Релятивістські поля та рівняння

Повернутися до розділу "Зв'язок між частинками та полями".

Релятивістське поле
Релятивістське поле - це поле, яке визначене на просторі-часі Мінковського та перетворюється по представленню групи Пуанкаре. Тобто, для

$$\ x^{\mu}{'} = \Lambda^{\mu}_{\quad \nu}x^{\nu} + a^{\mu}, \quad g_{\mu \nu}\Lambda^{\mu}_{\quad \alpha}\Lambda^{\nu }_{\beta} = g_{\alpha \beta }, \quad \psi (x) = \psi_{a_{1}...a_{n}\dot {a}_{1}...\dot {a}_{m}} = \psi_{A_{n}\dot {A}_{m}}$$

перетворення здійснюється за законом

$$\ \psi{'}_{A_{n}\dot {A}_{m}}(x') = T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}(x), \quad T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = N^{\quad b_{1}}_{a_{1}}...N^{\quad b_{n}}_{a_{n}}N^{\quad \dot {b}_{1}}*_{\dot {a}_{1}}...N^{\quad \dot {b}_{m}}*_{\dot {a}_{m}}$$.

Поле побудоване відповідає представленню групи Лоренца $$\ \left( \frac{n}{2}, \frac{m}{2}\right)$$, і може бути відповідним чином класифіковане: якщо зафіксувати масу $$\ m$$, то воно буде перетворюватися через незвідне представлення групи Лоренца.

Якщо виразити із співвідношення перетворення Пуанкаре $$\ x^{\mu}$$ через $$\ x^{\mu}{'}$$, $$\ x = \Lambda^{-1}(x' - a)$$, та замінити $$\ x{'} \to x$$, то можна отримати для закону перетворення поля вираз

$$\ \psi{'}_{A_{n}\dot {A}_{m}}(x) = T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}(\Lambda^{-1}(x - a)) \qquad (.1)$$,

який є визначаючим співвідношенням для релятивістського поля.

Можна знайти спінорні вирази для операторів $$\ P_{\mu}, J_{\mu \nu}$$ для релятивістських полів. Оскільки при інфінітезимальних перетвореннях розклад матриці перетворення Лоренца відповідає виразу

$$\ \Lambda^{\mu \nu} = \delta^{\mu \nu} + \omega^{\mu \nu}$$,

а матриці $$\ N$$ є елементами групи $$\ SL(2, C)$$, що відповідають даним матрицям $$\ \Lambda$$, то для представлення $$\ T(N)$$ справедливе

$$\ T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = \hat {E}^{B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} + \frac{1}{2}\omega^{\mu \nu}(J_{\mu \nu})^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}, \quad \hat {E}^{B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = \delta^{b_{1}}_{a_1{}}... , \quad (J_{\mu \nu})^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = (M_{\mu \nu})^{\quad b_{1}...}_{a_{1}...}$$,

де $$\ J_{\mu \nu}$$ - генератори групи Лоренца у спін-тензорному представленні (див. розділ "Оператори Казиміра спінорного представлення групи Лоренца"). В результаті, враховуючи асимптотичний розклад матриці $$\ {\Lambda^{-1}}^{\mu \nu} = \delta^{\mu \nu} - \omega^{\mu \nu}$$, можна отримати для перетворення $$\ (.1)$$

$$\ \psi{'}_{A_{n}\dot {A}_{m}}(x) = T(N)^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}(\Lambda^{-1}(x - a)) = (\hat {\mathbf E} + \omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu})^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}(x - x\omega - a) \qquad (.2)$$,

де у дужках в останній рівності було знехтувано доданком $$\ a\omega $$ через його нелінійність по параметрам.

При цьому треба зберігти лінійний по параметрам вигляд для всього виразу. Для цього треба розкласти його в ряд в околі нульових значень параметрів $$\ a^{\mu}, \omega^{\mu \nu}$$. Враховуючи, що $$\ \left( \partial_{a_{\mu}}\psi \right)_{a_{\mu} = 0} = \left( \partial_{\omega^{\mu}_{ \nu}x^{\nu}}\psi\right)_{\omega^{\mu}_{\nu} = 0} = \partial_{\mu}\psi$$, можна одержати із $$\ (.2)$$

$$\ \psi{'}_{A_{n}\dot {A}_{m}}(x) = (\hat {\mathbf E} + \omega^{\mu \nu}J_{\mu \nu})^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} \left( \psi_{B_{n}\dot {B}_{m}} - a^{\mu}\partial_{a_{\mu}}(\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}) - \omega^{\mu}_{\nu}x^{\nu}\partial_{\omega^{\mu}_{\nu}x^{\nu}}(\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}) \right) = $$

$$\ = \psi_{A_{n}\dot {A}_{m}} - a^{\mu}\partial_{\mu}\psi_{A_{n} \dot {A}_{m}} - \omega^{\mu}_{\nu}x^{\nu}\partial_{\mu }\psi_{A_{n}\dot {A}_{m}} + \omega^{\mu \nu}\left({J_{\mu \nu}}\right)_{A_{n}\dot {A}_{m}}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}} \qquad (.3)$$.

