Лінійні перетворення. Генератори

Повернутися до розділу "Теорія груп".

Лінійне перетворення. Алгебра Лі
Лінійне перетворення - перетворення виду

$$\ \mathbf x' = \hat {\mathbf T} (a)\mathbf x, \quad x_{i}{'} = T_{ij}(a)x_{j}$$,

де $$\ \hat {\mathbf T} (a)$$ - матриця перетворення, що залежить від деякої кількості параметрів перетворення a. Величинами а може являтися, наприклад, кутом повороту $$\ a^{0}$$ навколо фіксованої вісі, що задається вектором $$\ \mathbf n $$ із заданими координатами $$\ a^{i}$$. Нульові значення набору параметрів $$\ a^{i}$$ відповідають тотожньому перетворенню.

Два послідовних лінійних перетворення знову являються лінійними. В силу того, що матричне множення являється асоціативним, подвійне перетворення

$$\ \mathbf {x}{'} = \hat {\mathbf T}(a)\mathbf x, \quad \mathbf {x}{''} = \hat {\mathbf T}(b)\mathbf x {'} $$

можна представити як єдине перетворення

$$\ \mathbf {x}{''} = \hat {\mathbf T}(b)\hat {\mathbf T} (a) \mathbf x = \hat {\mathbf T}(c) \mathbf x \qquad (.1)$$,

де параметр $$\ c = f(a, b)$$ - деяка функція від параметрів $$\ a, b$$.

Дана функція має деякі властивості, що визначаються матричним множенням. По-перше, при нульовому значенні одного з наборів параметрів функція тотожньо рівна іншому набору: $$\ f(a, 0) = a, f(0, b) = b$$. По-друге, в силу асоціативності матричного множення

$$\ (\hat {\mathbf T}_{c}\hat {\mathbf T}_{b})\hat {\mathbf T}_{a} = \hat {\mathbf T}_{c}(\hat {\mathbf T}_{b}\hat {\mathbf T}_{a})$$,

і

$$\ f(f(c, b), a) = f(c, f(b, a)) \qquad (.2)$$.

Цей вираз можна розкласти в ряд в околі одиничного перетворення і накласти на функції розкладу умови, що задовольняють умові асоціативності матричного множення. Для

$$\ f^{k}(b, a) = b^{k} + a^{k} + \varphi^{k}_{ij}b^{i}a^{j} + F^{k}_{ij}b^{i}b^{j} + G^{k}_{ij}a^{i}a^{j} + ...$$

із $$\ (.3)$$ у безіндексному вигляді (зі збереженням другого порядку малості по параметрам) можна отримати

$$\ f(c + b + c\varphi b + c F c + b G b, a) = f (c, b + a + b\varphi a + b F b + a G a ) \Rightarrow $$

$$\ \Rightarrow c + b + c\varphi b + c F c + b G b + a + (c + b)\varphi a + (c + b) F (c + b) + a G a = c + b + a + b\varphi a + b F b + a G a + c \varphi (b + a) + c F c + (b + a) G (b + a)$$.

У цій рівності скорочуються усі члени, окрім окремих доданків із функціями $$\ G, F$$. Тому, в силу довільності наборів $$\ a, b, c $$, для виконання умови асоціативності матричного множення треба, щоб ці функції тотожньо були рівні нулю. Звідси слідує умова (справедлива для обмеження другим порядком малості по наборам параметрів)

$$\ c^{i} = a^{i} + b^{i} + \varphi^{i}_{jk}b^{j}a^{k}$$.

Тепер аналогічну операцію можна зробити з матрицями перетворення. Для $$\ s$$ параметрів кожного з наборів $$\ a, b$$ можна розкласти у $$\ (.1) $$ добуток матриць послідовних перетворень, а потім - одну матрицю єдиного перетворення, після цього прирівнявши вирази один до одного:

$$\ \hat {\mathbf T}_{b}\hat {\mathbf T}_{a} = (\hat {\mathbf E} + b^{i}\hat {\mathbf X}_{i} + b^{i}b^{j}\hat {\mathbf Y}_{ij} + ...)(\hat {\mathbf E} + a^{i}\hat {\mathbf X}_{i} + a^{i}a^{j}\hat {\mathbf Y}_{ij} + ...) \approx \hat {\mathbf E} + (b^{i} + a^{i})\hat {\mathbf X}_{i} + (b^{i}b^{j} + a^{i}a^{j})\hat {\mathbf Y}_{ij} + b^{i}a^{j}\hat {\mathbf X}_{i}\hat {\mathbf X}_{j}$$,

$$\ \hat {\mathbf T}_{c} = \hat {\mathbf E} + c^{i}\hat {\mathbf X}_{i} + c^{i}c^{j}\hat {\mathbf Y}_{ij} + ... \approx \hat {\mathbf E} + (a^{i} + b^{i} + \varphi^{i}_{jk}b^{j}a^{k})\hat {\mathbf X}_{i} + (a^{i} + b^{i} + \varphi^{i}_{jk}b^{j}a^{k}) (a^{j} + b^{j} + \varphi^{j}_{lk}b^{l}a^{k})\hat {\mathbf Y}_{ij} \approx $$

