Амплітуда процесу розсіяння. Зв'язок з S-матрицею

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Можна конкретизувати фізичний зміст матриці розсіяння. Нехай спочатку розглядається розсіяння $$\ s$$ одночастинкових пучків один на одному. Розклавши вектор кінцевого стану $$\ | \psi \rangle$$ на деякий повний набір ортогональних функцій (у неперевному випадку власних значень $$\ \beta$$ - інтеграл) та позначивши стан $$\ | in\rangle$$ як $$\ |\alpha\rangle$$,

$$\ |\psi \rangle = \sum_{\beta }c_{\beta}|\beta \rangle$$,

можна встановити зв'язок матричних коефіцієнтів $$\ S_{\alpha \beta}$$ та $$\ c_{\beta}$$:

$$\ c_{\beta} = \frac{\langle \beta | \psi \rangle}{\sqrt{\langle \beta |\beta \rangle \langle \psi | \psi \rangle }} = \frac{\langle \beta| \hat {S}| \alpha \rangle}{\sqrt{\langle \alpha | \hat {S}^{+}\hat {S}| \alpha \rangle \langle \beta |\beta \rangle }} = \frac{\langle \beta| \hat {S}| \alpha \rangle}{\sqrt{ \langle \alpha | \alpha \rangle \langle \beta |\beta  \rangle }} = S_{\beta \alpha}$$,

а квадрат $$\ c_{\beta }$$, а отже, $$\ |S_{\beta \alpha}|^{2}$$, визначає ймовірність $$\ W_{\alpha \to \beta}$$ переходу з початкового стану у стан $$\ | \beta \rangle $$.

Далі, оскільки $$\ \hat {S}(t, t_{0})^{+}\hat {S}(t, t_{0}) = \hat {\mathbf E}$$, то, беручи будь-який діагональний елемент виразу зліва та прирівнюючи його до одиниці, можна отримати

$$\ \sum_{\beta }S^{+}_{\alpha \beta}S_{\beta \alpha} = \sum_{\beta }S^{*}_{\beta \alpha}S_{\beta \alpha} = \sum_{b}|S_{\beta \alpha}|^{2} = 1$$,

що дає, очевидно, суму ймовірностей всіх можливих переходів. Дійсно, для одночастинкових пучків кожен пучок розсіється на іншому лише один раз (що відповідає розсіянню однієї частинки на іншій), і стовідсотково буде отриманий деякий стан $$\ | \psi\rangle $$.

Для випадку, коли у кожному пучку знаходиться більше ніж одна частинка, вираз для ймовірності $$\ W_{\alpha \to \beta }$$ треба домножити на $$\ N_{1}...N_{s}$$, де $$\ N_{i}$$ - число частинок у $$\ i$$-тому пучку. Тоді

$$\ W_{\alpha \to \beta } = N_{1}...N_{s}|S_{\beta \alpha}|^{2} = N_{1}...N_{s}\frac{|\langle \beta |S|\alpha \rangle |^{2}}{\langle \beta |\beta \rangle \langle \alpha| \alpha\rangle} \qquad (1)$$.

Звичайно, сума таких "ймовірностей" не буде нормованою на одиницю, оскільки нормування на початку зводилось до нормування стану для розсіяння однієї частинки на інших. Тут можна поступити двома шляхами: розглядати повну ймовірність розсіяння частинок на всіх частинках чи повну ймовірність розсіяння однієї частинки на інших.

Тепер можна дещо конкретизувати вираз для ймовірності. Відповідно до постановки задачі розсіяння як задачі із деяким фіксованим числом частинок, що мають задані імпульси, треба ввести $$\ in-, out-$$стани як

$$\ | in \rangle = | \alpha \rangle = \hat {a}^{+}(\mathbf p_{1})...\hat {a}^{+}(\mathbf p_{s} ) |\rangle, \quad | out \rangle = \hat {a}^{+}(\mathbf p_{1}{'})...\hat {a}^{+}(\mathbf p_{r} {'})| \rangle $$,

де використано вакуумний стан та оператори народження. Тепер треба врахувати, що $$\ \langle \alpha | \alpha\rangle = \frac{V^{s}}{(2 \pi)^{3s}}$$, де $$\ V$$ - нормувальний об'єм. Фізично це нормування відповідає локалізації усіх частинок у макроскопічному об'ємі $$\ V$$. Тому вираз для ймовірності $$\ (1)$$ набуде вигляду

$$\ W_{\alpha \to \beta } = (2 \pi)^{s}N_{1}...N_{s}\frac{|\langle \beta |S|\alpha \rangle |^{2}}{\langle \beta |\beta \rangle V^{s}} = (2 \pi )^{3s}n_{1}...n_{s}\frac{|\langle \beta |S|\alpha \rangle |^{2}}{\langle \beta |\beta \rangle }$$,

де введені концентрації $$\ n_{i}$$ пучків.

