Функція Лагранжа та дія для електромагнітного поля

Повернутися до розділу "Лагранжів формалізм".

Задати дію для електромагнітного поля (у порівнянні із дією для частинки) є дещо складнішою справою. Знову ж таки, поле можна характеризувати 4-потенціалом, проте треба враховувати те, що функція Лагранжа повинна задовільняти рівнянням Максвелла. Ці рівняння є лінійними диференціальними рівняннями другого порядку відносно компонент 4-потенціалу. Тоді сама функція Лагранжа повинна бути не більше ніж квадратична по потенціалам (польові рівняння Лагранжа понизять порядок рівняння по потенціалам). Тоді із 4-струму $$\ j^{\alpha}$$, потенціалу $$\ A^{\alpha}$$ та його похідних $$\ \partial_{\alpha}A_{\beta}$$ можна отримати наступні можливі доданки у функції Лагранжа:

$$\ A^{\alpha}j_{\alpha}, \quad A^{\alpha}A_{\alpha}, \quad (\partial_{\alpha}A_{\beta})(\partial^{\beta}A^{\alpha}), \quad (\partial_{\alpha}A_{\beta})(\partial^{\alpha}A^{\beta}), \quad A^{\alpha}j^{\beta} \partial_{\alpha} A_{\beta}, \quad A^{\alpha}j^{\beta} \partial_{\beta} A_{\alpha}$$.

Другий доданок буде призводити до теорії, у якої швидкість розповсюдження хвиль у вакуумі менше, ніж швидкість світла, та до порушення закону Кулона (відповідну теорію розглянуто у розділі "Деякі цікаві застосування теорії поля"). Дві останні комбінації призведуть до того, що потенціали стануть залежати від прискорення частинок. Дійсно, якщо взяти передостанню комбінацію, то її вклад до рівняння поля буде

$$\ \frac{\partial }{\partial A_{\beta}}A^{\mu}j^{\nu} \partial_{\mu} A_{\nu} = j^{\nu}\partial_{\beta}A_{\nu }, \quad \partial^{\alpha}\frac{\partial }{\partial (\partial_{\alpha }A_{\beta})} A^{\mu}j^{\nu} \partial_{\mu} A_{\nu} = \partial^{\alpha}(A_{\alpha}j_{\beta }) = j_{\beta}\partial_{\alpha}A^{\alpha} + A^{\alpha}\partial_{\alpha}j_{\beta }$$,

а якщо взяти останню, то

$$\ \frac{\partial }{\partial A_{\beta}}A^{\mu}j^{\nu} \partial_{\nu} A_{\mu} = j^{\nu}\partial_{\nu} A_{\beta}, \quad \partial^{\alpha}\frac{\partial }{\partial (\partial_{\alpha }A_{\beta})}A^{\mu}j^{\nu} \partial_{\nu} A_{\mu} = \partial^{\alpha}(A_{\beta }j_{\alpha }) = j_{\alpha} \partial^{\alpha}A_{\beta} + A_{\beta}\partial_{\alpha}j^{\alpha}$$.

Навіть якщо використати калібрувальну умову $$\ \partial_{\alpha}A^{\alpha} = 0$$ та умову рівняння неперервності для струму, $$\ \partial_{\alpha}j^{\alpha} = 0$$, то в результаті сумарний вклад доданків до рівняння поля буде

$$\ j^{\nu}\partial_{\beta}A_{\nu } + j^{\nu}\partial_{\nu}A_{\beta}, A^{\alpha}\partial_{\alpha}j^{\beta } + j_{\alpha} \partial^{\alpha}A_{\beta} \Rightarrow j^{\nu}\partial_{\beta}A_{\nu } , A^{\alpha}\partial_{\alpha}j^{\beta } $$.

Другий доданок відповідає похідній по струму, і через нього у потенціалах з'являється залежність від прискорення (див. аналогічні міркування у розділі Потенціали Лієнара-Віхерта). Тому, оскільки експериментально відхилення від рівнянь Максвелла не виявлено, ці комбінації можна відкинути.

Тому можна записати такий вираз для функції Лагранжа:

$$\ L = -\frac{1}{c}A^{\alpha}j_{\alpha} - \frac{a}{2}(\partial_{\alpha}A_{\beta})(\partial^{\alpha}A^{\beta}) + \frac{b}{2}(\partial_{\alpha}A_{\beta})(\partial^{\beta}A^{\alpha})$$.

Константа при першому доданку вибрана довільною, оскільки при домноженні функції Лагранжа на довільну константу самі рівняння руху не зміняться. Отже, домноживши на деяку константу, можна позбавитися від невизначеної константи у одному доданку (формально змінивши інші). Саме такою константа обрана для того, щоб впізнати у цьому доданку величину, що визначає поведінку частинки у полі (далі це буде доведено).

Рівняння Лагранжа для поля,

$$\ \frac{\partial L}{\partial A_{\beta}} = \partial_{\alpha}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha}A_{\beta})}\right)$$,

дають

$$\ \frac{\partial L}{\partial A_{\beta}} = -\delta^{\beta}_{\alpha}\frac{1}{c^{2}}j^{\alpha} = -\frac{1}{c^{2}}j^{\beta}, \quad \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha}A_{\beta})} = -2\frac{a}{2}\partial^{\alpha}A^{\beta} + 2 \frac{b}{2}\partial^{\beta}A^{\alpha} \Rightarrow $$

$$\ \Rightarrow -\frac{1}{c^{2}}j^{\beta} = \partial_{\alpha}\left( -a\partial^{\alpha}A^{\beta} + b\partial^{\beta}A^{\alpha} \right) = -a\partial^{2}A^{\beta} + b\partial^{\beta}\partial_{\alpha}A^{\alpha} \Rightarrow a\partial^{2}A^{\beta} - b\partial^{\beta}\partial_{\alpha}A^{\alpha} = \frac{1}{c}j^{\beta}$$,

де $$\ \partial^{2} = \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \Delta$$ - д'Аламбертіан.

Звідси видно, що функція Лагранжа буде задовільняти рівнянням Максвелла, тільки якщо $$\ \alpha = \beta = \frac{1}{4 \pi c}$$. Дійсно, тоді у явному (компонентному) вигляді ці рівняння можуть буди записані як

$$\ \partial^{2}\varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A)) = 4 \pi \rho \qquad (1)$$,

$$\ \partial^{2}\mathbf A + \nabla (\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A)) = \frac{4 \pi}{c}\mathbf j \qquad (2)$$.

Отже, функція Лагранжа для поля буде мати вигляд

$$\ L = -\frac{1}{c}A^{\alpha}j_{\alpha} - \frac{1}{8 \pi c}(\partial_{\alpha}A_{\beta})(\partial^{\alpha}A^{\beta}) + \frac{1}{8 \pi c}(\partial_{\alpha}A_{\beta})(\partial^{\beta}A^{\alpha}) = -\frac{1}{c^{2}}A^{\alpha}j_{\alpha} - \frac{1}{16 \pi c}F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} \qquad (3)$$.