Лоренц-інваріантність, заряди, принцип еквівалентності

Повернутися до розділу "Теорія розсіяння".

У даній статті наведені фундаментальні обмеження на теорії, що слідують із першопринципу квантової теорії поля - лоренц-інваріантності.

Як було показано у розділі про метричний тензор та 4-потенціал, вони не є коваріантними 4-тензорами. Відповідно, постає питання, чи є квантова теорія взаємодії цих полів із матерією лоренц-інваріантною. Відповідь на це питання дається тотожностями на кшталт тотожностей Уорда на амплітуди, які знищують нековаріантні вклади у S-матриці. Якщо таких тотожностей не існує, то не існує і лоренц-інваріантної теорії.

Тотожності Уорда були виведені непертурбативно на основі інваріантності лагранжіану КЕД відносно калібрувальних перетворень. Можна піти іншим шляхом: подивитися, які обмеження накладає вимога лоренц-інваріантності на закони взаємодії частинок та полів. Такий підхід не залежить від виду частинок (а саме - від спіральності) і базується лише на загальних принципах Пуанкаре-коваріантності. Це є досить суттєво, оскільки будувати лагранжіан для полів довільного спіну, навіть маючи рівняння руху (для безмасових полів вони отримані тут, а для масивних - тут та тут), дуже проблематично.

Що саме буде проаналізовано нижче? Як відомо, експеримент каже, що електромагнітна та гравітаційна взаємодія у інфрачервоному (або, як його ще називають, "м'якому") ліміті описуються законом обернених квадратів. Це, нагадаю, призводить до того, що замість істинних тензорів, які описують безмасові поля заданої спіральності (як тензор Вейля та тензор напруженості), ми вимушені оперувати полями на кшталт метричного тензора та 4-потенціалу, які не є 4-тензорами. В результаті теорії із такими тензорами повинні задовольняти деяким обмеженням (аж до заборони взаємодії), які можуть бути виведені із умови лоренц-інваріантності S-оператора відносно нековаріантних перетворень вказаних полів. Ці обмеження будуть отримані нижче.

Спіральність 1 і збереження заряду
Розглянемо зв'язну діаграму деякого процесу, яка має зовнішні лінії, що відповідають зарядженим частинкам. Приєднаємо до однієї із вихідних зовнішніх ліній (що відповідає імпульсу $$\ p$$) фотонну лінію, причому фотон несе імпульс $$\ q \to 0$$. Тоді матричний елемент процесу домножиться на пропагатор частинки із імпульсом $$\ p + q$$ і на вершинний фактор взаємодії цієї частинки із електромагнітним полем. У ліміті $$\ q \to 0$$ пропагатор для зарядженої частинки будь-якого спіну така модифікація матричного елементу зведеться до виразу

$$\ \frac{e p_{\mu}}{(p \cdot q) - i\varepsilon } \qquad (1)$$

(тут викинутий поляризаційний вектор для фотона).

Дійсно, наприклад, для частинки зі спіном $$\ \frac{1}{2}$$ модифікація матричного елементу до переходу $$\ q \to 0$$ відповідає заміні вихідної функції $$\ \bar{u}^{\sigma '}(\mathbf p )$$ на

$$\ \bar{u}^{\sigma {'}}(\mathbf p )(-i(2 \pi )^{4}q_{e} \gamma^{\mu} )\left( \frac{-i}{(2 \pi )^{4}} \frac{\gamma^{\alpha}(p + q)_{\alpha} + m}{(p + q)^{2} - m^{2} - i\varepsilon }\right)$$.

Нехай $$\ q \to 0$$. Тоді чисельник набуває вигляду $$\ \gamma^{\alpha}p_{\alpha} + m = \sum_{\sigma}u^{\sigma}(\mathbf p)\bar{u}^{\sigma}(\mathbf p )$$, і тоді маємо

$$\ \frac{\bar{u}^{s}(\mathbf p )\gamma^{\mu}u^{s'}(\mathbf p) \bar{u}^{s'}(\mathbf p)}{(q + p)^{2} - m^{2} +i\varepsilon} = |(q + p)^{2} - m^{2} +i\varepsilon = 2(q \cdot p) + i\varepsilon \to 2 [(q \cdot p) - i\varepsilon ]| = \frac{p^{\mu}\bar{u}^{s}(\mathbf p)}{(q \cdot p ) - i\varepsilon }$$,

де використане співвідношення $$\ \bar{u}_{s, \mathbf p}\gamma^{\mu}u_{s', \mathbf p} = 2p^{\mu}\delta_{ss'}$$.

