Спонтанне порушення симетрії

Повернутися до розділу "Квантові хромодинаміка та електрослабкі взаємодії".

Точні симетрії
Нехай є перетворення (дискретне) $$\ \varphi^{n}(x) \to L^{nm}\varphi_{m}(x)$$. Якщо класична дія буде інваріантна відносно таких перетворень, то і квантова ефективна дія буде інваріантною. У вакуумному стані середнє значення $$\ \varphi $$ відповідає мінімуму ефективної енергії $$\ -\Gamma [\varphi]$$. Проте якщо $$\ L \varphi \neq \varphi $$, то середнє значення не єдине, а тому не єдиний і вакуум. Іншими словами, в даному випадку дія має деяку симетрію, а система, що описується цією дією, цієї симетрії не має. Іншими словами, симетрія спонтанно порушена.

Щоб довести це твердження, треба виключити ще можливість, що істинний вакуум являється лінійною суперпозицією вакуумних станів із різними середніми значеннями $$\ \bar{\varphi}$$. Дійсно, можливою, наприклад, є ситуація, воли для дискретної симетрії $$\ L \varphi = -\varphi $$ істинними вакуумними станами є $$\ |VAC, \varphi \rangle \pm | VAC, -\rangle $$, енергія яких дорівнює $$\ a \pm b$$, де

$$\ a = \langle VAC, + | H |VAC, +\rangle = \langle VAC, + | H |VAC, +\rangle$$, $$\ b = \langle VAC, + | H |VAC, -\rangle = \langle VAC, - | H |VAC, +\rangle$$

і не змінюється при перетворенні симетрії. Проте при великих об'ємах системи можна показати, що недіагональні елементи зануляються. Дійсно, грубо це можна побачити наступним шляхом: недіагональні елементи гамільтоніану відповідають тунелюванню від стану $$\ +$$ до стану $$\ -$$. Це означає, що величина $$\ b$$ містить множник тунелювання, який грубо можна подати як $$\ e^{-CV }$$, де $$\ C$$ - деяка додатня константа, що залежить від потенціалу системи, а $$\ V$$ - тривимірний об'єм. Відповідним чином, роблячи об'єм нескінченним, можна занулити $$\ b$$: навіть для випадку малого збудження власні стани збудженого гамільтоніану будуть відповідати $$\ | VAC, \pm\rangle $$, а не їх лінійній комбінації.

У загальному випадку такі міркування можна провести наступним чином. Для нескінченного об'єму довільний вакуумний стан $$\ | v\rangle $$ можна представити як стан з нульовим імпульсом, $$\ \mathbf P | v\rangle = 0$$, причому це власне значення є дискретним (це дозволяє виключити одно- і багаточастинкові стани, для яких нульове значення імпульсу є границею континууму можливих значень імпульсів. У загальному випадку існує декілька таких станів, які, зазвичай, можна розкласти у лінійний базис. Тому їх можна обрати ортонормованими, $$\ \langle u| v\rangle = \delta_{uv}$$. Тоді будь-який матричний елемент добутку будь-яких двох локальних операторів при однакових моментах часу можна записати як

$$\ \langle u|A(\mathbf x) B(0)| v \rangle = \sum_{\omega} \langle u | A(\mathbf x)|\omega \rangle \langle \omega | B (0) |v \rangle + \int d^{3}\mathbf p \sum_{N} \langle u | A(\mathbf x)| N, \mathbf p \rangle \langle N, \mathbf p | B (0) |v \rangle e^{-i(\mathbf p \cdot \mathbf x )} \qquad (1)$$.

В силу застосовності леми Рімана-Лебега другий доданок можна прирівняти до нуля. Тоді, в силу принципу причинності, для $$\ \mathbf x \neq 0$$

$$\ \langle u|A(\mathbf x) B(0)| v \rangle - \langle u|B(0)A(\mathbf x) | v \rangle = 0$$, звідки з $$\ (1)$$ слідує, що всі матриці виду $$\ \langle u| A |v\rangle$$, $$\ \langle n | B|m\rangle$$ повинні комутувати одна з одною. А це означає, що вони можуть бути одночасно діагоналізованими:

$$\ \langle u| A (\mathbf 0) |v\rangle = a\delta_{uv}$$.

Це і означає, що у загальному випадку для нескінченного об'єму і наявності декількох вакуумів, пов'язаних перетворенням симетрії, маємо її спонтанне порушення.

Теорема про голдстоунівські бозони
У випадку спонтанно порушених неперервних глобальних симетрій набір частинок відповідної системи має містити по одній частинці нульових спіну та маси для кожної порушеної симетрії. Це можна довести наступним шляхом.

Нехай у теорії є деяка неперервна симетрія. Це означає, що (за теоремою Нетер) існує струм $$\ J^{\mu}$$, для якого $$\ \partial_{\mu}J^{\mu} = 0$$. Відповідно, аналогічно до частинного випадку комутаційних співвідношень оператору електричного заряду із зарядженими полями, маємо для заряду $$\ Q = \int d^{3}\mathbf r J^{0}(\mathbf x, 0)$$ співвідношення

$$\ [Q, \varphi_{n}(x)] = -\sum_{m}t_{nm}\varphi_{m}(x)$$.

Спонтанне порушення симетрії не впливає на операторні співвідношення для струму, оскільки міститься лише у властивостях фізичних станів. Розглянемо тепер вакуумне середнє від комутатора струму з полями (вакуум позначатиметься як $$\ |\rangle$$), врахувавши, що теорія - трансляційно-інваріантна:

$$\ \langle | [J^{\lambda}(y), \varphi_{n}(x)]|\rangle = \sum_{N}\langle | J^{\lambda}(y)|N\rangle\langle N| \varphi_{n}(x) | \rangle = \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\int d^{4}p \left( \rho^{\lambda} (p)e^{ip(x - y)} - \tilde{\rho}^{\lambda}(p)e^{ip(y - x)}\right)$$,

де в силу трансляційної інваріантності була використана рівність $$\ J^{\lambda}(y)\varphi_{n}(x) = \int d^{4}p e^{ip(x - y)}J^{\lambda}(0)\varphi_{n}(0)$$, і введені спектральні густини

$$\ \frac{1}{(2 \pi )^{3}}\rho^{\lambda}_{n} (p) = \sum_{N}\langle | J^{\lambda}(0) | N\rangle \langle N | \varphi_{n}(0) | \rangle \delta (p - p_{N}), \quad \frac{1}{(2 \pi )^{3}}|\tilde{\rho}^{\lambda}_{n} (p) = \sum_{N}\langle | \varphi_{n}(0) | N\rangle \langle N | J^{\lambda}(0) | \rangle \delta (p - p_{N})$$.

