Алгебра матриць Дірака

Повернутися до розділу "Спін 1/2".

Основні властивості гамма-матриць
У розділі про біспінорні представлення були введені матриці

$$\ \gamma^{\mu} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{\mu} \\ \tilde {\sigma}_{\mu} & 0 \end{pmatrix}, \quad \Eta_{\mu \nu} = \frac{1}{4}\left( \gamma_{\mu}\gamma_{\nu} - \gamma_{\nu }\gamma_{\mu} \right) = \begin{pmatrix} \sigma_{\mu \nu} & 0 \\ 0 & \tilde {\sigma }_{\mu \nu} \end{pmatrix} $$.

Перші з них у явному вигляді використовуються у рівнянні Дірака,

$$\ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = 0 \qquad (.8)$$,

а друга відповідає інфінітезимальному перетворенню біспінора через генератори групи Лоренца,

$$\ \delta \Psi = \frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}\Eta_{\mu \nu}\Psi, \quad J_{\mu \nu} = -i\Eta_{\mu \nu} \qquad (.9)$$.

Можна встановити деякі властивості цих матриць.

По-перше, можна визначити комутаційні властивості $$\ \gamma$$-матриць. Якщо взяти їх антикомутатор, то можна отримати

$$\ \gamma^{\mu}\gamma^{\nu} + \gamma^{\nu}\gamma^{\mu} = \begin{pmatrix} \sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu} + \sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu} & 0 \\ 0 & \sigma^{\mu}\tilde {\sigma}^{\nu} + \sigma^{\nu}\tilde {\sigma}^{\mu} \end{pmatrix} = 2g^{\mu \nu}\hat {\mathbf E} \qquad (.10)$$

(це дозволяє переписати вираз для $$\ H_{\mu \nu}$$ як $$\ H_{\mu \nu} = \frac{1}{2}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu} - g_{\mu \nu})$$).

Рівняння Дірака та ці комутаційні співвідношення дозволяють зробити висновок про неоднозначність введених матриць: співвідношення $$\ (.8)-(.10)$$ не змінюються за формою при введенні унітарних (для збереження інваріантності норми $$\ \int \Psi^{+} \Psi d^{3}\mathbf r $$) перетворень

$$\ \gamma^{\mu} \to \gamma^{\mu}{'} = U\gamma^{\mu}U^{-1}, \quad \Psi \to \Psi {'} = U\Psi$$.

Дійсно,

$$\ \gamma^{\mu}{'}\gamma^{\nu}{'} + \gamma^{\nu}{'}\gamma^{\mu}{'} = U (\gamma^{\mu}\gamma^{\nu} + \gamma^{\nu}\gamma^{\mu})U^{-1} = 2Ug^{\mu \nu}U^{-1} = 2g^{\mu \nu}$$,

$$\ (i\gamma^{\mu}\partial_{\mu} - m)\Psi = (iU^{-1}\gamma^{\mu}{'}U\partial_{\mu} - m)U^{-1}\Psi {'} = 0 \Rightarrow U(iU^{-1}\gamma^{\mu}{'}U\partial_{\mu} - m)U^{-1}\Psi {'} = (i\gamma^{\mu}{'}\partial_{\mu} - m)\Psi {'} = 0$$.

Матричний базис на просторі рівняння Дірака
Матричний простір рівняння Дірака відповідає матрицям 4*4. Відповідно, вони мають 16 незалежних компонент, а тому треба задати 16 матриць, які є базисом у цому просторі. Такими матрицями є

$$\ \hat {\mathbf E}, \quad \gamma^{\mu}, \quad \Eta^{\mu \nu}, \quad \gamma^{5} = \frac{i}{4!}\varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta}\gamma^{\alpha}\gamma^{\beta}\gamma^{\gamma}\gamma^{\delta} = i\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}, \quad \alpha^{\mu} = \gamma^{\mu}\gamma^{5}$$.

Це можна довести наступним шляхом.

Видно, що кожна з матриць, крім $$\ \hat {\mathbf E}$$, є безслідовою. Це можна використати для визначення лінійної залежності матриць. Лінійна залежність, як слідує з курсу лінійної алгебри, слідує із співвідношення

$$\ a\mathbf {E} + b_{\mu}\gamma^{\mu} + \omega_{\mu \nu}\Eta^{\mu \nu} + \delta_{\mu}\alpha^{\mu} + g\gamma^{5} = 0$$.

Взявши слід від матриць зліва, можна отримати, в силу безслідовості всіх матриць, крім одиничної,

$$\ 4a = 0 \Rightarrow a = 0$$.

Вирази можна домножити на $$\ \gamma^{\alpha}$$. Тоді серед матриць зліва пропорційними одиничній буде тільки матриця, яка перед домноженням відповідала $$\ a_{\alpha}\gamma^{\alpha }$$ (суми немає; пропорційність слідує з виразу для антикомутатора). В усіх інших випадках буде добуток гамма-матриць, який має нульовий слід, що перевіряється аналогічно доведенню безслідовості. Взявши слід від початкової рівності, домноженої на $$\ \gamma^{\alpha}$$, можна отримати

$$\ 4b_{\alpha} = 0 \Rightarrow b_{\alpha} = 0$$.

