Алгебра групи, оператори Казиміра, зв'язок із математичним визначенням елементарної частинки

Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Навіщо потрібна група Пуанкаре?
Основою для побудови будь-якої фундаментальної теорії (принаймні, на масштабах, що менші за ті, на яких починає грати велику роль гравітація) являється спеціальна теорія відносності. Вона може бути сформульована на основі наступних аксіом: простір та час являються однорідними, простір являється ізотропним, справедливий принцип відносності Ейнштейна, справедливий принцип причинності. Найбільш загальні перетворення просторово-часових координат (неоднорідні перетворення Лоренца), що задовольняють цим аксіомам, $$\ x_{\mu} \to x^{'}_{\mu} = \Lambda_{\mu}^{\ \nu}x_{\nu} + a_{\mu}$$, залишають інваріантною величину інтервалу

$$\ ds^{2} = g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu} = inv, \quad g_{\mu \nu} = diag(1, -1, -1, -1) \qquad (0)$$,

причому на матрицю $$\ \Lambda$$ накладається умова $$\ \Lambda_{\mu}^{\ \alpha}\Lambda_{\nu}^{\ \beta}g_{\alpha \beta} = g_{\mu \nu}$$.

Принцип відносності, на якому будується СТВ як теорія, що описує динаміку фізичних систем, полягає у двох основних твердженнях:

1) Між описами однієї і тієї ж системи у двох різних ІСВ існує взаємно однозначна відповідність, і правило, що встановлює відповідність, є однаковим для будь-яких ІСВ.

2) Закони еволюції для системи мають один і той самий вигляд для різних ІСВ.

Справедливість принципу відносності означає те, що рівняння динаміки будь-якої теорії мають бути лоренц-коваріантними. Це, в свою чергу, еквівалентно тому, що дія будь-якої теорії має бути лоренц-інваріантною. Це має суттєві наслідки: із класичної теорії поля відомо, що інваріантність дії відносно трансляцій має наслідком збереження класичного тензору енергії-імпульсу, в той час як інваріантність відносно перетворень Лоренца та тривимірних обертань дає збереження класичного тензору моменту імпульсу.

При переході до малих просторових масштабів класична механіка узагальнюється до квантової механіки. Тому постає вимога побудувати релятивістськи-коваріантну квантову теорію. Тут суттєвим стає те, що перетворення, які задовільняють умову $$\ (0)$$, утворюють групу. Вона називається неоднорідною групою Лоренца або ж групою Пуанкаре. Друге твердження принципу відносності означає, що скалярні добутки $$\ \langle \Psi_{1} | \Psi_{2} \rangle$$, де $$\ |\Psi_{1,2}\rangle$$ є векторами стану квантової системи, являються інваріантними відносно перетворень групи Пуанкаре. Це означає, що оператори, які реалізують симетрію групи Пуанкаре, являються лінійними унітарними чи антилінійними антиунітарними операторами; із цього одразу слідує те, що генератори групи симетрії для випадку унітарного представлення є ермітовими, тобто, являються кандидатами на роль операторів фізичних величин. Відповідно, важливим з точки зору фізики стає дослідження незвідних представлень групи Пуанкаре, алгебри генераторів.

Конкретніше, з поняттям незвідного представлення групи Пуанкаре тісно пов'язане математичне визначення поняття елементарної частинки. Дійсно, нехай вектор $$\ |\Psi \rangle$$ відповідає деякому представленню квантової системи, і оператор $$\ \hat{U}(\Lambda, a)$$ реалізує деяке (у загальному випадку - звідне) представлення групи Пуанкаре. Тоді вся сукупність станів $$\ \hat{U}(\Lambda, a) $$ є станами тієї самої системи з точки зору різних інерціальних спостерігачів. Якщо в підпросторі, що натягнутий на ці стани, реалізується незвідне представлення групи Пуанкаре, то цей підпростір містить найменший запас станів, що являється сумісним із принципами релятивістської інваріантності. Такі квантові системи природньо ототожнювати із елементарними частинками. Повний гільбертів простір розпадається у пряму суму незвідних підпросторів, причому вектори із різних підпросторів містять стани, які не можуть бути пов'язані перетвореннями Пуанкаре, і тому не можуть інтерпретуватися як стани однієї і тієї ж системи з точки зору різних спостерігачів. Таким чином, унітарне незвідне представлення групи Пуанкаре являється математичним визначенням елементарної частинки, і класифікація елементарних частинок зводиться до класифікації усіх незвідних представлень групи Пуанкаре.

