Інстантони

Повернутися до розділу "Стандартна модель".

Розглянемо деяку теорію, що описується локальним лагранжіаном із набором полів $$\ A$$:

$$\ L = L(A, \partial A)$$.

Відповідна дія,

$$\ S = \int d^{d}xL$$,

визначає вакуумний стан теорії: для вакуумної польової конфігурації дія та функціонали, побудовані із неї (як енергія), дорівнюють нулю. Вакуумна конфігурація повинна задовольняти рівнянням руху, що слідують із дії.

Часто буває, що єдиною можливою польовою конфігурацією, що задовольняє водночас і рівнянням руху, і нульовому значенню дії, є тривіальною - нульовою. Проте буває, що існують цілі набори польових конфігурацій, які не дорівнюють тотожньо нулю, проте дія для яких тривіальна. Це відбувається у теоріях із нетривіальними симетріями. Якщо є симетрія, то над вказаними польовими конфігураціями можна здійснювати групові перетворення, які змінюють їх. Стоїть питання: чи можна здійснити таке неперервне групове перетворення, щоб конфігурація стала нульовою? У загальному випадку - ні, оскільки, як правило, вакууми розділені енергетичними бар'єрами, на яких дія обертається у нескінченність.

Питання стоїть у тому, як досліджувати вакуумну структуру таких теорій. Виявляється, що це питання тісно пов'язане із топологією, а саме - зі структурою гомотопічної групи для многовиду групи симетрії. З цього і буде розпочато цю статтю.

Групові аксіоми
Нехай є деякий зв'язний многовид $$\ M$$. Кажуть, що він є багатозв'язним, якщо на ньому існує замкнений шлях $$\ p(z)$$, що параметризований змінною $$\ z$$, $$\ 0 \leqslant z \leqslant 1$$, до того ж $$\ p(0) = p(1)$$ і при цьому шлях не може бути зтягнутий неперервним перетворенням у одну точку. Оскільки на зв'язному многовиді завжди можна продеформувати шлях так, що будь-яка точка стане знаходитись у даній області многовиду, то можна розглядати лише шляхи, для яких $$\ p(0) = p(1) = p_{0}$$, де $$\ p_{0}$$ називається базовою точкою.

Два шляхи на многовиді $$\ p_{1}(z), p_{2}(z)$$ називаються гомотопічно еквівалентними, якщо вони можуть бути продеформовані один в одний. Іншими словами, існує неперервна функція $$\ p(z, t), 0 \leqslant t \leqslant 1$$, для якої

$$\ p(z, 0) = p_{1}(z), \quad p(z, 1) = p_{2}(z), \quad p(0, t) = p(1 , t) = p_{0} \qquad (1)$$.

Таке відношення еквівалентності являється симетричним, рефлексивним і транзитивним, тому воно розділяє простір замкнених шляхів на многовиді на класи еквівалентності (два шляхи належать одному класи за умови виконання $$\ (1)$$). Множина усіх класів еквівалентності для даного многовиду утворює першу гомотопічну групу $$\ \pi_{1}(M)$$.

Треба задати правило множення для елементів групи таке, щоб виконувались групові аксіоми. Вибравши у кожному класі "канонічний" шлях, що починається і закінчується у $$\ p_{0}$$, можна за "добуток" двох довільних класів $$\ c_{1}, c_{2}$$ означити клас, що містить шлях $$\ p (z, c_{1}, c_{2})$$, що починається у т. $$\ p_{0}$$, проходить шлях $$\ p(z, c_{1})$$, а потім проходить шлях $$\ p(z, c_{2})$$. Тобто,

$$\ p(z, c_{1}, c_{2}) = \begin{cases} p(2z, c_{1}), \quad 0 \leqslant z \leqslant \frac{1}{2} \\ p(2z - 1, c_{2}), \quad \frac{1}{2} \leqslant z \leqslant 1 \end{cases} \qquad (2)$$.

Розглянемо тепер умову задовільнення правила $$\ (2)$$ груповим аксіомам.

Кожен із добутків $$\ c_{1}\times (c_{2} \times c_{3}), (c_{1} \times c_{2}) \times c_{3}$$, згідно із $$\ (2)$$, може бути продеформований у шлях, який починається у $$\ p_{0}$$, проходить по $$\ p(z, c_{1})$$, потім - по $$\ p(z, c_{2})$$ і, нарешті, по $$\ p(z, c_{3})$$. Таким чином, аксіома асоціативності виконується.

Далі, одиничний елемент $$\ e$$ гомотопічної групи визначається як клас еквівалентності, що містить $$\ p(z, e)$$, що не виходить із даної точки $$\ p_{0}$$. Тоді добуток $$\ e \times c$$ можна подати як

$$\ p(z, e, c) = \begin{cases} p_{0}, \quad 0 \leqslant z \leqslant \frac{1}{2} \\ p(2z - 1, c), \quad \frac{1}{2} \leqslant z \leqslant 1 \end{cases}$$.

Цей шлях можна продеформувати у $$\ p(z, c)$$ (показавши, таким чином, що клас із $$\ p(z, e, c)$$ співпадає із класом зі шляхом $$\ p(z, c)$$), обравши

$$\ p(z, t) = \begin{cases} p_{0}, \quad 0 \leqslant z \leqslant \frac{1}{2} \\ p\left(\frac{2z - t}{2 - t}, c\right), \quad \frac{1}{2} \leqslant z \leqslant 1 \end{cases}, \quad p(z, 0) = p_{0}, \quad p(z, 1) = p(z, c)$$.

Таким чином, $$\ e \times c $$ відповідає $$\ c$$ (для множення зліва доводиться аналогічно).

Залишається лише розібратися із оберненим елементом. "Обернений" до $$\ c $$ клас $$\ c^{-1}$$ містить шлях, що є у $$\ c $$, проте слідування цим шляхом відбувається у протилежному напрямку: якщо клас $$\ c$$ містить $$\ p(z)$$, то клас $$\ c^{-1}$$ містить $$\ p(1 -z)$$: $$\ p^{-1}(z, c) = p(1 - z, c)$$. Цей шлях не співпадає із $$\ p(z, c^{-1})$$ у загальному випадку, проте шляхи $$\ p(1 - z, c), p(z, c^{-1})$$ можна продеформувати один у одний. Тобто, можна показати, що $$\ c \times c^{-1} = e$$, обравши правильну функцію деформації. Для $$\ p(z, c^{-1},c)$$ такою функцією є

$$\ p(z, c^{-1}, c) \to \begin{cases} p(1 - 2z, c), \quad 0 \leqslant z \leqslant \frac{1}{2} \\ p\left(2z - 1, c\right), \quad \frac{1}{2} \leqslant z \leqslant 1 \end{cases} \to p(z, t) = \begin{cases} p(1 - 2tz, c), \quad 0 \leqslant z \leqslant \frac{1}{2} \\ p\left(2tz + 1 - 2t, c\right), \quad \frac{1}{2} \leqslant z \leqslant 1 \end{cases}$$,

де остання рівність деформує $$\ p(z, c^{-1}, c)$$ у $$\ p(z, e)$$.

