Дипольний момент

Повернутися до розділу "Дипольний і магнітний моменти".

Дипольний і квадрупольний моменти
Перш за все можна розглянути випадок електростатики для випадку зосереджених у деякому обмеженому об'ємі зарядів. Для цього можна використати перше та четверте рівняння Максвелла, причому

$$\ \nabla \mathbf E = 4 \pi \rho(\mathbf r ), \quad [\nabla \times \mathbf E ] = 0$$.

Останню рівність можна тотожньо виконати, ввівши скалярний потенціал, градієнт якого рівен напруженості поля:

$$\ \mathbf E = -grad (\varphi ) \Rightarrow [\nabla \times \mathbf E ] = -[\nabla \times \nabla ] \varphi = 0$$.

Для першого же рівняння, аналогічно до рівнянь векторного потенціалу,

$$\ \nabla \mathbf E = -\nabla^{2}\varphi = 4\pi \rho \Rightarrow \Delta \varphi = -4 \pi \rho \Rightarrow \varphi (\mathbf r ) = \int \limits_{V}\frac{ \rho(\mathbf r )d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r |}, \quad \mathbf E = -grad(\varphi (\mathbf r )) = \int \limits_{V}\frac{(\mathbf x - \mathbf r )\rho (\mathbf r )d^{3} \mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r |^{3}} \qquad (.1)$$.

Якщо вважати, що $$\ |\mathbf r | << |\mathbf x |$$, де $$\ \mathbf x$$ - радіус-вектор від спостерігача до точки, у якій вимірюється напруженість поля, $$\ \mathbf r$$ - відстань від точки вимірювання до малого елементу об'єму із густиною $$\ \rho$$, то $$\ (.1)$$ можна розкласти в ряд по степеням $$\ \frac{|\mathbf r |}{|\mathbf x |}$$:

$$\ \varphi (\mathbf r ) = \int \limits_{V}\rho(\mathbf r )|\mathbf x^{2} - 2\mathbf r \mathbf x + \mathbf r^{2} |^{-\frac{1}{2}} d^{3}\mathbf r \approx \int \limits_{V}\frac{\rho (\mathbf r )d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x |} + \int \limits_{V}\frac{\rho(\mathbf r)(\mathbf x \cdot \mathbf r )d^{3}\mathbf r }{|\mathbf x |^{3}} = \left|Q = \int \limits_{V}\rho (\mathbf r)d^{3} \mathbf r, \quad \mathbf d = \int \limits_{V}\mathbf r \rho (\mathbf r )d^{3}\mathbf r \right| = \frac{Q}{|\mathbf x |} + \frac{( \mathbf x \cdot \mathbf d )}{|\mathbf x |^{3}}$$,

$$\ \mathbf E = -grad \left(\frac{Q}{|\mathbf x |} + \frac{( \mathbf x \cdot \mathbf d )}{|\mathbf x |^{3}}\right) = \frac{Q \mathbf x }{|\mathbf x |^{3}} + grad(\mathbf x \cdot \mathbf d )\frac{1}{|\mathbf x |^{3}} + (\mathbf x \cdot \mathbf d) grad \left(\frac{1}{|\mathbf x |^{3}}\right) = \frac{Q \mathbf x }{|\mathbf x |^{3}} + \frac{\mathbf d }{|\mathbf x |^{3}} - 3\frac{(\mathbf x \cdot \mathbf d )\mathbf x}{|\mathbf x|^{5}} = \frac{Q \mathbf x }{|\mathbf x |^{3}} + \frac{\mathbf d }{|\mathbf x |^{3}} - 3 \frac{\left(\frac{\mathbf x}{|\mathbf x |}\cdot \mathbf d \right)\frac{\mathbf x}{|\mathbf x |}}{|\mathbf x |^{3}} = $$

$$\ = \left | \mathbf n = \frac{\mathbf x }{|\mathbf x |}\right| = \frac{Q \mathbf n }{|\mathbf x |^{2}} + \frac{3(\mathbf n \cdot \mathbf d)\mathbf n - \mathbf d}{|\mathbf x |^{3}}$$.

Перший доданок відповідає центрально-симетричному полю, а другий вносить асиметрію через утворення виділеного напрямку, що визначається вектором $$\ \mathbf d$$ дипольного моменту.

