Тензор енергії-імпульсу. Доведення

Доведення 1
Тензор енергії-імпульсу електромагнітного поля.

За допомогою тензорів $$\ g^{\mu \lambda}, g^{\nu \tau}$$ можна опустити два індекси у згортки функції Лагранжа:

$$\ L = -\frac{1}{16 \pi c}F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = -\frac{1}{8 \pi c}\left( \partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\mu}A^{\nu} - \partial_{\mu}A_{\nu}\partial^{\nu}A^{\mu}\right) = -\frac{g^{\mu \lambda} g^{\nu \tau}}{8 \pi c}\left( \partial_{\mu}A_{\nu}\partial_{\lambda}A_{\tau} - \partial_{\mu}A_{\nu}\partial_{\tau}A_{\lambda}\right)$$.

Якщо взяти похідну від цього виразу по $$\ \partial_{\alpha} A_{\gamma}$$ від кожного доданку як від добутку двох функцій, можна буде отримати, що

$$\ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha}A_{\gamma})} = -\frac{g^{\mu \lambda} g^{\nu \tau}}{8 \pi c} \frac{\partial}{\partial (\partial_{\alpha}A_{\gamma})}\left(\partial_{\mu}A_{\nu}\partial_{\lambda}A_{\tau} - \partial_{\mu}A_{\nu}\partial_{\tau}A_{\lambda}\right) = -\frac{g^{\mu \lambda} g^{\nu \tau}}{8 \pi c}(\delta^{\alpha}_{\mu}\delta^{\gamma}_{\nu}\partial_{\lambda}A_{\tau} + \delta^{\alpha}_{\lambda}\delta^{\gamma}_{\tau}\partial_{\mu}A_{\nu} - \delta^{\alpha}_{\mu}\delta^{\gamma}_{\nu}\partial_{\tau}A_{\lambda} - \delta^{\alpha}_{\tau}\delta^{\gamma}_{\lambda}\partial_{\mu}A_{\nu}) = $$

$$\ = -\frac{1}{8 \pi c}(g^{\alpha \lambda}g^{\gamma \tau}\partial_{\lambda}A_{\tau} + g^{\mu \alpha }g^{\nu \gamma}\partial_{\mu}A_{\nu} - g^{\alpha \lambda}g^{\gamma \tau}\partial_{\tau}A_{\lambda} - g^{\mu \gamma }g^{\nu \tau}\partial_{\mu}A_{\nu})$$.

Якщо, далі, згорнути вираз по метричним тензорам, можна отримати

$$\ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha}A_{\gamma})} = -\frac{1}{8 \pi c}(\partial^{\alpha}A^{\gamma} + \partial^{\alpha}A^{\gamma} - \partial^{\gamma}A^{\alpha} - \partial^{\gamma}A^{\alpha}) = \frac{1}{4 \pi c}(\partial^{\alpha}A^{\gamma} - \partial^{\gamma}A^{\alpha}) = -\frac{F^{\alpha \gamma}}{4 \pi c}$$.

Залишається лише підставити цей вираз і тотожність $$\ j^{\alpha} = 0$$ у вирази

$$\ T^{\alpha \beta} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha} A_{\gamma})}\partial^{\beta}A_{\gamma} - g^{\alpha \beta}L, \quad L = \frac{1}{c^{2}}j_{\alpha}A^{\alpha} - \frac{1}{16 \pi c}F_{\varepsilon \delta}F^{\varepsilon \delta}$$.

Доведення 2
4-дивергенція від тензору енергії-імпульса електромагнітного поля.

Якщо взяти похідну від явного виразу для тензору енергії-імпульса (індекс $$\ \beta $$ опущено),

$$\ \partial_{\alpha}T^{\alpha}_{\beta} = \frac{1}{4 \pi}\partial_{\alpha}(F^{\alpha \gamma}F_{\gamma \beta} + \frac{1}{4 \pi}\delta^{\alpha}_{\beta}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu})$$,

можна буде, користуючись формальними правилами диференціювання і згортаючи символ Кронекера з похідною, знайти, що

$$\ \partial_{\alpha}T^{\alpha}_{\beta} = \frac{1}{4 \pi}((\partial_{\alpha} F^{\alpha \gamma})F_{\gamma \beta} + F^{\alpha \gamma}\partial_{\alpha}F_{\gamma \beta} + \frac{1}{2}F^{\mu \nu} \partial_{\beta}F_{\mu \nu})$$.

Використовуючи для першого доданку рівняння руху у коваріантному вигляді,

$$\ \partial_{\alpha}F^{\alpha \gamma} = 4 \pi j^{\gamma}$$,

у другому перепозначаючи індекси $$\ \alpha \to \mu, \gamma \to \nu$$ (це можна зробити, оскільки вони німі), а у третьому - виражаючи один доданок із другого коваріантного рівняння Максвелла,

$$\ \partial_{\beta}F_{\mu \nu} = -\partial_{\nu}F_{\beta \mu} - \partial_{\mu}F_{\nu \beta}$$,

можна отримати

$$\ \partial_{\alpha}T^{\alpha}_{\beta} = \frac{1}{c}j^{\gamma}F_{\gamma \beta} + \frac{1}{4 \pi}F^{\mu \nu}\partial_{\mu}F_{\nu \beta} - \frac{1}{8 \pi}F^{\mu \nu}\partial_{\nu}F_{\beta \mu} - \frac{1}{8 \pi}F^{\mu \nu} \partial_{\mu}F_{\nu \beta} = \frac{1}{c}j^{\gamma}F_{\gamma \beta} + \frac{1}{8 \pi}F^{\mu \nu}\partial_{\mu}F_{\nu \beta} - \frac{1}{8 \pi}F^{\mu \nu} \partial_{\nu}F_{\beta \mu }$$.

Якщо перепозначити у останньому доданку індекси $$\ \nu \to \mu, \mu \to \nu$$, можна буде отримати

$$\ \partial_{\alpha}T^{\alpha}_{\beta} = j^{\gamma}F_{\gamma \beta} + \frac{1}{8 \pi}F^{\mu \nu}\partial_{\mu}F_{\nu \beta} - \frac{1}{8 \pi}F^{\nu \mu} \partial_{\mu}F_{\beta \nu } = j^{\gamma}F_{\gamma \beta}$$,

де другий і третій доданки скоротилися в силу антисиметрії компонент тензора $$\ F^{ij} = -F^{ji}$$.