Базова аксіоматика квантової механіки

Повернутися до розділу "Основи квантової механіки".

Досліди показують (наприклад, дослід Штерна-Герлаха, Франка-Герца тощо), що фізичні величини на малих масштабах приймають дискретні значення. Тому експеримент наводить на ідею наступних постулатів:

кожній фізичній величині A ставиться у відповідність лінійний ермітовий оператор $$\ \hat {A}$$, що діє у векторному просторі нескінченної розмірності; власні числа оператора відповідають значенням величини А, які можна виміряти у експерименті, а відповідні власні вектори характеризують стан системи.

Первинним у конструкції постулату є ідея співставляти фізичним величинам відповідні оператори у векторному просторі, причому власні числа операторів дають значення величини, що можуть бути виміряні в експерименті; ця ідея слідує з дискретності значень фізичних величин в експериментах. Подальше розвинення цього твердження призводить до появи інших тверджень, що наведені у постулаті (саме тому вони і об'єднані). Можна прослідкувати за цим (п. 1) разом із формулюванням математичного апарату квантової механіки.

1. Дослід про проникнення поодиноких електронів скрізь дві щілини показав, що розподілення ймовірності їх потрапляння на екран відповідає кривій, характерній для інтерференційної картини двох хвиль, кожна з яких розповсюджувалася від своєї щілини. Це означає, що стан електрона, по аналогії з хвилями, можна представити у вигляді

$$\ \mathbf A = \mathbf \Psi_{1}e^{iw_{1}t} + \mathbf \Psi_{2}e^{iw_{2}t}$$,

де $$\ \mathbf \Psi_{1}, \mathbf \Psi_{2}$$ являються векторами, що визначають (див. нижче як саме) проходження електрона крізь щілину 1 та щілину 2 відповідно. Відповідною інтенсивністю буде

$$\ | \Psi_{1} + \Psi_{2}|^{2}$$.

Вкупі з фактом дискретності значень фізичних величин це наводить на думку розвитку формалізму операторів у лінійному просторі, який би описував усі ці явища.

Отже, у загальному випадку оператор $$\ \hat {A}$$ діє на вектори $$\ | \Psi \rangle $$ комплексного векторного простору, і при цьому утворюється новий вектор $$\ | F\rangle$$. Якщо ж виконується рівність

$$\ \hat {A}|a\rangle = a|a\rangle $$,

то вектор $$\ |a\rangle $$ називається власним вектором, а $$\ a$$ - власним значенням оператора $$\ \hat {A}$$. Відповідно до написаного вище, можна ототожнити множину власних значень із набором можливих значень фізичної величини, а вектор $$\ |a\rangle $$ пов'язати з фізичним станом системи, яка характеризується величиною $$\ a$$. Дія оператора інтерпретується як процедура вимірювання фізичної величини, у ході якої можна буде отримати одне із власних значень оператора. У випадку нескінченного набору власних значень можна казати про фізичну величину як про неперервну. При цьому число власних векторів прямує до нескінченності, а тому прямує до нескінченності і розмірність простору, у якому діє оператор. Така можливість повинна мати реалізацію в створюваній теорії, оскільки вона має також описувати граничний перехід до класичної механіки, а неперервність величини - один з етапів переходу. Це означає, що простір є лінійних операторів є гільбертовим.

Власні числа оператора повинні бути дійсними, оскільки фізичні величини є дійсними. Оператори, власні числа яких дійсні, називаються ермітовими (вважається, що це - синонім самоспряженого!) операторами. Лінійність простору оператора означає, що для двох лінійних векторів $$\ |\Psi_{1} \rangle, | \Psi_{2}\rangle $$ та довільних констант $$\ \alpha_{1}, \alpha_{2}$$ виконується рівність

$$\ \hat {A}(\alpha_{1}| \Psi_{1}\rangle + \alpha_{2}|\Psi_{2}\rangle ) = \alpha_{1}\hat {A}|\Psi_{1}\rangle + \alpha_{2}\hat {A}|\Psi_{2}\rangle $$.

