Спінорні генератори групи та їх алгебра

Повернутися до розділу "Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца".

Алгебра групи Лоренца на спінорних представленнях
Як доведено у розділі Група Пуанкаре, алгебра операторного тензору групи Лоренца має вигляд

$$\ \quad [\hat {J}_{\alpha \beta}, \hat {J}_{\gamma \delta } ] = i\left( -g_{\alpha \delta }\hat {J}_{\gamma \beta } + g_{\beta \gamma}\hat {J}_{\alpha \delta} + g_{\alpha \gamma}\hat {J}_{\delta \beta } - g_{\beta \delta }\hat {J}_{\alpha \gamma}\right)$$.

Відповідно до експоненціального закону, незвідному представленню $$\ T(g)$$ групи відповідає представлення алгебри Лоренца виду

$$\ T(g) = e^{\frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu}}$$.

Можна знайти спін-тензорне представлення тензору $$\ J_{\mu \nu}$$ та вигляд відповідних генераторів. Доцільно почати зі спін-тензорного представлення тензору.

Враховуючи попередній підрозділ та антисиметричність тензору $$\ \omega^{\mu \nu}$$, можна записати останній через незвідні спінорні представлення:

$$\ \omega^{\mu \nu} = \frac{1}{2}(\sigma^{\mu \nu})_{\alpha \beta}\omega^{(\alpha \beta)} - \frac{1}{2}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {\alpha }\dot {\beta}}\omega^{(\dot {\alpha} \dot {\beta })}$$.

Тоді згортка тензорів дасть

$$\ \omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu} = \frac{1}{2}(\sigma^{\mu \nu})_{\alpha \beta}\omega^{(\alpha \beta)}J_{\mu \nu} - \frac{1}{2}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {\alpha }\dot {\beta}}\omega^{(\dot {\alpha} \dot {\beta })}J_{\mu \nu}$$.

Зручно ввести спінорні незвідні компоненти тензору $$\ J_{\mu \nu}$$, проте з видозміненими коефіцієнтами-множниками (що аж ніяк не впливає на незвідність компонент):

$$\ J_{(\alpha \beta)} = \frac{1}{2}(\sigma^{\mu \nu})_{\alpha \beta}J_{\mu \nu}, \quad J_{(\dot {\alpha }\dot {\beta })} = -\frac{1}{2}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {\alpha} \dot {\beta}}J_{\mu \nu}$$.

Тоді $$\ \omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu} = \omega^{(\alpha \beta)}J_{(\alpha \beta )} + \omega^{(\dot {\alpha } \dot {\beta })}J_{(\dot {\alpha}\dot {\beta })}$$,

і експоненціальний закон для незвідного представлення групи Лоренца набуде вигляду

$$\ T(g) = e^{\frac{i}{2}\left( \omega^{(\alpha \beta)}J_{(\alpha \beta )} + \omega^{(\dot {\alpha } \dot {\beta })}J_{(\dot {\alpha}\dot {\beta })} \right)}$$.

З очевидністю слідують наступні висновки: у спінорному представленні алгебра групи Лоренца генерується двома операторами - симетричними спінорними тензорами $$\ J_{(\alpha \beta )}, J_{(\dot {\alpha}\dot {\beta })}$$ (шляпки ставитися не будуть через громіздкість виразів, проте маються на увазі). В силу їх симетричності у кожного є три незалежні комплексні компоненти, кожна з яких відповідає незалежному оператору. Звідси слідує, що, як і повинно бути, незалежних операторів усього шість.

