Аномалії та ефективні теорії поля

Повернутися до розділу "Поза межами Стандартної моделі".

'''Див. також розділ Аномалії та ефективні теорії поля: кіральні ефективні теорії поля'''.

Як умова вільності від аномалій впливає на структуру ефективних теорій поля
Нехай є деяка теорія, що включає набір ферміонних полів $$\ \psi_{i}$$, які взаємодіють із калібрувальними полями $$\ A_{L/R}^{i}$$ (позначення $$\ L/R$$ відповідає взаємодії із лівими та правими ферміонами), що належать приєднаному представленню підгруп калібрувальної групи $$\ G$$, що ізоморфна прямому добутку груп $$\ SU(n), U(1)$$. Теорія є вільною від аномалій, причому скорочення аномалій відбувається нетривіальним чином (якщо просто "прибрати" частину ферміонів із дії, то теорія перестане бути вільною від аномалій). Деякі підгрупи групи $$\ G$$ є спонтанно порушеними ненульовими вакуумними середніми полів; відповідно, частина калібрувальних полів набуває маси; ферміони також набувають маси. Нехай, нарешті, є ферміони, що мають маси $$\ m_{f}^{i}$$, набагато більші за маси інших ферміонів, тобто, існує ієрархія мас.

Частинним випадком описаної теорії є Стандартна модель. Дійсно, її калібрувальною групою є $$\ G \simeq SU(3)\times SU_{L}(2) \times U_{Y}(1)$$, є спонтанне порушення симетрії, у результаті якого $$\ W-,Z-$$бозони набувають масу; роль ферміонів грають кварки та лептони, причому скорочення аномалій відбувається нетривіально - лише при наявності усіх поколінь кварків та лептонів; маса топ-кварку, $$\ m_{t} = 180$$ ГеВ, значно вища за маси інших ферміонів.

Нехай здійснено формальний перехід $$\ m_{f}^{i} \to \infty$$. Відповідно, можна проінтегрувати за ступенями вільності масивних ферміонів для отримання ефективної теорії поля, $$\ \Gamma [A, \psi, \psi^{i}] \to \Gamma_{eff} [A , \psi]$$ ($$\ \Gamma$$ позначає квантову ефективну дію). При цьому виникає питання: якщо покоління ферміонів, за якими проінтегровано дію, давали внесок в нетривіальне скорочення аномалій, то за допомогою чого ефективна дія $$\ \Gamma_{eff} [A, \psi]$$ буде вільною від аномалій без цих поколінь, та чи буде взагалі? Відповіді на ці питання одразу дають цікаві особливості ефективних теорій поля.

По-перше, аномальні члени мають топологічну структуру, а це означає, що вони є масштабно-інваріантними. Іншими словами, неінваріантність ефективної дії відносно калібрувальних перетворень повинна в точності відтворювати неінваріантність початкової дії; якщо ж початкова дія є інваріантною відносно калібрувальних перетворень, то і ефективна дія також є інваріантною. Ефективні же теорії поля зазвичай характеризуються лагранжіаном, який є розкладом по розмірному параметру, який приймається малим; типовим прикладом є лагранжіан Ейлера-Гейзенберга та теорія Фермі; іншими словами, лагранжіан містить оператори розмірності більше за чотири, пригнічені дуже малими розмірними константами. В даному випадку, здавалося б, ефективний лагранжіан містить (окрім членів, що були присутні у початковій дії і не містили полів $$\ \psi^{i}$$) лише члени, пригнічені вакуумними середніми хіггсівських полів та масами $$\ m_{i}$$ ферміонів. Проте масштабна інваріантність аномальних вкладів говорить про те, що $$\ \Gamma_{eff}$$ містить також оператори розмірності чотири, які приймають участь у скороченні аномалій. Більше того, у випадку, коли взаємодія є кірально-векторною, $$\ A_{L} \neq A_{R}$$, через умову вільності від аномалій у ефективній дії генеруються оператори розмірності 4, які містять нові взаємодії векторних бозонів теорії за типом $$\ A \wedge B \wedge \partial C$$, де $$\ \wedge$$ означає згортку з антисиметричною формою - тензором Леві-Чивіта.

