{-i\hat {H}_{0}t}$$.

У представленні Шредінгера оператори явно від часу не залежать, а власні стани залежать. У представленні Гейзенберга - навпаки. Тому питання про ліміт є важливим.

Варто зробити очевидним те, що стани у квантовій теорії поля записуються для представлення Гейзенберга. Дійсно, оператори вільних полів у КТП залежать від часу, а тому від часу у загальному випадку залежить будь-який оператор, що є функцією від цих полів. Це означає, що власні стани операторів від часу не залежать.

Тепер можна повернутися до питання ліміту. Зрозуміло, що ліміт треба брати для станів у представленні Шредінгера. При цьому одразу стає видною відмінність між $$\ in, out$$-станами, навіть вільними, та станами вільних частинок:

$$\ | \Psi, t \rangle = e^{-i\hat {H}_{0}t} | \Psi \rangle , \quad | \Psi , (in,out), t \rangle = e^{-i\hat {H}t} | \Psi, (in, out) \rangle \qquad (2)$$.

Вільні частинки описуються вільним гамільтоніаном, у той час як $$\ in, out$$-стани навіть при граничних моментах часу описуються гамільтоніаном із взаємодією. Тому умова того, що на нескінченності $$\ in, out$$-стани співпадають із вільними станами, може бути записана як

$$\ \lim_{t \to \pm \infty}e^{-i\hat {H}t}| \Psi, (out, in)\rangle = \lim_{t \to \pm \infty}e^{-i\hat {H}_{0}t} | \Psi \rangle \Rightarrow | \Psi , (out, in)\rangle = \lim_{t \pm \infty}e^{i\hat {H}t}e^{-i\hat {H}_{0}t} | \Psi \rangle$$.

Відповідно, якщо початковий стан задається як $$\ |\Psi_{1}, in\rangle$$, а кінцевий - як $$\ | \Psi_{2}, out \rangle$$, то амплітудою переходу між ними буде величина

$$\ S_{21} = \langle out, \Psi_{2}|\Psi_{1}, in\rangle$$,

або, при переході до фоківського базису,

$$\ S_{(\mathbf p{'}_{1}, \sigma{'}_{1}),...,(\mathbf p{'}_{m}, \sigma{'}_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}),...,(\mathbf p_{n}, \sigma_{n})} = \langle out, (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}),...,(\mathbf p_{n}, \sigma_{n})|(\mathbf p{'}_{1}, \sigma{'}_{1}),...,(\mathbf p{'}_{m}, \sigma{'}_{m}), in\rangle \qquad (3)$$.

Набір амплітуд для всіх можливих $$\ out$$-станів називається S-матрицею.

Коваріантність S-матриці
Можна розглянути закон перетворення S-матриці при перетвореннях групи Пуанкаре. Оскільки $$\ in, out$$-стани відповідають вільним станам, то природньо постулювати, що закон їх перетворення відповідає закону перетворення фоківського базису:

$$\ U(\Lambda, a)|(\mathbf p_{1} , \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n} , \sigma_{n}),(in, out)\rangle = \sqrt{\frac{(\Lambda p_{1})^{0}}{p_{1}^{0}}...\frac{(\Lambda p_{n})^{0}}{p_{n}^{0}}}e^{ia_{\mu}\Lambda^{\mu}_{\ \nu}(p^{\nu}_{1} + ... + p^{\nu}_{n})} \times $$

$$\ \times \sum_{\sigma{'}_{1},...\sigma_{n}{'}}D_{\sigma_{1}{'}\sigma_{1}}(R(\Lambda, p_{1}))...D_{\sigma_{n}{'}\sigma_{n}}(R(\Lambda , p_{n}))|(\mathbf {\Lambda \mathbf p_{1}} , \sigma{'}_{1}), ..., (\mathbf {\Lambda \mathbf p_{n}} , \sigma{'}_{n}),(in, out)\rangle $$,

$$\ U(\Lambda, a)|0,(in, out)\rangle = |0,(in, out)\rangle$$.

