Теорія розсіяння. Доведення

Доведення 1
Рівняння для S-оператору.

Взявши похідну по часу від виразу $$\ (.6)$$ по часу, можна отримати

$$\ \frac{\partial \hat {S}}{\partial t} = \sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{i \hbar}\right)^{n}\frac{1}{n!}\int \limits_{t_{0}}^{t}dt_{1}...\int \limits_{t_{0}}^{t}dt_{n - 1}n\hat {H}(t)\hat {N}(\hat {H}(t_{1})...\hat {H}(t_{n - 1}))$$,

де враховано, що завдяки $$\ \hat {N}$$ підинтегральний вираз є симетричним, а момент $$\ t$$ є пізнішим за інші моменти. Дійсно, після дифереціювання кожного доданку ряду в силу того, що момент $$\ t$$ є пізнішим від інших моментів $$\ t_{i}$$, оператор $$\ \hat {H}(t)$$ виноситься за знак оператора $$\ \hat {N}$$; те, що залишилось, зводиться оператором $$\ \hat {N}$$ до однакового вигляду; звідси з'явився множник $$\ n$$. Залишається лише скоротити $$\ n$$ у чисельнику та знаменнику, перепозначивши після цього $$\ n \to n - 1$$, і винести $$\ \frac{1}{i\hbar}\hat {H}(t)$$ за знак інтегралу.

Доведення 2
Комутаційні вирази полів та операторів народження і знищення.

Треба використати розв'язки для комплексного скалярного, біспінорного та електромагнітного полів, а також - відповідні комутаційні співвідношення для операторів:

$$\ \hat {\varphi} (x) = \int \left( \hat {a}(\mathbf p )e^{ipx} + \hat {b}^{+}(\mathbf p)e^{-ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\varphi}^{+}(x) = \int \left( \hat {a}^{+} (\mathbf p )e^{-ipx} + \hat {b}(\mathbf p )e^{ipx}\right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\varepsilon_{\mathbf p}}}$$,

$$\ [\hat {a}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}(\mathbf k)] = [\hat {b}(\mathbf p ) , \hat {b}^{+}(\mathbf k)] = \delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {a}(\mathbf p ), \hat {a}(\mathbf k)] = [\hat {a}^{+}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}(\mathbf k)] = 0$$;

$$\ \hat {\Psi} (x ) = \int \left( \hat {a}_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}A_{s, \mathbf p } + \hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p)e^{ipx}B_{s, \mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\bar {\Psi}} (x) = \int \left( e^{ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p }\hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p) + e^{-ipx}\bar {B}_{s , \mathbf p}\hat {b}_{s}(\mathbf p) \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}$$,

$$\ [\hat {a}_{s}(\mathbf p), \hat {a}^{+}_{m}(\mathbf k )]_{+} = \delta_{ms}\delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {a}_{s}(\mathbf p), \hat {a}_{m}(\mathbf k)]_{+} = [\hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p), \hat {a}^{+}_{m}(\mathbf k)]_{+} = 0, \quad A^{+}_{s, \mathbf p }A_{f, \mathbf p } = B^{+}_{s, \mathbf p }B_{f , \mathbf p } = 2\delta_{sf}\epsilon_{\mathbf p} $$;

$$\ \hat {A}_{\mu}(x) = \int \sum_{\lambda = 1, 2}e_{\mu}^{\lambda }(\mathbf p )\left( \hat {a}_{\lambda }(\mathbf p)e^{ipx} + \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)e^{-ipx}\right) \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi)^{3} \epsilon_{\mathbf p}}}$$,

$$\ [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf k )] = \delta_{s \lambda}\delta (\mathbf p - \mathbf k), \quad [\hat {a}^{+}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf k )] = [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}_{s}(\mathbf k )] = 0$$.

