Напруженість та індукція поля заряда, що рухається прискорено. Доведення

Доведення 1
Зв'язок між істинним часом та часом із урахуванням запізнення.

$$\ t = T + \frac{\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2}}}{c} \Rightarrow dT = dt - d\frac{\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2}}}{c} $$.

Далі - треба здійснити перехід від змінної $$\ t$$ до двох змінних $$\ T, \mathbf x$$. Враховуючи, що

$$\ \frac{\partial}{\partial \mathbf x}(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2} = 2 R\frac{\mathbf R}{R} = 2 \mathbf R, \quad \frac{\partial }{\partial T} (\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2} = -2 (\mathbf v \cdot \mathbf R )$$,

можна записати:

$$\ dt = dT + \frac{1}{c}\left(\frac{\partial }{\partial \mathbf x}\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2}}d \mathbf x + \frac{\partial }{\partial T}\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2}}dT\right) = dT + \frac{1}{c}\left( \frac{(\mathbf R \cdot d \mathbf x ) - (\mathbf v \cdot \mathbf R ) dT}{R}\right) \Rightarrow dT = \frac{Rdt - \frac{(\mathbf R \cdot d \mathbf x)}{c}}{R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}} $$.

Звідси очевидно, що

$$\ \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{R}{R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}}, \quad \frac{\partial T}{\partial \mathbf x} = -\frac{\mathbf R}{c\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)}$$.

Доведення 2
Напруженість електричного поля прискореного заряду.

Користуючись $$\ (.1)-(.4)$$, можна записати:

$$\ \nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf x} + \frac{\partial \varphi }{\partial T}\frac{\partial T}{\partial \mathbf x} \right) = Q \left[ \frac{\partial }{\partial \mathbf x}\left(\frac{1}{\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0} (T))^{2}} - \frac{\mathbf v}{c}(\mathbf x - \mathbf x_{0} (T))}\right) - \left( \frac{\mathbf R}{c\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} \right)}\left( -\frac{-\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v)}{R} - \frac{(\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c} + \frac{\mathbf v^{2}}{c}}{\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}\right)^{2}}\right)\right)\right] = $$

$$\ = Q\left[ -\frac{\frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v}{c}}{\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{2}} + \frac{\mathbf R \left( -\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v)}{R} - \frac{(\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c} + \frac{\mathbf v^{2}}{c}\right)}{c\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}\right)^{3}}\right] = $$

$$\ = -\frac{Q}{\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}\right)^{3}}\left[ \mathbf R - \frac{\mathbf R (\mathbf v \cdot \mathbf R)}{cR} - \frac{\mathbf v }{c}R + \frac{\mathbf v }{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf R) + \frac{\mathbf R}{c}\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{R} - \frac{\mathbf R v^{2}}{c^{2}} + \frac{\mathbf R}{c^{2}}(\mathbf a \cdot \mathbf R)\right] =  |(.2)| = $$

$$\ = -\frac{Q\gamma^{3}}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf X \cdot \mathbf v)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[ \mathbf R - \frac{\mathbf v }{c}R + \frac{\mathbf v }{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf R) - \frac{\mathbf R \mathbf v^{2}}{c^{2}} + \frac{\mathbf R}{c^{2}}(\mathbf a \cdot \mathbf R)\right]$$.

Аналогічно, для $$\ \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}$$ можна отримати, що

$$\ \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial T}\frac{\partial t}{\partial T} = -\frac{1}{c}\frac{QR}{R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}}\frac{d}{dT}\left(\frac{\mathbf v }{ c \left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right)}\right) = $$

$$\ = \frac{QR}{c\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}\right)}\left[ \frac{\mathbf a}{c\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c} \right)} - \left( \mathbf v \frac{-\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{R} - \frac{(\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c} + \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}}{\left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right)^{2}} \right) \right] = $$

$$\ = -\frac{RQ}{c\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c} \right)^{3}}\left[ -\mathbf a R + \mathbf a\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c} - \mathbf v \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v)}{cR} - \frac{\mathbf v }{c^{2}}(\mathbf a \cdot \mathbf R) + \mathbf v\frac{v^{2}}{c^{2}}\right] = |(.2)| = $$

$$\ = -\frac{Q \gamma^{3}}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[ -\mathbf a \frac{R^{2}}{c} + \mathbf a R \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c^{2}} - \mathbf v\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c^{2}}- \mathbf v \frac{R (\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c^{2}} + \mathbf v \frac{R\mathbf v^{2}}{c^{3}} \right]$$.

