Ще дещо про представлення. Тензорні добутки представлень унітарних груп

Повернутися до розділу "Теорія груп".

Деяка теорія по представленням
Перед розглядом незвідних представлень варто розглянути загальні міркування.

По-перше, якщо для деякої групи відповідність $$\ g \to U(g)$$ реалізує представлення, то й $$\ g \to \bar{U}(g)$$, де $$\ \bar{U}$$ - матриця, комплексно спряжена до $$\ U$$, також реалізує представлення. Відповідне представлення називається спряженим до даного. Далі, відповідність $$\ g \to U(g^{-1})^{T} = (U(g)^{-1})^{T}$$ також являється представленням групи. Дійсно, для $$\ \tilde{U}(g) = (U(g)^{-1})^{T}$$ маємо

$$\ \tilde{U}(g_{1})\tilde{U}(g_{2}) = (U(g_{1})^{-1})^{T}(U(g_{2})^{-1})^{T} = [U(g_{2})^{-1}U(g_{1})^{-1}]^{T} = [U(g_{2}^{-1})U(g_{1}^{-1})]^{T} = [U(g_{2}^{-1}g_{1}^{-1})]^{T} = [U((g_{1}g_{2})^{-1})]^{T} = \tilde{U}(g_{1}g_{2})$$.

Вказане представлення називається контраградієнтним. Для унітарних представлень контраградієнтне до $$\ U$$ представлення співпадає із спряженим: дійсно,

$$\ U(g)^{+} = U(g)^{-1} = U(g^{-1}) \Rightarrow U(g^{-1})^{T} = U(g)^{*} = \bar{U}(g)$$.

Контраградієнтні представлення дозволяють отримувати інваріанти груп. Дійсно, нехай $$\ x$$ - вектор із компонентами $$\ x^{a}$$, що перетворюється по представленню $$\ U$$ даної групи, а $$\ \tilde{y}$$ - ковектор із компонентами $$\ y_{a}$$, що перетворюється по контраградієнтному представленню $$\ \tilde{U}$$. Тоді

$$\ x^{a}{'}y_{a}{'} = U_{\ b}^{ a}(g)x^{b}\tilde{U}_{a}^{\ c}(g)y_{c} = U_{\ b}^{a}x^{b}U(g^{-1})^{c}_{\ a}y_{c} = x^{b}U(g^{-1}g)_{\ b}^{c}y_{c} = x^{b}y_{b} = inv$$.

Розглянемо тепер застосування розвиненого формалізму до групи SU(n).

Тензори $$\ \delta^{a}_{b}, \varepsilon_{abc..}, \varepsilon^{abc...}$$, два останні із яких являються абсолютно антисиметричними тензорами, являються інваріантами перетворень групи. Дійсно,

$$\ \delta_{a}^{b}{'} = \bar{U}_{ac}U_{bd}\delta^{d}_{c} = U_{bc}U^{+}_{ca} = (UU^{+})_{ba} = \delta^{b}_{a}$$,

$$\ \varepsilon_{a_{1}a_{2}..}{'} = U_{a_{1}b_{1}}U_{a_{2}b_{2}}...\varepsilon_{b_{1}b_{2}...} = det(U)\varepsilon_{a_{1}...a_{n}} = \varepsilon_{a_{1}...a_{n}}$$,

і т.д.

Незвідні представлення
Розглянемо спершу деяке представлення $$\ U \otimes U$$ із базисом $$\ e^{a_{1}a_{2}}$$. Вектори, що відповідають простору представлення, являються коваріантними тензорами другого рангу $$\ \psi^{ab}$$. Із цих тензорів можна утворити симетричний та антисиметричний тензори (симетризація та антисиметризація позначаються відповідно круглими та квадратними дужками):

$$\ \psi^{ab} = \frac{1}{2}\psi^{(ab)} + \frac{1}{2}\psi^{[ab]}$$.

Підпростір, у якому "діє" симетричний тензор, має $$\ \frac{n(n + 1)}{2}$$ базисних векторів виду $$\ Ne^{(a_{1}a_{2})}$$, а підпростір антисиметричного тензора маєм$$\ \frac{n(n - 1)}{2}$$ базисних векторів виду $$\ Ne^{[a_{1}a_{2}]}$$. Із вигляду базисних векторів видно, що підпростори ортогональні. Можна далі показати, що представлення в підпросторах симетричних та антисиметричних тензорів реалізують незвідне представлення.

Розглянемо тепер деяке представлення $$\ U \otimes \bar{U}$$ із базисом $$\ e^{a}_{b}$$. Наряду з симетричною та антисиметричною частиною тензорів простору представлення, незвідним представленням тепер буде також представлення простору $$\ \delta_{a}^{b}\psi^{c}_{c}$$. Дійсно, по-перше,

$$\ \psi_{c}^{c}{'} = \psi_{c}^{c}, \quad \delta_{a}^{b}{'} = \delta_{a}^{b}$$.

По-друге, розкладаючи тензор $$\ \psi_{a}^{b}$$ на безслідову частину і на слід, маємо

$$\ \psi_{a}^{b} = \frac{1}{n}\delta^{a}_{b}\psi^{c}_{c} + \left( \psi_{a}^{b}-\frac{1}{n}\delta^{a}_{b}\psi^{c}_{c}\right)$$,

де перший і другий доданок відповідають інваріантним ортогональним підпросторам. Це і доводить незвідність представлення $$\ \psi^{c}_{c}$$.

