Регуляризація

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

Ідея регуляризації
У попередньому розділі говорилося, що розбіжні діаграми можна подати як поліноми по зовнішнім імпульсам, причому константи при степенях будуть розбіжні усі, за винятком вільного члена. У тому ж розділі говорилося, що в силу недовизначеності хронологічного впорядкування залишаються, так би мовити, додаткові ступені вільності для матричних елементів; вони реалізуються через квазілокальні оператори $$\ \hat {\Lambda}_{n}(x_{1},...,x_{n})$$. В результаті стоїть наступна задача: зафіксувати ці квазілокальні оператори таким чином, щоб матричні елементи існували в сенсі скінченних значень відповідних інтегралів. Для цього треба запараметризувати нескінченні константи у поліномі по зовнішнім імпульсам таким чином, щоб ними можна було оперувати як формально обмеженими величинами, які обертаються в нескінченність при формальному граничному переході. Іншими словами, треба, щоб ці константи $$\ c_{i}$$ були функцією від деяких параметрів $$\ \mu_{j}$$, $$\ c_{i} = c_{i}(\mu_{j})$$, причому при деякому граничному переході вони оберталися б у нескінченність, $$\ \lim_{\mu_{j} \to \mu_{gran}}c_{i} = \infty $$. Процедура параметризації констант називається регуляризацією.

Є декілька видів регуляризації.

Один з видів Грунтується на модифікації пропагаторів $$\ D_{lm} \to reg (D_{lm})$$ таким чином, щоб вони самі (а також, звісно, їх добутки) були регулярними на світловому конусі (розбіжність на світловому конусі є еквівалентом ультрафіолетових розбіжностей (для імпульсного представлення) в координатному представленні). Стандартним прикладом є регуляризація Паулі-Вілларса, за якої пропагатор модифікують як $$\ D_{ln}[m] \to D_{ln}[m] + \sum_{i} c_{i}\Delta_{lm}(M_{i})$$, де $$\ \Delta_{lm}(M_{i})$$ - пропагатори фіктивних полів масою $$\ M_{i}$$. Константи $$\ c_{i}$$ підбираються з умов регулярності поведінки $$\ reg (D_{lm})$$ в ультрафіолетовій області. Зняття регуляризації здійснюється переходом $$\ M_{i} \to \infty$$. Проте майже очевидно, що така регуляризація не являється калібрувально інваріантною. Дійсно, якщо взяти пропагатор фотона і модифікувати його за Паулі-Вілларсом, то він стане являти собою сумму пропагатора калібрувально-інваріантної теорії та пропагатора масивної частинки, що не відповідає калібрувально-інваріантній теорії.

Інший тид регуляризації не змінює вирази для пропагаторів і заключається в побудові регулярних наближень до їх добутків та інтегралів по віртуальним 4-імпульсам. До таких видів регуляризації можна віднести регуляризацію обрізанням меж інтегрування і розмірну регуляризацію (буде розглянута у розділі нижче), за якої формально змінюється розмірність простору інтегрування. Регуляризація обрізанням дуже проста у використанні, проте, на жаль, порушує калібрувальну інваріантність. Дійсно, така регуляризація еквівалентна виникненню функції Хевісайда у пропагаторі електрона, а модифікація електронного пропагатора, згідно із тотожностями Уорда (будуть доведені у наступній главі), призводить до модифікації вершинної функції у КЕД. Ця модифікація призводить до порушення поперечності поляризації вакууму, що свідчить про порушення калібрувальної інваріантності. Перевагою розмірної регуляризації є збереження калібрувальної симетрії, оскільки вона не пов'язана із розмірністю простору-часу. Проблемою же, вочевидь, є зникнення симетрій, що відповідали симетріям, пов'язаних із простором-часом та його розмірністю. Такою симетрією є кіральна симетрія. Дійсно, у випадку дробових розмірностей введення матриці $$\ \gamma_{5}$$ із антикомутаційними співвідношеннями $$\ [\gamma_{5}, \gamma_{\mu}]_{+} = 0$$ є неможливим. Її можна ввести лише за умови модифікації антикомутаційних співвідношень, що призводить до порушення кіральної симетрії та виникнення аномалій (детальніше про саме поняття аномалії - у відповідному розділі).

