Одновимірні покомпонентні перетворення Лоренца для просторової та часової компонент

Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца".

Спеціальна теорія відносності може бути виведена як результат постулатів, які є досить загальними та враховують локальні властивості нашого простору-часу. Основними формулами СТВ є перетворення часу та компонент радіус-вектора при переході від однієї ІСВ до іншої. Стартуючи з них, можна отримати всю кінематику СТВ. У цьому розділі ці перетворення будуть виведені.

Нехай функції перетворень між результатами спостерігання деякої події у різних ІСВ $$\ K, K'$$ із відносною швидкістю $$ u = const$$ для одновимірного випадку задаються як

$$\ x' = f(x, u, t), \quad t' = g(x, u, t) \qquad (.0)$$.

Враховуючи те, що простір-час однорідний [1] (якісно - кожна точка пустого простору-часу нічим не відрізняється від інших точок), можна стверджувати, що всі геометричні співвідношення між геометричними об'єктами не змінюються в залежності від вибору точки початку координат ІСВ. Це означає, що функції $$\ (0)$$ будуть лінійними функціями своїх аргументів, причому коефіцієнти при аргументах будуть залежати лише від відносної швидкості ІСВ:

$$\ x' = Ax + Bt + const_{1}, \quad t' = Cx + Dt + const_{2} \qquad (.0.1)$$.

При нульовому значенні $$\ t, t'$$ виконується наступна умова:

$$\ t = t' = 0 \Rightarrow x = x' = 0$$,

тобто, при початку відліку часу початки координат ІСВ співпадають. Це означає рівність нулю констант у $$\ (.0.1)$$, причому загальність перетворень зменшена не буде (через однорідність простору-часу):

$$\ x' = Ax + Bt, \quad t' = Cx + Dt \qquad (.1)$$.

Тоді система $$\ K$$ буде рухатися відносно точки $$\ x' = 0 $$ зі зміною координати у $$\ x = ut$$, а точка $$\ x'$$ буде рухатися відносно системи $$\ x = 0$$ зі зміною координати у $$\ x' = -ut'$$. Якщо підставити дані значення у $$\ (.1)$$, можна знайти величини $$\ A, B, C, D$$:

$$ \begin{cases} 0 = Aut + Bt \Rightarrow B = -Au \qquad (.2) \\ t' = Cx + Dt \\ \end{cases} $$,

$$ \begin{cases} -ut' = Bt \Rightarrow B = -\frac{ut'}{t} = -uD \qquad (.3) \\ t' = Dt \Rightarrow \frac{t'}{t} = D \\ \end{cases} $$.

З $$\ (.2), (.3)$$ можна дійти висновку, що $$\ A = D$$. Можна ввести функції відносних швидкостей:

$$\ \gamma (u) = A, \quad \sigma (u) = - \frac{C}{D}$$.

Тоді $$\ (.1)$$ прийме вигляд:

$$ \begin{cases} x' = \gamma (u)[x - ut] \\ t' = \gamma (u)[t - \sigma (u)x] \\ \end{cases} \qquad (.4)$$.

Для визначення виду функцій треба ввести додаткову аксіоматику.

Нехай інерціальні системи відліку рівноправні [2]. Це означає, що перехід від $$\ K$$ до $$\ K'$$ у $$\ (4)$$ буде таким же, як і від $$\ K'$$ до $$\ K$$, і обернене перетворення буде відрізнятися від прямого з точністю до знака відносної швидкості $$\ u \to -u$$.

