Ренормгрупа

Повернутися до розділу "Непертурбативні методи".

Схема перенормування on-shell. Проблеми із безмасовими теоріями
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Основи ренормгрупового підходу
В силу недовизності оператору хронологічного впорядкування, в силу недовизначеності S-матриці можна модифікувати її (експоненту) різними квазілокальними операторами, фіксуючи їх довільним чином. Це було використано у теорії перенормувань: нескінченності у квантовій теорії поля можна регуляризувати, застосувавши той чи інший вид регуляризації; структура оператору при регулярному виразі відповідає деякому локальному оператору (неважливо, є він чи відсутній у початковій, голій квантовій теорії поля). Якщо модифікувати S-матрицю, додавши до лагранжіану локальний оператор із константою-множником (контрчлен), що скорочує нескінченність, то теорія (у даному порядку теорії збурень) стає вільною від нескінченностей. Було показано (у рамках розділу про перенормування мас, полів та зарядів), що введення всіх контрчленів у перенормовних теоріях може бути "заховано" у (нескінченних) змінах констант зв'язку, мас та полів. Це означає також, що додавання контрчленів із скінченними константами еквівалентне скінченній зміні мас, полів і зарядів. Такі скінченні контрчлени, звісно, можуть бути додані до лагранжіану в силу недовизначеності S-матриці. Виникає питання: якщо нескінченна частина контрчленів може бути однозначно зафіксована із допомогою вимоги вільності теорії від нескінченностей, то як зафіксувати кінечні контрчлени? Способів це зробити (це називається схемою перенормування) є дуже багато, тому питання являється закономірним. Чи є якась схема перенормування більш бажаною за інші? Нагадаю, що внаслідок регуляризації кінечна частина контрчленів залежить від розмірного нефізичного параметру $$\ \mu$$. Нехай є якась фізична величина, яку ми вимірюємо на експерименті і яка залежить від перенормованих параметрів лагранжіану; наприклад, фізична маса $$\ m_{\text{phys}}$$. Вона, нагадаю, визначається полюсом пропагатора $$\ D(p^{2})$$:

$$\ \lim_{p^{2} \to m_{\text{phys}}^{2}}D^{-1}(p^{2}) = 0$$.

Перенормований пропагатор незалежно від схеми перенормування має структуру

$$\ D^{-1}(p^{2}) = p^{2} - m^{2} - \Sigma (p^{2}, \alpha, m^{2}, \mu)$$,

де $$\ m^{2}$$ - перенормований параметр маси лагранжіану, $$\ \alpha $$ - набір констант зв'язку теорії та $$\ \Sigma$$ - власна енергія.

Отже, при $$\ p^{2} = m_{\text{phys}}^{2}$$ маємо

$$\ m_{\text{phys}}^{2} = m^{2} + \Sigma (m^{2}, \alpha, \mu)$$

(де було враховано, що $$\ m_{\text{phys}}$$ можна записати у термінах $$\ \alpha, m^{2}, \mu$$). $$\ m_{\text{phys}}^{2}$$ має бути незалежною від масштабу $$\ \mu$$, тому має виконуватися рівність

$$\ \frac{d}{d\mu}m_{\text{phys}}^{2} = 0$$.

Ліва частина рівності є тривіальною, а права накладає незалежні від схеми перенормування обмеження на залежність від параметру перенормування $$\ m^{2}, \alpha$$.

Більш загально, нехай є (перенормована) константа зв'язку $$\ g_{0} = g(\mu )$$, де $$\ \mu$$ - параметр перенормування. Нехай далі здійснюється мала зміна параметру $$\ \mu \to \mu {'}$$. Тоді маємо $$\ g_{0} \to g {'} = \bar{g}\left(\frac{\mu {'}}{\mu }, g \right)$$. Нехай далі є деяка безрозмірна функція $$\ f = f\left( \frac{k}{\mu }, g \right)$$, яка безпосередньо задає фізику процесу. Тоді зміна $$\ \mu \to \mu {'}$$ виконується так, щоб виконувалась рівність

$$\ f = f\left( \frac{k}{\mu }, g_{0} \right) = f \left( \frac{k}{\mu{'}}, g{'}\right) = f\left( \frac{k}{\mu{'}}, \bar{g}\left( \frac{\mu{ '}}{\mu}, g_{0}\right)\right) \qquad (1)$$.

