Топологічні дефекти та космологія

Повернутися до розділу "За межами Стандартної моделі".

Фазові переходи та топологічні дефекти
У розділі при фазові переходи показано, що спонтанно порушені симетрії можуть відновлюватися при ненульових температурах. При цьому відбувається фазовий перехід: система переходить із стану з нульовим значенням параметру порядку у стан з одним із ненульових значень, причому вибір стану диктується малими збуреннями, що явно порушують симетрію (нагадаю, що параметром порядку у КТП є скалярне поле, оскільки вимога лоренц-інваріантності потребує, щоб вакуумні середні інших полів дорівнювали нулю). При спонтанному порушенні симетрії стани із різними вакуумними значеннями пов'язані перетворенням, відносно яких лагранжіан системи інваріантний. При цьому фізичний стан неінваріантний відносно перетворення.

Фазові перетворення бувають першого та другого роду (окремо варто згадати про кроссовер, про що буде написано у кінці цього підрозділу). При переході першого роду при пониженні температури утворюються (див. розділ про фазові переходи) спонтанно утворюються області ("пузирі") із ненульовим вакуумним середнім, вони розширюються і зливаються одна із одною. При переході другого роду вакуумне середнє скалярного поля починає неперервно змінюватись із нульового значення до ненульового.

При цьому за обох типів фазового переходу можлива ситуація, коли область із одним вакуумним середнім скалярного поля контактує із областю з іншим вакуумним середнім. Для переходу першого роду такою ситуацією є контакт "пузирів" із різними вакуумними середніми ("вибір" вакуумного середнього у різних "пузирях" у загальному випадку не зкорельований). Для переходу другого роду області із різними вакуумними середніми визначаються наступним чином: обчислюється температурне середнє добутку двох скалярних полів - так звана кореляційна функція, яка визначає взаємодію скалярних полів на різних відстанях; визначається відстань, на якій кореляційна функція суттєво спадає. Ця відстань називається кореляційною довжиною, і вона відповідає відстані, на якій області із різними вакуумними середніми перестають "відчувати" одна одну. Тоді фазовий перехід у цих областях відбувається незкорельовано, і вакуум у цих областях може відповідати різним вакуумним середнім. Варто навести явні викладки для кореляційної довжини. За визначенням, для скалярного поля із дисперсійним законом $$\ \omega^{2} = \mathbf k^{2} + m^{2}(T)$$ (маса генерується вакуумним середнім, яке залежить від температури; гарний приклад - електрослабкий фазовий перехід) кореляційна функція дорівнює

$$\ G(\mathbf x - \mathbf x {'}) = \langle \varphi^{*}(\mathbf x, t) \varphi (\mathbf x{'}, t)\rangle \equiv \int \frac{d^{3}\mathbf k}{2\omega (2 \pi )^{3}} \frac{e^{i(\mathbf k \cdot (\mathbf x - \mathbf x {'}))}}{e^{\frac{\omega}{T}} - 1} + G^{0}$$.

Тут $$\ G^{0}$$ - вклад від випадку із нульовою температурою. При $$\ T \to T_{c}$$ ($$\ T_{c}$$ - критична температура, при якій відбувається фазовий перехід) маємо $$\ m(T) << T$$:

$$\ G(\mathbf x - \mathbf x {'}) \approx \begin{cases} \frac{T^{2}}{6}, \\ \frac{T}{2 \pi |\mathbf x - \mathbf x{'}|}e^{-m(T)|\mathbf x - \mathbf x{'}|}, \\ \end{cases}, \quad \begin{cases} |\mathbf x - \mathbf x{'}| << \frac{1}{T} \\ |\mathbf x - \mathbf x{'}| >> \frac{1}{T} \\ \end{cases}$$.

При $$\ T \to T_{c}$$ і, як наслідок, $$\ m(T) \to 0, r >> \frac{1}{T_{c}}$$, $$\ G \sim \frac{1}{r}$$. Звідси кореляційна довжина визначається як $$\ \epsilon = \frac{1}{T_{c}}$$. У фізиці твердого тіла кореляційну довжину визначають як величину у показнику експоненти при $$\ r $$: $$\ \epsilon_{solid} = \frac{1}{m(T)}$$. При такому виборі, втім, вона розходиться біля точки фазового переходу. У космології ж кореляційна довжина має бути обмежена згори; дійсно, в силу принципу причинності вона має бути меншою за відстань, яку міг пройти фотон протягом життя Всесвіту до моменту часу, із якого починається фазовий перехід: $$\ l_{H} = a(\tau )\tau \approx t_{c}, \quad t_{c} = \int a(\tau )d\tau $$. Тому у космології зручно користуватися наступним визначенням кореляційної довжини: $$\ \epsilon = t_{c}$$.

