Спінорний формалізм та його застосування до представлень групи Лоренца. Доведення

Доведення 1
Властивості матриць Паулі.

1. $$\ (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\tilde {\sigma }_{\mu})^{\dot {\beta }\beta } = 2\delta^{\beta}_{\alpha}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {\alpha}}$$.

Використовуючи вираз для спінорного представлення 4-вектора з попереднього підрозділу,

$$\ X = \frac{1}{2}Tr (X)\hat {\mathbf E } + \frac{1}{2}Tr(X \hat {\sigma^{i}})\hat {\sigma }_{i}$$,

можна, переписавши його у коваріантному вигляді, отримати

$$\ X_{\alpha \dot {c}} = \frac{1}{2}X_{\beta \beta} \delta_{\alpha \dot {c}} + \frac{1}{2}X_{\beta \dot {\beta }}(\tilde {\sigma}^{i})^{\dot {\beta}\beta }(\sigma_{i})_{\alpha \dot {c}}$$.

Якщо у якості $$\ X$$ вибрати елемент канонічного базису матриць $$\ 2 \times 2$$, тобто, $$\ X = e^{a \dot b}$$ (матрицю, що має єдиний одиничний елемент), то можна отримати

$$\ X_{\alpha \dot {c}} = \delta^{a}_{\alpha}\delta^{\dot {b}}_{\dot {c}} = \frac{1}{2}\delta^{a}_{\beta}\delta^{\dot {b}}_{\beta}\delta_{\alpha \dot {c}} + \frac{1}{2}\delta^{a}_{\beta}\delta^{\dot {b}}_{\dot {\beta }}(\tilde {\sigma}^{i})^{\dot {\beta}\beta }(\sigma_{i})_{\alpha \dot {c}} = \frac{1}{2}\left( ({\tilde {\sigma}^{0}})^{\dot {b}a}(\sigma_{0})_{\alpha \dot {\alpha }} + (\tilde {\sigma}^{i})^{\dot {c}a }(\sigma_{i})_{\alpha \dot {c}}\right) = \frac{1}{2}(\tilde {\sigma}^{\nu})^{\dot {b} a}(\sigma_{\nu})_{\alpha \dot {c}}$$,

звідки і слідує потрібна рівність.

Взагалі, пропорційність вищенаведеного виразу $$\ \delta^{\beta}_{\alpha}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {\alpha}}$$ є очевидною з того, що єдиним нетривіальним коваріантним спінором з двома точковими і двома неточковими індексами є $$\ \varepsilon^{a b}\varepsilon^{\dot {a} \dot {b}}$$. Опускання двох його імпульсів і дає результат п. 1.

2. Четвірка матриць $$\ (\sigma^{\mu})_{a \dot {a}}$$ є інваріантом перетворень Лоренца.

Це можна показати, використовуючи відповідність перетворень 4-вектора у векторному та спінорному представленнях. Отже, для спінорного представлення 4-вектора справедливі перетворення

$$\ X{'}_{a \dot {a}} = N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}}X_{b \dot {b}} = x^{\mu}N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} (\sigma_{\mu})_{b \dot {b}}, \quad X{'}_{a \dot {a}} = x^{\mu}{'}(\sigma_{\mu})_{a \dot {a}} = \Lambda^{\quad \mu}_{\nu}x^{\nu}(\sigma_{\mu})_{a \dot {a}}$$.

Прирівнюючи ці дві рівності, в силу довільності $$\ x^{\mu}$$ можна отримати

$$\ \Lambda^{\quad \mu}_{\nu}(\sigma_{\mu})_{a \dot {a}} = N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} (\sigma_{\nu})_{b \dot {b}} \Rightarrow (\sigma_{\mu})_{a \dot {a}} = N_{a}^{\quad b}N_{\dot {a}}^{\quad \dot {b}} (\Lambda^{-1})^{\nu}_{\quad \mu}(\sigma_{\nu})_{b \dot {b}}$$.

Це означає, що $$\ (\sigma_{\mu})_{a \dot {a}}$$ є інваріантом відносно перетворень Лоренца. Дійсно, матриця має один 4-векторний індекс та два спінорних; кожен з них перетворюється за допомогою відповідної матриці. Тоді повне (за допомогою трьох вказаних матриць) перетворення матриці дає ту ж саму матрицю.

3. $$\ (\sigma_{\mu}\tilde {\sigma}_{\nu} + \sigma_{\nu}\tilde {\sigma}_{\mu})^{\quad b}_{a} = 2g_{\mu \nu}\delta_{a}^{b} $$.

Для доведення треба використати рівність

$$\ (\hat {\sigma}_{\mu}\hat {\tilde {\sigma}}_{\nu}) = g_{\mu \nu}\hat {\mathbf E} - i\varepsilon_{0 \mu \nu k}\hat {\sigma}^{k} - \delta_{\mu 0}(\delta_{\nu 0}\hat {\mathbf E} - \hat {\tilde {\sigma}}_{\nu}) - \delta_{\nu 0}(\delta_{\mu 0}\hat {\mathbf E} - \hat {\sigma}_{\mu})$$.