Тобто, функціональна залежність, що реалізується через $$\ \bar{g}(\mu )$$, дає незмінність фізики. Умова самоузгодженості для $$\ \bar{g}$$ має вигляд

$$\ g{} = \bar{g}\left( \frac{\mu{}}{\mu}, g\right) = \bar{g}\left( \frac{\mu{}}{\mu {'}} , g{'}\right) = \bar{g}\left( \frac{\mu{}}{\mu {'}} , \bar{g}\left( \frac{\mu{'}}{\mu} , g\right)\right) \qquad (2)$$

і виражає факт, що шлях $$\ \mu \to \mu {'}$$ можна пройти як за один крок, так і за довільну кількість кроків.

Далі зручно перейти до так званої $$\ \beta$$-функції, яка визначає швидкість зміни заряду $$\ g$$ у відповідь на зміну $$\ \mu$$:

$$\ \beta (g) = \left(\frac{d g}{d ln (\mu )}\right)_{f = const} = \left(\frac{d g{'}}{dln (\mu {'})}\right)_{g' = g} = \left(\frac{d}{d ln (t)} \bar{g}(t, g)\right)_{t = 1} = \left( \frac{d}{dt} \bar{g}(t , g)\right)_{t = 1} \qquad (3)$$.

З її допомогою залежність $$\ g(\mu )$$ можна подати як

$$\ d (ln (\mu )) = \frac{dg}{\beta (g)} = d\psi (g), \quad \psi (g) = \int \limits_{}^{g}\frac{du}{\beta (u)} \qquad (4)$$,

що еквівалентно твердженню $$\ d(\mu e^{-\psi (g)}) = d\Lambda (\mu, g) = 0$$. Таким чином, усім точкам на площині $$\ (\mu, g)$$, що пов'язані $$\ (4)$$, відповідає одна і та сама фізика і одні й та сама величина $$\ \Lambda$$. Це має далеко йдуче твердження: якщо на етапі перенормування був введений параметр $$\ \mu $$ (який завжди виникає на етапі регуляризації), що вніс вклад у константу зв'язку $$\ g$$, то при незмінній фізиці ці дві величини в дійсності входять як деяка величина $$\ \Lambda $$ у об'єкті, який був перенормований.

Бета-функцію можна обчислювати наступним шляхом. Оскільки умову $$\ (3)$$ можна задати також при $$\ g_{B} = const$$, де $$\ g_{B}$$ - перенормований заряд, маємо

$$\ \beta (g) = \left(\frac{d g}{d ln (\mu )}\right)_{g_{B} = const} = -\frac{\frac{dg_{B}}{d ln (\mu )}}{\frac{d g_{B}}{d g}}$$.

Наприклад, при використанні розмірної регуляризації типовий вигляд перенормованого заряду - $$\ g_{B} = \mu^{\varepsilon}\left(g + \frac{a(g)}{\varepsilon} + \frac{b(g)}{\varepsilon^{2}} + O \left(\frac{1}{\varepsilon^{3}} \right)\right)$$ (ряд - нескінченний), то бета-функція має вигляд

$$\ \beta (g) = - \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\frac{dg_{B}}{d ln (\mu )} }{\frac{d g_{B}}{d g}} = -\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\varepsilon \left( g + \frac{a(g)}{\varepsilon} + ...\right)}{1 + \frac{a'(g)}{\varepsilon } + ...} = \lim_{\varepsilon \to 0} \varepsilon \left(-g -\frac{1}{\varepsilon} (a(g) - g a{'}(g)) - \frac{1}{\varepsilon^{2}}(b(g) + a^{'2}(g) - a{'}(g)a(g) - b{'}(g)g) + ...\right) \qquad (5)$$.

При взятті ліміту функція $$\ b(g), ...$$ підбираються так, щоб скоротилися усі нескінченності. У виразі $$\ (4)$$ це означає, що $$\ \beta (g) = ga'(g) - a(g)$$, $$\ b (g)$$ задовольняє диференціальному рівнянню $$\ b(g) + a^{'2}(g) - a{'}(g)a(g) - b{'}(g)g = 0$$, і т.д.

Рівняння ренормгрупи
Вирази $$\ (1), (2)$$ в деякій мірі нагадують визначення групи. Поглиблюючи цю схожість, можна переписати їх у формі

$$\ f(xt, g) = f(x, \bar{g}(t , g), \quad \bar{g}(xt , g) = \bar{g}(x, \bar{g}(t, g)), \quad \bar{g}(1, g) = g \qquad (5)$$.

Диференціюючи другу рівність у точці $$\ x = 1$$ і використовуючи визначення $$\ \beta $$-функції, можна отримати

$$\ t \frac{d}{dt}\bar{g}(t, g) = \beta (\bar{g}(t , g)) \qquad (6)$$.

