Рівняння Дірака

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Виведення рівняння Дірака
Одночастинкові стани реалізуються представленнями $$\ \left( \frac{1}{2}, 0 \right), \quad \left( 0, \frac{1}{2}\right)$$, що відповідають спінорам $$\ \psi_{a}, \quad \psi_{\dot {a}}$$, кожне з яких має дві незалежні компоненти. На такі представлення, звичайно, не потрібно накладати умову $$\ (.8)$$. Якщо накласти умову інваріантності відносно дискретних симетрій, то треба розглядати не вказані представлення окремо, а їх суму. Тоді, звичайно, розмірність представлення буде на два більше, ніж треба. В результаті варто шукати рівняння поля, яке б зменшило вказану розмірність.

Як було описано у підрозділі Біспінорне представлення, прямій сумі представлень $$\ \left( \frac{1}{2}, 0 \right) + \left( 0, \frac{1}{2}\right)$$ відповідає діраківський біспінор

$$\ \Psi (x) = \begin{pmatrix} \psi_{a} \\ \kappa^{\dot {a}} \end{pmatrix}$$.

Отже, для нього треба побудувати оператор проектування на простір двовимірних незвідних представлень, який є інваріантним відносно спряжень та групи Пуанкаре. Для цього доцільно пригадати оператори $$\ \Delta_{a}^{\quad \dot {b}} = \frac{1}{m}\partial_{a}^{\quad \dot {b}}$$, що пов'язують стани одного спіну, але різних представлень, та відповідну їм четвірку виразів (див. розділ про масивні представлення)

$$\ \Delta_{a}^{\quad \dot {a}}\Delta^{\quad b}_{\dot {a}} = \delta^{b}_{a}, \quad \Delta_{a}^{\dot {a}}\Delta^{a}_{\dot {b}} = \Delta^{\dot {a}}_{\dot {b}}, \quad \Delta_{a \dot {a}}\Delta^{b \dot {a}} = -\delta^{b}_{a}, \quad \Delta^{a \dot {a}}\Delta_{a \dot {b}} = -\delta^{\dot {b}}_{\dot {a}} $$.

Матриця оператору для перестановки індексів може будуватись із перетворення

$$\ \Delta \Psi (x) = \Psi (x) = -i\begin{pmatrix} \Delta_{b \dot {a}}\kappa^{\dot {a}} \\ \Delta^{\dot {b}a}\psi_{a} \end{pmatrix}$$,

звідки

$$\ \Delta = -i\begin{pmatrix} 0 & \Delta_{b \dot {a}} \\ \Delta^{ \dot {b}a} & 0 \end{pmatrix}, \quad \Delta^{2} = -\begin{pmatrix} 0 & \Delta_{b \dot {c}} \\ \Delta^{c \dot {b}} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & \Delta_{c \dot {a}} \\ \Delta^{a \dot {c}} & 0 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} \Delta_{b \dot {c}}\Delta^{a \dot {c}} & 0 \\ 0 & \Delta^{c \dot {b}}\Delta_{c \dot {a}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \delta^{b}_{a} & 0 \\ 0 & \delta^{\dot {b}}_{\dot {a}} \end{pmatrix} = \hat {\mathbf E}$$.

У явному вигляді оператор записується як

$$\ \Delta = -i\begin{pmatrix} 0 & -\frac{1}{m}\partial_{b \dot {a}} \\ -\frac{1}{m}\partial^{\dot {b} a} & 0 \end{pmatrix} = \frac{i}{m}\begin{pmatrix} 0 & (\sigma^{\mu})_{b \dot {a}} \\ (\tilde \sigma^{\mu})^{\dot {b}a} & 0 \end{pmatrix}\partial_{\mu} = \frac{i}{m}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}$$,

де $$\ \gamma^{\mu}$$ - матриці Дірака.

Операторами проектування на підпростори є оператори

$$\ \Delta_{pr.1} = \frac{\hat {\mathbf E} + \Delta}{2}, \quad \Delta_{pr.2} = \frac{\hat {\mathbf E} - \Delta}{2}$$.

