Зв'язні та сильнозв'язні діаграми

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Як уже було описано у розділах про правила Фейнмана та про постановку задачі розсіяння, саме зв'язні діаграми представляють практичний інтерес. Тому було б доцільно виділити з генеруючого функціоналу функціонал, що генерує множину лише зв'язних діаграм. Окрім того, у подальшому буде показано, що важливими є сильнозв'язні діаграми. Ними є такі діаграми, які не можна зробити незв'язними розрізанням довільної однієї лінії.

Генеруюча функція для зв'язних діаграм
Виявляється, що функцією, яка генерує лише зв'язні діаграми, є $$\ W[J] = ln(Z[J])$$ (нагадаю, тут $$\ Z[J]$$ - генеруючий функціонал для всіх діаграм):

$$\ G^{conn}_{n}(x_{1}, ..., x_{n}) = (-i)^{n}\left(\frac{\delta }{\delta J(x_{1})}...\frac{\delta }{\delta J(x_{n})}W[J(y)]\right)_{J(y) = 0}$$,

або ж

$$\ W[J] = \sum_{n} \frac{i^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G^{c}_{n}(x_{1}, ..., x_{n})J(x_{1})...J(x_{n}) \qquad (1)$$.

Доведення можна провести наступним чином. Довільну функцію Гріна $$\ G_{n}(x_{1},...,x_{n})$$ можна представити як добуток зв'язних функцій Гріна $$\ G^{c}_{m}(x_{1},...x_{m})$$, причому треба перебрати усі можливі комбінації перестановки координат та варіантів добутку незв'язних функцій Гріна $$\ G_{1}^{\sigma_{1}}, ..., G_{m}^{\sigma_{m}}$$ сумарного порядку $$\ \sigma_{1} + 2\sigma_{2} + ... + m\sigma_{m} = n$$:

$$\ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \sum_{\sum_{i}\sigma_{i} = n}\sum_{P}P\left[ (G_{1}^{c}...G_{1}^{c})...(G_{m}^{c}...G_{m}^{c})\right] \qquad (2)$$.

Тут $$\ \sum_{P}P[...]$$ позначає усі можливі перестановки координат, блок $$\ (G^{c}_{k}...G^{c}_{k})$$ містить $$\ \sigma_{k}$$ функцій Гріна $$\ G^{c}_{k}$$, круглі дужки при $$\ G_{k}$$ позначають $$\ k$$ координат у фіксованому порядку, від яких залежить ця функція.

Треба порахувати кількість перестановок, що виникають в результаті підсумовування. Перестановка координат у функції Гріна $$\ G_{n}(x_{1}, ..., x_{n})$$ призведе до топологічно іншої діаграми, у результаті чого сума по перестановкам $$\ (1)$$ містить не всі підряд перестановки. Для отримання кількості перестановок треба поділити кількість усіх можливих перестановок, яких є $$\ n!$$, на добуток кількостей перестановок координат усередині кожного блоку. Кількість перестановок усередині блоку дорівнює добутку кількості перестановок координат для кожної із $$\ k$$ функцій Гріна $$\ G^{c}_{k}(x_{1},...,x_{k})$$, що належать блоку та кількості перестановок наборів координат функцій Гріна один між одним (без зміни порядку координат). Кількість перших перестановок дорівнює $$\ (k!)^{\sigma_{k}}$$ ($$\ k!$$ на кожну функцію Гріна у степені числа функцій Гріна в одному блоку), а кількість других перестановок просто дорівнює числу перестановок $$\ \sigma_{k}$$ функцій Гріна - $$\ \sigma_{k}!$$. У результаті, сумарне число перестановок дорівнює $$\ n_{P} = \frac{n!}{\left[(1!)^{\sigma_{1}}(2!)^{\sigma_{2}}...(m!)^{\sigma_{m}}\right]\left[\sigma_{1}!...\sigma_{m}! \right]}$$. Тепер можна записати розклад генеруючого функціоналу $$\ Z[J]$$ через зв'язні функції Гріна:

$$\ Z[J] = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G_{n}(x_{1},...,x_{n})J(x_{1})...J(x_{n}) = $$

$$\ = \sum_{n = 0}^{\infty}\sum_{\sum_{i}\sigma_{i} = n}\frac{(-i)^{n}}{n!}\times n! \frac{\left[\int d^{4}x G_{1}(x)J(x)\right]^{\sigma_{1}}}{(1!)^{\sigma_{1}}\sigma_{1}!}\times ...\times \frac{\left[\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{m} G_{m}^{c}(x_{1},...,x_{m})J(x_{1})...J(x_{m})\right]^{\sigma_{m}} }{(m!)^{\sigma_{m}}\sigma_{m}!}$$.

