Стандартна модель та баріогенезис

Повернутися до розділу "Стандартна модель".

Проблема баріогенезису
Проблема баріогенезису - необхідність пояснення домінування матерії у Всесвіті. Кількісною величиною, що описує асиметрію матерія-антиматерія у видимому Всесвіті, є відношення густини баріонів (визначається вимірюваннями концентрацій легких ядер, що утворилися під час первинного нуклеосинтезу) до густини фотонів (дається виразом для розподілу Планка при температурі космічного мікрохвильового фону):

$$\ \eta_{B} = \frac{n_{B}}{n_{\gamma}} \sim 10^{-9} \qquad (0)$$.

Треба пояснити дві речі: чому ця величина така мала і чому вона все ж не рівна нулю. Модель, яка б пояснювала $$\ (0)$$, повинна задовольняти наступним умовам (їх називають умовами Сахарова):

1. Порушення закону збереження баріонного числа (різниці чисел баріонів та антибаріонів) під час ранніх етапів життя Всесвіту. Ця очевидна умова слідує із наступних міркувань: якщо підстроювати початкові умови у Всесвіті під співвідношення $$\ (0)$$, задаючи початкову баріон-баріонну асиметрію, стадія інфляції розмиє ці початкові умови так, що асиметрією можна буде знехтувати. Тому для того, щоб асиметрія з'явилась, треба, щоб існувала порушуюча закон збереження баріонного числа взаємодія, яка була значною для ранніх етапів життя Всесвіту.

Інфляційне розмивання до речі, являється сильним контраргументом для планківського баріогенезису. Навіть якщо баріогенезис і відбувався на планківських енергіях, інфляція все одно розмила б асиметрію до нульового рівня.

2. Порушення CP-парності. Дійсно, якщо ця парність не буде порушуватися, то інтенсивність реакцій по народженню "надлишкової" матерії буде в точності компенсуватися інтенсивністю реакцій по народженню антиматерії.

3. Відсутність термодинамічної рівноваги; іншими словами, існування виділеного напряму часу. Дійсно, при термодинамічній рівновазі через $$\ CPT$$-теорему середнє від баріонного числа дорівнює нулю. Дійсно, дія на оператор баріонного числа $$\ \hat{B} = n_{b} - n_{\bar{b}}$$ оператора CPT-перетворення дає $$\ CPT \hat{B} CPT^{-1} = -\hat{B}$$ (CPT змінює число частинок на число античастинок). Далі, при тепловій рівновазі середнє значення цього оператора дорівнює $$\ \langle \hat{B} \rangle = tr[e^{-\beta \hat{H}}\hat{B}]$$. В силу CPT-теореми $$\ [H, CPT] = 0$$. Тоді

$$\ \langle \hat{B} \rangle = tr[e^{-\beta \hat{H}}\hat{B}CPT^{-1}CPT] = tr[CPT e^{-\beta \hat{H}}\hat{B}CPT^{-1}] = tr[CPTe^{-\beta \hat{H}}CPT^{-1} CPT \hat{B}CPT^{-1}] = -\langle \hat{B}\rangle$$,

звідки слідує, що $$\ \langle \hat{B}\rangle = 0$$. Тому необхідна відсутність термодинамічної рівноваги.

Стандартна модель на класичному рівні зберігає баріонне число. У її лагранжіані відсутні оператори, які призводили б до порушення баріонного числа. Можна, втім, виписати (із врахуванням усіх необхідних симетрій Стандартної моделі - Пуанкаре-, калібрувальних...) нові оператори, які б порушували відповідний закон збереження. Типовими операторами є оператори розмірностей п'ять та шість (тощо). Оператори розмірності п'ять асоціюються із порушенням збереження лептонного числа (наприклад, введення механізму генерування мас нейтрино за допомогою введення майоранівських нейтрино призводить до появи ефективного доданку розмірності п'ять, який порушує закон збереження лептонного числа), а оператори розмірності шість явним чином порушують закон збереження баріонного числа. Ці доданки пригнічені розмірними константами, які мають дуже великий масштаб (типово - від $$\ 10^{11}$$ ГеВ) і пов'язані із "новою фізикою" - існуванням важких частинок, ступені вільності яких ефективно інтегруються при малих енергіях. Моделі частинок досить суттєво обмежені різними космологічними результатами. Наприклад, моделлю первинного нуклеосинтезу дуже точно визначені нейтрон-протонне співвідношення, співвідношення гелій-протон тощо. Наймаліші зміни умов під час первинного нуклеосинтезу призводять до порушення цих співвідношень. Схематично ця модель накладає такі обмеження: обмеження на концентрацію нових релятивістських частинок при температурах порядка 1 МеВу, неможливість розпаду під час первинного нуклеосинтезу "нових" частинок (це супроводжувалося б випроміненням фотонів, які б зміщували момент настання теплової рівноваги і порушували б протон-нейтронне співвідношення), неможливість продукції "зайвої" ентропії цими новими частинками (оскільки інакше змінилася температура нуклеосинтезу, що призвело б до зміни концентрації гелію-4).

