Спінори і ЗТВ

Повернутися до статті "Загальна теорія відносності".

Тетрадний формалізм
Згідно до принципу еквівалентності, в кожній точці простору-часу для довільної метрики $$\ g_{\alpha \beta}$$ існує така система локальних координат $$\ \epsilon^{a}$$, що рух тіла буде відбуватися по прямій лінії:

$$\ \frac{d^{2}\epsilon^{a}}{d\tau^{2}} = 0, \quad d\tau^{2} = \eta_{ab}d\epsilon^{a}d\epsilon^{b} \qquad (1)$$

(тут $$\ \eta_{ab}$$ - тензор Мінковського).

Нехай тепер обрано іншу систему координат $$\ x^{\mu}$$. В її термінах рівняння $$\ (1)$$ набуває вигляду

$$\ \frac{d}{d \tau }\left( \frac{\partial \epsilon^{a}}{\partial x^{\nu}}\frac{dx^{\nu}}{d\tau }\right) = \frac{\partial \epsilon^{a}}{\partial x^{\nu}}\frac{d^{2}x^{\nu}}{d\tau^{2} }+\frac{\partial^{2}\epsilon^{a}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}}\frac{dx^{\mu}}{d\tau }\frac{dx^{\nu}}{d \tau} = 0$$.

Домножаючи це рівняння на $$\ \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial \epsilon^{a}}$$ і вводячи зв'язність $$\ \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu} = \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial \epsilon^{a}}\frac{\partial^{2} \epsilon^{a}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}}$$,

можна отримати вже знайоме рівняння руху по геодезичній:

$$\ \frac{d^{2}x^{\lambda}}{d \tau^{2}} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{d \tau}\frac{dx^{\nu}}{d \tau} = 0$$.

Аналогічно, власний час можна переписати як

$$\ d\tau^{2} = \frac{\partial\epsilon^{a}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial \epsilon^{b}}{\partial x^{\nu}}\eta_{ab} dx^{\mu}dx^{\nu} = g_{\mu \nu}dx^{\mu}dx^{\nu}$$,

де введений метричний тензор

$$\ g_{\mu \nu} = \frac{\partial\epsilon^{a}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial \epsilon^{b}}{\partial x^{\nu}}\eta_{ab} = e_{\mu}^{a}e_{\nu}^{b}\eta_{ab} \qquad (2)$$.

Оскільки координати $$\ \epsilon^{a}$$ фіксуються у кожній точці раз і назавжди, то при заміні координат $$\ x^{\mu} \to x{'}^{\mu}$$ величина $$\ e_{\mu}^{a}$$ перетворюється як $$\ e_{\mu}^{a}{'} = \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\mu}{'}}e_{\nu}^{a}$$, що дозволяє вважати її не тензором, а набором із чотирьох коваріантних векторних полів. Їх називають тетрадами.

Маючи контраваріантне векторне поле $$\ A^{\mu}(x)$$, можна за допомогою тетрад утворити 4 скаляри $$\ A^{a}$$, які задають його компоненти у системі координат $$\ \epsilon^{a}$$ (що є локально-інерціальною у даній точці):

$$\ A^{a} = e_{\mu}^{a}A^{\mu}$$.

Аналогічно - із 4-тензорами довільного рангу. При цьому векторний індекс $$\ \mu$$ тетради піднімається чи опускається за допомогою метричного тензора, а "лоренцевий" індекс $$\ a$$ піднімається чи опускається за допомогою метрики Мінковського. В силу рівності $$\ (2)$$ виконується рівність

$$\ e^{\mu}_{a}e_{\nu}^{a} = \delta^{\mu}_{\nu}$$.

Оскільки будь-яке тензорне поле можна перетворити у набір скалярів за допомогою тетрад, то можна розглянути загальний рецепт побудови дії для полів у викривленому просторі-часі. По-перше, дія повинна бути загально-коваріантною, а всі поля, окрім тетради, варто розглядати як скаляри. По-друге, дія повинна бути інваріантною відносно перетворень Лоренца:

$$\ A^{a} \to \Lambda^{a}_{\ b}(x)A^{b}(x), \quad e^{a}_{\mu} \to \Lambda^{a}_{\ b}e^{b}_{\mu}$$.

Довільне поле $$\ \psi_{n}(x)$$ перетворюється при цьому за матричними перетвореннями групи Лоренца:

$$\ \psi_{n}(x) \to D_{n}^{n{'}}(\Lambda(x))\psi_{n{'}}(x) \qquad (3)$$.

Ці два принципи дають класифікацію полів як координатних і лоренцевих скалярів і тензорів. Наприклад, спінорне поле $$\ \psi$$ являється лоренцевим спінором і координатним скаляром, тетрада - координатним і лоренцевим вектором, і т.д.

Дія повинна бути лоренцевим і координатним скаляром. Хоча координатно-скалярні компоненти метричного тензора дорівнюють $$\ \eta_{ab}$$, метрика виникає у дії внаслідок наявності похідних. Для того, щоб дія з похідною була координатним скаляром, треба зробити заміну $$\ \partial_{\mu} \to e^{\mu}_{a}\partial_{\mu}$$; при такій заміні, втім, утворена похідна не буде лоренцевим скаляром.