Тепер просто визначити комутатори операторів та полів:

$$\ [\hat {a}(\mathbf k ), \hat {\varphi }^{+}(x)] = \int [\hat {a}(\mathbf k ), \hat {a}^{+}(\mathbf p )]e^{-ipx}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{-ikx}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k}}}$$,

$$\ [\hat {a}_{f}(\mathbf k), \hat {\bar {\Psi}}]_{+} = \int e^{ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p }[ \hat {a}_{f}(\mathbf k ), \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p)]_{+}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{ikx}\bar {A}_{f , \mathbf k}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k }}}$$,

$$\ [\hat {a}_{s}(\mathbf k), \hat {A}_{\mu}(x)] = \int e^{\lambda}_{\mu}(\mathbf p)[\hat {a}_{s}(\mathbf k) , \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)]e^{-ipx}\frac{d^{3}\mathbf p }{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p }}} = \frac{e^{s}_{\mu}(\mathbf k) e^{-ikx}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf k }}}$$.

Доведення 3
Вакуумні середні для біспінорних, масивних векторних та електромагнітних полів.

Біспінорне поле
Використовуючи вирази для біспінорних полів,

$$\ \hat {\Psi} (x ) = \int \left( \hat {a}_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}A_{s, \mathbf p } + \hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p)e^{ipx}B_{s, \mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\bar {\Psi}} (x) = \int \left( e^{ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p }\hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p) + e^{-ipx}\bar {B}_{s , \mathbf p}\hat {b}_{s}(\mathbf p) \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}$$,

$$\ [\hat {a}(\mathbf p), \hat {a}^{+}(\mathbf k )]_{+} = \delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {a}^{+}(\mathbf p), \hat {a}^{+}(\mathbf k )]_{+} = [\hat {a}(\mathbf p), \hat {a}(\mathbf k )]_{+} = 0$$

нескладно переконатися, що єдиним нетривіальним вакуумним середнім є

$$\ [\Psi (x), \bar {\Psi}(y)]_{+} = \int \int \sum_{s, k = 1}^{2}[\hat {a}_{s}(\mathbf k), \hat {a}^{+}_{f}(\mathbf p)]_{+}A_{s, \mathbf p}\bar {A}_{f, \mathbf k}e^{-ipx + iky}\frac{d^{3}\mathbf k d^{3}\mathbf p }{2(2\pi )^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p }\epsilon_{\mathbf k}}} = \int \frac{\sum_{s = 1}^{2}A_{s, \mathbf p}\bar {A}_{s, \mathbf p}e^{ip(y - x)}d^{3}\mathbf p}{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p }} = \int \frac{(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)e^{-ip(x - y)}d^{3}\mathbf p}{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p }} = $$

$$\ = (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - im)\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{3}\mathbf p}{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p }}$$,

де використано вираз $$\ \sum_{s = 1}^{2}A_{s, \mathbf p}\bar {A}_{s, \mathbf p} = \gamma^{\mu}p_{\mu} + m$$. Тепер можна, як і в випадку зі скалярним полем, перейти до допоміжних змінних

$$\ D^{-}(x - y) = i[\Psi^{-}(x), \bar {\Psi}^{+}(y)]_{+} = i\langle | \Psi(x) \bar {\Psi}(y) | \rangle = i(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - im)\int \frac{e^{-ip(x - y)}d^{3}\mathbf p}{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p }}, \quad D(x - y) =i[\Psi (x), \bar {\Psi} (y)]_{+} = D^{-}(x - y) + D^{-}(y - x)$$.

Використовуючи антикомутаційні співвідношення для біспінорних полів,

$$\ [\Psi (t_{0}, \mathbf x), \bar {\Psi }(t_{0}, \mathbf y )]_{+} = i\delta (\mathbf x - \mathbf y ), \quad [\bar {\Psi} (t_{0}, \mathbf x), \bar {\Psi }(t_{0}, \mathbf y )]_{+} = [\Psi (t_{0}, \mathbf x), \Psi (t_{0}, \mathbf y )]_{+} = 0$$,

можна для проміжних змінних отримати ті ж самі властивості, що й у випадку із змінними для скалярного поля:

$$\ (-\partial^{2} + m^{2})D(x) = (-\partial^{2} + m^{2})D^{-}(x) = 0, \quad D(0, \mathbf x ) = 0, \quad \partial_{0}D(0, \mathbf x ) = \delta (\mathbf x )$$,

де перші два рівняння справедливі в силу того, що $$\ D^{-}(x - y)$$ пропорційний до аналогічної функції для скалярного випадку, а коефіцієнт пропорційності $$\ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - im)$$ не залежить від координати.