Для подальшого неважливо, яке визначення береться для кореляційної довжини; важливо лише, щоб $$\ \epsilon \leqslant t_{c}, \epsilon < \infty$$.

Отже, нехай відбувся фазовий перехід. При цьому відповідно до типу переходу у різних "пузирях" чи на відстанях, більших за кореляційну довжину, вакуумні значення скалярного поля незкорельовані. При цьому енергія у просторі має бути скінченною, що означає, що поле має бути неперервним (щоб квадрат градієнту, який входить до виразу для енергії, був скінченною величиною). У результаті, якщо початкова група $$\ G$$ була спонтанно порушена до підгрупи $$\ H \in G$$, і гомотопічна група $$\ \pi_{n}(G/H)$$ є нетривіальною, то відображення $$\ n-$$сфери на групу $$\ G/H$$,

$$\ \langle \varphi \rangle : S_{n} \to G/H, \quad x \to \langle \varphi (x)\rangle$$

може представляти нетривіальний елемент гомотопічної групи $$\ \pi_{n}(G/H)$$. Тоді поле $$\ \varphi (S_{n})$$ не може бути "стягнутим" у точку $$\ M$$, і десь усередині сфери $$\ S_{n}$$ вакуумне середнє $$\ \langle \varphi \rangle$$ має покинути вакуумний многовид $$\ G/H$$ (набору значень поля $$\ \varphi $$, які мінімізують енергію). Ці області вищої енергії називаються топологічними дефектами.

Топологічні конфігурації (випадок $$\ S_{3}$$) уже були розглянуті на прикладі інстантонів (окрім того, інстантони як розв'язки рівнянь руху можуть виникати і поза межами фазового переходу). Тут же будуть розглянуті інші конфігурації, що відповідають випадкам $$\ S_{0}, S_{1}, S_{2}, S_{3}$$ - доменні стінки, струни, монополі, космологічні текстури.

Типи топологічних дефектів
Топологічні дефекти можна поділити на глобальні (виникають при спонтанному порушенні глобальної групи симетрії) та локальні (виникають при спонтанному порушенні калібрувальної симетрії).

Доменні стінки
Розглянемо теорію із спонтанним порушенням $$\ Z_{2}$$-симетрії, що дається лагранжіаном

$$\ L = \frac{1}{2}|\partial_{\mu}\varphi |^{2} - V(\varphi ), \quad V(\varphi ) = \frac{\lambda}{4}(\varphi^{2} - v^{2})^{2}$$.

Вакуумним многовидом $$\ M$$ при нулі температур є множина значень $$\ \varphi = \pm v$$. Відповідно, при температурах $$\ T << v$$ великий термодинамічний потенціал набуває двох мінімумів $$\ \varphi = \pm v$$, а екстремум із $$\ \langle \varphi \rangle = 0$$ стає хибним мінімумом. Відповідно до скінченності кореляційної довжини (чи при зіткненні пузирів, в залежності від типу переходу) можливе виникнення областей із різними значеннями $$\ \langle \varphi \rangle \in M$$. Скінченність енергії при цьому вимагає того, щоб поле $$\ \varphi $$ було неперервним у будь-якій точці простору. Це означає, що при переході від області із $$\ \langle \varphi \rangle = v$$ до області із $$\ \langle \varphi \rangle = v$$ поле $$\ \varphi $$ має приймати нульове значення. Утворюється топологічний дефект, що називається доменною стінкою.

Можна навести найпростіший розв'язок статичної плоскої доменної стінки, розв'язок для якої залежить, наприклад, від однієї координати $$\ x$$. Рівняння руху, що даються лагранжіаном, мають вигляд

$$\ \square \varphi - \partial_{\varphi} V(\varphi ) = \partial_{x}^{2}\varphi - \lambda \varphi (\varphi^{2} - v^{2}) = 0, \quad \varphi (\pm\infty) = \pm v \Rightarrow \varphi = vth \left( \sqrt{\frac{\lambda}{2}}vx\right)$$.