В силу лоренц-інваріантності теорій та того, що фізичні стани відповідають додатнім енергіям, можна записати для $$\ \rho^{\lambda}(p)$$ (і аналогічно для $$\ \tilde{\rho}^{\lambda}(p)$$):

$$\ \rho^{\lambda}_{n}(p) = p^{\lambda}\theta (p^{0})\rho_{n} (p^{2})$$.

Тоді, замінюючи $$\ p^{\lambda}$$ похідною по координаті і виносячи цю похідну за знак інтегралу, можна записати (дуже аналогічним чином до отримання спектрального вигляду для повного пропагатора, що

$$\ \langle | [J^{\lambda}(y), \varphi_{n}(x)]|\rangle = \partial_{y^{\lambda}}\int d \mu^{2}\left(\rho_{n} (\mu^{2})\Delta_{+}(y - x, \mu^{2}) + \tilde{\rho}_{n}(\mu^{2})\Delta_{+}(x -y, \mu^{2}) \right)$$.

При простороподібних значеннях $$\ (x - y)^{2}$$ $$\ \Delta_{+}(x -y, \mu^{2}) = \Delta_{+}(y - x, \mu^{2})$$, звідки для того, щоб виконувався принцип причинності, треба, щоб $$\ \rho_{n}(\mu^{2}) = -\tilde{\rho}_{n}(\mu^{2})$$, що при підстановці у загальний вираз для довільних $$\ (x - y)^{2}$$ дає

$$\ \langle | [J^{\lambda}(y), \varphi_{n}(x)]|\rangle = \partial_{y^{\lambda}}\int d \mu^{2} \rho_{n}(\mu^{2})\left( \Delta_{+}(y - x, \mu^{2}) - D_{+}(x -y, \mu^{2})\right)$$.

Діючи похідною $$\ \partial_{y_{\lambda}}$$ на ліву і праву частину останньої рівності і враховуючи закон збереження $$\ \partial_{\lambda}J^{\lambda} = 0$$, маємо (використане співвідношення $$\ (\partial^{2} - \mu^{2})D_{+}(x, \mu^{2}) = 0$$)

$$\ \int d\mu^{2} \mu^{2}\rho_{n}(\mu^{2})\left(D_{+}(y - x, \mu^{2}) - D_{+}(x - y, \mu^{2})\right) = 0$$,

звідки $$\ \mu^{2}\rho_{n}(\mu^{2}) = 0$$ (у загальному випадку $$\ D_{+}(y - x, \mu^{2}) \neq D_{+}(x- y, \mu^{2})$$).

Ця рівність при спонтанно порушеній симетрії означає, що $$\ \mu^{2} = 0$$. Дійсно, покладемо у отриманій рівності

$$\ \langle | [J^{\lambda}(y), \varphi_{n}(x)]|\rangle = \partial_{y^{\lambda}}\int d \mu^{2} \rho_{n}(\mu^{2})\left( \Delta_{+}(y - x, \mu^{2}) - D_{+}(x -y, \mu^{2})\right)$$

$$\ \lambda = 0, x_{0} = y_{0} = t$$. Тоді маємо

$$\ \langle |[J^{0}(\mathbf y, t), \varphi_{n}(\mathbf x , t)]|\rangle = i\delta (\mathbf x - \mathbf y)\int d \mu^{2}\rho_{n}(\mu^{2})$$.

Інтегруючи цю рівність по $$\ \mathbf x$$ і використовуючи вже наведені комутаційні співвідношення $$\ [Q, \varphi_{n}(x)] = -\sum_{m}t_{nm}\varphi_{m}(x)$$, маємо

$$\ \rho_{n}(\mu^{2}) = i\delta (\mu^{2})\sum_{m}t_{nm}\langle |\varphi_{m}(0) |\rangle$$.

Доки симетрія порушена, $$\ \langle |\varphi_{m}(0) |\rangle \neq 0$$, а тому $$\ \rho (\mu^{2}) \sim \delta (\mu^{2})$$. Це означає, що у теорії є безмасові частинки, оскільки тільки так спектр квадратів енергій $$\ p^{2}_{n}$$ може простягатися до нуля. Якщо ж $$\ \langle |\varphi_{m}(0) |\rangle = 0$$, безмасова ступінь вільності зникає. Далі, оскільки стан $$\ \varphi_{n}(0)| \rangle $$ інваріантний відносно поворотів, то $$\ \langle N | \varphi (0) | \rangle $$ обертається в нуль для будь-якого стану $$\ N$$ ненульової спіральності. Нарешті, $$\ \langle | J^{0} | N\rangle$$ обертається в нуль для будь-якого стану $$\ N$$, що має відмінні від $$\ J^{0}$$ парність та інші внутрішні (непорушені) квантові числа. Це означає, що безмасовий стан відповідає спіну 0 та має ті самі квантові числа, що і $$\ J^{0}$$.

Такі безмасові стани називаються голдстоунівськими бозонами. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Наближені симетрії. Псевдоголдстоунівські бозони
Нехай тепер симетрія у теорії порушена деяким малим доданком у ефективній дії. Зараз буде показано, що стани (псевдоголдстоунівські бозони), що відповідають спонтанному порушенню симетрії, будуть мати малу масу.

Можна обмежитися трансляційно-інваріантною теорією. У цьому випадку вакуумний стан відповідає середнім значенням полів, постійним на всьому просторі-часі (відхиленя від постійного значення буде описуватися квантовими флуктуаціями, які можна вважати малими). Тоді кінетичні члени у ефективній дії зникають, і вона приймає вигляд $$\ \Gamma [\varphi ] = \int d^{4}x U[\varphi_{0} ] = V_{4}U[\varphi_{0}]$$,

де $$\ U[\varphi ]$$ - так званий ефективний потенціал. Нехай далі $$\ U = U_{0} + U_{1}$$, де $$\ U_{0}$$ - частина дії, інваріантна відносно перетворення $$\ \varphi^{n}(x) \to \varphi^{n}(x) + i t^{mn}\varphi_{n}(x)$$, а $$\ U_{1}$$ - малий неінваріантний доданок, де малість розуміється у тому сенсі, що $$\ U_{1}$$ зсуває середнє значення поля $$\ \varphi_{0}$$, що відповідає мінімуму $$\ U_{0}$$ на малу величину $$\ \varphi_{1}$$. Інваріантність $$\ U_{0}$$ відносно вказаного перетворення означає, що виконується рівність (при постійних полях інтеграл можна опустити)

$$\ t^{nm}\varphi_{m} \frac{\partial U_{0}}{\partial \varphi^{n} } = 0 \qquad (1')$$.

