Введення потенціалів та рівняння д'Аламбера для потенціалів

Повернутися до розділу "Потенціали поля".

Якщо використати векторний потенціал, що був введений у підрозділі "Магнітостатика", та записати за допомогою нього рівняння для ротора напруженості електричного поля, можна буде отримати:

$$\ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A] \Rightarrow [\nabla \times \mathbf E ] + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} = \left[ \nabla \times \left( \mathbf E + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t }\right)\right] = 0 \Rightarrow \mathbf E = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} \qquad (.1)$$

(знак мінус вибраний, очевидно, через представлення сили як градієнта від потенціальної енергії з оберненим знаком). Тепер можна переписати вираз для сили, що діє на заряд, що рухається, у електромагнітному полі, за допомогою виразів, отриманих для потенціалів:

$$\ \mathbf F = q\mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B ] = -q\nabla \varphi - \frac{q}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} + \frac{q}{c}[\mathbf v \times [\nabla \times \mathbf A ]]$$.

Використовуючи, знову ж таки, векторний потенціал і $$\ (.1)$$, можна переписати також рівняння для ротора індукції магнітного поля і для дивергенції напруженості електричного поля:

$$\ [\nabla \times \mathbf B ] = [\nabla \times [\nabla \times \mathbf A ]] = \nabla (\nabla \cdot \mathbf A ) - \Delta \mathbf A = \frac{4 \pi}{c} \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left( -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}\right) \Rightarrow $$

$$\ \Rightarrow \left( \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} - \Delta \right)\mathbf A + \nabla \left( \frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A ) \right) = \square \mathbf A + \nabla \left(\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A ) \right) = \frac{4 \pi}{c} \mathbf j \qquad (.2)$$,

$$\ (\nabla \cdot \mathbf E ) = -\Delta \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \cdot \mathbf A ) = \left(\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} }{\partial t^{2}} - \Delta \right)\varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A )\right) = \square \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A )\right) = 4 \pi \rho \qquad (.3)$$.

Якщо задовольнити умову

$$\ \frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A ) = 0$$

(умова калібрування Лоренца), то вирази набудуть більш простого вигляду:

$$\ \square \mathbf A = \frac{4 \pi}{c} \mathbf j, \quad \square \varphi = 4 \pi \rho \qquad (.4)$$.

Можливість задовільнення умові калібрування Лоренца обГрунтовується наступним чином. Вирази $$\ (.2), (.3)$$ можна спростити, якщо використати властивість неоднозначної визначеності потенціалів. Дійсно, щодо векторного потенціалу уже було написано, що у випадку із рівнянням для дивергенції від вектора індукції він визначений з точністю до доданку - градієнту скалярної функції:

$$\ \mathbf A \Rightarrow \mathbf A + \nabla f$$.

Якщо також додати до скалярного потенціалу похідну від цієї ж самої функції,

$$\ \varphi \Rightarrow \varphi + \frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}$$,

то значення напруженості електричного поля, як і індукції магнітного поля, визначені через ці потенціали, не зміняться:

$$\ \mathbf B = [\nabla \times (\mathbf A + \nabla \varphi )] = [\nabla \times \mathbf A ], \quad \mathbf E = -\nabla \left( \varphi + \frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}\right) - \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\left( \mathbf A - \nabla \varphi \right) = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}$$.

Внаслідок цієї невизначеності можна накласти наступну умову на векторний і скалярний потенціал:

$$\ \frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} + (\nabla \mathbf A ) = 0$$.

Ця умова називається калібруванням Лоренца. Дійсно,

$$\ \frac{\partial }{\partial t}\frac{1}{c}\left( \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}\right) + (\nabla \cdot (\mathbf A + \nabla \varphi )) = \frac{1}{c}\frac{\partial \varphi }{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A ) + \square f = g \neq 0$$.

Підбором функції $$\ f$$ можна добитися рівності нулю величини $$\ \frac{1}{c}\frac{\partial \varphi }{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf A ) $$, що й треба було довести.

Ідентичність двох рівнянь з $$\ (.4)$$ дозволяє припустити, що і в лівій, і в правій частині знаходяться компоненти двох 4-векторів: $$\ A^{\alpha} = (\varphi, \mathbf A ), \quad \mathbf j^{\alpha} = (\rho , \frac{1}{c}\mathbf j )$$. Тоді рівняння $$\ (.4) $$ можуть бути записані як одне:

$$\ \square A^{\alpha} = 4 \pi j^{\alpha} $$.

Проте треба більш строго довести, що введені 4-вектори дійсно задовольняють своїм визначенням. Це робиться наступним чином: знаходяться перетворення для операторів похідних, 4-потенціалу (показується, що ці набори величин утворюють 4-вектори), доводиться інваріантність калібрування Лоренца (очевидна в силу представлення його як згортки $$\ \partial_{\mu}A^{\mu}$$)та 4-векторна природа струму.