Асимптотична свобода КХД

Повернутися до розділу "Стандартна модель".

Асимптотична свобода КХД
Розглянемо квантову хромодинаміку, що дається лагранжіаном

$$\ L_{QCD} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} + \bar{\psi}_{c}(i\gamma_{\mu}D^{\mu} - m)\psi_{c} - \frac{1}{2 \alpha}\left(\partial_{\mu}A^{\mu}_{a}\right)^{2} - \bar{c}_{a}D_{\mu}^{ab}\partial^{\mu}c_{b} \qquad (0)$$.

Тут

$$\ F_{\mu \nu} = \partial_{\mu}A^{\mu} - \partial_{\nu}A_{\mu} + ig[A_{\mu}, A_{\nu}], \quad D_{\mu} = \partial_{\mu} + igA_{\mu}$$,

індекси $$\ a, c$$ відповідають підсумовуванню за глюонними полями (нагадаю, що для групи SU(3) є вісім генераторів і, відповідно, вісім полів, що реалізують приєднане представлення) та за кольорами кварків (від одного до трьох) відповідно, $$\ \bar{c}, c$$ - поля гостів, $$\ \alpha$$ - параметр калібрування, що визначає вигляд глюонного вільного пропагатора:

$$\ D_{\mu \nu}^{ab}(p) = -\delta^{ab}\frac{g_{\mu \nu} - \left(\frac{1}{\alpha} - 1 \right)\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{p^{2}}}{p^{2} + i\epsilon }$$.

У цій статті за допомогою рівнянь ренормгрупи буде показано, що КХД (на прикладі однопетльового розрахунку) являється асимптотично вільною при високих енергіях, що еквівалентно твердженню про зменшення біжучої константи зв'язку із ростом енергії.

На відміну від КЕД, у якій за допомогою тотожності Уорда для визначення біжучої константи зв'язку необхідно було знайти константу перенормування лише для поля $$\ A_{\mu}$$, для КХД як для неабелевої теорії є справедливими тотожності Славнова-Тейлора, які не дозволяють обійтися одною константою перенормування для поля $$\ A_{\mu}^{a}$$. Тепер треба також знати константу перенормування для ферміонних полів (кварків) та константу константу перенормування вершинної функції. Іншими словами, перенормована константа зв'язку КХД буде визначатися співвідношенням

$$\ g_{s}^{r} = g_{s}\frac{\sqrt{Z_{3}}Z_{2}}{Z_{1}} \qquad (1)$$,

де визначено $$\ Z_{2}$$ як константу перенормування ферміонного поля, $$\ Z_{3}$$ - як константу перенормування глюонного поля (за участі гостів), і, нарешті, $$\ Z_{1}$$ як константу перенормування вершинної функції (нагадаю, у КЕД $$\ Z_{1} = Z_{2}$$ в силу того, що виконуються тотожності Уорда). У розрахунках для таких випадках часто використовують метод фонового поля, який полягає у тому, що усі поля розкладаються на постійне (у сенсі того, що за ним не відбувається континуальне інтегрування) "класичне" (фонове) поле і квантове поле. Вони перетворюються по-різному при калібрувальних перетвореннях, і при цьому лагранжіан при такому розкладі можна переписати у новому вигляді, який явно показує інваріантність відносно обраних перетворень. Ця інваріантність має той наслідок, що для розрахунку перенормованої константи зв'язку достатньо знайти константу перенормування для калібрувального поля.

Тут, втім, я не буду використовувати цей метод, обійшовшися повністю без формалізму континуального інтегралу. Таким чином, для визначення константи перенормування константи зв'язку треба буде визначити константи перенормування. Їх знаходять із розрахунку власних енергій кварків (при високоенергетичній границі, коли масами кварків можна знехтувати), глюонів та із вершинної функції взаємодії кварків та глюонів.

