Аномалії

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Аномалії у КТП. Причини виникнення та наслідки
Виявляється, що симетрії, які є в лагранжіані теорії при класичному описі, можуть явно порушуватись при квантовому описі системи. Причина цього полягає у присутності нескінченностей у квантовій теорії поля. Нескінченності вимагають застосування регуляризації, і може статися, що регуляризації, яка б зберігала усі симетрії, не існує. У результаті перенормування, що скорочує нескінченності, у квантовій ефективній дії генеруються доданки, які явно порушують симетрії теорії.

Стандартним прикладом аномалії є кіральна аномалія. Як відомо, кіральність на класичному рівні зберігається при нульовій масі ферміонних полів, тобто, на класичному рівні лагранжіан є інваріантним відносно глобальних кіральних перетворень. Проте на квантовому рівні перенормування призводить до виникнення доданку, який стоїть у правій частині закону збереження кірального струму - квантової аномалії.

До тих пір, поки кіральна симетрія є глобальною, це не призводить до проблем із основними властивостями квантової теорії - унітарністю тощо. Проте якщо кіральний струм взаємодіє із калібрувальними полями (так є, наприклад, у Стандартній моделі, в якій кіральний струм взаємодіє із калібрувальними полями $$\ W-, Z-$$бозонів), то може порушуватись калібрувальна локальна симетрія, а це призводить до порушення унітарності. Дійсно, порушення калібрувальної симетрії, грубо кажучи, означає присутність нефізичних продольних мод калібрувального поля. Вони відповідають станам з індефінітною (знаконевизначеною) метрикою, що порушує аксіоматику квантової механіки, а саме - властивість унітарності (КМ сформульована у гільбертовому просторі, у якому задані невід'ємні скалярні добутки). У результаті постає питання, чи є вільними від аномалій реалістичні теорії взаємодій.

Усьому цьому і присвячена дана стаття.

Аномалія та континуальний інтеграл
Нехай розглядається теорія, яка дається некіральною (без $$\ \gamma_{5}$$) взаємодією безмасових ферміонних полів із калібрувальними полями $$\ A_{\mu}^{a}$$. Одразу варто згадати правило заміни змінних для ферміонного континуального інтегрування:

$$\ \int D\bar{\Psi}D\Psi \Phi (\bar{\Psi}, \Psi) \to \left|\Psi \to U \Psi, \quad \bar{\Psi} \to \bar{\Psi}\bar{U}\right| \to \int D\bar{\Psi}D\Psi \left[det (\bar{U}U)\right] \Phi (\bar{\Psi}, \Psi ), \quad U = U(x, y) = U(x)\delta (x - y)$$.

Нехай далі $$\ U(x) = e^{i \gamma_{5}t\varphi(x)}, \quad t^{\dagger} = t$$ (тут t - матриця, утворена набором генераторів даних груп симетрії (не має спінорних індексів)). Тоді

$$\ \bar{U}(x) = |\gamma_{5}^{\dagger} = \gamma_{5}|= \gamma_{0}e^{-i\gamma_{5}t\varphi }\gamma_{0} = \left|\gamma_{0}^{2} = 1, \quad S f(A)S^{-1} = f(SAS^{-1}) \right| = e^{-i\gamma_{0}\gamma_{5}t\gamma_{0}\varphi } = |[\gamma_{0}, \gamma_{5}]_{+} = 0| = U(x)$$.

Це означає, що міра не є інваріантною відносно даного перетворення:

$$\ \int D\bar{\Psi}D\Psi \Phi (\bar{\Psi}, \Psi) \to \left|\Psi \to U \Psi, \quad \bar{\Psi} \to \bar{\Psi}\bar{U}\right| \to \int D\bar{\Psi}D\Psi \left[det (U^{2})\right]^{-2} \Phi (\bar{\Psi}, \Psi )$$.

Розкладемо перетворення $$\ U(x)$$ в околі інфінітезимального: $$\ U(x) = 1 + i\alpha(x)\gamma_{5}t$$. Тоді, використовуючи формули $$\ det U = e^{Tr (ln(U))}, ln (1 + x) \approx x$$, отримаємо

$$\ \int D\bar{\Psi}D\Psi \Phi (\bar{\Psi}, \Psi) \to \int e^{-i \int d^{4}x\alpha (x) A(x)}\Phi (\bar{\Psi}, \Psi), \quad A(x) = 2Tr(\gamma_{5}t)_{nm}\delta(x - x)$$

(слід береться по діраківським і по "кольоровим" індексам). Слід від $$\ \gamma_{5}$$ рівний нулю, проте дельта-функція є нескінченною. Це є наслідком нескінченностей у КТП, для подолання чого треба регуляризація. Виявляється, що цю проблему можна подолати наступним (навіть калібрувально-інваріантним) чином: ввести оператор, який би "обережно" здійснював цей перехід. Для цього можна модифікувати $$\ A(x)$$ як

$$\ A(x) \to 2Tr\left[ (\gamma_{5}tf\left( \frac{(\gamma_{\mu}D^{\mu}_{x})^{2}}{M^{2}}\right))\delta (x - y)\right]_{y \to x}, \quad D^{\mu} = \partial^{\mu} - iA^{\mu}_{a}t^{a}$$.