Аналогічно і для будь-якої іншої зарядженої частинки: при $$\ q \to 0 $$ 4-імпульс $$\ p + q$$ прямує до масової поверхні,чисельник пропагатора перетворюється у суми по поляризаціям, які перетворюють вершину взаємодії в $$\ p^{\mu}$$.

Далі, із розділу про полюсну структуру пропагатора видно, що поправки до пропагатора більш високих порядків на масовій поверхні вкладів у пропагатор не дають, тому вираз $$\ (1) $$ є правильним в усіх порядках теорії збурень, і визначає випромінювання "м'якого" фотона зарядженою частинкою.

Аналогічно, якщо фотон випромінюється "вхідною" зарядженою частинкою, то замість $$\ (1)$$ буде вираз $$\ -\frac{q_{e}p_{\mu}}{(p \cdot q) + i\varepsilon }$$ (замість $$\ p$$ буде $$\ p - q$$, звідси у знаменнику виникне мінус).

Звідси повна амплітуда випромінювання "м'якого" фотона визначається сумою вкладів типу $$\ (1)$$:

$$\ M_{\beta \alpha \gamma} = M_{\beta \alpha}\sum_{n}\eta_{n}\frac{e_{n}p_{n}^{\mu}}{(p_{n} \cdot q) - i\eta_{n}\varepsilon }\varepsilon_{\mu} (q), \quad \eta_{n} = \pm 1$$.

Використаємо тепер той факт, що при перетвореннях Лоренца поляризаційний вектор фотона не перетворюється як 4-вектор:

$$\ \varepsilon_{\mu}(p) \to \Lambda_{\mu}^{\ \nu}\varepsilon_{\nu}(p) + cp_{\mu}$$.

Це означає, що для того, щоб процеси за участю фотонів були лоренц-інваріантними, має виконуватися рівність

$$\ \sum_{n}\frac{e_{n}\eta_{n}(p_{n} \cdot q)}{(p_{n} \cdot q)} = 0 \Rightarrow \sum_{n}e_{n}\eta_{n} = 0$$.

Це означає, що без додаткових припущень про калібрувальну інваріантність (а отже, вибором калібрування, роботи з пропагатором і т.д.) із умови лоренцевої інваріантності отриманий закон збереження електричного заряду.

Спіральність 2 і принцип еквівалентності
Перейдемо тепер до аналогічного розгляду процесів із випромінюванням "м'яких" гравітонів. Нагадаю, що безмасове поле спіну 2 за умови взаємодії за законом обернених квадратів має описуватись полем $$\ h_{\mu \nu} = h_{\nu \mu} $$ із заданими умовами на нього (поперечність, безслідовість). Амплітуда таких процесів має загальний вигляд (тут позначення $$\ \beta ', \alpha ' $$ означають додавання гравітона до $$\ \alpha $$ чи $$\ \beta $$)

$$\ M_{\alpha ' \beta '} = M_{\alpha \beta} M^{\mu \nu}\varepsilon_{\mu \nu}(q) \qquad (2)$$.

Використавши всі твердження із минулого підрозділу про фотони, отримуємо для $$\ q \to 0$$

$$\ M_{\alpha {'} \beta {'}} = M_{\alpha \beta}\sum_{n}M^{\mu \nu}_{n} \frac{\eta_{n}f_{n}}{(p_{n} \cdot q )}\varepsilon_{\mu \nu}(q)$$.