За аналогією із першою гомотопічною групою можна розглянути $$\ k$$-ту гомотопічну групу: якщо класичним прикладом для многовиду із нетривіальною першою гомотопічною групою є сукупність коло $$\ S_{1}$$(що відображається на $$\ M$$), то класичним прикладом для многовиду із нетривіальною k-тою гомотопічною групою є гіперсфера $$\ S_{k}$$, причому одна точка $$\ S_{k}$$ завжди відображається у базову точку на $$\ M$$. Аналогічно до випадку 1-групи, елементами k-групи являються класи відображень.

Сферу $$\ S_{k}$$ можна розглядати як k-гіперкуб, усі граничні точки якого ототожнені із одною. Наприклад, для 1-сфери такою конструкцією є відрізок, оскільки при параметризації її лінії $$\ l(\varphi )$$ кутом $$\ \varphi$$ виходить, що $$\ l(0) = l(2 \pi )$$. Для 2-сфери можна виколоти її "полюси", отримавши прямокутник із ототожненими точками. Умова гомотопічної еквівалентності двох відображень із k-сфери на деякий многовид M тоді може бути сформульована наступним чином: одне може бути неперервно продеформоване у інше, причому на границі $$\ p$$ гіперкуба приймає базове значення $$\ p_{0}$$.

За повною аналогією із першою гомотопічною групою,

$$\ c_{1}^{(k)} \times c_{2}^{(k)} \to p(\theta_{1},...,\theta_{k}, c_{1}, c_{2}) = \begin{cases} p(2\theta_{1},...,\theta_{k}, c_{1}), \quad 0 \leqslant \theta_{1} \leqslant \frac{1}{2} \\ p\left(2\theta_{1} - 1,\theta_{2},...,\theta_{k}, c_{2}\right), \quad \frac{1}{2} \leqslant \theta_{1} \leqslant 1 \end{cases}$$;

одиничний елемент визначається як клас еквівалентності, що містить відображення $$\ p = p_{0}$$ для всіх $$\ z$$;

обернений елемент визначається рівністю

$$\ p^{-1}(z_{1},...,z_{k}, c) = p(1 - z_{1}, ...,z_{k},c) $$.

Повернемося тепер до першої гомотопічної групи і розглянемо тепер сферу $$\ S_{1}$$. Її параметризація $$\ \theta$$ ототожнює точки $$\ \theta = 0, \theta = 2\pi n$$. Гомотопічні групи складаються із класів функцій $$\ \theta (z), 0 \leqslant z \leqslant 1$$ із початковим значенням у деякій базовій точці $$\ \theta (0) = \theta_{0}$$ і кінцевим значенням у тій же точці $$\ \theta (1) = \theta_{0} + 2 \pi n$$. Дві такі функції можна неперервно продеформувати тоді і тільки тоді, коли вони мають однакове значення $$\ n$$. Тобто, $$\ \pi_{1}(S_{1})$$ має нескінченну кількість класів $$\ c_{n}$$, які помічені додатнім або від'ємним цілим числом $$\ n$$. "Добуток" двох класів $$\ c_{n}, c_{m}$$ для даного випадку відповідає сумі по індексам $$\ c_{n} \times c_{m} = c_{n + m}$$. Звідси слідує, що $$\ \pi_{1}(S_{1}) = Z$$, де $$\ Z$$ - група цілих чисел, де операція множення задана додаванням чисел.

Якщо ж взяти сферу $$\ S_{k}, k > 1$$, то в силу її однозв'язності, перша гомотопічна група для неї відповідає тривіальній.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Топологічне число
У кожному із випадків, коли $$\ \pi_{k}(M) = Z$$, повинно існувати одне однозначне відображення k-сфери $$\ S_{k}$$ у k-сферу $$\ S_{k}{'}$$, яке відповідає елементу "один" у групі $$\ Z$$. Елемент $$\ \nu $$ із $$\ \nu = 2, ...$$ відповідає відображенню $$\ S_{k}$$ у ту саму сферу $$\ S_{k}'$$, яке $$\ \nu$$ разів покриває $$\ S_{k}{'}$$, причому якобіан перетворення являється додатнім. Аналогічно, при $$\ \nu = -1, ...$$ відображення $$\ |\nu |$$ разів покриває $$\ S_{k}{'}$$, причому якобіан перетворення являється від'ємним. Число $$\ \nu$$ називається топологічним числом і зберігається у тому сенсі, що добуток двох класів $$\ c_{n}\times c_{m}$$ дає клас $$\ c_{n + m}$$.

Інваріант Картана-Маурера
У більшості випадків топологія многовиду може характеризуватися інтегральним інваріантом, де інтегрування йдеться по всьому многовиду. Такий інваріант називається інваріантом Картана-Маурера.

Розглянемо відображення довільного компактного многовиду $$\ S$$ непарної розмірності $$\ d$$ з координатами $$\ \theta_{1},...,\theta_{d}$$ на многовид $$\ M$$ матриць $$\ g(\theta_{1},...,\theta_{d}), det g \neq 0$$.

Для нього є "інваріантом" величина

$$\ I[g] = \int d\theta_{1}...d\theta_{d}\varepsilon^{i_{1}...i_{d}}Tr \left[ g^{-1}(\theta ) \frac{\partial g}{\partial \theta_{i_{1}}}...g^{-1}(\theta ) \frac{\partial g}{\partial \theta_{i_{d}}}\right], \quad \varepsilon_{123...d} = 1, \quad \varepsilon_{123...d} = \varepsilon_{[123...d]}$$.

Її інваріантність полягає, по-перше, у незалежності від параметризації координатної системи многовиду, а по-друге, у незалежності від малих деформацій відображення $$\ S \to M$$. Перше доводиться наступним чином:

$$\ \int d\theta_{1}...d\theta_{d}\varepsilon^{i_{1}...i_{d}}Tr \left[ g^{-1}(\theta ) \frac{\partial g}{\partial \theta_{i_{1}}}...g^{-1}(\theta ) \frac{\partial g}{\partial \theta_{i_{d}}}\right] = \int d\theta_{1}{'}...d\theta_{d}{'}\left| \frac{\partial \theta }{\partial \theta {'}}\right|\varepsilon^{i_{1}...i_{d}}Tr \left[\frac{\partial \theta_{j_{1}}{'}}{\partial \theta_{i_{1}}}... g^{-1}(\theta {'}) \frac{\partial g}{\partial \theta{'}_{j_{1}}}...g^{-1}(\theta {'}) \frac{\partial g}{\partial \theta{'}_{i_{d}}}\right] = $$

$$\ = \left| \varepsilon^{i_{1}...i_{n}}\frac{\partial \theta {'}_{j_{1}} }{\partial \theta_{i_{1}}}...\frac{\partial \theta {'}_{j_{d}} }{\partial \theta_{i_{d}}} = \varepsilon^{j_{1}...j_{d}}\left| \frac{\partial \theta {'}}{\partial \theta}\right|\right| = \int d\theta{'}_{1}...d\theta{'}_{d}\varepsilon^{i_{1}...i_{d}}Tr \left[ g^{-1}(\theta {'}) \frac{\partial g}{\partial \theta_{i_{1}}{'}}...g^{-1}(\theta ) \frac{\partial g}{\partial \theta_{i_{d}}{'}}\right]$$.

