Мезони як псевдоголдстоунівські бозони

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Спонтанне порушення симетрії та конфайнмент. Загальний підхід
Виявляється, що явище спонтанного порушення кіральної симетрії у КХД напряму пов'язане із явищем конфайнменту. Точніше кажучи, конфайнмент у КХД має наслідком спонтанне порушення кіральної симетрії. Якісно це можна зрозуміти наступним чином.

Отже, КХД - теорія із конфайнментом. Нехай для спрощення маси кварків дорівнюють нулю. Внаслідок конфайменту кварки будь об'єднуватися у пари під дією незалежного від спіну притягувального потенціалу. Квазікласично такі пари відповідають так званим $$\ s-$$хвилям, у яких кварки осцилюють вперед і назад вздовж прямої лінії. Така траєкторія є забороненою кіральною симетрією. Дійсно, при проходженні кварком прямої траєкторії на відстані характерного радіусу зв'язаного стану від його центру той повертається назад, змінюючи напрямок руху без зміни напрямку спіну; таким чином, якщо радіус зв'язаного стану скінченний, спіральність не зберігається. Враховуючи, що для безмасових ферміонів спіральність співпадає із кіральністю, приходимо до висновку, що існування таких зв'язаних станів порушує кіральну симетрію.

Формально ж спонтанне порушення кіральної симетрії виникає із конфайнменту у КХД через те, що на квантовому рівні симетрії теорії зберігаються незалежно від масштабу, на яких розглядається дана теорія. Іншими словами, якщо струм не зберігається через наявність квантової аномалії на одному масштабі $$\ \Lambda_{1}$$ із певним набором ступенів вільності $$\ \varphi_{\Lambda_{1}}$$, то, незалежно від динаміки цих ступенів вільності, аналог цього струму, побудований із полів $$\ \varphi_{\Lambda_{2}}$$, що діють на масштабі $$\ \Lambda_{2}$$, не буде зберігатися через аномалію із тим самим коефіцієнтом (прикладом є баріонний струм). Це можна зрозуміти із того факту, що аномалії є масштабно-інваріантними, що буде обговорюватися у статті про аномалії у ефективних теоріях поля. Проте у даному розділі буде розглянуте інше обГрунтування.

Розглянемо загальну теорію із кіральними ферміонами, яка має глобальну непорушену калібрувальними полями групу симетрії $$\ G$$. Тобто, відсутні аномалії виду $$\ \text{G}\text{G}^{2}_{\text{gauge}}$$, де $$\ \text{G}_{\text{gauge}}$$ - калібрувальна група теорії. Нехай далі сама група $$\ G$$ спонтанно не порушується і є аномальною, тобто присутня аномалія виду $$\ G^{3}$$. Іншими словами, симетричний тензор

$$\ d_{abc}^{G} \equiv \text{Tr}\left[ [T^{G}_{a}, T^{G}_{b}]_{+}T^{G}_{c}\right]_{\text{L}} - \text{L}\leftrightarrow \text{R}$$

у трикутній діаграмі із струмами симетрії $$\ G$$ є ненульовим; тут $$\ T^{G}_{c}$$ позначає генератори групи $$\ G$$. Наприклад, для "чистої" (без електрослабких взаємодій) квантової хромодинаміки у кіральному ліміті глобальною групою симетрії є $$\ G \simeq SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)\times U_{B}(1)$$ (див. розділ нижче), і в силу кіральної структури цієї групи аномалії виду $$\ SU_{L/R}(3)^{3}, SU_{L/R}(3)^{2}U_{B}(1)$$ є ненульовими:

$$\ d_{abc}(\text{SU}_{\text{L/R}}^{3}) \sim \pm 3, \quad d_{abc}(\text{SU}_{\text{L/R}}(2)^2\text{U}_{\text{B}}(1)) \sim \pm 3$$.

На шкалах, нижчих за шкалу конфайнменту, ферміони теорії існують у вигляді зв'язаних станів; ними можуть бути як бозони, так і ферміони. Це означає, що ефективна теорія на таких масштабах може бути записана у термінах зв'язаних станів, а ферміони же відинтегровуються. Нехай ми формально додали ферміонів-спостерігачів, які є синглетами відносно групи $$\ G_{\text{gauge}}$$, проте які вносять вклад у коефіцієнт $$\ d_{abc}^{G}$$ такий, що при врахуванні усіх ферміонів - початкових теорії і спостерігачів - симетрія стає неаномальною. Тоді можна формально "прокалібрувати" цю симетрію із збереженням унітарності, зробивши її локальною; величина константи зв'язку може бути обрана будь-якою, тому для нехтовно малого впливу на динаміку конфайнменту її можна зробити як завгодно малою. Внаслідок збереження унітарності теорії незалежно від її масштабу слідує, що неаномальність початкової теорії призводить до неаномальності ефективної теорії. Проте ферміони-спостерігачі не зазнають впливу конфайнменту, оскільки є синглетами відносно калібрувальної групи $$\ G_{\text{gauge}}$$. У результаті вони вносять вклад у аномалію такий же, як і для фундаментальної теорії. Це означає, що зв'язані стани оригінальної теорії мають вносити такий же вклад у аномалію, як і оригінальні кіральні ферміони. Нарешті, оскільки наведені міркування не приймали до уваги значення константи зв'язку $$\ g_{G}$$ при калібруванні групи $$\ G$$, то її можна просто покласти рівною нулю. Таким чином, вищевказана умова має бути вірною і для теорії без ферміонів-спостерігачів.