Запишемо умову рівноваги вакуумного стану, $$\ \left( \frac{\partial U}{\partial \varphi }\right)_{\varphi = \varphi_{0} + \varphi_{1}} = 0$$, скориставшись малістю $$\ \varphi_{1}$$, в ряд до першого порядку малості:

$$\ \left( \frac{\partial U}{\partial \varphi_{n} }\right)_{\varphi = \varphi_{0} + \varphi_{1}} \approx \partial_{\varphi_{n}}U_{0}[\varphi_{0}] + \partial^{2}_{\varphi_{n}\varphi_{m}}U_{0}[\varphi_{0}]\varphi_{m} + \partial_{\varphi_{n}}U_{1}[\varphi_{0}] = \partial^{2}_{\varphi_{n}\varphi_{m}}U_{0}[\varphi_{0}]\varphi_{m} + \partial_{\varphi_{n}}U_{1}[\varphi_{0}] = 0 \qquad (1'')$$.

Враховуючи, що наслідком $$\ t^{nm}\varphi_{m} \frac{\partial U_{0}}{\partial \varphi^{n} } = 0$$ є (перевіряється диференціюванням) $$\ t^{mn}\partial^{2}_{\varphi_{n}\varphi_{m}}U_{0}[\varphi_{0}] = 0$$, маємо, згортаючи попередню рівність із $$\ (t_{a}\varphi_{0})^{n}$$, що повинна виконуватись рівність

$$\ (t_{a}\varphi_{0})_{n}\partial_{\varphi^{n}}U_{1}[\varphi_{0}] = 0 \qquad (2)$$.

Оскільки $$\ U[\varphi ]$$ являється генеруючим функціоналом для одночастинково незвідних діаграм, то останній вираз виражає той факт, що сума всіх діаграм, при яких (псевдо)голдстоунівські бозони переходять у вакуум, дорівнює нулю.

Вираз $$\ (2)$$ у загальному випадку може і не виконуватися, оскільки $$\ \varphi_{0}$$ визначене як значення, яке мінімізує $$\ U_{0}$$, і зовсім не зобов'язане задовольняти $$\ (2)$$. Тому виникає питання про правомірність розкладу вакуумного середнього в околі $$\ \varphi_{0}$$. Виявляється, що якщо група симетрії компактна, то завжди можна вибрати таке $$\ \varphi_{0}$$, яке задовольняє $$\ (2)$$. Дійсно, оскільки $$\ U_{0} $$ інваріантний відносно групового перетворення $$\ \varphi \to L \varphi$$, то якщо $$\ \varphi^{*}$$ - один мінімум потенціалу, то ним являється і $$\ L \varphi^{*}$$. У випадку неперервних груп можна параметризувати перетворення через $$\ \theta $$ так, щоб виконувалась рівність

$$\ \left(\partial_{\theta_{\alpha}}L(\theta) \right)L^{-1}(\theta) = iN_{\alpha \beta}(\theta )t_{\beta}$$, де матриця $$\ N_{\alpha \beta}(\theta )$$ являється несингулярною.

Якщо група до того ж є компактною, то $$\ L(\theta )\varphi^{*}$$ покриває компактний многовид, тому якщо $$\ V_{1}(L(\theta )\varphi^{*})$$ - неперервна величина, то вона має мінімум на будь-які такій компактній поверхні у деякій точці $$\ L(\theta_{*})\varphi^{*}$$. Похідна від $$\ V_{1}(L(\theta )\varphi^{*})$$ по $$\ \theta_{\alpha}$$ дорівнює

$$\ \partial_{\theta_{\alpha}}V_{1}(L(\theta )\varphi^{*}) = \left(\partial_{\varphi_{n}}V_{1}[\varphi ]\right)_{\varphi = L(\theta )\varphi^{*}} N_{\alpha \beta}(\theta ) (it_{\beta}L(\theta ) \varphi^{*}))_{n} \qquad (3)$$.

У $$\ \theta_{*}$$ в силу несингулярності $$\ N$$ цей вираз має обертатися в нуль. Це ж означає, що якщо вибрати $$\ \varphi_{0} = L(\theta_{*})\varphi^{*}$$, то $$\ (2)$$ виконується.

Умова $$\ (2)$$ називається умовою підстройки вакууму, оскільки воно має властивість примусово перетворювати напрямок порушення симетрії під порушуючий симетрію доданок у дії. Іншими словами, якщо, наприклад, відбувається спонтанне порушення симетрії у групі $$\ SO(n)$$ до $$\ SO(n - 1)$$, і є мале порушуюче симетрію збурення, вона вказує, яка саме підгрупа $$\ SO(n - 1)$$ залишилась непорушеною.

Можна отримати масову матрицю таких станів. Вона дорівнює

$$\ M_{ab}^{2} = Z_{an}Z_{bm}\left(\frac{\partial^{2}U(\varphi )}{\partial \varphi_{m}\partial \varphi_{n}}\right)_{\varphi = \varphi_{0} + \varphi_{1}} \approx Z_{an}Z_{bm}\left( \frac{\partial^{3}U_{0}[\varphi_{0}]}{\partial \varphi_{l}\partial \varphi_{m} \partial \varphi_{n}} + \frac{\partial^{2}U_{1}[\varphi_{0}]}{\partial \varphi_{m}\partial \varphi_{n}}\right)$$.

Перетворимо перший доданок цього виразу, використовуючи $$\ (1')$$. Диференціюючи його двічі і згортаючи із $$\ (t_{b}\varphi_{0})_{n}\varphi_{1l}$$, після використання рівності нулю першої похідної від $$\ (1')$$, виразу $$\ (1'')$$ і виразу $$\ Z_{an} = F^{-1}_{ab}(it_{b}\varphi_{0})_{n}$$ (див. попередній розділ) маємо

$$\ M_{cd}^{2} = -F_{ca}^{-1}F_{db}^{-1}\left( (t_{a}\varphi_{0})_{n}(t_{b}\varphi_{0})_{m}\frac{\partial^{2}V_{1}[\varphi_{0}]}{\partial \varphi_{m}\partial \varphi_{n}} + (t_{a}t_{b}\varphi_{0})_{n}\frac{\partial V_{1}[\varphi_{0}]}{\partial \varphi_{n}}\right)$$.

