Метрика та потенціал проти тензорів Вейля та напруженості

Повернутися до розділу "Спін 2".

У розділах про електромагнітне та гравітаційне поля було показано, що результатом застосування формалізму про безмасові незвідні представлення групи Пуанкаре до теорій спіральностей 1, 2, які є інваріантними відносно дискретних перетворень групи Лоренца, є наступні рівняння на поля:

$$\ \partial_{\mu}F^{\mu \nu} = 0, \quad \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\partial_{\nu}F_{\alpha \beta} = 0, \quad F_{\alpha \beta} = -F_{\beta \alpha}$$,

$$\ \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\partial_{\nu}C_{\epsilon \delta \alpha \beta} = 0, \quad C_{\mu \nu \alpha \beta} = -C_{\nu \mu \alpha \beta} = -C_{\mu \nu \beta \alpha} = C_{\nu \mu \beta \alpha}, \quad C^{\alpha}_{\ \beta \alpha \delta} = 0, \quad \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}C_{\mu \nu \alpha \beta} = 0$$.

Об'єкти $$\ F_{\mu \nu}, C_{\mu \nu \alpha \beta}$$, як було показано у вищенаведених розділах, реалізують пряму суму представлень зі спіральностями відповідно 1, -1 і 2,-2. Фізично вони відповідають електромагнітному і лінеаризованому гравітаційному полям.

У тих же розділах (для випадку гравітаційного поля це показано тут) було показано, що від полів $$\ F_{\mu \nu}, C_{\mu \nu \alpha \beta}$$ можна перейти до полів $$\ A_{\mu}, h_{\mu \nu}$$ відповідно. Початково вони мають більше ступенів вільності, ніж "материнські" поля, проте їх зв'язок із цими полями призводить до появи калібрувальних ступенів вільності, які можна зафіксувати, залишивши у цих полях лише дві ступені вільності. До тих же самих полів можна перейти, якщо виконати формальний перехід до $$\ m \to 0$$ відповідно масивних бозонів зі спіном 1 (рівняння Прока) і масивних бозонів зі спіном 2 (рівняння Паулі-Фірца).

Ці поля, втім, все одно в дійсності не реалізують безмасові представлення: у розділі про ЕМ поле було показано, що поляризаційні вектори 4-потенціалу, а отже, і 4-потенціал не перетворюються по Лоренцу як 4-вектори:

$$\ A_{\mu} \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}A_{\nu} + \partial_{\nu}\Omega \qquad (1)$$,

якщо вони представляють безмасові частинки (тобто, поляризаційні вектори перетворюються за малою групою безмасових імпульсів групи Пуанкаре). Повністю аналогічні викладки призводять до аналогічної проблеми із метричним тензором:

$$\ h^{\mu \nu} \to \Lambda^{\mu}_{\ \alpha}\Lambda^{\nu}_{\ \beta}h^{\alpha \beta} + c^{\mu}\Omega^{\nu} + d^{\nu}\Delta^{\mu} \qquad (2)$$.

Простіше кажучи, 4-векторним полем не можна описувати безмасові частинки спіральності 1, а 4-тензорним полем рангу 2 не можна описувати безмасові частинки спіральності 2.

Аналогічні твердження можуть бути зроблені про безмасові поля довільного спіну: спочатку маємо масивний об'єкт - симетричний, безслідовий і поперечний по всім індексам $$\ 2s+1$$-компонентний тензор $$\ F_{\mu_{1}...\mu_{s}}$$ (якщо спін - напівцілий, доведеться використовувати спінорні представлення, що нічого складного, втім, не зробить). Якщо покласти масу рівною нулю, то рівняння Клейна-Гордона стане безмасовим, і поле $$\ F_{\mu_{1}...\mu_{s}}$$ стане допускати набір калібрувальних перетворень, що не змінюють його властивостей. Ці перетворення будуть "вбивати" $$\ 2s-1$$ компонент, що залишить лише дві компоненти, як і повинно бути для безмасового поля ненульової спіральності, що інваріантне відносно дискретних симетрій групи Лоренца. Проте платою за такий простий спосіб побудови безмасових представлень являється нековаріантність поляризаційних векторів, а отже, і самих полів.

Умова лоренц-інваріантності теорії за умови переходу від істинних тензорів до нековаріантних тензорів співпадає із калібрувальною інваріантністю відносно перетворень типу $$\ (1), (2)$$. Як тільки калібрувальна інваріантність порушується, теорія стає лоренц-неінваріантною. У цьому проявляється зв'язок симетрій простору-часу із внутрішніми симетріями, чого, здавалося б, принципово бути не може.

Як саме у теоріях типу ЕМ взаємодії, $$\ L_{int} = j_{\mu}A^{\mu}$$, і гравітаційної, $$\ L_{int} = h_{\mu \nu}T^{\mu \nu}$$ реалізовується лоренц-інваріантність? І взагалі, чому ми використовуємо нековаріантні тензори, як 4-потенціал та метричний тензор, замість істинних тензорів типа тензору напруженості та тензору Вейля?

Відповідь на перше питання дається непертурбативними методами дослідження матриці розсіяння. Буде показано, що всі процеси, пов'язані із електродинамікою, характеризуються амплітудою $$\ M_{\alpha \to \beta} = \int \varepsilon_{\lambda}^{\mu_{1}}(p_{1})...M_{\mu_{1}...}(p_{1},...)$$, де $$\ M_{\mu_{1}...}(p_{1},...)$$ задовольняє рівність $$\ p_{1}^{\mu_{1}}M_{\mu_{1}...}(p_{1}, ...) = 0$$. Це автоматично призводить до інваріантності відносно перетворень $$\ \varepsilon^{\lambda}_{\mu}(p) \to \varepsilon^{\lambda}_{\mu}(p) + c(p^{2})p_{\mu}$$. Це означає, що усі процеси, що побудовані на взаємодії матерії саме з полем $$\ A_{\mu}$$, є лоренц-інваріантними навіть незважаючи на нековаріантність 4-потенціалу. Повністю аналогічні викладки можуть бути пророблені із гравітаційним полем (я не торкаюсь тут проблеми перенормовності).

Друге питання має наступну відповідь. Якби усі поля матерії взаємодіяли б із полями $$\ F_{\mu \nu}, C_{\mu \nu \alpha \beta}$$, то відповідні матричні елементи процесів вели б із енергією так, що це відповідало б взаємодії не $$\ \frac{1}{r^{2}}$$, а, наприклад, $$\ \frac{1}{r^{3}}$$ і т.д. А природа влаштована так, що дальнодія електромагнітного та гравітаційного полів описується саме через закон обернених квадратів.

Частинки із старшими спіральностями, як показано у подальшому, не можуть взаємодіяти із жодним полем (принаймні, у м'якій границі - малих імпульсах частинок даних спіральностей, що випромінюються у процесах). Тому для них таке питання не стоїть, і можна розглядати "нормальне" коваріантне представлення.