Грассманові змінні

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Грассманові змінні
Для операторів народження і знищення діраківських частинок справедливі співвідношення

$$\ [\hat {a}_{i}, \hat {b}_{j}]_{+} = [\hat {b}_{i}, \hat {b}_{j}]_{+} = [\hat {a}_{i}, \hat {a}_{j}]_{+} = 0, \quad [\hat {a}_{i}(\mathbf p),\hat {a}^{\dagger}_{j}(\mathbf k )]_{+} = [\hat {b}_{i}(\mathbf p),\hat {b}^{\dagger}_{j}(\mathbf k )]_{+} = \delta_{ij}\delta (\mathbf p - k)$$.

Навіть у класичній границі ці вирази не стають "нормальними": рівними нулю стають не комутатори операторів, а їх антикомутатори. Це вимагає введення відповідного формалізму для роботи із такими величинами. Формалізм знадобиться у подальшому, коли буде розглядатися континуальний інтеграл, тому він не є абсолютно непотрібною математичною іграшкою.

Отже, набір величин $$\ \theta_{i}$$ називається грассмановим, якщо

$$\ \theta_{i}\theta_{j} = -\theta_{j}\theta_{i}, \quad \theta_{i} x = x\theta_{i} \qquad (0)$$.

Тут $$\ x$$ - звичайне число.

Із визначення $$\ (0)$$ слідує, що елементарні функції від грассманових змінних при розкладі у ряди обриваються на доданку кінцевого порядку (тут і далі визначення розкладу у ряд Тейлора для грассманових величин зберігається у тому сенсі, що під елементарними функціями розуміється нескінченний ряд). Наприклад, для одновимірного випадку

$$\ f(\theta ) = a + b\theta + c\theta^{2} + ... = a + b\theta $$.

Узагальнюючи написане, можна стверджувати, що розклад у ряд функції, яка залежить від деякого набору $$\ \theta_{i}$$, може бути записаний як

$$\ \Psi (\theta ) = 1 + \sum_{i}f_{i}\theta_{i} + \sum_{ij}f_{ij}\theta_{i}\theta_{j} + ... + f_{1...n}\theta_{1}...\theta_{n}$$.

Нескладно показати, що добутки "блоків" із парного числа грассманових чисел комутують, а добутки із непарного числа - антикомутують: наприклад,

$$\ (\theta_{1}\theta_{2})(\theta_{3}\theta_{4}) = (\theta_{3}\theta_{4})(\theta_{1}\theta_{2}), \quad (\theta_{1}\theta_{2} \theta_{3})(\theta_{4}\theta_{5}) = -(\theta_{4}\theta_{5})(\theta_{1}\theta_{2} \theta_{3})$$.

Диференціювання
Важливою частиною описання грассманових величин є їх диференціювання.

Нехай, за визначенням,

$$\ \frac{d}{d \theta }\theta = 1, \quad \frac{d}{d\theta_{i}}(\prod_{j \neq i} \theta_{j}) = 0 \qquad (1)$$.

Постає питання, яку ще властивість треба додати, щоб зникла неоднозначність при диференціюванні величин-добутків грассманових чисел, які відрізняються порядком слідування цих чисел. Цю властивість допоможе отримати простий приклад. Величина $$\ \theta_{1}\theta_{2} + \theta_{2}\theta_{1}$$ тотожно рівна нулю. Це означає, що її диференціювання по кожній зі змінних також повинно дати нулю. Якщо оператор похідної по змінним проноситься через грассманові числа як звичайне "число", то при диференціюванні буде отримано $$\ 2\theta_{1,2}$$, що протирічить рівності нулю антикомутатора. Отже, до правил $$\ (1)$$ треба додати наступне:

$$\ \frac{d}{d \theta_{n_{i}}}\theta_{n_{1}}...\theta_{n_{i}}... = (-1)^{n_{i} - 1}\theta_{n_{1}}...\theta_{n_{i - 1}}\theta_{n_{i+1}}...$$.

В силу цього справедливим є твердження

$$\ \left[\frac{d}{d\theta_{i}}, \frac{d}{d\theta_{j}}\right]_{+} f(\theta ) = 0$$,

тобто, остаточно, похідні також є грассмановими числами.

Наостанок, врахувуючи грассмановість, нескладно побачити, що справедлива формула

$$\ f(\theta + \kappa) = e^{\kappa_{i} \frac{d}{d\theta_{i}}}f(\theta )$$.

Інтегрування
Цікава ситуація із інтегруванням.

Щоб задати інтегрування на просторі грассманових змінних, достатньо задати декілька простих постулатів:

$$\ \int (a f(\theta ) + b g(\theta )) = a \int f(\theta ) d\theta + b \int g(\theta ) d\theta, \quad \int \left[\frac{d}{d\theta }f(\theta ) \right] d\theta = 0$$.

Перший вираз відповідає лінійності операції інтегрування, другий вираз - визначенню інтегровної на нескінченності функції.

Звідси одразу слідують два правила, які повністю характеризують операцію інтегрування:

$$\ \int 1 d\theta = \int \left[ \frac{d}{d \theta }\theta \right]d\theta = 0, \quad \int \theta d \theta = const < \infty$$.