Еквівалентно, $$\ (6)$$ можна подати у формі

$$\ d(ln(t)) = \frac{d \bar{g}(t, g)}{\beta (\bar{g}(t, g))} \Rightarrow ln(t) = \psi (\bar{g}(t , g)) - \psi (g) = \int \limits_{g}^{\bar{g}(t , g)}\frac{du}{\beta (u)} \qquad (7)$$.

Продиференціювавши дві перші рівності $$\ (5)$$ по $$\ t$$ і поклавши $$\ t = 1$$, після чого перепозначивши $$\ x$$ через $$\ t$$, можна отримати

$$\ \left(t\frac{d}{dt} - \beta (g)\frac{d}{dg} \right)\bar{g}(t, g) = 0, \quad \left(t\frac{d}{dt} - \beta (g)\frac{d}{dg}\right)f(t , g) = 0 \qquad (8)$$.

Рівняння $$\ (6)-(8)$$, доповнені третьою умовою, називаються рівняннями ренормгрупи. Всі вони еквівалентні: із умовою третьої рівності $$\ (5)$$ ефективний заряд $$\ \bar{g}(t, g)$$ відновлюється (еквівалентно) за допомогою кожного з рівнянь $$\ (6), (7)$$.

Можна також встановити важливий факт: записавши $$\ \bar{g}(g, t) $$ як розклад по $$\ ln(t)$$,

$$\ \bar{g}(t, g) = \bar{g}(1 , g) + ln(t) \bar{g}'(t , g)_{t = 1} + \frac{1}{2}ln^{2}(t)\bar{g}{''}(t , g)_{t = 1} + ... = \left| \bar{g}(1, g) = g, \bar{g}'(t , g)_{t = 1} = \beta (g)\right| = g + \beta (g) ln(t) + \frac{1}{2}ln^{2}(t)\bar{g}{''}(t , g)_{t = 1}$$,

і підставивши цей розклад у перше рівняння $$\ (8)$$, можна отримати

$$\ \left( \frac{d}{d(ln(t))} - \beta (g) \frac{d}{dg}\right)\left( g + \beta (g) ln(t) + \frac{1}{2}ln^{2}(t)\bar{g}{}(t, g)_{t = 1}\right) = \beta (g) + ln(t)\bar{g}{}(t , g)_{t = 1} + ... - \beta (g)(1 + ln(t)\beta{'}(g) + ...) = 0 \Rightarrow$$

$$\ \bar{g}{''}(t, g)_{t = 1} = \beta (g) \beta {'}(g), ...$$.

Отже, знаючи $$\ \beta$$-функцію, можна відновити увесь ряд ефективного заряду $$\ \bar{\beta}$$.

Тепер можна поговорити про роль ренормгрупи у теорії збурень. Нехай $$\ t$$ у першій рівності $$\ (5)$$ має зміст великого по величині імпульсного аргументу (точніше, множника, що рівномірно збільшує усі імпульси). Тоді залежність функції $$\ f$$ від імпульсу ефективно перейшла в $$\ \bar{g}$$. Якщо при $$\ t \to \infty$$ $$\ \bar{g}(g ,t) \to 0$$, то замість початкового заряду $$\ g$$ для розкладу у ряд теорії збурень можна використовувати $$\ \bar{g}$$, уникаючи, таким чином, проблем із виходом за рамки теорії збурень.

Для прикладу розберемо теорію, у якої $$\ \beta (g) = ag^{2} + O(g^{3}), a < 0$$. Тоді рівняння $$\ (6)$$ можна записати як

$$\ t \partial_{t} \bar{g}(t, g) = a\bar{g}^{2}(t, g) \Rightarrow \left|\bar{g}(1, g) = g\right| \Rightarrow \bar{g}(t , g) = \frac{g}{1 - aln(t) g}$$.

Можна також представити еквівалентний вираз для бета-функції, використавши той факт, що зазвичай константи зв'язку перенормовуються як

$$\ g_{r} =g \frac{\prod_{i}\sqrt{Z}_{i}}{Z} = g \tilde{Z}$$,

$$\ Z$$ - перенормування вершинної функції, $$\ Z_{i}$$ - константи перенормування взаємодіючих полів. Наприклад, у реалістичних калібрувальних теоріях

$$\ g_{r} = g \frac{Z_{2}\sqrt{Z_{3}}}{\tilde{Z}_{1}}$$,

де $$\ Z_{2}$$ - константа перенормування ферміонного поля, $$\ Z_{3}$$ - константа перенормування калібрувального поля, $$\ Z_{1}$$ - константа перенормування вершинної функції. Бета-функція рівна

$$\ \beta (g_{r}) = \mu \partial_{\mu} \left( g_{r}(g, \mu )\right) = g \mu \partial_{\mu}\left( \frac{\prod_{i}\sqrt{Z}_{i}}{Z} \right) \qquad (9)$$.

