Тривимірний випадок. Перетворення для радіус-вектора

Повернутися до розділу "Перетворення Лоренца".

Перетворення для тривимірного випадку
Якщо узагальнити перетворення Лоренца на випадок тривимірного простору, причому $$\ \mathbf u = (u, 0, 0)$$, то вигляд $$\ (.0)$$ зміниться до

$$\ x' = f(x, y, z, t), \quad y' = g(x, y, z, t), \quad z' = F(x, y, z, t), \quad t' = G(x, y, z, t)$$.

Використовуючи міркування, наведені у попередньому підрозділі, можна дійти висновку, що при співпаданні початку координат при початку відліку функції звя'зку координат $$\ g, F$$ при переході між ІСВ набудуть вигляду

$$\ y' = A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1}t, \quad z' = A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2}t \qquad (.8)$$.

Нехай далі для першої рівності розглядається точка $$\ y' = 0 \Rightarrow y = 0$$, а для другої - $$\ z' = 0 \Rightarrow z = 0$$ (знову ж таки, через умову однорідності простору-часу загальність функцій через вибір особливих значень координат не зменшується). Тоді рівності

$$\ 0 = A_{1}x + C_{1}z + D_{1}t, \quad 0 = A_{2}x + B_{2}y + D_{2}t$$

повинні виконуватись для будь-яких $$\ x, y, z, t$$. Це означає, що

$$\ A_{1} = C_{1} = D_{1} = A_{2} = B_{2} = D_{2} = 0$$,

а отже, $$\ (.8)$$ набуде вигляду

$$\ y' = Ky, \quad z' = Kz \Rightarrow y = \frac{1}{K}y', \quad z = \frac{1}{K}z'$$.

причому $$\ B_{1} = C_{2}$$ як наслідок рівноправності координат $$\ y, z$$ відносно умови $$\ \mathbf u = (u, 0, 0)$$.

Отримані рівності зв'язку штрихованих і нештрихованих координат можна спростити, використавши принцип рівноправності ІСВ. Оскільки ІСВ рівноправні, то відносна зміна $$\ K$$ повинна бути рівна $$\ \frac{1}{K}$$, звідки $$\ K = +/- 1$$. Обирається варіант $$\ K = 1$$, оскільки при $$\ K = -1$$ формальний перехід від одної ІСВ до такої ж самої призводив би до інверсії вісей.

Отже, $$\ y' = y, \quad z' = z$$. Таким чином, при русі по осі $$\ O_{x}$$ компоненти $$\ y, z$$ не змішуються одна з одною, а також - з $$\ x, t$$, і перетворюються окремо. Це означає також, що коефіцієнти при $$\ y, z$$ у виразах для $$\ x', t'$$ рівні нулю. З цього, накінець, слідує, що за описаних вище умов

$$\ x' = \gamma (x - ut), \quad y' = z, \quad z' = z, \quad t' = \gamma \left(t - \frac{ux}{c^{2}}\right) \qquad (.9)$$.

Перетворення для радіс-вектора
У довільному випадку, коли радіус-вектор не співнапрямлений з вектором відносної швидкості двох ІСВ, можна отримати більш загальний вигляд перетворень Лоренца, розклавши радіус-вектор на вектор, що паралельний вектору відносної швидкості, та вектор, що перпендикулярний вектору відносної швидкості. Тоді, використовуючи те, що, як слідує з минулого пункту, ортогональні по відношенню до вектора відносної швидкості компоненти радіус-вектора переходять самі у себе, можна отримати:

$$\ \mathbf r = \mathbf r_{||} + \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{\perp}' = \mathbf r_{\perp}, \qquad \mathbf r_{||}' = \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}, \qquad t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r_{||})}{c^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}}$$,

і

$$\ t' = \frac{t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} }{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \gamma (t - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}}) \qquad (.10)$$,

$$\ \mathbf r' = \mathbf r_{\perp}' + \mathbf r_{||}' = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{\mathbf r_{||} - \mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \mathbf r - \mathbf r_{||} + \frac{ \mathbf r_{||}}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} - \frac{\mathbf u t}{\sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}}} = \left| \Gamma = \frac{\gamma - 1}{\frac{u^{2}}{c^{2}}} \right| = \mathbf r + \mathbf r_{||}(\gamma - 1) - \gamma \mathbf u t = \mathbf r + \Gamma\mathbf r_{||}\frac{u^{2}}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t = $$

$$\ = \mathbf r + \Gamma \mathbf u \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf r)}{c^{2}} - \gamma \mathbf u t \qquad (.10)$$,

які є перетвореннями Лоренца для радіус-вектора.