Ця матриця є додатньо визначеною, оскільки відповідає диференціюванню $$\ (3)$$ по $$\ \theta_{b}$$ із наступним прирівненням $$\ \theta_{\alpha} = \theta_{*}$$:

$$\ M_{ab}^{2} = N_{a\alpha}^{-1}(\theta_{*})B_{b \beta}^{-1}(\theta_{*})F_{ac}^{-1}F_{bd}^{-1}\left(\frac{\partial^{2}V_{1}[L(\theta )\varphi_{*}]}{\partial \theta_{\alpha} \partial \theta_{\beta}}\right)_{\theta = \theta_{*}}$$,

де $$\ \left(\frac{\partial^{2}V_{1}[L(\theta )\varphi_{*}]}{\partial \theta_{\alpha} \partial \theta_{\beta}}\right)_{\theta = \theta_{*}} > 0$$ в силу того, що $$\ \theta_{*}$$ - мінімум $$\ V_{1}[L(\theta )\varphi^{*}]$$.

Ефективні лагранжіани для (псевдо)голдстоунівських бозонів
Для розрахунку фізичних процесів за участі (псевдо)голдстоунівських бозонів (на відповідних енергетичних масштабах) зручно користуватися лагранжіаном, який містить їхні поля. Це насамперед пов'язано із тим, що існує методика побудови ефективних лагранжіанів для голдстоунівських бозонів, яка дозволяє співставляти діаграмам відповідну степінь енергії бозона, що дозволяє отримати критерій відкидання діаграм вищих порядків, і, таким чином, звести обчислення амплітуд до пертурбативних. Суть цієї методики полягає у наступному. Спочатку у кожній точці простору-часу виконується перетворення симетрії, що виключає поля (псевдо)голдстоунівських бозонів. Відповідні цим бозонам ступені вільності знову виникнуть у теорії як параметри перетворення симетрії. Оскільки, далі, лагранжіан інваріантний відносно не залежачих від координат перетворень, він не буде залежний і від полів голдстоунівських бозонів, якщо вони постійні. Це означає у загальному випадку, що лагранжіан може містити лише похідні від полів бозонів. Похідні на діаграмному рівні перетворюються у енергії, а отже, виникає критерій відкидання доданків у повній амплітуді в залежності від величини характерної енергії процесу. Нижче буде розглянуто загальний випадок.

Отже, нехай є квантова теорія поля, лагранжіан якої не змінюється при глобальних перетвореннях полів (загального типу) $$\ \psi_{n} \to t_{nm}\psi_{m}$$ деякої групи $$\ G$$; поля можуть належати і звідному представленню групи (тому, наприклад, можна обрати їх дійсними, розбивши незвідне комплексне представлення на два дійсних). Нехай далі група $$\ G$$ спонтанно порушується до своєї підгрупи $$\ H$$. Ця підгрупа залишає інваріантними вакуумні середні:

$$\ \sum_{m}h_{nm}\langle \psi_{m} \rangle_{VAC} = \langle \psi_{n}\rangle_{VAC} \qquad (4)$$.

При цьому видно, що лише скалярні поля призводять до спонтанного порушення симетрії, оскільки лише у них вакуумне середнє не дорівнює нулю. Нехай далі введено поля $$\ \tilde{\psi}_{n}$$ за формулою $$\ \psi_{n} = \gamma_{nm}(x)\tilde{\psi}_{m}$$, де функція $$\ \gamma_{nm}(x)$$ виключає голдстоунівські моди із теорії. Це можна зробити. Дійсно, нехай $$\ \psi_{n}$$ - дійсні представлення групи (це зроблено для зручності; у випадку комплексних полів наступні викладки аналогічні). У підрозділі про доведення теореми про голдстоунівські бозони було показано, що безмасові стани являються лінійними комбінаціями векторів $$\ (t_{\alpha})_{nm}\langle \psi_{m}(0)\rangle $$ (це видно із вигляду спектральної функції $$\ \rho_{n}(\mu^{2})$$). Тоді умова того, що $$\ \tilde{\psi}_{n}$$ не містить голдстоунівські поля, відповідає виразу

$$\ \sum_{n}\tilde{\psi}_{n}(t_{\alpha})_{nm}\langle \psi_{m}(0)\rangle = 0 \qquad (5)$$.

Число цих незалежних умов дорівнює різниці порядків групи $$\ G $$ та підгрупи $$\ H$$, дія генераторів якої на вакуумне середнє зануляє їх.

Розглянемо далі вираз $$\ V_{\psi}(g) = \psi_{n}g_{nm}\langle \psi_{m}\rangle$$, де $$\ g$$ діє у дійсному ортогональному представленні $$\ G$$, яке реалізовано $$\ \psi_{n}$$. Ця величина є неперервною функцією $$\ g$$ і обмеженою (в силу компактності групового об'єму). Нехай у точці $$\ g = \gamma $$ функція $$\ V_{\psi}$$ досягає максимуму. Це означає, що малі варіації $$\ \delta V_{\psi}$$ дорівнюють нулю. Оскільки $$\ \delta g$$ можна розкласти по генераторам $$\ t$$, $$\ \delta g= i \varepsilon_{\alpha}gt^{\alpha}$$, то

$$\ \delta V_{\psi}(\gamma ) = i\sum_{\alpha} \varepsilon_{\alpha}\sum_{n, l, m}\psi_{n}\gamma_{nl}(t)^{\alpha}_{lm}\langle \psi_{m}(0)\rangle = |t_{nl} = t^{-1}_{ln}| = i\sum_{\alpha}\varepsilon_{\alpha}\sum_{n,l,m} \gamma^{-1}_{ln}\psi_{n}t^{\alpha}_{lm}\langle \psi_{m}(0)\rangle = 0$$.

Отже, видно, що можна підібрати таке $$\ \gamma (x)$$, що для $$\ \tilde{\psi}_{n}(x) = \gamma_{nm}^{-1}\psi_{m}(x)$$ рівність $$\ (5)$$ дійсно виконується.