Тут друга умова слідує з принципової можливості задати операцію інтегрування для грассманових чисел. Дійсно, кожна функція одного аргументу може бути представлена як $$\ f(\theta ) = a + b\theta $$, тому неінтегровність $$\ \theta$$ означало б, що кожна функція неінтегровна. Можна зафіксувати константу у другій властивості рівній одиниці. Тоді

$$\ \int 1 d\theta = 0, \quad \int \theta d \theta = 1 \qquad (2)$$.

Ці умови залишають підинтегральну функцію трансляційно-інваріантною. Дійсно, з одного боку

$$\ \int f(\theta ) d \theta = \int (a + b\theta )d \theta = b\int \theta d\theta = b $$,

а при зміщенні

$$\ \int f(\theta + \kappa ) d \theta = \int (a + b(\theta + \kappa ))d\theta = b \int \theta d \theta = b$$.

До речі, для задання властивостей $$\ (2)$$ можна було б також постулювати, що інтеграл повинен залишатися трансляційно-інваріантним. Умови ж $$\ (2)$$ узагальнюються на випадок багатовимірних інтегралів.

Із $$\ (2)$$ також видно, що для грассманових чисел операція інтегрування еквівалентна операції диференціювання.

Гауссові інтеграли із грассмановими змінними
Тепер можна перейти до корисного прикладу, який буде використано у подальшому - до аналогу гауссового інтегралу для грассманових чисел. Нагадаю, що для звичайних чисел справедлива рівність

$$\ \int e^{-\frac{1}{2}A^{ij}x_{i}x_{j} - b_{l}x^{l}}d^{n}\mathbf x = \frac{\sqrt{2\pi}^{n}}{\sqrt{||A_{ij}||}}e^{\frac{1}{2}b_{i}A^{-1}_{ij}b_{j}}$$.

Можна обчислити аналог для грассманового випадку.

Отже, нехай задано інтеграл

$$\ I = \int e^{-\frac{1}{2}\theta_{i}A^{ij}\theta_{j} + \theta^{l}a_{l}}d\theta_{1}...d\theta_{l}$$.

Тут $$\ A_{ij} = -A_{ji}$$ в силу грассмановості, $$\ a_{l}$$ - набір грассманових чисел.

В силу трансляційної інваріантності можна зробити зміщення (тут $$\ V_{il}$$ - ортогональна матриця, тому міра інтегрування не зміниться)

$$\ \theta_{i} \to A_{il}^{-1}a^{l} + V_{il}\eta^{l} \Rightarrow \theta_{i}A_{ij}\theta_{j} \to \theta_{l}(V_{li}K_{ij}V_{jm})\theta_{m} + 2\theta_{i}a^{i} + a_{l}A_{li}^{-1}a_{i}$$,

тому інтеграл можна буде переписати у вигляді

$$\ I = e^{\frac{1}{2}a_{i}A^{-1}_{ij}a_{j}}\int e^{-\frac{1}{2}\eta_{i}(K')^{ij}\eta_{j}}d\eta_{1}...d\eta_{l}, \quad K_{ij}^{'} = (V_{il}K_{lm}V_{mj})$$.

Нарешті, за допомогою підбору ортогонального перетворення $$\ V_{il}$$ матрицю $$\ K{'}_{ij}$$ можна буде звести до вигляду

$$\ K{'}_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \lambda_{1} & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ -\lambda_{1} & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_{2} & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \lambda_{2} & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0& 0& 0 & \dots & 0 & \lambda_{\frac{n}{2}} \\ 0 & 0& 0& 0 & \dots & -\lambda_{\frac{n}{2}} & 0 \end{pmatrix} $$.

В результаті, у степені експоненти будуть доданки вигляду

$$\ \eta_{1}\lambda_{1}\eta_{2} + \eta_{3}\lambda_{2}\eta_{4} + ...$$.

Експоненту можна розкласти в ряд за допомогою визначення:

$$\ e^{\eta_{i}K{'}_{ij}\eta_{j}} = 1 + \eta_{1}\lambda_{1}\eta_{2} + \eta_{1}\lambda_{1}\eta_{2}\eta_{3}\lambda_{2}\eta_{4} + ... \eta_{1}\lambda_{1}\eta_{2}...\eta_{n - 1}\lambda_{\frac{n}{2}}\eta_{n}$$.

Всі доданки, окрім останнього, дадуть нуль, оскільки у них буде хоча б один інтеграл виду $$\ \int d\eta_{i} = 0$$.

Тому, нарешті,

$$\ I = e^{\frac{1}{2}a_{i}A^{-1}_{ij}a_{j}} \prod_{i = 1}^{\frac{n}{2}}\lambda_{i} = e^{\frac{1}{2}a_{i}A^{-1}_{ij}a_{j}} \sqrt{det K}$$.

Аналогічним чином просто показати, що вираз

$$\ I = \int e^{-\frac{1}{2}\theta_{i}A^{ij}\eta_{j} + a_{l}\theta^{l} + b_{l}\eta^{l}}d \theta_{1}...d\theta_{n}d\eta_{1}...d\eta_{n}$$

рівен

$$\ I = (det K)e^{\frac{1}{2}a_{l}A_{lm}^{-1}b_{m}}$$.