Розв'язок рівняння Дірака

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Побудова розв'язку рівняння Дірака
Оскільки рівняння Дірака - лінійне, то за допомогою методу Фур'є можна шукати розв'язок у вигляді

$$\ \Psi (\mathbf r, t) = \int \Psi (\mathbf p , t)e^{i (\mathbf p \cdot \mathbf r)}d^{3}\mathbf p$$,

де $$\ \Psi (\mathbf p, t)$$ - деякий біспінор.

Підстановка у рівняння Дірака цього виразу дає

$$\ i \frac{\partial \Psi (\mathbf p, t)}{\partial t} = (-i(\alpha , \nabla ) + \beta m)\int \Psi (\mathbf p , t)e^{i (\mathbf p \cdot \mathbf r)}d^{3}\mathbf p = ((\alpha \cdot \mathbf p) + \beta m)\Psi(\mathbf p , t)$$.

Нехай далі

$$\ \Psi (\mathbf p, t) = u(\mathbf p )e^{-i \lambda t}$$.

Тоді рівняння спроститься до

$$\ \lambda u (\mathbf p ) = ((\alpha, \mathbf p) +\beta  m) u (\mathbf p )$$.

Оскільки (розв'язок будується у діраківському представленні)

$$\ u (\mathbf p ) = \begin{pmatrix} \varepsilon_{\mathbf p} \\ \theta_{\mathbf p} \end{pmatrix}, \quad \hat {\gamma}_{0} = \begin{pmatrix} \hat {E} & \hat {0} \\ \hat {0} & - \hat {E} \end{pmatrix}, \quad \hat {\gamma}_{i} = \begin{pmatrix} \hat {0} & \hat {\sigma } \\ - \hat {\sigma } & \hat {0} \end{pmatrix}, \quad \hat {\alpha}_{i} = \hat {\gamma}_{0}\hat {\gamma}_{i} = \begin{pmatrix} \hat {0} & \hat {\sigma }_{i} \\ \hat {\sigma }_{i} & \hat {0} \end{pmatrix}$$,

то, перейшовши від біспінорного запису до спінорного, можна отримати систему

$$\ (\lambda - m)\varepsilon_{\mathbf p} = (\hat {\sigma }, \mathbf p )\theta_{\mathbf p}, \quad (\lambda + m)\theta_{\mathbf p} = (\hat {\sigma }, \mathbf p )\varepsilon_{\mathbf p} \qquad (.1)$$.

Друге рівняння можна помножити на $$\ (\hat {\sigma }, \mathbf p)$$, підставивши до нього перше рівняння (і використовуючи тотожність $$\ (\hat {\sigma }, \mathbf p)(\hat {\sigma }, \mathbf p) = \mathbf p^{2} $$ із підрозділу про кватерніони):

$$\ (\lambda + m)(\hat {\sigma }, \mathbf p )\theta_{\mathbf p} = (\lambda^{2} - m^{2})\varepsilon_{\mathbf p} =_{right} = (\hat {\sigma }, \mathbf p )^{2}\varepsilon_{\mathbf p} = \mathbf p^{2}\varepsilon_{\mathbf p}$$.

Звідси $$\ \mathbf p^{2} = \lambda^{2} - m^{2} \Rightarrow \lambda = \pm \sqrt{\mathbf p ^{2} + m^{2}} = \pm \epsilon_{\mathbf p}$$.

Тому загальний розв'язок може бути записаний як сума розв'язків, кожен з яких відповідає своєму $$\ \lambda $$:

$$\ \Psi (\mathbf r, t) = \int \left(u_{1}(\mathbf p )e^{i (-\epsilon_{\mathbf p} t + (\mathbf p \cdot \mathbf r))} + u_{2}(\mathbf p )e^{i (\epsilon_{\mathbf p} t + (\mathbf p \cdot \mathbf r ))}\right)d^{3}\mathbf p = \int \left(u_{1}(\mathbf p )e^{-ipx} + u_{2}(\mathbf p )e^{i (\lambda t + (\mathbf p \cdot \mathbf r ))}\right)d^{3}\mathbf p$$,

де $$\ p = (\epsilon_{\mathbf p}, \mathbf p )$$.

Якщо у другому доданку зробити заміну $$\ \mathbf p \to -\mathbf p$$, то, як уже було написано у розділі про скалярне поле, в силу симетричності меж інтегрування останні не зміняться, степінь експоненти згорнеться у $$\ ipx$$, і тоді

$$\ \Psi (\mathbf r, t) = \int \left(u_{1}(\mathbf p )e^{-ipx} + u_{2}(-\mathbf p )e^{ipx}\right)d^{3}\mathbf p \qquad (.2)$$.

