BRST-перетворення. Тотожності Славнова-Тейлора

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

BRST-перетворення
У попередньому розділі було показано, що застосовність континуального інтегрування до неабелевих калібрувальних теорій та "вирізання" інтегрувальних ступенів вільності, які є залежними через фіксацію калібрування, призводить до модифікації лагранжіану

$$\ L_{0} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} \to L = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} - \frac{1}{2 \alpha }(\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})^{2} -\partial_{\mu}\bar{c}^{a}\partial^{\mu}c_{a} - gf^{acb}\partial_{\mu}\bar{c}_{a}B^{\mu}_{c}c_{b} \qquad (1)$$.

Цей підрозділ покаже, як поява цієї модифікації виникає із вимоги інваріантності лагранжіану відносно перетворень специфічної симетрії BRST.

Розглянемо формальні оператори перетворення виду

$$\ \delta = c_{i}t^{i} - \frac{i}{2}f_{ijk}c^{i}c^{j}\frac{\partial }{\partial c^{k}}, \quad [t_{i}, t_{j}] = if_{ijk}t^{k}, \quad c_{i}c_{j} = -c_{j}c_{i} \qquad (2)$$.

Тут $$\ t_{i}$$ - генератори деякої групи.

Введений оператор являється нільпотентним, тобто $$\ \delta^{2} = 0$$.

Дійсно, при дії на деяке поле $$\ \varphi $$ (яке не відповідає $$\ c_{i}$$)

$$\ \delta^{2}\varphi = \delta (c_{i}t^{i}\varphi ) = -\frac{i}{2}f_{lij}c^{l}c^{j}t^{i}\varphi + c_{j}c_{i}t_{j}t_{i}\varphi = \left| c_{j}c_{i}t_{j}t_{i} = \frac{1}{2}c_{j}c_{i}(t_{j}t_{i} - t_{i}t_{j}) \right| = $$

$$\ = -\frac{i}{2}f_{lij}c^{l}c^{j}t^{i}\varphi + \frac{i}{2}f_{lij}c^{l}c^{j}t^{i}\varphi = 0 $$,

а при дії на грассманове поле $$\ c_{i}$$

$$\ \delta^{2}c_{i} = -\frac{i}{2}f_{jki}\delta (c_{j}c_{k}) = \frac{1}{2}f_{jki}f^{mnk}c_{j}c_{m}c_{n} = 0$$

в силу тотожності Якобі для структурних констант.

Введемо тепер фіктивне скалярне поле $$\ b$$, модифікувавши $$\ (2)$$ (без порушення нільпотентності) наступним чином:

$$\ \delta = c_{i}t^{i} - \frac{i}{2}f_{ijk}c^{i}c^{j}\frac{\partial }{\partial c^{k}} + b_{i}\frac{\partial }{\partial \bar{c}_{i}} \Rightarrow \delta^{2} = 0, \quad \delta c_{i} = -\frac{i}{2}f_{jki}c_{j}c_{k}, \quad \delta \bar{c_{i}} = -b_{i}, \quad \delta b_{i} = 0, \quad \delta \varphi = c_{i}t^{i}\varphi \qquad (3)$$.

Відповідні перетворення відповідають так званим BRST-перетворенням. Після введення полів $$\ b$$ генератори $$\ t_{i}$$ стають генераторами калібрувальної групи, тобто при дії на поле різних типів дають калібрувальне перетворення, яке відповідає полю даного типу. Із виразу $$\ (3)$$ видно також, що відносно цих перетворень поля $$\ c_{i}, \bar{c}_{j}$$ перетворюються зовсім по-різному, що призводить до твердження, що вони є незалежними в тому сенсі, що одне поле не можна отримати ермітовим спряженням іншого.

