Реалізація для групи SU(2)

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

На основі калібрувального принципу у попередньому розділі були побудовані теорії взаємодії біспінорного діраківського поля та комплексного скалярного поля із електромагнітним полем. Аналогічним чином, із використанням відповідного принципу, можуть бути побудовані взаємодії полів вищих спінів з електромагнітним полем.

Проте для описання сильної та електрослабкої взаємодій необхідне розширення групи локального калібрувального перетворення. Історично така ідея була суто математичною - грунтувалася на ідеї принципу калібрувальної інваріантності та наступному збільшенню ступенів вільності, пов'язаних із набором калібрувальних полів. Потім було знайдено багато частинок, які приймали участь у сильній та слабкій взаємодіях. Після цього було встановлено, що все різноманіття "сильних" частинок може бути зведене до невеликої кількості "фундаментальних частинок", названих кварками. Було введено поняття квантової ступені вільності кварків - колір. Якщо врахувати природню умову калібрувальної інваріантності, виявиться, що калібрувальне поле для сильної взаємодії може бути описане представленням $$\ SU(3)$$. Аналогічно, для електрослабкої взаємодії поле описується групою $$\ SU(2)$$ (правильніше, $$\ SU(2) \otimes U(1)$$). У наступних розділах ці теорії сформульовані математично.

Група $$\ SU(2)$$ має в якості генераторів три матриці Паулі. Довільна матриця групи записується як $$\ U = e^{i\sigma_{j}\varphi^{j}}$$. Матриця залишає інваріантом (при перетвореннях виду $$\ \Psi \to U \Psi, \quad \Psi^{\dagger} \to \Psi^{\dagger}U^{\dagger}$$) білінійну форму

$$\ \Psi^{\dagger}\Psi = {\Psi^{*}}^{1}\Psi^{1} + {\Psi^{*}}^{2}\Psi^{2}$$,

Можна розглянути випадок, коли $$\ \Psi^{1, 2}$$ являються біспінорами. Тоді $$\ \Psi^{i} = \Psi^{i}_{\alpha}$$, а поле $$\ \Psi$$ має вісім комплексних компонент. В силу того, що компоненти поля - біспінори, для кожного з них справедливе рівняння Дірака, а тому - і відповідний лагранжіан, тому в лагранжіан самого поля входять окремо лагранжіани біспінорів. В результаті лагранжіан має вигляд

$$\ L = \bar {\Psi }\gamma^{\mu}i\partial_{\mu}\Psi - m\bar {\Psi}\Psi = \left|\bar {\Psi} = \Psi^{+}\gamma^{0}\right| = (\Psi^{+})^{c}_{\alpha}(\gamma^{0} \gamma^{\mu})_{\alpha \beta }i\partial_{\mu}\Psi^{c}_{\beta } - m(\Psi^{+})^{c}_{\alpha}(\gamma^{0})_{\alpha \beta }\Psi^{c}_{\beta } \qquad (.0)$$,

де сумується по $$\ c$$ від одного до двох, по $$\ \alpha, \beta $$ - від одного до чотирьох.

Лагранжіан є інваріантним відносно глобального перетворення $$\ SU(2)$$, параметри якого не залежать від координат та часу:

$$\ \psi_{\alpha}{'}_{c} = U_{cb}\psi^{b}_{\alpha}, \quad U^{+}_{ac}U_{cb} = U_{ca}^{*}U_{cb} = \delta_{ab} \qquad (.1)$$.

Індекси $$\ a, b, c$$ називаються "кольоровими".

Аналогічно до випадку зі "звичайною" калібрувальною інваріантністю, можна перейти до локально інваріантного лагранжіану. Спочатку можна подовжити похідну (процедура із диференціюванням матриці $$\ U$$ є складною в силу некомутативності $$\ ((\partial_{\mu}\mathbf {\omega} )\cdot \hat {\mathbf \sigma}), (\mathbf {\omega }\hat {\mathbf \sigma})$$). Подовження похідної здійснюється за рахунок чотирьох матриць 2*2 $$\ A^{\mu}_{ab}$$:

$$\ L{'} = \bar {\Psi }\left(\gamma^{\mu}i\partial_{\mu} + g\gamma^{\mu}A_{\mu}\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi \qquad (.2)$$,

і, переходячи до локального калібрувального перетворення $$\ (.1)$$, можна отримати

$$\ L{'} \to \bar {\Psi }U^{+}\gamma^{\mu}\left( i \partial_{\mu} + g{A_{\mu}}{'}\right) U \Psi - m\bar {\Psi}\Psi = \bar {\Psi}\gamma^{\mu}\left( iU^{+}(\partial_{\mu} U) + i \partial_{\mu} + gU^{+}{A_{\mu}}{'}U\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi \qquad (.3)$$,

де $$\ U^{+}$$ переставляється із $$\ \gamma^{\mu}$$ через те, що (як видно із закону перетворення) вона згортається із біспінором $$\ \bar {\Psi}$$.

