Аномалії та ефективні теорії поля: кіральні ефективні теорії поля

Повернутися до розділу "Стандартна модель".

Спершу читати розділ Аномалії та ефективні теорії поля.

Аномалії як об'єкти топологічної природи є масштабно-інваріантними, що, зокрема, означає, що вільна від калібрувальних аномалій теорія залишається такою на будь-яких енергіях. У розділі про аномалії та ефективні теорії поля було показано, що внаслідок цієї властивості ефективні теорії поля, що отримані із вільних від аномалій фундаментальних теорій відинтегровуванням ступенів вільності, містять масштабно-інваріантні члени, які в точності відтворюють аномальний внесок відинтегрованих ступенів вільності. У окремих випадках такі члени містять також нетривіальну взаємодію полів за типом черн-саймонівської, $$\ \partial \wedge A \wedge \partial \wedge B$$, де $$\ \wedge$$ позначає згортку із тензором Леві-Чивіта.

Метою цього розділу є застосування того ж самого підходу до теорій, у яких відбувається спонтанне порушення глобальної симетрії, внаслідок чого у спектрі частинок з'являються голдстоунівські бозони. Це є дуже важливим із прикладної точки зору, оскільки відома така теорія - квантова хромодинаміка, у якій на масштабі $$\ \Lambda_{QCD}$$ відбувається спонтанне порушення (майже точної) глобальної групи симетрії кварків $$\ SU_{L}(3)\times SU_{R}(3)$$ до $$\ SU_{f}(3)$$, внаслідок чого виникає 8 голдстоунівських бозонів - мезонів; малі порушення початкової групи симетрії, виникаючі внаслідок ненульових мас кварків, призводять до появи мас у мезонів (тому мезони виступають у ролі псевдоголдстоунівських бозонів). Низькоенергетичний лагранжіан КХД можна переписати у термінах мезонних полів, виділяючи їх ступені вільності у кваркових полях та замінюючи білінійні форми кваркових полів у лагранжіані ненульовим вакуумним середнім. Отриманий лагранжіан називається кіральною ефективною теорією поля:

$$\ L = \frac{F_{\pi}^{2}}{16}Tr[\partial_{\mu}U\partial^{\mu}U] + ... \qquad (0)$$,

де три крапки позначають масовий член та можливі старші доданки із більшим числом матриць $$\ U$$, які у принципі виникають внаслідок того, що у дійсності побудова повної кіральної ефективної теорії поля є непертурбативною, і у $$\ (0)$$ мають бути присутніми усі доданки, дозволені кіральною симетрією. У найнижчому порядку $$\ U \approx \text{1} + \frac{i}{F_{\pi}^{2}}\sum_{a}\lambda_{a}\epsilon^{a}$$.

Доповнюється.

Член Весса-Зуміно та локальні калібрувальні взаємодії. Аномалії
Розглянемо спершу локальну калібрувальну взаємодію фундаментальних ферміонів, що відповідає групі $$\ U(1)$$, яка є підгрупою кіральної групи $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$. Ферміонам у фундаментальній теорії відповідає генератор заряду $$\ \hat{Q}$$. Відповідне глобальне $$\ U(1)$$-перетворення залишає інваріантною дію

$$\ S = \int d^{4}x\left( \frac{F_{\pi}^{2}}{16}\text{Tr}[\partial_{\mu}U^{\dagger}\partial^{\mu}U] + ...\right) - \lambda \frac{i}{240 \pi^{2}}\int \limits_{B_{5}}^{}d^{5}x\epsilon^{ijklm}\text{Tr}[L_{l}L_{j}L_{k}L_{l}L_{m}] \qquad (5)$$.

Мінімальна локальна взаємодія відповідає подовженню похідної $$\ \partial_{\mu} \to D_{\mu} = \partial_{\mu} - iA_{\mu}$$, де при локальних перетвореннях $$\ A_{\mu} \to A_{\mu} - \partial_{\mu}\epsilon(x)$$. Таке введення взаємодії, проте, не підходить до члену Весса-Зуміно, оскільки він не відповідає локальному виразу у 4-вимірному просторі-часі. Тому локально-інваріантний член Весса-Зуміно можна побудувати наступним чином: обчислити варіацію члена Весса-Зуміно $$\ n\Gamma_{WZ}$$, додати доданок, що скорочує цю варіацію, обчислити варіацію суми члена Весса-Зуміно і доданка, додати доданок, що скорочує варіацію суми, і т.д. Такий метод дістав назву "метод проб та помилок".

