Ефективні теорії поля

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Візьмемо лагранжіан деякої теорії із полями, що містить взаємодію між ними:

$$\ L = L(\Psi_{i}), \quad i = 1, ..., n \qquad (1)$$.

Відповідний генеруючий функціонал має вигляд

$$\ Z[J_{\Psi}] = \int \prod_{i = 1}^{n}D \Psi_{i}e^{i\int d^{4}x\left( L(\Psi_{i}) + \sum_{i = 1}^{n}J_{\Psi_{i}} \cdot \Psi^{i} \right)}$$.

Як відомо із статті про континуальний інтеграл, варіаційні похідні по джерелам від генеруючого функціоналу дають усю інформацію про матричні елементи. Тому вираз для нього доцільно аналізувати при граничних випадках (високі чи низькі енергії тощо), будуючи так звані ефективні теорії поля.

Що таке ефективна теорія поля? Формально можна визначити її так. Початковий лагранжіан $$\ (1)$$ містить інформацію про вільні поля $$\ \Psi_{i} $$ і про їх взаємодію. На мові гамільтонового формалізму він дає рівняння, що визначають весь набір канонічних координат та імпульсів системи. Якщо розглядаються граничні випадки теорії, із рівнянь полів можна викинути доданки, якими при даних граничних випадках можна знехтувати; такі доданки, наприклад, можуть містити усю інформацію про канонічні імпульси. При цьому вдається виразити одні поля (наприклад, канонічні координати) через інші. Формально, таким чином, деякі рівняння нібито стають зв'язками, використавши які, ми зменшуємо кількість динамічних ступенів вільності на полі розв'язків рівнянь динаміки.

Проте коли розглядається лише один заданий граничний випадок, можна знехтувати відповідними членами у самом лагранжіані, підставивши при цьому у нього зв'язки. Тоді нібито із самого початку кількість ступенів вільності зменшується; іншими словами, деякі поля "викидаються". Відповідний лагранжіан починає мати межі застосовності, які визначаються граничним випадком. Він називається ефективним. Відповідно, теорія із цим лагранжіаном називається ефективною теорією поля.

Які є закономірності у структурі ефективного лагранжіану? По-перше, очевидно, що навіть якщо початкова теорія була перенормовна у сенсі підрахунку сумарного порядку розмірності усіх констант зв'язку, після "вирізання" непотрібних ступенів вільності теорія перестане бути перенормовною. Відповідно, критерій застосовності можна сформулювати як граничні значення кінематичних величин, при яких матричні елементи обмежені деяким значенням. По-друге, зазвичай ефективні лагранжіани будуються так, щоб зберігалися симетрії початкового лагранжіану. Це сильно обмежує види доданків, які з'являються при "вирізанні" ступенів вільності.

Зручно будувати ефективні лагранжіани, використовуючи континуальне інтегрування. Загальна ідея такої побудови полягає у наступному. Спочатку будується генеруючий функціонал $$\ Z[J]$$:

$$\ Z[J] = \int \prod_{i = 1}^{n}D \Psi_{i}e^{i\int d^{4}x\left( L(\Psi_{i}) + \sum_{i = 1}^{n}J_{\Psi_{i}} \cdot \Psi^{i}\right)} \qquad (2)$$.

Далі аналізується конкретний граничний випадок. Типова постановка (буде детально розглядатися нижче) - розсіяння фотонів один на одному при низьких енергіях. Дійсно, при довільних енергіях два фотони можуть анігілювати у електрон-позитронну пару тощо, оскільки їх сумарна енергія може перевищувати енергію електрон-позитронної пари у системі центру мас. Проте при низьких енергіях народження пар не відбувається. Фотони, втім, розсіюються і при таких енергіях. Тому знаючи, що пари народжуватися не можуть, хотілося б переписати лагранжіан (КЕД) так, щоб він не містив більше ферміонні поля, а можливість розсіяння фотонів була б можливою через наявність доданків, що визначають самодію фотонного поля (старше ніж квадратичного по полям). На мові континуального інтегрування це означає, що треба проінтегрувати по ферміонним ступеням вільності.