Знову ж таки, враховуючи визначення оператора $$\ \hat {N}$$,

$$\ \langle |\hat {N}(\Psi (x)\bar {\Psi}(y))|\rangle = -ih(x_{0} - y_{0})\langle | i\Psi(x)\bar {\Psi}(y) |\rangle - ih(y_{0} - x_{0})\langle |i \bar {\Psi}(y)\Psi (x)| \rangle = -ih(x_{0} - y_{0})D^{-}(x - y) - ih(y_{0} - x_{0})D^{-}(y - x) = -iD^{c}(x - y) \Rightarrow $$

$$\ D^{c}(x - y) = h(x_{0} - y_{0})D^{-}(x - y) + h(y_{0} - x_{0})D^{-}(y - x)$$.

Тому, провівши ті ж самі рутинні операції, що і для випадку зі скалярним полем (подіявши оператором Клейна-Гордона, встановивши, що результат рівен дельта-функції, і т.д.) можна остаточно отримати

$$\ \langle |\hat {N}(\Psi (x) \bar {\Psi }(y)) | \rangle = -iD^{c}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m)e^{-ip(x - y)}d^{3}\mathbf p }{p^{2} - m^{2} + i0}$$.

Векторні поля
Для випадку масивного векторного поля справедливі рівності

$$ \hat {A}_{\mu}(x) = \int \sum_{\lambda = 0}^{3}e_{\mu}^{\lambda }(\mathbf p )\left( \hat {a}_{\lambda }(\mathbf p)e^{-ipx} + \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)e^{ipx}\right) \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi)^{3}\epsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {A}_{\mu}^{+}(x) = \int \sum_{\lambda = 0}^{3}e_{\mu}^{\lambda }(\mathbf p )\left( \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)e^{ipx} + \hat {a}_{\lambda }(\mathbf p)e^{-ipx}\right) \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi)^{3}\epsilon_{\mathbf p}}}$$,

$$\ [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{\delta}(\mathbf k )] = \delta_{\lambda \delta}\delta (\mathbf p -\mathbf k ), \quad [\hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{\delta}(\mathbf k )] = [\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p ), \hat {a}_{\delta}(\mathbf k )] = 0$$,

$$\ \sum_{\lambda = 1}^{3}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda} = g_{\mu \nu} - \frac{p_{\mu }p_{\nu}}{m^{2}}$$.

Єдиним нетривіальним вакуумним середнім буде вираз

$$\ \langle | \hat {N}(A_{\mu}(x) A^{+}_{\nu}(y))|\rangle = -iD^{c}(x - y)$$.

Аналогічно до розглянутих випадків,

$$\ D^{c}(x - y) = h(x_{0} - y_{0})D^{-}(x - y) + h(y_{0} - x_{0})D^{-}(y - x)$$,

$$\ D^{-}(x - y) = i[A_{\mu}^{-}(x), A_{\nu}^{+}(y)] = i\langle | A_{\mu}^{-}(x)A_{\nu}^{+}(y) | \rangle, \quad D(x - y) = i[A_{\mu}(x), A_{\nu}(y)] = D^{-}(x - y) - D^{-}(y - x)$$.

Залишається лише порахувати комутатор $$\ [A_{\mu}^{-}, A_{\nu}^{+}]$$:

$$\ [A_{\mu}^{-}(x), A_{\nu}^{+}(y)] = \int \int \sum_{\lambda, \lambda '}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda {'}}[\hat {a}_{\lambda}(\mathbf p), \hat {a}^{+}_{\lambda {'}}(\mathbf k)]e^{iky - ipx}\frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{2(2 \pi)^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}\epsilon_{\mathbf k}}} = \int \sum_{\lambda}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda }e^{-ip(x - y)}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2\epsilon_{\mathbf p}} = $$

$$\ = \int \left(g_{\mu \nu} - \frac{p_{\mu}p_{\nu}}{m^{2}} \right)e^{-ip(x - y)}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}$$.