Такий підхід є надзвичайно плідним. Його наслідком є класифікація частинок відповідно до їх маси та (відповідно до випадків ненульової чи нульової маси) спіну чи спіральності. Зв'язавши одночастинкові стани із польовими операторами (що потрібно для побудови пуанкаре-коваріантних величин, наприклад, оператору лагранжіану), можна отримати рівняння на коефіцієнтні функції польових операторів для випадку довільних маси та спіну (спіральності). Цей же підхід дозволяє сформулювати пуанкаре-інваріантну теорію взаємодії введенням пуанкаре-скаляру - S-оператору, і довести теорему Паулі про зв'язок спіну та статистики. Виявляється, що наслідком пуанкаре-коваріантності є існування античастинок - одночастинкових станів, які мають такі ж масу та зв'язок спіну зі статистикою, як і частинки, проте маючих всі числа внутрішніх симетрій, протилежних за знаком числам частинок. Далі, коли буде йтися про побудову пуанкаре-коваріантної теорії взаємодії, пуанкаре-інваріантність квантової дії та експериментальний факт про закон обернених квадратів (закон Кулона та закон тяжіння) приведуть до наступних тверджень: єдиним можливим способом побудови взаємодії матерії та електромагнітного поля є калібрувально-інваріантна взаємодія (іншими словами, взаємодія, у якій локально зберігається квантове число заряд); єдиним можливим способом побудови взаємодії матерії та гравітаційного поля є взаємодія, що задовольняє принципу еквівалентності (іншими словами, взаємодія, яка характеризується однаковою константою взаємодії будь-яких полів із гравітаційним полем); неможливо побувати пуанкаре-інваріантну теорію взаємодії матерії із полями спіральності більше за два, яка дає у інфрачервоному наближенні взаємодію по закону обернених квадратів.

Проте починати треба з малого. У даній статті будуть досліджені алгебра групи та оператори Казиміра.

Двозначність представлення групи Пуанкаре
Принцип відносності (перше твердження) каже, що вектори стану однієї і тієї ж системи відносно різних ІСВ, $$\ |\Psi \rangle, | \Psi{'}\rangle$$, пов'язані оператором (у загальному випадку нелінійним) $$\ U(\Lambda , a)$$:

$$\ |\Psi{'}\rangle = U(\Lambda_{1}, a_{1})| \Psi \rangle \qquad (0)$$.

Аналогічно, стан $$\ | \Psi{''}\rangle$$ можна подати як

$$\ | \Psi{''}\rangle = U(\Lambda_{2}, a_{2})|\Psi{'} \rangle = U(\Lambda_{2},a_{2})U(\Lambda_{1}, a_{1})| \Psi\rangle$$,

а можна подати як

$$\ |\Psi{''} \rangle = U((\Lambda_{2}, a_{2})\cdot (\Lambda_{1}, a_{1}))| \Psi\rangle$$.

Перше твердження принципу відносності каже, що вид операторів $$\ U(\Lambda_{i}, a_{i}), U((\Lambda_{i}, a_{i})\cdot ...\cdot (\Lambda_{j}, a_{j}))$$ однаковий; далі, вектори $$\ U(\Lambda_{2},a_{2})U(\Lambda_{1}, a_{1})| \Psi\rangle $$ та $$\ U((\Lambda_{2}, a_{2})\cdot (\Lambda_{1}, a_{1}))| \Psi\rangle$$ відповідають одному й тому самому стану, тому можуть відрізнятися одним лише фазовим множником. Це означає, що в силу довільності $$\ | \Psi\rangle$$ виконується рівність

$$\ U(\Lambda_{2}, a_{2})U(\Lambda_{1},a_{1}) = e^{i\omega ((\Lambda_{2}, a_{2}), (\Lambda_{1}, a_{1}))}U((\Lambda_{2}, a_{2})\cdot (\Lambda_{1}, a_{1}))$$,

де $$\ \omega$$ - деяка функція.

