Перенормування мас і полів

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

У цьому розділі в рамках непертурбативного підходу будуть отримані результати, що дозволять прояснити фізичний зміст введення контрчленів у лагранжіанах перенормовних теорій.

Полюсна апроксимація амплітуд
Для подальших викладок знадобляться результати, що апроксимують матричні елементи полюсними вкладами.

Отже, розглянемо у імпульсному представленні амплітуду

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) = \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1} - ... - iq_{n}x_{n}}\langle | \hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat {A}_{n}(x_{n})\right)|\rangle \qquad (1)$$,

де $$\ \hat {A}(x)$$ - довільна операторозначна локальна функція полів та їх похідних. У частинному випадку, коли $$\ \hat {A}(x)$$ відповідають полям, вираз $$\ (1)$$ визначає суму всіх діаграм, що відповідають $$\ n$$ зовнішнім лініям $$\ \hat {A}_{i}(x_{i})$$, причому по цім лініям текуть 4-імпульси $$\ q_{i}$$, які не знаходяться на масовій поверхні (формально, такі вирази відповідають внутрішнім діаграмам).

Спростимо цей вираз, привівши його до якогось осмисленого результату. Серед $$\ n!$$ можливих часових впорядкувань виразу $$\ (1) $$ у виразі існують $$\ \frac{n!}{r!(n - r)!}$$ таких, для яких всі перші $$\ r$$ моментів $$\ x_{i}^{0}$$ більше, ніж останні $$\ n - r$$. Виділяючи вклад цієї частини доданків у $$\ (1)$$, його можна записати як

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) = \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-i\prod_{i = 1}^{n}q_{i}x_{i}}\theta (max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0}) - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0}))\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right) \hat {N}\left( \hat {A}_{r +1}(x_{r+1})...\hat{A}_{n}(x_{n})\right)| \rangle +... \qquad (2)$$,

де три точки означають доданки з усіма можливими іншими способами часового впорядкування. Вставимо між двома часовими впорядкуваннями $$\ (2) $$ повний базис $$\ \sum_{i, \sigma }|(\mathbf p_{1}, \sigma_{1}), ...,(\mathbf p_{1}, \sigma_{1}) \rangle \langle (\mathbf p_{1},...\sigma_{1}),...,(\mathbf p_{i}, \sigma_{i}) | $$ і виділимо явний вклад від одночастинкових станів цієї суми (все інше піде у три крапки). Отримаємо (по імпульсам інтегруємо)

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) = \sum_{\sigma} \int d^{3}\mathbf p \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1}-...-iq_{n}x_{n}}\theta (max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0} - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0}) \times $$

$$\ \times \langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)|(\mathbf p, \sigma )\rangle \langle (\mathbf p, \sigma )|\hat {N}\left( \hat {A}_{r +1}(x_{r+1})...\hat{A}_{n}(x_{n})\right)| \rangle + ... \qquad (3)$$.

Зсунемо тепер змінні інтегрування: $$\ x_{i} \to x_{1} + y_{i}, i = 2, ..., r$$ та $$\ x_{i} \to x_{r + 1} + y_{i}, i = r + 2, ..., n$$.

Завдяки цьому $$\ (3)$$ набуде вигляду

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) = -\frac{1}{2\pi i}\int d^{4}y_{2}...d^{4}y_{r}d^{4}y_{r+2}...d^{4}y_{n}e^{-iq_{2}y_{2}-...-iq_{r}y_{r} - iq_{r + 2}y_{r + 2} - ...-iq_{n}y_{n}}\int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{d \omega}{\omega + i\varepsilon }e^{-i\omega \left( min (0,y_{2},...y_{r}) - max(0, y_{r + 2},...,y_{n})\right)}\times$$

$$\ \times \sum_{\sigma}\int d^{3}\mathbf p \langle | \hat {N}(\hat {A}_{1}(0)...\hat {A}_{r}(y_{r}) | (\mathbf p, \sigma) \rangle \langle (\mathbf p, \sigma)| \hat {N}(\hat {A}_{r+1}(0)...\hat {A}_{n}(y_{n}) | \rangle (2 \pi )^{8}\delta (\mathbf p - \mathbf q_{1} - ... - \mathbf q_{r})\delta \left(\sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} + \omega -q_{1}^{0} - ... - q_{r}^{0}\right) \times $$

$$\ \times \delta (\mathbf p + \mathbf q_{r + 1} - ... + \mathbf q_{n})\delta \left(\sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} + \omega + q_{r + 1}^{0} + ... + q_{n}^{0}\right) \qquad (4)$$.

