Рівняння Максвелла

Повернутися до розділу "Рівняння Максвелла".

Поле
Нехай є деяке тіло, яке рухається під дією деякої сили у просторі, і треба знайти результуючу траєкторію цього тіла. Для наглядності за тіло може бути прийнятий деякий пробний точковий заряд, а за силу у просторі - міру взаємодії іншого точкового заряду з цим пробним зарядом. Нехай заряд, що діє на пробний, покоїться (він зафіксований деякою силою стороннього походження, наприклад, силою пружності стрижня, до якого він прикріплений). Тоді взаємодія зарядів описується законом Кулона, і знайти траєкторію пробного заряду (для нерелятивістського випадку) із рівняння другого закону Ньютона досить просто. Проте якщо розглянути випадок руху обох зарядів (формально - перейти до нової ІСВ) та перейти до релятивістського випадку, з отриманого рівняння буде значно складніше знайти залежність радіус-вектору від часу. У будь-який момент часу треба враховувати динаміку не лише пробного заряду, а й заряду, що діє на пробний. Кожен з зарядів буде прискорюватися, а це, як буде показано в подальшому, призведе до залежності сили від прискорення. Особливо складно задача виглядає при взаємодії у системі точкових заряді. Тому історично виникла ідея виокремити

$$\ \frac{Q \mathbf r}{|\mathbf r|^{3}}$$

у виразі для сили Кулона та позначити цей вираз як деяку величину $$\ \mathbf E$$. Ця векторна величина у кожній точці простору має відповідне значення, а отже, його можна назвати векторним полем. Таким чином, рух пробного заряду під дією іншого заряду можна розглядати як рух пробного заряду у векторному полі $$\ \mathbf E$$. Знайшовши закони перетворення сили Кулона при переході до нової ІСВ, можна знайти вираз для сумарного поля, що діє на заряд при русі заряду-джерела поля. Тоді задача знаходження траєкторії заряду під дією іншого заряду починає зводитися до законів, які визначають перетворення поля та його динаміку. Якщо ж отримати рівняння для динаміки поля та доповнити їх виразом для сили Лоренца, вийде замкнена система рівнянь, що визначає динаміку пробного заряду. Описання динаміки заряду за допомогою цих рівнянь буде набагато простіше, ніж описання через координатний метод без введення векторної функції поля. Причому саме поле не є повністю формальною математичною абстракцією: експерименти вказують на силові лінії поля у всьому просторі, а не лише у околі заряду, на який діє сила.

Докладніше про введення поля та аспекти, що виникають за цього введення, див. у розділі "Теорія поля".

Отримання рівнянь
Отже, як отримано у попередньому розділі, напруженістю електричного поля заряду, що рухається, є вираз

$$\ \mathbf E = \frac{Q \gamma \mathbf r}{\left( \mathbf r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}} (\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \qquad (.1)$$,

а індукцією магнітного поля -

$$\ \mathbf B = \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E]$$.

Якщо у $$\ (.1)$$ підставити $$\ \mathbf r = 0$$, то значення відповідно напруженості та індукції буде нескінченно великим. Для уникнення цього можна штучно ввести константу $$\ a^{2}$$ як доданок у знаменник $$\ (.1)$$ (регуляризація). Тоді модифікований вираз набуде вигляду (дещо про регуляризацію можна прочитати тут)

$$\ \mathbf E = \frac{Q \gamma \mathbf r}{\left( \mathbf r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} \qquad (.2)$$.

Для того, щоб показати, у якій мірі точки простору є джерелами та стоками електричного та магнітного полів, треба взяти дивергенцію від напруженості електричного поля та від індукції магнітного поля. З урахуванням стандартних виразів,

$$\ (\nabla \cdot \mathbf {r}) = 3, \quad \nabla (\varphi \mathbf r) = \varphi \nabla (\mathbf r) + (\mathbf r \cdot grad(\varphi ) ), \quad grad((\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}) = 2\mathbf u (\mathbf r \cdot \mathbf u)$$,

з виразу $$\ (.2)$$ можна отримати

$$\ \nabla \mathbf E = 4 \pi Q \delta_{a} (\mathbf r)$$,

де

$$\ \delta_{a} (\mathbf r) = \frac{3\gamma a^{2}}{4\pi (r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{5}{2}}}$$

- тривимірна дельта-функція Дірака, яка дозволяє записати просторову густину заряду, зосередженого в одній точці.

