Континуальний інтеграл

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Розділ доповнюється.

Генеруючий функціонал для фейнманівських діаграм
Повернемось знову до гейзенбергівських функцій Гріна, записавши їх одразу як вакуумне середнє гейзенбергівських операторів

$$\ G_{n}(x_{1},...,x_{n}) = \langle | \hat{N}\left( \hat{O}_{1}(x_{1})...\hat{O}_{n}(x_{n})\right)|\rangle$$.

Ми вже мали справу із такою функцією; було показано, що вона дорівнює $$\ \left( \frac{\delta^{n}S_{00}[J]}{\delta J_{1}(x_{1})...\delta J_{n}(x_{n})}\right)_{J = 0}$$,

де

$$\ S_{\alpha \beta} = \langle \alpha |\hat{N}e^{i \int d^{4}x(\hat{L}_{int} + \sum_{a} \hat{O}_{a}(x)J_{a}(x))}| \beta \rangle \qquad (0)$$,

а $$\ J(x)$$ є функціональним аргументом, який можна називати джерелом. Він є неоператорною функцією, проте якщо поле, якому воно відповідає, є ферміонним, то це джерело - грассманове. Для кожного поля потрібне своє джерело.

Нагадаю, яким чином можна, маючи гейзенбергівську функцію Гріна (у даному випадку - вакуумну) і її зв'язок із Фейнманівською діаграмою, відновити суму діаграм. Зовнішні лінії для такого функціоналу відсутні, оскільки відсутні in-, out-стани, проте з'явились вклади від $$\ J(x)$$ (точніше, від його Фур'є-образу), які відповідають внутрішнім лініям, що з'єднують вершину з джерелом. Тобто, замість вкладів від in-, out-станів будуть інтеграли виду $$\ \int \frac{dpJ(p)}{p^2 - m^2 + i0}$$. В силу довільності параметра $$\ J(x)$$ можна ці вклади співставляти вкладам від in-,out-станів. Отже, формально $$\ (.0) $$ містить всю інформацію про кожний член розкладу $$\ S$$-матриці. Це дозволяє досліджувати менш громіздкі вирази типу $$\ (.1)$$ замість розгляду загального вигляду для членів розкладу.

Для спрощення можна опустити суму по $$\ a$$ і працювати лише із одним джерелом (усі подальші викладки запросто узагальнюються на випадок багатьох полів). Введенемо також функціонал $$\ Z[J]$$ за формулою

$$\ Z[J] = \langle | \hat {N}e^{i\int d^{4}x (L_{I}(\varphi (x)) + J(x)\varphi (x))}|\rangle = \langle out | in \rangle_{J} \qquad (.1)$$.

Варіаційний апарат та найпростіші наслідки для твірної функції
Для подальшої роботи треба ввести варіаційний апарат для твірної функції. Для цього треба постулювати співвідношення

$$\ \frac{\delta}{\delta J(y)}J(x) = \delta (x - y), \quad \frac{\delta}{\delta J(y)} (AB) = \frac{\delta A}{\delta J(y)} B + A \frac{\delta B}{\delta J(y)}$$.

Звідси слідує, що

$$\ \frac{\delta}{\delta J(y)}\int dx\varphi (x)J(x) = \int dx\varphi (x) \delta (x - y) = \varphi (y), \quad \frac{\delta}{\delta J(y)} \int dx F(J(x)) = \int dx F'(J(x)) \delta (x - y) = F'(y) $$,

$$\ \frac{\delta }{\delta J(y)}e^{i \int dx J(x) \varphi(x)} = i\varphi (y)e^{i \int dx J(x) \varphi(x)}$$.

Це означає, що справедливе твердження

$$\ \langle | \hat {N} \varphi (x_{1})\varphi (x_{n})e^{i \int d^{4}x (L_{I}(x) + J(x)\varphi (x))} | \rangle = (-i)^{n} \frac{\delta} {\delta J(x_{1})}...\frac{\delta}{\delta J(x_{n})}\langle | \hat {N}e^{i \int d^{4}x (L_{I}(x) + J(x)\varphi (x))} | \rangle = $$

$$\ = (-i)^{n} \frac{\delta} {\delta J(x_{1})}...\frac{\delta}{\delta J(x_{n})}e^{-i\int dy L_{I}\left(i\frac{\delta}{\delta J(y)}\right)}\langle | \hat {N}e^{i \int d^{4}x J(x)\varphi (x)} | \rangle \qquad (.2)$$.

