Коефіцієнтні функції для розв'язків релятивістських хвильових рівнянь

Повернутися до розділу "Поля довільного спіну".

Масивний випадок
У розділі про коефіцієнтні функції полів народження та знищення було встановлено, що якщо незвідне представлення спіну $$\ s$$ міститься у представленні $$\ T(\Lambda )$$ лише один раз, то коефіцієнтні функції $$\ u^{\sigma}_{A}(\mathbf p ) $$ і $$\ v_{A}^{\sigma}(\mathbf p )$$ полів народження та знищення пов'язані між собою як

$$\ u^{\sigma}_{A}(\mathbf p ) = (-1)^{s + \sigma}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p) \qquad (1)$$.

Треба розглянути застосовність цього результату для незвідних представлень спіну $$\ s$$ та маси $$\ m$$ групи Пуанкаре, що отримані як розв'язок відповідних хвильнових рівнянь (див. два попередні розділи).

У відповідному розділі була доведена теорема про представлення поля спіну $$\ s = \frac{n + m}{2}$$ та маси $$\ m$$ наступною системою рівнянь на поле $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$:

$$\ \left(\square + m^{2}\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} = 0 \qquad (2)$$,

$$\ \partial^{a \dot {a}}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = 0 \qquad (3)$$,

$$\ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} = \psi_{(a_{1}...a_{n})(\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m})} \qquad (4)$$.

При звуженні на підгрупу $$\ SO(3)$$ тривимірних поворотів це представлення розпадається у пряму суму представлень спінів $$\ s, s - 1, ... $$, причому кожне представлення входить у суму лише один раз. Це означає, що умови застосовності $$\ (1)$$ виконані, і розв'язок для поля $$\ (2)-(4)$$ можна подати у вигляді

$$\ \hat {\psi}_{A} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3} 2 p_{0}}}\left(k_{1}u_{A}^{\sigma} (\mathbf p )\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p ) e^{ipx} + (-1)^{s + \sigma}k_{2}u_{A}^{-\sigma} (\mathbf p )\hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p ) e^{-ipx} \right)$$.

Для поля цілого спіну $$\ s$$ рівняння $$\ (2)-(4)$$ можуть бути записані для представлення $$\ \left(\frac{s}{2}, \frac{s}{2}\right)$$, причому розглядати інші представлення відповідного спіну немає сенсу через існування оператора $$\ \Delta_{a}^{\ \dot {a}}$$, який пов'язує представлення однакового спіну одне із одним. Важливість вказаного представлення полягає у тому, що воно є незвідним представленням повної групи Лоренца, яка включає у себе також оператори просторової та часової інверсій.

У випадку ж зі спіном $$\ s +\frac{1}{2}$$ для забезпечення незвідності представлення відносно повної групи Лоренца доводиться розглядати пряму суму представлень $$\ \left( \frac{s + 1}{2}, \frac{s}{2} \right) \oplus \left( \frac{s }{2}, \frac{s + 1}{2} \right)$$. Незвідність такого представлення забезпечується рівняннями на поле $$\ \Psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \begin{pmatrix} \psi_{a,\mu_{1}...\mu_{n}} \\ \kappa^{\dot {a}}_{\ \mu_{1} ...\mu_{n}}\end{pmatrix}$$:

$$\ (i \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} \qquad (5)$$,

$$\ \Psi = \Psi_{(\mu_{1}...\mu_{n})}, \quad \partial^{\mu}\Psi_{\mu \mu_{1}...\mu_{n - 1}} = 0 \qquad (6)$$,

$$\ \gamma^{\mu}\Psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} = 0 \qquad (7)$$.

