Кватерніони

Повернутися до розділу "Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца".

Алгебра кватерніонів
"Кількісне" вивчення спінорів можна розпочати із аналізу матриць переходу, через які вони перетворюються. Такі матриці називаються кватерніонами. Такий шлях обраний через те, що так можна дати визначення спінорів - як векторів, що перетворюються за допомогою кватерніонів.

За допомогою комплексного аналізу можна описувати обертання у площині (інакше кажучи, навколо певної осі декартової системи координат):

$$\ z' = e^{-i \varphi}z = (cos(\varphi ) - isin(\varphi ))(x + iy) = xcos(\varphi ) + y sin(\varphi) + i(ycos(\varphi ) - xsin(\varphi )) = x + iy $$.

Проте двох параметрів комплексного числа не вистачає для описання обертання у тривимірному просторі. Для уможливлення подібного описання можна узагальнити поняття комплексного числа, формально збільшивши йому розмірність за допомогою введення більшої кількості "уявних одиниць". Можна також використати аксіоми асоціативності та замкнутості алгебри цих базисних "ортів" (добуток двох "ортів" дає один із ортів).

Нехай цими ортами є

$$\ \mathbf E, \quad \hat {\mathbf I}_{1}, \quad \hat {\mathbf I}_{2}, \quad \hat {\mathbf I}_{3} \qquad (.0)$$

(комбінація лише із двох ортів не привела би до замкнутої алгебри - див. міркування нижче), причому

$$\ \hat {\mathbf I}_{i}^2 = -\hat {\mathbf E}$$.

Використаємо аксіоми про асоціативність та замкнутість алгебри - визначимо наслідки з них. Для початку можна визначити результат множення пари ортів. Можна допустити, що їх добуток рівен

$$\ \hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j} = \hat {\mathbf I}_{i}$$.

Проте, множачи обидві частини на $$\ \hat {\mathbf I}_{i}$$ і враховуючи, що

$$\ \hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{i} = -\hat {\mathbf E} \qquad (.1)$$,

можна отримати

$$\ \hat {\mathbf I}_{j} = \hat {\mathbf E}$$,

чого бути не може, оскільки такий орт не є одиницею.

Отже, залишається варіант із

$$\ \hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j} = +/- \hat {\mathbf I}_{k}$$.

Можна вибрати варіант із знаком "плюс". Тоді, беручи квадрат від цього виразу, можна отримати

$$\ \hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j}\hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j} = -1$$.

Домножаючи його на $$\ \hat {\mathbf I}_{j}\hat {\mathbf I}_{i}$$ та використовуючи аксіому про асоціативність, можна отримати

$$\ \hat {\mathbf I}_{j}\hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j}\hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j} = \hat {\mathbf I}_{j}(\hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{i})\hat {\mathbf I}_{j}\hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j} = -(\hat {\mathbf I}_{j}\hat {\mathbf I}_{j})\hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j} = \hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j} =_{right} = -\hat {\mathbf I}_{j}\hat {\mathbf I}_{i} \qquad (.2)$$.

Видно, що мінімальна кількість ортів $$\ \hat {\mathbf I}_{j}$$ (плюс одиниця), які можуть утворити замкнуту алгебру, рівна чотирьом (для трьох ортів при будь-якому законі $$\ \hat {\mathbf I}_{j}\hat {\mathbf I}_{i}$$ виходило б, що два орти або один орт та одиниця обов'язково співпадають).

Представлення базисних кватерніонів. Матриці Паулі
Вирази $$\ (.1), (.2)$$ можна записати як

$$\ \hat {\mathbf I}_{i}\hat {\mathbf I}_{j} = \delta_{ij}\hat{\mathbf E} + \varepsilon_{ijk}\hat {\mathbf I}^{k} \qquad (.3)$$.

Схожу алгебру мають матриці

$$ \hat {\sigma}_{1} = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix}, \quad \hat {\sigma}_{2} = \begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix}, \quad \hat {\sigma}_{3} = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix} $$:

$$\ \hat {\sigma}_{i}\hat {\sigma}_{j} = \delta_{ij}\hat {\mathbf E} + i\varepsilon_{ijk}\hat {\sigma}^{k} \qquad (.4)$$,

якщо вважати $$\ \hat{\mathbf E} $$ у $$\ (.3)$$ одиничною матрицею.

Тоді можна представити базисний кватерніон $$\ \hat {\mathbf I}_{i}$$ через матрицю $$\ \hat {\sigma}_{i}$$:

$$\ \hat {\mathbf I}_{i} = -i\hat {\sigma}_{i}$$.

Дійсно, підставивши у $$\ (.3)$$ цей вираз, можна отримати:

$$\ -\hat {\sigma}_{i}\hat {\sigma}_{j} = -\delta_{ij}\hat {\mathbf E} - i\varepsilon_{ijk}\hat {\sigma}^{k} \Rightarrow (.4)$$.