Отже, варіація члену Весса-Зуміно дорівнює

$$\ n\delta \Gamma_{WZ} = -\frac{in}{48 \pi^{2}}\int d^{5}x\epsilon^{ijklm}\text{Tr}[\delta L_{i} L_{j}L_{k}L_{m}L_{n}]$$.

Оскільки при глобальних калібрувальних перетвореннях $$\ U(x) \to e^{i\epsilon(x)Q}Ue^{-i\epsilon(x)Q}$$, то при інфінітезимальних перетвореннях $$\ \delta U = i\epsilon (x)[Q, U]$$. Тому

$$\ \delta L_{i} = i\epsilon(x)[Q, U]\partial_{i}U^{-1} + iU\partial_{i}(\epsilon(x)[Q, U^{-1}]) = i\epsilon [Q, L_{i}] + i\partial_{i}\epsilon U Q U^{-1} - i\partial_{i}\epsilon Q$$.

Вклад від першого доданку дорівнює нулю; дійсно,

$$\ \epsilon^{ijklm}\text{Tr}[QL_{i}L_{j}L_{k}L_{l}L_{m}] - \epsilon^{ijklm}\text{Tr}[L_{i}QL_{j}L_{k}L_{l}L_{m}] = ... - \epsilon^{ijklm}\text{Tr}[QL_{j}L_{k}L_{l}L_{m}L_{i}] = ... - \epsilon^{jklmi}\text{Tr}[QL_{j}L_{k}L_{l}L_{m}L_{i}] = 0 $$.

Варіація від другого та третього вкладів дає

$$\ \frac{in}{48 \pi^{2}}\int d^{5}x\epsilon^{ijklm}\partial_{i}\epsilon \text{Tr}[UQU^{-1}U\partial_{j}U^{-1}L_{k}L_{l}L_{m} - QL_{i}L_{j}L_{k}L_{m}] = \frac{in}{48 \pi^{2}}\int d^{5}x \epsilon^{ijklm}\partial_{i}\epsilon Tr\left[Q(T_{j}T_{k}T_{l}T_{m} - L_{j}L_{k}L_{l}L_{m}) \right], \quad T_{i} \equiv (\partial_{i}U^{-1})U \quad (6)$$.

Розглянемо вираз $$\ \epsilon^{ij}L_{i}L_{j}$$. Він дорівнює

$$\ \epsilon^{ij}(U\partial_{i}U^{-1}U\partial_{i}U^{-1}) = \left| \partial_{i}(UU^{-1}) = - \Rightarrow U\partial_{i}U^{-1} = -\partial_{i}U U^{-1}\right| = -\epsilon^{ij}\partial_{i}U\partial_{j}U^{-1} = -\epsilon^{ij}\partial_{i}(U\partial_{j}U^{-1})$$.

Тоді $$\ \epsilon^{ijkl}L_{i}L_{j}L_{k}L_{l}$$ дорівнює

$$\ \epsilon^{ijkl}\partial_{i}U\partial_{j}U^{-1}L_{k}L_{l} = -\epsilon^{ijkl}\partial_{i}(L_{j})L_{k}L_{l} = -\epsilon^{ijkl}\partial_{i}(L_{j}L_{k}L_{l}) + \epsilon^{ijkl}L_{j}\partial_{i}(L_{k}L_{l}) = $$

$$\ = \left| \epsilon^{ijkl}L_{k}L_{l} = -\epsilon^{ijkl}\partial_{k}L_{l} \Rightarrow \epsilon^{ijkl}L_{j}\partial_{i}(L_{k}L_{l}) = -\epsilon^{ijkl}L_{j}\partial_{i}\partial_{k}L_{l} \equiv 0\right| = $$

$$\ = -\epsilon^{ijkl}\partial_{i}(L_{j}L_{k}L_{l})$$.

Аналогічно,

$$\ \epsilon^{ijkl}T_{i}T_{j}T_{k}T_{l} = -\epsilon^{ijkl}\partial_{j}(T_{i})T_{k}T_{l} = -\epsilon^{ijkl}\partial_{j}(T_{i}T_{k}T_{l}) = \epsilon^{ijkl}\partial_{i}(T_{j}T_{k}T_{l})$$.

