Приєднані представлення, прості та компактні алгебри

Приєднане представлення групи
Як відомо з попереднього розділу, генератори $$\ t_{a}$$ деякої групи разом із відповідними структурними константами $$\ C^{a}_{bc}$$ задовольняють наступним виразам:

$$\ [t_{a}, t_{b}] = iC^{c}_{ab}t_{c}, \quad C^{c}_{ab} = -C^{c}_{ba}, \quad C^{d}_{ab}C^{e}_{dc} + C^{d}_{ca}C^{e}_{db} + C^{d}_{bc}C^{e}_{da} = 0$$.

За умов задовільнення цих рівностей можна вибрати нові генератори за формулами

$$\ (t^{A}_{a})^{b}_{\ c} = -iC^{b}_{ac}, \quad [t^{A}_{a}, t^{A}_{b}] = iC^{c}_{ab}t^{A}_{c}$$.

Відповідне представлення алгебри Лі називається приєднаним представленням. Виявляється, що приєднані представлення грають велику роль у фізиці: неабелеві калібрувальні поля (W-, Z-бозони, глюони) відповідають саме приєднаним представленням групи. Дещо забігаючи наперед, це можна продемонструвати.

Нехай є лагранжіан деяких полів, $$\ L = L(\psi, \partial_{\mu} \psi ) , \quad \partial_{\mu} = \frac{\partial }{\partial x^{\mu}}$$, причому він є інваріантним відносно інфінітезимального глобального (у сенсі незалежності $$\ \varepsilon $$ від координат) перетворення деякої групи $$\ \delta \psi_{a} = i\varepsilon^{j} (t_{j})_{a}^{b}\psi_{b}$$. Якщо зробити перетворення локальним, $$\ \varepsilon = \varepsilon (x)$$, то доданки у лагранжіані із похідними, $$\ \partial_{\mu} \psi$$, будуть порушувати інваріантність лагранжіану. Для того, щоб відновити інваріантність лагранжіану, можна модифікувати похідну наступним чином:

$$\ \partial_{\mu}\psi_{l} \to D_{\mu}\psi_{l} = \partial_{\mu}\psi_{l} - iA^{b}_{\mu}(t_{b})_{l}^{m}\psi_{m}$$,

причому поле $$\ A_{\mu}^{a}$$ перетворюється за приєднаним представленням: $$\ \delta A_{\mu}^{a} = \partial_{\mu}\varepsilon^{a} + C^{a}_{bc}\varepsilon^{b}A^{c}_{\mu}$$. Дійсно, зміна коваріантної похідної тоді дається виразом

$$\ \delta (D_{\mu}\psi) = i\varepsilon^{a}(t_{a})_{m}^{\ l}\partial_{\mu}\psi_{l} - iC^{b}_{ca}\varepsilon^{a}A^{c}_{\mu}(t_{b})_{m}^{\ l}\psi_{l} + \varepsilon^{a}A^{c}_{\mu}(t_{c})_{m}^{k}(t_{a})_{k}^{l}\psi_{l} = \left| t_{c}t_{a} = t_{a}t_{c} + iC^{d}_{ca}t_{d}\right| = \varepsilon^{a}(t_{a})_{m}^{l}(D_{\mu}\psi)_{l}$$,

тобто, коваріантна похідна від поля перетворюється при групових перетвореннях таким же самим чином, як і саме поле, а отже, лагранжіан лишається інваріантним.

Прості алгебри
Розпочнемо із визначень.

