Зв'язок полів та безмасових одночастинкових станів

Повернутися до розділу "Зв'язок між частинками та полями".

Відповідно до написаного вище, безмасові представлення групи Пуанкаре характеризуються власними значеннями оператора спіральності. Ці власні значення мають зміст проекцій спіну на напрямок руху (не варто забувати, що власне оператор Казиміра, що задає спінове число безмасового представлення, тотожно рівний нулю). Спіральність даного представлення є інваріантом перетворень групи Пуанкаре, тому поле, що реалізує таке представлення, має одну нетривіальну компоненту. Як і у випадку з масивними представленнями, можна побудувати незвідні представлення групи Пуанкаре на спін-тензорних представленнях виду $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$, $$\ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}$$. Умова незвідності, проте, буде реалізовуватися по-іншому.

Для безмасового представлення справедлива наступна теорема: симетричне окремо за точковими та неточковими індексами поле $$\ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}$$ реалізує безмасове незвідне представлення групи Пуанкаре зі спіральністю $$\ \lambda = \frac{n - m}{2}$$, якщо

$$\ \partial^{\dot {c} c}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0, \quad \partial^{\dot {c}c}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot c...\dot {b}_{m - 1}} = 0 \qquad (.10)$$.

Доведення можна провести наступним чином.

По-перше, варто зазначити, що умова $$\ \partial^{2}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0$$ є наслідком умов $$\ (.10)$$. Дійсно, наприклад, продиференціювавши першу умову, можна отримати

$$\ \partial_{a_{n}\dot {c}}\partial^{\dot {c}c}\psi_{ca_{1}...a_{n-1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}} = \partial_{\mu}\partial_{\nu}(\sigma^{\mu})_{a_{n}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\nu})^{\dot {c}c}\psi_{ca_{1}...a_{n-1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}} = |\partial_{\mu}\partial_{\nu}(\sigma^{\mu})_{a_{n}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\nu})^{\dot {c}c} = \frac{1}{2}\partial_{\mu }\partial_{\nu}(\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu} + \sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu})^{\quad c}_{a_{n}} = \frac{1}{2}g^{\mu \nu}\delta^{c}_{a_{n}}\partial_{\mu}\partial_{\nu}|= $$

$$\ = \partial^{2}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}} = 0$$.

Переписавши $$\ (.10)$$ у імпульсному вигляді, можна отримати

$$\ p^{\dot c c}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0, \quad p^{\dot {c} c}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot c...\dot {b}_{m - 1}} = 0 \qquad (.11)$$.

Спінорне представлення $$\ p^{\dot {c} c}$$ пов'язане з векторним $$\ p^{\mu}$$ як $$\ p^{\dot {c}c} = p^{\mu}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {c} c}$$, де $$\ p^{\mu }p_{\mu} = 0$$, як повинно бути для безмасових частинок. В силу коваріантності умов можна розглянути $$\ (.11)$$ відносно довільної системи відліку. Наприклад, можна вибрати систему відліку, для якої $$\ p^{\mu} = (E, 0, 0, -E)$$. Тоді відповідне спінорне представлення запишеться у вигляді

$$\ p^{\dot {c} c} = E\left( \hat {\mathbf E} - \tilde {\hat {\sigma}}_{3}\right) = E\left(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\right) = 2E \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad (.11)$$.

Це означає, що будь-яка компонента спін-тензора $$\ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}$$, яка має хоч один індекс $$\ 1$$, рівна нулю. Дійсно, вирази $$\ (.10)$$ при явному вигляді $$\ p^{\dot {c} c} (.11)$$ дають

$$\ 2E\psi_{1...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0, \quad 2E\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {1}...\dot {b}_{m - 1}} = 0$$.

Отже, існує єдина нетривіальна компонента $$\ \psi_{2_{1}...2_{n}\dot {2}_{1}...\dot {2}_{m}}$$, що відповідає незвідності представлення по спіральності.