Друге доводиться так: при малих варіаціях $$\ g \to g + \delta g$$ варіація $$\ I[g]$$ має вигляд

$$\ \delta I[g] = d\int d\theta_{1}...d\theta_{d}\varepsilon^{i_{1}...i_{d}}Tr\left[g^{-1}\partial_{\theta_{i_{1}}}g ...\delta \left(g^{-1}(\theta )\partial_{\theta_{i_{d}}}g(\theta ) \right) \right]$$.

Останній множник у цьому виразі рівний

$$\ \delta \left(g^{-1}(\theta )\partial_{\theta_{i_{d}}}g(\theta ) \right) = -g^{-1}\delta (g) g^{-1}\partial_{\theta_{i_{d}}}g + g^{-1}\partial_{\theta_{i_{d}}}\delta g = g^{-1}\partial_{\theta_{i_{d}}} \left( \delta g g^{-1}\right)g$$.

Проінтегрувавши вираз $$\ \delta I[g]$$ по частинам, маємо нуль, оскільки відбувається згортка антисиметричного тензора $$\ \varepsilon $$ із симетричним тензором похідних $$\ \partial_{\theta_{i_{n}}}\partial_{\theta_{i_{k}}}$$.

Варто зазначити, що цей інваріант рівний нуль для випадку парних $$\ d$$, що слідує із циклічних властивостей сліду і того, що

$$\ \epsilon^{i_{1}...i_{d}} = -(-1)^{d}\epsilon^{i_{2}...i_{d}i_{1}}$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Нетривіальні вакууми у калібрувальній теорії
Розглянемо калібрувальну теорію із дією

$$\ S[A] = \int d^{d}xF^{a}_{ij}F_{a}^{ij}$$

та застосування для неї розвиненого вище формалізму. Тут зроблений перехід від простору-часу Мінковського до евклідового простору-часу шляхом заміни $$\ x_{0} \to ix_{0}$$.

Дія є кінечною, якщо $$\ F \to 0 $$ при $$\ x \to \infty $$ достатньо швидко; наївно, коли $$\ A_{i}^{a} \to x^{-k}$$, $$\ k > \frac{d}{2} - 1$$. Проте можлива ситуація, коли поле $$\ A_{i}^{a}$$ прямує до нуля як $$\ \frac{1}{x}$$, але при цьому дія залишається кінечною. Тоді $$\ A(x)$$ має виражатися через елемент калібрувальної групи $$\ g(\hat{\mathbf x})$$ як

$$\ it_{a}A^{a}_{i} \to g^{-1}(\hat{\mathbf x})\partial_{i}g(\hat{\mathbf x}), \quad x \to \infty$$.

Оскільки для чистого калібрування $$\ F_{\mu \nu}^{a} = 0$$ в силу калібрувальної інваріантності, то на нескінченності $$\ F_{\mu \nu}^{a} = 0$$, і дія є скінченною.

Вакуумні стани у неабелевій калібрувальній теорії
Що можна сказати про поведінку $$\ g(\mathbf x)$$ при $$\ |\mathbf x| \to \infty$$? Виявляється, для квазікласичних розрахунків можна обмежитись лише такими $$\ g(\mathbf x)$$, для яких $$\ \lim_{x \to \infty}g(\mathbf x) = 1$$. Це дає класифікацію нетривіальних вакуумів (нетривіальних у сенсі ненульових значень калібрувальних полів $$\ A_{i}(\mathbf x)$$) у відповідності до топології многовиду $$\ G$$

Дійсно, розглянемо амплітуду

$$\ M = \langle \bar{\text{vac}}|e^{iHT}|\text{vac}\rangle$$

у квазікласичному наближенні. Тут фізичний вакуумний стан $$\ | A_{i}(\mathbf x)\rangle$$ визначений наступним чином. Нехай є даний стан $$\ |g(\mathbf x)\rangle $$, якому відповідає вакуумне поле $$\ A_{i} = g\partial_{i}g^{-1}$$. Його (неперервне) калібрувальне перетворення переводить стан у деякий інший стан $$\ |U_{\lambda}g(\mathbf x)\rangle = |\bar{g}(\mathbf x)\rangle$$. Співвідношення еквівалентності $$\ g \approx U_{\lambda}g$$ при $$\ \lim_{x \to \infty}\lambda (\mathbf x) = 0$$ розділяє усі можливі елементи калібрувальної групи на класи еквівалентності. Тому можливі фізичні вакуумні стани відповідають

$$\ |\text{vac}\rangle = \sum_{g \in \text{ equivalence class}}|g\rangle$$.

Цей широкий клас можливих вакуумів може бути "звужений" за допомогою використання топології. Для цього варто помітити, що амплітуда $$\ M$$ являється інваріантною відносно одночасних перетворень $$\ |\text{vac}\rangle, |\bar{\text{vac}}\rangle$$. Це означає, що без обмеження загальності стан $$\ | \text{vac}\rangle$$ можна обрати належачим класу еквівалентності $$\ g(\mathbf x) = 1$$. Звичайно, для елементів цього класу $$\ \lim_{x \to \infty}g(\mathbf x) = g_{0}$$, тобто $$\ \lim_{x \to \infty}A_{i}(\mathbf x) \to 0$$. Тоді квазікласична амплітуда $$\ M$$ не рівна нулю лише для таких станів $$\ |\bar{\text{vac}}\rangle$$, клас еквівалентності яких відповідає $$\ g(\mathbf x) \to g_{0}$$. Дійсно, у противному випадку $$\ A_{i}(\mathbf x) \neq 0$$, і у (дійсній) експоненті буде множник $$\ \dot{A}_{i}(\mathbf x)$$, помножений на нескінченний тривимірний об'єм.

Отже, для визначення вакуумних станів можна обмежетись лише такими груповими елементами $$\ g$$, для яких

$$\ \lim_{x \to \infty}g(\mathbf x) = 1$$.

Це означає, що $$\ g(\mathbf x)$$ перестає залежати від координат $$\ \mathbf x$$ на просторовій нескінченності. Останнє компактифікує простір $$\ R^{3}$$, оскільки усі точки на нескінченності ототожнені із однією. З точки зору топології це означає, що багатовид $$\ R^{3}$$ із нескінченністю, отожненою із точкою, топологічно еквівалентний сфері $$\ S_{3}$$. Сфера $$\ S_{3}$$ задається набором кутових змінних, тому у околі нескінченності групові елементи $$\ g$$ можуть залежати лише від кутових змінних. Таким чином, для вакуумних станів маємо відображення $$\ S_{3} \to M(G)$$, де $$\ M(G)$$ - многовид групи $$\ G$$. Вакуумні класи еквівалентності, визначені вище, можуть бути вкладені у класи еквівалентності відображень $$\ S_{3} \to M(G)$$, які можуть бути неперервно продеформовані одне в одного - гомотопічні класи. Сукупність гомотопічних класів утворюють гомотопічну групу $$\ \pi_{3}(G)$$, і класифікація можливих вакуумних станів звузилася до класифікації гомотопічних класів групи $$\ \pi_{3}(G)$$. Наприклад, для $$\ G \simeq SU(N), \quad n \geqslant 2$$ $$\ \pi_{3}(G) = Z$$, і вакууми характеризуються цілими числами $$\ n$$.