Дійсно, перший доданок відповідає випадку, коли $$\ \mu = \nu$$, другий - коли $$\ \mu, \nu \neq 0$$ (відповідає стандартним комутаційним співвідношенням матриць Паулі з просторовими індексами), третій - коли $$\ \mu = 0, \nu \neq 0$$, четвертий - коли $$\ \mu \neq 0, \nu = 0$$. В результаті, сумою $$\ (\hat {\sigma}^{\mu}\hat {\tilde {\sigma}}^{\nu}) + (\hat {\sigma}^{\nu}\hat {\tilde {\sigma}}^{\mu})$$ буде рівність

$$\ (\hat {\sigma}_{\mu}\hat {\tilde {\sigma}}_{\nu}) + (\hat {\sigma}_{\nu}\hat {\tilde {\sigma}}_{\mu}) = 2g_{\mu \nu}\hat {\mathbf E} - i\varepsilon_{0\mu \nu k}\hat {\sigma}^{k} - i\varepsilon_{0\nu \mu k}\hat {\sigma}^{k} - \delta_{\mu 0}(2 \delta_{\nu 0}\hat {\mathbf E} - \hat {\tilde {\sigma}}_{\nu} - \hat {\sigma}_{\nu}) - \delta_{\nu 0}(2 \delta_{\mu 0}\hat {\mathbf E} - \hat {\tilde {\sigma}}_{\mu} - \hat {\sigma}_{\mu})$$.

Сума другого та третього доданків рівна нулю в силу антисиметрії тензора Леві-Чивіта, а третій та четвертий доданок рівні в силу $$\ \sigma_{\mu} = -\tilde {\sigma}_{\mu}, \mu \neq 0$$.

4. $$\ Tr (\hat {\sigma}_{\mu}\tilde { \hat \sigma}_{\nu}) = Tr \left( g_{\mu \nu}\hat {\mathbf E}\right) = 2g_{\mu \nu}$$

(всі інші матриці під знаком сліду є матрицями Паулі, а їх слід рівен нулю).

Доведення 2
Спінорне представлення антисиметричного тензора рангу 2.

В силу визначення, $$\ M_{\mu \nu} = -M_{\nu \mu}$$. Це означає, що (див. $$\ (.11)$$)

$$\ h_{\alpha \dot {\alpha} \beta \dot {\beta}} = \left((\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta }} - (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta }}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\alpha }}\right)M_{\mu \nu} $$.

Цей вираз тепер треба підставити у $$\ (.13)$$ для кожного з доданків:

$$\ h_{(\alpha \beta )(\dot {\alpha }\dot {\beta })} = \frac{1}{8}\left( (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta }} + (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\beta }} + (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\beta}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\alpha }} + (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta}}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\alpha }}\right) - $$

$$\ - \frac{1}{8}\left((\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta}}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\alpha }} - (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\beta}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\alpha }} - (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\beta }} - (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta }} \right)M_{\mu \nu} = 0$$,

$$\ h = \frac{1}{8}\varepsilon^{\alpha \beta}\varepsilon^{\dot {\alpha }\dot {\beta }}\left((\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta }} - (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta }}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\alpha }}\right)M_{\mu \nu} = \frac{1}{8}\left( (\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {\beta} \beta }(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta }} - (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta }}(\tilde {\sigma}^{\nu})_{\dot {\beta} \beta }\right)$$.

В силу того, що $$\ \hat {\tilde {\sigma} } = (\hat {\mathbf E }, -\hat {\mathbf \sigma } )$$, що просто перевіряється, виходячи з визначення

$$\ (\sigma^{\mu})^{\alpha \dot {\alpha}} = \varepsilon^{\alpha \beta}\varepsilon^{\beta \dot {\beta}}(\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta}}$$,

очевидно, що

$$\ h = \frac{1}{8}\left( (\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {\beta} \beta }(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta }} - (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta }}(\tilde {\sigma}^{\nu})_{\dot {\beta} \beta }\right) = \left|( \tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {\beta} \beta }(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta }} = Tr (\delta^{\mu \nu}\hat {\mathbf E} - i\varepsilon^{\mu \nu k}\hat {\sigma}_{k}) = 2\delta^{\mu \nu} \right| = 0$$,

де $$\ \delta^{i}_{j} = diag(1, -1, -1, -1)$$ - метричний тензор псевдоевклідового простору-часу.

Далі,

$$\ h_{(\alpha \beta )} = -\frac{1}{2}\varepsilon^{\dot {\alpha } \dot {\beta } }\left( (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta}} + (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\beta}} - (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta}}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\alpha }} - (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\beta}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\alpha }}\right)M_{\mu \nu}$$.

Для пришвидшення роботи з індексами можна домножити весь вираз на $$\ \varepsilon^{\delta \beta}$$:

$$\ \varepsilon^{\delta \beta }h_{(\alpha \beta )} = -\frac{1}{8}\varepsilon^{\delta \beta }\varepsilon^{\dot {\alpha } \dot {\beta } }\left( (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta}} + (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\beta}} - (\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\beta}}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\alpha }} - (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\beta}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\alpha }}\right)M_{\mu \nu}$$.