Можна обмежити явний вигляд амплітуд $$\ u_{1, 2}(\mathbf p )$$. Для цього треба використати систему $$\ (.1)$$. Виразивши із її другого рівняння $$\ \theta_{\mathbf p }$$, підставивши перед цим $$\ \lambda = \sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} = \epsilon_{\mathbf p} $$, а із першого, після підстановки $$\ \lambda = -\sqrt{\mathbf p^{2} + m^{2}} = -\epsilon_{\mathbf p }, \mathbf p \to -\mathbf p$$, спінор $$\varepsilon_{\mathbf p}$$, можна отримати, що

$$\ u_{1}(\mathbf p ) = \begin{pmatrix} \varepsilon_{\mathbf p} \\ \frac{(\mathbf p \hat {\sigma })}{\epsilon + m}\varepsilon_{\mathbf p} \end{pmatrix}, \quad u_{2}(-\mathbf p ) = \begin{pmatrix} \frac{(\mathbf p \hat {\sigma })}{\epsilon + m}\theta_{-\mathbf p } \\ \theta_{-\mathbf p } \end{pmatrix} \qquad (.3)$$.

Біспінори $$\ u_{1}(\mathbf p ), u_{2}(\mathbf p )$$ можна записати через власні вектори матриці $$\ (\hat {\sigma}\frac{\mathbf p}{p}) = (\hat {\sigma}\mathbf n )$$. Тому, розкладаючи амплітуди $$\ (.3)$$ по власним векторам $$\ w^{(s)}$$ матриці

$$\ (\mathbf p \hat {\sigma }) = |\mathbf p |(\mathbf n \hat {\sigma }) = \sqrt{\epsilon_{\mathbf p }^{2} - m^{2}}(\mathbf n \hat {\sigma })$$

як

$$\ \varepsilon_{\mathbf p } = \frac{\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}}{\sqrt{(2 \pi)^{3}2 \epsilon_{\mathbf p}}}a_{s}(\mathbf p )w^{(s)}, \quad \theta_{-\mathbf p } = \frac{\sqrt{\epsilon_{\mathbf p } + m}}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2 \epsilon_{\mathbf p }}}b_{s}^{*} (\mathbf p )w^{(s)}$$,

вираз $$\ (.2)$$ можна переписати:

$$\ \Psi (\mathbf r, t) = \int \left( \begin{pmatrix} \varepsilon_{\mathbf p} \\ \frac{(\mathbf p \hat {\sigma })}{\epsilon + m}\varepsilon_{\mathbf p} \end{pmatrix}e^{-ipx} + \begin{pmatrix} \frac{(\mathbf p \hat {\sigma })}{\epsilon + m}\theta_{-\mathbf p } \\ \theta_{-\mathbf p } \end{pmatrix}e^{ipx}\right)d^{3}\mathbf p = \int \left( a_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}\begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p } + m}w^{(s)} \\ s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p } - m}w^{(s)} \end{pmatrix} + b_{s}^{*}(\mathbf p)e^{ipx}\begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p } - m}w^{(s)} \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p } + m}w^{(s)} \end{pmatrix} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}} = $$

$$\ = \int \left( a_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}A_{s, \mathbf p } + b_{s}^{*}(\mathbf p)e^{ipx}B_{s, \mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{(2 \pi )^{3}2\epsilon_{\mathbf p}}}$$,

де величини

$$\ A_{s, \mathbf p}e^{-ipx } = \psi_{+}, \quad B_{s, \mathbf p }e^{ipx} = \psi_{-}$$

називаються біспінорними хвилями.

Властивості біспінорних хвиль
1. Біспінорні хвилі задовольняють рівнянню Дірака,

$$\ \left( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu } - m\hat {\mathbf E}\right)\psi_{\pm} = 0$$,

і співвідношенням

$$\ \left( \gamma^{\mu}p_{\mu} - m\right)A_{s, \mathbf p } = 0, \quad \left( \gamma^{\mu}p_{\mu} + m\right)B_{s, \mathbf p } = 0$$.

2. Умова ортогональності для біспінорних хвиль $$\ A_{s, \mathbf p}, B_{s, \mathbf p}$$.

З урахуванням явних виразів для $$\ A_{s, \mathbf p}, B_{s, \mathbf p}$$, умови ортогональності $$\ {w^{(s)}}^{+}w^{(s')} = \delta_{ss'}$$ і того, що при інверсії $$\ \mathbf p \to -\mathbf p$$ власне число змінюється як $$\ s \to -s (s^{2} = 1)$$, можна отримати

$$\ A^{+}_{s, \mathbf p}A_{s', \mathbf p} = \begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}{w^{(s)}}^{+} & s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}{w^{(s)}}^{(+)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}w^{(s)} \\ s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}w^{(s)}  \end{pmatrix} = 2\epsilon_{\mathbf p }\delta_{ss'} = B^{+}_{s, \mathbf p}B_{s', \mathbf p} \qquad (.4)$$,

$$\ A_{s, \mathbf p}^{+}B_{s', -\mathbf p} = \begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}{w^{(s)}}^{+} & s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}{w^{(s)}}^{(+)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}w^{(s)} \\  \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}w^{(s)} \end{pmatrix} = B_{s, \mathbf p}^{+}A_{s', -\mathbf p} = 0 \qquad (.5)$$.