Відповідний інваріант Маурера-Картана має вигляд

$$\ n = \int d\theta_{1}d\theta_{2}d\theta_{3}\varepsilon^{abc}Tr\left[ g^{-1}\partial_{\theta_{1}}g \times g^{-1}\partial_{\theta_{2}}g \times g^{-1}\partial_{\theta_{3}}g\right]$$,

де $$\ \theta_{i}$$ параметризують координати 3-сфери $$\ S_{3}$$.

Отже, вакуумним станом у калібрувальній неабелевій теорії може бути стан, який відповідає довільному цілому топологічному числу $$\ n$$. У загальному випадку, проте, реальним вакуумом є стан

$$\ |\text{vac}\rangle \equiv \sum_{n}f(n)|n\rangle$$,

де $$\ f(n)$$ - деяка функція. Оскільки ніяким неперервним перетворенням не можна змінити топологічне число, а отже, і конкретний вакуум, вірним є твердження, що стани із заданим $$\ n$$ розділені енергетичним бар'єром. Щоб перейти від одного стану з топологічним числом $$\ n$$ до стану з іншим топологічним числом $$\ m$$, треба, таким чином, знайти розв'язки рівнянь теорії, які описують тунелювання між цими станами. Іншими словами, треба знайти розв'язок, який при $$\ \tau = -\infty$$ описується вакуумним станом із топологічним числом $$\ n$$, а при $$\ \tau = \infty$$ описується вакуумним станом із топологічним числом $$\ m$$. Як буде показано нижче, такі розв'язки знову ж таки характеризуються інваріантом Маурера-Картана, проте цей інваріант має зміст різниці топологічних чисел. Якщо такі розв'язки існують, то амплітуда $$\ M$$ між цими вакуумними станами є ненульовою. У результаті реальний вакуумний стан має бути суперпозицією вакуумних станів із різними топологічними числами.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Інстантони. Тета-вакуум
Стоїть питання: чи існують польові конфігурації, для яких дія є скінченною та стаціонарною (умова стаціонарності для даної дії, звичайно, має вигляд $$\ D_{i}F^{ij} = 0$$)? Виявляється, що так. Такі топологічно нетривіальні стаціонарні точки дії $$\ S[A]$$, при яких остання є скінченною, називаються інстантонами.

Перетворимо спершу інваріант Картана-Маурера: параметризуючи 3-сферу трьома координатами, маємо

$$\ I[g] = \int d\theta_{1}d\theta_{2}d\theta_{3}\varepsilon^{abc}Tr\left[ g^{-1}\partial_{\theta_{1}}g \times g^{-1}\partial_{\theta_{2}}g \times g^{-1}\partial_{\theta_{3}}g\right] = -i\lim_{r \to \infty}\int d\theta_{1}d\theta_{2}d\theta_{3}\varepsilon^{abc}\partial_{\theta_{a}}\hat{x}_{i}\partial_{\theta_{b}}\hat{x}_{j}\partial_{\theta_{c}}\hat{x}_{k}Tr[A_{i}A_{j}A_{k}] \qquad (3)$$.

По аналогії із проробленим у розділі про аномалії (клас Черна-Саймонса), можна ввести струм

$$\ G_{l} = \varepsilon^{ijkl}\left(A^{\alpha}_{i}F^{\alpha}_{jk} - \frac{1}{3}C^{\alpha \beta \gamma}A^{\alpha}_{i}A^{\beta}_{j}A^{\gamma}_{k}\right), \quad \partial_{l}G^{l} = \frac{1}{2}\varepsilon^{ijkl}F^{\alpha}_{ij}F^{\alpha}_{kl}$$.

Нехай використовується представлення із абсолютно антисиметричними структурними константами, звідки $$\ Tr(t_{a}t_{b}) = \frac{1}{2}N\delta_{ab}$$. Звідси $$\ G_{l}$$ можна буде записати як

$$\ G_{l} = \frac{2}{N}\varepsilon_{ijkl}Tr\left( A_{i}F_{jk} + \frac{2i}{3}A_{i}A_{j}A_{k}\right)$$.

При $$\ r \to \infty$$, як написано вище, $$\ F_{jk} = 0$$, тому

$$\ G_{l} \to \frac{4i}{3N}\varepsilon_{ijkl}Tr[A_{i}A_{j}A_{k}]$$.

В результаті $$\ (3)$$ набуде вигляду

$$\ I[g] = -\frac{3}{4N}\int d^{4}x\partial_{l}G^{l} = -\frac{3}{8N}\int d^{4}x \varepsilon^{ijkl}F^{\alpha}_{ij}F^{\alpha}_{kl} \qquad (4)$$.

Таким чином, інстантонні розв'язки, так же як і вакуумні, характеризуються інваріантном Маурера-Картана.

Далі, використовуючи очевидну нерівність

$$\ 0 \leqslant \int d^{4}x\left(F^{\alpha}_{ij} \mp \frac{1}{2}\varepsilon_{ijkl}F^{\alpha}_{kl}\right)^{2}$$,

накладемо обмеження знизу на дію $$\ S$$:

$$\ S[A] \geqslant \frac{1}{8}\left|\varepsilon^{ijkl}\int d^{4}x F_{ij}^{\alpha}F_{kl}^{\alpha}\right| = \frac{|I[g]|}{8 N} \qquad (5)$$.

Нижня границя досягається при самодуальності $$\ F^{\alpha}_{ij}$$. Ця умова (умова самодуальності), $$\ F^{\alpha}_{ij} = \pm \varepsilon_{ijkl}F^{\alpha, kl}$$, відповідає мінімуму дії $$\ S[A]$$. Оскільки розв'язок на поля $$\ A_{i}(\mathbf x)$$ із умови самодуальності автоматично задовольняє також рівнянням руху $$\ D_{i}F^{ij} = 0$$ (в силу тотожності Б'янкі), то він є інстантонним розв'язком. Виявляється, що нетривіальні (ненульові та не співпадаючі із вакуумом) розв'язки рівняння самодуальності існують. Для випадку $$\ G \simeq SU(2)$$ розв'язок для топологічного числа $$\ n=1$$ був знайдений у вигляді БПСТ-інстантону. Для випадку групи $$\ SU(N)$$ інстантон із $$\ n=1$$ може бути отриманий вкладенням розв'язку БПСТ-інстантона у групу $$\ SU(N)$$.

Можна показати, що для класів $$\ \nu$$-тої гомотопічної групи $$\ I[c^{\nu}] = 24\pi^{2}N\nu$$. Комбінуючи це із рівністю $$\ (5)$$ (у граничному випадку) і умовою самодуальності, можна отримати

$$\ S[A] = \frac{8 \pi^{2}\nu}{g^{2}}, \quad \varepsilon_{ijkl}\int d^{4}xF^{ij}_{\alpha}F_{kl}^{\alpha} = 64\pi^{2}\nu \qquad (5.1)$$.

Відповідно,

$$\ e^{-S[A]} = e^{-\frac{8 \pi^{2}\nu}{g^{2}}} \qquad (5.2)$$.

