Фоківський простір. Оператори народження і знищення

Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Фоківський базис як базис невзаємодіючих станів
Побудуємо теорію гільбертового простору, що містить стани із довільною кількістю невзаємодіючих частинок, взявши за основу перетворення для одночастинкових станів групи Пуанкаре. Нагадаю, що одночастинковий стан (використаю для нього як "мітки" 4-імпульс $$\ p $$ на масовій поверхні, проекцію спіну $$\ \sigma $$ на вісь $$\ z$$ (чи спіральність), і масу, заряд тощо, які будуть позначатися міткою $$\ n$$) перетворюється по групі Пуанкаре як

$$\ U(\Lambda, a )|(\mathbf p , \sigma , n)\rangle = \sqrt{\frac{(\Lambda p )^{0}}{p^{0}} }e^{ia_{\mu}(\Lambda p)^{\mu}}\sum_{\sigma '}D^{s}_{\sigma \sigma '}(R(\Lambda , p))| \Lambda p , \sigma '\rangle \qquad (1)$$.

Із двох попередніх розділів відомо, що представлення малої групи для масивних станів відповідає групі $$\ SO(3)$$, а для безмасових - групі Евкліда, $$\ D_{\sigma \sigma '}(R(\Lambda, p)) = e^{i\sigma \theta (\Lambda , p)}\delta_{\sigma \sigma '}$$.

Якщо частинки за початковою умовою невзаємодіючі, то можна природньо припустити, що багаточастинкові стани перетворюються як тензорний добуток одночастинкових станів:

$$\ U(\Lambda, a )|...(\mathbf p_{i} , \sigma_{i} , n_{i}), ...\rangle = \sqrt{...\frac{(\Lambda p_{i})^{0}}{p_{i}^{0}}...}e^{ia_{\mu}\Lambda^{\mu}_{\ \nu}(...+p_{i} + ...)^{\nu}}\sum_{...,\sigma_{i}{'}...}...D^{s_{i}}_{\sigma_{i} \sigma_{i}{'}}(R(\Lambda , p))| ...(\Lambda p_{i}, \sigma_{i}{'}, n),...\rangle \qquad (2)$$.

Оскільки при перестановці двох тотожніх частинок місцями вектор стану може лише змінюватись на фазу, яка рівна $$\ \pm 1$$, а вищевведені вектори стану мають деяку довільність у виписуванні одночастинкових станів, то можна прийняти (!), що для частинок різного сорту

$$\ | ...,(..., n_{i}),...,(..., n_{j})\rangle = (-1)^{\varepsilon (n_{i})\varepsilon(n_{j})}| ...(..., n_{j}),..., (..., n_{i}) \rangle, \quad \varepsilon (n_{j}) = 1, 0$$,

де поки що не фіксується залежність $$\ \varepsilon$$ від параметрів стану частинки.

Можна отримати правило ортогональності таких векторів. Враховуючи вирази $$\ (5), (6)$$, можна записати

$$\ \langle (p_{1}, \sigma_{1}, n_{1}), ....| (p_{1}{'}, \sigma_{1}{'}, n_{1}{'})\rangle = \delta (\mathbf p_{1} - \mathbf p_{1}{'})\delta_{\sigma_{1}\sigma_{1'}}\delta_{n_{1}n_{1}{'}}\delta (\mathbf p_{2} - \mathbf p_{2}{'})... \pm Perm. \qquad (3)$$,

де останній доданок включає у себе всі можливі перестановки.

Постулюється, що введені вище вектори багаточастинкових станів утворюють базис у гільбертовому просторі станів. Такий базис називається фоківським. Варто ще ввести нульовий вектор $$\ | \rangle $$, задавши його нормуванням і перетворенням за групою Пуанкаре,

$$\ \langle | \rangle = 1, \quad U(\Lambda, a)|\rangle = | \rangle \qquad (4)$$.

