Процедура квантування теорії Дірака. Ферміони

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Квантування теорії Дірака
Аналогічно до квантування клейн-гордонівського поля, можна проквантувати діраківську теорію:

$$\ \hat {H} = \int \epsilon_{\mathbf p }\left( \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) - \hat {b}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p ) \right)d^{3}\mathbf p, \quad \hat {\mathbf P} = \int \mathbf p \left( \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) - \hat {b}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p )  \right)d^{3}\mathbf p, \quad \hat {Q} = \int \left( \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) + \hat {b}_{s}(\mathbf p )\hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\right)d^{3}\mathbf p$$.

Знову ж таки, використовується постулат про додатність повної енергії, а оператори $$\ \hat {b}_{s}(\mathbf p ), \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )$$ пов'язані із античастинками. Якщо використовувати комутаційні співвідношення, що були постульовані для випадків скалярного поля, то можна отримати результати, що протирічать постулату про додатність енергії. Дійсно, для

$$\ [\hat {b}_{s}(\mathbf p ), \hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf p' )] = \delta_{ss'}\delta (\mathbf p - \mathbf p '), \quad [\hat {b}_{s}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{s'}(\mathbf p' )] = 0, ...$$,

а також - із врахуванням тотожності

$$\ [\hat {A}\hat {B}, \hat {C}] = \hat {A}[\hat {B}, \hat {C}] + [\hat {A}, \hat {C}]\hat {B}$$,

можна отримати

$$\ [\hat {H_{\mathbf p}}, \hat {b}^{+}(\mathbf p ')] = -\epsilon_{\mathbf p }\hat {b}^{+}(\mathbf p )$$,

і тому, використовуючи це співвідношення, при дії комутатора на вектор-стан енергії можна отримати

$$\ (\hat {H}\hat {b}^{+}(\mathbf p ) - \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {H} )|E\rangle = (\hat {H} - E)\hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )| E\rangle = -\epsilon_{\mathbf p }\hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )|E \rangle \Rightarrow \hat {H}\hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p)| E \rangle = (E - \epsilon_{\mathbf p })| E \rangle$$.

Це означає, що при дії оператора $$\ \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )$$ на вектор енергії виникає античастинка, що містить від'ємну енергію.

Щоб енергія була завжди додатньо визначеною величиною, треба для даного випадку постулювати антикомутаційні співвідношення виду $$\ [\hat {a}_{s}(\mathbf p ), \hat {a}^{+}_{s'}(\mathbf k )]_{+} = \delta_{ss'}\delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {b}_{s}(\mathbf p ), \hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf k )]_{+} = \delta_{ss'}\delta (\mathbf p - \mathbf k ), \quad [\hat {a}_{s}(\mathbf p ), \hat {b}_{s'}(\mathbf p ' )]_{+} = [\hat {a}_{s}(\mathbf p ), \hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf p ' )]_{+} = [\hat {a}_{s}(\mathbf p ), \hat {a}_{s'}(\mathbf p ' )]_{+} = ... = 0$$.

Тоді (при використанні антикомутаційного співвідношення для $$\ \hat {b}_{s}(\mathbf p )\hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )$$) вирази для енергії, заряду та імпульсу перетворяться у вирази

$$\ \hat {H} = \int \epsilon_{\mathbf p }\left( \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) - \delta (0) + \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p )\right)d^{3}\mathbf p \tilde{=} \int \epsilon_{\mathbf p }\left( \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) + \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p )\right)d^{3}\mathbf p $$,

$$\ \hat {\mathbf P} \tilde {=} \int \mathbf p \left( \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) + \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p ) \right) d^{3}\mathbf p $$,

$$\ \hat {Q} \tilde {=} \int \left( \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) - \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p ) \right) d^{3}\mathbf p$$,

де нескінченний доданок (із дельта-функцією від нуля) можна відкинути через те, що система є вільною. Окрім того, можна постулювати існування нульового вакууму для поля (знову ж таки, це робиться через загальні фізичні міркування додатності енергії поля та комутацію операторів енергії та імпульсу).