Це означає, що перетворення групи Пуанкаре для амплітуди $$\ (3)$$ зберігають її (як унітарні), тобто, виконується рівність

$$\ S_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})} = \sqrt{\frac{(\Lambda p_{1})^{0}}{p_{1}^{0}}...\frac{(\Lambda p_{n})^{0}}{p_{n}^{0}}\frac{(\Lambda p{'}_{1})^{0}}{p^{0}_{1}{'}}...\frac{(\Lambda p{'}_{m})^{0}}{p^{0}_{m}{'}}}e^{ia_{\mu}\Lambda^{\mu}_{\ \nu}(p^{\nu}_{1} + ... + p^{\nu}_{n} - p^{\nu}_{1}{'} - ... - p^{\nu}_{m}{'})} \times $$

$$\ \times \sum_{\sigma{'}_{1},...\sigma_{n}{'}, \alpha{'}_{1},..., \alpha_{m}{'}}D_{\sigma_{1}{'}\sigma_{1}}(R(\Lambda, p_{1}))...D_{\sigma_{n}{'}\sigma_{n}}(R(\Lambda , p_{n}))D^{*}_{\alpha_{1}{'}\alpha_{1}}(R(\Lambda , p{'}_{1}))...D^{*}_{\alpha_{m}{'}\alpha_{m}}(R(\Lambda , p_{m}{'}))S_{(\mathbf {\Lambda p{'}_{1}}, \alpha{'}_{1}), ..., (\mathbf {\Lambda p{'}_{m}}, \alpha{'}_{m}); (\mathbf {\Lambda p_{1}}, \sigma{'}_{1}), ..., (\mathbf {\Lambda p_{n}}, \sigma{'}_{n})} \qquad (4)$$.

Нехай $$\ \Lambda = 1$$. Тоді

$$\ S_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})} = e^{ia_{\mu}\Lambda^{\mu}_{\ \nu}(p^{\nu}_{1} + ... + p^{\nu}_{n} - p^{\nu}_{1}{'} - ... - p^{\nu}_{m}{'})}S_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})} $$.

Така рівність не містить протиріччя, якщо $$\ S_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})}$$ пропорційна дельта-функції $$\ \delta (p_{1} + ... + p_{n} - p_{1}{'} - ... - p_{m}{'})$$.

Якщо піднести вираз $$\ (4)$$ до квадрату (взявши квадрат модуля), підсумувавши при цьому за всіма поляризаціями і виділивши перед цим окремо дельта-функцію (про операції із квадратом дельта-функції див. розділ про ймовірності),

$$\ S_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})} = \delta (P' - P)R_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})}$$

(тут величини $$\ P, P'$$ позначають повні імпульси в початковому та кінцевому станах), можна отримати, в силу унітарності матриці малого перетворення $$\ D_{\sigma_{n}{'}\sigma_{n}}(R(\Lambda, p_{n}))$$, що

$$\ \sum_{\alpha_{1}...\alpha_{m}, \sigma_{1}, ...\sigma_{n}}|R_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})}|^{2} = \frac{(\Lambda p_{1})^{0}}{p_{1}^{0}}...\frac{(\Lambda p_{n})^{0}}{p_{n}^{0}}\frac{(\Lambda p{'}_{1})^{0}}{p^{0}_{1}{'}}...\frac{(\Lambda p{'}_{m})^{0}}{p^{0}_{m}{'}}\sum_{\alpha_{1}...\alpha_{m}, \sigma_{1}, ...\sigma_{n}}|R_{(\mathbf {\Lambda p{'}_{1}}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf {\Lambda \mathbf p{'}_{m}}, \alpha_{m}); (\mathbf {\Lambda p_{1}}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf {\Lambda \mathbf p_{n}}, \sigma_{n})}|^{2}$$,

або ж

$$\ \prod_{i, j}(p_{i})^{0}(p{'}_{j})^{0}\sum_{\alpha_{1}...\alpha_{m}, \sigma_{1}, ...\sigma_{n}}|R_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})}|^{2} = \prod_{i, j}(\Lambda p_{i})^{0}(\Lambda p_{j}{'})^{0}\sum_{\alpha_{1}...\alpha_{m}, \sigma_{1}, ...\sigma_{n}}|R_{(\mathbf {\Lambda p{'}_{1}}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf {\Lambda \mathbf p{'}_{m}}, \alpha_{m}); (\mathbf {\Lambda p_{1}}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf {\Lambda \mathbf p_{n}}, \sigma_{n})}|^{2}$$.

