Напівцілий спін

Повернутися до розділу "Поля довільного спіну".

Для випадку незвідних представлень напівцілого спіну можна вибрати представлення $$ \left( \frac{n + 1}{2}, \frac{n}{2} \right)$$, що відповідає спін-тензору $$ \psi_{aa_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}}$$.

У даному випадку конвертація усіх спінорних індексів у векторні неможлива, оскільки для одного неточкового індексу не вистачає точкової пари. Тому відповідне представлення може бути подане лише в вигляді

$$ h_{a\mu_{1}...\mu_{n}} = \frac{1}{2^{n}}(\tilde {\sigma}_{\mu_{1}})^{\dot {b}_{1}a_{1}}...(\tilde {\sigma}_{\mu_{n}})^{\dot {b}_{n}a_{n}}\psi_{aa_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}}$$.

Вочевидь, як і для представлення цілого спіну, об'єкт є симетричним за усіма векторними індексами. Відносно спінорного індексу виконується так звана $$ \sigma$$-безслідовість:

$$ (\tilde {\sigma}^{\mu_{1}})^{\dot {b}a}h_{a\mu_{1}...\mu_{n}} = \frac{1}{2^{n}}(\tilde {\sigma}^{\mu_{1}})^{\dot {b}a}(\tilde {\sigma}_{\mu_{1}})^{\dot {b}_{1}a_{1}}...(\tilde {\sigma}_{\mu_{n}})^{\dot {b}_{n}a_{n}}\psi_{aa_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}}= \frac{1}{2^{n - 1}}\varepsilon^{aa_{1}}\varepsilon^{\dot {b}\dot {b_{1}}}...(\tilde {\sigma}_{\mu_{n}})^{\dot {b}_{n}a_{n}}\psi_{aa_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}}$$

як згортка антисиметричного $$ \varepsilon^{aa_{1}}$$ із симетричним спінорним тензором.

Із цієї властивості витікає безслідовість тензора $$ h_{a\mu_{1}...\mu_{n}}$$ по векторним індексам. Дійсно,

$$ 0 = (\sigma^{\nu})_{c \dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu_{1}})^{\dot {b}a}h_{a\mu_{1}...\mu_{n}} = \delta^{a}_{c}g^{\mu_{1} \nu}h_{a\mu_{1} \nu...\mu_{n - 2}} = {h_{a}^{\quad \nu}}_{\nu ... \mu_{n - 2}} = 0$$,

де використана властивість $$ (\sigma^{\nu})_{c \dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu_{1}})^{\dot {b}a} = \delta^{a}_{c}g^{\mu_{1} \nu}$$.

Звичайно, для векторних компонент існує умова поперечності:

$$ \partial^{\mu}h_{a\mu...\mu_{n}} = 0$$.

Таким чином, незвідне представлення групи Пуанкаре зі спіном $$ n + \frac{1}{2}$$ реалізується представленням

$$ (\partial^{2} + m^{2})h_{a\mu_{1}...\mu_{n}} = 0, \quad (\tilde {\sigma}^{\mu_{1}})^{\dot {b}a}h_{a\mu_{1}...\mu_{n}} = 0, \quad \partial^{\mu}h_{a\mu...\mu_{n}} = 0, \quad {h_{a}^{\quad \nu}}_{\nu ... \mu_{n - 2}} = 0$$.

У статті про дискретні перетворення показано, що дія операторів дискретних перетворень групи Лоренца на представлення $$ \left(\frac{n}{2}, \frac{k}{2} \right)$$ переводить їх у $$ \left(\frac{k}{2}, \frac{n}{2} \right)$$. Тому треба брати пряму суму цих представлень. В результаті, треба буде знайти оператори проектування, яким повинні задовольняти відповідні підпростори потрібної для незвідності представлення розмірності.

Нехай, знову ж таки, розглядається представлення $$ \left( \frac{n + 1}{2}, \frac{n}{2} \right)\oplus \left( \frac{n}{2}, \frac{n + 1}{2} \right)$$. Воно реалізується стовпчиком

$$\ \Psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \begin{pmatrix} \psi_{a\mu_{1}...\mu_{n}} \\ \kappa^{\dot {a}}_{\quad \mu_{1}...\mu_{n}} \end{pmatrix}$$,

який, в принципі, є аналогічним до діраківського спінору за своїми властивостями.

$$\ \sigma$$-безслідовість кожного спінору відповідає $$\ \gamma$$-безслідовості такого біспінору. Властивості векторних індексів залишаються незмінними:

$$\ \Psi = \Psi_{(\mu_{1}...\mu_{n})}, \quad \partial^{\mu}\Psi_{\mu \mu_{1}...\mu_{n - 1}} = 0, \quad \Psi^{\mu}_{\ \mu \mu_{1}...\mu_{n - 2}} = 0$$.

Для забезпечення незвідності треба накласти також умову задовільнення спінором рівняння Дірака:

$$\ (i \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} = 0$$.