Скористаємось тепер тим фактом, що $$\ \mu$$ входить у константи перенормування (в силу їх безрозмірності) лише у складі виразу $$\ \frac{\Lambda}{\mu}$$ (точніше, $$\ ln \left( \frac{\Lambda}{\mu}\right)$$. В силу $$\ (\mu \partial_{\mu} + \Lambda \partial_{\Lambda})ln \left(\frac{\Lambda}{\mu}\right) = 0$$ $$\ (9)$$ можна перетворити як

$$\ \beta (g_{r}) = -g \Lambda \partial_{\Lambda} \tilde{Z}\left(\frac{\Lambda}{\mu}, g \right) = \left| g_{r}dln(\tilde{Z}) = gd\tilde{Z}\right| = -g_{r}\Lambda \partial_{\Lambda}\left(ln(\tilde{Z})\right) = -g_{r}\Lambda \partial_{\Lambda} \left( -ln(Z) + \sum_{i}ln(Z_{i})\right) = g_{r}\mu \partial_{\mu}\left( -ln(Z) + \frac{1}{2}\sum_{i}ln(Z_{i})\right) $$.

Далі, вводячи функцію $$\ \delta_{i} = 1 + Z_{i}$$, маємо $$\ ln(Z_{i}) \approx \delta_{i}$$, і тому

$$\ \beta (g_{r}) \approx g_{r}\mu \partial_{\mu}\left( -\delta + \frac{1}{2}\sum_{i}\delta_{i}\right) \qquad (10)$$.

Цей результат є дуже зручним і буде використовуватися для перенормування заряду у КЕД та для демонстрації асимптотичної свободи КХД.

n-хвістки
Для ренормгрупового аналізу закон перетворення n-хвісток відрізняється від зарядового закону деяким множником $$\ Z_{\Gamma}$$, який визначає перенормування полів:

$$\ \Gamma (xt, g) = \frac{1}{Z_{\Gamma}(t, g)}\Gamma (x, \bar{g}(t , g)), \quad Z_{\Gamma}(x , t) = Z_{\Gamma}(t , g)Z_{\Gamma}(x, \bar{g}(t , g)), \quad Z_{\Gamma}(1 , g) = 1 \qquad (11)$$.

Диференціюванням можна отримати звідси рівняння для $$\ Z_{\Gamma}, \Gamma $$:

$$\ t\partial_{t}ln (Z_{\Gamma}(t, g)) = \gamma_{\Gamma}(\bar{g}(t , g)), \quad (t\partial_{t} - \beta (g)\partial_{g} + \gamma_{\Gamma}(g))\Gamma (t , g) = 0, \quad \gamma_{\Gamma}(g) = \partial_{t}ln (Z_{\Gamma}(t, g))_{t = 1} \qquad (12)$$,

де функцію $$\ \gamma_{\Gamma} $$ (яка ще називається аномальною розмірністю), як і $$\ \beta $$, обчислюють по теорії збурень. Використавши $$\ (8)$$, можна записати розв'язки $$\ (9)$$ як

$$\ Z_{\Gamma}(t, g) = e^{\int \limits_{1}^{t} \frac{du}{\gamma_{\Gamma}(\bar{g}(u , g)}} = e^{\int \limits_{g}^{\bar{g}(t , g)}\frac{du \gamma_{\Gamma}(u)}{\beta (u)}}, \quad \Gamma (xt , g) = \Gamma (x, \bar{g}(t , g))e^{-\int \limits_{g}^{\bar{g}(t , g)}\frac{du \gamma_{\Gamma}(u)}{\beta (u)}}$$.

Можна також дуже простим чином ввести масу у рівняння для n-хвістки: воно буде модифіковуватися як

$$\ (t\partial_{t} - \beta (g)\partial_{g} + \gamma_{\Gamma}(g) + \mu \frac{\partial m}{\partial \mu}\frac{\partial}{\partial m})\Gamma (t, g, m) = (t\partial_{t} - \beta (g)\partial_{g} + \gamma_{\Gamma}(g) + m\gamma_{m}(g)\frac{\partial}{\partial m})\Gamma (t, g, m) = 0 $$.

Отримане рівняння ще називається рівнянням Каллана-Симанзика.

Різні види перенормувань та ренормгрупа
Не дивлячись на різний вигляд бета-функцій у залежності від виду регуляризації (наприклад, якщо робити регуляризацію звичайним обрізанням меж інтегрування, то вона буде виглядати іншим чином у порівнянні із випадком розмірної регуляризації), фізичні результати не повинні, звісно, залежати від цього. Цей підрозділ встановить межі довільності у ренормгрупових рівняннях, які визначаються видом регуляризації.

