Незвідні представлення групи та стан частинки

Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Тепер можна перейти до зв'язку незвідних представлень групи Пуанкаре та стану частинки у квантовій теорії поля. Для цього треба використати факт, що у квантовій механіці 4-імпульс частинки відповідає оператору $$\ \hat{P}^{\mu}$$, а вектор моменту імпульсу - одному із 3-операторів, з яких побудований тензор групи Лоренца.

Відповідно до цього,

$$\ \hat {P}_{\alpha}\hat {P}^{\alpha}\psi = m^{2}\psi$$,

де $$\ m^{2}$$ - квадрат маси частинки.

Далі, квадрат оператору Любанського-Паулі у системі, в якій просторовий імпульс частинки рівен нулю (при використанні відповідності операторів відповідним спостережуваним величинам маємо $$\ \hat {P}_{\mu}\psi_{\mathbf p = 0} = (m, 0, 0, 0)\psi_{\mathbf p = 0}$$), при дії на функцію стану дає

$$\ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda}\psi_{\mathbf p = 0} = \left(\hat {S}_{\alpha \beta}\hat {P}^{\beta}\hat {S}^{\alpha \gamma}\hat {P}_{\gamma} - \frac{1}{2}\hat {P}_{\delta}\hat {P}^{\delta}\hat {S}_{\rho \varepsilon}\hat {S}^{\rho \varepsilon}\right)\psi_{\mathbf p = 0} = \left(\hat {S}_{\alpha 0}\hat {P}^{0}\hat {S}^{\alpha 0}\hat {P}_{0} - \frac{1}{2}\hat {P}_{0}\hat {P}^{0}\hat {S}_{\rho \varepsilon}\hat {S}^{\rho \varepsilon}\right) \psi_{\mathbf p = 0} = \left|[\hat {P}^{0}, \hat {S}^{\alpha 0}] = i(g^{0\alpha }\hat {P}^{0} - \hat {P}^{\alpha})\right| = $$

$$\ = i\hat {S}_{\alpha 0}(g^{0\alpha }m - m) + m^{2}\left( - \hat {\mathbf K}^{2} - \frac{1}{2}2 \left( \hat {\mathbf S}^{2} - \hat {\mathbf K}^{2}\right)\right) \psi_{\mathbf p = 0} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{\mathbf p = 0} \qquad (1)$$,

де $$\ s$$ - спінове квантове число. Тут був використаний факт того, що $$\ \hat {S}^{\alpha \beta} = (\hat {\mathbf K}, \hat {\mathbf S})$$, тому, згідно із властивостями антисиметричних тензорів,

$$\ \hat {S}_{\alpha 0}\hat {S}^{\alpha 0} = -\hat {\mathbf K}^{2}, \quad \hat {S}_{\alpha \beta}\hat {S}^{\alpha \beta} = 2(\hat {\mathbf S}^{2} - \hat {\mathbf K}^{2})$$.

В силу інваріантності оператора Казиміра відносно трансляцій та перетворень групи Лоренца це власне число не залежить від вибору системи відліку, тобто $$\ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda}\psi_{\mathbf p } = -m^{2}s(s + 1)\psi_{\mathbf p }$$.

Згадаємо тепер, що незвідні представлення групи Лоренца характеризувались прямим добутком двох представлень групи $$\ SL(2, C)$$, які (недбало кажучи) пов'язані комплексним спряженням:

$$\ \Psi_{\alpha \beta}{'} = S_{\alpha \mu}^{j_{1}}S_{\beta \nu}^{j_{2}}\Psi_{\mu \nu}$$,

де числа $$\ j_{1}, j_{2}$$ є максимальними власними числами операторів $$\ \hat{A}_{3}, \hat{B}_{3}$$ вказаних груп, які, у свою чергу, пов'язані із генераторами бустів і 3-поворотів $$\ \hat{K}_{i}, \hat{S}_{i}$$ незвідного представлення групи Лоренца як $$\ \hat{A}_{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{S}_{i} + i\hat{K}_{i}), \quad \hat{B}_{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{S}_{i} - i\hat{K}_{i})$$. Якщо підставити наведений зв'язок у $$\ (1)$$, можна отримати

$$\ \hat {W}_{\lambda}\hat {W}^{\lambda}\psi_{\mathbf p = 0} = -m^{2}\hat{\mathbf S}^{2}\psi_{\mathbf p = 0} = -m^{2}(\hat{\mathbf A} + \hat{\mathbf B})^{2}\psi_{\mathbf p = 0} = \left|[\hat{A}_{i}, \hat{B}_{j}] = 0\right| = -m^{2}\left(\hat{\mathbf A}^{2} + \hat{\mathbf B}^{2} + 2 (\hat{\mathbf A} \cdot \hat{\mathbf B}) \right)\psi_{\mathbf p = 0} = $$