Звідси видно, що цей вираз є лоренц-інваріантним, за виключенням вкладу від енергій. Тому часто вводять так звану інваріантну амплітуду розсіяння $$\ M_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})}$$ за формулою

$$\ S_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})} = \delta (P' - P)\frac{M_{(\mathbf p{'}_{1}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p{'}_{m}, \alpha_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})}}{\prod_{i, j}(p_{i})^{0}(p{'}_{j})^{0}}$$.

S-оператор
Можна означити умови, за яких виконується вираз $$\ (4)$$. Безпосередньо сам вираз є дуже громіздким для такого аналізу. Тому простіше дати інше визначення S-матриці:

$$\ S_{(\mathbf p_{1}{'}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p_{m}{'}, \alpha_{m});(\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})} = \langle (\mathbf p_{1}{'}, \alpha_{1}), ..., (\mathbf p_{m}{'}, \alpha_{m})| \hat {S}| (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ..., (\mathbf p_{n}, \sigma_{n})\rangle \qquad (5)$$,

де введений оператор $$\ \hat {S}$$ називається S-оператором. Відповідно до визначення $$\ (5)$$, він діє у просторі вільних станів. Закон перетворення S-матриці буде в даному випадку відповідати $$\ (4)$$ лише тоді, коли $$\ \hat {S}$$ є лоренц-інваріантним:

$$\ U(\Lambda, a)\hat {S}U^{-1}(\Lambda , a) = \hat {S}$$.

Можна встановити вигляд для $$\ \hat {S}$$-оператора. Відповідно до зв'язку $$\ in, out$$-станів із вільними станами,

$$\ | \Psi_{1}, in\rangle = \lim_{t \to -\infty}e^{i\hat {H}t}e^{-i\hat {H}_{0}t}| \Psi_{1} \rangle, \quad | \Psi_{2}, out\rangle = \lim_{t \to \infty}e^{i\hat {H}t}e^{-i\hat {H}_{0}t}| \Psi_{2} \rangle $$.

Пов'яжемо $$\ (3)$$, із $$\ (5)$$, підставивши у $$\ (3)$$ вираз $$\ (6)$$:

$$\ S_{(\mathbf p{'}_{1}, \sigma{'}_{1}),...,(\mathbf p{'}_{m}, \sigma{'}_{m}); (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}),...,(\mathbf p_{n}, \sigma_{n})} = \langle out, (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}),...,(\mathbf p_{n}, \sigma_{n})|(\mathbf p{'}_{1}, \sigma{'}_{1}),...,(\mathbf p{'}_{m}, \sigma{'}_{m}), in\rangle =$$

$$\ = \lim_{t \to -\infty, t' \to \infty}\langle (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}),...,(\mathbf p_{n}, \sigma_{n})|e^{i\hat {H}_{0}t'}e^{-i\hat {H}(t' - t)}e^{-i\hat {H}_{0}t}|(\mathbf p{'}_{1}, \sigma{'}_{1}),...,(\mathbf p{'}_{m}, \sigma{'}_{m})\rangle = $$

$$\ = \lim_{t \to -\infty, t' \to \infty}\langle (\mathbf p_{1}, \sigma_{1}),...,(\mathbf p_{n}, \sigma_{n})|\hat {S}(t, t')|(\mathbf p{'}_{1}, \sigma{'}_{1}),...,(\mathbf p{'}_{m}, \sigma{'}_{m})\rangle \qquad (7)$$.

Ряд Дайсона
Вираз $$\ (7)$$ дозволяє отримати явний вигляд для оператора $$\ \hat {S}$$: дійсно, переписавши рівняння (поки що, чисто формально, без граничного переходу)

$$\ \hat {S} = e^{i\hat {H}_{0}t'}e^{-i\hat {H}(t' - t)}e^{-i\hat {H}_{0}t}$$

у вигляді диференціального рівняння

$$\ i \frac{\partial \hat {S}(t, t')}{\partial t'} = \hat {U}_{I} \hat {S}(t, t'), \quad \hat {U}_{I} = e^{i\hat {H}_{0}t'}(\hat {H} - \hat {H}_{0})e^{-i\hat {H}_{0}t'}, \quad \hat {S}(t, t) = \hat {I}$$.