В силу представлення перетворення групи Пуанкаре через генератори,

$$\ U(\Lambda, a) = e^{\frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu} + ia^{\mu}P^{\mu}}$$,

звідси слідує, що

$$\ J^{\mu \nu}| \rangle = P^{\mu} | \rangle = 0 \qquad (5)$$,

що означає, що $$\ | \rangle $$ - стан із нульовими енергією, моментом імпульсу та імпульсом.

Звідси також слідує, що фоківський базис не можна вибрати як базис взаємодіючих станів. Використовуючи $$\ (5)$$ і $$\ (2)$$, маємо при $$\ \Lambda = 1$$

$$\ U(1, a)| ...,(p_{i}, \sigma_{i}, n_{i}) ,...\rangle = e^{ia_{\mu}(...+ p_{i}+...)^{\mu}}| ...,(p_{i}, \sigma_{i}, n_{i}) ,...\rangle$$.

Диференціюючи це співвідношення по $$\ a_{\mu}$$ і беручи ліміт $$\ a \to 0$$, можна отримати

$$\ \hat{P}^{\mu}| ...,(p_{i}, \sigma_{i}, n_{i}) ,...\rangle = (...+p_{i}+...)^{\mu}| ...,(p_{i}, \sigma_{i}, n_{i}) ,...\rangle $$,

що означає, що базис дійсно відповідає лише невзаємодіючим частинкам, як постулювалось на початку (немає "перехресних" добутків імпульсів).

Оператори народження та знищення
Структура фоківського базису дозволяє природним чином ввести оператори народження та знищення.

Оператор народження $$\ \hat{a}^{\dagger}_{\sigma, n}(\mathbf p)$$ (на масовій оболонці) визначається як

$$\ \hat{a}^{\dagger}_{\sigma ,n}(\mathbf p)| ...., (..., n_{i}),...\rangle = |(..., n), ...,(..., n_{i}),...\rangle \qquad (6)$$,

а отже, довільний фоківський стан можна представити як

$$\ | (p_{1}, \sigma_{1}, n_{1}),...\rangle = \hat{a}^{\dagger}_{\sigma_{1}, n_{1}}(\mathbf p_{1})...| \rangle$$.

Маючи визначення оператору народження, легко ввести оператор знищення $$\ \hat{a}_{\sigma, n}(\mathbf p)$$: він діє на фоківський стан як

$$\ \hat{a}_{\sigma, n}(\mathbf p)| ...., (..., n_{i}),...(..., n_{N})\rangle = \sum_{r = 1}^{N}(-1)^{\varepsilon (n)(\varepsilon (n_{1}) +... + \varepsilon (n_{r}) +1)}\delta (\mathbf p - \mathbf p_{r})\delta_{\sigma \sigma_{r}}\delta_{n n_{r}}| ..., (..., n_{r - 1}), (..., n_{r + 1}), ...\rangle \qquad (7)$$,

тобто, цей оператор видаляє із багаточастинкового стану стан $$\ (p, \sigma, n)$$. Дійсно, ліва і права частини $$\ (7)$$ мають однакові скалярні добутки із будь-яким вектором фоківського базису, а отже, із будь-яким станом. Тому в силу $$\ (3)$$ і $$\ (6)$$ маємо

$$\ \langle (..., n_{i}{'}),...,(..., n_{M}{'})| \hat{a}_{\sigma, n}(\mathbf p)| ...., (..., n_{i}),...(..., n_{N})\rangle = \langle (p, \sigma , n), ...,(..., n_{M}{'}) | ...., (..., n_{i}),...(..., n_{N})\rangle = $$

$$\ = \delta_{M + 1, N}\sum_{P}\delta_{P}\prod_{j = 1}^{N}\delta (\mathbf p_{j - 1}{'} - \mathbf p_{Pj})\delta_{\sigma{'}_{j -1}\sigma_{Pj}}\delta_{n_{j - 1}n_{Pj}}$$.

