Неоднозначність нетерівських струмів

Повернутися до розділу "Теорема Нетер".

Розглянемо ще раз вирази для тензорів енергії-імпульсу і моменту імпульсу зі спіном:

$$\ T^{\mu \nu} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi_{k})}\partial^{\nu}\Psi_{k} - g^{\mu \nu}L, \quad J^{\gamma, \alpha \beta } = x^{\alpha}T^{\gamma \beta} - x^{\beta}T^{\gamma \alpha} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\gamma}\Psi_{k} }Y_{k}^{\alpha \beta} = L_{\gamma, \alpha \beta } + S_{\gamma , \alpha \beta} \qquad (1)$$.

По першому індексу ці два тензори задовольняють закону збереження. По останнім двом індексам тензор моменту імпульсу і спіну є антисиметричним (оскільки є антисиметричними параметри поворотів). При цьому виявляється, що у випадку, коли $$\ T{\mu \nu} $$ - симетричний, тензор моменту імпульсу і тензор спіну зберігаються окремо. Дійсно,

$$\ \partial_{\gamma}J^{ \gamma, \alpha \beta} = \delta^{\alpha}_{\gamma}T^{\gamma \beta} - \delta^{\beta}_{\gamma}T^{\gamma \alpha} + \partial_{\gamma}S^{\gamma , \alpha \beta} = T^{\alpha \beta} - T^{\beta \alpha} + \partial_{\gamma}S^{\gamma , \alpha \beta} = \partial_{\gamma}S^{\gamma , \alpha \beta} = 0$$.

Проте навіть якщо тензор енергії-імпульсу не є симетричним, його можна зробити таким в силу неоднозначності усіх нетерівських струмів.

Дійсно, нехай є деякий нетерівський струм $$\ A_{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{n}}, \partial^{\mu_{1}}A_{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{n}} = 0$$. Можна модифікувати його як

$$\ A_{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{n}} \to A{'}_{\mu_{1}...\mu_{n}} = A_{\mu_{1}\mu_{2}...\mu_{n}} + \partial^{\mu}B_{\mu \mu_{1}\mu_{2}...\mu_{n}}, \quad B_{\mu_{1}\mu ...} =- B_{\mu \mu_{1}...}$$.

Тоді 4-похідна буде знову дорівнювати нулю,

$$\ \partial^{\mu_{1}}A{'}_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \partial^{\mu}\partial^{\mu_{1}}B_{\mu \mu_{1}\mu_{2}...\mu_{n}} = 0$$,

в силу згортки симетричного тензору похідних із антисиметричним тензором (по цим індексам) $$\ B$$.

Це дозволяє модифікувати тензор енергії-імпульсу як

$$\ T_{\mu \nu}{'} = T_{\mu \nu} + \frac{1}{2}\partial^{\gamma}\left( \Phi_{\gamma, \mu \nu} - \Phi_{\mu , \gamma \nu} - \Phi_{\nu , \gamma \mu }\right), \quad \Phi^{\alpha , \beta \gamma} = -\Phi^{\alpha , \gamma \beta} \qquad (2)$$.

а тензор спіну - як

$$\ S_{\gamma, \alpha \beta}{'} = S_{\gamma , \alpha \beta} - \Phi_{\gamma , \alpha \beta} \qquad (3)$$.

Новий тензор енергії-імпульсу задовольняє рівнянню неперервності,

$$\ \partial^{\mu}T_{\mu \nu} = \frac{1}{2}\partial^{\gamma}\partial^{\mu}\left( \Phi_{\gamma, \mu \nu} - \Phi_{\mu, \gamma \nu}\right) = 0$$,

оскільки індекси, що відрізняють перший і другий доданок, німі.

Відповідно до $$\ (1)$$, тензор моменту імпульсу та спіну з урахуванням $$\ (2)-(3)$$ буде мати вигляд

$$\ J^{\mu, \alpha \beta}{'} = J^{\mu , \alpha \beta }+ \frac{x^{\alpha}}{2}\partial_{\gamma}\left( \Phi^{\gamma , \mu \beta} - \Phi^{\mu , \gamma \beta} - \Phi^{\beta , \gamma \mu}\right) - \frac{x^{\beta}}{2}\left( \Phi^{\gamma , \mu \alpha} - \Phi^{\mu , \gamma \alpha} - \Phi^{\alpha , \gamma \mu}\right) - \Phi^{\mu , \alpha \beta}$$.

Він, звичайно, зберігається.

Якщо вибрати в якості $$\ \Phi^{\mu, \alpha\beta}$$ тензор спіну $$\ S^{\mu , \alpha \beta}$$, то новий тензор спіну буде рівний нулю, а тензор енергії-імпульсу - симетричним. Дійсно, рівність нулю тензору спіну автоматично означає, що тензор кутового моменту повинен зберігатися сам по собі, а отже, і симетричність тензору енергії-імпульсу.

Отримання таким чином тензору енергії-імпульсу називається процедурою Беліфанте.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$