Стандартна модель

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Від теорії Фермі до електрослабких взаємодій і далі
Даний розділ є феноменологічним, проте відновити викладки по матеріалу є дуже простою річчю.

Побудова Стандартної моделі може бути виконана із вимоги унітарності на найнижчому рівні (без петель) теорії збурень. Історично першою моделлю, яка описувала слабкі взаємодії між лептонами, була модель Фермі:

$$\ L = \frac{G_{F}}{\sqrt{2}}\bar{e}\gamma^{\mu}\nu_{e} \bar{\nu}_{e}\gamma_{\mu}e \qquad (A)$$.

Тут $$\ G_{F}$$ - константа Фермі, яка має розмірність $$\ \frac{1}{E^{2}} $$.

Це, вочевидь, означає, що теорія не є перенормовною. Більше того, вона є неунітарною на найнижчому рівні при розрахунку електрон-нейтринного розсіяння: розмірність константи Фермі дає як результат зростання матричного елемента як квадрату по енергії частинок (квадратична розбіжність). Виявляється, що унітарність у процесі лептонного розсіяння можна відновити, якщо вважати $$\ (A)$$ наближенням до взаємодії через масивний заряджений бозон спіну 1; цьому відповідає лагранжіан

$$\ L = g\bar{e}\gamma^{\mu}W_{\mu}\nu_{e} + h.c., \quad \frac{g^{2}}{m_{W}^{2}4\sqrt{2}} = G_{F}$$.

Пропагатор цього (див. у кінці підрозділу) масивного поля містить доданок $$\ \frac{p_{\mu}p_{\nu}}{m^{2}}$$, тобто "приховану" розмірну константу. Це, звісно, означає, що проблеми з унітарністю нікуди не ділися. Натомість перейшли від суто ефективної теорії $$\ (A)$$ (справедливої лише на малих масштабах) до "менш" ефективної.

Далі вводиться взаємодія $$\ W$$-бозона з фотоном. Вона робиться не просто звичайним подовженням похідної у лагранжіані вільного W-бозона; для скорочення лідуючої розбіжності (по $$\ E^{2}$$) у процесі $$\ W^{-}W^{+} \to \gamma \gamma$$, що описується, відповідно до вигляду лагранжіану, однією діаграмою з 4-ма вершинами і двома діаграмами (з точністю до перестановки імпульсів фотонів співпадають одна з одною) через W-бозонний пропагатор, додається член $$\ -iq_{W}W_{\mu}W_{\nu}F^{\mu \nu}$$. Цей доданок, втім, не знищує всі розбіжності у найнижчому порядку теорії збурень. Наприклад, 4-W-бозонне розсіяння $$\ W^{-}W^{-} \to W^{-}W^{-}$$ будуть розбіжності порядку $$\ E^{4}$$. Процес $$\ e^{+}e^{-} \to W^{-}W^{+}$$, який описується двома діаграмами (через фотонний пропагатор та W-бозонний) має розбіжність порядку $$\ E$$.

Для уникнення цих розбіжностей вводять нові частинки так, що до суми діаграм "розбіжних" процесів додаються нові діаграми за участю пропагаторів цих частинок. Можливими кандидатами є скалярний бозон без заряду $$\ \sigma $$, заряджений ферміон спіну $$\ \frac{1}{2}$$, векторний бозон спіну 1 без заряду $$\ Z_{\mu}$$. Як можна показати, останній і другий варіант скорочують лідуючі (!) розбіжності у багатьох процесах, проте другий варіант має наслідком масу ферміона, що є меншою ніж та, що спостерігається на експерименті. Окрім того, він не дозволяє так звані "нейтральні" струми, які характеризуються фазовою інваріантністю (наприклад, для бозону без заряду $$\ Z_{\mu}$$ струм $$\ \bar{e}\gamma^{\mu}Z_{\mu}e$$ є нейтральним, а струм $$\ \bar{e}\gamma^{\mu}W_{\mu}e$$ - зарядженим. Варіант зі скалярним полем скорочую наступні за порядком після лідуючих розбіжності. Проте як само у лагранжіан вводять взаємодію електронів, нейтрино, W-бозонів із $$\ Z, \sigma $$-бозонами, а також - взаємодію $$\ Z$$-бозонів із $$\ \sigma $$? І чи є самодія у $$\ \sigma, W, Z$$? Насамперед, приймаючи до уваги бажану перенормовність теорії (див. найперше посилання) і вимогу унітарності, розмірність константи взаємодії взаємодій цих полів одне з одним повинна бути більшою або рівною одиниці (і ніяк не меншою). Тому набір можливих доданків взаємодії у лагранжіані є обмеженим. Він прямо визначається розмірністю полів, яка напряму визначається із лагранжіану вільних полів. Наприклад, лагранжіан спінорних полів $$\ L = \bar{\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi $$ має мати розмірність 4 по енергії (див. найбільш феноменологічні міркування тут. А оскільки похідна має розмірність 1 по енергії, то поля ферміонів мають розмірність $$\ \frac{3}{2}$$. Отже, єдино "можливою" взаємодією із полями розмірності 1 (це - всі введені бозонні частинки є) взаємодія $$\ \bar{\psi} \gamma^{\mu}A_{\mu}\Psi, \bar{\Psi}\Psi \sigma $$.

Наприклад, для взаємодії $$\ W, \sigma$$ із вищенаведених міркувань можливі наступні доданки: $$\ g_{WW\sigma} W^{2}\sigma + g_{WW \sigma \sigma}W^{2}\sigma^{2} + g_{ZZ\eta}Z^{2}\eta + g_{ZZ\eta \eta}Z^{2}\eta^{2}$$ (аналогічно - і для $$\ Z, \sigma$$). Взаємодія $$\ W, Z$$ вже описується складніше: $$\ g_{1}W^{2}Z^{2} + g_{2}(W^{+} \cdot Z)(W^{-} \cdot Z)$$. Для самодії полів можна написати наступні вирази (плюс ермітово спряжені): $$\ G_{1}(W^{+})^{2}(W^{+})^{2} + G_{2}(W^{-} \cdot W^{+})^{2} + G_{3}Z^{4} + G_{4}\sigma^{4} + G_{5}\sigma^{3}$$. Також можна написати контактні члени взаємодії $$\ W, Z, A$$: $$\ A_{1}(W^{-}\cdot W^{+})(A \cdot Z) + A_{2}(W^{-} \cdot A)(W^{+} \cdot Z)$$.

Наступним етапом є введення взаємодії ферміонів із нововведеними частинками. Перед цим варто сказати, що експеримент (експеримент Ву) показав, що із $$\ W$$-бозоном взаємодіють лише ліві ферміони $$\ l_{L} = \frac{1 - \gamma_{5}}{2}l$$; праве нейтрино взагалі не взаємодіє ні з чим. У загальному випадку немає також ознак однакової взаємодії лівих і правих лептонів із $$\ Z-$$бозонами. Тому із $$\ W$$-бозоном взаємодія буде мати вигляд $$\ \bar{e}_{L}\gamma^{\mu}W_{\mu}\nu^{L}_{e}$$, найбільш загальна взаємодія електрона із $$\ Z$$-бозоном має вигляд $$\ g_{L}\bar{e}_{L}\gamma^{\mu}Z_{\mu}e_{L} + g_{R}\bar{e}_{R}\gamma^{\mu}Z_{\mu}e_{R}$$, а з бозоном Хіггса - $$\ g_{ee \sigma} \bar{e}e \sigma$$.

