Тензори спіну та спіральності

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Тензор спіну
У розділі про біспінорні представлення було показано, що генераторами групи Лоренца у біспінорному представленні є

$$\ S_{\mu \nu} = -i\Eta_{\mu \nu} = \frac{i}{4}\left( \gamma_{\mu}\gamma_{\nu} - \gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\right), \quad \gamma^{\mu} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^{\mu} \\ \tilde {\sigma}^{\mu} & 0 \end{pmatrix}, \quad \tilde {\sigma}^{0} = \sigma^{0}, \quad \tilde {\sigma}^{i} = -\sigma^{i}, i \neq 0$$.

Просторові компоненти тоді повинні відповідати оператору спіну. Як і у випадку зі звичайними 4-тензорами, можно визначити 3-вектор спіну за допомогою рівності

$$\ \hat {S}_{i} = \frac{1}{2}\varepsilon_{ijk}S^{jk}, \quad j, k \neq 0$$.

Можна отримати відповідний тензор густини спіну із теорії поля. У розділі Тензор моменту імпульсу і спіну було введено тензор спіну,

$$\ S^{\mu, \alpha \beta} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi)}Y^{\alpha \beta} + \bar {Y}^{\alpha \beta}\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \bar {\Psi})}, \quad Y^{\alpha \beta} = \left(\frac{\partial \Psi}{\partial \omega_{\alpha \beta}}\right)$$.

Маючи лагранжіан біспінорного поля,

$$\ L = \bar {\Psi} \left( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m\right)\Psi$$,

та інфінітезимальні перетворення біспінора,

$$\ \delta \Psi = \frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}\Eta_{\mu \nu}\Psi, \quad \delta \bar {\Psi} = -\frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}\bar {\Psi}\Eta_{\mu \nu}$$,

можна отримати

$$\ \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \Psi)} = i\bar {\Psi}\gamma^{\mu}, \quad Y^{\alpha \beta} = \frac{1}{2}\frac{\partial (\omega^{\mu \nu}\Eta_{\mu \nu}\Psi)}{\partial \omega_{\alpha \beta}} = \Eta^{\alpha \beta}\Psi, \quad \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu} \bar {\Psi})} = 0$$,

і

$$\ S^{\mu, \alpha \beta} = i\bar {\Psi}\gamma^{\mu}\Eta^{\alpha \beta}\Psi$$.

Густини генераторів групи Лоренца отримуються при $$\ \mu = 0$$. Наприклад, густина спіну виходить для $$\ S^{0, 32}, S^{0, 13}, S^{0, 21}$$.

Враховуючи, що

$$\ \Eta_{\mu \nu} = -\frac{1}{4}\left( \gamma_{\mu}\gamma_{\nu} - \gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\right) = -\frac{1}{2}\left( \gamma_{\mu}\gamma_{\nu} - g_{\mu \nu}\right)$$

те, що для $$\ \Eta_{23}, \Eta_{31}, \Eta_{12}$$ відповідні компоненти метричного тензора рівні нулю, $$\ g_{23} = g_{31} = g_{12} = 0$$,

а також - вводячи вектор-матрицю (у повній відповідності з викладками вище)

$$\ \mathbf S = i(\Eta_{32}, \Eta_{13}, \Eta_{21})_{i} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sigma_{i} & 0 \\ 0 & \sigma_{i} \end{pmatrix}$$,

можна отримати

$$\ \hat {\mathbf S}_{d.} = \Psi^{+}\mathbf S \Psi = \Psi^{+}{\gamma^{0}}^{2}\mathbf S \Psi = \bar {\Psi}\gamma^{0}\mathbf S \Psi = \left| \gamma^{0}\mathbf S = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & \sigma \\ \sigma & 0 \end{pmatrix} \right| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \kappa & \bar {\psi} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & \sigma \\ \sigma & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \psi \\ \bar {\kappa} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\bar {\kappa}\sigma \kappa + \frac{1}{2}\psi\sigma \bar {\psi}$$

(по $$\ \sigma$$ - сума).