Тут на етапі другої рівності виник множник числа перестановок, оскільки в розкладі $$\ Z[J]$$ координати стають німими (в силу наявності інтегрування), і сума по перестановкам фактично перетворюється у додавання одного і того ж самого виразу $$\ n_{P}$$ раз. Оскільки тепер є сума по $$\ n$$, то подвійну суму $$\ \sum_{n = 0}^{\infty}\sum_{\sum_{i}\sigma_{i} = n}$$ можна переписати як суму по $$\ \sigma_{i}$$, причом тепер між різними $$\ \sigma_{i}$$ немає зв'язку. У результаті,

$$\ Z[J] = \sum_{\sigma_{1}}\frac{1}{\sigma_{1}!}\left(-i\int d^{4}x\frac{G^{c}_{1}(x)J(x)}{1!}\right)^{\sigma_{1}}\times ...\times \sum_{\sigma_{m}}\frac{1}{\sigma_{m}!}\left(\frac{-i\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{m}G_{m}^{c}(x_{1},...,x_{m})J(x_{1})J(x_{m})}{m!} \right)^{\sigma_{m}} = $$

$$\ = e^{\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-i)^{n}}{n!}\int d^{4}x_{1}...d^{4}x_{n}G^{c}_{n}(x_{1},...,x_{n})J(x_{1})...J(x_{n})} = e^{iW[J]}$$,

що і треба було довести.

Сильнозв'язні діаграми
Сильнозв'язні діаграми - діаграми, які не можна зробити незвідними шляхом розрізання однієї лінії. Зрозуміло, що такі діаграми не мають зовнішніх ліній; n-хвістки $$\ G^{conn}_{n}(x_{1}, ..., x_{n})$$ у загальному випадку, звісно, не є сильнозв'язними. Через це працювати із фунціоналом $$\ Z[J]$$ незручно. Натомість можна ввести наступний функціонал:

$$\ \Phi (x) = \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} = \frac{1}{Z[J]}\frac{\delta Z[J]}{\delta J(x)} = \frac{i}{Z[J]}\langle | \hat {N}\varphi (x)e^{i\int d^{4}x (L_{i}(\varphi (x)) + J(x)\varphi (x) )}|\rangle$$.

Із визначення (див. підпункт вище), $$\ \Phi (x)$$ є зв'язна 1-хвістка в присутності джерела $$\ J(x)$$. Якщо джерело $$\ J(x)$$ відсутнє, то $$\ \Phi (x) = 0$$. Через це можна представити $$\ \Phi (x)$$ як

$$\ \Phi (x) = -\int d^{4}yW_{2}(x, y)J(y) + O(J^{2}) \qquad (9)$$,

що формально означає, що як $$\ \Phi (x)$$ можна розкладати по $$\ J$$, так і навпаки.

Визначимо тепер перетворення Лежандра,

$$\ \Gamma [\Phi ] = W - \int d^{4}x\Phi (x)J(x) = \sum_{n}\frac{i^{n}}{n!} \int \Gamma_{n}(x_{1}...x_{n})\Phi (x_{1})...\Phi (x_{n})$$,

і з виразу для цього функціоналу слідує, що

$$\ \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi (x)} = \int d^{4}y \frac{\delta W}{\delta J(y)}\frac{\delta J(y)}{\delta \Phi (x)} - \int d^{4}y \frac{\delta J(y)}{\delta \Phi (x)}\Phi (y) - J(x) =\left| \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)} = \Phi (x)\right| = -J(x)$$.

Далі наведений набір стандартних співвідношень.

$$\ \frac{\delta \Phi (x)}{\delta J(y)} = \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(y)\delta J(x)} = W_{yx}, \quad \frac{\delta J(x)}{\delta \Phi (y)} = -\frac{\delta^{2} \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi (y)\delta \Phi (x)} = -\Gamma_{yx}$$.

Правило заміни функціональної похідної у позначеннях виразу вище (визначення):

$$\ \frac{\delta}{\delta J(x)} = \delta^{J}_{x} = \int d^{4}y \frac{\delta^{2} W[J]}{\delta J(y)\delta J(x)}\delta^{\Phi}_{y} = W_{yx}\delta^{\Phi}_{y}, \quad \frac{\delta}{\delta \Phi (x)} = \delta^{\Phi}_{x} = -\Gamma_{xy}\delta^{J}_{y} \qquad (10)$$.

