Симетрії. Вектори Кіллінга

Повернутися до розділу "Основи загальної теорії відносності".

Вектори Кіллінга та їх зв'язок із симетріями
Симетрія системи - властивість інваріантності рівнянь, що описують систему, відносно заданого перетворення. За допомогою симетрій значно полегшується розв'язок задач класичної електродинаміки у плоскому просторі-часі, спеціальної теорії відносності тощо: знаходження нетерівських струмів дозволяє значно спростити розв'язки динамічних диференціальних рівнянь. Проте у цих теоріях метрика є відомою, тому відомо як переходити до систем координат, у яких визначаються вирази, що дають симетрію. У ЗТВ ж основним рівнянням є рівняння на невідому метрику. Це означає, що не можна навіть знайти систему координат, у якій визначається властивість симетрії. Таким чином, у ЗТВ пошук і застосування симетрій є складнішим. Він Грунтується на побудові коваріантного виразу, який визначає симетрію і, таким чином, не залежить від системи координат.

Для найбільш прикладного характеру викладок одразу можна стартувати із інфінітезимальних перетворень виду

$$\ x{'}^{\mu} = x^{\mu} + \kappa \varepsilon^{\mu}, \quad | \kappa | << 1 \qquad (.1)$$,

де $$\ \varepsilon^{\mu}$$ - вектор, що відповідає досліджуваній симетрії.

Нехай метричний тензор є формінваріантним відносно таких перетворень, чим і визначається дана симетрія:

$$\ g_{\mu \nu}(x) = g{'}_{\alpha \beta}(x')\frac{\partial x{'}^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial x{'}^{\beta}}{\partial x^{\nu}}$$.

Тоді це ж співвідношення після підстановки виразу $$\ (.1)$$ та збереження першого параметру малості по параметру $$\ \kappa $$ набуде вигляду

$$\ g_{\mu \nu} = \partial_{\mu}(x^{\alpha} + \kappa \varepsilon^{\alpha})\partial_{\nu}(x^{\beta} + \kappa\varepsilon^{\beta})g_{\alpha \beta} (x + \kappa \varepsilon ) \approx (\delta^{\alpha}_{\mu} + \kappa \partial_{\mu}\varepsilon^{\alpha})(\delta^{\beta}_{\nu} + \kappa \partial_{\nu}\varepsilon^{\beta})(g_{\alpha \beta} + \kappa \varepsilon^{\delta}\partial_{\delta} g_{\alpha \beta}) \approx $$

$$\ \approx g_{\mu \nu} + \kappa g_{\alpha \nu}\partial_{\mu} \varepsilon^{\alpha} + \kappa g_{\mu \beta}\partial_{\nu} \varepsilon^{\beta} + \kappa \varepsilon^{\delta}\partial_{\delta} g_{\mu \nu} \Rightarrow g_{\alpha \nu}\partial_{\mu} \varepsilon^{\alpha} + g_{\mu \beta}\partial_{\nu} \varepsilon^{\beta} + \varepsilon^{\delta}\partial_{\delta} g_{\mu \nu} = 0$$,

або, вводячи коваріантні вектори $$\ \varepsilon_{\mu} = g_{\mu \nu}\varepsilon^{\nu}$$,

$$\ g_{\alpha \nu}\partial_{\mu} \varepsilon^{\alpha} + g_{\mu \beta}\partial_{\nu} \varepsilon^{\beta} + \varepsilon^{\delta}\partial_{\delta} g_{\mu \nu} = \partial_{\mu}\varepsilon_{\nu} - \varepsilon^{\alpha}\partial_{\mu}g_{\alpha \nu} + \partial_{\nu} \varepsilon_{\mu} - \varepsilon^{\beta}\partial_{\nu}g_{\beta \mu} + \varepsilon^{\delta}\partial_{\delta} g_{\mu \nu} = \partial_{\mu} \varepsilon_{\nu} + \partial_{\nu} \varepsilon_{\mu} - 2\varepsilon^{\alpha}\Gamma_{\alpha \mu \nu} = D_{\mu}\varepsilon_{\nu} + D_{\nu}\varepsilon_{\mu} = 0 \qquad (.2)$$.

Дане рівняння називається рівнянням Кіллінга. Воно дозволяє замість пошуку ізометричних симетрій знаходити вектори $$\ \varepsilon^{\mu}$$, що називаються векторами Кіллінга. Будь-яка лінійна комбінація векторів Кіллінга також є вектором Кіллінга, тому існує простір векторних полів, натягнутих на вектори Кіллінга, причому цей простір визначає всі інфінітезимальні ізометрії метрики.

Властивості векторів Кіллінга
Важливою є властивість

$$\ D_{\gamma}D_{\beta}\varepsilon_{\gamma} = R_{\sigma \gamma \beta \alpha}\varepsilon^{\sigma}$$.

Для її доведення можна спочатку використати визначення рівняння Кіллінга, продиференціювавши його:

$$\ D_{\gamma}(D_{\beta} \varepsilon_{\alpha} + D_{\alpha} \varepsilon_{\beta}) = 0$$.

Додавши три таких індентичні вирази, можна отримати

$$\ D_{\gamma}D_{\beta} \varepsilon_{\alpha} + D_{\gamma}D_{\alpha} \varepsilon_{\beta} - D_{\alpha}D_{\gamma}\varepsilon_{\beta} - D_{\alpha}D_{\beta}\varepsilon_{\alpha} + D_{\beta}D_{\alpha}\varepsilon_{\gamma} + D_{\beta}D_{\gamma}\varepsilon_{\alpha} = 0$$.