Перший і другий доданки, наприклад, згортаються із $$\ \varepsilon^{\delta \beta }\varepsilon^{\dot {\alpha } \dot {\beta } }$$ як

$$\ \varepsilon^{\delta \beta }\varepsilon^{\dot {\alpha } \dot {\beta } }(\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\beta \dot {\beta}} = (\sigma^{\mu} )_{\alpha \dot {\beta }}(\tilde {\sigma}^{\nu})^{\dot {\beta }\delta } = (\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu})_{\alpha}^{\quad {\delta}}, \quad \varepsilon^{\delta \beta }\varepsilon^{\dot {\alpha } \dot {\beta } }(\sigma^{\mu})_{\beta \dot {\alpha}}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\beta}} = -\varepsilon^{\delta \beta }\varepsilon^{\dot {\beta } \dot {\alpha } }(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\beta}} = -(\tilde {\sigma}^{\mu})^{\dot {\beta} \delta}(\sigma^{\nu})_{\alpha \dot {\beta}} = -(\sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu})_{\alpha}^{\quad \delta}$$.

Отже, виконуючи абсолютно аналогічні дії із останніми доданками, можна отримати

$$\ \varepsilon^{\delta \beta }h_{(\alpha \beta )} = -\frac{1}{8}\left( 2 (\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu})_{\alpha}^{\quad {\delta}} - 2(\sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu})_{\alpha}^{\quad \delta} \right) M_{\mu \nu} = -\frac{1}{4}\left( (\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu})_{\alpha}^{\quad {\delta}} - (\sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu})_{\alpha}^{\quad \delta}  \right) =_{definition}= (\sigma^{\mu \nu})_{\alpha}^{\quad {\delta }} M_{\mu \nu}$$.

Нарешті, можна опустити індекс за допомогою тензора $$\ \varepsilon_{\gamma \delta }$$:

$$\ \varepsilon_{\gamma \delta }\varepsilon^{\delta \beta }h_{(\alpha \beta )} = \delta^{\quad \beta}_{\gamma }h_{(\alpha \beta )} = h_{(\alpha \gamma )} = (\sigma^{\mu \nu})_{\alpha \gamma } M_{\mu \nu}$$.

Абсолютно аналогічно показується, що

$$\ h_{( \dot {\alpha } \dot {\gamma } )} = -( \tilde {\sigma }^{\mu \nu})_{\dot {\alpha } \dot {\gamma } } M_{\mu \nu}$$.

Очевидно, у утвореного тензора є шість незалежних компонент - по три від $$ h_{(ab)}, h_{(\dot {a} \dot {b})}$$.

Доведення 3
Обернена формула для антисиметричного тензора.

Використовуючи $$\ (.14)$$, можна отримати

$$\ M_{\mu \nu} = \frac{1}{4}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \beta }h_{\alpha \beta \dot {\alpha } \dot {\beta}} = \frac{1}{4}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \beta }\left( \varepsilon_{\alpha \beta}h_{(\dot {\alpha }\dot {\beta })} + \varepsilon_{\dot {\alpha}\dot {\beta }}h_{(\alpha \beta )} \right) $$.

Користуючись тим, що $$\ h_{(\alpha \beta )} = h_{( \beta \alpha )}, h_{(\dot {\alpha }\dot {\beta })} = h_{(\dot {\beta }\dot {\alpha })}$$, можна записати

$$\ M_{\mu \nu} = \frac{1}{4}\varepsilon_{\alpha \beta }\frac{1}{2}\left( (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \beta }h_{( \dot {\alpha } \dot {\beta } )} + (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\beta } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\alpha } \beta }h_{( \dot {\beta } \dot {\alpha } )}\right) + \frac{1}{4}\varepsilon_{\dot {\alpha } \dot {\beta } }\frac{1}{2}\left( (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \beta }h_{( \alpha \beta  )} + (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \beta }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \alpha }h_{( \beta \alpha  )} \right) = $$

$$\ =\frac{1}{8}\left( \varepsilon_{\alpha \beta } \left( (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \beta } + (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\beta } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\alpha } \beta }\right)h_{(\dot {\alpha }\dot {\beta })} + \varepsilon_{\dot {\alpha }\dot {\beta }}\left( (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \beta } + (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \beta }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \alpha }\right) h_{(\alpha \beta )} \right)$$.

Тепер, перетворюючи згортки метричного тензора з матрицями Паулі як

$$\ \varepsilon_{\alpha \beta }(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha }\alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \beta } = \varepsilon^{\dot {\beta} \dot {\gamma}}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha }\alpha}(\sigma_{\nu})_{\alpha \dot {\gamma}} = (\tilde {\sigma}_{\mu} \sigma^{\nu })^{\dot {\alpha} \dot {\beta }}$$,

$$\ \varepsilon_{\alpha \beta }(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\beta } \alpha }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\alpha } \beta } = \varepsilon_{\alpha \beta }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\alpha } \beta }(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\beta } \alpha } = -(\tilde {\sigma}_{\nu})^{\dot {\alpha}\beta}(\sigma_{\mu})_{\beta \dot {\gamma}}\varepsilon^{\dot {\beta} \dot {\gamma}} = -(\tilde {\sigma}_{\nu} \sigma_{\mu})^{\dot {\alpha}\dot {\beta }}$$,

$$\ \varepsilon_{\dot {\alpha }\dot {\beta }}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha }\alpha }(\tilde {\sigma}_{\nu})^{\dot {\beta} \beta } = -\varepsilon^{\alpha \gamma}(\sigma_{\mu})_{\gamma \dot {\beta }}(\tilde {\sigma}_{\nu})^{\dot {\beta }\beta } = -(\sigma_{\mu}\tilde {\sigma}_{\nu})^{\alpha \beta } $$,

$$\ \varepsilon_{\dot {\alpha}\dot {\beta}}(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \beta }(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \alpha } = \varepsilon_{\dot {\alpha}\dot {\beta}}(\tilde \sigma_{\nu})^{\dot {\beta } \alpha }(\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {\alpha } \beta } = (\sigma_{\nu}\tilde {\sigma}_{\mu})^{\alpha \beta } $$,