Тут $$\ M$$ - деяка фіктивна маса, що після проведення регуляризації прямує до нескінченності, $$\ f(s)$$ - гладка функція, на яку накладається лише наступна умова:

$$\ f(0) = 1, \quad f(\infty ) = 0, \quad sf'(s) =|_{s = 0, s = \infty} = 0 \qquad (1)$$.

Використаємо Фур'є-представлення дельта-функції: $$\ \delta (x - y) = \frac{1}{(2 \pi )^{4}}\int d^{4}ke^{ik(x - y)}$$. Тоді

$$\ A(x) \to \frac{2}{(2 \pi )^{4}}\int d^{4}k Tr\left[ \gamma_{5}t f\left( \frac{(\gamma_{\mu}D^{\mu}_{x})^{2}}{M^{2}}\right))e^{ik(x - y)} \right]_{y \to x} = \frac{2}{(2 \pi )^{4}}\int d^{4}k Tr\left[ \gamma_{5}t f\left( \frac{(\gamma_{\mu}(ik^{\mu} + D^{\mu}))^{2}}{M^{2}}\right))e^{ik(x - y)} \right]_{y \to x}$$.

Знерозміримо імпульс $$\ k$$ масою $$\ M$$:

$$\ A(x) \to \frac{2M^{4}}{(2 \pi )^{4}}\int d^{4}kTr\left[ \gamma_{5}t f\left( \left(\gamma_{\mu}\left(ik^{\mu} + \frac{D^{\mu}}{M}\right) \right)^{2}\right) \right]_{y \to x} \qquad (2)$$.

Здійснимо тепер перехід до нескінченної маси. Аргумент функції $$\ f$$ рівний

$$\ \left(\gamma_{\mu}\left(ik^{\mu} + \frac{D^{\mu}}{M}\right) \right)^{2} = -k^{2} + i\frac{k^{\mu}D_{\mu}}{M} + \frac{(\gamma_{\mu}D^{\mu})^{2}}{M^{2}}$$.

За ліміту $$\ M \to \infty$$ у вираз $$\ (2)$$ дадуть вклад лише члени при $$\ M^{4}$$ порядку $$\ \frac{1}{M}^{4}$$. Дійсно, ліміт "заріже" всі члени, що мають порядок по масі старший чотирьох, а наявність співвідношень

$$\ Tr (\gamma_{\mu} \gamma_{\nu}\gamma_{5}) = 0, \quad Tr(\gamma_{5}) = 0, \quad Tr(\gamma_{5}\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}) = -4i\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}$$

залишить лише член, пропорційний $$\ \frac{1}{M^{4}}$$. Отже, остаточно маємо

$$\ A(x) = \int \frac{d^{4}k}{(2 \pi )^{4}}f{''}(k^{2})Tr[\gamma_{5}t(\gamma_{\mu}D^{\mu})^{4}]$$.

Зробимо тепер так званий віківський поворот - повернемо вісь інтегрування $$\ k_{0}$$ на $$\ \frac{\pi}{2}$$. Отримаємо (здійснений перехід до 4-вимірної сферичної системи координат, а по кутам проінтегровано)

$$\ \int d^{4}kf''(k^{2}) \to i\int 2 \pi^{2}r^{3}f(r^{2})dr = |(1)| = -i\pi^{2}\int d(r^{2}) f'(r^{2}) = i \pi^{2}$$.

Обрахуємо тепер слід. Для цього обчислимо квадрат $$\ \gamma^{\mu}D_{\mu}$$:

$$\ (\gamma^{\mu}D_{\mu})^{2} = \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}D^{\mu}D^{\nu} = \left| \gamma_{\mu}\gamma_{\nu} = g_{\mu \nu} + \frac{1}{2}[\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]\right| = D_{\mu}D^{\mu} + \frac{1}{2}[\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]D^{\mu}D^{\nu} = D_{\mu}D^{\mu} + \frac{1}{4}[\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}][D^{\mu}, D^{\nu}] = D_{\mu}D^{\mu} - \frac{i}{4}t^{a}F^{\mu \nu}_{a}[\gamma_{mu}, \gamma_{\nu}] \quad (3)$$.

Єдиний доданок $$\ (\gamma_{\mu}D^{\mu})^{4}$$, що містить 4 гамма-матриці, має тоді вигляд після взяття трейсу із матрицею $$\ \gamma_{5}$$

$$\ \frac{1}{16}F^{\mu \nu}_{a}F^{\alpha \beta}_{b}Tg(\gamma_{5}t t_{a}t_{b}[\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}][\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta}]) = F^{\mu \nu}_{a}F^{\alpha \beta}_{b} i\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}Tr (tt^{a}t^{b})$$.

Отже, нарешті,

$$\ A(x) = \frac{1}{16 \pi^{2}}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}F^{\mu \nu}_{a}F^{\alpha \beta}_{b}Tr(tt^{a}t^{b}), \quad I_{eff} = \int d^{4}xA(x)\alpha(x) \qquad (4)$$.

Тобто, неінваріантність інтегральної міри відносно кіральних перетворень призводить до ефективної модифікації лагранжіану виразом $$\ (4)$$.

