Зв'язок між частинками та полями. Доведення

Доведення 1
Квадрат оператора Паулі-Любанського у спінорному представленні.

Вираз для оператору Паулі-Любанського у векторному формалізмі має вигляд $$\ \hat {W}^{\beta} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\beta \mu \nu \alpha}\hat {M}_{\mu \nu}\hat {P}_{\alpha}$$.

Використовуючи отримане у відповідному підрозділі, можна пов'язати із $$\ \hat {M}_{\mu \nu}$$ представлення

$$\ M_{\mu \nu} = (\sigma_{\mu \nu})^{bc}M_{(bc)} - (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})^{\dot {b}\dot {c}}M_{(\dot {b} \dot {c})}$$.

Використовуючи вираз $$\ \hat {P}_{\alpha} = i\partial_{\alpha }$$, можна отримати

$$\ \hat {W}^{\beta} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\beta \mu \nu \alpha}\hat {M}_{\mu \nu}\hat {P}_{\alpha} = \frac{i}{2}\varepsilon^{\beta \mu \nu \alpha}\left((\sigma_{\mu \nu})^{bc}M_{(bc)} - (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})^{\dot {b}\dot {c}}M_{(\dot {b} \dot {c})}\right)\partial_{\alpha}$$.

В силу того, що для матриць $$\ (\sigma_{\mu \nu})^{ab}, (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})^{\dot {a}\dot {b}}$$ виконується умова самодуальності,

$$\ \frac{1}{2}\varepsilon_{\mu \nu \lambda k}\sigma^{\lambda k} = i\sigma_{\mu \nu}, \quad \frac{1}{2}\varepsilon_{\mu \nu \lambda k}\tilde {\sigma}^{\lambda k} = -i\tilde{\sigma}_{\mu \nu}$$,

вираз можна перетворити у

$$\ \hat {W}^{\beta} = \left((\sigma^{\beta \alpha})^{bc}M_{(bc)} + (\tilde {\sigma}^{\beta \alpha})^{\dot {b}\dot {c}}M_{(\dot {b} \dot {c})}\right)\partial_{\alpha}$$.

Тепер можна перейти до спінорного представлення вектору:

$$\ W_{a \dot {a}} = (\sigma^{\beta })_{a \dot {a}}\partial^{\alpha }\left( (\sigma^{\beta \alpha})^{bc}M_{(bc)} + (\tilde {\sigma}^{\beta \alpha})^{\dot {b}\dot {c}}M_{(\dot {b} \dot {c})}\right) = $$

$$\ = \frac{1}{4}(\sigma^{\beta})_{a \dot {a}}\left[ \varepsilon^{\beta \gamma}\left( (\sigma_{\beta })_{\gamma \dot {m}}(\tilde {\sigma}_{\alpha})^{\dot {m} c} - (\sigma_{\alpha })_{\gamma \dot {m}}(\tilde {\sigma}_{\beta})^{\dot {m} c}\right) M_{bc} + \varepsilon^{\dot {c}\dot {\gamma}}\left( (\tilde {\sigma}_{\beta})^{\dot {b}n}(\sigma_{\alpha})_{n \dot {\gamma}} - (\tilde {\sigma}_{\alpha})^{\dot {b}n}(\sigma_{\beta})_{n \dot {\gamma}} \right)M_{\dot {b}\dot {c}}\right]\partial^{\alpha} = $$

$$\ =\frac{1}{2}\left(\varepsilon^{\beta \gamma}\varepsilon_{a \gamma}\varepsilon_{\dot {a}\dot {m}}(\tilde {\sigma}_{\alpha})^{\dot {m}c}M_{bc} - \varepsilon^{\beta \gamma}\delta^{c}_{a}\delta^{\dot {m}}_{\dot {a}}(\sigma_{\alpha})_{\gamma \dot {m}}M_{bc} + \varepsilon^{\dot {c}\dot {\gamma}}\delta^{\dot {b}}_{\dot {a}}\delta^{n}_{a}(\sigma_{\alpha})_{n \dot {\gamma}}M_{\dot {b}\dot {c}} - \varepsilon^{\dot {c}\dot {\gamma}}\varepsilon_{an}\varepsilon_{\dot {a}\dot {\gamma}}(\tilde {\sigma}_{\alpha})^{\dot {b}n}M_{\dot {b} \dot {c}} \right) \partial^{\alpha} = $$

$$\ = \frac{1}{2}\left(-(\tilde {\sigma}_{\alpha})_{\dot {a}}^{\quad c}M_{ac} - (\sigma_{\alpha})^{b}_{\quad \dot {a}}M_{ab} + (\sigma_{\alpha})_{a}^{\quad \dot {c}} + (\tilde {\sigma}_{\alpha})^{\dot {b}}_{\quad a}M_{\dot {a} \dot {b}}\right)\partial^{\alpha}$$

(у виразах для символу Леві-Чивіта не виділяются строка та стовпчики через його симетричність).