Якщо використати $$\ (3)$$, то можна буде отримати закон перетворення такої координатно-скалярної похідної від довільного поля $$\ \psi $$:

$$\ e^{\mu}_{a}\partial_{\mu}\psi \to \Lambda_{a}^{\ b}e_{b}^{\mu}\partial_{\mu}\left[ D(\Lambda(x)) \psi\right] = \Lambda_{a}^{\ b}e_{b}^{\mu} \left( \left[\partial_{\mu} D(\Lambda (x))\right]\psi + D(\Lambda (x)) \partial_{\mu} \psi\right) \quad (4)$$.

У результаті, ця величина не є лоренцевим вектором, тому замість $$\ e^{\mu}_{a}\partial_{\mu}$$ треба включати величину $$\ D_{a} = e^{\mu}_{a}\left( \partial_{\mu} + \Gamma_{\mu}\right)$$. Тут $$\ \Gamma_{\mu}$$, звісно, залежить від представлення групи Лоренца конкретним полем, оскільки вимога "векторності" відносно перетворень Лоренца вимагають від неї перетворення за правилом

$$\ \Gamma_{\mu}(x) \to D(\Lambda )\Gamma_{\mu}D^{-1}(\Lambda ) - \left[ \partial_{\mu}D(\Lambda )\right]D^{-1}(\Lambda )$$.

Враховуючи, що інфінітезимальні перетворення групи Лоренца мають вигляд $$\ \Lambda_{a}^{\ b} = \delta_{a}^{\ b} + \omega_{a}^{\ b}$$, а відповідні їм матричні перетворення -

$$\ D(\Lambda ) \approx D(\mathbf 1 + \omega ) = \mathbf E + \omega^{ab}\sigma_{ab}$$

(нагадаю, що $$\ \sigma_{ab}$$ - генератори групи Лоренца у даному представленні). Тоді

$$\ \Gamma_{\mu} \to \Gamma_{\mu} + \frac{1}{2}\omega^{ab}[\sigma_{ab}, \Gamma_{\mu}] - \frac{1}{2}\sigma_{ab}\partial_{\mu}\omega^{ab} \qquad (5)$$.

Можна отримати елегантний вираз для $$\ \Gamma_{\mu}$$. Враховуючи, що при таких же позначеннях

$$\ e^{\mu}_{a} \to e^{\mu}_{a} + \omega_{a}^{\ b}e^{\mu}_{b}$$,

виходить

$$\ e^{\nu}_{b} \partial_{\mu}e_{\nu a} \to e^{\nu}_{b}\partial_{\mu}e_{\nu a} + \omega^{\ c}_{b}e^{\nu}_{c}\partial_{\mu}e_{a \nu} + \omega^{\ c}_{a}e^{\nu}_{b}\partial_{\mu}e_{c \nu} + \partial_{\mu} \omega_{ab}$$.

Якщо домножити цей вираз на $$\ \sigma^{ab}$$ і застосувати комутаційні співвідношення $$\ (1)$$ (у дійсній формі і замінивши там $$\ g_{ab} \to \eta_{ab}$$), можна отримати, що $$\ (5)$$ диктує наступний вигляд для $$\ \Gamma_{\mu}$$:

$$\ \Gamma_{\mu} = \frac{1}{2}\sigma^{ab}e_{a}^{\nu}e_{b\nu ; \mu}$$.

У результаті, дію гравітації на будь-яку фізичну систему можна врахувати, замінивши всі похідні $$\ \partial_{\mu}$$ на тетрадні коваріантні похідні

$$\ D_{a} = e^{\mu}_{a}\partial_{\mu} + \frac{1}{2}\sigma^{bc}e_{b}^{\nu}e^{\mu}_{a}e_{c\nu ; \mu} = e^{\mu}_{a}\left( \partial_{\mu} + \frac{1}{2}\sigma^{bc}\omega_{\mu bc}\right), \qquad \omega^{\mu}_{bc} = e_{b}^{\nu}\partial^{\mu}e_{c \nu} - e_{b}^{\nu}\Gamma^{\mu}_{\alpha \nu}e^{\alpha}_{c} \qquad (6)$$,

де введено спінову зв'язність $$\ \omega^{\mu}_{bc}$$.

Вищеописане дозволяє побудувати лоренц- і координатно-інваріантну дію речовини, що знаходиться у викривленому просторі-часі.

Тетрадні і координатні символи Кристоффеля
Для подальшого розвитку тетрадного формалізму треба побудувати у ньому всі основні об'єкти ЗТВ. Для цього зручно розпочати із тетрадної похідної. Доцільно попередньо ввести координатні і тетрадні вісі $$\ \mathbf g^{\mu}, \epsilon^{m}$$: $$\ e^{\mu}_{m} = \mathbf g^{\mu}\epsilon_{m}$$. Відповідно до визначення, координатна вісь інваріантна відносно тетрадних перетворень, а тетрадна - відносно координатних.