Нескладно тепер пов'язати цю добавку із модифікацією закону збереження кірального струму, який слідує із "голої" теорії, дія якої інваріантна відносно кіральних перетворень, що даються $$\ U$$. По аналогії із нещодавнім виведенням тотожностей Славнова-Тейлора, користуючись тим фактом, що зміщення полів інтегрування не змінює континуальний інтеграл, видом перетворення $$\ U \approx 1 + \alpha (x) \gamma_{5}t$$ і теоремою Нетер, можна отримати, що при такій зміні маємо

$$\ \int D\bar{\Psi}D\Psi ...e^{iI} \to \int D\bar{\Psi} D\Psi e^{i(I + I_{eff} + \int d^{4}x J_{\mu}^{5}\partial^{\mu}\alpha(x))} \approx \int D\bar{\Psi}D\Psi ...\left(1 + i(I_{eff} + \int d^{4}xJ_{\mu}^{5}\partial^{\mu}\alpha(x))\right)e^{iI} = \int D\bar{\Psi}D\Psi ...e^{iI}$$,

звідки

$$\ I_{eff} + \int d^{4}xJ_{\mu}^{5}\partial^{\mu}\alpha(x)) = 0 \Rightarrow \partial_{\mu}J^{\mu}_{5} = A(x) \qquad (5)$$.

Розглянувши частинний випадок $$\ Tr(t_{a}t_{b}t) = N\delta_{ab}$$ і ввівши струм

$$\ G_{\mu} = 2\varepsilon^{\mu \nu \lambda \rho}\left( A^{a}_{\nu}\partial_{\lambda}A^{a}_{\rho} + \frac{1}{3}C_{abc}A^{a}_{\nu}A^{b}_{\lambda}A^{c}_{\rho}\right), \quad \partial_{\mu}G^{\mu} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu \nu \lambda \rho}F^{a}_{\mu \nu}F^{a}_{\lambda \rho}$$,

можна переписати $$\ (5)$$ у вигляді закону збереження

$$\ \partial_{\mu}K^{\mu} = \partial_{\mu} \left(J^{\mu}_{5} - \frac{N}{8 \pi^{2}}G^{\mu}\right) = 0$$.

Струм $$\ K^{\mu}$$ зберігається, проте не являється калібрувально-інваріантним. У загальному випадку не можна знайти регуляризацію кіральних детермінантів, яка призводила б до кірально-інваріантної і, водночас, калібрувально-інваріантної теорії.

Теорема про індекси
Розглянемо тепер ту ж теорію, проте у "евклідовому" просторі: $$\ x_{0} \to x_{4} = i x_{0}, \partial_{0} \to \partial_{4} = -i\partial_{0}, \gamma_{0} \to \gamma_{4} = i\gamma_{0}$$. Повністю аналогічні до попереднього підрозділу викладки призводять до тієї ж самої функції аномалії $$\ A(x) $$, що й раніше, проте тепер в силу евклідової заміни оператор $$\ iD^{\mu}\gamma_{\mu}$$ являється евклідовим:

$$\ D^{\mu}\gamma_{\mu} = (i\partial_{i} + t^{a}A_{a}^{i})\gamma_{i}$$.

Тому він має ортонормовані власні функції:

$$\ D^{\mu}\gamma_{\mu} \varphi_{k}(x) = \lambda_{k}\varphi_{k}(x), \sum_{k}\varphi_{k}(x)\varphi_{k}^{\dagger}(y) = \hat{I}\delta (x - y), \quad \int d^{4}x_{E} \varphi^{\dagger}_{k}(x)\varphi_{p}(y) = \delta_{pk}$$.

Вважаючи, що $$\ t$$ комутує із $$\ D$$, можна також накласти на функції умову $$\ t \varphi_{k} = t_{k}\varphi_{k}$$ Тоді функцію аномалії можна записати як

$$\ A(x) = \lim_{M \to \infty} Tr\left[\gamma_{5}tf\left( -\frac{(D_{i}\gamma_{i})^{2}}{M^{2}}\right)\sum_{k}\varphi_{k}(x)\varphi_{k}^{\dagger}(x)\right] =-2\lim_{M \to \infty}\sum_{k}f\left( \frac{\lambda_{k}^{2}}{M^{2}}\right)\varphi^{\dagger}_{k}\gamma_{5}\varphi_{k}$$.

З одного боку, це рівно (що доведено у вище виразу)

$$\ A(x) = \frac{1}{16 \pi^{2}}\varepsilon^{E}_{ijkl} F_{ij, \alpha}F_{kl, \beta}tr(t_{\alpha} t_{\beta} t)$$.

З іншого боку, видно, що у попередній вираз дадуть вклад лише функції із $$\ \lambda_{k} = 0$$. Дійсно, для кожної функції $$\ \varphi_{k}, D\varphi_{k} = \lambda_{k}\varphi_{k} $$ знайдеться функція $$\ \varphi_{k^{-}} = \gamma_{5}\varphi_{k}$$, власне значення якої рівне $$\ -\lambda_{k}$$. Вони є ортогональними як різні власні функції ермітового оператора, тому у суму вони не вносять вклад (у дії є інтеграл по всьому об'єму). Залишаються лише функції із $$\ \lambda_{k} = 0$$. Вони у загальному випадку не можуть бути об'єднані у пари. Проте оскільки $$\ \gamma_{5}$$ антикомутує із $$\ iD$$, ці функції можуть бути обрані одночасно як ортонормовані функції $$\ \varphi_{u}, \varphi_{v}$$ оператора $$\ iD$$ із власними значеннями нуль та як власні функції $$\ \gamma_{5}$$ із власними значеннями $$\ 1, -1$$:

$$\ iD^{i}\gamma_{i}\varphi_{u} = iD^{i}\gamma_{i}\varphi_{v} = 0, \quad \gamma_{5}\varphi_{u} = \varphi_{u}, \quad \gamma_{5}\varphi_{v} = -\varphi_{v}$$. Враховуючи, що $$\ f(0) = 1$$, вираз для аномалії можна записати як

$$\ A(x) = -2\left(\sum_{u}t_{u}\left( \varphi^{\dagger}_{u}\varphi_{u}\right) -\sum_{v}t_{v}\left( \varphi^{\dagger}_{v}\varphi_{v}\right) \right)$$,

або, враховуючи нормування $$\ \varphi$$,

$$\ A(x) = -2\left(\sum_{u}t_{u} -\sum_{v}t_{v} \right)$$.

