Безмасові представлення. Спіральність

Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

Мала група та спіральність
Стандартним вектором безмасової "орбіти" групи Лоренца $$\ p_{\mu}p^{\mu} = 0$$, зручно вибрати $$\ k_{\mu} = (1, 0, 0, 1)$$. Можна знайти перетворення малої групи $$\ R(\Lambda, p)$$. Для цього зручно розглянути деякий 4-вектор $$\ t^{\mu} = (1, 0, 0, 0)$$. Для нього $$\ t^{\mu}t_{\mu} = t^{\mu}k_{\mu} = 1$$.

Оскільки перетворення групи Лоренца не змінює норму, а мала група є підгрупою групи Лоренца, то можна встановити дію малої групи на $$\ t^{\mu}$$:

$$\ (Rt)^{\mu}(Rk)_{\mu} = 1 \Rightarrow |(Rk)_{\mu} = k_{\mu}| \Rightarrow (Rt)_{\mu} = (1 + \varepsilon, \alpha , \beta , \varepsilon)$$.

Тепер можна використати умову незмінності добутку $$\ t^{\mu}t_{\mu} = 1$$. Вона дає

$$\ (Rt)^{\mu}(Rt)_{\mu} = 1 + \varepsilon^{2} + 2\varepsilon - \varepsilon^{2} - \alpha^{2} - \beta^{2} = 1 \Rightarrow \varepsilon = \frac{1}{2}(\alpha + \beta )$$.

Із урахуванням цього нескладно побачити, що (встановлюється із умови інваріантності $$\ k_{\mu}$$, умови $$\ (Rt)_{\mu} = (1 + \varepsilon, \alpha, \beta , \varepsilon)$$ і умови того, що матриця належить ортохронній компоненті зв'язності групи Лоренца)

$$\ (Rt)_{\mu} = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon & \alpha & \beta & -\varepsilon \\ \alpha & 1 & 0 & -\alpha \\ \beta & 0 & 1 & -\beta \\ \varepsilon & \alpha & \beta & 1 - \varepsilon \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = S_{\mu}^{\ \nu}(\alpha, \beta )t_{\nu}$$.

Ця рівність визначає перетворення $$\ R_{\mu}^{\ \nu}$$ з точністю до деякого тривимірного повороту, оскільки ці повороти не впливають на часоподібний вектор $$\ t_{\mu}$$. Тому

$$\ R_{\mu}^{\ \nu}(\alpha, \beta , \theta ) = \left( S(\alpha , \beta ) \tilde {R}(\theta)\right)_{\mu}^{\ \nu}, \quad \tilde {R}(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\theta ) & sin(\theta ) & 0 \\ 0 & -sin(\theta ) & cos(\theta ) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (1)$$,

де вигляд матриці $$\ \tilde {R}(\theta )$$ зафіксовано з умови інваріантності $$\ k^{\mu}$$.

Маючи $$\ (1)$$, можна "в лоб" отримати рівності

$$\ \tilde {R}(\theta_{1} )\tilde {R}(\theta_{2} ) = \tilde {R}(\theta_{1} + \theta_{2} ), \quad S(\alpha_{1} , \beta_{1} )S(\alpha_{2}, \beta_{2}) = S(\alpha_{1} + \alpha_{2}, \beta_{1} + \beta_{2}), \quad \tilde {R}(\theta ) S(\alpha , \beta ) \tilde {R}^{-1}(\theta) = S(\alpha cos(\theta ) + \beta sin(\theta ) , -\alpha sin(\theta ) + \beta cos(\theta )) \qquad (2)$$.

Звідси слідує, що $$\ R(\alpha, \beta , \theta )$$ ізоморфна власній групі Евкліда $$\ ISO_{+}(2, 1)$$, причому $$\ S(\alpha , \beta )$$ тотожна трансляціям площини, а $$\ \tilde {R}(\theta )$$ - поворотам у площині.

Представимо тепер алгебру генераторів групи. Для цього достатньо згадати, що в околі одиничного елементу алгебра група Лоренца представляється як

$$\ \hat {U}(\Lambda ) = 1 + \frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}\hat {J}_{\mu \nu} + ... \qquad (3)$$,

де $$\ \hat {J}_{\mu \nu} $$ утворюють генератори групи Лоренца (у даному випадку доцільніше не використовувати операторний формалізм для генераторів).

Розклавши $$\ (1)$$ в ряд з точністю до лінійних по параметрам величин, можна отримати матрицю

$$\ \omega_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} 1 + \varepsilon & \alpha & \beta & -\varepsilon \\ \alpha & 0 & \theta & -\alpha \\ \beta & -\theta & 0 & -\beta \\ \varepsilon & \alpha & \beta & 1 - \varepsilon \end{pmatrix}$$.

Записуючи $$\ (3)$$ у вигляді

$$\ \hat {U}(\alpha, \beta , \theta ) = 1 + \hat {A} \alpha + \hat {B} \beta + \hat {J} \omega \qquad (4)$$,

можна отримати

$$\ \hat {A} = \hat {J}^{01} + \hat {J}^{13} = - \hat {L}_{1} + \hat {R}_{2}, \quad \hat {B} = \hat {J}^{02} + \hat {J}^{23} = - \hat {L}_{2} - \hat {R}_{1}, \quad \hat {J} = -\hat {J}_{12} = \hat {R}_{3}$$.