Тому, повертаючись до загального випадку $$\ (2)$$, можна проінтегрувати по $$\ k$$ "нецікавим" полям, зануливши перед цим джерела $$\ J_{\Psi}$$ цих полів:

$$\ \left(Z[J]\right)_{J_{i_{1}},...J_{i_{k}} = 0} = \int \prod_{i = 1}^{n}D \Psi_{i}e^{i\int d^{4}x\left( L(\Psi_{i}) + \sum_{i = 1}^{n}J_{\Psi_{i}} \cdot \Psi^{i}\right)} = \int \prod_{i \neq i_{1},...,i_{k}}D\Psi_{i}det\left( \Phi [\Psi ]\right)e^{i \int d^{4}x\left( \tilde{L} + \sum_{i \neq i_{1},...i_{k}}J_{\Psi_{i}} \cdot \Psi^{i}\right)} \qquad (3)$$.

Тут функція $$\ \Phi [\Psi ]$$ залежить у загальному випадку від усіх полів, проте вона також вбирає у себе весь вклад полів $$\ \Psi_{i_{1}},...\Psi_{i_{k}} $$; відповідно, $$\ \tilde{L}$$ не залежить від вказаних полів.

З іншого боку, цей же вираз рівний (тут дії із індексом $$\ j$$ відповідають діям із індексом $$\ i \neq i_{1}, ...$$)

$$\ \left(Z[J]\right)_{J_{i_{1}},...J_{i_{k}} = 0} = \int \prod_{j}D\Psi_{j}e^{i d^{4}x \left( \tilde{L} + \sum_{k} \alpha_{k}F_{k}[\Psi ] + \sum_{j}J_{\Psi_{J}} \cdot \Psi^{j}\right)} \qquad (4)$$.

Формально кажучи, ряд $$\ \sum_{k} \alpha_{k}F_{k}[\Psi ]$$ відповідає представленню детермінанту $$\ det (\Phi [\Psi ])$$ виразу $$\ (3) $$ за допомогою формули $$\ det \Phi = Tr \left( ln \Phi \right)$$ і тому очевидному факту, що $$\ Tr(...) = \int d^{4}x tr(...)$$ (тут $$\ tr(...)$$ - сума за спінорними індексами) у неперервному випадку. Розклад логарифму і дає ряд $$\ \sum_{k} \alpha_{k}F_{k}$$. Константи розкладу $$\ \alpha_{k}$$ - малі параметри, загальний вигляд яких визначається типом конкретного граничного випадку. Якщо цікавлять випадки дуже малих констант, ряд можна обірвати. І тоді усе зводиться до визначення $$\ F_{k}[\Psi ]$$

Тепер час для визначення ролі симетрій у цьому механізмі. Знаючи конкретні симетрії, можна конкретизувати усі можливі види $$\ F_{k}[\Psi ]$$. Наприклад, у випадку із електромагнітним полем, єдиними можливими варіантами при вирізанні ферміонних ступенів вільності є $$\ F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}, \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}F^{\mu \nu}F^{\alpha \beta} $$.

Далі треба лише встановити точні значення коефіцієнтів $$\ \alpha_{k}$$, і ефективна теорія поля буде побудована.

Приклад. Лагранжіан Ейлера-Гейзенберга
Отже, знайдемо ефективний лагранжіан для розсіяння фотонів, стартуючи із лагранжіану КЕД. Генеруючи функціонал для КЕД має вигляд

$$\ Z[J_{\Psi, \bar{\Psi}, A}] = \int D\bar{\Psi}D\Psi D A \int^{i\int d^{4}x\left(-\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}A^{\mu})^{2} + \bar{\Psi}\left(i\gamma^{\mu}(\partial_{\mu} + iA_{\mu}) - m\right)\Psi + \bar{\Psi}J + \bar{J}\Psi + J^{\mu}A_{\mu} \right)}$$

(роль доданку $$\ \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}A^{\mu})^{2}$$ пояснюється тут).