Тетрадна похідна $$\ \partial_{m} = e^{\mu}_{m}\partial_{\mu}$$ (незалежна від вибору системи координат) не є комутативною, на відміну від координатної похідної $$\ \partial_{\mu}$$:

$$\ [\partial_{m}, \partial_{n}] = [e^{\mu}_{m}\partial_{\mu}, e^{\nu}_{n}\partial_{\nu}] = e^{\mu}_{m}(\partial_{\mu}e^{\nu}_{n})\partial_{\nu} - e^{\nu}_{n}(\partial_{\mu}e^{\mu}_{m})\partial_{\mu} = (d^{k}_{nm} - d^{k}_{mn})\partial_{k}, \quad d_{lmn} = \eta_{lk}e^{k}_{\kappa}e^{\nu}_{n}\partial_{\nu}e^{\kappa}_{m}$$.

Треба побудувати об'єкт, який є аналогічним коваріантній координатній похідній. Для цього треба розпочати із тривіального твердження: вираз $$\ \partial_{m}A$$, де $$\ A$$ - скаляр, є тетрадним 4-вектором, тому $$\ D_{m}A = d_{m}A$$. Нехай далі $$\ A = \epsilon^{m}A_{m} $$; тоді

$$\ \partial_{n}A = \partial^{n}(\epsilon_{m}A^{m}) = (\partial_{n}\epsilon_{m})A^{m} + \epsilon_{m}\partial_{n}A^{m} = \left| \partial_{n}\epsilon_{m} = \Gamma^{k}_{mn}\epsilon_{k}\right| = \epsilon_{k}D_{n}A^{k}, \quad D_{n}A^{k} = \partial_{n}A^{k} + \Gamma^{k}_{tn}A^{t}$$.

Оскільки цей об'єкт за побудовою є тетрадним 4-вектором, то об'єкт $$\ D_{n}A^{k}$$ являється істинним 4-тензором. Аналогічно - для нижніх індексів. Визначений вище об'єкт $$\ \Gamma^{k}_{mn}$$ називається тетрадним символом Кристоффеля, або тетрадною зв'язністю.

Можна отримати зв'язок координатної зв'язності (інша назва символів Кристоффеля) і тетрадної. Для цього варто помітити, що $$\ D_{n}\epsilon_{m} = \partial_{n}\epsilon_{m} - \Gamma^{k}_{mn}\epsilon_{k} = 0$$, тому

$$\ \partial_{n}\epsilon_{m} = \left| \partial_{n} = e^{\mu}_{n}\partial_{\mu}, \quad \epsilon_{m} = e^{\nu}_{m}g_{\nu}\right| = e_{n}^{\mu}(\partial_{\mu}e_{m}^{\nu})g_{\nu} + e_{n}^{\mu}e_{m}^{\nu}\partial_{\mu}g_{\nu} = e_{n}^{\mu}(\partial_{\mu}e_{m}^{\nu})g_{\nu} + e_{n}^{\mu}e_{m}^{\nu}\Gamma_{\nu \mu}^{\kappa}g_{\kappa} = \Gamma^{k}_{mn}\epsilon_{k}$$

(тут повністю аналогічно до тетрадної зв'язності вводиться координатна). Домножаючи цей вираз на $$\ \epsilon_{l}$$ і враховуючи, що $$\ \epsilon_{l}\epsilon_{k} = \delta_{lk}, \epsilon_{l}g_{\kappa} = e_{l \kappa}$$, маємо таку рівність:

$$\ \Gamma_{lmn} - d_{lmn} = e_{n}^{\mu}e_{m}^{\nu}e_{\kappa l}\Gamma_{\mu \nu}^{\kappa}$$.

Тепер треба визначити основні геометричні об'єкти.

Тензор кручення
Як і в координатному формалізмі, тензор кручення визначається із співвідношення

$$\ [D_{m}, D_{n}]A = S^{k}_{mn}\partial_{k}A$$.

Враховуючи некомутативність похідних $$\ \partial$$, можна отримати явний вигляд для тензору $$\ S^{k}_{mn}$$:

$$\ S^{k}_{mn} = \Gamma^{k}_{mn} - \Gamma^{k}_{nm} + d^{k}_{nm} - d^{k}_{mn}$$.

Якщо кручення дорівнює нулю, то з виразу вище маємо рівність

$$\ \Gamma^{k}_{mn} - d^{k}_{mn} = \Gamma^{k}_{nm} - d^{k}_{nm}$$. $$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Тензор кривини
Тензор кривини визначається із комутатора

$$\ [D_{k}, D_{l}]A_{m} = R_{klmn}A^{n}$$.

Аналогічним до методу попереднього підрозділу чином, можна отримати, що

$$\ R_{klmn} = \partial_{k}\Gamma_{mnl} - \partial_{l}\Gamma_{mnk} + \Gamma^{a}_{ml}\Gamma_{ank} - \Gamma^{a}_{mk}\Gamma_{anl} + (\Gamma^{a}_{kl} - \Gamma^{a}_{lk} - S^{a}_{kl})\Gamma_{mna}$$.

Якщо кривина дорівнює нулю, то з'являються наступні симетрії:

$$\ R_{klmn} = R_{[kl]_{as}[mn]_{as}}, \quad R_{k[lmn]_{s}} = 0$$,

де $$\ []_{as}$$ визначає антисиметричність, $$\ []_{s}$$ - симетризацію.

