Потенціали поля. Доведення

Доведення 1
Перетворення для 4-потенціалу.

Можна записати перетворення для $$\ \mathbf B ' = \mathbf B' (\mathbf A ' ), \quad \mathbf E ' = \mathbf E' (\mathbf A ', \mathbf \varphi ')$$, порівняти отримані вирази із перетвореннями Лоренца для полів і звідти вже отримати перетворення для $$\ \mathbf A ', \varphi ' $$. Для спрощення виведення можна співнапрямити вісь $$\ O_{x}$$ із вектором відносної швидкості ІСВ: $$\ \mathbf u = (u, 0, 0)$$.

Будуть потрібні перетворення похідних:

$$\ \nabla ' = \nabla + \frac{\Gamma \mathbf u }{c^{2}} (\mathbf u \nabla ) + \frac{\gamma \mathbf u }{c^{2}} \frac{\partial }{\partial t}, \quad \frac{\partial }{\partial t'} = \gamma \left( \frac{\partial }{\partial t} + (\mathbf u \nabla ) \right) $$.

Тоді для вектора $$\ \mathbf B'$$ можна записати:

$$\ \mathbf B' = [\nabla '\times \mathbf A '] = \left[ \left( \nabla + \frac{\Gamma \mathbf u }{c^{2}} (\mathbf u \nabla) + \frac{\gamma \mathbf u }{c^{2}} \frac{\partial }{\partial t} \right) \times \mathbf A '\right] = [\nabla \times \mathbf A '] + \frac{\Gamma}{c^{2}} (\mathbf u \nabla )[\mathbf u \times \mathbf A '] + \frac{\gamma}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial t}[\mathbf u \times \mathbf A '] = $$

$$\ = \left( \frac{\partial A_{z}'}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}'}{\partial z}; \quad \frac{\partial A_{x}'}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}'}{\partial x}; \quad \frac{\partial A_{y}'}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}'}{\partial y} \right) + \left( 0; \quad -\frac{\Gamma}{c^{2}}u^{2}\frac{\partial A_{z}'}{\partial x}; \quad \frac{\Gamma u^{2}}{c^{2}}\frac{\partial A_{y}'}{\partial x}\right) + \left( 0; \quad -\frac{\gamma u}{c^{2}} \frac{\partial A_{z}'}{\partial t}; \quad \frac{\gamma u}{c^{2}}\frac{\partial A_{y}'}{\partial t} \right) = $$

$$\ = \left( \frac{\partial A_{z}'}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}'}{\partial z}; \frac{\partial A_{x}'}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}'}{\partial x} - \frac{\Gamma}{c^{2}}u^{2}\frac{\partial A_{z}'}{\partial x} - \frac{\gamma u}{c^{2}} \frac{\partial A_{z}'}{\partial t }; \frac{\partial A_{y}'}{\partial x} - \frac{\partial A_{x}'}{\partial y} + \frac{\Gamma u^{2}}{c^{2}}\frac{\partial A_{y}'}{\partial x} + \frac{\gamma u}{c^{2}}\frac{\partial A_{y}'}{\partial t} \right) = \left( B_{x}; \gamma \left( B_{y} + \frac{u}{c}E_{z} \right); \gamma \left( B_{z} - \frac{u}{c}E_{y}\right) \right)$$.

Тепер кожну рівність можна проаналізувати окремо. Із першої рівності слідує, що повинна виконуватися умова $$\ A_{y}' = A_{y}, A_{z}' = A_{z}$$. Дійсно, це слідує з довільності $$\ A_{y}, A_{z}$$ і з того, що $$\ B_{x} = \frac{\partial A_{z}}{\partial y} - \frac{\partial A_{y}}{\partial z}$$.

Для отримання перетворень $$\ A_{x}'$$ достатньо розглянути одну із двох рівностей, що залишились. Можна взяти другу рівність:

$$\ \frac{\partial A_{x}'}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x} - \frac{\Gamma u^{2}}{c^{2}}\frac{\partial A_{z}}{\partial x} - \frac{\gamma u}{c^{2}}\frac{\partial A_{z}}{\partial t} = \left| \Gamma = \frac{\gamma - 1}{\frac{u^{2}}{c^{2}}} \right| = \frac{\partial A_{x}'}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x} - \gamma \frac{\partial A_{z}}{\partial x} + \frac{\partial A_{z}}{\partial x} - \frac{\gamma u}{c^{2}}\frac{\partial A_{z}}{\partial t} = \left| (.1): \frac{1}{c}\frac{\partial A_{z}}{\partial t} = - \frac{\partial \varphi}{\partial t} - E_{z} \right| = $$

$$\ = \frac{\partial A_{x}'}{\partial z} - \gamma \frac{\partial A_{z}}{\partial x} + \frac{\gamma u}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial z} + \frac{\gamma u}{c}E_{z} = \gamma \left( B_{y} + \frac{u}{c} E_{z}\right) $$.

Звідси слідує, що

$$\ \frac{\partial A_{x}'}{\partial z} = \left| B_{y} = \frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial x} \right| = \gamma \left( \frac{\partial A_{x}}{\partial z} - \frac{u}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right) \Rightarrow A_{x}' = \gamma \left( A_{x} - \frac{u}{c}\varphi\right)$$.

