Калібрувально-інваріантне квантування калібрувальних теорій

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Квантування калібрувальних теорій за допомогою континуального інтегралу. Духи Фаддєєва-Попова
Стоїть питання такого квантування (і отримання правил Фейнмана) неабелевої калібрувальної теорії, щоб воно було калібрувально-інваріантним. Для цього зручно використати метод континуального інтегралу.

Отже, розглянемо інтеграл

$$\ \int DB \Phi [B]$$,

де $$\ \Phi [B]$$ - будь-який калібрувально-інваріантний об'єкт (наприклад, стандартна експонента від дії Янга-Міллса). В силу калібрувальної інваріантності весь вираз $$\ \int DB \Phi [B]$$ не дуже добре визначений, оскільки доводиться інтегрувати по полям, що зв'язані калібрувальним перетворенням, а це означаю появу нескінченної кількості "зайвих" інтегрувань. Стоїть задача позбутися цих інтегрувань, залишивши при цьому інтеграл калібрувально-інваріантним.

Нагадаю, по-перше, основні властивості калібрувальних полів і об'єктів, побудованих за допомогою цих полів, при перетвореннях:

$$\ \mathbf {B}_{\mu}{'} \approx \frac{1}{g}t_{a}\left( B_{\mu}^{a} + gf_{c}(B_{\mu})_{b}c^{bca} + \partial_{\mu}f^{a}\right), \quad \mathbf {F}_{\mu \nu}{'} \approx \frac{1}{g}t^{a}((F_{\mu \nu})_{a} + g f_{abc}F_{\mu \nu}^{b}f^{c}), \quad D_{\mu}{'}\Psi {'} \approx (1 + f^{b}t_{b})\Psi \qquad (1)$$.

Перепозначивши калібрувальні перетворення через $$\ U \approx 1 + ig f_{a}t^{a}$$, можна отримати з $$\ (1)$$

$$\ \mathbf {B}_{\mu}{'} \approx t_{a}\left( B_{\mu}^{a} + gf_{c}(B_{\mu})_{b}c^{bca} + \partial_{\mu}f^{a}\right), \quad \mathbf {F}_{\mu \nu}{'} \approx t^{a}((F_{\mu \nu})_{a} + g f_{abc}F_{\mu \nu}^{b}f^{c}), \quad D_{\mu}{'}\Psi {'} \approx (1 + gf^{b}t_{b})\Psi \qquad (2)$$. Розглянемо тепер формальне континуальне інтегрування по калібрувальним полям $$\ \int D B$$ (векторний індекс опускається для меншої громіздкості). Введемо також функцію, яка фіксує калібрування, $$\ f(B)$$. На поверхні калібрувального зв'язку вона рівна нулю. Якщо ввести деяке інше калібрувальне перетворення (із параметром $$\ \omega $$), $$\ B \to B^{\omega }$$, то ця умова (рівність нулю) порушується. Зробимо наступне формальне перетворення, використавши властивості континуального інтегрування:

$$\ \int DB = \left|\int DA \delta (A) = 1\right| = \int DB \delta \left(f(B^{\omega})\right) Df(B^{\omega}) = \left| \int DA f(A) = \int DC det\left(\frac{\delta A (x)}{\delta C (y)}\right) \right| = \int DB D\omega det\left(\frac{\delta f(B^{\omega}(x))}{\delta \omega (y)}\right)\delta \left(f(B^{\omega})\right) = $$

$$\ = \left|\Delta_{f}[B] = det \left(\frac{\delta f(B^{\omega}(x)) }{\delta \omega (y)}\right)_{f = 0} \right| = \int D\omega \int DB\delta \left(f(B^{\omega}) \right)\Delta_{f}[B] \tilde {=} \int DB \delta \left( f(B)\right) \Delta_{f}[B] \qquad (3)$$.

У цій рівності треба пояснити останній перехід.

Введений оператор $$\ \Delta_{f}[B]$$ - калібрувально-інваріантний і визначається лише виглядом $$\ f$$. Це зручно показати, якщо переписати його обернений оператор $$\ \Delta^{-1}_{f}[B] = \int D\omega \delta (f(B^{\omega}))$$ (цей вигляд слідує із самого введення $$\ \Delta_{f}[B]$$ у $$\ (3)$$) у неінфінітезимальному вигляді, $$\ \Delta^{-1}_{f}[B] = \int DU \delta (f(B^{U})) $$, здійснити калібрувальне перетворення, $$\ B^{U} \to B^{U{'}U}$$, і перейти в інтегралі $$\ \Delta^{-1}_{f}[B]$$ до нової змінної інтегрування $$\ U{''} = U{'}U$$:

$$\ \Delta^{-1}_{f}[B^{U{'}}] = \int DU \delta (f(B^{U{'}U})) = \left| |U{'}| = 1\right| = \int DU{} \delta \left( f(B^{U{}} )\right) = \Delta^{-1}_{f}[B] $$.

