Діаграми Фейнмана

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

З урахуванням попереднього підрозділу можна просто визначати матричні коефіцієнти $$\ S$$-матриці. Дійсно, підстановка виразу для теореми Віка до виразу для вкладу n-того члену розкладу $$\ S$$-матриці до виразу $$\ (.1)$$ на коефіцієнти зводить всі перестановки до комутаторів виду $$\ (.2)-(.4)$$ полів з нормального впорядкування та $$\ in-, out- $$станів. Вакуумні середні є просто "числовими" виразами, які є перестановочними з усіма операторами; їх обчислюють за допомогою виразів $$\ (.7)-(.10)$$. Тому ненульові вклади в матричний елемент можуть бути лише тоді, коли кількість та тип полів під знаком нормального впорядкування співпадають із кількістю та типом операторів народження (інакше хоча б один оператор народження чи знищення подіє на вакуумний стан, що дасть нуль). Після врахування всіх перестановок операторів на залишається, під знаком вакуумного усереднення стоять лише "числові" вирази, які можна винести за знак вакуумного скалярного добутку. Тоді в силу $$\ \langle | \rangle = 1$$ все зведеться до обчислення відповідних інтегральних виразів, що виникли як комутатори, та вакуумних середніх - пропагаторів.

Сумарний результат можна описати графічно. Лагранжіан, який є добутком взаємодіючих полів, відповідає вершинам, з якої розходяться лінії, що відповідають кожному полю. Лінії бувають внутрішні (відповідають вакуумним середнім) та зовнішні (відповідають полям, що були під знаком нормального впорядкування та комутували із операторами $$\ in-, out-$$станів). Якщо одночастинкові стани відповідають зарядженим частинкам, то на лініях з'являються стрілки. Частинки (точніше, хід процесу) рухаються по напрямку стрілки, античастинки - проти напрямку. Таким чином, узагальнюючи, кожному доданку розкладу $$\ S$$-матриці на етапі застосування теореми Віка ставиться у відповідність діаграма, число вершин у якій рівне порядку члену розкладу, а число зовнішніх ліній - сумарному числу частинок у початковому та кінцевому станах.

При цьому можна зображати результат у "координатному" та "імпульсному" представленнях. Якщо у виразах для пропагаторів інтегрувати спочатку по 4-імпульсах, то кожній вершині співставляється координата (тобто, вершина відповідає лагранжіану взаємодії; при цьому ще треба проінтегрувати по координатам). Якщо ж спочатку проінтегрувати за координатами (ці інтеграли для пропагаторів є "зовнішніми"), то виникнуть множники виду $$\ -i (2 \pi )^{4}\delta ( \sum p - \sum p{'} + \sum q - \sum q{'})$$, де $$\ p, p{'}$$ відповідають повним імпульсам всіх початкових чи кінцевих частинок, що входять чи виходять у вершину, а $$\ q{'}$$ - повним імпульсам по внутрішнім лініям, шо відповідають стрілкам від та до вершини відповідно (нагадаю, що це є загальною властивістю $$\ S$$-матриці внаслідок її коваріантності). При цьому у кінці виконується інтегрування по імпульсам.

Отже, тепер можна записати правила наступним чином.

0. Для n-того порядку теорії збурень береться n вершин та з'єднується відповідно до деяких загальних законів збереження (що виражаються через нульову дивергенцію відповідних струмів). Перебираються всі можливі з'єднання.

1. Кожній вершині співставляється множник $$\ -i (2 \pi )^{4}\delta ( \sum p - \sum p{'} + \sum q - \sum q{'})$$.

2. Кожній внутрішній лінії, кінці якої помічені індексами $$\ l, m$$, відповідає "підинтегральна" частина пропагатора $$\ - \frac{i}{(2 \pi )^{4}}\frac{P_{lm}(p)}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon }$$ (експонента зникла при інтегруванні за координатами). При цьому внутрішній лінії є стрілка, яка задає напрямок від $$\ m $$ до $$\ l$$. Стрілка символізує напрямок "руху" 4-імпульсу, що знаходиться не на масовій поверхні.