Тоді $$\ \mathbf E = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}$$ рівна

$$\ \mathbf E = \frac{Q\gamma^{3}}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[ \mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R + \frac{\mathbf v}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf R) - \frac{\mathbf R \mathbf v^{2}}{c^{2}} + \frac{\mathbf R}{c^{2}}(\mathbf a \cdot \mathbf R) \right] + $$

$$\ + \frac{Q\gamma^{3}}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[-\mathbf a \frac{R^{2}}{c} + \mathbf a R \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c^{2}} - \mathbf v\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v)}{c^{2}}- \mathbf v\frac{R (\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c^{2}} + \mathbf v\frac{R\mathbf v^{2}}{c^{3}} \right] = $$

$$\ = \frac{Q\gamma^{3}}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[ -\frac{\mathbf a}{c}\left((\mathbf R \cdot \mathbf R) - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)R}{c} \right) + \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf a)}{c}\left( \mathbf R - \frac{\mathbf vR}{c} \right) + \mathbf R \left( 1 - \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}} \right) + \frac{\mathbf vR}{c}\left( \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}} - 1\right)\right] = $$

$$\ \frac{Q\left( \mathbf R - \frac{\mathbf v R}{c}\right)\gamma^{3}}{\gamma^{2}\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q\left[\mathbf R \times \left[ \left( \mathbf R - \frac{\mathbf vR}{c}\right) \times \frac{\mathbf a}{c} \right]\right]\gamma^{3}}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \left| \mathbf X = \mathbf R - \frac{\mathbf vR}{c}\right| = \frac{Q\gamma \mathbf X}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{c}\frac{Q\gamma^{3}[\mathbf R \times [\mathbf X \times \mathbf a]]}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}$$.

Доведення 2
Індукція магнітного поля прискореного заряду.

$$\ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A ] = \frac{Q}{c}\left[ \nabla \times \int \frac{\mathbf v (\tau )\delta \left(t - \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau)|}{c}\right) d\tau}{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau)|}\right] = $$

$$\ = \frac{Q}{c}\int \left[ \left( -\frac{\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau )}{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau )|^{3}}\delta \left( t - \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau )|}{c}\right) + \frac{\nabla \left(\delta \left(t - \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf x_{0}(\tau )|}{c}\right)\right)}{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau )|}\right) \times \mathbf v (\tau ) \right]d\tau $$.

Виходячи з виразу для інтегралу від виразу з дельта-функцією від складного аргументу,

$$\ \delta (f(\tau)) = \frac{\delta (\tau - T)}{\left|\frac{\partial f(\tau)}{\partial \tau}\right|_{\tau = T}}$$,

інтеграл від першого доданку рівний, при введенні вектора $$\ \mathbf R (\tau) = \mathbf x - \mathbf x_{0}(\tau )$$,

$$\ \frac{Q}{c}\int \frac{[\mathbf v (\tau )\times \mathbf R (\tau )]}{R^{3} (\tau )}\delta \left(t - \tau - \frac{R (\tau )}{c}\right) d \tau = \frac{Q}{c}\int \frac{[\mathbf v (\tau )\times \mathbf R (\tau)]}{R^{3} (\tau )} \frac{\delta (\tau - T)}{1 - \frac{(\mathbf v (\tau ) \cdot \mathbf R (\tau ) )}{c R (\tau )}}d \tau = -\frac{Q}{c}\frac{[\mathbf R (T) \times \mathbf v (T)]}{ R^{2}(\tau )\left( R(T) - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R (T))}{c} \right)}$$

(надалі перехід від залежності від $$\ \tau $$ до інтегрування до залежності від $$\ T$$ після інтегрування буде вважатися очевидним).

Для визначення виразу для другого доданку треба переписати градієнт від дельта-функції: для

$$\ f (\tau ) = t - \tau - \frac{R (\tau )}{c}$$

він рівен

$$\ \nabla \delta (f(\tau )) = \frac{\partial }{\partial \mathbf x }\delta (f (\tau )) = \frac{\partial f(\tau )}{\partial \mathbf x}\frac{\partial \tau}{\partial f (\tau )}\frac{\partial \delta (f (\tau ))}{\partial \tau} = -\frac{1}{c}\frac{\mathbf R }{\mathbf R }\frac{1}{1 - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c R }}\partial_{\tau}\delta (f(\tau )) = -\frac{1}{c}\frac{\mathbf R }{R - \frac{(\mathbf v  \cdot \mathbf R )}{c}}\partial_{\tau }\delta (f(\tau ))$$.