Виконуючи аналогічно послідовне перетворення $$\ |\Psi{}\rangle \to | \Psi{'}\rangle = U(\Lambda_{3}, a_{3})| \Psi{''}\rangle$$, можна (із порівняння $$\ U(\Lambda_{3}, a_{3})U((\Lambda_{2},a_{2})\cdot (\Lambda_{1},a_{1})) $$ та $$\ U((\Lambda_{3},a_{3})\cdot (\Lambda_{2}, a_{2}))U(\Lambda_{1},a_{1})$$) отримати наступну властивість $$\ \omega$$:

$$\ \omega ((\Lambda_{2}, a_{2}), (\Lambda_{1}, a_{1})) + \omega ((\Lambda_{2},a_{2} )\cdot (\Lambda_{1},a_{1}), (\Lambda_{3}, a_{3})) = \omega ((\Lambda_{2},a_{2})\cdot (\Lambda_{3},a_{3}), (\Lambda_{1}, a_{1})) + \omega ((\Lambda_{1}, a_{1}), (\Lambda_{3}, a_{3}))$$.

Співставлення елементам $$\ g$$ групи $$\ G$$ операторів $$\ U(g)$$, що діють у деякому лінійному просторі та задовольняють співвідношенню

$$\ U(g_{2})U(g_{1}) = \lambda (g_{2}, g_{1})U(g_{2}\cdot g_{1})$$

називається проективним представленням. Таким чином, у лінійному просторі станів квантовомеханічної системи реалізується проективне представлення групи Пуанкаре.

В силу визначення $$\ (0)$$ оператори $$\ U(\Lambda, a)$$ та $$\ e^{i\gamma (\Lambda , a)}U(\Lambda , a)$$ описують перехід до однієї і тієї ж ІСВ. Можна показати, що в силу цієї недовизначеності можна зафіксувати функцію $$\ \gamma$$ так, що $$\ e^{i\omega ((\Lambda_{1}, a_{1}), (\Lambda_{2}, a_{2}))} = \pm 1$$ (це буде обговорюватись у розділі про спінорний гомоморфізм).

Таким чином,

$$\ U(\Lambda_{2}, a_{2})U(\Lambda_{1}, a_{1}) = \pm U((\Lambda_{2}, a_{2}) \cdot (\Lambda_{1}, a_{1}))$$,

що означає, що у просторі станів квантовомеханічної системи реалізується у загальному випадку двозначне представлення групи Пуанкаре.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Визначення групи Пуанкаре. Групи Лоренца та трансляцій
Перетворення Пуанкаре - перетворення чотиривимірного простору Мінковського, які залишають елемент метричний тензор $$\ g_{\mu \nu} = diag(1, -1, -1, -1)$$ інваріантним:

$$\ x^{\mu} \to x^{\mu}{'} = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}x^{\nu} + a^{\mu}: g^{\mu \nu} \to \frac{\partial x^{\mu}{'}}{\partial x^{\alpha}}\frac{\partial x^{\nu}{'}}{\partial x^{\beta}}g^{\alpha \beta} = g^{\mu \nu} \Rightarrow \Lambda^{\mu}_{\ \alpha}\Lambda^{\nu}_{\ \beta} \qquad (1)$$.

Можна показати, що перетворення утворюють групу. По-перше, у матричному вигляді $$\ (1)$$ має вигляд

$$\ \mathbf{\Lambda}^{T}\mathbf {g}\mathbf{\Lambda} = \mathbf g \Rightarrow (\text{det}\mathbf{\Lambda} )^{2} = 1 \Rightarrow \text{det}\Lambda = \pm 1 \neq 0 \qquad (2)$$,

тобто, обернене перетворення існує.

Далі, добуток двох перетворень Пуанкаре знову дає перетворення Пуанкаре,

$$\ x^{\mu} \to x^{\mu{'}} = \Lambda_{1}^{\mu \nu}x_{\nu} + a_{1}^{\mu} \to x^{\mu{''}} = (\Lambda_{2})^{\mu}_{\ \nu}(\Lambda_{1}^{\nu \alpha}x_{\alpha} + a_{1}^{\nu}) + a_{2}^{\mu} = (\Lambda_{2}\Lambda_{1}x)^{\mu} + (\Lambda_{2}a_{1})^{\mu} + a_{2}^{\mu} \Rightarrow (\Lambda_{2}, a_{2})\cdot (\Lambda_{1}, a_{1}) = (\Lambda_{2}\Lambda_{1}, \Lambda_{2}a_{1} + a_{2}) \qquad (2)$$,

тобто, його можна знайти подати у вигляді перетворення Пуанкаре із $$\ \Lambda_{3} = \Lambda_{2}\Lambda_{1}, a_{3} = \Lambda_{2}a_{1} + a_{2}$$. Вираз $$\ (2)$$ подає закон множення.