Які зв'язані стани можуть вносити внесок до аномалії? Як розказано у розділі про аномалії, неаналітичність трьохточки $$\ \Gamma^{abc}_{\mu \nu \rho}(k_{1}, k_{2}, -(k_{1}+k_{2}))$$ при $$\ k_{1} = k_{2} = 0$$ вимагає її полюсної структури. Це означає, що лише безмасові зв'язані стани можуть вносити вклад у аномалію. Виявляється, що безмасові зв'язані стани спіральності нуль можуть з'являтися у теорії лише тоді, коли $$\ G$$ (частково чи повністю) спонтанно порушена. Отже, у результаті мають бути стани спіральності одна друга і старше. Проте із теореми Вайнберга-Віттена слідує, що жодна безмасова частинка спіральності більше за 1 не може існувати у лоренц-інваріантній теорії, тому лише стани спіральності 1/2 та 1. Стани $$\ A$$ же спіральності 1 можуть, в принципі, виникнути як матричні елементи $$\ \langle A|j_{\mu}^{a}(x) |0\rangle$$. Проте це також порушує лоренц-інваріантність. Дійсно, мала група світлоподібного 4-вектора - група Евкліда. Під дією перетворення групи кожний із двоспірального стану векторної частинки перетворюється як нетривільне одновимірне представлення групи Евкліда. З іншого боку, лише одне, що паралельне відповідному імпульсу, перетворюється відповідно одновимірному тривіальному представленню групи. Таким чином, векторні стани також не можуть бути безмасовими, і в теорії із конфайнментом, але без спонтанного порушення симетрії можуть бути лише ферміонні безмасові стани.

Умова на безмасові ферміонні стани. Необхідність спонтанного порушення симетрії у КХД
У загальному випадку такі ферміони можна і не знайти у спектрі, оскільки квантові числа зв'язаних станів відрізняються від квантових чисел фундаментальних ферміонів. 'т Хоофтом було отримано загальне співвідношення, яке зв'язує фундаментальні представлення, які відповідають ферміонним зв'язаним станам, із фундаментальними представленнями, у яких знаходилися початкові ферміони, для глобальної групи $$\ G\simeq SU_{L}(n)\times SU_{R}(n)\times U_{V}(1)$$ та калібрувальної групи $$\ SU(N)$$. Його ідея є наступною. Для фундаментальної теорії вище за шкалу конфайнменту

$$\ d_{abc}(SU_{L/R}(n)^{3}) = \pm N\text{Tr}[[\lambda_{a}, \lambda_{b}]_{+}\lambda_{c}], \quad d_{ab}(SU_{L/R}(n)^{2}U_{V}(1)) = N\delta_{ab}$$.

Через явище конфайнменту безмасові ферміонні зв'язані стани із $$\ m_{L}, m_{R}$$ частинок та $$\ \bar{m}_{L} ,\bar{m}_{R}$$ античастинок можуть існувати лише при умові

$$\ m_{R}+m_{L}-\bar{m}_{L}-\bar{m}_{R} = kN, \quad k \in Z \qquad (0.1)$$.

Таким чином, єдиними незвідними представленнями $$\ (r, s)$$ групи $$\ SU_{L}(n)\times SU_{R}(n)$$ у ефективній теорії після конфайнменту будуть такі, для яких $$\ r$$ - прямий добуток $$\ m_{L}$$ фундаментальних представлень $$\ SU(n)$$ на $$\ \bar{m}_{L}$$ комплексно спряжених, $$\ s$$ - прямий добуток $$\ m_{R}$$ на $$\ \bar{m}_{R}$$, а квантове число $$\ U_{V}(1)$$ дорівнює $$\ kN$$, причому виконується $$\ (0.1)$$. Далі, умова того, що зв'язані стани відтворюють аномалії фундаментальних,

$$\ \text{tr}[[t_{a},t_{b}]_{+}t_{c}] = \text{tr}[[T_{a},T_{b}]_{+}T_{c}] $$,

де $$\ t_{a}$$ - генератори на представленнях зв'язаних станів, набуває для вказаних представлень вигляду

$$\ \sum_{r,s,k}p(r,s,k)d_{s}\text{tr}^{r}[[t_{a},t_{b}]_{+}t_{c}] = N\text{tr}[[T_{a},T_{b}]_{+}T_{c}], \quad \sum_{r,s,k}p(r,s,k)d_{s}k\text{tr}^{r}[[t_{a},t_{b}]_{+}] = \text{tr}[[T_{a},T_{b}]_{+}] \qquad (0.2)$$,

де $$\ d_{s}$$ - розмірність представлення $$\ s$$ групи $$\ SU(N)$$, $$\ p(r,s,k) $$ - додатні цілі числа.

