Гамільтонів формалізм

Повернутися до розділу "Квантування полів".

Для ряду випадків (вони будуть зустрічатися у подальшому) у квантовій теорії поля є корисним гамільтонів формалізм. У цьому розділі будуть встановлені його основи для теорії поля та обрисовані перспективи для його застосування у КТП.

Рівняння Гамільтона для поля
Нехай є деяка теорія із дією

$$\ S = \int L(q(x), \dot {q}(x))d^{4}x$$.

Введемо, по аналогії із класичною механікою, функцію Гамільтона за формулою

$$\ H[q, \pi ] = \int d^{3}\mathbf x \left( \sum_{i}\pi_{i}\dot {q}_{i}(q, \pi ) - L(q, \dot {q}(q, \pi ))\right) \qquad (1)$$.

Величини $$\ q, p$$ як канонічні задовольняють рівнянням Гамільтона,

$$\ \dot {q}_{i} = \frac{\delta H}{\delta \pi_{i}}, \quad \dot {\pi}_{i} = \frac{\delta H}{\delta q_{i}} \qquad (1)$$,

де $$\ \frac{\delta }{\delta x}$$ є варіаційною похідною: $$\ \frac{\delta}{\delta x_{i}(u)}x_{j}(t) = \delta_{ij}\delta (u - t) $$.

Виведемо ці рівняння, отримавши спочатку їх аналог для густини функції Гамільтона (гамільтоніану)

$$\ \tilde {H} = p_{i}\dot {q}^{i} - L \qquad (2)$$.

Запишемо диференціал гамільтоніану з одного боку,

$$\ d\tilde {H} = \frac{\partial H}{\partial q_{i}}dq_{i} + \frac{\partial H}{\partial \pi_{i}}d\pi_{i} + \frac{\partial H}{\partial (\partial_{j}q_{i} )}d(\partial_{j}q_{j} )$$,

та диференціал правої частини $$\ (2)$$ з іншого (використавши при цьому рівняння Лагранжа $$\ \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = \partial_{\alpha}\left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\alpha}q_{i} )}\right)$$),

$$\ \partial_{0}q_{i} dp_{i} + p_{i}d(\partial_{0}q_{i} ) - \frac{\partial L}{\partial q_{i} }dq_{i} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}q_{i} )}d(\partial_{\mu} q_{i} ) = \left| \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}q_{i} )} = p_{i}\right| = \partial_{0}q_{i}dp_{i} + p_{i}d(\partial_{0}q_{i}) - \left(\partial_{0}p_{i} + \partial_{j}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{j} q_{i} )}\right) \right)dq_{i} - p_{i}d(\partial_{0}q_{i}) - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{j}q_{i} )}d(\partial_{j} q_{i} ) = $$

$$\ = \partial_{0}q_{i} dp_{i} - \left(\partial_{0}p_{i} + \partial_{j}\frac{\partial L}{\partial (\partial_{j} q_{i})} \right)dq_{i} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{j}q_{i} )}d(\partial_{j} q_{i} )$$.

Прирівняємо ці вирази; отримаємо, таким чином, співвідношення

$$\ \frac{\partial \tilde {H}}{\partial q_{i}} = -\partial_{0}p_{i} - \partial_{j}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{j} q_{i} )} \right)\Rightarrow \partial_{0}p_{i} = \dot {p}_{i} = -\frac{\partial \tilde {H}}{\partial q_{i}} - \partial_{j}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{j} q_{i} )}\right)$$,

$$\ \partial_{0}q_{i} = \dot {q}_{i} = \frac{\partial \tilde {H}}{\partial p_{i}}, \quad \frac{\partial \tilde {H}}{\partial (\partial_{j}q_{i})} = -\frac{\partial L}{\partial (\partial_{j}q_{i} )} \Rightarrow \dot {p}_{i} = -\frac{\partial \tilde {H}}{\partial q_{i}} + \partial_{j}\left(\frac{\partial \tilde {H}}{\partial (\partial_{j} q_{i} )}\right)$$,

які називаються рівняннями Гамільтона (для гамільтоніану) у теорії поля.