Використання оператора можна розглянути на прикладі. Дослід Штерна-Герлаха показав, що проекція власного моменту імпульсу електрона на координатні вісі може приймати два значення - $$\ +\frac{\hbar}{2}, -\frac{\hbar}{2} $$. Тоді (так міркували історично; нижче матриці Паулі будуть введені строго) природньо операторами для проекцій вибрати матриці Паулі (в силу їхнього явного вигляду та розмірності), $$\ \frac{\hbar }{2}\hat {\sigma}_{x, y, z}$$, і розв'язати задачу на власні вектори. Наприклад, для проекції на вісь z

$$\ \frac{\hbar }{2}\hat {\sigma}_{z}|\Psi \rangle = \pm \frac{\hbar }{2}|\Psi \rangle \Rightarrow \frac{\hbar }{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} = \pm \frac{\hbar }{2}\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \Rightarrow |\Psi_{1}\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad |\Psi_{2}\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$.

2. З кожною парою векторів $$\ |\Psi_{1}\rangle, |\Psi_{2}\rangle $$ можна пов'язати комплексне число, яке називається скалярним добутком $$\ \langle \Psi_{1}|\Psi_{2}\rangle $$, причому як для унітарного простору постулюється, що

$$\ \langle \Psi_{1}|\Psi_{2}\rangle ^{*} = \langle \Psi_{2}|\Psi_{1}\rangle $$,

і виконується умова лінійності. З цього слідує, що норма вектора $$\ \langle \Psi | \Psi \rangle $$ є завжди додатньо визначеною величиною. Дійсно, $$\ \langle \Psi | \Psi \rangle ^{*} = \langle \Psi | \Psi \rangle$$,

а умова рівності числу комплексно спряженому до себе є умовою дійсності числа. Звідси вводиться поняття вектора, спряженого до даного:

$$\ |\Psi \rangle^{+} = \langle \Psi |$$,

де знак "плюс" означає ермітове спряження.

3. Кожний вектор гільбертового простору можна розкласти за базисом набору ортонормованих власних векторів довільного оператора:

$$\ |\Psi\rangle = \sum_{a}|a\rangle \langle a | \Psi \rangle$$,

де

$$\ \sum_{a}|a\rangle \langle a | = 1 $$,

а доведення вірності вибору комплексних коефіцієнтів розкладу можна провести, домноживши вираз розкладу вектора на власний вектор $$\ \langle a' |$$:

$$\ \langle a' | \Psi \rangle = \delta_{aa'}\langle a | \Psi \rangle = \langle a' | \Psi \rangle$$.

4. Ермітове спряження оператора, по аналогії зі спряженням у випадку з матричним представленням, дається умовою

$$\ \langle \Psi_{1}|\hat {A}^{+}| \Psi_{2}\rangle = \langle \Psi_{2} | \hat {A}| \Psi_{1}\rangle ^{*}$$.

Із цього визначення слідують три властивості ермітового спряження.

$$\ (\hat {A}^{+})^{+} = \hat {A}: \quad \langle \Psi_{1}|(\hat {A}^{+})^{+}| \Psi_{2}\rangle = \langle \Psi_{2} | \hat {A}^{+}| \Psi_{1}\rangle ^{*} = \langle \Psi_{1}|\hat {A}| \Psi_{2}\rangle \Rightarrow (\hat {A}^{+})^{+} = \hat {A}$$,

$$\ (\hat {A} \hat {B})^{+} = \hat {B}^{+}\hat {A}^{+}: \quad \langle \Psi_{1}|(\hat {A}\hat {B})^{+}| \Psi_{2}\rangle = \langle \Psi_{2}|\hat {A}\hat {B}| \Psi_{1}\rangle ^{*} = \sum_{c} \langle \Psi_{2}| \hat {A}|c\rangle^{*} \langle c|\hat {B}|\Psi_{1}\rangle^{*} = \sum_{c}\langle c | \hat {A}^{+}|\Psi_{2}\rangle \langle \Psi_{1} | \hat {B}^{+}| c\rangle = \sum_{c} \langle \Psi_{1} | \hat {B}^{+}| c\rangle \langle c | \hat {A}^{+}|\Psi_{2}\rangle = $$

$$\ = \langle \Psi_{1}|\hat {B}^{+}\hat {A}^{+}|\Psi_{2}\rangle \Rightarrow (\hat {A} \hat {B})^{+} = \hat {B}^{+}\hat {A}^{+} $$,

