Група Лоренца. Доведення

Повернутися до розділу "Група Лоренца".

Доведення 1
Спектр власних значень "розщеплених" операторів групи Лоренца, а також - груп SU(2) та SO(3).

Можна ввести дві наступні матриці:

$$\ \hat {\mathbf J}_{+} = \frac{\hat {\mathbf J}_{1} + i \hat {\mathbf J}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad \hat {\mathbf J}_{-} = \frac{\hat {\mathbf J}_{1} - i \hat {\mathbf J}_{2}}{\sqrt{2}}$$.

Використовуючи комутатори $$\ (.5)$$, можна отримати

$$\ [\hat {\mathbf J}_{3}, \hat {\mathbf J}_{\pm}] = \pm \hat {\mathbf J}_{\pm}, \quad [\hat {\mathbf J}_{+}, \hat {\mathbf J}_{-}] = \hat {\mathbf J}_{3} \qquad (.5.1)$$.

Тепер можна дослідити власні значення оператора $$\ \hat {\mathbf J}_{3}$$:

$$\ \hat {\mathbf J}_{3}\psi_{k} = m_{k} \psi_{k}$$.

Індекс $$\ k$$ нумерує власні вектори оператора $$\ \hat {\mathbf J}_{3}$$. Всі власні значення є дісними (в силу ермітовості матриці $$\ \hat {\mathbf J}_{3}$$), для матриці розмірності $$\ n$$ існує $$\ n $$ (у загальному випадку - невироджених) розв'язків. Якщо спочатку подіяти на $$\ \psi_{k}$$ операторами $$\ \hat {\mathbf J}_{pm}$$, то в силу комутаційних співвідношень $$\ (.5.1)$$ можна буде отримати

$$\ \hat {\mathbf J}_{3}(\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k}) = \pm\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k} + \hat {\mathbf J}_{\pm}\hat {\mathbf J}_{3}\psi_{k} = (m_{k} \pm 1)\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k}$$.

Це означає, що вектор $$\ (\hat {\mathbf J}_{\pm}\psi_{k})$$ також є власним вектором оператора $$\ \hat {\mathbf J}_{3}$$, проте відповідає власному число на одиницю більшому або меншому, ніж $$\ \psi_{k}$$. Відповідно, оператори $$\ \hat {\mathbf J}_{\pm}$$ називаються підвищуючими або понижуючими. В силу обмеженості розмірності матриць операторів $$\ \hat {\mathbf J}_{3, \pm}$$ підвищення або пониження може відбуватися обмежене число разів. Тому, діючи деякою кількістю раз оператором $$\ \hat {\mathbf J}_{+}$$ на вектор $$\ \psi_{k}$$, можна, врешті-решт, отримати таке число $$\ m = j$$, для якого $$\ \hat {\mathbf J}_{+}\psi_{j} = 0$$. Відповідно, власне число $$\ j$$ є максимальним власним числом. Аналогічно, якщо $$\ N + 1$$ раз подіяти на вектор $$\ \psi_{j}$$ оператором $$\ \hat {\mathbf J}_{-}$$, можна також буде отримати нуль: $$\ {\hat {\mathbf J}_{-}}^{(N + 1)}\psi_{j} = 0$$. Отже, власні значення оператора $$\ \hat {\mathbf J}_{3}$$ утворюють послідовність $$\ j, j - 1, ..., j - N$$.

Для з'ясування величини $$\ N$$ можна перейти до наступних міркувань. Оскільки власні вектори $$\ \psi_{k}$$ оператора $$\ \hat {\mathbf J}_{3}$$ являються ортогональними, то, в силу лінійності оператора, їх можна зробити ортонормованими: $$\ \psi_{k}\psi_{k'} = \delta_{kk'}$$. У базисі таких власних векторів матрицю оператора можна зробити діагональною, причому на діагоналі будуть стояти власні значення. Отже, якщо взяти слід від матриць зліва і зправа виразу комутатора $$\ [\hat {\mathbf J}_{+}, \hat {\mathbf J}_{-}] = \hat {\mathbf J}_{3}$$ та врахувати, що $$\ Tr(\hat {A}\hat {B}) = Tr(\hat {B}\hat {A})$$ (а отже - що слід лівої частини рівен нулю), то можна отримати

$$\ j + j - 1 + j - 2 + ... + j - N = \frac{1}{2}(2j - N)(N + 1) = 0$$.

В результаті, максимальне власне значення рівне $$\ j = \frac{N}{2}$$ і може бути цілим чи напівцілим, відповідно до числа $$\ N$$, а спектр власних значень пробігає наступні величини:

$$\ j, j - 1, ..., -j$$.

Усього значень - $$\ 2j + 1$$. Відповідною до цього є і розмірність матриць представлень.

Доведення 2
Теорія момента імпульсу.

Момент імпульсу та генератори групи SO(3)
Момент імпульсу у квантовій механіці відповідає виразу (тимчасово відновлена константа Планка)

$$\ \hat {L}_{i} = i\hbar \varepsilon_{ijk}x^{j}\partial^{k}$$.