Інтегруючи по ферміонним ступеням вільності і зануливши ферміонні джерела, можна отримати

$$\ Z[J_{A}] = \int DA det \left(\bar{\Psi}\left(i\gamma^{\mu}(\partial_{\mu} + iqA_{\mu}\right)\Psi\right)e^{i\int d^{4}x \left( -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}A^{\mu})^{2} + J_{\mu}A^{\mu}\right)}$$.

В силу калібрувальної інваріантності $$\ det \left(\bar{\Psi}\left(i\gamma^{\mu}(\partial_{\mu} - iqA_{\mu}\right)\Psi \right)$$ можна очікувати, що у даному випадку $$\ (4)$$ при збереженні доданків, що містять поля $$\ A$$ не старше четвертої степені, набуде вигляду

$$\ Z[J_{A}] = \int DA e^{i\int d^{4}x\left( -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}- \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}A^{\mu})^{2} + J_{\mu}A^{\mu} + a_{1}(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu})^{2} + a_{2}\left(\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}F^{\mu \nu} F^{\alpha \beta}\right)^{2} \right)} \qquad (5)$$.

Залишається лише встановити точні вирази для $$\ a_{1}, a_{2}$$. Із розмірного аналізу (поля $$\ A$$ мають розмірність 1, похідна також має розмірність 1), а також - того, що єдиними константами у початковому лагранжіані є $$\ q, m$$, можна визначити пропорційність $$\ a_{i}$$ величині $$\ \frac{\alpha^{2}}{m^{4}}$$ (фактор $$\ \alpha^{2}$$ відповідає тому, що відповідні доданкам вершини - чотирьохфотонні): $$\ a_{i} = \frac{\alpha^{2}}{m^{4}}c_{i}$$.

Тепер доведеться працювати із детермінантом

$$\ det \left(\Phi \right) = e^{i \int d^{4}y L_{eff}}, \quad L_{eff} = -itrln(\Phi ), \quad \Phi = i\gamma_{\mu}(\partial^{\mu} + iqA^{\mu}) - m \qquad (6)$$

(тут $$\ tr$$ відповідає сумі за спінорними індексами).

Враховуючи, що

$$\ \hat{C}\gamma_{\mu}\hat{C}^{-1} = -\gamma_{\mu}^{T}, \quad \hat{C} = \gamma_{2}\gamma_{0}, \quad tr ln (\hat{A}) = tr ln (\hat{C}\hat{A}\hat{C}^{-1}), \quad tr (\Phi^{T}) = tr (\Phi ), \quad trln(\Phi ) = tr ln (\hat{C}\Phi \hat{C}^{-1}) = tr ln \left( -i\gamma_{\mu}(\partial^{\mu} -qA^{\mu}) - m\right)$$,

можна подати різницю (саме вона знадобиться для подальшого розрахунку, оскільки викидає нескінченну константу) $$\ det \left(\Phi \right) - det \left(\Phi \right)_{A = 0}$$ як

$$\ det \left( \tilde{\Phi} \right) = det \left(\Phi \right) - det \left(\Phi \right)_{A = 0} = \frac{1}{2}tr ln \left( \frac{(i\partial\!\!\!/ - qA\!\!\!/)^{2} - m^{2}}{(i\partial\!\!\!/)^{2} - m^{2}}\right)$$.

