Спінори. Зв'язок векторного та тензорного представлень

Повернутися до розділу "Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца".

Визначення спінора. Спінорна метрика
Спінором

$$\ \psi_{a} \equiv \begin{pmatrix} \psi_{1} \\ \psi_{2} \end{pmatrix}$$

називається вектор, що перетворюється через унімодулярні комплексні матриці $$\ N \in \text{SL}(2,C)$$:

$$\ \psi_{a} \to \psi_{a}{'} \equiv N_{a}^{\ b}\psi_{b}, \quad N \in \text{SL}(2,C)$$

Метрику простору спінорів можна визначити, відшукавши комбінацію із компонент двох спінорів, що є інваріантною відносно перетворень, здійснюваних унімодулярними матрицями. Такою комбінацією є

$$\ \psi \cdot \kappa \equiv \psi_{1}\kappa_{2} - \psi_{2}\kappa_{1} \qquad (.1)$$.

Дійсно, параметризувавши матрицю $$\ N$$

$$\ N = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}, \quad AD - BC = 1$$,

можна отримати для перетворення $$\ (.1)$$

$$\ \psi_{1}{'}\kappa_{2}{'} - \psi_{2}{'}\kappa_{1}{'} = (AD - BC)(\psi_{1}\kappa_{2} - \psi_{2}\kappa_{1}) = 1$$.

Для запису $$\ (.1)$$ у коваріантному вигляді треба ввести матрицю

$$\ \varepsilon^{ab} = -\varepsilon_{ab} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}_{ab} \qquad (.2)$$

із властивостями

$$\ \quad \hat \varepsilon^{T} = -\hat \varepsilon, \quad \hat \varepsilon^{2} = - \hat {\mathbf E}$$.

Дійсно, інваріант $$\ (.1)$$, записаний у вигляді

$$\ \psi \cdot \kappa \equiv \psi_{a}\kappa_{b}\epsilon^{ab} \equiv \psi_{a}\kappa^{a}, \quad \kappa^{a}\equiv \epsilon^{ab}\kappa_{b}$$,

дає вираз для компонент коваріантного спінору $$\ \psi^{a}$$,

$$\ \psi^{1} = \psi_{2}, \quad \psi^{2} = -\psi_{1}$$,

а матриця $$\ (.2)$$ дає перехід від контраваріантних до коваріантних компонент, і навпаки:

$$\ \psi^{a} = \varepsilon^{ab}\psi_{b}, \quad \psi_{a} = \varepsilon_{ab}\psi^{b} $$.

Закон перетворення коваріантного спінору $$\ \psi^{a}$$, користуючись його визначенням, можна отримати так:

$$\ \psi^{a}{'} = \begin{pmatrix} \psi^{1}{'} \\ \psi^{2}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \psi_{2}{'} \\ -\psi_{1}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} C \psi_{1} + D\psi_{2} \\ -A \psi_{1} - B \psi_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -C \psi^{2} + D\psi^{1} \\ A \psi^{2} - B \psi^{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} D & -C \\ -B & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi^{1} \\ \psi^{2} \end{pmatrix} \equiv \psi^{b}(N^{-1})_{\ b}^{a} \equiv (\tilde{N}\psi)^{a}$$,

де

$$\ \tilde{N} \equiv (N^{T})^{-1} = \epsilon^{-1} N \epsilon$$.

Дійсно, використовуючи явний вигляд матриці перетворення для коваріантного спінора можна отримати

$$\ \psi^{a}{'}\kappa_{a}{'} = \tilde {N}^{a}_{\quad b}\psi^{b}N_{a}^{\quad c}\kappa_{c} = \psi^{b} (N^{T})_{b}^{\quad a}N_{a}^{\quad c}\kappa_{c}= (A\psi^{1} + B\psi^{2})(D\kappa^{2} + C\kappa^{1}) - (C \psi^{1} + D\psi^{2})(B\kappa^{2} + A\kappa^{1}) = $$

$$\ = (AD - BC)\psi^{1}\kappa^{2} - (AD - BC)\psi^{2}\kappa^{1} = \psi^{1}\kappa^{2} - \psi^{2}\kappa^{1} = \psi^{b}\delta_{b}^{\quad c}\kappa_{c} = inv$$.