3. Можна показати, що вектори $$\ A_{s, \mathbf p}, B_{s, \mathbf p}$$ мають такі властивості (сума по поляризаціям):

$$\ \sum_{s}A_{s, \mathbf p} \bar {A}_{s, \mathbf p} = \gamma_{\mu}p^{\mu} + m, \quad \sum_{s}B_{s, \mathbf p} \bar {B}_{s, \mathbf p} = \gamma_{\mu}p^{\mu} - m$$.

У цьому нескладно переконатися. Дійсно, якщо використати явний вигляд для, наприклад, $$\ B_{s, \mathbf p}$$,

$$\ B_{s, \mathbf p} = \begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}w^{(s)} \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}w^{(s)} \end{pmatrix} \Rightarrow \bar {B}_{s, \mathbf p} = \begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}(w^{(s)})^{+} & -\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}(w^{(s)})^{+} \end{pmatrix}$$,

то при взятті суми можна отримати

$$\ \sum_{s}B_{s, \mathbf p} \bar {B}_{s, \mathbf p} = \sum_{s}\begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}w^{(s)} \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}w^{(s)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}(w^{(s)})^{+} & -\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m}(w^{(s)})^{+} \end{pmatrix} = |\sqrt{\epsilon^{2}_{\mathbf p} - m^2} = p| = $$

$$\ = \sum_{s}\begin{pmatrix} (\epsilon_{\mathbf p} - m)w^{(s)}(w^{(s)})^{+} & -s p w^{(s)}(w^{(s)})^{+} \\ spw^{(s)}(w^{(s)})^{+} & -(\epsilon_{\mathbf p} + m)w^{(s)}(w^{(s)})^{+} \end{pmatrix}$$.

Тепер треба врахувати, що $$\ s p w^{(s)} = (\sigma \cdot \mathbf p ) w^{(s)}$$ і що сума $$\ \sum_{s}w^{(s)}(w^{(s)})^{+} = \hat {\mathbf E}$$ (це справедливо в силу того, що $$\ w^{(s)}$$ утворюють повний базис; при бажанні рівність перевіряється "в лоб"). Тому

$$\ \sum_{s}B_{s, \mathbf p} \bar {B}_{s, \mathbf p} = \begin{pmatrix} \epsilon_{\mathbf p} - m & -(\sigma \cdot \mathbf p ) \\ (\sigma \cdot \mathbf p ) & -(\epsilon_{\mathbf p} + m) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \epsilon_{\mathbf p} & 0 \\ 0 & -\epsilon_{\mathbf p} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & (\sigma \cdot \mathbf p ) \\ -(\sigma \cdot \mathbf p ) & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & m \end{pmatrix} = \gamma^{\mu}p_{\mu} - m$$.

Рівність для $$\ A_{s, \mathbf p}$$ перевіряється аналогічно.

4. Справедливим є співвідношення $$\ \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} = 2p^{\mu}\delta_{ss'}$$.

Дійсно,

$$\ \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} = \frac{1}{m}\bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}\partial^{\alpha}p_{\alpha}A_{s', \mathbf p} =|[\gamma_{\alpha}, \gamma_{\beta}]_{+} = 2g_{\alpha \beta}| = \frac{2p^{\mu}}{m}\bar{A}_{s, \mathbf p}A_{s', \mathbf p} - \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\alpha}p_{\alpha}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} = $$

$$\ |\bar {A}_{\mathbf p}(\gamma^{\mu}p_{\mu} - m) = 0, \bar{A}_{s, \mathbf p}A_{s', \mathbf p} = 2m\delta_{ss'}| = 4p_{\mu}\delta_{ss'} - \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} \Rightarrow \bar{A}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}A_{s', \mathbf p} = 2p^{\mu}\delta_{ss'} $$.

Тут були використані рівняння $$\ (\gamma^{\mu}p_{\mu} - m)A_{s, \mathbf p} = 0$$ (його було ермітово спряжено і домножено на $$\ \gamma_{0}$$) і явний вигляд $$\ A_{s, \mathbf p}$$ для доведення співвідношення $$\ \bar{A}_{s, \mathbf p}A_{s', \mathbf p} = 2m\delta_{ss'}$$ (див. п. 2, 3).