Перепишемо тепер ці рівняння у випадку із функцією Гамільтона: у цьому випадку, при умові, що функції полів на нескінченності не мають особливостей, можна замінити похідні по координатам варіаційними похідними (виникаюча дельта-функція буде "зарізати" інтегрування). Окрім того, при цьому можна не писати член $$\ \partial_{j}\left(\frac{\partial \tilde {H}}{\partial (\partial_{j} q_{i} )}\right)$$, оскільки варіаційна похідна є перестановочною із похідною звичайною, а виникаючі після взяття похідної від $$\ \partial_{j}q$$ члени виду $$\ \int f(\mathbf r ) \partial_{i}\delta (\mathbf x - \mathbf r ) d^{3}\mathbf r $$ можна перетворювати, перекидаючи похідні з дельта-функції на $$\ f(\mathbf r )$$ інтегруванням по частинам (і знову опускаючи інтегрування через дельта-функцію). Отже, вирази $$\ (1)$$ дійсно є рівняннями Гамільтона (для функції Гамільтона).

Тепер можна повністю перенести формалізм лапок Пуассона на польовий випадок: для двох функцій від канонічних змінних $$\ f(q, \pi ), g(q, \pi )$$ дужкою Пуассона називається вираз

$$\ [f(\mathbf x, t), g(\mathbf y , t)]_{P} = \int d^{3}\mathbf r \left(\frac{\delta f}{\delta q_{i}(\mathbf x)}\frac{\delta g}{\partial p_{i}(\mathbf y)} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}(\mathbf x )}\frac{\partial g}{\partial q_{i}(\mathbf y )} \right)$$.

Нескладно переконатись, що тоді

$$\ [q_{i}(\mathbf x, t), \pi_{j}(\mathbf y , t)]_{P} = \delta (\mathbf x - \mathbf y)\delta_{ij}, \quad [\pi_{i}(\mathbf x , t), \pi_{j}(\mathbf y , t)]_{P} = [q_{i}(\mathbf x , t), q_{j}(\mathbf y , t)]_{P} = 0$$.

За допомогою лапок Пуассона рівняння Гамільтона $$\ (1)$$ можуть бути переписані як

$$\ \dot {q}_{i}(\mathbf x, t) = [q_{i}(\mathbf x , t), H]_{P}, \quad \dot {p}_{i}(\mathbf x , t) = [p_{i}(\mathbf x , t), H]_{P}$$.

Еволюція довільної функції із часом також може бути описана через дужки Пуассона:

$$\ \frac{d}{dt}f(q(\mathbf x, t), p(\mathbf x, t)) = \int d^{3}\mathbf r \left(\frac{\delta f}{\delta q_{i}(\mathbf r)}\dot {q}_{i}(\mathbf r) + \frac{\delta f}{\delta p_{i}(\mathbf r)}\dot {p}_{i}(\mathbf r )\right) + \frac{\partial f}{\partial t} = \left| \dot {q}_{i}(\mathbf r) = \frac{\delta H}{\delta p_{i}(\mathbf r)}, \dot {p}_{i}(\mathbf r) = -\frac{\delta H}{\delta q_{i}(\mathbf r)}\right| = \left[f, H \right]_{P} + \frac{\partial f}{\partial t} \qquad (3)$$.

Як було показано, квантова дужка Пуассона двох операторів пов'язана з їх комутатором як

$$\ [\hat {A}, \hat {B}]_{P} = -i[\hat {A}, \hat {B}]$$.

Звідси є заманливим, маючи канонічні координати та імпульси у теорії поля, співставити їм відповідні оператори та проквантувати:

$$\ [\hat {Q}_{i}(\mathbf x, t), \hat {\pi}_{j}(\mathbf y , t)]_{P} = -i[\hat {Q}_{i}(\mathbf x , t), \hat {\pi}_{j}(\mathbf y , t)] = \delta_{ij}\delta (\mathbf x - \mathbf y) \qquad (4)$$.

