Введення символів Кристоффеля. Коваріантна похідна

Повернутися до розділу "Загальна теорія відносності".

Коваріантна похідна. Символи Кристоффеля
При використанні будь-яких лінійних по аргументам координат у просторі-часі перетворень (як перетворень Лоренца, Галілея) диференціал $$\ dA_{i}$$ вектора $$\ A_{i}$$ утворює вектор, а похідні $$\ \frac{\partial A_{i}}{\partial x^{k}} = \partial_{k}A_{i}$$ утворюють тензор. Проте за появи нелінійності у даних перетвореннях вони перестають бути векторними та тензорними величинами відповідно. Дійсно, при законі перетворення

$$\ A_{i} = \partial_{i}x{'}_{k}A{'}^{k}$$

диференціал утвореного вектора відповідає виразу

$$\ dA_{i} = \partial_{i}x{'}_{k}dA{'}^{k} + A{'}^{k}(\partial^{2}_{i l}x{'}_{k})dx^{l}$$.

Другий доданок зануляється, коли $$\ x{'}_{k}$$ є лінійною функцією від $$\ x_{k}$$. Проте за нелінійних перетворень він не рівен нулю, а отже, приріст вектора $$\ A_{i}$$ перестає відповідати векторному перетворенню (аналогічно - з тензорними перетвореннями).

Це пов'язано з тим, що у криволінійних координатах дифереціали перетворень $$\ x'_{k}$$ залежать від $$\ x_{k} $$, а отже, залежать від точки простору-часу, у якій розглядаються перетворення. Це відповідає або неоднорідному (чи неізотропному) простору, або однорідному простору з постійною кривиною. Тоді диференціал $$\ dA_{i}$$, який, по суті, являється різницею векторів, що знаходяться у нескінченно близьких (але різних) точках простору-часу, не може задаватися вектором: в різних точках простору-часу вектори перетворюються по-різному.

Для встановлення аналогу $$\ \partial_{k}A_{i}$$ у криволінійних координатах треба усунути цю проблему. Для усунення проблеми можна перенести один вектор у точку іншого вектора; при цьому вектор буде зазнавати зміни через криволінійний простір-час. Якщо є два коваріантних вектори, $$\ A^{i}(x^{i})$$ і $$\ A^{i} + d A^{i}$$ у точці $$\ x^{i} + dx^{i}$$, то при переносі першого вектора у положення другого його зміна буде складати $$\ \delta A_{i}$$. Отже, визначивши величину

$$\ DA^{i} = dA^{i} - \delta A^{i} \qquad (1)$$,

можна буде визначити вектор-аналог $$\ dA^{i}$$ у криволінійному просторі-часі. Оскільки наведений диференціал $$\ (1) $$ є вектором, то кожний доданок у ньому відповідає вектору. Тоді $$\ \delta A^{i}$$ характеризується лінійною залежністю від величини компонент $$\ x^{l}$$. Тому цей вектор має вигляд

$$\ \delta A^{i} = - \Gamma^{i}_{kl}A^{k}dx^{l} \qquad (2)$$,

де $$\ \Gamma^{i}_{kl}$$ називаються коефіцієнтами зв'язності або символами Кристоффеля. У просторі-часі, перетворення $$\ x{'}_{k} $$ якого є лінійними по аргументам, коефіцієнти зв'язності рівні нулю. У інших випадках коефіцієнти, у загальному випадку, нулю не рівні. Це означає, що у загальному випадку символи Кристоффеля не є тензорами, оскільки тензор є нульовим у будь-якій системі координат, якщо він є нульовим у певній одній системі.

Можна визначити також і $$\ \Gamma_{i, kl}$$, що визначаються як

$$\ \Gamma_{i, kl} = g_{im}\Gamma^{m}_{kl} \Rightarrow \Gamma^{i}_{kl} = g^{im}\Gamma_{m, kl}$$.

Аналогічно до криволінійного перетворення контраваріантного вектора, можна визначити і перетворення коваріантного вектора $$\ \delta A_{i}$$. Оскільки перетворення скаляру-згортки $$\ \delta (A_{i}B^{i})$$ рівне нулю, то

$$\ \delta (A_{i}B^{i}) = \delta (A_{i} )B^{i} + A_{i}\delta (B^{i}) = |(10)| = \delta (A_{i} )B^{i} - A_{i}\Gamma^{i}_{kl}B^{k}dx^{l} = 0$$.

