Застосування теореми Нетер

Повернутися до розділу "Теорема Нетер".

Тензор енергії-імпульсу
Можна розглянути перетворення, що пов'язані з паралельними переносами у просторі і часі та не заторкають функції полів (таким чином, функції полів є інваріантними відносно цих паралельних переносів):

$$\ x^{\nu} \to x^{'\nu} = x^{\nu} + \omega^{\nu}, \quad \Psi{'}_{k}(x') = \Psi_{k}(x)$$.

Відповідно до цього функції $$\ X^{\nu}_{\alpha}, Y_{k, \alpha}$$ рівні

$$\ X^{\nu}_{\alpha} = \frac{\partial (x^{\nu} + \omega^{\nu})}{\partial \omega^{\alpha}} = \delta^{\nu}_{\alpha}, \quad Y_{k, \alpha} = 0$$.

Тоді нетерівський струм

$$\ J^{\mu}_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha} - \left[ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\nu}\Psi_{k} - \delta^{\mu}_{\nu}L\right] X^{\nu}_{\alpha}$$

буде мати вигляд

$$\ J^{\mu}_{\alpha} = -\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\nu}\Psi_{k}\delta^{\nu}_{\alpha} - \delta^{\mu}_{\nu}\delta^{\nu}_{\alpha}L \right) = -\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\alpha}\Psi_{k} - \delta^{\mu}_{\alpha} L \right)$$.

Такий вираз з точністю до знаку співпадає з виразом для тензора енергії-імпульса. Таким чином, збереження енергії-імпульсу пов'язано з симетрією відносно паралельних переносів у просторі-часі. Іншими словами, енергія-імпульс системи зберігаються, якщо вона знаходиться у однорідному просторі-часі. Варто зазначити, що теорема Нетер є локальною. Наприклад, це означає, що вигляд залежності $$\ \omega_{\mu} = \omega_{\mu}(x_{\nu})$$ у рамках теореми Нетер неважливий. Проте для отримання виразу для тензора енергії-імпульсу через інтегральне формулювання дії,

$$\ S' = \int L(\varphi_{\beta }(x'_{\mu}), \partial_{\nu}\varphi_{\beta}(x'_{\nu}))d^{4}x'$$,

важливо врахувати, що $$\ \omega_{\mu}$$ залежить від $$\ x_{\nu}$$, оскільки таке формулювання пов'язане з інтегруванням по всьому простору.

Тензор моменту імпульсу та спіну
Дія, а отже - і рівняння руху, повинні бути інваріантними по відношенню до перетворень Лоренца. Матриця перетворення Лоренца інтерпретується, як було показано у розділі "Перетворення Лоренца" статті "СТВ", як повороти у 4-вимірному псевдоевклідовому просторі-часі, які змішують просторові і часові координати. Ці перетворення включають у себе перетворення, пов'язані із переходом до нової ІСВ. У більш загальному випадку треба врахувати також обертання координатних вісей. Це означає, що матриця переходу

$$\ \Lambda^{\nu}_{\mu}, \quad x'^{\nu} = \Lambda^{\nu}_{\mu}x^{\mu}$$,

залежить від шести параметрів: $$\ v_{x}, v_{y}, v_{z}, \varphi_{x}, \varphi_{y}, \varphi_{z}$$.

Якщо перетворення відбуваються при нескінченно малих значеннях компонент відносної швидкості та кутів повороту, матрицю перетворяння можна розкласти в ряд біля околу одиничної матриці до лінійних по всім параметрам доданків:

$$\ \Lambda^{\nu}_{\mu} = \delta^{\nu}_{\mu} + w^{\nu}_{\mu}$$,

де $$\ w^{\nu}_{\mu}$$ - величини, що лінійно залежать від параметрів перетворень Лоренца.