Із виразу для функції Дірака видно, що $$\ \nabla \mathbf E = 0$$ у кожній точці, крім як при $$\ r = 0, a -> 0$$, у якій $$\ \nabla \mathbf E = \infty$$. Звідси можна стверджувати, базуючись на визначенні дивергенції, що електричний заряд - точка (у даному випадку), яка є джерелом електричної індукції.

Перейшовши до неперервного розподілення зарядів у об'ємі та використавши аксіому принципа суперпозиції полів, суму тривимірних дельта-функцій Дірака можна замінити об'ємною густиною:

$$\ \nabla \mathbf E = 4 \pi \rho, \quad \mathbf \rho = \sum_{i}Q_{i}\delta_{\alpha}(\mathbf r - \mathbf r_{i}) \qquad (.3)$$.

Рівняння $$\ (.3)$$ є першим рівнянням Максвелла. Із нього можна отримати багато фізичних наслідків. Один з цих наслідків полягає у тому, що силові лінії поля починаються на додатному заряді і можуть замикатися лише на від'ємному, оскільки для додатного заряду $$\ \nabla \mathbf E$$ відповідає витоку поля, а для від'ємного - його стоку.

Аналогічно можна отримати величину дивергенції магнітної індукції.

Для цього треба урахувати наступні стандартні вирази:

$$\ [\nabla \times \varphi \mathbf a] = \varphi[\nabla \times \mathbf a] + [\mathbf a \times grad(\varphi)], \quad [\nabla \times \mathbf r] = 0$$.

Тоді, користуючись тим, що, одразу, $$\ \nabla \mathbf u = 0$$, можна отримати, що

$$\ \nabla \mathbf B = 0 \qquad (.4)$$.

Звідси очевидно, виходячи з поняття дивергенції, що жодна з точок простору у полі заряду, що рухається, включаючи точку положення самого заряду, не є джерелом магнітного поля.

Рівняння $$\ (4)$$ є другим рівнянням Максвелла.

Тепер, для визначеності закрученості поля в точках, можна взяти ротор від $$\ \mathbf E, \mathbf B$$.

З урахуванням же того, що швидкість руху ІСВ постійна, можна записати явний вираз для ротора магнітного поля: $$\ [\nabla \times \mathbf B] = [\nabla \times \frac{1}{c}[\mathbf u \times \mathbf E]] = \frac{1}{c}\mathbf u (\mathbf E \cdot \nabla) - \frac{1}{c}(\mathbf u \cdot \nabla)\mathbf E \qquad (.5)$$.

Дійсно,

$$\ [\nabla \times \mathbf B] = \frac{1}{c}\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial x} \\ u_{y}E_{z} - u_{z}B_{y} & u_{z}E_{x} - u_{x}B_{z} & u_{x}E_{y} - u_{y}E_{x} \end{vmatrix} = \frac{1}{c}[u_{x}(E'_{y} + E'_{z})\mathbf i + u_{y}(E'_{x} + E'_{z})\mathbf j + u_{z}(E'_{x} + E'_{y})\mathbf k] = $$

$$\ = \frac{1}{c}[u_{x}(E'_{y} + E'_{y} + E'_{z})\mathbf i + u_{y}(E'_{y} + E'_{y} + E'_{z})\mathbf j + u_{z}(E'_{y} + E'_{y} + E'_{z})\mathbf k] - \frac{1}{c}[E'_{x}u_{x} \mathbf i + E'_{y}u_{y} \mathbf j + E'_{z}u_{z} \mathbf k] = \frac{1}{c}\mathbf u (\mathbf E \cdot \nabla) - \frac{1}{c}\mathbf E (\mathbf u \cdot \nabla)$$.

Цей вираз можна видозмінити за допомогою наступних міркувань.