можна отримати

$$\ M_{\mu \nu} = \frac{1}{8}\left( \left( (\tilde {\sigma}_{\mu}\sigma_{\nu})^{\dot {\alpha } \dot {\beta }} - (\tilde {\sigma}_{\nu}\sigma_{\mu})^{\dot {\alpha } \dot {\beta }}\right)h_{(\dot {\alpha }\dot {\beta })} + \left( -( \sigma_{\mu}\tilde {\sigma}_{\nu})^{\alpha \beta } + ( \sigma_{\nu}\tilde {\sigma}_{\mu})^{ \alpha \beta }\right) h_{(\alpha \beta )} \right) = \frac{1}{2}(\sigma_{\mu \nu})^{\alpha \beta}h_{(\alpha \beta)} - \frac{1}{2}(\tilde {\sigma}_{\mu \nu})^{\dot {\alpha }\dot {\beta}}h_{(\dot {\alpha} \dot {\beta })}$$.

Доведення 4
Комутаційні співвідношення генераторів групи Лоренца у спінорному представленні.

Частина 1
Для подальшого треба згадати властивість $$\ (\sigma^{\mu})_{\alpha \dot {\alpha}}(\tilde {\sigma }_{\mu})^{\dot {\beta }\beta } = 2\delta^{\beta}_{\alpha}\delta^{\dot {\beta }}_{\dot {\alpha}}$$.

Згортка 1.

Користуючись визначеннями матриць, можна отримати

$$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\sigma^{\mu \nu})_{c d}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( -\varepsilon_{a c}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{bd} - \varepsilon_{ad}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{bc} - \varepsilon_{bc}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{ad} - \varepsilon_{bd}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{ac}\right)$$.

Дійсно,

$$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\sigma^{\mu \nu})_{c d}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{16}\left( (\sigma^{\alpha}\tilde {\sigma}^{\beta } )_{ab} - (\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\alpha } )_{ab}\right) \left( (\sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu } )_{cd} - (\sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu })_{cd}\right) g_{\alpha \mu} = $$

$$\ =\frac{1}{16}\left( (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\mu})_{c \dot {m} }(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} - (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu})_{c \dot {m} }(\tilde {\sigma}^{\mu })^{\dot {m}}_{\quad d} - (\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\alpha })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\mu})_{c \dot {m} }(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} + (\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\alpha })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu})_{c \dot {m} }(\tilde {\sigma}^{\mu })^{\dot {m}}_{\quad d}\right) g_{\alpha \mu } $$.

Тепер можна перетворити кожен з доданків перетворюваного виразу. Вони набудуть вигляду $$\ (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\mu})_{c \dot {m} }(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d}g_{\alpha \mu} = (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\sigma_{\alpha})_{c \dot {m} }(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} = \varepsilon_{c \delta}\varepsilon_{\dot {m}\dot {\delta}}(\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}_{\alpha})^{\dot {\delta} \delta }(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} = 2\varepsilon_{c \delta}\varepsilon_{\dot {m}\dot {\delta}} \delta^{\delta }_{a}\delta^{\dot {\delta }}_{\dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} = $$

$$\ = 2\varepsilon_{c a}\varepsilon_{\dot {m}\dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} = -2\varepsilon_{a c}(\sigma^{\beta})_{b \dot {m}}(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} = -2\varepsilon_{a c}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{bd}$$,

$$\ (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu})_{c \dot {m} }(\tilde {\sigma}^{\mu })^{\dot {m}}_{\quad d}g_{\alpha \mu} = (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}_{\alpha })^{\dot {m}}_{\quad d}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu})_{c \dot {m} } = \varepsilon_{d\gamma}(\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}_{\alpha })^{\dot {m}\gamma }(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu})_{c \dot {m} } = 2\varepsilon_{d\gamma}\delta^{\gamma}_{a}\delta^{\dot {m}}_{\dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu})_{c \dot {m} } =$$

$$\ = -2\varepsilon_{da}(\sigma^{\beta })_{b \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\nu})^{\dot {n}}_{\quad c} = 2\varepsilon_{ad}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{bc}$$,

$$\ (\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\alpha })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\mu})_{c \dot {m} }(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} = (\tilde {\sigma}^{\alpha })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma_{\alpha})_{c \dot {m} }(\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} = 2\varepsilon_{\beta \gamma}\delta^{\gamma}_{c}\delta^{\dot {n}}_{\dot {m}}(\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\nu })^{\dot {m}}_{\quad d} = 2\varepsilon_{bc}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{ad}$$,

$$\ (\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\alpha })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu})_{c \dot {m} }(\tilde {\sigma}^{\mu })^{\dot {m}}_{\quad d} g_{\alpha \mu } = (\tilde {\sigma}^{\alpha })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}_{\alpha })^{\dot {m}}_{\quad d}(\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\sigma^{\nu})_{c \dot {m} } = 2\varepsilon_{b \gamma}\varepsilon^{\dot {m}\dot {l}}\delta^{\gamma}_{d}\delta^{\dot {n}}_{\dot {l}}(\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\sigma^{\nu})_{c \dot {m} } = -2\varepsilon_{bd}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{ac}$$,

де у передостанній рівності для другого доданку використана властивість антисиметричності за згорткою по індексам:

$$\ (\sigma^{\beta})^{\dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu})_{c\dot {m}} = -(\sigma^{\beta })_{b \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\nu})^{\dot {n}}_{\quad c}$$ (див. розділ "Основні властивості...").