У результаті варіація члену Весса-Зуміно $$\ (6)$$ дає

$$\ \delta n\Gamma_{WZ} = \frac{in}{48 \pi^{2}}\int d^{5}x \partial_{i}\varepsilon (x) \epsilon^{ijklm}\partial_{j}\text{Tr}[Q(T_{k}T_{l}T_{m} + L_{k}L_{l}L_{m})] \equiv \frac{in}{48 \pi^{2}}\int d^{5}x \partial_{j}\left[ \partial_{i}\varepsilon \varepsilon^{ijklm}\text{Tr}[Q(T_{k}T_{l}T_{m} + L_{k}L_{l}L_{m})]\right] = $$

$$\ = -\frac{in}{48 \pi^{2}}\int d^{4}x\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\partial_{\mu}\varepsilon \text{Tr}[Q(T_{\nu}T_{\alpha}T_{\beta} + L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta})] \equiv - \int d^{4}x \partial_{\mu}\varepsilon J^{\mu}$$,

де була використана теорема Гаусса і введений 4-струм

$$\ J^{\mu} = \frac{in}{48 \pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}[Q(T_{\nu}T_{\alpha}T_{\beta} + L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta})] \qquad (7)$$.

Щоб скоротити цю варіацію, треба модифікувати член Весса-Зуміно доданком із електромагнітним полем:

$$\ n\Gamma_{WZ}\to \Gamma_{WZ}^{(1)} \equiv n\Gamma_{WZ} - \int d^{4}xA_{\mu}J^{\mu}, \quad A_{\mu} \to A_{\mu} - \partial_{\mu}\varepsilon$$.

При цьому $$\ J^{\mu}$$ не є інваріантним, і варіація $$\ \delta \Gamma_{WZ}^{(1)}$$ не дорівнює нулю. Підбираючи остаточно член, варіація якого скорочує варіацію $$\ \delta \Gamma_{WZ}^{(1)}$$, можна отримати повний калібрувально-інваріантний вираз для члену Весса-Зуміно $$\ \tilde{\Gamma}_{WZ}$$:

$$\ \tilde{\Gamma}_{WZ} = n\Gamma_{WZ} - \int d^{4}xA_{\mu}J^{\mu} + \frac{in}{24 \pi^{2}}\int d^{4}x\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}(\partial_{\mu}A_{\nu})A_{\alpha}\text{Tr}[Q^{2}(\partial_{\beta}U)U^{-1} + Q^{2}U^{-1}\partial_{\beta}U + QUQU^{-1}(\partial_{\beta}U)U^{-1}] \qquad (8)$$.

Отже, калібрувально-інваріантна дія $$\ (5)$$ має вигляд

$$\ S = \int d^{4}x\left( \frac{F_{\pi}^{2}}{16}\text{Tr}[\partial_{\mu}U\partial^{\mu}U^{-1}] + ...\right) + \tilde{\Gamma}_{WZ}$$.

Можна розглянути локальну симетрію будь-якої підгрупи кіральної групи $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ введенням калібрувальних полів $$\ A_{L}^{a}, A_{R}^{a}$$ (індекси $$\ a$$ відповідають підгрупі кіральної групи). Це відповідає перетворенню

$$\ U \to e^{i\epsilon_{L}}Ue^{-i\epsilon_{R}}, \quad\delta A_{L} = \partial \epsilon_{L} + i[\epsilon_{L}, A_{L}], \quad \delta A_{R} = \partial \epsilon_{R} + i[\epsilon_{R}, A_{R}]$$,

де $$\ \epsilon_{L/R}\equiv \sum_{a}\lambda^{a}\epsilon_{L/R}^{a}$$ ($$\ \lambda^{a}$$ - генератори підгрупи кіральної групи) і $$\ A_{L/R} \equiv \sum_{a}g_{a}\lambda^{a}_{L/R}A^{a}$$ ($$\ g_{a}$$ - константа зв'язку). Тоді можна (на манер розглянутого вище випадку із $$\ U(1)$$ групою) спробувати побудувати калібрувально-інваріантний член Весса-Зуміно. Виявляється, що при $$\ \text{Tr}[\lambda^{a}_{L/R}]^{3} = \text{Tr}[\lambda_{R}^{a}]^{3}$$ це можна зробити:

$$\ n\Gamma_{WZ} \to n\tilde{\Gamma}_{WZ} = n\Gamma_{WZ} - \frac{in}{48 \pi^{2}}\int d^{4}x\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}Z_{\mu \nu \alpha \beta}$$,

