Основи загальної теорії відносності. Доведення

Доведення 1
Отримання лагранжіану лінеаризованої тензорної ЗТВ через вимогу інваріантності відносно ізометрій.

Розглянемо знову загальний вираз для дії, що дає рівняння вільного поля для симетричного тензора $$\ h_{\mu \nu}$$:

$$\ S_{0} = \int (a \partial_{\alpha} h_{\nu \beta}\partial^{\alpha} h^{\nu \beta} + b \partial_{\alpha} h \partial^{\alpha} h + c \partial_{\alpha} h^{\alpha \nu}\partial^{\beta} h_{\beta \nu} + d \partial^{\alpha} h \partial^{\beta} h_{\alpha \beta})d^4x $$.

Нехай така теорія є інваріантною відносно ізометрій, що виражає собою закон "збереження" тензору енергії-імпульсу:

$$\ h_{\mu \nu} \to h_{\mu \nu}' = h_{\mu \nu} + \partial_{\mu}\varepsilon_{\nu} + \partial_{\nu}\varepsilon_{\mu} \Rightarrow L' = L = inv$$.

Із цієї умови можна визначити величини коефіцієнтів $$\ a, b, c, d$$. Підставивши вираз для ізометрії у дію, можна, зберігаючи лінійний порядок по $$\ \varepsilon_{\mu}$$ та рівності

$$\ h_{\nu \beta}(\partial^{\nu}\varepsilon^{\beta} + \partial^{\beta}\varepsilon^{\nu}) = 2h_{\nu \beta}\partial^{\nu}\varepsilon^{\beta}, \quad \partial^{\nu}\partial^{\beta}h (\partial_{\nu}\varepsilon_{\beta} + \partial_{\beta}\varepsilon_{\nu}) = 2\partial^{\nu}\partial^{\beta}h \partial_{\nu}\varepsilon_{\beta}$$,

отримати

$$\ S' = S_{0} + $$

$$\ + \int \left[ 4a\partial_{\alpha}h_{\nu \beta}\partial^{\alpha}\partial^{\nu}\varepsilon^{\beta} + 4b\partial_{\alpha} h\partial^{\alpha} \partial^{\nu}\varepsilon_{\nu} + c\partial_{\alpha}h^{\nu \alpha}\partial^{\beta}(\partial_{\beta} \varepsilon_{\nu} + \partial_{\nu} \varepsilon_{\beta}) + c\partial^{\beta}h_{\nu \beta}\partial_{\alpha}(\partial^{\alpha}\varepsilon^{\nu} + \partial^{\nu}\varepsilon^{\alpha}) + d\partial^{\alpha} h\partial^{\beta}(\partial_{\alpha} \varepsilon_{\beta} + \partial_{\beta} \varepsilon_{\alpha}) + 2d\partial^{\beta} h_{\alpha \beta}\partial^{\alpha} \partial^{\nu}\varepsilon_{\nu}\right]d^{4}x$$.

Вираз з інтегралом треба перетворити шляхом "перекидання" похідних із вектора ізометрії на метрику. Це можна зробити шляхом інтегрування по частинам, вважаючи при цьому, що поверхневі інтеграли від метрики та її похідної рівні нулю (або, що еквівалентно, попередньо додавши до виразу дії інтеграли, варіація яких скорочується із інтегралами-варіаціями від похідних метрики). Наприклад,

$$\ \int 4a\partial_{\alpha}h_{\nu \beta}\partial^{\alpha}\partial^{\nu}\varepsilon^{\beta} d^{4}x = -\int 4a\partial^{2}h_{\nu \beta}\partial^{\beta} \varepsilon_{\nu} d^{4}x = \int 4a\partial^{2}\partial^{\beta} h_{\nu \beta}\varepsilon_{\nu}d^{4}x$$.