Звідси слідує, що для довільного вектора $$\ B^{i}$$

$$\ \delta A_{i} = \Gamma^{k}_{il}A_{k}dx^{l}$$.

Тепер можна встановити явний вигляд диференціалу $$\ (1)$$. Підставивши у нього $$\ (2)$$, можна отримати

$$\ DA^{i} = dA^{i} + \Gamma^{i}_{kl}A^{k}dx^{l} = \partial_{l}A^{i}dx^{l} + \Gamma^{i}_{kl}A^{k}dx^{l} = (\partial_{l}A^{i} + \Gamma^{i}_{kl}A^{k})dx^{l} = D_{l}(A^{i})dx^{l}, \quad DA_{i} = (\partial_{l}A_{i} - \Gamma^{k}_{il}A_{k})dx^{l} \qquad (3)$$.

Вирази у дужках узагальнюють тензор $$\ \partial^{l}A^{i}$$ на довільну систему координат та називаються коваріантними похідними $$\ A^{i}_{;l}$$ вектора $$\ A^{i}$$.

Для встановлення виразу коваріантної похідної від тензора рангу 2 треба спочатку взяти простий приклад тензора, а потім, в силу лінійності перетворень, узагальнити його на довільний тензор. Тоді

$$\ \delta (A^{i}B^{k}) = |(1)| = -(\Gamma^{i}_{lm}A^{m}B^{k} + \Gamma^{k}_{lm}A^{i}B^{m})dx^{l}$$,

і в силу лінійності перетворень для довільного тензора

$$\ \delta (T^{ik}) = -(\Gamma^{i}_{lm}T^{mk} + \Gamma^{k}_{lm}T^{im})dx^{l}$$.

Тоді коваріантна похідна від тензора рівна

$$\ D_{l}T^{ik} = ( \partial_{l}T^{ik} + \Gamma^{i}_{lm}T^{mk} + \Gamma^{k}_{lm}T^{im})dx^{l} \Rightarrow T^{ik}_{; l} = \partial_{l}T^{ik} + \Gamma^{i}_{lm}T^{mk} + \Gamma^{k}_{lm}T^{im}$$.

Для коваріантного тензора аналогічно можна написати, що

$$\ \delta (T_{ik}) = (\Gamma^{j}_{il}T_{jk} + \Gamma^{j}_{lk}T_{ij})dx^{l} \Rightarrow DT_{ik} = \left(\partial_{l}T_{ik} - \Gamma^{j}_{il}T_{jk} - \Gamma^{j}_{lk}T_{ij}\right)dx^{l}$$.

Перетворення символів Кристоффеля при заміні системи Координат
Перетворення символів Кристоффеля при переході від однієї криволінійної системи координат до іншої можна визначити, використовуючи те, що коваріантна похідна є тензором. Тоді для перетворення коваріантної похідної як тензора можна записати, користуючись $$\ (3) $$ та очевидною рівністю $$\ A^{i'} = A^{i}\partial_{i}x^{i'}, \partial_{l'} = \partial_{l}\partial_{l'}x^{l}$$, що

$$\ A^{i'}_{;l'} = D_{l'}A^{i'} = D_{l}A^{k}\partial_{l'}x^{l} \partial_{k}x^{i'} = \partial_{l'}x^{l} \partial_{k}x^{i'}\partial_{l}A^{k} + \Gamma^{k}_{il}A^{i}\partial_{l'}x^{l} \partial_{i}x^{i'} = \partial_{l'}x^{l} \partial_{i}x^{i'}\partial_{l}A^{i} + \Gamma^{k}_{il}A^{i}\partial_{l'}x^{l} \partial_{i}x^{i'}$$.

З іншого боку,

$$\ D_{l'}A^{i'} = \partial_{l'}A^{i'} + \Gamma^{i'}_{k' l'}A^{k'} = \partial_{l'}(A^{i}\partial_{i}x^{i'}) + \Gamma^{i'}_{k' l'}A^{k}\partial_{k}x^{k'} = \partial_{i}x^{i'}\partial_{l'}x^{l} \partial_{l}A^{i} + A^{i}\partial_{l'}\partial_{i}x^{i'} + \Gamma^{i'}_{k' l'}A^{k}\partial_{k}x^{k'} = $$

$$\ = \partial_{i}x^{i'}\partial_{l'}x^{l} \partial_{l}A^{i} + A^{i}\partial_{l'}x^{l}\partial_{l}\partial_{i}x^{i'} + \Gamma^{i'}_{k' l'}A^{k}\partial_{k}x^{k'} $$.