Підалгебра $$\ H$$ алгебри Лі $$\ L$$ являється лінійним простором, натягнутим на визначені дійсні лінійні комбінації $$\ t_{i} = L_{i a}t^{a} $$ генераторів $$\ t_{a}$$ алгебри $$\ L$$, таким, що $$\ H$$ є також алгеброю Лі у тому сенсі, що $$\ [t_{i},t_{j}] = ic^{k}_{ij}t_{k}$$. Підалгебра $$\ H$$ являється інваріантною, якщо комутатор будь-якого елементу $$\ L$$ знову належить $$\ H$$. Підалгебра $$\ H$$ називається простою, якщо вона не містить інваріантних підалгебр. Напівпроста алгебра Лі не містить інваріантних підалгебр, генератори яких комутують один із одним. Тобто, вони є прямими сумами простих (проте не $$\ U(1)$$) алгебр Лі. Алгебра Лі називається компактною, якщо матриця $$\ tr(t_{a}^{A}t^{A}_{b}) = -C^{c}_{ad}C^{d}_{bc}$$ являється додатньо визначеною. Якщо дана алгебра Лі $$\ L$$ являється прямою сумою підалгебр $$\ H_{n}$$, то можна знайти такий базис у $$\ L$$ із генераторами $$\ t_{na}$$, що $$\ C^{lc}_{na, mb} = \delta_{lm}\delta_{mn}C^{(n)c}_{ab}$$, де $$\ C^{(n)c}_{ab}$$ - структурні константи підалгебри $$\ H_{n}$$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Перед тим, як перейти до розгляду понять простої та компактної груп, варто зробити відступ, що стосується важливості їх розгляду для калібрувальних теорій. Як буде показано у розділі про калібрувальні теорії, лагранжіан вільного калібрувального поля, що реалізує приєднане представлення групи $$\ SU(n)$$, має вигляд

$$\ L_{free} = -\frac{g_{ab}}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{b}, \quad F_{\mu \nu}^{a} = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} + C^{a}_{cb}A_{\mu}^{c}A_{\nu}^{b}$$.

Цей тензор перетворюється як $$\ \delta F_{\mu \nu}^{a} = \varepsilon^{c}C^{a}_{bc}F_{\mu \nu}^{b}$$ (для демонстрації цього вираз за посиланням треба розкласти, $$\ U^{c}_{b} \approx \delta^{c}_{b} + \varepsilon^{a}(t_{a})^{c}_{b}$$). Тоді умовою калібрувальної інваріантності лагранжіану є

$$\ \delta L = \frac{\partial L}{\partial F_{\mu \nu}^{a}}\varepsilon^{c}C^{a}_{bc}F_{\mu \nu}^{b} = 0 \Rightarrow g_{ad}C^{d}_{bc}F^{\mu \nu}_{a}F_{\mu \nu}^{b} = 0$$.

Для цього матриця $$\ g_{ab}$$ має задовільняти співвідношенню

$$\ g_{ad}C^{d}_{bc} = -g_{bd}C^{b}_{ac} \qquad (1)$$.

Окрім того, умова додатності квантовомеханічного скалярного добутку потребує, щоб $$\ g_{ab}$$ була додатньо визначеною.

Виявляється, що існування додатньо визначеної матриці, що задовльняє умові $$\ g_{ad}C^{d}_{bc} = -g_{bd}C^{b}_{ac}$$, має також наслідками наступні твердження: існує базис даної алгебри Лі, у якому структурні константи антисиметричні за усіма трьома індексами; дана алгебра Лі являється прямою сумою комутуючих компактних простих та $$\ u(1)$$ підалгебр. Більше того, ці твердження є еквівалентними.

Це можна довести, показавши, що із першого твердження слідує друге, із другого - третє, а з третього - перше. Дійсно, нехай є вірним перше твердження. За умови цього можна визначити нові генератори за виразом $$\ \tilde{t}_{a} = (g_{ab})^{-\frac{1}{2}}t_{b}$$. Тоді комутатори генераторів будуть мати вигляд

$$\ [\tilde{t}_{a}, \tilde{t}_{b}] = i\tilde{C}_{abc}\tilde{t}^{c}, \quad \tilde{C}_{abc} = (g)^{-\frac{1}{2}}_{aa'}(g)^{-\frac{1}{2}}_{bb'}(g)^{\frac{1}{2}}_{cc'}C^{c'}_{a'b'}$$.