Використовуючи означення тензору кривини через комутатор коваріантних похідних,

$$\ [D_{\gamma}, D_{\alpha}]\varepsilon_{\beta} = R^{\sigma}_{\beta \alpha \gamma}\varepsilon_{\sigma} = R_{\sigma \beta \alpha \gamma}\varepsilon^{\sigma}$$,

останній вираз можна перетворити, переписавши другий, третій та четвертий, шостий доданки через тензор кривини:

$$\ D_{\gamma}D_{\beta} \varepsilon_{\alpha} + D_{\beta} D_{\gamma} \varepsilon_{\alpha} = R_{\delta \beta \gamma \alpha} \varepsilon^{\delta} + R_{\delta \gamma \beta \alpha } \varepsilon^{\delta}$$.

Перепишемо тепер

$$\ D_{\beta}D_{\gamma}\varepsilon_{\alpha} = D_{\gamma}D_{\beta}\varepsilon_{\alpha} + R_{\sigma \alpha \gamma \beta}\varepsilon^{\sigma}$$.

Тоді попередній вираз набуде вигляду

$$\ 2D_{\gamma}D_{\beta}\varepsilon^{\alpha} + R_{\sigma \alpha \gamma \beta}\varepsilon^{\sigma} - R_{\delta \beta \gamma \alpha} \varepsilon^{\delta} - R_{\delta \gamma \beta \alpha } \varepsilon^{\delta} = 0$$.

Тепер можна використати тотожність Б'янкі:

$$\ R_{\sigma \alpha \gamma \beta} = -R_{\sigma \beta \alpha \gamma} - R_{\sigma \gamma \beta \alpha}$$.

В результаті,

$$\ 2D_{\gamma}D_{\beta}\varepsilon^{\alpha} - R_{\sigma \beta \alpha \gamma}\varepsilon^{\sigma} - R_{\sigma \gamma \beta \alpha}\varepsilon^{\sigma} - R_{\sigma \gamma \beta \alpha}\varepsilon^{\sigma} - R_{\sigma \beta \gamma \alpha} \varepsilon^{\sigma} = 0 \Rightarrow D_{\gamma}D_{\beta}\varepsilon^{\alpha} = R_{\sigma \gamma \beta \alpha}\varepsilon^{\sigma}$$,

де використана властивість антисиметрії по індексам тензора кривини.

Наведена властивість означає, що знаючи величини $$\ \varepsilon_{\mu}, D_{\mu}\varepsilon_{\nu}$$, можна знайти вирази для $$\ D_{\alpha}D_{\beta}\varepsilon_{\gamma}$$, а також - для похідних будь-якого іншого порядку.

Це означає, що будь-який $$\ k$$-тий вектор Кіллінга може бути представлений в околі деякої точки Х виразом

$$\ \varepsilon^{k}_{\rho} = A^{\lambda}_{\rho}(x, X) \varepsilon_{\lambda}^{k} + B^{\lambda \nu}_{\rho}(x, X) D_{\nu}\varepsilon^{k}_{\lambda} \qquad (.3)$$,

де функції $$\ A, B$$ не залежать від вектора Кілланга та його похідних.

Тепер можна встановити кількість лінійно незалежних векторів Кіллінга. Звичайно, чим більше векторів Кіллінга, тим більше симетрій є у метрики. Проте можна встановити максимально можливу кількість векторів. Отже, вектори Кіллінга є лінійно незалежними, якщо

$$\ \sum_{i}a_{i}\varepsilon^{i}_{\mu} = 0, \qquad a_{i} = const$$.

Враховуючи вираз $$\ \qquad (.3)$$, можна стверджувати, що існує не більше ніж $$\ \frac{N(N + 1)}{2}$$ незалежних векторів Кіллінга в N-вимірному просторі. Дійсно, нехай є m векторів $$\ \varepsilon^{n}_{\mu}$$. Для них є $$\ N$$ векторів $$\ \varepsilon^{n}_{\mu}(X) $$ та $$\ \frac{N(N - 1)}{2}$$ (відповідно до $$\ (.2)$$) векторів $$\ D_{\mu}\varepsilon^{n}_{\nu}(X)$$. Ці два набори величин можна вважати компонентами m векторів в $$\ \frac{N(N + 1)}{2}$$-векторному просторі. Тоді, звичайно, якщо $$\ M > \frac{N(N + 1)}{2}$$, то вектори не можуть бути лінійно незалежними. Це і доводить твердження.

Далі можна довести ще одну теорему, пов'язану із векторами Кіллінга: при руху по геодезичній, $$\ D_{\tau} p^{\mu} = 0 $$, є постійною величина $$\ p_{\mu}\varepsilon^{\mu} = const$$.

Дійсно,

$$\ \frac{d(p_{\mu}\varepsilon^{\mu})}{d \lambda} = p^{\nu}D_{\nu}(p_{\mu}\varepsilon^{\mu}) = \varepsilon_{\mu}p^{\nu}D_{\nu}p^{\mu} + p^{\mu}p^{\nu}D_{\nu}\varepsilon_{\mu} = \varepsilon_{\mu}p^{\nu}D_{\nu}p^{\mu} = 0$$,

де у третій рівності використано рівняння Кіллінга, а у останній - рівняння геодезичних.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Максимально симетричні простори
Доповнюється.

Перед розглядом поняття максимально симетричних просторів треба розглянути визначення однорідності та ізотропності метричного простору.

Метричний простір є однорідним, якщо існує перетворення $$\ (.1)$$, що задовольняє $$\ (.2)$$ і яке переводить дану точку X в будь-яку іншу точку з околу Х. Це означає, що метрика простору допускає існування векторів Кіллінга, які приймають будь-які значення в будь-якій даній точці.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$