Групи SL(2, C) та SO(3, 1)

Повернутися до розділу "Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца".

Спінорний гомоморфізм
У минулому розділі було встановлено однозначний зв'язок між 4-векторами та спінорними тензорами з точковим та неточковим індексом. У розділі Група SU(2) було показано також, що група SU(2) гомоморфна групі SO(3). Відповідно до цього, у розділі Ортохронна група Лоренца. Алгебра генераторів було також встановлено, що алгебру групи Лоренца можна представити як прямий добуток алгебр груп $$\ SU(2)$$ чи $$\ SO(3)$$. У цьому розділі буде показано, що алгебра групи тісно пов'язана з групою $$\ SL(2, C)$$ (матриць, визначник яких рівен одиниці, на відміну від загального випадку SU(2), визначник матриць для якого рівен одиниці по модулю): вони пов'язані гомоморфізмом, тобто $$\ SO(3, 1) \cong SL(2, C)$$.

Із попередніх розділів відомо, що 4-вектору $$\ x^{\mu}$$ можна співставити спінорний тензор $$\ X_{a \dot {a}} = \sigma_{\mu}x^{\mu}$$. Це можна продемонструвати тепер на мові формалізму теорії груп.

Отже, $$\ X$$ відповідає ермітовій матриці. Введено також спряжений спінорний тензор $$\ \bar {X} = \bar {X} = x_{\mu}\tilde {\sigma}^{\mu}$$. Це задає норму $$\ X \bar {X}$$:

$$\ X\bar {X} = g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu} \qquad (.1)$$.

Нехай тепер заданий закон перетворення $$\ X' = NXN^{+}$$, де матриці $$\ N$$ належать представленню групи $$\ SL(2, C)$$. Новий спінорний тензор знову є ермітовим. Відповідно, детермінант спінорного тензора $$\ X$$, або його норма $$\ X\bar {X}$$, залишаються незмінними при такому перетворенні, оскільки визначники матриць групи $$\ SL(2, C)$$ рівні одиниці.

Все це разом означає, що можна пов'язати координати базису $$\ x'^{\mu}, x^{\nu}$$ лінійним співвідношенням

$$\ x'^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\quad \nu}x^{\nu}$$.

Матриця $$\ \Lambda$$ належить групі Лоренца. Для того, щоб показати це, треба врахувати унімодулярність матриць $$\ N $$. Тоді можна записати

$$\ g_{\mu \nu}x'^{\mu}x'^{\nu} = g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}$$,

або

$$\ g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\quad \alpha}\Lambda^{\nu}_{\quad \beta}x^{\alpha}x^{\beta} = g_{\mu \nu}x^{\mu }x^{\nu} \Rightarrow g_{\alpha \beta}\Lambda^{\alpha}_{\quad \mu}\Lambda^{\beta}_{\quad \nu} = g_{\mu \nu}$$.

Отже, матриці $$\ \Lambda$$ належать повній групі Лоренца (див. вираз $$\ (3)$$ посилання).

Тобто, отримано відображення групи Лоренца у групу $$\ SL(2,C)$$. Воно є гомоморфізмом. Дійсно, для послідовних перетворень $$\ X' = N_{1}XN_{1}^{+}$$ та $$\ X'' = N_{2}X'N_{2}^{+}$$ можна записати

$$\ X'' = N_{2}N_{1}XN_{1}^{+}N_{2}^{+} = N_{2}N_{1}X(N_{2}N_{1})^{+} \Rightarrow \Lambda^{\mu}_{\quad \nu} (N_{2}N_{1}) = \Lambda^{\mu}_{\quad \rho}(N_{2})\Lambda^{\rho}_{\quad \nu}(N_{1})$$,

що означає, що добутку матриць $$\ N_{2}N_{1}$$ відповідає послідовне виконання перетворень групи Лоренца.

Далі, одиниця групи $$\ SL(2, C)$$ відображається у одиницю групи Лоренца:

$$\ X' = NXN^{+} = X \Rightarrow x'^{\mu} = \delta^{\mu}_{\nu}x^{\nu}$$.