Підинтегральний вираз $$\ (4)$$ має полюс першого порядку 1. В силу цього можна покласти вираз в експоненті від інтегрального представлення функції Хевісайда рівним нулю. Тоді інтеграли по $$\ d^{3}\mathbf p, d\omega $$ стають тривіальними (в силу дельта-функції), в результаті чого $$\ (4)$$ перетворюється в

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) \to (2 \pi )^{7}i\frac{\delta (q_{1} + ... + q_{n})}{q_{0} - \sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}+i\varepsilon }\sum_{\sigma}\left[ \int d^{4}y_{2}...d^{4}y_{r}e^{-i\sum_{i = 2}^{r}q_{i}y_{i}}\langle |\hat {N}\left(\prod_{i = 1}^{r}\hat {A}_{i}(y_{i})\right)| (-\mathbf q ,\sigma ) \rangle\right]\times $$

$$\ \times \left[ \int d^{4}y_{r+2}...d^{4}y_{n}e^{-i\sum_{i =r+2}^{n}q_{i}y_{i}}\langle (-\mathbf q ,\sigma )|\hat {N}\left(\prod_{i = r+2}^{n}\hat {A}_{i}(y_{i})\right)|\rangle \right] + ... = $$

$$\ = \frac{(2 \pi )^{7}i\delta (q_{1} + ... + q_{n})}{q_{0} - \sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}+i\varepsilon } \sum_{\sigma}M_{0; -\mathbf q, \sigma}(q_{2},...,q_{r})M_{-\mathbf q, \sigma ; 0}(q_{r+2},...,q_{n}) + ... $$,

де $$\ q = q_{1} + ... + q_{n}, y_{0} = y_{r + 1} = 0$$. Три крапки містять подібні доданки із полюсами в інших точках.

Окрім того, перепозначимо тепер $$\ \varepsilon \to 2\sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}\varepsilon $$ (що можна зробити в силу малості $$\ \varepsilon $$): отримаємо

$$\ \frac{1}{q_{0} - \sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}+i\varepsilon } \to -2\frac{\sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon}$$.

Отже, нарешті,

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) \to -\frac{2(2 \pi )^{7}i\delta (q_{1} + ... + q_{n})2\sqrt{\mathbf q^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon} \sum_{\sigma}M_{0; -\mathbf q, \sigma}(q_{2},...,q_{r})M_{-\mathbf q, \sigma ; 0}(q_{r+2},...,q_{n}) + ... \qquad (5)$$.

Для деякої інтерпретації змісту $$\ (5)$$ можна переписати цей вираз як

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) \to \int d^{4}k \left[(2 \pi)^{4}\delta (q_{1} + ... + q_{r} - k)(2 \pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2(\mathbf k^{2} + m^{2})}M_{0;\mathbf k, \sigma}(q_{2},...,q_{r})\right] \times \left[ \frac{-i}{(2 \pi)^{4}}\frac{1}{k^{2} - m^{2} - i\varepsilon}\right] \times $$

$$\ \times \left[ (2 \pi)^{4}\delta (q_{r+1} + ... + q_{n} + k)(2 \pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2(\mathbf k^{2} + m^{2})}M_{\mathbf k, \sigma ; 0}(q_{r + 2},...,q_{n})\right]$$.

Це означає, що якби всі $$\ \hat {A}_{i}(x_{i})$$ були б полями, то наш вираз відповідав би вкладу від фейнманівської діаграми із єдиною внутрішньою лінією, що відповідає частинці масою $$\ m$$ і що з'єднує перші $$\ r$$ зовнішніх ліній із $$\ n - r$$ останніми зовнішніми лініями. При цьому не обов'язково, щоб частинка відповідала полю, що входить в лагранжіан даної теорії (тоді полюсів - нескінченність); натомість вона може відповідати зв'язаним станам елементарних частинок, яким відповідають поля лагранжіану (як атом водню, позитроній тощо). Цей результат вже не міг би бути отриманим у рамках теорії збурень.

