Деякі наслідки із рівнянь Максвелла

Повернутися до розділу "Рівняння Максвелла".

Рівняння неперервності
Якщо використати третє рівняння Максвелла, взявши дивергенцію від ротора цього поля, можна буде отримати рівняння неперервності:

$$\ (\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf B ]) = ([\nabla \times \nabla ] \cdot \mathbf B ) = 0 = \frac{1}{c}4\pi \nabla \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial \nabla \mathbf E }{\partial t} = |\nabla \mathbf E = 4 \pi \rho| = \frac{1}{c}4\pi \left( \nabla \mathbf j + \frac{\partial \mathbf \rho }{\partial t} \right) \Rightarrow \nabla \mathbf j + \frac{\partial \mathbf \rho }{\partial t} = 0$$.

Інтерпретацію цього рівняння можна отримати, якщо розглянути деякий замкнений об'єм $$\ V$$. Для маленької ділянки поверхні $$\ dS$$, прилягаючого до неї об'єму $$\ dV = dS u_{n}dt$$ і заряду, що за час $$\ dt$$ зі швидкістю $$\ \mathbf u$$ залишає цей об'єм, можна записати:

$$\ dQ = \rho dV = \rho dS u_{n}dt = (\rho \mathbf u \cdot d \mathbf S)dt = (\mathbf j \cdot d \mathbf S)dt$$.

Тоді для об'єму $$\ V$$, ввівши поняття повного заряду, $$\ Q = \int \limits_{V} \rho dV$$, доцільно також ввести поняття сили струму:

$$\ I = -\frac{d Q}{dt} = \int \limits_{S} ( \mathbf j \cdot d \mathbf S )$$

(знак мінус в першій рівності взято через те, що розглядається втрата об'ємом заряду, а заряд вважається додатним). Тоді, використовуючи теорему Гаусса-Остроградського, можна отримати:

$$\ I = \int \limits_{S} ( \mathbf j \cdot d \mathbf S ) = \int \limits_{V}\nabla \mathbf j dV = -\frac{d}{dt}\int \limits_{V}\rho dV = -\int \limits_{V} \frac{d \rho }{dt}dV \Rightarrow \nabla \mathbf j + \frac{d\rho }{dt} = 0 \qquad (.1)$$.

Отже, рівняння неперервності виражає закон збереження заряду: зміна заряду у замкненому об'ємі $$\ V$$ пов'язана зі струмом $$\ I$$, що проходить через поверхню $$\ S$$, яка обмежує даний об'єм. Варто зазначити, що даний закон є локальним: у рамках СТВ неможливе миттєве зникання заряду у одному місці і наслідкове його виникнення у іншому. Тому закон цей діє лише у інтерпретації, зазначеній вище.

Магнітостатика
Нехай для заданої конфігурації струмів $$\ \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = 0$$. Тоді друге і третє рівняння Максвелла мають вигляд:

$$\ \nabla \mathbf B = 0, \quad [ \nabla \times \mathbf B ] = 4\pi \mathbf j $$,

або, у інтегральній формі,

$$\ \int \limits_{S}\mathbf B d \mathbf S = 0, \quad \int \limits_{L}\mathbf B d \mathbf r = \frac{4\pi }{c} I \qquad (.2)$$.

Для конфігурації, що має явну симетрію, можна знайти вираз для індукції поля у явному вигляді. Наприклад, можна розглянути нескінченний провідник, по якому тече постійний струм. Тоді конфігурація струмів має явну циліндричну симетрію. В результаті, можливі три незалежних напрямки силових ліній магнітної індукції, що мають циліндричну симетрію. Усі вони наведені на зображенні нижче.



Використовуючи $$\ (.2)$$, можна показати, що можлива лише третя конфігурація. Дійсно, якщо вибрати у якості замкнутої поверхні циліндр, то перший інтеграл виразу $$\ (.2)$$ для першої конфігурації не буде рівен нулю, оскільки вектори $$\ \mathbf B, d\mathbf S_{1}$$ у загальному випадку не ортогональні. А отже, перша конфігурація протирічить рівнянням Максвелла. Далі, якщо вибрати у якості замкнутої кривої коло деякого радіуса $$\ r$$, то вектор $$\ d \mathbf r$$ є дотичним до неї. Тому для другого випадку вектори $$\ \mathbf B, d\mathbf r$$ є ортогональними, а внаслідок цього другий інтеграл виразу $$\ (.2)$$ для другої конфігурації рівен нулю, що знову ж таки протирічить рівнянням Максвелла. Третя ж конфігурація задовільняє і першому, і другому інтегралам $$\ (.2)$$.