Тому перетворення являється (у загальному випадку) гомоморфним. Ядром гомоморфізму групи $$\ SL(2, C)$$ в групу Лоренца, або сукупністю елементів групи, які при відображенні переходять в одиницю групи Лоренца, є $$\ Ker (\pi ) = (-1, 1)$$. Дійсно, із визначення $$\ X' = NXN^{+} = X $$ для $$\ X = 1$$ (а отже, і для довільного $$\ X$$) слідує

$$\ NN^{+} = 1 \Rightarrow N^{+} = N^{-1}$$. Тоді

$$\ NXN^{-1} = X = NX = XN$$,

що означає, що матриця $$\ N$$ комутує з будь-якою матрицею $$\ X$$. Це означає, що вона пропорційна одиничній матриці (за лемою Шура) із деяким множником $$\ \lambda$$. В силу $$\ det X = 1$$ виходить, що $$\ \lambda = \pm 1$$, що і доводить твердження $$\ Ker (\pi ) = (-1, 1)$$. Це означає, що будь-який елемент групи Лоренца (образ) відповідає двом елементам групи $$\ SL(2, C)$$ (прообразам) $$\ \pm N$$: $$\ \pi^{-1}(\Lambda^{\mu}_{\quad \nu}(N)) = \pm N$$.

Нарешті, можна довести твердження, що образом гомоморфізму $$\ \pi$$ є ортохронна група Лоренца: $$\ Im \pi = L^{\uparrow}_{+}$$. Дійсно, група $$\ SL(2, C)$$ є зв'язною (і визначається умовою одиничности визначника матричних представлень), а оскільки $$\ \pi$$ - гладкий гомоморфізм, то відображення ведеться у зв'язну компоненту групи Лоренца. Далі, відображення ведеться у компоненту зв'язності, що містить одиницю групи Лоренца, що означає, що воно ведеться в $$\ L^{\uparrow}_{+}$$. Залишається лише довести, що кожній матриці групи Лоренца можна поставити у відповідність дві матриці групи $$\ SL(2, C)$$. Для цього достатньо взяти матриці перетворення групи Лоренца, три матриці повороту та три бусти, та поставити їм у відповідність матриці 2 на 2 з одиничним визначником.

Матрицями групи Лоренца, записаними у "полярній" та "гіперполярній" формах, є

$$\ R_{x} = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && cos(\varphi_{1}) && sin(\varphi_{1}) \\ 0 && 0 && -sin(\varphi_{1}) && cos(\varphi_{1}) \end{pmatrix}, \quad R_{y} = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && cos(\varphi_{2} ) && 0 && -sin(\varphi_{2}) \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && sin(\varphi_{2}) && 0 && cos(\varphi_{2}) \end{pmatrix}, \quad R_{z} = \begin{pmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && cos(\varphi_{3}) && sin(\varphi_{3}) && 0 \\ 0 && -sin(\varphi_{3}) && cos(\varphi_{3}) && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \end{pmatrix},$$

$$\ L_{x} = \begin{pmatrix} ch(\psi_{1}) && sh(\psi_{1}) && 0 && 0 \\ sh(\psi_{1}) && ch(\psi_{1}) && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \end{pmatrix}, \quad L_{y} = \begin{pmatrix} ch(\psi_{2}) && 0 && sh(\psi_{2}) && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ sh(\psi_{2}) && 0 && ch(\psi_{2}) && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \end{pmatrix}, \quad L_{z} = \begin{pmatrix} ch(\psi_{3}) && 0 && 0 && sh(\psi_{3}) \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ sh(\psi_{3}) && 0 && 0 && ch(\psi_{3}) \end{pmatrix}$$.