Отже,

$$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\sigma^{\mu \nu})_{c d}g_{\alpha \mu}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( -\varepsilon_{a c}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{bd} - \varepsilon_{ad}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{bc} - \varepsilon_{bc}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{ad} - \varepsilon_{bd}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{ac}\right)$$.

Згортка 2.

$$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\sigma^{\mu \nu})_{c d}g_{\alpha \mu}g_{\beta \nu} = \varepsilon_{a c}\varepsilon_{bd} + \varepsilon_{ad}\varepsilon_{bc}$$.

Аналогічно,

$$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\sigma^{\mu \nu})_{c d}g_{\alpha \mu}g_{\beta \nu} = \frac{1}{8}\left( -\varepsilon_{a c}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{bd} - \varepsilon_{ad}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{bc} - \varepsilon_{bc}(\sigma^{\beta}\tilde {\sigma}^{\nu})_{ad} - \varepsilon_{bd}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{ac}\right)g_{\beta \mu} = $$

$$\ =\left| \varepsilon_{a c}(\sigma^{\beta }\tilde {\sigma}^{\nu})_{bd}g_{\beta \mu} = \varepsilon_{a c}(\sigma^{\beta})_{b \dot {m}}(\tilde {\sigma}_{\beta})^{\dot {m}}_{d} = \varepsilon_{a c}\varepsilon_{d\gamma}(\sigma^{\beta})_{b \dot {m}}(\tilde {\sigma}_{\beta })^{\dot {m}\gamma} = 2\varepsilon_{a c}\varepsilon_{d \gamma}\delta^{\gamma}_{b}\delta^{\dot {m}}_{\dot {m}} = -4\varepsilon_{a c}\varepsilon_{bd}, ...\right| = $$

$$\ =\frac{1}{2}\left( \varepsilon_{a c}\varepsilon_{bd} + \varepsilon_{bc}\varepsilon_{ad} + \varepsilon_{ad}\varepsilon_{bc} + \varepsilon_{bd}\varepsilon_{ac} \right) = \varepsilon_{a c}\varepsilon_{bd} + \varepsilon_{ad}\varepsilon_{bc}$$.

Згортка 3.

$$\ (\tilde {\sigma}^{\alpha \beta})_{\dot {a} \dot {b} }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {c}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta } \sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {c}}\right) $$.

$$\ (\tilde {\sigma}^{\alpha \beta})_{\dot {a} \dot {b} }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = $$

$$\ = \frac{1}{16}\left((\tilde {\sigma}^{\alpha})_{\dot {a}}^{\quad d}(\sigma^{\beta })_{d \dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu})_{\dot {c}}^{\quad m }(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} - (\tilde {\sigma}^{\alpha})_{\dot {a}}^{\quad n}(\sigma^{\beta })_{n \dot { b}}(\tilde {\sigma}^{\nu})_{\dot {c}}^{ \quad m}(\sigma^{\mu })_{m \dot {d}}\right) g_{\alpha \mu} + $$

$$\ + \frac{1}{16}\left( -(\tilde {\sigma}^{\beta })_{\dot {a}}^{ \quad n }(\sigma^{\alpha })_{n \dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu})_{\dot {c}}^{\quad  m}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} + (\tilde{\sigma}^{\beta })_{\dot {a}}^{ \quad n}(\sigma^{\alpha })_{ n \dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\nu})_{\dot {c}}^{\quad m }(\sigma^{\mu })_{m \dot {d}}\right) g_{\alpha \mu }$$.

Вираз буде абсолютно аналогічним виразу для першої згортки, взятому зі знаком мінус (звичайно, із заміною на точкові індекси), і переставленими тильдованими та не тильдованими матрицями. Це можна показати перетворенням першого доданку:

$$\ (\tilde {\sigma}^{\alpha})_{\dot {a}}^{\quad d}(\sigma^{\beta })_{d \dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu})_{\dot {c}}^{\quad m }(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}}g_{\alpha \mu} = (\tilde {\sigma}^{\alpha})_{\dot {a}}^{\quad d}(\tilde {\sigma}_{\alpha})_{\dot {c}}^{\quad m }(\sigma^{\beta })_{d \dot {b}}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} = \varepsilon_{\dot {a}\dot {\gamma}}\varepsilon^{m k}(\tilde {\sigma}^{\alpha})^{\dot {\gamma } d}(\sigma_{\alpha})_{k \dot {c}}(\sigma^{\beta })_{d \dot {b}}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} = $$

$$\ =2\varepsilon_{\dot {a}\dot {\gamma}}\varepsilon^{m k} \delta^{d}_{k}\delta^{\dot {\gamma}}_{\dot {c}}(\sigma^{\beta })_{d \dot {b}}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} = 2\varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}\varepsilon^{md}(\sigma^{\beta })_{d \dot {b}}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} = 2\varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta })_{\dot {b}}^{\quad m}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} = 2\varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}}$$.

Таким чином,

$$\ (\tilde {\sigma}^{\alpha \beta})_{\dot {a} \dot {b} }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {c}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta } \sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {c}}\right)$$.