Усі константи фіксуються із умови зникнення неунітарних вкладів у процеси найнижчих порядків. Наприклад, з процесів $$\ e^{-}e^{+} \to W^{-}W^{+}, e^{-}\bar{\nu}_{e} \to W^{-}Z$$ можна отримати вирази для $$\ g_{L}, g_{R} $$ і пов'язати маси $$\ W, Z$$-бозонів. Після цього при розрахунку амплітуди процесу $$\ e^{-}e^{+} \to ZZ$$ можна визначити константу $$\ g_{ZZ\sigma}$$. Константи $$\ G_{4}, G_{5}$$ самодії $$\ \sigma^{4}, \sigma^{3}$$ відповідно можна отримати із розрахунку для процесів $$\ ZZ \to \sigma \sigma \sigma, ZZ \to ZZ\sigma $$ відповідно.

Аналогічно можна додати взаємодію кварків із цими частинками. Треба лише врахувати, що специфіка кваркових взаємодій має наслідком перемішування масових станів у стані із визначеним зарядом кварку (детальніше усе буде розкрито у підрозділі нижче).

Отримана у результаті теорія виявляється Стандартною моделлю.

Електрослабка частина
Передумови до створення Стандартної моделі полягали в потребі мати теорію, яка описувала б усі експериментальні здобутки того часу, пов'язані із електричною та слабкою взаємодією. Перелічу ці здобутки.

1. При низьких енергіях слабкі взаємодії добре описуються сумою добутків векторних та аксіально-векторних струмів.

2. Електричний заряд, лептонні числа окремих поколінь та баріонні числа у електричних та слабких взаємодіях зберігаються.

3. Через слабку взаємодію взаємодіють нейтрино лише лівої спіральності (і антинейтрино лише правої спіральності).

4. Маса фотона дорівнює нулю (обмеження на масу фотона встановлюються шляхом вимірювання відхилення статичної взаємодії від закону Кулона), а маси переносників слабкої взаємодії нулю не дорівнюють. Останнє видно із того, що ефективна взаємодія Фермі містить розмірну константу порядку маси в квадраті, яка природнім чином виникає, коли знаменник пропагатора масивної частинки спіну 1 спрощують для випадку енергій, значно нижчих за масу частинки.

Перше твердження дозволяє припустити, що слабкі взаємодії також можуть бути описані через калібрувальну групу. Друге та третє твердження дозволяють одразу сказати, в які фундаментальні представлення відносно цієї калібрувальної групи об'єднуються відомі частинки: для лептонів це дублети, утворені лівими лептонами $$\ \frac{1}{2}(1 - \gamma_{5})l$$ та нейтрино, та синглети, утворені правими лептонами. Вкупі зі збереженням електричного заряду (що відповідає наявності локально інваріантних перетворень по групі $$\ U(1)$$) це означає, що повна калібрувальна група повинна представлятися як прямий добуток $$\ SU(2)\times U(1)$$, або, більш точно, $$\ SU_{L}(2)\times U_{L}(1)\times U_{R}(1)$$. Четверте твердження означає, що "слабка" частина цієї групи спонтанно порушена. При цьому непорушеною залишається група $$\ U_{Y}(1)$$, яка є підгрупою $$\ SU_{L}(2)\times U_{L}(1)\times U_{R}(1)$$, пов'язаною із генератором електричного заряду, що конструюється із генераторів повної групи. Це дозволяє об'єднати електричну та слабку константи зв'язку.

Враховуючи те, що для включення взаємодії матерії із калібрувальними бозонами треба подовжувати похідну, $$\ \partial_{\mu} \to D_{\mu} = \partial_{\mu} - i\sum_{s}\frac{g_{s}}{2}\tau^{s}_{i}A^{i, s}_{\mu}$$ (тут s - сума по представленням калібрувальних груп; у нашому випадку - $$\ SU(2), U(1)$$), а також - додавати у лагранжіан "вільний доданок",

$$\ -\sum_{s}(\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a})^{s}, \quad F_{\mu \nu}^{a}= \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} - g c_{abc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}$$, (що на наочному прикладі SU(2)-теорії описано тут, а у загальному випадку - тут), а для генерації спонтанного порушення електрослабкої симетрії потрібно додавати дублет скалярних полів із лагранжіаном виду $$\ (2)$$, лагранжіаном для $$\ SU_{L}(2)\times U(1)$$-інваріантної теорії є

$$\ L = -\frac{1}{4}G_{\mu \nu}^{a}G^{\mu \nu}_{a} -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} + |D^{\varphi}_{\mu}\varphi |^{2} - \frac{\lambda^{2}}{4}(|\varphi |^{2} - v^{2})^{2} + $$

$$\ + i\bar{L}_{l}\gamma^{\mu}D^{l}_{\mu}L_{l} + i\bar{R}_{l}\gamma^{\mu}(\partial_{\mu} - ig_{1}Y_{R}B_{\mu})R_{l} - G_{l}\left( (\bar{L}_{l}\varphi ) R_{l} + \bar{R}_{l} (\varphi^{\dagger} L_{l})\right) + L^{\varphi}_{Q} + (L^{\varphi}_{Q})^{\dagger} + i\bar{R}_{q}\gamma^{\mu}\left(\partial_{\mu} - \frac{ig_{1}}{2}B_{\mu} \right)R_{q} + i\bar{L}_{q}\gamma^{\mu}D_{\mu}L_{q} \qquad (1)$$.

Тут

$$\ D^{x}_{\mu} = \partial_{\mu} - \frac{ig}{2}\tau_{a}A^{a}_{\mu} - \frac{ig_{1}}{2}Y_{x}B_{\mu}, \quad F_{\mu \nu} = \partial_{\mu}B_{\nu} - \partial_{\nu}B_{\mu}, \quad G_{\mu \nu}^{a} = \partial_{\mu}A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a} + \varepsilon_{abc}A_{\mu}^{b}A_{\nu}^{c}, \quad L_{a} = \frac{1 - \gamma_{5}}{2}\begin{pmatrix} \nu_{l} \\ l\end{pmatrix}, \quad R = \frac{1 +\gamma_{5}}{2}l$$;

$$\ Y_{x}$$ - гіперзаряд, що пов'язаний із $$\ U_{Y}(1)$$ перетворенням поля $$\ x$$ як $$\ x(y) \to e^{iY_{x}\alpha(y)}x(y)$$;

$$\ l$$ - лептони (електрон, мюон чи таон; по $$\ l$$ - сума);

$$\ q$$ - кварки, причому дублети $$\ L_{l}$$ - це заряджений лептон та відповідне йому нейтрино $$\ L_{l} = \begin{pmatrix} \nu_{l}& l \end{pmatrix}_{L}$$, $$\ R_{l}$$ - синглети - виключно заряджені лептони;

$$\ L_{q} $$ - кваркові дублети ($$\ (u, d)_{L}, (c, s)_{L}, (t, b)_{L} $$), $$\ R_{q}$$ - кваркові синглети $$\ u_{R}, c_{R}, t_{L}, d_{R}, s_{R}, b_{R}$$;

$$\ \tau$$ - набір із трійки матриць Паулі, які є генераторами представлення групи $$\ SU(2)$$, $$\ \varphi = \begin{pmatrix} \varphi_{1} \\ \varphi_{2}\end{pmatrix}$$ - дублет скалярних комплексних полів, $$\ L_{Q}$$ - загальний вираз для кваркової взаємодії із дублетом скалярних полів, що має вигляд

$$\ L^{\varphi}_{Q} = -G_{ij}\begin{pmatrix} \bar{U}^{i}_{L} & \bar{D}^{i}_{L}\end{pmatrix}\varphi U^{j}_{R} - H_{ij}\begin{pmatrix} \bar{U}^{i}_{L} & \bar{D}^{i}_{L}\end{pmatrix}\tilde {\varphi}D^{j}_{R}, \quad \tilde{\varphi} = i\tau_{2}\varphi^{*}, \quad U = (u, c, t)^{T}, D = (d, s, b)^{T}$$.