Відповідно, їх прообразами із групи $$\ SL(2, C)$$ є

$$\ \pi^{-1}(R_{x}(\varphi_{1})) =e^{i\frac{\varphi_{1}}{2}\sigma_{1}} = \pm\begin{pmatrix} cos\left(\frac{\varphi_{1}}{2} \right) && isin\left( \frac{\varphi_{1}}{2} \right) \\ isin\left( \frac{\varphi_{1}}{2} \right) && cos\left( \frac{\varphi_{1}}{2} \right) \end{pmatrix}, \quad \pi^{-1}(R_{y}(\varphi_{2})) =e^{i\frac{\varphi_{2}}{2}\sigma_{2}} = \pm\begin{pmatrix} cos\left(\frac{\varphi_{2}}{2} \right) && sin\left( \frac{\varphi_{2}}{2} \right) \\ -sin\left( \frac{\varphi_{2}}{2} \right) && cos\left( \frac{\varphi_{2}}{2} \right) \end{pmatrix},$$

$$\ \pi^{-1}(R_{z}(\varphi_{3})) =e^{i\frac{\varphi_{3}}{2}\sigma_{3}} = \pm\begin{pmatrix} e^{i\frac{\varphi_{3}}{2}} && 0\\ 0 && e^{-i\frac{\varphi_{3}}{2}} \end{pmatrix}, \quad \pi^{-1}(L_{x}(\psi_{1})) = e^{\frac{\psi_{1}}{2}\sigma_{1}} = \pm\begin{pmatrix} ch\left(\frac{\psi_{1}}{2} \right) && sh\left( \frac{\psi_{1}}{2} \right) \\ sh\left( \frac{\psi_{1}}{2} \right) && ch\left( \frac{\psi_{1}}{2} \right) \end{pmatrix}$$,

$$\ \pi^{-1}(L_{y}(\psi_{2})) = e^{\frac{\psi_{2}}{2}\sigma_{2}} = \pm\begin{pmatrix} ch\left(\frac{\psi_{2}}{2} \right) && -ish\left( \frac{\psi_{2}}{2} \right) \\ ish\left( \frac{\psi_{2}}{2} \right) && ch\left( \frac{\psi_{2}}{2} \right) \end{pmatrix}, \quad \pi^{-1}(L_{y}(\psi_{2})) = e^{\frac{\psi_{3}}{2}\sigma_{3}} = \pm\begin{pmatrix} e^{\frac{\psi_{2}}{2}} && 0 \\ 0 && e^{-\frac{\psi_{2}}{2}} \end{pmatrix}$$,

в чому нескладно переконатись, використавши відповідність 4-вектора $$\ x_{\mu}$$ та матриці $$\ X$$, а також закон перетворення для них.

Отже, гомоморфізм

$$\ \pi : \quad \text{SL}(2,C) \to \text{SO}^{\uparrow}(3, 1), \quad \pi (N) = \Lambda (N), \quad N \in \text{SL}(2,C), \Lambda (N) \in \text{SO}^{\uparrow}(3,1)$$

називається спінорним гомоморфізмом. Група $$\ \text{SL}(2,C)$$ називається подвійною накриваючою групою групи Лоренца.

Аналогічно, існує сюр'єктивний гомоморфізм

$$\ \pi_{1}(N, B): \quad \text{ISL}(2,C) \to \text{ISO}^{\uparrow}(3,1)$$,

де $$\ \text{ISO}^{\uparrow}(3,1)$$ власна група Пуанкаре, $$\ \text{ISL}(2,C)$$ - група перетворень матриць $$\ X \equiv x_{\mu}\sigma^{\mu}$$,

$$\ (N,B) \quad X \to X{'} \equiv NXN^{\dagger} + B, \quad B \equiv B_{\mu}\sigma^{\mu}$$,

із ядром $$\ \text{Ker}\pi_{1} = \left( \pm 1, 0\right)$$.