У явному вигляді перетворення $$\ (3)$$ записуються як

$$\ \delta \psi^{i} = igc^{a}t_{a}^{ij}\psi_{j}, \quad \delta B_{\mu}^{a} = \partial_{\mu}c^{a} - gf^{abc}c_{b}B_{\mu, c}, \quad \delta c_{a} = -\frac{g}{2}f_{abc}c^{b}c^{c}$$.

Розглянемо тепер лагранжіан $$\ (1)$$, переписавши його як

$$\ L = L_{0} + \delta \Lambda $$,

де

$$\ \Lambda = (-f_{i} + \frac{\alpha }{2}b_{i})c^{i} \qquad (4)$$,

$$\ f_{i}$$ - умова, яка фіксує калібрування. У явному вигляді

$$\ L = L_{0} - c_{j}t^{j}f^{i}\bar{c}_{i} - f_{i}b^{i} + \frac{\alpha}{2}b_{i}b^{i}$$.

Відповідність $$\ (4)$$ виразу $$\ (1)$$ перевіряється доповненням поліному по $$\ b$$ до повного квадрату та інтегруванням по цих полях.

Як слідує із $$\ (4)$$, лагранжіан неабелевої калібрувальної теорії є BRST-інваріантним: поля у доданку $$\ L_{0}$$ перетворюються за звичайним законом калібрувального перетворення із грассмановими параметрами, тому він є інваріантним (можна додати і лагранжіан взаємодії із матерією). Другий же доданок є інваріантним в силу нільпотентності $$\ \delta $$.

Тотожності Славнова-Тейлора
Розглянемо генеруючий функціонал для неабелевої теорії:

$$\ Z[J, ...] = \int D(B, c, \bar{c}, b, \psi ) e^{i(S_{0} + S_{source})} \qquad (5)$$,

де $$\ S_{0}$$ дається виразом

$$\ S_{0} = \int d^{4}x \left(-\frac{1}{4}F^{\mu \nu}_{a}F_{\mu \nu}^{a} - \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})^{2} - \bar{c}^{a}M_{ab}c^{b}\right)$$

(взагалі кажучи, вибір калібрування тут несуттєвий і впливає (див. вираз $$\ (5)$$ за посиланням) лише на явний вигляд другого та третього доданків, а на загальність викладок, що подані нижче, не впливає вибір конкретного калібрування), а

$$\ S_{source} = \int d^{4}x(J_{\mu}^{a}B_{a}^{\mu} + \bar{\eta}^{a}c_{a} + \bar{c}_{a}\eta^{a}+ I^{a}b_{a} + J^{i}\psi_{i})$$,

(останній доданок включає в себе також джерела для спряжених діраківських полів).

Як було показано, дія $$\ S$$ є інваріантною відносно перетворень BRST. Цей факт вказує на те, що для отримання тотожностей типу тотожностей Уорда для КЕД треба застосовувати саме BRST-перетворення.

Використовуючи метод, аналогічний до методи отримання тотожностей Уорда, можна отримати, що при BRST-перетворенні $$\ (5)$$ маємо

$$\ \delta Z[J, ...] = i\int D(B, c, \bar{c}, b, \psi )\left( \int d^{4}x \left( J_{\mu}^{a}\delta B_{a}^{\mu} + \bar{\eta}^{a}\delta c_{a} + \delta \bar{c}_{a}\eta^{a} + J^{i}\delta \psi_{i}\right)\right)e^{i(S_{0} + S_{source})} = 0 \qquad (6)$$.

