Магнітний момент

Повернутися до розділу "Дипольний і магнітний моменти".

Аналогічні до пророблених у розділі з дипольним моментом операції можна зробити із виразами для магнітного потенціалу та магнітної індукції:

$$\ \mathbf A (\mathbf x ) = \frac{1}{c}\int \limits_{V}\frac{\mathbf j (\mathbf r ) d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r |} \approx \frac{1}{c|\mathbf x |}\int \limits_{V}\mathbf j (\mathbf r )d^{3} \mathbf r + \frac{1}{c|\mathbf x |^{3}}\int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j (\mathbf r )d^{3}\mathbf r$$.

Перший доданок рівен нулю, оскільки струми стаціонарні і замкнуті. Дійсно, від інтеграл від густини по об'єму локалізації струму можна перейти до інтегралу від сили струму по замкнутому контуру (струм замкнутий). Оскільки струм стаціонарний, то його можна винести за знак інтегралу, і тоді залишиться інтеграл від замкнутої кривої, тотожно рівний нулю.

Враховуючи, що

$$\ (\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j = (\mathbf x \cdot \mathbf j)\mathbf r - [\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] \qquad (.3)$$,

можна отримати:

$$\ \mathbf A = \frac{[\mathbf m \times\mathbf x]}{|\mathbf x |^{3}}$$,

де

$$\ \mathbf m = \frac{1}{2c}\int \limits_{V}[\mathbf r \times \mathbf j (\mathbf r )]d^{3}\mathbf r \qquad (.4)$$

- магнітний момент системи.

Взявши ротор від цього виразу, можна отримати вираз для індукції магнітного поля:

$$\ \mathbf B = \frac{3\mathbf n (\mathbf n \cdot \mathbf m) - \mathbf m}{|\mathbf x |^{3}}$$,

де $$\ \mathbf n$$ - направляючий вектор в напрямку $$\ \mathbf x$$.

Сила, момент сили та потенціальна енергія, пов'язані із магнітним моментом
Користуючись $$\ (.2)$$, вираз для індукції поля у околі початку координат можна розкласти як

$$\ \mathbf B \approx \mathbf B_{0} + (\mathbf r \nabla)\mathbf B_{0} \qquad (.6)$$.

Використовуючи інтегральне представлення сили Лоренца, що було отримано у розділі "Магнітостатика", можна отримати наступний вираз:

$$\ \mathbf F = \frac{1}{c}\int [\mathbf j \times \mathbf B] d^{3}\mathbf r \approx \left| (.6) \right| = -\frac{1}{c}\left[\mathbf B_{0} \times \int \mathbf j d^{3}\mathbf r \right] + \frac{1}{c}\int [\mathbf j \times (\mathbf r \nabla )\mathbf B_{0} ] d^{3}\mathbf r \qquad (.7)$$.

Перший доданок у $$\ (.7)$$ рівен нулю, оскільки струми замкнуті і обмежені. Другий же доданок можна перетворити наступним чином. Оскільки в точці, де немає струмів, що утворюють магнітне поле, ротор від індукції магнітного поля рівен нулю, можна отримати наступне співвідношення (з урахуванням того, що оператор набла діє лише на індукцію поля):

$$\ [\mathbf r \times [\mathbf \nabla \times \mathbf B_{0} ]] = \nabla (\mathbf r \cdot \mathbf B_{0} ) - \mathbf B_{0}(\mathbf r \nabla) = 0 \Rightarrow \mathbf B_{0}(\mathbf r \nabla) = \nabla (\mathbf r \cdot \mathbf B_{0} )$$.

Тоді $$\ (.7)$$ можна записати як

$$\ \mathbf F \approx \frac{1}{c}\int [\mathbf j \times \nabla (\mathbf r \cdot \mathbf B_{0} ) ] d^{3}\mathbf r = -\frac{1}{c}\int [\nabla \times \mathbf j (\mathbf r \cdot \mathbf B_{0} ) ] d^{3}\mathbf r \qquad (.8)$$.

Використовуючи міркування, що були отримані при знаходженні виразу для векторного потенціалу при $$\ \nabla \mathbf j = 0$$,

$$\ \int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r = -\int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r - \int \limits_{V}[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] d^{3}\mathbf r \Rightarrow \int \limits_{V}(\mathbf x \cdot \mathbf r)\mathbf j d^{3}\mathbf r = -\frac{1}{2}\int \limits_{V}[\mathbf x \times [\mathbf r \times \mathbf j ]] d^{3}\mathbf r$$,

де замість $$\ \mathbf x$$ може стояти будь-який постійний вектор, $$\ (.8)$$ можна переписати як

$$\ \mathbf F \approx \frac{1}{2c}\left[\nabla \times \int [\mathbf B_{0} \times [ \mathbf r \times \mathbf j ]]d^{3} \mathbf r \right] = [\nabla \times [\mathbf B_{0} \times \mathbf m ]] = \mathbf B_{0}(\mathbf m \nabla) - \mathbf m (\nabla \mathbf B_{0}) = \mathbf B_{0}(\mathbf m \nabla) = \nabla (\mathbf m \cdot \mathbf B_{0} )$$.