Іноді, втім, замість комутаторів треба використовувати антикомутатори (у далекому майбутньому буде показано, що для полів напівцілого спіну треба буде використовувати антикомутаційні співвідношення).

Ця ідеалістична картина, на жаль, порушується при появі зв'язків.

Первинні та вторинні зв'язки
Зв'язками у гамільтоновому формалізмі називаються співвідношення, що з'являються внаслідок структури лагранжіану (приклад: рівність нулю якогось канонічного імпульсу $$\ \pi_{i}$$) чи як з умови сумісності із ними рівняння руху (у рівнянні із $$\ \pi_{i} = 0$$ може, наприклад, бути відсутньою друга похідна по часу), і мають вигляд $$\ F(q, \pi, \partial_{j}q, \partial_{j} \pi ) \approx 0$$. Тут рівність $$\ \approx$$ означає, що функцію зв'язку $$\ F$$ можна покласти рівною нулю лише після обчислення всіх дужок Пуассона. Наприклад, стартуючи із лагранжевого формалізму, ми отримуємо рівний нулю канонічний імпульс, інформація про що формально не міститься у гамільтоніані. Проте при підстановці цієї рівності у рівняння руху у формі лапок Пуассона ми вже не можемо отримати деяке рівняння руху, яке може виявитися новим зв'язком.

Існують первинні зв'язки та вторинні зв'язки.

Первинні зв'язки виникають внаслідок структури лагранжіану, а саме - того, що матриця похідних $$\ C_{ij} = \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot {q}_{i} \partial \dot {q}_{j}}$$ є виродженою. Дійсно, використаємо означення канонічного імпульсу: $$\ p_{j} = \frac{\partial L}{\partial \dot {q}_{j}}$$. Візьмемо похідну від цієї рівності по $$\ \dot {q}_{i}$$: $$\ \frac{\partial p_{j}}{\partial \dot {q}_{i}} = \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot {q}_{j} \partial \dot {q}_{i}} = C_{ij}(q, \dot {q})$$. Звідси $$\ \frac{\partial \dot{q}_{j}}{\partial p_{i}} = C_{ij}^{-1}$$. Якщо матриця $$\ C_{ij}$$ є виродженою, то швидкості $$\ \dot {q}_{j}$$ не можна однозначно виразити через канонічні імпульси. Це означає, що між деякими канонічними імпульсами та координатами існують зв'язки.

Виродженість $$\ C_{ij}$$ також означає неможливість однозначного вираження всіх прискорень через координати та швидкості. Дійсно, розглянемо вираз

$$\ Q_{i}(q, \dot {q}) = \frac{\partial L}{\partial q_{i}} - \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot {q}_{j}\partial q_{i}}\dot {q}_{j}$$.

З іншого боку, використовуючи рівняння Ейлера-Лагранжа для першого доданку, можна отримати

$$\ Q_{i}(q, \dot {q}) = \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot {q}_{i}}\right) - \frac{\partial^{2} L}{\partial \dot {q}_{j}\partial q_{i}}\dot {q}_{j} = \frac{\partial^{2}L}{\partial \dot {q}_{i} \partial q_{j}}\dot {q}_{j} + C_{ij}\ddot {q}_{j} - \frac{\partial^{2}L}{\partial \dot {q}_{i} \partial q_{j}}\dot {q}_{j}$$,

і тому маємо рівність

$$\ \ddot {q}_{i} = C_{ij}^{-1}Q_{j}$$.

Якщо матриця С є виродженою, то не всі прискорення можна визначити однозначно.

