Виведення виразів для енергії та імпульсу із використанням лагранжового формалізму

Повернутися до розділу "Енергія та імпульс у СТВ".

Для кожної механічної системи є такий інтеграл $$\ s$$, який має екстремум ($$\ ds = 0$$) та який не залежить від вибору ІСВ (повинен бути взятий від скаляра). Це є вираженням принципу найменшої дії. Єдина величина у рамках СТВ, від якої може бути взятий такий інтеграл, це інтервал $$\ S$$. Тоді

$$\ s = - \alpha \int \limits_{a}^{b} dS \qquad (.1)$$.

Використовуючи також визначення дії через функцію Лагранжа, можна записати:

$$\ s = \int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} Ldt \qquad (.2)$$,

де $$\ L$$ - функція Лагранжа, яка у граничному (класичному) випадку для випадку відсутності полів рівна

$$\ L = \frac{mv^{2}}{2} \qquad (.3)$$.

Прирівнявши $$\ (1)$$ до $$\ (2)$$, з урахуванням того, що для причинно пов'язаних подій інтервал відповідає власному часу,

$$\ dS = cdt' = cdt \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$$,

можна отримати:

$$\ \int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} Ldt = -\alpha \int \limits_{t_{1}}^{t_{2}} c \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}})dt \Rightarrow L = - \alpha c \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}} \qquad (.4)$$.

Розклавши $$\ (.4)$$ в ряд Маклорена, відкинувши інваріантні члени та прирівнявши отриманий вираз до $$\ (.3)$$, можна отримати:

$$\ L \approx -\alpha c \left(1 - \frac{v^{2}}{2c^{2}}\right) = - \alpha c + \frac{\alpha v^{2}}{2c}, \quad \frac{\alpha v^{2}}{2c} = \frac{m v^{2}}{2} \Rightarrow \alpha = mc$$.

Тоді функція Лагранжа буде мати вигляд:

$$\ L = -mc \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$$.

Імпульс та енергія знаходяться через функцію Лагранжа наступним чином:

$$\ p = \frac{dL}{dv} = - \frac{-2vmc^2}{2c^2 \sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{mv}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$$;

$$\ E = pv - L = \frac{mv^{2} + mc^2 - mv^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} = \frac{p c^{2}}{v}$$.

Оскільки, таким чином,

$$\ E = -\frac{ds}{dt}, \quad p_{x} = \frac{ds}{dx}$$,

то можна припустити, що енергія та імпульс є відповідно часовою та просторовою компонентами 4-вектора, що має свій інваріант. Тоді, аналогічно до виведень перетворень Лоренца для просторової та часової координат, при переході від ІСВ А до ІСВ А', можна записати їх перетворення:

$$\ p_{x} = p'_{x} ch(\Psi) + \frac{E'}{c} sh(\Psi) \qquad (.5)$$,

$$\ \frac{E}{c} = p'_{x}sh(\Psi) + \frac{E'}{c} ch(\Psi) \qquad (.6)$$.

Якщо у ІСВ А' $$\ p_{x}' = 0$$, то розділивши вираз $$\ (.5)$$ на вираз $$\ (.6)$$, можна отримати:

$$\ \frac{p_{x}c}{E} = \frac{p_{x}cu}{p_{x}c^{2}} = \frac{u}{c} = th(\Psi) \Rightarrow sh(\Psi) = \frac{u}{c\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \quad ch(\Psi) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}$$.

Тоді вирази $$\ (.5), (.6)$$ матимуть вигляд:

$$ p_{x} = \frac{p'_{x} + \frac{E'u}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \quad E = \frac{c(\frac{p'_{x}u}{c} + \frac{E'}{c})}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \frac{p'_{x}u + E'}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}$$.

Векторним перетворенням імпульса при переході між ІСВ, аналогічно до векторного перетворення радіус-вектора, є

$$\ \mathbf p' = \mathbf p - \gamma \frac{\mathbf u E}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf p)}{c^{2}}$$.

Наведений 4-вектор є 4-вектором енергії-імпульса. Інваріант, що відповідає даному 4-вектору, рівен

$$\ inv = \sqrt{\frac{E^{2}}{c^{2}} - p^{2}} = \sqrt{\frac{p^{2}c^{4}}{u^{2}c^{2}} - p^{2}} = \sqrt{\frac{p^{2} c^{2}}{u^{2}}(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})} = \sqrt{\frac{m^{2}c^{2}u^{2}(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}{u^{2}(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}} = mc$$.

Можна показати зв'язок динаміки СТВ із класичною динамікою на прикладі граничного переходу релятивістського виразу для кінетичної енергії у класичний. Дійсно, вираз для повної енергії

$$\ E = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$

можна розкласти у ряд Тейлора при малих швидкостях руху цільового об'єкта:

$$\ E \approx mc^2 + \frac{mv^{2}}{2} + ...$$.

Другий доданок відповідає класичному виразу для кінетичної енергії частинки.