Детальні пояснення про кваркову частину будуть дані у підрозділі про ферміонні маси.

З урахуванням явного вигляду матриць Паулі, доданок $$\ ig\tau_{a}A^{a}_{\mu} + ig_{1}Y_{x}B_{\mu} = i\hat{C}_{\mu}$$ можна записати як

$$\ \hat{C}_{\mu} = \begin{pmatrix} gA_{3} + g_{1}Y_{x}B_{3} && g(A_{1} - iA_{2}) \\ g(A_{1} + iA_{2}) && g_{1}Y_{x}B_{3} - gA_{3}\end{pmatrix}_{\mu} \qquad (2)$$.

Масові члени ферміонів не входять до $$\ (1)$$ у явному вигляді, оскільки типовий масовий член може бути поданий як

$$\ \bar{\psi}_{x}\psi_{x} = \bar{\psi}_{x}^{L}\psi_{x} + \bar{\psi}_{x}^{R}\psi_{x} = \bar{\psi}_{x}^{L}\psi^{R}_{x} + \bar{\psi}_{x}^{R}\psi^{L}_{x}$$.

Тут використано те, що

$$\ \bar{\psi}_{x}^{\pm} = (P_{\pm}\psi_{x})^{\dagger}\gamma_{0} = (P_{\pm}^{2}\psi_{x})^{\dagger}\gamma_{0} = (P_{\pm}\psi_{x})^{\dagger}P_{\pm}\gamma_{0} = \left|P_{\pm}\gamma_{0} = \gamma_{0}P_{\mp} \right| = (P_{\pm}\psi_{x})^{\dagger}\gamma_{0}P_{\mp}$$,

де $$\ P_{\pm} = \frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}, [\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0$$.

Отриманий вигляд для масового члену порушує калібрувальну інваріантність, оскільки $$\ \psi_{L}$$ перетворюється як дублет по калібрувальній групі $$\ SU_{L}(2)$$, а $$\ \psi_{R}$$ не має заряду. Через це у виразі $$\ (1)$$ присутні доданки юкавської взаємодії ферміонів із дублетом скалярних полів $$\ \varphi $$, що генерує маси калібрувально-інваріантним чино(див. підрозділ нижче)характеризує взаємодію бозона Хіггса із ферміоном.

Фіксування гіперзарядів
Щоб юкавські члени $$\ \bar{L}H R$$ були калібрувально-інваріантними, треба, щоб комбіноване $$\ SU_{L}(2)\times U_{Y}(1)$$-перетворення було інваріантним. Дублет лівих полів та хіггсівський дублет перетворюються по групі $$\ SU_{L}(2)$$ інваріантним чином, проте гіперзаряди не фіксовані із самого початку. Юкавські члени повинні мати нульовий гіперзаряд, що встановлює одну умову на три гіперзаряди лівого дублету, хіггсівського дублету та правого синглету:

$$\ -Y_{L} + Y_{\varphi} + Y_{R} = 0$$.

Ще дві умови слідують із відомих електричних зарядів синглету та дублету: маючи $$\ Q_{i} = \frac{I_{3} + Y_{i}}{2}$$ для дублету, $$\ Q_{j} = \frac{Y_{j}}{2}$$ для синглету, можна зафіксувати усі гіперзаряди.

Наприклад, електрон (звісно, лівий та правий) має заряд $$\ -1$$, звідки для лівої компоненти $$\ \frac{-1 + Y_{e}}{2} = -1 \Rightarrow Y_{e} = -1$$ (такій же величині рівний і нейтринний гіперзаряд), а для правої - $$\ \frac{Y_{e}}{2} = -1 \Rightarrow Y_{e} = -2$$. Умова на калібрувальну інваріантність синглету має тепер вигляд

$$\ 1 + Y_{\varphi} - 2 = 0 \Rightarrow Y_{\varphi} = 1$$.

Повністю аналогічно робиться із іншими лептонними поколіннями, і з кварковими поколіннями (із їхніми дробовими зарядами). Приймаючи до уваги, що $$\ Q_{u} = \frac{1}{3}, \quad Q_{d} = -\frac{2}{3}$$, можна отримати, що $$\ Y^{left}_{L_{q}} = -\frac{1}{6}, Y_{u} = \frac{2}{3}, Y_{d} = -\frac{1}{3}$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Бозонний сектор
Здійснимо зсув скалярного дублету на константу:

$$\ \varphi \to \tilde \varphi = \varphi + \begin{pmatrix} 0 \\ \eta \end{pmatrix}, \quad Im(\eta ) = 0$$.

Тоді член $$\ |D^{\varphi}_{\mu} \varphi |^{2}$$ зміниться на (використаний вираз $$\ (2)$$)

$$\ |D_{\mu} \varphi |^{2} \to |D_{\mu} \varphi |^{2} + \frac{\eta^{2}}{4}\begin{pmatrix} 0 && 1 \end{pmatrix}\hat{C}^{2}\begin{pmatrix} 0 \\ 1\end{pmatrix} + \eta \left[(\partial_{\mu}\varphi^{\dagger} - i\frac{1}{2}\varphi^{\dagger}\hat{C}_{\mu})\hat{C}^{\mu}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{i}{2}\begin{pmatrix} 0 && 1 \end{pmatrix}\hat {C}^{\mu}(\partial_{\mu} \varphi + \frac{i}{2}\hat {C}_{\mu} \varphi )\right] = $$

$$\ = |D^{\varphi}_{\mu}\varphi|^{2} + \frac{\eta^{2}g^{2}}{4}(A_{1}^{2} + A_{2}^{2}) + \frac{\eta^{2}}{4}(g_{1}B_{3} - gA_{3})^{2} + \eta \left[(\partial_{\mu}\varphi^{\dagger} - i\frac{1}{2}\varphi^{\dagger}\hat{C}_{\mu})\hat{C}^{\mu}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \frac{i}{2}\begin{pmatrix} 0 && 1 \end{pmatrix}\hat {C}^{\mu}(\partial_{\mu} \varphi + \frac{i}{2}\hat {C}_{\mu} \varphi )\right] \qquad (3)$$,

а член $$\ -\frac{\lambda^{2}}{4}(|\tilde {\varphi} |^{2} - v^{2})^{2}$$ можна подати у вигляді

$$\ -\frac{\lambda^{2}}{4}(|\tilde {\varphi} |^{2} - v^{2})^{2} = -\frac{\lambda^{2}}{16}(\Phi^{2} + \sigma^{2})^{2} - \frac{\lambda^{2}\eta}{2\sqrt{2}}\sigma (\Phi^{2} +\sigma^{2}) - \frac{\lambda^{2}\eta^{2}}{2}\sigma^{2} \qquad (4)$$,

де поле $$\ \varphi$$ було записане як

$$\ \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}\Phi_{1} + i\Phi_{2} \\ \sigma + i \Phi_{3}\end{pmatrix}, \quad \Phi^{2} = \Phi_{i}\Phi^{i}$$.