Оскільки перетворення $$\ (2)$$ поля $$\ B$$ являється лише зсувом і унітарним поворотом, то міра інтегрування $$\ \int DB = \prod_{a, \mu}\int DB^{a}_{\mu}$$ являється інваріантною по відношенню до калібрувальних перетворень. Це все разом означає, що перед останнім знаком рівності можна здійснити калібрувальне перетворення $$\ B^{\omega} \to B$$, у результаті чого інтеграл $$\ \int D \omega $$ дасть (нескінченний) множник, який можна "опустити".

У результаті стає справедливою наступна формула:

$$\ \int DB \Phi [B] = \int DB\delta (f(B))\Delta_{f}[B] \Phi [B] \qquad (4)$$,

де $$\ \Phi [B]$$ - будь-який калібрувально-інваріантний об'єкт. Зайві поля виключаються калібрувальною умовою (довільною) $$\ f(B) = 0$$. Платою за це є поява $$\ \Delta_{f}[B]$$. Увесь інтеграл як ціле, звісно, не залежить від $$\ f$$, що слідує із $$\ (3)$$.

Перепишемо тепер $$\ \Delta_{f}[B]$$ через континуальний інтеграл на поверхні зв'язків $$\ f(B) = 0$$. Детермінанти можна переписати через грассмановий континуальний інтеграл (див. вираз $$\ (7)$$) по деяким ферміонним полям $$\ \bar{c}, c$$:

$$\ \Delta_{f}[B](x, y) = \int d\bar{c}dc e^{-i \int d^{4}xd^{4}y \bar{c}(x) \left(\frac{\delta f(B^{\omega}(x)) }{\delta \omega (y)}\right)_{f = 0} c(y)} \qquad (5)$$.

Отже, усі пророблені викладки, що знімають зайві інтегрування, призводять до модифікації початкового лагранжіану виразом $$\ L_{gh}(x) = -\int d^{4}y \bar{c}(x) \left(\frac{\delta f(B^{\omega}(x)) }{\delta \omega (y)}\right)_{f = 0} c(y) $$, який називається лагранжіаном духів Фаддєєва-Попова (або гостів Фаддєєва-Попова).

Оберемо найстандартніше калібрування: $$\ f(B) = \partial_{\mu}B_{a}^{\mu}$$. Тоді

$$\ f(B^{\omega}) = \partial_{\mu}\left(B^{\mu}_{a} + \partial^{\mu}\omega^{a} + gc^{abc}B^{\mu}_{b}\omega_{c} \right) = \partial^{2} \omega^{a} + g c^{abc}B^{\mu}_{b}\partial_{\mu}\omega_{c} = M^{ab}\omega_{b}$$,

де було враховано, що $$\ \partial_{\mu}B_{a}^{\mu} = 0$$ на поверхні зв'язків, і введено тензор $$\ M^{ab} = \delta^{ab}\partial^{2} + gc^{acb}B^{\mu}_{c}\partial_{\mu}$$. Відповідно до цього,

$$\ \Delta_{f}[B] = \int D\bar{c}Dc e^{-i \int d^{4}xd^{4}y\bar{c}^{a}(x)M_{ab}(x) \delta (x - y) c^{b}(y)} = \int D\bar{c}Dc e^{-i \int d^{4}x\bar{c}^{a}M_{ab} c^{b}}$$.

Усі пророблені викладки являються еквівалентним до модифікації лагранжіану доданками

$$\ L_{gh.} = -\partial_{\mu}\bar{c}^{a}\partial^{\mu}c_{a} - gf^{acb}\partial_{\mu}(\bar{c}_{a}B^{\mu}_{c})c_{b}$$.

На цьому конкретному лагранжіані можна показати загальні риси гостів. Вони являються фіктивними частинками, оскільки введені лише в ході механізму калібрувально-інваріантного квантування теорії Янга-Міллса. У результаті вони можуть давати вклад лише як замкнуті петлі. Структура лагранжіану гостів визначається виглядом функції $$\ f$$. У даному випадку із вигляду лагранжіану можна зробити висновок, що пропагатор гостів $$\ \langle | \hat{N}\left( c^{a}\bar{c}^{b}\right)|\rangle $$ відповідає скалярному пропагатору із множником $$\ \delta^{ab}$$ (при цьому вони являються ферміонами, що відповідає неправильному зв'язку спіну із статистикою). Можна також зрозуміти, чому гости не можуть виникати у квантовій електродинаміці при використанні "звичайної" калібрувальної умови Лоренца: це пов'язано з тим, що група $$\ U(1)$$ є абелевою, тому усі структурні константи дорівнюють нулю. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Пропагатор у калібрувальних теоріях
У статті про континуальний інтеграл було показано, що для найпростіших теорій "вільний" пропагатор відповідає оберненню оператора лагранжіану теорії. На жаль, для випадку калібрувальних теорій отримати таким чином пропагатор неможливо, оскільки він є виродженим. Дійсно, для найпростішої калібрувальної теорії U(1) маємо