Тут враховано декілька фактів. Перший факт полягає у тому, що BRST-перетворення є лише комбінацією трансляцій та поворотів у калібрувальному просторі, тому континуальний інтеграл відносно такого перетворення не змінюється (це виражається у рівності нулю). Другий факт полягає у тому, що міра $$\ D(B, c, \bar{c}, b, \psi )$$ є інваріантом BRST-перетворень. Дійсно, із розділу про виведення тотожностей Уорда у рамках континуального інтегрування відомо, що перетворення інтегрувальної міри визначається як

$$\ D\varphi^{\omega} = D\varphi \left(1 + tr \left( \frac{\partial \delta_{\omega}\varphi }{\partial \varphi }\right) \right)$$,

тому з набору тотожностей (для доведення використаний вираз $$\ (3)$$)

$$\ \frac{\partial \delta B_{\mu}^{a}}{\partial B_{\mu}^{a}} = -gf^{aba}\delta^{\mu}_{\mu}c_{b} = 0, \quad \frac{\partial \delta \psi_{i}}{\partial \psi_{i}} = ig (t^{a})_{i}^{i}c_{a} = 0, \quad \frac{\partial \delta c_{a}}{\partial c_{a}} = gf^{aac}c_{c} = 0, \quad \frac{\partial \delta \bar{c}_{a}}{\delta \bar{c}_{a}} = 0$$

і слідує твердження про інваріантність міри.

Нарешті, із виразу $$\ (3)$$ слідує, $$\ \delta b_{i} = 0$$, що відображено у $$\ (6)$$ у вигляді відсутності джерела $$\ b$$ не в експоненті.

Можна модифікувати дію $$\ S$$ у $$\ (5)$$ так, щоб поля не в експоненті виразу $$\ (6)$$ можна було записати через варіаційні похідні, і при цьому дія залишилась би BRST-інваріантною. Враховуючи нільпотентність $$\ \delta $$, таку модифікацію можна подати як

$$\ S_{0} \to S = S_{0} + \int d^{4}x \left( K^{\mu}_{a}\delta B_{\mu}^{a} + K^{i}\delta \psi_{i} + L^{a}\delta c_{a}\right)$$.

Тоді $$\ (6)$$ можна переписати у формі (враховуючи також тотожність $$\ \delta \bar{c}_{a} = b_{a} = -\frac{1}{\alpha}f_{a}$$ (остання рівність є "ефективною"))

$$\ \delta Z [J, ...] = i\int D(B, c, \bar{c}, b, \psi )\left( \int d^{4}x \left( J_{\mu}^{a}\frac{\delta S}{\delta K_{\mu}^{a}} + \bar{\eta}^{a}\frac{\delta S}{\delta L_{a}} - \frac{1}{\alpha}f_{a}\eta^{a} + J^{i}\frac{\delta S}{\delta K^{i}}\right)\right)e^{i(S + S_{source})} = 0 \qquad (7)$$.

Враховуючи тепер зв'язок функціоналу для зв'язних діаграм із функціоналом усіх діаграм, $$\ Z[J] = e^{W[J]}$$, рівність $$\ (7)$$ можна переписати як

$$\ \int d^{4}x\left( J_{\mu}^{a}\frac{\delta S}{\delta K_{\mu}^{a}} + \bar{\eta}^{a}\frac{\delta S}{\delta L_{a}} - \frac{1}{\alpha}f_{a}\eta^{a} + J^{i}\frac{\delta S}{\delta K^{i}}\right)W[J] = 0 \qquad (8)$$.

Перепишемо цю ж саму багатострадальну рівність через генеруючий функціонал для сильнозв'язних діаграм:

$$\ \Gamma [A, ...] = W[J, ...] - \int d^{4}x\left( J^{\mu}_{a}A_{\mu}^{a} + J^{i}\psi_{i} + \bar{\eta}^{a}c_{a} + \bar{c}^{a}\eta_{a}\right)$$.

Враховуючи, що джерела виражаються як варіаційні похідні від функціоналу $$\ \Gamma$$ як

$$\ J_{i} = -\frac{\partial \Gamma }{\partial \psi_{i}}, ...$$,

а також - те, що

$$\ \frac{\delta S}{\delta L_{a}} = \frac{\delta W}{\delta L_{a}} = \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}, ...$$,

вираз $$\ (12)$$ можна подати як

$$\ \int d^{4}x \left( \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta A^{\mu}_{a}} + \frac{\delta \Gamma}{\delta K_{i}}\frac{\delta \Gamma}{\delta \psi^{i}} - \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta c^{a}} - \frac{1}{\alpha}f^{a}\frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}_{a}}\right) = 0 \qquad (9)$$.