Тепер треба побачити, як саме зниклі поля виникають у перетворенні $$\ \gamma_{nm}(x)$$. По-перше, вибір цього перетворення неоднозначний. Дійсно, в силу $$\ (4)$$ вираз для $$\ V_{\psi}(g)$$ інваріантний відносно відносно правого множення елементу $$\ g$$ групи $$\ G$$ на будь-який елемент $$\ h$$ непорушеної підгрупи $$\ H$$: $$\ V_{\psi}(g) = V_{\psi}(gh)$$. Звідси $$\ \tilde{\psi} = \gamma^{-1}\psi$$ і $$\ \tilde{\psi} = h^{-1}\gamma^{-1}\psi$$ однаково задовольняють $$\ (5)$$. Якщо елементи $$\ \gamma_{1}, \gamma_{2}$$ пов'язані співвідношенням $$\ \gamma_{2} = \gamma_{1}h$$, то вони еквівалентні (дійсно, виконуються умови рефлексивності, симетричності та транзитивності). Тому елементи $$\ G$$ можна розбити на класи еквівалентності, кожен із яких складається із $$\ \gamma$$, що відрізняються лише правим множенням на елемент $$\ h$$. Отже, задача зводиться до параметризація правих суміжних класів $$\ G / H$$. Для цього достатньо вибрати по одному елементу групи, що представляє кожен правий суміжний клас. З урахуванням цього можна представити розклад довільного елемента $$\ g$$ групи $$\ G$$.

Нехай $$\ t_{i}$$ - набір генераторів підгрупи $$\ H$$ групи $$\ G$$. Вони утворюють алгебру

$$\ [t_{i}, t_{j}] = iC_{ijk}t_{k} \qquad (6)$$.

Нехай далі $$\ x_{a}$$ - всі інші генератори $$\ G$$ (не співпадаючі із $$\ t$$). Оскільки $$\ x_{a}$$ не входить у праву частину $$\ (6)$$, всі $$\ C_{ija} $$ рівні нулю. В силу антисиметрії структурних констант по двом останнім індексам $$\ C_{ija} = C_{iaj} = 0$$. У результаті,

$$\ [t_{i}, x_{a}] = iC_{iab}x_{b}$$.

При цьому

$$\ [x_{a}, x_{b}] = iC_{abi}t_{i} + iC_{abc} x_{c}$$.

Оскільки $$\ t, x$$ задають усю алгебру Лі $$\ G$$, можна представити довільний елемент $$\ g$$ групи $$\ G$$ як

$$\ g = e^{i\varepsilon_{a}x_{a}}e^{i\theta_{i}t_{i}} \qquad (7)$$.

Враховуючи ж, що $$\ \gamma $$ визначена із точністю до правого множення на $$\ h$$, його можна виражазити в дусі $$\ (7)$$ як

$$\ \gamma = e^{i\varepsilon_{a}x_{a}}$$.

Тепер параметри $$\ \varepsilon_{a}(x)$$ можна ототожнити із полями голдстоунівських бозонів.

Нескладно побудувати закон перетворення полів $$\ \varepsilon_{a}$$. Для цього треба записати закон перетворення поля $$\ \psi (x) = \gamma (\varepsilon (x))\tilde{\psi}$$:

$$\ \psi{'}(x) = g \gamma(\varepsilon )\tilde{\psi} = |g \gamma (\varepsilon ) \in G| = \gamma(\varepsilon{'})h(\varepsilon, g)\tilde{\psi} = \gamma(\varepsilon{'}) \tilde{\psi}{'} \qquad (8)$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Чи порушуються спонтанно некіральні глобальні симетрії U(1)?
Якщо деякі симетрії спонтанно порушуються, то чому припускається існування непорушених симетрій? Іншими словами, чи існують симетрії, які не можуть спонтанно порушуватися? Чи можуть порушуватися симетрії на кшталт симетрії баріонного числа, лептонного числа тощо? Відповідь на це питання дає наступна теорема.

Нехай є калібрувальна теорія, ферміони-представлення якої несуть квантові числа на кшталт ароматів. Якщо ферміони є маси, то теорія буде інваріантною відносно перетворення ферміонних полів одного покоління, матриця якого комутує із масовою матрицею. Якщо $$\ n_{1}$$ ферміонів представлення мають одну і ту саму масу $$\ m_{1}$$, $$\ n_{2}$$ ферміонів мають масу $$\ n_{2}$$, і т.д., то теорія буде інваріантною відносно глобального перетворення групи $$\ U_{1}(n_{1})\times U_{2}(n_{2})\times ...$$. Виявляється, що такі симетрії не можуть бути спонтанно порушеними.

Для доведення цього можна розглянути функції Гріна теорії із числом $$\ r$$ ферміонних та антиферміонних полів:

$$\ G(x_{1}, ..., x_{r},y_{1} ..., y_{r}) = \frac{1}{Z}\int DA D\psi D \bar{\psi} \psi_{u_{1}, k_{1}}(x_{1})...\psi_{u_{r}k_{r}}(x_{r})\bar{\psi}_{v_{1},l_{1}}(y_{1})...\bar{\psi}_{v_{r}, l_{r}}(y_{r})e^{iS_{gauge}[A] + iS_{Dirac}[A, \psi, \bar{\psi}]} \qquad (9)$$.

Тут $$\ k, l$$ --- спінові індекси, $$\ u, v $$ --- індекси ароматів, $$\ S_{gauge}$$ --- чисто калібрувальна дія, $$\ Z$$ --- амплітуда переходу вакуум-вакуум.

Переходячи у евклідовий простір-час, $$\ x_{4} = ix_{0}, y_{4} = iy_{0}, A_{4} = iA_{0}$$, діраківську дію можна записати як $$\ S_{Dirac} = \int d^{4}x\psi^{\dagger}(D_{\mu}\gamma^{\mu} + M)\psi$$. Тут $$\ M $$ - ферміонна масова матриця, а

$$\ D \equiv D_{i}\gamma_{i} \equiv \sum_{i = 1}^{4}(\partial_{i} - it^{a}A_{ia})\gamma_{i}$$

--- евклідова коваріантна похідна. Оскільки дія квадратична по ферміонним полям, по ним можна проінтегрувати. У результаті функція Гріна набуде вигляду

$$\ G = \frac{1}{Z}\int DA Det[D_{i}\gamma^{u} + M]e^{iS_{gauge}[A]}\times \left[ (D + M)^{-1}_{x_{1}u_{1}k_{1}, y_{1}v_{1}l_{1}}...(D + M)^{-1}_{x_{r}u_{r}k_{r}, y_{r}v_{r}l_{r}}\pm permutations\right]$$,

де $$\ Z = \int DADet[D + M]e^{iS_{gauge}[A]}$$.

