Експоненціальний закон

Повернутися до розділу "Теорія груп".

Нехай у просторі елементів групи задана деяка крива, параметризована деякою величиною $$\ t$$. Це означає, що з усіх елементів групи вибираються лише ті, які можуть бути пронумеровані значеннями $$\ t$$. Далі, для лінійних груп можна вибрати параметризації $$ t$$, які відповідають множині кривих, що покривають увесь простір групи та перетинаться при $$ t = 0$$, утримуючи тотожнє перетворення - одиничний елемент. Якщо ж розглядається добуток двох елементів лінійної групи, що лежать на одній кривій, причому один з них маркується як $$ t_{1}$$, а другий - як $$ t_{2}$$, то результуючий елемент також лежить на кривій та відповідає значенню $$ t_{2}$$ параметризації:

$$ \mathbf T (t_{1})\mathbf T (t_{2}) = \mathbf T (t_{1} + t_{2}) \qquad (.6)$$.

Нехай параметр $$\ t$$ є неперервним. Тоді наведену рівність можна продиференціювати по $$ t_{2}$$, поклавши його рівним нулю. Тоді $$ \left(\frac{\partial \mathbf T (t_{1} + t_{2})}{\partial t_{2}}\right)_{t_{2} = 0} = \frac{d\mathbf T (t_{1})}{dt_{1}}$$ і, приймаючи позначення $$ t_{1} = t$$, можна отримати

$$ \frac{d \mathbf T (t)}{dt} = \mathbf T (t)\frac{d \mathbf T}{dt}$$.

У околі $$\ t = 0$$ похідна матриці представлення $$ \mathbf T$$ по часу відповідає $$ c_{k}\mathbf X^{k}$$. Тоді

$$ \frac{d \mathbf T (t)}{dt} = c_{k}\mathbf T (t)\mathbf X^{k}$$.

Якщо взяти початкове рівняння та продиференціювати його по $$ t_{1}$$, поклавши при цьому $$ t_{1} = 0$$, то, аналогічно, у околі $$ t_{2} = t = 0 $$ буде справедлива рівність

$$ \frac{d \mathbf T (t)}{dt} = c_{k}\mathbf X^{k}\mathbf T (t) \qquad (.7)$$.

Наведені рівності означають, що $$ [\mathbf T (t), \mathbf X_{k}] = 0$$. Це означає, що розв'язок рівняння $$\ (.7)$$ в околі нуля може бути записаний у вигляді

$$ \mathbf T (t) = e^{\mathbf X^{k}c_{k}t}$$.

Дійсно, оскільки в силу того, що із $$ [\mathbf X, \mathbf Y] = \alpha$$ слідує $$ [f(\mathbf X), \mathbf Y ] = f ' (\mathbf X )\alpha$$, а комутатор $$ [c^{k}\mathbf X_{k}, c^{j}\mathbf X_{j}]$$ (використовується вираз для комутатора генераторів із попереднього підрозділу) рівен

$$ [c^{k}\mathbf X_{k}, c^{j}\mathbf X_{j}] = c^{k}c^{j}[\mathbf X_{k}, \mathbf X_{j}] = c^{k}c^{j}C_{kj}^{l}\mathbf X_{l} = 0$$

(в силу згортки антисиметричного "тензора" структурних констант та симетричного "тензора" $$ c^{k}c^{j}$$ локальних координат), то $$ [\mathbf T, c^{l}\mathbf X_{l}] = [e^{\mathbf X^{k}c_{k}t}, c^{l}\mathbf X_{l}] = 0$$. Тому якщо із $$\ (.6) $$ було б отримано, що $$ [\mathbf T, c^{l}\mathbf X_{l}] \neq 0$$, то розв'язок не можна було б представити у формі $$\ (.8)$$.

Завершуючи розділ, можна визначити зміст $$ c_{k}$$. Вони відповідають компонентам дотичного вектора до кривої $$\ t$$ групового простору, причому поблизу нуля. Вектор розкладений по базису $$\ \mathbf X^{k}$$. Сума $$ c_{k}c^{k}$$ завжди може бути ототожнена із одиницею за допомогою перемасштабування параметра $$\ t$$.