Лагранжів формалізм для діраківських частинок. Енергія-імпульс

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Лагранжів формалізм. Енергія, імпульс і заряд
Можна перейти до визначення виразів для енергії-імпульса діраківських частинок у лагранжевому формалізмі. Для цього треба побудувати функцію Лагранжа для ферміонів. Рівняння поля (для біспінору та спряженого до нього) є лінійними (тому лагранжіан повинен бути не більше ніж квадратичний по полям) та першого порядку (похідні входять до лагранжіану першим порядком). Тоді, враховуючи степені свободи поля (біспінор та спряжений до нього), можна записати наступний лагранжіан:

$$\ L = \bar {\psi}(\hat {\gamma}^{\nu}\hat {p}_{\nu} - m)\psi = i\bar {\psi }\gamma^{\nu}\partial_{\nu}\psi - m\bar {\psi}\psi $$,

де $$\ \hat {p}_{\nu}$$ - похідна.

Тоді, використовуючи рівняння Лагранжа для біспінора та його спряженої частини,

$$\ \partial_{\nu}\left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\nu}\psi )}\right) = \frac{\partial L}{\partial \psi}, \quad \partial_{\nu}\left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\nu} \bar {\psi } )}\right) = \frac{\partial L}{\partial \bar {\psi }}$$,

можна отримати рівняння Дірака:

$$\ \partial_{\nu}\left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\nu}\psi )}\right) = \partial_{\nu}(i \gamma^{\nu}\bar {\psi }) = i \gamma^{\nu}\partial_{\nu}\bar {\psi } =_{right} = -m\bar {\psi }$$,

$$\ \partial_{\nu}\left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\nu}\bar {\psi} )}\right) = 0 =_{right} = i\gamma^{\nu}\partial_{\nu}\psi - m\psi $$.

Якщо ці рівняння задовольняються, то лагранжіан рівен нулю. Дійсно, якщо використати, наприклад, друге рівняння, то лагранжіан набуде вигляду

$$\ L = i\bar {\psi }\gamma^{\nu}\partial_{\nu}\psi - m\bar {\psi}\psi = |m\psi = i\gamma^{\nu}\partial_{\nu}\psi | = i\bar {\psi }\gamma^{\nu}\partial_{\nu}\psi - i\bar {\psi }\gamma^{\nu}\partial_{\nu}\psi = 0$$

Тензор енергії-імпульсу має вигляд

$$\ T_{\mu \nu} = \partial_{\nu}\psi \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu} \psi )} + \partial_{\nu}\bar {\psi }\frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu} \bar {\psi } )} - g_{\mu \nu}L = i\bar {\psi} \gamma_{\mu}\partial_{\nu }\psi - g_{\mu \nu}L = i\bar {\psi} \gamma_{\mu}\partial_{\nu }\psi $$.

Звідси густина енергії та імпульсу поля рівні

$$\ W_{00} = i\bar {\psi} \gamma_{0}\partial_{0}\psi = i \psi^{+}\partial_{0}\psi, \quad \mathbf e^{i}T_{0i} = \mathbf p = \psi^{+}\hat {\gamma}_{0}\hat {\mathbf p }\psi $$.

Тоді енергія-імпульс поля рівні

$$\ W = \int W_{00}d^{3}\mathbf r = \int \epsilon_{\mathbf p }\left( a^{*}_{s}(\mathbf p )a_{s}(\mathbf p ) - b_{s}(\mathbf p )b_{s}^{*}(\mathbf p ) \right)d^{3}\mathbf p \qquad (.6)$$,

$$\ \mathbf P = \int e^{i}T_{0i} d^{3}\mathbf r = \int \mathbf p \left( a^{*}_{s}(\mathbf p )a_{s}(\mathbf p ) - b_{s}(\mathbf p )b_{s}^{*}(\mathbf p ) \right)d^{3}\mathbf p \qquad (.7)$$.

Окрім того, можна отримати вираз для нетерівського заряду. Для цього треба знайти перетворення, відносно яких лагранжіан інваріантний. По аналогії з інваріантністю лагранжіана, що відповідає рівнянням Клейна-Гордона для комплексного скалярного поля, він інваріантний відносно глобальних калібрувальних перетворень: $$\ \psi \to e^{i \alpha }\psi $$. Використовуючи вираз для нетерівського струму),

$$\ J^{\mu}_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha} - \left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\nu}\Psi_{k} - \delta_{\nu}^{\mu}L\right)X^{\nu}_{\alpha}$$,

і підставляючи

$$\ X^{\nu}_{\alpha} = 0, \quad Y =\left(\frac{\partial (\Psi e^{-i\omega })}{\partial \omega}\right)_{\omega = 0} = -i\Psi, \quad Y^{*} = \left(\frac{\partial (\bar {\Psi } e^{i\omega })}{\partial \omega}\right)_{\omega = 0} = i \bar{\Psi}$$,

можна отримати, що

$$\ J^{\mu} = -\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi )}i \Psi + i \bar{\Psi}\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \bar {\Psi} )} = \bar {\Psi }\hat {\gamma}^{\mu}\Psi $$.

Заряд же рівен

$$\ Q = \int j^{0}d^{3}\mathbf r = \int \bar {\Psi }\hat {\gamma}^{0}\Psi d^{3}\mathbf r = \int \Psi^{+}\Psi d^{3}\mathbf r$$.

За допомогою викладок, аналогічних до викладок при отриманні виразів для енергії-імпульсу, можна отримати і вираз для заряду:

$$\ Q = \int \left( a^{*}_{s}(\mathbf p )a_{s}(\mathbf p ) + b_{s}(\mathbf p )b^{*}_{s}(\mathbf p )\right)d^{3}\mathbf p$$.

Як видно з виразів для енергії-імпульсу та заряду, енергія та компоненти імпульсу є знакозмінними величинами, а величина заряду - суто додатня.

Скалярний добуток на просторі розв'язків рівняння Дірака
Аналогічно до розділу про Клейн-Гордонівське поле, можна визначити лоренц-інваріантний скалярний добуток на просторі розв'язків рівняння Дірака. Ним є

$$\ \langle \Psi | \Psi \rangle = \int j^{\mu}dS_{\mu} = \int \bar {\Psi}\gamma^{\mu}\Psi dS_{\mu}$$.

Дійсно, вираз $$\ j^{\mu}$$ є 4-вектором, для якого $$\ \partial_{\mu}j^{\mu} = 0$$.

Аналогічно, скалярним добутком є

$$\ \langle \Psi | \Kappa \rangle = \int \bar {\Psi} \gamma^{\mu}\Kappa dS_{\mu} = \int \Psi^{+}\Kappa d^{3}\mathbf r$$.

Дійсно,

$$\ \partial_{\mu}(\bar {\Psi} \gamma^{\mu}\Kappa ) = \partial_{\mu}\bar {\Psi} \gamma^{\mu} \Kappa + \bar {\Psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu}\Kappa = -m\bar {\Psi} \Kappa + m\bar {\Psi}\Kappa = 0$$.

На відміну від клейн-гордонівської норми, норма спінора самого на себе є додатньо визначеною величиною:

$$\ \langle \Psi | \Psi \rangle = \int \bar {\Psi }\Psi d^{3}\mathbf r = |\kappa_{1}|^2 + |\kappa_{2}|^2 + |\psi_{1}|^2 + |\psi_{2}|^2 \geqslant 0$$.