Збереження повного моменту імпульсу у термінах гамільтонового підходу
Із написаного вище очевидно, що зберігаються лише сума тензорів моменту імпульсу та спіну, тому зберігатиметься лише сума векторів орбітального моменту та спіну. Проте не зайвим є показати це ж у рамках гамільтонового підходу.

Використовуючи явний вигляд для матриць оператору спіну, можна отримати

$$\ \langle \frac{d \hat {\mathbf J}}{dt}\rangle = i[\hat {H}, \hat {\mathbf J}] = i[\hat {H}, \hat {\mathbf L}] + i[ \hat {H}, \hat {\mathbf S}] = \alpha^{i}\varepsilon_{ljk}\mathbf e^{l}[\hat {p}_{i}, x^{j}]\hat {p}^{k} + m[\gamma_{0}, \hat {\mathbf S}] + \hat {p}^{i} [\alpha_{i}, \hat {\mathbf S}] = \left| [\hat {p}_{i}, x^{j}] = -i\delta_{i}^{j}, \quad [\hat {\gamma}_{0}, \Eta_{ij}] = 0\right| = $$

$$\ = -[\hat {\alpha} \times \hat {\mathbf p}] + i\hat {p}^{i}[\alpha_{i}, S_{j}]\mathbf e^{j}$$.

Якщо врахувати властивості матриць Паулі, другий доданок набуде вигляду

$$\ [\alpha_{i}, S_{j}] = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -\sigma_{i} & 0 \\ 0 & \sigma_{i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sigma_{j} & 0 \\ 0 & \sigma_{j} \end{pmatrix} - \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sigma_{j} & 0 \\ 0 & \sigma_{j} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\sigma_{i} & 0 \\ 0 & \sigma_{i} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -\sigma_{i}\sigma_{j} + \sigma_{j}\sigma_{i} & 0 \\ 0 & \sigma_{i}\sigma_{j} - \sigma_{j}\sigma_{i} \end{pmatrix} = i\varepsilon_{ijk}\begin{pmatrix} -\sigma^{k} & 0 \\ 0 & \sigma^{i} \end{pmatrix}$$.

Отже, нарешті,

$$\ \langle \frac{d \hat {\mathbf J}}{dt}\rangle = [\hat {\alpha} \times \hat {\mathbf p}] - \hat {p}^{i} \mathbf e^{j}\varepsilon_{ijk}\alpha^{k} = [\hat {\alpha} \times \hat {\mathbf p}] - [\hat {\alpha} \times \hat {\mathbf p}] = 0$$.

Тензор спіральності
Рівняння Дірака і відповідний лагранжіан не змінюються відносно перетворення

$$\ \Psi \to \Psi {'} = (1 + ia^{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}\Psi ), \quad \bar {\Psi} \to \bar {\Psi} {'} = (1 - ia^{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\partial^{\delta}\bar {\Psi}\Eta^{\beta \gamma} )$$.

Дійсно, для рівняння Дірака

$$\ (i \gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)(\Psi + ia^{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}\Psi) = (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + ia^{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\Psi - ia^{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}m\Psi = $$

$$\ = (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi + ia^{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}m\Psi - ia^{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}m\Psi = (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0$$.

Тут була зроблена перестановка $$\ \gamma^{\mu}\Eta^{\beta \gamma} = \Eta^{\beta \gamma}\gamma^{\mu}$$ в силу наявності антисиметричного тензору Леві-Чивіта та симетричного добутку операторів похідної: дійсно,

$$\ a^{\alpha}\gamma^{\mu}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}\partial_{\mu} = a^{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\frac{1}{2}\gamma^{\mu}(\gamma^{\beta} \gamma^{\gamma} - g^{\beta \gamma})\partial^{\delta}\partial_{\mu} =a^{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\frac{1}{2}(2g^{\mu \beta} \gamma^{\gamma} - 2g^{\mu \gamma}\gamma^{\beta} + \gamma^{\beta}\gamma^{\gamma}\gamma^{\mu} - g^{\beta \gamma}\gamma^{\mu})\partial^{\delta}\partial_{\mu} = $$