Все це разом вказує, що окрім звичайних станів, що відповідають полям у початковому лагранжіані, та зв'язаних станів, у проміжних станах можуть існувати також стабільні (у сенсі "збереження" топологічного числа, що описане у попередньому пункті) протяжені інстантонні конфігурації.

Інстантони та тунелювання між вакуумами
Інстантонні розв'язки на плюс-мінус нескінченності характеризуються асимптотиками, на яких енергія дорівнює нулю. Проте у проміжку між плюс-мінус нескінченностями інстантонні розв'язки дають скінченну дію, і, отже, енергію. У результаті при нульовій енергії системи інстантонна еволюція можлива лише як процес тунелювання. Із цим і пов'язано те, що інстантонні розв'язки даються у евклідовому (уявному часі), що відповідає квазікласичному наближенню для описання тунелювання.

Залишається лише показати явним чином, що інстантони здійснюють тунелювання між вакуумами із різними топологічними числами. Для цього зручно використати калібрування $$\ A^{a}_{4}(\mathbf x, x_{4}) = 0$$; при цьому при значеннях $$\ x_{4} \to \pm \infty$$ евклідового часу інстантонний розв'язок прямує до чистих калібрувань

$$\ A_{i}(\mathbf x, \pm \infty) \to g_{\pm}(\mathbf x)\partial_{i}g^{-1}_{\pm}(\mathbf x), \quad \lim_{x_{4} = \pm \infty}g_{\pm}(\mathbf x) = g_{0}^{\pm}$$.

Відповідно, на плюс-мінус нескінченності

$$\ \epsilon^{ijk}\int d^{3}\mathbf x \text{Tr}\left[ g_{\pm}\partial_{i}g^{-1}_{\pm}g_{\pm}\partial_{j}g^{-1}_{\pm}g_{\pm}\partial_{k}g^{-1}_{\pm}\right] = 24 \pi^{2} n_{\pm}$$.

Інтеграл по границі простору, який отримується із $$\ (4)$$, можна розглядати як різницю інтегралів на площинах $$\ x_{4} = -\infty$$ та $$\ x_{4} = \infty$$, тому для інстантонних розв'язків $$\ \nu$$ у виразі $$\ (5)$$ дорівнює

$$\ \nu = n_{+} - n_{-}$$.

Відповідно, експонента $$\ (5.2)$$ може розглядатися як амплітуда тунелювання. Таким чином, інстантони дійсно здійснюють тунелювання між різними вакуумами.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Топологічні конфігурації та континуальний інтеграл
Визначимо межі довільності для вагового множника при континуальному інтегруванні за топологічними конфігураціями для даної теорії. Ці межі довільності дозволять оцінити ступінь внеску топологічних конфігурацій у амплітуди.

Нехай є деяка локальна спостережувана величина $$\ O$$, що знаходиться усередині великого евклідового об'єму $$\ \Omega$$. Тоді її середнє значення буде відповідати виразу

$$\ \langle O \rangle_{\Omega} = \frac{\sum_{\nu}f(\nu ) \int_{\nu} D\varphi e^{I_{\Omega} [\varphi]}O[\varphi ]}{\sum_{\nu}f(\nu )\int_{\nu} D\varphi e^{I_{\Omega} [\varphi]}} \qquad (6)$$,

де $$\ f(\nu )$$ є ваговим множником для топологічної конфігурації, що відповідає топологічному числу $$\ \nu$$, інтегрування проводиться за усіма можливими топологічними конфігураціями із усіма можливими топологічними числами, а $$\ \varphi $$ - набір усіх полів теорії. Нехай тепер $$\ \Omega $$ розділений на два великих об'єми $$\ \Omega_{1,2}$$, причому $$\ O$$ ненульовий лише на $$\ \Omega_{1}$$. Тоді $$\ (6)$$ можна записати як

$$\ \langle O \rangle_{\Omega} = \frac{\sum_{\nu_{1}, \nu_{2}}f(\nu_{1} + \nu_{2} ) \int_{\nu_{1}} D\varphi e^{I_{\Omega} [\varphi]}O[\varphi ]\int_{\nu_{2}} D\varphi e^{I_{\Omega} [\varphi]}}{\sum_{\nu_{1}, \nu_{2}}f(\nu_{1} + \nu_{2} )\int_{\nu} D\varphi e^{I_{\Omega} [\varphi]}\int_{\nu_{2}} D\varphi e^{I_{\Omega} [\varphi]}} \qquad (7)$$.

Щоб при довільних вагових множниках дана теорія була локальною, треба, щоб об'єм $$\ \Omega_{2}$$ "випадав" із $$\ (7)$$. Це можливо лише при $$\ f(\nu ) = e^{i\theta \nu}$$, де $$\ \theta$$ являється довільним параметром. Звідси слідує, що не можна довільно відкинути усі конфігурації із довільним топологічним числом, оскільки тоді інстантон із топологічним числом $$\ \nu$$ у одній області має бути "скомпенсований" інстантоном із топологічним числом $$\ -\nu$$ у іншій області. А це має наслідком необхідність обчислювати середні значення лише за умови знання того, що відбувається у віддалених областях.

Згадавши, що топологічне число можна записати як $$\ \nu = \frac{1}{64 \pi^{2}}\int d^{4}x \varepsilon^{ijkl}F^{a}_{ij}F^{a}_{kl} $$, можна дійти висновку, що вклад $$\ (7)$$ дається лагранжіаном $$\ L_{\theta} = -\frac{\theta }{64 \pi^{2}}\varepsilon^{ijkl}F^{a}_{ij}F^{a}_{kl}$$, або, при поверненні до псевдоевклідового простору-часу,

$$\ L_{\theta} = \frac{\theta}{64 \pi^{2}}F^{\mu \nu}F^{\alpha \beta}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta} \qquad (8)$$.

Цей же результат дозволяє встановити точну структуру вакууму калібрувальної неабелевої теорії. Для цього варто повернутися до виразу $$\ (6)$$ із явним виглядом вагового множника:

$$\ \langle \hat{O}[\varphi]\rangle \equiv \frac{\langle \text{vac}| \hat{O}[\varphi]|\text{vac}\rangle}{\langle \text{vac}|\text{vac}\rangle} = \frac{\sum_{\nu}e^{i\nu \theta}\int_{\nu} D\varphi e^{I_{\Omega} [\varphi]}O[\varphi ]}{\sum_{\nu}e^{i\nu \theta}\int_{\nu} D\varphi e^{I_{\Omega} [\varphi]}}$$.

Права частина відповідає лівій, якщо вакуум калібрувальної теорії має вигляд

$$\ |\text{vac}\rangle = \sum_{n}e^{i\theta n}|n\rangle \qquad (9)$$.