Аналогічні до маніпуляцій із поляризаційним вектором ЕМ поля викладки із поляризаційним тензором гравітаційного поля (див. посилання у попередньому підрозділі) показують, що при перетвореннях Лоренца поляризаційний тензор перетворюється як

$$\ \varepsilon_{\mu \nu}(p) \to \Lambda_{\mu}^{\ \alpha}\Lambda_{\nu}^{\ \beta}\varepsilon_{\alpha \beta} + c_{1}p_{\mu} p_{\nu} + (c_{2})_{\mu}p_{\nu} + (c_{3})_{\nu}p_{\mu} $$,

де вигляд констант фіксується аналогічно до випадку із електромагнітним полем. Як і в випадку із електромагнітним полем, це означаж, що вимога лоренц-інваріантності відповідає вимозі калібрувальної інваріантності для теорії гравітації. Така умова одразу вимагає, щоб

$$\ q_{\mu}\sum_{n}M^{\mu \nu}_{n} \frac{\eta_{n}f_{n}}{(p_{n} \cdot q )} = 0 \qquad (3)$$.

Тепер треба встановити загальний вигляд $$\ M^{\mu \nu}_{n}$$ для поля довільного спіну. В силу того, що $$\ q$$ у частинному випадку можна зробити ортогональним одному (!) $$\ p_{n}$$ (і не ортогональним іншим), то у такому випадку маємо нульовий знаменник для $$\ n-$$того члену у сумі. Щоб цей доданок занулявся, треба, щоб $$\ M^{\mu \nu}_{n} = M^{\mu}p_{n}^{\nu}$$, в силу симетричності $$\ M^{\mu \nu}_{n}$$ маємо, остаточно, $$\ M^{\mu \nu}_{n} = f_{n}(\sigma, \sigma {'}) p_{n}^{\mu}p_{n}^{\nu}$$, де $$\ f_{n}(\sigma , \sigma ') = \delta_{\sigma \sigma '}$$, як було показано у минулому розділі. Нарешті, в силу лоренц-інваріантності це справедливе для будь-яких $$\ q$$.

Тому маємо з $$\ (3)$$

$$\ \sum_{n} p^{\mu}_{n}\eta_{n}f_{n} = 0 \qquad (4)$$.

В силу коваріантності всіх релятивістських процесів повинен зберігатися лише повний 4-імпульс. Звідси $$\ (4)$$ вимагає, щоб для всіх частинок $$\ f_{n} = f$$. Це означає, що гравітаційне поле як поле спіральності 2 взаємодіє із будь-якими частинками однаково. Фактично, це є принципом еквівалентності. Більше того: зовнішніми частинками можуть бути самі гравітони, а це означає, що енергія-імпульс гравітаційного поля нічим не відрізняється від енергії-імпульсу матерії (це називається сильним принципом еквівалентності). У результаті, вимагається самодія гравітаційного поля виду $$\ g_{\mu \nu}T^{\mu \nu}_{gr}$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Спіральність > 2 і нічого
Повністю аналогічно до попередніх результатів, можна отримати амплітуду переходу для випромінювання безмасової "калібрувальної" м'якої частинки спіральності s. Нагадаю, що, грубо кажучи, можна побудувати теорію вільного безмасового поля спіральності $$\ s$$ спрямувавши до нуля масу відповідних об'єктів s-спінових масивних представлень. Тоді у початково $$\ 2s+1$$-компонентних об'єктах буде виникати калібрувальна довільність, що буде урізати $$\ 2s - 1$$ компонент. У випадку ж безмасових представлень для кожної спіральності доведеться будувати пряму суму представлень спіральностей $$\ s, -s$$ окремо, що є дуже громіздким методом; як приклад, див. випадок ЕМ поля.

$$\ M_{\alpha ' \beta '} = M_{\alpha \beta}\sum_{n} \frac{\eta_{n}}{(p_{n} \cdot q )}p_{n}^{\mu_{1}}...p_{n}^{\mu_{s}}f_{n}\varepsilon_{\mu_{1}...\mu_{s}}$$.

В силу лоренц-інваріантності повинна виконуватися рівність

$$\ \sum_{n}\eta_{n}p_{n}^{\mu_{1}}...p_{n}^{\mu_{s - 1}}f_{n} = 0$$.

