Принцип невизначеності

Повернутися до розділу "Основи квантової механіки"

Фізичні експерименти (наприклад, дослід із двома щілинами) показують, що у рамках квантової механіки поняття траєкторії частинки у термінології класичної механіки не існує. Траєкторія у класичній механіці (в рамках, наприклад, Гамільтонового формалізму) задається координатою та імпульсом. Таким чином (у рамках класичної механіки) вимірюючи координату частинки, що рухається, з довільною точністю, можна з іншою довільною точністю, незалежною від точності виміру координати, виміряти відповідну проекцію імпульсу у той самий момент часу. Сукупність таких вимірювань дає знання динаміки частинки (а отже, її траєкторію тощо). У рамках же квантової механіки неможливо виміряти одночасно з довільною точністю ці дві величини.

Це можна описати у рамках квантової механіки в рамках властивостей операторів гільбертового простору. Обмеження, яке накладається неможливістю визначення траєкторії, можна математично сформулювати наступним чином: якщо двум фізичним величинам $$\ A, B$$ відповідають оператори $$\ \hat {A}, \hat {B}$$, і якщо вони не комутують, то ці величини не можуть бути виміряні з довільною точністю одночасно.

Це не є постулатом, оскільки у рамках сформульованої теорії доводиться. Дійсно, нехай комутатор $$\ [\hat {A}, \hat {B}]$$ дає новий оператор (уявна одиниця як множник обрана із міркувань, що наведені для лапок Дірака):

$$\ [\hat {A}, \hat {B}] = i \hat {C}$$.

Середні значення операторів даються виразами

$$\ \langle \hat {A} \rangle = \langle \Psi | \hat {A } | \Psi \rangle, \quad \langle \hat {B} \rangle = \langle \Psi | \hat {B } | \Psi \rangle $$,

а оператори відхилення від середнього -

$$\ \Delta \hat {A} = \hat {A} - \langle \hat {A} \rangle, \quad \Delta \hat {B} = \hat {B} - \langle \hat {B} \rangle$$.

Далі можна використати в деякій мірі стандартний підхід для виведення наступних викладок: визначити середнє значення виразу $$\ |\alpha \Delta \hat {A} + i \Delta \hat {B} | $$ у залежності від невід'ємного параметра $$\ \alpha $$, після цього мінімізувавши виразу по параметру.

$$\ I(\alpha ) = \langle (\alpha \Delta \hat {A} + i \Delta \hat {B})(\alpha \Delta \hat {A} - i \Delta \hat {B})\rangle = \alpha^{2}\langle (\Delta \hat {A})^{2}\rangle - i \alpha\langle \Delta \hat {A} \Delta \hat {B} \rangle + i\alpha \langle \Delta \hat {B} \Delta \hat {A} \rangle + \langle (\Delta \hat {B})^{2} \rangle $$.

Другий та третій доданки можна розписати як

$$\ - i \alpha\langle \Delta \hat {A} \Delta \hat {B} \rangle + i\alpha \langle \Delta \hat {B} \Delta \hat {A} \rangle = \alpha i\left( -\langle \hat {A} \hat {B}\rangle + \langle \langle \hat {A} \rangle \hat {B}\rangle + \langle \hat {A} \langle \hat {B} \rangle \rangle - \langle \langle \hat {A} \rangle\langle \hat {B} \rangle \rangle + \langle \hat {B} \hat {A} \rangle - \langle \langle B \rangle \hat {A} \rangle - \langle \hat {B}\langle \hat {A}\rangle \rangle + \langle\langle \hat {A}\rangle \langle \hat {A}\rangle \rangle \right) = \alpha \langle \hat {C} \rangle$$.

Тоді

$$\ I(\alpha ) = \alpha^{2}\langle (\Delta \hat {A})^{2}\rangle + \alpha \langle \hat {C} \rangle + \langle (\Delta \hat {B})^{2} \rangle \geqslant 0$$,

де нерівність справедлива в силу властивості $$\ \langle \Psi |\hat {A}^{+} \hat {A} | \Psi \rangle \geqslant 0$$ ермітово спряжених операторів (див. попередній підрозділ).

Тепер треба мінімізувати вираз. Для цього треба взяти похідну по параметру $$\ \alpha$$, прирівняти її до нуля, визначити екстремальне значення параметру і підставити у початковий вираз:

$$\ 2 \alpha \langle (\Delta \hat {A})^{2}\rangle + \langle \hat {C} \rangle = 0 \Rightarrow \alpha = -\frac{\langle \hat {C} \rangle}{2\langle (\Delta \hat {A})^{2}\rangle} \Rightarrow \langle (\Delta \hat {A})^{2}\rangle \langle (\Delta \hat {B})^{2}\rangle \geqslant \frac{\langle \hat {C} \rangle ^{2}}{4}$$,

що є виразом принципу невизначеності для довільних операторів.