Далі можна використати перетворення для $$\ \mathbf E'$$ (умова щодо вибору системи координат залишилась незмінною):

$$\ \mathbf E' = -\nabla ' \varphi' - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A '}{\partial t'} \Rightarrow E_{y}' = -\frac{\partial \varphi'}{\partial y} - \frac{\gamma}{c}\left( \frac{\partial}{\partial t} + u \frac{\partial }{\partial x} \right)A_{y} = -\frac{\partial \varphi '}{\partial y} - \frac{\gamma}{c}\frac{\partial A_{y}}{\partial t} - \frac{u \gamma}{c}\frac{\partial A_{y}}{\partial x} + \left(\frac{u \gamma}{c}\frac{\partial A_{x}}{\partial y} - \frac{u \gamma}{c}\frac{\partial A_{x}}{\partial y}\right) = $$

$$\ = -\frac{\partial \varphi '}{\partial y} - \frac{\gamma}{c}\frac{\partial A_{y}}{\partial t} - \gamma\frac{u}{c}B_{z} - \frac{u \gamma}{c}\frac{\partial A_{x}}{\partial y} = \gamma \left( E_{y} - \frac{u}{c}B_{z}\right) \Rightarrow \left| E_{y} = -\frac{\partial \varphi}{\partial y} - \frac{1}{c}\frac{\partial A_{y}}{\partial t} \right| \Rightarrow \frac{\partial \varphi'}{\partial y} = \gamma \left( \frac{\partial \varphi}{\partial y} - \frac{u}{c}\frac{\partial A_{x}}{\partial y} \right) \Rightarrow \varphi ' = \gamma \left( \varphi - \frac{u}{c}A_{x}\right)$$.

Отримані перетворення, вочевидь, є перетвореннями компонент 4-вектора. Їх дуже просто, як і в випадку із радіус-вектором, узагальнити:

$$\ \mathbf \varphi ' = \gamma \left( \varphi - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf A )}{c}\right), \quad \mathbf A' = \mathbf A + \Gamma \frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf A \cdot \mathbf u ) - \frac{\gamma}{c} \mathbf u \mathbf \varphi$$.

Доведення 2
Перетворення Лоренца для оператору похідної.

Доцільно використати перетворення для радіус-вектора та для часу. Обернені перетворення Лоренца для них виглядають наступним чином:

$$\ \mathbf r = \mathbf r' + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r' )}{c^{2}} + \gamma \mathbf u t{'}, \quad t = \gamma \left(t' + \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r' )}{c^{2}}\right)$$.

Тоді, переходячи від змінних $$\ x_{i}', t'$$ до $$\ x_{j}, t$$,

$$\ \frac{\partial }{\partial t' } = \frac{\partial t}{\partial t'}\frac{\partial }{\partial t} + \frac{\partial x_{j}}{\partial t{'}}\frac{\partial }{\partial x_{j}}, \quad \frac{\partial }{\partial x_{i}'} = \frac{\partial t}{\partial x_{i}'}\frac{\partial }{\partial t} + \frac{\partial x_{j}}{\partial x_{i}'}\frac{\partial }{\partial x_{j}}$$,

можна отримати:

$$\ \frac{\partial t}{\partial t'} = \gamma, \quad \frac{\partial x_{j}}{\partial t{'}} = \gamma u_{j}, \quad \frac{\partial t}{\partial x_{i}{'}} = \frac{\gamma u_{i}}{c^{2}}, \quad \frac{\partial x_{j}}{\partial x_{i}{'}} = \delta_{ij} + \Gamma \frac{u_{j}u_{i}}{c^{2}} \Rightarrow \nabla_{i} = \frac{\gamma u_{i}}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial t} + \sum_{j}\left(\delta_{ij}\frac{\partial }{\partial x_{j}} + \frac{\partial }{\partial x_{j}}\frac{\Gamma u_{i}u_{j}}{c^{2}}\right) = \frac{\gamma u_{i}}{c^{2}}\frac{\partial }{\partial t} + \frac{\partial }{\partial x_{i}} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{i}(\mathbf u \nabla)$$.

Звідси слідує, що

$$\ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t'} = \frac{1}{c}\gamma\frac{\partial }{\partial t} + \frac{1}{c}\gamma \sum_{j}u_{j}\frac{\partial }{\partial x_{j}} = \gamma \left( \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t} + \frac{1}{c}(\mathbf u \nabla )\right)$$,

$$\ \nabla ' = \nabla + \Gamma\frac{\mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \nabla) + \frac{\gamma \mathbf u}{c^{2}}\frac{\partial}{\partial t}$$,

тобто видно, що коваріантна похідна перетворюється як ковектор, на відміну від 4-потенціалу.

Доведення 3
4-векторна природа густини струму.

4-вектор струму, відповідно до рівняння д'Аламбера, повинен бути записаний як

$$\ j^{\alpha} = (\rho, \frac{1}{c}\mathbf j), j^{\alpha} = \rho \frac{dx^{\alpha}}{cdt} = \rho d^{3}\mathbf x \frac{dx^{\alpha}}{d^{4}x} = Q \frac{dx^{\alpha}}{d^{4}x} \qquad (.5)$$.

При $$\ \alpha = 0$$ можна отримати

$$\ j^{0} = \rho$$,

а при $$\ \alpha = \left( 1, 3 \right)$$ -

$$\ j^{\alpha} = \rho \frac{d x^{\alpha}}{cdt} = \frac{1}{c}\rho v^{\alpha}$$.

Виходячи з $$\ (.5)$$, можна показати, що величина $$\ j^{\alpha}$$ - дійсно 4-вектор. У ній $$\ dx^{\alpha}$$ - 4-вектор, величина $$\ Q$$, що є зарядом, інваріантна, а величина $$\ d^{4}x$$ є елементом об'єму, який є інваріантом перетворень Лоренца. Дійсно,

$$\ d^{4}x' = \left|\frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x_{\mu}}\right| d^{4}x = det \Lambda d^{4}x = d^{4}x$$,

де визначник матриці Лоренца рівен одиниці (доведення див. у розділі про Тензори у СТВ).

Отже, 4-струм є 4-вектором.