Спінорні хвилі
Варто зазначити, що у розв'язку рівнянь

$$\ \Psi_{\mu_{1}...\mu_{n}} (x) = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi)^{3}2 \epsilon_{\mathbf p}}}\left(u_{\mu_{1}...\mu_{n}}^{\sigma}(\mathbf p)a_{\sigma}(\mathbf p )e^{ipx} + v_{\mu_{1}...\mu_{n}}^{\sigma}(\mathbf p)b^{*}(\mathbf p)e^{-ipx}\right)$$

функції $$\ u, v $$ задовольняють рівнянням

$$\ (\gamma^{\mu}p_{\mu} - m)u_{\mu_{1}...\mu_{n}}^{\sigma}(\mathbf p) = 0, \quad (\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)v_{\mu_{1}...\mu_{n}}^{\sigma}(\mathbf p) = 0$$,

а також - співвідношенням

$$\ u^{\mu_{1}}_{\ \mu_{1}...\mu_{n - 1}} = p^{\mu}u_{\mu \mu_{1}... \mu_{n - 1}} = \gamma^{\mu}u_{\mu \mu_{1}... \mu_{n - 1}} = 0, \quad u_{\mu_{1}...\mu_{n}} = u_{(\mu_{1}...\mu_{n})}$$.

Ці рівності є очевидним записом вищенаведених умов незвідності у імпульсному представленні.

Окрім того, можна ввести проекційний оператор $$\ \frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}$$.

Варто також додати декілька слів про суму по поляризаціям. В силу рівності $$\ (\gamma^{\mu}p_{\mu} - m)u_{\mu_{1}...\mu_{n}}^{\sigma}(\mathbf p) = 0$$ можна стверджувати, що тензор $$\ \sum_{s}u^{s}_{\mu_{1}...\mu_{n}}\bar{u}^{s}_{\nu_{1}...\nu_{n}} = P_{AB}(p)$$ має структуру

$$\ P_{AB}(\mathbf p) = (\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)R_{AB}(\mathbf p)$$.

Поліном $$\ R_{AB}(\mathbf p)$$ зібраний, у силу коваріантності виразу, побудований як сума добутків парного числа імпульсів та гамма-матриць і добутків непарного числа імпульсів та гамма-матриць.

Маючи ці твердження, можна отримувати явні вирази для сум по поляризаціях. Наприклад, для спіну $$\ \frac{3}{2}$$ найбільш загальним виразом буде

$$\ D_{\mu \nu}^{\left(\frac{3}{2}\right)} = a(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)\left(g_{\mu \nu} + \frac{b}{p^{2}}p_{\mu}p_{\nu} + c\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}p^{\alpha}\gamma^{\beta}\gamma_{5}\right)$$.

Тут матриця $$\ \gamma_{5}$$, яка являється псевдоскаляром, з'явилася внаслідок того, що тензор Леві-Чивіта є, у свою чергу, псевдотензором (а оскільки сума по поляризаціях - тензор, то може складатися лише із суто тензорних величин; нагадаю, що псевдоскалярність $$\ \gamma_{5}$$ слідує із того, що вона містить згортку псевдотензора Леві-Чивіти із тензорною величиною).

Застосування усіх умов незвідності дозволяє зафіксувати величини $$\ a, b, c$$, якщо виконується рівняння $$\ (\gamma^{\mu}p_{\mu} - m)u = 0$$ (іншими словами, розглядається масова поверхня), тобто, якщо можна замінити $$\ \gamma^{\mu}p_{\mu}$$ на $$\ m$$. За умови того, що сума по поляризаціях діє на спінор (як складова пропагатора),

$$\ p^{\mu}u_{\mu}^{s} = 0 \Rightarrow p^{\mu}D_{\mu \nu}^{\left(\frac{3}{2}\right)} = a(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)(p_{\nu} + bp_{\nu}) = 0 \Rightarrow b = -1$$;

$$\ \gamma^{\mu}u_{\mu}^{s} = 0 \Rightarrow \gamma^{\mu}D_{\mu \nu}^{\left(\frac{3}{2}\right)} = a(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)\left( \gamma_{\nu} - \frac{p_{\nu}}{p^{2}}\gamma^{\mu}p_{\mu} + c\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\beta}p^{\alpha}\gamma_{5}\right) = \left| \gamma^{\mu}p_{\mu} = m, \quad \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\beta}p^{\alpha} = -2ip_{\nu} +2im\gamma_{\nu}\right| = 0 \Rightarrow c = \frac{i}{2m}$$.

Тут рівність $$\ \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\beta}p^{\alpha} = -2ip_{\nu} +2im\gamma_{\nu}$$ була отримана із наступних міркувань: в лівій частині $$\ \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\beta}$$ стоїть псевдотензор, антисиметричний за індексами, тому у правій може стояти лише величина $$\ A\gamma_{5}[\gamma_{\nu}, \gamma_{\alpha}] $$. Згорнувши вираз із $$\ \gamma_{\nu}, \gamma_{\alpha}$$, отримаємо, згідно із визначенням $$\ \gamma_{5} = \frac{i}{4!}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta}$$,

$$\ -4!i\gamma_{5} = A\gamma_{5}(\gamma_{\nu}\gamma_{\alpha}\gamma^{\nu}\gamma^{\alpha} - \gamma_{\alpha}\gamma_{\nu}\gamma^{\nu}\gamma^{\alpha}) = -4!A\gamma_{5} \Rightarrow A = i$$.

Врахувавши далі, що $$\ \gamma_{5}^{2} = 1$$, маємо

$$\ \gamma_{5}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\gamma^{\mu}\gamma^{\beta}p^{\alpha} = i\gamma_{\nu}\gamma_{\alpha}p^{\alpha} - i\gamma_{\alpha}p^{\alpha}\gamma_{\nu} = i\gamma_{\nu}m - 2ip_{\nu} + i\gamma_{\nu}m = 2i\gamma_{\nu}m - 2ip_{\nu}$$;

нарешті, $$\ a = 1$$.