Спінова зв'язність. Теорія Ейнштейна-Картана
У ЗТВ постулюється принцип еквівалентності, тензор кручення прирівнюється до нуля, і включення до дії Ейнштейна-Гільберта дії будь-яких матерії і полів не змінює це. Можна, втім, не фіксувати рівність тензору кручення нулю. Математично це еквівалентно тому, що метрика і аффінна зв'язність вважаються незалежними величинами; дія варіюється по метриці і по зв'язності, і перше рівняння дає рівняння, що відповідає рівнянню Ейнштейна, а друге - зв'язок між метрикою і зв'язністю. Можна також переписати дію у термінах тетрад і спінової зв'язності (на цю ідею наводить вигляд для коваріантної похідної матерії). Відповідна теорія називається теорією Ейнштейна-Картана.

Отже, стартуючи із виразу $$\ (6)$$,

$$\ \omega^{\mu}_{ab} = e^{\nu}_{a}\partial^{\mu}e_{\nu b} - e^{\nu}_{a}\Gamma^{\mu}_{\alpha \nu}e^{\alpha}_{b}$$,

і використовуючи співвідношення ортогональності для $$\ e^{\mu}_{a}$$, можна легко виразити символи Кристоффеля через тетради і спінову зв'язність:

$$\ \Gamma^{\mu}_{\alpha \nu}e^{\nu}_{a}e_{\kappa}^{ a}e^{\alpha}_{b}e^{b}_{\delta} = \Gamma^{\mu}_{\kappa \delta} = e_{\kappa}^{ a}e^{b}_{\delta}e^{\nu}_{a}\partial^{\mu}e_{\nu b} -e_{\kappa}^{ a}e^{b}_{\delta}\omega^{\mu}_{ab} = e^{b}_{\delta}\partial^{\mu}e_{\kappa b}-e_{\kappa}^{ a}e^{b}_{\delta}\omega^{\mu}_{ab}$$.

Тепер можна виразити основні геометричні характеристики через спінову зв'язність: $$\ R^{ab}_{\mu \nu} = e^{\rho}_{a}e_{b \sigma}R^{\sigma}_{\ \rho \mu \nu} = \partial_{\mu}\omega^{ab}_{\nu} + \omega^{ac}_{\mu}\omega^{b}_{c \nu} - \partial_{\nu}\omega^{ab}_{\mu} - \omega^{ac}_{\nu}\omega^{b}_{c \mu}$$,

$$\ R = R^{ab}_{\mu \nu}e_{a}^{\mu}e_{b}^{\nu}$$,

$$\ S^{a}_{\mu \nu} = \partial_{\mu}e^{a}_{\nu} + \omega^{a}_{\ \mu b}e^{b}_{\nu} - \partial_{\nu}e^{a}_{\mu} - \omega^{a}_{\ \nu b} e^{b}_{\mu} = D_{\mu}e^{a}_{\nu} - D_{\nu}e^{a}_{\mu}$$.

Відповідно, дія Ейнштейна-Гільберта може бути записана як

$$\ S_{G} = \frac{1}{4}\int d^{4}x\sqrt{-g}R^{ab}_{\mu \nu}e_{a}^{\mu}e_{b}^{\nu} = \left| \sqrt{det(g)} = \sqrt{det(e^2)} = \sqrt{det(e)^{2}}\right| = \frac{1}{4}\int d^{4}xdet(e)R^{ab}_{\mu \nu}e_{a}^{\mu}e_{b}^{\nu} \qquad (7)$$.

Тепер, вважаючи тетради та спінову зв'язність функціонально незалежними, варіацією дії по ним можна отримати два рівняння. Варіація по тетрадам призводить до рівняння, по формі аналогічного рівнянню Ейнштейна. Цікавим є рівняння, що отримується варіацією по спіновій зв'язності. Для цього спершу доцільно записати $$\ S_{G}$$ як

$$\ S_{G} = \frac{1}{16}\int d^{4}x\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\varepsilon_{abcd}e^{a}_{\mu}e^{b}_{\nu}R_{\alpha \beta}^{cd} \qquad (8)$$.

Дійсно, для доведення справедливості $$\ (8)$$ спершу треба врахувати, що $$\ \varepsilon_{abcd} = \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}e^{\mu}_{a}e^{\nu}_{b}e^{\alpha}_{c}e^{\beta}_{d}$$, і $$\ \varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}\varepsilon^{abcd}e^{\mu}_{\alpha}e^{\nu}_{\beta}e^{\alpha}_{\gamma}e^{\beta}_{\delta} = e$$. Підставивши цей вираз у $$\ (8)$$, можна відновити $$\ (7)$$.