Наступним кроком є пов'язання $$\ | \beta \rangle$$ і $$\ | out \rangle $$. Класти їх рівними не є правильним, оскільки стани $$\ | out \rangle$$ мають точні значення імпульсу, а ймовірність потрапити у стан з точним імпульсом прямує до нуля. В результаті, доцільним є припущення про те, що в $$\ r$$-частинковому стані $$\ | \beta \rangle $$ імпульс знаходиться у "кубику" фазового об'єму зі "сторонами" $$\ d\mathbf p_{i}$$:

$$\ | \beta \rangle = d\mathbf p_{1}' ...d\mathbf p_{n}' | out\rangle, \quad \langle \beta | \beta \rangle = d\mathbf p_{1}{'}...d\mathbf p_{n}{'}$$.

Для формалізму фоківського простору (нагадаю, що будь-який оператор можна подати як інтеграл по ряду фоківських станів) це б відповідало збуренню над вакуумом

$$\ \int d^{3r}\mathbf p{'}f(\mathbf p)\hat {a}^{+}(\mathbf p_{1}{'})...\hat {a}^{+}(\mathbf p_{r}{'} ) | \rangle$$

із $$\ f(\mathbf p) = 1$$ у "кубику" і $$\ f(\mathbf p )$$ поза ним.

Тоді, переходячи до елементарної диференціальної ймовірності, для переходу можна записати

$$\ dW_{\alpha \to out} = (2 \pi )^{3s}n_{1}...n_{s}\frac{|\langle out |S|\alpha \rangle |^{2}(d\mathbf p_{1}{'}...d\mathbf p_{r}{'} )^{2}}{d\mathbf p_{1}{'}...d\mathbf p_{r}{'} } = (2 \pi)^{3s}n_{1}...n_{s}|\langle out |S|\alpha \rangle |^{2}d\mathbf p_{1}{'}...d\mathbf p_{r}{'} $$.

Тепер, нарешті, можна перейти до фінального етапу перетворення виразу для ймовірності. По-перше, можна явно виділити у матричних коефіцієнтах множник-дельта-функцію:

$$\ S_{out, \alpha} = (2 \pi)^{4} i T_{out, \alpha}\delta (P_{out} - P_{\alpha} )$$,

де $$\ T_{out, in}$$ називають (нерелятивізованою) амплітудою розсіяння; $$\ (2 \pi)^{4}$$ введено через нормування інтегралу для дельта-функцій. Далі зручно буде перейти до "релятивізованих" станів $$\ |\mathbf p \rangle_{R} = (2 \pi)^{\frac{3}{2}}\sqrt{2 P_{0}}\hat {a}^{+}(\mathbf p )| \rangle$$, визначивши релятивістськи-інваріантну амплітуду розсіяння $$\ M_{out, \alpha}$$:

$$\ \langle out |S| \alpha \rangle_{r} = (2 \pi)^{4} i M_{out, \alpha}\delta (P_{out} - P_{\alpha}) = (2 \pi)^{4} iT_{out , \alpha }\sqrt{(2 \pi )^{3(r + s)}2P_{01}...2P_{0s}2P_{01}{'}...2P_{0r}{'}}\delta (P_{out} - P_{\alpha})$$.

Тоді, нарешті, ймовірність рівна

$$\ dW_{\alpha \to out} = (2 \pi)^{8}(2 \pi)^{3s}n_{1}...n_{s}|T_{out, \alpha} |^{2}\delta^{2}(P_{out} - P_{\alpha})d\mathbf p_{1}{'}...d\mathbf p_{r}{'} = \delta (P_{out} - P_{\alpha})(2 \pi)^{4}VT\left(\prod_{i = 1}^{s}\frac{n_{i}}{2P_{0i}}\right)|M_{out, \alpha }|^{2}\left(\prod_{j = 1}^{r}\frac{d\mathbf p_{j}{'}}{(2 \pi)^{3}2P_{0j}{'}}\right) \qquad (2)$$,

де використано наведене визначення релятивістськи-інваріантної амплітуди, а квадрат дельта-функцій представлений як

$$\ \delta^{2} (P_{out} - P_{\alpha}) = \delta (P_{out} - P_{\alpha})\delta (0) = \delta (P_{out} - P_{\alpha})\delta (0) = \delta (P_{out} - P_{\alpha})\frac{1}{(2 \pi)^{4}}\int e^{0ix}d^{4}x = \frac{VT}{(2 \pi )^{4}}\delta (P_{out} - P_{\alpha})$$.

