Закон збереження імпульсу та моменту імпульсу

Повернутися до розділу "Закони збереження".

Закон збереження імпульсу
Можна обчислити похідну вектора Пойнтінга по часу, користуючись, як і у минулому підрозділі, роторними рівняннями Максвелла:

$$\ \frac{\partial \mathbf P }{\partial t} = \frac{c}{4 \pi}\left( \left[\mathbf E \times \frac{\partial \mathbf B }{\partial t}\right] + \left[\mathbf \frac{\partial \mathbf E }{\partial t} \times \mathbf B \right] \right) = - \frac{c^{2}}{4 \pi}\left([\mathbf B \times [\nabla \times \mathbf B]] + [\mathbf E \times [\nabla \times \mathbf E ]]\right) - c[ \mathbf j \times \mathbf B ] \qquad (.5)$$.

Тоді для $$\ j$$-тої компоненти даного виразу можна записати:

$$\ \left(\frac{\partial \mathbf P}{\partial t}\right)_{j} + c^{2}\left[\rho\mathbf E_{j} + \sum_{i}\nabla_{i}\sigma_{ij} + \frac{1}{c}[\mathbf j \times \mathbf B ]_{j}\right] = 0 \qquad (.6)$$,

де

$$\ \sigma_{ij} = \delta_{ij}W - \left(E_{i}E_{j} + B_{i} B_{j}\right) $$ - тензор потоку імпульсу.

Знову ж таки, оператор "набла" у $$\ (.6)$$ наводить на ідею проінтегрувати його по об'єму.

Якщо значення напруженості електричного поля та індукції магнітного поля на нескінченності рівні нулю, то інтеграл від $$\ \sum_{i}\nabla_{i}\sigma_{ij}$$ рівен нулю. Далі, оскільки

$$\ \mathbf j = \sum_{i}q_{i}\mathbf v_{i}\delta (\mathbf r - \mathbf r_{i}), \quad \mathbf E = \mathbf E (\mathbf r_{i}), \quad \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E (\mathbf r_{i} )], \quad \int \limits_{V}\rho d^3 \mathbf r = q $$,

то після інтегрування можна отримати:

$$\ \int \limits_{V}\frac{\partial \mathbf P}{\partial t}d^{3}\mathbf r + c^{2}\sum_{i}q_{i}\left( \mathbf E (\mathbf r_{i}) + \frac{1}{c}[\mathbf v_{i} \times \mathbf B ] \right) = const \qquad (.7)$$.

Якщо поля можуть діяти на заряди, які створюють ці поля, то замість виразу для сили Лоренца можна записати похідну по часу імпульса усіх частинок:

$$\ \sum_{i}q_{i}\left( \mathbf E (\mathbf r_{i}) + \frac{1}{c}[\mathbf v_{i} \times \mathbf B ] \right) = \sum_{i} \frac{d \mathbf p_{i}}{d t}$$.

Тоді, остаточно, вираз $$\ (.7)$$ набуде вигляду

$$\ \frac{d }{d t}\left( \int \limits_{V}\mathbf P d^{3}\mathbf r + c^{2}\sum_{i} \mathbf p_{i} \right) = 0 \Rightarrow \frac{1}{c^{2}}\int \limits_{V}\mathbf P d^{3}\mathbf r + \sum_{i}\mathbf p_{i} = const$$.

Цей закон відповідає за збереження сумарного імпульсу полів і зарядів, які знаходяться у цих полях. Тоді $$\ \frac{1}{c^{2}}\int \limits_{V}\mathbf P d^{3}\mathbf r $$ відповідає сумарному імпульсу поля.

Закон збереження моменту імпульсу
Оскільки із $$\ (.6)$$ був отриманий закон збереження імпульсу, то логічним є міркування векторного множення цього виразу на радіус-вектор $$\ \mathbf r$$ із використанням символу Леві-Чівіта для тензора:

$$\ \left[\mathbf r \times \frac{\partial \mathbf P}{\partial t}\right]_{j} + \sum_{j,p,q}\varepsilon_{jpq}r_{p}\sum_{i}\nabla_{i}\sigma_{iq} + c^{2}\left[[\mathbf r \times \left(\rho \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf j \times \mathbf B ]\right)\right]_{j} = 0 \qquad (.8)$$.

У доданку для тензора $$\ r_{p}$$ можна внести під знак оператора "набла". Дійсно, користуючись тим, що $$\ \nabla_{i} (ab) = \nabla_{i}(a)b + \nabla_{i}(b)a$$, можна записати:

$$\ \sum_{j,p,q}\varepsilon_{jpq}r_{p}\sum_{i}\nabla_{i}\sigma_{iq} = \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\nabla_{i}r_{p}\sigma_{iq} - \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\sigma_{iq}\nabla_{i}r_{p} = \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\nabla_{i}r_{p}\sigma_{iq} - \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\sigma_{iq}\delta_{ip} = $$

$$\ = \sum_{j, p, q}\varepsilon_{jpq}\sum_{i}\nabla_{i}r_{p}\sigma_{iq} - \sum_{j, i, q}\varepsilon_{jiq}\sum_{i}\sigma_{iq}$$.

Оскільки у останньому доданку тензор $$\ \sigma_{iq}$$ - симетричний, а $$\ \varepsilon_{jiq}$$ - симетричний, то їх згортка дасть нуль. Отже, $$\ (.8)$$ набуде вигляду

$$\ \left[\mathbf r \times \frac{\partial \mathbf P}{\partial t}\right]_{j} + \sum_{i,j,p,q}\nabla_{i}\varepsilon_{jpq} r_{p}\sigma_{iq} + c^{2}\left[[\mathbf r \times \left(\rho \mathbf E + \frac{1}{c}[\mathbf j \times \mathbf B ]\right)\right]_{j} = 0$$.

Якщо взяти інтеграл по всьому об'єму, то, користуючись уже наведеними раніше міркуваннями, можна стверджувати, що якщо компоненти тензора на нескінченності зменшуються швидше, ніж за законом $$\ \frac{1}{r^{3}}$$, то інтеграл від тензорної величини буде рівен нулю. Знову ж таки, використовуючи метод самоузгодженого поля, можна отримати:

$$\ \frac{d}{dt}\left(\int [\mathbf r \times \mathbf P]dV + c^{2}\sum_{i}[\mathbf r_{i} \times \mathbf p_{i} ] \right) = 0$$.

Перший доданок відповідає за момент імпульсу поля, другий - за момент імпульсу зарядів у полі.