Власна енергія кварків
Можна розпочати із найбільш простого - власної енергії кварків. Розрахунок дуже подібний до обрахунку власної енергії електрона у КЕД. Отже, при використанні калібрування Фейнмана ($$\ \alpha = 1$$), при якому глюонний пропагатор має вигляд

$$\ D_{\mu \nu}^{ij}(p) = \frac{-ig_{\mu \nu}\delta^{ij}}{p^{2} + i\varepsilon }$$,

можна отримати

$$\ -i\Sigma_{1loop}(p) = \sum_{j}\int \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}}\left(-ig_{s}\gamma^{\rho}\frac{\lambda_{j}}{2}\right)\frac{(p\!\!\!/ - k\!\!\!/ ) + m }{(p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon }\left(-ig_{s}\gamma^{\rho}\frac{\lambda_{j}}{2}\right)\frac{-ig_{\rho \sigma}}{k^{2} + i\varepsilon } \qquad (2)$$.

Для обчислення таких інтегралів, нагадаю, робляться наступні типові кроки: вводиться розмірну регуляризацію,

$$\ \int \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}} \to \mu^{4 - d}\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}, \quad g_{\mu}^{\ \mu} = d, \quad \gamma^{\mu}\gamma_{\alpha}\gamma_{\mu} = (2 - d)\gamma_{\alpha}$$,

виконується згортка гамма-матриць у $$\ (2)$$, вводиться фейнманівська параметризація,

$$\ \frac{1}{((p - k)^{2} - m^{2} + i\varepsilon )(k^{2} + i\varepsilon )} = \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{((p - k)^{2} - m^{2})x + k^{2}(1 - x))^{2}} = \int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{((k - px)^{2} + p^{2}x(1 - x) - m^{2}x)^{2}}$$,

зсувається 4-імпульс інтегрування, $$\ k \to k + px $$ (після цього інтеграли виду $$\ \int d^{d}k\frac{k_{\mu}}{(k^{2} - \Delta )^{2}}$$ будуть занулятися),

а також - враховується, що оператор Казиміра КХД рівний $$\ \sum_{j} \frac{\lambda_{j}\lambda_{j}}{4} = \frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}$$ ($$\ N_{c}$$ - число кольорів у групі, що співпадає із порядком групи $$\ SU(n)$$).

У результаті із $$\ (2)$$ можна отримати

$$\ \Sigma_{1loop}(p) = -ig_{s}^{2}\frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}\mu^{4 - d}\int \limits_{0}^{1}dx\int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{dm + (2 - d)p\!\!\!/ (1 - x)}{\left( k^{2} - (m^{2}x - p^{2}x(1 - x))\right)^{2}} \qquad (3)$$.

Тепер треба використати рівності (вони знадобляться і для обчислення інших констант перенормувань нижче)

$$\ \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{1}{(k^{2} - \Delta )^{n}} = (-1)^{n}i\frac{\Gamma \left( n - \frac{d}{2}\right)}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}\Delta^{n - \frac{d}{2}}\Gamma (n)}, \quad \int \frac{d^{d}k}{(2 \pi )^{d}}\frac{k^{\mu} k^{\nu}}{(k^{2} - \Delta )^{n}} = (-1)^{n}i\frac{g^{\mu \nu}\Gamma \left( n - 1 - \frac{d}{2}\right)}{2(4 \pi )^{\frac{d}{2}}\Delta^{n - \frac{d}{2} - 1}\Gamma (n)},  \qquad (4)$$,

із допомогою яких $$\ (3)$$ можна представити як

$$\ \Sigma_{1loop}(p) = \frac{g_{s}^{2}\mu^{4 - d}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}dm \Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)\int \limits_{0}^{1} \frac{dx}{(m^{2}x - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}} + \frac{g_{s}^{2}\mu^{4 - d}}{2(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}(2 - d)p\!\!\!/ \int \limits_{0}^{1}\frac{(1 - x)dx}{(m^{2}x - p^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}} = Am + Bp\!\!\!/ \quad (5)$$.