Детально це питання було досліджено д'Хокером та Фаррі у зв'язку із "відщепленням" топ-кварку в Стандартній моделі; нижче я наведу спрощену модель (яка за своїми властивостями імітує Стандартну модель), що демонструє усі особливості ефективних теорій поля із нетривіальним скороченням аномалій.

Члени Весса-Зуміно
Нехай є "кварк" $$\ q$$ та "лептон" $$\ l$$, які мінімально взаємодіють за групою симетрії $$\ U_{L}(1)\times U_{R}(1)$$; відповідна дія описується виразом

$$\ S = \sum_{i = L, R}\int d^{4}x\left( \bar{q}_{i}\gamma_{\mu}(i\partial^{\mu} + A^{i}_{\mu})q_{i} + \bar{l}_{i}\gamma_{\mu}(i\partial^{\mu} - A^{i}_{\mu})l_{i}\right)$$.

Поля $$\ A_{L/R}$$, у визначення яких включені константи зв'язку, можуть відповідати, наприклад, $$\ A_{L} = Z + \gamma, A_{R} = \gamma$$. Відповідні струми $$\ J_{\mu, L/R} = \bar{f}_{L/R}\gamma_{\mu}f_{L/R}$$ не зберігаються,

$$\ \partial^{\mu}J_{\mu, L/R}= \frac{1}{96 \pi^{2}}F_{L/R} \wedge F_{L/R}$$,

зате зберігається різниця "лептонного" та "кваркового" струмів (в той час як сума не зберігається).

Нехай тепер симетрія "кваркового" сектора спонтанно порушена до $$\ U_{V}(1)$$ вакуумним середнім $$\ v$$ поля $$\ h = ve^{i\theta }$$. Такий вигляд скалярного поля говорить про те, що його маса прямує до нескінченності; таке поле ще називають Штюкельбергівським, і у загальному випадку довільної спонтанно порушеної калібрувальної групи $$\ G$$ воно ще дається у вигляді $$\ h = v U$$, $$\ UU^{\dagger} = 1$$. Таке спрощення якісно ніяк не впливає на результати, що будуть отримані. У результаті виникає "масовий" доданок

$$\ L_{m} = m_{q}\bar{q}_{L}e^{i\theta}q_{R} + h.c.$$.

Якщо маса $$\ m_{q}$$ дуже велика, можна проінтегрувати за ступенями вільності $$\ q$$, отримавши ефективну дію $$\ \Gamma_{eff} [l, A_{L}, A_{R}]$$. Якщо позначити лептонну складову цієї дії як $$\ \Gamma_{l}$$, причому вона змінюється відносно інфінітезимального калібрувального перетворення як

$$\ \delta \Gamma_{l} = \Gamma_{anomaly}$$,

то ефективні доданки повинні давати варіацію в точності таку ж, але із протилежним знаком. Відповідні доданки у літературі називають членом Весса-Зуміно. Варто показати, як він конструюється; для цього треба визначити, як змінюється "кваркова" дія відносно калібрувальних перетворень. Для цього треба виписати закон перетворення полів відносно групи $$\ U_{L}(1)\times U_{R}(1)$$:

$$\ q_{L} \to e^{i\epsilon_{L}}q_{L},\quad l_{L} \to e^{-i\epsilon_{L}}l_{L},\quad \delta A_{L} = \partial \epsilon_{L}, \quad q_{R} \to e^{i\epsilon_{R}}q_{R},\quad l_{R} \to e^{-i\epsilon_{R}}l_{R},\quad \delta A_{R} = \partial \epsilon_{R}, \quad \delta \theta = \epsilon_{L} - \epsilon_{R} \qquad (1)$$,

звідки

$$\ \delta \Gamma_{q} = -\int d^{4}x\epsilon \partial_{\mu}J^{\mu} = \frac{1}{24 \pi^{2}}\int d^{4}x \left( \epsilon_{L}\partial A_{L} \wedge \partial A_{L} - \epsilon_{R} \partial A_{R} \wedge \partial A_{L}\right), \quad \delta \Gamma_{l} = -\delta \Gamma_{q}$$.