де ($$\ L_{\mu} = -\partial_{\mu}U U^{-1}, R_{\mu} = U^{-1}\partial_{\mu}U$$)

$$\ Z_{\mu \nu \alpha \beta} = -\text{Tr}[A_{\mu L}L_{\nu}L_{\alpha}A_{\beta L} + (\text{L} \to \text{R})] - i\text{Tr}\left[\left((\partial_{\mu}A_{\nu L})A_{\alpha L} + A_{\mu L}\partial_{\nu}A_{\alpha L}\right)L_{\beta} + (\text{L} \to \text{R})\right] +$$

$$\ +i\text{Tr}\left[(\partial_{\mu}A_{\nu R})U^{-1}A_{\alpha L}\partial_{\beta}U + A_{\mu L}U^{-1}(\partial_{\nu}A_{\alpha R})\partial_{\beta}U\right] + \frac{i}{2}\text{Tr}\left[A_{\mu L}\beta_{\nu}A_{\alpha L}\beta_{\beta} - (\text{L} \to \text{R})\right] +$$

$$\ +i\text{Tr}\left[A_{\mu L}UA_{\nu R}U^{-1}L_{\alpha}L_{\beta} - A_{\mu R}U^{-1}A_{\nu L}UR_{\alpha}R_{\beta}\right] - \text{Tr}\left[[(\partial_{\mu}A_{\nu R})A_{\alpha R} + A_{\mu R}\partial_{\nu}A_{\alpha R}]U^{-1}A_{\beta L}U - [(\partial_{\mu}A_{\nu L})A_{\alpha L} + A_{\mu L}\partial_{\nu}A_{\alpha L}]U^{-1}A_{\beta R}U^{-1}\right] - $$

$$\ \text{Tr}[A_{\mu R}U^{-1}A_{\nu L}UA_{\alpha R}R_{\beta} + A_{\mu L}UA_{\nu R}U^{-1}A_{\alpha L}L_{\beta}] - \text{Tr}[A_{\mu L}A_{\nu L}U(\partial_{\alpha}A_{\beta R})U^{-1} + A_{\mu R}A_{\nu R}U^{-1}(\partial_{\alpha}A_{\beta L})U] - $$

$$\ -i\text{Tr}\left[A_{\mu R}A_{\nu R}A_{\alpha R}U^{-1}A_{\beta L}U - A_{\mu L}A_{\nu L}A_{\alpha L}UA_{\beta R}U^{-1} + \frac{1}{2}A_{\mu L}A_{\nu L}UA_{\alpha R}A_{\beta R}U^{-1} + \frac{1}{2}A_{\mu R}U^{-1}A_{\nu L}UA_{\alpha R}U^{-1}A_{\beta L}U\right] \quad (9)$$.

Якщо $$\ \text{Tr}[\lambda^{\sigma}_{L}]^{3} \neq \text{Tr}[\lambda^{\sigma}_{R}]^{3}$$, тоді

$$\ n\delta \tilde{\Gamma}_{WZ} = -\frac{n}{24 \pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}\left[\epsilon_{L}\left(\partial_{\mu}A_{\nu L}\partial_{\alpha}A_{\beta L} -\frac{i}{2}\partial_{\mu}(A_{\nu L}A_{\alpha L}A_{\beta L})\right) - (\text{L}\to \text{R})\right] \qquad (10)$$,

що, зокрема, для випадку Стандартної моделі співпадає із вкладом в калібрувальну аномалію від кварків у фундаментальній теорії КХД.

'''Таким чином, член Весса-Зуміно містить інформацію про всі калібрувальні аномалії фундаментальної теорії. Це можна побачити більш формально із використанням мови диференціальних форм'''.

Функція аномалії як диференціальна форма. Зв'язок із членом Весса-Зуміно
Калібрувальна аномалія проявляється у незбереженні калібрувального струму:

$$\ D^{\mu}J^{a}_{\mu \text{ 5}}(x) = B^{a}(x)$$,

де $$\ B^{a}$$ - вираз для калібрувальної аномалії у формі Бардіна.

