Реалізація для випадку SU(n)

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Побудова лагранжіану та загальні властивості
У загальному випадку групи $$\ SU(n)$$ взаємодія із ферміонами також включається просто. Треба взяти лагранжіан $$\ n$$ ферміонів і подовжити у ньому похідну $$\ \partial_{\mu} \to \partial_{\mu} - igA_{\mu}$$, де поле $$\ A_{\mu}$$ є матрицею $$\ n \times n$$ у кольоровому просторі. Оскільки група $$\ SU(n)$$ має $$\ n^{2} - 1$$ генераторів, то маємо взаємодію кожного із ферміонів із $$\ n^{2} - 1$$ калібрувальними полями $$\ A_{\mu}^{a}: A_{\mu} = A_{\mu}^{a}t_{a}$$. Окрім того, треба додати член, що описує самодію і вільні поля $$\ A_{\mu}^{a}$$. Як і в двох минулих підрозділах, таким членом виступає $$\ F^{a}_{\mu \nu}F^{\mu \nu}_{a}$$, де

$$\ F_{\mu \nu}^{a} = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} + c^{abc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}$$.

Тут структурна константа $$\ c^{abc}$$ визначається з умови

$$\ [t_{a}, t_{b}] = ic_{abc}t^{c}$$.

Врешті-решт, фінальний лагранжіан має вигляд

$$\ L = \bar{\Psi}_{n}\gamma^{\mu}(i\partial_{\mu} + gA_{\mu}^{a}t_{a})_{nm}\Psi_{m} - \frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a}$$.

Нижче також наведені основні закони перетворення для калібрувальних полів та об'єктів, що із них побудовані (за основу взятий вираз для реалізації SU(2), оскільки за формою викладки мають загальний вигляд):

$$\ \mathbf {A}_{\mu}{'} = \frac{i}{g}UD_{\mu}U^{\dagger}, \quad D_{\mu}\Psi \to D_{\mu}{'}\Psi {'} = UD_{\mu}U^{\dagger}\Psi, \quad [D_{\mu}, D_{\nu}]\Psi = -ig\mathbf {F}_{\mu \nu}\Psi , \mathbf {F}_{\mu \nu}{'}\Psi{'} = U\mathbf {F}_{\mu \nu}U^{\dagger}\Psi $$.

Жирним виділені ті поля, які не розкладені за базисом генераторів (тобто, ці поля ще являються матрицями). Поля $$\ \Psi$$ - стовпчики, які складаються із $$\ n$$ ферміонних (зазвичай) полів.

Не зайвим також буде отримати інфінітезимальні перетворення для цих об'єктів, враховуючи, що калібрувальні перетворення - локальні. Враховуючи, що, відповідно до експоненціального закону, $$\ U = e^{if_{a}(x)t^{a}}$$ ($$\ t_{a}$$ - генератори), маємо інфінітезимальне перетворення

$$\ U \approx 1 + if_{a}t^{a}$$.

Звідси перетворення для полів мають вигляд

$$\ \mathbf {A}_{\mu}{'} \approx \frac{i}{g}(1 + if_{a}t^{a})(\partial_{\mu} - igA^{b}_{\mu}t_{b})(1 - if_{a}t^{a}) \approx \frac{1}{g} \left(A_{\mu}^{b}t_{b} + igf_{a}A_{\mu}^{b}(t_{a}t_{b} - t_{b}t_{a}) + \partial_{\mu}f_{a} t^{a} \right) = \left|[t_{a}, t_{b}] = ic_{abc}t^{c}\right| = $$

$$\ = \frac{i}{g}\left( A_{\mu}^{b}t_{b} - gf^{a}A_{\mu}^{b}c_{abc}t^{c} + \partial_{\mu}f_{a}t^{a}\right) = \frac{i}{g}t_{a}\left( A_{\mu}^{a} + gf_{c}(A_{\mu})_{b}c^{bca} + \partial_{\mu}f^{a}\right)$$,

$$\ \mathbf {F}_{\mu \nu}{'} \approx \frac{1}{g}t^{a}((F_{\mu \nu})_{a} + g f_{abc}F_{\mu \nu}^{b}f^{c}), \quad D_{\mu}{'}\Psi {'} \approx (1 + f^{b}t_{b})\Psi $$.

Нагадаю, що калібрувальні поля $$\ A_{\mu}^{a}$$ відповідають приєднаному представленню групи $$\ SU(n)$$.

Зв'язки другого роду
Маємо лагранжіан для неабелевої калібрувальної теорії $$\ SU(n)$$:

$$\ L = -\frac{1}{4}F^{a}_{\mu \nu}F^{\mu \nu}_{a} - A_{\mu}^{a}j^{\mu}_{a} + L_{M}(\Psi, \partial_{\mu}\Psi ) = L + L_{M}$$,

де $$\ a = 1, ..., n^{2} - 1, F_{\mu \nu}^{a} = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} + c_{a bc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}$$.