3. Кожній зовнішній лінії, що виходить із діаграми вгору, відповідає "польовий" множник $$\ \frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}u^{*}_{l}(\mathbf p )$$ чи множник $$\ \frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}v_{l}(\mathbf p )$$ (знову ж таки, експонента зникає через інтегрування по координатам), в залежності від того, як напрямлена стрілка - вгору чи вниз. Кожній зовнішній лінії, що входить у діаграму знизу, співставляється множник $$\ \frac{1}{(2 \pi )^{3}}u_{l}(\mathbf p )$$ чи $$\ \frac{1}{\sqrt{(2 \pi )^{3}}}v^{*}_{l}(\mathbf p )$$.

4. Добуток із пунктів 1-3 інтегрується по 4-імпульсам усіх внутрішніх ліній та підсумовується за всіма спінорними індексами. Результат підсумовується по всім можливим топологічно нееквівалентним діаграмам.

Цікавий формальний результат можна отримати для лагранжіану взаємодії у КЕД: максимальне число зовнішніх ліній, які входять у одну вершину, рівне трьом. Дійсно, лагранжіан взаємодії, що відповідає вершині, має вигляд $$\ L_{int} = q\hat {\bar {\Psi}}\gamma^{\mu}\hat {\Psi} \hat {A}_{\mu}$$. Розписуючи цей лагранжіан (розкриваючи дужки для виразів полів), нескладно побачити, що лагранжіан являє собою добуток трьох операторів (двох ферміонних та одного фотонного). Тому з $$\ in-, out-$$станів може прокомутувати з нормально упорядкованим лагранжіаном лише три оператори. Це і означає, що кількість зовнішніх ліній рівна трьом.

Наостанок можна поговорити про "нормування" на вакуумні переходи. Ці переходи відповідають ситуації флуктуацій вакууму за відсутності частинок. Інакше кажучи, усі вони зосереджені у виразі $$\ \langle 0| \hat {S} | 0\rangle$$. Для таких діаграмм зовнішні лінії відсутні, а наявні лише так звані петлі. Наприклад, для випадку квантової електродинаміки для члену розкладу другого порядку буде ненульовий член, що відповідає петлі із двох ферміонів та летячим усередині фотоном (це, по аналогії із останнім, просто зрозуміти, якщо врахувати вираз для лагранжіану взаємодії, $$\ L_{I}$$, де $$\ \hat {j}^{\mu} = \hat {\bar {\Psi}}\gamma^{\mu}\hat {\Psi}$$ у другому порядку дасть два нетривіальні комутатори через наявність двох спінорів, а $$\ A_{\mu}$$, вочевидь, один). Звичайно, такі діаграми не є цікавими, оскільки переходи вакуум-вакуум відносяться до тривіальних випадків розсіяння; окрім того, ці переходи просто не можуть бути спостережуваними на експерименті, оскільки відповідають "віртуальним" станам.

З урахуванням цього можна розглянути загальний розклад $$\ \hat {S}$$-оператора (без обрізання на кінечному порядку). Очевидно, що довільна незв'язна діаграма може бути представлена як добуток зв'язних діаграм. У даному випадку в кожній діаграмі можна зробити розбиття на у загальному випадку незв'язні вакуумні множники та у загальному випадку незв'язні множники із зовнішніми лініями. Перегрупувавши всі доданки, можна весь вираз $$\ \langle out| \hat {S} | in \rangle $$ представити як добуток незв'язних діаграм із зовнішніми лініями на добуток вакуумних діаграм. Відповідно, можна нормувати матричний елемент так, щоб вклад від вакуумних переходів не враховувався:

$$\ \langle out| \hat {S} | in \rangle \to \frac{\langle out| \hat {S} | in \rangle}{\langle 0| \hat {S} | 0\rangle}$$.