Частинки та античастинки

Повернутися до розділу поля довільного спіну.

У розділі про коваріантні поля без прив'язки до релятивістських рівнянь із однієї лише вимоги побудови пуанкаре-скалярів із фізичних операторів для із комбінації операторів народження та знищення та спінорних функцій були отримані вирази для полів народження та знищення:

$$\ \hat {\Psi}^{+}_{A}(x) = \sum_{\sigma} \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2p_{0}}}e^{-ipx}u^{\sigma}_{A}(\mathbf p )\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p), \quad \hat {\Psi}^{-}_{A}(x) = \sum_{\sigma} \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2p_{0}}}e^{ipx}v^{\sigma}_{A}(\mathbf p )\hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p) \qquad (1)$$.

Із них були сконструйовані поля

$$\ \hat {\Psi}_{A}(x) = \sum_{\sigma} \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2p_{0}}}\left(k_{1}e^{-ipx}u^{\sigma}_{A}(\mathbf p )\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p) + k_{2}e^{ipx}v^{\sigma}_{A}(\mathbf p )\hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p) \right)_{p_{0}^{2} = \mathbf p^{2} + m^{2}} \qquad (2)$$.

Одразу виникає декілька питань: чому у цих виразах оператори народження і знищення помічені різними літерами, як пов'язані відповідні цим операторам частинки, чому із самого початку є множники $$\ k_{1}, k_{2}$$, навіщо взагалі було конструювати такі вирази, якщо формально оператори фізичних величин можна було б будувати із полів $$\ (1)$$. У цьому розділі будуть дані відповіді на ці питання.

Причинність та вираз $$\ (2)$$.

Одразу можна дати відповідь на останнє питання. Якби були б використані вирази $$\ (1)$$, принципово не можна було б задовольнити умову причинності

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = 0, \quad (x - y)^{2} < 0 \qquad (3)$$.

Дійсно, якби б поля мали вигляд $$\ (1)$$, то (анти)комутатори би мали вигляд

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = \sum_{\sigma}\int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}e^{-ip(x - y)}u^{\sigma}_{A}(\mathbf p)(u^{\sigma})^{\dagger}_{B}(\mathbf p )$$,

і очевидно, що вираз не рівний нулю для будь-яких інтервалів. Аналогічно, якби б поля мали вигляд $$\ (1)$$, то неможливо було б отримати релятивістськи-інваріантну теорію збурень, оскільки умовою інваріантності є, знову ж, вираз $$\ (3)$$.

Рівність мас частинок $$\ \hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )| \rangle, \hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )| \rangle$$.

Спершу можна задати питання про ідентичність відповідних частинок з позицій Пуанкаре-симетрії. Звісно, вони відповідають представленню одного спіну, оскільки будується теорія вільних частинок даного спіну. Проте звідси ніяк не слідує однаковість мас. Отже, у загальному випадку $$\ \hat {\Psi}_{A}(x) = \sum_{\sigma} \int \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2p_{0}}}\left(k_{1}\left[e^{-ipx}u^{\sigma}_{A}(\mathbf p )\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p)\right]_{p^{2} = m_{1}^{2}} + k_{2}\left[e^{ipx}v^{\sigma}_{A}(\mathbf p )\hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p) \right]_{p^{2} = m_{2}^{2}}\right) $$.

Проте така можливість виключається, знову ж таки, виразом $$\ (3)$$: дійсно, при різних масах було б отримано (повністю повторюються викладки розділу про теорему Паулі) вираз

$$\ [\hat {\Psi}_{A}(x), \hat {\Psi}^{\dagger}_{B}(y)]_{\pm} = P_{AB}\left(i\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( D^{m_{1}}_{0}(x - y)\pm (-1)^{s}D^{m_{2}}_{0}(y - x)\right), \quad D^{m_{i}}_{0}(x - y) = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi )^{3}2p_{0}}e^{-ip(x - y)}, \quad p^{2} = m_{i}^{2} \qquad (4)$$.

Звідси видно, що вираз $$\ (4)$$ принципово може бути рівним нулю лише тоді, коли $$\ m_{1} = m_{2}$$.

Отже, частинки $$\ \hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )| \rangle, \hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )| \rangle$$ мають однакові масу, спін та статистику.

Заряди частинок.

Уже було написано, що частинка з точки зору симетрії характеризується прямим добутком незвідних представлень груп Пуанкаре та внутрішніх симетрій. Це означає, що вона характеризується не лише масою та спіном, а й квантовими числами, що відповідають внутрішнім симетріям. Їх називають зарядами.

Відповідно до цього, існує набір операторів $$\ \hat {Q}_{i}$$ таких, що $$\ [\hat {Q}_{i}, \hat {H}] = 0$$.

Нехай частинки $$\ \hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )$$ із деякою спіральністю відповідають індексу $$\ n_{\sigma}$$, а $$\ \hat {b}^{\dagger}(\mathbf p)$$ - $$\ n^{c}_{\sigma}$$. Наявність внутрішньої симетрії призводить до наявності у частинок заряду: для $$\ \hat {Q} | q \rangle = q| q \rangle$$ із комутації оператору заряду та гамільтоніану (звідси слідує, що фоківський базис може бути базисом для оператору заряду) слідує

$$\ \hat {a}^{\dagger}_{\sigma}\hat {Q} | q\rangle = q\hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p), \quad \hat {Q}\hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)| q\rangle = (q + q(n_{\sigma}))\hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p)| q\rangle $$,

звідки $$\ [\hat {Q}, \hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )] = q(n_{\sigma})\hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )$$.

Аналогічно, для оператору знищення можна отримати співвідношення $$\ [\hat {Q}, \hat {a}_{\sigma}(\mathbf p )] = -q(n_{\sigma})\hat {a}_{\sigma}(\mathbf p )$$.

З іншого боку, для забезпечення можливості комутації оператора заряду із гамільтоніаном, приймаючи до уваги, що гамільтоніан будується як поліном по полям, можна прийняти прості комутаційні співвідношення

$$\ [\hat {Q}, \hat {\Psi}_{A}(x)] = -q_{A}\hat {\Psi}_{A}(x), \quad [\hat {Q}, \hat {\Psi}^{\dagger}_{A}(x)] = q_{A}\hat {\Psi}^{\dagger}_{A}(x) \qquad (5)$$.

У результаті, $$\ \hat {Q}$$ буде комутувати із гамільтоніаном, якщо для кожного доданку гамільтоніану, що має вигляд $$\ \hat {\Psi}_{A_{1}}...\hat {\Psi}_{A_{N}}\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{1}}...\hat {\Psi}^{\dagger}_{B_{M}}$$,

буде виконуватись рівність

$$\ q_{A_{1}} + ... + q_{A_{N}} - q_{B_{1}} - ... - q_{B_{M}} = 0$$.

Але рівність $$\ (5)$$ може виконуватись лише тоді, коли поле $$\ \qquad (2)$$ має один і той же заряд для оператора $$\ \hat {a}_{\sigma}(\mathbf p), \hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p) $$. Це означає, що якщо частинка $$\ \hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )| \rangle$$ несе заряд $$\ q_{\sigma}$$, то частинка $$\ \hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )| \rangle$$ несе заряд $$\ -q_{\sigma}$$, тобто протилежний за знаком.

Частинки $$\ \hat {a}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )| \rangle, \hat {b}^{\dagger}_{\sigma}(\mathbf p )| \rangle$$ називаються античастинками по відношенню одна до одної.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$