Теорія векторних бозонів та зв'язки між канонічними змінними

Повернутися до розділу "Спін 1".

У цьому розділі наочно демонструється діраківський підхід до квантування теорій зі зв'язками першого та другого роду.

Розглянемо лагранжіан векторного поля спіну 1:

$$\ L = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \lambda_{0}m^{2}A^{2} + \left(L_{other}(\Psi, \partial_{\mu} \Psi ) - A^{\mu}j_{\mu} \right) \qquad (1)$$,

де у масивному випадку $$\ \lambda_{0} = 1$$, а для безмасового - $$\ \lambda_{0} = 0$$.

Одразу можна побачити, що теорія містить первинний зв'язок (тут і далі у рівняннях зв'язків під знаком рівності зв'язку нулю мається на увазі слабка рівність, що означає занулення зв'язку лише після отримання усіх рівнянь чи після введення дужки Дірака)

$$\ \pi_{0} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0}A_{0})} = 0 \qquad (2)$$.

Це є, як було показано у розділі про діраківський підхід, наслідком того, що матриця $$\ C^{\mu \nu} = \frac{\partial^{2}L}{\partial \left(\partial_{0}A_{\mu} \right) \partial \left(\partial_{0}A_{\nu} \right)}$$ являється виродженою.

Розглянемо тепер окремо безмасовий і масивний випадок.

Безмасовий випадок
Рівняння для поля $$\ A_{\mu}$$ дають

$$\ \partial_{\mu}F^{\mu \nu} = j^{\nu}$$,

або, у явному вигляді через 4-потенціал та канонічні імпульси $$\ \pi_{i} = \frac{\partial L}{\partial (\partial^{0}A^{i})} = F_{0i}$$,

$$\ -\Delta A_{0} - \partial_{0} \partial_{i}A^{i} - j_{0} = \partial_{i}\pi^{i} - j_{0}= 0 \qquad (3)$$,

$$\ \partial^{2}A_{j} + \partial_{j}(\partial_{\mu}A^{\mu}) = j_{j} \qquad (4)$$.

Перше рівняння не містить других похідних по часу і водночас відповідає сумісності зв'язку $$\ (2)$$ із рівняннями руху. Через це воно являється ще одним зв'язком теорії. Воно має нульову похідну по часу: дійсно (для зручності - у формі рівняння на $$\ F_{\mu \nu}$$),

$$\ \partial_{0}\left(\partial_{\mu}F^{\mu 0} - j^{0}\right) = |F^{00} = 0| = \partial_{i}\partial_{0}F^{i 0} - \partial_{0}j^{0} = |\partial_{0}F^{i 0} = -j^{i} + \partial_{j}F^{ij}| = \partial_{i}j^{i} + \partial_{0}j^{0} + \partial_{i}\partial_{j}F^{ij} = 0$$,

де використані рівняння Максвелла $$\ \partial_{\mu}F^{j\mu} = j^{j}$$, рівняння неперевності $$\ \partial^{\mu}j_{\mu} = 0$$ та антисиметричність тензору $$\ F_{ij}$$ (тому згортка з тензором похідних рівна нулю).

Набір зв'язків $$\ (2), (3)$$ являється повним набором зв'язків теорії.

З'ясуємо, якого роду ці зв'язки $$\ F_{1}, F_{2}$$. Для цього обчислимо їх дужку Пуассона:

$$\ [F_{1}, F_{2}]_{P} = \left[\pi_{0}, \partial^{i}\pi_{i} - j_{0} \right]_{P} = 0$$.

Отже, зв'язки - першого роду. У цьому разі, як було показано у вже цитованому розділі, існують перетворення симетрії, що залишають гамільтоніан інваріантним. Вони є нічим іншим, як калібрувальними перетвореннями. Покажу їх вплив на невизначеність динаміки явно на прикладі електродинаміки: знаючи значення поля $$\ A_{\mu}$$ в даний момент часу $$\ t_{0}$$, можна отримати нескінченно багато виразів $$\ A_{\mu}' = A_{\mu} + \partial_{\mu} \alpha, \partial_{\mu} \alpha (t_{0}) = \partial^{2}\alpha (t_{0}) = 0$$ таких, що також дають значення $$\ A_{\mu}(t_{0})$$. Отже, калібрувальна інваріантність призводить до невизначеності динаміки калібрувальних полів. Найстандартніший спосіб боротися із цим - зафіксувати калібрування.

Оберемо, наприклад, кулонівське калібрування. Тоді рівняння $$\ (3)$$ буде зведене до вигляду

$$\ -\Delta A_{0} = j_{0} \Rightarrow A_{0}(\mathbf x, t) = \int \frac{j_{0}(\mathbf y , t)}{4 \pi |\mathbf x - \mathbf y|}d^{3}\mathbf r$$,

тобто, воно визначає $$\ A_{0}$$ у даний момент часу як функціонал від $$\ j_{0}$$ (який є функцією від канонічних координат та імпульсів матерії, $$\ j_{0} = i\sum_{l}\frac{\partial L_{M}}{\partial (\partial_{0}\Psi_{l})}q_{l}\Psi_{l} = i\sum_{l} Q^{l}_{M}q_{l}\Pi^{l}_{M}$$). У всі інші рівняння тепер можна підставляти цей вираз.