Для подальшого обговорення зручно перейти на мову диференціальних форм. Наприклад, для вектору $$\ A_{\mu} \equiv iT_{a}A_{\mu}^{a}$$ відповідною 1-формою Лі є

$$\ A \equiv A_{\mu}dx^{\mu}$$;

відповідний тензор напруженості має вигляд

$$\ F \equiv ig\frac{1}{2}F_{\mu \nu}^{a}T_{a}dx^{\mu}\wedge dx^{\nu} = ig\frac{1}{2}\left(\partial_{\mu}A_{\nu} - \partial_{\nu}A_{\mu} + ig[A_{\mu}, A_{\nu}] \right)dx^{\mu}\wedge dx^{\nu} = dA + A^2$$.

Під дією локальних інфінітезимальних кіральних перетворень,

$$\ \Lambda_{L} = e^{iQ_{L}} = 1 + l, \quad \Lambda_{R} = e^{iQ_{R}} = 1 + r, \quad l^{\dagger} = -l, \quad r^{\dagger} = -r$$,

поля перетворюються як

$$\ A_{L} \to A_{L}^{l} \equiv \Lambda^{\dagger}_{L}(A_{L} + d)\Lambda_{L} \Rightarrow \delta A_{L} = -[A_{L}, l] - dl = -D_{L}l$$,

$$\ A_{R} \to A_{R}^{r} \equiv \Lambda_{R}^{\dagger}A_{R}\Lambda_{R} \Rightarrow \delta A_{R} = -[A_{R},r] - dr = -D_{R}r$$,

а відповідні напруженості - як

$$\ F_{L} \to F_{L}^{l} \equiv dA_{L}^{l} +(A_{L}^{l})^{2}, \quad F_{R} \to F_{R}^{r} \equiv dA_{R}^{r} + (A_{R}^{r})^2$$.

Тут $$\ \Lambda_{L/R}$$ - 0-форми, а $$\ D_{L/R}$$ - 1-форми.

Тотожність Б'янкі має вигляд

$$\ DF \equiv [A,F] + dF = 0 $$

і слідує із калібрувальної коваріантності $$\ F$$.

Маючи тепер формальні вирази для коваріантних об'єктів для диференціальних форм, можна перейти до самої аномалії. Спершу треба ввести третій клас Черна у шести вимірах,

$$\ \text{Ch}_{3}(F) = \frac{1}{3!}\left(\frac{i}{2 \pi}\right)^3\text{Tr}[F^3]$$,

який є калібрувально-інваріантним за визначенням та відповідає замкнутій формі:

$$\ d\text{Ch}_{3}(F) = \frac{3}{3!}\left(\frac{i}{2\pi}\right)^3\text{Tr}[dFF^2] \equiv \frac{1}{2}\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{3}\text{Tr}[(dF + [A,F])F^2] = \frac{1}{2}\left(\frac{i}{2\pi}\right)^{3}\text{Tr}[DFF^2] = 0$$,

де друга рівність слідує із інваріантності сліду відносно циклічних перестановок.

За лемою Пуанкаре, $$\ d^2 = 0$$, із замкнутості третього класу Черна слідує, що він є локально замкнутим; іншими словами, його можна подати як

$$\ \text{Ch}_{3}(F) \equiv dQ^{0}_{5}(A)$$.

Із калібрувальної інваріантності третього класу Черна слідує, що

$$\ \delta_{\Lambda}\text{Ch}_{3}(F) = d\delta_{\Lambda}Q_{5}^{0} = 0 \qquad (4.1)$$,

що нову ж, за лемою Пуанкаре, $$\ \delta_{\Lambda}Q_{5}^{0}$$ є локально точною формою. Відповідно, його можна подати як

$$\ \delta_{\Lambda}Q_{5}^{0} = dQ_{4}^{1}(A, \Lambda) $$.

