Теорема Нетер. Доведення

Доведення 1
Перетворення функціоналу дії при інфінітезимальних перетвореннях.

Даний розклад стосується лише розкладу по зміні функціональної залежності поля, а не зміни форми самого поля, тому, чисто формально, у рамках доведення можна зробити перепозначення $$\ L(\Psi' (x'), \partial_{\mu}\Psi' (x')) -> G(x')$$.

Тоді

$$\ \int \limits_{\omega '}G(x')d^{4}x' = \int \limits_{\omega}G(x + \delta x)Id^{4}x$$.

Для нескінченно малого перетворення Якобіан $$\ I = \frac{\partial x'^{\nu}}{\partial x^{\mu}}$$ зі збереженням лінійності по $$\ \omega^{\alpha}$$ рівен (розглядається випадок двовимірного простору-часу, проте усі наступні перетворення справедливі і для чотиривимірного, у чому можно вдостовіритись при безпосередній перевірці)

$$\ I = \frac{\partial ( x^{\nu} + \delta x^{\nu} )}{\partial x^{\mu}} = \begin{vmatrix} \partial_{0}(x^{0} + \delta x^{0}) & \partial_{0}(x^{1} +  \delta x^{1}) \\ \partial_{1}(x^{0} +  \delta x^{0}) & \partial_{1}(x^{1} +  \delta x^{1}) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 +  \partial_{0} \delta x^{0} &  \partial_{0}\delta x^{1} \\ \partial_{1}\delta x^{0} & 1 +  \partial_{1}\delta x^{1} \end{vmatrix} \approx 1 + \partial_{\mu}\delta x^{\mu}$$.

Тоді, з урахуванням $$\ (.5)$$,

$$\ \int \limits_{\omega}G(x + \delta x)Id^{4}x = \int \limits_{\omega}(G(x) + \delta x\partial_{\mu}G(x))(1 + \partial_{\mu}\delta x^{\mu})d^{4}x \approx \int \limits_{\omega}(G(x) + G(x)\partial_{\mu}\delta x^{\mu} + \delta x\partial_{\mu}G(x))d^{4}x = \int \limits_{\omega}(G(x) + \partial_{\mu}(\delta x G(x)))d^{4}x$$.

Повертаючись до заміненої функції, можна отримати:

$$\ \int \limits_{\omega '} L(\Psi '(x'), \partial_{\mu}\Psi' (x'))d^{4}x' \approx \int \limits_{\omega}\left( L[\Psi '(x), \partial_{\mu}\Psi' (x)] + \partial_{\mu}(L[\Psi (x), \partial_{\mu}\Psi (x)]\delta x^{\mu})\right)d^{4}x$$,

де штрих при $$\ \Psi$$ для другого доданку з $$\ L[\Psi(x), \partial_{\mu}\Psi(x)]$$ прибрано для збереження першого порядку малості.