З цього правила слідує, що

$$\ \delta (x - y) = \frac{\delta \Phi (x)}{\delta \Phi (y)} = -\Gamma_{yz}\delta^{J}_{z}\Phi (x) = -\Gamma_{yz}W_{zx} \qquad (11)$$,

що каже про те, що $$\ \Gamma_{yz}, W_{zx}$$ є взаємно оберненими, причому цей результат залишається вірним і при зануленні всіх $$\ J(x)$$:

$$\ \int d^{4}z\Gamma_{2}(y,z)W_{2}(z,x) = -\delta (x - y)$$.

Перейдемо тепер до імпульсного простору за допомогою перетворення Фур'є (нормування для перетворення Фур'є наявне, але я його опускаю для зручності, бо у кінцевій відповіді воно не виникає):

$$\ \int d^{4}xd^{4}yd^{4}z e^{-i(p_{x}x + p_{y}y)}\Gamma_{2}(y,z)W_{2}(z,x) = \int d^{4}z\Gamma_{2}(p_{y}, z)W_{2}(z, p_{x}) = \left|\Gamma_{2}(p_{y}, z) = \int d^{4}p_{z}e^{ip_{z}z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})\right| = $$

$$\ \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z}) \int d^{4}ze^{ip_{z}z}W_{2}(z, p_{x}) = \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})W_{2}(-p_{z}, p_{x}) =_{right}= -\int d^{4}xd^{4}ye^{-i(p_{x}x + p_{y}y)}\delta (x - y) = -\delta (p_{x} + p_{y})$$.

Тепер треба згадати, що величини $$\ \Gamma_{n}, W_{m}$$ являються генеруючими елементами для діаграм $$\ S$$-матриці. Звідси слідує, що вони - трансляційно-інваріантні (тобто, можуть залежати лише від різниці аргументів). Це означає, що їх Фур'є-образи пропорційні дельта-функціям від суми аргументів (тобто, імпульси зберігаються). Отже,

$$\ \int d^{4}p_{z}\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})W_{2}(-p_{z}, p_{x}) = |\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z}) = \delta (p_{y} + p_{z})\Gamma_{2}(p_{y}, p_{z})| = \Gamma_{2}(p_{y}, -p_{y})W_{2}(p_{y}, p_{x}) = -\delta (p_{x} + p_{y})$$.

А оскільки $$\ W_{2}(p_{y}, p_{x}) $$ пропорційне $$\ \delta (p_{x} + p_{y})$$, то маємо

$$\ \Gamma_{2}(p, -p)W_{2}(p, -p) = -1$$.

Враховуючи тепер, що $$\ W_{2}$$ відповідає усім зв'язним діаграмам (див. підрозділ вище) другого порядку, можна записати її як

$$\ W_{2}(p, -p) = \frac{-i}{p^{2} - m^{2} - \Eta (p)}$$.

Звідси

$$\ \Gamma_{2}(p, -p) = i(p^{2} - m^{2} - \Eta (p))$$.

Залишається лише показати, що $$\ \Eta (p)$$ відповідає сильнозв'язним діаграмам. Щоб це побачити, достатньо розкласти $$\ W_{2}$$ в ряд по $$\ \Eta (p)$$:

$$\ W_{2}(p, -p) = -i \left( \frac{1}{p^{2} - m^{2}} + \frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}} + \frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}}\Eta (p)\frac{1}{p^{2} - m^{2}} + ...\right)$$.

Звідси і слідує твердження (для другого порядку) про те, що $$\ \Gamma_{2}(p, -p)$$ генерує незв'язні діаграми.

Використаємо аналогічний аргумент для трьоххвістки. Для цього візьмемо варіаційну похідну $$\ \frac{\delta }{\delta J(u)} = \delta_{u}^{J}$$ від $$\ (11)$$, користуючись $$\ (10)$$: отримаємо

$$\ 0 = \delta_{u}^{J}(\Gamma_{yz}W_{zx}) = -W_{zx}\delta_{u}^{J}\Gamma_{yz} - \Gamma_{yz}\delta_{u}^{J}W_{zx} = -W_{uzx}\Gamma_{yz} - W_{zx}W_{up}\delta_{p}^{\Phi}\Gamma_{yz} = -W_{uzx}\Gamma_{yz} - W_{zx}W_{uv} \Gamma_{vyz}$$.