Тензор енергії-імпульсу для стінки дає

$$\ T_{\mu \nu} = \partial_{\mu}\varphi \partial_{\nu}\varphi - g_{\mu \nu}L = \text{diag} (1, 0, -1, -1)\frac{\lambda v^{4}}{2}\frac{1}{ch^{4}\left( \sqrt{\frac{\lambda}{2}}vx\right)} \approx \delta (x)\sigma \text{diag}(1, 0, -1, -1)$$,

де останній перехід виконано для масштабів, значно більших за $$\ v^{-1}$$, і введений параметр $$\ \sigma = \int T^{0}_{0}dx = \frac{2 \sqrt{2}}{3}\sqrt{\lambda}v^{3}$$, що відповідає поверхневій густині доменної стінки.

Доменні стінки стійкі внаслідок малих флуктуацій, що зберігають плоский характер стінки. Для переконання у цьому можна записати дію у вигляді

$$\ S = \int \limits_{-\infty}^{\infty}dz \left( \frac{1}{2}(\partial_{z}\varphi )^{2} + V(\varphi )\right) \equiv \int dz \left( \partial_{z}\varphi \mp \sqrt{2V(\varphi ) }\right)^{2} \pm \int \limits_{\varphi (-\infty )}^{\varphi (\infty )} dz \sqrt{2V(\varphi )} \qquad (1)$$.

Інтеграл другого доданку можна розглядати як топологічний заряд, що залежить лише від того, які значення приймає $$\ \varphi (z)$$ при $$\ z = \pm \infty$$. Для конфігурацій, що прямують до одного і того ж самого ліміту, цей інтеграл прямує до нуля, і мінімальне значення $$\ S$$, що відповідає постійним полям, дорівнює нулю. Якщо ж поле $$\ \varphi $$ приймає різні значення при $$\ z = \pm \infty$$, то можна обрати знаки у $$\ (8)$$ так, щоб отримати нижню границю

$$\ S \geqslant \int \limits_{\varphi (-\infty)}^{\varphi (\infty )}\sqrt{2V(\varphi )}dz$$.

Вона досягається тоді, коли обертається в нуль перший доданок:

$$\ z = \pm \int \limits_{0}^{\varphi (x)}\frac{df}{\sqrt{2V(f)}} + z_{0}$$.

Цей розв'язок (доменна стінка) є стійким відносно малих збурень, що зберігають "площинність" стінки; це безпосередньо видно із $$\ (1)$$.

Доменні стінки у космології
Відповідно до вимоги неперервності скалярного поля існує два типи доменних стінок: нескінченно великі та замкнуті, із розміром $$\ R$$ порядку розміру причинного горизонту. Криві доменні стінки мають натяг, що пропорційний $$\ f = \frac{\sigma}{R}$$. Під його дією вони повинні зтягуватися. Проте без наявності матерії, у вакуумі, доменні стінки лише осцилюють, оскільки енергія зберігається. Наявність же матерії зумовлює силу тертя, $$\ F \sim \rho v_{wall} \sim \frac{v_{wall}}{Gt^{2}}$$, де $$\ \rho \sim \frac{1}{Gt^{2}}$$ - густина енергії Всесвіту, а $$\ v_{wall}$$ - швидкість руху доменної стінки. Доменна стінка починає зкорочуватись із швидкістю $$\ V_{wall}$$, що досягається при $$\ f = F: V_{wall} = \frac{\sigma G t^{2}}{R}$$. Тоді час дисипації доменної стінки дорівнює

$$\ t_{d} = \frac{R}{V_{wall}} = \frac{R^{2}}{\sigma G t^{2}}$$.

Якщо цей час менший за Хабблівський, $$\ t_{d} < t$$, то доменна стінка зникає. Це дозволяє задати залежність радіусу найменших доменних стінок від часу: із умови $$\ t_{d} = t$$ виходить, що $$\ R(t) = \sqrt{\sigma G}t^{\frac{3}{2}}$$. Відповідно, густина енергії доменних стінок на об'єм причинно зв'язаної області дорівнює

$$\ \rho_{wall} \sim \frac{\sigma R^{2}}{R^{3}} = \sqrt{\frac{\sigma}{G}}t^{-\frac{3}{2}}$$,

і відношення густини доменних стінок до густини Всесвіту, $$\ \rho \sim \frac{G}{t^{2}}$$, дорівнює

$$\ \frac{\rho_{wall}}{\rho} \sim \sqrt{\frac{t}{\sigma G}} \equiv \sqrt{\frac{t}{t_{*}}}$$.