Вторинні зв'язки виникають внаслідок сумісності первинних зв'язків із рівняннями руху. Наприклад, якщо є зв'язок $$\ F \approx 0$$, то фазові траєкторії системи, які були на поверхні зв'язку у початковий момент часу, повинні бути на ній у будь-який наступний. Це означає, що

$$\ \dot {F} = [F, H]_{P} \approx 0 \qquad (5)$$.

У ході цього отримуються вторинні зв'язки $$\ \kappa_{A} \approx 0$$.

У випадку наявності зв'язків вже не вдасться проквантувати теорію поля за допомогою виразу $$\ (4)$$: наприклад, для канонічної координати може бути відсутній відповідний канонічний імпульс, або просто виявиться, що співвідношення не можуть бути задовільнені. Разом із тим, зв'язки не дозволяють взяти і редукувати кількість канонічних координат: виразити із рівняння зв'язку деяку канонічну координату і підставити у гамільтоніан, забувши про сам зв'язок, не можна, оскільки рівність функції зв'язку нулю не є строгою; лише обчисливши всі дужки Пуассона, можна покласти зв'язок рівним нулю. Із цим можуть боротися по-різному в залежності від класифікації зв'язків, що буде наведена нижче.

Зв'язки першого і другого роду
Множина зв'язків називається зв'язками першого роду, якщо всі вони мають нульові дужки Пуассона один з одним:

$$\ [F_{m}, F_{n}]_{P} \approx 0 \qquad (6)$$.

Зв'язки першого роду завжди пов'язані із деяким перетворенням симетрії. Дійсно, для перетворення канонічних координат виду $$\ \delta A = \sum_{N}\varepsilon_{n}[F_{N}, A]_{P}$$ очевидно, що гамільтоніан є незмінним (в силу $$\ (5)$$ підстановка до попереднього виразу $$\ A = H$$ дає $$\ \delta H = 0$$). Незмінними також є поверхня зв'язків в силу $$\ (6)$$. Прикладом теорії із зв'язками першого роду є електродинаміка.

Зв'язками другого роду називається така множина зв'язків, що будь-яка нетривіальна лінійна комбінація $$\ \sum_{n}c_{n}[F_{n}, F_{m}]_{P}$$ не рівна нулю. Це означає, що матриця $$\ C_{nm} = [F_{n}, F_{m}]_{P}$$ не є виродженою (умовою відсутності нетривіального розв'язку $$\ \sum_{n}C_{nm}d_{n}= 0$$ є $$\ ||C_{nm}|| \neq 0$$). Оскільки матриця $$\ C_{nm}$$ є антисиметричною за побудовою (в силу антисиметрії лапок Пуассона), то число зв'язків другого роду завжди є парним (детермінант антисиметричної матриці непарного рангу завжди рівний нулю).

Для розвинення теорії зв'язків у гамільтоновому формалізмі треба придумати таку ефективну функцію, що зводилася б до гамільтоніану на поверхні первинних зв'язків, проте у загальному випадку містила б і інформацію про ці самі зв'язки (чого сам гамільтоніан не містить). Для цього побудуємо ефективний гамільтоніан

$$\ H = H_{0} + \lambda_{i}f_{i} \approx H_{0}$$,

де $$\ \lambda_{i}$$ - множник Лагранжа, $$\ H_{0}$$ - початковий гамільтоніан, $$\ f_{i}$$ - первинні зв'язки. На поверхні зв'язків $$\ H = H_{0}$$. Визначимо рівняння, що слідують із такого гамільтоніану: із дії

$$\ S = \int dt(\pi_{i} \dot {q}_{i} - H_{0} - \lambda_{i}f_{i})$$

маємо рівняння руху та рівняння для лагранжевих множників:

$$\ \dot {q}_{i} = [q_{i}, H_{0}]_{P} + \lambda_{j}[q_{i}, f_{j}]_{P}, \quad \dot {p}_{i} = [p_{i}, H_{0}]_{P} + \lambda_{j}[p_{i}, f_{j}]_{P}, \quad f_{i} \approx 0\qquad (7)$$.