Повертаючись до аномалії, можна записати рівняння варіації аномальної частини дії $$\ \Gamma (A)$$ із калібрувальними полями під дією аксіального перетворення $$\ \Lambda = 1 + \gamma \equiv 1 + \gamma_{a}T^{a}$$ (аксіальне перетворення відповідає випадку $$\ Q_{L} - Q_{R} = 2Q_{R}$$):

$$\ \delta_{\gamma}\Gamma = \int d^{4}x(\gamma^{a}D_{\mu}J^{\mu}_{5a}) = \int d^{4}x \gamma_{a}B^{a}(A)$$.

Цей вираз є функціональним рівнянням на аномальну дію. Для його розв'язку достатньо двох речей. Перша полягає в тому, що в силу того, що калібрувальна група є групою Лі, виконується співвідношення

$$\ \delta_{\gamma}\delta_{\epsilon}\Gamma (A) - \delta_{\epsilon}\delta_{\gamma}\Gamma (A) = \int d^{4}x\text{Tr}[[\gamma, \epsilon]D^{\mu}J_{5 \mu}] = \delta_{[\gamma , \epsilon ]}\Gamma (A)$$.

Далі, у присутності псевдоскалярних полів $$\ \hat{U}(x)$$ на аномальну дію накладаються співвідношення

$$\ \Gamma (A, \hat{U} = 1) = 0$$.

Із першого рівняння одразу слідує, що $$\ \Gamma (A) = \int \limits_{M_{6}}\text{Ch}_{3}(F) = \int \limits_{M_{5}}Q^{0}_{5}(A)$$. Дійсно,

$$\ \delta_{\gamma}\delta_{\epsilon}\Gamma (A) - \delta_{\epsilon}\delta_{\gamma}\Gamma (A) = \int \limits_{M_{5}}(\delta_{\gamma \epsilon}Q_{5}^{0}(A) - \delta_{\epsilon \gamma}Q_{5}^{0}(A)) = \left| \delta_{\Lambda}Q_{5}^{0} = dQ_{4}^{1}(A, \Lambda)\right| = \int \limits_{M_{4}}(Q_{4}^{1}(A, \gamma \epsilon) - Q_{4}^{1}(A, \epsilon \gamma)) = $$

$$\ = \int \limits_{M_{4}}Q_{4}^{1}(A, [\gamma, \epsilon]) = \delta_{[\gamma, \epsilon]}\Gamma (A)$$,

де був використаний факт лінійності $$\ Q_{4}^{1}(A, \Lambda)$$ по $$\ \Lambda$$.

Застосуємо тепер друге рівняння, $$\ \Gamma (A, U = 1) = 0$$. Вираз для аномальної дії, що задовольняє водночас і перше, і друге рівняння, має вигляд

$$\ \Gamma (A, U) = \int \limits_{M_{5}}(Q_{5}^{0}(A^{U}) - Q_{5}^{0}(A)) $$, де $$\ D_{5}$$ - п'ятивимірний многовид із границею у вигляді простору-часу Мінковського, $$\ \partial D_{5} = S_{4}$$.

Отже,

$$\ \delta_{\gamma}\Gamma (A, U) = 2 \pi N_{c}\int \limits_{S_{4}}Q_{4}^{1}(A, \gamma) = \int \limits_{S_{4}}\text{Tr}[\gamma D^{\mu}J_{\mu, 5}]$$,

тобто аномалія у формі Бардіна у 4-вимірному просторі-часі пов'язана із абелевою аномалією у 6-вимірному просторі-часі через клас Черна-Саймонса у п'яти вимірах. Останній як раз і є членом Весса-Зуміно.

Залишається лише знайти явний вираз для $$\ Q_{5}^{0}$$. Це можна зробити, використавши рівність $$\ \delta_{\Lambda}\text{Ch}_{3}(F) = d\delta_{\Lambda}Q_{5}^{0}(A) = 0$$.

Використаємо гомотопічне перетворення

$$\ A \to t A, \quad F \to tF + (t^2 - t)A \qquad (4.2)$$,

де $$\ t \in [0;1]$$, і підставимо його у рівняння $$\ (4.1)$$:

$$\ \partial_{t}\text{Tr}[F_{t}^{3}] = 3\text{Tr}[\partial_{t}F_{t}F^{2}_{t}] = 3\text{Tr}[(d\partial_{t}A_{t} +\partial_{t}A_{t}A_{t} + A_{t}\partial_{t}A_{t})F_{t}^{2}] = 3\text{Tr}[D(\partial_{t}A_{t})F_{t}^{2}] = 3D\text{Tr}[\partial_{t}A_{t}F_{t}^{2}] = 3d\text{Tr}[\partial_{t}A_{t}F_{t}^2]$$,

де були використані факт про те, що $$\ \partial_{t}A_{t}$$ є 1-формою, тотожність Б'янкі та скалярний характер Трейсу відносно калібрувальних перетворень. Звідси

$$\ \text{Ch}_{3}(F) = \frac{1}{2!}\left( \frac{i}{2 \pi}\right)^{3}d\int dt\text{Tr}[\partial_{t}A_{t}F_{t}^2]$$.