Дійсно,

$$\ \frac{\langle \text{vac}| \hat{O}[\varphi]|\text{vac}\rangle}{\langle \text{vac}|\text{vac}\rangle} = \frac{\sum_{n, m}e^{i\theta (m - n)}\langle n| \hat{O}[\varphi]|m \rangle}{\sum_{n, m}e^{i\theta (m -n)}\langle n |m\rangle} \equiv \frac{\sum_{\nu}e^{i\theta \nu}(\sum_{n}\langle n|\hat{O}[\varphi]|n+\nu\rangle )}{\sum_{\nu}\left(\sum_{n}\langle n|\nu+n\rangle \right)}$$,

де вирази у круглих дужках відповідають матричним елементам, що зв'язують вакууми із різницею топологічних чисел $$\ \nu$$ і залежать лише від $$\ \nu$$, як і амплітуда при $$\ e^{i\theta \nu}$$ в виразі $$\ (6)$$.

До виразу $$\ (9)$$ можна було б прийти іншим шляхом (по суті, еквівалентним). Існування інстантоних розв'язків, які здійснюють тунелювання між вакуумами із різними топологічними числами, призводить до того, що жоден зі станів $$\ |n\rangle$$ поодинці не являється власним станом гамільтоніану. Стоїть задача побудувати такий власний стан. Для цього можна побудувати оператор трансляції, що зсуває топологічне число на одиницю,

$$\ T^{-1}A_{i}T = g_{1}A_{i}g_{1} + g_{1}\partial_{i}g^{-1}_{1}$$.

У калібруванні $$\ A_{0} = 0$$ класична калібрувальна інваріантність відносно незалежних від часу перетворень зберігається і у квантовій теорії поля. Це, зокрема, означає, що оператор $$\ T$$ комутує із гамільтоніаном:

$$\ [H, T] = 0$$.

Це означає, що вони мають спільний базис власних станів. Власні стани оператора $$\ T$$ мають вигляд

$$\ T|\psi_{\theta}\rangle = e^{i\theta}|\psi_{\theta}\rangle$$.

Відповідно, явний вигляд такого стану -

$$\ |\text{vac}\rangle = \sum_{\nu}e^{-i\theta \nu}|\nu\rangle$$.

$$\ $$

Проблема $$\ U(1) $$ та її рішення
Є ще одна причина, цього разу - вже експериментальна, включати інстантонні конфігурації до розрахунку амплітуд фізичних процесів. Ця проблема має назву проблеми $$\ U(1)$$.

Суть її полягає у наступному. У безмасовому ліміті лагранжіан кварків має, як вже зазначалося, не $$\ SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$$, а $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ симетрію. При її спонтанному порушенню до $$\ U_{V}(3)$$ виникає не вісім, а дев'ять голдстоунівських бозонів, причому їх параметризація має вигляд

$$\ U = e^{i\gamma_{5}\left(t_{a}\Pi_{a} + \frac{\theta{'}}{f_{\theta{ '}}}\right)} \equiv e^{i\gamma_{5}\hat{A}}, \quad \hat{A} = \begin{pmatrix} \frac{\pi^{0}}{f_{\pi}} + \frac{\eta^{0}}{\sqrt{3}f_{\pi}} + \frac{\eta{'}}{f_{\eta{ '}}} & \frac{\sqrt{2}\pi^{+}}{f_{\pi}} & \frac{\sqrt{2}K^{+}}{f_{\pi}} \\ \frac{\sqrt{2}\pi^{-}}{f_{\pi}} & -\frac{\pi^{0}}{f_{\pi}} + \frac{\eta^{0}}{\sqrt{3}f_{\pi}} + \frac{\eta{ '}}{f_{\eta{'}}} & \frac{\sqrt{2}K^{0}}{f_{\pi}} \\ \frac{\sqrt{2}\bar{K}^{-}}{f_{\pi}} & \frac{\sqrt{2}\bar{K}^{0}}{f_{\pi}} & -\frac{2\eta^{0}}{\sqrt{3}f_{\pi}} + \frac{\eta{'}}{f_{\eta{'}}}\end{pmatrix}$$.

Кварковий масовий член, який порушує початкову симетрію, генерує маси мезонам:

$$\ L_{\text{mass}} = -2\langle \bar{\tilde{u}}\tilde{u}\rangle\text{Tr}\left[\hat{A}[\hat{M}, \hat{A}]_{+} \right] = -\frac{\langle \bar{\tilde{u}}\tilde{u}\rangle}{f_{\pi}^{2}} \times $$

$$\ \times \Bigg[4m_{u}\left(\frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{6}}\eta_{0} + \frac{f_{\pi}}{f_{\eta{'}}}\eta{'} \right)^{2} + 4(m_{u}+m_{d})\pi^{+}\pi^{-} + 4(m_{u}+m_{d})K^{+}\bar{K}^{-} +4m_{d}\left(-\frac{\pi^{0}}{\sqrt{2}}+ \frac{1}{\sqrt{6}}\eta_{0} + \frac{f_{\pi}}{f_{\eta{'}}}\eta{'}\right)^{2} +$$

$$\ + 4(m_{d}+m_{s})K^{0}\bar{K}^{0}+ 4m_{s}\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\eta^{0}+\frac{f_{\pi}}{f_{\eta{'}}}\eta{'} \right)^{2} \Bigg]$$.

З цього виразу видно, що масова матриця містить окремо квадратичні форми незаряджених мезонів, і окремо квадратичні форми заряджених та дивних мезонів. Діагоналізовуючи матрицю незаряджених мезонів, можна отримати маси незаряджених мезонів - піону та $$\ \eta{'}$$-мезону:

$$\ m_{1}^{2} = \frac{4\langle \bar{\tilde{u}}\tilde{u}\rangle (m_{u}+m_{d})}{f_{\pi}^{2}}, \quad m_{2}^{2} = \frac{4\langle \bar{\tilde{u}}\tilde{u}\rangle (m_{u}+m_{d})}{\sqrt{\frac{f_{\pi}^{2}}{9}+f_{\eta{ '}^{2}}}}$$.

Перше значення відповідає масі нейтрального піону, а друге - масі $$\ \eta{ '}$$-мезону. Таким чином, кіральна ефективна теорія поля, заснована на існуванні непорушеної $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ симетрії, передбачає, що існує псевдоскалярний мезон із масою у $$\ m_{\eta{ }} \leqslant \sqrt{3}m_{\pi^{0}}$$. На практиці такого мезону не спостерігається, що означає (інші передбачення кіральної теорії поля, із врахуванням члену Весса-Зуміно-Віттена, повністю збігаються із експериментом) неправильність припущення про початкову непорушену групу симетрії. І дійсно, підгрупа $$\ U_{L}(1)\times U_{R}(1) $$ є порушеною аномалією, оскільки при кіральному перетворенні $$\ q \to e^{i\alpha \gamma_{5}}q$$ (для всіх кварків $$\ q$$) коефіцієнт при аномалії ненульовий лише для $$\ U_{A}(1)SU_{A}(3)^2$$ (індекс $$\ A $$ помічає кіральне перетворення): заряди $$\ Q_{L}$$ лівих кварків відносно $$\ U_{A}(1)$$ дорівнюють одиниці, а правих - мінус одиниці. Тому в силу співвідношення для генераторів $$\ [t^{\text{SU(3)}}_{a},t^{\text{SU(3)}}_{b}]_{+} = N\delta_{ab}$$ маємо

$$\ D_{abc} = \delta_{ab}\left( \sum_{q_{L}}Q_{L}^{3} - \sum_{q_{R}}Q_{R}^3\right) = 2n_{f}\delta_{ab}$$

(тут $$\ n_{f} = 3$$), і тому підгрупа $$\ U_{A}(1)$$ із самого початку порушена аномальним членом

$$\ \frac{g_{s}^{2}}{32 \pi^{2}}D_{abc}G_{\mu \nu}^{a}\tilde{G}^{\mu \nu}_{b} = \frac{2n_{f}g_{s}^{2}}{32 \pi^{2}}G_{\mu \nu}^{a}\tilde{G}^{\mu \nu}_{b}$$.

