Дискретні перетворення групи Пуанкаре

Повернутися до розділу "Група Пуанкаре".

У статті про повну групу Лоренца було розглянуто, що вона розпадається на компоненти зв'язності, що пов'язані один із одним через дискретні перетворення - просторову та часову інверсії. У цьому розділі буде досліджуватися дія відповідних операторів на стани, що перетворюються за незвідними представленнями групи Пуанкаре, та встановлені комутаційні співвідношення із генераторами групи.

Отже, нехай є перетворення $$\ U(\Lambda, 0)U(\Lambda_{1}, a)U^{-1}(\Lambda , 0)$$. Оскільки із правила непрямого добутку для групи Пуанкаре слідує, що $$\ (\Lambda_{1}, a_{1})(\Lambda_{2}, a_{2}) = (\Lambda_{1}\Lambda_{2}, \Lambda_{1}a_{2} + a_{1})$$, тому

$$\ U(\Lambda, 0)U(\Lambda_{1}, a)U^{-1}(\Lambda , 0) = \pm U(\Lambda \Lambda_{1}\Lambda^{-1}, \Lambda a) \qquad (1)$$.

Нехай розглядаються розглядаються невласні перетворення просторової та часової інверсій, тобто, $$\ U(P, 0) = U_{P}, \quad U(T, 0) = U_{T}$$. Тоді з $$\ (1)$$ маємо

$$\ U_{P}U(\Lambda_{1}, a)U_{P}^{-1} = \pm U(\Lambda_{P} \Lambda_{1}\Lambda_{P}^{-1}, \Lambda_{P} a), \quad U_{T}U(\Lambda_{1}, a)U_{T}^{-1} = \pm U(\Lambda_{T} \Lambda_{1}\Lambda_{T}^{-1}, \Lambda_{T} a) \qquad (2)$$.

Розкладемо $$\ (2)$$ у околі малих параметрів перетворення $$\ a, \omega^{\mu \nu}$$ (тут A відповідає або Р, або Т):

$$\ U_{A}U(\Lambda_{1}, a)U_{A}^{-1} = U_{A}(1 + ia^{\mu}\hat{P}_{\mu} + \frac{i}{2}\omega_{\mu \nu}\hat{J}^{\mu \nu} + ...)U_{A}^{-1} = 1 +a_{\mu}\hat{U}_{A}(i\hat{P}^{\mu})U_{A}^{-1} + \frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}U_{A}(i\hat{J}_{\mu \nu})U_{A}^{-1} =_{right} 1 + i a^{\mu}A_{\mu}^{\ \nu}\hat{P}_{\nu} + \frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}A_{\mu}^{\ \alpha}A_{\nu}^{\ \beta}\hat{J}_{\alpha \beta}$$.

Звідси слідує, що

$$\ U_{A}(i\hat{P}^{\mu})U_{A}^{-1} = iA_{\mu}^{\ \nu}\hat{P}_{\nu}, \quad U_{A}(i\hat{J}_{\mu \nu})U_{A}^{-1} = iA_{\mu}^{\ \alpha}A_{\nu}^{\ \beta}\hat{J}_{\alpha \beta} \qquad (3)$$,

де враховано, що оператори $$\ T, P$$ можуть бути як лінійними, так і антилінійними, і

$$\ T_{\mu}^{\ \nu} = diag(-1, 1, 1, 1), \quad P_{\mu}^{\ \nu} = diag(1, -1, -1, -1)$$.

Виявляється, що фізична умова обмеженості енергії знизу однозначно фіксує вибір цих операторів як лінійних чи антилінійних. Запишемо $$\ (3)$$ для компоненти $$\ \hat{P}^{0}$$, що відповідає енергії:

$$\ U_{T}(i\hat{P}^{0})U_{T}^{-1} = -iP^{0}, \quad U_{P}(i\hat{P}_{0})U_{P}^{-1} = i\hat{P}_{0}$$.

Звідси слідує, що оператор часової інверсії являється антилінійним, а оператор просторової інверсії - лінійним, оскільки інакше спектр не буде обмежений знизу. Отже, $$\ (3)$$ набуде вигляду

$$\ U_{P}\hat{P}^{\mu}U_{P}^{-1} = P_{\mu}^{\ \nu}\hat{P}_{\nu}, \quad U_{P}\hat{J}_{\mu \nu}U_{P}^{-1} = P_{\mu}^{\ \alpha}P_{\nu}^{\ \beta}\hat{J}_{\alpha \beta}, \quad U_{T}\hat{P}^{\mu}U_{P}^{-1} = -T_{\mu}^{\ \nu}\hat{P}_{\nu}, \quad U_{T}\hat{J}_{\mu \nu}U_{T}^{-1} = -T_{\mu}^{\ \alpha}T_{\nu}^{\ \beta}\hat{J}_{\alpha \beta}$$.