Тепер можна проваріювати дію $$\ (8)$$ по зв'язності:

$$\ \delta S^{\omega}_{G} = \frac{1}{8}\int d^{4}x \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\varepsilon_{abcd}e^{a}_{\mu}e^{b}_{\nu}(D_{\alpha}\delta\omega_{\beta}^{cd} - D_{\beta}\delta \omega_{\alpha}^{cd})$$,

що слідує із явного вигляду коваріантної похідної у термінах спінової зв'язності. Перекидаючи тепер цю похідну (а вона задовольняє правилу Лейбніца) і враховуючи при цьому, що антисиметризацію по $$\ \alpha, \beta$$ можна не виписувати явно (за неї відповідає тензор Леві-Чивіта), можна отримати

$$\ \delta S^{\omega}_{G} = -\frac{1}{8}\int d^{4}x \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\varepsilon_{abcd}D_{\alpha}(e^{a}_{\mu}e^{b}_{\nu})\delta \omega^{cd}_{\beta} = -\frac{1}{4}\int d^{4}x\varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\varepsilon_{abcd}e^{b}_{\nu}D_{\alpha}(e^{a}_{\mu})\delta \omega^{cd}_{\beta} = 0$$.

Тепер треба врахувати (використовуючи маніпулятивні визначення тензорів Леві-Чивіта і роль абсолютно антисиметричних тензорів при явному записі детермінантів), що $$\ \varepsilon^{\mu \nu \alpha \beta}\varepsilon_{abcd}e^{b}_{\nu} = -6e e^{\mu}_{[a}e^{\alpha}_{c}e^{\beta}_{d]}$$, тому

$$\ \delta S^{\omega}_{G} = -\frac{3}{2} \int d^{4}x|e|e^{\mu}_{[a}e^{\alpha}_{c}e^{\beta}_{d]}D_{\alpha}(e^{a}_{\mu})\delta \omega^{cd}_{\beta} = 0$$.

Звідси, опускаючи знак інтегралу та варіаційний множник, і використовуючи вираз для тензору кручення, можна отримати рівняння

$$\ -\frac{3}{2}ee^{\mu}_{[a}e^{\alpha}_{c}e^{\beta}_{d]}D_{\alpha}(e^{a}_{\mu}) = \frac{3}{2}e\left(-e^{\beta}_{d}S_{ca}^{a} + e^{\beta}_{c}S_{da}^{a} + S_{cd}^{\beta}\right) = 0 \qquad (9)$$.

Згортка цього рівняння із $$\ e^{c}_{\beta}$$ дає $$\ T_{d} = 0$$, що при підстановці у початкове рівняння призводить до висновку про нульове кручення.

Проте нехай дія містить також дію для матерії. Тоді маємо

$$\ \delta S^{\omega} = \frac{3}{2}\int d^{4}x|e|e^{\mu}_{[a}e^{\alpha}_{c}e^{\beta}_{d]}D_{\alpha}(e^{a}_{\mu})\delta \omega^{cd}_{\beta} + \delta S_{M}^{\omega} = 0$$,

і у правій частині $$\ (9)$$ буде ненульовий член, що призведе до появи ненульового кручення.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Поява ненульового кручення
Відповідно до написаного вище, (симетризована) дія для теорії масивних частинок зі спіном $$\ \frac{1}{2}$$, варіація якої призводить до рівняння Дірака у плоскому просторі-часі, має вигляд

$$\ S_{D} = \int d^{4}x e \left( \frac{1}{2}\bar{\psi}i\gamma^{\mu}D_{\mu}\psi -\frac{1}{2}iD_{\mu}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi - m\bar{\psi}\psi\right), \quad D_{\mu}\psi = \partial_{\mu}\psi - \frac{1}{2}\omega_{\mu}^{ab}\sigma_{ab}\psi, \quad D_{\mu}\bar{\psi} = \partial_{\mu}\bar{\psi} + \frac{1}{2}\omega_{\mu}^{ab}\bar{\psi}\sigma_{ab}$$,

де $$\ \sigma_{bc} = \frac{1}{4}[\gamma_{b}, \gamma_{c}]$$. Варіація по зв'язності призводить до виразу

$$\ \delta S_{D}^{\omega} = -\frac{i\kappa}{2}\int d^{4}x |e| \bar{\psi}\gamma^{\mu}\sigma_{cd} \psi\delta \omega_{\mu}^{cd} $$.

Тому рівняння $$\ (9)$$ модифікується як

$$\ \left(e^{\beta}_{d}S_{ca}^{a} - e^{\beta}_{c}S_{da}^{a} + S_{cd}^{\beta}\right) = \frac{i\kappa}{3} \bar{\psi}\gamma^{\beta}\sigma_{cd} \psi = \frac{\kappa}{3}\mathbf S^{\beta}_{cd}$$,

або у векторній формі:

$$\ S^{\alpha}_{\ \mu \nu} - \delta^{\alpha}_{\nu}S_{\mu} + \delta^{\alpha}_{\mu}S_{\nu} = \frac{\kappa}{3}\mathbf S^{\alpha}_{\mu \nu}$$,

де $$\ \mathbf S^{\alpha}_{\mu \nu}$$ - тензор спіну діраківських ферміонів.

Із цього виразу можна явно отримати вираз для кручення. Для цього його треба згорнути із $$\ \delta^{\nu}_{\alpha}$$. Враховуючи, що $$\ \gamma^{\alpha}\sigma_{\mu \alpha} = -4\gamma_{\mu}$$, маємо

$$\ 2S_{\mu} = \frac{4\kappa}{3}\bar{\psi}\gamma_{\mu}\psi $$.

