Реалізація симетрій у квантовій механіці. Теорема Вігнера

Повернутися до розділу "Основи теорії груп".

Про реалізацію симетрій в класичній фізиці
Основна властивість класичної частинки (у порівнянні із квантовомеханічним описом стану, що відповідає цій частинці) - наявність у неї визначеної траєкторії. Її траєкторія задається координатою та швидкістю, чи, еквівалентно, координатою та імпульсом, рівняння на які називаються відповідно рівняннями Лагранжа чи Гамільтона (нижче буде використовуватися гамільтонів формалізм в силу описаної у розділі про відповідність лапок Пуассона комутаторам у квантовій механіці, що буде зручно у подальшому). Аналогічно, класична система із $$\ N$$ багатьох частинок також має визначену "траєкторію"; ця траєкторія відповідає шляху у $$\ 6N$$-вимірному фазовому просторі, точка у якому задається сукупністю координат та імпульсів усіх частинок. Рівняння руху у гамільтоновому формалізмі,

$$\ \dot{q}_{i}^{a} = \frac{\partial H}{\partial p_{i}^{a}}, \quad \dot{p}_{i}^{a} = -\frac{\partial H}{\partial q_{i}^{a}}$$,

можна переписати за допомогою дужки Пуассона,

$$\ [A, B] = \sum_{a, i}\left( \frac{\partial A}{\partial q_{i}^{a}}\frac{\partial B}{\partial p_{i}^{a}} - \frac{\partial A}{\partial p_{i}^{a}}\frac{\partial B}{\partial q_{i}^{a}} \right)$$,

у вигляді

$$\ \dot{q} = [q, H], \quad \dot{p} = [p, H], \quad [q, p] = 1, \quad [q, q] = [p, p] = 0 \qquad (1)$$

(останні три вирази називаються канонічними дужками Пуассона).

Аналогічне рівняння справедливе і для довільної функції цих змінних:

$$\ \frac{dA(q, p, t)}{dt} = [A, H] + \frac{\partial A}{\partial t} \qquad (2)$$.

Нехай далі здійснюється деяке інфінітезимальне перетворення

$$\ q \to q{'} = q + \epsilon [q, G(q, p)] \equiv q + \delta_{G}q, \quad p \to p{'} = p + \epsilon [p, G(q, p)] \equiv p + \delta_{G}p $$.

Функція $$\ G$$ тут називається генератором перетворення. Якщо дане перетворення не змінює канонічні дужки Пуассона, то воно не змінює і поведінку системи (траєкторію), оскільки рівняння її динаміки залишаються незмінними. Гамільтоніан $$\ H$$ при цьому змінюється як

$$\ \Delta H = H(q{'}, p{'}, t) - H(q, p, t) \approx \partial_{q}H \delta_{G}q + \partial_{p}H \delta_{G}p = [H, G] \qquad (3)$$.

Нехай тепер розглядається динаміка у часі генератора перетворення $$\ G$$. Відповідно до $$\ (2), (3)$$, його еволюція задається рівнянням

$$\ \frac{d G}{dt} = [G, H] + \frac{\partial G}{\partial t} = \Delta H + \frac{\partial G}{\partial t} \qquad (4)$$.

Канонічним перетворенням симетрії називається перетворення, для якого $$\ (4)$$ має вигляд

$$\ \Delta H + \frac{\partial G}{\partial t} = 0$$.

Це означає, що генератор $$\ G$$ являється інтегралом руху.

На основі написаного, можна дійти висновку, що у класичній фізиці симетрія реалізується деякою підгрупою канонічних перетворень фазового простору системи, що описується набором генераторів $$\ G$$, які є інтегралами руху.

Реалізація симетрій у квантовій фізиці. Теорема Вігнера
У квантовій фізиці поняття траєкторії не існує, а основою для описання фізичної системи є вектор стану $$\ |\psi \rangle$$. Визначенням перетворення симетрії є таке перетворення

$$\ |\psi \rangle, | \varphi \rangle \to |\psi '\rangle = U | \psi \rangle, |\varphi '\rangle = U | \varphi \rangle$$,

яке не змінює ймовірності:

$$\ |\langle \psi | \varphi \rangle|^{2} = |\langle \psi {'}| \varphi {'} \rangle |^{2} = inv \qquad (5)$$.

Виявляється, що $$\ U$$ може бути або лінійним унітарним оператором, або антилінійним антиунітарним оператором (це твердження сформульоване як теорема Вігнера). Це можна довести наступним чином.

