Перенормовність неабелевих калібрувальних теорій

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Почнемо із доведених у попередньому підрозділі тотожностей Славнова-Тейлора,

$$\ \int d^{4}x \left( \frac{\delta \Gamma }{\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta A^{\mu}_{a}} + \frac{\delta \Gamma}{\delta K_{i}}\frac{\delta \Gamma}{\delta \psi^{i}} - \frac{\delta \Gamma}{\delta L_{a}}\frac{\delta \Gamma }{\delta c^{a}} - \frac{1}{\alpha}f^{a}\frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}_{a}}\right) = 0 $$,

і рівнянь для гостів через сильнозв'язні діаграми:

$$\ (\varphi_{\mu})^{b}_{a}\frac{\delta \Gamma}{\delta K_{\mu}^{b}} + \frac{\delta \Gamma}{\delta \bar{c}^{a}}= 0 $$.

Введемо модифіковану ефективну сильнозв'язну діаграму $$\ \tilde{\Gamma} = \Gamma + \frac{1}{2\alpha}\int d^{4}y (f^{a})^{2}$$, покладемо всі некалібрувальні поля рівними нулю і формально перепозначимо $$\ L \to -L$$. Отримаємо

$$\ \int d^{4}x\left( \frac{\delta \tilde{\Gamma} }{\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta \tilde{\Gamma}}{\delta A^{\mu}_{a}}+ \frac{\delta \tilde{\Gamma}}{\delta L_{a}}\frac{\delta \tilde{\Gamma} }{\delta c^{a}}\right) = 0 ,\quad (\varphi_{\mu})^{b}_{a}\frac{\delta \tilde{\Gamma}}{\delta K_{\mu}^{b}} + \frac{\delta \tilde{\Gamma}}{\delta \bar{c}^{a}}= 0 \qquad (1)$$.

Співвідношення $$\ (1)$$ не містять констант зв'язку та явної інформації про групові властивості. Тому вони зручні для аналізу перенормовності теорії.

Перенормовність теорії
Розглянемо деяку сильнозв'язну діаграму, розклавши її за ступенями $$\ \hbar$$. Запишемо розклад регуляризованого (використовується розмірна регуляризація, яка не порушує калібрувальну інваріантність теорії) доданку, пропорційного $$\ \hbar^{n}$$, яка побудована уже із врахуванням усіх контрчленів для доданків, пропорційних нижчим порядкам сталої Планка:

$$\ \tilde{\Gamma}^{(n)}_{reg} = \tilde{\Gamma}^{(n)}_{R} + \tilde{\Gamma}^{(n)}_{div}$$,

де перший доданок відповідає скінченній частині доданку, а другий - нескінченній. Із $$\ (1)$$ слідує, що усі функціонали залежать від $$\ K, \bar{c}$$ лише як від їх комбінації $$\ K_{\mu}^{a} - \bar{c}^{a}(\varphi_{\mu})^{a}_{b}$$.

Розклавши $$\ \tilde{\Gamma}$$ за степенями $$\ \hbar $$, $$\ \tilde{\Gamma} = \tilde{\Gamma}^{(1)} + \tilde{\Gamma}^{(2)} + ...$$, а також - ввівши компактне позначення

$$\ [\Gamma^{(p)}, \Gamma^{(q)}] = \int d^{4}x\left( \frac{\delta \tilde{\Gamma^{(p}} }{\delta K_{\mu}^{a}}\frac{\delta \tilde{\Gamma}^{(q)}}{\delta A^{\mu}_{a}}+ \frac{\delta \tilde{\Gamma}^{(p)}}{\delta L_{a}}\frac{\delta \tilde{\Gamma}^{(q)} }{\delta c^{a}}\right)$$,

можна, підставивши вказаний розклад у $$\ (1)$$, отримати набір тотожностей

$$\ \sum_{p + q = n}[\tilde{\Gamma}^{(p)}, \tilde{\Gamma}^{(q)}] \qquad (2)$$.

Таким чином, питання перенормовності теорії стоїть тепер у питанні існування контрчленів для довільних порядків, які б задовольняли виразу $$\ (2)$$ для перенормованих діаграм $$\ \tilde{\Gamma}^{(n)}_{R}$$. Для доведення зручно використати рекурсивний метод.