Тоді вираз для дії може бути переписаний як

$$\ S' - S_{0} = \int \left[ 4a\partial^{2}\partial^{\beta}h_{\nu \beta} + 4 b \partial^{\nu}\partial^{2}h + c\partial_{\alpha}\partial^{2}h^{\nu \alpha} + c\partial_{\alpha} \partial_{\mu}\partial^{\nu}h^{\mu \alpha} + c\partial_{\beta}\partial^{2}h^{\beta \nu} + c\partial_{\beta}\partial_{\mu}\partial^{\nu}h^{\beta \mu} + 2d\partial^{2}\partial^{\nu}h + 2d\partial^{\alpha}\partial^{\nu}\partial^{\beta}h_{\alpha \beta}\right]\varepsilon_{\nu}d^{4}x$$.

Інтеграл повинен бути рівен нулю, що означає, що повинен бути рівен нулю підинтегральний вираз. Це в свою чергу означає, що повинні бути рівні нулю коефіцієнти при різних похідних від метрики (в силу їх формальної незалежності). Така умова дає три рівняння:

$$\ 4a + 2c = 0, \quad 4b + 2d = 0, \quad 2c + 2d = 0$$.

Вибравши $$\ a = \frac{1}{2}$$, можна отримати

$$\ c = -2a = -1, \quad b = -a = -\frac{1}{2}, \quad d = 2a = 1$$.

Отже, знову отриманий той самий лагранжіан, що, звичайно, і повинно було бути отриманим, оскільки підходи, що запропоновані тут і в розділі про тензорну лінеаризовану гравітацію, еквівалентні.

Доведення 2
Інваріантність тензору Рімана лінеаризованої ЗТВ відносно ізометрій.

Дійсно, для

$$\ h_{\mu \nu}{'} = h_{\mu \nu} + \partial_{\mu}\varepsilon_{\nu} + \partial_{\nu} \varepsilon_{\mu} $$

тензор Рімана перетворюється як

$$\ \delta R_{iklm} = R_{iklm}{'} - R_{iklm} = \frac{1}{2}\left( \partial_{k}\partial_{l}(\partial_{i}\varepsilon_{m} + \partial_{m}\varepsilon_{i}) + \partial_{i}\partial_{m}(\partial_{k}\varepsilon_{l} + \partial_{l}\varepsilon_{k}) - \partial_{k}\partial_{m}(\partial_{i}\varepsilon_{l} + \partial_{l}\varepsilon_{i}) - \partial_{i}\partial_{l}(\partial_{k}\varepsilon_{m} + \partial_{m}\varepsilon_{k})\right) = 0$$.

Доведення 3
Варіація тензору кривини.

$$\ \delta R^{i}_{k \lambda \rho} = \delta (\partial_{\lambda }\Gamma^{i}_{k \rho} - \partial_{\rho}\Gamma^{i}_{k \lambda} + \Gamma^{i}_{\sigma \lambda}\Gamma^{\sigma}_{k \rho} - \Gamma^{i}_{\sigma \rho }\Gamma^{\sigma}_{k \lambda}) = \partial_{\lambda }\delta \Gamma^{i}_{k \rho} - \partial_{\rho}\delta \Gamma^{i}_{k \lambda} + \delta (\Gamma^{i}_{\sigma \lambda})\Gamma^{\sigma}_{k \rho} + \Gamma^{i}_{\sigma \lambda}\delta (\Gamma^{\sigma}_{k \rho}) -\delta (\Gamma^{i}_{\sigma \rho })\Gamma^{\sigma}_{k \lambda} - \Gamma^{i}_{\sigma \rho }\delta (\Gamma^{\sigma}_{k \lambda}) \qquad (11)$$.

З іншого боку, даний вираз можна представити у вигляді коваріантних похідних від варіації символа Кристоффеля. Дійсно, як показано у підрозділі "Введення символів Кристоффеля. Коваріантна похідна", похідна від двічі коваріантного тензора рівна

$$\ D_{l}A_{\alpha \beta} = \partial_{l}A_{\alpha \beta} - A_{\gamma \beta}\Gamma^{\gamma}_{l \alpha} - A_{\gamma \alpha}\Gamma^{\gamma}_{l \beta}$$,

а від контраваріантного вектора -

$$\ D_{l}A^{i} = \partial_{l}A^{i} + A^{\gamma}\Gamma^{i}_{\gamma l}$$.