Для генераторів у явному вигляді це можна переписати як

$$\ U_{P}\hat{J}_{i}U_{P}^{-1} = \hat{J}_{i}, \quad U_{P}\hat{K}_{i}U_{P}^{-1} = -\hat{K}_{i}, \quad U_{P}\hat{P}_{i}U_{P}^{-1} = -\hat{P}_{i}, \quad U_{P}\hat{P}_{0}U_{P}^{-1} = \hat{P}_{0}$$,

$$\ U_{T}\hat{J}_{i}U_{T}^{-1} = -\hat{J}_{i}, \quad U_{T}\hat{K}_{i}U_{T}^{-1} = \hat{K}_{i}, \quad U_{T}\hat{P}_{i}U_{T}^{-1} = -\hat{P}_{i}, \quad U_{T}\hat{P}_{0}U_{T}^{-1} = \hat{P}_{0}$$.

З перших двох виразів слідує, що для представлення групи Лоренца $$\ SO(3, 1)$$, де одне представлення $$\ SU(2)$$ є комплексно спряженим до іншого, одна група $$\ SU(2)$$ пов'язана із іншою через операцію просторової інверсії (нагадаю, ці дві групи даються операторами $$\ \hat{A}_{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{R}_{i} + i\hat{K}_{i}), \quad \hat{B}_{i} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{R}_{i} - i\hat{K}_{i})$$). У розділі про спінорні представлення групи Лоренца це твердження знайде застосування для побудови інваріантних відносно дискретних симетрій представлень (там же буде показано, що оператор часової інверсії також пов'язує ці дві групи).

Тепер можна дослідити дію операторів інверсії на стани групи Пуанкаре, що перетворюються за незвідним представленням.

Масивні стани
Масивні стани групи Пуанкаре визначаються (нагадаю, що $$\ k = (m, 0, 0, 0)$$) як

$$\ \hat{P}_{0}| k, \sigma \rangle = m| k, \sigma \rangle, \quad \hat{P}_{i}| k, \sigma \rangle = 0, \quad \hat{J}_{3}| k, \sigma \rangle = \sigma | k , \sigma\rangle, \quad \sigma = -s, ..., s$$.

Подіємо на ці співвідношення $$\ U_{P}, U_{T}$$:

$$\ U_{P}\hat{P}_{0}| k, \sigma \rangle = U_{P}\hat{P}_{0}U_{P}^{-1}U_{P}| k, \sigma \rangle = \hat{P}_{0}U_{P}| k, \sigma \rangle =_{right} mU_{P}| k, \sigma\rangle, \quad \hat{P}_{i}U_{P}| k, \sigma \rangle = 0, \quad \hat{J}_{3}U_{P}\sigma | k , \sigma\rangle = \sigma U_{P}\sigma | k , \sigma\rangle$$,

$$\ \hat{P}_{0}U_{T}| k, \sigma \rangle = mU_{T}| k, \sigma\rangle, \quad \hat{P}_{i}U_{T}| k, \sigma \rangle = 0, \quad \hat{J}_{3}U_{T}\sigma | k , \sigma\rangle = -\sigma U_{P}\sigma | k , \sigma\rangle \qquad (4)$$.

Оскільки із експерименту відомо, що стани вільних масивних частинок не характеризуються ніякими іншими квантовими числами, окрім як проекціями 4-імпульсу та спіну, можна стверджувати, що стани $$\ |k, \sigma \rangle , U_{P, T}| k , \sigma \rangle$$ можуть відрізнятися лише фазовим множником:

$$\ U_{P}| k, \sigma \rangle = \eta^{\sigma}_{P}| k, \sigma \rangle , \quad |\eta^{\sigma}_{P} | = 1 $$.

Із вигляду же $$\ (4)$$ слідує, що $$\ U_{T}| k, \sigma \rangle = \eta^{\sigma}_{T}| k, -\sigma\rangle , \quad |\eta^{\sigma}_{T} | = 1$$.

Визначимо тепер зміст цих фазових множників. По-перше, нескладно побачити, що $$\ \eta^{\sigma}_{P}$$ не залежить від $$\ \sigma $$. Дійсно, діючи оператором $$\ U_{P}$$ на ліву та праву частини співвідношення

$$\ (\hat{J}_{1} \pm i\hat{J}_{2})| k, \sigma \rangle = \sqrt{(s \mp \sigma )(s \pm \sigma + 1)}| k, \sigma \pm 1\rangle$$,

можна отримати, що $$\ \eta^{\sigma}_{P} = \eta^{\sigma + 1}_{P}$$.