Проте ні одна така величина не може зберігатися без "заборони" на всі процеси розсіяння. Звідси слідує, що всі $$\ f_{n}$$ у "м'якому" ліміті повинні бути рівними нулю. Тобто, не може бути частинок зі спіральністю більше двух, що являються переносниками взаємодії, яка спадає із відстанню як $$\ \frac{1}{|\mathbf x |^{2}}$$.

Теорема Вайнберга-Віттена
Аналогічно до теорем про м'які бозони, які були доведені вище, можна довести теорему про відсутність взаємодії безмасових ферміонів вищих спінів. Теорема має назву теореми Вайнберга-Віттена. Вона формулюється наступним чином:

1. У теорії із Пуанкаре-коваріантним 4-струмом $$\ J^{\mu}$$ безмасові частинки із спіральністю більше за $$\ \frac{1}{2}$$ не можуть мати ненульовий заряд, що зберігається;

2. У теорії із Пуанкаре-коваріантним тензором енергії-імпульсу $$\ T^{\mu \nu}$$ безмасові частинки із спіральністю більше за $$\ 1$$ не можуть нести ненульовий 4-імпульс, що зберігається.

Для доведення треба розглянути матричні елементи

$$\ \langle p{'}, \pm j | J^{\mu} |p, \pm j\rangle, \quad \langle p{'}, \pm j|T^{\mu \nu} | p, \pm j\rangle \qquad (4)$$.

Тут $$\ | p, j\rangle$$ позначає безмасовий стан імпульсу $$\ p$$ та спіральності $$\ j$$, а самі матричні елементи, фактично, відповідають процесам випромінювання фотону та гравітону відповідно (в силу доведеного у попередньому підрозділі принципу еквівалентності всі частинки взаємодіють із гравітоном однаково - через тензор енергії-імпульсу). Ідеєю доведення є показати, що дані матричні елементи, з одного боку, не дорівнюють нулю внаслідок внаслідок пуанкаре-коваріантності (для другого матричного елементу, як результат доведеної вище теореми, і як наслідок принципу еквівалентності), а з іншого - дорівнюють.

Частина 1 доведення
Нехай розглядається "інфрачервоний" процес випромінювання фотонів та гравітонів (відповідно, для першого та другого матричних елементів), при якому $$\ p - p{'} \to 0$$. Це, як вже зазначалося у доведенні теореми про м'які фотони, еквівалентно твердженню про те, що матричний елемент повністю визначається полюсною структурою одночастинкового випромінювання. При цьому вимірюються лише заряди (а не мультипольні моменти). Можна отримати граничні вирази для матричних елементів $$\ (4)$$ наступним чином.

Оператори заряду та 4-імпульсу визначаються як

$$\ \hat{Q}| p, \pm j\rangle = q|p, \pm j\rangle, \quad \hat{P}^{\mu}|p, \pm j\rangle = p^{\mu}|p ,\pm j \rangle \qquad (5)$$,

а нормування "фізичних" станів $$\ |p, \pm j\rangle_{phys}$$ - як

$$\ \langle p, \pm j| p{'}, \pm j \rangle_{phys} = \delta_{a}(\mathbf p - \mathbf p{'}), \quad \lim_{a \to 0}\delta_{a}(\mathbf p - \mathbf p{'}) = \delta (\mathbf p -\mathbf p{'}) \qquad (6)$$.

Тут параметр $$\ a$$ визначає "відхилення" від ідеалізованої квантової теорії поля для реальних експериментів, що проявляється фізично в тому, що імпульс вимірюється не точно. На мові фоківського простору, це означає, що над фізичні стани $$\ |p, \pm j\rangle_{phys}$$ є збуреннями над фоківськими станами,

$$\ |p, \pm j\rangle_{phys} = \int d^{3}\tilde{\mathbf p}\delta_{a}(\tilde{\mathbf p} - \mathbf p )|\tilde{p} , \pm j\rangle , \quad \langle p{'} , \pm j|p , \pm j\rangle_{phys} = \int d^{3}\tilde{\mathbf p}\delta_{a}(\mathbf p{'} - \tilde{\mathbf p})\delta_{a}(\tilde{\mathbf p} - \mathbf p{'} ) \equiv \delta_{a}(\mathbf p -\mathbf p{'}), \qquad (7)$$.