До речі, не зайвим буде отримати вираз для функції Гамільтона: враховуючи, що $$\ \pi_{i} = F_{0i} = E_{i}$$, а вільний член $$\ F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} $$ рівний $$\ 2 (\mathbf E^{2} + \mathbf B^{2})$$, маємо

$$\ H = \int d^{3}\mathbf r \left( E^{i}\partial_{0}A_{i} + \pi^{i}_{other}\partial_{0}\Psi^{i}_{other} - \frac{1}{2}\left( \mathbf E^{2} - \mathbf B^{2}\right) - A_{\mu}j_{\mu} - L_{other})\right) = \int d^{3}\mathbf r\left( \frac{1}{2}\left( \mathbf E^{2} + \mathbf B^{2}\right) -A_{0}\left(\partial_{i}E^{i} - j_{0} \right) + A_{i}j^{i} + H_{other}\right)$$,

де у другій рівності я відняв і додав $$\ \partial_{i}A_{0}$$, вираз $$\ E^{i}(\partial_{0}A_{i} - \partial_{i}A_{0})$$ я замінив на $$\ E^{i}F_{0i} = \mathbf E^{2}$$, а $$\ E^{i}\partial_{i}A_{0}$$, за допомогою інтегрування по частинам та врахування того, що на нескінченності поля зникають, на $$\ -A_{0}\partial_{i}E^{i}$$.

Видно тепер, що в силу відсутності у гамільтоніані $$\ \pi_{0}$$ можна розглядати доданок $$\ -A_{0}\left(\partial_{i}E^{i} - j_{0} \right)$$ як добуток функції зв'язку на лагранжів множник $$\ A_{0} = \lambda$$, виключивши, таким чином, канонічні змінні $$\ A_{0}, \pi_{0}$$ із гамільтоніану взагалі. Платою за це є формальне введення лагранжевого множнику $$\ \lambda$$.

Масивний випадок
Для масивного випадку маємо вторинний зв'язок

$$\ \partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0} \approx 0 \qquad (5)$$,

який відповідає індексу $$\ \nu = 0$$ рівнянь Лагранжа $$\ \partial_{\mu}F^{\mu \nu} + m^{2}A^{\nu} = j^{\nu}$$.

Дужка Пуассона $$\ (4), (2)$$ рівна $$\ [F_{1}, F_{2}]_{P} = m^{2}\delta (\mathbf x - \mathbf y) \qquad (6)$$,

що говорить про те, що для масивного поля $$\ (2), (4)$$ утворюють систему зв'язків другого роду. Тому зв'язки можна покласти тотожно рівними нулю, замінивши дужки Пуассона на дужки Дірака:

$$\ [f, g]_{P} \to [f, g]_{D} = [f, g]_{P} - [f, \varepsilon_{i}]_{P}\Delta^{-1}_{ij}[\varepsilon_{j}, g]_{P}$$,

де $$\ \varepsilon_{i}$$ - множина усіх зв'язків другого роду, а $$\ \Delta_{ij}$$ - матриця дужок Пуассона цих зв'язків один із одним. При цьому можна виразити $$\ A_{0}$$ через $$\ (5)$$.

Побудуємо дужки Дірака для цієї теорії. В силу $$\ (6)$$

$$\ \Delta_{(1, x), (2, y)} = -\Delta_{(2, x), (1, y)} = m^{2}\delta (\mathbf x - \mathbf y), \Delta_{(1, x), (1, y)} = \Delta_{(2, x), (2, y)} = 0$$,

звідки

$$\ \Delta_{(1, x), (2, y)}^{-1} = -\Delta^{-1}_{(2, x), (1, y)} = \frac{1}{m^{2}}\delta (\mathbf x - \mathbf y), \quad \Delta^{-1}_{(1, x), (1, y)} = \Delta^{-1}_{(2, x), (2, y)} = 0$$.

Звідси дужка Дірака для такої теорії буде рівна

$$\ [A, B]_{D} = [A, B]_{P} - \frac{1}{m^{2}}\int d^{3}\mathbf x d^{3}\mathbf y \delta (\mathbf x - \mathbf y )\left([A, \pi_{0}(\mathbf x)]_{P}\left[(\partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0})(\mathbf y), B\right]_{P} - \left[A, (\partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0})(\mathbf x)\right]_{P}[\pi_{0}(\mathbf y), B]_{P}\right)$$ =

$$\ [A, B]_{P} - \frac{1}{m^{2}} \int d^{3}\mathbf x \left([A, \pi_{0}(\mathbf x)]_{P}\left[(\partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0})(\mathbf x), B\right]_{P} - \left[A, (\partial_{i}\pi^{i} + m^{2}A_{0} - j_{0})(\mathbf x)\right]_{P}[\pi_{0}(\mathbf x), B]_{P}\right) \qquad (7)$$.

Залишилося лише проквантувати теорію. Враховуючи канонічні співвідношення $$\ [A_{i}(\mathbf x), \pi_{j}(\mathbf y)]_{P} = \delta_{ij}\delta (\mathbf x - \mathbf y), [A_{i}, A_{j}]_{P} = [\pi_{i}, \pi_{j}]_{P} = 0$$, маємо $$\ [A_{i}(\mathbf x ), B_{j}(\mathbf y) ]_{D} = -i[A_{i}(\mathbf x), \pi_{j}(\mathbf y )]$$, і $$\ (7)$$ дає

$$\ [\hat {A}_{i}(\mathbf x), \hat {A}_{j}(\mathbf y)] = [\hat {\pi}_{i}(\mathbf x), \hat {\pi}_{j}(\mathbf y)] = 0, \quad [\hat {A}_{i}(\mathbf x), \hat {\pi}_{j}(\mathbf y )] = i\delta_{ij}\delta (\mathbf x - \mathbf y)$$.