Цілий спін

Повернутися до розділу "Поля довільного спіну".

Нехай розглядається поле довільного цілого спіну $$ s$$. В силу існування оператора $$ \Delta_{a \dot {a}}$$, який здійснює зв'язок між представленнями $$ \left( m, n\right), \quad m + n = s$$, зручно розглянути одне з представлень. Наприклад, можна розглянути випадок $$ \left( \frac{s}{2}, \frac{s}{2}\right)$$. Такому представленню відповідає симетричний спінорний тензор $$ \psi_{a_{1}...a_{s}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{s}}$$.

Відповідне векторне представлення має вигляд

$$ h_{\mu_{1}...\mu_{s}} = \frac{1}{2^{s}}(\tilde {\sigma}_{\mu_{1}})^{\dot {b}_{1}a_{1}}...(\tilde {\sigma}_{\mu_{s}})^{\dot {b}_{s}a_{s}}\psi_{a_{1}...a_{s}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{s}}$$.

В силу рівності $$ (\tilde {\sigma}_{\mu_{k}})^{\dot {a}a}(\tilde {\sigma}_{\mu_{k}})^{\dot {b}b} = 2\varepsilon^{a b}\varepsilon^{\dot {a}\dot {b}}$$ тензор $$ h_{\mu_{1}...\mu_{s}}$$ є безслідовим: $$ h^{\mu}_{\mu...\mu_{s - 2}} = 0$$. В силу незалежної згортки матриць Паулі зі спінорним тензором по індексам та симетричності спінорного тензора векторний тензор є симетричним.

Тоді умови незвідності для тензорів, з умовою зв'язку спінорів та векторів, мають вигляд

$$ (\partial^{2} + m^{2})\psi_{a_{1}...a_{s}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{s}} = 0, \quad \partial^{a \dot {a}}\psi_{a_{1}...a_{s}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{s}} = 0 \Rightarrow (\partial^{2} + m^{2})h_{\mu_{1}...\mu_{s}} = 0, \quad \partial^{\mu_{k}}h_{\mu_{1}...\mu_{s}} = 0$$.

Отже, незвідне представлення $$ \left( \frac{s}{2}, \frac{s}{2} \right)$$ групи Пуанкаре реалізується симетричними безслідовими тензорами рангу $$ s$$, "поперечними" по усім індексам.

Кількість незалежних компонент таких тензорів, як і повинно бути, рівна $$\ 2s + 1$$. Дійсно, симетричний тензор рангу $$\ s$$ у $$\ n$$-вимірному просторі має $$\ C_{n + s - 1}^{s}$$ незалежних компонент. Безслідовість накладає незалежні умови на $$\ C_{n + (s - 2) - 1}^{s - 2}$$ компоненти ($$\ s$$ зменшується на два, оскільки по двом індексам відбувається згортка для сліду). Тому від кількості компонент симетричного тензора треба відняти кількість незалежних умов, що насладаються безслідовістю: для $$\ n = 4$$

$$ N_{1} = C_{n + s - 1}^{s} - C_{n + (s - 2) - 1}^{s - 2} = \frac{(s + 1)(s + 2)(s + 3)}{6} - \frac{(s - 1)s(s + 1)}{6} = (s + 1)^{2}$$.

Тепер треба врахувати калібрувальні ступені вільності. Для цього треба розглянути початковий симетричний тензор та на нього накласти умову поперечності. Оскільки при цьому відбувається згортка по одному індексу, то кількість незалежних компонент, на які накладаються калібрувальні умови, буде рівна $$\ C_{n + (s - 1) - 1}^{s - 1} $$. Далі, враховуючи безслідовість тензора, кількість незалежних калібрувальних компонент знизиться до

$$ N_{2} = C_{n + (s - 1) - 1}^{s - 1} - C_{n + (s - 3) - 1}^{s - 3} = \frac{s(s + 1)(s + 2)}{6} - \frac{(s - 2)(s - 1)s}{6} = s^{2}$$.

Тоді кількість незалежних компонент безслідового симетричного поперечного тензора рангу $$\ s$$ у $$\ n$$-вимірному просторі буде рівна

$$ N = N_{1} - N_{2} = 2s + 1$$,

як і повинно бути.