Розбіжність матричних елементів

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Індекс розбіжності
Розглянемо деяку загальну теорію взаємодії. Вона містить взаємодії різних типів, причому взаємодію можна охарактеризувати через число $$\ n_{if} $$ полів різних типів $$\ f$$ та $$\ d_{i}$$ похідних, що діють на них. Нехай розглядається сильнозв'язна діаграма Фейнмана. Стоїть питання розгляду принципового існування відповідного їй матричного елемента.

Отже, нехай діаграма містить $$\ E_{f}$$ зовнішніх ліній, $$\ N_{i}$$ вершин та $$\ I_{f}$$ внутрішніх ліній. Одразу можна встановити топологічне співвідношення між $$\ E_{f}, I_{f}$$: оскільки кожна зовнішня лінія з'єднана з однією вершиною, а внутрішня - із двома, то

$$\ 2I_{f} + E_{f} = \sum_{i}N_{i}n_{if} \qquad (1)$$.

Тепер перейдемо до обчислення індексу розбіжності. Він відповідає переходу у підинтегральних виразах для матричного елементу до великих імпульсів (коротвохвильового "наближення") і визначенням степені імпульсу, який відповідає такому елементу.

Отже, кожній внутрішній лінії відповідає пропагатор, який, як відомо із відповідного розділу, має вигляд

$$\ D_{f}(x - y) = \frac{-i}{(2 \pi )^{4}}\int \frac{P_{lm}(p)e^{-ip(x - y)}d^{4}p}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon }$$.

Якщо використовувати правила Фейнмана у імпульсному представленні, то пропагаторний вклад має вигляд (з точністю до несуттєвої у даному розділі константи; розгляд вкладу від інтегрування по імпульсам поки що "відкладається") $$\ \frac{P_{lm}(p)}{p^{2} - m^{2} + i\varepsilon }$$. При великих степенях, відповідно до визначення $$\ P_{lm}(p)$$, він є пропорційним до $$\ p^{2s_{f}}$$, де $$\ s$$ формально відповідає спіну поля. Отже, вклад в інтеграл від пропагатора відповідає $$\ p^{2s_{f} - 2}$$. Підсумуємо цей вклад по всім внутрішнім лініям. Для цього зручно усі імпульси інтегрування "розтягнути" масштабним фактором: $$\ p_{i} \to p_{i}\kappa$$. Отже, у степінь $$\ \kappa$$ від усіх пропагаторів буде рівний $$\ m_{D} = \sum_{f}I_{f}(2s_{f} - 2)$$.

Тепер врахуємо вклад від похідних по полям, які містяться у лагранжіанах взаємодії: він рівний (відповідно до позначень, введених вище) $$\ m_{d} = \sum_{i}N_{i}d_{i}$$.

Нарешті, треба врахувати вклад від інтегрування по всім внутрішнім 4-імпульсам. В силу наявності дельта-функцій від вкладу "голого" інтегрування (рівного $$\ 4\sum_{f}I_{f}$$) треба відняти вклад, що "знищується" дельта-функціями. Є $$\ N_{i}$$ дельта-функцій, проте одна з них відповідає закону збереження сумарного зовнішнього 4-імпульсу, тому вкладу у "знищення" порядку інтегрування не дає. Отже,

$$\ m_{\int } = 4\left( \sum_{f}I_{f} - (\sum_{i}N_{i} -1)\right)$$.

Тоді сумарний порядок масштабного фактору буде рівний

$$\ m = m_{d} + m_{\int } + m_{D} = \sum_{f}I_{f}(2s_{f} - 2) + 4\left( \sum_{f}I_{f} - (\sum_{i}N_{i} -1)\right) + \sum_{i}N_{i}d_{i} = 4 + \sum_{f}I_{f}(2s_{f} + 2) + \sum_{i}N_{i}(d_{i} - 4) \qquad (2)$$.

Використаємо тепер $$\ (1)$$, виключивши з $$\ (2)$$ $$\ I_{f}$$:

$$\ m = 4 - \sum_{f}E_{f}(s_{f} + 1) - \sum_{i}N_{i}(4 - d_{i} -\sum_{f}n_{if}(s_{f} + 1)) \qquad (3)$$.

Звідси слідує, що якщо $$\ m = 0$$, то інтеграл розходиться логарифмічно, якщо $$\ m = 1$$, то лінійно, і т.д. Якщо $$\ m \leqslant -1$$, то є сподівання, що інтеграл є збіжним. Окрім того, навіть якщо для всієї діаграми $$\ m = 0$$, то при інтегруванні по окремим імпульсам може статися, що $$\ m_{p_{\alpha}} \geqslant 0$$. Тому для аналізу розбіжності іноді доводиться розглядати всі піддіаграми, які є у діаграми.

Розглянемо квантову електродинаміку. У ній $$\ \hat {L}_{int}(x) = \hat {\bar {\Psi}} \gamma^{\mu}\hat {A}_{\mu}\hat {\Psi}$$, тому $$\ d_{i} = 0$$, а

$$\ \sum_{f}n_{if}(s_{f} + 1)) = n_{iF}(s_{F} + 1) + n_{i\gamma}(s_{\gamma} + 1) = 2(\frac{1}{2} + 1) + (0 + 1) = 4$$.

Дійсно, хоч електромагнітне поле відповідає полю спіральності 1, в силу калібрувальної інваріантності та частина пропагатора, яка відповідала б $$\ s_{\gamma} = 1$$, рівна нулю, в результаті чого для ЕМ поля $$\ s_{if} = 0$$. Тому $$\ \sum_{i}N_{i}(4 - d_{i} -\sum_{f}n_{if}(s_{f} + 1)) = 0$$, і

$$\ m = 4 - \frac{3}{2}E_{F} - E_{\gamma} \qquad (4)$$.