Комплексно спряжені представлення $$\ (\bar{r}, \bar{s}, -k)$$ відповідають тим же умовам $$\ (0.2)$$, тільки знаки трейсів є протилежними. У результаті, умова $$\ (0.2)$$ обмежує значення

$$\ l(r,s,k) \equiv p(r,s,k) - p(\bar{r}, \bar{s},-k)$$.

Нехай $$\ n = 3, N = 3$$, тобто, розглядається випадок КХД. Тоді $$\ (0.2)$$ приймають вигляд

$$\ 27l_{a} +21l_{d} - 3l_{e} + 18l_{f} + 9l_{g} = 3, \quad 15l_{a} + 15l_{d}+3l_{e} + 6l_{f}+3l_{g} = 1 \qquad (0.3)$$.

Видно, що кожен доданок у лівій частині другої рівності $$\ (0.3)$$ пропорційний трьом, через що неможливо задовольнити це рівняння при цілих $$\ l $$. Отже, у КХД не може існувати безмасових ферміонних зв'язаних станів нижче за шкалу конфайнменту, які б відтворювали аномалію фундаментальної теорії.

Таким чином, приходимо до висновку, що у КХД нижче за шкалу конфайнменту має реалізовуватися спонтанне порушення симетрії. Деталі спонтанного порушення симетрії (те, яка підгрупа групи КХД порушується) не фіксуються цими міркуваннями, і встановлення їх вимагає детальних досліджень динаміки КХД, проте сам факт його існування не вимагає детального мікроскопічного вивчення теорії. Виявляється, що для широкого класу кіральних теорій зі спонтанним порушенням глобальної симетрії можна побудувати (у термінах голдстоунівських полів $$\ \epsilon_{a}(x)$$) топологічний член у ефективній дії, який відтворює усі аномалії фундаментальної теорії - член Весса-Зуміно. Проте наразі варто з'ясувати, до якої підгрупи порушується кіральна група симетрії КХД, що буде зроблено нижче із експериментальних міркувань.

Експериментальний аргумент для КХД
Отже, розглянемо лагранжіан КХД $$\ u-,d-,s-$$кварків:

$$\ L = \bar{q}i\gamma_{\mu}D^{\mu}q - \bar{q}Mq \qquad (1)$$.

Тут

$$\ q = \begin{pmatrix}u \\ d \\s \end{pmatrix}, \quad M = \begin{pmatrix} m_{u} & 0 & 0 \\ 0 & m_{d} & 0 \\ 0 & 0 & m_{s}\end{pmatrix}$$,

$$\ D_{\mu}$$ - коваріантна похідна. У ліміті $$\ M \to 0$$ (так званому кіральному ліміті) лагранжіан $$\ (1)$$ має інваріантність відносно комбінованих перетворень

$$\ q \to U q, \quad U = e^{i \theta_{a}^{V}\lambda^{a} + \gamma_{5}\theta^{V}_{a}\lambda^{a}}e^{i\alpha + i\beta \gamma_{5}} \qquad (2)$$,

де $$\ \lambda $$ - матриці Гелл-Манна. Таким чином, на класичному рівні у кіральному ліміті теорія КХД має симетрію

$$\ G \simeq SU_{V}(3)\times SU_{A}(3)\times U_{V}(1)\times U_{A}(1)$$.

Одразу зазначу, що абелева частина групи симетрії, $$\ U_{V}(1)\times U_{A}(1)$$, не є релевантною для подальшого (в контексті спонтанного порушення симетрії). Дійсно, симетрія $$\ U_{A}(1)$$ порушується явним чином через квантову аномалію. Симетрія ж $$\ U_{V}(1)$$ не може бути порушена. Отже, релевантною у контексті спонтанного порушення симетрії є група

$$\ \text{G} \simeq SU_{V}(3)\times SU_{A}(3)$$.

Можна ввести оператори

$$\ \lambda^{a}_{L} = \frac{1}{2}(1 + \gamma_{5})\lambda^{a}, \quad \lambda^{a}_{R} = \frac{1}{2}(1 - \gamma_{5})\lambda^{a} $$. Тоді автоматично (в силу $$\ (1 \pm \gamma_{5})(1 \mp \gamma_{5}) = 0$$ алгебра генераторів комбінованих перетворень $$\ (2)$$ розбивається на дві незалежні підалгебри, кожна із яких утворює групу $$\ SU(3)$$. Відповідно, повна група перетворень може бути подана як $$\ G = SU_{L}(3) \times SU_{R}(3)$$.