У даних переходах враховано те, що параметр $$\ J(x)$$ не містить операторів, тому його спокійно можна проносити через знак оператора впорядкування та за знак вакуумного усереднення. Після цього можна переписати лагранжіан взаємодії так, що замість аргументу-поля, який є оператором, у ньому є аргумент-функціональний параметр. Звичайно, такі записи функціоналу є еквівалентними, оскільки після розкладу експоненти в ряд та дії кожного члену розкладу на експоненту під знаком вакуумного усереднення знову отримується лагранжіан від $$\ \varphi (x)$$.

Далі, експоненту під знаком вакуумного усереднення можна спростити, скориставшись теоремою Віка. Ненульовий вклад дають лише доданки $$\ 2n$$-го порядку, оскільки, згідно з теоремою Віка,

$$\ \hat {N}(A_{1}...A_{n}) = \sum (-1)^{\sigma}\bar {A_{i_{1}}A_{i_{2}}}...\bar {A_{i_{k - 1}}A_{i_{k}}}:A_{i_{k + 1}}...A_{i_{n}}:, \quad \bar {A_{i_{k - 1}}(x)A_{i_{k}}(y)} = \langle |T(A_{i_{k - 1}}(x)A_{i_{k}}(y))|\rangle = -iD^{c}(x - y)$$,

для $$\ 2n+1$$-го порядку залишиться одне поле, яке не знаходиться під виразом вакуумних середніх, а отже, дає нуль для вкладу через дію на вакуумні стани.

Вклад же від $$\ 2n$$-того доданку зводиться до добутку $$\ n$$ виразів, що відповідають одній і тій же діаграмі - два джерела, з'єднані пропагатором. Факторіальний множник дається Тейлорівським множником $$\ \frac{1}{(2n)!}$$ та множником, що відповідає числу всіх можливих попарних згорток полів $$\ \varphi (x)$$, тобто $$\ (2n - 1)! = \frac{(2n)!}{2^{n}n!}$$.

Отже,

$$\ \langle | \hat {N}e^{i \int d^{4}x J(x)\varphi (x)} | \rangle = e^{\frac{i}{2} \int d^{4}x d^{4}y J(x) J(y) D^{c}(x - y)}$$,

і $$\ (.2)$$ набуде вигляду

$$\ \langle | \hat {N} \varphi (x_{1})\varphi (x_{n})e^{i \int d^{4}x (L_{I}(x) + J(x)\varphi (x))} | \rangle = (-i)^{n} \frac{\delta} {\delta J(x_{1})}...\frac{\delta}{\delta J(x_{n})}e^{-i\int dy L_{I}\left(i\frac{\delta}{\delta J(y)}\right)}e^{\frac{i}{2} \int d^{4}x d^{4}y J(x) D^{c}(x - y)J(y)} = (-i)^{n} \frac{\delta} {\delta J(x_{1})}...\frac{\delta}{\delta J(x_{n})}Z(J)$$,

$$\ Z(J) = e^{-i\int dy L_{I}\left(i\frac{\delta}{\delta J(y)}\right)}e^{\frac{i}{2} \int d^{4}x d^{4}y J(x) D^{c}(x - y)J(y)} \qquad (3)$$.

Останній вираз дає компактний запис усього ряду теорії збурень. Ще раз нагадаю, що для кожного поля необхідне своє джерело $$\ J(x)$$.

Континуальний інтеграл
Генеруючий функціонал $$\ Z(J)$$ можна переписати у вигляді так званого континуального інтегралу:

$$\ Z(J) = \langle | e^{i\int (L_{I}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))d^{4}x }|\rangle = \int D \varphi e^{i\int (L_{0}(\varphi (x)) + L_{I}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))d^{4}x} $$.

Тут формальний знак інтегралу $$\ D\varphi $$ може бути інтерпретований (!) як інтегрування по нескінченній кількості елементарних 4-об'ємів, у межах яких поле $$\ \varphi (x)$$ є константою. При цьому вважається, що у правій частині $$\ \varphi (x)$$ є простою змінною інтегрування, а не оператором; зберігається лише вид перестановочного співвідношення. Проте насправді інтегрування по $$\ D \varphi $$ є лише формальним записом.

