Основні поняття. Представлення груп. Властивості представлень

Повернутися до розділу "Теорія груп".

Як буде видно у подальшому, дуже велику частину теорії, яка буде описувати фізичні частинки і взаємодію між ними на квантовому рівні - квантову теорію поля - можна сформулювати на мові об'єктів, які відповідають тим чи іншим симетріям нашого Всесвіту. Всесвіт є локально однорідним та ізотропним; додаючи до цього принцип відносності та причинність, ми можемо побудувати відповідну теорію симетрій, на основі якої будуть отримані рівняння для полів та їх взаємодії. Всьому цьому присвячений розділ "Теорія груп".

1. Група - абстрактна множина об'єктів, на якій задана бінарна операція, що задовольняє відповідним аксіомам (асоціативність, існування оберненого елементу, існування одиничного елементу). Представлення групи - реалізація множини за допомогою математичних об'єктів. Найбільш поширеним являється матричне представлення. Матричним представленням групи називають множину матриць фіксованої розмірності, добуток яких відтворює групову таблицю множення: якщо $$\ g$$ - елемент групи, $$\ g^{-1}$$ - обернений до нього, $$\ e$$ - одиничний, а $$\ \hat {\mathbf T} (g)$$ - матриця, що ставиться у відповідність елементу $$\ g$$, то

$$\ \hat {\mathbf T}(g_{1})\hat{\mathbf T}(g_{2}) = \hat {\mathbf T}(g_{1}g_{2}), \quad \hat {\mathbf T}(e) = 1, \quad \hat {\mathbf T}(g^{-1}) = \hat {\mathbf T}^{-1}(g)$$.

2. Представлення $$\ \hat {\mathbf T} (g)$$ являється точним, якщо кожному елементу групи відповідає одна матриця, і всі матриці - різні (множина матриць ізоморфна множині елементів групи). Може бути також гомоморфне відображення (одному елементу відповідає декілька матриць), яке також може вважатися представленням групи. Якщо матриці-представлення є квадратними, то вони являються лінійними операторами, які діють на вектори простору матриць. Векторні операції додавання задовольняють аксіомам комутативності та асоціативності, множення на число тощо.

3. За допомогою деякої невиродженої матриці $$\ \hat {\mathbf S}$$ можна побудувати інше матричне представлення групи із наявного $$\ \hat {\mathbf T} (g)$$:

$$\ \hat {\mathbf T}' (g) = \hat {\mathbf S}\hat {\mathbf T}(g)\hat {\mathbf S}^{-1}, \quad \hat {\mathbf T}' (g_{1})\hat {\mathbf T}' (g_{2}) =|\hat {\mathbf S}^{-1}\hat {\mathbf S} = \hat {\mathbf E}| = \hat {\mathbf S}\hat {\mathbf T}(g_{1})\hat{\mathbf T}(g_{2})\hat {\mathbf S}^{-1} = \hat {\mathbf T}'(g_{1}g_{2})$$.

Представлення $$\ \hat {\mathbf T}' (g), \hat {\mathbf T}(g)$$, які можуть бути пов'язані між собою як $$\ \hat {\mathbf T}' (g) = \hat {\mathbf S}\hat {\mathbf T}(g)\hat {\mathbf S}^{-1}$$, називаються еквівалентними. У противному випадку представлення являються нееквівалентними.

4. Представлення називається цілком звідним, якщо відповідну матрицю можна подати у вигляді блочно-діагональної: $$\ \hat {\mathbf T}(g) = \begin{pmatrix} \hat {\mathbf T}_{1}(g) & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \hat {\mathbf T}_{2}(g) & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \hat {\mathbf T}_{3}(g) & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & \hat {\mathbf T}_{n}(g) \end{pmatrix} \qquad (.1)$$,

де $$\ \hat {\mathbf T}_{i}(g)$$, у загальному випадку, являються матрицями різної розмірності, причому $$\ \hat {\mathbf T}_{i}(g)$$ також є представленнями групи.