Відповідно, лагранжіан $$\ (1)$$ при $$\ M \to 0$$ має два нетерівські струми - аксіальний та векторний. Якби б аксіальний струм зберігався, тоді кожному адронному стану відповідав би інший стан із тими ж масою, спіном та баріонним числом і протилежною парністю; ці два стани були б вироджені. Оскільки такого подвоєння по парності не спостерігається, кіральна симетрія повинна спонтанно порушуватися. Це означає, що група симетрії $$\ SU_{L}(3) \times SU_{R}(3)$$ спонтанно порушена до $$\ SU_{L}(3) \times SU_{R}(3) / SU(3)_{Ch}$$. Кількість генераторів порушеної симетрії дорівнює кількості генераторів групи $$\ SU(3)$$, тобто восьми. Відповідно до розділу про спонтанне порушення симетрії, це супроводжується появою восьми голдстоунівських бозонів (випустимо поки що з уваги порушуючий симетрію масовий доданок).

Мезони
Щоб ввести явним чином поля цих бозонів, зручно скористатися результатами загального методу виділення із спектру полів теорії поля голдстоунівських бозонів. Для цього варто помітити, що для кваркового представлення перетворення групи симетрії можна записати як $$\ e^{-i\gamma_{5}\epsilon_{a}\lambda^{a}}\times e^{i\theta_{a}\lambda^{a}}$$. У результаті кожен суміжний клас $$\ SU_{L}(3) \times SU_{R}(3) / SU_{Ch}(3) \simeq SU(3)$$ представлений матрицею $$\ \gamma (\epsilon ) = e^{-i\gamma_{5}\epsilon_{a}\lambda^{a}}$$, і у результаті поля $$\ \epsilon_{a}$$ можна вважати голдстоунівськими бозонами.

Згідно із виразом $$\ (8)$$, закон перетворення $$\ (8)$$ буде даватися виразом

$$\ e^{i \theta^{V}_{a}\lambda^{a} + i\gamma_{5}\theta^{A}_{a}\lambda^{a}}e^{-i\gamma_{5} \epsilon^{a}\lambda_{a}} = e^{-i\gamma_{5}\epsilon^{'}_{a}\lambda^{a}}e^{i \theta_{a}\lambda^{a}} \qquad (3)$$,

причому закон перетворення вільних від голдстоунівських бозонів кваркових полів відповідає $$\ \tilde{q}{'} = e^{-i\gamma_{5}\epsilon_{a}\lambda^{a}}\tilde{q}$$.

Ті частини виразу $$\ (3)$$, які пропорційні $$\ 1 \pm \gamma_{5}$$, мають вигляд відповідно

$$\ e^{i\theta^{L}_{a}\lambda^{a}}e^{-i\epsilon_{a}\lambda^{a}} = e^{-i\epsilon_{a}{'}\lambda^{a}}e^{i\theta_{a}\lambda^{a}} \qquad (4)$$,

$$\ e^{i\theta^{R}_{a}\lambda^{a}}e^{-i\epsilon_{a}\lambda^{a}} = e^{i\epsilon_{a}{'}\lambda^{a}}e^{i\theta_{a}\lambda^{a}} \qquad (5)$$.

Домножуючи $$\ (5)$$ зправа на обернений до $$\ (4)$$ оператор, можна отримати

$$\ U{'}(x) = e^{i\theta^{R}_{a}\lambda^{a}}Ue^{-i\theta^{L}_{a}\lambda^{a}}, \quad U = e^{2i\epsilon_{a}\lambda^{a}} $$.

Іншими словами, унітарна унімодулярна матриця $$\ U(x)$$ перетворюється як $$\ (\bar{3}, 3)$$ представлення $$\ SU(3) \times SU(3)$$.

Відповідно до цього закону перетворення, можна записати єдиний $$\ SU(3)\times SU(3)$$-інваріантний доданок другого порядку по похідним від полів бозонів:

$$\ L_{eff}^{Kin} =-\frac{1}{16}f_{\pi}^{2}Tr[\partial_{\mu}U\partial^{\mu}U] \qquad (6)$$.

Запараметризувавши далі $$\ \epsilon_{a}\lambda^{a}$$ як

$$\ \epsilon_{a}\lambda^{a} = \frac{\sqrt{2}}{f_{\pi}}\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\pi^{0} + \frac{1}{\sqrt{6}}\eta^{0} & \pi^{+} & K^{+} \\ \pi^{-} & -\frac{1}{\sqrt{2}}\pi^{0} + \frac{1}{\sqrt{6}}\eta^{0} & K^{0} \\ \bar{K}^{-} & \bar{K}^{0} & -\sqrt{\frac{2}{3}}\eta^{0}\end{pmatrix} = \frac{\sqrt{2}B}{f_{\pi}}$$,

у результаті чого $$\ (6)$$ має вигляд

$$\ L_{eff}^{Kin} = -\frac{1}{2}\partial_{\mu}\pi^{0}\partial^{\mu}\pi^{0} - \partial_{\mu}\pi^{+}\partial^{\mu}\pi^{-} - \partial_{\mu}K^{+}\partial^{\mu}\bar{K}^{-} - \partial_{\mu}K^{0}\partial^{\mu}\bar{K}^{0} - \frac{1}{2}\partial_{\mu}\eta^{0}\partial^{\mu}\eta^{0}$$.