Тому інтеграл від другого доданку за допомогою інтегрування по частинам можна записати як

$$\ -\frac{Q}{c^{2}}\int \frac{[\mathbf R \times \mathbf v ]}{R^{2} - R\frac{(\mathbf v  \cdot \mathbf R )}{c}}\partial_{\tau}\delta (f(\tau ))d\tau = -\frac{Q}{c^{2}}\frac{[\mathbf R \times \mathbf v ]}{\left(R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{2}}\delta (f(\tau ))\bigg|_{-\infty}^{\infty} + $$

$$\ + \frac{Q}{c^{2}}\int \partial_{t}\left( \frac{[\mathbf R \times \mathbf v ]}{R^{2} - R\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}} \right)\delta (f (\tau))d \tau = \left|\delta (f(\tau ))\bigg|_{-\infty}^{\infty} = 0\right| = $$

$$\ = -\frac{Q}{c^{2}}\int \left( \frac{[\mathbf R \times \mathbf a ]}{R^{2} - R \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}} - \frac{[\mathbf R \times \mathbf v ]\left( -2(\mathbf v \cdot \mathbf R ) + \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )^{2}}{c} + \frac{R\mathbf v ^{2}}{c} - \frac{R (\mathbf R \cdot \mathbf a )}{c} \right)}{\left( R^{2} - R\frac{(\mathbf v  \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{2}}\right)\delta (f(\tau ))d \tau$$.

Для початку, можна звести всі підінтегральні доданки, у яких фігурує прискорення $$\ \mathbf a = \dot {\mathbf v}$$:

$$\ \frac{[\mathbf R \times \mathbf a ]\left(|\mathbf R | - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right) + [\mathbf R \times \mathbf v ]\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf a )}{c}}{R\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} \right)^{2}}$$.

Можна показати, що чисельник цього виразу, з мінусом, відповідає векторному добутку $$\ \left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf R \times \left[ \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v }{c}\right) \times \mathbf a \right]\right]\right]$$.

Дійсно,

$$\ \left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf R \times \left[ \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v }{c}\right) \times \mathbf a \right]\right]\right] = \left[ \mathbf R \times \left( \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v}{c}\right)(\mathbf a \cdot \mathbf R) - \mathbf a \left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right)\right)\right] = -[\mathbf R \times \mathbf a ]\left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right) - [\mathbf R \times \mathbf v ]\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf a )}{c}$$.

Інтеграл від цього виразу (із використанням властивості інтегралу від дельта-функції складного аргументу та врахуванням знаку мінус перед інтегралом) буде рівен

$$\ \frac{Q}{c^{2}}\int \frac{\left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf R \times \left[ \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v }{c}\right) \times \mathbf a \right]\right]\right] }{R\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} \right)^{2}}\delta (f(\tau ))d \tau = \frac{Q}{c^{2}}\frac{\left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf R \times \left[ \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v }{c} \right) \times \mathbf a \right]\right]\right] }{\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} \right)^{3}}$$.

Інтеграл від тих доданків, що залишилися, рівен

$$\ \frac{Q}{c^{2}}\int \left( \frac{[\mathbf R \times \mathbf v ]\left( -2(\mathbf v \cdot \mathbf R ) + \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )^{2}}{c} + \frac{Rv^{2}}{c} \right)}{\left( R^{2} - R\frac{(\mathbf v  \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{2}}\right)\delta (f(\tau ))d \tau = \frac{Q}{c^{2}}\frac{[\mathbf R \times \mathbf v ]\left( -2(\mathbf v  \cdot \mathbf R ) + \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )^{2}}{c} + \frac{R v^{2}}{c} \right)}{R \left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{3}}$$

Згрупувавши цей вираз із найпершим доданком, можна отримати

$$\ \frac{Q}{c}\frac{[ \mathbf R \times \mathbf v ]\left( -\mathbf R^{2} + 2\frac{R (\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )^{2}}{c^{2}} - 2\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R ) R}{c} + \frac{R^{2}v^{2}}{c^{2}} + \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )^{2}}{c^{2}}\right)}{R^{2}\left(|R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{3}} = -Q\frac{\left[\mathbf R \times \frac{\mathbf v}{c}\right]\left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left(|R  - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{3}} = Q\frac{\left[\mathbf R \times \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v}{c} \right)\right]\left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left(|R  - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{3}}$$.

Остаточно, індукція поля рівна

$$\ \mathbf B = Q\frac{\left[\mathbf R \times \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v}{c} \right)\right]\left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left(|R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{3}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf R \times \left[ \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v }{c} \right) \times \mathbf a \right]\right]\right] }{\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} \right)^{3}}$$.