Такий лілійний розклад повинен задовільняти умові інваріантності скалярного добутку, а отже,

$$\ x'^{\nu}x'_{\nu} = (x^{\nu} + w^{\nu}_{\mu}x^{\mu})(x_{\nu} + x_{\lambda \mu}x^{\lambda}) = x^{\nu}x_{\nu} + w^{\nu}_{\mu}x^{\mu}x_{\lambda} + w_{\nu \lambda}x^{\lambda}x^{\nu} = x^{\nu}x_{\nu} \qquad (.1)$$.

Враховуючи, що для скаляра $$\ A^{\alpha}B_{\alpha} = A_{\alpha}B^{\alpha}$$, можна отримати, що

$$\ w^{\nu}_{\mu}x^{\mu}x_{\nu} = w_{\nu \mu}x^{\mu}x^{\nu} = w_{\nu \lambda}x^{\nu} x^{\lambda}$$.

Тоді з $$\ (.1)$$ можна отримати, що

$$\ 2w_{\nu \lambda}x^{\nu} x^{\lambda} = 0$$.

Сукупність величин $$\ x^{\nu} x^{\lambda}$$ утворюють симетричний тензор другого рангу. Згортка цього тензора з тензором $$\ w_{\nu \lambda}$$ буде рівна нулю, крім тривіального випадку, лише тоді, коли тензор $$\ w_{\nu \lambda}$$ - антисиметричний.

Така інваріантність дії, згідно до теореми Нетер, буде відповідати інваріантному струму. Замість величини $$\ X^{a}_{b} = \frac{\partial f^{a}}{\partial w^{b}}$$ треба писати $$\ X^{\nu}_{\alpha \beta}$$, оскільки $$\ w^{\alpha} -> w^{\alpha \beta}$$.

Тоді, в силу антисиметрії отриманого тензора,

$$\ X^{\nu}_{\alpha \beta} = \frac{\partial (x^{\nu} + w^{\nu \mu}x_{\mu})}{\partial w^{\alpha \beta}} = \delta^{\nu}_{\alpha}x_{\beta} - \delta^{\nu}_{\beta}x_{\alpha} \qquad (.2)$$,

де один індекс $$\ i$$ фіксується $$\ x_{i}$$, а інший, $$\ j$$ - символом Кронекера $$\ \delta^{a}_{j}$$.

Використовуючи

$$\ J^{\mu}_{\alpha \beta} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha \beta} - T^{\mu}_{\nu}X^{\nu}_{\alpha}$$

та $$\ (.2) $$, струм можна записати, з опущенням індексу $$\ \mu$$ як

$$\ J^{\mu, \alpha \beta} = \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha \beta} - T_{\mu \nu}(\delta^{\nu}_{\alpha}x_{\beta} - \delta^{\nu}_{\beta}x_{\alpha}) = \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha \beta} + x_{\alpha}T_{\mu \beta} - x_{\beta}T_{\mu \alpha} = S_{\mu, \alpha \beta} + L_{\mu, \alpha \beta} \qquad (.3)$$,

де перший доданок називається спіновим моментом поля, а другий - кутовим моментом оберту поля. Назва для першого обумовлена лише тим, що в нього не входять явно координати, а назва другого - тим, що його компоненти подібні до компонент моменту імпульса.

У електродинаміці $$\ Y_{\nu, \alpha \beta}$$, аналогічно до перетворень координат (перетворення для польових функцій здійснюються за допомогою тієї ж матриці Лоренцевого перетворення), рівна

$$\ Y^{\nu,}_{ \alpha \beta} = \delta^{\nu}_{\alpha}A_{\beta} - \delta^{\nu}_{\beta}A_{\alpha} \Rightarrow Y_{\nu, \alpha \beta} = g_{\nu \alpha}A_{\beta} - g_{\nu \beta}A_{\alpha} \qquad (.4)$$.

Тоді, із урахуванням $$\ (.4)$$, спіновий момент поля із $$\ (.3)$$ можна буде записати (метричний тензор підніме індекс $$\ \alpha$$ у похідній від лагранжіана) як

$$\ S_{\nu, \alpha \beta} = \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}A_{\alpha})}A_{\beta} - \frac{\partial L}{\partial (\partial^{\mu}A_{\beta})}A_{\alpha} \qquad (.5)$$.