Розмірна регуляризація
Ідея методу полягає в тому, щоб зменшити кратність інтегралів по імпульсам з чотирьох до $$\ m = 4 - 2\varepsilon$$. Навіть найменше відхилення від степені $$\ \frac{1}{y}$$ "вгору" в інтегралі $$\ \int \limits_{a}^{\infty}\frac{dy}{y}$$ зробить його збіжним; на подібних міркуваннях і Грунтується доцільність даного методу. Оскільки коло цільових підинтегральних виразів є обмеженим, то не доведеться будувати послідовну теорію неціломірних просторів; все зведеться до зміни формального числа $$\ m$$ розмірності простору. Наприклад, розглянемо інтеграл $$\ \int d^{m}x f(x^{2})$$ і перетворимо його, перейшовши до узагальнених сферичних координат $$\ m$$-вимірного простору (виникаючий множник при інтегралі по радіальній координаті відповідає площі m-вимірної сфери):

$$\ \int d^{m}x f(x^{2}) = \frac{2 \pi^{\frac{m}{2}}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)}\int \limits_{0}^{\infty}dr r^{m - 1}f(r^{2}) = \frac{\pi^{\frac{m}{2}}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)}\int \limits_{0}^{\infty} dy y^{\frac{m - 1}{2}}f(y)$$.

Видно, що ніяких "містичних" дробових інтегрувань не виникає. Тепер розглянемо імпульсний інтеграл $$\ \int d^{4}p f(p^{2})$$ і проведемо евклідізацію, замінивши $$\ p_{0}$$ на $$\ -ip_{0}$$: в результаті

$$\ \int d^{4}p f(p^{2}) \to i\int d^{4}\tilde {p}f(-\tilde {p}^{2}) = i \left(\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\pi^{\frac{m}{2}}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)}\int \limits_{0}^{\infty} dy y^{\frac{m - 1}{2}}f(-y)\right)_{m = 4 - 2\varepsilon}$$.

Домножимо (заради зручності) інтеграл на величину $$\ \pi^{\varepsilon} \Gamma (1 - \varepsilon )$$, яка при взятті ліміту рівна одиниці, так що не змінює значення інтеграла після взяття ліміту: тоді

$$\ i\int d^{4}\tilde {p}f(-\tilde {p}^{2}) = i \left(\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\pi^{\frac{m}{2}}}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)}\int \limits_{0}^{\infty} dy y^{\frac{m - 1}{2}}f(-y)\right)_{m = 4 - 2\varepsilon} \to i \lim_{\varepsilon \to 0}\frac{\pi^{2}}{1 - \varepsilon}\int \limits_{0}^{\infty}dyy^{1 - \varepsilon } F(-y) \qquad (1)$$.

Для подальших застосувань методу необхідні декілька шаблонних формул, пов'язаних із гамма-функцією $$\ \Gamma(g) = \int \limits_{0}^{\infty} x^{g - 1}e^{-x}dx$$:

$$\ \int \limits_{0}^{1}x^{\alpha - 1}(1 - x)^{\beta - 1}dx = \Beta (\alpha, \beta ) = \frac{\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha + \beta )} = \int \limits_{0}^{\infty} \frac{dy y^{\alpha - 1}}{(1 + y)^{\alpha + \beta}}, \quad \Gamma (z + 1) = z\Gamma (z)$$,

$$\ \frac{1}{a^{\alpha}b^{\beta}} = \frac{\Gamma (\alpha + \beta )}{\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta )}\int \limits_{0}^{1}dx\frac{x^{\alpha - 1}(1 - x)^{\beta - 1}}{(ax + b(1 -x))^{\alpha + \beta}}, \quad \frac{1}{a_{1}^{\alpha_{1}}...a_{m}^{\alpha_{m}}} = \frac{\Gamma (\alpha_{1} + ... + \alpha_{m})}{\Gamma (\alpha_{1} )... \Gamma( \alpha_{m} )}\int \limits_{0}^{1}dx_{1}...dx_{m} \frac{x_{1}^{\alpha_{1} - 1}...x_{m}^{\alpha_{m} - 1}\delta(1 - x_{1} - ... - x_{m})}{(a_{1}x_{1} + ... + a_{m}x_{m})^{\alpha_{1} + ... + \alpha_{m}}} \qquad (2)$$.