Аналогічно можна довести рівність нулю інших коефіцієнтів при інших матрицях, визначаючи слід від добутку матриці відповідного роду на початкову рівність.

А рівність нулю всіх коефіцієнтів виразу на лінійну залежність означає, що матриці є лінійно незалежними.

Деякі другорядні властивості
Нижче наведені деякі "маленькі" властивості матриць базису:

1. $$\ (\gamma^{\mu})^{+} = \gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0}$$ незалежно від базису.

Дійсно, у "нативному" спінорному представленні гамма-матриць рівність перевіряється "в лоб", а вірність для довільного представлення, пов'язаного зі старим через $$\ \gamma^{\mu} {'} = \hat {U}^{+}\gamma^{\mu}\hat {U}$$, слідує із

$$\ (\gamma^{\mu})^{+} \to (\hat {U}^{+} \gamma^{\mu} \hat {U})^{+} = \hat {U}^{+} (\gamma^{\mu})^{+}\hat {U} = \hat {U}^{+} \gamma_{0}\gamma^{\mu}\gamma_{0}\hat {U} = \hat {U}^{+}\gamma_{0} \hat {U} \hat {U}^{+} \gamma^{\mu}\hat {U} \hat {U}^{+}\gamma^{0}\hat {U} = \tilde {\gamma}^{0}\tilde {\gamma}^{\mu}\tilde {\gamma}^{0}$$.

Тоді просто показати, що $$\ \Eta_{\mu \nu}^{+} \neq -\Eta_{\mu \nu}$$: дійсно, якщо для просторових компонент

$$\ \Eta_{\mu \nu}^{+} = \frac{1}{4}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu} - \gamma_{\nu} \gamma_{\mu})^{+} = -\frac{1}{4}(\gamma_{0}\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{0} - \gamma_{0}\gamma_{\nu}\gamma_{\mu}\gamma_{0} ) = -\Eta_{\mu \nu}$$,

де у останній рівності враховано, що $$\ \gamma_{0}\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{0} = 2g_{\mu 0} - 2g_{\nu 0} + \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}$$,

то для часових

$$\ \Eta_{0\nu}^{+} = \frac{1}{4}(\gamma_{\nu}^{+}\gamma_{0} - \gamma_{0}\gamma_{\nu}^{+}) = \frac{1}{4}(\gamma_{0}\gamma_{\nu} - \gamma_{\nu}\gamma_{0}) = \Eta_{0 \nu}$$.

2. Для всіх представлень, які пов'язані зі спінорним ортогональною (а не просто унітарною) матрицею $$\ \hat {U}^{T} = \hat {U}$$, виконується

$$\ (\gamma^{0})^{T} = \gamma^{0}, \quad (\gamma^{i})^{T} = -\gamma^{i}, i \neq 2, \quad (\gamma^{2})^{T} = \gamma^{2}$$.

Дійсно, у спінорному базисі рівність перевіряється прямо, а для довільного перетворення із ортогональною матрицею

$$\ (\gamma^{\mu}{'})^{T} = \hat {U}^{T} (\gamma^{\mu})^{T}(\hat {U}^{T})^{+} = |\hat {U} = \hat {U}^{T}| = \hat {U}^{+} (\gamma^{\mu})^{T} \hat {U}$$,

тобто властивості симетрії не змінюються.

Альтернативно ці рівності можна записати як

$$\ \hat{C} \gamma_{\mu}\hat{C}^{-1} = -\gamma_{\mu}^{T}, \quad \hat{C} = \gamma_{2}\gamma_{0}$$.

3. Для усіх представлень, пов'язаних із спінорним ортогональним перетворенням, справедливі рівності $$\ (\gamma^{\mu})^{T} = \gamma^{2}\gamma_{\mu} \gamma^{2}, \quad \gamma_{\mu} = g_{\mu \nu}\gamma^{\nu} = (\gamma^{0}, -\gamma )$$.

У спінорному базисі рівність перевіряється прямою підстановкою, справедливість в інших базисах слідує із збереження властивості симетрії $$\ \gamma^{\mu}$$ матрицею $$\ \gamma^{2}\gamma_{\mu}\gamma^{2}$$. Звідси для матриць $$\ \alpha_{i}$$ справедлива рівність $$\ (\alpha^{i})^{T} = (\gamma^{i})^{T}\gamma^{0} = -\gamma^{2}\gamma^{i}\gamma^{2}\gamma^{0} = -\gamma^{2}\alpha^{i}\gamma^{2}$$, де двічі були використані антикомутаційні співвідношення для гамма-матриць.

