Поля довільного спіну. Доведення

Доведення 1
Комутаційні вирази полів та операторів народження і знищення.

Треба використати розв'язки для комплексного скалярного, біспінорного та електромагнітного полів, а також - відповідні комутаційні співвідношення для операторів:

$$\ \hat {\varphi} (x) = \int \left( \hat {a}(\mathbf p )e^{ipx} + \hat {b}^{+}(\mathbf p)e^{-ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\varphi}^{+}(x) = \int \left( \hat {a}^{+} (\mathbf p )e^{-ipx} + \hat {b}(\mathbf p )e^{ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}}$$,

$$\ [\hat {a}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}(\mathbf k)] = [\hat {b}(\mathbf p ) , \hat {b}^{+}(\mathbf k)] = \delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {a}(\mathbf p ), \hat {a}(\mathbf k)] = [\hat {a}^{+}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}(\mathbf k)] = 0$$;

$$\ \hat {\Psi} (x ) = \int \left( \hat {a}_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}A_{s, \mathbf p } + \hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p)e^{ipx}B_{s, \mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\bar {\Psi}} (x) = \int \left( e^{-ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p }\hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p) + e^{ipx}\bar {B}_{s , \mathbf p}\hat {b}_{s}(\mathbf p) \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}$$,

$$\ [\hat {a}_{s}(\mathbf p), \hat {a}^{+}_{m}(\mathbf k )]_{+} = \delta_{ms}\delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {a}_{s}(\mathbf p), \hat {a}_{m}(\mathbf k)]_{+} = [\hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p), \hat {a}^{+}_{m}(\mathbf k)]_{+} = 0, \quad A^{+}_{s, \mathbf p }A_{f, \mathbf p } = B^{+}_{s, \mathbf p }B_{f , \mathbf p } = 2\delta_{sf}\epsilon_{\mathbf p} $$;

$$\ \hat {A}_{\mu}(x) = \int \sum_{\lambda = 1, 2}e_{\mu}^{\lambda }(\mathbf p )\left( \hat {a}_{\lambda }(\mathbf p)e^{ipx} + \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)e^{-ipx}\right) \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi)^{3} \epsilon_{\mathbf p}}}$$,

$$\ [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf k )] = \delta_{s \lambda}\delta (\mathbf p - \mathbf k), \quad [\hat {a}^{+}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf k )] = [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}_{s}(\mathbf k )] = 0$$.

Тепер просто визначити комутатори операторів та полів:

$$\ [\hat {a}(\mathbf k ), \hat {\varphi }^{+}(x)] = \int [\hat {a}(\mathbf k ), \hat {a}^{+}(\mathbf p )]e^{-ipx}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{-ikx}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k}}}$$,

$$\ [\hat {a}_{f}(\mathbf k), \hat {\bar {\Psi}}]_{+} = \int e^{-ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p }[ \hat {a}_{f}(\mathbf k ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p)]_{+}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{-ikx}\bar {A}_{f , \mathbf k}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k }}}$$,

$$\ [\hat {a}_{s}(\mathbf k), \hat {A}_{\mu}(x)] = \int e^{\lambda}_{\mu}(\mathbf p)[\hat {a}_{s}(\mathbf k) , \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)]e^{-ipx}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{s}_{\mu}(\mathbf k) e^{-ikx}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k }}}$$.

Доведення 2
Прямий добуток представлень довільного спіну відповідає незвідним компонентам тензору рангу подвоєного спіну.

Це твердження очевидно із того, що існує інваріантний оператор $$\ \Delta_{a}^{\quad \dot {b}} = \frac{1}{m}\partial_{\mu}(\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {b}}$$, який пов'язує різні представлення $$\ \left( n, m\right)$$ одного спіну $$\ \frac{n + m}{2}$$, тому добуток представлення $$\ \left( n, m\right) \oplus \left( m, n \right)$$ завжди представляється через тензор рангу $$\ 2(m + n)$$, а представлення $$\ \left( n, m + \frac{1}{2}\right) \oplus \left( m + \frac{1}{2}, n \right)$$ - через тензор рангу $$\ 2(m + n) + 1$$.

Для більшої очевидності останнього твердження про поля напівцілого спіну можна розглянути випадок представлення діраківського спінора $$\ \left(\frac{1}{2}, 0 \right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2} \right)$$. Відповідно, представлення функцій $$\ \Psi_{a} \Psi_{b}$$ відповідає прямому добутку

$$\ \left(\frac{1}{2}, 0 \right)\otimes \left( 0, \frac{1}{2} \right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2} \right)\otimes \left( \frac{1}{2}, 0 \right) =\left(\frac{1}{2}, 0 \right) \otimes \left(\frac{1}{2}, 0 \right) \oplus \left(\frac{1}{2}, 0 \right) \otimes \left( 0, \frac{1}{2}\right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2} \right) \otimes \left(0, \frac{1}{2} \right) = \left[\left( 0, 0\right)\oplus (1, 0) \right]\oplus \left( \frac{1}{2} , \frac{1}{2}\right) \oplus \left[\left( 0, 0\right)\oplus (0, 1) \right]$$.

Представлення, очевидно, є звідним. Воно розпадається на незвідні компоненти виду $$\ \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right), \left( 1, 0 \right), \left( 0, 1 \right)$$. Останні два представлення формально відповідають дуальній та антидуальній частинам деякого 4-тензора рангу 2 $$\ \psi_{ab} ,\psi_{\dot {a} \dot {b}}$$. Проте за допомогою оператора $$\ \Delta_{a}^{\quad \dot {a}}$$ ці представлення трансформуються у $$\ \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$. Тому всі незвідні компоненти прямого добутку діраківських спінорів відповідають тензору рангу 1 - 4-вектору.

Твердження елементарно узагальнюється на випадок спіну довільного представлення.