Перетворення Лоренца. Доведення

Доведення 1
Лінійність функцій перетворення координат.

Нехай є бескінечно мале зміщення $$\ dx'$$ у системі $$\ K'$$. Відповідне зміщення $$\ dx$$ системи $$\ K$$ буде рівне $$\ dx$$, а проміжок часу, що відповідає зміщенню - $$\ dt$$.

Тоді для функції координати (для функції часу - аналогічно)

$$ dx' = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt + \frac{\partial f}{\partial u} du = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial t}dt $$.

Оскільки простір-час однорідний, то зміщення $$dx'$$ не повинно залежати від точки простору-часу, а отже, $$\ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial t}$$ є однаковими для всіх точок простору та усіх моментів часу $$\ \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial t} = const \right)$$, а отже, є постійними при заданій відносній швидкості. Отже, їх можна у записі функції $$\ f(x, u, t)$$ представити у вигляді коефіцієнтів, які можуть залежати лише від відносної швидкості (оскільки функція $$\ f = f(x, u, t)$$ залежить лише від координати, часу та відносної швидкості ІСВ):

$$\ x' = Ax + Bt + const_{1}, t' = Cx + Dt + const_{2}$$,

де

$$\ A = A(u), \quad B = B(u), \quad C = C(u), \quad D = D(u)$$.

Доведення 2
Інваріантність швидкості с відносно перетворень Лоренца.

Для доведення цього доцільно розглянути дві ІСВ $$\ A, A'$$, у яких тіло має швидкість $$\ {u_{0}}_{{u_{0}}_{x}, {u_{0}}_{y}, {u_{0}}_{z}}, {u_{1}}_{{u_{1}}_{x}, {u_{1}}_{y}, {u_{1}}_{z}}$$ відповідно, причому вектор швидкостей, для спрощення, у обох випадках орієнтований по осі $$\ x$$. Тоді, відповідно до перетворень Лоренца, при переході до ІСВ $$\ A'$$, що рухається зі швидкістю $$\ u$$ відносно ІСВ $$\ A$$, компоненти швидкості змінюються наступним чином:

$$\ {u_{1}}_{x} = \frac{{u_{0}}_{x} - u}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}} \qquad (.13)$$;

$$\ {u_{1}}_{y} = \frac{{u_{0}}_{y}}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} \qquad (.14)$$;

$$\ {u_{1}}_{z} = \frac{{u_{0}}_{z}}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}} \sqrt{1 - \frac{u^{2}}{c^{2}}} \qquad (.15)$$.

Оскільки

$$\ u_{0}^{2} = {u_{0}}_{x}^{2} + {u_{0}}_{y}^{2} + {u_{0}}_{z}^{2} = c^{2}$$,

$$\ u_{1}^{2} = {u_{1}}_{x} ^{2} + {u_{1}}_{y} ^{2} + {u_{1}}_{z} ^{2} \qquad (.16)$$,

то, з урахуванням $$\ (.13)-(.15)$$ і початкових припущень, вираз $$\ (.16)$$ можна переписати:

$$\ u_{1}^{2} = {u_{1}}_{x} ^{2} \Rightarrow u_{1} = {u_{1}}_{x} = \frac{{u_{0}}_{x} - u}{1 - \frac{{u_{0}}_{x} u}{c^{2}}}$$.

Тоді можна виразити швидкість $$\ u_{1}$$:

$$\ u_{1} = \frac{{c^{2} (u_{0}}_{x} - u)}{c^{2} - {u_{0}}_{x} u} = \frac{c^{2} (c - u)}{c(c - u)} = c$$,

з чого видно, що швидкість $$\ c$$ інваріантна відносно будь-якої ІСВ.

Аналогічно можна отримати даний результат у більш загальному випадку для модуля вектора швидкості світла. Нехай у перетвореннях для вектора швидкості $$\ \mathbf v = \mathbf c$$. Тоді, взявши модуль від перетворення для вектора швидкості і об'єднавши, у отриманій підкореневій рівності, перший доданок з останнім, другий - з четвертим, а третій - з п'ятим, можна отримати

$$\ | \mathbf v ' | = \sqrt{(\mathbf v' \cdot \mathbf v' )} = \frac{1}{\gamma \left( 1 - \frac{( \mathbf u \cdot \mathbf v )}{c^{2}} \right)}\sqrt{\mathbf v^{2} + 2 \frac{\Gamma}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf v )^{2} - 2\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf v) + \frac{\Gamma^{2}}{c^{4}}u^{2}(\mathbf u \cdot \mathbf v )^{2} - 2\frac{\Gamma \gamma }{c^{2}}u^{2}(\mathbf u \cdot \mathbf v ) + \gamma^{2}u^{2} } = $$

$$\ = |\mathbf u = \mathbf c | = \frac{1}{\gamma \left( 1 - \frac{( \mathbf u \cdot \mathbf c )}{c^{2}} \right)} \sqrt{c^{2}\left( 1 + \gamma^{2}\frac{u^{2}}{c^{2}}\right) - 2\gamma (\mathbf u \cdot \mathbf c ) \left( 1 + \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}}\right) + \frac{\Gamma}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf c )\left( 2 + \Gamma\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)} = $$

$$\ = \left| 1 + \gamma^{2}\frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma^{2}, \quad 2 + \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} = 1 + \gamma = \frac{1 + \gamma}{\gamma^{2}}\gamma^{2} = \frac{\gamma^{2}}{\Gamma}, \quad 1 + \Gamma \frac{u^{2}}{c^{2}} = \gamma \right| = \frac{\gamma}{\gamma \left( 1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c)}{c^{2}}\right)}\sqrt{c^{2} - 2 (\mathbf u \cdot \mathbf c) + \frac{1}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf c )^{2}} = $$

$$\ = c\frac{\sqrt{1 - 2\frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c)}{c^{2}} + \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c)}{c^{4}}}}{1 - \frac{(\mathbf u \cdot \mathbf c )}{c^{2}}} = c$$,

що й треба було довести.