Інтеграл від члену не дорівнює нулю лише при умові включенні інстантонних конфігурацій до континуального інтегралу.

Фізичний зміст тета-члену
Тета-член порушує $$\ P$$-парність (оскільки тензор Леві-Чивіта є псевдотензором) та $$\ T$$-парність, залишаючись інваріантним відносно C-перетворення; отже, він є неінваріантним відносно CP-перетворення. Щоб побачити це, достатньо записати перетворення полів та похідних відносно комбінованого CP-перетворення:

$$\ (CP) \hat{A}_{\mu}^{a}(x)(CP)^{-1} = -PA(Px), \quad CP \partial_{\mu}CP^{-1} = P\partial, \quad P_{\mu}^{\nu} = diag (1, -1, -1, -1)$$,

тобто, такий член порушує CP-парність.

Виявляється, що в рамках Стандартної моделі доданок $$\ (8)$$ вклад в параметр $$\ \theta $$ вносить не лише вакуум КХД. Для розуміння цього варто згадати про механізм введення мас для кварків. Вводився лагранжіан

$$\ L^{\varphi}_{Q} = -G_{ij}\begin{pmatrix} \bar{U}^{i}_{L} & \bar{D}^{i}_{L}\end{pmatrix}\varphi U^{j}_{R} - H_{ij}\begin{pmatrix} \bar{U}^{i}_{L} & \bar{D}^{i}_{L}\end{pmatrix}\tilde {\varphi}D^{j}_{R}, \quad \tilde{\varphi} = i\tau_{2}\varphi^{*}$$,

де $$\ G_{ij}, H_{ij}$$ - комплексні матриці. Їх можна представити у вигляді

$$\ G = V^{\dagger}_{u}M_{u}V_{u}K^{\dagger}_{u}, \quad H = V^{\dagger}_{d}M_{d}V_{d}K^{\dagger}_{d} \qquad (9)$$

(матриці $$\ V_{u, d}$$ були виділені із K простим перепозначенням $$\ K \to V K$$),

де $$\ M_{u, d}$$ - діагональні матриці мас кварків. Як вже було описано у статті про Стандартну модель, можна діагоналізувати ці матриці: перетворенням лише правих полів (а отже, кіральним перетворенням) прибрати матрицю $$\ K$$, а потім некіральним перетворенням прибрати матриці $$\ V$$. Таке перетворення призводить до виникнення $$\ CKM$$-матриці у операторі взаємодії із $$\ W-$$бозоном.

Тепер варто згадати розділ про аномалії: кіральне перетворення полів зумовлює появу ефективного лагранжіану $$\ -\frac{1}{32 \pi^{2}}\int d^{4}x \varepsilon^{ijkl}F^{a}_{ij}F^{a}_{kl}Arg [\text{det} GH]$$, що відповідає зсуву $$\ \theta $$ на $$\ \theta \to \bar{\theta} = \theta + 2Arg [\text{det} GH]$$.

Величина $$\ \bar{\theta}$$ являється фізичною величиною, оскільки являється базисно-незалежною мірою CP-порушення (кіральне перетворення, яке зануляє $$\ \bar{\theta}$$ при члені $$\ F \wedge F$$, призводить до його появи як фази масової матриці, і навпаки). Варто зазначити, що якщо хоч один кварк являється безмасовим, тоді $$\ det M_{u}M_{d} = 0$$, а отже, $$\ \bar{\theta}$$ являється нефізичним.

Виявляється, що тета-член генерує дипольний момент нейтрона, експериментальне значення якого дуже сильно обмежене. Якісно це можна побачити наступним чином.

Гамільтоніан взаємодії незарядженої частинки спіну $$\ \mathbf S$$ із ЕМ полем $$\ \mathbf E, \mathbf B$$ має вигляд

$$\ H = -\mu \left( \mathbf B \cdot \frac{\mathbf S}{S}\right) -d\left( \mathbf E \cdot \frac{\mathbf S}{S}\right)$$;

тут $$\ \mu, d$$ - значення відповідно магнітного та електричного дипольних моментів частинки. Можна показати, що останній член порушує $$\ CP$$-симетрію. Дійсно, магнітне поле є псевдовектором, спіновий вектор також є псевдовектором, а ось електричне поле є істинним вектором. Тому

$$\ \hat{P}\left( \mathbf B \cdot \frac{\mathbf S}{S}\right) \hat{P} = +\left( \mathbf B \cdot \frac{\mathbf S}{S}\right), \quad \hat{P}\left( \mathbf E \cdot \frac{\mathbf S}{S}\right) \hat{P} = -\left( \mathbf E \cdot \frac{\mathbf S}{S}\right)$$,

Тому гамільтоніан є CP-інваріантним,

$$\ \hat{CP} H\hat{CP} = H$$,

лише за умови рівності нулю дипольного моменту.

Експериментальний факт фактичної рівності нулю дипольного моменту нейтрона накладає обмеження на значення тета-параметру КХД. Це обмеження можна отримати наступним чином. Ефективний лагранжіан КХД при нульових температурах (тобто, нижче за шкалу спонтанного порушення симетрії КХД), який описує піон-нуклонну взаємодію, має вигляд

$$\ L_{\pi} \pi^{a}\bar{\Psi}(i\gamma_{5}g_{\pi NN} + \bar{g}_{\pi NN})\tau_{a}\Psi, \quad \Psi \equiv \begin{pmatrix} p \\ n\end{pmatrix}, \quad g_{\pi NN} = 13.4$$.

Тета-член КХД непертурбативним чином генерує константу $$\ g_{\pi NN} = \frac{2m_{s}m_{u}m_{d}}{f_{\pi}(m_{u} + m_{d})}(m_{\Xi} - m_{N})\bar{\theta}$$ псевдоскалярної взаємодії, яка явно порушує $$\ CP$$-інваріантність.

Включення взаємодії адронів із електромагнітним полем генерує, зокрема, діаграму, що зображена на рисунку; вона відповідає дипольному моменту нейтрона. Вона є формально розбіжною, проте у кіральній ефективній теорії поля із нуклонами існує природнє обрізання, що відповідає масі нейтрона. Тоді можна показати, що дипольний момент дорівнює



$$\ d_{N} = \frac{m_{N}}{4 \pi}g_{\pi NN}\bar{g}_{\pi NN}ln \left( \frac{m_{N}}{m_{\pi}}\right) \approx 5 \times 10^{-16}\text{e}\times\text{cm} \theta$$.

Експериментальне обмеження зверху на дипольний момент має вигляд $$\ d_{N} < 10^{-26} \text{e}\times\text{cm}$$, звідки $$\ \theta < 10^{-10} $$.