Перепишемо рівняння $$\ (1)$$ із урахуванням введеного після рівняння $$\ (4)$$ об'єкту $$\ \Lambda = \Lambda (\mu, g) = \mu e^{-\psi (g)}, \psi (g) = \int \limits_{}^{g}\frac{du}{\beta (u)}$$:

$$\ f\left( \frac{k}{\mu}, g \right) = f\left( 1, \bar{g}\left( \frac{k}{\mu}, g\right)\right) = \Phi \left( ln\frac{k}{\Lambda}\right)\qquad (13)$$,

яке знадобиться у подальшому.

Врахуємо тепер, що різні види регуляризацій змінюють лише заряди $$\ g \to \tilde {g}$$ (маси не розглядаються для компактності викладок, проте їх включення нічого суттєво не змінить). Тоді будь-які фізичні об'єкти типу ренормованих констант зв'язку і нефізичні об'єкти типу n-хвісток зміняться відповідно як

$$\ f\left( \frac{k}{\mu}, g\right) = \tilde{f}\left( \frac{k}{\mu}, \tilde{g} (g)\right), \quad \Gamma \left(\frac{k}{\mu} , g \right) = q(g)\tilde{\Gamma}\left( \frac{k}{\mu}, \tilde {g}(g)\right) \qquad (14)$$.

Далі, прямим наслідком $$\ (4)$$ є рівності

$$\ \frac{dg}{\beta (g)} = d\psi (g) = d ln(\mu ) = d \tilde {\psi}(\tilde (g)) = \frac{d \tilde {g}}{\tilde {\beta} (\tilde {g})} \quad (15)$$,

які кажуть про те, що вся довільність (що утворюється через вибір виду регуляризації) у $$\ \beta (g), \Lambda$$ зводиться до адитивної довільності у $$\ \beta (g)$$ і мультиплікативної довільності у $$\ \Lambda $$ (вона не залежить від $$\ g$$).

Правила переходу для $$\ \beta $$-функції можна отримати із виразу $$\ (13)$$:

$$\ \tilde {\beta}(\tilde {g}(g)) = \beta (g) \frac{d \tilde {g}(g)}{dg}$$.

Із використанням цього виразу більш громіздким шляхом можна отримати вираз для перетворення $$\ \gamma_{\Gamma}$$. Для початку треба врахувати, що $$\ \Gamma \left(\frac{k}{\mu}, g\right), \tilde{\Gamma} \left( \frac{k}{\mu}, \tilde {g}\right)$$ задовольняють рівнянням $$\ (12)$$:

$$\ \left(t\partial_{t} - \beta (g) \partial_{\beta} + \gamma_{\Gamma}(g)\right)\Gamma (t, g) = 0, \quad \left(t\partial_{t} - \tilde{\beta} (\tilde{g}) \partial_{\tilde{\beta}} + \tilde{\gamma}_{\Gamma}(\tilde{g})\right)\tilde{\Gamma} (t , \tilde{g}) = 0 \qquad (16)$$.

Далі можна використати рівності

$$\ \Gamma(t, g) = q(g)\tilde{\Gamma}(t, \tilde{g}), \quad \tilde{\beta}(\tilde{g}) = \frac{d \tilde {g}}{dg}\beta (g) $$

і підставити їх у друге рівняння $$\ (16)$$:

$$\ \left(t\partial_{t} - \beta (g) \partial_{\beta} + \tilde{\gamma}_{\Gamma}(\tilde{g})\right)\frac{1}{q(g)}\Gamma (t, g) = \frac{1}{q(g)}\left( t\partial_{t} - \beta (g) \partial_{\beta} + \gamma_{\Gamma}(g) \right) + \Gamma (t ,g)\left[ \frac{1}{q(g)}\tilde{\gamma}_{\Gamma}(\tilde{g}) - \frac{1}{q(g)}\gamma_{\Gamma}(g)-\beta (g)\partial_{g}\left( \frac{1}{q(g)} \right) \right] = $$

$$\ =\Gamma (t ,g)\left[ \frac{1}{q(g)}\tilde{\gamma}_{\Gamma}(\tilde{g}) - \frac{1}{q(g)}\gamma_{\Gamma}(g)-\beta (g)\partial_{g}\left( \frac{1}{q(g)} \right) \right]= 0 \Rightarrow \tilde{\gamma}_{\Gamma}(\tilde{g}) = \gamma_{\Gamma}(g) - q(g) \beta (g)\frac{q'(g)}{q^{2}(g)} = \gamma_{\Gamma}(g) - \beta(g)\partial_{g}ln (q(g)) $$.