Нагадаю, що константа перенормування ферміонного поля (у квадраті) дорівнює

$$\ Z_{2} = 1 - \frac{d \Sigma_{1loop}(p)}{d p\!\!\!/} = 1 - B(m^{2}) - \left(p\!\!\!/ \frac{\partial p^{2}}{\partial p\!\!\!/}\frac{\partial B}{\partial p^{2}} \right)_{p\!\!\!/ = m} - m\left(\frac{\partial p^{2}}{\partial p\!\!\!/} \frac{\partial A}{\partial p^{2}} \right)_{p\!\!\!/ = m} = |p^{2} = (p\!\!\!/)^{2}| = 1 - B(m^{2}) - 2m^{2}\left(\frac{\partial B}{\partial p^{2}} \right)_{p\!\!\!/ = m} -2m^{2}\left(\frac{\partial A}{\partial p^{2}} \right)_{p^{2} = m^{2}}$$.

Проробивши нескладні обчислення, можна отримати

$$\ \delta_{2} = 1- Z_{2} = -2\frac{g_{s}^{2}\mu^{4 - d}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}\Gamma\left( 2 - \frac{d}{2}\right) \int \limits_{0}^{1}\frac{dx(1 - x)}{(m^{2}x^{2})^{2 - \frac{d}{2}}} + 4m^{2}\frac{g_{s}^{2}\mu^{4 - d}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{N_{c}^{2} + 1}{2N_{c}}\Gamma\left( 2 - \frac{d}{2}\right)\left(2 - \frac{d}{2}\right) \int \limits_{0}^{1}\frac{dxx(1 - x)^{2}}{(m^{2}x^{2})^{3 - \frac{d}{2}}} - $$

$$\ - 8m^{2}\frac{g_{s}^{2}\mu^{4 - d}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{N_{c}^{2} + 1}{2N_{c}}\Gamma\left( 2 - \frac{d}{2}\right)\left(2 - \frac{d}{2}\right) \int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(m^{2}x^{2})^{3 - \frac{d}{2}}} \to -2\frac{g_{s}^{2}\mu^{4 - d}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}\frac{\Gamma\left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{\mu^{4 - d}}\int \limits_{0}^{1}dx(1 - x) = -\frac{g_{s}^{2}}{(4 \pi )^{\frac{d}{2}}}\frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}\Gamma\left( 2 - \frac{d}{2}\right) \qquad (6)$$,

де спочатку враховано, що $$\ \left( 2 - \frac{d}{2}\right)\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right) = \Gamma \left(3 - \frac{d}{2} \right)$$ не обертається у нескінченність, тому лише другий доданок є нескінченним, а далі - здійснений перехід $$\ (m^{2}x^{2})^{2 - \frac{d}{2}} \to \mu^{4 - d}$$, оскільки для перенормування потрібно утримувати лише розбіжну частину.

Власна енергія глюона
Перейдемо тепер до обчислення власної енергії глюона (і, відповідно, визначення константи $$\ \sqrt{Z_{3}}$$). Без врахування полів гостів внесок у неї дають чотири діаграми, зображені на рисунку нижче.



Можна побачити, що діаграма b) не дає вкладу у константу перенормування. Дійсно, її петльовий інтеграл відповідає виразу

$$\ \int \frac{d^{d}k}{k^{2}} = \lim_{a \to 0}\int \frac{d^{d}k}{k^{2} + a^{2}} \sim \lim_{a \to 0}a^{d - 2}\frac{\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)}{1 - \frac{d}{2}} \to 0$$

при $$\ d > 2$$.