Аналогічно, діючи на вказане співвідношення оператором $$\ U_{T}$$, отримуємо

$$\ i (\hat{J}_{1} \mp i\hat{J}_{2})\eta^{\sigma}_{T}| k, -\sigma \rangle = -\eta^{\sigma}_{T} \sqrt{(s \mp \sigma )(s \pm \sigma + 1)}| k, -\sigma \rangle = \sqrt{(s \mp \sigma )(s \pm \sigma + 1)}\eta^{\sigma + 1}_{T}| k, -\sigma \mp 1\rangle$$,

звідки $$\ \eta^{\sigma}_{T} = -\eta^{\sigma \pm 1}_{T} $$, і, остаточно,

$$\ U_{T}| k, \sigma \rangle = \eta (-1)^{s - \sigma}| k, -\sigma\rangle , \quad |\eta| = 1$$.

Множник $$\ \eta $$ не є суттєвим, оскільки його можна позбутися перевизначенням стану:

$$\ | k, \sigma \rangle {'} = \sqrt{\eta }| k, \sigma \rangle \Rightarrow U_{T}| k, \sigma \rangle {'} = U_{T}\left( \sqrt{\eta }| k, \sigma \rangle\right) = \sqrt{\eta^{*}}\eta (-1)^{s - \sigma} | k, \sigma \rangle = \sqrt{\eta }(-1)^{s - \sigma}| k, \sigma \rangle = (-1)^{s - \sigma}| k, \sigma \rangle {'}$$.

Проте фазового множника $$\ \eta_{P}$$ позбутися так не вдається, оскільки $$\ U_{P}$$ являється лінійним оператором. Цей множник називається внутрішньою парністю.

У випадку із ненульовим 3-імпульсом отримані рівності модифікуються, очевидно (знову ж таки, це слідує із дії генераторів групи Пуанкаре на одночастинкові стани), як

$$\ U_{P}| \mathbf p, \sigma \rangle = \eta_{P}|-\mathbf p ,\sigma \rangle , \quad U_{T}|\mathbf p , \sigma \rangle = (-1)^{s - \sigma}| -\mathbf p , -\sigma \rangle$$.

$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Безмасові стани
Безмасові представлення характеризуються

$$\ \hat{W}_{\mu}| k, \lambda \rangle = \lambda \hat{P}_{\mu} | k, \lambda \rangle = \lambda k_{\mu}| k, \lambda\rangle$$.

Проте по відношенню до просторових і часових інверсій вектори $$\ \hat{W}_{\mu}, \hat{P}_{\mu}$$ перетворюються по-різному. Дійсно,

$$\ U_{P}\hat{W}_{\mu}U_{P}^{-1} = \frac{1}{2}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}U_{P}\hat{J}^{\nu \alpha}U_{P}^{-1}U_{P}\hat{P}^{\beta}U_{P}^{-1} = \frac{1}{2}\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}P^{\nu}_{\ \epsilon}P^{\alpha}_{\ \gamma}P^{\beta}_{\ \kappa}\hat{J}^{\epsilon \gamma }\hat{P}^{\kappa} = \frac{1}{2}det (P)P^{\rho }_{\mu}\varepsilon_{\rho \nu \alpha \beta}\hat{J}^{\nu \alpha}\hat{P}^{\beta} = -P_{\mu}^{\ \nu}\hat{W}_{\nu}$$,

$$\ U_{T}\hat{W}_{\mu}U_{T}^{-1} = -T_{\mu}^{\ \nu}\hat{W}_{\nu}$$,

але при цьому

$$\ U_{P}\hat{P}_{\mu}U_{P}^{-1} = P_{\mu}^{\ \nu}\hat{P}_{\nu}, \quad U_{T}\hat{P}_{\mu}U_{T}^{-1} = -T_{\mu}^{\ \nu}\hat{P}_{\nu}$$.

Звідси

$$\ \hat{W}_{\mu} (U_{P}| k, \lambda \rangle ) = -\lambda P_{\mu}^{\ \nu}\hat{P}_{\nu}U_{P}| k, \lambda \rangle , \quad \hat{W}_{\mu} (U_{P}| k, \lambda \rangle ) = -\lambda T_{\mu}^{\ \nu}\hat{P}_{\nu}U_{T}| k , \lambda \rangle = \lambda P_{\mu}^{\ \nu}\hat{P}_{\nu}U_{T} | k, \lambda\rangle$$.

По аналогії із міркуваннями для масивних частинок,

$$\ U_{P}| k, \lambda \rangle \sim | Pk , -\lambda \rangle , \quad U_{T}| k , \lambda \rangle \sim | Tk , \lambda \rangle$$.

Звідси слідує, що просторова інверсія переводить стан із спіральністю $$\ \lambda $$ у стан із спіральністю $$\ -\lambda $$. Таким чином, якщо ми маємо теорію безмасових частинок даної спіральності $$\ |\lambda |$$, що інваріантна відносно просторової інверсії, то для описання стану частинок треба брати пряму суму представлень із спіральностями $$\ \lambda, -\lambda $$. Ця ідея буде використана при побудові незвідних спінорних представлень групи Лоренца, а також - при побудові релятивістських хвильнових рівнянь для масивних полів напівцілого спіну і рівнянь для безмасових полів.