Якщо не існує матриці $$\ \hat {\mathbf S}$$, за допомогою якої матрицю представлення групи не можна звести до вигляду $$\ (.1) $$, то матричне представлення називається незвідним. Існує також звідне представлення, за якого елементи над діагоналлю матриці (що представлена через матриці-блоки) ненульові:

$$\ \hat {\mathbf T}(g) = \begin{pmatrix} \hat {\mathbf T}_{1}(g) & \hat {A} \\ 0 & \hat {\mathbf T}_{2}(g)\end{pmatrix}$$.

Добуток двох таких матриць $$\ \hat {\mathbf T}(g_{1}), \hat {\mathbf T}(g_{2})$$, за умови, що $$\ \hat {\mathbf T}_{i}(g)$$ є звідними представленнями, дає таку ж за структурою матрицю, де замість $$\ \hat {\mathbf T}_{i}(g)$$ стоять комбінації елементів звідних матриць-блоків. Утворені блоки також можуть бути вибрані в якості представлення групи. Комбінацією незвідних представлень групи можна отримати будь-яке звідне представлення групи.

Визначення представлень можна також пов'язати з наявністю інваріантних підпросторів. Із структури матриці звідного та цілком звідного представлень видно, що вони можуть мати інваріантні підпростори, які не співадають із самим простором та тривіальним простором, у той час як незвідне такі підпростори не має.

Лінійний простір, у якому діє оператор, шо дається звідним матричним представленням групи, можна розбити на підпростори, у яких діють оператори-матриці, що стоять на діагоналі оператора. Відповідні за індексами компоненти вектора перетворюються лише через дані матриці-блоки. Таким чином, векторний простір і базис простору розбиваються на підпростори меншої розмірності.

5. Дві групи $$\ G, G'$$ називаються гомоморфними, якщо між ними існує співвідношення виду $$\ g_{i}{'} = \Psi (g_{k})$$, яке зберігає добутки елементів груп: $$\ \Psi (g_{i}g_{j}) = \Psi (g_{i}) \Psi (g_{j})$$. Множина $$\ G'$$ при цьому називається образом відображення: $$\ G{'} = \Psi (G) = Im (G)$$. Якщо відображення має обернене, то дві групи називаються ізоморфними.

Множина всіх об'єктів $$\ G$$, які переходять в одиничний елемент $$\ G'$$, називаються ядром гомоморфізму. Вони позначаються $$\ ker \Psi$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

6. Для більшості груп їх матричне представлення можна реалізувати унітарними матрицями. Дійсно, нехай $$\ \hat {\mathbf T}$$ не є унітарним представленням. Тоді, вибравши $$\ \hat {\mathbf S} = [\sum_{k}\hat {\mathbf T}(g_{k})\hat {\mathbf T}(g_{k}) ]^{\frac{1}{2}}$$, можна отримати

$$\ \hat {\mathbf T}^{+}(g_{i})\hat {\mathbf S}^{2}\hat {\mathbf T}(g_{i}) = \sum_{k}\hat {\mathbf T}^{+}(g_{i})\hat {\mathbf T}^{+}(g_{k})\hat {\mathbf T}(g_{k})\hat {\mathbf T}(g_{i}) = |\hat {\mathbf T}^{+}(a)\hat {\mathbf T}^{+}(b) = (\hat {\mathbf T}(b)\hat {\mathbf T}^{+}(f))^{+}| = \sum_{k}\hat {\mathbf T}^{+}(g_{k}g_{i})\hat {\mathbf T}(g_{k}g_{i}) = \hat {\mathbf S}^{2}$$.