де інтегрування проводилося по великому, але кінцевому 4-об'єму локалізації частинок. Вираз $$\ (2)$$ і є тим виразом, який визначає ймовірності для розподілення по імпульсам кінцевих станів при заданих початкових.

Випадок розсіяння двох частинок. Переріз розсіяння
Можна більш детально розглянути випадок розсіяння двох частинок на основі введення перерізу розсіяння. Для випадку двох початкових частинок і (не обов'язково співпадаючих із початковими) кінцевих вираз $$\ (2)$$ має вигляд (індекси $$\ 1, 2$$ відносяться до початкових станів, а індекси $$\ 3,4 $$ - до кінцевих)

$$\ dW_{in \to out} = \delta (P_{out} - P_{in})(2 \pi)^{4}VT\left(\frac{1}{4E_{1}E_{2}V^{2}}\right)|M_{in \to out }|^{2}\left(\frac{d\mathbf p_{3}d^{3}\mathbf p_{4}}{(2 \pi)^{6}4E_{3}E_{4}}\right) = \frac{T}{V}\delta (p_{1} + p_{2} - p_{3} - p_{4})\frac{|M_{in \to out}|^{2}d^{3}\mathbf p_{3}d^{3}\mathbf p_{4}}{64 \pi^{2}E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}} \qquad (3)$$.

На експерименті зазвичай вимірюється не ймовірність розсіяння $$\ (3)$$, а ймовірність, віднесена до потоку налітаючих частинок та одиниці часу (так званий переріз розсіяння). Для випадку двох частинок вираз для потоку має вигляд $$\ J = \frac{u_{\alpha}}{V}$$, де $$\ u_{\alpha}$$ формально називається відносною швидкістю (вираз для неї буде отриманий нижче). Отже, з $$\ (3)$$ маємо вираз для перерізу розсіяння $$\ d\sigma_{in \to out}$$:

$$\ d\sigma_{in \to out} = \frac{dW_{\alpha \to out}V}{Tu_{\alpha}} = \delta (p_{1} + p_{2} - p_{3} - p_{4})\frac{|M_{in \to out}|^{2}d^{3}\mathbf p_{3}d^{3}\mathbf p_{4}}{64 \pi^{2}E_{1}E_{2}E_{3}E_{4}u_{\alpha}} \qquad (4)$$.

Можна вимагати, щоб переріз був лоренц-інваріантною величиною, і звідси знайти вираз для $$\ u_{\alpha}$$. Для цього проаналізуємо $$\ (4)$$. У ньому є лоренц-інваріантна амплітуда $$\ |M_{in \to out}|^{2}$$ (вважається, що за спіральностями усіх частинок просумовано), лоренц-інваріантна дельта-функція, лоренц-інваріантні множники $$\ \frac{d^{3}\mathbf p_{3, 4}}{E_{3, 4}}$$. Справедливість останнього твердження перевіряється інтегральною рівністю виразу $$\ \frac{d^{3}\mathbf p}{2E}$$ та лоренц-інваріантного виразу $$\ \int d^{4}p \theta (p_{0})\delta (p_{0}^{2} - \mathbf p^{2} - m^{2})$$: дійсно, використовуючи тотожність $$\ \delta (f(x)) = \sum_{i}\frac{\delta (x - x_{i})}{|\frac{df}{dx}|_{x = x_{i}}}, x_{i}:f(x_{i}) = 0$$ і враховуючи функцію Хевісайда, маємо

$$\ \int d^{4}p \theta (p_{0})\delta (p_{0}^{2} - \mathbf p_{2} - m^{2}) = \int d^{3}\mathbf p \int dp_{0} \theta (p_{0}\delta (p_{0}^{2} - \mathbf p^{2} - m^{2}) = \int d^{3}\mathbf p \frac{\delta (p_{0} - \sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}})}{2\sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}}}\theta (p_{0})dp_{0} = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{2E}$$.

