Дискретні перетворення групи Лоренца для спінорних представлень. Біспінорні представлення

Повернутися до розділу "Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца".

Оператор просторової інверсії та спінорні представлення групи
У випадку розгляду спінорних представлень оператор просторової інверсії вже не задовольняє тим комутаційним співвідношенням із оператором генераторів групи Лоренца, як у випадку із однозначними представленнями (див. розділ про дискретні перетворення). Їх можна визначити, використовуючи явний вигляд генераторів $$\ J_{(ab)}, J_{(\dot {a}\dot {b})}$$:

$$\ \hat {P}M_{(ab)} + M_{(\dot {a} \dot {b})}\hat {P} = 0, \quad \hat {P}M_{(\dot {a} \dot {b})} + M_{(a b)}\hat {P} = 0 \qquad (.15)$$.

В силу двозначності спінорного представлення, квадрати власних чисел оператору просторової інверсії можуть приймати значення $$\ 1, -1$$. Для доведення цього достатньо згадати факт двозначності спінору з одним індексом при повороті на кут $$\ 2 \pi$$.

Використовуючи $$\ (.15)$$, можна отримати вирази для дії оператору інверсії на оператори Казиміра групи Лоренца.

$$\ \hat {P}C_{1} = \hat {P}M_{ab}M^{ab} = -M_{\dot {a} \dot {b}}\hat {P}M^{ab} = M_{\dot {a}\dot {b}}M^{\dot {a}\dot {b}}\hat {P} = C_{2}\hat {P}, \quad \hat {P}C_{2} = C_{1}\hat {P}$$.

Далі, для поля $$\ \psi$$, що реалізує незвідне представлення $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$,

$$\ C_{1}\psi = -\frac{n(n + 2)}{2}\psi, \quad C_{2}\psi = -\frac{m(m + 2)}{2}\psi $$,

дія спочатку оператора $$\ \hat {P}$$, а після цього - операторів Казиміра дає

$$\ C_{1}\psi {'} = C_{1}\hat {P}\psi = \hat {P}C_{2}\psi = -\frac{m(m + 2)}{2}\psi{'}, \quad C_{2}\psi{'} = -\frac{n(n + 2)}{2}\psi{'}$$.

Таким чином, оператор просторового відображення перемішує стани $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right), \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$, а тому для того, щоб отримати незвідне представлення групи Лоренца (з урахуванням дискретних симетрій), треба взяти пряму суму представлень.

Оператор часової інверсії та спінорні представлення групи
Як показано у розділі про дискретні перетворення, комутаційними співвідношеннями оператора із однозначними представленнями групи Лоренца є

$$\ [\hat {\mathbf T}, \hat {M}_{0j}] = 0, \quad [\hat {\mathbf T}, \hat {M}_{ij}]_{+} = 0$$.

Аналогічним чином можна показати, що

$$\ \hat {\mathbf T}\hat {M}_{ab} + \hat {M}_{\dot {a}\dot {b}} \hat {\mathbf T} = 0, \quad \hat {\mathbf T}\hat {M}_{\dot {a}\dot {b}} + \hat {M}_{ab} \hat {\mathbf T} = 0$$,

$$\ C_{1} = M_{ab}M^{ab} \Rightarrow C_{1}\psi{'} = C_{1}\hat {\mathbf T}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = -\frac{m(m + 2)}{2}\psi{'}$$,

$$\ C_{2} = M_{\dot {a}\dot {b}}M^{\dot {a}\dot {b}} \Rightarrow C_{2}\psi{'} = C_{2}\hat {\mathbf T}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}} = -\frac{n(n + 2)}{2}\psi{'}$$.

Це, знову ж таки, означає, що дія оператора часової інверсії на представлення $$\ \left(\frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$ переводить його у представлення $$\ \left(\frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$$, тому незвідне представлення групи Лоренца з урахуванням дискретного оператора часової інверсії відповідає прямій сумі вказаних представлень.