У результаті із моменту $$\ t = t_{*}$$ доменні стінки стають домінуючою компонентою густини Всесвіту. Проте цього не спостерігається; дійсно, доменні стінки вносили би значний вклад у неоднорідність космологічного мікрохвильового фону (через флуктуації метрики), відхиляючи значення флуктуацій від спостережуваних, $$\ \frac{\delta \rho_{CMB}}{\rho_{CMB}} \approx 10^{-5}$$. Лише дуже "м'які" доменні стінки із $$\ \eta \leqslant 0.1 $$ MeV відповідають експериментальним даним (тоді для даного моменту часу такі доменні стінки ще не почали домінувати).

Топологічні струни, монополі
Розглянемо загальну теорію, що дається дією

$$\ S = \int d^{d}x\left[ \frac{1}{2}\sum_{a, b}g_{ab}D_{i}\varphi_{a}D_{i}\varphi_{b} + \frac{1}{4}F_{\alpha}^{ij}F_{\alpha}^{ij} + U(\varphi )\right] \qquad (2)$$.

Тут $$\ g_{ab}$$ - додатньо визначена матриця, потенціал $$\ U(\varphi )$$ обмежений знизу та зсунутий на постійну величину (його мінімум дорівнює нулю), $$\ F_{ij}^{\alpha}$$ відповідає тензору напруженості полів у приєднаному представленні калібрувальної групи $$\ G$$. Форма потенціалу є такою, що група $$\ G$$ спонтанно порушується до підгрупи $$\ H$$. Сам вираз $$\ S$$ відповідає або дії квантової теорії поля у $$\ d$$-вимірному просторі-часі, або потенціальній енергії у $$\ d+1$$-вимірному просторі для випадку часового калібрування.

Для того, щоб дія $$\ S$$ була скінченною, необхідно, щоб потенціал $$\ U(\varphi )$$ обертався в нуль при $$\ \mathbf x \to \infty $$. Множина тих $$\ \varphi $$, при яких він обертається в нуль, інваріантна відносно перетворень $$\ G $$. Це означає, що довільне поле із цієї множини $$\ \varphi (\hat{\mathbf x}) $$ може бути отримане перетворенням $$\ \gamma (\mathbf x) \in G $$, що діє на значення $$\ \varphi (\mathbf x_{1})$$ поля в довільному напрямку $$\ \mathbf x_{1} $$. Тому можна вважати, що поле $$\ \varphi (\mathbf x) $$ визначає відображення $$\ S_{d-1} \to G$$ на фактор-простір $$\ G/H$$, де $$\ H $$ - група, перетворення якої залишає поле $$\ \varphi (\mathbf x_{1})$$ інваріантним. Таким чином, поля, що досягають на нескінченності значень на множині $$\ V(\varphi ) = 0$$, можуть бути прокласифіковані відповідно до топологічно різних відображень $$\ S_{d - 1} \to G/H$$, що переводять точку $$\ \mathbf x_{1}$$ у фіксований "одиничний" елемент із $$\ G/H $$. Множина класів таких топологічно різних відображень утворює гомотопічну групу $$\ \pi_{d - 1}(G/H)$$ многовиду $$\ G/H$$.

$$\ \partial_{i}\varphi (\mathbf x)$$ поводить себе як $$\ |\mathbf x|^{-\frac{d}{2}}$$. Проте для того, щоб дія $$\ S$$ була скінченною, похідна $$\ D_{i}\varphi (\mathbf x)$$ повинна обертатися в нуль на нескінченності швидше, ніж $$\ |\mathbf x|^{-\frac{d}{2}}$$:

$$\ D_{i}\varphi (\mathbf x) \to \partial_{i}\varphi (\mathbf x) - it_{a}A_{i}^{a}(\mathbf x)\varphi (\mathbf x) \to \partial_{i}\gamma (\mathbf x)\varphi (\mathbf x_{1}) - (it_{a}A^{a}_{i})_{x \to \infty}\gamma (\mathbf x)\varphi (\mathbf x_{1}) \to 0 $$.

Тому $$\ it_{a}A_{i}^{a} $$ має прямувати до $$\ \partial_{i}\gamma (\mathbf x)\gamma^{-1}(\mathbf x)$$ швидше, ніж $$\ |\mathbf x|^{-\frac{d}{2}}$$. Це є чисто калібрувальним полем.

При $$\ d = 3$$ топологічно нетривіальні конфігурації класифікуються відповідно до гопотопічної групи $$\ \pi_{2}(G/H)$$, яка є нетривіальною для однозв'язної групи (як $$\ SU(2) $$), що порушена до групи $$\ H$$, яка містить групу $$\ U(1)$$. Відповідні конфігурації називаються магнітними монополями. При $$\ d = 2$$ гомотопічною групою є $$\ \pi_{1}(G/H)$$, яка являється нетривіальною, якщо $$\ G$$ - неоднозв'язна група, наприклад, $$\ U(1)$$ чи $$\ SO(3)$$, що порушена або повністю, або до дискретної підгрупи. Відповідні топологічні конфігурації називаються топологічними струнами.