Тоді індекси $$\ \tilde{C}_{abc}$$ можна не розрізняти, і, в силу рівності $$\ g_{ad}\tilde{C}^{d}_{bc} = -g_{bd}\tilde{C}^{b}_{ac}$$ виявляється, що $$\ \tilde{C}_{abc} = -\tilde{C}_{cba} = -\tilde{C}_{acb}$$. Дійсно, наприклад,

$$\ \tilde{C}_{abc} = g^{-\frac{1}{2}}_{aa'}g^{-\frac{1}{2}}_{bb'}g^{\frac{1}{2}}_{cc'}C^{c'}_{a'b'} = \left|g^{\frac{1}{2}}_{cc'} = \delta_{ck}g^{\frac{1}{2}}_{kc'} = g^{-\frac{1}{2}}_{cm} g_{mc'}\right| = g^{-\frac{1}{2}}_{cm}g^{-\frac{1}{2}}_{aa'}g^{-\frac{1}{2}}_{bb'}g_{mc'}C^{c{'}}_{a' b'} = \left| g_{mc'}C^{c{'}}_{a' b'} = -g_{a'c'}C^{c{'}}_{m b'}\right| = -g^{-\frac{1}{2}}_{cm}g^{-\frac{1}{2}}_{aa'}g^{-\frac{1}{2}}_{bb'}g_{a'c'}C^{c{'}}_{m b'} = $$

$$\ = -g^{-\frac{1}{2}}_{cm}g^{-\frac{1}{2}}_{bb'}g^{\frac{1}{2}}_{ac'}C^{c'}_{mb'} = -\tilde{C}_{cba}$$,

і т.д.

Тепер можна стартувати із другого твердження. Відповідно до нього, в силу антисиметричності структурнних констант генератори приєднаного представлення $$\ (T^{A}_{a})_{bc} = -iC^{A}_{bca}$$ являються уявними і антисиметричними, а отже, ермітовими. Відповідно до твердження про ермітові матриці із попередньої статті, це означає, що вони або повністю звідні, або незвідні.

Якщо вони незвідні і мають (матричну) розмірність $$\ N \times N$$, то не існує менше ніж $$\ N$$ ненульових векторів $$\ (u_{r})_{n}$$, для яких $$\ (T^{A}_{a})_{nm}(u_{r})_{m}$$ являється лінійною комбінацією $$\ (u_{r})_{m}$$. Оскільки матриці $$\ T_{a}$$ пропорційні структурним константам, це означає, що не існує множини лінійних комбінацій $$\ F_{r} = (u_{r})_{c}T^{A}_{c}$$, замкнених відносно комутації із усіма $$\ T_{a}^{A}$$, тобто, відсутня множина $$\ F_{r}$$, для якої $$\ [T_{a}^{A}, F_{r}]$$ було б лінійною комбінацією $$\ F_{r}$$. Це означає, що алгебра Лі проста.

Якщо ж вони повністю звідні, то їх можна записати (у деякому базисі) у вигляді блоків: $$\ (T_{a}^{A})_{ma, nb} = (t^{A(m)}_{a})_{ab}\delta_{mn}$$ (m, n - строка та стовпчик, а a, b - строки і стовпчики у блоках). Обираючи відповідний базис для структурних констант, можна отримати, що $$\ \tilde{C}_{lc, ma, nb} = i(T^{A}_{lc})_{ma, nb} = i(t^{A(m)}_{lc})_{ab}\delta_{mn}$$.

Але оскільки цей вираз являється антисиметричним і пропорційним $$\ \delta_{mn}$$, він також пропорційний $$\ \delta_{ln}, \delta_{lm}$$: $$\ \tilde{C}_{lc, ma, nb} = \delta_{ln}\delta_{lm}C^{l}_{cab}$$. Це еквівалентно твердженню про те, що для будь-якого представлення генераторів справедливе твердження

$$\ [t^{(m)}_{a}, t^{(n)}_{b}] = i\delta_{mn}C_{cab}^{(m)}t^{(m)}_{c}$$.