Тепер зручно використати формулу $$\ ln \left(\frac{A}{B} \right) = \int \limits_{0}^{\infty}\frac{ds}{s}\left( e^{is(B + i0)} - e^{is(A + i0)}\right)$$ (тут $$\ tr$$ позначає суму лише за спінорними індексами):

$$\ \int d^{4}xdet \left( \tilde{\Phi} \right) = -\frac{1}{2}\int \limits_{0}^{\infty}\frac{ds}{s}e^{-is (m^{2} - i0)}\int d^{4}x tr\left(\langle x |e^{is(i\partial\!\!\!/ - qA\!\!\!/)^{2}}|x \rangle - \langle x|e^{is (i\partial\!\!\!/)^{2}}|x \rangle \right) \qquad (7)$$,

де обкладки $$\ |x \rangle $$ означають координатне представлення.

Представивши $$\ (i\partial\!\!\!/ - qA\!\!\!/)^{2}$$ як $$\ (i \partial - qA)^{2} - 2iq\Eta_{\mu \nu}F^{\mu \nu}, \quad H_{\mu \nu} = \frac{1}{4}[\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}]$$, можна позбавитись діраківських індексів, якщо зафіксувати тензор ЕМ поля як

$$\ F_{\mu \nu} = (\mathbf E, \mathbf B), \quad \mathbf E = (0, 0, E), \quad \mathbf B = (0, 0, B) \Rightarrow 2iq\Eta_{\mu \nu}F^{\mu \nu} = q\sigma_{3}B + iq\sigma_{3}E$$.

Тоді

$$\ tr e^{q\sigma_{3}Bs + iq\sigma_{3}Es} = 4ch(qEs)cos(qBs)$$.

У результаті, $$\ (7)$$ набуде вигляду

$$\ \int d^{4}xdet \left( \tilde{\Phi} \right) = -2 \int \frac{ds}{s}e^{is(m^{2} + i0)}\int d^{4}x\left(cos(Bqs)cosh(Eqs)\langle x| e^{is(i \partial - qA)^{2}}|x\rangle - \langle x| e^{is(i \partial)^{2}}|x\rangle\right) \qquad (8)$$.

Тепер, враховуючи, що при даному виборі полів $$\ A_{0} = A_{2} = 0, \quad A_{3} = Ex_{0}, \quad A_{1} = -By$$, і роблячи перепозначення $$\ i\partial_{\mu} = p_{\mu}, [x_{\mu}, p_{\nu}] = -ig_{\mu \nu}$$, можна отримати

$$\ (p - qA)^{2} = p_{0}^{2} - p_{1}^{2} - p_{2}^{2} - p_{3}^{2} + 2Eqx_{0}p_{3} - 2Bqx_{2}p_{1} = e^{i\frac{p_{0}p_{3}}{qE}}e^{i\frac{p_{1}p_{2}}{qB}}(p_{0}^{2} - p_{2}^{2} - q^{2}E^{2}x_{0}^{2} - q^{2}B^{2}x_{2}^{2})e^{-i\frac{p_{0}p_{3}}{qE}}e^{-i\frac{p_{1}p_{2}}{qB}}$$,

де використані комутаційні співвідношення $$\ [x_{\mu}, p_{\nu}] = -ig_{\mu \nu}$$.

Тепер можна розбити $$\ H$$ на доданки $$\ H_{12} + H_{03}$$, де $$\ H_{12} = H_{12}(x_{1}, x_{2}), H_{03} = H_{03}(x_{0}, x_{3})$$. Отже

$$\ \langle x| e^{is(p - qA)^{2}}|x\rangle = \langle x_{0}x_{3}|e^{isH_{03}}|x_{0}x_{3} \rangle \langle x_{1}x_{2}| e^{isH_{12}}|x_{1}x_{2}\rangle$$.