Отже, коли $$\ t$$ - одинична матриця, можна записати, користуючись рівностями для $$\ A(x)$$, що

$$\ n_{+}- n_{-} = -\frac{1}{32\pi^{2}} \int d^{4}x_{E} \varepsilon^{E}_{ijkl}F_{\alpha, ij}F_{\beta, kl}Tr(t_{a}t_{b})$$.

Це є теорема про індекси, і з неї видно, що інтеграл не може змінюватись неперервно; він змінюється лише на цілі значення, що, як буде показано далі, визначає те, що інтеграл відповідає протяженим польовим конфігураціям із різними топологічними числами.

Загальне обчислення у явному вигляді
Розглянемо деяку теорію із ферміонами та калібрувальними полями. Об'єднаємо всі ліві ферміони у стовпчик $$\ \kappa$$:

$$\ \kappa = \begin{pmatrix} P_{L}\Psi \\ P_{L}\gamma_{0}\hat{U}\Psi^{*} \end{pmatrix}$$.

Тут $$\ \Psi$$ - стовпчик усіх ферміонів, $$\ P_{L} = \frac{1 - \gamma_{5}}{2}$$, а $$\ \hat{U}$$ - матриця оператора зарядового спряження: $$\ \hat{U} = i\gamma_{0}\gamma_{2}$$.

Під дією інфінітезимального кірального калібрувального перетворення,

$$\ \Psi \to \delta \Psi = i\theta_{a}(P_{L}t_{a}^{R} + P_{R}t_{a}^{R})\psi$$,

$$\ \kappa $$ перетворюється як

$$\ \delta \kappa = i\varepsilon_{a}T^{a}\kappa, \quad T_{G} = \begin{pmatrix} t_{a}^{L} & 0 \\ 0 & -(t_{a}^{R})^{T}\end{pmatrix}$$.

Розглянемо тепер однопетльову трьохточкову функцію

$$\ \Gamma^{\mu \nu \rho}_{Gbc}(x,y,z) = \langle |\hat{T}\left( J^{\mu}_{a}(x)J^{\nu}_{b}(y)J^{\rho}_{c}(z)\right) | \rangle, \quad J^{\mu}_{a} = -i\bar{\kappa}T_{a}\gamma^{\mu}\kappa \qquad (6) $$.

Мотивацією для розгляду такої функції є бажання отримати тотожності на кшталт тотожностей Уорда, проте для 3-точки. А саме, дана функція відповідає трикутниковим діаграмам (із ферміонними внутрішніми лініями) із зовнішніми фіктивними лініями, що відповідають струмам $$\ J$$. Відповідно до топологічної симетрії цих трикутникових діаграм, $$\ (6)$$ має вигляд

$$\ \Gamma^{\mu \nu \rho}_{Gbc}(x,y,z) = -iTr\left( S(x - y)T_{b}\gamma^{\nu}P_{L}S(y - z)T_{c}\gamma^{\rho}P_{L}S(z - x)T_{G}\gamma^{\mu}P_{L}\right) - iTr\left( S(x - z)T_{c}\gamma^{\rho}P_{L}S(z - y)T_{b}\gamma^{\nu}P_{L}S(x - y)T_{G}\gamma^{\mu}P_{L}\right), \qquad (7)$$,

де $$\ S(x) = \frac{i}{(2 \pi )^{4}}\int d^{4}p \frac{ip^{\mu}\gamma_{\mu}}{p^{2} + i0}e^{-ipx}$$ - безмасовий ферміонний пропагатор.

Ввівши вектори $$\ a, b$$ як необхідні для перенормування похідної від $$\ (7)$$ (яка знадобиться далі), можна отримати

$$\ \Gamma^{\mu \nu \rho}_{Gbc}(x,y,z) = \frac{i}{(2 \pi )^{12}}\int d^{4}k_{1}d^{4}k_{2}d^{4}p e^{i(k_{1} + k_{2})x - ik_{1}y - ik_{2}z} Tr \left[ \frac{\gamma_{\beta}\left( p - k_{1} + a\right)^{\beta}}{(p - k_{1} + a)^{2} + i0}\gamma^{\nu}\frac{\gamma_{\alpha}(p + a)^{\alpha}}{(p + a)^{2} + i0}\gamma^{\rho} \frac{\gamma_{\delta}(p + k_{2}+ a)^{\delta}}{(p + k_{2} + a)^{2} + i0}\gamma^{\mu}P_{L}\right] Tr(T_{b}T_{c}T_{G})+$$

$$\ + \frac{i}{(2 \pi )^{12}}\int d^{4}k_{1}d^{4}k_{2}d^{4}p e^{i(k_{1} + k_{2})x - ik_{1}y - ik_{2}z} Tr\left[\frac{\gamma_{\beta}\left( p - k_{2} + b\right)^{\beta}}{(p - k_{2} + b)^{2} + i0}\gamma^{\rho}\frac{\gamma_{\alpha}(p + b)^{\alpha}}{(p + b)^{2} + i0}\gamma^{\nu} \frac{\gamma_{\delta}(p+ k_{1}+ b)^{\delta}}{(p + k_{1} + b)^{2} + i0}\gamma^{\mu}P_{L}\right]Tr(T_{c}T_{b}T_{G}) \qquad (8)$$.