Тепер оператор $$\ \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )$$ збільшує енергію поля і при цьому являється оператором народження (аналогічно, $$\ \hat {b}_{s}(\mathbf p)$$ - навпаки). Це можна перевірити, врахувавши антикомутаційні співвідношення та співвідношення

$$\ [\hat {A} \hat {B}, \hat {C}] = [\hat {A}, \hat {C}] \hat {B} + \hat {A} [\hat {B}, \hat {C}] = \hat {A}\hat {C} \hat {B} - \hat {C}\hat {A}\hat {B} + \hat {A}\hat {B}\hat {C} - \hat {A}\hat {C} \hat {B} = \hat {A}(\hat {B}\hat {C} + \hat {C}\hat {B}) - (\hat {A}\hat {C} + \hat {C} \hat {A})\hat {B} = \hat {A}[\hat {B}, \hat {C}]_{+} - [\hat {A}, \hat {C}]_{+}\hat {B}$$:

$$\ [\hat {H}, \hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf k) ] = \int \epsilon_{\mathbf p}[\hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p ), \hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf k)]d^{3}\mathbf p = \epsilon_{\mathbf k }\hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf k )$$,

і тоді, відповідно,

$$\ \hat {H}\hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf k )|E\rangle = (E + \epsilon_{\mathbf k})|E\rangle $$.

Якщо народжується частинка, то заряд збільшується на одиницю. Дійсно,

$$\ \hat {Q}| E_{\mathbf k }\rangle = \int \hat {a}^{+}_{s'}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p )\hat {a}^{+}_{s'}(\mathbf k )d^{3}\mathbf p |\rangle = +| E_{\mathbf k }\rangle $$.

Якщо ж народжується античастинка, то заряд зменшується на одиницю:

$$\ \hat {Q}| E_{\mathbf k }\rangle = -\int \hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p )\hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf k )d^{3}\mathbf p |\rangle = -| E_{\mathbf k }\rangle $$.

Оператор же числа частинок варто визначати так, щоб оператор $$\ \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )$$ не змінив свою роль. Таким оператором може бути

$$\ \hat {N} = \int \left( \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {a}_{s}(\mathbf p ) + \hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )\hat {b}_{s}(\mathbf p ) \right) d^{3}\mathbf p$$.

Через антикомутаційні співвідношення двочастинковий стан тепер не буде симетричним відносно перестановок частинок. Дійсно,

$$\ \hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p )| \rangle = | \mathbf p \rangle, \quad \hat {b}_{s'}^{+}(\mathbf k )\hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p )| \rangle = -\hat {b}^{+}_{s}(\mathbf p)\hat {b}^{+}_{s'}(\mathbf k )| \rangle $$,

що відповідає антисиметрії векторів стану. Відповідна статистика називається статистикою Фермі-Дірака.

Антикомутаційні співвідношення для операторів біспінорних функцій
Маючи антикомутаційні співвідношення для операторів амплітуд, можна також отримати антикомутаційні співвідношення для поля та спряженого до нього: для

$$\ \hat {\Psi }(\mathbf x, t) = \int \left( \hat {a}_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}A_{s, \mathbf p } + \hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p)e^{ipx}B_{s , \mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\Psi}^{+}(\mathbf y , t ) = \int \left( \hat {a}_{s}^{+}(\mathbf k)e^{iky}A_{s, \mathbf k } + \hat {b}_{s}(\mathbf k)e^{-iky}B_{s , \mathbf k}^{+} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf k}}}$$,

а також - із врахуванням виразів для сум по поляризаціям, можна отримати

$$\ [\hat {\Psi }(\mathbf x, t), \hat {\Psi }^{+}(\mathbf y, t)]_{+} = \int \int \left( e^{-ipx + iky}[\hat {a}_{s}(\mathbf p ), \hat {a}_{s}^{+}(\mathbf k )]_{+}A_{s, \mathbf p }A_{s, \mathbf k}^{+} + e^{ipx - iky}[\hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p ), \hat {b}_{s}(\mathbf k)]_{+}B_{s, \mathbf p }B_{s, \mathbf k }^{+}\right)\frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{2(2 \pi )^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf k }\epsilon_{\mathbf p}}} = |B^{+}_{s, \mathbf p} = \bar {B}_{s, \mathbf p}\gamma_{0}| = $$

$$\ = \int \left( e^{ip(x - y)}(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m) + e^{ip(y - x)}(\gamma^{\mu}p_{\mu} - m)\right)\frac{d^{3}\mathbf p }{(2 \pi )^{3}2 \epsilon_{\mathbf p }}\gamma_{0} = $$

$$\ = \int \left( e^{-i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y ))}(\gamma_{0}\epsilon_{\mathbf p} - (\gamma \cdot \mathbf p) + m) + e^{-i(\mathbf p \cdot (\mathbf y - \mathbf x ))}(\gamma_{0}\epsilon_{\mathbf p} - (\gamma \cdot \mathbf p ) - m)\right)\frac{d^{3}\mathbf p }{(2 \pi )^{3}2 \epsilon_{\mathbf p }}\gamma_{0}$$.