Тут $$\ \hat {I}$$ - тотожний оператор, а індекс $$\ I$$ позначає представлення взаємодії.

Це рівняння можна переписати у вигляді інтегрального:

$$\ \hat {S}(t', t) = \hat {I} - i\int \limits_{t}^{t'}\hat {U}_{I}(\tau )\hat {S}(\tau , t)d \tau \qquad (8)$$.

Ітеруючи його (підставляючи у підінтегральний вираз $$\ \hat {S}(\tau, t)$$ сам вираз $$\ (8)$$ і роблячи так до нескінченності), можна отримати ряд

$$\ \hat {S}(t', t) = \sum_{n = 0}^{\infty}(-i)^{n}\int \limits_{t}^{t'}dt_{1}...\int \limits_{t}^{t_{n - 1}}dt_{n} \hat {U}_{I}(t_{1})...\hat {U}_{I}(t_{n})$$,

і, взявши ліміти $$\ t \to -\infty, t' \to \infty$$,

$$\ \hat {S} = \sum_{n = 0}^{\infty}(-i)^{n}\int \limits_{-\infty}^{\infty}dt_{1}...\int \limits_{-\infty}^{t_{n - 1}}dt_{n} \hat {U}_{I}(t_{1})...\hat {U}_{I}(t_{n}) \qquad (9)$$.

Всі інтеграли можна симетризувати, зробивши так, щоб у кожного область інтегрування була однаковою. Для цього варто помітити, що у $$\ (9)$$ оператори стоять у хронологічній послідовності. Тоді цей вираз можна записати як

$$\ \hat {S} = \sum_{n = 0}^{\infty}(-i)^{n}\int \limits_{-\infty}^{\infty}dt_{1}...\int \limits_{-\infty}^{\infty}dt_{n}\theta(t_{1} - t_{2})...\theta (t_{n - 1} - t_{n}) \hat {U}_{I}(t_{1})...\hat {U}_{I}(t_{n}) \qquad (10)$$.

Тепер треба врахувати, що залежність $$\ V_{I}(t_{i})$$ однакова для всіх $$\ t_{i}$$. Тому можна зробити заміни $$\ t_{i} \to t_{\alpha_{i}} $$, і від цього нічого не зміниться. Кількість незалежних замін при цьому відповідна кількості перестановок $$\ t_{i}$$, яких є $$\ n!$$. Тому $$\ (10)$$ можна переписати як

$$\ \hat {S} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}(-i)^{n}\int \limits_{-\infty}^{\infty}dt_{1}...\int \limits_{-\infty}^{\infty}dt_{n}\sum_{\alpha_{i}}\theta(t_{\alpha_{1}} - t_{\alpha_{2}})...\theta (t_{\alpha_{n - 1}} - t_{\alpha_{n}}) \hat {U}_{I}(t_{\alpha_{1}})...\hat {U}_{I}(t_{\alpha_{n}}) = $$

$$\ \hat{N}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!}(-i)^{n}\int \limits_{-\infty}^{\infty}dt_{1}...\int \limits_{-\infty}^{\infty}dt_{n}\hat {U}_{I}(t_{\alpha_{1}})...\hat {U}_{I}(t_{\alpha_{n}})$$,

де $$\ \hat{N}(A(t_{1})B(t_{2})) = \theta (t_{1} - t_{2})A(t_{1})B(t_{2}) \pm \theta (t_{2} - t_{1})B(t_{2})A(t_{1})$$ - оператор хронологічного впорядкування (знак при другому доданку визначається тим, відповідно бозонний чи ферміонний тип операторів).

Ряд називається рядом Дайсона. Окрім того, тут вгадується вираз для експоненти, і можна записати остаточний формальний вигляд розв'язку для S-оператору:

$$\ \hat {S} = \hat {N}e^{-i\int \limits_{-\infty}^{\infty}\hat {U}_{I}(t)dt} \qquad (11)$$.

Умови лоренц-інваріантності S-оператора
При введенні густини оператору взаємодії $$\ \hat {U}_{I}(t) = \int \hat {V}_{I}(\mathbf r)d^{3}\mathbf r$$, вираз $$\ (11)$$ записується у майже явно лоренц-інваріантному вигляді:

$$\ \hat {S} = \hat {N}e^{-i\int \limits_{-\infty}^{\infty}\hat {V}_{I}(x)d^{4}x}$$.