Антисиметричність метрики має наслідком неінваріантність скалярного добутку відносно одночасної перестановки індексів у спінорів,

$$\ \psi^{\alpha}\kappa_{\alpha} = -\psi_{\alpha}\kappa^{\alpha}$$,

тобто, перестановка індексів знизу вгору змінює знак:

$$\ \psi_{\alpha}\kappa^{\alpha} = \begin{pmatrix} \psi^{2} & -\psi^{1} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \kappa^{1} \\ \kappa^{2} \end{pmatrix} = \psi^{2}\kappa^{1} - \psi^{1}\kappa^{2}$$.

Властивості спінорної метрики
Деякі найпростіші властивості матриці $$\ \varepsilon^{\alpha \beta}$$ (для точкових індексів - аналогічно). Далі розглядається конвенція, у рамках якої

$$\ \varepsilon^{a b} = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ -1 && 0 \end{pmatrix}^{ab} = \varepsilon^{\dot {a} \dot {b}} = -\varepsilon_{a b} = -\varepsilon_{\dot {a} \dot {b}}$$.

Прямим множенням можна переконатися, що

$$\ \varepsilon_{\alpha \beta}\varepsilon^{\beta \gamma} = \delta_{\alpha}^{\quad \gamma } = \delta^{\gamma}_{\quad \alpha} = \hat {\mathbf E}^{\gamma}_{\quad \alpha}$$.

Далі,

$$\ \varepsilon_{\dot {a}\dot {b}}\varepsilon^{\dot {c} \dot {d}} = -(\delta^{\dot {c}}_{\dot {a}}\delta {\dot {d}}_{\dot {b}} - \delta^{\dot {c}}_{\dot {b}}\delta^{\dot {d}}_{\dot {a}})\qquad (3)$$.

Дійсно, у випадку "однакових" індексів добуток двох матриць $$\ \varepsilon$$ відповідає згортці двох символів Леві-Чивіта рангу 3 по одному співпадаючому індексу.

За допомогою цього можна отримати зв'язки між матрицями перетворення коваріантного і контраваріантого спінорів. Для цього використаємо факт, що детермінант будь-якої матриці $$\ S$$ розмірності 2*2 можна представити за допомогою спінорної метрики як

$$\ det S = -\frac{1}{2}\varepsilon_{ab}\varepsilon^{cd}S_{c}^{\ a}S_{d}^{\ b}$$.

Для матриць із одиничним визначником можна написати тоді

$$\ \frac{1}{2}\varepsilon_{ab}\varepsilon^{cd}N_{c}^{\ a}N_{d}^{\ b} = -1$$.

Домноживши цей вираз на $$\ \varepsilon_{nm}$$ і використавши $$\ (3)$$, можна отримати

$$\ \frac{1}{2}\varepsilon_{ab}(\delta^{c}_{n}\delta^{d}_{m} - \delta^{c}_{m}\delta^{d}_{m})N_{c}^{\ a}N_{d}^{ \ b} = -1 \Rightarrow N_{m}^{\ a}N_{n}^{\ b}\varepsilon_{ab} = \varepsilon_{mn}$$.

Аналогічний вираз можна отримати і для обернених матриць: $$\ \varepsilon^{ab}(N^{-1})_{a}^{\ n}(N^{-1})_{b}^{ \ m} = \varepsilon^{mn}$$,

що показує інваріантність метрики відносно перетворень, що здійснюються такими матрицями.

