Побудова незвідних представлень групи Пуанкаре

Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Перетворення групи Пуанкаре базисних станів. Мала група
Нехай розглядається деяке незвідне представлення групи Пуанкаре $$\ U(\Lambda, a)$$, де перший індекс позначає групу Лоренца, а другий - групу трансляцій. В силу того, що група Пуанкаре відповідає напівпрямому добутку груп трансляцій та Лоренца, представлення $$\ U(\Lambda, a)$$ можна характеризувати двома представленнями: $$\ U(\Lambda , 0), U(1 , a)$$.

Оскільки генератори трансляцій групи Пуанкаре комутують, $$\ [\hat {P}^{\mu}, \hat {P}^{\nu}] = 0$$ (група є абелевою), то існує набір (нескінченний в силу неперервності 4-імпульсу) власних функцій $$\ | \mathbf p, \sigma \rangle$$, для яких

$$\ \hat {P}^{\mu}| p, \sigma \rangle = p^{\mu}| p , \sigma \rangle \quad (1)$$.

Тут $$\ \sigma$$ визначає всі дискретні ступені вільності для даного стану (як спінове, що відповідає незвідності представлення, так і зарядові числа, що відповідають внутрішнім симетріям типу унітарної і які не пов'язані із групою Пуанкаре). Також враховано, що для даних станів повинно виконуватись співвідношення незвідності $$\ \hat {P}^{\mu}\hat {P}_{\mu}| \mathbf p, \sigma \rangle = p^{2}| \mathbf p , \sigma \rangle = m^{2}| \mathbf p , \sigma \rangle$$. В силу написаного вище, треба подивитись, як перетворюються функції стану при дії на них $$\ U(\Lambda, 0), U(1 , a)$$. Друге перетворення є очевидним в силу $$\ (1)$$:

$$\ e^{i \hat {P}^{\mu}a_{\mu}}| p, \sigma \rangle = e^{ip^{\mu}a_{\mu}}| p , \sigma \rangle$$.

Нехай далі із усіх компонент зв'язності групи Пуанкаре виділена одна - ортохронна підгрупа. Це означає, що будь-який $$\ p^{\mu}$$ можна зв'язати з іншим $$\ p^{\nu}$$ за допомогою перетворення неперервної групи Лоренца $$\ p^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}p^{\nu}$$. Тому стан $$\ U(\Lambda, 0) | \mathbf p , \sigma \rangle$$ також є власним станом оператора $$\ \hat {P}^{\mu}$$ із власним значенням $$\ \Lambda^{\mu}_{\ \nu}p^{\nu}$$:

$$\ \hat {P}^{\mu}U(\Lambda, 0)| \mathbf p , \sigma \rangle = U(\Lambda , 0)[U^{-1}(\Lambda , 0)\hat {P}^{\mu}U(\Lambda , 0)]| \mathbf p , \sigma \rangle = U(\Lambda , 0)\Lambda^{\mu}_{\ \nu}\hat {P}^{\nu}| \mathbf p , \sigma \rangle = \Lambda^{\mu}_{\ \nu}p^{\nu}U(\Lambda , 0)| \mathbf p , \sigma \rangle$$.

Це означає, що $$\ U(\Lambda, 0)| \mathbf p , \sigma \rangle $$ дається лінійною комбінацією станів $$\ | \Lambda p , \sigma {'} \rangle$$:

$$\ U(\Lambda, 0)| p, \sigma \rangle = \sum_{\sigma '} C_{ \sigma{'}\sigma}(\Lambda , p)| \Lambda p , \sigma {'} \rangle \qquad (2)$$.

Для остаточного знаходження перетворення групи Пуанкаре базисних треба знайти коефіцієнти $$\ C_{\sigma \sigma{'}}(\Lambda, p)$$.

Мала група
Щоб це зробити, зручно зафіксувати 4-імпульс $$\ p_{\mu}$$ одночастинкового стану. Ортохронне перетворення Лоренца залишає інваріантним величину $$\ p^{2}$$ та знак $$\ p_{0}$$. Набір імпульсів $$\ p$$, для яких ці величини фіксовані, називається орбітою групи Лоренца. Будь-який 4-імпульс орбіти може бути виражений через деякий "стандартний" 4-імпульс $$\ k_{\mu}$$ за допомогою деякого "стандартного" перетворення $$\ L_{\mu}^{\nu}(p)$$,

$$\ p_{\mu} \equiv L_{\mu}^{\ \nu}k_{\nu}$$.