Підставляючи цю рівність у початкове рівняння, отримуємо

$$\ S^{\alpha}_{\ \mu \nu} = \frac{i\kappa}{3}\bar{\psi}\left( \gamma^{\alpha}\sigma_{\mu \nu} + \frac{i}{2}\delta_{\nu}^{\alpha}\gamma_{\mu} - \frac{i}{2}\delta_{\mu}^{\alpha}\gamma_{\nu}\right)\psi$$.

Якщо використати рівність

$$\ \gamma^{\alpha}\gamma^{\beta}\gamma^{\gamma} = g^{\alpha \beta}\gamma^{\gamma} + g^{\beta \gamma}\gamma^{\alpha} - g^{\alpha \gamma}\gamma^{\beta} + i\varepsilon^{\alpha \beta \gamma \delta}\gamma_{\delta}\gamma_{5} \qquad (10)$$

до $$\ \gamma^{\alpha}\sigma_{\mu \nu}$$, то можна отримати, що

$$\ S^{\alpha}_{\ \mu \nu} = -\frac{\kappa}{6}g^{\alpha \beta}\varepsilon_{\beta \mu \nu \sigma}\bar{\psi}\gamma^{\sigma} \gamma_{5}\psi \qquad (11)$$.

Рівняння Хеля-Датти
Можна ефективно позбутися кручення у рівняннях Дірака, якщо виокремити із коваріантної похідної частину, що містить кручення, переписати її у термінах $$\ (10)$$, і після цього підставити у рівняння. Для виділення кручення достатньо згадати вираз $$\ (6)$$: треба знати, як кручення модифікує вираз для символу Кристоффеля. Щоб отримати вираз, можна скористатися тим же трюком, що і для отримання виразу без кручення, проте вважати, що $$\ \Gamma^{\mu}_{\nu \alpha} - \Gamma^{\mu}_{\alpha \nu} = S^{\mu}_{\nu \alpha}$$:

$$\ \Gamma^{\mu}_{\nu \alpha} = \tilde{\Gamma}^{\mu}_{\nu \alpha} - \frac{1}{2}(S^{\mu}_{\nu \alpha} + {S_{\alpha}^{\ \mu}}_{\nu} + S_{\nu \alpha}^{\ \ \mu})$$

(тут знак тильди означає величини, взяті при нульовому крученні), або, враховуючи вираз $$\ (11)$$,

$$\ \Gamma^{\mu}_{\nu \alpha} = \tilde{\Gamma}^{\mu}_{\nu \alpha} + \frac{\kappa}{4}g^{\mu \beta}\varepsilon_{\beta \nu \alpha \delta}\bar{\psi}\gamma^{\delta}\gamma_{5}\psi$$.

Цей вираз можна підставити у рівняння Дірака:

$$\ i\gamma^{\beta}D_{\beta}\psi - m \psi = i\gamma^{\beta}\tilde{D}_{\beta}\psi +\frac{\kappa}{8}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \delta}\bar{\psi}\gamma^{\delta}\gamma_{5}\psi \gamma^{\alpha}\sigma^{\mu \nu}\psi - m\psi = 0 \qquad (12)$$.

Використовуючи знову вираз $$\ (10)$$, можна отримати, що

$$\ \frac{\kappa}{8}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \delta}\bar{\psi}\gamma^{\delta}\gamma_{5}\psi \gamma^{\alpha}\sigma^{\mu \nu}\psi = -\frac{\kappa}{16}\varepsilon^{\mu \nu \beta \delta}\varepsilon_{\beta \mu \nu \kappa}\bar{\psi} \gamma_{5}\gamma_{\delta}\psi \gamma_{5}\gamma^{\kappa}\psi = \frac{3}{8}\bar{\psi} \gamma_{5}\gamma_{\delta}\psi \gamma_{5}\gamma^{\delta}\psi$$,

де використаний вираз для згортки тензорів Леві-Чивіта. Отже, рівняння Дірака набуває вигляду

$$\ i\gamma^{\beta}\tilde{D}_{\beta}\psi + \frac{3}{8}\kappa \bar{\psi} \gamma_{5}\gamma_{\delta}\psi \gamma_{5}\gamma^{\delta}\psi - m \psi = 0 \qquad (13)$$.

Комплексно зпрягаючи це рівняння і домножаючи на $$\ -\gamma_{2}$$ (використовуючи при цьому рівності $$\ \gamma_{\mu}^{*} = \gamma_{2}\gamma_{\mu}\gamma_{2}, \gamma_{5}^{*} = \gamma_{5}, \gamma_{\mu}^{\dagger} = \gamma_{0}\gamma_{\mu}\gamma_{0}$$), можна отримати рівняння на зарядово спряжений спінор $$\ \psi^{c} = \gamma_{2}\psi^{*}$$: всі доданки, окрім кубічного, змінять знак, а кубічний доданок у термінах $$\ \psi^{c} = \gamma_{2}\psi^{*}$$ запишеться після спряження у вигляді