Дійсно, густина гамільтоніану є ермітовим Пуанкаре-скаляром,

$$\ U(\Lambda, a) \hat {V}_{I}(x)U^{-1}(\Lambda , a) = \hat {V}_{I}(\Lambda x + a), \quad \hat {V}_{I}^{\dagger} = \hat {V}_{I}$$,

тому кожен член ряду Дайсона є лоренц-інваріантним, за виключенням операції хронологічного впорядкування. Тепер залишається лише зробити його остаточно лоренц-інваріантним. Для цього треба зробити лоренц-інваріантною операцію хронологічного упорядкування. Лоренц-інваріантність операції хронологічного упорядкування можлива лише тоді, коли точки $$\ x_{i}$$ у кожному члені ряду Дайсона розділені попарно часоподібним або світлоподібним інтервалом. Дійсно, якщо інтервал часоподібний, то

$$\ ds^{2} = dt^{2} - d\mathbf r^{2} = inv > 0$$.

Події між двома точками цього інтервалу можуть бути причинно пов'язаними. При цьому можна знайти ІСВ, де $$\ d\mathbf r = 0$$, але $$\ dt^{2}$$ ніколи не буде нулем. В силу ж принципу причинності, якщо в одній ІСВ $$\ t_{2} - t_{1} \geqslant 0$$ для часоподібного інтервалу, то так буде в будь-якій іншій ІСВ. Аналогічні міркування можна використати для світлоподібного інтервалу.

Якщо ж інтервал простороподібний,

$$\ ds^{2} = dt^{2} - d\mathbf r^{2} = inv < 0$$,

то можна знайти ІСВ, де $$\ dt^{2} = 0$$. Більше того, події у двох точках не можуть бути пов'язані причинно, тому можливі "перетворення" $$\ t_{2} - t_{1} > 0 \to t_{2}{'} - t_{1}{'} < 0$$. Це означає, що для того, щоб $$\ S$$-оператор був лоренц-інваріантним, треба щоб для простороподібних інтервалів виконувалась рівність

$$\ [\hat {V}_{I}(x), \hat {V}_{I}(y)] = 0, \quad (x - y)^{2} < 0 \qquad (12)$$,

оскільки тоді дія оператору впорядкування для відповідних гамільтоніанів зводиться до дії лоренц-інваріантного тотожного оператора.

Умова $$\ (12)$$, до речі, може бути отримана і з умови виконання принципу причинності. Ці дві умови, принцип причинності та лоренц-коваріантність S-матриці, є до деякої міри незалежними.

Оптична теорема
Маючи на увазі, що кінцевий стан може співпадати із початковим, довільний елемент S-матриці можна записати як

$$\ S_{\beta \alpha} = \delta (\beta - \alpha ) - 2 \pi i\delta (p_{\beta} - p_{\alpha})M_{\beta \alpha}$$.

З урахуванням цього умову унітарності $$\ S^{\dagger}_{\gamma \beta}S_{\beta \alpha} = \delta (\beta - \alpha )$$ можна записати як

$$\ \delta (\gamma - \alpha ) = \int d\beta S_{\beta \gamma}^{*}S_{\beta \alpha} = \delta (\gamma - \alpha ) - 2 \pi i\delta (p_{\gamma} - p_{\alpha})M_{\gamma \alpha} + 2 \pi i \delta (p_{\gamma} - p_{\alpha})M^{*}_{\alpha \gamma} + 4 \pi^{2} \int d\beta \delta (p_{\gamma} - p_{\alpha})\delta (p_{\beta} - p_{\alpha})M_{\beta \gamma}^{*}M_{\beta \alpha}$$,

звідки $$\ i(M_{\alpha \gamma}^{*} - M_{\gamma \alpha}) = 2 \pi \int d\beta \delta (p_{\beta} - p_{\alpha})M_{\beta \gamma}^{*}M_{\beta \alpha}$$.

Якщо ж $$\ \alpha = \gamma$$, то маємо

$$\ Im M_{\alpha \alpha} = - \pi \int d\beta \delta (p_{\beta} - p_{\alpha})|M_{\beta \alpha}|^{2}$$.