Звідси, з $$\ (4.1)$$ слідує, що

$$\ Q_{5}^{0} = \frac{1}{2!}\left( \frac{i}{2 \pi}\right)^{3}\int dt\text{Tr}[\partial_{t}A_{t}F_{t}^2] = \frac{1}{2!}\left( \frac{i}{2 \pi}\right)^{3} \int \limits_{0}^{1}dt \text{Tr}\left[ A(F^2t^2 +A^4 (t^4 - 2t^3 + t^2) + 2A^3F(t^3 - t^2))\right] = $$

$$\ =\frac{-i}{48\pi^3}\text{Tr}\left[A(dA)^2+\frac{3}{2}A^3dA +\frac{1}{10}A^5\right]$$.

У чисто калібрувальному секторі, $$\ A = 0$$, вираз для $$\ Q_{5}^{0}$$ дається формулою

$$\ \Gamma (A = 0; U) = 2\pi N_{c}\int \limits_{D_{5}}Q_{5}^{0}(U^{\dagger}dU) = -\frac{iN_{c}}{240 \pi^{2}}\int \limits_{D_{5}}\text{Tr}[U^{\dagger}dU]^5$$,

що співпадає із членом Весса-Зуміно. Отже, член Весса-Зуміно містить інформацію про усі аномалії фундаментальної теорії.

Член Весса-Зуміно та аномалії у КХД
Зафіксуємо множник $$\ n$$ для випадку Стандартної моделі. У ній голдстоунівські бозони виникають внаслідок спонтанного порушення кіральної групи симетрії $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$. Для демонстрації цього твердження можна розглянути електромагнітну взаємодію кварків. Електричні заряди $$\ u, d, s$$-кварків відповідають генератору $$\ Q = \text{diag}\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}\right)$$.

Останній доданок $$\ (7)$$ містить члени, що призводять до аномального процесу $$\ \pi^{0} \to 2\gamma$$. Розкладаючи матрицю $$\ U$$ по ступеням вільності голдстоунівських бозонів (див. знову розділ Мезони як псевдоголдстоунівські бозони) та інтегруючи по частинам, можна отримати для останнього доданку

$$\ L_{\pi \gamma \gamma} = \frac{n}{48 \pi^{2}F_{\pi}}\pi^{0}F\wedge F$$,

що співпадає із аномальним членом розпаду піону при $$\ n \equiv N_{c} = 3$$.

Другий член $$\ (7)$$ містить доданок, що описує вершину $$\ \gamma \to \pi^{+}\pi^{-}\pi^{0}$$: розкладаючи матрицю $$\ U$$ по ступеням вільності голдстоунівських бозонів, можна отримати

$$\ S_{3\pi \to \gamma} = -\frac{2iN_{c}}{3F_{\pi}^{3}\pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}A_{\mu}\partial_{\nu}\pi^{+}\partial_{\alpha}\pi^{-}\partial_{\beta}\pi^{0}$$.

Нарешті, "глобальний" член Весса-Зуміно у формі $$\ (4)$$ містить низькоенергетичне описання переходів типу $$\ K\bar{K} \to 3 \pi$$.

Баріонний струм та його аномалія у термінах голдстоунівських полів
У розділі про Стандартну модель та баріогенезис було показано, що у Стандартній моделі баріонний струм, що відповідає глобальній симетрії $$\ U_{B}(1)$$ полів кварків, не зберігається через аномалію:

$$\ \partial_{\mu}J^{\mu}_{B} = \frac{N_{c}g_{EW}^2}{32 \pi^{2}}F_{a} \wedge F_{a}$$,

де $$\ F_{a}$$ - тензор напруженості $$\ SU_{L}(2)$$-полів.

