Реалізація для групи SU(3)

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Для сильної взаємодії більша частина викладок попереднього підрозділу залишається в силі. Проте треба зупинитися на декількох відмінностях. По-перше, треба розглядати калібрувальне перетворення не групи $$\ SU(2)$$, а групи $$\ SU(3)$$, оскільки "фундаментальних" глюонів - вісім. Кількість фундаментальних матриць $$\ \hat {g}^{c}, [\hat {g}^{b}, \hat {g}^{c}] = s^{bca}\hat {g}_{a}$$ ($$\ s^{bca}$$ - структурні константи) базису групи $$\ SU(3)$$ (матриць Гелл-Манна) також рівна восьми.

В силу основної характеристики представлень групи, $$\ U^{+}U = 1$$, тому зберігається норма трикомпонентного вектора

$$\ \Psi^{+}\Psi = \psi^{*}_{1}\psi_{1} + \psi^{*}_{2}\psi_{2} + \psi^{+}_{3}\psi_{3}$$.

Відповідно, можна вибрати полем $$\ \Psi$$ вектор, утворений трьома біспінорами. Повністю без змін із попереднього підрозділу можна записати лагранжіан та його модифікацію для задовільнення локальної калібрувальної інваріантності:

$$\ L = \bar {\Psi }\gamma^{\mu}i\partial_{\mu}\Psi - m\bar {\Psi}\Psi = \left|\bar {\Psi} = \Psi^{+}\gamma^{0}\right| = (\Psi^{+})^{c}_{\alpha}(\gamma^{0} \gamma^{\mu})_{\alpha \beta }i\partial_{\mu}\Psi^{c}_{\beta } - m(\Psi^{+})^{c}_{\alpha}(\gamma^{0})_{\alpha \beta }\Psi^{c}_{\beta } \qquad (.0)$$,

де сумується по $$\ c$$ від одного до трьох, по $$\ \alpha, \beta $$ - від одного до чотирьох.

Для

$$\ \psi_{\alpha}{'}_{c} = U_{cb}\psi^{b}_{\alpha}, \quad U^{+}_{ac}U_{cb} = U_{ca}^{*}U_{cb} = \delta_{ab}$$,

подовження похідної здійснюється за допомогою матриць рангу 3 $$\ A^{\mu}_{ac}$$,

$$\ L{'} = \bar {\Psi }\left(\gamma^{\mu}i\partial_{\mu} + g\gamma^{\mu}A_{\mu}\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi $$,

із законом перетворення

$$\ A_{\mu}{'} = UA_{\mu}U^{+} - \frac{i}{g}(\partial_{\mu} U) U^{+} = UA_{\mu}U^{+} + \frac{i}{g}U\partial_{\mu} U^{+} = \frac{i}{g}UD_{\mu}U^{+}, \quad D_{\mu} = \partial_{\mu} - igA_{\mu}$$.

Матриці $$\ A^{\mu}_{ab}$$ можна розкласти по базису матриць Гелл-Манна:

$$\ A^{\mu}_{ab} = A^{\mu}_{c}(\hat {g}^{c})_{ab} = (\mathbf A_{\mu} \cdot \hat {\mathbf g}), \quad \mathbf A_{\mu} = (A^{c}_{\mu}), c = 1,...,8$$.

Отже, побудована теорія відповідає взаємодії біспінорного поля із вісьмома 4-векторними полями $$\ \mathbf A^{i}_{\mu}$$.

Нижче наведені (з доведенням, що очевидно переноситься із попереднього розділу) властивості комутатора подовжених похідних:

$$\ D_{\mu}{'}\Psi{'} = UD_{\mu }U^{+}\Psi{'}$$,

$$\ [D_{\mu}, D_{\nu}]\Psi = -igF_{\mu \nu}\Psi, \quad F_{\mu \nu} = (\partial_{\mu}A_{\nu}) - (\partial_{\nu}A_{\mu}) - ig[A_{\mu}, A_{\nu}]$$,

$$\ A_{\mu} = A_{\mu}^{c}\hat {g}_{c} = \frac{1}{2}(\mathbf {A}_{\mu}\cdot \hat {\mathbf {g}}) $$,

$$\ F_{\mu \nu} = \left(\left( \partial_{\mu}\mathbf {A}_{\nu} - \partial_{\nu}\mathbf {A}_{\mu}\right) \cdot \mathbf {g}\right) + gA_{\mu}^{a}A_{\nu}^{b}s_{abc}\hat {g}^{c} = \left( \left(\partial_{\mu}\mathbf {A}_{\nu} - \partial_{\nu}\mathbf {A}_{\mu} + g[\mathbf A_{\mu} \times \mathbf A_{\nu}] \right) \cdot \hat {\mathbf g}\right) = (\mathbf F_{\mu \nu} \cdot \hat {\mathbf {g}})$$,

де $$\ [\mathbf A_{\mu} \times \mathbf A_{\nu}] = \varepsilon_{cab}A_{\mu}^{a}A_{\nu}^{b}$$ не являється, звісно, векторним добутком.

Доданок $$\ \frac{1}{16 \pi}\mathbf {F}_{\mu \nu}\mathbf {F}^{\mu \nu}$$ є, звичайно, калібрувально-інваріантним, тому його враховування у лагранжіані не змінює калібрувальну інваріантність теорії.

Отже,

$$\ L = \bar {\Psi }\gamma^{\mu}\left(i\partial_{\mu} + g(\mathbf A_{\mu}\hat {\mathbf {g}})\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi - \frac{1}{16 \pi}(\mathbf F_{\mu \nu} \mathbf F^{\mu \nu})$$.

Відповідне рівняння поля має вигляд

$$\ -2 \pi g\bar {\Psi }\gamma^{\mu}\hat {\mathbf \sigma }\Psi = \frac{1}{4 \pi}\partial_{\alpha}F^{\alpha \beta} + [\mathbf A_{\nu} \times \mathbf F^{\nu \beta}]$$.

Далі, можна розкласти калібрувальні перетворення:

$$\ \Psi {'} = U\Psi \approx \left( \hat {\mathbf E} + \frac{i}{2}(\mathbf \omega \cdot \hat {\mathbf \sigma})\right) \Psi, \quad \bar {\Psi}{'} = \bar {\Psi}U^{+} \approx \bar {\Psi} \left( \hat {\mathbf E} + \frac{i}{2}(\mathbf \omega \cdot \hat {\mathbf \sigma})\right), \quad A_{\mu}{'} \approx (\mathbf A_{\mu} + [\mathbf A_{\mu} \times \mathbf \omega ])\cdot \hat {\mathbf \sigma}$$.

З такою апроксимацією нетерівський струм має вигляд

$$\ J^{\mu}_{a} = -\frac{1}{2}\gamma^{\mu}\hat {\mathbf g}_{a}\Psi -\frac{1}{4 \pi}[\mathbf A_{\nu} \times \mathbf F^{\nu \mu}]_{a}$$