Потенціали Лієнара-Віхерта

Повернутися до розділу "Напруженість та індукція поля заряда, що рухається прискорено".

Вирази для потенціалів, отримані у розділі Потенціали поля, враховують прискорення заряда через "запізнення" розповсюдження взаємодії. Дійсно, із загальних інтегралів для потенціалів можна отримати:

$$\ \varphi = \frac{Q}{R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}}, \quad \mathbf A = \frac{Q \mathbf v }{c\left(R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}\right)} \qquad (.1)$$,

де $$\ \mathbf R = \mathbf R ( T ) = \mathbf x - \mathbf x_{0}(T ), \quad T: t - \tau - \frac{|\mathbf R (\tau )|}{c} = 0$$.

Дійсно, нехай, наприклад, розглядається інтеграл для $$\ \varphi$$:

$$\ \varphi (\mathbf x, T) = \int \frac{\rho ( \mathbf r, t - \frac{|\mathbf x - \mathbf r |}{c})d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r |} = \int \int \frac{\rho (\mathbf r, t) d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r|}\delta \left(t - \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf r |}{c}\right)d\tau = \int \int \frac{Q \delta (\mathbf r - \mathbf x_{0}(\tau )) d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r|}\delta \left(t - \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau)|}{c}\right)d\tau = $$

$$\ = \int \frac{Q \delta \left(t - \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau )|}{c}\right)d\tau}{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau)|} = \int \frac{Q \delta \left(t - \tau - \frac{|\mathbf R (\tau )|}{c}\right)d\tau}{|\mathbf R (\tau)|}$$.

Використовуючи властивість дельта-функції від складного аргументу (доведення диф. у розділі "Додаткові матеріали"),

$$\ \delta (f(\tau)) = \frac{\delta (\tau - T)}{\left|\frac{\partial f(\tau)}{\partial \tau}\right|_{\tau = T}}$$,

де $$\ T$$ - розв'язок рівняння $$\ f(\tau) = 0, $$, можна, користуючись

$$\ \frac{d |R (\tau )|}{d\tau } = \frac{d\sqrt{(\mathbf R \cdot \mathbf R )}}{d\tau } = \frac{1}{2|\mathbf R |}2\left(\frac{d \mathbf R}{d\tau }\cdot \mathbf R \right) = -\frac{(\mathbf v (\tau ) \cdot \mathbf R (\tau ))}{R (\tau )}$$,

отримати:

$$\ f(\tau ) = \tau - t + \frac{|\mathbf R (\tau)|}{c}, \quad \frac{df(\tau)}{d\tau} = \frac{d}{d\tau}\left(\tau - t + \frac{|\mathbf R (\tau)|}{c}\right) = \frac{R (\tau ) - \frac{(\mathbf v(\tau ) \cdot \mathbf R (\tau ) )}{c}}{R (\tau )}$$.

Отже, сам інтеграл набуде вигляду

$$\ \varphi = \int \frac{Q\delta (\tau - T)R d\tau}{R\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}\right)} = \frac{Q}{R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}}$$.

Зовсім аналогічно - і в випадку з виразом для векторного потенціалу:

$$\ \mathbf A = \frac{Q \mathbf v }{c \left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)}$$.