З написаного у розділі видно, що операція $$\ \hat {\mathbf T}\hat {\mathbf P}$$ комутує з усіма генераторами $$\ J_{\mu \nu}$$,

$$\ [\hat {\mathbf T}\hat {\mathbf P}, \hat {J}_{\mu \nu}] = 0, \quad (\hat {\mathbf T}\hat {\mathbf P})^{2} = \hat {\mathbf E}$$,

а тому представлення $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$ є інваріантними відносно $$\ \hat {\mathbf T}\hat {\mathbf P}$$.

Комплексне спряження спінорних представлень
Нехай є спінорне представлення $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) \to \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}$$. Можна визначити операцію комплексного спряження як

$$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) \to \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right) \Rightarrow \bar {\psi}_{b_{1}...b_{m}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{n}} = \hat {C}\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{m}}, \quad \hat {C}^{2} = 1$$.

Це, знову ж таки, означає, що для повного представлення групи Лоренца при $$\ n \neq m$$ треба взяти суму представлень $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) \oplus \left( \frac{m}{2}, \frac{n}{2}\right)$$. Тепер можна побудувати дійсне представлення. Для того, щоб комплексне спряження переводило спінори суми представлень у самих себе, треба взяти пару $$\ (\psi_{a_{1}...a_{n}\dot {b}_{1}...\dot {b}_{n}}, \bar {\psi}_{b_{1}...b_{m}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{n}})$$. Такі пари виділяють підпростір у просторі прямих сум представлень, інваріантний відносно операції комплексного спряження (див. нижче детальніше про комплексне спряження прямої суми представлень).

Біспінорне представлення
Таким чином, для отримання незвідного представлення повної групи Лоренца треба брати суму спін-тензорних представлень $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right), \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$. Утворене представлення має вигляд $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right) \oplus \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$,

і тому дія операторів інверсії переводить його самого у себе.

Для частинного випадку $$\ \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2}\right)$$ представлення відповідає діраківському біспінору $$\ \Psi$$, який являє собою чотирьохкомпонентний стовпчик, дві верхні компоненти якого даються неточковим спінором $$\ \psi_{a}$$, а дві нижні - точковим $$\ \kappa_{\dot {a}}$$. В силу того, що перетворення групи Лоренца можна представити як

$$\ \delta \psi_{a} = \frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}(J_{\mu \nu})_{a}^{\quad b}\psi_{b}, \quad \delta \kappa^{\dot {a}} = \frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}(J_{\mu \nu})_{\quad \dot {b}}^{\dot {a}}\kappa^{\dot {b}} $$,

то, використовуючи вирази для генераторів групи Лоренца у спінорному представленні (див. підрозділ), можна отримати

$$\ \delta \psi_{a} = \frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}(\sigma_{\mu \nu})_{a}^{\quad b}\psi_{b}, \quad \delta \kappa^{\dot {a}} = \frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}(\tilde {\sigma }_{\mu \nu})_{\quad \dot {b}}^{\dot {a}}\kappa^{\dot {b}}$$.

Отже,

$$\ \delta \Psi = \frac{\omega^{\mu \nu}}{2}\begin{pmatrix} (\sigma_{\mu \nu})_{a}^{\quad b} & 0 \\ 0 & (\tilde {\sigma }_{\mu \nu})_{\quad \dot {b}}^{\dot {a}} \end{pmatrix}\Psi$$.

Якщо тепер ввести чотирьохрядні матриці та їх антисиметричні комбінації,

$$\ \gamma_{\mu} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{\mu} \\ \tilde {\sigma}_{\mu} & 0 \end{pmatrix}, \quad \Eta_{\mu \nu} = \frac{1}{4}\left( \gamma_{\mu}\gamma_{\nu} - \gamma_{\nu }\gamma_{\mu} \right) = \begin{pmatrix} \sigma_{\mu \nu} & 0 \\ 0 & \tilde {\sigma }_{\mu \nu} \end{pmatrix}$$,

то закон перетворення біспінора можна записати як

$$\ \delta \Psi = \frac{\omega^{\mu \nu}}{2}\Eta_{\mu \nu}\Psi$$.

