Зв'язок полів та масивних одночастинкових станів

Повернутися до розділу "Зв'язок між частинками та полями".

Можна пов'язати поля, що описуються незвідними спінорними представленнями групи Лоренца, та частинки, що описуються незвідними нескінченновимірними представленнями групи Пуанкаре, у рамках спінорного формалізму.

Із розділу про групу Пуанкаре відомо, що оператори Казиміра $$\ \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}, \hat {P}_{\mu }\hat {P}^{\mu}$$ незвідних представлень групи мають спектр

$$\ \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}\psi = -m^{2}s(s + 1)\psi, \quad \hat {P}_{\mu }\hat {P}^{\mu}\psi = m^{2}\psi \qquad (.6)$$,

де $$\ \psi$$ - функція поля, $$\ s$$ - спінове число.

В силу рівності $$\ \hat {P}_{\mu} = i\partial_{\mu}$$ другу рівність можна переписати як

$$\ \left(\square + m^{2}\right)\psi = 0$$,

що називається рівнянням Клейна-Гордона.

Якщо використати спінорне представлення полів, то можна довести таку теорему: якщо симетричне окремо за точковими та неточковими індексами релятивістське поле $$\ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}}$$, що являється незвідним представленням групи Лоренца $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) $$, задовольняє рівнянням

$$\ \left(\square + m^{2}\right)\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} = 0 \qquad (.7)$$,

$$\ \partial^{a \dot {a}}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = 0 \qquad (.8)$$,

то воно реалізує незвідне представлення групи Пуанкаре із масою $$\ m$$ та спіном $$\ s = \frac{n + m}{2}$$.

Доведення проводиться у декілька етапів.

По-перше, треба показати, що у функції поля в такому представленні є $$\ 2s + 1$$ незалежних компонент. Для цього можна використати те, що рівняння $$\ (.7), (.8)$$ являються явно коваріантними, тому, для спрощення, можна використати ІСВ, у якій частинка покоїться. Для неї $$\ p_{\mu} = (m, 0, 0, 0) $$, і тому

$$\ p_{\mu}\psi = m \psi, \quad p^{a \dot {a}}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = (\tilde {\sigma}^{\mu})^{a \dot {a}}p_{\mu}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = \delta^{a \dot {a}}m\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = 0 \qquad (.9)$$.

Початкова функція, на яку не накладено жодної умови, має $$\ (n + 1)(m + 1)$$ кількість незалежних компонент. Умова $$\ (.9)$$ зменшує кількість перестановок індексів на один для неточкового та один для точкового індексів. Таким чином, з цією умовою є $$\ (n + 1 - 1)(m + 1 - 1) = nm$$ тривіальних компонент. Число ж нетривіальних компонент рівне

$$\ (n + 1)(m + 1) - nm = n + m + 1 = 2\frac{(n + m)}{2} + 1 = 2s + 1$$,

що й потрібно було довести.

Далі треба показати, що дія оператору Казиміра - квадрату оператора Паулі-Любанського - на поле дає

$$\ W_{\mu}W^{\mu}\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{a a_{1}...a_{n - 1}\dot {a}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m - 1}}$$.

Для цього треба переписати вираз для квадрату оператора у рамках спінорного формалізму. Тоді (доведення)

$$\ W_{a\dot {a}}W^{a \dot {a}} = \frac{1}{2}\left( M_{ac}M^{ac} + M_{\dot {a}\dot {c}}M^{\dot {a}\dot {c}}\right)\partial^{2} - M_{\dot {a}\dot {c}}M_{a d}\partial^{\dot {c}a}\partial^{\dot {a}d}$$.

Дія першого доданку на функцію стану може бути зведена до дії квадратів операторів групи Лоренца. Треба визначити дію першого доданку:

$$\ \partial^{\dot {\alpha} \alpha}\partial^{\dot {\beta }\beta }M_{ab}M_{\dot {a}\dot {b}}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = -\partial^{\dot {a}a}\partial^{\dot {b}b}M_{ab}\frac{i}{2}2\sum_{i = 1}^{m}\varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} = $$

$$\ = -\frac{1}{2}\partial^{\dot {a}a}\partial^{\dot {b}b}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\left( \varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}}\varepsilon_{c_{j}b}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} + \varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}}\varepsilon_{c_{j}a}\psi_{bc_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}}\right) = $$

$$\ =-\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\left( \partial_{\dot {c}_{i}}^{\quad a}\partial^{\dot {b}}_{\quad c_{j}}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} + \partial_{c_{j}\dot {c}_{i}}\partial^{\dot {b}b}\psi_{bc_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}}\right)$$.

Другий доданок рівен нулю в силу умови $$\ (.8)$$, а перший доданок можна перетворити (див. розділ "Основні властивості...") як

$$\ \partial_{\dot {c}_{i}}^{\quad a}\partial^{\dot {b}}_{\quad c_{j}} = \partial^{\dot {a}a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\varepsilon^{\dot {b}\dot {\beta}}\varepsilon_{\dot {c}_{i}\dot {a}} = -\partial^{\dot {a}a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\left( \delta^{\dot {b}}_{\dot {c}_{i}}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {a}} - \delta^{\dot {b}}_{\dot {a}}\delta^{\dot {\beta}}_{\dot {c}_{i}} \right) = -\partial^{\dot {\beta }a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\delta^{\dot {b}}_{\dot {c}_{i}} + \partial^{\dot {a}a}\partial_{c_{j}\dot {c}_{i}}$$.