Для цього почнемо із $$\ \tilde{\Gamma}^{(0)}$$, яке, по суті, співпадає із дією (індекси опускаються, проте, звичайно, маються на увазі):

$$\ \tilde{\Gamma}^{(0)} = \tilde{I} = \int d^{4}x\left( L - \bar{c}Mc + K \delta A - L \delta c\right) = \int d^{4}x \left( L - (K - \bar{c}\varphi )\delta A - L\delta c \right)$$.

Воно, звісно, задовольняє $$\ (2)$$. Для першого порядку маємо дві рівності:

$$\ [\tilde{I},\tilde{\Gamma}^{(1)}_{div}] + [\tilde{\Gamma}^{(1)}_{div}, \tilde{I}] = 0, \quad [\tilde{I},\tilde{\Gamma}^{(1)}_{R}] + [\tilde{\Gamma}^{(1)}_{R},\tilde{I}] = 0$$.

Друге рівняння співпадає із $$\ (2)$$ при $$\ n = 1$$, а перше рівняння визначає структуру контрчлена першого порядку. Для знищення розбіжного члену можна спробувати модифікувати дію як $$\ \tilde{I} \to \tilde{I}_{1} = \tilde{I} - \tilde{\Gamma}^{(1)}_{div}$$. При цьому необхідна рівність $$\ [\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{1}] = 0$$ не виконується: $$\ [\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{1}] = [\tilde{\Gamma}^{(1)}_{div},\tilde{\Gamma}^{(1)}_{div}] $$. Проте тут права частина пропорційна $$\ \hbar^{2}$$. Звідси слідує, що $$\ \tilde{I}_{1}$$ повинно мати вигляд $$\ \tilde{I}_{1} = \tilde{I} - \tilde{\Gamma}^{(1)}_{div} + \Delta_{1}$$, де $$\ \Delta_{1} $$ відповідає інтегралу від локального поліному четвертої степені, має другий порядок по $$\ \hbar $$ і підібраний так, щоб скоротити $$\ [\tilde{\Gamma}^{(1)}_{div},\tilde{\Gamma}^{(1)}_{div}] $$ у рівності $$\ [\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{1}] = [\tilde{\Gamma}^{(1)}_{div},\tilde{\Gamma}^{(1)}_{div}]$$. Ця модифікація не зачіпає $$\ \tilde{\Gamma}^{(1)}_{R}$$.

Структуру $$\ \Delta_{1}$$ можна отримати, виходячи із структури $$\ \tilde{\Gamma}^{(1)}_{div}$$. Якщо виявиться, що

$$\ (\tilde{I} - \tilde{\Gamma}^{(1)}_{div})(A, c, \bar{c}, K, L, g) = \tilde{I}(A_{b}, c_{b}, \bar{c}_{b}, K_{b}, L_{b}, g_{b}) + O(\hbar^{2}) \qquad (3)$$,

де

$$\ A_{b} = \sqrt{Z_{3}}A, \quad c_{b} = \sqrt{\tilde{Z}_{3}}c, \quad \bar{c}_{b} = \sqrt{\tilde{Z}_{3}}\bar{c}, K_{b} = \sqrt{Z_{3}}K, \quad L_{b} = \sqrt{\tilde{Z}_{L}}L, \quad g_{b} = \sqrt{Z_{g}}g, \quad Z = 1 + \hbar z$$,

то природнім вибором буде $$\ \tilde{I}_{1}(A, c, \bar{c}, K, L, g) = \tilde{I}(A_{b}, c_{b}, \bar{c}_{b}, K_{b}, L_{b}, g_{b})$$. Тоді

$$\ [\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{1}] = \int d^{4}x \left( \sqrt{\tilde{Z}_{3}}\sqrt{Z_{3}}\frac{\delta \tilde{I}}{\delta A_{b}}\frac{\delta \tilde{I}}{\delta K_{b}} + \sqrt{\tilde{Z}_{3}}\sqrt{Z_{L}}\frac{\delta \tilde{I}}{\delta c_{b}}\frac{\delta \tilde{I}}{\delta L_{b}}\right)$$.

При

$$\ Z_{L} = Z_{3} \qquad (4)$$

виконується рівність $$\ [\tilde{I}_{1}, \tilde{I}_{1}] = 0$$, і рекурентне доведення можна продовжити.

Треба довести $$\ (3), (4)$$.