Забігаючи дещо наперед і вводячи ймовірність переходу за одиницю часу як

$$\ d\Gamma_{\alpha \to \beta} = \frac{dP_{\alpha \to \beta}}{T} = (2 \pi )^{3N_{\alpha} - 2}V^{1 - N_{\alpha}}|M_{\beta \alpha}|^{2}\delta (p_{\beta} - p_{\alpha})d\beta $$,

цей вираз можна переписати як

$$\ \Gamma_{\alpha} = \int d\beta \frac{d \Gamma_{\alpha \to \beta}}{d \beta} = -\frac{1}{\pi}(2 \pi )^{3N_{\alpha} - 2}V^{1 - N_{\alpha}}Im(M_{\alpha \alpha})$$,

де $$\ \Gamma_{\alpha}$$ - ймовірність усіх процесів, що відбуваютьcя в об'ємі $$\ V$$ початковим станом $$\ \alpha$$.

Вводячи поняття перерізу розсіяння (знову забігаючи наперед у той же розділ), обираючи пружні двочастинкові розсіяння і перепозначаючи амплітуду (у СЦМ) як $$\ M_{\alpha \beta} \to - \frac{4 \pi^{2}}{E}\sqrt{\frac{k{'}E_{1}'E_{2}'E_{1}E_{2}}{k}}M_{\beta \alpha} = f_{\beta \alpha}$$, можна записати останній вираз як

$$\ Im (f_{\alpha \to \alpha}) = \frac{k}{4 \pi }\sigma_{\alpha}$$.

Цей результат носить назву оптичної теореми.

Теорема Больцмана про зростання ентропії
Використовуючи "ще одну" умову унітарності $$\ S_{\alpha \beta} S^{\dagger}_{\beta \gamma} = \delta (\alpha - \gamma )$$, аналогічно до попереднього розділу можна отримати

$$\ Im (M_{\alpha \alpha }) = - \pi \int d \beta \delta (p_{\beta} - p_{\alpha} )|M_{\alpha \beta}|^{2}$$.

Об'єднуючи цю рівність із аналогічним результатом попереднього підрозділу, можна отримати

$$\ \int d \beta \delta (p_{\beta} - p_{\alpha} )|M_{\alpha \beta}|^{2} = \int d \beta \delta (p_{\beta} - p_{\alpha} )|M_{\beta \alpha}|^{2}$$,

або ж, знову вводячи $$\ \Gamma_{\alpha \to \beta}$$,

$$\ \int d \beta c_{\alpha}\frac{d \Gamma_{\alpha \to \beta}}{d \beta} = \int d \beta c_{\beta}\frac{d \Gamma_{\beta \to \alpha}}{d \alpha}, \quad c_{\gamma} =\left(\frac{V}{(2 \pi )^{3}}\right)^{N_{\gamma}}$$.

Це можна використати для отримання теореми Больцмана. Нехай $$\ P_{\alpha}d\alpha $$ - ймовірність знайти систему у об'ємі $$\ d\alpha $$ простору многочастинкових станів $$\ \Phi_{\alpha}$$. Тоді швидкість зменшення $$\ P_{\alpha}$$ за рахунок переходу у інші стани дорівнює $$\ P_{\alpha} \int d\beta \frac{d \Gamma_{\alpha \to \beta}}{d \beta}$$, а швидкість його збільшення за рахунок переходів із ішних станів рівна $$\ \int d \beta P_{\beta} \frac{d\Gamma_{\beta \to \alpha }}{d \alpha}$$. Тоді повна швидкість зміни дорівнює

$$\ \frac{dP_{\alpha}}{dt} = \int d \beta P_{\beta} \frac{d\Gamma_{\beta \to \alpha }}{d \alpha} - P_{\alpha} \int d\beta \frac{d \Gamma_{\alpha \to \beta}}{d \beta}$$.

Використовуючи цей вираз, можна якісно оцінити швидкість зростання ентропії $$\ - \int d\alpha P_{\alpha}ln\left(\frac{P_{\alpha}}{c_{\alpha}} \right)$$:

$$\ -\frac{d}{dt}\int d\alpha P_{\alpha}ln\left(\frac{P_{\alpha}}{c_{\alpha}} \right) = -\int d\alpha \int d \beta ln\left( \frac{P_{\alpha}}{c_{\alpha}} + 1\right)\left( P_{\beta}\frac{d\Gamma_{\beta \to \alpha }}{d \alpha} - P_{\alpha} \frac{d \Gamma_{\alpha \to \beta}}{d \beta}\right) = \int d \alpha \int d \beta ln \left( \frac{P_{\beta}c_{\alpha}}{P_{\alpha} c_{\beta}}\right)\frac{d\Gamma_{\beta \to \alpha}}{d \alpha}$$,

де остання рівність отримана завдяки перейменуванню змінних у останньому доданку.