Рівності $$\ (9)$$ називаються тотожностями Славнова-Тейлора, які, подібно до тотожностей Уорда у електродинаміці, застосовуються для доведення перенормовності неабелевих калібрувальних теорій.

Поперечність повного пропагатора
Одним із застосувань тотожностей Славнова-Тейлора до неабелевих калібрувальних теорій є доведення поперечності повного пропагатора. У даному випадку доведення буде пророблене для вільної неабелевої теорії (без полів матерії), проте узагальнення не є складним, оскільки тотожності Славнова-Тейлора у разі наявності матерії модифікуються простим чином.

Отже, покладемо у $$\ (13)$$ $$\ J_{i}, K_{i} = 0$$. Тоді воно набуде вигляду

$$\ \int d^{4}x \left( \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta A^{\mu}_{a}} - \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta c^{a}} - \frac{1}{\alpha}f^{a}\frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}_{a}}\right) = 0 \qquad (10)$$.

Як калібрувальна умова буде вибрана "звичайна" умова $$\ f_{a} = (\partial_{\mu}B^{\mu}_{a})$$.

Виразимо варіаційні похідні у явному вигляді:

$$\ \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}} = \frac{\delta W }{\delta K_{\mu}^{a}} = -i \frac{\delta }{\delta K_{\mu}^{a}}ln (Z) = -\frac{i}{Z}\frac{\delta Z}{\delta K_{\mu}^{a}} = \frac{1}{Z} \int D (B,...) \delta B_{\mu}^{a} e^{i(S + S_{source})}$$.

Врахуємо тепер $$\ (3)$$: $$\ \delta B_{\mu}^{a} = \partial_{\mu}c^{a} - gf^{abc}c_{b}B_{\mu, c}$$, і

$$\ \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}} = \frac{1}{Z} \int D (B,...) \left( \partial_{\mu}c^{a} - gf^{abc}c_{b}B_{\mu, c}\right) e^{i(S + S_{source})} = \partial_{\mu}^{x}\frac{1}{Z}\frac{\delta Z}{i \delta \bar{\eta}^{a}} - gf^{abc}\frac{1}{Z}\frac{\delta^{2}Z}{i \delta J_{\mu}^{c} i\delta \bar{\eta}^{b}} = $$

$$\ = \partial_{\mu}^{x} \frac{\delta (iW)}{i\delta \bar{\eta}^{a}} - gf^{abc}\left[ \frac{\delta^{2}(iW)}{i \delta J_{\mu}^{c} i \delta \bar{\eta}^{b}} + \frac{\delta (iW)}{i\delta J_{\mu}^{c}}\frac{\delta (iW)}{i\delta \bar{\eta}^{b}}\right] \quad (11)$$.

Використовуючи цю рівність, продиференціюємо $$\ (10)$$ по $$\ \frac{\delta }{\delta c^{b}(y)\delta B_{\nu}^{c}(z)}$$, поклавши як поля, так і джерела рівними нулю (що означає вакуумний процес): отримаємо

$$\ -\partial_{\mu}^{y}\frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta B_{\mu}^{b}(y) \delta B_{\nu}^{c}(z)} - gf^{alc}\int d^{4}w d^{4}x\left( \frac{-i\delta^{2}\Gamma}{\delta c^{b}(y) \delta \bar{c}^{d}(w)}\right)\left( \frac{\delta^{3}(iW)}{i\delta \eta_{d}(w) i\delta \bar{\eta}^{l}(x)i\delta J_{\mu}^{c}(x)}\right) \left( \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta B^{c}_{\nu}(z)\delta B^{\mu}_{a}(x)}\right) + \frac{1}{\alpha}\partial^{\nu}_{z}\frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta c^{b}(y)\delta \bar{c}^{c}(z)} = 0 \qquad (12)$$.