Тепер треба врахувати порушення симетрії масовим доданком. Перепишемо його у термінах перепозначених кваркових полів $$\ \tilde{q}$$:

$$\ \bar{q}Mq = \bar{\tilde{q}}e^{-i\sqrt{2}\gamma_{5}\frac{B}{f_{\pi}}}Me^{-i\sqrt{2}\gamma_{5}\frac{B}{f_{\pi}}}\tilde{q}$$.

Кваркові білінійні форми можна замінити на їх вакуумні середні із урахуванням симетрії непорушеної групи $$\ SU(3)$$ та симетрією відносно інверсії (парність, заряд і дивність зберігаються у силу підстройки вакууму):

$$\ \bar{\tilde{q}}_{n}\tilde{q}_{m} \to -u \delta_{nm}, \quad \bar{\tilde{q}}_{n} \gamma_{5}\tilde{q}_{m} \to 0$$.

Знак "мінус" при першій рівності диктується тим, що вакуумний стан - стан мінімуму енергії вакууму.

Тоді масовий доданок має вигляд

$$\ -\frac{v}{f_{\pi}^{2}}Tr[B, [B, M]] = -\frac{v}{f_{\pi}^{2}}\left( 4m_{u}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\pi^{0} + \frac{1}{\sqrt{6}}\eta^{0} \right)^{2} + 4(m_{u} + m_{d})\pi^{+}\pi^{-} + 4(m_{u} + m_{s})K^{+}\bar{K}^{-} + 4m_{d}\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}\pi^{0} + \frac{1}{\sqrt{6}}\eta^{0}\right)^{2}\right) -$$

$$\ -\frac{v}{f_{\pi}^{2}} \left( 4(m_{s} + m_{s})K^{0}\bar{K}^{0} + \frac{8}{3}m_{s}(\eta^{0})^{2}\right)$$.

Звідси

$$\ m_{\pi^{+}}^{2} = m_{\pi^{0}}^{2} = \frac{4v}{f_{\pi}^{2}}(m_{u} + m_{d}), \quad m^{2}_{K^{+}} = \frac{4v}{f_{\pi}^{2}}(m_{u} + m_{s}), \quad m^{2}_{K^{0}} = \frac{4v}{f_{\pi}^{2}}(m_{d} + m_{s}), \quad m^{2}_{\eta^{0}} = \frac{4v}{f_{\pi}^{2}}\left(\frac{4m_{s} + m_{d} + m_{u}}{3}\right)$$.

Залишається лише визначити електромагнітні поправки до цих мас. Електромагнітний струм кварків має вигляд $$\ J^{\mu} = ie\bar{q}\gamma^{\mu}Qq$$, де $$\ Q = diag \left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right) $$. Його комутатори із генераторами $$\ SU(3) \times SU(3)$$ мають вигляд

$$\ [J^{\mu}, T_{a}] = \frac{1}{2}ie\bar{q}\gamma^{\mu}[Q, \lambda_{a}]q, \quad [J^{\mu}, X_{a}] = \frac{1}{2}ie\bar{q}\gamma^{\mu}\gamma_{5}[Q,T_{a}]q$$,

звідки слідує, що $$\ J^{\mu}$$ комутує із $$\ X^{3}, X^{6}, X^{7}, X^{8}, T^{3}, T^{6}, T^{7}, T^{8}$$. Тому при нульових кваркових масах електромагнітні ефекти не надають маси мезонам $$\ \eta^{0}, \pi^{0}, K^{0}, \bar{K}^{0}$$, що пов'язані із порушенням симетрії, що задається генераторами $$\ X_{3, 6, 7, 8}$$. Крім того, при нульових масах кварків $$\ T_{6}, T_{7}, \sqrt{3}T_{8} - T_{3} $$ утворюють алгебру непорушеної групи $$\ SU(2) $$, відносно якої $$\ K^{+}, \pi^{+}$$ утворюють дублет. Це означає, що ЕМ поправки до мас $$\ \pi^{+}, K^{+}$$ однакові.

Відповідно, масові доданки для $$\ \pi^{\pm}, K^{\pm}$$ мають вигляд

$$\ m_{\pi^{+}}^{2} = \frac{4v}{F^{2}}(m_{u} + m_{d}) + \Delta, \quad m^{2}_{K^{+}} = \frac{4v}{F^{2}}(m_{u} + m_{s}) + \Delta$$.

Із цих співвідношень можна отримати масове співвідношення Гелл-Манна-Окубо, яке вже було отримане із підходу Гелл-Манна.