$$\ =a_{\alpha}\varepsilon^{\alpha \mu \gamma \delta}\gamma_{\gamma}\partial_{\mu}\partial_{\delta} - a_{\alpha}\varepsilon^{\alpha \beta \mu \delta}\gamma_{\beta}\partial_{\mu}\partial_{\delta} + a_{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\gamma^{\mu}\partial^{\delta}\partial_{\mu} = a_{\alpha}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\gamma^{\mu}\partial^{\delta}\partial_{\mu}$$.

Відповідно, діраківський лагранжіан також не змінюється. Тому, знову згадуючи теорему Нетер, для струму

$$\ J^{\mu}_{\alpha} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}Y_{k, \alpha} - \left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi_{k})}\partial_{\nu}\Psi_{k} - \delta_{\nu}^{\mu}L\right)X^{\nu}_{\alpha}$$,

поклавши $$\ X^{\nu}_{\alpha} = 0$$ (перетворення не зачіпає координатної залежності біспінора) та визначивши

$$\ Y_{\alpha} = \frac{\partial (\Psi + ia^{\mu}\varepsilon_{\mu \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}\Psi )}{\partial a^{\alpha}} = i\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}\Psi, \quad \bar {Y}_{\alpha} = -i\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\partial^{\delta}\bar {\Psi} \Eta^{\beta \gamma}, \quad \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\Psi )} = i\gamma^{\mu}\Psi , \quad \frac{\partial L}{\partial (\partial_{\mu}\bar {\Psi } )} = 0$$,

можна отримати

$$\ h^{\mu}_{\alpha} = -\bar {\Psi}\gamma^{\mu}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\Eta^{\beta \gamma}\partial^{\delta}\Psi$$.

Нульова компонента цього тензора (знак мінус можна просто "опустити") відповідає густині оператору спіральності (не нормованому на одиничний вектор-напрямок імпульсу):

$$\ h^{00} = \Psi^{+}\varepsilon^{0\beta \gamma \delta }\Eta_{\beta \gamma}\partial^{\delta}\Psi = \Psi^{+}(\mathbf S \cdot \hat {\mathbf p})\Psi$$,

а інтеграл $$\ \int h^{00}d^{3}\mathbf r$$ - оператору спіральності. Власне, саме через запис оператора спіральності у вигляді

$$\ \hat {h} = (\hat {\mathbf S} \cdot \mathbf n ) = -\frac{i}{8}n_{i}\varepsilon^{ijk}S_{jk} = \frac{i}{8}n_{i}\varepsilon^{ijk}(\gamma_{j}\gamma_{k} - \gamma_{k}\gamma_{j}) = \frac{i}{4}n_{i}\varepsilon^{ijk}\gamma_{j}\gamma_{k}$$

і був мотив шукати перетворення поля та відповідний тензор. Природньо тоді тензор $$\ h^{\mu \nu}$$ називати тензором спіральності.

В силу того, що 4-дивергенція від $$\ h^{\mu \nu}$$ рівна нулю, можна розглянути 4-вектор $$\ \left(\int h^{00}d^{3}\mathbf r, \int h^{0i}d^{3}\mathbf r \right)$$, що зберігається. Просторові компоненти цього вектора відповідають виразу

$$\ \mathbf h = \int \Psi^{+}\left(\hat {\mathbf p}\gamma^{5} + 2m\mathbf S\gamma^{0}\right)\Psi d^{3}\mathbf r$$.

Цей вектор є ермітовим, що просто перевіряється, якщо врахувати, що $$\ \mathbf S, \gamma^{0}$$ є ермітовими в силу ермітовості матриць Паулі та одиничної матриці, $$\ \mathbf S \gamma^{0} = \gamma^{0}\mathbf S$$ та ермітовості і комутації $$\ \hat {\mathbf p}, \gamma^{5}$$.