Здійснимо перетворення Фур'є цього виразу, враховуючи при цьому, що вирази виду $$\ \frac{\delta^{2}\Gamma}{\delta \varphi_{i} \delta \varphi_{j}^{*}}$$ у імпульсному просторі відповідають оберненим пропагаторам. Отримаємо

$$\ p^{\mu}(G^{-1})^{cb}_{\mu \nu}(p) - igf^{ade}G^{ca}_{\nu \mu}(p)\Delta^{-1}_{fb}X^{\mu f e f} + \frac{1}{\alpha}p^{\nu}(\Delta^{-1})^{cb}(p) = 0, \quad X^{\mu f e f} = F\left[\langle | \hat{N}\left( c^{d}(x)\bar{c}^{f}(w)B^{\mu, e}(x)\right)|\rangle \right]\qquad (13)$$,

де $$\ F[]$$ позначає перетворення Фур'є.

Отримаємо схожу на $$\ (13)$$ рівність за допомогою рівняння руху для гостів через сильнозв'язні діаграми (нагадаю, що вона справедлива у фейнманівському калібруванні; узагальнення, втім, елементарне),

$$\ \frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}^{a}(z)} = -\partial^{\mu}_{z}\frac{\delta \Gamma}{\delta K^{\mu, a}(z)}$$:

подіявши на нього похідною $$\ \frac{\delta}{\delta c^{b}(y)}$$, отримаємо із врахуванням $$\ (10)$$

$$\ \frac{\delta^{2} \Gamma}{\delta c^{b}(y) \delta \bar{c}^{a}(z)} = -\partial^{2}\delta^{ab}\delta (y - z) + gf^{adc}\int d^{4}w\left(\frac{-i\delta^{2}\Gamma}{\delta c^{b}(y)\delta \bar{c}^{f}(w)} \right)\partial_{z}^{\mu}\left( \frac{\delta^{3}(i W)}{i \delta J_{\mu}^{c}(z)i\delta \eta^{f}(w)i\delta \bar{\eta}^{d}(z)}\right)$$,

або, у імпульсному просторі,

$$\ i(\Delta^{-1})^{ab} = p^{2}\delta^{ab} -i gf^{adc}p^{\mu}X_{\mu}^{dcf}(\Delta^{-1})^{fb} \qquad (14)$$.

Рівності $$\ (13)-(14)$$ показують поперечну структуру пропагаторів (або на жаргонній мові - поперечну поляризованість вакууму).

Для демонстрації цього достатньо записати обернений пропагатор неабелевих бозонів як суму поперечної та продольної частин

$$\ (G_{\mu \nu}^{ab})^{-1} = (G_{\mu \nu}^{ab})^{-1}_{T} + \frac{i}{\alpha}a \delta^{ab}p_{\mu}p_{\nu}$$

(для вільного пропагатора $$\ a = 1$$).

Використовуючи рівність $$\ p^{\mu}(G_{\mu \nu}^{ab})^{-1} = i\frac{a}{\alpha }\delta^{ab}p^{2}p_{\nu}$$ і підставляючи її у $$\ (13) $$, можна отримати

$$\ i \frac{a}{\alpha}p^{4}\delta^{cb} = -\frac{1}{\alpha}p^{2}\delta^{cb} - \frac{a}{\alpha}p^{2}gf^{cde}p_{\mu}X^{\mu def}(\Delta^{fb})^{-1}$$,

або ж, після використання $$\ (14)$$,

$$\ -\frac{1}{\alpha}p^{2}\delta^{cb} + \frac{a}{\alpha}p^{2}\delta^{cb} = 0 \Rightarrow a = 1$$.

Звідси слідує факт, що структура пропагатора - поперечна, і продольні вклади успішно перенормовуються.

Більш наочне виведення
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$