Використовуючи нерівність $$\ y ln \left( \frac{y}{x} \right) \geqslant y - x$$, можна з останнього виразу отримати

$$\ -\frac{d}{dt}\int d\alpha P_{\alpha}ln\left(\frac{P_{\alpha}}{c_{\alpha}} \right) \geqslant \int d \alpha  \int d \beta c_{\beta}\left( \frac{P_{\beta}}{c_{\beta}} - \frac{P_{\alpha}}{c_{\alpha}}\right)\frac{d\Gamma_{\beta \to \alpha}}{d \alpha} = \int d\alpha d \beta \frac{P_{\beta}}{c_{\beta}} \left( c_{\beta}\frac{d\Gamma_{\beta \to \alpha}}{d \alpha} - c_{\alpha}\frac{d\Gamma_{\alpha \to \beta}}{d \beta}\right) = 0$$,

де знову при переході до останньої рівності перейменовані німі змінні і використана рівність з початкового розділу.

Отже, ентропія не зменшується.

Недовизначеність хронологічного впорядкування. Квазілокальні оператори
В силу визначення оператора хронологічного впорядкування стає очевидним його недоозначеність для співпадаючих часових аргументів полів: дійсно, для найпростішого випадку двох аргументів

$$\ \hat {N}(\hat {L}(x)\hat {L}(y)) = \theta (t_{x} - t_{y})\hat {L}(x)\hat {L}(y) + \theta (t_{y} - t_{x})\hat {L}(y)\hat {L}(x) \qquad (13)$$,

і при $$\ x = y$$ маємо невизначеність впорядкування внаслідок (анти)комутації полів всередині лагранжіанів на дельта-функцію. В той же час, при початковому виведенні виразу для $$\ S$$-оператора такі нескінченності не виникали. У результаті, коректним виразом для S-оператора порядку 2 є не вираз $$\ S_{2} = \frac{1}{2}i^{2}\int d^{4}x d^{4}y \hat {N}(\hat {L}(x)\hat {L}(y)) $$, а модифікований вираз

$$\ S_{2} = \frac{1}{2}i^{2}\int d^{4}x d^{4}y \hat {N}(\hat {L}(x)\hat {L}(y)) - i\hat {\Lambda}_{2}(x, y) )$$,

де $$\ i\hat {\Lambda}_{2}(x, y)$$ - так званий квазілокальний оператор, який рівний нулю з всіх значень аргументів, окрім як за значення $$\ x = y$$. З умови унітарності S-оператора слідує, що $$\ \hat {\Lambda}(x, y)^{\dagger} = \hat {\Lambda}_{2}(x, y)$$.

Узагальнюючи цю процедуру доозначення хронологічного впорядкування, можна отримати вираз для загального вигляду S-оператора порядку $$\ n$$:

$$\ S_{n} = \frac{1}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}\left( (-i)^{n}\hat {N}(\hat {L}(x_{1})...\hat {L}(x_{n})) + \prod_{N}\left( \hat {L}(x), \hat {\Lambda}_{1}, \hat {\Lambda}_{2},...,\hat {\Lambda}_{n - 1}\right) + \hat {\Lambda}(x_{1},...,x_{n})\right) \qquad (14)$$,

де символ $$\ \prod_{N}$$ означає суму по всім можливим комбінаціям добутків часових впорядкувань. Отже, для однозначного задання $$\ S$$-оператора треба задати набір квазілокальних операторів $$\ \hat {\Lambda}_{i}$$. Вираз $$\ (14)$$ для довільного порядку при цьому можна згорнути у експоненту за формулою

$$\ \hat {S} = \hat {N}e^{-i \int d^{4}x\left(\hat {L}(x)g(x) + \sum_{\nu \geqslant 1}\frac{1}{(\nu + 1)!}\int \hat {\Lambda}_{\nu + 1}(x, x_{1},...x_{\nu})g(x)g(x_{1})...g(x_{\nu})dx_{1}...dx_{\nu} \right)}$$,