Отриманий лагранжіан,

$$\ L_{2} = \frac{f_{\pi}^{2}}{16}\text{Tr}[\partial_{\mu}U\partial^{\mu}U^{\dagger}] - \frac{v}{2}\text{Tr}[M_{q}(U^{\dagger}+ U)] \qquad (7)$$,

можна використовувати як ефективний піонний лагранжіан. Для цього можна врахувати старші по розмірності доданки, подовжувати похідні, отримуючи взаємодії тощо. Окрім того, він, у загальному випадку, має бути доповнений іншими доданками, які дозволяються кіральною симетрією (із врахуванням порушуючого симетрію масового члена):

$$\ L = L_{2} + L_{1}\text{Tr}[\partial_{\mu}U^{\dagger}\partial^{\mu}U]^{2} + L_{2}\text{Tr}[\partial_{\mu}U\partial_{\nu}U^{\dagger}]\text{Tr}[\partial^{\mu}U\partial^{\nu}U^{\dagger}] +L_{3}\text{Tr}[\partial_{\mu}U\partial^{\mu}U^{\dagger}\partial_{\nu}U\partial^{\nu}U^{\dagger}] + L_{4}\text{Tr}[\partial_{\mu}U\partial^{\mu}]\text{Tr}[M_{q}(U^{\dagger} + U)] +$$

$$\ + L_{5}\text{Tr}[\partial_{\mu}U\partial^{\mu}U^{\dagger}(M_{q}U + U^{\dagger}M_{q})] + L_{6}\left(\text{Tr}[M_{q}(U + U^{\dagger})]\right)^{2}+ L_{7}\left( (U^{\dagger} - U)M_{q}\right)^{2} + L_{8}\text{Tr}[(UM_{q})^{2} + (U^{\dagger}M_{q})^{2}] \qquad (8)$$.

Варто зазначити, що в силу того, що лагранжіан є феноменологічним (не виводиться напряму із лагранжіану КХД), величини констант $$\ L_{i}$$ не визначаються прямо із теорії, тому у даному підході їх можна зафіксувати лише експериментально.

Описана модель ефективної теорії поля, яка має назву кіральної ефективної теорії поля, як виявляється, містить більше симетрій, ніж містить КХД, тому забороняє деякі процеси із участю псевдоскалярних мезонів, які могли б відбуватися у КХД. Окрім того, вона не містить інформації про аномалії та про взаємодію із векторними мезонами, та не видно, як можна отримати нуклони у такій теорії. Виявляється, що питання нуклонів, аномалій та прибирання зайвих симетрій зникає при введенні топологічного члена - члена Весса-Зуміно-Віттена, про що буде йтися у відповідному розділі. Нижче же буде розглянутий спосіб введення взаємодій із векторними мезонами, який називається методом "прихованої" симетрії.

Векторні мезони
Розглянемо лінійну модель, засновану на групі $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)\times \hat{U}_{L}(3)\times \hat{U}_{R}(3)$$, у якій $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ є звичайною глобальною кіральною групою симетрії КХД, а $$\ \hat{U}_{L}(3)\times \hat{U}_{R}(3)$$ є локальною групою "схованої" симетрії. Базовими величинами цієї теорії є SU(3)-матриці $$\ \hat{\zeta}_{L/R} \in U_{L/R}(3)\times \hat{U}_{L/R}(3)$$, які перетворюються як

$$\ \hat{\zeta}_{L/R} \to g_{L/R}\hat{\zeta}_{L/R}G_{L/R}^{\dagger}(x), \quad g_{L/R} \in U_{L/R}(3), \quad G_{L/R} \in \hat{U}_{L/R}(3)$$,

та матриця $$\ \zeta_{M} \in \hat{U}_{L}(3)\times \hat{U}_{R}(3)$$, яка перетворюється як

$$\ \zeta_{M} \to G_{L}(x)\zeta_{M}G_{R}^{\dagger}(x)$$.

Локальній симетрії $$\ \hat{U}_{L}\times \hat{U}_{R}(3)$$ відповідають калібрувальні поля $$\ \hat{A}_{L/R}(x)$$, які перетворюються за законом

$$\ \hat{A}_{L/R} \to G_{L/R}(\hat{A}_{L/R} + i \partial)G_{L/R}^{\dagger}$$.

Із полів $$\ \hat{\zeta}_{L,R}, \zeta_{M}$$ відповідно до їх законів перетворення можна сконструювати об'єкт $$\ U(x) \in U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$, який перетворюється лише відносно глобальної кіральної групи $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$:

$$\ U(x) \equiv \hat{\zeta}_{L}(x)\zeta_{M}(x)\hat{\zeta}_{R}(x), \quad U(x) \to g_{L}U(x)g_{R}, \quad g_{L/R} \in U_{L/R}(3)$$.