Важливість спінорного гомоморфізму
Навіщо розглядати спінорний гомоморфізм? Важливість гомоморфізмів $$\ \pi, \pi_{1}$$ проявляється у відповідності представлень груп та їх подвійних накриваючих груп. Нехай $$\ \text{T}$$ - комплексне незвідне представлення групи $$\ \text{SL}(2,C)$$. Тоді

$$\ \text{T}(1) = \text{id}, \quad \text{T}(-1) = \begin{cases} \text{id}, \\ -\text{id} \end{cases}$$.

Останнє вірно в силу леми Шура: $$\ \text{T}(-1) = \lambda \text{id}$$, де $$\ \lambda^{2} = \pm 1$$. Тому існують незвідні представлення групи $$\ \text{SL}(2,C)$$ двох типів:

$$\ \text{T}(N) = \text{T}(-N), \quad N\in\text{SL}(2,C)$$,

$$\ \text{T}(N) = -\text{T}(-N), \quad N\in\text{SL}(2,C)$$,

Представлення першого типу можна розглядати фактично як представлення власної групи Лоренца. Для цього достатньо покласти

$$\ \text{T}(\Lambda) = \text{T}(\pm N), \quad \Lambda \equiv \Lambda (N) \in \text{SO}^{\uparrow}(3,1)$$.

Представлення другого типу не можна інтерпретувати як представлення групи Лоренца, оскільки у цьому випадку кожному перетворенню Лоренца треба співставляти два оператори, що відрізняються знаком:

$$\ \text{T}(\Lambda) = \pm \text{T}(N), \quad \Lambda \in \text{SO}^{\uparrow}(3,1)$$.

Один зі знаків неможливо відкинути без порушення властивості неперервності та основної групової властивості

$$\ \text{T}(\Lambda_{1})\text{T}(\Lambda_{2}) = \text{T}(\Lambda_{1}\Lambda_{2})$$.

Як висновок, маючи гомоморфізм $$\ \text{SL}(2,C) \to \text{SO}^{\uparrow}(3,1)$$ та ядро гомоморфізму $$\ \pi_{1} = \text{1, -1}$$, можна отримати ізоморфізм груп

$$\ \text{SO}^{\uparrow}(3,1) \simeq \text{SL}(2,C)/Z_{2}$$.

Виявляється, проте, що замість групи Лоренца для побудови незвідних представлень групи Пуанкаре треба розглядати групу $$\ \text{SL}(2,C)$$, тобто, включати двозначні представлення. Чому так? Відповідь криється у тому, що на фізичних станах реалізовуються проективні представлення групи Пуанкаре, а не звичайні. Про це коротко йшлося у розділі про побудову незвідних представлень групи Пуанкаре, проте тут це питання буде досліджено більш детально.

Проективні представлення та розширення групи Лоренца
Отже, як було показано, для представлень групи Пуанкаре, що задають незвідне представлення групи, реалізується рівність

$$\ U(\Lambda_{1})U(\Lambda_{2}) = e^{i\varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})}U(\Lambda_{1}\Lambda_{2})$$,

причому фаза $$\ \varphi$$ задовольняє співвідношенню (це слідує із умови асоціативності)

$$\ \varphi (\Lambda_{2}, \Lambda_{1}) + \varphi (\Lambda_{3}, \Lambda_{2}\Lambda_{1}) = \varphi (\Lambda_{3},\Lambda_{2}) + \varphi (\Lambda_{3}\Lambda_{2}, \Lambda_{1}) \qquad (2)$$.

У загальному випадку фаза $$\ \varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})$$ може бути представлена як

$$\ \varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2}) = \beta (\Lambda_{1}, \Lambda_{2}) + \alpha(\Lambda_{1},\Lambda_{2}), \quad \alpha (\Lambda_{1}, \Lambda_{2}) = \alpha (\Lambda_{1}\Lambda_{2}) - \alpha (\Lambda_{1}) - \alpha(\Lambda_{2}) \qquad (3)$$.

Виділена фаза $$\ \alpha (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})$$ є особливою тим, що її можна прибрати, перевизначивши оператори $$\ U(\Lambda)$$ як

$$\ \tilde{U}(\Lambda) \equiv U(\Lambda)e^{i\alpha (\Lambda)} \qquad (4)$$.