У обидвох випадках форми голдстоунівських полів (виникаючих при спонтанному порушенні симетрії) на великих сферах $$\ S_{2}, S_{1}$$ відповідно, закручені, тому вони не можуть бути гладко продеформовані у постійні поля. Неможливо, зокрема, гладким чином зменшити радіуси цих сфер до нуля, не отримавши при цьому сингулярність, оскільки несингулярне голдстоунівське поле на сфері при зменшенні радіусу до нуля повинно було би стати постійним. У обох випадках сингулярність виникає на деякій сердцевині (точці чи кулі для першого випадку та лінії чи трубці для другого), усередині якої група $$\ G$$ вже не порушена, так що система описується не голдстоунівськими полями, а параметром порядку, що лінійно перетворюється під дією перетворень $$\ G$$. Нижче монополі та струни будуть розглянуті на наглядних прикладах.

Глобальні струни
Розглянемо найпростішу модель із виникненням струн - вираз $$\ (2)$$ із нульовою калібрувальною константою зв'язку, синглетним полем $$\ \varphi = \sigma$$ та потенціалом $$\ V(\sigma ) = \frac{\lambda}{4}\left( |\sigma |^{2} - v^{2}\right)^{2}$$:

$$\ L = \frac{1}{2}|\partial_{\mu}\sigma |^{2} - \frac{\lambda}{4}\left( |\sigma |^{2} - v^{2}\right)^{2}$$.

При високих температурах потенціал має лише один мінімум, в той час як при пониженні температури він набуває мінімуми, що описуються як $$\ |\sigma |^{2} = v^{2}$$. Відповідний вакуум відповідає багатовиду кола, або ж групі $$\ U(1)$$. При фазовому переході відбувається спонтанне порушення симетрії, і на відстанях, більших за кореляційну довжину, поле $$\ \sigma $$ набуває різних ненульових вакуумних середніх. Відповідно, існують поля $$\ \sigma (\mathbf x(s)), \mathbf x (0) = \mathbf x (1)$$, де $$\ \mathbf x \equiv \mathbf x (s)$$ - параметризація замкнутої кривої $$\ $$, причому $$\ s$$ пробігає значення від нуля до одиниці. Іншими словами, поле $$\ \sigma (\mathbf x (s))$$ є відображенням із $$\ S_{1}$$ на $$\ R^{2}$$. Тоді $$\ \sigma $$ можна подати як $$\ \sigma = \eta f e^{i\alpha (s)}$$, $$\ \alpha (1) = \alpha (0) + 2 \pi n, n \neq 0$$; $$\ \alpha (s)$$ "живе" на сфері $$\ S_{1}$$, і відповідна гомотопічна група дорівнює $$\ \pi_{1}(S_{1}) = Z$$. Відповідний інваріант Маурера-Картана має вигляд $$\ n = \int \nabla \alpha \cdot d \mathbf l$$. Він не може змінюватися при неперервних деформаціях кривої, тому функція $$\ \alpha (s)$$ є погано визначеною десь на $$\ \Gamma$$. З умови неперервності тоді слідує, що $$\ \sigma $$ має обертатися в нуль в деякій точці $$\ \Gamma$$.

Рівняння руху на поле $$\ \sigma = v(x)e^{i\theta (x)}, v(0) = 0, v(\infty ) = v$$ дається виразом

$$\ \partial^{2}\sigma = -4h\left(|\sigma |^{2} - v^{2}\right)\sigma $$.

Нехай розв'язок є статичним і не залежить від координати $$\ z$$. Тоді рівняння руху має вигляд

$$\ \frac{1}{r}\partial_{r}(r\partial_{r}\sigma ) + \frac{1}{r^{2}}\partial_{\varphi}^{2}\sigma - 4h(|\sigma |^{2} - v^{2})\sigma = 0$$,

або, при анзаці

$$\ \sigma = v f(r) e^{i\varphi }, \quad f(0) = 0, \quad f(\infty ) = 1$$,

$$\ \partial_{y}^{2}f + \frac{1}{y}\partial_{y}f - \frac{f}{y^{2}}- f(f^{2} - 1) = 0, y = 2\sqrt{h}vr$$.

