Незвідні спінорні представлення

Повернутися до розділу "Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца".

Незвідні спінорні представлення
Аналогічно можна встановити зв'язок між спінорними тензорами та векторними тензорами більш старших рангів. Варто детально зупинитися на випадку векторних тензорів другого рангу, оскільки саме вони представляють генератори груп Лоренца та Пуанкаре (отримані знання дозволять "переписати" алгебру груп Лоренца і Пуанкаре на мові спінорних тензорів (див. наступний розділ Спінорні генератори групи та їх алгебра). Перед цим треба зробити відступ про незвідні спінорні представлення групи $$\ SL(2,C)$$.

Нехай задано спінорний тензор $$\ \psi_{\alpha \alpha_{1}...\alpha_{n - 1}\dot {\beta} \dot {\beta}_{1}...\dot {\beta}_{m - 1}}$$. Дане представлення відповідає тензорному добутку незвідних представлень $$\ (T^{s})^{n}\otimes ((T^{cs})^{*})^{m}$$ (або, еквівалентно $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)_{\text{red}}$$), проте не являється незвідним. Наприклад, тензор $$\ \psi_{ab}$$ можна розкласти на симетричну та антисиметричну частини,

$$\ \psi_{ab} = \frac{1}{2}(\psi_{ab} + \psi_{ba}) + \frac{1}{2}(\psi_{ab} - \psi_{ba}) = \frac{1}{2}(\psi_{ab} + \psi_{ba}) - \varepsilon_{ab}\varepsilon^{cd}\psi_{cd} \equiv \psi_{(ab)} + \psi_{[ab]}$$.

В силу того, що спінорні індекси пробігають усього два значення, антисиметрична частина спінорного тензора по двом однотипним індексам завжди пропорційна інваріантному тензору $$\ \varepsilon_{ab}, \varepsilon_{\dot{a}\dot{b}}$$. Іншими словами, що будь-який антисиметричний спінорний тензор рангу 3 і старше тотожньо рівний нулю, оскільки індекси можуть приймати значення 1 і 2, а це обов'язково забезпечує повтор індексів, що зануляє компоненти в силу антисиметрії.

Аналогічно, у довільного тензора $$\ \left(\frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)_{\text{red}}$$ можна виділити симетричну, $$\ \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$$, та антисиметричну частини, причому, символічно,

$$\ \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)_{\text{red}} = \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) + \varepsilon_{ab}\left( \frac{m - 2}{2}, \frac{n}{2}\right)_{\text{red}} + \epsilon_{\dot{a}\dot{b}}\left( \frac{m}{2}, \frac{n - 2}{2}\right)_{\text{red}} \qquad (1)$$.

Представлення $$\ \left( \frac{m - 2}{2}, \frac{n}{2}\right)_{\text{red}}, \left( \frac{m}{2}, \frac{n - 2}{2}\right)_{\text{red}}$$ знову можна розкласти на симетричну та антисиметричну складові, і т.д. Таким чином, оскільки згортка абсолютно симетричних тензорів $$\ \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$$ із спінорною метрикою $$\ \varepsilon$$ рівна нулю, а перетворення групи Лоренца не змінюють властивості симетричності, то можна розкласти довільне звідне представлення $$\ (T^{s})^{n}\otimes ((T^{cs})^{*})^{m}$$ в пряму суму представлень, еквівалентних симетричним спінорним тензорам. Отже, абсолютно симетричні спінорні тензори

$$\ \psi_{(a_{1}...a_{m})(\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n})}\simeq \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$$

являються природніми кандидатами на роль незвідних спінорних представлень.

Такі спінори мають $$\ (n +1)(m + 1)$$ незалежних компонент. Це можна показати наступним чином. Неточкові індекси можуть приймати значення 1 чи 2. Можна розглянути випадок, коли усі індекси приймають значення 2. Потім - випадок, коли усі, крім одного, приймають значення 2. Потім - усі, крім двох, і т.д. Число таких різних комбінацій - $$\ n + 1$$ - відповідає (в силу симетричності) числу незалежних компонент спінорного тензору за неточковими індексами. Для кожного такого випадку можуть реалізуватися $$\ (m + 1)$$ випадків для тензору з точковими індексами. Отже, усього є $$\ (n + 1)(m + 1)$$ незалежних компонент.