У другому доданку виразу можна зробити заміну $$\ \mathbf p \to -\mathbf p $$. В результаті,

$$\ [\hat {\Psi }(\mathbf x, t), \hat {\Psi }^{+}(\mathbf y, t)]_{+} = \int \frac{e^{i((\mathbf x - \mathbf y ) \cdot \mathbf p )}d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}} = \delta^{3}(\mathbf x - \mathbf y)$$.

Аналогічно,

$$\ [\hat {\Psi }^{+}(\mathbf x, t), \hat {\Psi }^{+}(\mathbf y, t)]_{+} = [\hat {\Psi }(\mathbf x , t), \hat {\Psi }(\mathbf y, t)]_{+} = 0$$.

Перестановочні співвідношення для довільних моментів часу
Антикомутатори для ферміонів,

$$\ \hat {\Psi }(\mathbf x, t) = \int \left( \hat {a}_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}A_{s, \mathbf p } + \hat {b}_{s}^{+}(\mathbf p)e^{ipx}B_{s , -\mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p}}}, \quad \hat {\bar {\Psi} }(\mathbf x , t) = \int \left( \hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p)e^{ipx}\bar {A}_{s, \mathbf p } + \hat {b}_{s}(\mathbf p)e^{-ipx}\bar {B}_{s , -\mathbf p} \right)\frac{d^{3}\mathbf p}{\sqrt{2(2 \pi )^{3}\epsilon_{\mathbf p}}}$$,

буде значно складніше зводити до функції типу $$\ D_{0}$$ (на відміну від скалярного випадку). Спочатку варто нагадати про вираз для суми по поляризаціям для хвиль $$\ A_{s, \mathbf p}, B_{s, \mathbf p}$$:

$$\ \sum_{s}A_{s, \mathbf p} \bar {A}_{s, \mathbf p} = \gamma^{\mu}p_{\mu} + m, \quad \sum_{s}B_{s, \mathbf p} \bar {B}_{s, \mathbf p} = \gamma^{\mu}p_{\mu} - m$$.

Антикомутатори $$\ [\Psi_{i}(\mathbf x, t), \Psi_{j}(\mathbf y , t')]_{+}, [\Psi^{+}_{i}(\mathbf x , t), \Psi^{+}_{j}(\mathbf y , t')]_{+}$$ одразу рівні нулю через ту просту причину, що операторам народження немає відповідних операторів знищення.

Вираз же $$\ [\Psi (\mathbf x, t), \bar {\Psi} (\mathbf y , t')]_{+}$$ можна записати як

$$\ [\Psi (\mathbf x, t), \bar {\Psi}(\mathbf y , t')]_{+} = \left[\int \int \frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{2(2 \pi )^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} \epsilon_{\mathbf k}}}\left( \hat {a}_{f}(\mathbf k)e^{-ikx}A_{f, \mathbf k }\hat {a}^{+}_{s}(\mathbf p)e^{ipy}\bar {A}_{s, \mathbf p } + \hat {b}^{+}_{f}(\mathbf k )e^{ikx} B_{f, \mathbf k }\hat {b}_{s}(\mathbf p)e^{-ipy}\bar {B}_{s, \mathbf p }\right) \right]_{+} = $$

$$\ = \int \int \frac{d^{3}\mathbf p d^{3}\mathbf k}{2(2 \pi )^{3}\sqrt{\epsilon_{\mathbf p} \epsilon_{\mathbf k}}}\left( e^{-i(kx - py)}A_{f, \mathbf k }\bar {A}_{s, \mathbf p }\delta_{fs}\delta (\mathbf p -\mathbf k ) + e^{i(kx - py)}B_{f, \mathbf k }\bar {B}_{s, \mathbf p }\delta_{fs}\delta (\mathbf p -\mathbf k )\right) = $$

$$\ = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2 \epsilon_{\mathbf p}}\left( e^{-i\epsilon_{\mathbf p} (t - t') + i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y ))}(\gamma^{\mu}p_{\mu} + m) + e^{i\epsilon_{\mathbf p}(t - t') -i(\mathbf p \cdot (\mathbf x - \mathbf y ))}(\gamma^{\mu}p_{\mu} - m)\right) $$.

Тепер треба виконати деякі перетворення, щоб отримати під знаком інтегралу функція, яка б нагадувала $$\ D_{0}$$.

По-перше, у виразі при

$$\ e^{i\epsilon_{\mathbf p}\tau -i(\mathbf p \cdot \mathbf r)}, \quad \tau = t - t', \quad \mathbf r = \mathbf x - \mathbf y$$

можна зробити заміну $$\ \mathbf p \to -\mathbf p$$. Це змінить згортку $$\ \gamma^{\mu}p_{\mu} = \gamma_{0}\epsilon_{\mathbf p} - (\gamma \cdot \mathbf p )$$ на $$\ \gamma_{0}\epsilon_{\mathbf p} + (\gamma \cdot \mathbf p )$$, а експонента зміниться на $$\ e^{i\epsilon_{\mathbf p}\tau + i(\mathbf p \cdot \mathbf r)}$$.