Стоїть задача проквантувати таку теорію. Наївно можна сподіватися, що через формалізм полів народження і знищення поля $$\ A_{\mu}^{b}$$, як 4-вектори, мають два ступені вільності, оскільки при відсутності взаємодії між ними кожне з них реалізує незвідне безмасове представлення групи Пуанкаре спіральності 1 при накладанні калібрувальної умови. Проте у випадку взаємодії між полями такий наївний аналіз є дещо ускладненим. Тому використаємо аналіз зв'язків, що містяться у $$\ (1)$$, слідуючи діраківському підходу, і канонічне квантування.

Перш за все, визначимо первинні зв'язки. Ними є

$$\ \pi_{0}^{a} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}A_{0}^{a})} \approx 0 \qquad (2)$$.

Відповідні цим зв'язкам вторинні зв'язки отримуються з рівняння Лагранжа для $$\ A_{0}^{a}$$:

$$\ \frac{\partial L}{\partial A_{0}^{a}} = \partial_{\mu}\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} A_{0}^{a})} \Rightarrow \partial_{i}F^{i 0}_{a} + F^{i0}_{d}c_{dab}A_{i}^{b} - J^{0}_{a} = \partial_{i}\pi^{i}_{a} + \pi^{i}_{d}c_{dab}A_{i}^{b} - J^{0}_{a} \approx 0 \qquad (3)$$,

де використане визначення канонічних імпульсів.

Нескладно переконатися, що (позначивши $$\ (2), (3)$$ як $$\ F_{2}, F_{1}$$ відповідно) ці зв'язки задовольняють комутаційним співвідношенням $$\ [F_{1}(\mathbf x), F_{2}(\mathbf y )]_{P} \approx 0$$, тому вони відповідають зв'язкам першого роду, що було майже очевидним, враховуючи те, що теорії є калібрувально-інваріантними (порівняйте із випадком ЕМ поля).

Тепер оберемо калібрування (найпопулярніший спосіб боротьби зі зв'язками першого роду; втім, має недоліки). Калібрування із похідними (найбільш стандартні - кулонівська та лоренцева) містять неоднозначність, що заключається у тому, що навіть при умові обернення $$\ A_{i}^{a}$$ в нуль на нескінченності для кожного розв'язку $$\ \partial_{i}A^{i}_{a} = 0$$ існують інші розв'язки, що відрізняються кінцевими калібрувальними перетвореннями (так звана неоднозначність Грибова). Для неабелевих теорій це надто суттєво. Тому оберемо (аксіальне) калібрування $$\ A_{3}^{a} = 0$$.

Перепишемо тепер $$\ (3)$$ із врахуванням такого калібрування: при цьому $$\ F^{a}_{03} = -\partial_{3}A_{0}^{a}$$, і тому маємо

$$\ -\partial_{3}^{2}A^{0}_{a} = -\partial_{j}\pi^{j}_{a} - \pi^{j}_{d}c_{dab}A_{j}^{b} + J_{a}^{0}, \quad j = 1, 2 \qquad (4)$$.

Оскільки струми $$\ J_{a}^{0}$$ не залежать від полів $$\ A^{a}_{\mu}$$,

$$\ J_{a}^{0} = \sum_{l, m}\frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}\Psi_{l})}(t_{a})_{lm}\Psi_{m} = \sum_{l, m}\pi^{M}_{l}(t_{a})_{lm}Q^{M}_{m}$$,

то вираз $$\ (4)$$ визначає $$\ A^{0}_{a}$$ як функціонал від канонічних координат та імпульсів полів та матерії, і може бути розв'язаний відносно $$\ A^{0}_{a}$$.

Це визначає канонічні змінні у даній теорії, за допомогою чого можна перейти до стандартного канонічного квантування.

Гамільтоніан за умови $$\ (4)$$ рівний

$$\ H = H_{M} + \pi_{a}^{i}\partial_{0}A^{a}_{i} - L = H_{M} + \pi_{a}^{i}(F^{a}_{0 i} + \partial_{i}A^{a}_{0} - c^{abc}A_{0,b}A_{i, c}) - \frac{1}{2}F_{a}^{0i}F_{0i}^{a} + \frac{1}{2}F_{ij}^{a}F_{a}^{ij} + \frac{1}{2}F^{a}_{i3}F^{i3}_{a} - \frac{1}{2}F_{a}^{03}F_{03}^{a}$$,

і при використанні аксіального калібрування маємо

$$\ H = H_{M} + \pi_{a}^{i}(\partial_{i}A^{a}_{0} - c^{abc}A_{0,b}A_{i, c}) + \frac{1}{2}\pi_{a}^{i}\pi^{a}_{i} + \frac{1}{2}F_{ij}^{a}F_{a}^{ij} + \frac{1}{2}\partial_{3}A^{a}_{i}A_{i}^{a} - \frac{1}{2}\partial_{3}A^{a}_{0}A_{a}^{0}$$.