Дипольний і магнітний моменти. Доведення

Доведення 1
Вираз для векторного потенціалу в дипольному наближенні.

Для стаціонарного випадку рівняння неперервності має вигляд $$\ \nabla \mathbf j = 0$$.

Тоді

$$\ \nabla (r_{i}r_{j}\mathbf j ) = \sum_{k}\nabla_{k}(r_{i}r_{j}j_{k}) = \sum_{k}\left(\delta_{ik}r_{j}j_{k} + r_{i}\delta_{kj}j_{k}\right) = r_{j}j_{i} + r_{i}j_{j}$$.

Об'ємний інтеграл же від цього виразу рівен нулю, оскільки струми локалізовані і не витікають:

$$\ \int \limits_{V}\nabla (r_{i}r_{j}\mathbf j)dV = \int \limits_{S}r_{i}r_{j}( \mathbf j \cdot d\mathbf S ) = 0 \Rightarrow \int \limits_{V}r_{j}j_{i}dV = - \int \limits_{V}r_{i}j_{j}dV$$.

Оскільки

$$\ (\mathbf x \cdot \mathbf r )\mathbf j_{i} = \sum_{j}x_{j}r_{j}j_{i}, \quad (\mathbf x \cdot \mathbf j )\mathbf r_{i} = \sum_{j}x_{j}j_{j}r_{i}$$,

то інтеграл від лівої частини $$\ (.3)$$ рівен інтегралу від першого доданку правої частини зі знаком мінус (для постійного вектора $$\ x$$). Для розуміння цього достатньо того, що

$$\ \int x_{j}j_{j}r_{i}dV = x_{j}\int r_{i}j_{j}dV$$.

Звідси

$$\ \int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r = -\int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r - \int \limits_{V}[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] d^{3}\mathbf r \Rightarrow \int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r = -\frac{1}{2}\int \limits_{V}[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] d^{3}\mathbf r$$.

Тоді

$$\ \mathbf A = -\frac{1}{c}\frac{1}{2}\int \limits_{V}\frac{[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]]}{|\mathbf x |^{3}} d^{3}\mathbf r = -\frac{[\mathbf x \times \mathbf m]}{|\mathbf x |^{3}} = \frac{[\mathbf m \times \mathbf x]}{|\mathbf x |^{3}}$$.

Доведення 2
Вираз для індукції поля у дипольному наближенні.

Враховуючи, що

$$\ [\nabla \times [\mathbf b \times \mathbf a ]] = (\mathbf a \nabla)\mathbf b - (\mathbf b \nabla)\mathbf a + \mathbf a (\nabla \cdot \mathbf b) - \mathbf b (\nabla \cdot \mathbf a)$$,

можна записати, що

$$\ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A] = \left[\nabla \times \left[\frac{\mathbf m \times \mathbf x }{|\mathbf x |^{3}} \right]\right] = \left(\frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}}\nabla \right)\mathbf m - (\mathbf m \nabla) \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}} + \mathbf m \left(\nabla \cdot \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}}\right) - \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}} (\nabla \cdot \mathbf m )$$.

Перший і четвертий доданки дають нуль, а отже,

$$\ \mathbf B = \mathbf m \left(\nabla \cdot \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}}\right) - (\mathbf m \nabla) \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |^{3}} = 3\mathbf m \left(\frac{1}{| \mathbf x |^{3}} - \frac{1}{|\mathbf x |^{3}}\right) - \frac{1}{|\mathbf x|^{3}}(\mathbf m \nabla)\mathbf x + \mathbf x (\mathbf m \cdot \nabla \frac{1}{|\mathbf x |^{3}}) = \frac{3\frac{\mathbf x}{|\mathbf x |} \left(\mathbf m \cdot \frac{\mathbf x}{|\mathbf x |}\right)}{|\mathbf x |^{3}} - \frac{\mathbf m}{|\mathbf x |^{3}} = $$

$$\ = \frac{3\mathbf n (\mathbf m \cdot \mathbf n ) - \mathbf m }{|\mathbf x |^{3}}$$.