Далі, використовуючи рівність

$$\ (\sigma_{\alpha})^{b}_{\quad \dot {a}} = \varepsilon_{\dot {a}\dot {\gamma}}(\tilde {\sigma}_{\alpha})^{\dot {\gamma} b} = \varepsilon_{\dot {a}\dot {\gamma}}\varepsilon^{\dot {\gamma}\dot {l}}(\tilde {\sigma}_{\alpha })_{\dot {l}}^{\quad b} = (\tilde {\sigma}_{\alpha})_{\dot {a}}^{\quad {b}}$$,

можна звести вираз до вигляду

$$\ W_{a \dot {a}} = -\left( (\tilde {\sigma}_{\alpha})_{\dot {a}}^{\quad c}M_{ac} - (\sigma_{\alpha})_{a}^{\quad \dot {c}} \right)\partial^{\alpha} = -\left( M_{ac}\partial_{\dot {a}}^{\quad c} - M_{\dot {a} \dot {c}}\partial_{a}^{\quad \dot {c}}\right)$$.

У рамках спінорного формалізму

$$\ W_{\mu}W^{\mu} = \frac{1}{4}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {a}a}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {b}b}W_{a \dot {a}}W_{b \dot {b}} = \frac{1}{2}\varepsilon^{a b}\varepsilon^{\dot {a}\dot {b}}W_{a \dot {a}}W_{b \dot {b}} = \frac{1}{2}W_{a \dot {a}}W^{a \dot {a}}$$.

Тому, нарешті,

$$\ C_{2} = \frac{1}{2}W_{a \dot {a}}W^{a \dot {a}} = \frac{1}{2}\left( M_{ac}\partial_{\dot {a}}^{\quad c} - M_{\dot {a} \dot {c}}\partial_{a}^{\quad \dot {c}}\right)\left( M^{ad}\partial^{\dot {a}}_{\quad d} - M^{\dot {a} \dot {d}}\partial^{a}_{\quad \dot {d}}\right) = $$

$$\ = \frac{1}{2}\left( M_{ac}M^{ad}\partial_{\dot {a}}^{\quad c}\partial^{\dot {a}}_{\quad d} + M_{\dot {a}\dot {c}}M^{\dot {a}\dot {d}}\partial_{a}^{\quad \dot {c}}\partial^{a}_{\quad \dot {d}} - M_{\dot {a}\dot {c}}M^{ad}\partial_{a}^{\quad \dot {c}}\partial^{\dot {a}}_{\quad d} - M_{ac}M^{\dot {a}\dot {d}}\partial_{\dot {a}}^{\quad c}\partial^{a}_{\quad \dot {d}}\right) = \left| \partial_{a}^{\quad \dot {c}}\partial^{a}_{\quad \dot {d}} = \partial^{\dot {c}}_{\quad a}\partial^{a}_{\quad \dot {d}} = \delta^{\dot {c}}_{\quad \dot {d}}\partial^{2} \right| = $$.

$$\ =\frac{1}{2}\left[ \left(M_{ac}M^{ad}\delta^{c}_{\quad d} + M_{\dot {a}\dot {c}}M^{\dot {a}\dot {d}}\delta^{\dot {c}}_{\quad \dot {d}}\right)\partial^{2} - \frac{1}{2}\left( M_{\dot {a}\dot {c}}M^{ad}\varepsilon_{a \alpha}\varepsilon_{d \delta}\partial^{\dot {c}\alpha}\partial^{\dot {a}\delta } + M_{ac}M^{\dot {a}\dot {d}}\varepsilon_{\dot {a}\dot {\alpha}}\varepsilon_{\dot {d}\dot {\delta }}\partial^{\dot {\alpha }c}\partial^{\dot {\delta }a}\right)\right] = $$

$$\ =\frac{1}{2}\left( M_{ac}M^{ac} + M_{\dot {a}\dot {c}}M^{\dot {a}\dot {c}}\right)\partial^{2} - M_{\dot {a}\dot {c}}M_{a d}\partial^{\dot {c}a}\partial^{\dot {a}d}$$.