Лінеаризований розв'язок при $$\ r \to 0$$ дається функцією Бесселя $$\ J_{1}(y)$$. Вона швидко змінюється від нуля на масштабі $$\ \delta = \frac{1}{2\sqrt{h}v}$$. Область порядку $$\ \delta $$ називається ядром струни; можна вважати, що в цій області фаза поля дорівнює нулю, і симетрія не порушена. Поза ядром струна ефективно задається розв'язком $$\ \sigma = ve^{i\theta }, \quad \theta = \frac{a(x)}{v}$$.

При цьому енергія на одиницю довжини вільної струни дається виразом

$$\ E = \int T^{00}d^{2}\mathbf r = \int d^{2}\mathbf r \left( |\nabla \sigma |^{2} + h\left( |\sigma|^{2} - v^{2}\right)^{2}\right) \approx \int \limits_{\delta}^{\Delta} d^{2}\mathbf r |\nabla \sigma |^{2} \approx 2 \pi \int \limits_{\delta}^{\Delta} f^{2}(r)\left( \frac{1}{r}\right)^{2}rdr = 2 \pi v^{2}ln \left( \frac{\Delta}{\delta}\right)$$,

де $$\ \Delta$$ - шкала обрізання, що фактично дорівнює середній відстані між струнами; енергія ж струни формально нескінченна. Тут було знехтувано вкладом у енергію ядра струни, оскільки вважається, що відношення $$\ \frac{\Delta}{\delta}$$ значно більше одиниці. Аналогічно можна обрахувати тиск струни $$\ T_{33} = -T_{00}$$, який виявляється дуже великим. Це призводить до того, що струна випромінює на кшталт випромінювання прискорюваним зарядом (див. підрозділ про дію Калба-Рамона). З виразу для енергії явно видно, що струна - нелокальна, протяжена конфігурація.

Локальні струни
Розглянемо тепер дію $$\ (2)$$ із синглетним полем $$\ \varphi = \sigma $$ та локальною симетрією, що відповідає групі $$\ U(1)$$ та взаємодії із калібрувальним полем $$\ A_{\mu}$$:

$$\ L = \frac{1}{2}|D_{\mu}\sigma |^{2} - \frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \frac{\lambda}{4}\left( |\sigma |^{2} - v^{2}\right)^{2}$$.

Для циліндрично-симетричного статичного розв'язку можна при $$\ \rho \to \infty$$ задати анзац $$\ \sigma \to ve^{in\varphi}, A_{\mu} \to \frac{n}{e}\partial_{\mu}\varphi$$; тоді $$\ D_{\mu}\sigma \to 0$$ (калібрувальне поле "екранує" градієнтний вклад до енергії).

Іншими словами, при підстановці анзацу

$$\ \sigma = vf_{A}(\rho )e^{i n \varphi }, A_{x} = -\frac{nv}{e}\frac{y}{\rho^{2}}\alpha (\rho ), \quad A_{y} = \frac{nv}{e}\frac{x}{\rho^{2}}\alpha (\rho ), \quad A_{z} = 0$$

рівняння руху,

$$\ |D|^{2}\sigma + \frac{\lambda}{2}\sigma (|\sigma |^{2} - v^{2}), \quad \partial_{\mu}F^{\mu \nu} = j^{\nu}, \quad j^{\nu} = 2eIm[\sigma^{*}(\partial^{\nu} - ieA^{\nu})\sigma ]$$,

зпрощуються до вигляду

$$\ f_{A}^{} + \frac{1}{\rho}f_{A}^{'}- \frac{n^{2}}{\rho^{2}}f_{A}(\alpha - 1)^{2} - \frac{\lambda}{2}f_{A}(f_{A}^{2} - 1) = 0, \quad \alpha^{} + \frac{!}{\rho}\alpha^{'} - 2e^{2}f_{A}^{2}(\alpha - 1) = 0$$

із крайовими умовами

$$\ \alpha (0) = f_{A}(0) = 0, \quad f_{A}(\rho ), \alpha (\rho ) \to_{\rho \to \infty} 1$$.

При $$\ \rho \to \infty $$ рівняння на $$\ \alpha $$ перетворюється в рівняння на модифіковану функцію Бесселя, і $$\ \alpha = 1 - \rho K_{1}(\sqrt{2}e\rho v)$$; для достатньо ж малих значень $$\ \frac{\lambda}{2e^{2}}$$ $$\ f_{A} = 1 - K_{0}(\sqrt{\lambda} \rho v)$$.

Відповідно, $$\ \mathbf E = B_{1,2} = 0$$, а $$\ B_{3} = \frac{n}{e\rho }\alpha {'}$$.