Нарешті, асоціативність очевидна, а одиничний елемент представляється перетворенням $$\ (\hat{E}, 0)$$.

Отже, група Пуанкаре $$\ ISO(3, 1)$$ - група перетворень

$$\ ISO(3,1) \simeq \left\{(\Lambda, a) | \Lambda \in GL(4, R): \Lambda \mathbf g \Lambda^{T} = \mathbf g , a \in R^{4}\right\}$$

із законом множення

$$\ (\Lambda_{2}, a_{2})\cdot (\Lambda_{1}, a_{1}) = (\Lambda_{2}\Lambda_{1}, \Lambda_{2}a_{1} + a_{2})$$,

одиничним елементом $$\ id = (\hat{E}, 0)$$ та оберненим елементом $$\ (\Lambda, a)^{-1} = (\Lambda^{-1}, -\Lambda^{-1} a)$$.

Варто поговорити про підгрупи групи Пуанкаре. Перетворення $$\ (\hat{E}, a)$$ утворює (абелеву) групу трансляцій $$\ $$, а перетворення $$\ (\Lambda, 0)$$ утворює групу Лоренца $$\ O(3,1)$$; символічно елемент групи Пуанкаре можна подати у вигляді $$\ (\Lambda , 0)\cdot (\hat{E}, a)$$. Груповий добуток для елементів групи Пуанкаре показує, що група Пуанкаре утворена напівпрямим добутком груп трансляцій та Лоренца.

Компоненти зв'язності групи. Дискретні та неперервні перетворення
Окрім обмеження $$\ (2)$$, на матрицю $$\ \Lambda$$ групового перетворення існує ще одне обмеження. Для цього треба записати вираз $$\ \Lambda^{T}\mathbf g \Lambda = \mathbf g $$ для компоненти $$\ 00$$:

$$\ (\Lambda_{00})^{2} - \sum_{i}(\Lambda_{ii})^{2} = 1 \Rightarrow |\Lambda_{00}| \geqslant 1 \qquad (2)$$.

Умови $$\ (1), (2)$$ реалізують чотири можливості для матриці $$\ \Lambda$$:

$$\ \Lambda_{00} \geqslant 1, \quad \text{det}\Lambda =\pm 1, \quad \Lambda_{00} \leqslant 1, \quad \text{det}\Lambda = \pm 1$$.

Відповідно, група Лоренца (і, відповідно, Пуанкаре) розбивається на чотири множини (стрілка вгору чи вниз означає знак нульової компоненти, а знак плюс чи мінус означають знак визначника перетворення),

$$\ O(3,1) = O(3,1)_{+}^{\uparrow}\cup O(3,1)_{-}^{\uparrow}\cup O(3,1)_{+}^{\downarrow}\cup O(3,1)_{-}^{\downarrow} \qquad (3)$$,

які називаються компонентами зв'язності. Із цих компонент лише компонента $$\ O(3,1)_{+}^{\uparrow} \equiv SO(3, 1)$$ є підгрупою (так званою спеціальною ортохронною групою Лоренца), оскільки лише вона містить одиничний елемент. Вона є зв'язною - завжди можна параметризувати перетворення неперервною кривою t, що приймає значення від нуля до одиниці, причому $$\ \Lambda (0) = \hat{E}$$, $$\ \Lambda (1) = \Lambda$$.

Визначення групи Пуанкаре допускає вибір матриць

$$\ \Lambda = \hat{T} = diag(-1, 1, 1, 1), \quad \Lambda = \hat{P} = diag(1, -1, -1, -1), \quad T^{2} = P^{2} = id \qquad (4)$$,

які здійснюють зв'язок між множинами $$\ (3)$$. Дійсно, для $$\ \Lambda \in SO(3, 1)_{+}^{\uparrow}$$ виконуються рівності

$$\ P\Lambda \in O(3,1)_{-}^{\uparrow}, \quad TP\Lambda \in O(3,1)_{-}^{\uparrow}, \quad T\Lambda \in O(3, 1)_{-}^{\downarrow}$$.

Матриці $$\ (4)$$ називаються, відповідно, матрицею часової та просторової інверсії, і являються дискретними перетвореннями групи Пуанкаре (про ще одне дискретне перетворення, зарядове спряження, див. у розділі про дискретні перетворення групи Лоренца).