Доведення виразів $$\ (3), (4)$$
Знайдемо загальний розв'язок рівняння

$$\ \sigma \tilde{\Gamma}_{div}^{(n)} = [\tilde{I}, \tilde{\Gamma}^{(n)}_{div}] + [\tilde{\Gamma}^{(n)}_{div}, \tilde{I}], \quad \sigma = \frac{\delta \tilde{I}}{\delta x^{l}}\frac{\delta }{\delta \theta_{l}} + \frac{\delta \tilde{I}}{\delta \theta^{l}}\frac{\delta }{\delta x_{l}}, \quad x_{l} = (A, L), \quad \theta_{l} = (c, K) \qquad (5)$$.

Як видно із таких позначень, $$\ \sigma^{2} = 0$$, що слідує із $$\ \frac{\delta \tilde{I}}{\delta \theta^{l}}\frac{\delta \tilde{I}}{\delta x^{l}} = 0$$ та із антикомутативності наборів $$\ x, \theta $$. У деякому сенсі $$\ \sigma $$ є узагальненням БРСТ-перетворень.

Видно також, що якщо деякий функціонал $$\ R_{inv} $$ залежить лише від полів $$\ A$$, то

$$\ \sigma R_{inv}[A] = \int d^{4}x \frac{\delta R_{inv}}{\delta A}\frac{\delta \tilde{I}}{\delta K} = \int d^{4}x\frac{\delta R_{inv}}{\delta A^{\mu}_{a}}(D^{\mu}_{ba}c^{b}) = 0$$.

Тут, по-перше, підставлений явний вираз $$\ \frac{\delta \tilde{I}}{\delta K^{\mu}_{a}} = \delta A^{\mu}_{a} = (D^{\mu}c)_{a}$$ (врахований вид BRST-перетворення для $$\ A$$ і явний вигляд коваріантної похідної), а по-друге, використаний той факт, що в силу калібрувальної інваріантності функціоналу $$\ R_{inv}(A)$$ виконується наступне:

$$\ A_{\mu}^{a} \to A_{\mu}^{a} + \varepsilon (D_{\mu}\alpha )^{a}, R(A') = R(A) = inv \Rightarrow \delta R = \varepsilon \int d^{4}x\frac{\delta R}{\delta A}(D \alpha) = 0$$,

де $$\ \alpha $$ може бути і гостом.

Це означає, що розв'язок $$\ \sigma R = 0$$ можна подати як $$\ R = R_{inv}(A) + \sigma R{'}$$.

Використаємо цей факт для отримання явного виразу для $$\ \tilde{\Gamma}^{(n)}_{div}$$. Із врахуванням того, що духове число повинно зберігатися, що розмірність діаграми має бути рівною нулю і що вона може залежати лише від комбінації $$\ K_{\mu}^{a} - \bar{c}_{b}\varphi_{\mu}^{ab} $$, маємо такий вираз:

$$\ \tilde{\Gamma}^{(n)}_{div} = \int d^{4}x \left( l(A) + (K_{\mu}^{a} - \bar{c}_{b}\varphi_{\mu}^{ab})\Delta_{\mu ac}c^{c} + \frac{1}{2}d_{abc}L^{a}\bar{c}^{b}c^{c}\right)$$,

де розмірність $$\ l(A)$$ складає чотири, розмірність $$\ \Delta_{\mu a c}$$ складає один (мають максимум лінійну залежність від калібрувальних полів), $$\ d_{abc}= -d_{acb}$$ - числа. Якщо припустити, що глобальна калібрувальна симетрія не порушується, то

$$\ \Delta_{\mu ac} = \alpha \partial_{\mu}\delta_{ac} + \beta g f_{abc}A_{\mu}^{c}, \quad d_{abc} = \gamma g f_{abc}$$.

Підстановка всіх цих виразів до $$\ (5)$$ дає

$$\ \beta = \gamma, \quad D^{\mu}_{ab}\frac{\delta l}{\delta A^{\mu}_{b}} + g(\beta - \alpha )f_{abc}A^{\mu}_{c}\frac{\delta L}{\delta A^{\mu}_{b}} = 0$$.

Розв'язок цього рівняння складається із частинного і загального,

$$\ l(A) = L_{g} + L_{p} = aL(A) + (\beta - \alpha )A^{\mu}_{a}\frac{\delta L}{\delta A^{\mu}_{a}}$$.

