Топологічні конфігурації в кіральній ефективній теорії поля. Баріони

Повернутися до розділу "Стандартна модель".

Скірміони у кіральних ефективних теоріях поля
Розглянемо $$\ d-$$вимірну дію у евклідовому часі (або, еквівалентно, енергію у $$\ d$$ просторових вимірах) кіральної ефективної теорії поля КХД, яка побудована як теорія, що описує псевдоголдстоунівські фази, які параметризують фактор-простір $$\ G \sim SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)/SU_{V}(3) \sim SU(3)$$:

$$\ S = -\int d^{d}x\left( \frac{f_{\pi}^{2}}{16}\text{Tr}[\partial_{i}U\partial_{i}U^{-1}] + ...\right), \quad U = e^{i\frac{\pi_{a}t_{a}}{f_{\pi}}}$$.

Стоїть питання: чи існують у теорії нетривіальні польові конфігурації такі, для яких дія $$\ S$$ скінченна? Виявляється, існують, причому їх існування продиктована топологією. Дійсно, для скінченності дії похідні від піонних полів $$\ \partial_{i}\pi_{a}(\mathbf x)$$ мають зникати на нескінченності швидше, ніж $$\ |\mathbf x|^{-d/2}$$. Це означає, що самі поля мають прямувати на нескінченності до константи $$\ \pi_{a}^{\infty}$$, а інші члени мають занулятися швидше, ніж $$\ |\mathbf x|^{-\frac{d-2}{2}}$$. Голдстоунівські поля $$\ \pi_{a}$$ утворюють у кожній точці фактор-простір $$\ G$$, тому будь-яке значення полів у даній точці можна перетворити у інше значення за допомогою перетворення із $$\ SU_{L}(3)\times SU_{R}(3) $$; наприклад, можна занулити $$\ \pi_{a}^{\infty}$$. Таким чином, $$\ \pi_{a}(x)$$ представляє собой відображення усього $$\ d-$$вимірного простору часу, у якому сфера $$\ x = \infty $$ являється однією точкою, у багатовид $$\ G$$ усіх значень поля.

$$\ d-$$вимірний простір же, у якому $$\ d-1$$-вимірна сферична поверхня на нескінченності являється однією точкою, топологічно еквівалентно $$\ d-$$вимірній сфері $$\ S_{d}$$ (поверхні $$\ d+1$$-вимірної кулі) у тому сенсі, что кожен із цих багатовидів може бути неперервно відображений у інший. Тому поля $$\ \pi_{a}(\mathbf x) $$, що обертаються у нуль на нескінченності, можна прокласифікувати по топологічно різним відображенням $$\ S_{d}$$ на багатовид $$\ G$$ польових змінних, для яких точка на нескінченності відображається в нуль, тобто, по гомотопічним класам гомотопічної групи $$\ \pi_{d}(G)$$. Для $$\ G \sim SU(3)$$, як є для кіральної теорії поля КХД, і при $$\ d = 3$$ виявляється, що $$\ \pi_{3}(SU(3)) = Z$$, тобто, топологічна група нетривіальна. Нетривіальні польові конфігурації, які залишають енергію скінченною при $$\ d = 3$$, називаються скірміонами.

Відповідний інтегральний інваріант Маурера-Картана має вигляд

$$\ n = \frac{1}{24 \pi^{2}}\int d^{3}\mathbf r e^{ijk}\text{Tr}\left( U\partial_{i}U^{-1}U\partial_{j}U^{-1}U\partial_{k}U^{-1}\right) \qquad (1)$$.

Стабільність скірміонних розв'язків. Векторні мезони
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Баріонне число та статистика скірміону
Нехай спочатку є "гола" кіральна теорія поля із дією

$$\ S = \int d^{4}x \frac{f_{\pi}^{2}}{4}\text{Tr}\left[ \partial_{\mu}U\partial^{\mu}U^{\dagger}\right] - N_{c}\Gamma_{WZ} \qquad (3)$$.

Користуючись нею, можна визначити квантові числа скірміону.