Отриманий вираз явно інваріантний відносно будь-якого унітарного перетворення по індексам ароматів, що комутують із масовою матрицею $$\ M$$. Непертурбативні ефекти, що породжуються калібрувальними полями та полями гостів, не порушують цю інваріантність, оскільки вказані поля інертні по відношенню до ароматових симетрій. Для строгого доведення сформульованої вище теореми варто лише доказати, що отриманий вираз добре визначений з математичної точки зору. Іншими словами, треба показати, що при додаванні до дії малого збурення $$\ \delta M$$, що порушує ароматові симетрії, вираз для функції Гріна змінюється нескінченно мало, і зміна зникає при $$\ \delta M \to 0$$.

Тут важливо те, що розглядаються некіральні симетрії; іншими словами, кожен ферміон має ненульову масу. Інакше множники $$\ \delta M$$ в порушуючих симетрію матричних елементах могли б скорочуватися із відповідними множниками $$\ \delta M$$, що роблять ці елементи сингулярними, і збурення не прямує до нуля.

Доведення доброї визначеності виразу $$\ (9)$$ виконується за наступною схемою. Спершу враховується, що оператор похідної є антиермітовим, а отже, має добре визначений обернений оператор при відсутності нульових власних значень (що еквівалентно твердженню про відсутність безмасових ферміонів у теорії). Далі треба показати, що інтегрування по калібрувальним полям не робить вираз $$\ (9)$$ сингулярним, якщо $$\ M$$ задовольняє умовам симетрії (наприклад, у випадку $$\ U(n)-$$симетрії n власних значень матриці рівні). Для цього розглядаються згладжені поля

$$\ \psi[f] = \int d^{4}x f^{k \dagger}(x)\psi_{uk}(x)$$,

де $$\ f^{k} $$ --- довільні неперервні квадратично інтегровні функції, нормовані на одиницю. При цьому можна показати, що обернений оператор $$\ (D + M)^{-1}_{fu, gv} $$ є рівномірно обмежені на області інтегрування калібрувальних полів, причому

$$\ \left| (D + M)^{-1}_{fu, gv}\right|\leqslant \sum_{a}\frac{1}{m_{a}}$$,

де $$\ m_{a}$$ --- власні значення матриці $$\ M $$. Враховуючи при цьому, що вагова функція інтегрування по калібрувальним полям $$\ Det [D + M]e^{iS_{gauge}[A]}$$ є додатньо визначеною, функція Гріна обмежена зверху виразом

$$\ G (x_{1},..., y_{r}) \leqslant r! \left[\sum_{a}\frac{1}{|m_{a}|}\right]^{r}$$.

При цьому

$$\ \delta M \leqslant rr! \sum_{ab}\frac{|(\delta M)_{ab}|}{|m_{a}m_{b}|}\left[\sum_{a}\frac{1}{|m_{a}|}\right]^{r - 1}$$,

що прямує до нуля при $$\ \delta M \to 0$$. Теорема доведена.

Це означає, що ні одна з симетрій типу $$\ U(1)-$$симетрій збереження баріонного числа, дивності і т.д. не порушуються ні спонтанно, ні внутрішньо$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Спонтанне порушення локальних симетрій
Що буде, якщо застосувати описаний формалізм спонтанного порушення симетрій для випадку не глобальних, а локальних симетрій? На відміну від випадку глобальної симетрії, ці бозони просто зникнуть із набору фізичних (спостережуваних) станів теорії!

Це просто побачити. Дійсно, згідно до написаного вище, при спонтанному порушенню групи $$\ G$$ до фактор-групи $$\ G/H$$ можна здійснити над полями $$\ \psi_{n}$$ теорії перетворення $$\ \psi_{n} \to e^{i(t_{a})^{mn}\varphi^{a}}\tilde{\psi}_{m}$$, де $$\ t_{a}$$ - сукупність генераторів порушеної групи симетрії, а $$\ \tilde{\psi}_{m}$$ задовольняє умові відсутності голдстоунівських бозонів, $$\ (t_{a})_{mn}\tilde{\psi}_{n}\langle \varphi_{n}(0) \rangle = 0$$. При цьому параметри перетворення $$\ \varphi_{a}$$ залежать від координат і відповідають полям голдстоунівських бозонів, тому для порушених точних глобальних симетрій ефективний лагранжіан цих полів може містити лише похідні від них. Для випадку ж порушених точних локальних симетрій вказане перетворення полів залишає лагранжіан теорії інваріантним, що означає, що голдстоунівські бозони можна прибрати із теорії простим груповим перетворенням, просто замінивши $$\ \psi_{n}$$ на $$\ \tilde{\psi}_{n}$$. "Платою" за це, звісно, буде порушення початкової групи симетрії до даної. Це означає, що голдстоунівські бозони для спонтанно порушених локальних симетрій, як і гости, що вводяться для квантування калібрувальних теорій, не є фізичними станами.

Розглянемо клас калібрувально-інваріантних теорій, група симетрії яких спонтанно порушується до деякої підгрупи. Враховуючи, що симетрія може спонтанно порушуватися лише вакуумними середніми скалярних полів, виникнути вона може із відповідного скалярного сектора теорії, що дається лагранжіаном

$$\ L_{sc} = ([\partial_{\mu}\delta^{mn} - igt_{a}^{mn}A_{\mu}^{a}]\varphi_{n})^{2} \qquad (9)$$.

Перепозначаючи ті поля, що мають ненульові вакуумні середні $$\ u$$, $$\ \varphi_{n} \to \varphi_{n} + u_{n}$$, переписуючи лагранжіан у термінах цих вакуумних середніх і переходячи до полів $$\ \tilde{\varphi}_{n}$$, що задовольняють умові відсутності голдстоунівських бозонів, і розкриваючи квадрат у лагранжіані, можна отримати

$$\ L_{sc} = -\frac{1}{2}\partial_{\mu}\tilde{\varphi}_{n}\partial^{\mu}\varphi_{n} - \mu^{2}_{ab}A_{\mu}^{a}A^{\mu}_{b}, \quad \mu^{2}_{ab} = t_{a}^{mn}t_{b}^{nl}u_{m}u_{l}$$.

Тут перехресні члени відсутні в силу задовольнення скалярними полями умові відсутності бозонів. З такого виразу видно, що в описаному калібруванні (його ще називають унітарним калібруванням) векторні бозони набувають мас, що пропорційні константі зв'язку групи.