$$\ \approx \hat {\mathbf E} + (a^{i} + b^{i} + \varphi^{i}_{jk}b^{j}a^{k})\hat {\mathbf X}_{i} + (a^{i}a^{j} + a^{i}b^{j} + b^{i}a^{j} + b^{i}b^{j})\hat {\mathbf Y}_{ij} \Rightarrow b^{i}a^{j}\hat {\mathbf X}_{i}\hat {\mathbf X}_{j} = \varphi^{i}_{jk}b^{j}a^{k}\hat {\mathbf X}_{i} + 2a^{i}b^{j}\hat {\mathbf Y}_{ij} \Rightarrow \hat {\mathbf X}_{i}\hat {\mathbf X}_{j} = \varphi^{k}_{ij}\hat {\mathbf X}_{k} + 2\hat {\mathbf Y}_{ij}$$.

Тоді комутатором $$\ \hat {\mathbf X}_{i}\hat {\mathbf X}_{j} - \hat {\mathbf X}_{j}\hat {\mathbf X}_{i} $$ буде величина

$$\ [\hat {\mathbf X}_{i}\hat {\mathbf X}_{j}] = (\varphi^{k}_{ij } - \varphi^{k}_{ji})\hat {\mathbf X}_{k} = c^{k}_{ij}\hat {\mathbf X}_{k} \qquad (.3)$$.

Система $$\ (.3)$$ називається алгеброю Лі, а матриці $$\ \hat {\mathbf X}_{i}$$ - генераторами групи. Вираз $$\ (.3) $$ єдиною необхідною умовою продовження розкладу перетворення в ряд поблизу тривіального перетворення: увесь степеневий ряд розкладу можна продовжити за допомогою нескінченного набору співвідношень типу $$\ (.3)$$, що буде показано у наступній статті.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Генератори та оператори генераторів алгебри Лі
Для аналізу алгебри Лі часто використовують інфінітезимальні оператори, що пов'язані з відповідними генераторами наступним чином:

$$\ \hat {\mathbf Y}_{i} = - (\hat {\mathbf X}_{i})_{\alpha \beta }x_{\beta }\partial_{\alpha}$$,

де $$\ \hat {\mathbf Y}_{i}$$ - оператор, що відповідає генератору $$\ (\hat {X})_{i}$$.

Оператор також можна представити, врахувавши метод отримання генераторів із матриці перетворення: розклавши матрицю в ряд по степеням параметру перетворення до матриці при першій степені параметру включно,

$$\ x'_{\alpha} = \hat {T}_{\alpha \beta }x^{\beta } \approx (1 + a^{i}\hat {X}_{i})_{\alpha \beta }x^{\beta}$$,

можна отримати вираз

$$\ \hat {Y}_{i} = -\frac{\partial x'_{\alpha }}{\partial a^{i}}\partial^{\alpha }$$,

відповідність якого визначенню диференціального оператора перевіряється елементарною прямою підстановкою.

Своєрідну еквівалентність операторного та матричного підходу можна перевірити шляхом комутаційних співвідношень. Для операторів, як і для матриць, можна записати комутаційні співвідношення, з тією лише різницею, що оператори (а отже - і їх комутатори) повинні діяти на деяку довільну функцію:

$$\ [\hat {\mathbf Y}_{i}, \hat {\mathbf Y}_{j}] F = (\hat {\mathbf Y}_{i}\hat {\mathbf Y}_{j} - \hat {\mathbf Y}_{j}\hat {\mathbf Y}_{i} )F$$.

Отже,

$$\ (\hat {\mathbf Y}_{i}\hat {\mathbf Y}_{j} - \hat {\mathbf Y}_{j}\hat {\mathbf Y}_{i} )F = \left((\hat {\mathbf X}_{i})_{\alpha \beta} (\hat {\mathbf X}_{j})_{\gamma \delta}x_{\beta}\partial_{\alpha}x_{\delta }\partial_{\gamma} - (\hat {\mathbf X}_{j})_{\gamma \delta} (\hat {\mathbf X}_{i})_{\alpha \beta}x_{\delta}\partial_{\gamma}x_{\beta }\partial_{\alpha}\right) F = $$

$$\ = \left((\hat {\mathbf X}_{i})_{\alpha \beta} (\hat {\mathbf X}_{j})_{\gamma \delta}x_{\beta}\delta_{\alpha \delta}\partial_{\gamma} + (\hat {\mathbf X}_{i})_{\alpha \beta} (\hat {\mathbf X}_{j})_{\gamma \delta}x_{\beta}x_{\delta}\partial_{\alpha} \partial_{\gamma} - (\hat {\mathbf X}_{j})_{\gamma \delta} (\hat {\mathbf X}_{i})_{\alpha \beta}x_{\delta}\delta_{\gamma \beta }\partial_{\alpha} - (\hat {\mathbf X}_{j})_{\gamma \delta} (\hat {\mathbf X}_{i})_{\alpha \beta}x_{\delta}x_{\beta }\partial_{\gamma}\partial_{\alpha} \right) F$$.