Звідси отримуються робочі формули ($$\ n = 4 - 2\varepsilon $$)

$$\ \int d^{n}p\frac{(p^{2})^{\beta}}{(p^{2} + m^{2})^{\alpha}} = \frac{i \pi^{2}}{1 - \varepsilon }\frac{\Gamma (\alpha - \beta - 2 + \varepsilon )\Gamma (2 + \beta - \varepsilon )}{(m^{2})^{\alpha - \beta - 2 + \varepsilon }\Gamma (\alpha )} \qquad (3)$$,

$$\ \int d^{n}p\frac{1}{(p^{2})^{\alpha}((k - p)^{2})^{\beta}} = \frac{i\pi^{2}}{1 - \varepsilon}\frac{\Gamma (1 - \varepsilon )\Gamma (\alpha + \beta - 2 + \varepsilon )\Gamma (2 - \alpha - \varepsilon ) \Gamma (2 - \beta - \varepsilon )}{(k^{2})^{\alpha + \beta -2 + \varepsilon }\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta ) \Gamma (4 - \alpha - \beta - 2\varepsilon )} \qquad (4)$$,

при цьому всі розбіжності будуть з'являтися у вигляді від'ємних степенів по $$\ \varepsilon $$. Для розуміння цього достатньо розглянути випадок безмасової скалярної діаграми, що відповідає добутку двох пропагаторів (так званої однопетльової діаграми): $$\ \int \frac{d^{4}p}{(p^{2} + i0)((p - k)^{2} + i0)}$$. За допомогою формули $$\ (4)$$ маємо

$$\ \int \frac{d^{4}p}{(p^{2} + i0)((p - k)^{2} + i0)} \to \frac{i\pi^{2}}{1 - \varepsilon}\frac{\Gamma (1 - \varepsilon )\Gamma (\varepsilon )\Gamma (1 - \varepsilon ) \Gamma (1 - \varepsilon )}{(k^{2})^{\varepsilon }\Gamma (2 - 2\varepsilon )} = \frac{i\pi^{2}}{1 - \varepsilon}\frac{\Gamma^{3}(1 - \varepsilon )\Gamma (\varepsilon )}{(k^{2})^{\varepsilon }\Gamma (2 - 2\varepsilon )} = \left|\Gamma (\varepsilon ) = \frac{\Gamma (1 + \varepsilon )}{\varepsilon}, \Gamma (1 - \varepsilon) \to \Gamma ( 2 - 2\varepsilon ) \to 2\right| = $$

$$\ = i\pi^{2}\frac{1}{\varepsilon}\frac{1}{(k^{2})^{\varepsilon}} = i\pi^{2}\frac{1}{(\mu^{2})^{\varepsilon}}\frac{1}{\varepsilon}\left(\frac{\mu^{2}}{k^{2}} \right)^{\varepsilon} = \left|\left(\frac{\mu^{2}}{k^{2}} \right)^{\varepsilon} = e^{-\varepsilon ln\left( \frac{k^{2}}{\mu^{2}}\right) } \right| = i\pi^{2} \frac{1}{\varepsilon } \left( 1 + \varepsilon ln \left( \frac{\mu^{2}}{k^{2}}\right) + o(\varepsilon )\right) = i \pi^{2}\left(\frac{1}{\varepsilon} + ln\left(\frac{\mu^{2}}{k^{2}}\right) + o(\varepsilon )\right) \qquad (5)$$,

а це є саме тим, що потрібно від регуляризації. Тут був введений деякий параметр $$\ \mu$$, що відповідає зміні розмірності константи зв'язку при переході до розмірної регуляризації: з одиничної розмірності вони стають рівними $$\ m^{2 \varepsilon}$$.