В силу того, що $$\ t_{a}^{mn}$$ - уявна та антисиметрична матриця, масова матриця є додатньо визначеною, дійсною та симетричною. Оскільки далі для лінійної комбінації генераторів $$\ \sum_{\alpha}c_{\alpha}t_{\alpha}$$, які відповідають непорушеній підгрупі, виконується рівність

$$\ \sum_{\alpha, m}c_{\alpha}t^{\alpha}_{nm}v_{m} = 0$$.

Звідси слідує (із явного вигляду матриці $$\ \mu^{2}_{ab}$$), що

$$\ \sum_{\alpha}\mu^{a}_{\alpha \beta}c_{\beta} = 0$$, що означає, що на кожну непорушену симетрію залишається по безмасовому калібрувальному бозону.

Використовуючи вираз $$\ (9)$$ і додаючи до нього вільний лагранжіан калібрувальних полів, можна отримати пропагатор для калібрувальних полів. При цьому треба залишити лише квадратичну по полям частину лагранжіану:

$$\ L_{quad} = -\frac{1}{4}(\partial_{\mu}A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a})^{2} + \frac{1}{2}\mu^{2}_{ab}A_{\mu}^{a}A^{\mu}_{b} = \frac{1}{2}A^{a}_{\mu}D^{\mu \nu}_{ab}A_{\nu}^{b} + ...$$,

де три крапки означають повні похідні, а $$\ D^{\mu \nu}_{ab} = \delta_{ab}(g^{\mu \nu}\partial^{2} - \partial^{\mu}\partial^{\nu}) - \mu^{2}_{ab}g^{\mu \nu}$$.

Якщо маса даного поля - ненульова (якщо воно відповідає порушеній симетрії), то оператор має обернений, і пропагатор (нагадаю, в унітарному калібруванні) має вигляд

$$\ -(D^{\mu \nu}_{ab})^{-1}(ik) = -\left(\frac{g^{\mu \nu} - \frac{k^{\mu}k^{\nu}}{\mu^{2}}}{k^{2} - \mu^{2}}\right)_{ab} \qquad (10)$$.

Довільне калібрування
Вираз $$\ (10)$$ говорить, нібито, про неперенормовність спонтанно порушених неабелевих калібрувальних теорій, згідно із підрахунком індексу діаграми (із ростом числа пропагаторів розбіжність діаграм збільшується). Разом із тим, початкова теорія, без фіксування унітарного калібрування, виглядала перенормовною. Це наводить на думку, що питання про явну перенормовність теорії залежить від вибору калібрування.

Для розгляду довільного калібрування зручно скористатися методами, використаними в розділі про калібрувально-інваріантне квантування неабелевих теорій. Для цього у континуальний інтеграл теорії треба ввести доданок

$$\ -\frac{i}{2\epsilon }\int d^{4}xb_{a}b^{a} \qquad (11)$$,

від якого, як було показано у згаданому розділі, континуальний інтеграл як ціле не залежить. Як функцію $$\ b_{a}$$ можна обрати

$$\ b_{a} = \partial_{\mu}A^{\mu}_{a} - i\epsilon (t_{a})_{nm}\varphi{'}_{n}v_{m} \qquad (12)$$.

Підставивши цей вираз до $$\ (11)$$, можна побачити, що перехресний доданок із точністю скорочує перехресний доданок у виразі $$\ (9)$$. Вибір калібрування фіксується вибором параметру $$\ \epsilon$$. При $$\ \epsilon \to \infty$$ відтворюється унітарна калібровка. Дійсно, при $$\ \epsilon \to \infty$$ залишається лише доданок із $$\ \epsilon (\epsilon (t_{a})_{nm}\varphi{'}_{n}v_{m})^{2}$$, що еквівалентно дельта-функції від аргументу при $$\ \epsilon \to \infty$$, а це просто дає умову усунення ступенів вільності голдстоунівських бозонів $$\ \varphi{'} = 0$$.

Треба також включити поліном $$\ P[\varphi ]$$ четвертої степені по полям $$\ \varphi_{n}$$ у лагранжіан (частинні випадки вибору такого поліному відповідають моделі Хіггса, яка у явному випадку буде описана далі). У загальному випадку на нього накладається умова калібрувальної інваріантності:

$$\ \frac{\partial P[\varphi ]}{\partial \varphi_{m}}(t_{a})_{mn}\varphi_{n} = 0$$.

Нарешті, треба ввести поля гостів для відкидання зайвих інтегрувань по орбіті калібрувальної групи. Для цього треба обчислити оператор

$$\ \Delta^{ac}_{b}[[A, \varphi{'}](x, y) \equiv \left[\frac{\delta f_{a}[A^{\omega}(x), \varphi{'}^{\omega}(x)]}{\delta \omega_{c} (y)}\right]_{\omega = 0}$$.

Для виразу $$\ (12)$$ під дією інфінітезимальних перетворень

$$\ \delta A_{\mu}^{a} = -c_{abc}A_{\mu}^{b}\omega_{c} + \partial_{\mu}\omega^{a}, \quad \delta \varphi_{n} = i\omega_{a}(t_{a})_{nm}\varphi_{m}$$.

виходить

$$\ \Delta^{ac}_{f}[b^{\omega}[A, \varphi{'}]](x, y) = \delta^{ac}\partial^{2}\delta (x - y) - c_{ack}\partial_{\mu}(\delta(x - y)A^{\mu}_{k}) + \epsilon (t_{a}v)_{m}(t_{c}\varphi^{'})_{m}\delta(x - y)$$,

що дає (методом введення полів-гостів $$\ \omega_{a}$$, як показано у посиланнях) доданок у дію

$$\ L_{gh} = i\int d^{4}x\bar{\omega}_{a}\left( \partial^{2}\omega_{a} - c_{abc}\partial_{\mu}(\omega_{b}A^{\mu}_{c}) + \epsilon (t_{a}v)_{n}\omega_{b}(t_{b}\varphi{'})_{n}\right)$$.

Нарешті, включення ферміонних полів дає лагранжіан

$$\ L_{f} = \bar{\psi}(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - iA_{a}^{\mu}t^{\psi}_{a}\gamma_{\mu} + \Gamma_{n}\varphi_{n} - m_{0})\psi$$,

де $$\ t_{a}^{\psi}, \Gamma_{n}$$ задовольняють умові калібрувальної інваріантності:

$$\ [t_{a}^{\psi}, \gamma_{0}] = 0, \quad [t_{a}^{\psi}, \gamma_{0}\Gamma_{n}] + (t_{a})_{mn}\gamma_{0}\Gamma_{n} = 0$$.