При аналізі руху ІСВ відносно заряду треба виразити радіус-вектор $$\ \mathbf r$$ у явному вигляді:

$$\ \mathbf r = \mathbf r_{0} - \mathbf u t \Rightarrow \mathbf E = \frac{kQ \gamma (\mathbf r_{0} - \mathbf u t)}{((\mathbf r_{0} - \mathbf u t)^{2} + \gamma^{2} \frac{((\mathbf r_{0} - \mathbf u t) \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{3}{2}} }$$.

Тоді частинна похідна по часу напруженості електричного поля буде рівна

$$\ \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = \sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial \mathbf E}{\partial (r_{0_{i}} - u_{i}t)}\frac{\partial (r_{0_{i}} - u_{i}t)}{\partial t} = -\sum_{i = 1}^{3}\frac{\partial \mathbf E}{\partial r_{i}}u_{i} = -(\mathbf u \cdot \nabla) \mathbf E \qquad (.6)$$.

Підставивши $$\ (.6)$$ у $$\ (.5)$$, можна отримати:

$$\ [\nabla \times \mathbf B] = \frac{1}{c}\mathbf u (\mathbf E \cdot \nabla) - \frac{1}{c}\mathbf E (\mathbf u \cdot \nabla) = \frac{1}{c}4 \pi Q \delta_{a} (\mathbf r)\mathbf u + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} = \frac{1}{c}4\pi \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \qquad (.7)$$,

де $$\ \mathbf j = \sum_{i} Q_{i} \delta_{a} (\mathbf r_{i}) \mathbf u$$ - густина струму.

Рівняння $$\ (.7)$$ є третім рівнянням Максвелла. З нього видно, що при електричний струм або зміна його у часі породжують вихрове магнітне поле.

Ротор же від напруженості електричного поля буде рівен

$$\ [ \nabla \times \mathbf E ] = [\nabla \times \frac{Q \gamma \mathbf r}{(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{3}{2}} }] = [\nabla \times \mathbf r]\frac{Q \gamma }{(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{3}{2}}} - 3Q\gamma\frac{\left[ \left(\mathbf r + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}\mathbf u (\mathbf u \cdot \mathbf r )\right) \times \mathbf r \right]}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf u \cdot \mathbf r )^{2}\right)^{\frac{5}{2}}} = -\frac{3[\mathbf u \times \mathbf r ] (\mathbf r \cdot \mathbf u) Q \gamma^{3}}{c^{2}(r^{2} + \gamma^{2} \frac{(\mathbf r \cdot \mathbf u)^{2}}{c^{2}} + a^{2})^{\frac{5}{2}}} \qquad (.8)$$.

Вираз $$\ (.8)$$, аналогічно до $$\ (6)$$, можна перетворити. Тоді

$$\ [\nabla \times \mathbf E] = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \qquad (.9)$$.

Рівняння $$\ (.9)$$ є четвертим рівнянням Максвелла. З нього видно, що ротор напруженості електричного поля змінюється тільки тоді, коли є нестаціонарне магнітне поле (і, відповідно, напруженість електричного поля не сферично-симетрична через релятивістські ефекти - є виділений напрям руху заряду). У випадку із зарядом, який покоїться, поле сферично-симетричне, тому для нього ротор рівен нулю.

Узагальнення отриманих рівнянь на всю електродинаміку
На остачу залишилось написати про дві аксіоми, кожна з яких має досить вагомий внесок у можливість застосування отриманих рівнянь для електродинаміки.

Перша аксіома полягає у тому, що ми постулюємо вірність рівнянь не лише для описання об'єктів, індукція магнітного поля яких може бути рівною нулю (як заряд; у системі відліку, де він покоїться, є лише створюване ним електричне поле, що й демонструє закон Кулона), а й для тих, у яких може бути рівною нулю напруженість електричного поля. Як буде показано далі, ці дві можливості є "інваріантнами" системи відліку, тобто, власною характеристикою об'єкта.

Друга ж аксіома пов'язана з постулюванням незалежності рівнянь Максвелла від прискорення заряду, що створює поле. Тобто, вони справедливі для будь-яких можливих випадків руху заряду. Такий формальний постулат, що перевіряється експериментально, дозволяє отримати декілька цікавих наслідків, які будуть розглянуті нижче.

