Гейзенбергівські функції Гріна та S-матриця

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Цей розділ являється вступним до непертурбативних результатів у квантовій теорії поля, тобто таких, які визначають деяку загальну властивість теорії, що є вірною для будь-якого порядку теорії збурень. Це є надзвичайно зручним, оскільки, маючи вказані результати, можна не виводити їх кожного разу для свого порядку теорії збурень.

Гейзенбергівські функції Гріна
Для можливості застосування непертурбативних методів треба ввести n-точкову функцію Гріна:

$$\ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \langle |\hat{T}\left( \hat{O}_{1}(x_{1})...\hat{O}_{n}(x_{n})\right) |\rangle \qquad (1)$$. Оператори $$\ (1)$$ записані у представленні Гейзенберга, а не у представленні взаємодії, на відміну від оператору лагранжіану в S-операторі. Для зв'язку ж елементів S-матриці із $$\ (1)$$ треба ввести варіаційний аналіз. Це робиться наступним чином.

Нехай до гамільтоніану взаємодії (який є еквівалентним до лагранжіану взаємодії, але є більш близьки до представлення Гейзенберга) додано взаємодію з деяким набором полів $$\ \hat{\varepsilon}_{a}(t)$$. Відповідна добавка має вигляд (тут $$\ \hat{V}(t) = \int \hat{H}_{int}(x)d^{3}\mathbf x$$, і по a - сума)

$$\ \hat{V}(t) \to \hat{V}(t) + \int \varepsilon_{a}(x)\hat{o}_{a}(x)d^{3}\mathbf x$$.

Струми $$\ \hat{o}_{a}(x)$$ є довільними операторами, еволюція яких по часу визначається представленням взаємодії: $$\ \hat{o}_{a}(t) = e^{i\hat{H}_{0}(t)}\hat{o}_{a}(0)e^{-i\hat{H}_{0}(t)}$$. Це означає, що S-матриця для довільного переходу стає функціоналом $$\ S_{ab}[\varepsilon ]$$ (подібна ідея вже була частково реалізована у підрозділі про недовизначеність хронологічного впорядкування). В результаті, у додаток до вершин від $$\ \hat{V}(t)$$ треба включити також вершини, що даються $$\ \hat{o}_{a}$$: якщо $$\ \hat{o}_{a}(x)$$ є добутком $$\ n_{a}$$ польових множників, то будь-яка відповідна цьому оператору вершина має вклад $$\ -i\varepsilon (x)$$, помножений на числовий множник, що дається структурою $$\ \hat{o}_{a}$$, а кількість ліній, що входять і виходять із вершини, є рівною $$\ n_{a}$$. Звідси слідує, що r-та варіаційна похідна цієї модифікованої S-матриці по полям $$\ \varepsilon_{a_{1}}(x_{1}),...,\varepsilon_{a_{r}}(x_{r})$$ дає при $$\ \varepsilon = 0$$ дає в координатному представленні діаграми із $$\ r$$ вершинами, до яких приєднано відповідно $$\ n_{a_{1}}, n_{a_{2}}, ...$$ внутрішніх ліній; зовнішні лінії відсутні. По координатам $$\ x_{1},...$$, звісно, інтегрування не проводиться. У частинному випадку, якщо усі струми являються полями, то r-та варіаційна похідна відповідає $$\ r$$ діаграмам, до кожної із яких підходить лише одна зовнішня лінія, яка відповідає індексу поля оператора. Такі лінії, при цьому, можуть розглядатися як зовнішні лінії поза масовою оболонкою, з тією різницею, що у S-матриці вклад від зовнішніх ліній давався коефіцієнтною функцією при відповідному оператору поля, а тут він дається пропагатором, домноженим на $$\ -i$$ від вершини лінії. Це означає, що для того, щоб в імпульсному представленні отримати діаграми, що відповідають матричному елементу $$\ S_{\beta \alpha}$$ і додатковим $$\ r $$ зовнішнім лініям, достатньо взяти варіаційну похідну від S-матриці,

$$\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{l_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{l_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0}$$,

взяти Фур'є образ по усім координатам і замінити пропагатори на коефіцієнтні функції полів, домножені на $$\ (-i)^{r}$$ (при цьому зв'язавши компоненти 4-імпульсу дисперсійним співвідношенням). У результаті можна обходитися варіаційними похідними для $$\ S_{00}$$ (тобто - для вакуумних станів), роблячи наступний трюк: якщо нам потрібні діаграми в імпульсному просторі із $$\ n_{1}$$ зовнішніми лініями in-стану та $$\ n - n_{1}$$ зовнішніми лініями out-стану, достатньо взяти варіаційну похідну $$\ \left(\frac{\delta^{n}S_{00}}{\delta \varepsilon_{l_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{l_{n}}(x_{n})}\right)_{\varepsilon = 0}$$, після цього здійснити перетворення Фур'є за $$\ x_{1},...,x_{n}$$, і нарешті - замінити пропагатори, яки виникають від "спарювання" операторів $$\ \hat{o}_{l_{1}}...\hat{o}_{l_{n}}$$ із полями S-оператору, на конкретні коефіцієнтні функції.

Що це означає? Що формально можна оперувати діаграмами із лініями поза масовою оболонкою, а при бажанні отримання діаграми із декількома лініями на масовій оболонці просто замінювати відповідні пропагатори у варіаційній похідній на коефіцієнтні функції. Це є дуже зручним результатом, оскільки будь-яку складну діаграму на масовій поверхні можна "розкласти" на внутрішні діаграми, усі лінії між якими є внутрішніми, тобто формально знаходяться не на масовій поверхні. Таким чином, діаграми поза масовою поверхнею є більш загальними, ніж діаграми із лініями на масовій поверхні.