Звідси отримуємо, що $$\ W_{uzx} = W_{xt}W_{uv}W_{yz}\Gamma_{vty}$$. Дійсно, при $$\ J = \Phi = 0$$ маємо

$$\ \int d^{4}zd^{4}vW_{zx}W_{uv}\Gamma_{vyz} = -\int d^{4}vd^{4}\tau d^{4}zd^{4}t W_{zx}W_{uv}\Gamma_{v\tau t}W_{\tau z}\Gamma_{yz} = \left| \int d^{4}z\Gamma_{yz}W_{\tau z} = -\delta (y - \tau )\right| = $$

$$\ = \int d^{4}v d^{4}t d^{4}\tau W_{zx}W_{uv}\Gamma_{v\tau t}\delta (y - \tau ) = \int d^{4}vd^{4}t W_{zx}W_{uv}\Gamma_{vyt}$$,

тобто, отримана рівність.

Це означає, що $$\ W_{uzx}$$ являє собою ядро $$\ \Gamma_{vty}$$, до якого прикріплені три зв'язні двохвістки $$\ W_{xt}, W_{uv}, W_{yz}$$; іншими словами, $$\ \Gamma_{vty}$$ - сильнозв'язне ядро.

Аналогічним чином доводиться, що всі ядра $$\ \Gamma $$ відповідають сильнозв'язним діаграмам.

Фізичний зміст генеруючого функціоналу для сильнозв'язних діаграм
В силу рівності

$$\ \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi_{s} (x)} = -J_{s}(x)$$

маємо, що

$$\ \left( \frac{\delta \Gamma [\Phi ]}{\delta \Phi_{s} (x)} \right)_{J = 0} = 0 \qquad (12)$$.

Це означає, що $$\ \Gamma$$ є ефективною дією у тому сенсі, що можливі значення полів $$\ \Phi_{s}$$ за відсутності струмів $$\ J_{s}$$ задаються стаціонарними "точками" $$\ \Gamma $$. Таким чином, вираз $$\ (12)$$ відповідає рівнянню руху для $$\ \Phi_{s}$$ із урахуванням квантових поправок.

Окрім того, $$\ \Gamma$$ має зміст енергії. Дійсно, розглянемо включення струму $$\ J^{n}(\mathbf x, t)$$, який плавно зростає від нуля при $$\ t \to -\infty $$ до деякого сталого значення $$\ J^{n}(\mathbf x )$$, лишаючись постійним на протязі деякого довгого проміжку часу $$\ T$$, а потім плавно зануляється на $$\ t \to \infty$$. Вплив такого збурення на факуум полягає у переході вакуумного стану у стан із визначеною енергією $$\ E[J_{n}]$$, який зберігається протягом часу $$\ T$$, після чого знову переходить у вакуумний стан, який відповідає початковому. Проте він має накручену фазу, що відповідає $$\ e^{iE[J_{n}]T}$$, тому

$$\ \langle out |in \rangle_{J} = e^{-iE[J_{n}]T} \qquad (13)$$.

Оскільки цей вираз відповідає генеруючому функціоналу для усіх фейнманівських діаграм $$\ Z[J]$$, а він пов'язаний із генеруючим функціоналом для зв'язних діаграм як $$\ Z[J] = e^{iW[J]}$$, то маємо, що

$$\ W[J_{n}] = -E[J_{n}]T$$.

Можна припустити, що $$\ E[J_{n}]$$ є найнижчим значенням енергії в присутності струму, оскільки перехід від вакуумного стану до даного стану із енергією $$\ E[J_{n}]$$ є плавним. Тому для визначення зв'язку енергії та ефективної дії $$\ \Gamma$$ треба знайти зв'язок цієї дії із середнім значенням енергії

$$\ \langle \hat{H} \rangle_{\Omega} = \frac{\langle \Omega |\hat{H} | \Omega \rangle}{\langle \Omega | \Omega \rangle }$$,

причому шукається стан $$\ \Omega_{\varphi}$$, який мінімізує енергію, поле $$\ \Phi_{n}(\mathbf x, t)$$ має середнє значення, що на залежить від часу, $$\ \frac{\langle \Omega|\Phi_{n}(\mathbf x , t) | \Omega \rangle}{\langle \Omega |\Omega \rangle} = \psi_{n}(\mathbf x)$$, і для зручності обрана умова $$\ \langle \Omega |\Omega \rangle = 1$$.

Для цього треба шукати мінімум величини

$$\ \langle \Omega |\hat{H} | \Omega \rangle - \alpha \langle \Omega | \Omega \rangle - \int d^{3}\mathbf x \beta^{n}(\mathbf x )\langle \Omega |\Psi_{n}(\mathbf x)| \Omega \rangle $$.