Використаємо тепер той факт, що $$\ f(\hat{U}\hat{A}\hat{U}^{-1}) = \hat{U}f(\hat{A})\hat{U}^{-1}$$, де $$\ \hat{U} = e^{i \alpha p_{\beta}p_{\gamma}}$$. Тоді

$$\ \langle x_{0}x_{3}|e^{isH_{03}}|x_{0}x_{3} \rangle = \frac{1}{(2 \pi )^{8}}\int dp_{0}dp_{3}dp_{0}^{'}dp_{3}{'}dq_{0}dq_{3}dq_{0}{'}dq_{3}{'}e^{ix_{0}(p_{0} - p_{0}{'})+ ix_{3}(p_{3} - p_{3}{'})}\langle p_{0}p_{3}| e^{i\frac{p_{0}p_{3}}{qE}}|q_{0}q_{3}\rangle \langle q_{0}q_{3}| e^{is(p_{0}^{2} - q^{2}E^{2}x_{0}^{2})}|q_{0}{'}q_{3}{'}\rangle \langle q_{0}{'}q_{3}{'}|e^{-i\frac{p_{0}p_{3}}{qE}} |p_{0}{'}p_{3}{'}\rangle = $$

$$\ = \left| \langle p_{0}p_{3}| e^{ i\frac{p_{0}p_{3}}{qE}}|q_{0}q_{3} \rangle = e^{i\frac{p_{0}p_{3}}{qE}} (2 \pi )^{2}\delta (q_{0} - p_{0})\delta (q_{3} - p_{3}), \quad \langle q_{0}q_{3}| e^{is(p_{0}^{2} - q^{2}E^{2}x_{0}^{2})}|q_{0}{'}q_{3}{'}\rangle  = \langle q_{0}|e^{is(p_{0}^{2} - q^{2}E^{2}x_{0}^{2})}| q_{0}{'}\rangle \delta (q_{3} - q_{3}{'})2 \pi \right| = $$

$$\ = \frac{qE}{8 \pi^{3}}\int dp_{0}dp_{0}{'}\langle p_{0}| e^{is(p_{0}^{2} - q^{2}E^{2}x_{0}^{2})}| p_{0}{'}\rangle \qquad (9)$$.

Цей матричний елемент можна звести до осциляторної задачі, ввівши частоту $$\ \omega = iqE$$. Тоді маємо $$\ H_{03} = p_{0}^{2} + w^{2}x_{0}^{2} = 2H_{osc}$$. Тоді

$$\ \langle p_{0}| e^{is(p_{0}^{2} - q^{2}E^{2}x_{0}^{2})}| p_{0}{'}\rangle = \sum_{nn'}\langle p_{0}| n \rangle \langle n |e^{2isH_{0sc}}| n{'} \rangle \langle n{'} | p_{0}{'} \rangle = \left|\langle n |e^{2isH_{0sc}}| n{'} \rangle = \delta_{nn{'}}e^{2is\omega \left(n + \frac{1}{2} \right)}\right| = \sum_{n}|\langle p_{0}|n \rangle|^{2}e^{2is\omega \left(n + \frac{1}{2} \right)}$$,

і $$\ (9)$$ набуває вигляду

$$\ \langle x_{0}x_{3}|e^{isH_{03}}|x_{0}x_{3} \rangle = \frac{qE}{4 \pi^{2}}\sum_{n}\int dp_{0}|\langle p_{0}|n \rangle|^{2}e^{2is\omega \left(n + \frac{1}{2} \right)} = \left|\int dp |\langle p|n \rangle^{2} = \int dp \langle n| p\rangle\langle p|n \rangle = 2 \pi \langle n| n \rangle \right| = \frac{qE}{2 \pi } \sum_{n}e^{-2sqE \left( n + \frac{1}{2}\right)}$$.

Нескладно показати, що ця сума дорівнює $$\ \frac{1}{2sh(sqE)}$$. Дійсно,

$$\ \frac{1}{sh(x)} = \frac{2}{e^{x} - e^{-2x}} = \frac{2e^{-x}}{1 - e^{-x}} = 2e^{-x}\sum_{n = 0}^{\infty}e^{-2nx} = \sum_{n = 0}^{\infty}e^{-2x(n + \frac{1}{2})}$$.