Енергія же на одиницю довжини струни дорівнює

$$\ E = 2 \pi v^{2} \int ds s \left[ f_{A}{'}^{2} + n(1 - \alpha)^{2}f_{A}^{2} + \frac{\lambda}{4}(f_{A}^{2} - 1)^{2}\right] \approx 2 \pi v^{2} g(\beta ), \quad g(\beta ) \equiv g\left( \frac{\lambda}{2e^{2}}\right) = O(1), \quad s = v\rho$$.

Струни у космології
$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Монополь т'Хоофта-Полякова
Розглянемо $$\ SO(3)$$-калібрувальну теорію (аналогічно, можна розглянути у ролі калібрувальної групи $$\ SU(2)$$) із 3-компонентним скалярним полем:

$$\ A_{\mu} = A_{\mu}^{a}I_{a}, \quad [I_{a}, I_{b}] = -\epsilon_{abc}I_{c}, \quad G_{\mu \nu}^{a} = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} - \epsilon_{abc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}$$,

$$\ L= (\partial_{\mu}\varphi_{a} + e\epsilon_{abc}A_{\mu}^{b}\varphi_{c})(\partial_{\mu}\varphi_{a} - e\epsilon_{abc}A_{\mu}^{b}\varphi_{c}) - \frac{\lambda}{4}(|\varphi |^{2} - \eta^{2})^{2} - \frac{1}{4}G_{\mu \nu}^{a}G^{\mu \nu}_{a}$$.

Група $$\ SO(3)$$ спонтанно порушується до групи $$\ SO(2)$$, яка ізоморфна групі $$\ U(1)$$. Відповідний тензор напруженості можна подати у вигляді

$$\ F_{\mu \nu} = \frac{\vec{\varphi}}{\eta} \cdot \vec{G}_{\mu \nu} \equiv \frac{\varphi_{a}}{\eta}G_{\mu \nu}^{a}$$.

Для задовільнення умови $$\ |\varphi|^{2} = \eta^{2}$$ на нескінченності, скінченної поведінки дії та, водночас, нетривіальної залежності $$\ \varphi $$ на нескінченності можна припустити, що $$\ \varphi$$ поводить себе як

$$\ \varphi (\mathbf r) \to |\eta|\hat{\mathbf r}, \quad \hat{\mathbf r} = \frac{\mathbf r}{r}$$.

У загальному випадку $$\ D_{\mu}\varphi_{a} = \partial_{\mu}\varphi_{a} + e\epsilon_{abc}A_{\mu}^{b}\varphi_{c}$$ задовольняється при виборі поля

$$\ \mathbf A_{\mu} = \frac{1}{e\eta}\vec {\varphi}\wedge \partial_{\mu}\vec{\varphi} + \Lambda_{\mu}\vec{\varphi}$$,

де $$\ \Lambda_{\mu}$$ - довільна функція.

Тоді

$$\ \vec{G}_{\mu \nu} = \frac{1}{\eta^{2}e}\partial_{\mu}\vec{\varphi}\wedge \partial_{\nu} \vec{\varphi} + (\partial_{\mu}\Lambda_{\nu} - \partial_{\nu}\Lambda_{\mu})\vec{\varphi}, \quad F_{\mu \nu} = \frac{1}{\eta^{2}e}\vec{\varphi}\cdot ( \partial_{\mu}\vec{\varphi} \wedge \partial_{\nu}\vec{\varphi}) + \eta (\partial_{\mu}\Lambda_{\nu} - \partial_{\nu}\Lambda_{\mu})$$.

Оберемо анзац $$\ \Lambda_{\mu} = 0, \quad F_{0i} = 0$$. Із використанням умови $$\ \varphi (\mathbf r) \to |\eta|\hat{\mathbf r}$$ можна показати, що

$$\ (G_{a})^{ij} = \frac{\epsilon_{ijk}\hat{r}^{k}\hat{r}^{a}}{er^{2}}, \quad F_{ij} = \frac{\epsilon_{ijk}\hat{r}^{k}}{er^2}$$.

Відповідно, "магнітне поле" $$\ B_{i} = \frac{\epsilon_{ijk}F^{jk}}{2}$$ має ненульовий потік, і, отже, ненульовий заряд:

$$\ Q = \oint_{S_{R}} \mathbf B \cdot d\mathbf S = -\frac{4 \pi}{e}$$.