В ході отримання рівнянь руху отримуються вторинні зв'язки $$\ \kappa_{i}$$. Зв'язки повинні задовольняти умовам $$\ \dot {f}_{i} \approx 0, \dot {\kappa}_{A} \approx 0$$: із дужок Пуассона слідує, що

$$\ [f_{i}, H_{0}]_{P} + \lambda_{j}[f_{i},f_{j}]_{P} \approx 0 \qquad (8)$$.

Звідси видно, що якщо матриця лапок Пуассона $$\ [f_{i}, f_{j}]_{P} = F_{ij}$$ невироджена (маємо зв'язки другого роду), то $$\ (8)$$ можна використати для отримання виразів лагранжевих множників. Якщо ж ранг матриці менший за кількість зв'язків, то це означає, що деякі множники Лагранжа є невизначеними, і що лінійна комбінація $$\ c_{n}[f_{n}, H_{0}]_{P}$$ повинна бути рівною нулю на поверхні зв'язків. Тут можливі дві ситуації. Перша відповідає випадку, коли для усіх функцій зв'язків $$\ [f_{n}, H_{0}]_{P} \approx 0$$, а тому і будь-яка лінійна комбінація також рівна нулю. Друга відповідає випадку, коли комбінація може бути рівною нулю лише при накладанні інших зв'язків. Вони як раз і називаються вторинними; будуть позначатися як $$\ \kappa_{A} \approx 0$$.

Якщо ж матриця тотожньо рівна нулю (маємо зв'язки першого роду), то всі множники Лагранжа залишаються невизначеними.

Теорія Дірака для зв'язків першого і другого роду
Отже, для ефективної функції Гамільтона

$$\ H = H_{0} + \lambda_{i}f_{i} \approx H_{0}$$

у термінології попереднього підрозділу маємо такі зв'язки:

$$\ f_{i} \approx 0, \quad [f_{i}, H_{0}]_{P} + \lambda_{j}[f_{i}, f_{j}]_{P} \approx 0 \qquad (8)$$,

$$\ \kappa_{A} \approx 0, \quad [\kappa_{A}, H_{0}]_{P} + \lambda_{j}[\kappa_{A}, f_{j}]_{P} \approx 0 \qquad (9)$$.

Якщо первинних зв'язків $$\ k$$, а вторинних - $$\ p$$, то здавалося б, що система $$\ (8)-(9)$$ на $$\ \lambda_{i}$$ є перевизначеною (має $$\ k + p = n $$ рівнянь на $$\ k$$ невідомих). Проте це не так.

Нехай матриця лапок Пуассона усіх первинних зв'язків $$\ [f_{i},f_{j}]_{P}$$ має ранг $$\ K \leqslant k$$. Це означає, що існує $$\ k - K$$ незалежних лінійних комбінацій між стовпчиками цієї матриці, тобто існує такий набір $$\ k - K$$ векторів $$\ \varepsilon^{\alpha}_{a}$$, що

$$\ [f_{i},f_{a}]_{P}\varepsilon^{\alpha}_{a} \approx 0, \quad [\kappa_{A},f_{a}]_{P}\varepsilon^{\alpha}_{a} \approx 0$$.

Означимо тепер два набори первинних зв'язків виразами

$$\ \bar {f}^{\alpha} = \varepsilon_{a}^{\alpha}f_{a}, \quad \tilde {f}^{\alpha '} = \eta_{a}^{\alpha '}f_{a}$$

(тут штрихований індекс пробігає значення $$\ 1, ..., K$$), де набір векторів $$\ \eta_{a}^{\alpha '}$$ вибраний так, що $$\ \bar {f}^{\alpha}, \bar {f}^{\alpha '}$$ є функціонально незалежні. Із написаного слідує, що

$$\ [\bar {f}^{\alpha}, f_{i}]_{P} \approx 0, \quad [\bar {f}^{\alpha}, \kappa_{A}]_{P} \approx 0$$.