Тут $$\ p_{0}{'} = p, \sigma_{0}{'} = \sigma, n_{0}{'} = n$$, а сума береться по усім $$\ P$$ із групи підстановок, $$\ \delta_{P} = \pm 1$$ у залежності від сумарної фази, що накручується як результат сумарної кількості перестановок частинок із від'ємною фазою.

Ця сума може бути представлена як сума по цілому числу $$\ r$$, яке підставляється на перше місце, $$\ P(r) = 1$$, і по підстановкам $$\ P'$$ усіх інших чисел, причому

$$\ \delta_{P} = \delta_{P'}(-1)^{\varepsilon (n)(\varepsilon (n_{1}) + ... + \varepsilon (n_{r}) + 1)}$$.

Тоді, нарешті,

$$\ \hat{a}_{\sigma, n}(\mathbf p)| ...., (..., n_{i}),...(..., n_{N})\rangle = \delta_{M + 1, N}\sum_{r = 1}^{N}(-1)^{\varepsilon (n)(\varepsilon (n_{1}) + ... + \varepsilon (n_{r}) + 1)}\delta (\mathbf p -\mathbf p_{r})\delta_{\sigma \sigma_{r}}\delta_{nn_{r}}\langle ..., n_{i}{'}),...,(..., n_{M}{'}| ..., (..., n_{r - 1}), (..., n_{r+1})...\rangle $$,

що й треба було довести.

Одним із наслідків $$\ (7)$$ є те, що вектор $$\ \hat{a} | \rangle $$ ортогональний до усіх векторів, і тому рівний нулю.

Нескладно перевірити, що оператори народження та знищення задовольняють рівностям

$$\ \hat{a}^{\dagger}_{\sigma, n}(\mathbf p)\hat{a}^{\dagger}_{\sigma ', n'}(\mathbf p ') - (-1)^{\varepsilon (n)\varepsilon (n{'})}\hat{a}^{\dagger}_{\sigma ', n'}(\mathbf p ')\hat{a}^{\dagger}_{\sigma , n}(\mathbf p) = \hat{a}_{\sigma , n}(\mathbf p)\hat{a}_{\sigma ', n'}(\mathbf p ') - (-1)^{\varepsilon (n)\varepsilon (n{'})}\hat{a}_{\sigma ', n'}(\mathbf p ')\hat{a}_{\sigma , n}(\mathbf p) = 0 \qquad (8)$$,

$$\ \hat{a}_{\sigma, n}(\mathbf p)\hat{a}^{\dagger}_{\sigma ', n'}(\mathbf p ') - (-1)^{\varepsilon (n)\varepsilon (n{'})}\hat{a}^{\dagger}_{\sigma ', n'}(\mathbf p ')\hat{a}_{\sigma , n}(\mathbf p) = \delta_{\sigma \sigma {'}}\delta_{n n{'}}\delta (\mathbf p ' - \mathbf p) \qquad (9)$$,

які називаються канонічними перестановочними співвідношеннями для операторів народження та знищення.

Представлення довільного оператору фоківського базису через оператори народження і знищення
Оператори народження і знищення дозволяють представляти довільний оператор $$\ \hat{O}$$ у лінійному просторі багаточастинкових станів:

$$\ \hat{O} = \sum_{N, M = 0}^{\infty}\sum_{n{'}_{1},...,n{'}_{M}, n_{1}, ...,n_{N}}\sum_{\sigma_{1}{'},...,\sigma_{M}{'}, \sigma_{1},...,\sigma_{N} }\int d^{3}\mathbf p{'}_{1}...d^{3}\mathbf p{'}_{M}d^{3}\mathbf p_{1}...d^{3}\mathbf p_{N} \hat{a}^{\dagger}_{\sigma_{1}, n_{1}}(\mathbf p_{1})...\hat{a}_{\sigma_{1}{'}, n_{1}{'}}(\mathbf p_{1}{'})C_{NM}(\mathbf p, \mathbf p{'}, \sigma , \sigma ', n, n')$$.

Іншими словами, стверджується, що коефіцієнти $$\ C_{NM}$$ можна завжди підібрати так, щоб матричні елементи $$\ \hat{O}$$ приймали наперед задані значення.