Отже,

$$\ \langle x_{0}x_{3}|e^{isH_{03}}|x_{0}x_{3} \rangle = \frac{qE}{4 \pi }\frac{1}{sh(sqE)} $$.

Аналогічно,

$$\ \langle x_{1}x_{2}|e^{isH_{12}}|x_{1}x_{2} \rangle = \frac{qB}{4 \pi i sin (sqB)} $$.

Нарешті,

$$\ \langle x|e^{is \hat{p}^{2}} |x\rangle = \prod_{\mu = 0}^{3} \langle x_{\mu}| e^{is \hat{p}_{\mu}^{2}g_{\mu \mu}}|x_{\mu}\rangle = \frac{1}{2\pi }\prod_{\mu = 0}^{3}\int dp e^{isg_{\mu \mu}p_{\mu}^{2}} = \frac{1}{2\pi }\prod_{\mu = 0}^{3}\sqrt{\frac{\pi }{isg_{\mu \mu}}} = \left(\frac{1}{2 \sqrt{\pi s}}\right)^{4}\frac{1}{i^{2}i^{3}} = \frac{1}{16 i\pi^{2}s^{2}}$$.

Підставивши останні три вирази у $$\ (7)$$, отримаємо

$$\ det \left( \tilde{\Phi} \right) = \frac{i}{8 \pi^{2}}\int \limits_{0}^{\infty}\frac{ds}{s}e^{-is(m^{2} + i0)}\left( q^{2}EBcth(Eqs)ctg(qBs)) - \frac{1}{s^{2}}\right)$$.

Розкладемо тепер підинтегральну функцію у ряд біла малих значень $$\ E, B$$, зберігаючи доданки порядку максимум 4 по полям:

$$\ q^{2}EBcth(Eqs)ctg(qBs)) - \frac{1}{s^{2}} \approx \left( \frac{1}{qEs} + \frac{qEs}{3} - \frac{q^{3}E^{3}s^{3}}{45}\right)\left(\frac{1}{qBs} - \frac{qBs}{3} -\frac{q^{3}B^{3}s^{3}}{45} \right)q^{2}EB - \frac{1}{s^{2}} \approx $$

$$\ \approx q^{2}\frac{E^{2} - B^{2}}{3} - \frac{1}{45}q^{4}s^{2}(E^{4} + B^{4}) - \frac{1}{9}q^{4}s^{2}(EB)^{2} = q^{2}\frac{E^{2} - B^{2}}{3} - \frac{1}{45}q^{4}s^{2}(E^{2} - B^{2})^{2} - \frac{7}{45}q^{4}s^{2}(EB)^{2} = $$

$$\ = \left|E^{2} - B^{2} = \frac{1}{2}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}, EB = \frac{1}{4}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}F^{\mu \nu}F^{\alpha \beta} \right| = q^{2}\frac{F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}}{6} - \frac{q^{4}s^{2}}{180}(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu})^{2} - \frac{7q^{4}s^{2}}{720}(F_{\mu \nu}F{*}^{\mu \nu})^{2}$$.

Тому

$$\ det \left( \tilde{\Phi} \right) \approx \frac{i}{8 \pi^{2}}\left(q^{2}\frac{F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}}{6}\int \frac{ds}{s}e^{-is(m^{2} - i0)} - q^{4}\left[ \frac{1}{180}(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu})^{2} + \frac{7}{720}(F_{\mu \nu}F{*}^{\mu \nu})^{2}\right]\int s e^{-is(m^{2} - i0)}ds\right) = $$

$$\ = iCF_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \frac{iq^{4}}{2880m^{4}\pi^{2}}\left( 2(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu})^{2} + \frac{7}{2}(F_{\mu \nu}F{*}^{\mu \nu})^{2}\right) = \left|\alpha = \frac{q^{2}}{4 \pi}\right| = iCF_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \frac{i\alpha^{2}}{180m^{4}\pi^{2}}\left( 2(F_{\mu \nu}F^{\mu \nu})^{2} + \frac{7}{2}(F_{\mu \nu}F{*}^{\mu \nu})^{2}\right) \qquad (10)$$.