Введені матриці $$\ \gamma_{\mu}$$ називаються матрицями Дірака. Їх алгебру та подальші операції з ними будуть розглянуті у підрозділі Алгебра матриць Дірака.

Відповідно до перетворень за групою Лоренца, $$\ \delta \Psi = \frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu}\Psi$$ видно, що генераторами групи Лоренца у біспінорному представленні є $$\ J_{\mu \nu} = -i\Eta_{\mu \nu}$$, а отже

$$\ \Psi_{a} {'} = (\hat {S} \Psi )_{a} = (e^{\frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}H_{\mu \nu}}\Psi)_{a}$$.

Варто також зазначити, що розмірність даного представлення на два більше, ніж повинно бути для представлення одночастинкових станів спіну $$\ \frac{1}{2}$$. Тому треба знайти оператор, дія якого на біспінор зменшує розмірність на два. Такий оператор визначає рівняння Дірака, про яке буде вестись мова далі.

Спряжений біспінор
Можна розглянути операцію комплексного спряження спінорних представлень на прикладі представлення $$\ \left(\frac{1}{2}, 0\right) + \left(0, \frac{1}{2}\right)$$. Отже, нехай задано біспінор

$$\ \Psi = (\psi_{a}, \bar {\kappa}^{\dot {a}})^{T}$$.

Тоді операцію комплексного спряження можна визначити як таку, що $$\ \psi_{a} \to \bar {\psi}_{\dot {a}}, \quad \bar {\kappa}^{\dot {a}} \to \kappa^{a}$$. Об'єднавши ці два спінори у строку, можна записати вираз для комплексно спряженого біспінора

$$\ \bar {\Psi} = \begin{pmatrix}\kappa^{a} & \bar {\psi}_{\dot {a}}\end{pmatrix} = \Psi^{+}\gamma^{0}$$.

Можна знайти інфінітезимальне перетворення для такого біспінора. Для спінорів

$$\ \delta \kappa^{a} = \frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}(\sigma_{\mu \nu})^{a}_{\quad b}\kappa^{b}, \quad \delta \bar {\psi}_{\dot {a}} = \frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}(\tilde {\sigma}_{\mu \nu})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}\bar {\psi}_{\dot {b}}$$.

Тоді

$$\ \delta \bar {\Psi} = \frac{\omega^{\mu \nu}}{2}\begin{pmatrix}\kappa^{a} & \bar {\psi}_{\dot {a}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} (\sigma_{\mu \nu})^{a}_{\quad b} & 0 \\ 0 & (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} \end{pmatrix}$$.

Враховуючи, нарешті, безслідовість матриць $$\ \sigma_{\mu \nu}, \tilde {\sigma}_{\mu \nu}$$, властивість $$\ \varepsilon^{ac}\varepsilon_{b d} = \delta^{a}_{b} \delta^{c}_{d} - \delta^{a}_{d}\delta^{c}_{b}$$ та слідуючий із них ланцюжок перетворень (можна взагалі одразу згадати, що перестановка індексів по висоті змінює знак)

$$\ (\sigma_{\mu \nu})^{a}_{\quad b} = \varepsilon^{ac}(\sigma_{\mu \nu})_{cb} = \varepsilon^{ac}\varepsilon_{cd}(\sigma_{\mu \nu})_{c}^{\quad d} = (\delta^{a}_{b} \delta^{c}_{d} - \delta^{a}_{d}\delta^{c}_{b})(\sigma_{\mu \nu})_{c}^{\quad d} = \delta^{a}_{b}(\sigma_{\mu \nu})_{c}^{\quad c} - (\sigma_{\mu \nu})_{b}^{\quad a} = -(\sigma_{\mu \nu})_{b}^{\quad a}, \quad (\tilde {\sigma}_{\mu \nu})_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} = -(\tilde {\sigma}_{\mu \nu})_{\quad \dot {a}}^{\dot {b}}$$,