$$\ \langle \Psi |\hat {A}^{+ }\hat {A}|\Psi \rangle \geqslant 0: \quad \langle \Psi |\hat {A}^{+ }\hat {A}|\Psi \rangle = \sum_{c}\langle \Psi |\hat {A}^{+ } | c\rangle \langle c | \hat {A}|\Psi \rangle = \sum \langle c | \hat {A}|\Psi \rangle ^{*}\langle c | \hat {A}|\Psi \rangle = |\langle c | \hat {A}|\Psi \rangle|^{2}\geqslant 0$$.

5. Власні значення ермітових операторів дійсні, а вектори - ортогональні. Доведення наведене нижче: для власних векторів $$\ |a\rangle$$ із власними значеннями $$\ a$$

$$\ \langle a | \hat {A}^{+}| a \rangle = \langle a | \hat {A}| a \rangle^{*} = \langle a | \hat {A}| a \rangle \Rightarrow a \langle a| a\rangle = a^{*}\langle a | a \rangle \Rightarrow a^{*} = a$$,

$$\ \langle a'| \hat {A} | a \rangle = a\langle a' | a \rangle, \quad \langle a| \hat {A} | a' \rangle = a'\langle a | a' \rangle , \Rightarrow \langle a| \hat {A} | a' \rangle^{*} - \langle a'| \hat {A} | a \rangle = 0 = (a - a')\langle a' | a\rangle = 0 \Rightarrow \langle a' | a\rangle = \delta_{aa'} $$.

У випадку неперервного спектру (неперервної множини власних значень) символ Кронекера замінюється на дельта-функцію Дірака.

6. Тепер можна повернутися до фізичної сторони застосування розвиненої теорії. Для цього треба навести ще один постулат: якщо система може перебувати в станах, що задаються власним вектором оператора $$\ \hat {A}$$, то при розкладі вектору стану системи по цим станам (еквівалентно - по власним векторам оператора)

$$\ |\Psi\rangle = \sum_{a}|a\rangle \langle a | \Psi \rangle$$,

квадрати комплексних коефіцієнтів $$\ \langle a | \Psi \rangle$$ дають ймовірність знаходження системи у стані, що задається вектором $$\ |a\rangle$$ (іншими словами, дають ймовірність отримати значення А, що відповідає вектору $$\ |a\rangle $$). Експериментальне підГрунтя цьому є досліди з електронами на щілинах. Дійсно, досліди з пропущення поодиноких електронів крізь круглу щілину показують, що утворюється система інтерфереційних кілець, причому електрон може потрапити у будь-яку область на кільці. Це означає, що дослід описується як інтерференцією, так і функцією розподілення ймовірності, причому сумістити строге розташування інтерференційних кілець з відповідним розподіленням ймовірності можна, лише задавши ймовірність для знаходження електрона в заданій області як $$\langle \Psi|\Psi\rangle_{V} = \sum_{c}|\langle c | \Psi \rangle |^{2}_{V}$$.

7. Якщо квантова система знаходиться у стані $$\ | \Psi \rangle $$, що не співпадає з власним вектором оператора $$\ \hat {A}$$, то при вимірюванні величини $$\ A$$ кожного разу будуть отримуватися різні значення $$\ a$$. Знаючи відповідні ймовірності, можна визначити середнє значення величини $$\ A$$ в стані $$\ | \Psi \rangle $$:

$$\ \langle A \rangle = \langle \Psi | \hat {A} | \Psi \rangle $$.

Дійсно,

$$\ \langle \Psi | \hat {A} | \Psi \rangle = \sum_{a}\langle \Psi | \hat {A} | a \rangle \langle a | \Psi \rangle = \sum_{a}a\langle \Psi | a\rangle \langle a | \Psi \rangle = \sum_{a}a|\langle \Psi | a\rangle|^{2}$$,

що є визначенням середнього значення величини $$\ A$$.

Повна ймовірність рівна одиниці (якщо нормувати вектор стану):

$$\ \langle \Psi | \Psi \rangle = \sum_{a}|\langle a | \Psi \rangle|^{2} = 1$$.