$$\ =-m^{2}\left( j_{1}(j_{1} + 1) + j_{2}(j_{2} + 1) + 2(\hat{A}_{3}\hat{B}_{3} +\hat{A}_{1}\hat{B}_{1} + \hat{A}_{2}\hat{B}_{2})\right) \psi_{\mathbf p = 0} = \left|\hat{A}_{1}\hat{B}_{1} + \hat{A}_{2}\hat{B}_{2} = \hat{A}_{+}\hat{B}_{1} - i\hat{A}_{2}\hat{B}_{+}, \hat{A}_{+}\psi = \hat{B}_{+}\psi = 0, \hat{A}_{3}\hat{B}_{3}\psi = j_{1}j_{2}\psi\right| = $$

$$\ = -m^{2}(j_{1} + j_{2})(j_{1} + j_{2} + 1)\psi_{\mathbf p = 0}$$.

Ця взагалі-то формальна викладка наочно демонструє зроблене раніше твердження, що математична природа об'єкту $$\ \psi$$ визначає фізично спостережувану величину - спін.

Таким чином, вільна частинка із точки зору Пуанкаре-симетрії (а інші симетрії для вільної частинки у просторі-часі Мінковського не мають сенсу) характеризується спіном і масою.

Вігнером була розроблена класифікація представлень залежності від значення маси $$\ m$$.

1. $$\ m^{2} > 0$$. Власні значення ненульові. Стан характеризується квадратами маси $$\ m^{2}$$ та спіну $$\ m^{2}s(s + 1)$$. Стани представлення відрізняються значенням проекції спіну на задану (найчастіше обирають z) вісь, $$\ s, s - 1, ..., -s$$ (таким чином, є $$\ 2s + 1$$ спінових ступенів вільності), і неперервними власними значеннями компонент 4-оператора $$\ \hat {P}_{\mu}$$. Отже, представлення відповідають частинці маси $$\ m$$, спіну $$\ s$$, імпульсу $$\ p_{i}$$ та проекції спіну на напрямок руху $$\ s_{3}$$. Про реалізацію унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре для масивних частинок написано у розділі про спінорні представлення груп Лоренца та Пуанкаре.

2. $$\ m^{2} = 0$$. Власні значення обох операторів Казиміра обертаються в нуль. Тому кожен із відповідних векторів є світлоподібним. Окрім того, $$\ \hat {W}_{\mu}\hat {P}^{\mu} = 0$$. Це означає, що оператори повинні бути пропорційними: $$\ \hat {W}_{\mu} = \lambda \hat {P}_{\mu}$$. Дійсно, тоді рівність нулю скалярного добутку тотожно задовольняється: $$\ \hat {W}_{\mu}\hat {P}^{\mu}\psi = \lambda \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}\psi = 0$$. Отже, стан однієї безмасової частинки характеризується одним числом $$\ \lambda$$. Воно має розмірність моменту імпульсу і називається спіральністю. Про спіральність та особливості алгебри для безмасової частинки - у відповідному підрозділі. Про реалізацію унітарних незвідних представлень групи Пуанкаре для безмасових частинок написано у розділі про спінорні представлення груп Лоренца та Пуанкаре.

3. $$\ \hat {P}_{\mu}\hat {P}^{\mu}$$ рівний нулю, проте спін приймає неперервні значення. Довжина вектора Паулі-Любанського $$\ \hat {W}_{\mu}\hat {W}^{\mu}$$ приймає від'ємні значення. Такий тип представлення описує частинку із нульовою масою та нескінченним числом станів поляризації, що індукуються неперервним спіном. Детальніше про такий випадок написано у розділі про малу групу безмасових представлень.

Наостанок варто помітити, що група Пуанкаре є групою лише кінематичних симетрій. Повна група симетрій являється прямим добутком $$\ ISO_{+}(3, 1)\otimes G$$, де $$\ G$$ - група внутрішніх симетрій, яка належить унітарним групам (із умови збереження норми). Типовим прикладом є наявність електричного заряду. Відповідно, частинка характеризується, взагалі, не лише квадратом маси та спіну, а й деякими дискретними числами, що відповідають групам внутрішніх симетрій. Проте побудова незвідних представлень групи Пуанкаре є першим кроком до побудови одночастинкових станів, оскільки при наявності у теорії частинок лише одного виду ці частинки є вільними, а тому внутрішні симетрії "виморожені".