Враховуючи, що із унітарності $$\ U$$ слідує

$$\ UU^{+} = 1 \Rightarrow \partial_{\mu}(UU^{+}) = (\partial_{\mu}U)U^{+} + U(\partial_{\mu} U^{+}) = 0 \Rightarrow (\partial_{\mu}U)U^{+} = -U(\partial_{\mu} U^{+})$$,

$$\ (.3)$$ перейде в $$\ (.2)$$, якщо для поля $$\ A_{\mu}$$ виконується калібрувальне перетворення

$$\ gU^{+}A_{\mu}^{'}U = gA_{\mu} - iU^{+}(\partial_{\mu} U)$$,

або, якщо домножити зліва та зправа на $$\ U, U^{+}$$ відповідно,

$$\ A_{\mu}{'} = UA_{\mu}U^{+} - \frac{i}{g}(\partial_{\mu} U) U^{+} = UA_{\mu}U^{+} + \frac{i}{g}U\partial_{\mu} U^{+} = \frac{i}{g}UD_{\mu}U^{+}, \quad D_{\mu} = \partial_{\mu} - igA_{\mu}$$.

Можна знайти вираз для введеної подовженої похідної від поля $$\ \Psi$$. Беручи пряме калібрувальне перетворення, можна отримати

$$\ D_{\mu}{'}\Psi{'} = UD_{\mu }U^{+}\Psi{'}$$.

Ці похідні не комутують одна з одною. Дійсно,

$$\ [D_{\mu}, D_{\nu}]\Psi = [\partial_{\mu}, \partial_{\nu}]\Psi - ig\left( [\partial_{\mu}, A_{\nu}] + [A_{\mu}, \partial_{\nu}]\right) \Psi - g^{2}[A_{\mu}, A_{\nu}]\Psi = $$

$$\ = -ig\left( (\partial_{\mu}A_{\nu}) + A_{\nu}\partial_{\mu} - A_{\nu}\partial_{\mu} + A_{\mu}\partial_{\nu} - A_{\mu}\partial_{\nu} - (\partial_{\nu}A_{\mu}) - ig[A_{\mu}, A_{\nu}]\right)\Psi = -igF_{\mu \nu}\Psi, \quad F_{\mu \nu} = (\partial_{\mu}A_{\nu}) - (\partial_{\nu}A_{\mu}) - ig[A_{\mu}, A_{\nu}]$$,

де введено матрицю тензорів напруженості $$\ F_{\mu \nu} = D_{\mu}A_{\nu} - D_{\nu}A_{\mu}$$. Її калібрувальне перетворення дає

$$\ F_{\mu \nu}{'}\Psi{'} = UF_{\mu \nu}U^{+}\Psi{'}$$.

Калібрувальне поле можна розкласти по базису матриць Паулі:

$$\ A_{\mu} = \frac{1}{2}A_{\mu}^{c}\hat {\sigma}_{c} = \frac{1}{2}(\mathbf {A}_{\mu}\cdot \hat {\mathbf {\sigma}}), \quad \mathbf {A}_{\mu} = (A_{\mu}^{1}, A_{\mu}^{2}, A_{\mu}^{3})$$.

Це означає, що калібрувально-інваріантне біспінорне поле $$\ (.2)$$ взаємодіє із трьома 4-векторними полями $$\ A_{\mu}^{i}$$.

За допомогою отриманого розкладу можна розкласти також тензор поля $$\ F_{\mu \nu}$$:

$$\ F_{\mu \nu} = D_{\mu}A_{\nu} - D_{\nu}A_{\mu} = \partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\mu }A_{\nu} - ig[A_{\mu}, A_{\nu}] = \frac{1}{2}\left( \partial_{\mu}\mathbf {A}_{\nu} - \partial_{\nu}\mathbf {A}_{\mu}\right)\mathbf {\sigma} - \frac{ig}{4}A_{\mu}^{a}A_{\nu}^{b}[\sigma_{a},\sigma_{b}] = \left|[\sigma_{a},\sigma_{b}] = \delta_{ab}\mathbf E + i\varepsilon_{abc}\sigma^{c} - \delta_{ba}\mathbf E - i\varepsilon_{bac}\sigma^{c} \right| = $$

$$\ = \frac{1}{2}\left( \partial_{\mu}\mathbf {A}_{\nu} - \partial_{\nu}\mathbf {A}_{\mu}\right) \cdot \mathbf {\sigma} + \frac{g}{2}A_{\mu}^{a}A_{\nu}^{b}\varepsilon_{abc}\sigma^{c} = \frac{1}{2}\left( \partial_{\mu}\mathbf {A}_{\nu} - \partial_{\nu}\mathbf {A}_{\mu}\right)\mathbf {\sigma} + \frac{g}{2}([\mathbf A_{\mu} \times \mathbf A_{\nu}]\cdot \sigma ) = \frac{1}{2}\mathbf F_{\mu \nu}^{c}\sigma_{c}$$.