Перейдемо тепер до розрахунку трьох вкладів, що залишились. Перша діаграма, a) відповідає виразу

$$\ (\Pi^{\mu \nu}_{ij})_{1}(q) = i \int \frac{d^{4}p}{(2 \pi )^{4}}Tr\left[ \left(-ig_{s}T_{i}\gamma^{\mu} \right)\frac{p\!\!\!/ +m}{p^{2} - m^{2} + i\epsilon } \left(-ig_{s}T_{i}\gamma^{\mu} \right)\left(-ig_{s}T_{j}\gamma^{\nu} \right)\frac{(p\!\!\!/- q\!\!\!/) +m}{(p - q)^{2} - m^{2} + i\epsilon }\right] \qquad (8)$$.

Використовуючи рівність $$\ Tr \left( T_{i}T_{j}\right) = \frac{\delta_{ij}}{2}$$, вираз $$\ (8)$$ можна звести до розрахунку виразу для власної енергії фотона; при цьому треба підсумовувати за усіма ароматами кварків: результат дорівнює (при переході до ліміту, аналогічного ліміту для власної енергії кварків)

$$\ (\Pi^{\mu \nu}_{ij})_{1}(q) \to -\frac{N_{f}}{2}\delta_{ij}\frac{g_{s}^{2}}{12 \pi^{2}}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)(q^{2}g^{\mu \nu} - q^{\mu}q^{\nu}) \qquad (9)$$.

Третя діаграма дається вкладом чотирьохбозонної частини \ F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} із $$\ (0)$$:

$$\ (\Pi^{\mu \nu}_{ij})_{3}(q) = i\int \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}}\frac{1}{k^{2} + i\epsilon }\frac{1}{(k + q)^{2} + i\epsilon}(-g_{s}f_{iml})(-g_{s}f_{jml})\left( g^{\mu \alpha}(q - k)^{\beta} + g^{\alpha \beta}(2k + q)^{\mu} - g^{\beta \mu}(k + 2q)^{\alpha}\right)\times $$

$$\ \times \left( \delta^{\nu}_{\alpha}(k - q)_{\beta} - g_{\alpha \beta}(2k + q)^{\nu} + \delta^{\nu}_{\beta}(k + 2q)_{\alpha}\right) \qquad (10)$$.

Після згортки тензорна частина $$\ (10)$$ дає

$$\ -g^{\mu \nu}(2k^{2} + 2kq + 5q^{2}) + (6 - 4d)k^{\mu}k^{\nu} + (3 - 2d)(k^{\mu}q^{\nu} + k^{\nu}q^{\mu}) + (6 - d)q^{\mu}q^{\nu}$$.

Після виконання процедури, аналогічної до розрахунку власної енергії кварків, і використання тотожностей

$$\ \Gamma\left( 1 - \frac{d}{2}\right)\left( 1 - \frac{d}{2}\right) = \Gamma \left( 2 - \frac{d}{2} \right), \quad f_{lim}f_{mjl} = -N_{c}\delta_{ij}$$

маємо

$$\ (\Pi^{\mu \nu}_{ij})_{3}(q) = \frac{N_{c}q_{s}^{2}\mu^{4 - d}\delta_{ij}}{16 \pi^{2}}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)\int \limits_{0}^{1}\frac{dx}{(q^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}\left( q^{2}g^{\mu \nu}\left( \frac{5}{2} - \frac{11}{2}x(1 - x)\right) + q^{\mu}q^{\nu}(2(1 - 2x)^{2} + 3(1 - x + x^{2}))\right) \to $$

$$\ \to \frac{g_{s}^{2}\delta_{ij}}{16 \pi^{2}}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)\left(\frac{19}{12}q^{2}g^{\mu \nu} - \frac{11}{6}q^{\mu}q^{\nu}\right) \qquad (11)$$.