Аналогічним чином на компоненти зв'язності розпадається і група Пуанкаре:

$$\ IO(3,1) = ISO(3,1)_{+}^{\uparrow}\cup IO(3,1)_{-}^{\uparrow}\cup IO(3,1)_{+}^{\downarrow}\cup IO(3,1)_{-}^{\downarrow}$$,

причому $$\ ISO(3,1)_{+}^{\uparrow}$$ називається власною групою Пуанкаре. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Алгебра групи. Оператори моменту імпульсу та 4-імпульсу
Можна розкласти умову ортогональності $$\ \Lambda^{\mu}_{\ \alpha}\Lambda^{\nu}_{\ \beta}g^{\alpha \beta} = g^{\mu \nu}$$ околі одиничного перетворення групи Лоренца, що дається $$\ \Lambda^{\mu}_{\ \nu} = \delta^{\mu}_{\nu}$$, ввівши інфінітезимальну матрицю параметрів $$\ \omega^{\mu}_{\ \nu}$$, $$\ \Lambda^{\mu}_{\ \nu} = \delta^{\mu}_{\nu} + \omega^{\mu}_{\ \nu}$$. Умова ортогональності у першому порядку тоді прийме вигляд

$$\ \omega^{\mu}_{\ \nu} + \omega^{\ \mu}_{\nu} = 0 \Rightarrow \omega^{\mu \nu} = -\omega^{\nu \mu} \qquad (5)$$.

Матриця 4 на 4 із умовою $$\ (5)$$ має 6 незалежних компонент. Звідси видно, що група Лоренца - шестипараметрична, а група Пуанкаре (із чотирма параметрами трансляцій) - десятипараметрична.

Нехай оператори $$\ U(\Lambda, a)$$ реалізовують унітарне представлення власної групи Пуанкаре. Відповідно, в околі одиничного оператора

$$\ U(\Lambda, a) = \text{id} + \frac{i}{2\hbar }\hat{J}_{\mu \nu}\omega^{\mu \nu} + \frac{i}{\hbar}\hat{P}^{\mu}a_{\mu}, \quad \hat{J}_{\mu \nu}^{\dagger} = \hat{J}_{\mu \nu}, \quad \hat{P}_{\mu}^{\dagger} = \hat{P}_{\mu}$$,

причому в силу $$\ (5)$$ виконується рівність $$\ \hat{J}_{\mu \nu} = -\hat{J}_{\nu \mu}$$.

Генератори $$\ \hat{J}_{\mu \nu}, \hat{P}_{\mu}$$ називаються, відповідно, операторами моменту імпульсу та 4-імпульсу. Причиною для таких визначень є те, що в квантовій теорії $$\ \hat{J}_{\mu \nu}, \hat{P}_{\mu}$$ являються операторами відповідних величин, і часто можуть бути побудованими із відповідних класичних величин шляхом деякого правила відповідності. Константи $$\ \hbar, c$$ необхідні для правильної фізичної розмірності генераторів; у подальшому буде використовуватися система одиниць $$\ \hbar = c = 1$$.

Закони перетворення генераторів групи Пуанкаре
Для визначення трансформаційних властивостей генераторів групи варто знайти закон їх перетворення при перетвореннях Пуанкаре. Оскільки в алгебрі Лі реалізоване приєднане представлення, то мається на увазі перетворення під дією приєднаного представлення групи Пуанкаре.

В силу $$\ (\Lambda, a)\cdot (\Lambda_{1}, a_{1})\cdot (\Lambda , a)^{-1} = (\Lambda \Lambda_{1}, \Lambda a_{1} + a)\cdot (\Lambda^{-1}, -\Lambda^{-1}a) = (\Lambda \Lambda_{1}\Lambda^{-1}, -\Lambda \Lambda_{1}\Lambda^{-1}a + \Lambda a_{1} + a)$$

виконується рівність

$$\ U(\Lambda, a)U(\Lambda_{1}, a_{1})U (\Lambda , a)^{-1} = \pm U(\Lambda \Lambda_{1}\Lambda^{-1}, -\Lambda \Lambda_{1}\Lambda^{-1}a + \Lambda a_{1} + a)$$.