$$\ (\bar{\psi} \gamma_{\mu}\gamma_{5}\psi)^{*}(\gamma^{\mu})^{*}\gamma_{5}\psi^{*} =\left( (\psi^{*})^{\dagger}\gamma_{0}\gamma_{\mu}^{*}\gamma_{5}\psi^{*}\right)(\gamma^{\mu})^{*}\gamma_{5}\psi^{*} = \left| \psi^{*} = -\gamma_{2}\psi^{c}\right| = \left( \bar{\psi^{c}}\gamma_{2}\gamma_{\mu}^{*}\gamma_{5}\gamma_{2}\psi^{c} \right)\gamma_{2}\gamma^{\mu}\gamma_{2}\gamma_{5}(-\gamma_{2})\psi^{c} = $$

$$\ = -\left( \bar{\psi^{c}}\gamma_{\mu}\gamma_{5}\psi^{c}\right)(-\gamma_{2}\gamma^{\mu}\gamma_{5})\psi^{c}= \gamma_{2}\left( \bar{\psi^{c}}\gamma_{\mu}\gamma_{5}\psi^{c}\right)\gamma^{\mu}\gamma_{5}\psi^{c}$$.

Через це зарядово спряжене рівняння буде відрізнятися знаком при цьому доданку:

$$\ i\gamma^{\beta}\tilde{D}_{\beta}\psi^{c} - \frac{3}{8}\kappa \bar{\psi^{c}} \gamma_{5}\gamma_{\delta}\psi^{c} \gamma_{5}\gamma^{\delta}\psi^{c} - m \psi^{c} = 0 \qquad (14)$$.

Рівняння $$\ (13)$$ (називається ще рівнянням Хеля-Датти) і рівняння на діраківськи спряжений спінор можуть бути отримані із лагранжіану

$$\ L_{D} = e \left( \frac{1}{2}\bar{\psi}i\gamma^{\mu}\tilde{D}_{\mu}\psi -\frac{1}{2}i\tilde{D}_{\mu}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi - m\bar{\psi}\psi + \frac{3}{16}\kappa \bar{\psi} \gamma_{5}\gamma_{\delta}\psi \bar{\psi}\gamma_{5}\gamma^{\delta}\psi\right)$$.

Отже, теорія Ейнштейна-Картана призводить до появи нелінійного (кубічного) доданку по діраківським полям у порівнянні з ЗТВ. Цей доданок у класичному випадку знімає виродження відносно зарядового спряження.

Рівняння Ейнштейна і поправки, що вносяться крученням
Можна записати рівняння Ейнштейна теорії Ейнштейна-Картана, виділивши в них явно частину, що відноситься до кручення. Для цього треба, знову ж таки, скористатися виразом для символів Кристоффеля із крученням і виразом для тензору кривини через символи Кристоффеля. Тоді рівняння набуде вигляду (підставлено рівняння на зв'язок кручення і тензору спіну)

$$\ G_{ik} = R_{ik} - \frac{1}{2}Rg_{ij} = \kappa \left( T_{ik} + U_{ik}\right)$$.

Тут $$\ T_{ik} = \frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\partial S_{M}}{\partial g^{ik}}$$ - канонічний тензор енергії-імпульсу (який також залежить від кручення),

$$\ U^{ik} = \kappa\left(\mathbf S^{ij}_{[l}\mathbf S^{kl}_{j]} - \frac{1}{2}\mathbf S^{ijl} \mathbf S^{k}_{\ jl} + \frac{1}{4}\mathbf S^{jli}\mathbf S_{jl}^{\ k} + \frac{1}{8}g^{ik}(-4\mathbf S^{l}_{\ j [m}\mathbf S^{jm}_{\ \ l]} + \mathbf S^{jlm}\mathbf S_{jlm})\right) = \frac{1}{4}\kappa (2s^{i}s^{k} + s^{l}s_{l}g^{ik}), \quad s^{ijk} = -e^{ijkl}s_{l}, \quad s_{l} = \bar{\psi}\gamma^{i}\gamma_{5}\psi$$.

Тензор енергії-імпульсу для діраківської дії дорівнює

$$\ T_{ik} = \frac{i}{2}\left( \bar{\psi}\delta^{j}_{(i}\gamma_{k)}D_{j}\psi - D_{j}\bar{\psi}\delta^{j}_{(i}\gamma_{k)}\psi - g_{ik}\left[ \bar{\psi}\gamma^{j}D_{j}\psi - D_{j}\bar{\psi}\gamma^{j}\psi\right] + mg_{ik}\bar{\psi}\psi\right)$$.

Враховуючи рівняння $$\ (13)$$, його діраківськи спряжену версію,

$$\ i\tilde{D}_{\beta}\bar{\psi}\gamma^{\beta} - \frac{3}{8}\kappa \bar{\psi} \gamma_{5}\gamma_{\delta}\psi \bar{\psi} \gamma_{5}\gamma^{\delta}+ m \bar{\psi} = 0$$,

цей вираз можна переписати як

$$\ T_{ik} = \frac{i}{2}\left( \bar{\psi}\delta^{j}_{(i}\gamma_{k)}\tilde{D}_{j}\psi - \tilde{D}_{j}\bar{\psi}\delta^{j}_{(i}\gamma_{k)}\psi \right) + \frac{1}{2}\kappa \left( -s_{i}s_{k} + s^{l}s_{l}g_{ik}\right)$$.