Геометричний зміст перетворень Лоренца. Інтервал
З отриманих перетворень Лоренца елементарно вивести інваріантність величини

$$\ c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} = c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2}$$,

яка називається інтервалом $$\ \Delta S$$ (звичайно, його можна записати і у вигляді нескінченно малих приростів).

Для доведення достатньо розписати праву частину у явному вигляді, використовуючи перетворення Лоренца:

$$\ c^{2} \Delta t'^{2} - \Delta x'^{2} = \frac{(t_{2} - \frac{u x_{2}}{c^2} - (t_{1} - \frac{u x_{1}}{c^2}))^{2} - (x_{2} - ut_{2} - (x_{1} - ut_{1}))^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - 2u\Delta t \Delta x + \frac{ u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2} - \Delta x^{2} + 2u\Delta x \Delta t + u^{2}\Delta t^{2} }{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = $$

$$\ = \frac{c^{2}\Delta t^{2} - u^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2} + \frac{u^{2}}{c^{2}}\Delta x^{2}}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = \frac{(c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2})(1 - \frac{u^{2}}{c^{2}})}{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} = c^{2}\Delta t^{2} - \Delta x^{2}$$.

Інтервал має зміст відстані між подіями у чотиривимірному просторі-часі. Знак інтервала визначає тип цієї відстані.

Якщо дві події причинно пов'язані, то, приймаючи швидкість розповсюдження "події" рівною $$\ U$$, можна записати вираз для інтервалу наступним чином:

$$\ dS^2 = c^2dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 = |dx^2 - dy^2 - dz^2 = U^2dt^2| = dt^{2}(c^2 - U^{2}) = c^{2}dt^{2}(1 - \frac{U^{2}}{c^{2}}) \geqslant 0$$,

тобто, квадрат інтервалу завжди додатній. Відповідний інтервал називають часоподібним. Отриманий вираз є квадратом власного часу "події", який є інваріантним відносно будь-якої ІСВ (поняття власного часу тісно пов'язано з принципом найменшої дії).

Якщо ж дана умова не виконується, то інтервал називають простороподібним, і він виражає умову роз'єднаності в просторі подій при їх причинній незалежності.

Інтервал $$\ S$$, який є модулем 4-вектора, компонентами якого є просторові та часові координати - інваріант. При переході від однієї ІСВ до іншої інваріантом його залишають або паралельні переноси, або кручення базиса. Паралельні переноси лише зміщують початок координат, тому не є інтересними. Тоді залишаються лише кручення базиса, які у загальному вигляді при переході від ІСВ А до ІСВ А' можна представити так:

$$\ x = x' ch(\Psi) + ct' sh(\Psi) \qquad (1)$$, $$\ ct = x'sh(\Psi) + ct' ch(\Psi) \qquad (2)$$. Звичайно, вирази $$\ (1), (2)$$ залишають величину інтервалу $$\ S$$ інваріантною: $$\ x^{2} - c^{2}t^{2} = x'^{2}ch^{2}(\Psi) + 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) + c^{2}t'^{2}sh^{2}(\Psi) - x'^{2}sh^{2}(\Psi) - 2x'ct'ch(\Psi)sh(\Psi) - c^{2}t'^{2}ch^{2}(\Psi) = $$ $$\ (x'^{2} - c^{2}t'^{2})(ch^{2}(\Psi) - sh^{2}(\Psi)) = x'^{2} - c^{2}t'^{2}$$.

Отже, узагальнюючи написане, можна стверджувати, що з набору аксіом, які були використані при виведенні перетворень Лоренца, слідує, що ми живемо у локально псевдоевклідовому просторі розмірності $$\ 3 + 1$$, причому інтервал набуває також змісту довжини 4-векторів у такому просторі.