Оскільки лагранжіан $$\ (1)$$ інваріантний відносно калібрувальних перетворень групи $$\ SU(2) \times U(1)$$, то можна здійснити перетворення, зануливши три компоненти $$\ \Phi_{i}$$ (це означає, що ще залишився один параметр перетворення, оскільки $$\ SU(2) \times U(1)$$ має чотири незалежних параметри перетворення):

$$\ \varphi \to \hat{U}\varphi = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma \end{pmatrix}$$.

Тоді $$\ (4)$$ набуде вигляду

$$\ \frac{\lambda^{2}}{4}(|\tilde {\varphi} |^{2} - v^{2})^{2} \to -\frac{\lambda^{2}}{16}\sigma^{4} - \frac{\lambda^{2}\eta}{2\sqrt{2}}\sigma^{3} - \frac{\lambda^{2}\eta^{2}}{2}\sigma^{2} \qquad (5)$$,

а $$\ (3)$$ - вигляду

$$\ |D_{\mu} \tilde {\varphi} |^{2} \to |D_{\mu}\sigma |^{2} + \frac{\eta^{2}g^{2}}{4}(A_{1}^{2} + A_{2}^{2}) + \frac{\eta^{2}}{4}(g_{1}B - gA_{3})^{2} \qquad (6)$$,

де доданок, лінійний по $$\ \eta $$, зануляється в силу того, що у ньому перший доданок буде рівний другому при $$\ \Phi_{i} = 0$$.

Тепер здійснимо лінійну заміну

$$\ W^{\pm} = \frac{A_{1} \mp iA_{2}}{\sqrt{2}}, \quad B = \frac{1}{\sqrt{g^{2} + g_{1}^{2}} }(Ag - Zg_{1}), \quad A_{3} = \frac{1}{\sqrt{g^{2} + g_{1}^{2}}}(g_{1}A + gZ) \qquad (7)$$.

Після цього можна "діагоналізувати" другий доданок $$\ (6)$$:

$$\ |D_{\mu} \tilde {\varphi} |^{2} = |D_{\mu}\sigma |^{2} + \frac{\eta^{2}g^{2}}{2}|W|^{2} + \frac{\eta^{2}(g^{2} + g_{1}^{2})}{4}Z^{2} \qquad (8)$$.

Отже, що слідує із $$\ (5), (7), (8)$$? При спонтанному порушенню електрослабкої взаємодії і вказаному унітарному перетворенні дублет скалярних комплексних полів $$\ \varphi $$ (чотири ступені вільності) втрачає три ступені вільності; одна ступінь вільності, що залишилась, відповідає дійсному полю із масою $$\ m_{\sigma}^{2} = \lambda^{2}\eta^{2}$$. Натомість три з чотирьох безмасових полів групи $$\ SU(2)\times U(1)$$ (точніше, лінійні комбінації початкових полів, що входили до лагранжіану $$\ (1)$$; їх зв'язок з початковими полями дається $$\ (7)$$) набули маси

$$\ m_{W} = \frac{g\eta}{\sqrt{2}},  \quad m_{Z} = \frac{\sqrt{g^{2} + g_{1}^{2}}\eta}{\sqrt{2}} = \frac{m_{w}}{cos(\theta_{W})} $$,

де $$\ cos(\theta_{W}) = \frac{g}{\sqrt{g^{2} + g_{1}^{2}}}$$.

Кількість ступенів вільності залишилася незмінною. Одна компонента залишилася безмасовою. Математично це означає, що не використані усі параметри $$\ SU(2)\otimes U(1)$$ перетворення. Дійсно, поле $$\ \varphi \to U \varphi = \begin{pmatrix} 0 \\ \sigma \end{pmatrix}$$ є інваріантним відносно перетворення

$$\ \begin{pmatrix} e^{i\delta(x)} && 0 \\ 0 && 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ \sigma \end{pmatrix}$$,

яке є сумішшю $$\ SU(2)$$ і $$\ U(1)$$ перетворень. Фізично такий механізм порушення симетрії був обраний для того, щоб розв'язки рівнянь руху мали нетерівський інваріант - електричний заряд (нагадаю, що спонтанне порушення симетрії - порушення симетрії розв'язків, а не лагранжіану).

Маючи $$\ (1), (7)$$, можна пов'язати константи $$\ g$$ і $$\ e$$ (остання відповідає константі електричної взаємодії). Для цього зручно помітити, що $$\ (7)$$ можна подати як

$$\ \begin{pmatrix} A_{3}\\ B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} cos(\theta_{W}) && sin(\theta_{W})\\ -sin(\theta_{W}) && cos(\theta_{W}) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} Z\\ A\end{pmatrix}$$.

Переписуючи за допомогою цього виразу коваріантну похідну $$\ D_{\mu} = \partial_{\mu} - i\frac{g_{1}}{2}B_{\mu} - i\frac{g}{2}(\tau \cdot \mathbf A_{\mu})$$, можна отримати

$$\ D_{\mu} = \partial_{\mu} - iA_{\mu}\left(\frac{cos(\theta_{W})}{2}g_{1} + \tau_{3}g\frac{sin(\theta_{W})}{2}\right) - iZ_{\mu}\left(g_{1}\frac{sin(\theta_{W})}{2}- \tau_{3}\frac{cos(\theta_{W})}{2}g\right) - i\frac{g}{2\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 0 && W^{+}_{\mu} \\ W^{-}_{\mu} && 0\end{pmatrix} \qquad (9)$$.

Тепер легко отримати, що константа електромагнітної взаємодії рівна

$$\ e = g_{1}cos(\theta_{W}) = gsin(\theta_{W}) = \frac{gg_{1}}{\sqrt{g^{2} + g_{1}^{2}}}$$,

а електричний заряд Q - $$\ Q = \frac{1}{2}(1 + \tau_{3})$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Ферміонний сектор
Маси лептонів вводяться дуже просто: після перетворення, що занулює всі $$\ \varphi_{i}$$,

$$\ -G_{l}\left(\bar{L}^{l}\begin{pmatrix} 0 \\ \sigma + \eta \end{pmatrix}R + \bar{R} \begin{pmatrix} 0 && \sigma + \eta \end{pmatrix} \right) = \left| L_{l} = \begin{pmatrix} \nu_{l} \\ l \end{pmatrix}\right| = -G_{l}(\eta + \sigma ) (\bar{l}_{L}l_{R} + \bar{l}_{R} l_{L})$$.

Отже, лептонна маса дорівнює $$\ m_{l} = G_{l}\eta $$. Звичайно, механізм Хіггса ніяк не фіксує маси лептонів, оскільки $$\ \eta $$ - вільний параметр.

Тепер перейдемо до кварків. Нагадаю, що їх взаємодія із скалярним дублетом має вигляд

$$\ L^{\varphi}_{Q} = -G_{ij}\begin{pmatrix} \bar{U}^{i}_{L} & \bar{D}^{i}_{L}\end{pmatrix}\varphi U^{j}_{R} - H_{ij}\begin{pmatrix} \bar{U}^{i}_{L} & \bar{D}^{i}_{L}\end{pmatrix}\tilde {\varphi}D^{j}_{R}, \quad \tilde{\varphi} = i\tau_{2}\varphi^{*} $$.

Тут $$\ U = (u, c, t)^{T}, D = (d, s, b)^{T}$$ - набори спінорів верхніх і нижніх кварків відповідно.

