Гамільтонів формалізм для біспінорів

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Гамільтоніан діраківського вільного поля. Канонічний імпульс. Рівняння Гамільтона
Користуючись тим, що у випадку з вільним полем оператор Гамільтона повинен відповідати повній енергії (іншими словами, інтегралу від нульової компоненти тензора енергії-імпульсу), а також - рівнянням Дірака, можна стверджувати, що роль оператора Гамільтона відіграє оператор

$$\ \hat {H}_{0} = ((\alpha \cdot \hat {\mathbf p}) + \gamma^{0}m), \quad \alpha = (\gamma^{0}\gamma^{1},\gamma^{0}\gamma^{2}, \gamma^{0}\gamma^{3})$$.

Дійсно, нульовою компонентою тензора енергії-імпульса діраківського поля є $$\ T^{00} = i\Psi^{+}\partial_{0}\Psi$$. Якщо тепер використати рівняння Дірака, то, переписавши його, можна отримати

$$\ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = i\gamma^{0}\partial_{0}\Psi - (-i\gamma^{i}\partial_{i} + m)\Psi = 0 \Rightarrow i\gamma^{0}\partial_{0}\Psi = (-i\gamma^{i}\partial_{i} + m)\Psi \Rightarrow |(\gamma^{0})^{2} = \hat {\mathbf E}| \Rightarrow $$

$$\ i\partial_{0}\Psi = (-i\alpha^{i} \partial_{i} + m )\Psi = ((\mathbf \alpha \cdot \hat {\mathbf p}) + m\gamma^{0})\Psi$$.

Отже, оскільки $$\ i\partial_{0}$$ відповідає операторному представленню енергії, то введений вираз, дійсно, відповідає оператору із власними значеннями повної енергії.

При використанні гамільтонового формалізму оперують узагальненими імпульсами та узагальненими координатами. Роль координати відіграє, звичайно, $$\ \Psi$$. Для визначення ж виразу для узагальненого імпульсу треба знову використати оператор густини гамільтоніану $$\ H = i\Psi^{+}\partial_{0}\Psi$$. Враховуючи зв'язок лагранжіану та гамільтоніану,

$$\ L = p\partial_{0}\Psi - H$$,

можна, переписавши вираз для лагранжіану діраківського поля, отримати

$$\ L = \bar {\Psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = |\bar {\Psi} = \Psi^{+}\gamma^{0}| = i\Psi^{+}\partial_{0}\Psi - \Psi^{+}((\mathbf \alpha \cdot \hat {\mathbf p}) + m\gamma^{0})\Psi$$.

Звідси просто зробити висновок, що виразом для узагальненого імпульсу є $$\ i\Psi^{+}$$.

Можна також записати вирази для канонічних рівнянь Гамільтона (вони записуються для густини гамільтоніану) для випадку вільного діраківського поля: оскільки рівняння Гамільтона для теорії поля мають вигляд

$$\ i\partial_{0}\Psi^{+} = -\frac{\partial H}{\partial \Psi} - \partial_{i}\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{i} \Psi )}\right), \quad \partial_{0}\Psi = \frac{\partial H}{i\partial \Psi^{+}}, \quad \frac{\partial H}{\partial (\partial_{i}\Psi )} = -\frac{\partial L}{\partial (\partial_{i}\Psi )}$$,

то з очевидністю отримуються рівняння Дірака:

$$\ \partial_{0}\Psi = \frac{\partial H}{i\partial \Psi^{+}} = \left| H = \Psi^{+}(-i\gamma^{0}\gamma^{i}\partial_{i} + \gamma^{0}m)\Psi\right| = -(\gamma^{0}\gamma^{i}\partial_{i} + im\gamma^{0})\Psi \Rightarrow |(\gamma^{0})^{2} = \hat {\mathbf E}| \Rightarrow i\gamma^{0}\partial_{0}\Psi + i\gamma^{i}\partial_{i}\Psi - m\Psi = (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0$$,

$$\ i\partial_{0}\Psi^{+} = -\bar {\Psi}m -i\partial_{i}\bar {\Psi} \gamma^{i} \Rightarrow |(\gamma^{0})^{2} = 1| \Rightarrow i\partial^{\mu}\bar {\Psi}\gamma_{\mu} + m\bar {\Psi} = 0$$.

Формалізм Пуассона на просторі розв'язків рівняння Дірака. Інтеграли руху
Тепер можна означити лапки Пуассона для діраківського поля: для довільних операторів $$\ \hat {A}, \hat {B}$$ дужкою Пуассона на просторі розв'язків рівняння Дірака дужкою Пуассона є вираз

$$\ [\hat {A}, \hat {B}]_{P} = \frac{\partial \hat {A}}{\partial \Psi}\frac{\partial \hat {B}}{i\partial \Psi^{+}} - \frac{\partial \hat {A}}{i \partial \Psi^{+}}\frac{\partial \hat {B}}{\partial \Psi}$$.