При умові справедливості $$\ (5)$$ введемо повний ортонормований базис $$\ \varphi_{k}$$:

$$\ \langle \varphi_{k}|\varphi_{l} \rangle = \langle \varphi_{k}{'}|\varphi_{l}{'} \rangle = \delta_{kl}$$.

Довільний стан $$\ | \psi \rangle$$ та його перетворення симетрії $$\ | \psi {'}\rangle = U| \psi\rangle$$ можу бути розкладені по цьому базису як

$$\ | \psi\rangle = \sum_{k}\psi_{k}| \varphi_{k}\rangle, \quad | \psi{'}\rangle = \sum_{k}\psi{'}_{k}| \varphi_{k} {'}\rangle$$.

Оскільки $$\ \psi_{k} = \langle \psi | \varphi_{k}\rangle, \quad \psi_{k}{'} = \langle \psi{'}|\varphi_{k}{'}\rangle $$, то з $$\ (5)$$ слідує, що

$$\ |\psi_{k}| = |\psi_{k}{'}| \qquad (6)$$.

Нехай тепер $$\ |\varphi_{1}\rangle$$ - один із базисних векторів, для якого $$\ \langle \psi |\varphi_{1} \rangle \equiv \psi_{1} \neq 0$$. Утворимо лінійну комбінацію $$\ |\Phi_{k}\rangle = |\varphi_{1}\rangle + |\varphi_{k}\rangle, k = 2, ...$$. Розкладаючи $$\ U| \Phi_{k}\rangle$$ по векторам $$\ U |\varphi_{k}\rangle$$,

$$\ U| \Phi_{k}\rangle = \sum_{l}\alpha_{lk}U|\varphi_{l}\rangle, \quad \alpha_{lk} = \langle \Phi_{k}| \varphi_{l}\rangle$$,

можна отримати, що згортка $$\ \langle U\varphi_{l} |U \Phi_{k} \rangle$$ із врахуванням $$\ (5)$$ дорівнює

$$\ |\langle U\varphi_{l} |U \Phi_{k} \rangle| = |\langle \varphi_{l}| \varphi_{1} + \varphi_{k}\rangle | = |\delta_{l1} + \delta_{lk}| = |\alpha_{lk}|$$.

Отже, єдиними ненульовими значеннями $$\ \alpha_{lk}$$ є значення при $$\ l = 1, l = k$$. Тому

$$\ U| \Phi_{k}\rangle = \alpha_{k}|\varphi_{1}\rangle + \beta_{k}| \varphi_{k}\rangle, \quad |\alpha_{k}| \equiv |\alpha_{1k}| = 1, \quad |\beta_{k}| \equiv |\alpha_{kk}| = 1 \qquad (7)$$.

Введемо тепер оператор $$\ U{'}$$, що діє наступним чином:

$$\ U{'}|\varphi_{1}\rangle \equiv U| \varphi_{1}\rangle, \quad U{'}|\varphi_{k}\rangle = \frac{\beta_{k}}{\alpha_{k}}U|\varphi_{k}\rangle , \quad U{'}| \Phi_{k}\rangle = \frac{1}{\alpha_{k}}U|\Phi_{k}\rangle$$.

Використовуючи ці рівності та вираз $$\ (7)$$, можна отримати

$$\ U{'}| \varphi_{1} + \varphi_{k}\rangle = \frac{1}{\alpha_{k}}U| \varphi_{1} + \varphi_{k}\rangle = U|\varphi_{1} \rangle + \frac{\beta_{k}}{\alpha_{k}}U|\varphi_{k}\rangle = U{'}|\varphi_{1}\rangle + \frac{\beta_{k}}{\alpha_{k}}\frac{\alpha_{k}}{\beta_{k}}U{'}|\varphi_{k}\rangle = U{'}|\varphi_{1}\rangle + U{'}|\varphi_{k}\rangle$$.

З урахуванням вищеотриманого, згортка $$\ \langle U{'}(\varphi_{1} + \varphi_{k})|U{'}\psi \rangle$$ дорівнює

$$\ |\langle U{'}(\varphi_{1} + \varphi_{k})|U{'}\psi \rangle| = |\sum_{l}\psi_{l}{'}\left[\langle U{'}\varphi_{1}|U{'}\varphi_{l}\rangle + \langle U{'}\varphi_{k}| U{'}\varphi_{l}\right]| = |\sum_{l}\psi_{l}{'}(\delta_{1l} + \delta_{kl})| =|\psi_{1}{'} + \psi_{k}{'}| \qquad (8)$$.