Відповідно до цього, можна постулювати, що стани $$\ | \mathbf p, \sigma \rangle , | \mathbf k , \sigma \rangle$$ пов'язані один із одним через співвідношення виду

$$\ | \mathbf p, \sigma \rangle = N(p)U(L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle \qquad (3)$$.

Тут $$\ N(p)$$ - деякий нормуючий множник, а $$\ U(L(p)) = U(L(p), 0)$$. Вираз $$\ (3)$$ являється визначенням мітки $$\ \sigma$$ і встановлює її зв'язок із 4-імпульсом.

Тоді

$$\ U(\Lambda )| \mathbf p, \sigma \rangle = U(\Lambda )N(p)U(L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle = N(p)U(\Lambda L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle = N(p)U(L(\Lambda p))U(L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p))| \mathbf k , \sigma \rangle \qquad (4)$$,

де останній перехід було зроблено в силу групової властивості $$\ U(b) = U(aa^{-1}b) = U(a)U(a^{-1}b)$$. Тут було виділене представлення $$\ U(L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p)) = R(\Lambda, p)$$, дія якого на $$\ k^{\mu}$$ залишає останній інваріантним: $$\ R(\Lambda, p) k^{\mu} = [L^{-1}(\Lambda p) \Lambda L(p)]^{\mu}_{\ \nu}k^{\nu} = |L(p)k = p| = (L^{-1}(\Lambda p))^{\mu}_{\ \nu}\Lambda^{\nu}_{\alpha} p^{\alpha} = k^{\mu}$$.

Відповідні представлення $$\ U(R(\Lambda, p))$$ називаються представленнями малої групи $$\ k^{\mu}$$. Навіщо було потрібно їх виділяти? Справа у тому, що для фіксованого імпульсу розмірність представлення $$\ U(R(\Lambda, p))$$ (для більшості орбіт) є скінченною, на відміну від нескінченної розмірності для представлення $$\ U(\Lambda)$$. Це значно спрощує пошук явного вигляду реалізації незвідного представлення на одночастинкових станах.

Нехай тепер у $$\ (2)$$ перетворення відповідають $$\ U(R(\Lambda, p))$$. Тоді

$$\ U(R(\Lambda, p))| \mathbf k , \sigma \rangle = \sum_{\sigma '}D_{\sigma ' \sigma}(R(\Lambda , p))| \mathbf k , \sigma '\rangle$$.

З виразу видно, що $$\ U(R(\Lambda, p)), D_{\sigma ' \sigma}$$ утворюють унітарне незвідне представлення малої групи. Підставивши цей вираз у $$\ (4)$$ та врахувавши $$\ (3)$$, можна отримати

$$\ U(\Lambda )| \mathbf p, \sigma \rangle = N(p)U(L(\Lambda p))U(R(\Lambda , p))| \mathbf k , \sigma \rangle = N(p)\sum_{\sigma '}D_{\sigma '\sigma }(R(\Lambda , p))U(L(\Lambda p))| \mathbf k , \sigma '\rangle = |(3)| = \frac{N(p)}{N(\Lambda p)}\sum_{\sigma '}D_{\sigma ' \sigma} | \Lambda p , \sigma '\rangle$$.

Наведене продемонструвало, що побудова унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре з точністю до нормування визначається побудовою унітарних незвідних представлень малої групи. Тому, врешті-решт, частинка з точки зору Пуанкаре-симетрії характеризується "орбітою" групи Лоренца у імпульсному просторі Мінковського та незвідним унітарним представленням малої групи "орбіти".

Нарешті, можна визначити вираз для нормуючого множника: врахувавши унітарність оператору трансляцій та представлення малої групи $$\ U(R(\Lambda, p)) $$, можна отримати

$$\ \langle p ', \sigma '|p, \sigma \rangle = \langle p ' , \sigma '|U^{+}(1, a)U(1, a)|p, \sigma \rangle = e^{ia^{\mu}(p - p')_{\mu}}\langle p ' , \sigma '|p, \sigma \rangle$$.

Вираз повинен бути справедливим для будь-яких значень $$\ a$$, тому

$$\ \langle p ', \sigma '|p, \sigma \rangle = A(p)\delta (\mathbf p - \mathbf p') \qquad (5)$$.