Звідси очевидно, що, знову,

$$\ (-\partial^{2} + m^{2})D^{-}(x) = (-\partial^{2} + m^{2})D(x) = 0$$,

тому наш оператор $$\ D^{c}(x - y)$$ знову є функцією Гріна оператора Клейна-Гордона, і тому

$$\ \langle | \hat {N}(A_{\mu}(x)A_{\nu}^{+}(y))|\rangle = -iD^{c}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi)^{4}}\int \frac{\left(g_{\mu \nu} - \frac{p_{\mu}p_{\nu}}{m^{2}} \right)e^{-ip(x - y)}}{p^{2} - m^{2} + i0}d^{4}p $$.

Випадок електромагнітного поля,

$$\ \hat {A}_{\mu} = \int \sum_{\lambda = 0}^{3}e_{\mu}^{\lambda }(\mathbf p )\left( \hat {a}_{\lambda }(\mathbf p)e^{-ipx} + \hat {a}^{+}_{\lambda }(\mathbf p)e^{ipx}\right) \frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi)^{3}}}$$,

$$\ [\hat {a}_{\lambda }(\mathbf p ), \hat {a}_{\lambda {'}}^{+}(\mathbf k )] = -g_{\lambda \lambda {'}}\delta (\mathbf p -\mathbf k ), \quad [\hat {a}_{\lambda }^{+}(\mathbf p ), \hat {a}_{\lambda {'}}^{+}(\mathbf k )] = [\hat {a}_{\lambda }(\mathbf p ), \hat {a}_{\lambda {'}}(\mathbf k )] = 0$$,

$$\ \sum_{\lambda}e_{\mu}^{\lambda}e_{\nu}^{\lambda} = g_{\mu \nu}, \quad e_{\mu }^{\lambda}e^{\mu, \lambda {'}} = g^{\lambda \lambda {'}}$$,

аналогічно зводиться до вакуумного середнього

$$\ \langle| \hat {N}(A_{\mu}(x), A^{+}_{\nu}(y))|\rangle = -iD^{c}(x - y) = \frac{i}{(2 \pi )^{4}}\int \frac{g_{\mu \nu}e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{p^{2} - m^{2} + i0}$$.

Доведення 4
Континуальний інтеграл для дійсного клейн-гордонівського поля.

Трансляційна заміна буде відповідати $$\ \varphi (x) \to \varphi (x) + \varphi_{0}(x)$$. Інтеграл тоді перетвориться як

$$\ I[J] = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left([\varphi(x) + \varphi_{0}(x)]\frac{\hat {K}}{2}[\varphi (x) + \varphi_{0}(x)] + (\varphi (x) + \varphi_{0}(x))J(x)\right)} = $$

$$\ = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left(\varphi (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) + \varphi (x)J(x) + \varphi_{0}(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) + \varphi (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi_{0} (x) + \varphi_{0} (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi_{0} (x) + \varphi_{0}(x)J(x)\right)}$$.

Щоб занулити усі неквадратичні по полям $$\ \varphi (x)$$ доданки, треба обрати $$\ \varphi_{0}(x) $$ розв'язком рівняння $$\ \hat {K}\varphi_{0}(x) = -J(x)$$.

Звідси

$$\ \varphi_{0}(x) = \int \frac{J(y)d^{4}y}{K(x - y)} = -\int J(y)D^{c}(x - y)d^{4}y$$,

де введений клейн-гордонівський пропагатор.

Така функція виводить всю залежність від джерела $$\ J(x)$$ за знак інтегралу. Дійсно, $$\ \varphi (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi_{0} (x) = - \frac{1}{2}\varphi (x)J(x)$$, а $$\ \varphi_{0}(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x)$$ можна, користуючись тим, що цей вираз знаходиться під знаком інтегралу, перетворити інтегруванням по частинам як

$$\ \int d^{4}x\varphi_{0}(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) = \int d^{4}x\varphi (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi_{0} (x) \Rightarrow \varphi_{0}(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) = -\frac{1}{2}J(x)\varphi (x)$$.