Це означає, що серед згенерованих ефективних операторів має бути деякий член $$\ \Gamma_{WZ}[U, A_{L}, A_{R}], U = e^{i \theta}$$, варіація якого дорівнює

$$\ \delta \Gamma_{WZ}[U, A_{L}, A_{R}] = \delta \Gamma_{q} = \frac{1}{24 \pi^{2}}\int d^{4}x \left( \epsilon_{L}\partial A_{L} \wedge \partial A_{L} - \epsilon_{R} \partial A_{R} \wedge \partial A_{L}\right)$$.

У загальгому випадку такі члени носять назву членів Весса-Зуміно. Користуючись $$\ (1)$$, можна отримати вираз для члену Весса-Зуміно у даній теорії:

$$\ \Gamma_{WZ}[U, A_{L}, A_{R}] = \frac{1}{24 \pi^{2}}\int d^{4}x\left( A_{L}\wedge A_{R}\wedge \partial A_{L} + A_{L} \wedge A_{R} \wedge \partial A_{R} + \theta \left[ \partial A_{L} \wedge \partial A_{L} + \partial A_{R} \wedge \partial A_{R} + \partial A_{L} \wedge \partial A_{R}\right] \right), \quad \delta \Gamma_{WZ} = \delta \Gamma_{q}$$.

Отже, калібрувально-інваріантна ефективна дія побудована.

Члени Черна-Саймонса
Нехай тепер "кварки" взаємодіють додатково із деяким "фоновим" полем $$\ X$$, якому формально відповідає своя калібрувальна група. Наприклад, це відповідає введенню нової калібрувальної групи $$\ G_{X}$$, приєднаному представленню якого відповідає поле $$\ X$$, яке взаємодіє лише із кварком $$\ q$$ (і голдстоунівським бозоном $$\ h$$). Фоновим воно названо через те, що, по-перше, є інваріантним відносно $$\ U_{L}(1) \times U_{R}(1)$$-перетворень, а по-друге - тому, що по всім частинкам (у даному випадку - по кварку), із якими воно взаємодіяло, відбулося інтегрування (фаза голдстоунівського поля $$\ \theta$$ може бути прибрана калібрувальним перетворенням). Доданок Весса-Зуміно $$\ \Gamma_{WZ}[U, A_{L} + X, A_{R} + X]$$ тепер перестає гарантувати калібрувальну інваріантність ефективної теорії: дійсно,

$$\ \delta (\Gamma_{l} + \Gamma_{WZ}) = \delta \Gamma_{anomaly} - \delta \Gamma_{anomaly} + \delta \Gamma_{X} \neq 0$$,

де $$\ \delta \Gamma_{X}$$ дається виразом

$$\ \delta (\Gamma_{WZ}[U, A_{L} + X, A_{R} + X] - \Gamma_{WZ}[U, A_{L}, A_{R}]) = \frac{1}{24 \pi^{2}}\int d^{4}x \left(\epsilon_{L}[2 \partial A_{L} \wedge \partial X + \partial X \wedge \partial X] - \epsilon_{R}[2 \partial A_{R} \wedge \partial X + \partial X \wedge \partial X]\right) \qquad (2)$$.