Цей запис, проте, повинен також відтворювати вираз $$\ (2)$$. Тобто, повинно виконуватися співвідношення

$$\ Z(J) = \int D \varphi e^{i\int (L_{0}(\varphi (x)) + L_{int}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))d^{4}x} = e^{i\int d^{4}y L_{I}\left( -i \frac{\delta}{\delta J(y)} \right)}\int D \varphi (x) e^{i \int d^{4}x(L_{0}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))} \qquad (4)$$.

Тепер треба навчитися працювати із інтегралами виду $$\ (4)$$:

$$\ I[J] = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x(L_{0}(\varphi (x)) + \varphi (x)J(x))}$$.

Для цього можна конкретизувати вигляд $$\ L_{0}(\varphi (x))$$. Оскільки під знаком експоненти є інтегрування по частинам, то вільний лагранжіан для будь-якого поля (тут маються на увазі клейн-гордонівське, діраківське, проківське та фірцівське; ймовірніше за все, за допомогою спінорних представлень це твердження можна довести для поля будь-якого спіну) поля можна записати у вигляді $$\ L_{0}(\varphi (x)) = \varphi^{*} (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x)$$ (знак комплексного спряження позначає різні операції для відповідних полів). Тут двійка обрана для зручності. Наприклад, лагранжіан вільного клейн-гордонівського поля має вигляд

$$\ L_{0}(\varphi (x)) = \partial_{\mu}\varphi^{*}\partial^{\mu}\varphi (x) - m^{2}\varphi^{*}(x)\varphi (x)$$,

і через наявність інтегралу можна проінтегрувати перший доданок по частинам:

$$\ \int \partial_{\mu}\varphi^{*}\partial^{\mu}\varphi (x)d^{4}x = -\int \varphi^{*}(x)\partial^{2}\varphi (x)d^{4}x$$.

Тому оператор $$\ \hat {K}$$ має вигляд $$\ \hat {K} = -\partial^{2} - m^{2}$$.

В результаті, для всіх полів вказаний вище інтеграл має вигляд гауссового:

$$\ I[J] = \int D \varphi e^{i \int d^{4}x\left(\varphi^{*} (x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x) + \varphi (x)J^{*}(x) + \varphi^{*}(x)J(x)\right)}$$.

Тут з'явився доданок $$\ \varphi^{*}(x)J(x)$$ через незалежність функцій $$\ \varphi (x), \varphi^{*}(x)$$. Це є простим наслідком того, що, як уже було сказано у попередньому підрозділі, для кожної функції необхідне своє джерело.

Брати інтеграл (звичайно, формально) можна таким же шляхом, як і звичайні гауссові інтеграли. Для цього треба лише припустити, що оператор $$\ \hat {K}$$ має обернений, а також інваріантність інтегралу відносно трансляції функціонального аргументу $$\ \varphi (x)$$. Після цього можна зробити трансляційну заміну поля, звівши інтеграл до типового гауссового. Результат інтегрування повинен відповідати виразу $$\ (3) $$, оскільки за початковим припущенням підхід функціонального інтегралу еквівалентний "підходу" вакуумного усереднення.

Для кращого розуміння знову варто проробити викладки для клейн-гордонівського дійсного поля. Результат буде рівний

$$\ I[J] = e^{-i\int d^{4}xd^{4}y J(x) \frac{\hat {K}^{-1}(x - y)}{2}J(y)}\int D \varphi e^{i\int d^{4}x \varphi(x)\frac{\hat {K}}{2}\varphi (x)} = \frac{1}{\sqrt{||\hat {K}||}}e^{\frac{i}{2}\int d^{4}xd^{4}y J(x)D^{c}(x - y)J(y)} \qquad (5)$$,

де перехід до останньої рівності зроблений за аналогією із гауссовими інтегралами звичайних змінних.

Отриманий результат, до речі, підтверджує вірність розвинутого формалізму співставлення варіаційного функціоналу континуальному інтегралу: вираз $$\ (5)$$ відповідає виразу $$\ (3)$$ з точністю до множника $$\ \frac{1}{\sqrt{||\hat {K}||}}$$. Взагалі, цей фактор є досить проблемним з одного боку (в силу формальної рівності нескінченності детермінанту у багатьох випадках) і зручним з іншого (в силу причин, пов'язаних з перенормуванням; буде описано у наступних розділах).