Згортка 4.

Аналогічно виразу для згортки 2,

$$\ (\tilde {\sigma}^{\alpha \beta})_{\dot {a} \dot {b} }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}g_{\beta \nu} = \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}\varepsilon_{\dot {b}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}\varepsilon_{\dot {b}\dot {c}}$$.

Згортка 5.

$$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( (\sigma^{\beta})_{b\dot {c}}(\sigma^{\nu})_{a\dot {d}} + (\sigma^{\beta })_{b \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{a \dot {c}} + (\sigma^{\beta })_{a \dot {c}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {d}} + (\sigma^{\beta})_{a \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {c}}\right) $$.

Дійсно,

$$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{16}\left( (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}^{\mu})_{\dot {c}}^{\quad m }(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} - (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}^{\nu})_{\dot {c}}^{ \quad m}(\sigma^{\mu })_{m \dot {d}}\right)g_{\alpha \mu} + $$

$$\ + \frac{1}{16}\left(-(\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\alpha })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}^{\mu})_{\dot {c}}^{\quad m}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} + (\sigma^{\beta })_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\alpha })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}^{\nu})_{\dot {c}}^{\quad m }(\sigma^{\mu })_{m \dot {d}} \right)g_{\alpha \mu} $$.

Після перетворення кожного з доданків за типом (на прикладі першого доданку)

$$\ (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\tilde {\sigma}^{\mu})_{\dot {c}}^{\quad m }(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}}g_{\alpha \mu} = (\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}_{\alpha})_{\dot {c}}^{\quad m }(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} = \varepsilon_{\dot {c}\dot {\gamma}}(\sigma^{\alpha})_{a \dot {n}}(\tilde {\sigma}_{\alpha})^{\dot {\gamma} m }(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} = 2\varepsilon_{\dot {c}\dot {\gamma }}\delta^{\dot {\gamma}}_{\dot {m}}\delta^{n}_{a}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {n}}_{\quad b}(\sigma^{\nu })_{m \dot {d}} =$$

$$\ = 2\varepsilon_{\dot {c}\dot {m}}(\tilde {\sigma}^{\beta })^{ \dot {m}}_{\quad b}(\sigma^{\nu })_{a \dot {d}} = 2(\sigma^{\beta } )_{b \dot {c}}(\sigma^{\nu })_{a \dot {d}}$$

можна отримати

$$\ (\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu} = \frac{1}{8}\left( (\sigma^{\beta})_{b\dot {c}}(\sigma^{\nu})_{a\dot {d}} + (\sigma^{\beta })_{b \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{a \dot {c}} + (\sigma^{\beta })_{a \dot {c}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {d}} + (\sigma^{\beta})_{a \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {c}}\right)$$.

Частина 2
Перше та друге комутаційні співвідношення.

$$\ [J_{(\dot {a} \dot {b})}, J_{(\dot {c} \dot {d})}] = \frac{1}{4}(\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}[J_{\alpha \beta}, J_{\mu \nu}] = \frac{i}{4}(\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}\left( g_{\alpha \mu}J_{\beta \nu} - g_{\beta \mu}J_{\alpha \nu } + g_{\alpha \nu}J_{\mu \beta } - g_{\beta \nu}J_{\mu \alpha}\right) = $$

$$\ =\frac{i}{4}\left( (\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}J_{\beta \nu} - (\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\beta \mu}J_{\alpha \nu } + (\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \nu}J_{\mu \beta } - (\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\beta \nu}J_{\mu \alpha}\right)$$.

В силу антисиметричності тензора $$\ J_{\mu \nu}$$ та матриці $$\ \tilde {\sigma}^{\mu \nu} = -\tilde {\sigma}^{\nu \mu}$$ суму цих доданків можна звести до одного доданку. Дійсно, перейменовуючи німі індекси, для третього-четвертого доданків можна отримати:

$$\ (\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\beta \mu}J_{\alpha \nu } = (\tilde {\sigma }^{\beta \alpha })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}J_{\beta \nu } = -(\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}J_{\beta \nu}$$,

$$\ (\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \nu}J_{\mu \beta } = -(\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \nu}J_{ \beta \mu } = -(\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\nu \mu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}J_{ \beta \nu } = (\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}J_{\beta \nu}, $$,

$$\ (\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\beta \nu}J_{\mu \alpha} = -(\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\beta \nu}J_{\alpha \mu} = -(\tilde {\sigma }^{\beta \alpha })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\nu \mu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}J_{\beta \nu} = -(\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}J_{\beta \nu}$$.

Отже, знову використовуючи антисиметричність тензора $$\ J_{\mu \nu}$$, вищенаведені згортки, та перейменування німих індексів, можна отримати

$$\ [J_{(\dot {a} \dot {b})}, J_{(\dot {c} \dot {d})}] = i(\tilde {\sigma }^{\alpha \beta })_{\dot {a}\dot {b}}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}J_{\beta \nu} = \frac{i}{8}\left( \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {c}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta}\sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {d}} + \varepsilon_{\dot {b}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\beta } \sigma^{\nu})_{\dot {a}\dot {c}}\right) M_{\beta \nu} = $$