Аналогічно можна представити комплексне число $$\ z = a + ib$$ через матриці:

$$\ \hat {\mathbf z} = \hat {\mathbf E}a + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}b = \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix}$$.

Дійсно, зануливши коефіцієнт $$\ a$$ та піднісши ліву та праву частини до квадрату, можна переконатись, що матриця при $$\ b $$ представляє уявну одиницю. Проте сама уявна одиниця - абстрактний об'єкт, що аж ніяк не рівен вказаній матриці.

Тепер, маючи представлення базисних кватерніонів через введені матриці, які називаються матрицями Паулі, можна записати довільний кватерніон через розклад по базису $$\ (.0) $$ за допомогою деякого скаляра $$\ a_{0}$$ та 3-вектора $$\ \mathbf a$$:

$$\ \hat {\mathbf B} = a_{0}\hat {\mathbf E} + (\mathbf a \cdot \hat {\sigma} ), \quad (\mathbf a \cdot \hat {\sigma} ) = a_{i}\hat {\sigma }^{i} $$.

Виходячи із наведеного вище виразу, можна отримати деякі вирази для множення кватерніонів:

$$\ (\mathbf a \cdot \hat {\sigma})(\mathbf b \cdot \hat {\sigma}) = a_{i}\hat {\sigma}^{i}b_{i}\hat {\sigma}^{j} = a_{i}b_{j}\hat {\sigma}^{i}\hat {\sigma}^{j} = |(.4)| = a_{i}b_{j}\delta^{ij}\hat {\mathbf E} + a_{i}b_{j}\varepsilon^{ijk}\hat {\sigma}_{k} = (\mathbf a \cdot \mathbf b ) + i ([\mathbf a \times \mathbf b ] \cdot \hat {\sigma}) $$.

$$\ (\hat {\mathbf A} \cdot \hat {\mathbf B} ) = ((\alpha_{0}\hat {\mathbf E} + (\mathbf a \cdot \hat \sigma) ) \cdot (\beta_{0}\hat {\mathbf E} + (\mathbf b \cdot \hat \sigma))) = \alpha_{0}\beta_{0}{\hat \mathbf E} + ((\alpha_{0}\mathbf b + \beta_{0}\mathbf a ) \cdot \hat \sigma ) + (\mathbf a \cdot \hat \sigma)(\mathbf b \cdot \hat \sigma) = (\alpha_{0}\beta_{0} + (\mathbf a \cdot \mathbf b))\hat {\mathbf E} + ((\alpha_{0}\mathbf b + \beta_{0}\mathbf a + i [\mathbf a \times \mathbf b ] ) \cdot \hat \sigma )$$.

3. Можна ввести спряжений до даного кватерніон

$$\ \hat {\mathbf A}^{-} = \alpha_{0}\hat {\mathbf E} - (\mathbf r \cdot \hat \sigma)$$.

Саме такий вираз був обраний для того, щоб норма кватерніона була дійсною величиною:

$$\ |\hat {\mathbf A}|^{2} = \hat {\mathbf A}\hat {\mathbf A}^{-}(\alpha_{0}\hat {\mathbf E} + (\mathbf a \cdot \hat \sigma))(\alpha_{0}\hat {\mathbf E} - (\mathbf a \cdot \hat \sigma)) = \alpha_{0}^{2}\hat {\mathbf E} - (\mathbf a \cdot \hat \sigma)(\mathbf a \cdot \hat \sigma) = (\alpha_{0} - \mathbf a^{2})\hat {\mathbf E}$$.

Звідси видно, що норма кватерніона співпадає з нормою деякого 4-вектора $$\ \hat {a}{\alpha} = (\alpha_{0}, \mathbf a )$$. Виникає ідея перевірити, чи реалізує сам кватерніон представлення 4-вектора. Для цього треба перевірити, як перетворюються його компоненти при перетвореннях, пов'язаних з обертанням системи координат. По-перше, можна отримати матрицю, що відповідає загальному обертанню навколо вісі, що задається деяким вектором (для цього, власне, і були розглянуті кватерніони). Окрім цього, оскільки базисних елементів кватерніона - чотири, можна спробувати отримати матрицю, яка реалізує перетворення Лоренца.

Фізичний зміст деяких кватерніонів
Якщо норма кватерніона одинична, скалярна частина - дійсна, векторна - чисто уявна, то кватерніон відповідає кватерніону обертання:

$$\ \hat {\mathbf R} = cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)\hat {\mathbf E} + i sin\left(\frac{\varphi}{2}\right) (\mathbf n \cdot \hat \sigma ) \qquad (.5)$$.

Якщо норма одинична, скалярна і векторна частини дійсні, то кватерніон відповідає лоренцівському бусту:

$$\ \hat {\mathbf L} = ch\left(\frac{\alpha}{2}\right)\hat {\mathbf E} - sh\left(\frac{\alpha}{2}\right) (\mathbf m \cdot \hat \sigma ), \quad \mathbf m = \frac{\mathbf v}{v}, \quad \alpha = arth(v) \qquad (.6)$$.