Дійсно, згідно із властивостями операторів проектування (сума операторів проектування дає тотожнє перетворення, що відповідає відповідності одного оператора даному підпростору; квадрат оператору проектування дає оператор проектування, тобто на власному підпросторі його дія відповідає дії тотожного оператору; добуток двох операторів проектування $$\ \Delta_{1}\Delta_{2}$$ повинен бути рівен нулю, що відповідає дії оператора не на власному підпросторі як тривіальній),

$$\ \Delta_{pr.1}^{2} = \frac{1}{4}\left( \hat {\mathbf E} + 2 \Delta + \Delta^{2}\right) = \Delta_{pr.1}, \quad \Delta_{pr.2}^{2} = \frac{1}{4}\left( \hat {\mathbf E} - 2 \Delta + \Delta^{2}\right) = \Delta_{pr.2}, \quad \Delta_{pr.1}\Delta_{pr.2} = \frac{1}{4}(1 - \Delta^{2}) = 0, \quad \Delta_{1} + \Delta_{2} = \hat {\mathbf E}$$.

Функція повинна бути власним підпростором одного з цих операторів. Наприклад, нехай функція є власним підпростором оператору $$\ \Delta_{pr.1}$$. Тоді

$$\ \Delta_{pr.1}\Psi = \Psi, \quad \Delta_{pr.2}\Psi = 0$$,

або, записуючи у явному вигляді матрицю $$\ \Delta$$,

$$\ \frac{1}{2m}( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0 \Rightarrow ( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0$$.

Отримане рівняння називається рівнянням Дірака. Воно забезпечує незвідність представлення, оскільки зменшує його "розмірність" до двох, водночас залишаючи інваріантним відносно дискретних перетворень групи Лоренца. Дійсно, в силу коваріантності рівняння його можна записати у системі, в якій $$\ p^{\mu}\Psi = p^{0}\Psi = m\Psi$$. Тоді

$$\ ( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0 = i(\gamma^{0} - \mathbf E ) \Psi = \begin{pmatrix} -\hat {\mathbf E} & \hat {\mathbf E} \\ \hat {\mathbf E} & -\hat {\mathbf E} \end{pmatrix}\Psi = \begin{pmatrix} -\psi_{a} + \kappa^{\dot {a}} \\ \psi_{a} - \kappa^{\dot {a}} \end{pmatrix} = 0$$,

що і забезпечує наявність лише двох незалежних компонент.

Розв'язки рівняння Дірака також є розв'язками рівняння Клейна-Гордона. Дійсно, подіявши на нього оператором $$\ \Delta_{pr.1}$$ та використавши антикомутатор матриць Дірака, можна отримати

$$\ ( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m)\Psi( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = (-\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu} -m^{2})\psi = -\left(\frac{1}{2}(\gamma^{\mu }\gamma^{\nu} + \gamma^{\nu}\gamma^{\mu})\partial_{\mu}\partial_{\nu} + m^{2}\right)\psi = -\left( \partial^{2} + m^{2}\right) \psi =_{right} = 0$$.

Таким чином, забезпечується незвідність представлення відносно перетворень групи Пуанкаре. Водночас представлення є незвідним відносно перетворень повної групи Лоренца.

Рівняння для спряженого біспінора
У розділі про біспінори був введений спряжений до даного спінора $$\ \Psi = \begin{pmatrix} \psi_{a} \\ \bar {\kappa}^{\dot {a}} \end{pmatrix}$$ спінор $$\ \bar {\Psi} = \Psi^{+}\gamma^{0} = \begin{pmatrix} \kappa^{a} & \bar {\psi}_{\dot {a}} \end{pmatrix}$$ для того, щоб задати інваріантну відносно перетворень групи Лоренца згортку:

$$\ \bar {\Psi}\Psi = \kappa^{a}\psi_{a} + \bar {\psi}_{\dot {a}}\bar {\kappa}^{\dot {a}}$$.

Тому для повного описання частинок зі спіном $$\ \frac{1}{2}$$ доведеться отримати рівняння і для цього біспінора. Для цього можна взяти рівняння Дірака та ермітово спрягти його:

$$\ [(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi ]^{+} = - (i\partial_{\mu}\Psi^{+}(\gamma^{\mu})^{+} + m\Psi^{+}) = 0$$.

У наступному розділі буде показано, що $$\ (\gamma^{\mu})^{+} = \gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0}$$. Зараз же просто можна скористатися цим, отримавши

$$\ i\partial_{\mu}\Psi^{+}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0} + m\Psi^{+} = 0$$.

Домноживши, нарешті, це рівняння зправа на $$\ \gamma^{0}$$ і врахувавши, що $$\ (\gamma^{0})^{2} = 1$$, можна отримати

$$\ i\partial_{\mu}\bar {\Psi}\gamma^{\mu} + m\bar {\Psi} = 0$$.