Прирівнявши ці два вирази, перейменувавши $$\ k \to i$$ у останньому доданку другого виразу та "опустивши" поле $$\ A^{i}$$ в силу його довільності, можна отримати

$$\ \partial_{l'}x^{l} \partial_{i}x^{i'}\partial_{l}A^{i} + \Gamma^{k}_{il}A^{i}\partial_{l'}x^{l} \partial_{k}x^{i'} = \partial_{i}x^{i'}\partial_{l'}x^{l} \partial_{l}A^{i} + A^{i}\partial_{l'}x^{l}\partial_{l}\partial_{i}x^{i'} + \Gamma^{i'}_{k' l'}A^{k}\partial_{k}x^{k'} \Rightarrow \Gamma^{k}_{il}\partial_{l'}x^{l} \partial_{k}x^{i'} = \partial_{l'}x^{l}(\partial_{l}\partial_{i}x^{i'}) + \Gamma^{i'}_{k' l'}\partial_{i}x^{k'}$$.\

Нарешті, помноживши вираз на невироджену матрицю перетворення $$\ \partial_{k'}x^{i}$$, можна отримати

$$\ \Gamma^{i'}_{k' l'} = \Gamma^{k}_{il}\partial_{l'}x^{l} \partial_{k}x^{i'}\partial_{k'}x^{i} -\partial_{k'}x^{i}\partial_{l'}x^{l}(\partial_{l}\partial_{i}x^{i'}) \Rightarrow \Gamma^{i'}_{k' l'} = \Gamma^{k}_{il}\frac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\frac{\partial x^{i'}}{\partial x^{k}}\frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}} - \frac{\partial x^{i}}{\partial x^{k'}}\frac{\partial x^{l}}{\partial x^{l'}}\frac{\partial^{2}x^{i'}}{\partial x^{i}\partial x^{l}} \qquad (4)$$.

Видно, що закон перетворення $$\ \Gamma^{i}_{fl}$$ буде відповідати закону перетворення тензора рангу 3, якщо другий доданок буде рівен нулю. Проте тензором буде набір величин, що рівні різниці двох символів Кристоффеля із переставленими нижніми індексами:

$$\ S^{i}_{kl} = \Gamma^{i}_{kl} - \Gamma^{i}_{lk}$$.

Дійсно, другий доданок у $$\ (4)$$ є симетричним по індексам, а тому він зникає із явного виразу для тензора $$\ S^{i}_{kl}$$. Тепер, наклавши умови принципу еквівалентності, згідно з яким можна завжди вибрати таку систему координат, що у даній точкі всі символи Кристоффеля будуть рівні нулю, можна стверджувати, що тензор $$\ S^{i}_{kl}$$ рівен нулю: якщо тензор рівен нулю у одній СК, то він рівен нулю у будь-якій іншій. Це означає, що символи Кристоффеля симетричні по індексам:

$$\ \Gamma^{i}_{kl} = \Gamma^{i}_{lk}$$.

Система координат, у якій символи Кристоффеля в даній точці обертаються в нуль, називається локально-інерціальною. Перехід до неї можна зробити наступним чином. Нехай точка, для якої треба занулити символи, розташована у початку системи координат. Можна скласти такі перетворення для переходу до деякої системи координат поблизу даної точки:

$$\ x_{p} = x_{p'} + \frac{1}{2}(\Gamma^{p'}_{f't'})_{0}x^{f'}x^{t'}$$,

де $$\ (\Gamma^{m'}_{m'l'})_{0}$$ - значення символу Кристоффеля у досліджуваній точці у початковій системі координат.

Тоді, користуючись $$\ (4)$$ і показуючи, що при умові наведених перетворень другий доданок рівен

$$\ (\partial^{2}_{l'f'}x^{m})\partial_{m}x^{i'} = \frac{1}{2}\partial^{2}_{l'f'}((\Gamma^{m}_{l'f'})_{0}x^{l'}x^{f'} + (\Gamma^{m}_{f'l'})_{0}x^{f'}x^{l'} )\delta^{i'}_{m} =|(\Gamma^{m}_{l'f'})_{0} = (\Gamma^{m}_{f'l'})_{0}| = \Gamma^{m}_{l'f'}\delta^{i'}_{m} = \Gamma^{i'}_{l'f'}$$,

можна стверджувати, що всі $$\ \Gamma^{m}_{fi}$$ рівні нулю. Дійсно, це отримується простим перенесенням другого доданку вліво та взаємним скороченням його та іншого доданку з лівої частини.