Дія другого доданку зводиться до виразу $$\ (.8)$$, а дія першого дає

$$\ \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n} \partial^{\dot {\beta }a}\partial_{c_{j}\dot {\beta }}\delta^{\dot {b}}_{\dot {c}_{i}}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {b}\dot {c}_{1}...\dot {\tilde c}_{i}...\dot {c}_{m}} = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\partial^{2}\delta^{a}_{c_{j}}\psi_{ac_{1}...\tilde {c}_{j}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = \frac{m^{2}}{2}\sum_{i = 1}^{m}\sum_{j = 1}^{n}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = \frac{m^{2}}{2}mn\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}}$$.

Отже, дія оператору Казиміра зводиться до

$$\ C_{2}\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = \left( \frac{1}{2}\left( M_{ac}M^{ac} + M_{\dot {a}\dot {c}}M^{\dot {a}\dot {c}}\right)\partial^{2} - M_{\dot {a}\dot {c}}M_{a d}\partial^{\dot {c}a}\partial^{\dot {a}d}\right)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = -\frac{m^{2}}{2}\left( \frac{m(m + 2) + n(n + 2)}{2} + mn\right)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = $$

$$\ = -\frac{m^{2}}{4}(m + n)(m + n + 2)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{c_{1}...c_{n}\dot {c}_{1}...\dot {c}_{m}}$$.

Отже, теорему доведено.

Для випадків різного спіну у подальших із цієї теореми будуть отримані відповідні рівняння на функції поля. Наголошу, що полями відповідні функції називаються відповідно до визначення поля як функції на просторі-часі Мінковського, а не тому, що об'єкт, який вони описують, є полем.

Оператор зв'язку різних представлень
Для подальшого аналізу релятивістських рівнянь треба дослідити зв'язок між представленнями $$ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$ із однаковим спіном, проте різними $$\ n, m$$. Для цього можна ввести оператор

$$ \Delta_{a\dot {a}} = \frac{i}{m}P_{a \dot {a}} = -\frac{1}{m}\partial_{a \dot {a}} \qquad (.10)$$.

У просторі розв'язків рівняння Клейна-Гордона оператор може бути обернений:

$$ \Delta_{a}^{\quad \dot {a}}\Delta^{b}_{\quad \dot {a}}\psi = \frac{1}{m^{2}}\partial_{a}^{\quad \dot {a}}\partial^{b}_{\quad \dot {a}} = \frac{1}{m^{2}}\partial_{\mu }\partial_{\nu}(\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\sigma^{\nu})^{b}_{\quad \dot {a}}\psi =\left|(\sigma^{\nu})^{b}_{\quad \dot {a}}\psi = (\tilde {\sigma^{\nu}})_{\dot {a}}^{\quad b}\right| =$$

$$ = \frac{1}{2m^{2}}\left( (\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\nu}})_{\dot {a}}^{\quad b} + (\sigma^{\nu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\mu}})_{\dot {a}}^{\quad b}\right) \partial_{\mu}\partial_{\nu}\psi = \frac{1}{2m^{2}}2g^{\mu \nu}\delta^{b}_{a}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\psi = \delta^{b}_{a}\psi$$,

де використана рівність 3:

$$ (\sigma^{\mu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\nu}})_{\dot {a}}^{\quad b} + (\sigma^{\nu})_{a}^{\quad \dot {a}}(\tilde {\sigma^{\mu}})_{\dot {a}}^{\quad b} = 2g^{\mu \nu}\delta^{b}_{a}$$.

Оператори $$ (.10)$$ дозволяють перетворювати точкові індекси спінорного тензору у неточкові. Це, очевидно, і встановлює зв'язок між представленнями. Дійсно, нехай є представлення $$ (0, s)$$, яке має $$ 2s + 1$$ компонент. В результаті для нього не потрібна умова $$\ \qquad (.8)$$. Подіявши на нього $$\ n$$ операторами $$ \Delta_{a_{i}}^{\dot {b}_{2s - i}}$$, можна отримати $$\ k$$ точкових індексів та $$\ n $$ неточкових, $$ n + k = 2s$$, і відповідний симетричний тензор:

$$ \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{k}} = \Delta_{a_{1}}^{\quad \dot {b}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{k + n}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}}$$.

Даний тензор задовольняє умові $$ (.8)$$,

$$ \partial^{a_{1}\dot {b}_{1}}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{k}} = (\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {b}_{1}a_{1}}\partial_{\mu}\Delta_{a_{1}}^{\quad \dot {b}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{k + n}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = -\frac{1}{m}\partial_{\mu}\partial_{\nu}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {b}_{1}a_{1}}(\sigma^{\nu})_{a_{1}}^{\quad \dot {b}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{n + k}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = $$

$$ = -\frac{1}{m}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\varepsilon^{\dot {b}_{k + 1}\dot {c}_{1}}(\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {b}_{1}a_{1}}(\sigma^{\nu})_{a_{1} \dot {c}_{k + 1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{n + k}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = -\frac{2}{m}\partial_{\mu}\partial_{\nu}g^{\mu \nu}\varepsilon^{\dot {b}_{k + 1}\dot {b}_{1}}...\Delta_{a_{n}}^{\quad \dot {b}_{n + k}}\psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}} = 0$$

в силу незвідності спінорного представлення $$ \psi_{\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n + k}}$$.

Таким чином, є взаємозв'язок між представленням $$ (0, s)$$ та будь-яким іншим із відповідним спіновим числом, включаючи $$ (s, 0)$$. Для "проміжних" представлень треба використовувати умову $$ (.8)$$, для "першого" й "останнього" - ні.

Тепер, нарешті, можна перейти до отримання рівнянь поля для відповідних представлень зі спіном $$ s$$.