Аналогічно, можна сконструювати поля кіральних калібрувальних бозонів $$\ a_{L/R}(x)$$, які перетворюються лише відносно глобальної кіральної групи симетрії:

$$\ a_{L/R}(x) = \hat{\zeta}_{L/R}(x)(\hat{A}_{L/R}(x) + i\partial)\hat{\zeta}_{L/R}^{\dagger}(x) \equiv \hat{\zeta}_{L}iD\hat{\zeta}_{L/R}^{\dagger}$$,

$$\ a_{L/R} \to g_{L/R}a_{L/R}g_{L}^{\dagger}$$.

Відповідно, маючи напруженості полів $$\ A_{L/R}$$, можна отримати напруженості полів $$\ a_{L/R} $$:

$$\ F^{\mu \nu}_{L/R} = \partial^{\mu}a_{L/R}^{\nu} - \partial^{\nu}a_{L/R}^{\mu} - i[a_{L/R}^{\mu},a_{L/R}^{\nu}] = \hat{\zeta}_{L/R}\hat{F}^{\mu \nu}_{L/R}\hat{\zeta}_{L/R}, \quad F_{L/R}^{\mu \nu} \to g_{L/R}F_{L/R}^{\mu \nu}g_{L/R}^{\dagger}$$.

Можна також виділити із $$\ \hat{A}_{L/R}$$ поля $$\ \hat{a}_{L/R}$$, які перетворюються коваріантно лише відносно локальної групи прихованої симетрії $$\ \hat{U}_{L}(3)\times \hat{U}_{R}(3)$$:

$$\ \hat{a}_{L/R} \equiv \zeta_{M}iD\zeta_{M}^{\dagger} = \zeta_{M}(i\partial + \hat{A}_{R/L})\zeta_{M}^{\dagger} - \hat{A}_{L/R}, \quad \hat{a}_{L/R}\to G_{L/R}\hat{a}_{L/R}G_{L/R}^{\dagger}$$.

Використовуючи ці поля, можна записати найбільш загальний вигляд лагранжіану, який має глобальну кіральну симетрію $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ із локальною симетрією $$\ \hat{U}_{L}(3)\times \hat{U}_{R}(3)$$, яка виступає у ролі "прихованої". Проте у природі ця прихована симетрія не спостерігається, як не спостерігаються і асоційовані із нею безмасові калібрувальні бозони. Проте спостерігаються масивні ступені вільності із спіном 1 - векторні мезони. Виявляється, що розглянута вище теорія у певному сенсі еквівалентна кіральній ефективній теорії псевдоскалярних мезонів, що взаємодіють із масивними векторними мезонами. Дійсно, у загальному вигляді матриці $$\ \hat{\zeta}_{L/R} $$ можна представити як

$$\ \hat{\zeta}_{L/R} \equiv e^{i\frac{\sigma}{f_{\pi}}}e^{i\frac{B}{\sqrt{2}f_{\pi}}}$$,

де $$\ \sigma \equiv \sigma_{a}S^{a}$$ - матриця полів із генераторами локальної групи "прихованої" симетрії. Симетрію $$\ \hat{U}_{L}(3)\times \hat{U}_{R}(3)$$ можна явно порушити, вибравши калібрування полів $$\ \hat{a}_{L/R}$$ таке, що

$$\ \zeta_{M} \to G_{L}(x)\zeta_{M}G_{R}^{\dagger} = 1, \quad \hat{\zeta}_{L/R} \to \hat{\zeta}_{L/R}G_{L/R}^{\dagger} = \zeta_{L/R}(x) = e^{\pm i\frac{B}{\sqrt{2}f_{\pi}}}$$,

звідки

$$\ U(x) \to e^{i \frac{\sqrt{2}B}{f_{\pi}}}$$.

У такому калібруванні

$$\ \hat{a}_{R} = -\hat{a}_{L} = \hat{A}_{R} - \hat{A}_{L} = \zeta_{R}^{\dagger}(iDU^{\dagger})\zeta_{L}, \quad iDU \equiv i\partial U + a_{L}U - Ua_{R}$$,

і початковий лагранжіан стає функціоналом лише від полів $$\ U, a_{L/R}$$. Найбільш загальний вигляд такого лагранжіану відповідає наступному:

$$\ L = a\frac{f_{\pi}^{2}}{16}\text{Tr}[a_{L}^{2} + a_{R}^{2}] + 2b\frac{f_{\pi}^{2}}{16}\text{Tr}[a_{L}Ua_{R}U^{\dagger}] + c\frac{f_{\pi}^{2}}{16}\text{Tr}[DUDU^{\dagger}] + d \frac{f_{\pi}^{2}}{16}\text{Tr}[a_{L} Ua_{R}U^{\dagger} - i(DU)U^{\dagger}]^{2} + L_{f}$$,

$$\ L_{f} = \frac{\alpha}{12g_{G}^{2}}\text{Tr}[D_{\mu}D_{\nu}UD^{\mu}D^{\nu}U^{\dagger}] + \frac{\beta}{12g_{G}^{2}}\text{Tr}[D_{\mu}UD_{\nu}U^{\dagger}D^{\mu}UD^{\nu}U^{\dagger}] + \frac{\gamma}{12g_{G}^{2}}\text{Tr}[D_{\mu}UD^{\mu}U^{\dagger}D_{\nu}UD^{\nu}U^{\dagger}] +$$