Враховуючи явний вигляд $$\ S_{i} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sigma_{i} & 0 \\ 0 & \sigma_{i} \end{pmatrix}$$, для нульової компоненти 4-вектора спіральності (аналогічно до густини спіну) можна отримати

$$\ \hat {h}^{0} = \frac{1}{2}\int \left( \bar {\kappa} (\sigma \cdot \hat {\mathbf p })\kappa + \bar {\psi}(\sigma \cdot \hat {\mathbf p })\psi \right)d^{3}\mathbf r$$.

Збереження спіральності у термінах гамільтонового формалізму
Аналогічно до викладок із повним моментом імпульсу, просто показати, що спіральність зберігається у часі, у термінах гамільтонового формалізму. Дійсно,

$$\ \langle\frac{d \hat {h}_{00}}{dt}\rangle = i[\hat {H}, \hat {h}_{00}] = -i\hat {p}^{i} [S_{i}, \alpha_{j}]\hat {p}^{j} = -\varepsilon_{ijk} \hat {p}^{i}\hat {p}^{j}\alpha^{k} = 0$$.

Спіральність та кіральність
Запишемо вираз для розв'язку одночастинкового рівняння Дірака: по-перше, інтегралу не буде, по-друге, буде лише одна хвиля (що, вочевидь, відповідає випадку заданої енергії частинки), а тому (оберемо випадок додатнього власного значення) $$\ \Psi (\mathbf r, t) = C\begin{pmatrix} \varepsilon_{\mathbf p} \\ \frac{(\hat {\sigma} \cdot \hat {\mathbf p})}{E_{\mathbf p} - m}\varepsilon_{\mathbf p}\end{pmatrix}e^{ipx}$$,

або, розклавши $$\ \varepsilon_{\mathbf p}$$ по власним векторам оператору $$\ (\hat {\sigma} \cdot \hat {\mathbf p})$$ і обравши лише одну проекцію (частинка має одночасно лише одну проекцію, [:)]),

$$\ \Psi (\mathbf r, t) = Ca_{s}(\mathbf p) \begin{pmatrix} \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} - m}sw_{s} \\ \sqrt{\epsilon_{\mathbf p} + m} w_{s} \end{pmatrix}e^{ipx} \qquad (1)$$.

Константа $$\ C$$ тут відповідає за нормування функції (нормують її, нагадаю, на заряд, оскільки таке нормування є лоренц-інваріантним), але є наразі несуттєвою.

Усе написане зберігається і для випадку безмасової частинки. Для такого випадку оператор кіральності $$\ \gamma_{5}$$ комутує із оператором Гамільтона. Хвильова функція, наведена вище, є власною функцією такого оператора: дійсно, поклавши масу $$\ m$$ у $$\ (1)$$ рівною нулю, можна отримати (кіральна матриця $$\ \gamma_{5}$$ записується у діраківському базисі, оскільки у ньому ж і будувався розв'язок)

$$\ \gamma_{5}\Psi (\mathbf r, t) = C a_{s}(\mathbf p )\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} sw_{s} \\ w_{s} \end{pmatrix}e^{ipx} = C a_{s}(\mathbf p )\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}\begin{pmatrix} w_{s} \\ sw_{s} \end{pmatrix}e^{ipx} $$.

Для випадку $$\ s = 1$$ маємо $$\ \gamma_{5}\Psi (\mathbf r, t) = +\Psi (\mathbf r , t)$$, а для випадку $$\ s = -1$$ - $$\ \gamma_{5}\Psi (\mathbf r , t) = -\Psi (\mathbf r , t)$$.

