Тензори

Повернутися до розділу "Тензори у СТВ".

Визначення 4-тензора
Нехай є два 4-вектори $$\ A^{\alpha}, B^{\beta}$$. Із них можна утворити чотири скалярні добутки:

$$\ (A^{\alpha} B^{\beta}), \quad (A^{\alpha} B_{\beta}), \quad (A_{\alpha} B^{\beta}), \quad (A_{\alpha} B_{\beta})$$.

Через матриці Лоренца вони будуть перетворюватися наступним чином:

$$\ (A^{\alpha} B^{\beta}) = \mathbf \Lambda_{\ \mu}^{\alpha} A^{\mu}\mathbf \Lambda_{\ \nu}^{\beta}B^{\nu}, \quad (A_{\alpha} B_{\beta}) = \mathbf \Lambda^{\ \mu}_{\alpha}A^{\mu}\Lambda^{\ \nu}_{\beta}B^{\nu}$$,

$$\ (A^{\alpha} B_{\beta}) = \mathbf \Lambda^{\ \mu}_{\alpha}A_{\mu}\Lambda^{\beta}_{\ \nu}B^{\nu}, \quad (A_{\alpha} B^{\beta}) = \mathbf \Lambda^{\alpha}_{\ \mu}A^{\mu}\mathbf \Lambda^{\beta}_{\ \nu}B^{\nu}$$.

Тоді 4-тензор типу $$\ n, m$$ є величина, яка перетворюється як добуток $$\ n$$ ковекторів та $$\ m$$ векторів відносно перетворень $$\ (.2)$$. По запису вона має $$\ n + m$$ індексів, $$\ n$$ із яких знаходиться згори, $$\ m$$ - знизу.

Тобто, для, наприклад, $$\ T^{\ \alpha \beta}_{\gamma}$$ можна отримати, що

$$\ T^{\ \alpha \beta }_{\gamma}{'} = {\mathbf \Lambda}^{\alpha}_{\ \sigma} {\mathbf \Lambda}^{\beta}_{\ \delta}\tilde {\mathbf \Lambda}^{\ \omega}_{\gamma}T^{\sigma \delta }_{\omega}$$,

де дві перші матриці відповідають за перетворення двох ковекторів, а матриця, що залишилась - за перетворення контравектора.

В силу інваріантності скалярного добутку та ортогональності перетворень Лоренца матриця Мінковського також є тензором:

$$\ \mathbf g_{\alpha \beta}{'} = \mathbf \Lambda^{\ \mu}_{\alpha} \Lambda^{\ \nu}_{\beta}\mathbf g_{\mu \nu} = \mathbf g_{\alpha \beta}$$.

Загальні перетворення Лоренца для тензорів другого рангу
Оскільки векторні перетворення Лоренца, що були отримані для компонент 4-вектора $$\ r^{\alpha} = (ct, \mathbf r)$$, є загальними, то для довільного тензора другого рангу, що складається з 4-векторів $$\ A^{i}, B^{j}$$, можна записати:

$$\ {A^{0}}' = \gamma \left( A^{0} - \frac{u_{k}A^{k}}{c} \right), \quad {A^{j}}' = A^{j} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u^{j}u_{l}A^{l} - \frac{\gamma}{c}u_{j}A^{0}$$,

$$\ {B^{0}}' = \gamma \left( B^{0} - \frac{u_{k}B^{k}}{c} \right), \quad {B^{i}}' = B^{i} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u^{i}u_{l}B^{l} - \frac{\gamma}{c}u_{i}B^{0}$$.

Отже, за визначенням тензора, для кожної його компоненти у новому базисі, $$\ {T^{ij}}' = {A^{i}}'{B^{j}}'$$, можна записати:

$$\ {T^{00}}' = \gamma^{2}T^{00} - \frac{\gamma^{2}}{c}u_{k}(T^{0k} + T^{k0}) + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}u_{k}u_{p}T^{kp} \qquad (.4)$$,

$$\ {T^{ij}}' = T^{ij} + \frac{\Gamma}{c^{2}}u_{l}(u^{j}T^{il} + u^{i}T^{lj}) - \frac{\gamma}{c}(u^{j}T^{i0} + u^{i}T^{0j}) - \frac{\gamma \Gamma}{c^{3}}u^{i}u^{j}(T^{l0} + T^{0l}) + \frac{\Gamma^{2}}{c^{4}}u^{i}u^{j}u_{l}u_{n}T^{ln} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}u_{i}u_{j}T^{00} \qquad (.5)$$,

$$\ {T^{0j}}' = \gamma \left( T^{0j} - \frac{1}{c}u_{k}T^{kj}\right) - \frac{\gamma^{2}}{c}u^{j}\left( T^{00} - \frac{1}{c}u_{k}T^{k0}\right) + \frac{\Gamma \gamma}{c^{2}}u^{j}\left(u_{l}T^{0l} - \frac{1}{c}u_{k}u_{l}T^{kl} \right) \qquad (.6)$$,

$$\ {T^{i0}}' = \gamma \left( T^{i0} - \frac{1}{c}u_{k}T^{ik}\right) + \frac{\gamma^{2}}{c}u^{i}\left( T^{00} - \frac{1}{c}u_{k}T^{0k}\right) + \frac{\Gamma \gamma}{c^{2}}u^{i}\left(u_{l}T^{l0} - \frac{1}{c}u_{k}u_{l}T^{lk} \right) \qquad (.7)$$.