А оскільки $$\ t^{(m)}_{a}$$ або незвідний, або рівний нулю, то дана алгебра Лі, яка має другу властивість, розпадається на пряму суму підалгебр, які або прості, або даються $$\ U(1)$$ генераторами, що комутують із усіма генераторами алгебри у цілому. Далі, прості алгебри є компактними у сенсі, що $$\ -C^{(m)}_{acd}C^{(m)}_{bdc}$$ являється додатньо визначеною.

Отже, із другого твердження слідує третє.

Візьмемо тепер третє твердження. Із нього слідує спочатку, що

$$\ [t_{a}^{(m)}, t_{b}^{(m)}] = i\delta_{nm}C^{(m)c}_{ab}t_{c}^{(m)}$$.

Оскільки прості алгебри компактні, то матриця

$$\ g^{(m)}_{ab} = -C^{(m)}_{acd}C^{(m)}_{bdc} \qquad (2)$$

являється додатньо визначеною.

Побудуємо тепер з урахуванням цього таку матрицю $$\ g_{ab}$$, яка б, окрім умови симетричності і додатньої визначеності, задовольняла умові $$\ (1)$$. Для цього можна визначити матрицю $$\ g_{ma, nb} = g_{ab}^{(m)}\delta_{mn}$$, де $$\ g_{ab}^{(m)}$$ обирається як $$\ (2)$$ при випадку, коли $$\ t^{(m)}$$ - проста підалгебра, або як довільна симетрична дійсна додатньо визначена матриця, якщо $$\ t^{(m)}$$ - сума однієї або декільнох $$\ U(1)$$-підалгебр. Така матриця є симетричною, додатньо-визначеною та дійсною. Перевіримо тепер виконання $$\ (1)$$, використавши для цього тотожність Якобі для структурних констант,

$$\ C^{(m)c}_{\ ad}C^{(m)d}_{\ be} + C^{(m)c}_{\ bd}C^{(m)d}_{\ ea} + C^{(m)c}_{\ ed}C^{(m)d}_{\ ab} = 0$$,

згорнувши його із $$\ C^{(m)e}_{\ fc}$$. Перейменувавши у третьому доданку індекси як $$\ c \to d \to e \to c$$, для простих підалгебр можна отримати

$$\ g^{(m)}_{df}C^{(m)d}_{\ ab} = C^{(m)c}_{\ ad}C^{(m)d}_{\ be} C^{(m)e}_{\ cf} -C^{(m)c}_{\ fd}C^{(m)d}_{\ be}C^{(m)e}_{\ ca}$$.

Звідси і слідує $$\ (1)$$. Для U(1) підалгебр це також виконується в силу рівності нулю усіх структурних констант. Отже, все доведено.

Оскільки три твердження вище еквівалентні, то можна дійти висновку, що якщо не можна зробити структурні константи антисиметричними за усіма трьома індексами, не можна зробити $$\ g_{ab}$$ додатньо визначеною, і тому дана група не може представляти фізичні калібрувальні поля. Виявляється, що саме поля, що реалізують приєднане представлення груп $$\ SU(n)$$, можуть мати додатньо визначену $$\ g_{ab}$$. Шляхом перевизначення полів ця матриця може навіть бути зробленою одиничною.

Можна визначити $$\ g_{ab} = Tr[t_{a}t_{b}]$$, де $$\ t$$ - ермітові генератори групи. Тоді

$$\ g_{ad}C^{d}_{bc} = Tr(t_{a}t_{d}C^{d}_{bc}) = -iTr(t_{a}[t_{b}, t_{c}]) = -iTr(t_{a}t_{b}t_{c} - t_{a}t_{c}t_{b}) = -iTr(t_{b}t_{c}t_{a} - t_{a}t_{c}t_{b}) = -g_{bd}C^{d}_{ac}$$.

Ці викладки демонструють, що лише ті алгебри Лі, які мають нетривіальне представлення скінченновимірними ермітовими матрицями $$\ t_{a}$$, являються прямими сумами $$\ u(1)$$ та компактних простих алгебр Лі.