Доведення можна провести методом індукції по $$\ L, K$$ коефіцієнту $$\ O_{LK} = \langle ..., (...n_{L})|\hat{O}|...(...n_{K})\rangle$$. Користуючись $$\ (6), (8), (9)$$ і виразом $$\ \hat{a}| \rangle = 0$$, для нього можна написати

$$\ C_{LK} = \pm K! L! C_{LK} + C_{NM}\times ..., \quad N < L, \quad M \leqslant K or N \leqslant L, \quad M < K $$.

Якщо зробити індуктивне припущення, що $$\ O_{NM}$$ при $$\ N < L, \quad M \leqslant K $$ чи $$\ N \leqslant L, \quad M < K$$ можуть бути зроблені довільними шляхом підбору коефіцієнтних функцій $$\ C_{N'M'}$$ з $$\ N{'} \leqslant N, M{'} \leqslant M $$, то очевидно, що $$\ O_{LK}$$ можна зробити довільним за рахунок $$\ C_{LK}$$. А база індукції, $$\ C_{00} = \langle | \hat{O} |\rangle$$, очевидно, є.

Перетворення Пуанкаре операторів народження та знищення
Оскільки для фоківського простору справедлива $$(6)$$,

$$\ | (p_{1}, \sigma_{1}), ... (p_{n}, \sigma_{n}) \rangle = \hat {a}_{\sigma_{n}}^{\dagger} (p_{n})...\hat {a}_{\sigma_{1}}^{\dagger} (p_{1})| \rangle $$,

то кожен із операторів з умови справедливості рівності $$\ (2)$$ перетворюється як

$$\ U(\Lambda, a)\hat {a}^{\dagger}_{\sigma}( p)U^{-1}_{0}(\Lambda , a) = e^{i( \Lambda p)^{\mu}a_{\mu}}N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^{0}}{p^{0}}}\sum_{\sigma_{'}}D_{\sigma ' \sigma}(R(\Lambda , p))\hat {a}^{\dagger}_{\sigma {'}}(\Lambda p) \qquad (10)$$.

Дійсно, при дії перетворення Пуанкаре на $$\ (6)$$ з урахуванням пуанкаре-інваріантності вакууму та вищенаведеного виразу можна отримати

$$\ U(\Lambda, a)\hat {a}_{\sigma_{n}}^{\dagger} (p_{n})...\hat {a}_{\sigma_{1}}^{\dagger} (p_{1})| \rangle = [U(\Lambda , a)\hat {a}_{\sigma_{n}}^{\dagger} (p_{n})U^{-1}(\Lambda , a)]...[U (\Lambda , a)\hat {a}_{\sigma_{1}}^{\dagger} (p_{1})U^{-1}(\Lambda , a)]U(\Lambda , a)| \rangle = $$

$$\ = \prod_{i = 1}^{n}\left[\sqrt{\frac{(\Lambda p)^{0}_{i}}{p^{0}_{i}}}e^{i(\Lambda p_{i})^{\mu}a_{\mu} }\right]\sum_{\sigma_{1}'...\sigma_{n}'}D_{\sigma_{1}'\sigma_{1}}...D_{\sigma_{n}'\sigma_{n}}| \Lambda p_{1}, \sigma_{1}'\rangle ...|\Lambda p_{n}, \sigma_{n}'\rangle$$,

як і повинно бути відповідно до $$\ (2)$$.

Закон перетворення для операторів знищення отримується ермітовим спряженням $$\ (10)$$:

$$\ U(\Lambda, a)\hat {a}_{\sigma}( p)U^{-1}_{0}(\Lambda , a) = e^{-i( \Lambda p)^{\mu}a_{\mu}}N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^{0}}{p^{0}}}\sum_{\sigma_{'}}D^{*}_{\sigma ' \sigma}(R(\Lambda , p))\hat {a}_{\sigma {'}}(\Lambda p) \qquad (11)$$.