Об'єднаємо також рівності $$\ (4), (13)$$:

$$\ \frac{d\psi (\bar{g}(t, g))}{d ln (t)} = 1 \Rightarrow \psi (\bar{g}(t, g)) = ln(t) + \psi (g) \Rightarrow \psi \left( \bar{g}\left( \frac{k}{\mu}, g \right) \right) = ln \left( \frac{k}{\mu}\right) + \psi (g) = \left| \Lambda = \mu e^{-\psi (g)}\right| = ln\left( \frac{k}{\Lambda}\right) = L \Rightarrow $$

$$\ \bar{g} = \psi^{-1}(L), \quad f(1, \bar{g}) = \Phi (L)$$,

де введений $$\ L $$ - новий, "фізичний" параметр розкладу. Його "фізичність" обГрунтовується тим, що він практично не залежить від вибору регуляризації; довільність його, в силу мультиплікативної довільності $$\ \Lambda$$, визначається лише адитивними константами. Проте зсувом цього параметру можна повністю знищити відмінність для різних видів регуляризації.

Застосуємо $$\ (14)$$ для визначення схемної залежності функції $$\ \Phi (L)$$:

$$\ \Phi (\psi (x)) = \varphi (1, x) = \tilde{\varphi} (1, \tilde {g}(x)) = \tilde{\Phi}(\tilde {\psi}(\tilde {g}(x))) = |\tilde{\psi}(\tilde{g}(x)) = \psi (x) + const| =\tilde{\Phi}(\psi (x) + const) $$,

де використаний результат рівності $$\ (15)$$: $$\ \tilde{\psi}(\tilde{g}(x)) = \psi (x) + const$$. Це повністю узгоджується із мультиплікативною довільністю $$\ \Lambda$$ і адитивною довільністю $$\ L$$.

Можна також знайти явний вигляд для $$\ \psi (g), \bar{g} = \psi^{-1}(L)$$ (перейшовши, таким чином, до "фізичного" параметру розкладу $$\ L$$), використовуючи частинний випадок для вигляду $$\ \beta (g)$$ (виявляється, що він часто зустрічається) і вираз $$\ (4)$$, розклавши його в ряд по параметру $$\ g$$:

$$\ \beta (g) = ag^{2} + bg^{3} + O(g^{4}) \Rightarrow \psi (g) \int \limits_{}^{g}\frac{du}{au^{2} + bu^{3} + O(u^{4})} \approx \int \limits_{}^{g} \frac{du}{au^{2}}\left(1 - \frac{bu^{3}}{au^{2}} + O(u^{2})\right) = -\frac{1}{ag} - \frac{b}{a^{2}}ln(g) + const + O(g)$$.

Тепер можна знайти обернену функцію $$\ \psi^{-1}$$, яка потрібна для заміни $$\ \bar{g}$$ на $$\ L$$:

$$\ \bar{g} = \psi^{-1}(L) = $$

Ренормгрупа та масштабна аномалія
У цьому підрозділі буде показано, що квантова теорія поля явно порушує масштабну інваріантність, і відбувається це через біжучу по ренормгрупі константу зв'язку.

Розглянемо деякий класичну дію, яка описує безмасові поля $$\ \Phi (x)$$:

$$\ S[\Phi] = \int d^{4}xL(\Phi )$$.

Введемо так звані масштабні перетворення

$$\ x \to e^{\epsilon}x, \quad \Phi (x) \to \Phi{'}(x') = e^{\sigma \epsilon}\Phi (e^{-\epsilon }x), \quad L \to L{'} = e^{-4\epsilon}L$$,

де $$\ \sigma$$ співпадає із канонічною розмірністю поля $$\ \Phi$$. Відповідне інфінітезимальне перетворення має вигляд

$$\ \delta\Phi (x) = \epsilon (\sigma + x\cdot \partial_{x})\Phi (x) $$.

Відповідно,

$$\ \delta L \equiv \left( L(\Phi{'}(x')) - L(\Phi) \right) = \epsilon (4 + x\cdot \partial_{x})L$$.

Дія є інваріантною відносно такого перетворення. Класичний нетерівський струм, що пов'язаний із цією симетрією, має вигляд (тут $$\ T^{\mu \nu}$$ - тензор енергії-імпульсу)

$$\ D^{\mu} = T^{\mu \nu}x_{\nu}, \quad \partial_{\mu}D^{\mu} = \left| \partial_{\mu}T^{\mu \nu} = 0\right| = T^{\mu}_{\mu} = 0 \qquad (0.1)$$.