Беручи дивергенцію від $$\ (8)$$, $$\ \partial_{\mu}\Gamma^{\mu \nu \rho}_{Gbc}(x,y,z)$$, можна отримати, з урахуванням тотожності

$$\ \gamma_{\mu}(k_{1} + k_{2})^{\mu} = \gamma_{\mu}(p + k_{2} + a)^{\mu} - \gamma_{\mu}(p - k_{1} + a)^{\mu} = \gamma_{\mu}(p + k_{1} + b)^{\mu} - \gamma_{\mu}(p - k_{2} + b)^{\mu}$$,

що

$$\ \partial_{\mu}\Gamma^{\mu \nu \rho}_{abc}(x,y,z) = \frac{1}{(2 \pi )^{12}}\int d^{4}k_{1}d^{4}k_{2}e^{i(k_{1} + k_{2})x - ik_{1}y - ik_{2}z} \times $$

$$\ \times Tr(T_{b}T_{c}T_{G})\left( Tr\left[ \frac{\gamma_{\beta}\left( p - k_{1} + a\right)^{\beta}}{(p - k_{1} + a)^{2} + i0}\gamma^{\nu}\frac{\gamma_{\alpha}(p + a)^{\alpha}}{(p + a)^{2} + i0}\gamma^{\rho}P_{L}\right] - Tr\left[\frac{\gamma_{\alpha}(p + a)^{\alpha}}{(p + a)^{2} + i0}\gamma^{\rho} \frac{\gamma_{\delta}(p + k_{2}+ a)^{\delta}}{(p + k_{2} + a)^{2} + i0}\gamma^{\nu}P_{L}\right]\right) + $$

$$\ + \frac{1}{(2 \pi )^{12}}\int d^{4}k_{1}d^{4}k_{2}e^{i(k_{1} + k_{2})x - ik_{1}y - ik_{2}z} \times$$

$$\ \times Tr(T_{c}T_{b}T_{G})\left( Tr\left[ \frac{\gamma_{\beta}\left( p - k_{2} + b\right)^{\beta}}{(p - k_{2} + b)^{2} + i0}\gamma^{\rho}\frac{\gamma_{\alpha}(p + b)^{\alpha}}{(p + b)^{2} + i0}\gamma^{\nu} P_{L}\right] + Tr\left[ \frac{\gamma_{\alpha}(p + b)^{\alpha}}{(p + b)^{2} + i0}\gamma^{\nu} \frac{\gamma_{\delta}(p+ k_{1}+ b)^{\delta}}{(p + k_{1} + b)^{2} + i0}\gamma^{\rho}P_{L}\right]\right) \qquad (9)$$.

Розділимо цей жахливий вираз на симетричну та антисиметричну частини за допомогою співвідношень

$$\ Tr(T_{b}T_{c}T_{G}) = D_{abc} + \frac{1}{2}iNC_{Gbc}, \quad Tr(T_{c}T_{b}T_{a}) = D_{Gbc} - \frac{1}{2}iNC_{Gbc}, \quad D_{Gbc} = \frac{1}{2}Tr([T_{G}, T_{b}]_{+} T_{c}), \quad Tr (T_{b}T_{c}) = N\delta_{bc}$$.

Можна показати (аналогічно до виведення тотожностей Уорда), що формальна дивергенція від $$\ (6)$$ співпадає із дивергенцією від антисиметричних членів $$\ (9)$$.

Симетричну частину рівності (вона співпадає за виглядом із $$\ (9)$$, за винятком того, що тепер при кожному трейсу буде однаковий множник $$\ D_{Gbc}$$, об'єднавши перший слід із четвертим, а другий - із третім, можна переписати як

$$\ \left(\partial_{\mu}\Gamma^{\mu \nu \rho}_{Gbc}(x,y,z) \right)_{sym} = \frac{D_{Gbc}}{(2 \pi )^{12}}\int d^{4}k_{1}d^{4}k_{2}e^{i(k_{1} + k_{2})x - ik_{1}y - ik_{2}z}Tr(\gamma^{k}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\lambda} P_{L})\left[ I_{k \lambda}(a - b - k_{1}, b, b + k_{1}) + I_{k \lambda}(b - a - k_{2}, a, a + k_{2})\right]$$.

Тут

$$\ J_{k \lambda}(k, c, d) = \int d^{4}p\left( f_{k\lambda}(p + k, c, d) - f_{k\lambda}(p, c, d)\right), \quad f_{k \lambda} (p, c, d) = \frac{(p + c)_{k}(p + d)_{\lambda}}{((p + c)^{2} + i0)((p + d)^{2} + i0)}$$.