В силу комутативності частинних похідних другий та четвертий доданки скорочуються, тому комутатор (у першому та третьому доданках німі індекси перейменовуються для згортки у вираз комутатора) рівен

$$\ [\hat {\mathbf Y}_{i}, \hat {\mathbf Y}_{j}] F = [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j} ]_{\mu \nu}x_{\nu }\partial_{\mu}F = -c^{k}_{ij}(\hat {\mathbf X}_{k})_{\mu \nu}x_{\nu}\partial_{\mu}F = c^{k}_{ij}\hat {\mathbf Y}_{k}F$$.

Отже, операторна алгебра має ту саму структуру (і ті самі структурні константи), що і генераторна алгебра. Проте операторний підхід при аналізі алгебри Лі значно простіше (замість перемноження матриць простіше подіяти похідними на довільну функцію).

Тепер можна розглянути властивості комутаторів.

Перші дві властивості перевіряються елементарно розкриттям дужок:

$$\ [\hat {\mathbf A}, (\hat {\mathbf B} + \hat {\mathbf C})] = [\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf B}] + [\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf C }]$$;

$$\ [\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf B}] = -[\hat {\mathbf B}, \hat {\mathbf A}]$$.

Наступна властивість - властивість комутатора із матрицею-добутком матриць:

$$\ [\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf B}\hat {\mathbf C}] = [\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf B}]\hat {\mathbf C} + \hat {\mathbf B}[\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf C}]$$.

Доводиться розкриттям правої частини:

$$\ [\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf B}]\hat {\mathbf C} + \hat {\mathbf B}[\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf C}] = \hat {\mathbf A}\hat {\mathbf B} \hat {\mathbf C} - \hat {\mathbf B}\hat {\mathbf A}\hat {\mathbf C} + \hat {\mathbf B}\hat {\mathbf A}\hat {\mathbf C} - \hat {\mathbf B}\hat {\mathbf C}\hat {\mathbf A} = [\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf B}\hat {\mathbf C}]$$.

Тотожність Якобі (доводиться розкриттям комутаторів):

$$\ [\hat {\mathbf C}, [\hat {\mathbf A}, \hat {\mathbf B}]] + [\hat {\mathbf A}, [\hat {\mathbf B}, \hat {\mathbf C}]] + [\hat {\mathbf B}, [\hat {\mathbf C}, \hat {\mathbf A}]] = 0 \qquad (.4)$$.

Якщо позначити

$$\ \hat {\mathbf A} = \hat {\mathbf X}_{i}, \quad \hat {\mathbf B} = \hat {\mathbf X}_{j}, \quad \hat {\mathbf C} = \hat {\mathbf X}_{k}$$,

то, використовуючи вирази для алгебри Лі, із $$\ (.4)$$ можна отримати

$$\ [\hat {\mathbf X}_{k}, [\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{j}]] + [\hat {\mathbf X}_{i}, [\hat {\mathbf X}_{j}, \hat {\mathbf X}_{k}]] + [\hat {\mathbf X}_{j}, [\hat {\mathbf X}_{k}, \hat {\mathbf X}_{i}]] = c^{l}_{ij}[\hat {\mathbf X}_{k}, \hat {\mathbf X}_{l}] + c^{m}_{jk}[\hat {\mathbf X}_{i}, \hat {\mathbf X}_{m}] + c^{t}_{ki}[\hat {\mathbf X}_{j}, \hat {\mathbf X}_{t}] = c^{l}_{ij}c^{p}_{kl}\hat {\mathbf X}_{p} + c^{m}_{jk}c^{f}_{im}\hat {\mathbf X}_{f} + c^{t}_{ki}c^{r}_{jt}\hat {\mathbf X}_{r} = 0$$.

Якщо у другому доданку перепозначити німі індекси як $$\ m \to l, f \to p$$, а у третьому - $$\ t \to l, r \to p$$, то можна отримати

$$\ \left(c^{l}_{ij}c^{p}_{kl} + c^{l}_{jk}c^{p}_{il} + c^{l}_{ki}c^{p}_{jl}\right)\hat {\mathbf X}_{p} = 0$$,

або, в силу довільності оператора $$\ \hat {\mathbf X}_{p}$$,

$$\ c^{l}_{ij}c^{p}_{kl} + c^{l}_{jk}c^{p}_{il} + c^{l}_{ki}c^{p}_{jl} = 0$$

(по $$\ l$$ - сума).

Оператори Казиміра
Важливими в теорії груп Лі є так звані оператори Казиміра - оператори, які комутують із усіма генераторами алгебри Лі.

В силу леми Шура, якщо представлення - незвідне, то оператор Казиміра пропорційний одиничній матриці, а отже, незалежно від вектора базису, його дія на цей вектор дає цей же вектор, помножений на одне й те саме число, яке визначає дане представлення. Якщо таких операторів - декілька, то їх набір визначає незвідне представлення з точністю до перетворення еквівалентності. Наприклад, для групи $$\ SO(3)$$ оператором Казиміра є $$\ \hat{\mathbf R}^{2} = -l(l + 1)$$, а зв'язок $$\ l $$ із представленням визначається максимальним значенням оператора $$\ \hat{R}_{3}$$.