$$\ = \left| \varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}}J_{\beta \nu} = \frac{\varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}}{2}\left((\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}}J_{\beta \nu} + (\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}}J_{\beta \nu}\right) = \frac{\varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}}{2}\left( (\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}}J_{\beta \nu} - (\tilde {\sigma}^{\beta }\sigma^{\nu})_{\dot {b}\dot {d}}J_{ \nu \beta }\right) = -2\varepsilon_{\dot {a} \dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\nu \beta })_{\dot {b}\dot {d}}J_{\nu \beta }\right| = $$

$$\ = -\frac{i}{4}\left( \varepsilon_{\dot {a}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\nu \beta })_{\dot {b}\dot {d}}J_{\nu \beta } + \varepsilon_{\dot {b}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\nu \beta })_{\dot {b}\dot {d}}J_{\nu \beta } + \varepsilon_{\dot {b} \dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\nu \beta })_{\dot {a}\dot {c}}J_{\nu \beta } + \varepsilon_{\dot {a}\dot {d}}(\tilde {\sigma}^{\nu \beta })_{\dot {b}\dot {c}}J_{\nu \beta } + \varepsilon_{\dot {b}\dot {c}}(\tilde {\sigma}^{\nu \beta })_{\dot {a}\dot {d}}J_{\nu \beta }\right) = $$

$$\ =\frac{i}{2}\left( \varepsilon_{\dot {a}\dot {c}}J_{(\dot {b} \dot {d})} + \varepsilon_{\dot {b} \dot {d}}J_{(\dot {a} \dot {c})} + \varepsilon_{\dot {a} \dot {d}}J_{(\dot {b} \dot {c})} + \varepsilon_{\dot {b} \dot {c}}J_{(\dot {a} \dot {d})}\right)$$,

де було використане визначення

$$\ J_{(\dot {\alpha }\dot {\beta })} = -\frac{1}{2}(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {\alpha} \dot {\beta}}J_{\mu \nu}$$.

Абсолютно аналогічно, використовуючи визначення

$$\ J_{(\alpha \beta)} = \frac{1}{2}(\sigma^{\mu \nu})_{\alpha \beta}J_{\mu \nu} $$,

можна отримати комутатор

$$\ [J_{(a b)}, J_{(c d)}] = \frac{i}{2}\left( \varepsilon_{ac}J_{(bd)} + \varepsilon_{bd}J_{(ac)} + \varepsilon_{ad}J_{(bc)} + \varepsilon_{bc}J_{(ad)}\right)$$.

Третє комутаційне співвідношення.

Виконуючи аналогічні дії, що були використані для отримання першого комутаційного співвідношення, можна отримати

$$\ [J_{(a b)}, J_{(\dot {c} \dot {d})}] = -i(\sigma^{\alpha \beta})_{a b }(\tilde {\sigma}^{\mu \nu})_{\dot {c} \dot {d}}g_{\alpha \mu}J_{\beta \nu} = -\frac{i}{8}\left( (\sigma^{\beta})_{b\dot {c}}(\sigma^{\nu})_{a\dot {d}} + (\sigma^{\beta })_{b \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{a \dot {c}} + (\sigma^{\beta })_{a \dot {c}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {d}} + (\sigma^{\beta})_{a \dot {d}}(\sigma^{\nu})_{b \dot {c}}\right)J_{\beta \nu}$$.

Такий вираз тотожньо рівен нулю, оскільки кожен з доданків $$\ (\sigma^{\beta})_{b\dot {c}}(\sigma^{\nu})_{a\dot {d}}$$ є симетричним за індексами $$\ \beta, \nu$$, в той час як $$\ J_{\beta \nu}$$ є антисиметричним.

Доведення 5
Генератори Казиміра групи Лоренца у спінорному представленні.

$$\ [C_{1}, J_{(cd)}] = J^{(ab)}[J_{(ab)}, J_{(cd)}] + [J^{(ab)}, J_{(cd)}]J_{(ab)} = \left| [J^{(ab)}, J_{(cd)}] = \varepsilon^{a \alpha }\varepsilon^{b \beta }[J_{(\alpha \beta)}, J_{(cd)}]\right| =$$

$$\ \frac{i}{2}J^{(ab)}\left(\varepsilon_{ac}J_{(bd)} + \varepsilon_{bd}J_{(ac)} + \varepsilon_{ad}J_{(bc)} + \varepsilon_{bc}J_{(ad)}\right) + \frac{i}{2}\varepsilon^{a \alpha }\varepsilon^{b \beta }\left( \varepsilon_{\alpha c}J_{(\beta d)} + \varepsilon_{\alpha d}J_{(\beta c)} + \varepsilon_{\beta c}J_{(\alpha d)} + \varepsilon_{\beta d}J_{(\alpha c)}\right)J_{(ab)}$$.

Використовуючи властивість $$\ \varepsilon_{\alpha \beta}\varepsilon^{\beta \gamma} = \delta_{\alpha}^{\quad \gamma } = \delta^{\gamma}_{\quad \alpha}$$, а також - симетрію тензора $$\ J_{(ab)}$$,

$$\ J_{(ab)} = J_{(ba)}, \quad J^{\alpha}_{\quad b} = \varepsilon^{\alpha a}J_{ab} = \varepsilon^{\alpha a}J_{ba} = J_{b}^{\quad \alpha}$$,

можна отримати

$$\ [C_{1}, J_{(cd)}] = \frac{i}{2}\left( -J_{c}^{\quad b}J_{(bd)} - J_{d}^{\quad b}J_{(bc)} - J_{c}^{\quad a}J_{(ad)} - J_{d}^{\quad a}J_{(ac)} + J_{c}^{\quad b}J_{(bd)} + J_{d}^{\quad b}J_{(bc)} + J_{c}^{\quad a}J_{(ad)} + J_{d}^{\quad a}J_{(ac)}\right) = 0$$