Тому набір лінійних комбінацій зв'язків $$\ \bar {f}^{\alpha}$$ комутує з усіма зв'язками, що автоматично відносить його до зв'язків першого роду.

Тепер аналогічну операцію (розділення первинних зв'язків на зв'язки першого та другого роду) треба зробити для вторинних зв'язків. Оскільки лінійна комбінація вторинних зв'язків не змінює умови сумісності із рівняннями руху, і до цієї комбінації (знову ж, без проблем із сумісністю) може бути додана лінійна комбінація первинних зв'язків, то можна утворити комбінацію

$$\ \tilde {\kappa}^{A} = S^{A}_{\ B}\kappa^{B} + S^{A}_{\ \alpha}\bar {f}^{\alpha} + S^{A}_{\ \alpha {'}}\tilde {f}^{\alpha '}$$,

де $$\ S^{A}_{\ B}$$ - невироджена матриця, а вся комбінація $$\ \tilde {\kappa}^{A}$$ має максимально можливу кількість нульових лапок Пуассона з усіма іншими зв'язками при максимально можливій кількісті $$\ A$$. Нехай ця кількість дорівнює $$\ P \leqslant p$$. Усі інші вторинні зв'язки також можуть бути об'єднані у комбінації типу $$\ \tilde {\kappa}^{A'}$$, де $$\ A' $$ пробігає $$\ p - P$$ значень.

З урахуванням того, що сума $$\ \lambda^{a}f^{a}$$ може бути записана в термінах введених комбінацій як $$\ \lambda^{a}f^{a} = \bar {\lambda}_{\alpha}\bar{f}_{\alpha} + \tilde {\lambda}_{\alpha '}\tilde{f}_{\alpha '}$$, вирази $$\ (8), (9)$$ можуть бути спрощено записані як

$$\ [\bar{f}^{\alpha},H_{0}]_{P} \approx 0, \quad [\tilde {\kappa}^{A}, H_{0}]_{P} \approx 0 $$,

$$\ [\tilde{f}^{\alpha '},H_{0}]_{P} + \tilde {\lambda}_{\beta'}[\tilde {f}_{\alpha '}, \tilde {f}_{\beta '}]_{P} \approx 0, \quad [\tilde{\kappa}^{A '}, H_{0}]_{P} + \tilde {\lambda}_{\alpha '}[\tilde {\kappa}_{A'}, \tilde {f}_{\alpha '}]_{P} \approx 0 \qquad (10)$$.

Перші дві рівності дають $$\ k - K + P$$ зв'язків першого роду і відсутність множників Лагранжа, а другі дві дають $$\ K + p - P$$ рівностей із лише $$\ K$$ множниками Лагранжа. Інші $$\ k - K$$ множників "випадають" із рівнянь і залишаються невизначеними.

Перейдемо тепер до визначення тих лагранжевих множників, які можна визначити. Для цього введемо антисиметричну матрицю рангу $$\ K + p - P$$ дужок Пуассона

$$\ \Delta = \begin{pmatrix} \Delta^{\alpha {'}\beta {'}}_{11} & \Delta^{\alpha {'} \sigma {'}}_{12} \\ \Delta^{\rho {'} \beta {'}}_{21} & \Delta^{\rho {'} \sigma {'}}_{22} \end{pmatrix}$$,

де

$$\ \Delta^{\alpha {'}\beta {'}}_{11} = [\tilde {f}^{\alpha {'}}, \tilde {f}^{\beta {'}}]_{P}, \quad \Delta^{\alpha {'} \sigma {'}}_{12} = [\tilde {f}^{\alpha {'}}, \tilde {\kappa}^{\sigma{'}}]_{P}, \quad \Delta^{\rho {'} \beta {'}}_{21} = [\tilde {\kappa}^{\rho{'}}, \tilde {f}^{\beta {'}}]_{P}, \quad \Delta^{\rho {'} \sigma {'}}_{22} = [\tilde {\kappa}^{\rho {'}}, \tilde {\kappa}^{\sigma {'}}]_{P}$$.

