Перетворення Лоренца для швидкості. Завершення виведення кінематики СТВ

Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца".

Перетворення Лоренца для швидкості
Якщо продиференціювати вирази $$\ (.9)$$ та розділити перший вираз на останній, можна отримати

$$\ \frac{dx'}{dt'} = v'_{x} = \frac{ (\frac{dx}{dt} - \frac{dt}{dt}u)\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{(\frac{dx}{dt}\frac{u}{c^{2}} - \frac{dt}{dt})\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \frac{u - v_{x}}{1 - \frac{uv_{x}}{c^{2}}} \qquad (.11)$$,

$$\ \frac{dy',z'}{dt'} = v'_{y,z} = \frac{ \frac{dy,z}{dt} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{\frac{dt}{dt} - \frac{dx}{dt} \frac{u}{c^{2}}} = \frac{v_{y,z}\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}{1 - \frac{v_{x}u}{c^{2}}} \qquad (.11)$$,

що є перетвореннями Лоренца для компонент швидкості.

Якщо продиференціювати вирази $$\ (.10)$$ та розділити другий вираз на перший, можна отримати

$$ \mathbf v' = \frac{\mathbf v + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u}{\gamma (1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}})} \qquad (.12)$$,

що є перетвореннями Лоренца для вектора швидкості.

Варто зазначити, що з $$\ (.11)$$ напряму слідує інваріантність швидкості, що рівна $$\ c$$, відносно будь-якої ІСВ. І це вже є не аксіома, а "теорема" у рамках виведення СТВ.

Принцип причинності та завершення виведення кінематики СТВ
Наступна, остання, аксіома - принцип причинності [4], який накладає умови на максимальність швидкості розповсюдження взаємодії. Нехай подія, що відбулася в т. $$\ x_{2}$$, є наслідком події, що відбулася в т. $$\ x_{1}$$, швидкість розповсюдження взаємодії даної події є $$\ U$$. Тоді, в ІСВ K,

$$\ \frac{x_{2} - x_{1}}{U} = t_{2} - t_{1} \Rightarrow x_{2} - x_{1} = (t_{2} - t_{1})U \qquad (.17)$$.

Якщо ж записати для ІСВ К' $$\ (.9)$$, то, з урахуванням принципа причинності, можна буде отримати:

$$\ t_{2}' - t_{1}' = \frac{t_{2} - t_{1} - \frac{u}{c^{2}}(x_{2} - x_{1})}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = | (.17) | = \frac{(t_{2} - t_{1})(1 - \frac{uU}{c^{2}})}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \geqslant 0 \Rightarrow 1 - \frac{uU}{c^{2}} \geqslant 0 \Rightarrow U \leqslant c $$,

з чого видно, що швидкість $$\ c$$ є максимальною швидкістю розповсюдження взаємодії ($$\ u < c$$, оскільки інакше перетворення Лоренца були б комплексними).

Залишається лише припустити, що величина $$\ c$$ чисельно рівна швидкості світла у вакуумі (підстави вибрати за цю константу саме швидкість світла у вакуумі були отримані, в основному, через теорію Максвелла та досліди Майкельсона-Морлі).

Якщо ж додати принцип абсолютності одночасності подій відносно різних ІСВ, можна буде отримати класичні перетворення Галілея:

$$\ \Delta t = 0 \Rightarrow \Delta t' = \frac{\Delta t - \frac{\Delta x u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \Delta t = 0 \Rightarrow c = \infty \Rightarrow x' = x - ut$$,

а отже, якщо класична механіка сформульована без протиріч, то релятивістська - також, оскільки вони базуються на однаковому наборі аксіом.