Аналогічно просто отримати вирази для комплексного клейн-гордонівського поля та діраківського поля:

$$\ \int D \varphi D\varphi^{*} e^{i\int d^{4}x(\varphi^{*}(x)\hat {K} \varphi (x) + \varphi (x) J^{*}(x) + \varphi^{*} (x)J(x))} = \frac{1}{||\hat {K}||}e^{i\int d^{4}xd^{4}yJ (x)D^{c}(x - y)J(y)}, \quad D^{c}(x -y) = \hat{K}^{-1}(x - y) \qquad (6)$$,

$$\ \int D \bar {\Psi} D\Psi e^{i\int d^{4}x(\bar {\Psi}(x)\hat {K} {\Psi}(x) + \bar {\Psi} (x) \eta (x) + \bar {\eta}(x) \Psi (x))} = ||\hat {K}||e^{i\int d^{4}xd^{4}y\bar {\eta} (x)\hat {K}^{-1}(x - y)\eta (y)} = ||\hat {K}||e^{i\int d^{4}xd^{4}y\bar {\eta} (x)D^{c}(x - y)\eta (y)}, \quad \quad D^{c}(x -y) = \hat{K}^{-1}(x - y) \qquad (7)$$,

де остання рівність є узагальненням грассманового гауссового інтегрування.

Тут можна помітити те, що у рамках континуального інтегрування пропагатор даного поля відповідає простому оберненню оператора $$\ \hat{K}$$ лагранжіану. Випадок, коли пропагатор так просто не отримується (випадок сингулярних теорій, у яких лагранжіан містить зв'язки між канонічними змінними), буде розглянуто потім.

Можна помітити декілька особливостей функціонального інтегрування у квантовій теорії поля. По-перше, при його введенні всі величини стають неоператорними, що дещо спрощує роботу із ними. По-друге, він містить явно інформацію про симетрії вільних полів через наявність вільного лагранжіану. По-третє, при введенні комплексного часу $$\ t = -i\tau$$ (його ще називають поворотом Віка) інтеграл стає суто дійсним. По-четверте, на відміну від операторозначних полів, що були до введення континуального інтегралу, неоператорозначні поля не знаходяться на масовій поверхні, тобто, не є розв'язками відповідних вільних рівнянь. Це означає, що вся інформація про вільні частинки, що містилась у виразах для операторів полів, тепер поступає напряму із $$\ L_{0}$$.

Властивості континуального інтегрування
Вирази $$\ (4)-(7)$$ можна вважати базовими визначеннями континуального інтегрування. На їх основі можна отримати деякі основні властивості континуального інтегрування.

1. Правило інтегрування по частинам:

$$\ \int \frac{\delta F[\varphi (x)]}{\delta \varphi (x)}D\varphi (x) = 0$$.

Оскільки загальний випадок із добутком полів можна отримати шляхом варіювання по джерелам $$\ J(x)$$ гауссої функції, то доведення достатньо провести лише для гауссових інтегралів:

$$\ \int \frac{\delta}{\delta \varphi (x)} e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D\varphi^{*} (x)D\varphi (x) = \int \left(i\varphi^{*}(x)\hat {K} + i J^{*}(x) \right)e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D\varphi^{*}D\varphi (x) = $$

$$\ = \left( \frac{\delta}{\delta J(x)} \hat {K} + iJ^{*}(x)\right)\int e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D\varphi^{*}D\varphi (x) \tilde {=} \left( \frac{\delta}{\delta J(x)} \hat {K} + iJ^{*}(x)\right)e^{-i\int d^{4}xd^{4}yJ^{*}(y)\hat {K}^{-1}(x - y)J(x)} = $$

$$\ = \left( -iJ^{*}(x)\hat {K}^{-1}\hat {K} + iJ^{*}(x)\right)e^{-i\int d^{4}xd^{4}yJ^{*}(y)\hat {K}^{-1}(x - y)J(x)} = 0$$.

2. Правило заміни змінної.