Питання неприродньої малості параметру $$\ \theta$$ називається сильною CP-проблемою (про спроби усунути її буде розказано у статті про аксіони).

Тета-член електрослабкого сектору
Наостанок варто сказати, чому у лагранжіані Стандартній моделі тета-член фігурує лише для полів КХД, а тета-члени $$\ SU_{L}(2)\times U(1)$$, $$\ -\frac{1}{64 \pi^{2}}\theta_{2}G_{\mu \nu}^{b}\tilde{G}^{\mu \nu}_{b} - \frac{1}{64 \pi^{2}}\theta_{3}B_{\mu \nu}B^{\mu \nu} $$ теорії відсутні. Виявляється, що їх завжди можна занулити за допомогою кіральних перетворень. Дійсно, як видно із $$\ (9)$$, юкавські константи можна зробити дійсними поворотом лише правих полів. Праві поля, втім, являються незарядженими відносно $$\ SU_{L}(2)$$-групи. Тому, здійснюючи перетворення лише лівих полів, можна перенести параметр $$\ \theta_{2}$$ до юкавських матриць $$\ G, H$$, а після цього здійснити перетворення правих полів, повністю прибравши фазу. Аналогічно, оскільки нейтрино є незарядженими, можна здійснити кіральне перетворення для них для того, щоб занулити параметр $$\ \theta_{3}$$.

Квантові флуктуації навколо інстантонних польових конфігурацій
Розглянемо набір полів $$\ \varphi (x)$$, евклідова дія яких має мінімум при $$\ \varphi = \varphi_{u, \nu}$$. Тут $$\ \nu$$ визначає топологічний тип конфігурації, а $$\ u$$ - неперервний набір параметрів, яким даний тип характеризується (положення, масштаб, напрям у калібрувальній групі тощо). Тоді евклідові функціональні інтеграли для таких конфігурацій можна записати, представивши функціональну залежність дії як $$\ I[\varphi ] = I[\varphi_{u, \nu} + \varphi {'}]$$, де $$\ \varphi {'}$$ - квантова флуктуація навколо стаціонарного значення:

$$\ \int D \varphi e^{i I[\varphi ]}O = \sum_{\nu}\int du \int D\varphi {'}e^{I[\varphi_{u, \nu} + \varphi {'}]}O \qquad (10)$$.

Розкладаючи дію навколо "стаціонарних" топологічних конфігурацій в рамках однопетльового наближення, можна отримати:

$$\ I[\varphi_{u, \nu} + \varphi {'}] \approx I[\varphi_{u, \nu}] - \frac{1}{2}\int d^{4}xd^{4}y \varphi_{l}{'}(x)\varphi_{m}{'}(y) K_{l, m}(x, y, u, \nu)$$.

Тоді, якщо поля $$\ \varphi $$ - бозонні, інтеграл $$\ (10)$$ дасть суму членів від згорток полів у $$\ O$$, домножену на $$\ (det K)^{-\frac{1}{2}} = \prod_{n}\left(\lambda_{n}(u, \nu )\right)^{-\frac{1}{2}}$$, де $$\ \lambda_{n}$$ - нетривіальні власні значення оператора $$\ K$$, причому вони відповідають такому підпростору $$\ K$$, флуктуації полів якого не змінюють значення (даного) топологічного числа $$\ \nu$$.

Перепозначивши всі поля $$\ \varphi $$ відповідним чином, можна переписати дію як $$\ I[\varphi ] \to \frac{1}{g^{2}} I[\varphi]$$, де $$\ g$$ - константа взаємодії, причому після такого перепозначення $$\ I[\varphi ]$$ не залежить від $$\ g$$. Наприклад, калібрувальні поля треба перепозначити як $$\ A_{\mu} \to \frac{1}{g}A_{\mu}$$. В результаті, кожне власне значення оператора $$\ K$$ пропорційне $$\ g^{-2}$$, тому $$\ det K \sim g^{M - N}$$. Тут $$\ M$$ - число всіх власних значень оператора $$\ K$$, а $$\ N = N(\nu )$$ - число нульових мод, що залежить від $$\ \nu$$ в тому сенсі, що визначається числом колективних параметрів, що відповідають перетворенням, які змінюють колективні параметри $$\ \nu$$.

Конфігурація із $$\ \nu = 0$$ не містить колективних параметрів, тому її вклад у дію - степенний ряд по $$\ g$$. Конфігурація із $$\ \nu = 1$$ містить чотири параметри, що визначають просторово-часове положення інстантона, параметр, що задає масштаб інстантона, і число $$\ N_{1}$$ перетворень групи, що не залишають інстантон інваріантним. Тому залежність інстантонів із $$\ \nu = 1$$ від константи зв'язку має вигляд

$$\ g^{-5 - N_{1}}e^{-\frac{8 \pi^{2}}{g^{2}}}$$.

Для $$\ \nu = 1$$ в $$\ SU(3)$$-теорії є три незалежних обертань і 8 перетворень Янга-Міллса. Проте оскільки інстантон є інваріантним відносно трьох незалежних комбінованих обертань і $$\ SU(3)$$ перетворень $$\ SU(2)$$-підгрупи, і інваріантний відносно перетворення $$\ SU(3)$$, яке (як гіперзаряд) комутує із усіма $$\ SU(2)$$ перетвореннями даної підгрупи, то $$\ N_{1} = 3+8 -3 - 1 = 7 $$. Тому маємо вклад $$\ g^{-12}e^{-\frac{8 \pi^{2}}{g^{2}}}$$.

Якщо ж серед полів є ферміонні,

$$\ I_{f}[\bar{\psi}, \psi ] = \int d^{4}xd^{4}y \bar{\psi}_{m}K_{m,x; l, y}(u, \nu )\psi_{l} \qquad (11)$$,

то у однопетльовому наближенні інстантонний вклад у дію буде рівний $$\ det (K)$$, і якщо є нульові моди, то цей вклад буде рівний нулю. Дійсно, можна розкласти $$\ \psi, \bar{\psi}$$ по власним модам $$\ K$$, можна інтеграл по $$\ \psi , \bar{\psi}$$ переписати як інтеграл по коефіцієнтам розкладу. Оскільки коефіцієнти нульових мод не входять у квадратичне наближення дії, то для кожної нульової моди отримується інтеграл по параметру, який не входить у підинтегральний розклад. Це означає, що вклад $$\ (11)$$ дорівнює нулю. Вклад може не дорівнювати нулю, якщо є по одній змінній інтегрування, що означає, що $$\ O$$ повинен містити по одному полю, що відповідає одній нульовій моді $$\ K$$. Нульові моди ферміонів визначаються теоремами про індекси на кшталт теореми Атьї-Зінгера, тому для заданого топологічного числа можливі не будь-які процеси.

Отриманий результат про вклад інстантонів у процеси ще раз показує, що інстантонні ефекти являються непертурбативними. Дійсно, кожна похідна від $$\ g^{-12}e^{-\frac{8 \pi^{2}}{g^{2}}}$$ при $$\ g = 0$$ рівна нулю, тому нулю дорівнював би весь ряд теорії збурень.