На квантовому рівні у Стандартній моделі, втім, закони збереження баріонного (і лептонних) чисел порушуються завдяки тунелюванню між вакуумами завдяки вакуумним топологічним конфігураціям - інстантонам. CP-інваріантність порушується фазами СКМ-матриці, а відходження від механізму теплової рівноваги могло б реалізовуватися внаслідок електрослабкого фазового переходу. Аналізу цієї можливості присвячені підрозділи нижче.

Інстантони заборонені у електрослабкій теорії, проте дозволені інстантоноподібні конфігурації
Як було показано у статті про інстантони, права частина аномального закону збереження струмів не дорівнює нулю на конфігураціях у евклідовому часі, що називаються інстантонами. Варто сказати, втім, що чисто інстантонні конфігурації у електрослабкій теорії заборонені.

При наявності ненульових вакуумних середніх скалярних полів для розмірності простору-часу $$\ d = 4$$ інстантонні конфігурації заборонені. Це можна побачити із наступних міркувань. Дія для калібрувальних полів та скалярного поля, $$\ S = \int d^{4}x \left( \frac{1}{2 g^{2}}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} + |D_{\mu}\varphi|^{2} - V(\varphi )\right)$$, у калібруванні $$\ A_{0} = 0$$ при умовах $$\ F_{0i} = 0, D_{0}\varphi = 0$$ дає енергію

$$\ E = \int d^{4}\mathbf x \left( -\frac{1}{2g^{2}}F^{a}_{ij}F^{ij}_{a} + |D_{i}\varphi|^{2} + V(\varphi )\right) \qquad (4)$$.

Перетворення скалярних та векторних полів $$\ \varphi_{\lambda} (x) = \varphi (\lambda x)$$ із варіацією $$\ \delta \varphi = \varphi_{\lambda}(x) - \varphi (x)$$, яка прямує до нуля на просторовій нескінченності (дійсно, на нескінченності $$\ \varphi (x) \to 0$$ для забезпечення скінченності дії), дає функціонал енергії як $$\ E_{\lambda} \equiv E[\varphi_{\lambda} ]$$, причому він має екстремум при $$\ \lambda = 1$$, $$\ \left(\frac{\partial E_{\lambda}}{\partial \lambda}\right)_{\lambda = 1} = 0$$. Однорідне перетворення тензорів $$\ D_{\mu}\varphi, F_{\mu \nu}$$ призводить до виду масштабних перетворень $$\ A_{\mu}$$ як $$\ A_{\mu}(x) \to \lambda A_{\mu}(\lambda x)$$ (у тензорі та коваріантній похідній також наявна похідна, яка перетворюється як $$\ \partial_{i} \to \lambda\partial_{i}$$. У результаті, екстремум енергії $$\ (4)$$ дає умову

$$\ -2 \Gamma - 4 \Pi = 0, \quad \Gamma = \int d^{4}x (D\varphi )^{2}, \quad \Pi = \int d^{4}xV(\varphi )$$.

Звідси слідує, що вакуумні значення скалярних полів мають бути рівними нулю. У результаті нетривіальні статичні конфігурації заборонені. Проте можуть існувати інстантоноподібні конфігурації, оскільки для малих розмірів інстантонів $$\ \rho $$ вклад хіггсівського поля у дію малий у порівнянні із вкладом калібрувальних полів (головний член вкладу хіггсівських полів у дію пропорційний $$\ \rho^{2} $$).