Від перейменування змінної інтегрування нічого не залежить, тобто $$\ \int D(\hat {A}\varphi )F(\varphi ) = \int D(\varphi )F(\hat {A}^{-1}\varphi )$$. Це означає, що

$$\ \int e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D(\varphi^{*} (x)\hat {A}^{*})D(\hat {A}\varphi (x)) = \int D (\varphi^{*}(x))D(\varphi (x))e^{i\int \left( \varphi^{*}(x)A^{-1^{*}}\hat {K}A^{-1}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)A^{-1^{*}}J(x)A^{-1} + J^{*}(x)A^{-1}\varphi (x)\right)d^{4}x} = $$

$$\ = \left(\frac{||\hat {K}||}{||\hat {A}||^{2}}\right)^{\sigma}e^{-i\int d^{4}xd^{4}yJ^{*}(x)\hat {A}^{-1}\hat {A}\hat {K}^{-1}\hat {A}^{-1}\hat {A}^{-1^{*}}J(y)} = \frac{1}{||\hat {A}||^{2\sigma}}\int e^{i\int \left(\varphi^{*}(x)\hat {K}\varphi (x) + \varphi^{*} (x)J(x) + J^{*}(x)\varphi (x)\right)d^{4}x}D(\varphi^{*} (x))D(\varphi (x)) \Rightarrow $$

$$\ \Rightarrow D(\hat {A}\varphi (x)) = ||\hat {A}||^{-\sigma}D \varphi (x)$$.

Тут, як і в п.1, знак комплексного спряження позначає своє спряження для кожного виду поля - бозонного чи ферміонного, а $$\ \sigma$$ дорівнює відповідно $$\ -1, 1$$ для бозонів та ферміонів.

3. Дельта-функція.

За визначенням, у континуальному інтегруванні дельта-функція визначається як

$$\ \delta (\varphi ) = \int D \lambda e^{i\int \lambda \varphi d^{4}x}$$.

Звідси слідує, що

$$\ F(\tilde {\varphi}) = \int D \varphi \delta (\varphi - \tilde {\varphi })F(\varphi )$$.

Нескладно переконатися, що викладки із комплексними полями (скалярним, ферміонним тощо) будуть ідентичні до викладок із дійсним скалярним полем. Тому доводимо для нього:

$$\ \int D\varphi \delta (\varphi - \tilde{\varphi})e^{i \int \left(\varphi \frac{\hat {K}}{2}\varphi + i\varphi J \right)d^{4}x} = \int D\lambda e^{-i\lambda \tilde {\varphi}}\int D\varphi e^{i \int \left(\varphi \frac{\hat {K}}{2}\varphi + i\varphi (J + \lambda ) \right)d^{4}x} = \frac{1}{\sqrt{||\hat {K}||}}e^{-\frac{1}{2}\int d^{4}xd^{4}yJ(x)\hat{K}^{-1}(x - y)J(y)}\int D\lambda e^{-\frac{1}{2} \lambda \hat{K}^{-1}\lambda - i\lambda (\tilde{\varphi} + \hat{K}^{-1}J)} = $$

$$\ = \frac{1}{\sqrt{||\hat {K}||}} \sqrt{||\hat {K}||}e^{-\frac{1}{2}\int d^{4}xd^{4}yJ(x)\hat{K}^{-1}(x - y)J(y)}e^{\frac{1}{2}(\tilde {\varphi} + J\hat{K}^{-1})\hat{K}(\tilde {\varphi} + K^{-1}J)} = e^{i\int d^{4}x \left(\tilde{\varphi}\frac{\hat{K}}{2}\tilde {\varphi} + \tilde{\varphi} J\right)d^{4}x}$$.

Звідси і з попередніх пунктів слідують рівності

$$\ \delta(A \varphi - \tilde {\varphi}) = \frac{\delta \left(\varphi - A^{-1}\tilde {\varphi}\right)}{||A||}, \quad \delta (f(\varphi )) = \frac{\delta (\varphi - \varphi_{0})}{||f'(\varphi_{0})||}, \quad f(\varphi_{0}) = 0$$.

Континуальний інтеграл та квантування сингулярних теорій за допомогою гамільтонового формалізму
Для цього розділу знадобиться розділ про гамільтонів формалізм. Нехай є гамільтонова система, у якій існують зв'язки $$\ \varphi_{\alpha}$$. Запишемо дію для неї як

$$\ \tilde{S} = \int \left( \sum_{i = 1}^{n}p_{i}\dot{q}_{i} - h(p, q) + \sum_{\alpha = 1}^{m < n}\varphi_{\alpha}\lambda_{\alpha}\right)dt$$.

