Закон збереження енергії

Повернутися до розділу "Закони збереження".

Процедура виведення законів збереження (без лагранжевого формалізму) є досить штучною, оскільки потребує відповідного введення величин, яке не є очевидним. Нехай введено два вирази:

$$\ W = \frac{\mathbf E^{2} + \mathbf B^{2}}{8 \pi}, \quad \mathbf P = \frac{c}{4 \pi}[\mathbf E \times \mathbf B ]$$.

Без теореми Нетер їх можна отримати, лише "навмання" використовуючи різні операції із рівняннями Максвелла. Отже, у даному розділі можна обмежитись їх безпосереднім введенням. Аналогічно - з їх фізичним змістом. Проте при встановленні законів збереження їх фізичний зміст може бути встановлений доволі очевидним шляхом, тому ці викладки навести треба.

Також треба знати важливу "фільтруючу" властивість дельта-функції:

$$\ \int \limits_{-\infty}^{\tau}\delta_{\varepsilon}(t)f(t)dt = f(0) (\tau > 0)$$.

Закон збереження енергії
Можна обчислити похідну від величини $$\ W$$ по часу, використовуючи рівняння Максвелла:

$$\ \frac{\partial W}{\partial t} = \frac{1}{8 \pi}\left( 2\mathbf E \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} + 2\mathbf B \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \right) = \left|\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = c[\nabla \times \mathbf B] - 4 \pi \mathbf j, \quad \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} = -c[\nabla \times \mathbf E ]\right| = $$

$$\ = \frac{1}{4 \pi}\left( c(\mathbf E\cdot [\nabla \times \mathbf B ]) - 4 \pi (\mathbf j \cdot \mathbf E ) - c (\mathbf B \cdot [\nabla \times \mathbf E ]) \right) \qquad (.1)$$.

Взявши дивергенцію від величини $$\ \mathbf P$$ (при урахуванні того, що оператор "набла" діє на обидва вектори векторного добутку) і підставивши її у $$\ (.1)$$, можна отримати:

$$\ (\nabla \cdot \mathbf P) = \frac{c}{4 \pi}(\nabla \cdot [\mathbf E \times \mathbf B ]) = \frac{c}{4 \pi}(\mathbf B \cdot [\nabla \times \mathbf E ]) - \frac{c}{4 \pi}(\mathbf E \cdot [\nabla \times \mathbf B ]) \Rightarrow \frac{\partial W}{\partial t} = -(\nabla \cdot \mathbf P ) - (\mathbf j \cdot \mathbf E ) \Rightarrow \frac{\partial W}{\partial t} + (\nabla \cdot \mathbf P ) + (\mathbf j \cdot \mathbf E ) = 0$$.

Оскільки у даному виразі фігурує оператор "набла", то доцільно взяти інтеграл по об'єму від нього, тим самим використавши теорему Гаусса:

$$\ \frac{\partial }{\partial t}\int \limits_{V}WdV + \int \limits_{V}(\mathbf j \cdot \mathbf E )dV = -\int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S ) \qquad (.2)$$.

Використавши визначення густини струму для випадку системи точкових зарядів,

$$\ \mathbf j = \sum_{i}\mathbf v_{i} \delta (\mathbf r - \mathbf r_{i})q_{i}$$,

та те, що інтеграл від дельта-функції по всьому об'єму рівен одиниці,

$$\ \int \limits_{V} \delta (\mathbf r - \mathbf r_{i})d^{3} \mathbf r = 1$$,

вираз $$\ (.2)$$ можна спростити:

$$\ \frac{\partial }{\partial t}\int \limits_{V}WdV + \sum_{i}q_{i}(\mathbf v_{i} \cdot \mathbf E (\mathbf r_{i} )) = -\int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S ) \qquad (.3)$$.

Окрім того, у розділі "Сила у СТВ" сторінки "Теорія відносності" було показано, що $$\ \frac{\partial E_{k}}{\partial t} = (\mathbf F \cdot \mathbf v ) $$. Якщо використати метод самоузгодженого поля (поля діють на заряди, що створюють ці поля) для сили Лоренца, то дане співвідношення набуде вигляду

$$\ \frac{\partial E_{k}}{\partial t} = q (\mathbf v \cdot \mathbf E) + \frac{q}{c}(\mathbf v \cdot [\mathbf v \times \mathbf B ] ) = q (\mathbf v \cdot \mathbf E)$$.

Отже, накінець, вираз $$\ (.3)$$ буде мати вигляд

$$\ \frac{\partial }{\partial t}\left( \int \limits_{V} W dV + \sum_{i}E_{k} \right) = -\int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S ) \qquad (.4)$$.

Другий доданок відповідає за сумарну кінетичну енергію усіх зарядів, в той час як перший, як слідує із виразу і інтерпретації другого доданку, відповідає за сумарну енергію поля. Сама ж величина $$\ W$$, відповідно до своєї розмірності, відповідає густині енергії електромагнітного поля.

Якщо на нескінченності відносно вибраного початку координат значення напруженості електричного та індукції магнітного полів прямують до нуля, а заряди зосереджені у кінцевій ділянці простору, то інтеграл від правої частини у $$\ (.4)$$ рівен нулю. Дійсно, якщо значення полів на нескінченності зменшуються швидше, ніж за законом $$\ \frac{1}{r}$$, то при інтегруванні в сферичних координатах поверхневий інтеграл набуде вигляду $$\ \int \frac{r^{2}}{r^{2 + \varepsilon }}drd\theta $$, де $$\ \varepsilon $$ - величина відхилення від степені 2. Наприклад, для точкових зарядів $$\ |[\mathbf E \times \mathbf B ]| = f\left(\frac{1}{r^{4}}\right)$$ і, отже, на нескінченності інтеграл від цього виразу рівен нулю. Тоді величина зліва зберігається із часом.

З $$\ (.4)$$ також слідує інтерпретація поверхневого інтегралу $$\ \int \limits_{S}(\mathbf P \cdot d \mathbf S)$$ і величини $$\ \mathbf P$$. Вираз-інтеграл відповідає за потік енергії електромагнітного поля через поверхню, а $$\ \mathbf P$$ - за густину потоку енергії поля, що покидає об'єм через поверхню, обмежену поверхнею $$\ S$$, і називається вектором Пойнтінга.