Отже, щоб переріз був лоренц-інваріантним, треба, щоб вираз $$\ u_{\alpha}$$ перетворювався як $$\ \frac{1}{E_{1}E_{2}}$$ по Лоренцу. Враховуючи також, що для випадку, коли одна з налітаючих частинок покоїться, ця швидкість дорівнює просто швидкості налітаючої частинки $$\ \frac{|\mathbf p_{2}|}{E_{2}}$$, можна встановити, що

$$\ u_{\alpha} = \frac{\sqrt{(p_{1} \cdot p_{2})^{2} - m_{1}^{2}m_{2}^{2}}}{E_{1}E_{2}}$$.

Підставляючи цей вираз до $$\ (4)$$, отримуємо

$$\ d\sigma_{in \to out} = \delta (p_{1} + p_{2} - p_{3} - p_{4})\frac{|M_{in \to out}|^{2}d^{3}\mathbf p_{3}d^{3}\mathbf p_{4}}{64 \pi^{2}E_{3}E_{4}\sqrt{(p_{1} \cdot p_{2})^{2} - m_{1}^{2}m_{2}^{2}}}$$.

Нехай тепер шукається диференціальний переріз, що відповідає виразу

$$\ \frac{d\sigma_{in \to out}}{d\Omega_{4}} = \int d^{3}\mathbf p_{3}\frac{|M_{in \to out}|^{2}}\delta (p_{1} + p_{2} - p_{3} - p_{4})|\mathbf p_{4}|^{2}d|\mathbf p_{4}|$$.

Оскільки дельта-функція рівна $$\ \delta (p_{1} + p_{2} - p_{3} - p_{4}) = \delta (E_{1} + E_{2} - E_{3} - E_{4})\delta (\mathbf {p}_{1} + \mathbf {p}_{2} - \mathbf {p}_{3} - \mathbf {p}_{4})$$, то інтегрування по $$\ \mathbf p_{3}$$ одразу можна "зняти":

$$\ \frac{d\sigma_{in \to out}}{d\Omega_{4}} = \int \frac{|M_{in \to out}|^{2}}{64 \pi^{2}E_{3}E_{4}\sqrt{(p_{1} \cdot p_{2})^{2} - m_{1}^{2}m_{2}^{2}}}\delta (E_{1} + E_{2} - {E_{3}}_{\mathbf p_{1} + \mathbf p_{2} - \mathbf p_{4}} - E_{4})|\mathbf p_{4}|^{2}d|\mathbf p|_{4}$$.

Подальше інтегрування зручно виконувати у системі центру мас, де $$\ \mathbf p_{1} + \mathbf p_{2} = \mathbf p_{3} + \mathbf p_{4} = 0$$: тоді дельта-функція як аргумент від імпульсів має вигляд $$\ \delta (E_{1} + E_{2} + E_{3}(\mathbf p_{4}) + E_{4}(\mathbf p_{4})) = \delta (E_{1} + E_{2} + \sqrt{m_{3}^{2} +\mathbf p_{4}^{2}} + \sqrt{m_{4}^{2} +\mathbf p_{4}^{2}})$$,

і, використовуючи інтегральну тотожність $$\ \delta (f(x)) = \sum_{i}\frac{\delta (x - x_{i})}{|\frac{df}{dx}|_{x = x_{i}}}, x_{i}:f(x_{i}) = 0$$, можна отримати:

$$\ f(\mathbf p) = E_{1} + E_{2} + \sqrt{m_{3}^{2} +\mathbf p_{4}^{2}} + \sqrt{m_{4}^{2} +\mathbf p_{4}^{2}} = E + \sqrt{m_{3}^{2} +\mathbf p_{4}^{2}} + \sqrt{m_{4}^{2} +\mathbf p_{4}^{2} } = 0 \Rightarrow |\mathbf p_{0}| = \frac{\sqrt{(E^{2} - m_{3}^{2} - m_{4}^{2})^2 - 4m_{3}^{2}m_{4}^{2} }}{2E}, \left(\frac{d f(\mathbf p)}{dp}\right)_{\mathbf p = \mathbf p_{0}} = \frac{|\mathbf p_{0}|E}{E_{3}E_{4}}$$,

$$\ \frac{d\sigma_{in \to out}}{d\Omega_{4}} = \frac{|\mathbf p_{0}||M_{in \to out}|^{2}}{64 \pi^{2}\sqrt{(p_{1} \cdot p_{2})^{2} - m_{1}^{2}m_{2}^{2}}E} = \frac{|\mathbf p_{0}|}{|\mathbf p_{1}|}\frac{|M_{in \to out}|^{2}}{64 \pi^{2}E^2}$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$ $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$ $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$ $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$