Нарешті, вклад гостів має вигляд

$$\ (\Pi^{\mu \nu}_{ij})_{4}(q) = -i \int \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}}\frac{1}{k^{2} + i\epsilon )((k + q)^{2} + i\epsilon )}g_{s}^{2}f_{lim}f_{mjl}(q + k)^{\mu}k^{\nu} = -\frac{g_{s}^{2}N_{c}\delta_{ij}}{(4 \pi)^{\frac{d}{2}}}\mu^{4 - d}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)\int \limits_{0}^{1}\frac{x(1 - x)dx}{(q^{2}x(1 - x))^{2 - \frac{d}{2}}}\left[\frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(1 - \frac{d}{2}\right)}{\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)} - q^{\mu}q^{\nu}\right] \to$$

$$\ \to \frac{g_{s}^{2}N_{c}\delta_{ij}}{16 \pi^{2} }\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)\left( \frac{q^{2}g^{\mu \nu}}{12} + \frac{q^{\mu}q^{\nu}}{6}\right) \qquad (12)$$.

Сума $$\ (9), (11), (12)$$ дає

$$\ (\Pi^{\mu \nu}_{ij})(q) \to \frac{g_{s}^{2}\delta_{ij}}{16 \pi^{2}}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)\left(\frac{5}{3}N_{c} - \frac{2}{3}N_{f} \right)(q^{2}g^{\mu \nu} - q^{\mu}q^{\nu})$$,

звідки

$$\ Z_{3} = 1 + \delta_{3} = 1 + \frac{g_{s}^{2}}{16 \pi^{2}}\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right)\left(\frac{5}{3}N_{c} - \frac{2}{3}N_{f} \right) \qquad (13)$$.

Вершинна функція
Залишилося визначити константу перенормування вершинної функції. Вклад у неї складається із двох діаграм, див. рисунок нижче.



Вираз, що відповідає першій діаграмі, має вигляд

$$\ \Gamma^{\mu}_{1}(p, p{'}) = \int \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}}(g_{s}\gamma^{\rho}T^{i})\frac{p\!\!\!/ + k\!\!\!/ + m}{(p + k)^{2} - m^{2} + i\epsilon }g_{s}\gamma^{\mu}T_{j}\frac{k\!\!\!/ -p\!\!\!/{'} + m}{(k - p{'})^{2} - m^{2} + i\epsilon )(k^{2} + i\epsilon )}(g_{s}\gamma^{\rho}T^{i})\qquad (14)$$.

Спростимо спершу вираз $$\ \sum_{j}T_{i}T_{j}T_{i}, \quad T_{i} = \frac{\lambda_{i}}{2}$$:

$$\ \sum_{i}T_{i}T_{j}T_{i} = \sum_{i}T_{i}T_{i}T_{j} + \sum_{i}[T_{i},T_{j}]T_{i} = \frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}T_{j} + if_{ijk}T_{k}T_{i} = \frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}T_{j} +i^{2} \frac{1}{2}f_{ijk}f_{jkl}T_{l} = \frac{N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}T_{j} - \frac{N_{c}}{2}T_{j} = -\frac{T_{j}}{2N_{c}}$$.

Використаємо той факт, що вершинна функція знаходиться у обкладках $$\ \bar{u}(p_{2})\Gamma^{\mu}v(p_{3})$$. Тому на масовій поверхні можна використовувати рівності $$\ p\!\!\!/_{2} - m = p\!\!\!/_{3} + m = 0$$ (аналогічно, у знаменниках $$\ p^{2}_{3, 2} = m^{2}$$). Тоді чисельник $$\ (14)$$ набуде вигляду

$$\ N^{\mu} = (-4 p \cdot p{'} + 4k \cdot (p - p{'}))\gamma^{\mu} + 4m k^{\mu} - 4k\!\!\!/ (p - p{'})^{\mu} + \gamma^{\alpha}k\!\!\!/\gamma^{\mu}k\!\!\!/\gamma_{\alpha}$$,

а весь вираз -

$$\ \Gamma^{\mu}_{1}(p, p{'}) = g_{s}^{3}\frac{T_{j}}{2N_{c}}\int \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}}\frac{N^{\mu}}{(k^{2} + 2 p \cdot k + i\epsilon )(k^{2} + i\epsilon )(k^{2} - 2 k\cdot p{'} + i\epsilon )} \qquad (15)$$.