Нескладно переконатись, що дані вирази відповідають операторному представленню генераторів тривимірних обертань:

$$\ \hat {L}_{i} = -i\hbar \hat {\mathbf R}_{i} = -i\hbar (\hat {R}_{i})_{\alpha \beta}x_{\beta}\partial_{\alpha}$$.

Це означає, що момент імпульсу виступає у якості генератора тривимірних обертань. Відповідно, одразу переносяться всі комутаційні властивості для операторів із попереднього доведення:

$$\ [\hat {L}_{i}, \hat {L}_{j}] = i\hbar \varepsilon_{ijk}\hat {L}^{k}, \quad \hat {L}_{+} = \frac{\hat {L}_{1} + i\hat {L}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad \hat {L}_{-} = \frac{\hat {L}_{1} - i\hat {L}_{2}}{\sqrt{2}}, \quad [\hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}] = \hbar \hat {L}_{3}, \quad [\hat {L}_{3}, \hat {L}_{\pm}] = \pm \hbar \hat {L}_{3}$$.

$$\ \quad [\hat {\mathbf L}^{2}, \hat {L}_{i}] = 0, \quad \hat {L}_{3}\Psi = j\hbar \Psi, \quad \hat {\mathbf L}^{2}\Psi = -\hbar^{2} j(j + 1)\Psi, \quad j = (-s, ..., s) $$.

Сферична система координат та власні функції квадрату момента імпульса
Вирази для операторів моменту імпульсу можна переписати у сферичній системі координат, знайшовши при цьому власні функції. Для цього треба здійснити перетворення, пов'язані із переходом до змінних сферичної системи координат.

$$\ x = rcos(\varphi )sin(\theta ), \quad y = rsin(\varphi )sin(\theta ), \quad z = rcos(\theta ) \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}, \quad \varphi = arctg\left( \frac{y}{x}\right), \quad \theta = arccos \left(\frac{z}{r} \right)$$.

Звідси

$$\ \partial_{x} = \partial_{x}(r)\partial_{r} + \partial_{x}(\theta )\partial_{\theta } + \partial_{x}(\varphi )\partial_{\varphi} = cos(\varphi )sin(\theta )\partial_{r} - \frac{sin(\varphi )}{rsin(\theta )}\partial_{\varphi } + \frac{1}{r}cos(\varphi )cos(\theta )\partial_{\theta}$$,

$$\ \partial_{y} = sin(\varphi )sin(\theta )\partial_{r} + \frac{1}{r}\frac{cos(\varphi )}{sin(\theta )}\partial_{\varphi } + \frac{1}{r}sin(\theta )cos(\varphi )\partial_{\theta }, \quad \partial_{z} = cos(\theta )\partial_{r} - \frac{sin(\theta )}{r}\partial_{\theta}$$.

Це дозволяє переписати вирази для операторів $$\ \hat {L}_{i}, \hat {L}_{\pm}$$ у вигляді

$$\ \hat {L}_{x} =i\hbar (sin(\varphi )\partial_{\theta} + ctg(\theta )cos(\varphi )\partial_{\varphi }), \quad \hat {L}_{y} = i\hbar (ctg(\theta ) sin(\varphi )d\varphi - cos(\varphi )\partial_{\theta }), \quad \hat {L}_{z} = -i\hbar \partial_{\varphi }$$,

$$\ \hat {L}_{+} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar e^{i\varphi}(\partial_{\theta } + ictg(\theta )\partial_{\varphi }), \quad \hat {L}_{-} = \frac{1}{\sqrt{2}}\hbar e^{-i\varphi }(-\partial_{\theta } + ictg(\theta )\partial_{\varphi })$$.

Одразу можна знайти власні функції оператора $$\ \hat {L}_{z}$$:

$$\ \hat {L}_{z}\Psi = -i\partial_{\varphi }\psi = l_{z}\psi \Rightarrow \psi = f(r, \theta )e^{il_{z}\varphi }$$,

видно, що для однозначності функції (при повороті на $$\ 2 \pi $$ вона не повинна змінювати свого значення) значення $$\ l_{z}$$ повинні бути цілими числами. Це відрізняє алгебру групи $$\ SO(3)$$ від більш загальної алгебри групи $$\ SU(2)$$, у якій власні значення можуть бути напівцілими.

Оператор Казиміра у сферичній системі координат рівний

$$\ \hat {\mathbf L}^{2}\Psi = \left([\hat {J}_{+}, \hat {J}_{-}] + 2 \hat {J}_{+}\hat {J}_{-} + \hat {J}_{3}^{2}\right) \Psi = -\hbar^{2}\left(\frac{1}{sin^{2}(\theta )}\partial^{2}\varphi +\frac{1}{sin(\theta )}\partial_{\theta }(sin(\theta )\partial_{\theta }) \right)\Psi = \lambda \Psi$$.