За визначенням, множина функцій $$\ \varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})$$, яка задовольняють $$\ (2)$$ і відрізняються лише на фазу $$\ \alpha$$, що дана виразом $$\ (3)$$, називається 2-коциклом. Коцикл називається тривіальним, якщо він містить функцію $$\ \varphi = 0$$, тобто якщо він складається із функцій виду $$\ \alpha$$, які можна прибрати перевизначенням операторів представлення.

Стоїть питання, чи може група Пуанкаре мати нетривіальні коцикли. Існує загальна теорема, яка каже, для даного проективного представлення існує лише тривіальний коцикл, якщо:

1) Генератори групи в представленні можуть бути перевизначені (зсунуті) так, щоб ефект від перевизначення фаз ніяк не впливав на комутаційні співвідношення - не було центральних зарядів (див. пояснення нижче); інакше група буде проективною уже в околі одиниці, що, звісно, впливає на комутаційні співвідношення;

2) Група має бути однозв'язною.

Перевіримо, чи може група Пуанкаре задовольняти умовам теореми.

Умова 1
Отже, розглянемо комутаційні співвідношення генераторів групи Пуанкаре:

$$\ [J_{\mu \nu}, J_{\rho \sigma}] = i(g^{\mu \rho}J^{\nu \sigma} - g^{\nu \rho}J^{\mu \sigma} + g^{\sigma \mu}J^{\rho \nu}- g^{\sigma \nu}J^{\rho \mu}) \qquad (5)$$,

$$\ [P_{\mu}, J_{\rho \sigma}] = i(g_{\mu \sigma}P_{\rho} - g_{\mu \rho}P_{\sigma}) \qquad (6)$$,

$$\ [P_{\mu}, P_{\nu}] = 0 \qquad (7)$$.

Розглянемо ефект від перевизначення операторів $$\ (4)$$ на комутаційні співвідношення $$\ (5) - (7)$$. Для цього варто використати твердження, що фаза $$\ \varphi (\Lambda_{1}, \Lambda_{2})$$ дорівнює нулю при $$\ \Lambda_{i} = 0$$ при $$\ i = 1$$ або $$\ i = 2$$. Це означає, що в околі одиничних $$\ \Lambda$$ фаза має бути малою. Параметризуючи групові елементи неперервними координатами $$\ \theta_{a}$$, це твердження можна подати у вигляді

$$\ \varphi (U(\theta), U(\bar{\theta})) = f_{ab}\theta^{a}\bar{\theta}^{b}+...$$,

де $$\ f_{ab}$$ - дійсні числові константи. Враховуючи це, комутаційні співвідношення між генераторами групи набувають вигляду

$$\ [t_{a}, t_{b}] = iC_{abc}t_{c} +iC_{bc}\text{1}, \quad C_{bc} \equiv f_{cb} - f_{bc}$$.

Доданки виду $$\ C_{bc}$$ називаються центральними зарядами групи. Відповідні тотожності Б'янкі мають вигляд

$$\ C^{a}_{bc}C_{ad} + C^{a}_{cd}C_{ab} + C^{a}_{db}C_{ac} =0 \qquad (8)$$.

Розв'язками цього рівняння є, наприклад,

$$\ C_{ac} = C^{e}_{ab}\varphi_{e}, \quad \text{Im}\varphi_{e} = 0 \qquad (9)$$.

У такому випадку, перепозначивши генератори $$\ t_{a}$$ групи як $$\ t_{a} \to t_{a} + \varphi_{a}$$, можна прибрати центральні заряди із комутаційних співвідношень. Якщо існують лише розв'язки $$\ (9)$$, то перша умова теореми виконується.