Таку взаємодію довелося будувати з огляду на те, що в природі існують процеси, які вимагають наявності взаємодії між дублетами кварків (змішування). Наприклад, розпад $$\ K^{+} \to \mu^{+} \bar{\nu}_{\mu}$$ потребує наявності взаємодії між $$\ u, \bar{s}$$, оскільки К-мезон складається з $$\ u, \bar{s}$$. Таке змішування дублетів теоретично можна влаштувати, записавши взаємодію з полем Хіггса вказаним вище способом. Окрім того, усі кварки мають маси, тому "стандартна" лептонна організація взаємодії кварків із дублетом скалярних полів призводить до появи маси лише у "нижніх" кварків.

Перейшовши до спонтанного порушення симетрії, можна отримати наступні масові доданки:

$$\ L_{m} = - \bar{U}^{i}_{L}M^{d}_{ij}\bar{U}^{j}_{R} - \bar{D}^{i}_{L}M^{u}_{ij}\bar{D}^{j}_{R} + h.c., \quad M^{u}_{ij} = \eta G_{ij}, \quad M^{d}_{ij} = \eta H_{ij}$$.

Матрицю $$\ M_{ij}$$ можна діагоналізувати за допомогою двох матриць $$\ V_{L}, V_{R}$$:

$$\ M_{ij}^{d} \to m_{ij} = V_{L} M_{ij}V_{R}^{\dagger}, \quad U U^{\dagger} = 1$$,

при цьому $$\ L_{m} = \bar{D}^{i}_{L}(V^{d}_{L})^{\dagger} m^{d}_{ij}V^{d}_{R}D^{j}_{R} + \bar{U}_{R}^{i}(V^{u}_{L})^{\dagger} m^{u}_{ij}V^{u}_{R}U_{L}^{j} + \sigma (...) = \bar{D}^{(m)}m^{d}_{ij}D^{(m)}_{R} + \bar{U}^{m}m^{u}_{ij}U^{(m)}_{R} + \sigma (...)$$.

Тут індекс $$\ (m)$$ означає масовий базис із діагональними масовими матрицями. У подальшому буде показано, що вказані перетворення по діагоналізації масової матриці призводять до появи специфічного оператору, який порушує CP-інваріантність.

Тепер можна переписати доданки із взаємодією. Оскільки, враховуючи вигляд коваріантної похідної $$\ (9)$$, праві частинки не взаємодіють із $$\ W$$-бозонами, то так звані заряджені струми (члени лагранжіану, що не несуть сумарно нейтральний електричний заряд) будуть лише для лівих частинок. Саме заряджені струми будуть мати ускладнений вигляд після переходу до масового базису, оскільки вершинний фактор для цих струмів містить генератори групи $$\ SU(2)$$, які будуть перемішувати кваркові спінори. Для незаряджених струмів умова унітарності матриць не буде змінювати їх.

Отже, заряджені струми мають вигляд (тут $$\ \tau_{a} = \tau_{\pm} = \frac{\tau_{1} \pm i \tau_{2}}{\sqrt{2}} $$)

$$\ L_{q_{L}}^{int} = i\bar{Q}^{i}_{L}(\partial_{\mu} + i\frac{g}{2}W_{\mu}^{a} \tau_{a}^{ij})Q^{j}_{L} = i\begin{pmatrix} \bar{U} && \bar{D}\end{pmatrix}^{i}\left( \partial_{\mu}\delta_{ij} + i\frac{g}{2}W^{+}_{\mu}\tau^{+}_{ij} + i\frac{g}{2}W^{-}_{\mu}\tau^{-}_{ij}\right)\begin{pmatrix} U \\ D \end{pmatrix}^{j} = i\begin{pmatrix} \bar{U}_{L} && \bar{D}_{L}\end{pmatrix}_{i} \partial_{\mu}\begin{pmatrix} U_{L} \\ D_{L} \end{pmatrix}_{i} - \frac{g}{2}W^{+}_{\mu}\bar{D}^{i}_{L}U^{i}_{L} - \frac{g}{2}W^{-}_{\mu}\bar{U}^{i}_{L}D^{i}_{L}$$.

Тепер перейдемо до базису мас:

$$\ L_{q_{L}}^{int} = i\begin{pmatrix} \bar{U}^{(m)}_{L} && \bar{D}^{(m)}_{L}\end{pmatrix}_{i} \partial_{\mu}\begin{pmatrix} U^{(m)}_{L} \\ D^{(m)}_{L} \end{pmatrix}_{i} -\frac{g}{2}\left( W^{+}_{\mu} \bar{D}^{(m)}_{L}(V^{d}_{L})^{\dagger}V^{u}_{L} U^{(m)}_{L} + W^{-}_{\mu}\bar{U}^{(m)}_{L}(V^{u}_{L})^{\dagger}V^{d}_{L} D^{(m)}_{L}\right)$$.

Матриця 3*3 $$\ (V^{u}_{L})^{\dagger}V^{d}_{L} = V_{(CKM)}$$ називається матрицею Кабіббо-Кобаяші-Маскави. Чисто за визначенням приймається, що базиси мас і взаємодії для верхніх кварків співпадають, а базиси для нижніх кварків пов'язані співвідношенням

$$\ \begin{pmatrix} d \\ s \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} V^{11}_{(CKM)} && V^{12}_{(CKM)} && V^{13}_{(CKM)} \\ V^{21}_{(CKM)} && V^{22}_{(CKM)} && V^{23}_{(CKM)} \\ V^{31}_{(CKM)} && V^{32}_{(CKM)} && V^{33}_{(CKM)} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} d^{m} \\ s^{m} \\ b^{m} \end{pmatrix}$$.

Аналогічну матрицю можна було б ввести для лептонів (вона називається матрицею Понтекорво-Макі-Накагави-Сакати). Тоді були б можливими нейтринні осциляції (див. наступний підрозділ).

Через комплексність матриці Кабіббо-Кобаяші-Маскави відсутнє збереження $$\ CP-, T-$$парності. Якби кваркових покоління було два, то вибором фаз при кваркових функціях можна було б зробити матрицю ККМ дійсною. Дійсно, нехай є лише кварки $$\ u, d, c, s$$. Підібравши фази $$\ d, s$$ так, щоб $$\ Im(V_{ud}) = Im(V_{us}) = 0$$. Тоді з умови унітарності $$\ V_{cd}, V_{cs}$$ мають однакову фазу, яку можна прибрати, підібравши відповідним чином фазу для $$\ c$$. Для трьох же поколінь такого зробити не можна. Проте експериментально виявлено, що матричні елементи, які пов'язують третє покоління із іншими двома, є дуже малими порівняно з іншими.

Передумови створення КХД
Коротко наведу основні історичні віхи створення КХД.

1. Ізоспін.