Редукційна формула. Перенормування мас та полів
Використаємо тепер вираз $$\ (5)$$ у частинному випадку - коли з усіх 4-імпульсів зовнішніх ліній лише один наближається до масової оболонки. Це відповідає $$\ r = 1$$ у виразі $$\ (5)$$. Замість $$\ (1)$$ тоді можна записати

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) = \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1} - ... - iq_{n}x_{n}}\langle | \hat {N}\left( \hat {O}_{l}(x_{1})...\hat {A}_{n}(x_{n})\right)|\rangle + ... \qquad (6)$$,

де $$\ \hat {O}_{l}(x)$$ - оператор, що має такі ж трансформаційні властивості відносно перетворень групи Лоренца, як і поле $$\ \hat {\Psi}_{l}(x) $$; всі інші оператори є довільними локальними гейзенбергівськими операторами. Нехай також існує одночастинковий стан $$\ |( \mathbf p, \sigma )\rangle$$ такий, що елементи $$\ \hat {O}_{l}^{\dagger}| (\mathbf p , \sigma )\rangle , \hat {A}_{2}(x_{2})...\hat {A}_{n}(x_{n})| (\mathbf p , \sigma )\rangle$$ не рівні нулю. Тоді згідно до виразу $$\ (5)$$

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) \to \frac{-2i\sqrt{\mathbf q_{1}^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon }(2 \pi )^{3}\sum_{\sigma} \langle | \hat {O}_{l}(0)|(\mathbf q_{1}, \sigma )\rangle \int d^{4}x_{2}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{2}x_{2} - ...}\langle (\mathbf q_{1}, \sigma ) |\hat {N}\left( \hat {A}_{2}(x_{2})...\right) | \rangle + ... \qquad (7)$$.

В силу вказаної властивості оператора $$\ \hat {O}_{l}(x)$$ справедливий вираз (порівняйте із загальним виразом для коваріантного поля)

$$\ \hat {O}_{l}(0)| (\mathbf q_{1}, \sigma )\rangle = \frac{1}{\sqrt{(2 \pi)^{3}}}Nu^{\sigma}_{l}(\mathbf q_{1}) \qquad (8)$$,

де $$\ N$$ - деяка константа. Ввівши також формально величину $$\ M_{l}$$ за формулою

$$\ \int d^{4}x_{2}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{2}x_{2} - ...}\langle (\mathbf q_{1}, \sigma ) |\hat {N}\left( \hat {A}_{2}(x_{2})...\right) | \rangle = \frac{1}{N}\frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}\sum_{l'}(u^{\sigma}_{l'})^{*}(\mathbf q_{1} )M_{l'}(q_{2},...) \qquad (9)$$,

вираз $$\ (7)$$ можна переписати як

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) \to -\frac{2i\sqrt{\mathbf q_{1}^{2} + m^{2}}}{q^{2}-m^{2}-i\varepsilon}\sum_{\sigma, l'}u_{l}^{\sigma}(\mathbf q_{1})(u^{\sigma}_{l'})^{*}(\mathbf q_{1} )M_{l'}(q_{2},...) + ... \qquad (10)$$.

Величина, що входить як множник при $$\ M_{l'}$$, являється нічим іншим, як пропагатором у імпульсному просторі для вільного поля, що має такі ж властивості щодо перетворень за групою Лоренца, що й $$\ \hat {O}_{l}(x)$$. Таким чином, $$\ M_{l'}$$ у $$\ (10)$$ можна інтерпретувати як суму всіх діаграм, зовнішні лінії яких (з імпульсами $$\ q_{1},...q_{n})$$) відповідають операторам $$\ \hat {O}_{l}, \hat {A}_{1}, ...$$, причому всі пропагатори, що відповідають $$\ \hat {O}_{l}$$, відкинуті. Тоді формула $$\ (9)$$ відповідає звичайному виразу для визначення матричного елемента вивільнення частинки у вигляді суми фейнманівських діаграм: треба відкинути пропагатор частинки, замінивши його згорткою з множником $$\ \frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}u_{l}^{*}$$ для зовнішньої лінії. Єдиною відмінністю є наявність множника $$\ N$$.

Результат, сформульований вище, називається редукційною формулою. У частинному випадку, коли $$\ \hat {O}_{l}$$ є одним з полів лагранжіану, ця формула каже, що для визначення матричних елементів за правилами Фейнмана треба спочатку перевизначити поля так, щоб із $$\ (7)$$ зник множник $$\ N$$.