Нескладно, втім, бачити, що через наявність прямої суми представлень при звуженні групи Пуанкаре до групи $$\ SO(3)$$ воно розпадається на незвідні представлення спінів $$\ s + \frac{1}{2}, ..., \frac{1}{2}$$, причому кожне представлення входить до прямої суми двічі. Це означає, що результат $$\ (1)$$ не є застосовним. Проте поле $$\ \Psi_{\mu_{1}...\mu_{n}}$$ є прямою сумою незвідних представлень $$\ \left( \frac{s + 1}{2}, \frac{s}{2} \right), \left( \frac{s}{2}, \frac{s + 1}{2} \right)$$, для кожного з яких $$\ (1)$$ застосовний. Тому можна використати це, отримавши зв'язок між $$\ u_{A}^{\sigma}(\mathbf p), v_{A}^{\sigma} (\mathbf p )$$ для цього випадку. Згадуючи проекційні оператори $$\ \frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}$$ та діючи ними на поле

$$\ \hat {\Psi}_{\mu_{1}...\mu_{n}}$$, можна записати, що

$$\ (1 + \gamma_{5})u_{A}^{\sigma}(\mathbf p ) = C_{1}(-1)^{s + \sigma}(1 + \gamma_{5})v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p)$$,

$$\ (1 - \gamma_{5})u_{A}^{\sigma}(\mathbf p ) = C_{2}(-1)^{s + \sigma}(1 - \gamma_{5})v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p)$$.

Тут нормуючі множники $$\ C_{1}, C_{2}$$ наявні через те, що для вказаного представлення не можна просто перепозначити $$\ k_{1}, k_{2}$$, оскільки відносний множник "лівих" та "правих" компонент нашого представлення не буде тоді врахований.

Додаючи ці два рівняння, можна отримати

$$\ u_{A}^{\sigma}(\mathbf p ) = \frac{C_{1} + C_{2}}{2}(-1)^{s + \sigma}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p ) + \frac{C_{1} - C_{2}}{2}(-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p ) \qquad (8)$$.

Далі треба згадати, що функції $$\ u, v$$ як біспінорні хвилі задовольняють рівнянням

$$\ (\gamma_{\mu}p^{\mu} - m)u_{A}^{\sigma}(\mathbf p) = 0, \quad (\gamma_{\mu}p^{\mu} + m)v_{A}^{\sigma}(\mathbf p) = 0$$.

Використавши зв'язок $$\ (8)$$ для першого рівняння та (після підстановки зв'язку) друге рівняння, можна отримати

$$\ (-1)^{s + \sigma}(\gamma_{\mu}p^{\mu} - m)u_{A}^{\sigma}(\mathbf p) = \frac{C_{1} + C_{2}}{2}\gamma^{\mu}p_{\mu}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p) + \frac{C_{1} - C_{2}}{2}\gamma^{\mu}p_{\mu}\gamma_{5}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p) - m\left( \frac{C_{1} + C_{2}}{2}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p) + \frac{C_{1} - C_{2}}{2}\gamma_{5}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p)\right) = |[\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0| = $$

$$\ =-\frac{C_{1} + C_{2}}{2}mv_{A}^{-\sigma}(\mathbf p) + \frac{C_{1} - C_{2}}{2}m\gamma_{5}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p) - m\left( \frac{C_{1} + C_{2}}{2}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p) + \frac{C_{1} - C_{2}}{2}\gamma_{5}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p)\right) = 0$$.

Звідси слідує, що $$\ C_{1} = -C_{2}$$. Обравши $$\ C_{2} = -1$$, можна остаточно записати, що

$$\ u_{A}^{\sigma}(\mathbf p) = (-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}v_{A}^{-\sigma}(\mathbf p)$$.

В результаті, розв'язок для представлення $$\ (5)-(7)$$ можна подати у вигляді

$$\ \hat {\Psi}_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3}2 p_{0}}}\left(k_{1}u_{A}^{\sigma}(\mathbf p)\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p )e^{ipx} + k_{2}(-1)^{s + \sigma}\gamma_{5}u_{A}^{-\sigma}(\mathbf p)\hat {b}^{\dagger}(\mathbf p)e^{-ipx}\right)$$.

