Випромінювання системи зарядів

Повернутися до розділу "Випромінювання системи зарядів".

У статті Дипольний момент розглядалася напруженість поля системи статичних зарядів на великій від них відстані і вводився дипольний момент. А що буде, якщо заряди рухаються, причому рухаються прискорено? Будуть випромінюватися електромагнітні хвилі, а отже, у виразі напруженості та індукції будуть фігурувати доданки, що пов'язані з прискоренням. Можна отримати ці вирази. Для цього треба взяти вирази для потенціалів Лієнара-Віхерта та розкласти у ряд по $$\ \frac{|\mathbf r |}{|\mathbf x|}$$.

Скалярний потенціал
$$\ \varphi (\mathbf x, t) = \int \frac{\rho \left(\mathbf r , t - \frac{|\mathbf x - \mathbf r |}{c}\right)d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r |} \approx ||\mathbf x - \mathbf r| \approx |\mathbf x | - (\mathbf n \cdot \mathbf r ) | \approx \int \frac{\left( \rho \left(\mathbf r , t - \frac{|\mathbf x |}{c} + \frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r )}{c}\right) \right)d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x | - (\mathbf n \cdot \mathbf r )} = \left| T = t - \frac{|\mathbf x |}{c} \right| = $$

$$\ = \frac{1}{|\mathbf x |}\int \rho \left(\mathbf r, T + \frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r )}{c} \right) \left[1 + \frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r )}{|\mathbf x|} - ...\right]d^{3}\mathbf r = \frac{1}{|\mathbf x |}\int \left[\rho(\mathbf r , T) + \frac{\partial \rho }{\partial \tau}\frac{\partial \tau}{\partial \frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r )}{c}}\frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r )}{c} + ...\right] \left[ 1 + \frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r )}{|\mathbf x|} - ...\right]d^{3}\mathbf r = $$

$$\ \approx \frac{1}{|\mathbf x|} \int \rho (\mathbf r, T)d^{3}\mathbf r + \frac{1}{|\mathbf x|^{2} }\int \rho (\mathbf r , T)(\mathbf n \cdot \mathbf r )d^{3}\mathbf r + \frac{1}{c|\mathbf x |}\int \frac{\partial \rho }{\partial \tau}(\mathbf n \cdot \mathbf r )d^{3}\mathbf r = \frac{Q}{|\mathbf x |} + \frac{(\mathbf n \cdot \mathbf d )}{|\mathbf x |^{2}} + \frac{(\mathbf n \cdot \dot {\mathbf d})}{c |\mathbf x|}$$,

де спочатку був пророблений розклад знаменника в ряд по степеням $$\ \frac{|\mathbf r |}{|\mathbf x|}$$, потім - густини в ряд по $$\ \frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r )}{c}$$ (цей вираз малий у порівнянні з $$\ T$$), а потім - відкинуті доданки, старші лінійного по степеням $$\ (\mathbf n \cdot \mathbf r )$$. Крім того, був використаний вираз для дипольного моменту, а рівність

$$\ \int \frac{\partial \rho }{\partial \tau}(\mathbf n \cdot \mathbf r )d^{3}\mathbf r = (\mathbf n \cdot \dot {\mathbf d})$$

справедлива тому, що $$\ \mathbf n $$ пов'язаний з фіксованою точкою простору, а $$\ \mathbf r $$ - змінна інтегрування, яка зникає при інтегруванні по всьому простору.

Окрім того, просто показати, що

$$\ \left(\frac{\partial \rho }{\partial \tau}\right)_{\frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r )}{c} = 0} = \frac{\partial \rho}{\partial T}$$,

де $$\ T = t - \frac{|\mathbf x |}{c}$$ - час, що відповідає моменту, коли спостерігач, розташований в $$\ \mathbf x$$, бачить систему заряди в той час, коли заряди вже знаходяться в положенні з моментом часу $$\ t$$.

Видно, що перший доданок пов'заний з полем сумарного заряду, другий - з полем сумарного дипольного моменту. Третій доданок пов'язаний з динамікою дипольного моменту у часі і повільніше зменшується при збільшенні відстані від системи зарядів. В результаті, він відповідає за випромінювання електромагнітних хвиль системи зарядів, які рухаються прискорено.

Нехай повний заряд системи рівен нулю і вона розглядається на великих відстанях. Тоді для описання скалярного потенціалу достатньо третього доданку:

$$\ \varphi (\mathbf x, T) \approx \frac{(\mathbf n \cdot \dot {\mathbf d })}{c|\mathbf x|} \qquad (.1)$$.

Векторний потенціал
Аналогічно, залишаючи лише члени, пропорційні $$\ \frac{1}{|\mathbf x |}$$, можна отримати розклад векторного потенціалу на великих відстанях від спостерігача. Для нього справедливий вираз

$$\ \mathbf A \approx \frac{1}{|\mathbf x|c}\int \left( \mathbf j (\mathbf r, T ) + \frac{\partial \mathbf j (\mathbf r , T)}{\partial T}\frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r)}{c}\right) \left( 1 + \frac{(\mathbf n \cdot \mathbf r)}{|\mathbf x|}\right)d^{3}\mathbf x \approx \frac{1}{c |\mathbf x|}\int \mathbf j (\mathbf r , T) d^{3}\mathbf r + \frac{1}{c^{2}|\mathbf x|}\int \frac{\partial \mathbf j (\mathbf r , T)}{\partial T}(\mathbf n \cdot \mathbf r)d^{3}\mathbf r$$.

Перетворення дають

$$\ \mathbf A = \frac{\dot {\mathbf d}}{c|\mathbf x|} + \frac{[\dot {\mathbf m} \times \mathbf n]}{c|\mathbf x|} + \frac{1}{6}\frac{1}{c^{2}|\mathbf x|}\ddot {Q}^{\alpha \beta}n_{\alpha}\mathbf e_{\beta} + \frac{1}{6}\frac{\mathbf n}{c^{2}|\mathbf x|}\int \ddot {\rho} r^{2}d^{3}\mathbf r \qquad (.2)$$.

Вирази для полів
Тепер, користуючись $$\ (.1), (.2)$$, можна отримати вирази для полів:

$$\ \mathbf E \approx \frac{1}{c^{2}|\mathbf x|}\left( [[\ddot {\mathbf d }\times \mathbf n ]\times \mathbf n ] + \frac{1}{6c}[[\partial_{T}^{3} \mathbf Q \times \mathbf n ]\times \mathbf n ] + [\mathbf n \times \ddot {\mathbf m}] \right), \quad \mathbf B \approx \frac{1}{c^{2}|\mathbf x |}\left( [\ddot {\mathbf d }\times \mathbf n] + [[\ddot {\mathbf m} \times \mathbf n ]\times \mathbf n ] + \frac{1}{6c}[ \partial_{T}^{3}\mathbf Q\times \mathbf n ]\right), \mathbf Q = Q^{\alpha \beta}\mathbf e_{\alpha }n_{\beta}$$.