Стоїть питання, чи є справедливим відповідний закон збереження $$\ (0.1)$$ у квантовій теорії поля. Виявляється, він принципово порушується у будь-якій квантовій теорії поля: ренормгруповий потік визначає зміну поведінки константи зв'язку із масштабом, а отже, і зміну поведінки теорії із масштабом. Це порушення, як і порушення кіральних симетрій відповідною аномалією, пов'язано із наявністю розбіжностей у квантовій теорії поля. Взагалі, будь-яке порушення класичної непорушеної симетрії у квантовій теорії поля через наявність розбіжностей називається аномалією. Детальніше про це - у відповідній статті.

У цьому підрозділі буде отримано явний вираз для квантового закону збереження струму $$\ D^{\mu}$$.

Для цього треба ввести квантовий оператор масштабного перетворення.

Квантова реалізація масштабної симетрії
Отже, введемо оператор $$\ U(\epsilon)$$ такий, що його дія на поле $$\ \Phi (x)$$ буде визначатися законом

$$\ U(\epsilon)\Phi (x) U^{-1}(\epsilon) = e^{\epsilon \sigma}\Phi (e^{\epsilon}x) \qquad (0.2)$$,

де $$\ \sigma$$ - канонічна розмірність поля $$\ \Phi$$.

В силу теореми Вігнера, $$\ U$$ є унітарним оператором, а отже, його можна представити у вигляді

$$\ U(\epsilon ) = e^{i\epsilon D}$$,

де $$\ D$$ - генератор масштабних перетворень.

Явний же вигляд генератора $$\ D$$ отримується із розкладу в ряд визначення $$\ (0.2)$$:

$$\ [D, \Phi (x)] = -i(\sigma + x \cdot \partial_{x})\Phi (x) \qquad (0.2)$$.

Аномальні тотожності Уорда
Отже, розглянемо тотожність Уорда для функції

$$\ \langle \left|T\left(D_{\mu}(y)\Phi (x_{1})...\Phi(x_{n}) \right) \right|\rangle$$,

і подіємо на неї похідною $$\ \partial^{\mu}_{y}$$: у дусі виведення попередніх тотожностей наївні тотожності Уорда (отримані за допомогою виразів $$\ (0.1), (0.2)$$) мають вигляд

$$\ \partial^{\mu}_{y}\langle \left|T\left(D_{\mu}(y)\Phi (x_{1})...\Phi(x_{n}) \right) \right|\rangle = \langle |T(T^{\mu}_{\mu}\Phi (x_{1})...\Phi(x_{n}))|\rangle -i \sum_{i = 1}^{n}\delta (y- x_{i})\langle |T(\Phi (x_{1})...\delta\Phi (x_{i})...\Phi (x_{n}))|\rangle$$,

де варіація $$\ \delta \Phi (x_{i})$$ задана виразом $$\ (0.2)$$.

Виконуючи Фур'є перетворення, вводячи функції Гріна у імпульсному просторі через вираз

$$\ (2 \pi)^{4}\delta (p_{1}+...p_{n})G^{(n)}(p_{1},...p_{n-1}) \equiv \int dx_{1}...dx_{n}e^{i\sum_{i}p_{i}x_{i}}\langle \left|\left( \Phi(x_{1})...\Phi (x_{n})\right)\right|\rangle $$,

параметризуючи усі імпульси масштабним фактором,

$$\ \sum_{i}p_{i}\partial_{p_{i}} = \rho \partial_{\rho} \equiv |t = ln(\rho )| \equiv -\frac{\partial}{\partial t}$$,

та вводячи канонічну розмірність функції Гріна $$\ D \equiv 4 + n\sigma - 4n$$, можна отримати рівняння

$$\ \left( -\partial_{t} + D\right)G^{(n)}(e^{t}p_{1},...,e^{t}p_{n-1}) = -iG^{(n)}_{T^{\mu}_{\mu}}(0, e^{t}p_{1},...e^{t}p_{n-1}) \qquad (0.3)$$,

де Фур'є перетворення по $$\ y$$ було здійснено при $$\ p_{y} = 0$$.

Повністю аналогічне рівняння є справедливим для одночастинково незвідної функції Гріна $$\ \Gamma^{(n)}$$.

Варто порівняти такий вираз із виразом, який отримується із ренормгрупового підходу. Нехай здійснюється перетворення імпульсів $$\ p_{i} \to \rho p_{i}$$. У безмасовій теорії функція Гріна має поводити себе як ($$\ \mu$$ - енергетичний масштаб)

$$\ \Gamma^{(n)}(\rho p_{i}, \mu, g) = \mu^{D}f\left(\rho^{2}\frac{p_{i}\cdot p_{j}}{\mu^{2}}, g \right)$$.