Цей заряд є відповідає інтегральному інваріанту Маурера-Картана, який набуває дискретного набору значень, а отже, квантується. Дійсно, у загальному вигляді

$$\ B_{i} = \frac{1}{2}\epsilon_{ijk}\vec{\varphi}\cdot (\partial_{i}\vec{\varphi} \wedge \partial_{j}\vec{\varphi})$$,

і

$$\ Q = \oint_{S_{R}} \mathbf B \cdot d\mathbf S \equiv \int d^{3}\mathbf r (\nabla \cdot \mathbf B )d^{3}\mathbf r = \frac{1}{2e}\int \epsilon^{ijk}\partial_{i}\left( \vec{\varphi} \cdot (\partial_{j}\vec{\varphi}\wedge \partial_{k}\vec{\varphi}) \right)d^{3}\mathbf r = $$

$$\ =\frac{1}{2e}\int d^{3}\mathbf r \epsilon^{ijk}\partial_{i}\vec{\varphi} \cdot (\partial_{j}\vec{\varphi} \wedge \partial_{k}\vec{\varphi}) = \frac{4 \pi N}{e}$$.

Описаний вище формальний анзац можна розширити на довільне значення $$\ r$$. Оберемо анзац

$$\ \varphi^{a} = \frac{\eta}{er}H(r)r^{a}, \quad A_{i}^{a} = -\frac{1}{er^{2}}(1 - K(r))\epsilon^{aij}r_{j}$$.

У загальному випадку можна показати, що $$\ H, K$$ прямують до нуля експоненціально. Відповідно, енергія, що відповідає такому анзацу, скінченна:

$$\ m_{M} = E = \int Hd^{3}\mathbf r = -\int L d^{3}\mathbf r = \frac{4\pi}{e^{2}}\int dr \left(K{'}^{2} + \frac{(k^{2} - 1)}{2r^{2}}\frac{H^{2}k^{2}}{r^{2}} +\frac{1}{2}H{'}^{2} + \frac{\lambda r^{2}}{4e^{2}}\left( \frac{H^{2}}{r^{2}} - \frac{\eta^{2}}{e^{2}}\right)\right) \sim \frac{4 \pi \eta}{e}\left(1 - \frac{\lambda}{e^{2}}\right)$$.

При ліміті $$\ \frac{\sqrt{\lambda}}{2e} \to 0$$ рівняння руху для $$\ K, H$$ можуть бути розв'язані точно, і

$$\ K = \frac{r\frac{\eta}{e} }{sh\left( \frac{r\eta}{e}\right)}, \quad H = \frac{r\eta}{e}cth\left( \frac{r\eta}{e}\right) - 1$$.

Видно, що при $$\ r \to 0$$ поле $$\ \varphi $$ прямує до нуля:

$$\ \frac{r\eta}{e}cth\left( \frac{r\eta}{e}\right) \to 1 \Rightarrow \varphi = 0$$,

отже, як і повинно бути, у товщі монополя поле існує у непорушеній фазі.

Теорема Дерріка
Теорема Дерріка забороняє існування статичних конфігурацій із скінченною енергією для скалярного поля із потенціалом, що обмежений знизу, при розмірності конфігурацій більшій або рівній трьом. Доведення дуже схоже на доведення аналогічного твердження про неможливість існування інстантонних розв'язків у калібрувальних теоріях із скалярним полем.

Без втрати загальності можна вважати, що потенціал скалярного поля більший або рівний нулю: $$\ V[\varphi ] \geqslant 0$$. Тоді енергія статичного скалярного поля дорівнює

$$\ E = \frac{1}{2} \int d^{d}x(\nabla \varphi )^{2} + \int d^{d}x V[\varphi ] = I_{1} + I_{2}$$,

причому $$\ I_{1,2} \geqslant 0$$. Якщо $$\ \varphi (x)$$ є статичним розв'язком рівнянь руху, він має задовольняти деякому екстремальному принципу. Проте ця умова не виконується. Для демонстрації цього можна розглянути однопараметричне сімейство функцій $$\ \varphi_{\lambda}(x) \equiv \varphi (\lambda x )$$, що отримуються масштабуванням розв'язку $$\ \varphi $$. Тоді $$\ I^{\lambda}_{1} = \lambda^{d - 2}I_{1}, I^{\lambda}_{2} = \lambda^{d}I_{2}$$, і

$$\ \left(\partial_{\lambda}E_{\lambda}\right)_{\lambda = 1} = (d - 2)I_{1} + dI_{2} > 0$$,

якщо поле $$\ \varphi $$ є ненульовим, що протирічить припущенню про те, що $$\ \varphi $$ є розв'язком рівнянь руху.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$