Разом із тим, у розділі про мезони описувався метод включення векторних та псевдовекторних бозонів у кіральну ефективну теорію поля. Він, нагадаю, засновувався на твердженні, що теорія із спонтанно порушеною до $$\ U_{V}(3)$$ глобальною симетрією $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3)$$ еквівалентна теорії із спонтанно порушеною симетрією $$\ U_{L}(3)\times U_{R}(3) \times \hat{U}_{L}(3)\times \hat{U}_{R}(3)$$, де $$\ \hat{U}_{L/R}(3)$$ - локальна "прихована" симетрія, причому ця симетрія явним чином порушена. У результаті отримується ефективний лагранжіан, який містить взаємодію полів $$\ U$$ псевдоскалярних мезонів із полями $$\ V, A$$ векторних мезонів. У статті було отримано найбільш загальний вигляд члена Весса-Зуміно із врахуванням прихованої симетрії, і показано, що такий вираз за допомогою спеціального перетворення він співпадає із виразом для члена Весса-Зуміно, який отримується, якщо прийняти поля векторних бозонів за фонові калібрувальні поля, і отримати калібрувально-інваріантний член Весса-Зуміно вищеописаним методом "проб і помилок".

Із теоретичної точки зору введення фонових калібрувальних полів, які роблять глобальні симетрії КХД локальними, важливе ще із того боку, що дозволяє коректно описати аномальні закони збереження відповідних глобальним симетріям струмів у межах ефективної теорії поля. Дійсно, як уже зазначалося, для відтворення аномальної структури фундаментальної теорії зовсім не обов'язково мати реальні векторні поля, які взаємодіють на кшталт калібрувальних. Достатньо ввести фіктивні векторні поля, прокалібрувати за домопогою них глобальну аномальну симетрію, зробивши її локальною, отримати ефективний аналог аномального струму, який фундаментально не зберігався, а потім занулити відповідну константу зв'язку, яка визначає локальну взаємодію.

Отже, нехай розглядається введення локальної $$\ U_{B}(1)$$ взаємодії із баріонним струмом, який має генератор $$\ Q_{B} = \frac{1}{N_{c}}\text{diag}(1,1,1)$$. Інваріантний член Весса-Зуміно тоді має вигляд $$\ (8)$$ із аномальною частиною баріонного струму $$\ (7)$$, що при явному виразі для $$\ Q_{B}$$ набуває вигляду

$$\ J_{\mu}^{B} = \frac{i}{24 \pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}[L_{\nu}L_{\alpha}L_{\beta}]$$.

Роль фонового калібрувального поля грає поле $$\ \omega_{\mu}$$ із квантовими числами векторного $$\ \omega$$-мезону.

При включенні взаємодії із калібрувальними полями СМ групи $$\ SU_{L}(2)$$ цей вираз модифікується як

$$\ J_{\mu}^{B} = \frac{i}{24 \pi^{2}}\epsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\text{Tr}[\tilde{L}_{\nu}\tilde{L}_{\alpha}\tilde{L}_{\beta} + \frac{3i}{2}F^{\text{SU}_{L}\text{(2)}}_{\nu \alpha}\tilde{L}_{\beta}], \quad \tilde{L}_{\alpha} = UD_{\mu}U^{-1}, \quad D_{\mu} = \partial_{\mu} - ig_{EW}A^{\text{SU}_{L}\text{(2)}}_{\mu}$$,

що стає видно із $$\ (10)$$ при $$\ A_{R} = \omega, \quad A_{L} = A_{L}^{\text{SU}_{L}\text{(2)}} + \omega$$.

Використовуючи рівність

$$\ [D_{\mu}, \tilde{L}_{\nu}] - [D_{\nu}, \tilde{L}_{\mu}] = [\tilde{L}_{\mu}, \tilde{L}_{\nu}] - iF_{\mu \nu}^{\text{SU}_{L}\text{(2)}}$$,

можна показати, що

$$\ \partial_{\mu}J^{\mu}_{B} = -\frac{1}{16 \pi^{2}}\text{Tr}[F^{\text{SU}_{L}\text{(2)}} \wedge F^{\text{SU}_{L}\text{(2)}}]$$,

що співпадає із результатом аномалії для баріонного струму, отриманим через формальне перевизначення міри.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$