Виявляється, що яким би чином не підбирати $$\ a, b$$, вони можуть скоротити аномалії у $$\ \partial_{\mu}^{x}\Gamma^{\mu \nu \rho}_{abc}(x, y, z)$$, але залишаться аномальні доданки у $$\ \partial_{\nu}^{y}\Gamma^{\mu \nu \rho}_{abc}(x , y, z)$$ чи у $$\ \partial_{\rho}^{z}\Gamma^{\mu \nu \rho}_{abc}(x , y, z)$$.

Таким чином, рівність нулю аномалії може бути лише при $$\ D_{Gbc} = 0$$.

Враховуючи явний вираз для оператору $$\ T_{G}$$, вираз для $$\ D_{Gbc}$$ можна переписати як

$$\ D_{Gbc} = \frac{1}{2}Tr[[T_{G}, t_{b}]_{+}t_{c}]_{L} - \frac{1}{2}Tr[[T_{G}, t_{b}]_{+}t_{c}]_{R}$$.

Розглянемо випадок, коли один зі струмів $$\ J_{\mu}^{a}(x)$$ являється глобальним, а два інших, $$\ J_{\nu}^{\beta}(y), J_{\rho}^{c}(z)$$ - калібрувальні. Для збереження унітарності аномалія має міститися лише у глобальному законі збереження, тому треба вибрати $$\ a = k_{1} - k_{2}$$.

У результаті,

$$\ \left(\partial_{\mu}\Gamma^{\mu \nu \rho}_{abc}(x,y,z) \right)_{\text{anomaly}} = \frac{2}{(2 \pi )^{12}}D_{abc}\int d^{4}k_{1}d^{4}k_{2}e^{-i(k_{1}+k_{2})x}e^{ik_{1}y}e^{ik_{2}z}4\pi^{2}\epsilon^{\kappa\nu \lambda \rho}k_{1 \kappa} k_{2\lambda} $$,

або ж, у імпульсному просторі,

$$\ \left[(k_{1}+k_{2})_{\mu}\Gamma^{\mu \nu \rho}_{abc}(k_{1}, k_{2})\right]_{\text{anomaly}} = -\frac{D_{abc}}{\pi^{2}}\epsilon^{\kappa\nu \lambda \rho}k_{1 \kappa} k_{2\lambda} \qquad (10)$$.

Із цієї рівності слідує, що $$\ \Gamma^{\mu \nu \rho}_{abc}(k_{1}, k_{2})$$ не є аналітичною у точці $$\ k_{1} = k_{2} = 0$$. Дійсно, якщо $$\ \Gamma $$ є аналітичною, то вона допускає розклад у ряд Тейлора. Не враховуючи симетрію відносно перестановки імпульсів у $$\ \Gamma$$, легко побачити, що головними членами при малих імпульсах є два члени - $$\ \epsilon^{\mu \nu \lambda \rho}k_{1 \lambda}$$ і $$\ \epsilon^{\mu \nu \lambda \rho}k_{2 \lambda}$$. Якщо тепер врахувати, що існує симетрія відносно перестановки імпульсів, то виходить, що перший член розкладу $$\ \Gamma$$ є

$$\ \epsilon^{\mu \nu \lambda \rho}(k_{1} + k_{2} + (-(k_{1} + k_{2})))_{\lambda} = 0$$.

Неаналітичність функції $$\ \Gamma$$ означає, що вона має полюс при $$\ k_{1}=k_{2} = 0$$, що, в свою чергу, означає, що на будь-якій шкалі у теорії мають існувати безмасові стани, які створюються струмами $$\ j_{\mu}$$ теорії.

Враховуючи тепер визначення вкладу трикутних діаграм у струм,

$$\ \langle j_{\mu}^{a}(x)\rangle \equiv -\frac{1}{2}\int d^{4}yd^{4}z A^{\nu}(y)_{b}A^{\rho}_{c}(z)\Gamma_{\mu \nu \rho}^{abc}(x, y, z)$$,

і використовуючи $$\ (10)$$, можна показати, що

$$\ \left[\langle\partial_{\mu}J^{\mu}_{5, G}\rangle \right]_{\text{anomaly}} = -\frac{1}{32 \pi^{2}}D_{Gbc}F^{b} \wedge F^{c}, \quad F^{b} \wedge F^{c} \equiv \epsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}F^{b}_{\alpha \beta}F^{c}_{\gamma \delta}$$.

Калібрувальні аномалії у Стандартній моделі
Є три можливості занулення коефіцієнтів $$\ D_{abc}$$. Перша можливість криється у тому, що генератори $$\ T_{a}, T_{b}, T_{c} $$ відповідають дійсному або псевдодійсному представленню деякої групи $$\ G$$. Другою можливістю є те, що поля струмів $$\ J_{\mu}^{a}$$ реалізують певне (звідне чи незвідне) представлення групи. Нарешті, третьою можливістю є те, що заряди полів відносно представлення груп підібрані так, щоб у загальному випадку ненульові коефіцієнти $$\ D_{abc} $$ прийняли нульове значення.

Розглянемо тепер калібрувальні аномалії у Стандартній моделі. Калібрувальна група Стандартної моделі має ізоморфна $$\ SU_{c}(3)\times SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)$$. Лише $$\ SU_{L}(2)$$-підгрупа є кіральною. При цьому, єдиною можливістю вільності Стандартної моделі від аномалій є третя.

Можливими аномаліями у даній теорії можуть бути наступними:

$$\ SU_{L}^{2}(2)U_{Y}(1), \quad U_{EM}^{3}, \quad SU(n)^{3},\quad SU^{2}(n)U_{Y}(1)$$.