Далі, умови $$\ (.10)$$ можуть бути представлені як

$$\ \partial^{\dot {c} c}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \varepsilon^{cd}\partial_{d}^{\quad \dot {c}}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \frac{1}{2}\varepsilon^{cd} \left( \partial_{d}^{\quad \dot {c}}\psi_{ca_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} - \partial_{c}^{\quad \dot {c}}\psi_{da_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}\right) = 0 $$,

$$\ p^{\dot {c} c}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot c...\dot {b}_{m - 1}} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\dot {c}\dot {d}} \left( \partial^{d}_{\quad \dot {d}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {c}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m - 1}} - \partial^{d}_{\quad \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {d}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m - 1}}\right) = 0$$,

де враховано, що $$\ \varepsilon^{cd}\partial_{c}^{\quad \dot {c}}\psi_{da_{1}...a_{n - 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = -p^{c \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot c...\dot {b}_{m - 1}}$$.

Далі, рівність $$\ \varepsilon^{ac}T_{ac} = 0$$ для згортки довільного спінорного тензора із антисиметричним тензором $$\ \varepsilon^{ac} $$ означає, що $$\ T_{ac} - T_{ca} = 0$$, що відповідає рівності нулю антисиметричної частини тензора. Тоді (індекси спінора похідної опущені)

$$\ \partial_{d \dot {d}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \partial_{a_{i}\dot {c}}\psi_{ca_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{i}...\dot {b}_{m}} \qquad (.12)$$,

$$\ \partial_{d \dot {d}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \partial_{d \dot {b}_{i}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{i}...\dot {b}_{m}} \qquad (.13)$$.

Тепер можна визначити зв'язок між діями операторів трансляцій та Любанського-Паулі для полів, на які накладено умови $$\ (.10)$$.

Відповідно до розділу "Оператори Казиміра спінорного представлення групи Лоренца" статті "КТП. Спінорний формалізм",

$$\ (J_{cd}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = -\frac{i}{2}\sum_{i = 1}^{n}\left( \varepsilon_{a_{i}c}\psi_{da_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}} + \varepsilon_{a_{i}d}\psi_{ca_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}}\right), \quad (J_{\dot {c} \dot {d}}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = 0 $$,

$$\ (J_{\dot {c}\dot {d}}\psi)_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{n}} = -\frac{i}{2}\sum_{i = 1}^{n}\left( \varepsilon_{\dot {a}_{i}\dot {c}}\psi_{\dot {d}\dot {a}_{1}...\tilde {\dot {a}}_{i}...\dot {a}_{n}} + \varepsilon_{\dot{a}_{i}\dot {d}}\psi_{\dot {c}\dot {a}_{1}...\tilde {\dot {a}}_{i}...\dot {a}_{n}}\right), \quad (J_{c d}\psi)_{\dot {a}_{1}...\dot {a}_{n}} = 0$$,

а тому

$$\ W_{c \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \left( \partial^{d}_{\quad \dot {c}}J_{cd} - \partial_{c}^{\quad \dot {d}} J_{\dot {c} \dot {d}}\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = $$

$$\ = \frac{i}{2}\left[ \partial^{d}_{\quad \dot {c}}\sum_{i = 1}^{n}(\varepsilon_{a_{i}c}\psi_{da_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} + \varepsilon_{a_{i}d}\psi_{ca_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}) - \partial_{c}^{\quad \dot {d}}\sum_{i = 1}^{m}(\varepsilon_{\dot {b}_{i}\dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {d}\dot {b}_{1}...\dot {\tilde b}_{i}...\dot {b}_{m}} + \varepsilon_{\dot {b}_{i}\dot {d} }\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {c}\dot {b}_{1}...\dot {\tilde b}_{i}...\dot {b}_{m}})\right] =$$