Тензор моменту імпульсу частинок. Збереження повного моменту імпульсу
За означенням, момент імпульса точкової частинки із 3-імпульсом $$\ \mathbf p $$ відносно точки із радіус-вектором $$\ \mathbf r$$ рівен

$$\ L = [\mathbf r \times \mathbf p ]$$.

Із компонент момента імпульса можна утворити 4-тензор моменту-імпульса:

$$\ L^{\mu \nu} = x^{\mu} p^{\nu} - x^{\nu}p^{\mu}$$.

Тоді тензором моменту імпульса частинок буде сума

$$\ L^{\mu \nu} = \sum_{\alpha}(x_{\alpha}^{\mu} p_{\alpha}^{\nu} - x_{\alpha}^{\nu}p_{\alpha}^{\mu})$$,

а повним тензором моменту імпульсу частинок та поля - вираз

$$\ L^{\mu \nu} = \frac{1}{c}\int (x^{\mu}T^{\nu \alpha} - x^{\nu}T^{\mu \alpha})dS_{\lambda} + \sum_{\alpha}(x_{\alpha}^{\mu} p_{\alpha}^{\nu} - x_{\alpha}^{\nu}p_{\alpha}^{\mu})$$,

де перший доданок відповідає тензору кутового моменту поля, кожна з компонент якого інтегрується по гіперповерхні $$\ S_{\lambda}: x^{0} = const$$. Дійсно, кожна з компонент тензора енергії-імпульсу має розмірність густини імпульса, помноженої на константу с (це очевидно, якщо згадати визначення вектора Пойнтінга). Тоді інтеграл

$$\ \frac{1}{c}\int (x^{\mu}T^{\nu 0} - x^{\nu}T^{\mu 0})d^{3}x$$

відповідає компонентам вектора моменту імпульсу поля.

Якщо розподілення частинок у просторі неперервне, то другий доданок можна записати у вигляді

$$\ L^{\mu \nu} = \frac{1}{c}\int (x^{\mu}\Tau^{\nu \lambda} - x^{\nu}\Tau^{\mu \lambda})dS_{\lambda}$$,

де $$\ \Tau$$ - тензор енергії-імпульсу частинок.

При наявності частинок, а отже, і струмів, зберігається саме сума цих двох величин. Дійсно, збереження такого інтегралу відповідає збереженню підінтегральної функції. А отже, достатньо згорнути повний тензор кутового моменту, що стоїть під знаком інтегралу, з коваріантною похідною. Наприклад, для електромагнітного поля, користуючись симметричністю тензорів енергії-імпульсу частинок, уже доведеними виразами

$$\ \partial_{\nu}T^{\mu \nu} = F^{\mu \alpha }j_{\alpha}, \quad \partial_{\nu}\Tau^{\mu \nu} = -F^{\mu \alpha}j_{\alpha}$$,

а також - тим, що при взятті частинних похідних

$$\ \partial_{\mu}x^{\nu} = \delta^{\nu}_{\mu}$$,

можна отримати:

$$\ \partial_{\lambda}(x^{\mu} T^{\nu \lambda} - x^{\nu}T^{\mu \lambda} + x^{\mu}\Tau^{\nu \lambda} - x^{\nu} \Tau^{\mu \lambda}) = \delta^{\mu}_{\lambda}T^{\nu \lambda} - \delta^{\mu}_{\lambda}T^{\nu \lambda} + \delta^{\mu}_{\lambda}\Tau^{\nu \lambda} - \delta^{\nu}_{\lambda}\Tau^{\mu \lambda} = \left( -x^{\mu}F^{\nu \alpha} + x^{\nu}F^{\mu \alpha} + x^{\mu}F^{\nu \alpha} - x^{\nu}F^{\mu \alpha}\right)j_{\alpha} = 0$$.

З отриманого доведення нескладно бачити, що за відсутності струмів тензор кутового моменту поля зберігається сам по собі.