Наслідком цих рівностей та рівності 1 є те, що $$\ (\gamma^{\mu})^{*} = \gamma^{2}\gamma^{\mu}\gamma^{2}$$

4. $$\ \gamma^{5}\gamma^{\mu} + \gamma^{\mu}\gamma^{5} = 2g^{\nu 5}, \quad g^{\nu 5} = diag(0, 0, 0, 0, 1)$$.

Перевіряється для для $$\ \gamma^{5} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ прямим множенням.

5. $$\ \alpha^{i} \alpha^{j} + \alpha^{j}\alpha^{i} = 2\delta^{ij}$$.

Перевіряється для $$\ \alpha^{i} = \begin{pmatrix} -\sigma^{i} & 0 \\ 0 & \sigma^{i} \end{pmatrix}$$ прямою підстановкою. Звісно, властивості 4 та 5 не залежать від базису.

6. $$\ \gamma^{5}\alpha = \alpha \gamma^{5}, \quad \beta \gamma^{5} = -\gamma^{5}\beta, \quad \beta \alpha = -\alpha \beta$$.

Використовуючи співвідношення для гамма-матриць і властивість 4, можна отримати

$$\ \gamma^{5}\alpha^{i} = \gamma^{5}\gamma^{0}\gamma^{i} = -\gamma^{0}\gamma^{5}\gamma^{i} = \alpha^{i} \gamma^{5}$$,

$$\ \gamma^{5}\beta = \gamma^{5}\gamma^{0} = -\beta \gamma^{5}, \quad \beta \alpha^{i} = \gamma^{0}\gamma^{0}\gamma^{i} = -\alpha^{i}\beta $$.

7. Справедливі співвідношення $$\ Tr (\gamma_{5}\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}) = 0, \quad Tr(\gamma_{5}\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}) = -4i\varepsilon_{\mu \nu \alpha \beta}$$.

Перше співвідношення просто перевірити "в лоб", використавши спінорне представлення гамма-матриць: $$\ \gamma_{\mu} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_{\mu} \\ \tilde{\sigma}_{\mu} & 0\end{pmatrix}$$. Тоді можна спочатку у загальному випадку обрахувати добуток

$$\ \gamma_{5}\gamma_{\mu}\gamma_{\nu} = \begin{pmatrix} \sigma_{\mu}\tilde{\sigma}_{\nu} & 0 \\ 0 & -\tilde{\sigma}_{\mu}\sigma_{\nu} \end{pmatrix}$$,

а потім підставити різні нееквівалентні комбінації індексів ($$\ (\mu = 0, \nu \neq 0), (\mu = \nu ), (\mu = i, \nu = j \neq i, \neq 0)$$ і взяти трейс.

Друга рівність доводиться наступним чином. Виберемо $$\ \gamma_{\mu}\gamma_{\nu}\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta} = \gamma_{0}\gamma_{1}\gamma_{2}\gamma_{3} = -i \gamma_{5}$$. Тоді, звісно, маємо $$\ -i Tr(\gamma_{5}^{2}) = -4i$$. Перестановки індексів $$\ 0, 1, 2, 3 $$ будуть супроводжуватися, в силу антикомутацій матриць Дірака, зміною знаку, що вказує на антисиметрію. Якщо ж тепер обрати, наприклад, $$\ \mu = \nu$$, то отримаємо $$\ g_{\mu \mu}Tr(\gamma_{5}\gamma_{\alpha}\gamma_{\beta}) = 0$$ в силу першої рівності. Наведене означає, що відтворені всі властивості тензору Леві-Чивіта.

Вищенаведені доведення не залежать, звісно, від базису, оскільки, провівши перетворення до довільного базису, маємо $$\ Tr(f(\gamma )) = Tr(U^{\dagger}f(\gamma {'})U) = Tr(U^{\dagger}Uf(\gamma {'})) = Tr(f(\gamma{'}))$$.$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$$$\ $$

Окремі представлення для гамма-матриць
Окрім спінорного,

$$\ \gamma_{\mu} = \begin{pmatrix} 0 & \sigma^{\mu} \\ \tilde{\sigma}^{\mu} & 0\end{pmatrix}, \quad \gamma_{5} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$,

часто використовують діраківське,

$$\ \gamma_{0} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, \quad \gamma_{i} = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma \\ \sigma & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma_{5} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$$,

вейлівське,

$$\ \gamma_{\mu} = \begin{pmatrix} 0 & \tilde{\sigma}^{\mu} \\ \sigma^{\mu} & 0\end{pmatrix}, \quad \gamma_{5} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$,

і майоранівське представлення,

$$\ \gamma_{0} = \begin{pmatrix} 0 &\sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma_{1} = \begin{pmatrix} i\sigma_{3} & 0 \\ 0 & i\sigma_{3} \end{pmatrix}, \quad \gamma_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -\sigma_{2} \\ \sigma_{2} & 0 \end{pmatrix}, \quad \gamma_{3} = \begin{pmatrix} -i\sigma_{1} & 0 \\ 0 &-i\sigma_{1} \end{pmatrix}$$.

Не дуже складно знайти матриці перетворення від одного до іншого представлення.