Отже, із врахуванням всіх описаних вкладів повний лагранжіан буде мати вигляд

$$\ L = L_{gh} + L_{f} -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}^{a}F^{\mu \nu}_{a} + \frac{1}{2}(t_{a}\varphi{'})_{n}(t_{b}\varphi{'})_{n}A^{\mu}_{a}A_{\mu}^{b} - \frac{1}{2\epsilon}(\partial_{\mu}A^{\mu}_{a})^2 - \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\varphi{'}_{n})^{2} + \frac{1}{2}\epsilon (t_{a}v)_{n}(t_{b}v)_{m}\varphi{'}_{n}\varphi{'}_{m} - P[\varphi] + i\partial_{\mu}\varphi{'}_{n}(t_{a})_{nm}\varphi{'}_{m}A^{\mu}_{a} + ...$$.

Виділяючи із нього квадратичні по полям доданки, можна отримати пропагатори у нульовому порядку теорії збурень:

$$\ L_{quad} = -\frac{1}{4}(\partial_{\mu}A_{\nu}^{a} - \partial_{\nu}A_{\mu}^{a})^{2} - \frac{1}{2}\mu_{ab}A_{\mu}^{a}A^{\mu}_{b} - \frac{1}{2\epsilon}(\partial_{\mu}A^{\mu}_{a})^{2} - \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\varphi{'}_{n})^{2} - \frac{1}{2}M_{nm}\varphi{'}_{n}\varphi{'}_{m} + \bar{\psi}(i\gamma_{\mu}\partial_{\mu} - m)\psi - \partial_{\mu}\bar{\omega}^{a}\partial^{\mu}\omega_{a} - \epsilon \mu^{2}_{ab}\bar{\omega}^{a}\omega_{a}$$,

де $$\ \mu_{ab}^{2} = -(t_{a}v)_{n}(t_{b}v)_{m}$$ - введена вище масова матриця бозонів, $$\ M^{2}_{nm} = \frac{\partial^{2}P[\varphi ]}{\partial \varphi_{n}\partial \varphi_{m}} - \frac{\epsilon}{2}(t_{a}v)_{n}(t_{a}v)_{m}$$, $$\ m = m_{0} + \Gamma_{n}v_{n}$$.

Можна показати, що значення мас нефізичних голдстоунівських бозонів пропорційні $$\ \epsilon$$, тому при $$\ \epsilon \to \infty$$ вони стають настільки масивними, що відщеплюються від теорії.

Звідси отримуються вирази для пропагаторів:

$$\ D_{\mu \nu}^{ab}(p) = \left(\frac{1}{k^{2} - \mu^{2}}\left[ g_{\mu \nu} - \frac{(1 - \epsilon)k_{\mu}k_{\nu}}{k^{2} - \mu^{2}\epsilon}\right]\right)_{ab}$$,

$$\ D_{nm}(k) = \left(\frac{1}{k^{2} - M^{2}}\right)_{nm} + \epsilon (t_{a}v)_{n}(t_{b}v)_{m}\left[\frac{1}{k^{2}(k^{2} - \epsilon\mu^{2})}\right]_{ab}$$,

$$\ D(k) = \frac{\gamma_{\mu}k^{\mu} + m}{k^{2} - m^{2}}$$,

$$\ D_{ab}(k) = \left( \frac{1}{k^{2} - \epsilon \mu^{2}}\right)_{ab}$$.

Тепер видно, що перенормовність за підрахунком степенів для будь-якого вибору $$\ \epsilon$$, крім $$\ \epsilon \to \infty$$, очевидна. Щоб показати, що для перенормування не буде порушувати калібрувальну інваріантність, достатньо модифікувати тотожності Славнова-Тейлора, додавши поля $$\ \varphi{'}$$ і вважаючи вакуумні середні фоновими полями, і повторити доведення перенормовності неабелевих теорій із непорушеною симетрією.

Механізм Штюкельберга
Деякі теорії (для спрощення чи з інших причин) вимагають наявності у калібрувальних полів маси, при цьому вимагаючи відсутність спостережуваних скалярних полів, пов'язаних зі спонтанним порушенням симетрії. Саме для цього використовується механізм Штюкельберга.

Його суть полягає у наступному. Нехай є теорія з лагранжіаном

$$\ L = -\frac{1}{4}F_{\mu \nu}F^{\mu \nu} + |D_{\mu}\varphi |^{2} + \mu^{2}|\varphi|^{2} - \lambda |\varphi|^{4}, \quad D_{\mu} = \partial_{\mu} - eiA_{\mu}$$,

що є інваріантним відносно перетворення $$\ \varphi \to e^{i\alpha (x)}\varphi, \quad A_{\mu} \to A_{\mu} - \frac{1}{e}\partial_{\mu}\alpha$$.

Обираючи параметризацію для двох ступенів вільності $$\ \varphi$$ у вигляді $$\ \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}}\rho e^{i\kappa }$$, де $$\ \rho = \sqrt{\frac{\mu^{2}}{\lambda}} + \psi (x) \equiv v + \psi (x)$$,

можна перетворити лагранжіан до вигляду

$$\ L = -\frac{1}{4}F^{2} + \frac{e^{2}v^{2}}{2}A^{2} + \frac{e^{2}}{2}\psi^{2}A^{2} + \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\psi )^{2} - \frac{\mu^{2}}{2}\psi^{2} - \lambda v \psi^{3} - \frac{\lambda}{4}\psi^{4}$$.

Нехай далі $$\ e \to 0, \quad v \to \infty$$, причому $$\ e \times v = const = m$$. Тоді ефективно лагранжіан розбивається на дві частини: лагранжіан суто для калібрувального поля,

$$\ L_{A} = -\frac{1}{4}F^{2} + \frac{m^{2}}{2}A^{2}$$,

і лагранжіан суто скалярного поля,

$$\ L_{\psi} = \frac{1}{2}(\partial_{\mu}\psi )^{2} - \frac{\mu^{2}}{2}\psi^{2} - \lambda v \psi^{3} - \frac{\lambda}{4}\psi^{4}$$.

Таким чином, поле $$\ \psi$$ є невидимим, і по ньому можна проінтегрувати, а калібрувальне поле поводить себе як масивне.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$