$$\ + i\frac{c_{1}}{g_{G}^{2}}\text{Tr}[a_{L}^{\mu}a_{L}^{\nu}F_{\mu \nu, L} + a_{R}^{\mu}a_{R}^{\nu}F_{\mu \nu, R}] + i\frac{c_{2}}{g_{G}^{2}}\text{Tr}[a_{L}^{\mu}a_{L}^{\nu}UF_{\mu \nu , R}U^{\dagger} + a_{R}^{\mu}a_{R}^{\nu}U^{\dagger}F_{\mu \nu , L}U] + \left[i\frac{c_{3}}{2g_{G}^{2}}\text{Tr}[a_{L}^{\mu}Ua_{R}^{\nu}U^{\dagger}F_{\mu \nu , L}+a_{R}^{\mu}U^{\dagger}a_{L}^{\nu}UF_{\mu \nu , R}] + h.c.\right]$$

$$\ + \frac{iA}{4g_{G}^{2}}\text{Tr}[D_{\mu}UD_{\nu}U^{\dagger}F^{\mu \nu}_{L} + D_{\mu}U^{\dagger}D_{\nu}UF^{\mu \nu}_{R}] + \left[\frac{iB}{4g_{G}^{2}}\text{Tr}[a_{L}^{\mu}iD^{\nu}UU^{\dagger}F_{\mu \nu, L} - a_{R}^{\mu}iD^{\nu}U^{\dagger}UF_{\mu \nu, R}] + h.c.\right] + \frac{iC}{4g_{G}^{2}}\text{Tr}[Ua_{R}^{\mu}iD^{\nu}U^{\dagger}F_{\mu \nu , L} - U^{\dagger}a_{R}^{\mu}iD^{\nu}UD_{\mu \nu , R}] \ (9)$$.

Аналогічним чином можна побудувати лагранжіан, стартуючи із лагранжіану КХД у ліміті, вводячи туди скалярні та векторні мезони та інтегруючи по кварковим ступеням вільності. Для такої теорії

$$\ a = \frac{2g^{2}m_{\rho}^{2}}{f_{\pi}^{2}}, \quad c = 2, \quad d = 0, \quad \alpha = 2\beta = -\gamma = \frac{N_{c}}{2(\pi g)^{2}}, \quad g_{G}^{2} = \frac{4}{g^{2}}$$,

$$\ c_{1} = c_{2} = c_{3} = B = C = 0, \quad A = \frac{N_{c}}{2 (\pi g)^{2}} = \alpha$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Нарешті, відинтегровуючи поля $$\ a_{L/R}$$ (у ліміті низьких енергій використовуючи рівняння руху), можна показати, що лагранжіан $$\ (9)$$ еквівалентний лагранжіану $$\ (8)$$ кіральної ефективної теорії. На цьому доведення еквівалентності кіральної ефективної теорії $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ та теорії із прихованими симетріями $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3) \times \hat{U}_{L}(3)\times \hat{U}_{R}(3)$$ завершується. В принципі, використовуючи вищеозначену схему, таку еквівалентність легко показати для довільної кіральної ефективної теорії із групою $$\ G$$ та відповідної теорії із прихованими симетріями $$\ G \times \hat{H}$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$ $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Наостанок варто сказати про походження кінетичного та масового членів полів $$\ a_{L/R}$$: кінетичний член виникає динамічним чином, а масовий член відповідає енергії зв'язаних станів і, в принципі, також виникає динамічно.

Можна явно переписати матриці $$\ a_{L/R}$$ через матриці векторних мезонів. Вводячи комбінації

$$\ V \equiv \frac{1}{2}\left(a_{L} + a_{R}\right), A \equiv \frac{1}{2}\left(a_{L} - a_{R}\right)$$,

їх явний вигляд можна подати як

$$\ V = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \frac{\rho^{0} + \omega}{\sqrt{2}}&\rho^{+} & K*^{+} \\ \rho^{-} & \frac{-\rho^{0}+\omega}{\sqrt{2}}& K*^{0}\\ K*^{-} & \bar{K}^{0}& \varphi \end{pmatrix}, \quad A = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} \frac{a_{1}^{0} + f_{1}(1285)}{\sqrt{2}}&a_{1}^{+} & K_{1A}^{+} \\ a_{1}^{-}&\frac{-a_{1}^{0} + f_{1}(1285)}{\sqrt{2}} & K*^{+} \\ \rho^{-} & \frac{-a_{1}^{0}+f_{1}(1285)}{\sqrt{2}} &K_{1A}^{0} \\K_{1A}^{-} &\bar{K}_{1A}^{0} & f_{1}(1420) \end{pmatrix}$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$ $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$