Отже, алгебра групи Пуанкаре, модифікована центральними зарядами, має вигляд

$$\ [J^{\mu \nu}, J^{\rho \sigma}] = i(g^{\mu \rho}J^{\nu \sigma} - g^{\nu \rho}J^{\mu \sigma} + g^{\sigma \mu}J^{\rho \nu}- g^{\sigma \nu}J^{\rho \mu} - C^{\rho \sigma, \mu \nu}) \qquad (5')$$,

$$\ [P_{\mu}, J_{\rho \sigma}] = i(g_{\mu \sigma}P_{\rho} - g_{\mu \rho}P_{\sigma} - C_{\rho \sigma, \mu}) \qquad (6')$$,

$$\ [J_{\mu \nu}, P_{\rho}] = i(g_{\mu \rho}P_{\nu} - g_{\nu \rho}P_{\mu} - C_{\rho, \mu \nu}) \qquad (6'')$$,

$$\ [P_{\mu}, P_{\nu}] = -iC_{\rho \mu} \qquad (7')$$.

де $$\ C_{ij, ...kl}$$ - антисиметричні по $$\ i, j$$ та $$\ k, l$$ константи. Підставляючи $$\ (5') - (7')$$ у тотожності Якобі для генераторів групи Пуанкаре, можна отримати набір рівностей на константи $$\ C$$. Із них слідує, що

$$\ C_{\mu, \sigma} = 0$$,

а інші константи мають структуру

$$\ C_{\mu, \lambda \eta} = g_{\mu \eta}C_{\lambda} - g_{\mu \lambda}C_{\eta}, \quad C^{\eta} \equiv \frac{1}{3}g_{\rho \nu}C^{\rho , \lambda \nu}$$,

$$\ C_{\mu \sigma, \lambda \eta} = g_{\eta \mu}C_{\lambda \sigma} - g_{\lambda \mu}C_{\eta \sigma} + g_{\sigma \lambda}C_{\eta \mu} - g_{\eta \sigma}C_{\lambda \mu}, \quad C_{\lambda \sigma} \equiv \frac{1}{2}\eta_{\nu \rho}C^{\lambda \nu , \sigma \rho}$$.

Звідси видно, що якщо ввести нові генератори

$$\ \tilde{P}_{\mu} = P_{\mu}+C_{\mu}, \quad \tilde{J}_{\mu \nu} = J_{\mu \nu} + C_{\mu \nu}$$,

то комутаційні співвідношення $$\ (5')-(7')$$ редукуються у $$\ (5)-(7)$$ у термінах $$\ \tilde{P}, \tilde{J}$$.

Отже, група Пуанкаре задовольняє першій умові теореми.

Топологія
Із попереднього пункту відомо, що існує ізоморфізм

$$\ \text{SO}^{\uparrow}(3,1) \simeq \text{SL}(2,C)/Z_{2}$$.

При дослідженні топології групи Лоренца зручно перейти до групи $$\ \text{SL}(2,C)/Z_{2}$$.

Представимо матрицю групи $$\ \text{SL}(2,C)$$ у вигляді

$$\ X = ue^{h} \qquad (10)$$,

де

$$\ uu^{\dagger} = 1, \quad h^{\dagger} = h \qquad (11)$$.

З умови $$\ \text{det}(X) = 1$$ та $$\ (11)$$ слідує, що

$$\ \text{det}(u) = 1, \quad \text{Tr}(h) = 0$$.

Представлення $$\ (10)$$ однозначне, тому, зокрема, топологічно група $$\ \text{SL}(2,C)$$ являється прямим добутком просторів усіх матриць $$\ u$$ та усіх матриць $$\ h$$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Проте виявляється, що у квантовій теорії достатньо мати не звичайні, а проективні представлення групи симетрії. Тому представлення другого типу являються допустимими, і називаються двозначними представленнями власної групи Лоренца. Двозначні представлення власної групи являються однозначними представленнями її подвійної накриваючої групи. Аналогічне твердження справедливе і відносно двозначних представлень групи Пуанкаре.

У наступних статтях буде розглянуті незвідні представлення групи $$\ \text{SL}(2,C)$$.