Тут $$\ C$$ - розбіжна константа, доданок із якою не з'явиться, якщо перенормувати фотонне поле. Порівнявши $$\ (10)$$ із $$\ (6)$$, можна отримати, що

$$\ L_{eff} = -CF_{\mu \nu}F^{\mu \nu} + \frac{\alpha^{2}}{90 m^{4}} (F_{\mu \nu}F^{\mu \nu})^{2} + \frac{7\alpha^{2}}{360m^{4}}(F_{\mu \nu}F{*}^{\mu \nu})^{2} \qquad (11)$$,

що повністю узгоджується із симетрійними міркуваннями $$\ (5)$$.

Лагранжіан

$$\ L = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} - \frac{1}{2\alpha}(\partial_{\mu}A^{\mu})^{2} + \frac{\alpha^{2}}{90 m^{4}} (F_{\mu \nu}F^{\mu \nu})^{2} + \frac{7\alpha^{2}}{360m^{4}}(F_{\mu \nu}F{*}^{\mu \nu})^{2} \qquad (12)$$

називається лагранжіаном Ейлера-Гейзенберга.

Лагранжіан Ейлера-Гейзенберга та бета-функція
Розглянемо вираз $$\ (10)$$ і проаналізуємо його. Він має нескінченний доданок $$\ -\frac{q^{2}}{48 \pi^{2}}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}\int \limits_{0}^{\infty} \frac{e^{-is(m^{2} - i0)}}{s} \qquad (11)$$.

Виконаємо регуляризацію, встановивши нижній ліміт у інтегралі:

$$\ \int \limits_{0}^{\infty} \frac{e^{-is(m^{2} - i0)}}{s} \to \int \limits_{s_{min}}^{\infty} \frac{e^{-is(m^{2} - i0)}}{s} = -Ei(s_{min}m) = -ln(s_{min}m) - \gamma, \quad \gamma \approx 0.57$$.

Об'єднавши $$\ (11)$$ із вільним доданком $$\ -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$$, маємо

$$\ L_{free + UV} = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}\left( 1-\frac{q^{2}\gamma}{12\pi^{2}}-\frac{q^{2}ln (s_{min}m)}{12\pi^{2}} \right) \qquad (12)$$.

Введемо перенормоване поле $$\ A = \frac{1}{Z_{3}}A_{r}$$. Із $$\ (12)$$ видно, що $$\ Z_{3}=\sqrt{1-\frac{q^{2}}{12\pi^{2}}ln(ms)-\frac{q^{2}\gamma}{12\pi^{2}}}$$. Із розділу про перенормування заряду відомо, що перенормований заряд визначається співвідношенням $$\ q_{r}=qZ_{3}$$.

Використаємо тепер явний вираз

$$\ \beta = \frac{\frac{dq_{r}}{dln(ms)}}{\frac{dq_{r}}{dq}} $$

для бета-функції: з точністю до членів $$\ q^{3}$$ членів включно маємо

$$\ \beta (q) = \frac{q^{3}}{12\pi^{2}}$$.

Перейдемо тепер до "новоі" константи зв'язку $$\ \alpha = \frac{q^{2}}{4 \pi}$$. Відповідно до виразу про зв'язок бета-функцій для різних констант зв'язку,

$$\ \tilde{beta}(\tilde{g}) = \beta (\tilde{beta})\frac{d\tilde{\beta}}{d\beta}$$,

маємо $$\ \tilde{\beta}(\alpha )= \frac{2\alpha^{2}}{3\pi}$$.

У, знову-таки, минулому розділі було показано, що така залежність визначає ренормгрупову константу зв'язку як

$$\ \bar{\alpha}(ln(ms)) = \frac{\alpha}{1- \frac{2\alpha ln(ms)}{3\pi}}$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$