Інстантони та незбереження баріонного числа
Як же інстантони зумовлюють незбереження баріонного числа? Для цього достатньо згадати аномалії. Баріонне число на класичному рівні зберігається внаслідок існування інваріантності лагранжіану відносно перетворення $$\ u, d \to e^{iQ_{b}\alpha}u, e^{iQ_{b}\alpha}d$$, де $$\ Q_{b} = \frac{1}{3}$$ відповідає баріонним числам кварків. Оскільки перетворення - некіральне, то баріонні числа лівих кварків дорівнюють баріонним числам правих кварків. Струм, що відповідає даному глобальному перетворенню, має вигляд $$\ J_{\mu} = \frac{1}{3}\left(\bar{u}\gamma_{\mu}u + \bar{d}\gamma_{\mu}d + ... \right)$$. Здавалося б, закон збереження цього струму не порушується аномаліями, оскільки струм являється чисто векторним. Проте в силу того, що електрослабка взаємодія є кіральною, із $$\ W-$$бозонами взаємодіє лише ліва частина чого струму. Нагадаю, коефіцієнт при аномалії дорівнює нулю, якщо нулю дорівнює коефіцієнт $$\ d_{abc} = Trстаттю про аномалії), де в даному випадку $$\ t_{a, b}$$ - генератори групи $$\ SU_{L}(2)$$, а $$\ T_{c} = Q_{b}\hat{I}$$ - генератор групи симетрії баріонного заряду. В силу того, що $$\ SU_{L}(2)-$$поля взаємодіють лише з лівими ферміонами, аномальний закон збереження баріонного струму має вигляд

$$\ \partial_{\mu}J^{\mu}_{B} = \frac{g_{EW}^{2}}{64 \pi^{2}}Tr[[t_{a},t_{b}]_{+}T_{c}]F^{a} \wedge F^{b} \equiv Tr[[t_{a},t_{b}]_{+}T_{c}]^{L}F^{a} \wedge F^{b} = \left| [t_{a}, t_{b}]_{+} = \frac{1}{2} \delta_{ab}\right| = \frac{g_{EW}^{2}}{64 \pi^{2}} F^{a} \wedge F^{a}\sum_{\text{left}}Q_{B} = \frac{N_{c}g_{EW}^{2}}{32 \pi^{2}} \times F^{a}\wedge F^{a}$$.

Всі інші аномалії, окрім електрослабкої, дають нульовий вклад через те, що відповідають некіральним взаємодіям.

Повністю аналогічна ситуація складається із лептонним струмом:

$$\ \sum_{l}\partial_{\mu}J^{\mu}_{l} = \frac{3}{32 \pi^{2}}F \wedge F$$.

Вираз $$\ F \wedge F$$ можна подати як 4-дивергенція від топологічного струму Черна-Саймонса, і він є ненульовим як раз через інстантонні конфігурації.

При нульових температурах, як показано у розділі про інстантони, внесок топологічних конфігурацій при нульових температурах пропорційний виразу $$\ e^{-\frac{2 \pi}{\alpha_{W}}} \approx 10^{-65}$$. Такий фактор є нехтовно малим, і здавалося б, що такий варіант порушення баріонного та лептонних чисел занадто малий. Проте виявляється, що існують інстантоноподібні конфігурації - так звані сфалерони. Вони відповідають топологічним конфігураціям у евклідовому просторі-часі, які мають енергію, що відповідає висоті бар'єрів, які розділяють топологічні вакууми. Ця енергія, як можна показати, має порядок $$\ E_{sph} \sim \frac{m_{W}}{g_{W}^{2}}$$ ($$\ \alpha_{W} = \frac{g_{W}^{2}}{4 \pi}$$). Можна показати, що ширина сфалеронного переходу в одиницю часу і одиницю об'єму дається виразом

$$\ \Gamma_{sph} = T^{4}e^{-\frac{E_{sph}}{T}}$$.