Можна розділити змінні: $$\ \Psi (\theta, \varphi ) = F(\varphi )\Theta (\theta )$$. Використовуючи одразу вираз для власної функції оператора $$\ -i\partial_{\varphi }$$, можна отримати

$$\ -\frac{m^{2}}{sin^{2}(\theta )}\Theta (\theta ) + \frac{1}{sin(\theta )}\partial_{\theta }(sin(\theta )\partial_{\theta }\Theta (\theta )) = -\frac{\gamma \Theta (\theta )}{\hbar^{2}} \Rightarrow \frac{1}{sin(\theta )}\partial_{\theta }(sin(\theta )\partial_{\theta }\Theta (\theta )) - (\frac{m^{2}}{sin^{2}(\theta )} - \frac{\gamma }{\hbar^{2}})\Theta (\theta ) = 0$$.

Зробивши заміну $$\ cos(\theta ) = t$$, можна звести рівняння до вигляду рівняння на приєднані поліноми Лежандра:

$$\ \partial_{t}((1 - t^{2})\partial_{t}\Theta (t)) + (\frac{\gamma}{\hbar^{2}} - \frac{m^{2}}{1 - t^{2}})\Theta (t) = 0$$.

Звідси очевидно, що власне число оператора Казиміра рівне $$\ \gamma = \hbar^{2}n(n + 1)$$.

Отже, власними функціями оператора є сферичні функції

$$\ Y_{n, m }(\theta, \varphi ) = C_{nm}P_{n}^{m}(cos( \theta ) )e^{im\varphi }, \quad ||Y_{nm}|| = 1$$.

Власні значення підвищуючого та понижуючого операторів
Наостанок можна визначити власні значення операторів $$\ \hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}$$. Використовується система, у якій стала Планка нормована на одиницю.

Оскільки рівняння (попередній блок "Доведення 1")

$$\ \hat {L}_{3}(\hat {L}_{\pm}\Psi_{m}) = (m \pm 1)(\hat {L}_{\pm}\Psi_{m}), \quad \langle \Psi_{m}|\Psi_{n}\rangle = \delta_{mn}$$

є лінійним, то

$$\ \hat {L}_{+}\Psi_{m} = N_{m + 1}\Psi_{m + 1}$$

(тоді попереднє рівняння виконується тотожньо).

Це означає, що, із використанням умови нормування, справедливо

$$\ N_{m} = \Psi_{m}\hat {L}_{+}\Psi_{m - 1}$$.

З іншого боку, оскільки $$\ (\hat {J}_{+})^{+} = \hat {J}_{-}$$, то можна отримати, користуючись визначенням ермітового спряження, що

$$\ N_{m} = \Psi_{m}\hat {L}_{+}\Psi_{m - 1} = (\Psi_{m - 1}\hat {L}_{-}\Psi_{m})^{+} \Rightarrow \hat {L}_{-}\Psi_{m} = N_{m}^{*}\Psi_{m - 1}$$.

Ці величини можна визначити. Використовуючи комутатор $$\ [\hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}] = \hat {L}_{z}$$, можна отримати наступне співвідношення:

$$\ \hat {L}_{+}\hat {L}_{-}\Psi_{m} = ([\hat {L}_{+}, \hat {L}_{-}] + \hat {L}_{-}\hat {L}_{+})\Psi_{m} = (m + N^{*}_{m + 1}N_{m + 1})\Psi_{m}$$.

З іншого боку,

$$\ \hat {L}_{+}\hat {L}_{-}\Psi_{m} = N^{*}_{m}N_{m}\Psi_{m}$$.

Тому

$$\ |N_{m}|^{2} - |N_{m + 1}|^{2} = m$$.

Склавши ліві та праві частини цього виразу для значень $$\ m = (j - p, ..., j)$$ та врахувавши, що $$\ N_{j + 1} = 0$$, можна, нарешті, отримати

$$\ |N_{j}|^{2} + |N_{j - 1}|^{2} - |N_{j}|^{2} + ... + |N_{j - p}|^{2} - |N_{j - p + 1}|^{2} = |N_{j  - p}|^{2} = j + j - 1 + ... + j - p = \frac{(2j - p)(p + 1)}{2} $$.

Звідси ($$\ k = j - p$$)

$$\ |N_{k}| = \sqrt{\frac{(j + k)(j - k + 1)}{2}}$$.

Тому елементи понижуючої та підвищуючої матриць рівні

$$\ (L_{+})_{mm'} = \Psi^{+}_{m'}\hat {L}_{+}\Psi_{m} = N_{m + 1}\delta_{m'(m + 1)}, \quad L_{- (mm')} = \Psi^{+}_{m'}\hat {L}_{+}\Psi_{m} = N_{m}\delta_{m' (m - 1)}$$.

Звідси

$$\ L_{x (mm')} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( L_{+ (mm')} + L_{- (mm')}\right) = \frac{1}{2}\left( \delta_{m' (m + 1)}\sqrt{(j + m + 1)(j - m)} + \delta_{m' (m - 1)}\sqrt{(j + m)(j - m + 1)} \right)$$,

$$\ L_{y (mm')} = -\frac{i}{\sqrt{2}}\left( L_{+ (mm')} - L_{- (mm')}\right) = \frac{i}{2}\left( \delta_{m' (m - 1)}\sqrt{(j + m)(j - m + 1)} - \delta_{m' (m + 1)}\sqrt{(j - m)(j + m + 1)} \right)$$,

$$\ L_{z (mm')} = m\delta_{mm'} $$.