По-перше, визначимо баріонне число скірміону. Із розділу про член Весса-Зуміно відомо, що аномальна частина баріонного струму у термінах $$\ U$$ має вигляд

$$\ J^{\mu}_{B} = \frac{1}{24 \pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}\left( U^{-1}\partial_{\nu}UU^{-1}\partial_{\alpha}UU^{-1}\partial_{\beta}U\right)\qquad (2)$$.

Інтеграл від нульової компоненти $$\ (2)$$, або баріонний заряд, співпадає із топологічним інваріантом Маурера-Картана $$\ (1)$$. У результаті скірміон із топологічним числом $$\ n$$ несе баріонний заряд $$\ n$$.

Що можна сказати про спінову статистику скірміону? Для відповіді на це питання треба розглянути два процеси, в ході одного з яких скірміон знаходиться у спокої протягом часу $$\ T$$, а в ході іншого той же скірміон обертається на кут в $$\ 2\pi$$ протягом того же часу $$\ T$$. У дії $$\ (2)$$ ці два процеси розрізняє лише член Весса-Зуміно. Дійсно, звичайний член для скірміону, що не рухається поступально, дає

$$\ \sim \int dt \text{Tr}\left[\partial_{t}U\partial_{t}U^{\dagger} \right] = 0$$,

оскільки підинтегральна функція є другого порядку по похідним.

Член Весса-Зуміно же ненульовий відносно для даного процесу. Дійсно, скірміонне поле можна представити у вигляді

$$\ V(x) = \begin{pmatrix}W(x) & 0 \\ \hat{0} & 0 \end{pmatrix}$$,

де $$\ W(x)$$ - матриця групи $$\ SU(2)$$, яка є інваріантною відносно комбінованих ізоспінових обертань та обертання просторової координати $$\ x_{i}$$. Іншими словами, обертання на кут $$\ 2 \pi$$ навколо ізоспінової осі, що генерується оператором $$\ \tau_{3} = \text{diag}(1, -1)$$, еквівалентне обертанню на кут $$\ 2 \pi$$ навколо осі $$\ z$$. Вводячи періодичну часову координату $$\ t$$, що пробігає значення від нуля до $$\ 2 \pi$$, це твердження можна подати у вигляді

$$\ W(x, t) = e^{i\frac{\tau_{3}t}{2}}V(x)e^{-i\frac{\tau_{3}t}{2}} = W(R_{3}(t)x)$$.

Отже, поле

$$\ V(x, t) \equiv W(x, t) = \begin{pmatrix} e^{i\frac{\tau_{3}t}{2}}V(x)e^{-i\frac{\tau_{3}t}{2}} & 0 \\ \hat{0} & 1\end{pmatrix}V(x)\begin{pmatrix} e^{-i\frac{\tau_{3}t}{2}}V(x)e^{-i\frac{\tau_{3}t}{2}} & 0 \\ \hat{0} & 1\end{pmatrix}$$

описує скірміон, що обертається навколо вісі $$\ Oz$$ на кут $$\ 2 \pi$$. Перед обчисленням члену Весса-Зуміно для такої конфігурації варто подати $$\ V(x, t)$$ у більш зручному вигляді. Користуючись блочною діагональністю $$\ V(x)$$ і тим, що

$$\ e^{i\frac{\tau_{3}t}{2}} = cos\left(\frac{t}{2}\right) + i\sin\left( \frac{t}{2}\right)\tau_{3} = \begin{pmatrix} e^{\frac{it}{2}} & 0 \\ 0 & e^{-\frac{it}{2}}\end{pmatrix}$$,

маємо

$$\ V(x, t) = e^{\frac{it}{2}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{-it} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-\frac{it}{2}} \end{pmatrix}V(x)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{it} & 0 \\ 0 & 0 & e^{\frac{it}{2}} \end{pmatrix}e^{-\frac{it}{2}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{-it} & 0 \\ 0 & 0 & e^{it} \end{pmatrix}V(x)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & e^{it} & 0 \\ 0 & 0 & e^{-it} \end{pmatrix}$$

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$