Цей множник виникає також у тому випадку, якщо в $$\ (6)$$ замість купи операторів $$\ \hat {A}_{2}...$$ написати один оператор $$\ \hat {O}^{\dagger}_{l'}$$, що є спряженим до $$\ \hat {O}_{l'}$$. Тоді вираз $$\ (7)$$ можна записати (з урахуванням $$\ (5), (7)$$) як

$$\ G_{ll'}(q_{1}, q_{2}) \to \frac{-2i|N|^{2}\sqrt{\mathbf q_{1}^{2} + m^{2}}}{q^{2} - m^{2} - i\varepsilon }(2 \pi )^{3}\sum_{\sigma} u^{\sigma}_{l}(\mathbf q_{1})(u_{l'}^{\sigma})^{*}(\mathbf q_{1})(2 \pi )^{4}\delta (q_{1} + q_{2}) + ...$$,

тобто, виникає пропагатор. Проте згідно із $$\ (10)$$, множник $$\ |N|^{2}$$ у ньому міститися не повинен; він зникає, якщо перенормувати поле $$\ \hat {\Psi}_{l}$$.

Отже, перенормоване поле - це таке поле, пропагатор якого має таку ж поведінку в околі полюса, як і вільне поле, а перенормована маса визначається положенням полюса.

Представлення Челлена-Лемана. Наочна демонстрація фізичного змісту полюсів
Множник $$\ N$$, що введений у $$\ (8)$$, визначає перенормування поля для випадків теорії із взаємодією. Оцінимо його для скалярного поля.

Для цього розглянемо вакуумне середнє

$$\ \langle | \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle = \sum_{n}\langle | \hat {\Psi}(x) | n\rangle \langle n|\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle$$.

В силу трансляційної інваріантності та того факту, що стани $$\ | n\rangle$$ є власними для оператору 4-імпульсу $$\ \hat {P}_{\mu}$$, можна записати

$$\ \langle | \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle = \sum_{n}e^{-ip_{n}(x -y)}|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} $$.

Цей вираз можна переписати (із введенням проміжного формального інтегрування $$\ \int d^{4}p \delta (p^{2} - p_{n}^{2})$$) як

$$\ \sum_{n}e^{ip_{n}(x -y)}|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} = \sum_{n}\int d^{4}p\delta (p - p_{n})e^{-ip(x -y)}|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p e^{-ip(x - y)}\rho (p^{2}) \qquad (11)$$,

де введена скалярна функція спектральної густини $$\ \sum_{n}\delta (p - p_{n})|\langle |\hat {\Psi}(0) | n \rangle |^{2} = \frac{1}{(2 \pi )^{3}} \theta (p_{0})\rho (p^{2})$$ (функція Хевісайда з'явилась в силу того, що стани фоківського базису мають фізичну енергію). Ввівши ще одне формальне інтегрування, $$\ (11)$$ можна переписати як

$$\ \langle | \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)| \rangle = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}pd(\mu^{2})e^{-ip(x - y)}\rho (\mu^{2})\delta (p^{2} - \mu^{2})\theta (p_{0}) = \int d(\mu^{2})\rho( \mu^{2})D_{m}(x - y, \mu^{2})$$,

де $$\ D_{m}(x - y) = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p \delta (p^{2} - \mu^{2})e^{-ip(x - y)}\theta (p_{0})$$ - добре знайомий вираз із розділу про теорему Паулі, переписаний у явно лоренц-інваріантному вигляді.

Зовсім аналогічно можна показати, що $$\ \langle | \hat {\Psi}^{\dagger}(y) \hat {\Psi}(x) | \rangle = \int d(\mu^{2})\bar {\rho}( \mu^{2})D_{m}(x - y, \mu^{2})$$.

Як і для вільної теорії, повинен виконуватися принцип причинності, звідки для простороподібних інтервалів

$$\ \langle | [\hat {\Psi}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}(y)]|\rangle = 0 \Rightarrow \bar {\rho}( \mu^{2}) = \rho( \mu^{2})$$. Дійсно, функція $$\ D_{m}(x - y, \mu^{2})$$ (як відомо із тієї ж статті про теорему Паулі) є парною функцією при простороподібних інтервалах, тому комутатор визначається різницею $$\ \rho (\mu^{2}) - \bar {\rho}(\mu^{2})$$.