Отже,

$$\ \tilde{\Gamma}^{(n)}_{div} = \int d^{4}x\left( aL(A) + (\beta - \alpha )A^{\mu}_{a}\frac{\delta L}{\delta A^{\mu}_{a}} + (K_{\mu}^{a} - \bar{c}_{b}\varphi_{\mu}^{ab})(D_{\mu}c)^{a} + \beta \frac{g}{2}f_{abc}L^{a}\bar{c}^{b}c^{c}\right) \qquad (6)$$,

де $$\ a, \alpha, \beta $$ мають порядок $$\ \hbar^{n}$$.

Використовуючи властивість однорідності "голого" лагранжіану $$\ L$$,

$$\ L = \frac{1}{2}\left( A^{\mu}_{a}\frac{\partial L}{\partial A^{\mu}_{a}} - g\frac{\partial L}{\partial g}\right)$$, $$\ (6)$$ можна буде звести до вигляду

$$\ \tilde{\Gamma}^{(n)}_{div} = \left[ \int d^{4}x \left( \left(\beta - \alpha + \frac{a}{2}\right)\left[ A^{\mu}_{a}\frac{\delta }{\delta A^{\mu}_{a}(x)} + L_{a}(x)\frac{\delta }{\delta L_{a}(x)}\right] + \frac{\alpha}{2}\left[ K^{\mu}_{a}\frac{\delta}{\delta K^{\mu}_{a}(x)} + c_{a}\frac{\delta}{\delta c_{a}(x)} + \bar{c}^{a}\frac{\delta}{\delta \bar{c}_{a}(x)}\right]\right) - \frac{a}{2}g\partial_{g}\right]\tilde{I}(A, c, \bar{c}, K, L, g) \qquad (7)$$.

Цей результат і доводить вірність виразів $$\ (3), (4)$$. Дійсно, по-перше, із нього слідує, що $$\ A, L$$ перенормовуються однаковим чином (однаковість константи при варіаційній похідній); по-друге, записавши

$$\ \tilde{I}^{(n - 1)} = \tilde{I}\left( \sqrt{Z_{3, n - 1}}A, \sqrt{\tilde{Z}_{3, n - 1}}c, \sqrt{\tilde{Z}_{3, n - 1}}\bar{c}, \sqrt{\tilde{Z}_{3, n - 1}}K, \sqrt{Z_{3, n - 1}}L, Z_{g, n - 1}g\right)$$,

і підставивши $$\ (7)$$ у рекурсійну рівність

$$\ \tilde{I}^{(n)} = \tilde{I}^{(n - 1)} - \tilde{\Gamma}^{(n)}_{div} + \Delta_{n} = \tilde{I}\left( \sqrt{Z_{3, n}}A, \sqrt{\tilde{Z}_{3, n}}c, \sqrt{\tilde{Z}_{3, n}}\bar{c}, \sqrt{\tilde{Z}_{3, n}}K, \sqrt{Z_{3, n}}L, Z_{g, n}g\right) \qquad (8)$$,

можна отримати, що

$$\ \sqrt{Z_{3, n}} = \sqrt{Z_{3, n - 1}} - \left( \beta - \alpha + \frac{a}{2}\right), \quad \sqrt{\tilde{Z}_{3, n}} = \sqrt{\tilde{Z}_{3, n - 1}} - \frac{\alpha}{2}, \quad Z_{g, n} = Z_{g, n - 1} + \frac{a}{2}$$.

Висновки
Попередні викладки показують, що неабелеві калібрувальні теорії можна перенормувати без втрати калібрувальної інваріантності, тобто, у кожному порядку теорії збурень вдається підібрати такі контрчлени, які скорочують нескінченності та водночас задовольняють тотожностям Славнова-Тейлора. Більше того, наведений результат можна узагальнити на випадок взаємодії із ферміонами (випадок, що виникає при наявності кіральних взаємодій, буде описаний у розділі про кіральні аномалії), що побудована мінімальним чином - подовженням похідної. Дійсно, тоді єдина відмінність буде полягати у тому, що у тотожностях Славнова-Тейлора будуть доданки, що відповідають цим полям, і це призведе до незначної модифікації $$\ (8)$$. По суті, таке "просте" узагальнення диктується вже розглянутим твердженням про те, що перенормування можна заховати у константи зв'язку та маси. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$