Калібрувально-інваріантна теорія Дірака

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Теорія взаємодії діраківських ферміонів із електромагнітним полем
Можна отримати взаємодію діраківських біспінорів із електромагнітним, побудувавши теорію калібрувально-інваріантного біспінорного поля.

Лагранжіан вільних ферміонів

$$\ L_{0} = \bar {\Psi}(\gamma^{\mu}i\partial_{\mu} - m)\Psi $$

інваріантний відносно підстановки $$\ \psi \to e^{i\alpha}\psi, \bar {\psi } \to e^{-i\alpha }\bar {\psi}$$, що перевіряється просто "в лоб". Відповідний струм, як було отримано, рівен

$$\ J^{\mu} = \bar {\Psi }\hat {\gamma}^{\mu}\Psi$$.

Його можна зробити калібрувально-інваріантним. Підстановка $$\ \Psi \to e^{i\alpha (x)}\Psi, \bar {\Psi } \to e^{-i\alpha (x)}\bar {\Psi}$$ призведе до модифікації

$$\ L_{0}{'} = e^{-i\alpha (x)}\bar {\Psi} (\gamma^{\mu}i\partial_{\mu} - m) e^{i\alpha (x)}\Psi = L_{0} - e^{-i\alpha (x)}\bar {\Psi}\gamma^{\mu}(\partial_{\mu}\alpha) e^{i \alpha (x)}\Psi = L_{0} - J^{\mu}(\partial_{\mu}\alpha )$$.

Якщо подовжити похідну,

$$\ \partial_{\mu} \to D_{\mu} = \partial_{\mu} - iqA_{\mu}$$,

і одразу накласти на поле $$\ A_{\mu}$$ калібрувальну умову $$\ A_{\mu } \to A_{\mu} + \frac{1}{q}(\partial_{\mu}\alpha )$$, то можна отримати

$$\ L = \bar {\Psi}\left( \gamma^{\mu} i \partial_{\mu} + q\gamma^{\mu}A_{\mu} + \gamma^{\mu}(\partial_{\mu }\alpha) - m\right) \Psi - J^{\mu}(\partial_{\mu}\alpha ) = L_{0} + qJ^{\mu}A_{\mu}$$.

Тепер, аналогічно до випадку із комплексним скалярним полем, можна додати лагранжіан для вільного електромагнітного поля. Тоді, нарешті,

$$\ L = L_{0} + qJ^{\mu}A_{\mu} + \frac{1}{16 \pi}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} = \bar {\Psi}(\gamma^{\mu}i\partial_{\mu} - m)\Psi + qJ^{\mu}A_{\mu} - \frac{1}{16 \pi}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu}$$.

На відміну від випадку скалярного поля, відсутній член виду

$$\ q^{2}A^{\mu}A_{\mu}\Psi \bar {\Psi}$$,

а отже, взаємодіючі частинки-ферміони "не змінюють своєї маси".

Рівнянням поля на біспінор $$\ \Psi$$ є, вочевидь,

$$\ \frac{\partial L}{\partial \bar {\Psi} } = 0 \Rightarrow (\gamma^{\mu}i\partial_{\mu} + q\gamma^{\mu}A_{\mu} - m)\Psi = 0 \qquad (.1)$$.

Тензор енергії-імпульсу відповідає виразу (функція $$\ \varphi $$ стосується як до біспінорних полів, так і до електромагнітного 4-потенціалу)

$$\ T^{\mu}_{\nu} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\varphi )}\partial_{\nu}\varphi - \delta^{\mu}_{\nu}L = i\bar {\Psi}\gamma^{\mu}\partial_{\nu}\Psi + \frac{1}{4 \pi}F^{\mu \gamma}\partial_{\nu}A_{\gamma} + \frac{1}{16 \pi}\delta^{\mu}_{\nu}F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} - \delta^{\mu}_{\nu}\bar {\Psi }\left(i\gamma^{\alpha}\partial_{\alpha} - m + q\gamma^{\alpha}A_{\alpha}\right)\Psi -\delta^{\mu}_{\nu}\frac{1}{16 \pi}F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta} = $$

$$\ = i\bar {\Psi}\gamma^{\mu}\partial_{\nu}\Psi + \frac{1}{4 \pi}F^{\mu \gamma}\partial_{\nu}A_{\gamma}$$,

де другий та третій доданок другої рівності відповідають тензору енергії-імпульсу вільного електромагнітного поля, а четвертий доданок рівен нулю в силу виконання рівняння $$\ (.1)$$.

Зарядове спряження
У розділі про дискретні симетрії на біспінорних представленнях було показано, що оператор зарядового спряження

$$\ \hat {C}\Psi = i\gamma_{2}\Psi^{*} = i\gamma_{2}\gamma_{0}\bar {\Psi}^{T} = \hat {U}\bar {\Psi}^{T}$$.

залишає рівняння Дірака інваріантним. Таким чином, для вільної діраківської частинки існує виродження по зарядовим ступеням вільності, тобто $$\ \Psi, \Psi_{c}$$ описують одну і ту саму частинку. Проте виродження знімається для випадку наявності електромагнітного поля. Це можна показати.

Взявши рівняння $$\ (.1)$$,

$$\ (\gamma^{\mu}i\partial_{\mu} + q\gamma^{\mu}A_{\mu} - m)\Psi = 0$$,

ермітово зпрягши його (врахувавши при цьому властивість $$\ (\gamma^{\mu})^{+} = \gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0}$$),

$$\ -i\partial_{\mu}\Psi^{+}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0} + q\Psi^{+}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0}A_{\mu} - m\Psi^{+} =0$$,

та домноживши на $$\ \gamma^{0}$$ зправа, можна отримати рівняння для спряженого діраківського спінора:

$$\ i\partial_{\mu}\bar {\Psi} \gamma^{\mu} - q\bar {\Psi} \gamma^{\mu}A_{\mu} + m\bar {\Psi} = 0$$.

Транспонувавши його та домноживши зліва на матрицю $$\ i\gamma_{2}\gamma_{0}$$, можна отримати

$$\ -\gamma_{2}\gamma_{0}(\gamma^{\mu})^{T}\partial_{\mu}\bar {\Psi}^{T} - qi\gamma_{2}\gamma_{0}(\gamma^{\mu})^{T} \bar {\Psi}^{T}A_{\mu} + mi \gamma_{2}\gamma_{0}\bar {\Psi}^{T} = 0 $$.

Ввівши у третьому доданку $$\ \Psi^{c} = i \gamma_{2}\gamma_{0}\bar {\Psi}^{T}$$ та представивши біспінори у першому та другому доданках як $$\ \bar {\Psi}^{T} = i\gamma_{0}\gamma_{2}i\gamma_{2}\gamma_{0}\bar {\Psi}^{T} = \hat {U}^{-1}\Psi^{c}$$,

можна отримати

$$\ i \hat {U}(\gamma^{\mu})^{T}\hat {U}^{-1}\Psi^{c} - q\hat {U}(\gamma^{\mu})^{T}\hat {U}^{-1}\Psi^{c}A_{\mu} + m\Psi^{c} = 0$$.

"В лоб" перевіряється, що $$\ \hat {U}(\gamma^{\mu})^{T}\hat {U}^{-1} = -\gamma^{\mu}$$.

Тому, нарешті,

$$\ i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi^{c} + q\gamma^{\mu}\Psi^{c}A_{\mu} - m\Psi^{c} = 0$$.

Видно, що рівняння для $$\ \Psi^{c}$$ переходить у рівняння для $$\ \Psi$$ при $$\ q \to -q$$.