$$\ L = -\frac{1}{4}(\partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu})^{2} = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\nu}A^{\mu} - \partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu}) \tilde{=} \frac{1}{2}A_{\mu}K^{\mu \nu}A_{\nu}, \quad K^{\mu \nu} = g^{\mu \nu}\partial^{2} - \partial_{\mu}\partial_{\nu}$$

(тут на етапі останньої рівності виконане інтегрування по частинам для двох доданків лагранжіану).

Відповідно, у імпульсному представленні

$$\ K_{\mu \nu}(p) = -g_{\mu \nu}p^{2} + p_{\mu}p_{\nu}$$.

Звідси видно, що $$\ K$$ є необоротним; наприклад, $$\ p^{\mu}K_{\mu \nu} = 0$$, тобто оператор має нульові моди (які, звичайно, є наслідком калібрувальної симетрії лагранжіану).

Виявляється, для того, щоб мати можливість застосування континуального інтегрування до калібрувальних теорій, треба порушути у них калібрувальну інваріантність, причому зробити це так, щоб порушення не впливало на симетрію усієї теорії, порушуючи інваріантність лише окремо для $$\ n$$-точок. Це робиться включенням калібрувально-неінваріантного доданку $$\ \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}A_{\nu})^{2}$$. Модифікований лагранжіан тоді буде мати вигляд

$$\ L{'} = A_{\mu}K^{\mu \nu}{'}A_{\nu}, \quad K_{\mu \nu}{'}(p) = -g_{\mu \nu}p^{2} + \left( 1 - \frac{1}{\alpha}\right)p_{\mu}p_{\nu} \Rightarrow K_{\mu \nu}^{-1} = -\frac{g_{\mu \nu}p^{2} + (\alpha - 1)p_{\mu}p_{\nu}}{p^{4}}$$.

Абсолютно аналогічним чином модифікується і лагранжіан неабелевої калібрувальної теорії:

$$\ L{'} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} - \frac{1}{2 \alpha}(\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})^{2}$$.

Виявляється, дійсно, що така модифікація не порушує калібрувальну інваріантність усієї теорії у тому сенсі, що континуальний інтеграл із її введенням змінюється на фактор-множник (при цьому функції Гріна, звісно, від нього залежать). Довести це твердження можна за допомогою попереднього підрозділу. Для цього модифікуємо зв'язок із $$\ f(B) = \partial_{\mu}B_{a}^{\mu}$$ на $$\ f(B) = \partial_{\mu}B^{\mu}_{a} - b_{a}$$ (взагалі, виявляється, що можна використовувати будь-який калібрувальний зв'язок, тому загальність цих викладок не зменшується через фіксацію зв'язку). Відповідно до визначення $$\ \Delta_{f}[B]$$, це його не змінить. Сам інтеграл $$\ (4)$$, відповідно до його отримання, не залежить від $$\ f(B)$$, а отже, і від $$\ b$$. У результаті, якщо його додатково проінтегрувати по $$\ \int db e^{-\frac{i}{2 \alpha}b^{a}b_{a}}$$, це змінить його лише на множник-фактор, який скорочується при нормуванні. Тому є справедливими наступні викладки:

$$\ \int DB\Phi (B) = \int DB\delta (\partial_{\mu}B^{\mu}_{a} - b_{a})\Delta_{f}[B]\Phi(B) \sim \int DBDbe^{-\frac{i}{2\alpha}\int d^{4}xb^{a}b_{a}}\delta (\partial_{\mu}B^{\mu}_{a} - b_{a})\Delta_{f}[B]\Phi(B) = \int DBd\bar{c}d c \Phi (B) e^{i\int d^{4}x \left(L_{gh} - \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})^{2}\right)}$$.

Це доводить, що континуальні інтеграли $$\ (4)$$ не залежать від величини параметру $$\ \alpha$$. Якщо ж $$\ \alpha = 0$$, що відповідає звичайному лоренцевому калібруванню, з'являється дельта-функція $$\ \delta (\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})$$, яка може трактуватися як ліміт експоненти при $$\ \alpha \to 0$$.

Правила Фейнмана
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$