Калібрувальну інваріантність можна відновити, якщо додати "контрчлен" $$\ \Gamma_{ct}[U, A_{L}, A_{R}, X]$$, варіація якого скорочувала б $$\ (2)$$. Такий контрчлен дійсно існує і дорівнює

$$\ \Gamma_{ct}[U, A_{L}, A_{R}, X] = -\frac{1}{24 \pi^{2}}\int d^{4}x(-2X\wedge A_{R} \wedge \partial A_{R} - X \wedge A_{R} \wedge \partial X + 2 X \wedge A_{L} \wedge \partial A_{L} + X \wedge A_{L} \wedge \partial X) \qquad (3)$$.

Сума члену Весса-Зуміно та цього контрчлену дорівнює

$$\ \Gamma_{WZ} + \Gamma_{ct} = \Gamma_{WZ}[U, A_{L}, A_{R}] + \Gamma_{X}[U, X, A_{L}, A_{R}]$$,

де

$$\ \Gamma_{X} = \frac{1}{8 \pi^{2}}\int d^{4}x \theta [\partial A_{L}\wedge \partial X + \partial A_{R}\wedge \partial X + \partial X \wedge \partial X] + $$

$$\ + \frac{1}{8 \pi^{2}}\int d^{4}x\left( -X\wedge A_{L}\wedge \partial A_{L} + X \wedge A_{R} \wedge \partial A_{R} + X\wedge A_{R} \wedge \partial A_{L} - X\wedge A_{L} \wedge \partial A_{R} + X\wedge A_{R} \partial X - X \wedge A_{L} \partial X \right) \qquad (4)$$.

У випадку, коли $$\ A_{L} = Z + \gamma, A_{R} = \gamma$$ (на кшталт до фотону та $$\ Z-$$бозону), вираз $$\ (4)$$ спрощується до

$$\ \Gamma_{X} = -\frac{1}{8 \pi^{2}}\int d^{4}x\left( X \wedge ( F^{\gamma} + \partial Z) + X \wedge \partial X\right)\wedge \left( Z - \partial \theta\right) \to -\frac{1}{8 \pi^{2}}\int d^{4}x\left( X \wedge ( F^{\gamma} + \partial Z) + X \wedge \partial X\right)\wedge Z$$,

де $$\ \delta Z = \delta \partial \theta $$, а останній перехід здійснено інтегруванням по частинам та наступним фіксуванням калібрування $$\ \theta = 0$$.

Описане ускладнення відповідає, зокрема, спрощеному варіанту побудування ефективної теорії поля зі Стандартної моделі, коли "фонове поле" $$\ \omega$$-мезону взаємодіє із баріонним струмом у КХД. Реалістичний варіант ефективної теорії може бути побудований за допомогою отримання виразу для неабелевого члену Весса-Зуміно та відповідного контрчлену. Наведене же ускладнення іграшкової моделі демонструє появу нових взаємодій виду $$\ X \wedge Z \wedge F^{\gamma} $$. Їх називають генералізованими членами Черна-Саймонса; у загальному випадку своєю появою вони завдячують нетривіальному скороченню аномалій у початковій теорії, причому для їх появи необхідно, щоб "ліві" калібрувальні поля $$\ A_{L}$$ не співпадали із "правими" $$\ A_{R}$$. У противному випадку контрчлен $$\ (3)$$ "знищує" ці члени; він називається контрчленом Бардіна.

Наостанок варто сказати, як саме генеруються член Весса-Зуміно та контрчлен $$\ (3)$$ у ефективній теорії поля. Член Весса-Зуміно генерується середнім $$\ \langle \bar{q}\gamma_{5}q \rangle$$ у однопетльовому наближенні із трикутних off-shell діаграм (у яких "бігають" поля $$\ q$$), у той час як контрчлен створюється трикутними діаграмами виду $$\ A \to AA$$, де поля $$\ A$$ можуть бути полями $$\ A_{L/R}, X$$ (проте є принаймні одне поле $$\ X$$).

Виявляється, що у різних розширеннях Стандартної моделі можуть виникати ефективні черн-саймонівські члени, які можуть призводити до можливості перевірки цих розширень на досяжних енергіях. Приклад таких розширень розглядається у статті.