Тут позначення $$\ G_{1}G_{2}G_{3}$$ відповідає виразу $$\ D_{Gbc} = Tr[[t_{G}^{G_{1}}, t_{b}^{G_{2}}]_{+}t_{c}^{G_{3}}]_{L} - (\text{L} \to \text{R})$$.

Нижче, нагадаю, використані такі позначення. $$\ N_{c}$$ - кількість кольорів кварків (при підсумовуванні за зарядами треба враховувати кольорові ступені вільності), яка у СМ дорівнює трьом, $$\ Q$$ - ліві $$\ SU_{L}(2)$$-дублети кварків, $$\ d, u$$ - праві синглети нижніх та верхніх кварків, $$\ L$$ - ліві $$\ SU(2)$$-дублети лептонів, $$\ l, \nu$$ - праві синглети лептонів. Остаточно, фактори 2 перед гіперзарядами пов'язані із тим, що у дублеті - дві частинки. [:)].

Отже, спершу розглянемо "тривіальну" аномалію $$\ U_{Y}^{3}$$. Дана група є абелевою та некіральною, тому $$\ t_{G, b, c}^{L} = t_{G, b, c}^{R} = Y\times I$$, де $$\ Y$$ - гіперзаряд ферміонного поля (у відповідному підрозділі визначено гіперзаряди усіх частинок СМ), а $$\ I$$ - одиничний оператор ($$\ t_{a}^{Y}\Psi_{L/R} = Y_{\Psi}\Psi_{L/R}$$). Вираз $$\ D_{Gbc}$$ дорівнює

$$\ D_{Gbc} = \frac{1}{2}\left( \sum_{\text{left}}Y_{L}^{3} - \sum_{\text{right}}Y_{R}^{3} \right) = \frac{1}{2}\left( (2 \times N_{c}\times Y_{Q}^{3} + 2U_{L}^{3}) - (N_{c}\times Y_{u}^{3} + N_{c}\times U_{d}^{3} + Y_{l}^{3} + Y_{\nu}^{3}) \right) = 0$$,

тому аномалія $$\ U_{Y}^{3}(1)$$ у СМ відсутня.

Наступна аномалія - $$\ U_{Y}SU^{2}(n)$$. Генератори групи $$\ SU(n)$$ задовольняють співвідношенню $$\ [t^{SU(n)}_{b}, t^{SU(n)}_{c}]_{+} = N\delta_{bc}$$, тому для некіральної групи $$\ SU_{c}(3)$$

$$\ D_{Gbc} = \delta_{bc}[ \sum_{\text{left quarks}}Y_{L} - \sum_{\text{right quarks}}Y_{R}] = \delta_{bc}[2\times N_{c}Y_{Q} - N_{c}\times (Y_{u} +Y_{d})] = 0$$,

а для кіральної групи $$\ SU_{L}(2)$$ -

$$\ D_{Gbc} = \delta_{bc}\left[ \sum_{\text{left}}Y_{L}\right] = \delta_{bc}[2\times Y^{\text{lepton}}_{L} + 2\times N_{c}\times Y^{\text{quarks}}_{Q}] = 0$$.

Далі - аномалія $$\ SU^{3}(n)$$. В силу співвідношень $$\ [t^{SU(n)}_{b}, t^{SU(n)}_{c}]_{+} = N\delta_{bc}$$ та $$\ Tr[t^{SU(n)}_{G}] = 0 $$ ці аномалії також дорівнюють нулю.

Можна також показати, що врахування гравітаційної взаємодії індукує аномальний член $$\ \sim Tr[T_{a}]R_{\alpha \beta \gamma \delta}R^{\alpha \beta \gamma \delta}$$. В силу безслідовості генераторів $$\ SU(n)$$, а також - того, що усі частинки взаємодіють із гравітаційним полем, єдина можлива аномалія, $$\ U_{Y}(1)Grav^{2}$$, дає

$$\ D_{Gbc} = \sum_{\text{left}}Y_{L} - \sum_{\text{right}}Y_{R} = (2U_{L} + 2\times N_{c} \times Y_{Q}) - (3\times Y_{u} + 3 \times Y_{d} + Y_{l} + Y_{\nu}) = 0$$.

Варто зазначити, що серед аномалій є такі, що рівні нулю тотожньо, та такі, що дорівнюють нулю лише після "підбору" гіперзарядів. Виявляється, що $$\ D_{Gbc} \equiv 0$$ лише у випадку, коли представлення, що відповідає генераторам, є дійсним або псевдодійсним. У іншому ж випадку лише задовільнення нетривіальних умов на заряди усуває аномалію. Таким чином, отримані вище умови на гіперзаряди однозначно фіксують заряди лептонів, коли, наприклад, визначені заряди кварків. Дана ситуація в деякій мірі відповідає квантуванню заряду, оскільки заряд - адитивна величина, а заряди елементарних частинок приймають лише чітко визначені значення.

До КТП та континуального інтегралу. Море Дірака і аномалії: доісторичний екскурс
Аномалія у квантовій теорії поля - порушення класичної симетрії дії, яка описується квантовою теорією поля, що виникає внаслідок відсутності регуляризації нескінченностей, що зберігає дану симетрію, не порушуючи при цьому першопринципи побудови квантової теорії.