можна записати закон перетворення в термінах вже знайомої з попереднього підрозділу матрицю $$\ \Eta_{\mu \nu}$$:

$$\ \delta \bar {\Psi} = -\frac{\omega^{\mu \nu}}{2}\begin{pmatrix}\kappa^{a} & \bar {\psi}_{\dot {a}}\end{pmatrix} \Eta_{\mu \nu} = -\frac{\omega^{\mu \nu}}{2}\bar {\Psi} \Eta_{\mu \nu}$$.

Тому на просторі спряжених біспінорів

$$\ \bar {\Psi}{'}_{\dot {a}} = (\bar {\Psi} e^{-\frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}H_{\mu \nu}})_{\dot {a}} = \bar {\Psi}\hat {S}^{-1}, \quad \hat {S} = e^{\frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}H_{\mu \nu}}$$.

При цьому виявляється, як і повинно бути для групи Лоренца, що $$\ \hat {S}^{+} \neq \hat {S}^{-1}$$,

як це і повинно бути для неунітарної групи Лоренца.

Спряжений біспінор введено для того, щоб отримати інваріант

$$\ \bar {\Psi}\Psi = \begin{pmatrix}\kappa^{a} & \bar {\psi}_{\dot {a}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi_{a} \\ \bar {\kappa}^{\dot {a}}\end{pmatrix} = \kappa^{a}\psi_{a} + \bar {\psi}_{\dot {a}}\bar {\kappa}^{\dot {a}} = inv$$:

$$\ (\bar {\Psi} \Psi ){'} = \bar {\Psi} \hat {S}^{-1}\hat {S}\Psi = inv$$.

Оператор зарядового спряження
Як вже зазначалося, при операції комплексного спряження представлення $$\ \left(\frac{n}{2}, 0 \right)$$ переходить у представлення $$\ \left( 0, \frac{n}{2}\right)$$. Це означає, що якщо розглядається представлення, що відповідає прямій сумі $$\ \left( \frac{n}{2}, 0\right) \oplus \left( 0, \frac{n}{2}\right)$$,

$$\ \Psi = \begin{pmatrix} \varphi_{a_{1},...a_{n}} \\ \kappa^{\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}} \end{pmatrix}$$, то реалізація операції комплексного спряження має бути такою, що

$$\ \Psi \to \Psi^{c} = \begin{pmatrix} \kappa_{a_{1}...a_{n}} \\ \varphi^{\dot{b}_{1}...\dot{b}_{n}} \end{pmatrix} \qquad (1)$$.

Операція $$\ \Psi \to \Psi^{c}$$ з фізичних причин (див. розділ Ще раз про дискретні симетрії групи Лоренца) називається зарядовим спряженням. При цьому на представленнях групи Лоренца вона є нічим іншим, як звичайним комплексним спряженням.

У частинному випадку представлення $$\ \left( \frac{1}{2}, 0 \right) \oplus \left( 0, \frac{1}{2}\right)$$

$$\ \Psi = \begin{pmatrix} \psi_{a} \\ \bar {\kappa}^{\dot {a}}\end{pmatrix} \to \Psi^{c} = \begin{pmatrix} \kappa_{a} \\ \bar {\psi}^{\dot {a}}\end{pmatrix} \Rightarrow \Psi_{c} = \hat {C}\bar {\Psi}^{T} \Rightarrow \hat {C} = \begin{pmatrix} \varepsilon_{ab}& 0 \\ 0 & \varepsilon^{\dot {a}\dot {b}}\end{pmatrix}$$.

Очевидно, закон перетворення зарядово спряжених спінорів є таким же, як і для "звичайних" біспінорів. Це видно із явного вигляду $$\ (1)$$ для спряженого спінора.