В результаті,

$$\ I[J] = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left(\varphi(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) + \frac{1}{2}\int d^{4}yJ(y)D^{c}(x - y)J(x)\right)} = e^{\frac{i}{2}\int d^{4}xd^{4}yJ(y)D^{c}(x - y)J(x)}\int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left(\varphi(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x)\right)}= e^{\frac{i}{2}\int d^{4}xd^{4}yJ(y)D^{c}(x - y)J(x)}(det K)^{-1}$$.

Доведення 5
Перетворення для функції Гріна.

Отже, маємо вираз $$\ (3)$$,

$$\ G(q_{1},...,q_{n}) = \sum_{\sigma} \int d^{3}\mathbf p \int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}e^{-iq_{1}x_{1}-...-iq_{n}x_{n}}\theta (max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0} - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0}) \times $$

$$\ \times \langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)|(\mathbf p, \sigma )\rangle \langle (\mathbf p, \sigma )|\hat {N}\left( \hat {A}_{r +1}(x_{r+1})...\hat{A}_{n}(x_{n})\right)| \rangle + ... \qquad (3)$$,

та заміни $$\ x_{i} \to x_{1} + y_{i}, i = 2, ..., r$$ та $$\ x_{i} \to x_{r + 1} + y_{i}, i = r + 2, ..., n$$.

Перший крок - врахування того, що функції $$\ \hat {A}_{i}(x_{i})$$ є локальними функціями полів та канонічних імпульсів. Тому через трансляційну інваріантність справедлива рівність

$$\ [\hat {P}_{\mu}, \hat {A}_{i}(x_{i})] = i\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}A_{i}(x_{i})$$.

Це означає, що справедлива рівність (із виразу $$\ (3)$$ взяте перше хронологічне впорядкування; окрім того, варто згадати, що фоківський базис є власним для оператору імпульсу)

$$\ (0 - p_{\mu})\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)| \mathbf p \rangle = \langle |\hat {N}\left( \left[ \hat {P}_{\mu}, \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r}) \right]\right)| \mathbf p \rangle = i\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}^{\mu}} + ... \frac{\partial}{\partial x_{r}^{\mu}}\right)\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)| \mathbf p \rangle$$.

Це означає, що справедлива рівність

$$\ \langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{r})\right)| \mathbf p \rangle = e^{ipx_{1}}\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(0)...\hat{A}_{r}(x_{r} - x_{1})\right)| \mathbf p \rangle $$.

Підставляючи сюди вказану вище заміну, можна отримати, що

$$\ \langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(x_{1})...\hat{A}_{r}(x_{1} + y_{r})\right)| \mathbf p \rangle = e^{ipx_{1}}\langle |\hat {N}\left( \hat {A}_{1}(0)...\hat{A}_{r}(y_{r})\right)| \mathbf p \rangle $$.

Аналогічне можна зробити із другим хронологічним впорядкуванням (там експонента буде зі знаком "мінус", оскільки стан із $$\ \mathbf p$$ там - лівий).

Другий крок - перетворення функції Хевісайда. Перепишемо її аргумент із врахуванням заміни як $$\ max(x_{1}^{0},...,x_{r}^{0} - min(x_{r + 1}^{0},...,x_{n}^{0} = x_{1}^{0} - x_{r + 1}^{0} + min(0, y_{2}^{0},..,y_{r}^{0}) - max(0, y_{r + 2}^{0}, ..., y_{n}^{0})$$ та представимо її через інтеграл як

$$\ \theta (a) = \int \limits_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{\omega + i\varepsilon}e^{-i\omega a}$$.

Третій крок - інтегрування по $$\ x_{1}, x_{r}$$. В силу того, що підинтегральний вираз залежить від цих змінних (після кроків 1-2) лише експоненціально, виникають дві дельта-функції по імпульсам. Нарешті, нульова компонента 4-імпульсу $$\ p$$ залежить від маси. Що це за маса? Вочевидь, це - маса одночастинкового стану $$\ (\mathbf p, \sigma )$$, для якого стани $$\ \hat {A}^{dagger}_{1}(x_{1})...\hat {A}^{\dagger}_{r}(x_{r})| \mathbf p\rangle , \quad \langle \mathbf p|\hat {A}_{r + 1}(x_{r + 1})...\hat {A}_{n}(x_{n})$$ є ненульовими.