Виділення розбіжностей
Деяку діаграму в області великих імпульсів можна подати як (з точністю до констант) $$\ \int \limits_{}^{\infty} k^{m -1}dk$$. Нехай $$\ m \geqslant 0 $$. Тоді якщо продиференціювати по будь-якому зовнішньому імпульсу $$\ m + 1$$ раз, то порядок $$\ k$$ в інтегралі зменшиться на $$\ m + 1$$, і інтеграл стане збіжним. Звідси слідує, що вклад такої діаграми у елемент буде мати структуру поліному по зовнішнім імпульсам порядку $$\ m + 1$$, причому всі коефіцієнти, окрім вільного члена, будуть розбіжними.

Це означає, що розбіжну частину можна виокремити. Окрім того, це означає, що початковий лагранжіан взаємодії можна модифікувати так, щоб ці доданки скорочувалися. Тобто, початковий лагранжіан, що призводить до розбіжних діаграм, відповідає "збіжному" лагранжіану плюс деякій "розбіжній" частині, що відповідає додаванню взаємодій типу $$\ i$$, що включає $$\ n_{if}$$ полів типу $$\ f $$ та $$\ d_{i} \leqslant m$$ похідних. Якщо ці взаємодії вже відповідають тим, що є у лагранжіані, то розбіжності просто вносять поправки (нескінченні) до констант зв'язку. Отже, якщо до голої константи зв'язку додати відповідний коефіцієнт полінома по зовнішнім імпульсам і отриманий результат прирівняти до вимірюваного значення, що відповідає кінцевому, то це автоматично буде означати, що гола константа містить у собі нескінченність, що скорочує нескінченний коефіцієнт. Отже, перепозначивши константи зв'язку, поля та маси, можна скоротити нескінченності.

При цьому варто зазначити, що якщо в $$\ (3)$$ параметр $$\ \Delta_{i} = 4 - d_{i} -\sum_{f}n_{if}(s_{f} + 1)$$ невід'ємний, то буде виникати лише обмежена кількість топологічно різних діаграм, в яких $$\ m \geqslant 0$$. Таким чином, лагранжіани в цих теоріях можна модифікувати скінченною кількістю різних взаємодій так, щоб нескінченності скоротилися.

Звернемось тепер до $$\ (3)$$ знову і отримаємо зв'язок розмірності константи зв'язку із $$\ \Delta_{i}$$ (схожий аналіз вже був більш феноменологічно пророблений у відповідному розділі), щоб встановити окремі класи теорій відповідно до розмірності констант зв'язку. Стандартно використовується система одиниць, у якій $$\ c = \hbar = 1$$. Пропагатор, який в області великих імпульсів пропорційний $$\ k^{-2 + 2s_{f}} = k^{m_{\Delta}}$$, відповідає 4-Фур'є образу згортки двох вільних полів, поділений на $$\ k^2$$. Це означає, що розмірність поля відповідає $$\ m_{\Psi} = \frac{4 + m_{\Delta}}{2} = 1 + s_{f}$$. Якщо лагранжіан взаємодії (без константи зв'язку) має $$\ n_{if}$$ полів та $$\ d_{i}$$ похідних, то звідси очевидно, що розмірність лагранжіану буде $$\ d_{i} + \sum n_{if}(s_{f} + 1)$$. Дія - 4-інтеграл по просторовій координаті від лагранжіану. Враховуючи, що в енергетичних одиницях розмірність самого інтегралу рівна $$\ -4$$, то розмірність дії без константи взаємодії рівна $$\ d_{i} + \sum n_{if}(s_{f} + 1) - 4$$. Але оскільки дія - безрозмірна, звідси слідує, що константа зв'язку має розмірність $$\ 4 - d_{i} - \sum n_{if}(s_{f} + 1)$$, що відповідає останньому доданку $$\ (1)$$.

Отже, якщо розмірність константи зв'язку невід'ємна, то для скорочення нескінченностей у теорії лагранжіан можна модифікувати кінцевою кількістю доданків. Якщо ж розмірність від'ємна, то для скорочення нескінченностей у всіх порядках теорії збурень лагранжіан доводиться модифікувати нескінченною кількістю доданків; додавання нового доданку призводить до появи нових розбіжностей, і т.д. Теорії першого типу називаються перенормовними, а другого - неперенормовними.

У наступних розділах описана картина буде ілюструватися математичними методами, що відповідають виділенню нескінченностей у матричних елементах (регуляризація) та модифікаціях лагранжіанів, які відповідають скороченню цих нескінченностей (перенормування).

Можливість скорочення розбіжностей та причини їх появи (доповнюється)
У статті про S-матрицю говорилося, що через недовизначеність хронологічного впорядкування для повністю визначеного S-оператора потрібно розглядати не стандартний ряд

$$\ \hat {N}e^{-i\int \hat {L}(x)d^{4}x}$$,

а модифікований за допомогою квазілокальних операторів $$\ \hat {\Lambda}_{n}(x_{1},..., x_{n})$$ ряд

$$\ \hat {S} = \left[\hat {N}e^{-i \int d^{4}x\left(\hat {L}(x)g(x) + \sum_{\nu \geqslant 1}\frac{1}{(\nu + 1)!}\int \hat {\Lambda}_{\nu + 1}(x, x_{1},...x_{\nu})g(x)g(x_{1})...g(x_{\nu})dx_{1}...dx_{\nu} \right)}\right]_{g = 1}$$.

Це означає, що розбіжні результати можна спробувати скоротити, зафіксувавши вирази для $$\ \hat {\Lambda}_{i}$$ з умов відповідності деяким вимогам (рівність констант зв'язку вимірюваним величинам тощо). $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$