Розглянемо тепер тензори довільного порядку. З будь-якого коваріантного тензору рангу $$\ p$$ можна отримати повністю симетричний тензор, який є незвідним. Нехай кожний індекс пробігає значення від 1 до n. Тоді, якщо $$\ p \leqslant n$$, можна утворити також повністю антисиметричний тензор (при $$\ p > n$$ зробити це, звісно, неможливо). Симетричний тензор рангу $$\ p$$ має при цьому $$\ \frac{1}{p!}n(n + 1)...(n + p -1)$$ незалежних компонент, а антисиметричний -$$\ \frac{1}{p!}n(n - 1)...(n-  p + 1)$$ компонент. Крім вказаних тензорів, є також інші тензори, яки симетризовані по одним парам компонент і антисиметризовані по іншим. Їх будують за допомогою схем Юнга.

Схеми Юнга
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Нарешті, представлення, яке реалізується самою групою, називається фундаментальним.

Незвідні представлення групи SU(3)
Користуючись описаними вище методами, нескладно побудувати незвідні представлення групи $$\ SU(3)$$. Кожен індекс векторів групи може пробігати лише три значення $$\ 1, 2, 3$$. Це означає, що не існує антисиметричних незвідних представлень рангу більше трьох. Більше того, за допомогою інваріантних тензорів $$\ \varepsilon_{abc}$$ можна перетворювати кожну пару антисиметричних верхніх індексів у нижні і навпаки, $$\ \psi_{a} = \varepsilon_{abc}\psi^{[bc]}$$, що означає, що всі незвідні представлення групи $$\ SU(3)$$ можна розглядати як тензори, симетричні по усім верхнім та нижнім індексам, при цьому тензори мають нульовий слід.

Можна символічно подати представлення $$\ \psi_{(a_{1}...a_{p})}^{(b_{1}...b_{q})}$$ у вигляді $$\ D(q, p)$$. Кількість незалежних компонент $$\ D(0, p)$$ дорівнює $$\ N(0, p) = \sum_{p' = 0}^{p}(p' + 1) = \frac{1}{2}(p + 1)(p + 2)$$; аналогічно, для $$\ D(q, 0)$$ це число дорівнює $$\ N(q, 0) = \frac{1}{2}(q + 1)(q + 2)$$. Для загального представлення $$\ D(q, p)$$ можна міркувати так: при довільності усіх слідів маємо $$\ N(q, 0;0, p) = N(q, 0)N(0, p) = \frac{1}{4}(q + 1)(q + 2)(p + 1)(p + 2)$$. Число трейсів тензора $$\ D(q, p)$$ дорівнює числу компонент $$\ D(q - 1, p - 1)$$, тобто, $$\ \frac{1}{4}qp(q + 1)(p + 1)$$. У результаті число компонент дорівнює

$$\ N(q, p) = N(q, 0;0, p) - N(q - 1, 0; 0, p - 1) = \frac{1}{2}(p + 1)(q + 1)(p + q + 2)$$.

Як приклад,

$$\ N(1, 0) = 3, \quad N(0, 1) = \bar{3}, \quad N(1, 1) = 8, \quad N(3, 0) = 10, \quad N(0, 3) = \bar{10}, \quad N(2, 2) = 27$$.

Декомпозиція добутку незвідних представлень
Прямі добутки незвідних представлень у загальному випадку є звідними. Не є зайвим для групи $$\ SU(3)$$ (знадобиться у подальшому) навчитися розкладати їх на незвідні. Для цього можна використати апарат, розвинутий вище.

Візьмемо, наприклад, прямий добуток $$\ 3 \otimes \bar{3} = D(1, 0)\otimes D(0,1)$$. У матричному представленні відповідний об'єкт задається матрицею 3 на 3. Із неї можна виділити слід, отримавши незвідне представлення $$\ 1$$. Безслідова матриця, що залишилася, реалізує представлення $$\ 8$$. Отже, $$\ 3 \otimes \bar{3} = 1 \oplus 8$$, або $$\ D(1, 0)\otimes D(0, 1) = D(0, 0) \oplus D(1, 1)$$.

Тепер розглянемо добуток $$\ 3 \otimes 3$$. Тут вже слід не є інваріантом, тому треба розкладати результуючу матрицю на симетричну та антисиметричну частини:

$$\ \psi^{ab} = \frac{1}{2}\psi^{(ab)} + \frac{1}{2}\psi^{[ab]}$$.

Оскільки антисиметричний тензор другого рангу еквівалентний контраваріантному тензору першого рангу ($$\ \psi_{a} = \varepsilon_{abc}\psi^{[bc]}$$, тобто $$\ \psi_{ab} = \frac{1}{2}\psi^{(ab)} + \frac{1}{2}\varepsilon^{abc}\psi_{c}$$), то маємо

$$\ 3 \otimes 3 = \bar{3} \oplus 6$$.

Аналогічно, $$\ 3 \otimes 6 $$ можна розкласти наступним шляхом. Із тензора $$\ \psi^{abc} = \varphi^{a}\kappa^{bc}$$ можна утворити симетризовану комбінацію $$\ \frac{1}{3}\psi^{(abc)}$$, яка має 10 компонент і відповідає представленню $$\ 10$$ (тобто, $$\ D(2, 0)$$). Відповідно, представлення, що залишилось, має 8 незалежних компонент і реалізує представлення $$\ 8$$($$\ D(1, 1)$$. Отже,

$$\ 3 \otimes 6 = 8 \oplus 10$$.