Відповідно,

$$\ [\hat {\Psi}(\mathbf x, t) , i\hat {\Psi}^{+}(\mathbf y , t)]_{P} = i\hat {\mathbf E}\delta (\mathbf x - \mathbf y )$$.

Як було показано, квантова лапка Пуассона двох операторів пов'язана з їх комутатором як

$$\ [\hat {A}, \hat {B}]_{P} = -i[\hat {A}, \hat {B}]$$.

Можна постулювати (!) аналогічну рівність для ферміонів. Тоді комутатор буде замінений на антикомутатор, і звідси

$$\ [\hat {\Psi}, \hat {\Psi}^{+}]_{+} = -i\hat {\mathbf E}\delta (\mathbf x - \mathbf y)$$.

Можна ввести повну похідну по часу від середнього значення оператора $$\ \hat {A}$$ як лапку Пуассона. Введення є повністю аналогічним введенню похідної по часу від середнього значення у рамках квантової механіки. Проте у даному випадку, на відміну від того разу, рівняння на поля вважаються відомими (у тому випадку рівняння Шредінгера отримувались як наслідок введення повної похідної від середнього значення оператора). Отже, нехай є величина (риска над нею означає усереднення по власним значенням)

$$\ \bar {A} = \int \Psi^{+}\hat {A}\Psi d^{3}\mathbf r$$.

Нехай одразу вважається, що відповідний оператор не залежить явно від часу. Тоді повна похідна від неї буде відповідати

$$\ i\frac{d}{dt}\bar {A} = \int i\frac{d \Psi^{+}}{dt} \hat {A}\Psi d^{3}\mathbf r +\int \Psi^{+}\hat {A}i\frac{d \Psi}{dt}d^{3}\mathbf r $$.

Підставивши вирази для похідних по часу із рівнянь Дірака на спінор та ермітово спряжений до нього,

$$\ i\partial_{0}\Psi = \hat {H}\Psi \Rightarrow -i\partial_{0}\Psi^{+} = i\partial_{i}\bar {\Psi}\alpha^{i} +m\Psi^{+}\beta \Rightarrow i\partial_{0}\Psi^{+} = -i\partial_{i}\Psi^{+}\alpha^{i} - \Psi^{+}\beta m$$,

та врахувавши, що

$$\ \int (\partial_{i}\Psi^{+}) \hat {A} \Psi d^{3}\mathbf r = \int \partial_{i}(\Psi^{+}\hat {A}\Psi )d^{3}\mathbf r - \int \Psi^{+} \partial_{i}(\hat {A} \Psi )d^{3}\mathbf r = -\int \Psi^{+} \partial_{i}(\hat {A} \Psi )d^{3}\mathbf r $$,

можна отримати

$$\ i\frac{d}{dt}\bar {A} = -\int \Psi^{+}m\gamma^{0}\hat {A}\Psi d^{3}\mathbf r - \int \partial_{i}\Psi^{+}\alpha^{i}\hat {A}\Psi d^{3}\mathbf r + \int \Psi^{+}\hat {A}\hat {H}\Psi d^{3}\mathbf r = -\int \Psi^{+}(m\gamma^{0} - i\alpha^{i}\partial_{i})\hat {A}\Psi d^{3}\mathbf r + \int \Psi^{+}\hat {A}\hat {H}\Psi d^{3}\mathbf r = $$

$$\ = -\int \Psi^{+}(\hat {H}\hat {A} - \hat {A}\hat {H})\Psi d^{3}\mathbf r = -\int \Psi^{+}[\hat {H}, \hat {A}]\Psi d^{3}\mathbf r = i\int \Psi^{+}[\hat {H}, \hat {A}]_{P}\Psi d^{3}\mathbf r$$.

Отже, на додачу до критерію збереження величини-заряду як наслідок існування відповідного нетерівського струму, що зберігається, критерієм незмінності у часі величини є нульова лапка Пуассона. Величину $$\ \bar {A}$$ тоді можна назвати інтегралом руху.

Повністю аналогічні викладки призводять до такого ж результату і для гамільтоніану випадку взаємодії ферміонів та електромагнітного поля. Рівняння попереднього розділу

$$\ (i \gamma^{\mu}\partial_{\mu} + q\gamma^{\mu}A_{\mu} - m)\Psi = 0$$

можна переписати як

$$\ i \partial_{0}\Psi = \hat {H} \Psi, \quad \hat {H} = \hat {\beta} m + (\hat {\alpha} \cdot (\hat {\mathbf p} - q\hat {\mathbf A}))$$.