Розкладаючи матрицю перетворення в околі одиниці, $$\ \Lambda_{1} \approx \text{id} + \omega_{1} $$, і утримуючи лише члени першого порядку по $$\ \omega_{1}, a_{1}$$, із цієї рівності можна отримати

$$\ U(\Lambda, a)U(\text{id} + \omega_{1}, a_{1})U(\Lambda , a)^{-1} = U(\Lambda , a)\left( \text{id} + \frac{i}{2}\hat{J}_{\mu \nu}\omega_{1}^{\mu \nu} + i\hat{P}_{\mu}a_{1}^{\mu}\right)U(\Lambda , a)^{-1} = \text{id} + \frac{i}{2}(\Lambda \omega_{1} \Lambda^{-1})_{\mu \nu}\hat{J}^{\mu \nu} + i(\Lambda a_{1} - \Lambda \omega_{1}\Lambda^{-1}a)_{\mu}\hat{P}^{\mu}$$.

Прирівнявши коефіцієнти при $$\ \omega_{1}$$ зліва та зправа, можна отримати, що

$$\ U(\Lambda, a)\hat{J}_{\mu \nu}U(\Lambda , a)^{-1} = (\Lambda^{-1})_{\mu}^{\ \rho}(\Lambda^{-1})_{\nu}^{\ \delta}(\hat{J}^{\rho \delta} - a^{\delta}\hat{P}^{\rho} + a^{\rho}\hat{P}^{\delta}), \quad U(\Lambda , a)\hat{P}_{\mu}U(\Lambda , a)^{-1} = (\Lambda^{-1})_{\mu}^{\ \delta}\hat{P}_{\delta} \qquad (6)$$.

Для однорідних перетворень, $$\ a = 0$$, звідси слідує, що $$\ \hat{J}$$ - тензор, а $$\ \hat{P}$$ - 4-вектор відносно перетворень Лоренца. Навпаки, при $$\ \Lambda = \text{id}$$ звідси слідує, що $$\ \hat{P}$$ являється трансляційно-інваріантним оператором, а $$\ \hat{J}$$ - ні. Вирази $$\ (6)$$ дозволяють також отримати алгебру Лі групи Пуанкаре. Розкладаючи $$\ U(\Lambda, a)$$ в ряд, при $$\ a = 0$$ із нього можна отримати

$$\ U(\Lambda, 0)\hat{J}_{\mu \nu}U(\Lambda , 0)^{-1} = \hat{J}_{\mu \nu} - \frac{i}{2}\omega^{\alpha \beta}[\hat{J}_{\mu \nu},J_{\alpha \beta}] = J_{\mu \nu} - \omega_{\alpha \beta}(g^{\alpha \mu}\hat{J}^{\beta \nu} - g^{\alpha \nu}\hat{J}^{\beta \mu})$$,

$$\ U(\Lambda, 0)\hat{P}_{\mu}U(\Lambda , 0)^{-1} = \hat{P}_{\mu} - \frac{i}{2}\omega^{\alpha \beta}[\hat{P}_{\mu}, \hat{J}_{\alpha \beta}] = \hat{P}_{\mu} - \omega_{\alpha \beta}g^{\alpha \mu}\hat{P}^{\beta}$$.

Навпаки, при $$\ a \neq 0, \Lambda = \text{id}$$ можна отримати

$$\ U(\text{id}, a)\hat{J}_{\mu \nu}U(\text{id} , a)^{-1} = \hat{J}_{\mu \nu} - ia^{\alpha}[\hat{J}_{\mu \nu}, \hat{P}_{\alpha}] = \hat{J}_{\mu \nu} - a^{\alpha}(g_{\alpha \mu}\hat{P}_{\nu} - g_{\alpha \nu}\hat{P}_{\mu})$$,

$$\ \hat{P}_{\mu} - ia^{\alpha}[\hat{P}_{\mu}, \hat{P}_{\alpha}] = \hat{P}_{\mu}$$.

Звідси отримуються комутаційні співвідношення:

$$\ [\hat{J}_{\alpha \beta},\hat{J}_{\mu \nu}] = i(g_{\alpha \mu}\hat{J}_{\beta \nu} - g_{\alpha \nu}\hat{J}_{\beta \mu} - g_{\beta \mu}\hat{J}_{\alpha \nu} + g_{\beta \nu}\hat{J}_{\alpha \mu}) \qquad (7)$$,

$$\ [\hat{J}_{\alpha \beta}, \hat{P}_{\mu}] = i(g_{\alpha \mu}\hat{P}_{\nu} - g_{\alpha \nu}\hat{P}_{\mu}), \quad [\hat{P}_{\mu}, \hat{P}_{\nu}] = 0 \qquad (8)$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Оператори Казиміра групи
Як зазначалося, оператори Казиміра характеризують незвідне представлення з точністю до еквівалентності, тому пошук цих операторів є дуже важливим. У подальшому на основі цих операторів будуть будуватися рівняння на вільні релятивістські поля.