Тоді можна знайти вираз для $$\ |\mathbf B|$$:

$$|\mathbf B| = \frac{2I}{cR}$$.

Векторний потенціал
Друге рівняння Максвелла $$\ \nabla \mathbf B = 0$$ можна тотожньо виконати, якщо представити $$\ \mathbf B$$ як ротор від деякої вектор-функції $$\ \mathbf A$$:

$$\ \mathbf B = [ \nabla \times \mathbf A ] \Rightarrow \nabla \mathbf B = (\nabla \cdot [ \nabla \times \mathbf A ]) = 0$$.

Аналогічно, оскільки ротор градієнта рівен нулю, можна стверджувати, що $$\ \mathbf A$$ визначена з точністю до градієнта деякої скалярної функції. Внаслідок цього можна накласти деякі умови на вектор-функцію. Наприклад, можна вибрати її такою, щоб дивергенція цієї функції була рівна нулю (Кулонівське калібрування). Дійсно, нехай

$$\ \mathbf A' = \mathbf A + grad(f) $$.

Тоді для деякої ненульової функції $$\ g$$

$$\ \nabla \mathbf A' = \nabla \mathbf A + \nabla grad(f) = \nabla \mathbf A + \Delta f = g$$

можна записати, що $$\ \Delta f = g$$, звідки $$\ \nabla \mathbf A = 0$$.

Дана умова дозволяє отримати загальний інтегральний вираз для $$\ \mathbf A, \quad \mathbf B$$:

$$\ [\nabla \times \mathbf B ] = [\nabla \times [\nabla \times \mathbf A]] = \nabla (\nabla \mathbf A) - \mathbf A (\nabla \cdot \nabla) = -\Delta A = \frac{1}{c}4 \pi \mathbf j$$.

Розв'язок отриманого рівняння Пуассона - наступний:

$$\ \mathbf A (\mathbf x) = \frac{1}{c}\int \frac{\mathbf j (\mathbf r )d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r |}$$.

Тоді, з урахуванням виразу для $$\ [\nabla \times \mathbf a \varphi ] = [\nabla \times \mathbf a ] - [\mathbf a \times grad \varphi ]$$, а також - того, що для постійних струмів $$\ [ \nabla \times \mathbf j ] = 0$$, можна отримати:

$$\ \mathbf B = [ \nabla \times \mathbf A ] = \frac{1}{c}\int \frac{[\nabla \times \mathbf j ]d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r |} + \frac{1}{c}\int \frac{[ \mathbf j \times (\mathbf x - \mathbf r )]d^3 \mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r |^{3}} = \frac{1}{c}\int \frac{[ \mathbf j \times (\mathbf x - \mathbf r )]d^3 \mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r |^{3}} \qquad (.3)$$.

Це є законом Біо-Савара.

Можна записати загальний вираз для сили у випадку неперервного розподілення:

$$\ \mathbf F = \frac{1}{c}\sum Q_{i}[\mathbf v_{i} \times \mathbf B_{i} ] = \left|\mathbf j = \sum Q_{i}\mathbf v_{i} \delta (\mathbf r - \mathbf r_{i}) \right| = \frac{1}{c}\int [\mathbf j \times \mathbf B ] d^{3}\mathbf r $$,

де перехід до інтегрування стає можливим завдяки тому, що

$$\ \int f(\mathbf r - \mathbf r_{i}) \delta (\mathbf r - \mathbf r_{i})d^{3}\mathbf r = f (\mathbf r_{i})$$.

(див. властивості дельта-функції).