Можна отримати комутаційні співвідношення для операторів та визначити оператори Казиміра представлення та їх власні числа. Найголовнішим і найгроміздкішим етапом у виведенні співвідношень є визначення виразів-згорток для матриць $$\ (\sigma_{\mu \nu})_{\alpha \beta }, (\sigma_{\mu \nu})_{\dot {\alpha }\dot {\beta }}$$. В силу того, що комутатор спінорних тензорів $$\ J_{(\alpha \beta )}, J_{(\dot {\alpha} \dot {\beta } )}$$ зводиться до комутаторів компонент тензору $$\ J_{\mu \nu}$$, кожен доданок яких пропорційний метриці простору-часу Мінковського $$\ g_{\alpha \delta }$$, доцільно одразу визначати вираз для згорток виду $$\ (\sigma^{a b})_{\alpha \beta }(\sigma^{\mu \nu})_{\gamma \delta }g_{\alpha \mu}$$. Громіздкі викладки дають вирази

1. $$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\sigma^{\mu \nu})_{c d}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( -\varepsilon_{a c}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{bd} - \varepsilon_{ad}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{bc} - \varepsilon_{bc}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{ad} - \varepsilon_{bd}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{ac}\right)$$,

2. $$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\sigma^{\mu \nu})_{c d}g_{\alpha \mu}g_{\beta \nu} = \varepsilon_{a c}\varepsilon_{bd} + \varepsilon_{ad}\varepsilon_{bc}$$,

3. $$\ (\tilde {\sigma}^{\alpha \beta})_{\dot {a} \dot {b} }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {c}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta } \sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {c}}\right) $$,

4. $$\ (\tilde {\sigma}^{\alpha \beta})_{\dot {a} \dot {b} }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}g_{\beta \nu} = \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}\varepsilon_{\dot {b}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}\varepsilon_{\dot {b}\dot {c}}$$,

5. $$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( (\sigma^{\beta})_{b\dot {c}}(\sigma^{\nu})_{a\dot {d}} + (\sigma^{\beta })_{b \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{a \dot {c}} + (\sigma^{\beta })_{a \dot {c}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {d}} + (\sigma^{\beta})_{a \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {c}}\right) $$.

Тепер можна отримати вирази для комутаційних співвідношень:

$$\ [J_{(a b)}, J_{(c d)}] = \frac{i}{2}\left( \varepsilon_{ac}J_{(bd)} + \varepsilon_{bd}J_{(ac)} + \varepsilon_{ad}J_{(bc)} + \varepsilon_{bc}J_{(ad)}\right), \quad [ J_{(\dot {a } \dot {b } )}, J_{(\dot {c } \dot {d } )}] = \frac{i}{2}\left( \varepsilon_{\dot {a}\dot {c}}J_{(\dot {b} \dot {d})} + \varepsilon_{\dot {b} \dot {d}}J_{(\dot {a} \dot {c})} + \varepsilon_{\dot {a} \dot {d}}J_{(\dot {b} \dot {c})} + \varepsilon_{\dot {b} \dot {c}}J_{(\dot {a} \dot {d})}\right)$$,

$$\ [ J_{(a b)}, J_{(\dot {c} \dot {d} )}] = 0$$.

Таким чином, алгебра групи Лоренца є прямою сумою двох незалежних алгебр спінорних операторів $$\ J_{(a b)}, J_{(\dot {c} \dot {d} )}$$.

Властивості "узагальнених" матриць Паулі
У попередніх розділах активно використовувалися "узагальнені" матриці Паулі:

$$\ (\sigma^{\mu \nu})_{\alpha}^{\quad \beta} = -\frac{1}{4}\left( (\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu})_{\alpha}^{\quad \beta} - (\sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu})_{\alpha}^{ \quad \beta } \right), \quad (\tilde {\sigma}^{\mu \nu})^{\dot {\alpha }}_{\quad \dot {\beta }} = -\frac{1}{4}\left( (\tilde {\sigma}^{\mu}\sigma^{\nu})^{\dot {\alpha }}_{\quad \dot {\beta }} - (\tilde {\sigma }^{\nu}\sigma^{\mu})^{\dot {\alpha }}_{\quad \dot {\beta }}  \right)$$.

Вони знадобляться у подальших розділах, тому варто знати їх властивості та пов'язані з матрицями визначення.

