Сила Лоренца

Повернутися до розділу "Рівняння Максвелла".

Попередні перетворення
Для початку, треба вивести допоміжні перетворення.

$$\ \Gamma = \frac{\gamma - 1}{\frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{\gamma^{2}}{1 + \gamma}$$.

Перетворення для радіус-вектора:

$$\ \mathbf r' = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t $$.

При $$\ t = 0 $$ вираз перетворюється у наступний:

$$\ \mathbf r' = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} \qquad (.1)$$.

Якщо піднести ліву і праву частину до квадрату, можна буде отримати:

$$ \mathbf r'^{2} = \mathbf r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf r)^{2} \qquad (.2)$$.

Дійсно,

$$ \mathbf {r}'^{2} = \mathbf r^{2} + 2\Gamma \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)^{2}}{c^{2}} + \Gamma^{2} u^{2}\frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)^{2}}{c^{4}} = \mathbf r^{2} + \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r )^{2}}{u^{2}}\left[ 2(\gamma - 1) + ( \gamma - 1 )^{2}\right] = \mathbf r^{2} + \frac{( \mathbf u \cdot \mathbf r )^{2}}{c^{2}} \left[ \frac{(\gamma - 1)c^{2}}{u^{2}}(\gamma + 1)\right] = $$

$$ = \left| \Gamma = \frac{\gamma - 1}{\frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{\gamma^{2}}{1 + \gamma} \right| = |\mathbf r|^{2} + \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)^{2}}{c^{2}}\gamma^{2} $$.

Якщо скалярно домножити $$\ (.1)$$ на $$\ \mathbf u$$, то можна буде отримати:

$$\ (\mathbf u \cdot \mathbf r') = (\mathbf u \cdot \mathbf r) + \Gamma \frac{|\mathbf u|^{2}}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf r) = (\mathbf u \cdot \mathbf r)(1 + \gamma - 1) = \gamma (\mathbf u \cdot \mathbf r) \qquad (.3)$$.

Накінець,

$$\ (\mathbf v' \cdot \mathbf r') = \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf v)}{\gamma (1 - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf u)}{c^{2}})} - \gamma (\mathbf r \cdot \mathbf u) \qquad (.4)$$.

Дійсно,

$$\ (\mathbf r' \cdot \mathbf v' ) = \left( \left[ \mathbf r + \frac{\Gamma \mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf r )\right]\cdot \frac{\mathbf v + \frac{\Gamma \mathbf u}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf v) - \gamma \mathbf u}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}}\right)}\right) = \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf v )}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}} \right)} + \frac{\frac{\Gamma}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf r)(\mathbf u \cdot \mathbf v )\left(2 + \frac{\Gamma u^{2}}{c^{2}} \right) - \gamma (\mathbf u \cdot \mathbf r)\left( 1 + \frac{\Gamma u^{2}}{c^{2}}\right)}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v)}{c^{2}} \right)} = $$

$$\ = \left| 2 + \frac{\Gamma u^{2}}{c^{2}} = \gamma + 1 = \frac{\gamma^{2}}{\Gamma}, \quad 1 + \frac{\Gamma u^{2}}{c^{2}} = \gamma \right| = \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf v )}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}} \right)} - \frac{\gamma^{2}(\mathbf r \cdot \mathbf u )\left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}} \right)}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}} \right)} = \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf v )}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}} \right)} - \gamma (\mathbf r \cdot \mathbf u )$$.

Нарешті, останнє, що потрібно буде - вираз для перетворення 3-вектора сили при переході до нової ІСВ:

$$\ \frac{\mathbf F}{\gamma(1 - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf u)}{c^{2}})} = \mathbf F' + \gamma \frac{\mathbf u (\mathbf F' \cdot \mathbf v')}{c^{2}} + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf F')}{c^{2}} \qquad (.5)$$.

Сила Лоренца
Базовим виразом для аналізу взаємодії заряда $$\ Q$$ із деяким пробним зарядом $$\ q$$ є закон Кулона: для статичних зарядів у вакуумі відносно ІСВ, що покоїться, можна записати, що сила їх взаємодії рівна

$$\ \mathbf F = \frac{qQ}{|\mathbf r |^{3}}\mathbf r$$.

А як буде виглядати вираз для сили взаємодії цих зарядів відносно ІСВ, що довільно рухається? Для відповіді на це питання спочатку треба розглянути можливість інтерпретації закону Кулона як граничного (нерелятивістського) закону. Це можна зробити за рахунок двох наступних міркувань.