Сила, що діє між двома провідниками зі струмом
Для провідників густина струму зосереджена вздовж тонкого приповерхневого шару. Тоді вираз $$\ (.3)$$ можна перетворити у контурний інтеграл $$\ \mathbf j d^{3} \mathbf r \Rightarrow I d \mathbf r$$. Тоді, якщо $$\ \mathbf r$$ напрямлений від $$\ d \mathbf r$$ у точку спостерігання, $$\ (.3)$$ остаточно набуде вигляду

$$\ d \mathbf B = \frac{1}{c}I\frac{[d \mathbf r \times \mathbf r]}{|\mathbf r |^{3}}$$.

Тоді елементарна сила, що діє зі сторони другого провідника на перший, для випадку зосередження густини струму вздовж тонкого приповерхневого шару буде рівна

$$\ d^{2} \mathbf F_{21} = \frac{1}{c^{2}}I_{1} [d\mathbf r_{1} \times d\mathbf B ] = \frac{1}{c^{2}}I_{1}I_{2}\frac{[d\mathbf r_{1} \times [d \mathbf r_{2} \times \mathbf r_{21}]}{|\mathbf r_{12} |^{3}} = \frac{1}{c^{2}}I_{1}I_{2}\left( \frac{d \mathbf r_{2} (d \mathbf r_{1} \cdot \mathbf r_{21})}{|\mathbf r_{12} |^{3}} - \frac{\mathbf r_{12} (d \mathbf r_{1} \cdot d \mathbf r_{2})}{|\mathbf r_{12} |^{3}} \right) \qquad (.4)$$.

Звідси

$$\ \mathbf F_{21} = -\frac{I_{1}I_{2}}{c^{2}}\int \int \frac{\mathbf r_{12} (d \mathbf r_{1} \cdot d \mathbf r_{2})}{|\mathbf r_{12} |^{3}}$$.

Дійсно, у виразі $$\ (.4)$$ перший доданок є повним диференціалом від виразу $$\ \frac{1}{|\mathbf r_{12} |}$$ по $$\ \mathbf r_{1} $$. Дійсно, при $$\ \mathbf r_{2} = const$$

$$\ grad(\frac{1}{|\mathbf r_{12}|} )d \mathbf r_{1} = -\frac{\mathbf r_{12} d\mathbf r_{1}}{|\mathbf r_{12} |^{3}}$$.

Внаслідок цього при інтегруванні по замкнутому контуру або по нескінченному провіднику інтеграл від першого доданку рівен нулю. Дійсно, оскільки у першому доданку інтегрування по $$\ d\mathbf r_{1}, d\mathbf r_{2}$$ є незалежними, то при інтегруванні по $$\ d \mathbf r_{1}$$ буде підстановка по симетричним межам, що дасть нуль.

Магнітне поле, що створюється круговим витком
Нехай струм $$\ I$$ рухається по круговому контуру радіуса $$\ a$$. Із геометричним центром контура можна зв'язати початок координат. Треба знайти індукцію магнітного поля на осі $$\ Oz$$. Зручно вибрати циліндричну систему координат. При цьому вектор, проведений від початку координат до лінії контура, має у такій системі координати $$\ \mathbf a = (acos (\varphi ); asin(\varphi ) )$$. Вектор $$\ \mathbf r$$, проведений від кінця вектора $$\ \mathbf a$$ до осі $$\ Oz$$, має координати $$\ \mathbf r = (0;0;z)$$. Враховуючи, що зміщення вздовж контура рівне $$\ d \mathbf a$$, можна записати:

$$\ |\mathbf r - \mathbf a|^{2} = a^{2} + z^{2}, [d \mathbf a \times \mathbf r] = \begin{vmatrix} \mathbf \mathbf i & \mathbf \mathbf j & \mathbf \mathbf k \\ -asin(\varphi )d \varphi & acos(\varphi )d \varphi & 0 \\ 0 & 0 & z \end{vmatrix} = (az cos(\varphi ); -az sin(\varphi ), a^{2})d \varphi$$.

Накінець, використовуючи $$\ (.3)$$, можна записати:

$$\ B = \frac{1}{c}I\int \limits_{L}\frac{[d \mathbf a \times \mathbf r ]}{(a^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{c}I\int \limits_{0}^{2 \pi}\frac{(az cos(\varphi ); -az sin(\varphi ), a^{2})d \varphi}{(a^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{c}\frac{2\pi a^{2}I}{(a^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}}$$.