Отже, узагальнимо написане. Діаграма називається розмірно регуляризовною, якщо відповідний їй інтеграл можна звести до канонічного вигляду $$\ (1)$$ за допомогою алгебраїчних перетворень типу $$\ (2)$$, а також імпульсних трансляцій. В розмірній регуляризації допускається диференціювання по зовнішнім імпульсам, масам. Ці факти (вкупі з трансляційною інваріантністю) можна узагальнити:

$$\ \int d^{n}p\frac{\partial}{\partial k_{\mu} }F(p, k, m) = \frac{\partial }{\partial k_{\mu}}\int d^{n}pF(p, k, m), \quad \int d^{n}p \frac{\partial }{\partial p_{\mu}}F(p, k, m ) = 0$$.

Друга рівність виражає трансляційну інваріантність і, водночас, дозволяє проводити інтегрування по частинам.

Через ці властивості можна, дифереціюючи співвідношення $$\ (3), (4)$$, отримати наступні вирази для інтегрування:

$$\ \int dp^{n}\frac{(p^{2})^{\beta}p_{\mu}p_{\nu}}{(p^{2} + m^{2})^{\alpha}} = \frac{i \pi^{2}g_{\mu \nu}}{1 - \varepsilon}\frac{\Gamma (\alpha - \beta - 3 + \varepsilon )\Gamma (3 + \beta - \varepsilon )}{(m^{2})^{\alpha - \beta - 3 + \varepsilon }(4 - 2\varepsilon )\Gamma (\alpha )}$$,

$$\ \int d^{n}p\frac{p_{\mu}}{(p^{2})^{\alpha}((k - p)^{2})^{\beta}} = \frac{i\pi^{2}k_{\mu}}{1 - \varepsilon}\frac{\Gamma (1 - \varepsilon )\Gamma (\alpha + \beta - 2 + \varepsilon )\Gamma (3 - \alpha - \varepsilon ) \Gamma (2 - \beta - \varepsilon )}{(k^{2})^{\alpha + \beta -2 + \varepsilon }\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta ) \Gamma (5 - \alpha - \beta - 2\varepsilon )}$$,

$$\ \int d^{n}p\frac{p_{\mu}p_{\nu}}{(p^{2})^{\alpha}((k - p)^{2})^{\beta}} = \frac{i\pi^{2}\Gamma(1 - \varepsilon )}{(k^{2})^{\alpha + \beta - 2 + \varepsilon}} k_{\mu} k_{\nu}\frac{\Gamma (\alpha + \beta - 2 + \varepsilon )\Gamma (4 - \alpha - \varepsilon ) \Gamma (2 - \beta - \varepsilon )}{\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta ) \Gamma (6 - \alpha - \beta - 2\varepsilon )} + $$

$$\ + \frac{i\pi^{2}\Gamma(1 - \varepsilon )}{(k^{2})^{\alpha + \beta - 2 + \varepsilon}}\frac{g_{\mu \nu}k^{2}}{2} \frac{\Gamma (\alpha + \beta - 3 + \varepsilon )\Gamma (3 - \alpha - \varepsilon ) \Gamma (3 - \beta - \varepsilon )}{\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta ) \Gamma (6 - \alpha - \beta - 2\varepsilon )}$$.

Нарешті, коваріантні величини $$\ g_{\mu \nu}, \gamma_{\mu}$$ в рамках розмірної регуляризації визначаються наступними співвідношеннями:

$$\ g_{\mu \nu} = g_{\nu \mu}, \quad g_{\mu \nu}p^{\nu} = p_{\mu}, \quad g_{\mu}^{\mu} = 4 - 2\varepsilon , \quad [\gamma_{\mu}, \gamma_{\nu}] = 2 g_{\mu \nu} , \quad \gamma^{\mu}\gamma_{\mu} = 4 - 2 \varepsilon , \quad \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma^{\mu} = (2\varepsilon - 2 )\gamma_{\nu}$$,

і т.д.