Безмасовий випадок
Оскільки у загальному випадку (без врахування можливих симетрій відносно інверсії) стан зі спіральністю $$\ \lambda $$ не пов'язаний із станом зі спіральністю $$\ -\lambda$$, то не можна записати поле, що народжує частинки зі спіральністю $$\ \lambda$$ та знищує частинки зі спіральністю $$\ -\lambda$$, а потім звичайним ермітовим спряженням перейти до поля, що знищує частинки зі спіральністю $$\ -\lambda $$ та знищує частинки зі спіральністю $$\ \lambda$$. У загальному випадку доведеться писати два поля: відповідно,

$$\ \hat {\Psi}^{(\lambda )}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}\left( k_{1}u^{-\lambda}(\mathbf p)e^{-ipx}\hat {a}_{-\lambda}(\mathbf p) + k_{2}v^{\lambda}(\mathbf p)e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (9)$$,

$$\ \hat {\Psi}^{(-\lambda )}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}\left( k_{3}U^{\lambda}(\mathbf p)e^{-ipx}\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p) + k_{4}V^{-\lambda}(\mathbf p)e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{-\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (10)$$.

Тепер треба співставити незвідне спінорне представлення $$\ \left( A, B\right)$$ групи Пуанкаре частинкам із даною спіральністю $$\ \lambda $$. Згідно із відповідним розділом, такі представлення реалізуються представленнями виду $$\ \left( s + \frac{\sigma}{2}, \frac{\sigma}{2}\right), \left( \sigma , s + \sigma\right), s = \lambda$$ для полів $$\ \hat {\Psi}^{(\lambda )}, \hat {\Psi}^{(-\lambda )}$$ відповідно, причому поля повинні задовольняти рівності (для поля $$\ \hat {\Psi}^{(-\lambda )}$$ - повністю аналогічно)

$$\ \partial^{\dot {c} c}\hat {\Psi}^{(\lambda )}_{ca_{1}...a_{2 s + \sigma - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{\sigma}} = 0, \quad \partial^{\dot {c}c}\Psi^{(\lambda )}_{a_{1}...a_{2s + \sigma}\dot c...\dot {b}_{\sigma - 1}} = 0 \qquad (3)$$.

Окрім того, із вже вказаного розділу слідує, що існує оператор зв'язку безмасових представлень $$\ \left( s, 0 \right), \left( s + \frac{1}{2} , \frac{1}{2}\right)$$ (для протилежної спіральності - аналогічно), тому доцільно надалі розглядати лише представлення виду $$\ \left( s, 0\right)$$. Відповідно до цього, вирази $$\ (9), (10)$$ набудуть вигляду

$$\ \hat {\Psi}^{(\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}\left( k_{1}u^{(-\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(\mathbf p)e^{-ipx}\hat {a}_{-\lambda}(\mathbf p) + k_{2}v^{(\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(\mathbf p)e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (11)$$,

$$\ \hat {\Psi}^{(-\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}\left( k_{3}u^{(\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)e^{-ipx}\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p) + k_{4}v^{(-\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{-\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (12)$$.

Рівності $$\ (3)$$ для них перейдуть у вирази

$$\ \partial^{\dot {c} c}\hat {\Psi}^{(\lambda )}_{ca_{1}...a_{2 s - 1}} = 0, \quad \partial^{\dot {c} c}\hat {\Psi}^{(-\lambda )}_{c\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2 s - 1}} = 0$$.

Відповідні ермітово спряжені поля мають вигляд

$$\ \left(\hat {\Psi}^{(\lambda )} \right)^{\dagger}_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}\left( k^{*}_{1}\bar {u}^{(-\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)(\mathbf p)e^{ipx}\hat {a}^{\dagger}_{-\lambda}(\mathbf p) + k^{*}_{2}\bar {v}^{(\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)(\mathbf p)e^{-ipx}\hat {b}_{\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (13)$$,

$$\ \left(\hat {\Psi}^{(-\lambda )} \right)^{\dagger}_{a_{1}...a_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}\left( k^{*}_{3}\bar {u}^{(\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p)e^{ipx}\hat {a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) + k^{*}_{4}\bar {u}^{(-\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p)(\mathbf p)e^{-ipx}\hat {b}_{-\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (14) $$.

Тут $$\ \bar {u}^{(-\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p) = \left( u^{(-\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p)\right)^{*}$$, і т.д.

