Зв'язок метричного тензора та символів Кристоффеля

Повернутися до розділу "Загальна теорія відносності".

Метричний тензор - тензор, який інваріантний відносно перетворень координат у даному просторі-часі. Один із способів визначення компонент метричного тензора - визначення виразу для інваріантного інтервалу, квадрат якого є квадратичною формою від диференціалів координат, і записання в якості компонент тензора виразів-множників при диференціалах. Тензор задає скалярний добуток векторів у даному просторі. Тому було б доцільно знайти коваріантну похідну від такого тензора.

Маємо, наприклад, для коваріантного вектора вектор приросту

$$\ DA_{k} = D(g_{kj}A^{j}) = D(g_{kj})A^{j} + g_{kj}DA^{j}$$.

З іншого боку, для вектора приросту, як і для кожного вектора,

$$\ DA_{k} = g_{kj}DA^{j}$$.

Якщо прирівняти отримані вирази один до одного, можна визначити, що, в силу довільності $$\ A^{k}$$

$$\ D(g_{kj}) = 0 $$.

Отже, за визначенням коваріантної похідної для тензора,

$$\ g_{kj ;l} = \partial_{l} g_{kj} - \Gamma^{p}_{lj}g_{pk} - \Gamma^{p}_{kl}g_{pj} = 0$$.

Переставляючи індекси $$\ k, j, l$$, можна отримати

$$\ g_{kl ;j} = \partial_{j} g_{kl} - \Gamma^{p}_{kj}g_{pl} - \Gamma^{p}_{jl}g_{pk} = 0$$,

$$\ g_{jl ;k} = \partial_{k} g_{jl} - \Gamma^{p}_{kl}g_{pj} - \Gamma^{p}_{jk}g_{pl} = 0 $$.

Додаючи перший вираз до другого і віднімаючи від них третій, можна отримати

$$\ \partial_{l} g_{kj} + \partial_{j} g_{kl} - \partial_{k} g_{jl} - 2\Gamma^{p}_{lj}g_{pk} - \Gamma^{p}_{kl}g_{pj} - \Gamma^{p}_{kj}g_{pl} + \Gamma^{p}_{kl}g_{pj} + \Gamma^{p}_{jk}g_{pl} = \partial_{l} g_{kj} + \partial_{j} g_{kl} - \partial_{k} g_{jl} - 2\Gamma^{p}_{lj}g_{pk} = 0 \Rightarrow$$

$$\ \Rightarrow \Gamma^{p}_{lj}g_{pk} = \Gamma_{lj ;k} = \frac{1}{2}\left( \partial_{l} g_{kj} + \partial_{j} g_{kl} - \partial_{k} g_{jl} \right)$$.

Піднімаючи індекс $$\ k$$ догори, для "верхнього" символа Кристоффеля можна отримати

$$\ \Gamma_{lj; m}g^{m k} = \Gamma^{k}_{lj} = \frac{1}{2}g^{mk}\left( \partial_{l} g_{mj} + \partial_{j} g_{ml} - \partial_{m} g_{jl}\right) \qquad (5)$$.

Можна розглянути випадок, коли метричний тензор є діагональним. Для нього із $$\ (5)$$ слідують наступні вирази для символів Кристоффеля: $$\ \Gamma^{i}_{ii} = \frac{1}{2}g^{ii}\partial_{i}g_{ii}$$,

$$\ \Gamma^{j}_{ii} = \frac{1}{2}g^{jm}\left( \partial_{i}g_{mi} + \partial_{i}g_{mi} - \partial_{m}g_{ii}\right) = g^{jm}\partial_{i}g_{mi} - \frac{1}{2}g^{jm}\partial_{m}g_{ii} = g^{jj}\partial_{i}g_{ji} - \frac{1}{2}g^{jj}\partial_{j}g_{ii} = -\frac{1}{2}g^{jj}\partial_{j}g_{ii}$$,

$$\ \Gamma^{i}_{ji} = \Gamma^{i}_{ij} = \frac{1}{2}g^{im}\left( \partial_{j}g_{mi} + \partial_{i}g_{mj} - \partial_{m}g_{ij}\right) = \frac{1}{2}g^{ii}\partial_{i}g_{ii} + \frac{1}{2}g^{ii}\partial_{i}g_{ij} = \frac{1}{2}g^{ii}\partial_{i}g_{ii}$$,

$$\ \Gamma^{i}_{jk} = \frac{1}{2}g^{im}\left( \partial_{k}g_{mj} + \partial_{j}g_{mk} - \partial_{m}g_{jk}\right) = 0$$.