Як уже було написано на початку розділу про зв'язки другого роду, невиродженість цієї матриці означає, що вона має парну кількість стовпчиків.

Визначимо обернену матрицю:

$$\ \Delta^{-1} \approx \begin{pmatrix} C_{\alpha {'}\beta {'}}^{11} & C_{\alpha {'} \sigma {'}}^{12} \\ C_{\rho {'} \beta {'}}^{21} & C_{\rho {'} \sigma {'}}^{22} \end{pmatrix}$$.

Умова $$\ \Delta \Delta^{-1} \approx \hat {\mathbf E}$$ дає системи рівнянь

$$\ C_{\alpha {'}\beta {'}}^{11}\Delta^{\beta {'} \gamma {'}}_{11} + C_{\alpha {'}\sigma{'}}^{12}\Delta^{\sigma {'}\gamma^{'}}_{21} \approx \delta_{\beta {'}}^{\gamma {'}}, \quad C_{\rho {'}\beta {'}}^{21}\Delta^{\beta {'} \tau {'}}_{12} + C_{\rho {'}\sigma{'}}^{22}\Delta^{\sigma {'}\tau^{'}}_{22} \approx \delta_{\rho {'}}^{\tau {'}} \qquad (11)$$,

$$\ C_{\alpha {'}\beta {'}}^{11}\Delta^{\beta {'} \tau {'}}_{12} + C_{\alpha {'}\sigma{'}}^{12}\Delta^{\sigma {'}\tau^{'}}_{22} \approx 0, \quad C_{\rho {'}\beta {'}}^{21}\Delta^{\beta {'} \gamma {'}}_{11} + C_{\rho {'}\sigma{'}}^{22}\Delta^{\sigma {'}\gamma ^{'}}_{21} \approx 0 \qquad (12)$$.

Враховуючи ці рівності і $$\ (10)$$,

$$\ [\tilde{f}^{\beta '}, H_{0}]_{P} + \tilde {\lambda}_{\gamma'}\Delta^{\beta {'}\gamma {'}}_{11} \approx 0, \quad [\tilde{\kappa}^{\sigma '}, H_{0}]_{P} + \tilde {\lambda}_{\gamma '}\Delta^{\sigma {'} \gamma {'}}_{21} \approx 0 \qquad (13)$$

можна отримати наступне: домножаючи першу рівність $$\ (13)$$ на $$\ C_{\alpha {'} \beta {'}}^{11}$$, другу - на $$\ C_{\alpha {'} \sigma {'}}^{12}$$, додаючи і використовуючи першу рівність $$\ (11)$$, можна отримати

$$\ \tilde {\lambda}_{\alpha {'}} \approx -C_{\alpha{'}\beta{'}}^{11}[\tilde{f}_{\beta{'}}, H_{0}]_{P} - C_{\alpha {'} \sigma {'}}^{12}[\tilde {\kappa}_{\sigma{'}}, H_{0}]_{P} \qquad (14)$$.

Використовуючи же замість $$\ (11)$$ $$\ (12)$$, можна отримати

$$\ C_{\rho {'} \beta {'}}^{21}[\tilde {f}^{\beta {'}}, H_{0}]_{P} + C_{\rho {'} \sigma {'}}^{22}[\tilde {\kappa}^{\sigma {'}}, H_{0}]_{P} \approx 0 \qquad (15)$$.