Кіральні проектори та рівняння Вейля
Рівняння Дірака є інваріантним відносно перетворень повної групи Лоренца проектором суми представлень $$\ \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2}\right)$$ на одне з них. При цьому деякий інтерес представляє проектор, який вирізав би дві степені вільності у біспінора, перетворюючи його, фактично, на спінор. Враховуючи при цьому основні властивості проекційних операторів,

$$\ \hat {P}_{1} + \hat {P}_{2} = 1, \quad \hat {P}_{1}^{2} = \hat {P}_{1}, \quad \hat {P}_{2}^{2} = \hat {P}_{2}, \quad \hat {P}_{1}\hat {P}_{2}$$,

можна ввести оператори

$$\ \Delta^{Ch}_{\pm} = \frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}, \quad \gamma_{5} = \frac{i}{4!}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta}\gamma^{\gamma}\gamma^{\delta} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

(до речі, уже із самого свого виду матриця $$\ \gamma_{5}$$ поводиться як псевдоскаляр, оскільки містить тензор Леві-Чивіти, а далі буде показано, що $$\ \gamma_{\mu}$$ веде себе при перетвореннях інверсії як вектор).

Дійсно, належність до операторів підтверджується властивостями

$$\ \Delta^{Ch}_{\pm} + \Delta^{Ch}_{\mp} = 1, \quad \Delta^{Ch}_{\pm}\Delta^{Ch}_{\mp} = \frac{(1 - \gamma_{5}^{2})}{4} = 0, \quad (\Delta^{Ch}_{\pm})^{2} = \frac{1 \pm 2\gamma_{5} + \gamma^{2}_{5}}{4} = \Delta^{Ch}_{\pm}$$,

а при дії на біспінор можна отримати

$$\ \Psi_{\pm} = \Delta^{Ch}_{\pm}\Psi = \begin{pmatrix} \frac{(1 \pm 1)}{2}\psi_{a} \\ \frac{(1 \mp 1)}{2}\kappa^{\dot {a}} \end{pmatrix}$$.

Проектори $$\ \Delta^{Ch}_{\pm}$$ називаються кіральними проекторами. Матриця $$\ \gamma_{5}$$ називається оператором кіральності. Вона має власні значення $$\ \pm 1$$. Оскільки вона комутує із матрицею власних перетворень Лоренца (за деталями доведення звертатися до наступного розділу),

$$\ [1 + \frac{1}{2}\omega_{\mu \nu}\Eta^{\mu \nu}, \gamma_{5}] = \frac{1}{2}\omega_{\mu \nu}\Eta^{\mu \nu}\gamma_{5} - \frac{1}{2}\gamma_{5}\omega_{\mu \nu}\Eta^{\mu \nu} = \left|[\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0, \quad \Eta_{\mu \nu} = \frac{1}{2}(\gamma_{\mu} \gamma_{\nu} - g_{\mu \nu})\right| = 0$$,

то кіральність є інваріантном неперервних перетворень групи Лоренца. Проте вона комутує із гамільтоніаном лише при нульовій масі частинки (деталі доведення - знову у тому ж розділі про алгебру матриць Дірака),

$$\ [\gamma_{5}, \hat {H}] = m[\gamma_{5}, \beta ] + [\hat {\gamma}_{5}, \alpha_{i}]\hat {p}^{i} = \left|[\hat {\gamma}_{5}, \alpha_{i}] = 0, \quad [\gamma_{5}, \beta ] = 2\gamma_{5}\beta - [\gamma_{5}, \beta]_{+} = 2\gamma_{5}\beta\right| = 2m\gamma_{5} \beta $$,

що означає (див. розділ про гамільтонів формалізм), що у загальному випадку вона не зберігається із часом. Нескладно побачити, що це еквівалентно перемішуванню ліво- та правокіральних станів масовим доданком. Дійсно, подіявши проекторами $$\ \Delta^{Ch}_{\pm}\Psi $$ на рівняння Дірака та врахувавши, що

$$\ [\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0 \Rightarrow \Delta_{\pm}\gamma_{\mu} = \gamma_{\mu}\Delta_{\mp}$$,

можна отримати

$$\ i\Delta_{\pm}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi - m\Delta_{\pm}\Psi = i\gamma^{\mu}\Delta_{\mp}\Psi - m\Psi_{\pm} = i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{\mp} - m\Psi_{\pm} = 0$$.

При $$\ m = 0$$ можна отримати незалежні рівняння

$$\ i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi_{\pm} = 0$$,

або у двокомпонентному вигляді

$$\ i\sigma^{\mu}\partial_{\mu}\psi = 0, \quad i\tilde {\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}\bar {\kappa} = 0$$.