Фазові переходи. Електрослабкий фазовий перехід
При ненульовій температурі у КТП замість стандартного вакуумного середнього $$\ \langle |... |\rangle_{T = 0}$$ використовується термодинамічне середнє $$\ \langle |...|\rangle_{T \neq 0} \equiv Tr[\langle| e^{\frac{\Omega + \hat{H} - \mu \hat{N}}{T}}... |\rangle]$$; тут $$\ \Omega = -T ln Tr\left[ e^{\frac{-\hat{H} + \mu \hat{N}}{T}}\right]$$ - великий термодинамічний потенціал, яким визначається рівноважний стан системи при змінному числу частинок (ненульовому хім. потенціалі), знак $$\ Tr[...]$$ означає усереднення по різним станам із ненульовою енергією. У всіх інтегралах і операторах під знаком усереднення здійснений перехід від дійсного часу до уявного, $$\ t \to i\tau$$, і ведеться інтегрування по часу не в нескінченних межах, а в межах $$\ \left( -\frac{1}{T}, \frac{1}{T}\right)$$. Такий формалізм, названий формалізмом Мацубари, відповідає відповідності оператору еволюції статистичному розподілу Гіббса при формальній заміні $$\ t \to -\frac{i}{T}$$.

При ненульових температурах спонтанно порушені симетрії можуть відновлюватися. Основна причина в тому, что при ненульових температурах істинним станом є не стан із мінімумом внутрішньої енергії, а стан із максимумом ентропії, або, що еквівалентно, із мінімумом вільного термодинамічного потенціалу. Термодинамічний потенціал скалярного поля є функцією від температури, і в залежності від величини температури як параметру він може мати мінімум при нульовому значенні поля, а може - при ненульовому. Якщо ненульових значень поля, при яких потенціал має мінімум, декілька, і він інваріантний відносно перетворення, що переводить одне таке значення поля у інше, то відбувається спонтанне порушення симетрії - фізичний стан реалізується при конкретному значенні скалярного поля і є неінваріантним відносно заміни мінімумів. Це все разом означає дві речі: по-перше, середнє скалярного поля, що визначає мінімум термодинамічного потенціалу, змінюється разом із температурою, $$\ \langle \varphi \rangle \equiv v = v(T)$$; по-друге, при деякій температурі $$\ T = T_{c}$$, що називається критичною, відбувається так званий фазовий перехід, при якому відновлюється симетрія. Перехід супроводжується "скочуванням" потенціалу в утворений мінімум і може бути неперервним чи різким - відповідно, другого чи першого роду. Якісно їх можна описати наступним чином.

При переході першого роду стан із нульовим значенням вакуумного середнього скалярного поля є метастабільним. У результаті фазовий перехід виникає спонтанно у різних областях простору і різних температурах, що нижчі за критичну. Це описують як виникнення областей із спонтанно порушеною симетрією - пузирів. При цьому їх утворення зумовлюється температурними флуктуаціями чи тунелюванням. Пузирі ростуть та зливаються, і в результаті фазовий перехід завершується.

При переході другого роду поле починає переходити у стан мінімуму неперервно у всьому просторі. При цьому мінімізація потенціалу фіксує абсолютне значення скалярного поля, в той час як фаза залишається нефіксованою. При низьких температурах мінімум потенціалу відповідає постійній фазі (інакше виникав би суто додатній градієнтний член), проте після фазового переходу фаза буде змінюватися у просторі. Розмір ділянок із постійною фазою визначається так званою кореляційною довжиною - відстанню, на якій фази ще "відчувають" одна одну. У термодинаміці у точці переходу ця довжина стає сингулярною, проте у космології вона обмежена згори розмірами області, обмеженої причинним горизонтом подій.

Виявляється, що у Стандартній моделі реалізується саме така ситуація. Для демонстрації цього спершу використали три спрощення:

По-перше, можна взяти випадок високих температур, $$\ T > 1$$ GeV. При цьому можна вважати взаємодії між частинками доволі малими; це означає, що квазірівноважний розподіл у локальній системі координат для частинок у головному порядку малості (по константам взаємодії) буде відповідати фермі- чи бозе-розподілам: $$\ f_{\pm}(E) = \frac{(2 \pi )^{-3}}{e^{\frac{E-\mu}{T}} \pm 1}$$.