Цей вираз має бути рівним, відповідно до $$\ (5)$$, згортці

$$\ |\langle \varphi_{1} + \varphi_{k}| \psi\rangle| = |\psi_{1} + \psi_{k}|$$.

Нехай $$\ \psi_{1} = |\psi_{1}|e^{ia_{1}}, \psi_{k} = |\psi_{k}|e^{ia_{k}}, ...$$. Оскільки з $$\ (6) $$ відомо, що $$\ |\psi_{i}| = |\psi_{i}{'}|$$, то рівність $$\ (8)$$ дає зв'язок фаз $$\ \psi_{i} $$:

$$\ |\psi_{1} + \psi_{k}| = \sqrt{|\psi_{1}|^{2} + |\psi_{k}|^{2} + 2|\psi_{1}||\psi_{k}|cos(a_{1} - a_{k})} = |\psi_{1}{'} + \psi_{k}{'}| = \sqrt{|\psi_{1}|^{2} + |\psi_{k}|^{2} + 2|\psi_{1}||\psi_{k}|cos(a_{1}{'} - a_{k}{'})}\Rightarrow a_{1}{'} - a_{k}{'} = \pm (a_{1} - a_{k})$$.

Це означає, що

$$\ \frac{\psi_{k}{'}}{\psi_{1}{'}} = \frac{|\psi_{k}|}{|\psi_{1}|}e^{i(a_{k}{'} - a_{1}{'})} = \frac{|\psi_{k}|}{|\psi_{1}|}e^{i\pm (a_{k} - a_{1})}$$.

В залежності від знаку, реалізуються дві можливості: $$\ \psi_{i}{'} = \psi_{i}$$, $$\ \psi_{i}{'} = \psi_{i}^{*}$$.

Перший випадок відповідає лінійному унітарному оператору:

$$\ \langle U\kappa|U \psi \rangle = \sum_{l, j}\kappa_{l}^{*}{'}\psi_{j}{'} \langle U\varphi_{l}|U\varphi_{j} \rangle = \sum_{l, j} \kappa_{l}^{*}\psi_{j}\langle \varphi_{l}| \varphi_{j}\rangle = \langle \kappa | \psi\rangle$$,

$$\ U (\alpha |\kappa \rangle + \beta | \psi \rangle) = U\sum_{k}(\alpha \kappa_{k} + \beta \psi_{k})| \varphi_{k}\rangle = \alpha U \sum_{k}\kappa_{k}| \varphi_{k}\rangle + \beta U \sum_{k}\psi_{k}| \varphi_{k}\rangle = \alpha U | \kappa\rangle + \beta U | \psi \rangle$$.

Другий випадок відповідає антилінійному антиунітарному оператору:

$$\ \langle U\kappa|U \psi \rangle = \sum_{l, j}\kappa_{l}^{*}{'}\psi_{j}{'} \langle U\varphi_{l}|U\varphi_{j} \rangle = \sum_{l, j} \kappa_{l}\psi_{j}^{*}\langle \varphi_{l}| \varphi_{j}\rangle = \sum_{l, j} \kappa_{l}\psi_{j}^{*}\langle \varphi_{j}| \varphi_{l}\rangle= \langle \psi | \kappa\rangle$$,

$$\ U(\alpha | \kappa\rangle + \beta | \psi \rangle) =U\sum_{k}(\alpha \kappa_{k} + \beta \psi_{k})| \varphi_{k}\rangle = \alpha^{*}\sum_{k}\kappa_{k}^{*}U|\varphi_{k}\rangle + \beta^{*}\sum_{k}\psi_{k}^{*}U|\varphi_{k}\rangle = \alpha^{*}U|\kappa \rangle + \beta^{*}U|\psi \rangle$$.

Теорему доведено.

Теореми Вігнера та постулатів про відповідність фізичним величинам ермітових операторів, принцип суперпозиції та ймовірнісну інтерпретацію хвильової функції достатньо, щоб побудувати увесь математичний апарат квантової механіки.

Генератори унітарних представлень симетрій як оператори фізичних величин
Використовуючи умову унітарності для представлення $$\ U(g)$$, $$\ U^{\dagger}U = id$$, та розкладаючи в ряд $$\ U(g)$$ з точністю до першого порядку включно (треба згадати про генератори), можна побачити, що

$$\ \hat{t}_{i}^{\dagger} - \hat{t}_{i} = 0 \Rightarrow \hat{t}_{i} = \hat{t}_{i}^{\dagger}$$,

що означає, що генератори унітарного представлення являються ермітовими. Таким чином, для нескінченновимірного простору станів квантової системи генератори є кандидатами на роль операторів фізичних величин системи. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$