$$\ = \frac{i}{2}\left[ \sum_{i = 1}^{n}\partial_{a_{i} \dot {c}}\psi_{ca_{1}...\dot {\tilde a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} - \sum_{i = 1}^{m}\partial_{c \dot {b}_{i}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {c}\dot {b}_{1}...\dot {\tilde b}_{i}...\dot {b}_{m}} + \sum_{i = 1}^{n}\varepsilon_{a_{i}c}\partial^{d}_{\quad \dot {c}}\psi_{da_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} - \sum_{i = 1}^{m}\varepsilon_{\dot {b}_{i}\dot {c}}\partial_{c}^{\quad \dot {d}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {d}\dot {b}_{1}...\dot {\tilde b}_{i}...\dot {b}_{m}}\right] =$$

$$\ = \frac{i}{2}\left( \sum_{i = 1}^{n}\partial_{c \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} - \sum_{i = 1}^{m}\partial_{c c_{i}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}\right) = \frac{i}{2}(n - m)\partial_{c \dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = |i\partial_{c \dot c} = p_{c \dot {c}}| = \frac{n - m}{2}p_{c\dot {c}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}$$,

де у третій стрічці використані вирази $$\ (.10), (.12)-(.13)$$. Таким чином, показано, що на просторі полів $$\ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} \to \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$, на які накладені умови $$\ (.10)$$, реалізовується незвідне безмасове представлення групи Пуанкаре із спіральністю $$\ \lambda = \frac{n - m}{2}$$; поле має одну нетривіальну компоненту.

Відповідно до того, що кількість ненульових компонент рівна одиниці, цілі числа $$\ n, m$$ для довільного представлення можуть бути будь-якими. Це означає, що існує нескінченна кількість полів представлення $$\ \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$$, які реалізують дане представлення групи Пуанкаре.

Оператор зв'язку різних представлень однієї спіральності
Із попереднього підрозділу очевидно, що представлення $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right), \left(\frac{n + k}{2}, \frac{m + k}{2} \right)$$, що задовольняють рівнянням $$\ (10)$$, реалізують безмасове представлення групи Пуанкаре із однією і тією ж самою спіральністю $$\ \lambda = \frac{n - m}{2}$$. Виникає питання, чи є вони еквівалентні у тому сенсі, що являються пов'язаними через деякий оператор.

Такий оператор дійсно існує і має вигляд $$\ \Delta^{0}_{a \dot {b}} = \hat {p}^{\mu}(\sigma_{\mu})_{a \dot {b}}$$.

Нескладно переконатися, що добуток симетричного поля $$\ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}$$, що задовольняло рівнянням $$\ (10) $$, і оператора $$\ \Delta^{0}_{a \dot {b}}$$ дає нове симетричне поле виду $$\ \psi_{a_{1}...a_{n + 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m + 1}}$$, що також задовольняє $$\ (10)$$.

Дійсно, симетричність поля очевидна в силу його побудови, а задовільнення рівностей $$\ (10)$$ можна побачити із наступних викладок та рівності

$$\ \sigma_{\mu}\tilde {\sigma}_{\nu} = g_{\mu \nu} - i\varepsilon_{0 \mu \nu k}\sigma^{k} - \delta_{\mu 0}(\delta_{\nu 0} - \tilde {\sigma}_{\nu}) - \delta_{\nu 0}(\delta_{\mu 0} - {\sigma}_{\mu})$$:

$$\ \hat {p}^{\dot {c} a_{n + 1}}\psi_{a_{1}...a_{n + 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m + 1}} = \hat {p}^{\dot {c} a_{n + 1}}(\sigma^{\mu})_{a_{n + 1}\dot {b}_{m + 1}}\hat {p}_{\mu}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = \hat {p}_{\mu}\hat {p}_{\alpha} (\tilde {\sigma}^{\alpha})^{\dot {c} a_{n + 1}}(\sigma^{\mu})_{a_{n + 1}\dot {b}_{m + 1}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = $$