Потенціальна енергія тоді буде мати вигляд

$$\ U = -(\mathbf m \cdot \mathbf B_{0})$$,

а момент сил, для наближення однорідного поля,

$$\ \mathbf M = \sum_{i}[\mathbf r_{i} \times \mathbf F_{i} ] = \frac{1}{c}\int \left[\mathbf r \times [\mathbf j( \mathbf r) \times \mathbf B ] \right]d^{3}\mathbf r \approx \frac{1}{c}\int \left[\mathbf r \times [\mathbf j( \mathbf r) \times \mathbf B_{0}] \right]d^{3}\mathbf r = \frac{1}{c}\int \mathbf j (\mathbf r) (\mathbf r \cdot \mathbf B_{0})d^{3}\mathbf r - \frac{1}{c}\int \mathbf B_{0} (\mathbf j (\mathbf r ) \cdot \mathbf r)d^{3}\mathbf r $$.

Другий інтеграл рівен нулю, оскільки для стаціонарних струмів

$$ \nabla (\mathbf j \mathbf r ^{2} ) = 2 (\mathbf j \cdot \mathbf r )$$,

і тоді

$$\ \frac{1}{c}\int \mathbf B_{0} (\mathbf j (\mathbf r ) \cdot \mathbf r)d^{3}\mathbf r = \frac{1}{c}\mathbf B_{0}\oint \mathbf j (\mathbf r )\mathbf r^{2}d\mathbf S = 0$$,

оскільки струми не витікають за поверхню S.

Для першого ж інтегралу, знову ж таки, можна використати тотожність

$$\ \mathbf j (\mathbf r) (\mathbf r \cdot \mathbf B_{0}) = -\frac{1}{2}[ \mathbf \mathbf B_{0} \times [\mathbf r \times \mathbf j (\mathbf r ) ] = \frac{1}{2}[ [\mathbf r \times \mathbf j (\mathbf r ) ] \times \mathbf B_{0}]$$,

і тоді

$$\ \frac{1}{c}\int \mathbf j (\mathbf r) (\mathbf r \cdot \mathbf B_{0})d^{3}\mathbf r = \left[ \frac{1}{2c}\int [\mathbf r \times \mathbf j (\mathbf r) ]d^{3}\mathbf r \times \mathbf B_{0} \right] = [\mathbf m \times \mathbf B_{0} ]$$.

Прецесія
Нехай струм $$\ I$$ тече по плоскому контуру тонкого провідника. Тоді можна здійснити заміну $$\ \mathbf j d^{3}\mathbf r \Rightarrow I d \mathbf r$$. Внаслідок цього $$\ (.4)$$ набуде вигляду

$$\ \mathbf m = \frac{I}{2}\oint [\mathbf r \times d \mathbf r] = \left| d\mathbf S = \mathbf k dS = \frac{[\mathbf r \times d \mathbf r]}{2} \right| = IS\mathbf k$$,

де введена площа трикутника $$\ d\mathbf S = dS \mathbf k$$, побудованого на векторах $$\ \mathbf r, d \mathbf r$$ (при інтегруванні дає площу витка провідника), та вектор нормалі $$\ \mathbf k$$ до неї.

Можна визначити магнітний момент системи частинок, що мають постійне відношення заряду до маси (інтеграл від тривимірної дельта-функції рівний одиниці):

$$\ \mathbf m = \frac{1}{2c}\oint\left[\mathbf r_{i} \times \left( \sum_{i}Q_{i}\mathbf v_{i}\delta (\mathbf r - \mathbf r_{i}) \right)\right]d^{3}\mathbf r = \frac{Q}{2mc}\sum_{i}[ \mathbf r_{i} \times m\mathbf v_{i} ] = \frac{Q}{2mc}\mathbf L \qquad (.5)$$,

де $$\ \mathbf L$$ - механічний момент імпульсу системи.

Для стаціонарних випадків (для кільцевого струму, наприклад) швидкість частинок по модулю постійна, тому $$\ \mathbf v_{i} = \frac{\mathbf p_{i}c^{2}}{E_{i}}$$. Для однакових частинок, за умови однакової їх швидкості, можна винести енергію за знак суми, і тоді у виразі вище буде стояти релятивістський момент імпульса, а замість маси у знаменнику буде стояти енергія.

Тоді момент сил, що діє на частинку в однорідному магнітному полі, можна переписати як

$$\ \mathbf N = [\mathbf m \times \mathbf B ] = \left[ \frac{q_{i}}{2m_{i}c}\mathbf L \times \mathbf B \right] = - \left[ \frac{q_{i}}{2m_{i}c}\mathbf B \times \mathbf L \right] = [\mathbf \omega \times \mathbf L]$$.

Звідси слідує, що вектор кутової швидкості частинки рівен

$$\ \mathbf \omega = -\frac{q}{2mc}\mathbf B$$.

Таким чином, вектор моменту імпульсу $$\ \mathbf L $$ прецесіює із незмінними довжиною та кутом до вектора індукції поля із кутовою швидкістю в $$\ \mathbf \omega$$.