Якщо тепер домножити цей вираз зліва і зправа на $$\ \hat {\mathbf S}^{-1}$$, то можна отримати

$$\ \hat {\mathbf S}^{-1}\hat {\mathbf S}^{2}\hat {\mathbf S}^{-1} = \hat {\mathbf E} =_{right} = \hat {\mathbf S}^{-1}\hat {\mathbf T}^{+}(g_{i})\hat {\mathbf S}^{2}\hat {\mathbf T}(g_{i})\hat {\mathbf S}^{-1} = |\hat {\mathbf S}^{-1} = \hat {\mathbf S}^{+}| = (\hat {\mathbf S} \hat {\mathbf T}(g_{i}\hat {\mathbf S}^{-1}))^{+}\hat {\mathbf S} \hat {\mathbf T}(g_{i}\hat {\mathbf S}^{-1})$$,

що і є умовою унітарності.

7. Якщо матриця $$\ \hat {\mathbf I}$$ комутує з будь-яким незвідним представленням, то вона пропорційна одиничній (перша лема Шура).

Якщо $$\ \hat {\mathbf T}(g), \hat {\mathbf R}(g)$$ - незвідні представлення розмірностями $$\ n, m$$, то для деякої матриці $$\ \hat {\mathbf Z }, n\times m$$, що задовольняє співвідношенню

$$\ \hat {\mathbf T}(g)\hat {\mathbf Z } = \hat {\mathbf Z} \hat{ \mathbf R} (g)$$

слідує, що матриця є нульовою (друга лема Шура).

8. Якщо у групи $$\ \mathbf G$$ існує незвідне унітарне представлення $$\ \hat {\mathbf T}(g)$$ рангу $$\ n$$, і кількість елементів - $$\ \gamma$$ то справедлива умова ортогональності

$$\ \sum_{i = 1}^{\gamma}T_{\alpha \beta }(g_{i})T_{\mu \nu}(g^{-1}_{i}) = \frac{\gamma}{n}\delta_{\alpha \nu}\delta_{\beta \mu}$$.

Для більш загального випадку, у випадку різних представлень $$\ \hat {\mathbf T}^{p}(g), \hat {\mathbf T}^{q}(g)$$, справедлива рівність

$$\ \sum_{i = 1}^{\gamma}T^{p}_{\alpha \beta }(g_{i})T^{q}_{\mu \nu}(g^{-1}_{i}) = \frac{\gamma}{n_{p}}\delta_{pq}\delta_{\alpha \nu}\delta_{\beta \mu}$$.

Доведення проводиться за такою ж схемою, як і доведення менш загального твердження (вводиться матриця $$\ \hat {\mathbf M} = \sum_{i = 1}^{\gamma}\hat {\mathbf T}^{p}(g_{i})\hat {\mathbf X}\hat {\mathbf T}^{q}(g_{i}^{-1})$$), проте із комутації $$\ \hat {\mathbf T}^{p}(g)\hat {\mathbf M} = \hat {\mathbf M } \hat {\mathbf T}^{q}(g)$$, в силу другої леми Шура, слідує $$\ \hat {\mathbf M } = 0$$, що і доводить теорему.

9. Слід матриці інваріантний відносно перетворень $$\ \hat {\mathbf T}{'} = \hat {\mathbf S}\hat {\mathbf T}\hat {\mathbf S}^{-1}$$. Дійсно, в силу умови ортогональності для матриці перетворення

$$\ \hat {\mathbf T}{'}_{ii} = (\hat {\mathbf S}\hat {\mathbf T}\hat {\mathbf S}^{-1})_{ii} = S_{ij}T_{jk}S_{ki}^{-1} = \delta_{kj}T_{jk} = T_{kk} = inv$$.

Набір таких інваріантів для сукупності матриць представлень усіх елементів груп $$\ \kappa (g_{i})$$ називається характером представлення групи. Якщо використати умову ортогональності із попереднього розділу для характерів, то можна отримати

$$\ \sum_{i = 1}^{\gamma}T^{p}_{\alpha \alpha }(g_{i})T^{q}_{\alpha \alpha}(g^{-1}_{i}) = \frac{\gamma}{n_{p}}\delta_{pq}\delta_{\alpha \alpha }\delta_{\alpha \alpha} = \gamma \delta_{pq}$$.

