Напруженість та індукція поля заряда, що рухається прискорено

Повернутися до розділу "Напруженість та індукція поля заряда, що рухається прискорено".

Для подальших викладок важливим є вираз

$$\ \gamma \left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c} \right) = \sqrt{X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf X \cdot \mathbf v )^{2}} \qquad (.2)$$.

Він доводиться наступним чином:

$$\ \gamma^{2} \left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c} \right)^{2} = \gamma^{2}R^{2} - 2 \gamma^{2}\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}R + \gamma^{2}\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)^{2}}{c^{2}} =_{right} = X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2} = \left|\mathbf X = \mathbf R - \frac{\mathbf vR}{c} \right| = $$

$$\ = R^{2} - 2 \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}R + \frac{v^{2}R^{2}}{c^{2}} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}\left( (\mathbf v \cdot \mathbf R ) - \frac{v^{2}R}{c}\right)^{2} = $$

$$\ = R^{2} - 2 \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}R + \frac{v^{2}R^{2}}{c^{2}} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf R)^{2} - 2 \frac{\gamma^{2}}{c^{3}}(\mathbf v \cdot \mathbf R)v^{2} R + \frac{\gamma^{2}}{c^{4}}v^4 R^2 \Rightarrow $$

$$\ \Rightarrow \left| R^{2} + \frac{R^{2}v^{2}}{c^{2}} + \gamma^{2}\frac{v^{4}R^{2}}{c^{4}} = R^{2}\left(1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}\left(1 + \frac{v^{2}}{c^{2}}\gamma^{2} \right)\right) = R^{2}\left( 1 + \gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = R^{2}\gamma^{2}\right| \Rightarrow $$

$$\ \Rightarrow -2 \frac{\gamma^{2}}{c}(\mathbf v \cdot \mathbf R) R = -2\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v)}{c}R - 2\frac{\gamma^{2}}{c^{3}}(\mathbf v \cdot \mathbf R )v^{2}R \Rightarrow -2\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}R\left(1 + \gamma^{2}\frac{v^{2}}{c^{2}}\right) = -2\gamma^{2}\frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}R \Rightarrow 0 = 0$$.

Напруженість та індукція поля заряда, що рухається прискорено
Вираз для напруженості поля можна отримати безпосередньо за допомогою явних виразів для потенціалів Лієнара-Віхерта. У розділі про 4-потенціали було отримано вираз для напруженості поля через скалярний і векторний потенціали:

$$\ \mathbf E = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t } \qquad (.3)$$.

Проте перед тим, як безпосередньо визначити вираз для напруженості поля, потрібно перейти від змінних $$\ t, \mathbf x$$ до змінної $$\ T$$, оскільки самі потенціали (а точніше - $$\ \mathbf v, \mathbf R $$) залежать від $$\ T$$:

$$\ \frac{\partial t}{\partial T} = \frac{R}{R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}}, \quad \frac{\partial T}{\partial \mathbf x} = - \frac{\mathbf R}{c\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} \right)} \qquad (.4)$$.

Тоді для напруженості поля $$\ \mathbf E $$ можна отримати

$$\ \mathbf E = \frac{Q \left( \mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R\right) \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right)^{3}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\left[ \mathbf R \times \left[ \left(\mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R\right) \times \mathbf a \right]\right]}{\left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right)^{3}}$$,

або, з урахуванням виразу $$\ (.2)$$ і введеного вектора $$\ \mathbf X = \mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R$$,

$$\ \mathbf E = \frac{Q\gamma \mathbf X}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\gamma^{3}[\mathbf R \times [\mathbf X \times \mathbf a]]}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}$$.

Вираз для індукції поля можна (як, втім, і вираз для напруженості) отримати безпосередньо з інтегральних виразів для запізнювальних потенціалів, що (як я вважав; помилково) значно спростить викладки.

При введенні фіктивного інтегрування по змінній $$\ \tau$$ (див. попередній підрозділ) векторний потенціал має вигляд

$$\ \mathbf A (\mathbf R, T) = \frac{1}{c}\int \frac{Q \mathbf v (\tau ) \delta \left(t - \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau )|}{c}\right)d\tau}{|\mathbf z - \mathbf x_{0} (\tau)|}$$.

Тоді для $$\ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A ]$$ можна отримати

$$\ \mathbf B = Q\frac{\left[\mathbf R \times \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v}{c} \right)\right]\left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{3}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf R \times \left[ \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v }{c} \right) \times \mathbf a \right]\right]\right] }{\left( R - \frac{(\mathbf v  \cdot \mathbf R )}{c} \right)^{3}} = \left[ \frac{\mathbf R}{R} \times \mathbf E \right]$$,

або, з урахуванням виразу $$\ (.2)$$,

$$\ \mathbf B = Q\gamma \frac{\left[\frac{\mathbf R}{R} \times \mathbf X \right]}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q \gamma^{3}}{c^{2}}\frac{\left[ \frac{\mathbf R}{R} \times \left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf X \times \mathbf a \right]\right]\right] }{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$.