Тепер аналогічні речі проробимо із (нормованим на імпульс та абсолютне значення спіну) оператором спіральності (далі буде позначатися як $$\ \hat {h}$$):

$$\ \hat {h} \Psi (\mathbf r, t) = 2\frac{\hat {h}_{00}}{|\mathbf p |} \Psi (\mathbf r , t) = \frac{a_{s}(\mathbf p )\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}}{|\mathbf p|}\begin{pmatrix} (\sigma \cdot \mathbf p ) & 0 \\ 0 & (\sigma \cdot \mathbf p ) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} sw_{s} \\ w_{s} \end{pmatrix}e^{ipx} = \frac{a_{s}(\mathbf p )\sqrt{\epsilon_{\mathbf p}}}{2|\mathbf p|} |\mathbf p|\begin{pmatrix} s^{2}w_{s} \\ sw_{s} \end{pmatrix}e^{ipx} = \pm \Psi (\mathbf r , t)$$.

Далі, треба врахувати, що спіральність є лоренцевим інваріантом для безмасових станів. Оскільки ж кіральність зберігається для випадку безмасових частинок і також є лоренцевим інваріантом, для повного ототожнення операторів треба знайти зв'язки конкретних власних значень. Дійсно, через знакозмінність енергії вільної діраківської частинки доводиться розглядати два випадки. Для цього можна скористатися безпосередньо рівнянням Дірака. Для безмасової частинки

$$\ \gamma_{\mu}\partial^{\mu}\Psi (x) = 0$$.

Нехай знову $$\ \Psi (x) = u(\mathbf p )e^{ipx}$$.

Тоді

$$\ p_{0}\gamma^{0}u(\mathbf p ) = (\gamma \cdot \mathbf {p})u(\mathbf p )$$.

Домноживши це рівняння зліва на $$\ \gamma_{5}\gamma_{0}$$, можна отримати

$$\ p_{0}\gamma_{5} u(\mathbf p ) = \gamma_{5} (\alpha \cdot \mathbf p ) u(\mathbf p ) = (\mathbf {S} \cdot \mathbf {p} ) u(\mathbf p )$$.

Нехай $$\ p_{0} > 0$$. Тоді

$$\ \gamma_{5}u(\mathbf p ) = \hat {h}u(\mathbf p )$$.

Тобто проектор на правокіральний стан для безмасового розв'язку із додатньою енергією є водночас проектором на стан із від'ємною спіральністю, а проектор на лівокіральний стан - проектором на стан із додатньою спіральністю.

Для випадку ж $$\ p_{0} < 0$$ аналогічно отримується

$$\ \gamma_{5}u(\mathbf p ) = -\hat {h}u(\mathbf p )$$.

Тобто проектор на правокіральний стан для безмасового розв'язку із від'ємною енергією є водночас проектором на стан із додатньою спіральністю, а проектор на лівокіральний стан - проектором на стан із від'ємною спіральністю.

Узагальнимо написане про спіральність і кіральність (див. також відповідний розділ). У загальному випадку спіральність і кіральність відповідають абсолютно різним поняттям. Спіральність - це проекція спіну на напрямок 3-імпульсу; відповідно до цього, у представлення спіну \ s може бути $$\ 2s + 1$$ значень спіральності. Кіральність же можна зрозуміти наступним чином: представлення спіну $$\ s$$ можна записати як $$\ \left( s, 0\right)$$, а можна записати як $$\ \left( 0, s \right)$$. У масивному випадку ці представлення пов'язані оператором $$\ \Delta_{a}^{\ \dot {b}}$$, проте чисто формально їх можна назвати лівим представленням і правим представленням, причому праве представлення перетворюється за комплексно спряженим перетворенням лівого представлення. Якщо ж маємо безмасовий випадок, то у частинки може бути лише одне значення спіральності (якщо теорія інваріантна по відношенню до дискретних симетрій, то два значення), а представлення $$\ \left( s, 0\right), \left( 0, s \right)$$ відповідають принципово різним представленням і не можуть бути пов'язані деяким оператором. Можно тоді показати, що спіральність стану однозначно пов'язана із його кіральністю (побудувавши відповідні оператори для даного представлення).

=А= $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$