Коли були відкриті протони та нейтрони і встановлено, що з них складаються ядра, стало зрозуміло, що сили взаємодії між двома протонами, двома нейтронами та між протоном і нейтроном не відрізняються до тих пір, поки не починає враховуватися електрослабка взаємодія. Експериментально це було встановлено, наприклад, наявністю різниці у енергії зв'язку дзеркальних ядер, що майже повністю визначається електростатичним відштовхуванням. У 40-х роках Гейзенбергом було припущено, що лагранжіан протонів і нейтронів не змінюється при переході протона у нейтрон, і т.д. Математично це формулюється так: лагранжіан залишається інваріантним по відношенню до перетворення

$$\ N = \begin{pmatrix} p \\ n\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} \tilde{p} \\ \tilde{n}\end{pmatrix} = U\begin{pmatrix} \tilde{p} \\ \tilde{n}\end{pmatrix}$$,

де $$\ U$$ - деяка двохрядна матриця. Умова інваріантності добутків виду $$\ \bar{p}p$$ вимагає, щоб $$\ U U^{\dagger} = 1$$. Це автоматично означає, що матриці $$\ U$$ реалізують представлення групи $$\ SU_{\text{isospin}}(2)$$, тобто,

$$\ U = e^{i\mathbf \varphi \cdot \mathbf \tau}, \quad \tau = \frac{1}{2}\mathbf {\sigma}$$.

Відповідно, протонний і нейтронний стан відповідає власним станам оператора $$\ I_{3}$$ із власними значеннями $$\ \pm \frac{1}{2}$$.

В силу такої їх нерозрізненності, у теорії сильних взаємодій вони також повинні мати однакові маси. Проте ізоспінова симетрія явно порушена; відповідальною за це є електрослабка взаємодія.

2. Піони.

У 1935-му році Юкава для пояснення короткодії сильних взаємодій між нуклонами ввів частинку під назвою пі-мезон. Її масу він оцінив із радіусу ядерних сил (порядку 1 фм). У 1947-му році ця частинка, вкупі з частинками схожих мас - зарядженими піонами $$\ \pi^{\pm}$$, була відкрита на експерименті. Відомі процеси із піонами вказали на те, що вони являються псевдоскалярами. Через те, що заряджені піони також приймали участь у сильних взаємодіях (що видно із реакцій із дельта-резонансами), було запропоновано єдиний лагранжіан піон-нуклонної взаємодії:

$$\ L_{\text{nuclear}} = g_{\pi NN}\bar{N}i\gamma_{5}\tau_{a}\pi_{a}N$$,

де $$\ \tau_{a}$$ - нормовані генератори групи $$\ SU_{\text{isospin}}(2)$$, а

$$\ g_{\pi NN} \simeq g \frac{m_{N}}{f_{\pi}} - $$

константа нуклон-мезонної взаємодії (вказане співвідношення називається співвідношенням Голдбергера-Треймана).

3. Закони збереження векторних та аксіальних струмів у сильній взаємодії.

У 50-х було встановлено, що у рамках сильної взаємодії виконувався закон збереження векторного струму

$$\ \partial_{\mu}J^{\mu}_{i} = 0, \quad J^{\mu} = \bar{N}\gamma^{\mu}\tau_{i}N$$,

у той час як аксіальний струм зберігався лише "частково" (закон збереження називається PCAC (partial conservation of axial current)),

$$\ \langle 0|\partial_{\mu}A^{\mu}_{i}|\pi\rangle = m_{\pi}^{2}f_{\pi} \to 0 \text{ as } m_{\pi} \to 0, \quad A^{\mu}_{i} = \bar{N}\gamma^{\mu}\gamma_{5}\tau_{i}N$$.

Варто зазначити тут, що ненульові маси нуклонів не порушують закон збереження аксіального струму, чого не варто було б очікувати від теорії із масивними ферміонами.

4. '''Спроба описати закони збереження та співвідношення Голдбергера-Треймана. Лінійна сігма-модель.'''

У 1960-му році Гелл-Манн та Леві побудували модель, яка пояснювала закони збереження струмів та, водночас, співвідношення Голдбергера-Треймана. Ідея їхньої теорії полягала у тому, що існує деяка повна симетрія у теорії із нуклонами та піонами, яка далі спонтанно порушується деяким вакуумним середнім. Це генерує інваріантним чином маси нуклонів, у той час як піони являються голдстоунівськими бозонами теорії. Ненульова маса піонів генерується у результаті того, що початкова симетрія порушена явно.

Їхня модель має наступний вигляд:

$$\ L = \bar{N}(i\gamma_{\mu}\partial^{\mu} - g\phi)N + \frac{1}{2}|\partial_{\mu}\phi |^{2} - V(|\phi|^{2}) + \Lambda^{2}f_{\pi}\sigma$$,

де

$$\ \phi = \sigma + i\gamma_{5}\tau_{a}\pi_{a}, \quad |\phi|^{2} \equiv \sigma^{2} + \pi_{a}^{2}$$.

Поля $$\ N$$ реалізовують фундаментальне представлення групи $$\ G \simeq SU_{V}(2)\times SU_{R}(2)\simeq SU_{L}(2)\times SU_{R}(2)$$, у той час як поле $$\ \phi $$ перетворюється як представлення $$\ (1,1)$$ групи. $V(|\phi|^{2})$ являє собою потенціал самодії поля $$\ \phi $$. Таким чином, лагранжіан майже інваріантний відносно перетворення групи $$\ G$$ (доданок $$\ \Lambda^{2}f_{\pi}\sigma $$).

Спонтанне порушення симетрії дає

$$\ |\phi|^{2} = \Lambda^{2} \Rightarrow G \to SU_{\text{isospin}}(2), \quad \sigma = \Lambda + \sigma{'}$$,

у результаті чого нуклони набувають маси. Несиметричний доданок генерує маси піонів та сігма-частинки $$\ \sigma{'}$$. Незважаючи на те, що сігма-частинки, що відповідає за станом піону та має масу, яка передбачається теорією, не існує (це стало причиною для описання так званої нелінійної сігма моделі, введеної тими самими Гелл-Манном та Леві), теорія успішно описувала усю наявну феноменологію.

5. Дивність.

Виявилося, що деякі частинки у реакціях без участі слабкої взаємодії народжуються лише парами. Прикладами є $$\ K^{0}$$-мезон, $$\ \Lambda^{0}$$-гіперон. Для пояснення цього було введено квантове число дивність. Частинки, що народжуються, мають додатню та від'ємну дивність, а сума дивностей рівна нулю, що відповідає закону збереження.

6. Порушення СР-інваріантності.

В ході спостереження деяких процесів виявилося, що порушується СР-інваріантність сильної взаємодії. Наприклад, розпад $$\ K \to \pi^{+}\pi^{-}$$ заборонений вимогою збереження СР-парності. Дійсно, СР-парність $$\ \pi^{+} \pi^{-}$$ дорівнює 1, а СР-парність K дорівнює -1.

7. Різноманіття частинок, що приймають участь у сильній взаємодії.

Станом на період 60-тих років відкривалися все нові і нові адрони, частинки, здатні до сильної взаємодії. Виникала потреба їх якось класифікувати. Було зрозуміло також, що ці частинки не являються елементарними у тому сенсі слова, у якому елементарним є електрон. Серед відкритих частинок можна було виділити групи, які відповідають частинкам однакових спінів, парностей та близьких по величинам мас. Усередині цих груп частинки відрізнялися значеннями гіперзаряду та проекції ізоспіну. Групи відповідали октетам та декуплетам. Це стало приводом для Гелл-Манна, щоб побудувати теоретичний апарат (названий eightfold way), у якому усе різноманіття частинок описувалося як добуток незвідних представлень деякої групи $$\ SU(3)$$.

8. '''Досліди із непружних розсіянь на нуклонах. Партони.'''