По-друге,

$$\ \gamma_{0}\epsilon_{\mathbf p}e^{\pm i \epsilon_{\mathbf p}\tau } = \mp i\gamma_{0}\partial_{0}e^{\pm i \epsilon_{\mathbf p}}, \quad \partial_{0} = \partial_{\tau}$$,

$$\ (\gamma \cdot \mathbf {p})e^{i(\mathbf p \cdot \mathbf r)} = -i(\gamma \cdot {\nabla} )e^{i(\mathbf p \cdot \mathbf r)}$$.

Тому вираз для антикомутатора, нарешті, можна буде записати як

$$\ [\Psi (\mathbf x, t), \bar {\Psi}(\mathbf y , t')]_{+} = \int \frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}2 \epsilon_{\mathbf p}}\left( (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m)e^{-i\epsilon_{\mathbf p} \tau + i(\mathbf p \cdot \mathbf r)} - (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m)e^{i\epsilon_{\mathbf p}\tau +i(\mathbf p \cdot \mathbf r)}\right) = -i(i \gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m )\int e^{i(\mathbf p \cdot \mathbf r )}\frac{sin(\epsilon_{\mathbf p}\tau )}{\epsilon_{\mathbf p}}\frac{d^{3}\mathbf p}{(2 \pi)^{3}} = $$

$$\ = -i(i \gamma^{\mu}\partial_{\mu} + m ) D_{0}(x - x')$$.

Фізичний зміст вторинного квантування теорії Дірака
У розділі про поле спіну нуль розглядалося вторинне квантування розв'язку рівняння Клейна-Гордона. У цьому розділі був проквантований розв'язок рівняння Дірака. Незважаючи на те, що формально процедури квантування нібито є однотипними (за виключенням накладання різних перестановочних співвідношень на оператори), вони мають різний фізичний зміст, суть чого полягає у тому, що клейн-гордонівська функція відповідає полю, а діраківська функція - ні. Дійсно, розв'язок для клейн-гордонівської функції через перетворення Фур'є відповідає розкладу по невзаємодіючим гармонічним осциляторам, аналогічно із розкладом для електромагнітного поля. Далі, відсутнє трактування виразу $$\ \hat {j}_{0}$$ як густини ймовірності знаходження частинки у даній точці простору, оскільки цей вираз є суттєво знакозмінним. До речі, повністю аналогічні слова можна буде сказати про поля довільного цілого спіну. Діраківська функція (або її похідні) же не може відповідати полю як спостережуваній величині, оскільки вона перетворюється за незвідним представленням $$\ \left( \frac{1}{2}, 0\right) + \left(0, \frac{1}{2} \right)$$, а отже, змінює знак при повороті на $$\ 2 \pi $$.

При переході атома у із одного стаціонарного стану в інший він поглинає чи випромінює фотон. При такій ситуації вторинне квантування електромагнітного поля виглядає природнім. Проте немає формальної причини квантувати таким же чином діраківську теорію, оскільки за інерцією інтуїтивно здається, що кількість частинок у теорії (навіть зі взаємодією) є інваріантною. Проте це не є так. Історично до цього прийшли наступним чином.

Дірак, бачачи, що у теорії є розв'язки, що відповідають від'ємним енергіям (заряд при цьому не змінюється у порівнянні з додатніми розв'язками, які відповідають електронам), припустив, що всі стани із від'ємними енергіями у вакуумі заповнені електронами, тому переходи на стани з такими енергіями з додатніх станів неможливі в силу принципу Паулі. Проте якщо у вакуумі є вільний стан з від'ємною енергією $$\ -|E|$$, вільний електрон з додатньою енергією $$\ |E|$$ може зайняти цей стан, випромінивши енергію $$\ 2|E|$$. При цьому заряд стане рівним нулю. Таким чином, "дірка" у вакуумі може інтерпретуватися як частинка із додатнім зарядом і додатньою енергією, із якою електрон може провзаємодіяти з вивільненням енергії, що рівна сумі енергії його та "дірки". Це повністю еквівалентно ідеї вторинного квантування. Зайняті вакуумні стани дають інтегральні доданки з нескінченною дельта-функцією у виразах для енергії, імпульсу та заряду, нижче нульового рівня опуститися не можна, заряд позитрона протилежний до енергії електрона.

Формальний розвиток такої якісної ідеї відображається у теорії збурень, про яку буде йтися у наступних розділах.