В силу визначення класів еквівалентності як сукупності елементів $$\ z, z'$$, що пов'язані між собою через співвідношення виду $$\ z' = gzg^{-1}$$, відповідні матриці-представлення мають однаковий слід, а співвідношення ортогональності можна переписати у вигляді (k класів еквівалентності, у i-тому класі є k_{i} елементів)

$$\ \sum_{i = 1}^{k}k_{i}T^{p}_{\alpha \alpha }(g_{i})T^{q}_{\alpha \alpha}(g^{-1}_{i}) = \gamma \delta_{pq}$$.

Таку умову можна розглядати як умову ортогональності базисних векторів $$\ \sqrt{\frac{k_{i}}{\gamma}}\kappa^{p} (g_{i})$$ із k компонентами у $$\ k$$-просторі. Відповідно, існує $$\ k$$ таких векторів. Оскільки умова ортогональності записана для незвідних представлень, то це означає, що кількість нееквівалентних незвідних представлень групи рівна кількості класів еквівалентності цієї групи.

10. Можна встановити критерій незвідності предствлення. Нехай представлення $$\ \hat {\mathbf T}(g)$$ містить $$\ a_{1}$$ раз незвідне представлення (присутні $$\ a_{1}$$ діагональних блоків такого вигляду) $$\ \hat {\mathbf T}_{1}(g)$$, $$\ a_{2}$$ раз - незвідне представлення $$\ \hat {\mathbf T}^{2}(g)$$, і т.д. Слід матриці, що відповідає елементу $$\ g_{i}$$, рівен

$$\ \kappa (g_{i}) = \sum_{p}a_{p}\kappa^{p}(g_{i})$$,

де $$\ a_{p}$$ - невідомі коефіцієнти, а $$\ \kappa^{p}(g_{i})$$ - слід блоку незвідного представлення, що зустрічається $$\ a_{p}$$ разів у матриці, що відповідає елементу $$\ g_{i}$$. Домножаючи даний вираз на $$\ k_{i}{\kappa^{q}}^{*}(g_{i}) $$ (зірочка позначає комплексне спряження) і підсумовуючи по індексу $$\ i$$, можна, із використанням умови ортогональності, отримати

$$\ \sum_{i = 1}^{k}\kappa (g_{i})k_{i}{\kappa^{q}}^{*}(g_{i}) = \sum_{i = 1}^{k}\sum_{p}a_{p}\kappa^{p}(g_{i})k_{i}\kappa^{q}(g_{i}) = \sum_{p}a_{p}\gamma \delta_{pq} = a_{q}\gamma$$.

Звідси

$$\ a_{p} = \frac{1}{\gamma }\sum_{i = 1}^{k}\kappa (g_{i})k_{i}\kappa^{p}(g_{i})$$.

Якщо тепер домножити

$$\ \kappa (g_{i}) = \sum_{p}a_{p}\kappa^{p}(g_{i})$$

на $$\ k_{i}\kappa^{*}(g_{i})$$ і підсумувати за $$\ i$$ по класам (із використанням відповідної умови ортогональності), можна отримати

$$\ \sum_{i = 1}^{k}k_{i}\kappa (g_{i})\kappa^{*}(g_{i}) = \sum_{i}k_{i}|\kappa (g_{i})|^{2} = \sum_{p, q}a_{p}a_{q}\sum_{i}k_{i}\kappa^{p} (g_{i}){\kappa^{*}}^{p}(g_{i}) = \gamma \sum_{p}a_{p}^{2}$$.

Для незвідного представлення всі $$\ a_{p}$$ рівні нулю, крім одного, що рівен одиниці (матриця незвідного представлення один раз міститься сама в собі). Таким чином, критерій незвідності записується як

$$\ \sum_{i = 1}^{k}k_{i}\kappa (g_{i})\kappa^{*}(g_{i}) = \gamma$$.

Таким чином, для того, щоб виявити, чи незвідне представлення, треба знайти $$\ k $$ класів еквівалентності, $$\ k_{i}$$ елементів в них і визначити характери матриць представлення (або просто квадрати слідів усіх матриць).