Можна повернутися до лагранжіану поля. Додаючи до $$\ (.2)$$ калібрувально-інваріантний доданок $$\ \frac{1}{16 \pi}\mathbf {F}_{\mu \nu}^{a}\mathbf {F}^{\mu \nu}_{a}$$, можна отримати

$$\ L = \bar {\Psi }\gamma^{\mu} \left(i\partial_{\mu} + gA_{\mu}\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi - \frac{1}{16 \pi}(\mathbf F_{\mu \nu} \mathbf F^{\mu \nu}) = \bar {\Psi }\gamma^{\mu}\left(i\partial_{\mu} + \frac{g}{2}(\mathbf A_{\mu}\hat {\mathbf \sigma })\right)\Psi - m\bar {\Psi}\Psi - \frac{1}{16 \pi}(\mathbf F_{\mu \nu}^{a} \mathbf F^{\mu \nu}_{a}) \qquad (.4)$$.

Відповідне рівняння поля дає

$$\ -2 \pi g\bar {\Psi }\gamma^{\mu}\hat {\mathbf \sigma }\Psi = \frac{1}{4 \pi}\partial_{\alpha}F^{\alpha \beta} + [\mathbf A_{\nu} \times \mathbf F^{\nu \beta}]$$.

Можна отримати вираз для нетерівського струму, якщо розкласти матрицю перетворення в ряд по параметру $$\ \mathbf \omega$$:

$$\ \Psi {'} = U\Psi \approx \left( \hat {\mathbf E} + \frac{i}{2}(\mathbf \omega \cdot \hat {\mathbf \sigma})\right) \Psi, \quad \bar {\Psi}{'} = \bar {\Psi}U^{+} \approx \bar {\Psi} \left( \hat {\mathbf E} + \frac{i}{2}(\mathbf \omega \cdot \hat {\mathbf \sigma})\right), \quad A_{\mu}{'} \approx (\mathbf A_{\mu} + [\mathbf A_{\mu} \times \mathbf \omega ])\cdot \hat {\mathbf \sigma} \qquad (5)$$

(для третього виразу не враховується розклад доданку $$\ \frac{i}{g}U\partial_{\mu} U^{+}$$, оскільки він все одно скоротиться із відповідним доданком лагранжіану).

Використовуючи вираз для нетерівського струму (див. підрозділ "Теорема Нетер" статті "Теорія поля")

$$\ J^{\mu }_{a} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, a} - \left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\nu}\Psi_{k} - \delta_{\nu}^{\mu}L\right)X^{\nu}_{a}$$

та враховуючи, що $$\ X^{\nu}_{a} = 0$$, із виразу $$\ (.4)$$ можна отримати (одразу враховується, що $$\ \left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi {'})}\right)_{\omega_{a} = 0} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi )}$$)

$$\ J^{\mu}_{a} = \left( \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi )}\frac{\partial \Psi {'}}{\partial \omega^{a}} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \bar {\Psi})}\frac{\partial \bar {\Psi} {'}}{\partial \omega^{a}} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\mathbf A_{\nu}^{m})}\frac{\partial \mathbf A_{\nu}^{m}{'}}{\partial \omega^{a}} \right)_{\omega_{a} = 0} = $$

$$\ = \left| \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\mathbf A_{\nu}^{m})}\frac{\partial \mathbf {(A_{\nu})}^{m}{'}}{\partial \omega^{a}} = -\frac{1}{4 \pi}(F^{\mu \nu})_{m}\partial_{\omega_a}([\mathbf A_{\nu} \times \mathbf \omega ])^{m} = -\frac{1}{4 \pi}(F^{\mu \nu})_{m}\partial_{\omega_{a}}(\varepsilon^{mjk}(A_{\nu})_{j}\omega_{k}) = -\frac{1}{4 \pi}(F^{\mu \nu})_{m}\varepsilon^{mj}_{\quad a}(A_{\nu})_{j} = -\frac{1}{4 \pi}[\mathbf A_{\nu} \times \mathbf F^{\nu \mu}]_{a}\right| = $$

$$\ = \left| \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \bar {\Psi})} = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi ^{a})}\frac{\partial \Psi {'}}{\partial \omega^{a}} = i\bar {\Psi}\gamma^{\mu}\frac{i}{2}\hat {\sigma}_{a}\Psi = -\frac{1}{2}\gamma^{\mu}\hat {\sigma}_{a}\Psi \right| = $$

$$\ = -\frac{1}{2}\gamma^{\mu}\hat {\sigma}_{a}\Psi -\frac{1}{4 \pi}[\mathbf A_{\nu} \times \mathbf F^{\nu \mu}]_{a}$$.