Тензор рангу 2 та його зв'язок зі спінорним тензором. Антисиметричний тензор
Тепер можна перейти до подальшого поглиблення встановлення відповідності векторного формулювання і спінорного і встановити зв'язок спінорних тензорів та векторних тензорів рангу 2. За правилом $$\ (.5)$$ зв'язку спінорів та 4-векторів для довільного тензора $$\ M_{\mu \nu}$$ можна отримати

$$\ h_{\alpha \dot {\alpha} \beta \dot {\beta}} = (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta }}M_{\mu \nu} \qquad (.11)$$,

$$\ h_{\mu \nu} = \frac{1}{4}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \beta }M_{\alpha \beta \dot {\alpha } \dot {\beta}} \qquad (.12)$$,

де $$\ (\tilde {\sigma^{\mu} })^{\dot {\alpha} \alpha } = \varepsilon^{ \alpha \beta}\varepsilon^{\dot {\alpha} \dot {\beta}}(\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta }} = \left( \hat {\mathbf E}, -\hat {\mathbf \sigma }\right)$$.

Згортку $$\ (.11)$$ можна розкласти на суму незвідних спінорних представлень. Одразу доцільно ввести вирази

$$\ h_{(ab)} = \frac{1}{2}(h_{ab} + h_{ba}), \quad h_{[ab]} = \frac{1}{2}(h_{ab} - h_{ba})$$,

які є, відповідно, симетричними або антисиметричними за індексами (повністю аналогічно - для тензорів з крапковими індексами та для тензорів старших рангів). Антисиметричний спінорний тензор, відповідно до свого визначення, пропорційний метричному спінорному тензору:

$$\ \psi_{[ \alpha \beta ]} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & \psi_{12} - \psi_{21} \\ \psi_{21} - \psi_{12} & 0 \end{pmatrix}_{\alpha \beta } = -\frac{1}{2}\varepsilon_{\alpha \beta}\varepsilon^{\mu \nu}\psi_{\mu \nu} = -\frac{1}{2}\varepsilon_{\alpha \beta}\psi $$.

Отже, $$\ (.11)$$ можна розкласти, користуючись вищенаведеним, на доданки

$$\ h_{\alpha \beta \dot {\alpha} \dot {\beta }} = h_{(\alpha \beta)(\dot {\alpha} \dot {\beta })} + h_{(\alpha \beta )[\dot {\alpha } \dot {\beta }]} + h_{[\alpha \beta ](\dot {\alpha } \dot {\beta })} + h_{[\alpha \beta ][\dot {\alpha } \dot {\beta }]} = h_{(\alpha \beta)(\dot {\alpha} \dot {\beta })} - \frac{1}{2}\varepsilon_{\dot {\alpha }\dot {\beta}}\varepsilon^{\dot {\mu }\dot {\nu}}h_{(\alpha \beta )[\dot {\mu }\dot {\nu }]} - \frac{1}{2}\varepsilon_{\alpha \beta}\varepsilon^{\mu \nu}h_{[\mu \nu](\dot {\mu }\dot {\nu})} + \frac{1}{4}\varepsilon_{\alpha \beta }\varepsilon_{\dot {\alpha} \dot {\beta }}\varepsilon^{\mu \nu }\varepsilon^{\dot {\mu} \dot {\nu }}h_{[\mu \nu][\dot {\mu}\dot {\nu}]} = $$

$$\ = h_{(\alpha \beta )(\dot {\alpha} \dot {\beta }) } + \varepsilon_{\dot {\alpha} \dot {\beta}}h_{(\alpha \beta )} + \varepsilon_{\alpha \beta }h_{(\dot {\alpha }\dot {\beta })} + \varepsilon_{\alpha \beta}\varepsilon_{\dot {\alpha} \dot {\beta }}h$$,

де виділені незвідні представлення $$\ h, h_{(\alpha \beta)}, h_{(\dot {\alpha } \dot {\beta})}, h_{(\alpha \beta )(\dot {\alpha} \dot {\beta })}$$. Перше представлення цього списку є незвідним в силу того, що являється скаляром, а тому зменшити розмірність вже не можна. Незвідність інших відповідає симетричності за індексами.

Перша рівність перевіряється простою підстановкою явних виглядів доданків. Наприклад,

$$\ h_{(\alpha \beta )(\dot {\alpha }\dot {\beta })} = \frac{1}{2}\left(h_{\alpha \beta (\dot {\alpha }\dot {\beta })} + h_{\beta \alpha (\dot {\alpha }\dot {\beta })}\right) = \frac{1}{4}\left( h_{\alpha \beta \dot {\alpha} \dot {\beta }} + h_{\alpha \beta \dot {\beta }\dot {\alpha }} + h_{\beta \alpha \dot {\alpha }\dot {\beta }} + h_{\beta \alpha \dot {\beta }\dot {\alpha }}\right) \qquad (.13)$$,

і т.д.