Перейшовши до розмірної регуляризації, використавши фейнманівську параметризацію

$$\ \frac{1}{(k^{2} + 2 p \cdot k + i\epsilon )(k^{2} + i\epsilon )(k^{2} - 2 k\cdot p{'} + i\epsilon )} = 2\int \limits_{0}^{1}dx\int \limits_{0}^{1 - x}\frac{dy}{(k^{2} + 2k (py - p{'}x))^{3}} $$,

здійснивши зсув $$\ k \to k - py + p{'}x$$ і використавши формули $$\ (4)$$, а також - одразу врахувавши той факт, що нескінченним буде лише доданок із $$\ \Gamma \left( 2 - \frac{d}{2} \right)$$, можна записати

$$\ \Gamma^{\mu}_{1}(p, p{'}) \to iT_{j}\frac{g_{s}^{2}}{32N_{c} \pi^{2}}\frac{(2 - d)^{2}}{2}\gamma^{\mu}\Gamma\left( 2 - \frac{d}{2}\right) \mu^{4 - d}\int \limits_{0}^{1}dx \int \limits_{0}^{1 - x}\frac{dy}{(-(p - p{'})^{2}xy m^{2}(x^{2} + y^{2}))^{2 - \frac{d}{2}}} \to ig_{s}\gamma^{\mu}T_{j}\left(\frac{g_{s}^{2}}{32 \pi^{2}N_{c}}\Gamma \left(2 - \frac{d}{2}\right)\right) \qquad (16)$$.

Друга вершинна діаграма відповідає виразу

$$\ \Gamma^{\mu}_{2}(p',p) = ig_{s}^{3}\int \frac{d^{4}P}{2 \pi^{4}}\gamma_{\nu}T_{k}\frac{P\!\!\!/ + m}{P^{2} - m^{2} + i\epsilon }\gamma_{\rho}T_{j}\frac{1}{((P - p)^{2} + i\epsilon )(P - p')^{2} + i\epsilon )}f_{ijk}\left( g^{\mu \rho}(p' - 2p - P)^{\nu} + g^{\rho \nu}(p + p' - 2P)^{\mu} + g^{\mu \nu}(P - p' - q)^{\rho}\right)$$.

Щоб виділити розбіжну частину, у чисельнику треба викинути усі доданки, неквадратичні по $$\ P$$. Тоді у чисельнику отримаємо

$$\ \gamma_{\nu}P\!\!\!/ \gamma_{\rho} (-g^{\mu \rho}P^{\nu} - 2P^{\mu}g^{\nu \rho} + g^{\mu \nu}P^{\rho}) = 2P^{2}\gamma^{\mu} + 2(d - 2)P\!\!\!/ P^{\mu}$$.

У результаті виконання вже стандартних дій отримаємо

$$\ \Gamma^{\mu}_{2}(p',p) \to -ig_{s}\gamma^{\mu}T_{i}\left[ \frac{g_{s}^{2}}{16 \pi^{2}}\frac{3N_{c}}{2}\Gamma \left(2 - \frac{d}{2} \right) \right] \qquad (17)$$.

Константа перенормування $$\ Z_{1} - 1 = \delta_{1} $$ визначається через суму $$\ (16), (17)$$ як

$$\ -ig_{s}\gamma^{\mu}T_{j}\delta_{1} + \Gamma^{\mu}_{1 + 2}(p, p')\bigg|_{div} = 0 \Rightarrow Z_{1} = 1 + \delta_{1} = 1 -\frac{g_{s}^{2}}{16 \pi^{2}}\left( \frac{3N_{c}^{2} - 1}{2N_{c}}\right)\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right) \qquad (18)$$.