$$\ = \hat {p}_{\mu}\hat {p}_{\alpha}\left( g^{\mu \alpha} - i\varepsilon^{0 \alpha \mu k}\sigma_{k} - \delta^{\mu 0}(\delta^{\nu 0} - \tilde {\sigma}^{\alpha}) - \delta^{\alpha 0}(\delta^{\mu 0} - \sigma^{\mu})\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = |\hat {p}^{2} = 0, \hat {p}_{\mu}\hat {p}_{\alpha}\varepsilon^{0 \mu \alpha k} = 0| = \left( \hat {p}_{0}(\hat {p}^{\mu}\sigma_{\mu} - \hat {p}_{0}) + \hat {p}_{0}(\hat {p}^{\mu}\tilde {\sigma}_{\mu} - \hat {p}_{0})\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = $$

$$\ = (-2\hat {p}_{0}^{2} + \hat {p}_{0}\hat {p}^{\mu}(\sigma_{\mu} + \tilde {\sigma}_{\mu}))\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = |\sigma_{\mu} + \tilde {\sigma}_{\mu} = (2\sigma_{0}, 0)| = (-2\hat {p}_{0}^{2} + 2\hat {p}_{0}^{2})\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = 0$$.

Абсолютно аналогічно доводиться друга рівність $$\ (10)$$.

Наявність вказаного оператора остаточно дозволяє обирати найбільш зручне представлення. Найчастіше такими являються представлення виду $$\ \left( \lambda, 0 \right), \left( 0, \lambda \right)$$, оскільки для їх реалізації потрібне лише одне з рівнянь $$\ (10)$$.

Частинні випадки
Скалярне безмасове поле, якому відповідає спіральність 0, може бути реалізоване скалярним полем $$\ \varphi$$ та полем $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{n}{2}\right)$$.

Представленню спіральності $$\ \lambda = \frac{1}{2}$$ відповідає поле $$\ \left( \frac{n + 1}{2}, \frac{n}{2}\right) \to \psi_{a_{1}...a_{n + 1}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}}$$, а представленню $$\ -\frac{1}{2}$$ - $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{n + 1}{2}\right)$$. Наприклад, для $$\ \left( \frac{1}{2}, 0\right)$$ умовами незвідності $$\ (.10)$$ є $$\ \partial^{a \dot a}\psi_{a} = 0$$, а для "протилежного" представлення $$\ \left( 0, \frac{1}{2} \right)$$ - $$\ \partial^{a \dot a}\psi_{\dot {a}} = 0$$.

Представленню спіральності $$\ \lambda = 1$$ у частинному випадку $$\ (1, 0)$$ відповідає тензор $$\ F_{ab}, \partial^{a \dot {a}}F_{ab} = 0$$, представленню $$\ (0, 1)$$ відповідає $$\ F_{\dot {a}\dot {b}}, \partial^{b \dot {b}}F_{\dot {a}\dot {b}} = 0$$.

Згадуючи із розділу про антисиметричний тензор, що антисиметричному 4-тензору $$\ F_{\mu \nu}$$ можна співставити тензор

$$\ F_{\mu \nu} = \frac{1}{2}(\sigma^{\mu \nu} )^{ab}F_{ab} - \frac{1}{2}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})^{\dot {a}\dot {b}}F_{\dot {a}\dot {b}}, \quad F_{ab} = (\sigma^{\mu \nu})^{ab}F_{\mu \nu}, \quad F_{\dot {a}\dot {b}} = (\sigma^{\mu \nu})^{\dot {a} \dot {b}}F_{\mu \nu}$$,

можна побудувати представлення спіральності 1. Як буде показано у наступному розділі, таке представлення будується для електромагнітного поля.

Також у відповідному розділі буде побудоване рівняння для безмасового поля спіну 2, яке виявляється тензором Вейля. Йому відповідає лінеаризована ЗТВ.