Електромагнітні хвилі

Повернутися до розділу "Електромагнітні хвилі".

Якщо використати формальне виведення рівнянь Максвелла, то відразу можна сказати, що вони виконуються для напруженості електричного поля, що створюється системою зарядів, що рухаються рівномірно. Проте рівняння ці можуть містити і принципіально нові розв'язки. Якщо є простір, у якому немає зарядів і струмів, то система рівнянь Максвелла буде записана як $$\ \nabla \mathbf E = 0, \quad [\nabla \times \mathbf E ] = -\frac{1}{c}\frac{\partial B}{\partial t}, \quad \nabla \mathbf B = 0, \quad [\nabla \times \mathbf B ] = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \qquad (.1)$$.

Взявши ротори від роторних рівнянь, можна отримати:

$$\ [\nabla \times [\nabla \times \mathbf E ]] = \nabla (\nabla \mathbf E ) - \Delta \mathbf E = -\Delta \mathbf E = -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}[\nabla \times \mathbf B ] = - \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}\mathbf E}{\partial t^{2}} $$,

$$\ [\nabla \times [\nabla \times \mathbf B]] = -\Delta \mathbf B = -\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \mathbf B}{\partial t^{2}} \qquad$$.

Очевидним розв'язком наведених хвильових рівнянь є поля, що не залежать від координат і часу ($$\ \mathbf E_{0}, \mathbf B_{0} = const$$). Проте це не єдиний розв'язок, що задовольняє цим рівнянням.

Нехай

$$\ u = (\mathbf n \cdot \mathbf r ) - ct, \quad \mathbf E = \mathbf E (u), \quad \mathbf B = \mathbf B (u)$$,

де $$\ \mathbf n$$ - постійний вектор. В основному, вигляд аргументу, від якого залежать характеристики полів, вибраний навмання. Єдиними критеріями його вибору була ідея про перехід до однієї змінної у рівняннях Максвелла як у випадку з вектором набла, так і в випадку із похідною по часу (наявність у аргументі як доданку, що залежить від часу, так і доданку, що залежить від радіус-вектору), і ідея про лінійність залежності аргументу від часу і компонент радіус-вектора.

Тоді, виконавши проміжні зміни у виразах з рівнянь Максвелла,

$$\ \nabla \mathbf E = \sum_{i}\frac{\partial E_{i}}{\partial x_{i}} = \sum_{i}\frac{dE_{i}}{du}\frac{du}{dr_{i}} = \sum_{i}n_{i}\frac{dE_{i}}{du} = \frac{d}{du}(\mathbf n \cdot \mathbf E), \quad \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = \frac{d \mathbf E}{du}\frac{du}{dt} = -c\frac{d\mathbf E}{du}$$,

$$\ \nabla \mathbf B = \frac{d}{du}(\mathbf B \cdot \mathbf n), \quad \frac{\partial \mathbf B}{\partial t} = -c\frac{d\mathbf B}{du}$$,

$$\ [\nabla \times \mathbf E] = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac{d }{d u}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{d }{d u}\frac{\partial u}{\partial y} & \frac{d }{d u}\frac{\partial u}{\partial z} \\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac{\partial }{\partial u}n_{x} & \frac{\partial }{\partial u}n_{y} & \frac{\partial }{\partial u}n_{z} \\ E_{x} & E_{y} & E_{z} \end{vmatrix} = \frac{d}{du}[\mathbf n \times \mathbf E ], \quad [\nabla \times \mathbf B ] = \frac{d}{du}[\mathbf n \times \mathbf B]$$,

і підставивши їх у $$\ (.1)$$, можна отримати систему з чотирьох незалежних рівнянь:

$$\ \frac{d}{du}(\mathbf n \cdot \mathbf E) = 0, \quad \frac{d}{du}[\mathbf n \times \mathbf E] = \frac{d \mathbf B}{du}, \quad \frac{d}{du}(\mathbf n \cdot \mathbf B) = 0, \quad \frac{d}{du}[\mathbf n \times \mathbf B] = -\frac{d \mathbf E}{du}$$.

Якщо перенести праві частини до лівих цих рівнянь вліво, проінтегрувати і задати константи (що відповідають постійним компонентам полів) рівними нулю, то можна отримати

$$\ (\mathbf n \cdot \mathbf E) = 0, \quad [\mathbf n \times \mathbf E] - \mathbf B = 0, \quad (\mathbf n \cdot \mathbf B) = 0, \quad [\mathbf n \times \mathbf B] + \mathbf E = 0$$.

Якщо підставити $$\ \mathbf B $$ з другого рівняння у четверте, то, скориставшись першим, можна отримати значення квадрату вектора $$\ \mathbf n$$:

$$\ \mathbf B = [\mathbf n \times \mathbf E] \Rightarrow [\mathbf n \times [\mathbf n \times \mathbf E] ] = \left(\mathbf n (\mathbf n \cdot \mathbf E) - \mathbf n^{2}\mathbf E \right) = -\mathbf n^{2}\mathbf E = -\mathbf E \Rightarrow \mathbf n^{2} = 1$$.

Отже, нетривіальний розв'язок рівнянь Максвелла є наступним:

$$\ \mathbf B = [\mathbf n \times \mathbf E], \quad (\mathbf n \cdot \mathbf E) = 0, \quad \mathbf n^{2} = 1$$.

В рамках такого розв'язку напруженість електричного поля може довільним чином залежати від $$\ u$$, а вектори напруженості електричного поля, індукції магнітного поля і $$\ \mathbf n$$ ортогональні один одному.