Соленоїд
Якщо паралельно розмістити дві стопки кругових кілець, причому струм двух відповідних кілець буде напрямлений по іх контурам у різні сторони відносно годинникової стрілки, то можна буде отримати поле соленоїда. Лінії індукції магнітного поля будуть орієнтовані все більш паралельно із ростом "висоти" стопок. При умові нескінченної "висоти" лінії індукції будуть паралельними, причому поле буде однорідне у соленоїді, а за межами соленоїда індукція буде рівна нулю (за умови того, що індукція зменшується при віддаленні від осі симетрії вздовж соленоїда). Це можна показати наступним чином. Для інтегральної версії третього рівняння Максвелла, за умов магнітостатики, значення інтегралу

$$\ \int \limits_{L} \mathbf B d \mathbf r = \frac{1}{c}4 \pi I$$

визначається струмом, що тече по поверхні, обмеженій контуром.

Якщо вибрати контур таким чином, щоб струм не тік по обмеженій поверхні, інтеграл буде рівен нулю. Вибравши прямокутник, горизонтальні сторони якого перпендикулярні лініям індукції, а вертикальні довжиною $$\ L$$ - паралельні їм, можна отримати:

$$\ \int \limits_{L} \mathbf B d \mathbf r = (B_{2} - B_{1})L = 0 \Rightarrow B_{1} = B_{2} \Rightarrow B_{int} = const$$.

Аналогічно для контуру поза соленоїдом з отриманої рівності слідує, що $$\ B_{ext} = 0$$.

Якщо ж обрати контур таким чином, щоб він проходив через кругові кільця, вибравши, знову ж таки, прямокутник, причому одна паралельна лініям індукції сторона знаходиться поза соленоїдом, то можна отримати формулу для індукції магнітного поля у соленоїді:

$$\ BL = \frac{1}{c}4\pi I \Rightarrow B = \frac{1}{c}\frac{4 \pi I}{L}$$.

Закон Фарадея
Можна помітити, що інтегральне рівняння Максвелла для ротора напруженості електричного поля,

$$\ \oint \mathbf E d \mathbf l = -\frac{1}{c}\int \frac{\partial \mathbf B }{\partial t}d \mathbf S_{0}$$,

не враховує залежності поверхні від часу, а отже, оператор похідної по часу не можна виносити за інтеграл, не зафіксувавши при цьому елемент вектора площі $$\ d \mathbf S$$. Проте результат, що отриманий при виведенні цього рівняння, можна узагальнити. Для цього треба взяти повну похідну від виразу $$\ \frac{1}{c}\int \mathbf B d \mathbf S$$:

$$\ \frac{1}{c}\frac{d}{dt}_{t = t_{0}}\int \mathbf B d \mathbf S = \frac{1}{c}\int \frac{\partial \mathbf B}{\partial t}d \mathbf S_{0} + \frac{1}{c}\int \mathbf B_{0}\frac{d \mathbf S(t)}{dt}$$.

Оскільки елемент вектора площі рівен $$\ d \mathbf S = - [d\mathbf l \times \mathbf v_{0} d t]$$, що описується як сегмент кривої $$\ d \mathbf l$$, що був пройдений за час $$\ dt$$ із швидкістю $$\ \mathbf v_{0}$$, то, використовуючи роторне рівняння Максвелла для напруженості електричного поля і щойно написане, можна отримати, що

$$\ \frac{1}{c}\frac{d}{dt}_{t = t_{0}}\int \mathbf B d \mathbf S = - \int [\nabla \times \mathbf E ]d \mathbf S_{0} - \frac{1}{c}\int (\mathbf B_{0} \cdot [d\mathbf l \times \mathbf v_{0 }]) = - \int \mathbf E_{0} d \mathbf l - \frac{1}{c}\int[\mathbf v_{0} \times \mathbf B_{0} ] d \mathbf l = -\int \left( \mathbf E_{0} + \frac{1}{c}[\mathbf v_{0} \times \mathbf B_{0}]\right) d \mathbf l = $$

$$\ = -\frac{1}{q}\int \mathbf F_{L}d \mathbf l = - |\mathbf F_{ind.}| \Rightarrow |\mathbf F_{ind}| = -\frac{1}{c}\frac{d \Phi}{dt}$$.

Цей вираз називається законом Фарадея.