Варто також додати, що ці представлення відповідають незвідним представленням типу $$\ (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)$$. Дійсно, перша величина є скаляром, друга та третя є симетричними тензорами, а отже, мають три незалежні компоненти, а четверта є симетричним тензором по точковим та неточковим індексам, а отже, має 9 незалежних компонент. Усього отримано шістнадцять незалежних компонент, як і повинно бути для довільного 4-тензора другого рангу. При перетворенні з матрицями-кватерніонами з одиничною нормою (представленнями групи $$\ SL(2, C) $$) тензори $$ \epsilon_{ab}, \epsilon_{\dot {a}\dot {b}}$$, як було розглянуто у підрозділі "Основні властивості спінорів...", залишаються інваріантами. Тому відносно перетворень групи Лоренца вони є скалярами, тобто, відповідають представленню $$\ (0, 0)$$. В результаті, добутки тензорних представлень $$\ h, h_{(\alpha \beta)}, h_{(\dot {\alpha } \dot {\beta})} $$ із метричними тензорами не змішують точкові та неточкові індекси при перетвореннях $$\ SL (2, C)$$. Це означає, що перетворення залишають підпростори цих тензорів інваріантними. В результаті, простір тензора $$ h_{\alpha \beta \dot {\alpha} \dot {\beta }}$$ відповідає прямій сумі підпросторів наведених чотирьох незвідних представлень.

Для конкретного вигляду тензору можна занулити деякі з представлень $$\ h, h_{(\alpha \beta)}, h_{(\dot {\alpha } \dot {\beta})}, h_{(\alpha \beta )(\dot {\alpha} \dot {\beta })}$$.

Наприклад, для антисиметричного тензору $$\ M_{\mu \nu}$$ справедливе представлення

$$\ h_{\alpha \beta \dot {\alpha} \dot {\beta }} = \varepsilon_{\alpha \beta }h_{(\dot {\alpha }\dot {\beta})} + \varepsilon_{\dot {\alpha}\dot {\beta }}h_{(\alpha \beta )} = \varepsilon_{\dot {\alpha}\dot {\beta }}(\sigma^{\mu \nu})_{\alpha \beta }M_{\mu \nu }-\varepsilon_{\alpha \beta}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {\alpha }\dot {\beta }}M_{\mu \nu} \qquad (.14)$$

де введені матриці

$$\ (\sigma^{\mu \nu})_{\alpha}^{\quad \beta} = -\frac{1}{4}\left( (\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu})_{\alpha}^{\quad \beta} - (\sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu})_{\alpha}^{ \quad \beta } \right), \quad (\tilde {\sigma}^{\mu \nu})^{\dot {\alpha }}_{\quad \dot {\beta }} = -\frac{1}{4}\left( (\tilde {\sigma}^{\mu}\sigma^{\nu})^{\dot {\alpha }}_{\quad \dot {\beta }} - (\tilde {\sigma }^{\nu}\sigma^{\mu})^{\dot {\alpha }}_{\quad \dot {\beta }}  \right)$$,

$$\ (\sigma^{\mu \nu})_{\alpha \beta} = \varepsilon_{\beta \gamma}(\sigma^{\mu \nu})_{\alpha}^{\quad \gamma}, \quad (\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {\alpha } \dot {\beta }} = \varepsilon_{\dot {\alpha} \dot {\gamma}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})^{\dot {\gamma }}_{\quad \dot {\beta }}$$.

Користуючись $$\ (.14)$$, можна знайти обернену формулу. Вираз $$\ (.12)$$ дає

$$\ M_{\mu \nu} = \frac{1}{2}(\sigma_{\mu \nu})^{\alpha \beta}h_{(\alpha \beta)} - \frac{1}{2}(\tilde {\sigma}_{\mu \nu})^{\dot {\alpha }\dot {\beta}}h_{(\dot {\alpha} \dot {\beta })}$$.

У розділі про гравітаційне поле буде отриманий зв'язок тензору Річчі $$\ R_{\mu \nu \alpha \beta}$$ із спінорними тензорами $$\ C_{abcd}, C_{\dot {a}\dot{b}\dot{c}\dot{d}}$$.