Тензор енергії-імпульсу для невзаємодіючих частинок

Інтуїтивно зрозумілим введення тензору енергії-імпульсу частинок буде на основі перетворення коваріантного рівняння руху для електродинаміки.

У коваріантному рівнянні руху,

$$\ m \frac{dv^{\alpha}}{d \tau} = \frac{q}{c}F^{\alpha \beta}v_{\beta} \qquad (.1)$$,

зправа стоїть величина заряду системи частинок. Густина заряду однієї частинки рівна

$$\ \rho (\mathbf r, t) = q \delta (\mathbf r - \mathbf r_{0} (t)) \qquad (.2)$$.

Це ідейно наводить на думку введення густини маси точкової частинки

$$\ \mu (\mathbf r, t) = m \delta (\mathbf r - \mathbf r_{0}(t)) \qquad (.3)$$.

Для такої величини, по аналогії із 4-вектором густиною струму, можна ввести 4-вектор потоку маси

$$\ J^{\alpha} = \mu \frac{dx^{\alpha}}{cdt} = ( \mu, \frac{1}{c}\mu \mathbf v), \quad \partial_{\alpha}J^{\alpha} = 0 \qquad (.4)$$.

Переписавши $$\ (.1)$$ через $$\ (.2)-(.4)$$, можна, помноживши на дельта-функцію зліва та зправа, а після - на величину $$\ \frac{ds}{dt}$$, отримати

$$\ \mu \frac{dv^{\alpha}}{d\tau}\frac{ds}{dt} = \mu c\frac{dv^{\alpha}}{dt} =_{right} = \frac{1}{c}F^{\alpha \beta}\rho v_{\beta}\frac{ds}{dt} = \left|j_{\beta} = \rho \frac{dx_{\beta}}{c dt} = \frac{1}{c}\rho v_{\beta}\frac{ds}{dt}\right| = F^{\alpha \beta}j_{\beta}$$.

Далі треба врахувати, що для неперервного середовища, у якому розподілені маса і заряд, в кожній його точці змінюється не лише їх густина, а й швидкість. Отже, швидкість стає функцією координат.

Тому для $$\ v^{\alpha} = (\gamma c, \gamma \mathbf v )$$ повна похідна по часу буде рівна

$$\ \frac{dv^{\alpha}}{dt} = (\partial_{\beta}v^{\alpha})\frac{dx^{\beta}}{dt}$$.

В результаті, вираз $$\ \mu \frac{dv^{\alpha}}{dt}$$ можна записати, користуючись рівнянням неперервності $$\ \partial_{\beta}J^{\beta} = 0$$:

$$\ \mu c\frac{dv^{\alpha}}{dt} = \mu c(\partial_{\beta}v^{\alpha})\frac{dx^{\beta}}{dt} = c^{2}J^{\beta}\partial_{\beta}v^{\alpha} = \partial_{\beta}(c^{2}J^{\beta}v^{\alpha}) =_{right} = F^{\alpha \beta}j_{\beta}$$.

Можна ввести симетричний тензор

$$\ \Tau^{\alpha \beta} = c^{2}J^{\alpha}v^{\beta} = \mu c\frac{dx^{\alpha}}{dt}v^{\beta} = \mu c^{2} \frac{d \tau}{dt}\frac{dx^{\alpha}}{ds}v^{\beta} = \mu c^{2} \frac{d\tau}{dt}v^{\alpha}v^{\beta}$$.

У явному вигляді його компоненти записуються як

$$\ \Tau^{00} = \mu \gamma_{\mathbf v}c^{2}, \Tau^{0i} = \Tau^{i0} = \mu \gamma_{\mathbf v}v^{i}, \Tau^{ij} = \Tau^{ji} = \mu \gamma_{\mathbf v}v^{i}v^{j}$$.

Видно, що нульова компонента відповідає густині енергії частинки (частинок), розділеній на константу $$\ c$$ а компоненти $$\ 0i, i0$$ - густинам імпульса.

Із введення видно, що

$$\ \partial_{\beta}\Tau^{\alpha \beta} = F^{\alpha \beta}j_{\beta}$$.

Даний тензор у такому вигляді можна, звичайно ж, ввести не лише для електромагнітного поля, а й у більш загальному вигляді, оскільки він залежить від потоку маси частинок та їх швидкості, на які може впливати як електромагнітне, так і гравітаційне поле. Нарешті, його можна ввести самого по собі. Проте такий тензор не характеризує взаємодію частинок, оскільки саме його визначення означає відсутність взаємодії (і пов'язане лише з потоком маси частинок під дією зовнішніх сил). У наступному підрозділі буде розглянуто більш загальний випадок тензору енергії-імпульсу макроскопічного середовища.