Представлення квантової механіки. Представлення Гейзенберга та Шредінгера

Повернутися до розділу "Основи квантової механіки".

Використовуючи далі постулат Дірака про перенесення формалізму лапок Пуассона до квантової механіки, можна також ввести повну похідну від оператора по часу. Використовуючи вираз для повної похідної фізичної величини-функції через лапки Пуассона,

$$ \frac{d A}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + [H, A]_{P}$$,

доведене у попередньому розділі співвідношення $$\ [\hat {H}, \hat {A}]_{D} = \frac{i }{\hbar }[\hat {H}, \hat {A}] $$ та принцип відповідності, можна отримати відповідний операторний вираз

$$ \hat {\frac{d A}{dt}} = \hat {\frac{\partial A}{\partial t}} + \frac{i}{\hbar }[\hat {H}, \hat {A}] \qquad (.1)$$.

Таким чином, продовження застосування Пуассонового формалізму до квантової механіки дозволило ввести оператор повної та частинної похідних операторів по часу. Тепер треба з'ясувати, для яких випадків виконується $$ \hat {\frac{d A}{dt}} = \frac{d \hat {A}}{dt}$$. У загальному випадку це, звісно, не так, оскільки, використовуючи визначення для похідної через границю, можна побачити, що це потребує точного визначення значення фізичної величини у даний момент часу, що призводить до невизначеності значень цієї ж фізичної величини у подальші моменти часу.

Нехай проведене усереднення по координатам фазового простору оператора $$ \hat {A} $$ та взята повна похідна по часу від цього усереднення. Тоді в силу того, що проведене усереднення по координатам, повна похідна по часу відповідає частинній похідній по часу, і

$$ \frac{d}{dt}\langle \hat {A} \rangle = \frac{\partial}{\partial t}\langle \psi | \hat {A}| \psi \rangle = \langle \psi | \frac{\partial \hat {A}}{\partial t}| \psi \rangle + \langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | \hat {A}| \psi \rangle + \langle \psi | \hat {A}| \frac{\partial \psi}{\partial t} \rangle$$.

З іншого боку, можна провести усереднення $$ (.1)$$: тоді

$$ \langle\hat {\frac{d A}{dt}} \rangle = \langle \hat {\frac{\partial A}{\partial t}} \rangle + \frac{i}{\hbar }\langle [\hat {H}, \hat {A}] \rangle$$.

Якщо постулювати, що $$ \langle \hat {\frac{\partial A}{\partial t}} \rangle = \frac{\partial }{\partial t}\langle \hat {A}\rangle$$, то виконанням рівності $$\ \hat {\frac{d A}{dt}} = \frac{d \hat {A}}{dt}$$ можна отримати умову

$$ \frac{i}{\hbar }\langle [\hat {H}, \hat {A}] \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat {H}\hat {A}| \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat {A} \hat {H}| \psi \rangle = \langle \frac{\partial \psi}{\partial t} | \hat {A}| \psi \rangle + \langle \psi | \hat {A}| \frac{\partial \psi}{\partial t} \rangle$$.

Звідси природньо слідує, що

$$ i\hbar \frac{\partial |\psi \rangle}{\partial t} = \hat {H}|\psi \rangle, \quad i\hbar \frac{\partial \langle\psi |}{\partial t} = \langle \psi | \hat {H} \qquad (.2)$$.

Рівняння $$ (.2)$$ називаються рівняннями Шредінгера.

Якщо провести усереднення для рівняння, $$ \hat {F} = \langle \psi (0)| \hat {A}(t) |\psi (0)\rangle $$, де $$ \psi (0)$$ - власні вектори стану, що не залежать від часу, і вважати, що усереднення $$ \langle \frac{\partial \hat {F}}{\partial t} \rangle $$ рівне, рівняння набуде вигляду

$$ \frac{d}{dt}\langle \hat {A} \rangle =  \frac{i}{\hbar }\langle [\hat {H}, \hat {A}] \rangle$$.

Якщо, далі, до рівняння існує початкова умова $$ \hat {A}(0) = \hat {A} = const$$, а оператор $$\ \hat {H}$$ не залежить від часу, то можна отримати розв'язок-середнє значення $$ \langle \hat {A} (t) \rangle = \langle \psi (0) |e^{\frac{i}{\hbar }\hat {H}t}\hat {A}e^{-\frac{i}{\hbar }\hat {H}t}|\psi (0) \rangle = \langle \psi (0) |\hat {U}^{+}\hat {A}\hat {U}|\psi (0) \rangle$$,

де $$ \hat {U} = e^{-\frac{i}{\hbar }\hat {H}t}$$ називається оператором еволюції. Дійсно, якщо підставити цей розв'язок у початкове рівняння, можна отримати

$$ \frac{d \langle \hat {A} \rangle }{dt} = \langle | \psi (0) | \frac{i}{\hbar }\left(\hat {H} + t \frac{d\hat {H} }{dt}\right) \hat {U}^{+} \hat {A} \hat {U}| \psi (0) \rangle - \langle | \psi (0) |\hat {U}^{+} \hat {A}\hat {U}\frac{i}{\hbar }\left( \hat {H} - t \frac{d\hat {H}}{dt}\right) | \psi (0)\rangle = \frac{i}{\hbar }\langle \hat {H}\hat {A}(t)\rangle  - \frac{i }{\hbar }\langle \hat {A}(t)\hat {H} \rangle  = \frac{i }{\hbar }\langle [\hat {H}, \hat {A}(t)] \rangle $$,

де використана відсутність явної залежності оператора Гамільтона від часу:

$$ \frac{d \hat {H}}{dt} = [\hat {H}, \hat {H}] + \frac{\partial \hat {H}}{\partial t} = 0$$.

Таке представлення, у якому від часу залежить оператор, а його власні вектори є константами, називається представленням Гейзенберга.

З іншого боку, розв'язок операторного рівняння можна представити як

$$ \langle \hat {A} (t) \rangle = (\langle \psi (0) |\hat {U}^{+})\hat {A}(\hat {U}|\psi (0) \rangle ) = \langle \psi (t) | \hat {A} | \psi (t)\rangle $$.

Дійсно,

$$ \frac{d \langle \hat {A} (t) \rangle}{dt} = \langle \frac{d \psi (t)}{dt}| \hat {A} | \psi (t) \rangle + \langle \psi (t)| \hat {A}| \frac{d \psi (t)}{dt}\rangle = \frac{i}{\hbar }\langle \psi (t)| \hat {H}\hat {A}|\psi (t)\rangle - \frac{i}{\hbar }\langle \psi (t)| \hat {A}\hat {H} | \psi (t) \rangle = \frac{i}{\hbar }[\hat {H}, \hat {A}(t)]$$.

Тоді замість рівняння на оператор можна розглянути рівняння на власний вектор,

$$ i \hbar \frac{d |\psi (t)\rangle }{d t} = \hat {H}|\psi (t)\rangle $$,

розв'язок якого співпадає із $$ | \psi (t)\rangle = e^{-\frac{i}{\hbar }\hat {H}t}|\psi (0)\rangle $$ для початкової умови $$\ | \psi (0) \rangle $$.

Отримане рівняння називається нестаціонарним рівнянням Шредінгера, а відповідне представлення еволюції - шредінгерівським.

"Альтернативне" виведення рівняння Шредінгера
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$