Об'єднуючи ці вирази, можна просто отримати вираз для коваріантної похідної для символів Кристоффеля як 1-контраваріантної 2-коваріантної величини:

$$\ D_{\lambda}\Gamma^{i}_{k \rho} = \partial_{\lambda}\Gamma^{i}_{k \rho} + \Gamma^{\sigma}_{k \rho}\Gamma^{i}_{\sigma \lambda} - \Gamma^{i}_{k \sigma}\Gamma^{\sigma}_{\lambda \rho} - \Gamma^{i}_{\rho \sigma}\Gamma^{\sigma}_{\lambda k}$$.

Аналогічно - і для коваріантної похідної від варіації символа:

$$\ D_{\lambda}\delta \Gamma^{i}_{k \rho} = \partial_{\lambda}\delta\Gamma^{i}_{k \rho} + \delta (\Gamma^{\sigma}_{k \rho})\Gamma^{i}_{\sigma \lambda} - \delta (\Gamma^{i}_{k \sigma})\Gamma^{\sigma}_{\lambda \rho} - \delta(\Gamma^{i}_{\rho \sigma})\Gamma^{\sigma}_{ k \lambda}$$.

Аналогічно,

$$\ D_{\rho}\delta \Gamma^{i}_{k \lambda} = \partial_{\rho}\delta\Gamma^{i}_{k \lambda} + \delta (\Gamma^{\sigma}_{k \lambda})\Gamma^{i}_{\sigma \rho} - \delta (\Gamma^{i}_{k \sigma})\Gamma^{\sigma}_{\lambda \rho} - \delta(\Gamma^{i}_{\lambda \sigma})\Gamma^{\sigma}_{k \rho}$$.

Різниця цих двох виразів дасть $$\ (11)$$, оскільки кожен з них має ідентичний доданок. Отже,

$$\ \delta R^{i}_{k \lambda \rho} = D_{\lambda}\delta \Gamma^{i}_{k \rho} - D_{\rho}\delta \Gamma^{i}_{k \lambda}$$.

Доведення 4
Варіація символу Кристоффеля.

Стартуємо із рівності $$\ D_{\lambda}g_{\mu \nu} = 0$$.

З іншого боку, цей же вираз рівний

$$\ D_{\lambda}g_{\mu \nu} = \partial_{\lambda}g_{\mu \nu} - \Gamma^{\alpha}_{\mu \lambda}g_{\nu \alpha} - \Gamma^{\alpha}_{\nu \lambda}g_{\mu \alpha}$$.

Проваріюємо його:

$$\ 0 = \partial_{\lambda}\delta g_{\mu \nu} - \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu \lambda}g_{\nu \lambda} - \Gamma^{\alpha}_{\mu \lambda}\delta g_{\nu \alpha} - \delta \Gamma^{\alpha}_{\nu \lambda}g_{\mu \alpha} -\Gamma^{\alpha}_{\nu \lambda}\delta g_{\mu \alpha}$$.

Перший, третій та четвертий доданки можна записати через варіацію коваріантної похідної від варіації метричного тензора: тоді отримаємо

$$\ D_{\lambda} \delta g_{\mu \nu} = \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu \lambda}g_{\nu \alpha}+ \delta \Gamma^{\alpha}_{\nu \lambda}g_{\mu \alpha}$$.

Якщо у цій рівності циклічно двічі переставити індекси, то можна відповідно отримати

$$\ D_{\nu} \delta g_{\lambda \mu} = \delta \Gamma^{\alpha}_{\nu \lambda}g_{\mu \alpha}+ \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu }g_{\lambda \alpha}, \quad D_{\mu} \delta g_{\lambda \nu} = \delta \Gamma^{\alpha}_{\mu \nu }g_{\lambda \alpha} + \delta \Gamma^{\alpha}_{\lambda \mu }g_{\nu \alpha}$$.

Якщо від суми першого і третього виразів відняти другий, можна отримати

$$\ g_{\alpha \nu}\delta \Gamma^{\alpha}_{\mu \lambda} = \frac{1}{2}\left( D_{\lambda}\delta g_{\mu \nu} + D_{\mu}\delta g_{\lambda \nu} - D_{\nu}\delta g_{\lambda \mu}\right)$$.

На практиці виділяють варіацію без похідних, інтегруючи доданки по частинам. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$