1. Можна визначити матриці з різними положеннями спінорних індексів (аналогічно - для матриць із точковими індексами):

$$\ (\sigma^{\mu \nu})_{\alpha \beta } = \varepsilon_{\beta \gamma}(\sigma^{\mu \nu})_{\alpha}^{\quad \gamma}, \quad (\sigma^{\mu \nu})^{\alpha \beta } = \varepsilon^{\alpha \gamma}(\sigma^{\mu \nu})_{\gamma}^{\quad \beta}$$.

2. Матриці, що вочевидь слідує із їх визначення, антисиметричні за векторними індексами $$\ \mu, \nu$$:

$$\ (\sigma_{\mu \nu})_{ab} = -(\sigma_{\nu \mu})_{ab}$$.

3. Їх слід рівен нулю: дійсно, в силу властивості 4

$$\ Tr((\sigma_{\mu \nu})_{ab}) = -\frac{1}{4}\left(2g_{\mu \nu} - 2g_{\nu \mu}\right) = 0$$.

4. Матриці $$\ (\sigma_{\mu \nu})_{ab}, (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}$$ (і аналогічні з верхніми спінорними індексами) є симетричними за спінорними індексами: дійсно, враховуючи доведення п. 3,

$$\ (\sigma_{\mu} \tilde {\sigma}_{\nu})_{a}^{\quad b} = \left[g_{\mu \nu}\hat {\mathbf E} - i\varepsilon_{0 \mu \nu k}\hat {\sigma}^{k} - \delta_{\mu 0}(\delta_{\nu 0}\hat {\mathbf E} - \hat {\tilde {\sigma}}_{\nu}) - \delta_{\nu 0}(\delta_{\mu 0}\hat {\mathbf E} - \hat {\sigma}_{\mu})\right]_{a}^{\quad b}$$,

для наших матриць можна, скоротивши однакові доданки, отримати вираз

$$\ (\sigma_{\mu \nu})_{a}^{\quad b} = -\frac{1}{4}\left(-2i\varepsilon_{0 \mu \nu k}\sigma^{k} + \delta_{\mu 0}\tilde {\sigma}_{\nu} + \delta_{\nu 0}\sigma_{\mu} - \delta_{\nu 0}\tilde {\sigma}_{\mu} - \delta_{\mu 0}\sigma_{\nu}\right)_{a}^{\quad b}$$.

Він, звичайно, дає антисиметричність матриць за векторними індексами, що елементарно перевіряється підстановкою, і безслідовість.

Тепер

$$\ (\sigma_{\mu \nu})_{a c} = -\frac{1}{4}\varepsilon_{cb}\left(-2i\varepsilon_{0 \mu \nu k}\sigma^{k} + \delta_{\mu 0}\tilde {\sigma}_{\nu} + \delta_{\nu 0}\sigma_{\mu} - \delta_{\nu 0}\tilde {\sigma}_{\mu} - \delta_{\mu 0}\sigma_{\nu}\right)_{a}^{\quad b}$$.

Для всіх випадків різних значень $$\ \mu, \nu$$, як просто перевірити, результат пропорційний добутку метрики $$\ \varepsilon_{cb}$$ на одну з трьох матриць Паулі (при цьому ніколи не з'являється одинична матриця). Матриця ж $$\ \varepsilon_{cb}(\sigma_{\alpha})_{a}^{\quad b}$$ завжди симетрична для всіх трьох можливих індексів:

$$\ \hat {\varepsilon}\hat {\sigma}_{1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \hat {\varepsilon}\hat {\sigma}_{2} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \quad \hat {\varepsilon}\hat {\sigma}_{3} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$,

причому ці три матриці, як видно з їх структури, лінійно незалежні.

Для матриць з точковими індексами все аналогічно.

5. Шість матриць $$\ (\sigma_{\mu \nu})_{ab}$$ є лінійно незалежними. Дійсно, якщо використати результати попереднього підпункту,

$$\ (\sigma_{\mu \nu})_{a c} = -\frac{1}{4}\varepsilon_{cb}\left(-2i\varepsilon_{0 \mu \nu k}\sigma^{k} + \delta_{\mu 0}\tilde {\sigma}_{\nu} + \delta_{\nu 0}\sigma_{\mu} - \delta_{\nu 0}\tilde {\sigma}_{\mu} - \delta_{\mu 0}\sigma_{\nu}\right)_{a}^{\quad b}$$,

то видно, що для різних значень $$\ \mu, \nu$$ реалізовуються матриці $$\ \sigma_{j}, i \sigma_{k}$$. Тобто, в додаток до трьох матриць, наведених вище, будуть ще три матриці вигляду

$$\ \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix}$$.