Тут $$\ \lambda_{\alpha}$$ - лагранжеві множники. Звичайно, у слабкому сенсі $$\ \tilde{S} \approx S$$. Нехай теорія - сингулярна, тобто виконуються також рівності (є лише зв'язки першого роду)

$$\ [\varphi_{\alpha}, \varphi_{\beta}]_{P} = c^{\gamma}_{\alpha \beta}(p ,q)\varphi_{\gamma}, \quad [h, \varphi_{\alpha}]_{P} = c^{\alpha \beta}(p, q)\varphi_{\beta}$$.

Проквантувати теорію можна наступним чином. Нехай є $$\ m$$ додаткових умов $$\ \kappa^{m} = 0$$, для яких виконуються умови

$$\ det \left| [\varphi^{\alpha}, \kappa^{m}]_{P}\right| \neq 0, \quad [\kappa_{m}, \kappa_{n}]_{P} = 0$$

(остання умова не є суттєвою, проте вона часто виконується для більшості реалістичних теорій); ці додаткові умови, нагадаю, можуть обиратися внаслідок калібрувальної довільності гамільтоніану при існуванні зв'язків першого роду). Підпростір фазового простору $$\ \Gamma^{2n}$$, який визначається умовами $$\ \varphi^{\alpha} = 0, \quad \kappa^{m} = 0$$, представляє собою редукований підпростір $$\ \Gamma^{2(n - m)} $$. Внаслідок другої умови, що накладається на $$\ \kappa$$, можна вибрати $$\ \kappa^{m}$$ як співпадаючі із першими $$\ m$$ канонічними координатами. Тоді перша умова може бути переписана як

$$\ det \left| \frac{\partial \varphi^{\alpha}}{\partial p^{m}}\right| \neq 0 $$

(тут $$\ p^{m}$$ - спряжені до перших $$\ m$$ канонічних координат імпульси). В результаті рівняння зв'язків $$\ \varphi^{\alpha} = 0$$ можна розв'язати відносно перших $$\ m$$ канонічних імпульсів, а поверхня $$\ \Gamma^{2(n - m)}$$ тепер задається рівняннями

$$\ \kappa^{j} = q^{j} = 0, \quad p_{j} = p_{j}(q^{*}, p^{*}), \quad j = 1, ..., m$$

($$\ (p^{*}, q^{*})$$ - канонічні n - m координати).

Тому фазові простори $$\ \Gamma^{n}$$ із врахуванням умов $$\ \kappa^{j} = \varphi^{j} = 0$$ і $$\ \Gamma^{2n - 2m}$$ еквівалентні.

На рівні континуального інтегралу можна показати, що інтеграли

$$\ \int Dp^{*}Dq^{*}e^{i \int \left( \sum_{k = 1}^{n - m}p^{*}_{k}\dot{q}^{*}_{k} - h(p^{*}, q^{*})\right)dt}$$

і

$$\ \int DpDq D\lambda \delta (\kappa_{j})\det \left| [\varphi_{j}, \kappa_{k}]_{P}\right|e^{i \int \left( \sum_{k = 1}^{n}p_{k}\dot{q}_{k} - h(p, q) + \sum_{\alpha}\lambda_{\alpha}\varphi_{\alpha}\right)dt}$$

еквівалентні. Дійсно, інтегруючи по $$\ \lambda$$ другий інтеграл, можна отримати

$$\ \int DpDq D\lambda \delta (\kappa_{j}) \delta (\varphi_{j})\det \left| [\varphi_{j}, \kappa_{k}]_{P}\right|e^{i \int \left( \sum_{k = 1}^{n}p_{k}\dot{q}_{k} - h(p, q)\right)dt}$$.

Якщо перейти канонічними перетворенням до координат $$\ \kappa_{j} = q_{j}$$, то вираз $$\ \delta (\kappa_{j}) \delta (\varphi_{j})\det \left| [\varphi_{j}, \kappa_{k}]_{P}\right|$$ перетвориться у $$\ \delta (q_{j})\delta (p_{j} - p_{j}(q^{*}, p^{*}))$$. Нарешті, інтегруючи по $$\ Dq_{j}Dp_{j}$$, можна звести другий інтеграл до першого.

Отже, схема квантування сингулярних теорій у формалізмі континуального інтегрування побудована.