Нехай у вакуумі знаходяться два заряди, що скріплені пружинкою. Заряди розглядаються відносно ІСВ, у якій вони знаходяться у стані спокою протягом досить великого проміжку часу. Пружинка забезпечує статичність зарядів, а розтяг пружинки чисельно характеризує силу взаємодії зарядів. Якщо прибрати пружинку та розглянути деяке мале відхилення від статичного стану, наприклад, одного заряду, то можна проаналізувати час, за який другий заряд "відчує" зміну стану першого, тим самим експериментально визначивши швидкість розповсюдження взаємодії між зарядами. Проте в рамках експерименту (заряди скріплені пружинкою) про швидкість розповсюдження взаємодії нічого не можна сказати, оскільки система є статичною. Таким чином, закон Кулона, який описує взаємодію статичних зарядів, не несе, без додаткових припущень, ніякої інформації про швидкість розповсюдження взаємодії між зарядами. А отже, релятивістське та класичне описання взаємодії зарядів у статичному випадку співпадають.

Нехай тепер аналізується випадок, коли один з зарядів (пробний) рухається, а інший, у полі якого рухається пробний заряд, є нерухомим. Оскільки заряд, що рухається, є пробним, то він не впливає на статичне поле нерухомого заряду. А отже, знову ж таки, нерухомий заряд діє на нього із силою, вираз для якої дається законом Кулона.

Тепер можна розглянути загальний випадок, зробивши наступні викладки. Нехай відносно деякої ІСВ $$\ S' $$ заряд $$\ Q$$, що створює поле, покоїться та знаходиться у початку координат, а заряд $$\ q$$ рухається зі швидкістю $$\ \mathbf v$$. Після цього можна перейти до ІСВ $$\ S$$, відносно якої ІСВ $$\ S'$$ має швидкість $$\ \mathbf u$$. Тоді результуючий вираз для сили відносно ІСВ $$\ S$$ буде даватися оберненим перетворенням $$\ (.5)$$. Якщо використати постулат лоренц-інваріантності заряду, врахувати, що у штрихованій системі, відповідно до міркувань, розглянутих вище,

$$\ \mathbf F' = \frac{qQ'}{|\mathbf r'|^{3}}\mathbf r' = \frac{qQ}{|\mathbf r'|^{3}}\mathbf r' \qquad (.6)$$,

і підставити $$\ (.6)$$ у $$\ (.5)$$, то, з урахуванням попередніх перетворень $$\ (.1) - (.4)$$, можна буде отримати вираз для сили $$\ \mathbf F$$, що діє на заряд $$\ q$$ відносно ІСВ $$\ S$$:

$$\ \mathbf F = \frac{qQ \gamma}{\left( \mathbf r^{2} + \gamma^{2}\frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} \right)^{\frac{3}{2}}} \left[\mathbf r + \frac{1}{c^{2}}[\mathbf v \times [\mathbf u \times \mathbf r ]] \right] \qquad (.7)$$.

Варто зазначити, що, хоч 3-вектор сили і змінюється, але 4-вектор залишається інваріантним.

Далі, якщо ввести позначення

$$\ \mathbf E = \frac{Q \gamma \mathbf r}{\left( \mathbf r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}} (\mathbf u \cdot \mathbf r)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}, \quad \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E]$$,

де $$\ \mathbf E$$ - напруженість електричного поля, $$\ \mathbf B$$ - індукція магнітного поля (див. наступний розділ), то з $$\ (.7)$$ можна отримати:

$$\ \mathbf F = q \frac{Q \gamma \mathbf r}{(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}} + \frac{q}{c^{2}}\!{\left[\mathbf v \times \frac{Q \gamma[\mathbf u \times \mathbf r]}{(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}})^{\frac{3}{2}}}\right]} = q \mathbf E + \frac{q}{c}[\mathbf v \times \mathbf B]$$,

що і є виразом для сили Лоренца.

Звідси очевидно, що магнітне поле - релятивістський ефект, що пов'язаний із запізненням зміщення електричного поля (через кінечність швидкості розповсюдження взаємодії) при русі його джерела зі швидкістю $$\ \mathbf u$$, або, чисто кінематично, через перетворення виразу сили взаємодії при переході від однієї ІСВ до іншої.

Варто зазначити, що у випадку, коли заряд, що створює поле, покоїться, вираз для сили Лоренца переходить у закон Кулона.