Рівняння $$\ (5) - (7)$$ дають

$$\ \langle p{'}, \pm j | \hat{Q} |p, \pm j\rangle = q\delta_{a}(\mathbf p -\mathbf p{'}), \hat{P}^{\mu} |p, \pm j\rangle = \int d^{3}\tilde{\mathbf p}\tilde{p}^{\mu}| \tilde{p},\pm j\rangle \Rightarrow  \quad \langle p{'}, \pm j | \hat{P}^{\mu} |p, \pm j\rangle = p^{\mu}\delta_{a}(\mathbf p -\mathbf p{'}) \qquad (8)$$.

З іншого боку, ці ж величини заряду та імпульсу можна обчислити, інтегруючи по фізичному об'єму розміром $$\ \frac{1}{a}$$:

$$\ \langle p{'}, \pm j|\hat{Q} | p, \pm j\rangle = \int \limits_{V_{a}}^{}d^{3}\mathbf r \langle p{'}, \pm j|\hat{J}^{0}(t, \mathbf r) | p, \pm j\rangle = \int d^{3}\mathbf r \langle p{'}, \pm j|e^{i \hat{\mathbf P} \cdot r}\hat{J}^{0}(t , 0)e^{-i \hat{\mathbf P} \cdot r} | p, \pm j\rangle = (2 \pi )^{3}\delta_{a}(\mathbf p{'} - \mathbf p )\langle p{'}, \pm j|\hat{J}_{0}(t, 0) | p, \pm j\rangle$$,

$$\ \langle p{'}, \pm j|\hat{P}^{\mu} | p, \pm j\rangle = ... = (2 \pi )^{3}\delta_{a}(\mathbf p - \mathbf p{'})\langle p{'}, \pm j|\hat{T}^{0\mu}(t, 0) | p, \pm j\rangle, \quad \lim_{a \to 0}\int \limits_{V_{a}}^{} d^{3}\mathbf r e^{i\mathbf p \cdot \mathbf r} = \delta (\mathbf p - \mathbf p{'}) \qquad (9)$$.

Порівняння $$\ (8), (9)$$ та лоренц-інваріантність дає

$$\ \lim_{p{'} \to p}\langle p{'}, \pm j|\hat{J}^{0} | p, \pm j\rangle = \frac{q}{(2 \pi )^{3}}, \quad \lim_{p{'} \to p}\langle p{'}, \pm j|\hat{T}^{0\mu} | p, \pm j\rangle = \frac{p^{\mu}}{(2 \pi )^{3}} \Rightarrow \lim_{p{'} \to p}\langle p{'}, \pm j|\hat{J}^{\mu} | p, \pm j\rangle = \frac{qp^{\mu}}{(2 \pi )^{3}}, \quad \lim_{p{'} \to p}\langle p{'}, \pm j|\hat{T}^{\mu \nu} | p, \pm j\rangle = \frac{p^{\nu}p^{\mu}}{(2 \pi )^{3}}$$.

Частина 2 доведення
Вираз $$\ (p + p{'})^{2}$$ для безмасових частинок дорівнює

$$\ (p + p{'})^{2} = 2(p \cdot p{'}) = -2((\mathbf p \cdot \mathbf p{'}) - |\mathbf p {'}||\mathbf p|) = 2|\mathbf p {'}||\mathbf p| (1 - cos(\theta )) \geqslant 0$$.

Доцільно розглянути випадку $$\ \theta = 0, \theta \neq 0$$.

