Тензор енергії-імпульсу для макроскопічного тіла

Можна розглянути деяке макроскопічне тіло, що складається із великого числа частинок, причому частинки розподілені неперервно. Нехай це тіло однорідне. Рівняння руху такого тіла будуть відповідати законам збереження енергії та імпульсу для нього. Ці рівняння можна записати у єдиному симетричному тензорі енергії-імпульса. Якщо розглянути тіло у системі відліку, у якій воно покоїться, то в такій системі можна записати закон Паскаля для тіла (інакше - у власній системі тіло є ізотропним в системі спокою кожного малого елементу, а отже - тиск буде однаковим по всім напрямкам). У системі спокою для кожного елемента тіла величина $$\ \Tau^{00}$$ є густиною енергії $$\ \varepsilon$$, компоненти $$\ \Tau^{i0} = \Tau^{0i}$$ - проекціями густини імпульсу на координатні вісі, а інші компоненти відповідають за тривимірний тензор густин потоку компонент імпульсу. Сила, з якою деякий елемент тіла тисне на сусідні елементи через поверхню $$\ d \sigma_{i} = n_{i}d \sigma$$, визначається через потік імпульсу через цю поверхню:

$$\ dF^{i} = T^{ij}d\sigma_{j} = T^{ij}n_{j}d \sigma$$.

З іншого боку, за визначенням тиску,

$$\ dF^{i} = pn_{i}d \sigma$$.

В силу припущення про однорідність тіла та ізотропії по напрямкам у стані спокою,

$$\ T^{ij}n^{j}d \sigma = pn^{i}d \sigma \Rightarrow T^{ij} = \delta^{ij}p$$.

Тоді

$$\ T^{\mu \nu} = diag (\varepsilon, p, p, p)$$,

причому самі діагональні величини є константами-інваріантами.

Якщо тіло починає рухатись із деякою постійною швидкістю $$\ \mathbf v$$, то цей перехід (зміна компонент тензора), в силу однорідності та ізотропії простору-часу, може єдиним чином виражатися через компоненти нормованої (через незмінну розмірність компонент) 4-швидкості та метричного тензора. У загальному випадку можна записати, що для довільної системи руху ($$\ u^{i}u^{j} = 1$$)

$$\ T^{\mu \nu} = \alpha u^{\mu}u^{\nu}\varepsilon + \beta u^{\mu}u^{\nu}p + \omega g^{\mu \nu}\varepsilon + \Theta g^{\mu \nu}p$$.

В силу визначення тензора у системі відліку, що покоїться, при переході до неї

$$\ u^{i}u^{j} = u^{0}u^{j} = 0, u^{0}u^{0} = 1$$,

і тоді для $$\ T^{00}, T^{11}$$ можна записати:

$$\ \begin{cases} (\alpha + \omega ) \varepsilon + (\beta + \Theta )p = \varepsilon \\ - \omega \varepsilon - \Theta p = p \\ \end{cases} \Rightarrow \alpha = 1, \beta = 1, \Theta = -1 $$.

Отже,

$$\ T^{\mu \nu} = (\varepsilon + p)v^{\mu}v^{\nu} - g^{\mu \nu}p$$.