По-друге, при вказаних температурах можна знехтувати хімічними потенціалами полів та частинок Стандартної моделі. Дійсно, при $$\ T \sim $$ GeV різниця кварків-антикварків описується співвідношенням $$\ \frac{n_{p} - n_{\bar{p}}}{n_{\gamma}} \sim 10^{-10}$$ (якщо "прокручувати" це співвідношення назад у часі, воно буде дещо збільшуватися через зменшення об'єму Всесвіту; "перед" баріогенезисом же воно стає рівним нулю). Аналогічне співвідношення є справедливим і для лептонів, оскільки Всесвіт є нейтральним. Оскільки $$\ n_{p} = \int d^{3}\mathbf p f(E(p))$$, а хім. потенціал частинки дорівнює хім. потенціалу античастинки з оберненим знаком, то різниця $$\ n_{p} - n_{\bar{p}}$$ в головному порядку малості по $$\ \mu $$ буде пропорційна його першій степені (якщо знехтувати одиницею у розподілах Фермі та Бозе). Звідси і з обмеження на співвідношення $$\ \frac{n_{p} - n_{\bar{p}}}{n_{\gamma}}$$ і слідує твердження. Це означає, що великий термодинамічний потенціал редукується до вільної енергії (їх повні диференціали співпадають).

Нарешті, за аналогією до міркувань у розділі про спонтанне порушення симетрії, можна замінити квантову ефективну дію Стандартної моделі на її усереднений аналог, при якому поля не залежать від координат. Відповідно, $$\ \Gamma [\psi] \approx V_{4}V_{eff}[\psi_{0} ] \to \frac{1}{T}V_{3}V_{eff}[\psi_{0}]$$, де $$\ V_{eff}[\psi_{0}]$$ - ефективний потенціал (він введений у статті про спонтанне порушення симетрії), а перехід від чотиривимірного об'єму $$\ V_{4}$$ до тривимірного $$\ V_{3}$$ здійснено за допомогою мацубарівської заміни $$\ t \to -\frac{1}{T}$$. Далі, в силу відповідності квантової ефективної дії при $$ T = 0$$ середньому значенню гамільтоніану $$\ \langle H\rangle$$ є справедливим перехід $$\ \Gamma [\psi ] = \frac{1}{T}F[\psi ]$$, де $$\ F[\psi ]$$ - вільна енергія.

Тепер можна приступити до обчислень вільної енергії у наближенні відсутності взаємодії. При цьому вільна енергія Стандартної моделі складається із вкладу хіггсівського поля із лагранжіаном $$\ L = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\varphi)^{2} - V(\varphi )$$ та вкладів усіх частинок Стандартної моделі. Вираз для вільної енергії, $$\ F = E - TS = V_{3}(\rho - Ts)$$, можна спростити: з $$\ dE = d(\rho V_{3}) = TdS - pdV_{3} = Td(sV_{3}) - pdV_{3}$$ слідує, що $$\ s = \frac{p + \rho }{T}$$, звідки $$\ f = V_{3}f = V_{3}(\rho - Ts) = -V_{3}p$$.

Обчислюючи тиск бозону Хіггса та інших частинок Стандартної моделі (тиск бозону Хіггса - через лагранжіан, тиск частинок Стандартної моделі - через рівноважні функції розподілу, розкладаючи відповідні інтеграли в ряд по параметру $$\ \frac{m_{p}}{\varphi }$$), можна отримати вираз для вільної енергії, побачити його поведінку у залежності від значення температури та визначити тип фазового переходу - перший чи другий. Перший тип не є, у загальному випадку, адіабатним процесом; під час нього у системі внаслідок теплових флуктуацій утворюються пузирі, всередині яких система знаходиться у рівновазі, а потім вони об'єднуються; після об'єднання пузирів встановлюється рівноважний стан. Тому темп сфалеронних переходів повинен бути значно меншим, ніж темп розширення Всесвіту.

При переході же другого типу відхилення від стану рівноваги малі, тому для баріогенезису такий сценарій порушення рівноваги не спрацював би.

У дійсності ж не можна використовувати перше припущення. Це пов'язано із тим, що ефективні константи зв'язку при ненульовій температурі відповідають величинам $$\ g_{p}\frac{T}{\varphi}$$, де $$\ \varphi (T)$$ - вакуумне середнє хіггсівського поля. В області поблизу фазового переходу це середнє дорівнює нулю; відповідно, при пертурбативному розкладу виникає неаналітичність у інфракрасній области енергій, і для будь-яких кількісних передбачень треба проводити непертурбативний аналіз.