Виявляється також, що сума фейнманівських діаграм даного порядку пов'язана із $$\ (1)$$ як

$$\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = (-i)^{r}\langle \beta |\hat{T}\left(\hat{O}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{O}_{n_{r}}(x_{r})\right) |\alpha \rangle \qquad (2)$$,

де $$\ \hat{O}_{i}(x_{i}) = e^{i\hat{H}t_{i}}\hat{o}_{i}(\mathbf x_{i}, 0)e^{-i\hat{H}t_{i}}$$, тобто, являється гейзенбергівським оператором, а $$\ |\beta \rangle, |\alpha \rangle$$ - відповідно out-, in-стани повного (!) гамільтоніану (на відміну від станів $$\ \beta_{0}, \alpha_{0}$$ S-матриці, які є власними для вільного гамільтоніану).

Дійсно, відповідно до дайсонівського розкладу S-матриці і написаного у даному розділі,

$$\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = \sum_{N = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{N}}{N!}\int d\tau_{1}...d\tau_{n}\langle \beta_{0}| \hat{T}\left(\hat{V}(\tau_{1})...\hat{V}(\tau_{N}) \hat{o}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{o}_{n_{n}}(x_{r})\right)|\alpha_{0}\rangle \qquad (3)$$.

Нехай для визначеності $$\ x^{0}_{1} \geqslant x^{0}_{2} \geqslant ... \geqslant x^{0}_{r}$$. Тоді всі $$\ \tau $$, що більші за $$\ x^{0}_{1}$$, можна позначити як $$\ \tau_{01}, ..., \tau_{0N_{0}}$$, всі $$\ \tau$$, що лежать між $$\ x^{0}_{1}, x^{0}_{2}$$ - як $$\ \tau_{11},...\tau_{1N_{1}}$$, і т.д. Після цього $$\ (3)$$ можна подати у вигляді

$$\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = \sum_{N = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{N}}{N!}\sum_{N_{0},...,N_{r}}\frac{N! \delta_{N, N_{0} +...+N_{r}}}{N_{0}!...N_{r}!}\int \limits_{x^{0}_{1}}^{\infty} d\tau_{01}...d\tau_{0N_{0}} \int \limits_{x^{0}_{2}}^{x_{1}^{0}}d\tau_{11}...d\tau_{1N_{1}} \times $$

$$\ \times \langle \beta_{0}|\hat{T}\left(\hat{V}(\tau_{01})...\hat{V}(\tau_{0N_{0}})\right)\hat{o}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{o}_{n_{r}}(x_{r})\hat{T}\left( \hat{V}(\tau_{r1})...\hat{V}(\tau_{rN_{r}})\right) | \alpha_{0} \rangle$$.

Замість підсумовування по $$\ N_{0},...N_{r}$$ з урахуванням зв'язку $$\ \sum_{i = 0}^{r}N_{i} = N$$ можна підсумовувати окремо по $$\ N_{i}$$, а $$\ N$$ замінити на $$\ \sum_{i}N_{i}$$. Звідси

$$\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{l_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = (-i)^{r}\langle \beta_{0}| \hat{U}(\infty, x^{0}_{1})\hat{o}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{o}_{n_{r}}(x_{r})\hat{U}(x^{0}_{r} , -\infty )|\alpha_{0}\rangle \qquad (4)$$,

де $$\ \hat{U}(x^{0}_{i}, x^{0}_{j}) = \sum_{N}\frac{(-i)^{N}}{N!}\int \limits_{x^{0}_{j}}^{x^{0}_{i}}d\tau_{1}...d\tau_{N}\hat{T}\left( \hat{V}(\tau_{1})...\hat{V}(\tau_{N})\right)$$. Цей оператор задовольняє рівнянню $$\ i\partial_{t}\hat{U}(t, t') = -iV(t')U(t', t), U(t, t) = 1$$. Звідси, як і для S-матриці (тільки в оберненому порядку), $$\ \hat{U}(x^{0}_{i}, x^{0}_{j}) = e^{-i\hat{H}t'} e^{i\hat{H}_{0}t'}e^{iHt}e^{-iH_{0}t} = \Omega^{-1} (t')\Omega(t)$$.

Враховуючи тепер також початкове припущення $$\ x^{0}_{1} \geqslant x^{0}_{2} \geqslant ... \geqslant x^{0}_{r}$$ (можна вираз між станами у $$\ (4)$$ замінити на часове впорядкування), а також - співвідношеннями між in-, out-станами повного гамільтоніану та вільного (із розділу про S-матрицю), $$\ |X, t = \pm \infty \rangle = \Omega (\mp \infty ) | X_{0}\rangle$$,

отримуємо

$$\ \left(\frac{\delta^{r}S_{\beta \alpha}}{\delta \varepsilon_{n_{1}}(x_{1})...\delta \varepsilon_{n_{r}}(x_{r})}\right)_{\varepsilon = 0} = (-i)^{r}\langle \beta |\hat{T}\left(\hat{O}_{n_{1}}(x_{1})...\hat{O}_{n_{r}}(x_{r})\right) |\alpha \rangle$$,

що співпадає із $$\ (2)$$.

Таким чином, ми пов'язали гейзенбергівські функції Гріна $$\ (1)$$ із елементами S-матриці через вираз $$\ (2)$$. Навіщо ж вивчати саме об'єкти $$\ (1)$$? Це варто робити, оскільки для операторів у представленні Гейзенберга визначені канонічні комутаційні співвідношення, еволюція по часу задається повним оператором Гамільтона. Це означає, що можна аналізувати симетрії S-матриці, визначати властивості вершинних операторів і т.д. Більше того, як показано у наступних розділах, цей результат є суто непертурбативним.

Наведений варіаційний апарат буде широко застосовуватися в розділі про континуальний інтеграл.