Тоді сума $$\ \kappa (T_{ik} + U_{ik})$$ дорівнює

$$\ \kappa (T_{ik} + U_{ik}) = \kappa \left( \bar{\psi}\delta^{j}_{(i}\gamma_{k)}\tilde{D}_{j}\psi - \tilde{D}_{j}\bar{\psi}\delta^{j}_{(i}\gamma_{k)}\psi \right) + \frac{3}{4}\kappa^{2}s_{l}s^{l}g_{ik}$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Передбачення теорії Ейнштейна-Картана
Теорія Ейнштейна-Картана на початку свого виникнення не мала жодних переваг перед ЗТВ, оскільки питаннями типу баріогенезису, Великого Вибуху, асиметрії матерії-антиматерії тощо ніхто не цікавився, а за відповідних сучасному Всесвіту густин матерії дуже складно, тому вона не відрізняється від ЗТВ у своїх експериментальних передбаченнях (можливо, у областях поблизу Чорних дір передбачення теорій починають відрізнятися). Із розвитком науки виникали нові теорії і поставали нові теоретичні та експериментальні проблеми, які треба було вирішити. Таким чином виникла концепція Великого вибуху, яка пізніше була доповнена моделлю інфляції; треба пояснити баріогенезис і асиметрію матерія-антиматерія, природу темної матерії та енергії тощо. Для цього Загальну теорію відносності доповнюють моделями з фізики частинок; згідно із сучасними уявленнями, поле бозона Хіггса виступає як інфлатонне поле, у ролі темної матерії можуть виступати майоранівські нейтрино чи аксіони, ті ж нейтрино, але з іншими масами, можуть виступати у ролі генераторів баріогенезису.

Актуальність теорії Ейнштейна-Картана на тлі цього проявляється у тому, що вона теоретично може вирішити частину із цих проблем за рахунок одного лише кручення, описанню чого і присвячений розділ. Неможливість протестувати теорію є найважливішою причиною того, що зараз вона не надто популярна серед спільноти. Втім, якщо деякі з сучасних моделей зазнають краху, на неї можуть звернути більше уваги.

1. Асиметрія матерія-антиматерія
Із вигляду рівнянь $$\ (13)-(14)$$ видно, що рівняння на частинку та античастинку не співпадають. Можна порівняти енергетичні рівні частинки та античастинки у наближенні плоских хвиль та нульових символів Кристоффеля. Наближення плоских хвиль означає, що треба усереднити білінійну форму у кубічному члені. Якщо простір-час однорідний, то усереднення просторових компонент кірального струму $$\ \langle \bar{\psi} \gamma_{\mu}\gamma_{5}\psi \rangle$$ дає нуль, у той час як усереднення часової компоненти $$\ \langle \bar{\psi}\gamma_{\mu}\gamma_{5}\psi \rangle$$ дає густину "кірального заряду" $$\ n_{ch} = n_{R} - n_{L}$$. Тоді маємо

$$\ \left( i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m + \frac{3}{8}\kappa n_{ch}\gamma^{0}\gamma_{5}\right)\psi = 0$$.

Виконавши перетворення Фур'є і записавши $$\ \psi = \begin{pmatrix} \varphi & \kappa \end{pmatrix}^{T}$$, для діраківського представлення гамма-матриць можна отримати

$$\ \left( \omega - m \right) \varphi -\left( (\sigma \cdot \mathbf p) - \frac{3}{8}\kappa n_{ch} \right) \kappa = 0, \quad -\left( \omega + m \right)\kappa - \left( (\sigma \cdot \mathbf p) + \frac{3}{8}\kappa n_{ch} \right) \varphi = 0$$.

у ці рівняння та врахувавши, що $$\ \gamma^{\mu}\sigma_{\alpha \beta}\gamma_{\mu} = 0, \gamma_{\mu}\gamma_{\alpha}\gamma^{\mu} = -2\gamma_{\alpha}$$, можна отримати для члену $$\ j^{\mu}_{5}j_{\mu 5}$$ лагранжіану рівність

$$\ j^{\mu}_{5}j_{\mu 5} = (\bar{\psi}\psi )^{2} + (\bar{\psi}\gamma_{5}\psi )^{2}$$.

Нехтуючи другим доданком, рівняння $$\ (13)-(14)$$ можна при нехтуванні символами Кристоффеля та у випадку нехтовно малих імпульсів можна записати як

$$\ (i \gamma_{0}\partial^{0} - m + \frac{3}{8}\kappa \bar{\psi}\psi )\psi = 0, \quad (i \gamma_{0}\partial^{0} - m - \frac{3}{8}\kappa \bar{\psi}^{c}\psi^{c} )\psi^{c} = 0 \qquad (16)$$.

Замінюючи вираз $$\ \bar{\psi}\psi $$ на $$\ n$$ і нехтуючи $$\ \bar{\psi}\gamma_{5}\psi $$ у порівнянні із $$\ \bar{\psi}\psi $$, можна отримати в $$\ (16)$$ (виконавши Фур'є-перетворення)

$$\ (\omega - m + \frac{3}{8}\kappa n )\psi = 0, \quad (\omega - m - \frac{3}{8}\kappa n)\psi^{c} = 0$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$