Для другого випадку можна перейти у систему відліку, в якій $$\ \mathbf p + \mathbf p{'} = 0$$: $$\ p = (|\mathbf p|, \mathbf p), p{'} = (|\mathbf p|, - \mathbf p)$$. Здійснивши поворот системи відліку на кут $$\ \varphi$$ навколо вектору $$\ \mathbf p $$. Тоді, відповідно, стани $$\ | p/p{'}, \pm j\rangle $$ зміняться (вираз $$\ (6)$$ посилання) як

$$\ | p/p{'}, \pm j\rangle \to e^{\pm i\varphi j}| p/p{'}, \pm j\rangle$$,

що дає

$$\ \langle p{'}, \pm j|\hat{J}^{\mu}(t, 0) | p, \pm j\rangle \to e^{\pm 2 i\varphi j}\langle p{'}, \pm j|\hat{J}^{\mu}(t, 0) | p, \pm j\rangle, \quad \langle p{'}, \pm j|\hat{T}^{\mu \nu}(t, 0) | p, \pm j\rangle \to e^{\pm 2 i\varphi j}\langle p{'}, \pm j|\hat{T}^{\mu \nu}(t, 0) | p, \pm j\rangle$$.

З іншого боку,

$$\ \langle p{'}, \pm j|\hat{J}^{\mu}(t, 0) | p, \pm j\rangle \to \Lambda^{\mu}_{\ \nu} (\varphi )\langle p{'}, \pm j|\hat{J}^{\mu}(t, 0) | p, \pm j\rangle, \quad \langle p{'}, \pm j|\hat{T}^{\mu \nu}(t, 0) | p, \pm j\rangle \to \Lambda^{\mu}_{\ \alpha} (\varphi)\Lambda^{\nu}_{\ \beta} (\varphi)\langle p{'}, \pm j|\hat{T}^{\mu \nu}(t, 0) | p, \pm j\rangle$$.

Оскільки $$\ \Lambda^{\mu}_{\ \alpha} (\varphi)$$ являється матрицею тривимірних поворотів, її власними значеннями можуть бути лише величини $$\ e^{\pm i \varphi }$$ та одиниця. Звідси слідує, що всі власні значення $$\ \hat{J}^{\mu}$$ мають дорівнювати нулю при $$\ 2j > 1$$, а власні значення $$\ T^{\mu \nu}$$ - при $$\ 2j > 2$$ (це справедливо у будь-якій системі відліку, оскільки спіральність є лоренцевим інваріантом).

Аналогічно, для випадку $$\ \varphi = 0$$ можна показати, що тензорні компоненти матричних елементів мають занулятися навіть при $$\ 2j < 1, 2j < 2$$ відповідно. Доведення завершено.

Наслідки теореми
Теорема незастосовна до калібрувальних полів на кшталт глюонів та гравітонів, оскільки відповідні поля, 4-вектор $$\ G_{\mu}$$ та метрика $$\ g_{\mu \nu}$$, не є пуанкаре-коваріантними величинами. У результаті відповідні струми та тензори енергії-імпульсу не є лоренц-інваріантними об'єктами. Для полів типу глюонного це пояснюється тим, що глюонний струм містить поле $$\ G_{\mu}$$, яке не є інваріантним відносно калібрувальних перетворень, а отже (див. вираз $$\ (5)$$), і перетворень групи Лоренца. Для поля гравітону це пояснюється тим, що на класичному рівні при побудові тензору енергії-імпульсу, який зберігається, $$\ \partial_{\mu}T^{\mu \nu} = 0$$, треба вводити так званий псевдотензор Ландау, для задання якого треба обрати локальну систему координат. Це, як і в випадку із глюонним полем, означає, що коваріантність (тепер тензору енергії-імпульсу) відносно перетворень групи Лоренца порушена. Виявляється, таким чином, що навіть не знаючи точного вигляду загальної теорії відносності, можна за допомогою квантової теорії поля передбачити, що у ній відсутнє поняття локалізованої енергії. Квантова теорія поля диктує основні риси, які повинна мати теорія гравітації.

Разом із тим, теорема забороняє існування безмасових частинок спіральностей $$\ \frac{3}{2}$$ і вище, а також теорію гравітону як складової частинки. Дійсно, якщо гравітон складався б із двох частинок спіральності 1, то він мав би коваріантний тензор енергії-імпульсу, а це протирічить теоремі Вайнберга-Віттена.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$