Із генераторів групи Пуанкаре $$\ \hat{P}_{\mu}, \hat{J}_{\mu \nu}$$ можна побудувати наступні незалежні лоренц-інваріантні скаляри (Лоренц-інваріантність слідує із $$\ (6)$$ при $$\ a = 0$$):

$$\ \hat{C}_{1} = \hat{P}_{\mu}\hat{P}^{\mu}, \quad \hat{C}_{2} = \hat{W}_{\mu \nu}\hat{W}^{\mu \nu}, \quad \hat{C}_{3} = \frac{1}{2}\hat{J}_{\mu \nu}\hat{J}^{\mu \nu}, \quad \hat{C}_{4} = \frac{1}{4}\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\hat{J}^{\mu \nu}\hat{J}^{\alpha \beta}$$,

де

$$\ \hat{W}_{\mu} = \frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\hat{J}^{\nu \alpha}\hat{P}^{\beta}$$ -

оператор Паулі-Любанського, що має наступні комутаційні співвідношення із генераторами алгебри Пуанкаре:

$$\ [\hat {P}_{\alpha}, \hat {W}_{\beta}] = 0, \quad [\hat {W}^{\alpha}, \hat {W}^{\kappa }] = i \varepsilon^{\alpha \beta \kappa \delta}\hat {W}_{\beta}\hat {P}_{\delta}, \quad [\hat {W}_{\mu}, \hat {J}_{\kappa \lambda }] = i\left( \hat {W}_{\lambda}g_{\mu \kappa} - \hat {W}_{\kappa}g_{\mu \lambda}\right)$$.

Із них лише два оператори, $$\ \hat{C}_{1}, \hat{C}_{2}$$, комутують із усіма генераторами алгебри Пуанкаре. Дійсно, щодо оператора $$\ \hat{C}_{1}$$, то

$$\ [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {P}_{\gamma }\hat {P}^{\gamma}] = 2 [x_{\alpha }, \hat {P}_{\gamma}]\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\beta } - 2 [x_{\beta }, \hat {P}_{\gamma}]\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\alpha} = -2i (g_{\alpha \gamma}\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\beta} - g_{\gamma \beta}\hat {P}^{\gamma}\hat {P}_{\alpha}) = 0$$.

Далі, оскільки квадрат оператора Паулі-Любанського має вигляд

$$\ \hat{W}_{\mu}\hat{W}^{\mu} = \hat{P}_{\mu}\hat{J}_{\nu \lambda}\hat{P}^{\mu}\hat{J}^{\nu \lambda}-\frac{1}{2}\hat {P}^{\sigma}\hat {P}_{\sigma}\hat {J}^{\mu \nu }\hat {J}_{\mu \nu }$$,

то

$$\ [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat{C}_{2}] = 0$$.

Оператори $$\ \hat{C}_{3}, \hat{C}_{4}$$ не комутують із генераторами трансляцій $$\ \hat{P}_{\mu}$$ внаслідок $$\ (8)$$. Проте вони комутують із генераторами групи Лоренца $$\ \hat{J}_{\mu \nu}$$

Таким чином, оператори $$\ \hat{C}_{1}, \hat{C}_{2}$$ являються операторами Казиміра алгебри Пуанкаре, у той час як оператори $$\ \hat{C}_{3}, \hat{C}_{4}$$ являються операторами Казиміра групи Лоренца. Представляючи тензор $$\ \hat{J}_{\mu \nu}$$ у вигляді $$\ \hat{J}_{\mu \nu} = (\hat{K}, \hat{J}) $$, де $$\ \hat{K}_{i} \equiv -\hat{J}_{i} \equiv \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\hat{J}^{jk}$$ - трійка операторів бустів, $$\ \hat{J}$$ - трійка операторів поворотів, можна отримати, що

$$\ \hat{C}_{3} = \hat{J}\cdot \hat{J} - \hat{K}\cdot \hat{K}, \quad \hat{C}_{4} = -\hat{J}\cdot\hat{K}$$.