Користуючись комутаційними співвідношеннями для генераторів групи Лоренца, можна отримати

$$\ [\hat {A}, \hat {B}] = 0, \quad [\hat {J}, \hat {A}] = - i\hat {B}, \quad [\hat {J}, \hat {B}] = -i\hat {A}$$.

В силу рівності нулю першого комутатора існують спільні власні стани для операторів $$\ \hat {A}, \hat {B}$$:

$$\ \hat {A}| k, a, b, \theta \rangle = a| k, a, b\rangle , \quad \hat {B}| k, a, b\rangle = b| k, a, b , \theta \rangle $$.

Можна тепер обмежити спектр цих операторів. Виходячи із третьої рівності $$\ (2)$$, $$\ \alpha \to \alpha cos(\theta ) + \beta sin(\theta ), \quad \beta \to -\alpha sin(\theta ) + \beta cos(\theta ) $$, тому, знову використовуючи $$\ (4)$$, можна отримати

$$\ \tilde {R}(\theta )\hat {A}\tilde {R}^{-1}(\theta ) = \hat {A}cos(\theta ) - \hat {B}sin(\theta ), \quad \tilde {R}(\theta )\hat {B}\tilde {R}^{-1}(\theta ) = \hat {A}sin(\theta ) + \hat {B}cos(\theta )$$,

і тому при довільних значеннях неперервного параметру $$\ \theta$$

$$\ \tilde {R}(\theta )\hat {A}\tilde {R}^{-1}(\theta )| k, a, b, \theta \rangle = (acos(\theta ) - bsin(\theta ))| k, a, b , \theta \rangle , \quad \tilde {R}(\theta )\hat {B}\tilde {R}^{-1}(\theta )| k, a, b , \theta \rangle = (asin(\theta ) + bcos(\theta ))| k, a, b , \theta \rangle$$.

Цей випадок відповідає пункту 3 класифікації незвідних представлень групи Пуанкаре за Вігнером. Оскільки експериментально для безмасових частинок не виявлено інших неперервних ступенів вільності, окрім як $$\ p^{\mu}$$, то повинно виконуватись $$\ a = b = 0$$.

Тому безмасові стани характеризуються лише власним значенням третього генератора групи, $$\ \hat {J}$$:

$$\ \hat {J}| k, \lambda \rangle = \lambda | k, \lambda \rangle $$,

і з $$\ (4)$$ згідно з експоненціальним законом можна буде отримати

$$\ U(R(\alpha, \beta , \lambda ))| k, \lambda \rangle = e^{i\theta \lambda }| k, \lambda \rangle \qquad (5)$$.

Звідси слідує, що безмасові частинки мають лише одну (за умови наявності лише неперервних перетворень) можливу поляризацію (власне число генератора поворотів як генератора незвідного представлення відповідає спіну, а оскільки розглядався стандартний вектор $$\ k_{\mu} = (1, 0, 0, 1)$$, то маємо поляризацію по напрямку частинки). Число $$\ \lambda $$ називається спіральністю.

Можна показати, що ця сама спіральність є коефіцієнтом пропорційності між оператором Любанського-Паулі та трансляцій (див. п. 2)

$$\ \hat {W}^{0}| k, \lambda \rangle = \frac{1}{2}\varepsilon^{0 \alpha \beta \gamma }\hat {J}_{\alpha \beta }\hat {P}_{\gamma}| k, \lambda \rangle = \frac{1}{2}2J^{3}| k, \lambda \rangle = \hat {J}_{3}| k, \lambda \rangle $$,

або у більш загальному вигляді -

$$\ \hat {W}^{0}| p, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} = \frac{1}{2}2S^{i}p_{i}| p, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} = (\hat {\mathbf S} \cdot \hat {\mathbf P})| p, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} = \hat {h}\hat {P}^{0}| p, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} $$.

Звідси, в силу того, що для безмасової частинки $$\ P_{0} = |\mathbf P |$$, можна отримати

$$\ \hat {h}| p, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} = \frac{(\hat {\mathbf S} \cdot \hat {\mathbf P})}{|\mathbf P|}| p, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} = \lambda | p, \lambda \rangle_{p^{2} = 0} \qquad (6)$$.

Отже, остаточно, за фізичним змістом оператор спіральності для безмасових частинок відповідає проекції власного моменту імпульсу на напрямок руху. $$\ (6)$$ наочно демонструє також лоренц-інваріантність спіральності.

В силу написаного вище можна було б розглядати безмасові частинки різної спіральності як частинки різного сорту, що не змішуються. Проте, як буде показано нижче, якщо відповідна полю взаємодія має симетрію по відношенню до просторової інверсії, частинки протилежних за модулем значень спіральності пов'язані операцією інверсії (іншими словами, при дії оператору інверсії на стан із даною спіральністю отримується стан із протилежною за знаком спіральністю із деяким коефіцієнтом). Для доведення цього треба розглянути операцію просторової інверсії.

Отже, остаточно, безмасові представлення під дією перетворення групи Пуанкаре перетворюються як

$$\ U(\Lambda, a)|\mathbf p, \lambda \rangle = U(1, a)U(\Lambda, 0)|\mathbf p, \sigma\rangle = e^{i( \Lambda p)^{\mu}a_{\mu}}N \sqrt{\frac{(\Lambda p)^{0}}{p^{0}}}e^{i\lambda \Theta (\Lambda , p)}| \Lambda p , \lambda\rangle $$.