У другій половині 60-тих було виявлено неточкову структуру нуклонів при реакціях непружного розсіяння. Було встановлено, що піків - три. Укупі з eightfold way, це стало причиною для введення суб-частинок, із яких складалося все різноманіття сильновзаємодіючих частинок. Ці субчастинки були у фундаментальному представленню групи $$\ SU(3)$$. Теоретичний апарат eightfold way передбачив склад протону та нейтрону - $$\ uud, ddu$$ (де $$\ u,d$$ - назви партонів) відповідно. Укупі з визначеним партонним складом інших частинок (мезонів тощо) та фіксованими баріонними числами були встановлені електричні заряди та баріонні числа партонів (u,d,s). Вони виявилися дробовими.

9. Квантова хромодинаміка.

Врешті-решт, вимога пояснення неспостережуваності партонів (а також - адронні струни) та відкриття асимптотичної свободи у неабелевих калібрувальних теоріях дозволили побудувати фундаментальну теорію сильних взаємодій - квантову хромодинаміку. У ній партони (що нині називаються кварками) утворювали фундаментальне представлення кольорової калібрувальної групи $$\ SU_{c}(3)$$. Переносниками взаємодії є 8 безмасових глюонів. Нижче за певний масштаб теорія переходить у режим сильного зв'язку. Врешті-решт, динаміка у такому режимі призводить до конфайнменту - неспостереженості глюонів та кварків у вільному стані (досі теоретично не доведено). Конфайнмент призводить до спонтанного порушення наближеної $$\ SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$$ симетрії до $$\ SU(3)$$.

10. Калібрувальні аномалії, GIM-механізм, 6 кварків.

Врешті-решт, із реакцій осциляцій каонів та подібних було встановлене наступне спостереження. Електрослабка взаємодія кварків була організована таким же чином, як і лептонів. Аналогічним чином (через механізм Хіггса) були введені маси. Проте виявилося, що існує змішування між кварками із визначеними масами у одному дублеті. Так, $$\ d-$$кварк був змішаний із $$\ s-$$кварком у дублеті. Для коректного узгодження із експериментами по осциляції каонів було передбачено четвертий кварк, c-кварк. Після цього було встановлено, що для того, щоб спільна теорія кварків та лептонів була вільна від електрослабких аномалій, необхідно ввести ще одне покоління кварків, $$\ t,b$$. Їх було експериментально спостережено.

Нижче я напишу дещо детальніше про деякі з цих пунктів.

Кварки як незвідні представлення групи SU(3)
Гелл-Манн побачив, що усе різноманіття відомих на той час адронів можна представити як прямі добутки незвідних представлень групи $$\ SU(3)$$. Він назвав їх кварками.

Ідея полягала у наступному. Як було сказано вище, адрони можуть бути згруповані у октети і десинглети за величинами спіну та парності. Виявляється, що октети і десинглети відповідають незвідним представленням групи $$\ SU(3)$$.

В ході такого ототожненння була введена знаменита формула Гелл-Мана-Нішиджими:

$$\ Q = I_{3} + \frac{1}{2}(B + S)$$.

Тут $$\ Q$$ - електричний заряд, $$\ I_{3}$$ - проекція ізоспіну на третю ізотопічну вісь, $$\ B$$ - баріонне число, яке було введене для існування відповідного закону збереження через відсутність деяких каналів реакцій за участі адронів (наприклад, каналів $$\ p \to \pi^{+} + \gamma$$ і $$\ p \to e^{+} + \gamma$$ не існує; баріонне число нуклонів, гіперонів, 3-резонансів дорівнює $$\ \pm 1$$, а мезонів - 0), $$\ S$$ - дивність. Величина $$\ Y = B + S$$ називається гіперзарядом (пізніше, коли були відкриті нові кварки, вона була модифікована). Наведена формула характеризуває зв'язок між квантовими числами адронів одного мультиплету.

Припустивши ототожнення груп адронів та незвідних представлень групи $$\ SU(3)$$, Гелл-Манн виявив, що при ототожненні групи адронів із декуплетним представленням групи $$\ SU(3)$$ одного адрона не вистачало. Тому він передбачив існування ще одного адрона; більше того, він, керуючись відомими масами дев'яти адронів, передбачив навіть масу цього невідомого адрона із великою точністю. Такий адрон дійсно знайшли. Це стало поштовхом до описання усіх адронів як незвідних представлень групи $$\ SU(3)$$. Оскільки відомо, що октетні та декуплетні представлення $$\ SU(3)$$ утворюються при розкладі прямих добутків представлень $$\ 3, \bar{3}$$, то Гелл-Манн припустив існування частинок, які реалізують найпростіші представлення $$\ 3, \bar{3}$$ (мабудь, тоді це було більш формально; фізична роль цих представлень тоді могла не конкретизуватися). Представлення $$\ 3$$ назвали кварками, а представлення $$\ \bar{3}$$ - відповідно антикварками. Три кварки позначають як $$\ q = u, d ,s$$. Прямі добутки цих представлень і утворюють все спостережуване і неспостережуване на той час різноманіття адронів. Це реалізується наступним чином.

Щоб отримати октетні і декуплетні представлення із "найпростіших", треба брати прямі добутки. У розділі про незвідні представлення групи $$\ SU(3) $$ було показано, що декуплети і октети містяться у прямих добутках

$$\ \quad 3 \otimes \bar{3} = 8 \oplus 1, \quad 3 \otimes 3 \otimes \bar{3} = (6 \oplus \bar{3})\otimes 3 = 6 \otimes 3 \oplus 8 \oplus 1 = 10 \oplus 8 \oplus 8 \oplus 1$$.

Якщо розглядати кварки як реальні частинки, їм треба приписати спін $$\ \frac{1}{2}$$ та парність $$\ +1$$ (відповідно, антикварки мають парність $$\ -1$$). Для отримання інших квантових чисел кварків треба врахувати, що баріонне число мезонів рівне нулю, а нуклонів, гіперонів - одиниці. Тоді, оскільки спін мезонів - цілий, видно, що вони складаються із двох кварків, тому маємо

$$\ B(u\bar{s}) = B(\bar{s}u)= B(\bar{s}d) = 0, \quad B(q) = -B(\bar{q}) \Rightarrow B(u) = B(d) = B(s), \quad B(qqq) = 1 \Rightarrow B(q) = \frac{1}{3}$$.

Інші квантові числа можна отримати із формули Гелл-Манна-Нішиджими, яка, до речі, із введенням кварків перестає бути суто емпіричною: 3 кварки як представлення $$\ SU(3)$$ мають 4 незалежні адитивні числа. В результаті повинне існувати одне співвідношення, що зв'язує ці числа. Якщо це співвідношення справедливе для кварків, воно є справедливим і для усіх адронів, оскільки адрони реалізуються як прямі добутки кваркових представлень.

Хвильові функції кварків і нефундаментальних адронів
Тепер можна побудувати хвильові функції мезонів через функції кварків. Для цього треба визначити хвильові функції кварків. Їх можна визначити так, що дія на них операторів $$\ V_{\pm}, U_{\pm}, I_{\pm}$$ було найбільш простим. Тоді

$$\ U_{+}s = \lambda_{1}d, \quad I_{+}d = \lambda_{2}u, \quad V_{-}u = \lambda_{3}s$$.