Можна ввести біспінор, що являється аналогом дійсних об'єктів:

$$\ \Psi_{M} \to \Psi_{M}^{c} = \Psi_{M} = \hat {C} \bar {\Psi}_{M}^{T}, \quad \Psi_{M} = \begin{pmatrix} \psi_{a} \\ \bar {\psi}^{\dot {a}}\end{pmatrix}$$.

Дійсно,

$$\ \Psi_{M (c)} = \begin{pmatrix} \varepsilon_{ab}& 0 \\ 0 & \varepsilon^{\dot {a}\dot {b}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi^{a} \\ \bar {\psi}_{\dot {a}}\end{pmatrix} = \Psi_{M}$$.

Такий біспінор називається майоранівським. Відповідно до визначення, він має дві незалежні компоненти та перетворюється як біспінор. Довільний діраківський спінор $$\ \Psi = \begin{pmatrix} \psi_{a} & \bar {\kappa}^{\dot {a}}\end{pmatrix}^{T} $$ може бути представлений як

$$\ \Psi = \Pi_{M} + i\Gamma_{M}, \quad (\pi_{M})_{a} = \frac{1}{2}\left(\psi_{a} + \kappa_{a}\right), \quad (\gamma)_{a} = \frac{1}{2 i}\left(\psi_{a} - \kappa_{a}\right)$$.

Дійсно, у явному вигляді

$$\ \Pi_{M} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \psi_{a} + \kappa_{a} \\ \bar {\psi}^{\dot {a}} + \bar {\kappa}^{\dot {a}}\end{pmatrix}, \quad \Gamma_{M} = \frac{1}{2 }\begin{pmatrix} \psi_{a} - \kappa_{a} \\ \bar {\frac{\psi}{i}}^{\dot {a}} - \bar {\frac{\kappa}{i}}^{\dot {a}}\end{pmatrix} = \left|\bar {\frac{\psi}{i}}^{\dot {a}} = \left(\frac{\psi}{i}\right)^{+}\gamma^{0} = -\frac{1}{i}\bar {\psi}^{\dot {a}}\right| = -\frac{1}{2 i}\begin{pmatrix} \psi_{a} - \kappa_{a} \\ \bar {\psi}^{\dot {a}} - \bar {\kappa}^{\dot {a}}\end{pmatrix}$$,

і сума цих майоранівських біспінорів дає результат.

Кіральні проектори
Можна побудувати проектори, які "вирізають" один із підпросторів $$\ \left( \frac{1}{2}, 0\right), \left( 0, \frac{1}{2} \right)$$ у біспінорного представлення. Звичайно, проектор оператору не буде комутувати із операторами дискретних симетрій групи Лоренца, за виключенням спеціальних випадків (буде розглянуто у розділі про Рівняння Дірака). Можна розглянути матрицю

$$\ \gamma_{5} = \frac{i}{4!}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta}\gamma^{\gamma}\gamma^{\delta} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$.

Оскільки $$\ \gamma_{5}^{2} = 1$$, то оператори $$\ \frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}$$ мають інваріантні властивості

$$\ \frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}\frac{1 \mp \gamma_{5}}{2} = \frac{1 - \gamma_{5}^{2}}{4} = 0, \quad \left(\frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}\right)^{2} = \frac{1 \pm 2\gamma_{5} + \gamma^{2}_{5}}{4} = \frac{1 \pm \gamma_{5}}{2}, \quad \frac{1 \pm \gamma_{5}}{2} + \frac{1 \mp \gamma_{5}}{2} = 1$$,

які дозволяють віднести їх до проекційних. У явному вигляді ці оператори записуються як $$\ \frac{1 + \gamma_{5}}{2} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \frac{1 - \gamma_{5}}{2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$.

Отже, вони проектують біспінор на підпростори $$\ \left( \frac{1}{2}, 0 \right), \left( 0, \frac{1}{2}\right)$$ відповідно (це очевидно у спінорному базисі).