Розглянемо лагранжіан для безмасових діраківських частинок: $$\ L = i\bar{\psi}\gamma_{\mu}\partial^{\mu}\psi \qquad (1)$$.

Як відомо, якщо діраківські частинки --- безмасові, то на класичному рівні їх дія буде інваріантною відносно перетворення

$$\ \psi \to e^{i \alpha + i \gamma_{5}\beta}\psi = e^{iaP_{L} + ibP_{R}}\psi, \quad P_{L/R} = \frac{1}{2}(1 \mp \gamma_{5}) \qquad (1) $$

Згідно до теореми Нетер, існують струми

$$\ J_{\mu} = \bar{\psi}\gamma_{\mu}\psi, \quad J_{\mu 5} = \bar{j}\gamma_{\mu}\gamma_{5}\psi , $$

що зберігаються, причому відповідні заряди $$\ Q \equiv \int d^{3}\mathbf r J_{0} $$ можна подати як

$$\ Q= N_{R} + N_{L}, \quad Q_{5} = N_{L} - N_{R}, \quad N_{L/R} = \int d^{3}\mathbf r \psi^{+}P_{L/R}\psi , $$

де $$\ L/R$$ позначають відповідно ліво- та право-кіральні величини.

Нехай тепер частинки мінімально взаємодіють із електромагнітним полем; відповідний лагранжіан має вигляд

$$\ L = i\bar{\psi}\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi, \quad D_{\mu} \equiv \partial_{\mu} - ieA_{\mu}. $$

Виявляється, що тепер, незважаючи на те, що симетрія лагранжіану відносно перетворень $$\ (1))$$ зберігається, різниця $$\ N_{L} - N_{R}$$ не буде зберігатися на квантовому рівні. Найпростішим чином це можна продемонструвати, використовуючи концепцію моря Дірака. Відповідно до цієї концепції, розв'язок рівняння Дірака містить стани із додатною та від'ємною енергією, проте усі від'ємними енергіями заповнені нескінченною кількістю частинок, які є неспостережуваними. Концепція моря Дірака еквівалентна квантовій теорії поля у тому сенсі, що квантове поле ферміона пов'язане із морем Дірака через перетворення Боголюбова. Нескінченності у квантовій теорії поля, що виникають внаслідок сингулярності хронологічного впорядкування, відповідають нескінченному числу заповнених станів моря Дірака.

За присутності магнітного поля $$\ \mathbf B$$ спіни частинок з додатньою (від'ємною) енергією напрямлені вздовж (проти) поля $$\ \mathbf B $$. У електричному полі $$\ \mathbf E $$ частинка з додатньою енергією зазнає дії сили $$\ e\mathbf E $$ і буде рухатись вздовж нього. Таким чином, спін буде напрямлений по імпульсу, і частинка є право-кіральною. Навпаки, ферміони з від'ємною енергією будуть ліво-кіральними, оскільки спін буде напрямлений проти імпульсу.

Через час $$\ t$$ ферміони з додатньою енергією збільшать свій імпульс Фермі (що задає поверхню, яка відрізняє заповнені стани від незаповнених) до $$\ \mathbf p_{F}^{R} = e\mathbf Et$$; відповідно, для лівих ферміонів $$\ p_{F}^{L} = -p_{F}^{R}$$. Направимо поля $$\ \mathbf E, \mathbf B$$ вздовж вісі $$\ Oz$$. Одновимірна густина станів вздовж цієї вісі дорівнює $$\ \frac{dN_{R}}{dz} = \frac{p_{F}^{R}}{2 \pi}$$. У перпендикулярному до цієї вісі напрямку рух ферміонів квантований рівнями Ландау через магнітне поле. При цьому $$\ \frac{dN_{R}}{dxdy} = \frac{eB}{2 \pi}$$. Звідси $$\ \frac{dN_{R}}{dxdydzdt} = \frac{e^{2}}{(2 \pi)^{2}}(\mathbf E \cdot \mathbf B)$$, тобто, число лівих частинок збільшується, оскільки вони перетікають із моря Дірака. Оскільки $$\ \frac{dN_{R}}{dVdt} = -\frac{dN_{L}}{dVdt}$$, то число правих частинок зменшується - вони витікають у море Дірака. Відповідно, закон збереження кірального струму має вигляд

$$\ \frac{d}{dVdt}(N_{L} - N_{R}) \equiv \frac{d(n_{L} - n_{R})}{dt} = \frac{e^{2}}{2 \pi^{2}}(\mathbf E \cdot \mathbf B) \qquad (2) $$

Тут $$\ n \equiv \frac{dN}{dV}$$ - концентрація. Праву частину виразу $$\ (2)$$ можна подати у вигляді

$$\ (\mathbf E \cdot \mathbf B) =\frac{1}{4}F_{\mu \nu}\tilde{F}^{\mu \nu}$$,

де $$\ F_{\mu \nu}$$ - тензор напруженості і $$\ \tilde{F}_{\mu \nu} \equiv \frac{1}{2}\epsilon_{\mu \nu \alpha \beta}F^{\alpha \beta}$$ - дуальний йому тензор. Остаточно,

$$\ \frac{d(n_{L} - n_{R})}{dt} = \frac{e^{2}}{8 \pi^{2}}F_{\mu \nu}\tilde{F}^{\mu \nu} \qquad (3) $$

Вираз $$\ (3)$$ називається глобальною кіральною аномалією струму аксіальної симетрії $$\ U_{A}(1)$$.