Асимптотична свобода
Тепер вирази $$\ (6), (13), (18)$$ можна використати для знаходження бета-функції. Вираз для неї дається виразом $$\ (10)$$:

$$\ \beta \approx g_{s}^{r}\mu \frac{d}{d \mu} \left( -\delta_{1} + \frac{1}{2}(2\delta_{2} + \delta_{3})\right) = \frac{(g_{s}^{r})^{3}}{16 \pi^{2}}\frac{d}{d \mu}\left( \left[\frac{11}{6}N_{c} - \frac{2}{3}N_{f}\right]\Gamma\left( 2 - \frac{d}{2}\right)\right) = \left|\Gamma \left( 2 - \frac{d}{2}\right) \sim ln \left( \frac{\Lambda^{2}}{\mu^{2}}\right)\right| = -\frac{(g_{s}^{r})^{3}}{16 \pi^{2}}\left(\frac{11}{3}N_{c} - \frac{2}{3}N_{f} \right)$$.

Звідси видно, що при $$\ N_{f} < \frac{11}{2}N_{c}$$ бета-функція є від'ємною. Результат цього - ренормгрупове рівняння $$\ (6)$$ - має вигляд

$$\ t\partial_{t}\bar{g}_{s}(g_{s}^{r}, t) = -\frac{(\bar{g}_{s}^{r})^{3}}{16 \pi^{2}}\left(\frac{11}{3}N_{c} - \frac{2}{3}N_{f} \right) \Rightarrow \bar{g}_{s} = \frac{g_{s}^{r}}{\sqrt{1 + \frac{g^{r}_{s}ln(t)}{8 \pi^{2}}\left(\frac{11}{3}N_{c} - \frac{2}{3}N_{f} \right) }} \qquad (19)$$,

де врахована початкова умова $$\ \bar{g_{s}}(g_{s}^{r}, 1) = g_{s}^{r}$$. Відповідно, ввівши константу $$\ \alpha_{s} = \frac{g_{s}^{2}}{4 \pi}$$, яка, фактично, і є константою розкладу у КХД, можна отримати вираз для біжучої константи $$\ \alpha_{s}$$:

$$\ \alpha^{r}_{s} \sim \alpha_{s}\frac{Z_{3}Z_{2}^{2}}{Z_{1}^{2}} \beta \approx 2\alpha_{s}^{r}\mu \partial_{\mu}(-\delta_{1} + \frac{1}{2}(2\delta_{2} + \delta_{3})) = -\frac{(\alpha_{s}^{r})^{2}}{2 \pi }\left(\frac{11}{3}N_{c} - \frac{2}{3}N_{f} \right)$$.

Звідси отримується розв'язок рівняння ренормгрупи:

$$\ \mu \partial_{\mu}\bar{\alpha}_{s}(\alpha_{s}, \mu) = -\frac{\bar{\alpha}_{s}^{2}}{2 \pi }\left(\frac{11}{3}N_{c} - \frac{2}{3}N_{f} \right), \quad \alpha_{s}(\alpha_{s}^{r}, 1) = \alpha_{s} \Rightarrow \bar{\alpha}_{s}(\alpha_{s}, \mu) = \frac{\alpha_{s}}{1 + \frac{\alpha_{s}}{2 \pi}\left( \frac{11}{3}N_{c} - \frac{2}{3}N_{f}\right)ln\left(t \right)}$$,

де $$\ t \equiv \frac{\mu}{\Lambda}$$, $$\ \Lambda$$ - константа інтегрування, що відповідає шкалі, на якій фіксується значення константи взаємодії, $$\ \bar{\alpha}_{s}(\Lambda) \equiv \alpha_{s}$$.

Звідси видно, що при високих енергіях, які відповідають великим значенням $$\ \mu$$, константа зв'язку КХД прямує до нуля. Така властивість теорії називається асимптотичною свободою. При малих же енергіях константа зв'язку є великою, у результаті чого теорія збурень стає незастосовною.