Відповідно до написаного у попередньому розділі, для коефіцієнтних функцій виразів $$\ (9)-(12)$$ справедливі перетворення

$$\ u^{(-\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(\mathbf{ \Lambda p} )e^{i\lambda \theta (\Lambda, p)} = T_{a_{1}...a_{2s }}^{\ b_{1}...b_{2s}}(\Lambda )u^{(-\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p)$$,

$$\ v^{(\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(\mathbf{ \Lambda p} )e^{i\lambda \theta (\Lambda, p)} = T_{a_{1}...a_{2s }}^{\ b_{1}...b_{2s}}(\Lambda )v^{(\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p)$$,

$$\ u^{(\lambda )}_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s}}(\mathbf{ \Lambda p} )e^{-i\lambda \theta (\Lambda, p)} = T_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s }}^{\ \dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\Lambda )u^{(\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)$$,

$$\ v^{(-\lambda )}_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s}}(\mathbf p )e^{-i\lambda \theta (\Lambda, p)} = T_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s }}^{\ \dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\Lambda )u^{(-\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)$$,

Якщо у цих виразах, по аналогії із масивним випадком, покласти $$\ \Lambda = L(p): (L(p)k)^{\mu} = p^{\mu}$$, то можна буде отримати, що ці чотири коефіцієнтні функції повністю визначаються своїми значеннями при $$\ p^{\mu} = k^{\mu}$$. Знову ж таки, далі можна міркувати по аналогії із масивним випадком: оскільки мала група Евкліда являється вкладанням у групу Лоренца, то ці чотири функції можна прирівняти одну до одної (без жодних коефіцієнтів, на відміну від масивного випадку, оскільки відсутня сума по поляризаціям), якщо кожне незвідне представлення малої групи Евкліда присутнє у представленнях $$\ \left( s, 0\right), \left( 0 , s\right)$$ не більше одного разу.

Тому спочатку можна прирівняти першу функцію до другої,

$$\ u^{(-\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p) = v^{(\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p), \quad $$,

а далі, враховуючи, що $$\ T_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s }}^{\ \dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}} = \left(T_{a_{1}...a_{2s }}^{\ b_{1}...b_{2s}}\right)^{*}$$, комплексно спрягти третє та четверте рівняння і отримати, знову ж таки, рівність

$$\ u^{(-\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p) = \left( u^{(\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)\right)^{*} = \bar {u}^{(\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p)$$,

$$\ u^{(-\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p) = \left( v^{(-\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)\right)^{*} = \bar {v}^{(-\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p)$$.

Отже, остаточно,

$$\ u^{(-\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p) = v^{(\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p) = \bar {u}^{(\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p) = \bar {v}^{(-\lambda )}_{b_{1}...b_{2s}}(\mathbf p)$$,

тому вирази $$\ (11)-(14)$$ можна переписати як

$$\ \hat {\Psi}^{(\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}u^{(-\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(\mathbf p)\left( k_{1}e^{-ipx}\hat {a}_{-\lambda}(\mathbf p) + k_{2}e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (15)$$,

$$\ \hat {\Psi}^{(-\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}u^{(\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)\left( k_{3}e^{-ipx}\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p) + k_{4}e^{ipx}\hat {b}^{\dagger}_{-\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (16)$$,

$$\ \left(\hat {\Psi}^{(\lambda )} \right)^{\dagger}_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}u^{(\lambda )}_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{2s}}(\mathbf p)\left( k^{*}_{1}e^{ipx}\hat {a}^{\dagger}_{-\lambda}(\mathbf p) + k^{*}_{2}e^{-ipx}\hat {b}_{\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (17)$$,

$$\ \left(\hat {\Psi}^{(-\lambda )} \right)^{\dagger}_{a_{1}...a_{2s}}(x) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3} 2 |\mathbf p|}}u^{(-\lambda )}_{a_{1}...a_{2s}}(\mathbf p)(\mathbf p)\left( k^{*}_{3}e^{ipx}\hat {a}^{\dagger}_{\lambda}(\mathbf p) + k^{*}_{4}e^{-ipx}\hat {b}_{-\lambda}(\mathbf p)\right) \qquad (18) $$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$ $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$