Враховуючи, що

$$\ V_{-}I_{+}U_{+}s = [V_{-}, V_{+}]s = - \left(\frac{3}{2}Y + I_{3}\right)s = s$$,

маємо $$\ \lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3} = 1$$. Тоді можна перепозначити $$\ d = U_{+}s, u = I_{+}U_{+}s$$. Такі визначення відповідають ортонормованості хвильових функцій: $$\ \langle d|s \rangle = \langle s| U_{-}|s\rangle = 0$$, і т.д. Тоді функції кварків можна вибрати як

$$\ u = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\end{pmatrix}, \quad d = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\end{pmatrix}, \quad s = \begin{pmatrix} 0, 0, 1\end{pmatrix}$$,

а генератори відповідного представлення мають вигляд матриць Гелл-Манна. Антикварки мають ті ж самі функції, а генератори при цьому мають вигляд $$\ F_{i} = -\frac{1}{2}\lambda_{i}^{*}$$.

Тепер можна знайти хвильові функції різних адронів. Наприклад, мезони $$\ \pi^{0, \pm}, \eta^{0}, \bar{K}^{0}, K^{0, \pm}, \eta{'}$$ утворюються у результаті прямого добутку

$$\ 3 \otimes \bar{3} = \left((d \bar{s}, u\bar{d}, u\bar{s}, s\bar{d}, s\bar{u}, d\bar{u}, f(\bar{u}u, \bar{d}d, \bar{s}s), g(\bar{u}u, \bar{d}d, \bar{s}s)); \bar{u}u + \bar{d}d + \bar{s}s\right)$$.

Наприклад, ароматова частина $$\ K^{0}$$ мезона відповідає функції $$\ d\bar{s}$$, далі - $$\ \pi^{+} = u\bar{d}, \pi^{-} = d \bar{u}$$, і т.д. (це отримується на основі знання квантових чисел кварків, які було отримано вище, і квантових чисел мезонів). Треба визначити нейтральні комбінації $$\ \pi^{0}, \eta^{0}$$. Оскільки $$\ I_{+}\pi^{-} = \sqrt{2}\pi^{0}$$, то

$$\ \pi^{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left( I_{+}^{q} + I_{+}^{\bar{q}}\right)d\bar{u} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\bar{u}u - \bar{d}d)$$.

Функція мезону $$\ \eta{'}$$, очевидно, дорівнює $$\ \frac{1}{\sqrt{3}}(\bar{u}u + \bar{d}d + \bar{s}s)$$.

Функція же мезону $$\ \eta^{0}$$ може бути знайдена із міркувань ортогональності $$\ \pi^{0}, \eta^{0}, \eta^{'}$$ та умовою нормування на одиницю. Маємо

$$\ \eta^{0} = \frac{1}{\sqrt{6}}(\bar{u}u + \bar{d}d - 2\bar{s}s)$$.

Аналогічно, із використанням сходинкових операторів $$\ U_{\pm}, I_{\pm}$$ і умови ортогональності можуть бути знайдені всі хвильові функції дво- і трьохкваркових станів.

Формула Гелл-Манна-Окубо
Адрони можуть приймати участь у всіх взаємодіях (у залежності від їх зарядів), а взаємодії можуть порушувати симетрії. Наприклад, електромагнітна взаємодія знімає виродженість протонного та нейтроного станів. При наявності різних взаємодій гамільтоніан взаємодії можна подати у вигляді

$$\ H = H_{S} + H_{MS} + H_{EM}$$.

Тут $$\ H_{S}$$ - частина гамільтоніану, що визначається сильними взаємодіями, і тому не порушує різні симетрії; $$\ H_{MS}$$ порушує унітарну симетрію, зберігаючи, втім, ізотопічну симетрію та гіперзаряд; нарешті, враховуючи, що всі частинки в $$\ U$$-спіновому мультиплеті мають однаковий заряд, можна стверджувати, що електромагнітний член $$\ H_{EM}$$ зберігає $$\ U$$-симетрію. Таке зняття симетрії означає, що якщо без врахування взаємодій адрони одного представлення мали однакову масу, то при їх врахуванні відбувається розщеплення всередині мультиплетів.

Враховуючи зроблені припущення, можна спробувати конкретизувати залежність гамільтоніану від операторів. Припущення ці означають, що

$$\ [H_{S}, F_{i}] =[H_{MS}, I] = [H_{MS}, Y] = 0 = [H_{EM}, Q] = [H_{EM}, U] = 0 $$.

Враховуючи, що $$\ [Y, I] = [Q, U] = 0$$, можна записати $$\ H$$ як

$$\ H = E_{0} + E_{1}(\hat{I}^{2}, \hat{Y}) + E_{2}(\hat{U}^{2}, \hat{Q})$$.

Оскільки (ефективна) маса - власне число для гамільтоніану, то можна застосувати цей вираз для знаходження зв'язку між масами адронів одного мультиплету. При цьому експериментально можна показати, що електромагнітна частина вносить дуже малу поправку для мас (наприклад, маса протона незначним чином відрізняється від маси нейтрона). Тому можна знехтувати у гамільтоніані частиною, яка визначається електромагнітною взаємодією.

Спершу варто навести викладки, які, на основі однієї лише гіпотези кварків, дають зв'язок між масами адронів одного представлення. Наприклад, ета-нуль-мезон має функцію $$\ \eta^{0} = \frac{1}{\sqrt{6}}(\bar{u}u + \bar{d}d - 2\bar{s}s)$$. Враховуючи наближено, що $$\ m_{u} \approx m_{d} = m_{1}, m_{s} = m_{2}$$, маємо

$$\ m(\eta^{0}) = 2 \frac{1}{6}(2m_{1} + m_{0}) + \frac{2}{3}(2m_{2} + m_{0}) = \frac{2}{3}m_{1} + \frac{4}{3}m_{2} + m_{0}$$.

Міркуючи таким же чином, можна отримати

$$\ m(K) = m_{1} + m_{2} + m_{0}, \quad m(\pi ) = 2m_{1} + m_{0}$$.

Виключивши із цих трьох співвідношень $$\ m_{1}, m_{2}, m_{0}$$, маємо

$$\ m(K) = \frac{1}{4}(3m(\eta^{0}) + m (\pi ))$$.

Аналогічні співвідношення можна отримати і для інших частинок.

Тепер можна задуматися, як же отримати загальну формулу для визначення розщеплення по масам, маючи вираз для гамільтоніану (нехтуючи при цьому електромагнітною частиною). Для цього можна розкласти $$\ H_{MS}$$ в ряд по операторам:

$$\ H_{MS} = a\hat{Y} + b\hat{Y}^{2} + c \hat{I}^{2}$$.

При дії на власні стани маємо

$$\ m_{MS} = aY + bY^{2} + cI(I + 1)$$.

Можна встановити зв'язок між $$\ b, c$$, користуючись зв'язком мас декуплету $$\ \Omega, \Sigma^{*}, \Xi^{*}, \Delta $$:

$$\ m(\Sigma^{*}) - m(\Delta ) = m(\Xi^{*}) - m(\Sigma^{*}) = m(\Omega ) - m(\Xi^{*})$$.

Воно дає $$\ b = -4c$$.

Тоді маємо

$$\ m = m_{0} + m_{1}Y + m_{2}\left(I(I + 1) - \frac{Y^{2}}{4}\right)$$.

Ця формула називається формулою Гелл-Манна-Окубо. Вона має досить гарну точність.

Ці результати вплинули на становлення ідеї про те, що існують елементарні частинки - кварки, різні комбінації станів яких являють собою різноманіття адронів. Проте як саме взаємодіють самі кварки?

Значення Стандартної моделі
Стандартна модель надзвичайно точно описує усі відомі нам взаємодії (окрім гравітаційної) на широких масштабах. Із теоретичної точки зору вона є перенормовною (перенормовність очевидна в силу калібрування $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$