Звідси

$$\ \hat{H} |\Omega \rangle = \alpha | \Omega \rangle + \int d^{3}\mathbf x \beta^{n}(\mathbf x )\langle \psi_{n}(\mathbf x ) \qquad (14)$$.

Порівнюючи цей вираз із ($$\ \Psi_{J}$$ - нормований стан)

$$\ (\hat{H} - \int d^{3}\mathbf x J^{n}(\mathbf x )\langle \psi_{n}(\mathbf x ))| \Psi_{J_{n}}\rangle  = E[J_{n}]\Psi_{J_{n}}$$,

який виражає наявність власного стану із енергією $$\ E[J_{n}]$$, можна дійти висновку, що $$\ \alpha = E[J], \beta^{n}(\mathbf x ) = J^{n}(\mathbf x), \Omega = \Psi_{J_{n}}$$.

Підставляючи це у $$\ (14)$$ і беручи скалярний добуток із $$\ \langle \Psi_{J_{n}}| $$, отримуємо

$$\ \langle \hat{H}\rangle_{\Omega} = E[J_{n}] + \int d^{3}\mathbf x J^{n}(\mathbf x ) \varphi_{n}(\mathbf x) = -\frac{1}{T} W[J_{n}] + \frac{1}{T}\int d^{4}x J^{n}(\mathbf x ) \varphi_{n}(\mathbf x ) = -\frac{1}{T}\Gamma [\varphi ] $$,

що і доводить початкове твердження.

Симетрії ефективної дії
Можна показати, що якщо класична дія $$\ I[\varphi ]$$ (поля $$\ \varphi $$ - довільні) і міра інтегрування $$\ D \varphi $$ інваріантні відносно перетворень виду

$$\ \varphi^{n} (x) \to \varphi^{n}(x) + \varepsilon F^{n}[\varphi, x] \qquad (15)$$,

то ефективна дія $$\ \Gamma [\varphi ]$$ інваріантна відносно перетворення

$$\ \varphi^{n} (x) \to \varphi^{n}(x) + \varepsilon \langle F^{n}(x)\rangle_{J^{n}} \qquad (16)$$,

де $$\ \langle \rangle_{J}$$ - усереднення в присутності джерела $$\ J$$.

Дійсно, для генеруючого функціоналу маємо (в силу, як завжди, трансляційної інваріантності)

$$\ Z[J ]{'} = \int D\varphi {'}^{iI[\varphi ] + i\int d^{4}x \varphi^{n} (x){'}J_{n}(x)} = Z[J] + i\varepsilon \int D \varphi \int d^{4}x F^{n}[\varphi, x]J_{n}(x)e^{iI[\varphi ] + i \int d^{4}x\varphi^{n}J_{n}} = Z[J] \Rightarrow $$

$$\ \int D \varphi \int d^{4}x F^{n}[\varphi, x]J_{n}(x)e^{iI[\varphi ] + i \int d^{4}x\varphi^{n}J_{n}} = Z[J]\int d^{4}x\langle F^{n}[x]\rangle_{J}J_{n}(x) = 0$$.

В силу визначення ефективної дії, $$\ J^{n}(x) = -\left(\frac{\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi^{n}(x)}\right)_{\varphi = 0}$$, звідки

$$\ -\int d^{4}x\langle F^{n}[x]\rangle_{J}J_{n}(x) = \int d^{4}x\langle F^{n}[x]\rangle_{J} \left(\frac{\delta \Gamma [\varphi ]}{\delta \varphi^{n}}\right)_{\varphi = 0} = 0$$,

що і означає інваріантність відносно перетворень $$\ (16)$$.

Якщо перетворення $$\ (15)$$ являються лінійними, то $$\ (16)$$ з ними співпадають. Дійсно, для лінійних перетворень

$$\ F^{n}[\varphi, x] = s(x) + \int d^{4}yt^{n}_{\ m}(x, y)\varphi^{m}(y)$$.

Відповідно (нормування усереднення по джерелу дорівнює одиниці),

$$\ \langle F^{n}[x]\rangle_{J} = s(x) + \int d^{4}x t^{n}_{m}(x,y)\langle \varphi^{m}(y) \rangle_{J} = s(x) + \int d^{4}x t^{n}_{m}(x,y)\varphi^{m}(y) = F^{n}[\varphi^{n}, x]$$,

що і доводить інваріантність ефективної дії відносно $$\ (15)$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$