Ці матриці між собою лінійно незалежні і, звичайно, незалежні із першими трьома матрицями. Разом із тим, матриці є безслідовими та комплексними. В результаті, можна стверджувати, що вони утворюють базис у просторі двурядних безслідових комплексних матриць.

6. Із попереднього розділу відомі їх згортки із метрикою:

6.1. $$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\sigma^{\mu \nu})_{c d}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( -\varepsilon_{a c}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{bd} - \varepsilon_{ad}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{bc} - \varepsilon_{bc}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{ad} - \varepsilon_{bd}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{ac}\right)$$,

6.2. $$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\sigma^{\mu \nu})_{c d}g_{\alpha \mu}g_{\beta \nu} = \varepsilon_{a c}\varepsilon_{bd} + \varepsilon_{ad}\varepsilon_{bc}$$,

6.3. $$\ (\tilde {\sigma}^{\alpha \beta})_{\dot {a} \dot {b} }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {c}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta } \sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {c}}\right) $$,

6.4. $$\ (\tilde {\sigma}^{\alpha \beta})_{\dot {a} \dot {b} }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}g_{\beta \nu} = \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}\varepsilon_{\dot {b}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}\varepsilon_{\dot {b}\dot {c}}$$,

6.5. $$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( (\sigma^{\beta})_{b\dot {c}}(\sigma^{\nu})_{a\dot {d}} + (\sigma^{\beta })_{b \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{a \dot {c}} + (\sigma^{\beta })_{a \dot {c}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {d}} + (\sigma^{\beta})_{a \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {c}}\right) $$.

7. $$\ (\sigma_{\mu \nu}^{*})_{a}^{\quad b} = (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}$$.

Для цього можна скористатись означеннями

$$\ (\sigma_{\mu \nu}^{*})_{a}^{\quad b} = -\frac{1}{4}(\sigma^{*}_{\mu}\tilde {\sigma}^{*}_{\nu} - \sigma^{*}_{\nu}\tilde {\sigma}^{*}_{\mu}) = \frac{1}{2}\left( \mathbf \sigma, (i\mathbf {\sigma})\right)^{*} = \frac{1}{2} \left( \mathbf {\sigma}^{*}, -i\sigma^{*}\right)$$,

$$\ (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}} = -\frac{1}{4}(\tilde {\sigma}_{\mu}\sigma_{\nu} - \tilde {\sigma}_{\nu}\sigma_{\mu}) = \frac{1}{2}\left(-\mathbf {\sigma}, i\mathbf {\sigma}\right)$$,

де використана нотація запису антисиметричних тензорів. Тоді

$$\ (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})_{\dot {c}}^{\quad \dot {d}} = \varepsilon_{\dot {c}\dot {a}}\varepsilon^{\dot {b} \dot {d}}(\tilde {\sigma}_{\mu \nu})^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}} = -(\varepsilon \tilde {\sigma}_{\mu \nu}\varepsilon )_{\dot {c}}^{\quad \dot {d}} = \frac{1}{2}\left( \mathbf {\sigma}^{*}, - i\varepsilon_{ijk}\sigma^{*^{k}}\right)$$,

де в останній рівності враховано, що $$\ \varepsilon \sigma_{k} \varepsilon = \sigma_{k}^{*}$$.

8. Матриці є самодуальними:

$$\ \varepsilon^{\mu \nu \lambda k}\sigma_{\lambda k} = -2 i \sigma^{\mu \nu}, \quad \varepsilon^{\mu \nu \lambda k}\tilde{\sigma}_{\lambda k} = 2 i \tilde{\sigma}^{\mu \nu}$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$