Дійсно, наприклад, для першого та восьмого доданків справедливе перетворення

$$\ J^{(ab)}\varepsilon_{ac}J_{(bd)} = -J^{(ab)}\varepsilon_{ca}J_{(bd)} = -J_{c}^{\quad b}J_{(bd)} $$,

$$\ \varepsilon^{a \alpha }\varepsilon^{b \beta } \varepsilon_{\beta d}J_{(\alpha c)}J_{(a b)} = \delta^{b}_{\quad d}J^{a}_{\quad c}J_{(ab)} = J_{c}^{\quad }J_{(ad)}$$,

і вони скорочуються. Аналогічно - для інших пар.

Для комутатора $$\ [C_{2}, J_{(\dot {c} \dot {d})}]$$ всі міркування - аналогічні.

Доведення 6
Власні значення генераторів групи Лоренца у спінорному представленні.

$$\ (C_{1}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = (J^{cd}J_{cd}\psi)_{a_{1}...a_{n}} = -\frac{i}{2}\sum_{i = 1}^{n}\left( \varepsilon_{a_{i}c}J^{cd}\psi_{da_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}} + J^{cd}\varepsilon_{a_{i}d}\psi_{ca_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}}\right) = -i\sum_{i = 1}^{n}\varepsilon_{a_{i}c}J^{cd}\psi_{da_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}} = $$

$$\ =-\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\varepsilon_{a_{i}c}\left( \delta^{d}_{d}\psi^{c}_{\quad a_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}} + \delta^{c}_{d}\psi^{d}_{\quad a_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}} + \sum_{j \neq i}^{n}\left( \delta^{d}_{a_{j}}\psi^{c}_{\quad da_{1}...\tilde {a}_{j}...\tilde {a}_{i}...a_{n}} + \delta^{c}_{a_{j}}\psi^{d}_{\quad da_{1}...\tilde {a}_{j}...\tilde {a}_{i}...a_{n}}\right) \right) = $$

$$\ =-\frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{n}\left( 2\psi_{a_{1}...a_{n}} + \psi_{a_{1}...a_{n}}\right) - \frac{1}{2}\sum_{i, j \neq i}^{n}\left( \varepsilon_{a_{i}c}\psi^{c}_{\quad a_{1}...\tilde {a}_{i}...a_{n}} + \varepsilon_{a_{i}a_{j}}\psi^{d}_{\quad d a_{1}...\tilde {a}_{i}...\tilde {a}_{j}...a_{n}}\right) = -\frac{3n}{2}\psi_{a_{1}...a_{n}} - \frac{n(n - 1)}{2}\psi_{a_{1}...a_{n}} = -\frac{n(n + 2)}{2}\psi_{a_{1}...a_{n}}$$,

де доданок з $$\ \varepsilon_{a_{i}a_{j}}$$ рівен нулю, оскільки при підсумовуванні будуть суми вигляду $$\ \varepsilon_{a_{i}a_{j}} + \varepsilon_{a_{j}a_{i}}$$.

Інші рівності отримуються аналогічно.

Доведення 7
Алгебра оператора просторової інверсії на спінорних представленнях.

Використовуючи вирази для співвідношень генераторів групи Лоренца у векторному формалізмі із оператором $$\ \hat {P}$$ (див. розділ Оператор просторової інверсії...),

$$\ \hat {P}M_{0\alpha} = -M_{0\alpha }\hat {P}, \quad \hat {P}M_{\beta \gamma} = M_{\beta \gamma}\hat {P} \quad \beta, \gamma \neq 0$$,

можна отримати

$$\ \hat {P}M_{ab} = \hat {P}\frac{1}{2}(\sigma^{\mu \nu})_{ab}M_{\mu \nu} = \frac{1}{2}\hat {P}\left(2(\sigma^{0\alpha})_{ab}M_{0\alpha } + (\sigma^{\beta \gamma })_{ab}M_{\beta \gamma}\right) = \frac{1}{2}\left( -2(\sigma^{0\alpha })_{ab}M_{0\alpha}\hat {P} + (\sigma^{\beta \gamma})_{ab}M_{\beta \gamma}\hat {P}\right) = $$

$$\ = \left| \sigma^{0 \alpha} = -\frac{1}{4}\left( \sigma^{0}\tilde {\sigma}^{\alpha} - \sigma^{\alpha}\tilde {\sigma}^{0}\right) = -\frac{1}{4}\left( -\tilde {\sigma}^{0}\sigma^{\alpha} + \tilde {\sigma }^{\alpha }\sigma^{0}\right) = -\tilde {\sigma}^{0 \alpha}, \quad \sigma^{\beta \gamma} = \tilde {\sigma }^{\beta \gamma }\right| = $$

$$\ = \frac{1}{2}\left( 2(\tilde {\sigma}^{0 \alpha})_{ab}M_{0 \alpha} + (\tilde {\sigma}^{\beta \gamma})_{ab}M_{\beta \gamma}\hat {P}\right) \hat {P} = -M_{(\dot {a} \dot {b})}\hat {P}$$.

Аналогічно,

$$\ \hat {P}M_{(ab)} = -M_{(ab)}\hat {P}$$.