і $$\ (14)$$ тоді отримується як член розкладу в ряд по $$\ g$$. Можна покласти у цьому виразі $$\ g = 1$$, отримавши при цьому S-оператор.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Невеликий відступ про константи взаємодії
Відповідно до ідеї теорії розсіяння, розклад розв'язку проводиться по константам взаємодії, яким пропорційний гамільтоніан (лагранжіан) взаємодії. Відповідно до цього, цікаво розглянути залежність збіжності ряду теорії збурень від цієї константи.

Як відомо, дія у одиницях $$\ \hbar = c = 1$$ є безрозмірною. Вона рівна $$\ S = \int L d^{4}x$$ (у нашому ряді теорії збурень $$\ L = L_{I}$$). Оскільки розмірність кожної з координат простору часу однакова і складає $$\ l$$, то розмірність лагранжіану - $$\ l^{-4}$$. Лагранжіан вільних теорій полів спінів $$\ 0, 1, \frac{1}{2}$$ квадратичний по полям та лінійний чи квадратичний по похідним, тому канонічні розмірності полів (розмірності полів за умови, що перед кінетичним членом стоїть безрозмірний множник) - це або $$\ l^{-1}$$, або $$\ l^{-\frac{3}{2}}$$. Лагранжіани взаємодії можуть бути, в принципі, будь-якими. Наприклад, для випадку взаємодії електромагнітного поля з ферміонами виходить так, що $$\ L_{I} = \alpha J^{\mu}A_{\mu}$$, де $$\ [J^{\mu}] = l^{-3}, [A_{\mu}] = \frac{1}{l}, [\alpha ] = 1$$. Для випадку скалярного поля

$$\ L_{I} = \alpha J_{\mu}A^{\mu} + \beta A^{\mu}A_{\mu}\varphi^{*}\varphi $$, і тут $$\ [\alpha ] = l^{-2}, [\beta] = 1$$.

Іноді люди вимушені придумувати деякі інші види взаємодії, які мають ті чи інші властивості. Наприклад, можна розглянути різні взаємодії для скалярного поля виду

$$\ L_{I} = g \varphi^{4 + k}$$.

Розмірність константи $$\ g$$ тут складає $$\ l^{k}$$.

Нехай тепер є задача теорії збурень. Розв'язок треба проводити в ряд за безрозмірною величиною, оскільки вона не залежить від умов. Якщо у випадку із калібрувально-інваріантною теорією Дірака проблем не виникало в силу того, що константа взаємодії одразу є інваріантною, то, наприклад, у останньому випадку таку безрозмірну константу треба ще сконструювати. Для цього треба утворити добуток величини $$\ g$$ та деякої іншої величини, що має розмірність $$\ l^{-k}$$. Такою величиною є $$\ m^{k}$$ (у загальному випадку - енергія), де $$\ m$$ - маса. Дійсно, розмірність маси відповідає розмірності енергії, а розмірність енергії в одиницях $$\ \hbar = c = 1$$ можна отримати із принципу невизначеності: $$\ [E] = l^{-1}$$. Таким чином, величина $$\ E^{k}g$$ є безрозмірною, і по ній можна розкладати в ряд. Нехай $$\ k > 0$$. Тоді при рості енергії $$\ E$$ параметр $$\ (E^{k}g)^{n}$$ для $$\ n$$-того доданку ряду теорії збурень буде збільшуватись. Далі буде показано, що це відповідає розбіжності кожного доданку теорії збурень. Якщо ж $$\ k < 0$$, то параметр розкладу буде зменшуватись при рості енергії.

Окрім того, варто сказати, що весь вищенаведений опис вівся на мові класичної теорії поля. А саме, вважається, що розмірність взаємодіючих полів та об'єктів, побудованих із них (наприклад, функцій гріна) є такою ж самою, як і розмірність полів та об'єктів, побудованих із них, за умови відсутності взаємодії. Виявляється, що через нескінченності у квантовій теорії поля це не так; формально це проявляється у явному порушенні масштабної інваріантності, яка є на класичному рівні, на квантовому рівні.