Із цих двох співвідношень слідує, що $$\ \varepsilon^{cm}\varepsilon_{mn} = N_{m}^{\ a}N_{n}^{\ b}\varepsilon_{a b}\varepsilon^{cm}$$, і, як наслідок,

$$\ (N^{-1})_{k}^{\ c} = (N^{-1})_{k}^{n}N_{m}^{\ a}N_{n}^{\ b}\varepsilon_{a b}\varepsilon^{cm} \Rightarrow (N^{-1})_{k}^{\ c} = \varepsilon^{cm}N_{m}^{\ a}\varepsilon_{ak} \Rightarrow (N^{-1})^{T} = -\varepsilon N \varepsilon$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Спряжений спінор
Оскільки матриці лоренцівських бустів і поворотів є комплексними, треба ввести спряжений спінор $$\ \psi_{\dot {a}}$$, який перетворюється як комплексне спряження спінора $$\ \psi_{a}$$:

$$\ \psi_{\dot {a}}{'} = \begin{pmatrix} \psi_{\dot {1}}{'} \\ \psi_{\dot {2}}{'} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A^{*} & B^{*} \\ C^{*} & D^{*} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \psi_{\dot {1}} \\ \psi_{\dot{2}} \end{pmatrix}, \quad \psi_{\dot {a}}{'} = (S^{*})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}\psi_{\dot {b}}$$.

Аналогічно до "неточкових" спінорів, перетворення контраваріантного спінору є

$$\ \psi^{\dot {a}}{'} = (\tilde {S}^{*})^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}}\psi^{\dot {b}} = \psi^{\dot {b}}(S^{*^{-1}})^{\quad \dot {a}}_{ \dot {b}}, \quad \psi^{\dot {a}}{'}\psi_{\dot {a}}{'} = \psi^{\dot {c}}(S^{*^{-1}})^{\quad \dot {a}}_{ \dot {c}}(S^{*})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}\psi_{\dot {b}} = inv$$.

При згортці спінорів по індексам можна згортати індекси лише одного типу. Для доведення цього достатньо розглянути згортку $$\ \Psi^{\alpha}\kappa_{\dot \alpha}$$ у матричному вигляді:

$$\ \Psi{'}^{\alpha}\kappa{'}_{\dot {\alpha}} = \psi{'}^{T}\hat \varepsilon \dot {\kappa}{'} = |\psi{'}^{T} = (\hat {\mathbf S} \psi )^{T} = \psi^{T}\hat {\mathbf S}^{T}| = \psi^{T}\hat {\mathbf S}^{T}\hat \varepsilon \hat {\mathbf  S}^{*}\dot {\kappa} = |\hat {\varepsilon} \hat {\varepsilon} = -\hat {\mathbf E}| = -\psi^{T}\hat \varepsilon \hat \varepsilon \hat {\mathbf S}^{T}\hat \varepsilon \hat {\mathbf  S}^{*}\dot {\kappa} = |\hat \varepsilon \hat {\mathbf S}^{T}\hat \varepsilon = -\hat {\mathbf S}^{-1}| = \psi^{T}\hat \varepsilon (\hat {\mathbf S}^{-1} \hat {\mathbf  S}^{*})\dot {\kappa} \neq \psi^{T} \hat {\varepsilon } \dot \kappa$$,

а отже, вираз не є інваріантом.

Вводиться метрика

$$\ \varepsilon^{\dot {a} \dot {b}} = -\varepsilon_{\dot {a} \dot {b}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$,

за допомогою якої можна піднімати та опускати індекси у спряжених спінорів.

Отже, нарешті, спінор - це двокомпонентний вектор, закон перетворення якого при бустах та тривимірних поворотах дається матрицями з одиничним визначником:

$$\ \psi_{a}{'} = S_{a}^{\quad b}\psi^{b}, \psi^{a} = \varepsilon^{ab}\psi_{b}, \quad \psi^{a}{'} = S^{a}_{\quad b}\psi_{b} = \psi_{b}(S^{-1})^{b}_{\quad a}, \quad \psi^{a}\kappa_{a} = inv $$,

$$\ \psi_{\dot {a}}{'} = (S^{*})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}\psi_{\dot {b}}, \quad \psi^{\dot {a}} = \varepsilon^{\dot {a}\dot {b}}\psi_{\dot {b}}, \quad \psi^{\dot {a}}{'} = (S^{*})^{\dot {a}}_{\quad \dot {b}}\psi^{\dot {b}} = \psi_{\dot {b}}(S^{*^{-1}})^{\dot {b}}_{\quad \dot {a}}, \quad \psi^{\dot {a}}\kappa_{\dot {a}} = inv$$.