Окрім цього, варто написати про принцип суперпозиції. Він може бути застосований до тих пір, поки поля, що створюються зарядами, не стануть настільки сильними, що будуть впливати на простір-час, унеможливлюючи представлення векторів-характеристик поля системи через лінійну комбінацію векторів зарядів цієї системи.

Дуже-дуже нескоро, аж у розділі про квантову теорію поля, буде показано, що рівняння Максвелла виводяться як рівняння для безмасових частинок спіральності 1, які при інверсії просторових координат не змінюють свого вигляду. Проте для цього треба пройти дуже великий шлях.

Ця ж стаття - про ті методи, якими вдало користувалися (і користуються нині) люди протягом XIX-XX-століть.

Незалежність рівнянь Максвелла
Користуючись рівнянням неперервності, можна перевірити систему рівнянь Максвелла на невиродженість. Взявши дивергенцію від роторного рівняння для індукції магнітного поля без підстановки $$\ \nabla \mathbf E$$ і виразивши з рівняння неперервності $$\ \nabla \mathbf j = - \frac{\partial \rho}{\partial t}$$, можна отримати:

$$\ \frac{1}{c}\nabla \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial \nabla \mathbf E}{\partial t} = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla \mathbf E - 4 \pi \rho \right) = 0 \Rightarrow \nabla \mathbf E = 4 \pi \rho + f(x, y, z)$$.

Аналогічно можна взяти дивергенцію від четвертого рівняння Максвелла:

$$\ (\nabla \cdot [ \nabla \times \mathbf E]) = \frac{\partial \nabla \mathbf B}{\partial t} = 0 \Rightarrow \nabla \mathbf B = g(x, y, z)$$.

Таким чином, із другої пари рівнянь Максвелла можна отримати першу тільки з точністю до функцій від координат, які не залежать від часу. Строго довести же, користуючись лише цими двома рівняннями, що функції рівні нулю, неможливо. Тому у цьому сенсі рівняння Максвелла (усього їх вісім - дві пари по три рівняння (оскільки роторні рівняння розпадаються на три компонентних рівняння)) є незалежними.

Рівняння Максвелла у інтегральній формі
"Додатковий" фізичний зміст рівнянь Максвелла виникає при їх записі в інтегральному вигляді.

Оскільки $$\ \nabla \mathbf E = 4 \pi \rho $$, то, користуючись теоремою Гаусса-Остроградського,

$$\ \int \limits_{S}\mathbf Ed \mathbf S = \int \limits_{V}\nabla \mathbf E dV = 4\pi \int \limits_{V}\rho dV = 4\pi Q $$,

що є, по суті, узагальненням закона Кулона (закон Гаусса).

Аналогічно - для дивергенції індукції:

$$\ \nabla \mathbf B = 0 \Rightarrow \int \limits_{S}\mathbf B d \mathbf S = \int \limits_{V}\nabla \mathbf B dV = 0$$,

звідки слідує відсутність магнітних зарядів.

Для ротора магнітної індукції, користуючись теоремою Стокса, можна отримати:

$$\ [ \nabla \times \mathbf B ] = \frac{1}{c}4\pi \mathbf j + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t} \Rightarrow \int \limits_{L}\mathbf B d \mathbf r = \int  \limits_{L}[ \nabla \times \mathbf B ] d \mathbf S = |I = \int \limits_{S}\mathbf j d \mathbf S| = \frac{1}{c}4 \pi I + \frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\int \limits_{S}\mathbf E d \mathbf S $$.

З отриманої рівності (закона Ампера-Максвелла) слідує, що циркулююче магнітне поле виникає як навколо зарядів, що рухаються, так і навколо змінного електричного поля.

Накінець, для ротора напруженості електричного поля можна записати:

$$\ [ \nabla \times \mathbf E ] = -\frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf B}{\partial t} \Rightarrow \int \limits_{L}\mathbf E d \mathbf r = |d \mathbf S = d \mathbf S_{0} = d \mathbf S_{t = t_{0}}| = -\frac{1}{c}\frac{d}{dt}\int \limits_{S}\mathbf B d \mathbf S_{0}$$.

Отриманий вираз називається законом електромагнітної індукції Фарадея.