Спершу можна розглянути три ІСВ $$\ K_{1}, K_{2}, K_{3}$$, причому $$\ u_{K_2, K_1} = u_{1}, u_{K_3, K_2} = u_{2}$$. Послідовні перетворення від першої до другої та від другої до третьої ІСВ еквівалентні перетворенню від першої до третьої ІСВ, при цьому їх відносна швидкість буде дорівнювати деякій величині $$\ u_{3}$$. Тоді вираз $$\ (.4)$$ для перетворень між ІСВ прийме вигляд:

$$ \begin{cases} x_{2} = \gamma_{1}[x_{1} - u_{1}t_{1}] \\ t_{2} = \gamma_{1}[t_{1} - \sigma_{1}x_{1}] \\ \end{cases} $$,

$$ \begin{cases} x_{3} = \gamma_{2}[x_{2} - u_{2}t_{2}] = \gamma_{2}\left[\gamma_{1}(x_{1} - u_{1}t_{1}) - u_{2}\gamma_{1}(t_{1} - \sigma_{1}x_{1})\right] = \gamma_{1}\gamma_{2}\left[x_{1}(1 + u_{2} \sigma_{1}) - t_{1}(u_{1} + u_{2})\right] = \gamma_{3}[x_{1} - u_{3}t_{1}] \\ t_{3} = \gamma_{2}[t_{2} - \sigma_{2}x_{2}] = \gamma_{2}\left[\gamma_{1}(t_{1} - \sigma_{1} x_{1}) - \sigma_{2}\gamma_{1}(x_{1} - u_{1}t_{1})\right] = \gamma_{2} \gamma_{1}\left[t_{1}(1 + \sigma_{2} u_{1}) + x_{1}(\sigma_{1} + \sigma_{2})\right] = \gamma_{3} [t_{1} - \sigma_{3}x_{1}]\\ \end{cases} \qquad (.5)$$.

Тоді, якщо прирівняти у другому рівнянні $$\ (5)$$ $$\ \gamma_{3}$$ до $$\ \gamma_{2} \gamma_{1}[t_{1}(1 + \sigma_{2} u_{1})]$$ та у першому рівнянні $$\ \gamma_{3}$$ до $$\ \gamma_{1}\gamma_{2}[(1 + u_{2} \sigma_{1})]$$, то можна отримати, що

$$\ 1 + \sigma_{2} u_{1} = 1 + u_{2} \sigma_{1} \Rightarrow \frac{\sigma_{1}}{u_{1}} = \frac{\sigma_{2}}{u_{2}} = \alpha = const$$.

Відповідно до принципа рівноправності ІСВ, при оберненому переході перетворення $$\ (4)$$ не зміняться, за винятком зміни знаку відносної швидкості. Тоді можна записати, що

$$\ x = \gamma (-u) [x' + ut'] = \gamma(-u)[\gamma (u)(x - ut) + \gamma (u)(t - \sigma (u)x)u] = \gamma (-u) \gamma (u)x(1 - u \sigma(u)) = $$

$$\ = \gamma (-u)\gamma (u)x(1 - \alpha u^{2}) \Rightarrow \gamma (-u)\gamma (u) = \frac{1}{1 - \alpha u^{2}} \qquad (.6)$$.

Накінець, якщо ввести принцип ізотропії простору в ІСВ [3], то можна стверджувати, що при інверсіях системи координат $$\ ( x \to -x \Rightarrow x' \to -x', u \to -u )$$ перетворення $$\ (.4)$$ не змінять вигляду. Тоді

$$\ -x' = \gamma (-u)(-x + ut) \Rightarrow x' = \gamma (-u)(x - ut)$$,

з чого видно, що цей вираз перейде у $$\ (.4)$$ тільки за умови, що $$\ \gamma (u)$$ є парною функцією швидкості, тобто, справджується рівність $$\ \gamma (-u) = \gamma (u)$$. Тому, застосовуючи $$\ (.6)$$, можна буде отримати:

$$\ \gamma (u) = \frac{1}{\sqrt{1 - \alpha u^{2}}}$$.

Очевидно, що $$\ \alpha$$ буде мати розмірність квадрату швидкості в -1 степені, а от знак цієї константи можна отримати лише експериментально. Експеримент же показує, що знак цієї константи додатній (дешо детальніше про це - у розділі "Енергія та імпульс у СТВ"), а отже,

$$\ \gamma (u) = \sqrt{ \frac{1}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} }$$,

Тоді $$\ (.4)$$ приймуть вигляд

$$\ x' = \frac{x - ut}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t' = \frac{t - \frac{ux}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} \qquad (.7)$$,

тобто, вигляд одновимірних перетворень Лоренца для координат.