Спінорний тензор. Зв'язок векторного та спінорного представлень
Спінорний тензор рангу $$\ n $$ - величина із $$\ k $$ верхніми індексами та $$\ n - k $$ нижніми індексами, що перетворюється як сукупність k спінорів та n - k коспінорів. Наприклад,

$$\ \Psi^{\alpha}_{\quad \beta}{'} = S^{\alpha}_{\quad \mu}S^{\nu}_{\quad \beta}\Psi^{\mu}_{\quad \nu}$$.

Спінорний тензор рангу два з одним спряженим індексом, $$\ \psi^{\mu \dot {\nu}}$$, перетворюється таким же чином, як і кватерніон

$$\ \hat {a}_{a \dot {a}} = a_{0}\hat {\mathbf E} + (\hat {\sigma }, \mathbf a ) = x^{i}\sigma_{i} = \begin{pmatrix} x_{0} + x_{3} & x_{1} - ix_{2} \\ x_{1} + ix_{2} & x_{0} - x_{3} \end{pmatrix}, \quad \sigma_{\mu} = \left( \hat {\mathbf E }, \hat {\mathbf \sigma }\right)$$.

Дійсно,

$$\ \psi^{\mu \dot {\nu }}{'} = \hat {S}\hat {\psi }\hat {{S}^{*}}^{T} = \hat {S}\hat {\psi} \hat {S}^{+}$$.

Тому кватерніон є частинним випадком спінорів.

Далі, для отримання норми такого спінорного тензора, треба ввести спряжений спінорний тензор:

$$\ \psi_{\gamma \dot {\mu}} = \varepsilon_{\gamma \alpha }\varepsilon_{\dot {\mu } \dot {\nu} }\psi^{\alpha \dot {\nu }} = (\hat {\varepsilon }\hat {\psi }\hat {\varepsilon}^{T})_{\gamma \dot {\mu }} = -\hat {\varepsilon}(a_{0}\hat {\mathbf E} + (\mathbf \hat {\sigma \mathbf a}))\hat {\varepsilon } = a_{0}\hat {\mathbf E } - (\mathbf a \hat {\varepsilon }\hat {\sigma }\hat {\varepsilon }) = a_{0}\hat {\mathbf E} + (\mathbf a \tilde {\hat \sigma}) = a^{\mu}\tilde {\sigma}_{\mu} = \overline{\hat {A}}$$,

де введена матриця $$ (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {b}a} = \varepsilon^{a c}\varepsilon^{\dot {b} \dot {c}}(\sigma_{\mu})_{c\dot {c}} = (\hat {\mathbf E}, -\hat {\sigma } )$$.

При цьому

$$\ a^{\alpha \dot {\gamma }}a_{\alpha \dot {\gamma }} = a^{\alpha \dot {\gamma }}a_{\dot {\gamma }\alpha } = ( a_{0}^{2} - \mathbf a ^{2})\hat {\mathbf E}$$.

Можна розглянути зв'язок між 4-векторами та спінорними тензорами. В силу вищенаведеного зв'язку спінорного двохіндексного тензора та 4-вектора,

$$\ X_{\alpha \dot {\beta}} = (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\beta }}x_{\mu }, \quad X^{\dot {\beta }\alpha } = (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\beta }\alpha }x^{\mu } \qquad (.3)$$,

а також - умови на слід для добутку матриць $$ Tr (\hat {\sigma}_{\mu}\tilde { \hat \sigma}_{\nu}) = 2g_{\mu \nu}$$ (див. підрозділ нижче), можна отримати обернене співвідношення:

$$\ x^{\mu} = \frac{1}{2}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{ \dot {\alpha }\alpha}X_{\alpha \dot {\alpha }} = \frac{1}{2}Tr(\hat {\sigma}^{\mu}X) \qquad (.4)$$.

Дійсно,

$$\ x^{\mu} = \frac{1}{2}Tr(\hat {\mathbf E})x^{\mu} = x^{\mu}$$.