Тоді

$$\ \frac{d}{dt}\bar {B} = i\bar {[\hat {H}, \hat {B}]} + \frac{\partial \hat {B}}{\partial t}$$.

Гамільтоніан у даному випадку залежить від часу, тому не є інтегралом руху. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Канонічні перетворення. Інфінітезимальні перетворення
Аналогічно до випадку із класичною механікою, можна означити канонічні перетворення на спінорному просторі. Як означення канонічних перетворень можна використати критерій канонічності: канонічними перетвореннями $$\ \Psi {'}, i\Psi^{+}{'}$$ називаються такі перетворення, які не змінюють фундаментальних дужок Пуассона:

$$\ [\Psi {'}, i\Psi^{+}{'}] = \mathbf E, \quad [\Psi {'}, \Psi {'}] = [i \Psi^{+}{'}, i \Psi^{+}{'}] = 0 $$.

Аналогічно, канонічні перетворення можна задати так званими твірними функціями через незмінність стаціонарності дії. Для їх введення варто використати принцип найменшої дії. Переписаний через гамільтоніан, він має вигляд

$$\ \delta S = \delta \int L d^{4}x = \delta \int \left(i\Psi^{+}\partial_{0}\Psi - H\left(\Psi, i\Psi^{+}, \partial_{i}\Psi \right)\right)d^{4}x$$.

Для канонічно перетворених полів стаціонарність дії також повинна виконуватись:

$$\ \delta S{'} = \delta \int L{'}d^{4}x = \delta \int \left(i\Psi^{+}{'}\partial_{0}\Psi {'} - H{'}\left(\Psi {'}, i\Psi^{+}{'}, \partial_{i}\Psi {'}\right)\right)d^{4}x = 0$$.

Віднімаючи підінтегральні вирази та беручи варіацію від відповідного інтегралу, можна отримати

$$\ \delta \int \left[ \left(i\Psi^{+}\partial_{0}\Psi - H\left(\Psi, i\Psi^{+}, \partial_{i}\Psi \right)\right) - \left(i\Psi^{+}{'}\partial_{0}\Psi {'} - H{'}\left(\Psi {'}, i\Psi^{+}{'}, \partial_{i}\Psi {'}\right)\right)\right]d^{4}x = 0$$.

В силу рівності нулю варіації дії підваріаційний інтеграл можна подати у вигляді

$$\ \int ... = F(\Psi, \Psi {'})\bigg|_{t_{a}}^{t_{b}} = \int \partial_{0}G (\Psi , \Psi {'}, t) d^{4}x$$,

де $$\ t_{a}, t_{b}$$ - моменти часу, варіація яких рівна нулю.

Отже, в силу довільності меж інтегрування

$$\ \left(i\Psi^{+}\partial_{0}\Psi - H\left(\Psi, i\Psi^{+}, \partial_{i}\Psi \right)\right) - \left(i\Psi^{+}{'}\partial_{0}\Psi {'} - H{'}\left(\Psi {'}, i\Psi^{+}{'}, \partial_{i}\Psi {'}\right)\right) = \partial_{0}G (\Psi, \Psi {'}, t)$$.

Функція $$\ G(\Psi, \Psi {'}, t)$$ називається твірною функцією. За допомогою неї задаються канонічні перетворення. Для цього можна записати праву частину виразу через частинні похідні від аргументів:

$$\ \partial_{0}G (\Psi, \Psi {'}, t) = \frac{\partial G}{\partial \Psi}\partial_{0}\Psi + \frac{\partial G}{\partial \Psi {'}}\partial_{0}\Psi{'} + \frac{\partial G (t)}{\partial t}$$.

Тоді, прирівнявши коефіцієнти при $$\ \partial_{0}\Psi, \partial_{0}\Psi {'}$$ у виразі, можна отримати рівняння

$$\ i\Psi^{+} = \frac{\partial G}{\partial \Psi}, \quad i\Psi^{+}{'} = -\frac{\partial G}{\partial \Psi {'}}, H' - H = \frac{\partial G(t)}{\partial t}$$.

Для подальшого знадобиться твірна функція виду $$\ F (\Psi, i\Psi^{+}{'})$$. Для неї справедливі рівняння

$$\ i\Psi^{+} = \frac{\partial F}{\partial \Psi}, \quad \Psi{'} = \frac{\partial F}{\partial (i\Psi^{+}{'})}, \quad H' - H = \frac{\partial F}{\partial t}$$. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$