Знайдемо тепер вираз для "узагальненого" пропагатора у імпульсному представленні. Для цього введемо функцію

$$\ D'(p) = \int d^{4}xe^{ip(x - y)}\langle | \hat {T}\left( \hat {\Psi}(x)\hat {\Psi}^{\dagger}(y)\right)| \rangle$$.

В силу вже відомих викладок цей вираз рівний

$$\ -iD'(p) = \int d(\mu^{2})\int d^{4}x \rho (\mu^{2})e^{ip(x - y)}D(x - y, \mu^{2})$$,

де $$\ D(x - y, \mu^{2}) = -\frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int d^{4}p\frac{e^{-ip(x - y)} }{p^{2} - \mu^{2} + i\varepsilon}$$ - пропагатор скалярного поля. Врахувавши тепер, що оператор по координаті є прямим перетворенням Фур'є, а інтеграл у пропагаторі - оберненим, маємо

$$\ D'(p) = \int \frac{\rho (\mu^{2})d(\mu^{2})}{p^{2} - \mu^{2} + i\varepsilon} \qquad (12)$$.

Врахувавши тепер, що для ще неперенормованого скалярного поля справедлива рівність

$$\ [\hat {\Psi}^{\dagger}(\mathbf x, t), \frac{\partial}{\partial t}\hat {\Psi}(\mathbf y, t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y) \qquad (13)$$,

а також те, що для функції $$\ D_{m}(x)$$ справедлива рівність $$\ \left(\partial_{0}D_{m}(x - y)\right)_{x_{0} = y_{0}} = i\delta (\mathbf x - \mathbf y)$$, маємо

$$\ [\hat {\Psi}^{\dagger}(\mathbf x, t), \frac{\partial}{\partial t}\hat {\Psi}(\mathbf y, t)] = i\delta (\mathbf x - \mathbf y ) = i\delta (\mathbf x - \mathbf y ) \int d (\mu^{2})\rho (\mu^{2}) \Rightarrow \int \limits_{0}^{\infty} d (\mu^{2})\rho (\mu^{2}) = 1 \qquad (14)$$.

Тепер залишається зробити останній крок. В силу того, що пропагатори перенормованих полів повинні мати полюс при $$\ \mu = m$$ з залишком $$\ Z = |N|^{2}$$, функцію спектральної густини можна переписати як $$\ \rho (\mu^{2}) = \delta (\mu^{2} - m^{2})Z + \sigma (\mu^{2})$$.

Звідси з $$\ (14)$$ маємо

$$\ 1 = Z + \int \limits_{m^{2}}^{\infty} \sigma (\mu^{2})d(\mu^{2}) \Rightarrow 0 \leqslant Z \leqslant 1$$.

Випадок $$\ Z = 0$$ відповідає ситуації, коли частинка є складовою, а не елементарною, тобто що її поле не міститься у лагранжіані.

Є ідея, що цей результат також можна отримати для полів довільного спіну (хоч така можливість "затуманена" тим, що для полів різних спінів канонічні імпульси виглядають по-різному, і тому складніше буде отримати щось на кшталт $$\ (13)$$). Можна також зробити більш ясними слова попереднього підрозділу про те, що треба модифікувати повний пропагатор. Дійсно, виділивши у $$\ (12)$$ одночастинковий вклад, можна отримати (врахувавши вищенаведений вигляд функції спектральної густини), що

$$\ D'(p) = \int \frac{\rho (\mu^{2})d(\mu^{2})}{p^{2} - \mu^{2} + i\varepsilon} = Z\frac{1}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon} + \int \limits_{m^{2}}^{\infty} \frac{d(\mu^{2} )\sigma (\mu^{2})}{p^{2} - \mu^{2} - i\varepsilon}$$.

Ще один наочний спосіб демонстрації необхідності модифікації пропагатора (більш стандартний і пов'язаний із теорією збурень) виникне при переписуванні вакуумного середнього двох полів у представленні Гейзенберга через представлення взаємодії. Отже, повний пропагатор у теорії із взаємодією вже не являє собою "просту" пряму лінію на мові фейнманівських діаграм. Тепер усередині будуть різні петльові замкнуті діаграми. Про те, як їх враховувати, див. наступний розділ.