Можна дещо видозмінити визначення спінорного представлення $$\ X = x^{\mu}\hat {\sigma}_{\mu}$$. В силу того, що матриці Паулі безслідові, нульову компоненту 4-вектора можна представити як $$\ x^{0} = \frac{1}{2}Tr (X)$$, і в силу цього ж та співвідношень для множення матриць Паулі просторові компоненти можуть бути записані у вигляді $$\ x^{i} = \frac{1}{2}Tr(X \hat {\sigma^{i}})$$. Тоді

$$\ X = \frac{1}{2}Tr (X)\hat {\mathbf E } + \frac{1}{2}Tr(X \hat {\sigma^{i}})\hat {\sigma }_{i}$$.

Такий вираз знадобиться у подальшому. Більш строгий зв'язок векторного представлення (групи Лоренца) зі спінорним буде даний у відповідному розділі.

Можна, маючи $$\ (3), (4)$$, встановити загальну відповідність 4-тензора до спінора:

$$\ C_{\mu_{1}...\mu_{n}} = \frac{1}{2^{n}}(\tilde {\sigma}^{\mu_{1}})^{ \dot {a_{1} }a_{1}}...(\tilde {\sigma}^{\mu_{n}})^{ \dot {a_{n} }a_{n}}X_{a_{1}...a_{n}\dot{a}_{1}...\dot{a}_{n}}, \quad X_{a_{1}...a_{n}\dot{a}_{1}...\dot{a}_{n}} = (\sigma^{\mu_{1}})_{a_{1} \dot {a}_{1}}...(\sigma^{\mu_{n}})_{a_{n} \dot {a}_{n}}C_{\mu_{1}...\mu_{n}} \qquad (5)$$.

Наостанок залишається переконатись, що четвірка матриць $$\ (\sigma^{\mu})_{a \dot {a}}$$ є інваріантом перетворень Лоренца. Це можна показати, використовуючи відповідність перетворень 4-вектора у векторному та спінорному представленнях. Отже, для спінорного представлення 4-вектора справедливі перетворення по спінорним індексам,

$$\ X{'}_{a \dot {a}} = N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}X_{b \dot {b}} = x^{\mu}N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} (\sigma_{\mu})_{b \dot {b}} $$,

і по векторним,

$$\ X{'}_{a \dot {a}} = x^{\mu}{'}(\sigma_{\mu})_{a \dot {a}} = \Lambda^{\quad \mu}_{\nu}x^{\nu}(\sigma_{\mu})_{a \dot {a}}$$.

Прирівнюючи ці дві рівності, в силу довільності $$\ x^{\mu}$$ можна отримати

$$\ \Lambda^{\quad \mu}_{\nu}(\sigma_{\mu})_{a \dot {a}} = N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} (\sigma_{\nu})_{b \dot {b}} \Rightarrow (\sigma_{\mu})_{a \dot {a}} = N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} (\sigma_{\nu})_{b \dot {b}}(\Lambda^{-1})^{\nu}_{\quad \mu}$$.

Це означає, що $$\ (\sigma_{\mu})_{a \dot {a}}$$ є інваріантом відносно перетворень Лоренца. Дійсно, матриця має один 4-векторний індекс та два спінорних; кожен з них перетворюється за допомогою відповідної матриці. Тоді повне (за допомогою трьох вказаних матриць) перетворення матриці дає ту ж саму матрицю.

Властивості матриць Паулі
Для подальшого дуже знадобляться наступні властивості матриць Паулі.

1. $$\ (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\tilde {\sigma }_{\mu})^{\dot {\beta }\beta } = 2\delta^{\beta}_{\alpha}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {\alpha}}$$.

2. Четвірка матриць $$\ (\sigma^{\mu})_{a \dot {a}}$$ є інваріантом перетворень Лоренца.

3. $$\ (\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu} + \sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu})^{\quad b}_{a} = 2g^{\mu \nu}\delta_{a}^{b} $$.

4. $$\ Tr (\hat {\sigma}_{\mu}\tilde { \hat \sigma}_{\nu}) = 2g_{\mu \nu}$$.

Доведення.