Можна продовжити розклад до квадратичного порядку. Тоді

$$\ \varphi \approx \frac{Q}{|\mathbf x|} + \frac{(\mathbf x \cdot \mathbf d)}{|\mathbf x|^{3}} + \frac{1}{2}\frac{1}{\mathbf |x|}\int \rho (\mathbf r)\left( 3\frac{(\mathbf x \cdot \mathbf r )^{2}}{|\mathbf x|^{4}} - \frac{|\mathbf r|^{2}}{|\mathbf x|^{2}} \right)d^{3}\mathbf r = \frac{Q}{|\mathbf x|} + \frac{(\mathbf x \cdot \mathbf d)}{|\mathbf x|^{3}} + \frac{1}{2} \frac{1}{\mathbf |x|^{5}}\int \rho (\mathbf r )(3(\mathbf r \cdot \mathbf x )^{2} - \mathbf x^{2}\mathbf r^{2}) = $$

$$\ = \frac{Q}{|\mathbf x|} + \frac{(\mathbf x \cdot \mathbf d)}{|\mathbf x|^{3}} + \frac{x_{\alpha}x_{\beta}}{2 |\mathbf x|^{5}}\int \rho (\mathbf r )(3r^{\alpha}r^{\beta} - \delta^{\alpha \beta}r^{2})d^{3}\mathbf r = \frac{Q}{|\mathbf x|} + \frac{(\mathbf x \cdot \mathbf d)}{|\mathbf x|^{3}} + \frac{x_{\alpha}x_{\beta}Q^{\alpha \beta}}{2|\mathbf x|^{5}}$$,

де величина $$\ Q^{\alpha \beta}$$ називається квадрупольним моментом системи зарядів.

Сила, момент сили та потенціальна енергія, пов'язані з дипольним моментом
Тепер можна знайти вираз для сили, що діє на деякий заряд $$\ q$$ у такому полі.

Для цього можна розкласти вираз для напруженості в ряд:

$$\ \mathbf E (\mathbf r ) \approx \mathbf E_{0} + \sum_{i}x_{i}\frac{\partial \mathbf E}{\partial x_{i}} = \mathbf E_{0} + (\mathbf r \nabla)\mathbf E \qquad (.2)$$,

де $$\ \mathbf E_{0}$$ - значення напруженості у початку координат, де знаходиться диполь.

Тоді сила, для неперервного розподілення зарядів, буде мати вигляд

$$\ \mathbf F = \sum Q_{i}\mathbf E_{i} = \int \limits_{V} \mathbf E \rho(\mathbf r)d^{3}\mathbf r \approx |2| \approx \mathbf E_{0}\int \limits_{V} \rho(\mathbf r)d^{3}\mathbf r + \left(\nabla \int \limits_{V}\mathbf r \rho (\mathbf r )d^{3}\mathbf r\right)\mathbf E_{0} = Q\mathbf E_{0} + (\nabla \cdot \mathbf d)\mathbf E_{0}$$.

Останній доданок можна перетворити, використовуючи рівність нулю ротора напруженості у випадку електростатики:

$$\ [ \mathbf d \times [\nabla \times \mathbf E_{0}]] = \nabla (\mathbf d \cdot \mathbf E_{0}) - \mathbf E_{0}(\nabla \mathbf d) = 0 \Rightarrow \mathbf E_{0}(\nabla \mathbf d ) = \nabla (\mathbf d \cdot \mathbf E_{0})$$.

Тоді, остаточно, вираз для сили набуде вигляду

$$\ \mathbf F = Q\mathbf E_{0} + \nabla (\mathbf d \cdot \mathbf E_{0})$$.

Оскільки сила є градієнтом від виразу для потенціальної енергії, то для нейтрального диполя

$$\ U \approx -(\mathbf d \cdot \mathbf E_{0})$$,

а отже, потенціальна енергія є мінімальною при розверненні диполя по полю.

Розвернення досягається за рахунок момента сили. Знову ж таки, переходячи до неперервного розподілення зарядів та враховуючи лише нульове наближення для напряженості поля, отримується

$$\ \mathbf M = [\mathbf r \times \mathbf F ] = \int [\mathbf r \times \mathbf E_{0} ]\rho d^{3}\mathbf r = [\mathbf d \times \mathbf E_{0} ]$$.