Вираз для ефективної константи зв'язку можна отримати наступним чином. Маючи повну дію Стандартної моделі, треба проінтегрувати за бозонами та ферміонами, щоб отримати ефективну дію, та перейти до ліміту малих енергій. При цьому можна одразу відкинути із розгляду ферміони. Дійсно, при переході у імпульсний простір для випадку ненульових температур межі інтегрування за часовою компонентою будуть не нескінченні, а $$\ \left|\frac{1}{T}\right|$$. Це означає, що частотний спектр полів буде дискретним. При цьому для бозонів він дорівнює $$\ w_{n} = 2 \pi nT$$, а для ферміонів - $$\ w_{n} = (2n + 1)\pi T$$ (із початкового загального випадку $$\ w_{n} = \pi n T$$ для бозонів та ферміонів перехід у імпульсне представлення функцій Гріна вирізає певні частоти; наприклад, при парних значеннях $$\ n$$ тотожньо рівна нулю функція Гріна для ферміонів). Це означає, що у ферміонів не може бути нульової енергії, а ненульові значення пропорційні $$\ T$$, що виводить за межі інфрачервоного наближення.

Отже,

$$\ e^{-\frac{V_{eff}[\varphi ]}{T}} = \int DA_{\mu}e^{S[A, \varphi ]}, \quad S[A, \varphi] = \int \limits_{0}^{\frac{1}{T}} d\tau\int d^{3}\mathbf r \left(\frac{1}{4}F^{ij}_{a}F_{ij}^{a} + \frac{M^{2}[\varphi ]_{ab}}{2}A_{i}^{a}A^{i}_{b} \right) \qquad (3)$$,

де всі вирази записані у евклідовому часі. Розкладаючи поля $$\ A_{\mu}(\mathbf r, t)$$ в дискретний ряд Фур'є по частотам,

$$\ A_{\mu}(\mathbf r, t) = \sqrt{T}a_{\mu}^{0}(\mathbf r) + \sum_{n = 1}\sqrt{T}a_{\mu}^{n}(\mathbf r)e^{iw_{n}t}$$,

і переписуючи дію в термінах фур'є-амплітуд $$\ a_{\mu}$$, можна побачити, що у дії з'являються масові доданки для $$\ a_{0}^{0}, a_{0}^{n}, a_{i}^{n}$$, причому маси пропорційні частотам чи квадратам частот $$\ \omega_{n} \sim T$$. Маса відсутня лише для $$\ a_{i}^{0}$$. Відповідно, дія $$\ S[A, \varphi ]$$ виразу $$\ (3)$$ редукується до

$$\ S[A, \varphi ] = \int d^{3}\mathbf r\left( \frac{1}{4}f_{ij}^{b}f_{ij}^{n} + \frac{1}{2}M^{2}(\varphi )a_{i}^{b}a_{i}^{b}\right), \quad f_{ij}^{b} = \partial_{[i}a_{j]}^{b} - ig\sqrt{T}f_{abc}a_{i}^{a}a_{j}^{c}$$,

де фактор $$\ \sqrt{T}$$ виник через його наявність у фур'є-розкладі. Звідси слідує, що замість константи $$\ g$$ з'являється константа $$\ \sqrt{T}g $$, і в результаті ефективна дія, що породжується діаграмами порядку $$\ n$$, дає члени порядку $$\ T^{-1} V_{eff} \sim \frac{g_{n}^{2(n - 1)}}{M^{n - 4}(\varphi )} = M^{3}\left(\frac{Tg^{2}}{M(\varphi )} \right)^{n}$$. Відповідно, константою зв'язку є $$\ \frac{Tg^{2}}{M (\varphi )}$$.

Були проведені обережні непертурбативні обчислення на гратці, які показали, що у Стандартній моделі (із масою бозону Хіггса у 125 ГеВ) ефективна дія для фазового переходу дає фазовий перехід другого роду (так званий кросовер), який не утворює необхідне для баріогенезису порушення термодинамічної рівноваги.