З іншого боку, на основі $$\ (3)$$ можна написати

$$\ \langle p ', \sigma '|p, \sigma \rangle = N^{*}(p')N(p)\langle U(L(p))k ,\sigma |U(L(p)) k , \sigma \rangle = \left| |k , \sigma \rangle = \frac{1}{N(p)}U(L^{-1}(p))| \mathbf p , \sigma \rangle \right| = $$

$$\ = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})}\langle U(L(p'))U(L^{-1}(p_{1}'))p_{1}' ,\sigma |U(L(p))U(L^{-1}(p_{1})) p_{1}, \sigma \rangle = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})} \langle p_{1}' ,\sigma |U[L^{-1}(p_{1}'))L(p')L(p)L^{-1}(p_{1})]| p_{1} , \sigma \rangle$$

для будь-яких $$\ p, p_{1}, p', p_{1}'$$. Враховуючи, що $$\ p' = \Lambda p_{1}', p_{1} = \Lambda p$$, $$\ U[L^{-1}(p_{1}'))L(p')L(p)L^{-1}(p_{1})] = 1$$, тому при використанні $$\ (5)$$ можна отримати

$$\ \langle p ', \sigma '|p, \sigma \rangle = A(p)\delta (\mathbf p - \mathbf p') = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})}\langle p_{1}' ,\sigma | p_{1}, \sigma '\rangle = \frac{N^{*}(p')N(p)}{N^{*}(p_{1}')N(p_{1})}A(p_{1})\delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}')$$.

Тому визначаючим для нормувального множника є вираз

$$\ \frac{A(\Lambda p_{1})}{|N(\Lambda p_{1})|^{2}}\delta (\mathbf p - \mathbf p') = \frac{A(p_{1})}{|N(p_{1})|^{2}}\delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}')$$.

Враховуючи рівність

$$\ p^{0}\delta(\mathbf p - \mathbf p{'}) = p^{0}_{1}\delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}')$$, цей вираз можна переписати як

$$\ \frac{|N(\Lambda p)|^{2}(\Lambda p)^{0}}{A(\Lambda p)} = \frac{|N( p)|^{2}( p)^{0}}{A( p)} \Rightarrow N(p) = N \sqrt{\frac{A(p)}{p^{0}}} \qquad (6)$$.

Тут N - формальний фазовий множник, а як $$\ A(p)$$ можна взяти $$\ (\Lambda p)^{0}$$. Отже, нарешті, перетворення групи Пуанкаре базисних станів мають вигляд

$$\ U(\Lambda, a)|\mathbf p, \sigma\rangle = U(1, a)U(\Lambda, 0)|\mathbf p, \sigma\rangle = e^{i( \Lambda p)^{\mu}a_{\mu}}N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^{0}}{p^{0}}}\sum_{\sigma_{'}}D_{\sigma ' \sigma}| \Lambda p , \sigma '\rangle \qquad (7)$$.

Побудова малої групи для масивного випадку розглянута нижче, а для безмасового - подана у наступному розділі.

Масивний випадок
Нехай $$\ m^{2} \neq 0$$. Тоді за стандартний вектор на такій оболонці прийнято обирати $$\ k^{\mu} = (m, 0, 0, 0)$$. Яка (мала) група залишає вектор інваріантним? Така, яка не зачіпає часову координату. Такою групою є $$\ SO(3)$$ - група тривимірних поворотів $$\ T(\hat {J})$$:

$$\ D_{\sigma ' \sigma }(T(\hat {J})) = \delta_{\sigma \sigma {'}} + i\omega^{i}\hat {J}^{i}_{\sigma \sigma {'}} + o(\omega^{2}) \qquad (8)$$,

де $$\ \hat {J}^{i}$$ є матрицями незвідного представлення групи поворотів для спіну $$\ s$$:

$$\ \hat {J}_{1 (\sigma \sigma')} = \frac{1}{2}\left( \delta_{\sigma' (\sigma + 1)}\sqrt{(s + \sigma + 1)(s - \sigma)} + \delta_{\sigma' (\sigma - 1)}\sqrt{(s + \sigma)(s - \sigma + 1)} \right) \qquad (9)$$,

$$\ \hat {J}_{2 (\sigma \sigma ')} = \frac{i}{2}\left( \delta_{\sigma' (\sigma - 1)}\sqrt{(s + \sigma)(s  - \sigma + 1)} - \delta_{\sigma' (\sigma + 1)}\sqrt{(s - \sigma)(s + \sigma + 1)} \right) \qquad (10)$$,

$$\ \hat {J}_{3 (\sigma \sigma')} = \sigma\delta_{\sigma \sigma'} \qquad (11)$$.

Отже, для масивного стану мітка $$\ \sigma $$ пробігає $$\ 2s+1$$ значень, де $$\ s$$ - спін представлення.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$