Запишемо тепер за допомогою $$\ (14), (15)$$ похідну по часу від довільної функції через дужку Пуассона:

$$\ \frac{df}{dt} \approx [f, H_{0}]_{P} + \lambda_{\alpha}[f, \tilde {f}^{\alpha}]_{P} - [f, \tilde {f}^{\alpha {'}}]_{P}C_{\alpha{'}\beta{'}}^{11}[\tilde{f}_{\beta{'}}, H_{0}]_{P} - [f, \bar {f}^{\alpha {'}}]_{P}C_{\alpha {'} \sigma {'}}^{12}[\tilde {\kappa}_{\sigma{'}}, H_{0}]_{P} - [f, \tilde {\kappa}^{\rho {'}}]_{P}C_{\rho {'} \beta {'}}^{21}[\tilde {f}^{\beta {'}}, H_{0}]_{P} - [f, \tilde {\kappa}^{\rho {'}}]_{P}C_{\rho {'} \sigma {'}}^{22}[\tilde {\kappa}^{\sigma {'}}, H_{0}]_{P} \qquad (16)$$.

Останні два доданки, що рівні нулю на поверхні зв'язків за внаслідок $$\ (15)$$, записані для симетричності виразу: дійсно, перепозначивши усю множину зв'язків $$\ (\tilde {f}^{\sigma}, \tilde {\kappa}^{\delta})$$ через $$\ \varepsilon_{n}$$, можна записати останні чотири доданки як $$\ [f, \varepsilon_{n}]_{P}\Delta_{nm}^{-1}[\varepsilon_{m}, H_{0}]$$, і $$\ (16)$$ набуде вигляду

$$\ \frac{df}{dt} \approx [f, H_{0}]_{P} + \lambda_{\alpha}[f, \tilde {f}^{\alpha}]_{P} - [f, \varepsilon_{n}]_{P}\Delta_{nm}^{-1}[\varepsilon_{m}, H_{0}] = [f, H_{0}]_{D} + \lambda_{\alpha}[f, \tilde {f}^{\alpha}]_{P} \qquad (17)$$,

де введена дужка Дірака $$\ [f, g]_{D} = [f, g]_{P} - [f, \varepsilon_{n}]_{P}\Delta_{nm}^{-1}[\varepsilon_{m}, g]$$.

Результати
Нескладно показати, що дужка Дірака задовольняє тим же властивостям, що і дужка Пуассона (включно із тотожністю Якобі). Окрім того, є ще дві властивості:

$$\ [\bar {f}^{\alpha}, g]_{D} \approx [\bar {f}^{\alpha}, g]_{P}, \quad [\varepsilon^{i}, g]_{D} \approx 0$$.

Це є дуже важливим результатом: якщо визначати рівняння руху не за дужкою Пуассона, а за дужкою Дірака (що є природнім в силу $$\ (17)$$), то в силу того, що дужка Дірака будь-якого зв'язку другого роду з будь-якою (!) функцією рівна нулю, то усі зв'язки другого роду $$\ \varepsilon^{i}$$ можна покласти строго рівними нулю ще до обчислень усіх дужок. А це означає, що кількість канонічних змінних ще у гамільтоніані зменшується на кількість зв'язків другого роду.

Після цього у "ефективному" гамільтоніані $$\ H = H_{0} + \lambda_{\alpha}f_{\alpha}$$ залишаються лише зв'язки першого роду. Як уже було показано раніше, такі зв'язки пов'язані із інваріантністю гамільтоніану відносно перетворення $$\ \delta A = \sum_{N}\varepsilon_{n}[F_{N}, A]_{P} $$. Ці перетворення можна зафіксувати, що і допомагає позбутися недоброго зв'язку.

Тепер можна повернутися до квантування теорій зі зв'язками. Якщо в теорії є лише зв'язки другого роду, то її можна проквантувати, ототожнивши дужку Дірака із комутатором операторів:

$$\ [\hat {A}, \hat {B}]_{D} = -i[\hat {A}, \hat {B}]$$.

Квантування же теорії із зв'язками першого роду можна виконати, зафіксувавши калібрування (це - один із можливих способів, проте і найпростіший). Це буде продемонстровано у розділах про поля спіну 1 та калібрувальні неабелеві теорії.