Ці рівняння відповідають рівнянням, що були отримані як незвідні безмасові представлення групи Пуанкаре у відповідному розділі (див. кінець розділу). Вони називаються рівняннями Вейля.

Пізніше буде показано, що у безмасовому випадку власні числа оператору спіральності відповідають власним числам оператору кіральності.

Нарешті, варто написати про те, що при унітарному перетворенні $$\ \Psi \to \gamma_{5}\Psi $$ матриці Дірака перетворюються як $$\ \gamma_{\mu} \to \gamma_{5}\gamma_{\mu}\gamma_{5} = -\gamma_{\mu}$$, а тому рівняння Дірака у такому базисі набуде вигляду

$$\ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m)\Psi = 0$$.

Тобто матриця $$\ \gamma_{5} $$ здійснює зв'язок між проектуючими операторами $$\ \Delta_{pr. 1}$$ та $$\ \Delta_{pr. 2}$$ із першого підрозділу.

Перетворення гамма-матриць по групі Лоренца
Рівняння Дірака побудовано із релятивістьки коваріантних об'єктів, тому є лоренц-коваріантним. Звідси вже можна було б отримати закон перетворення, проте не буде зайвим зробити це "в лоб".

Вже було отримано, що

$$\ \psi_{a}{'} = N_{a}^{\quad b}\Psi_{b}, \quad \psi^{\dot {a}}{'} = (N^{*})^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}}\Psi^{\dot {b}}, \quad N_{a}^{\quad b} = \left( e^{\frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}\sigma_{\mu \nu}}\right)_{a}^{\quad b}, \quad (N^{*})^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}} = \left(e^{\frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}\tilde {\sigma}_{\mu \nu}}\right)^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}}$$.

Для матриць Паулі справедливе перетворення

$$\ (\sigma_{\mu})_{a\dot {a}} = (\Lambda^{-1})_{\mu}^{\quad \nu}N_{a}^{\quad b}(N^{*})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}(\sigma_{\nu})_{b \dot {b}} = (\Lambda^{-1})_{\mu}^{\quad \nu}N_{a}^{\quad b}(\sigma_{\nu})_{b \dot {b}}(N^{*^{-1}})_{\quad \dot {a}}^{\dot {b}}$$,

де останній перехід здійснено за допомогою властивості $$\ N_{\dot {b}}^{\quad \dot {a}} = \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}N^{\dot {c}}_{\quad \dot {d}}\varepsilon^{\dot {d} \dot {b}} = (N^{-1^{T}})^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}}$$.

Отже, враховуючи явний вигляд матриць Дірака,

$$\ \gamma_{\mu}{'} = (\Lambda^{-1})_{\mu}^{\quad \nu}\begin{pmatrix} 0 & N_{a}^{\quad c}(\sigma_{\nu})_{c \dot {d}}(N^{*^{-1}})^{\dot {d}}_{\quad \dot {b}}\\(N^{*})^{\quad \dot {c}}_{ \dot {b}}(\tilde {\sigma}_{\nu})^{\dot {b} b}(N^{-1})_{b}^{\quad d} & 0 \end{pmatrix} = (\Lambda^{-1})_{\mu}^{\quad \nu}\begin{pmatrix} N_{a}^{\quad c} & 0 \\ 0 & (N^{*})^{\dot {c}}_{ \quad \dot {b}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & (\sigma_{\nu})_{c \dot {d}}\\(\tilde {\sigma}_{\nu})^{\dot {b} b} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} (N^{-1})_{b}^{\quad d} & 0 \\ 0 & (N^{*^{-1}})^{\dot {d}}_{\quad \dot {b}} \end{pmatrix} = $$

$$\ = (\Lambda^{-1})_{\mu}^{\quad \nu} \hat {S}\gamma_{\nu}\hat {S}^{-1}$$,

де $$\ \hat {S}$$ - та ж сама матриця, що задає закон перетворення біспінора $$\ \Psi$$.

Це перетворення, вочевидь, залишає рівняння Дірака коваріантним:

$$\ ((i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi ){'} = (i\Lambda^{\mu}_{\quad \nu} \hat {S}\gamma^{\nu} \hat {S}^{-1}(\Lambda^{-1})_{\mu}^{\quad \nu}\partial_{\nu} - m)\hat {S}\Psi = \hat {S} (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0 \Rightarrow (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi$$.