Видно, що $$\ \Gamma^{(n)}$$ є однорідною функцією $$\ \rho, \mu$$. Використовуючи властивості однорідних функцій, можна отримати

$$\ \left( \rho \partial_{\rho} + \mu \partial_{\mu} - D\right)\Gamma^{(n)}(\rho p_{i}, g, \mu) = 0$$.

Використаємо тепер друге рівняння $$\ (12)$$, здійснивши в ньому перед цим перетворення імпульсу $$\ \Gamma (...,p_{i}, ...) \to \Gamma (..., \rho p_{i}, ...)$$, перепозначивши $$\ \gamma \to n\gamma$$ (для співпадіння позначень цього підрозділу і підрозділу про n-хвістки), і виразимо з нього $$\ \mu \partial_{\mu}\Gamma^{(n)}(\rho p_{i}, g, \mu)$$: ввівши змінну $$\ t = ln(\rho)$$, маємо

$$\ \left( \partial_{t} + \beta (g)\partial_{g} + n\gamma - D\right)\Gamma^{(n)}(\rho p_{i}, g, \mu) = 0 \qquad (0.4)$$.

Бачимо, що рівняння $$\ (0.3), (0.4)$$ масштабної поведінки функцій Гріна не співпадають, і причина неспівпадіння прямо визначається поведінкою констант зв'язку із зміною масштабу. Отже, масштабна інваріантність явно порушується через нескінченності у квантовій теорії поля, і закон збереження масштабного струму має бути модифікований аномальним членом.

Розмірнісна трансмутація
У статті про ренормгрупи обговорювалося, що нескінченності у квантовій теорії поля призводять до необхідності регуляризації, тобто, фактично, до введення розмірного параметру у початково безрозмірну теорію.

Як описувалось вище, внаслідок регуляризації у квантовій теорії поля виникає додатковий аномальний внесок у закон збереження дилатаційного струму. Відповідний внесок виникає внаслідок залежності параметрів квантової теорії - констант зв'язку - від масштабного фактору $$\ \mu$$. Умова незалежності фізичних величин, які у квантовій теорії є функціями від констант зв'язку та (явно) від масштабу $$\ \mu$$, від цього масштабу може бути сформульована у вигляді рівнянь ренормгрупи.

Зокрема, умовою на константу зв'язку є таке ренормгрупове рівняння

$$\ \frac{dg}{d\text{ln}(\mu)} = \beta(g)$$

Його розв'язком є те, що називають біжучою константою зв'язку.

Цю рівність можна переписати у вигляді

$$\ \text{ln}\left(\frac{\mu}{\mu_{0}}\right) = S(g(\mu )) - S(g(\mu_{0}))$$

Вираз залежить від константи інтегрування $$\ \mu_{0}$$. Обираючи цю константу $$\ \mu_{0} = \Lambda$$ такою, щоб $$\ S(g(\Lambda)) = 0$$, рівність можна записати у вигляді

$$\ \alpha (\mu) = S^{-1}\left[\text{ln}\frac{\mu}{\Lambda}\right] \approx -\frac{\pi}{|b_{1}|\text{ln}\left( \frac{\mu}{\Lambda}\right)},$$

де було використане головне наближення для бета-функції. Звідси видно, що при $$\ \mu = \Lambda$$

$$\ \alpha (\Lambda) = \infty ,$$

тобто, масштаб $$\ \Lambda$$ має зміст шкали конфайнменту. Обертаючи залежність, можна записати $$\ \Lambda$$ у термінах $$\ \mu, \alpha (\mu)$$ як

$$\ \Lambda = \mu e^{-\frac{\pi }{|b_{1}|\alpha (\mu)}}$$

Цей масштаб за побудовою не залежить від $$\ \mu$$. Відповідно, маємо зв'язок безрозмірної константи зв'язку та розмірної величини $$\ \Lambda$$, і теорію збурень по константі $$\ \alpha$$ тепер можна еквівалентно переписати у термінах розкладу по розмірній величині (а точніше, по степеням $$\ \frac{k}{\Lambda}$$, де $$\ k$$ - імпульс). Вказане явище називається розмірною трансмутацією.

Зокрема, у квантовій хромодинаміці шкала $$\ \Lambda$$ грає роль шкали конфайнменту, і ефективна теорія поля, що побудована для ступенів вільності, існуючих нижче за цю шкалу, має розмірний параметр $$\ \Lambda$$ у якості параметру розкладу.