Позначаючи $$\ \delta \psi = \psi ' - \psi$$, виділяючи уявні одиниці у всіх доданках (для ермітовості) та перетворюючи

$$\ -\omega^{\mu \nu}x_{\nu}\partial_{\mu }\psi_{A_{n}\dot {A}_{m}} = \frac{i\omega^{\mu \nu}}{2}\left( x_{\mu}i\partial_{\nu} - x_{\nu }i\partial_{\mu } \right)\hat {\mathbf E}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}}$$,

із $$\ (.3)$$ можна отримати

$$\ \delta \psi = ia^{\mu}i\partial_{\mu}\psi_{A_{n}\dot {A}_{m}} + \frac{i\omega^{\mu \nu}}{2}\left( (x_{\mu}i\partial_{\nu} - x_{\nu }i\partial_{\mu })\hat {\mathbf E}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} - i{J_{\mu \nu}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}} \right)\psi_{B_{n}\dot {B}_{m}} \qquad (.4)$$.

У статті про групу Пуанкаре було отримано вираз для перетворення довільного незвідного представлення групи,

$$\ T(a, \Lambda ) = e^{ia^{\mu}\partial_{\mu}}e^{\frac{i}{2}\omega^{\mu \nu}M_{\mu \nu}}, \quad \psi {'} = T(a , \Lambda ) \Psi , \quad \delta \psi = ia^{\mu}\partial_{\mu}\psi + \frac{i\omega^{\mu \nu}}{2}M_{\mu \nu}\psi \qquad (.5)$$.

Якщо порівняти $$\ (.4), (.5)$$, можна отримати вирази для "польових версій" операторів $$\ M_{\mu \nu}, P_{\mu}$$:

$$\ {P_{\mu}}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} = i\partial_{\mu}\hat {\mathbf E}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}, \quad M_{\mu \nu} = (x_{\mu}i\partial_{\nu} - x_{\nu }i\partial_{\mu })\hat {\mathbf E}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}}_{A_{n}\dot {A}_{m}} - i{J_{\mu \nu}}_{A_{n}\dot {A}_{m}}^{\quad B_{n}\dot {B}_{m}} = L_{\mu \nu} + S_{\mu \nu}$$,

де перший оператор виразу для $$\ M_{\mu \nu}$$ відповідає орбітальному моменту, а другий - спіновому.

Очевидно, що кожен із операторів задовольняє алгебрі $$\ M_{\mu \nu}$$, а відповідний вектор Любанського-Паулі не містить $$\ L_{\mu \nu}$$, оскільки відбувається згортка із символом Леві-Чивіта.

Релятивістське хвильове рівняння
Нехай є релятивістське поле $$\ \psi_{B}$$. Для нього ставиться задача знаходження закону розповсюдження у просторі-часі. Задача відповідає релятивістському хвильовому рівнянню. Можна накласти деякі умови на рівняння. По-перше, воно повинно бути Пуанкаре-коваріантним. Тобто, для рівняння

$$\ L_{A}^{\quad B}\psi_{B}(x) = 0, \quad L_{A}^{\quad B} = L_{A}^{\quad B}(\partial_{\mu})$$,

функції $$\ \psi_{B}$$, яка перетворюється за представленням Пуанкаре, повинна відповідати функція $$\ L_{A}^{\quad B}\psi_{B}(x)$$, яка також перетворюється за представлення Пуанкаре. Це означає, що часова координата не виділена відносно просторових. Далі, можна накласти умову на вигляд оператору $$\ L_{A}^{\quad B}$$: рівняння не повинно містити похідні, старші другого порядку. Враховуючи рівноправність похідних, рівняння набуває вигляду

$$ \left((a^{\mu \nu})_{A}^{\quad B}\partial_{\mu}\partial_{\nu} + (b^{\mu})_{A}^{\quad B}\partial_{\mu} + C_{A}^{\quad B} \right)\psi_{B} = 0$$,

де матричні коефіцієнти при похідних не залежать від координат в силу однорідності простору-часу. Тому вони побудовані із інваріантних відносно перетворення Лоренца тензорів. Такими величинами є $$ g_{\mu \nu}$$, $$\ \varepsilon_{\alpha \beta}, \varepsilon^{\dot {\alpha} \dot {\beta}}$$ (див. підрозділ про спінори), $$\ (\sigma_{\mu})_{a \dot {a}}, (\tilde {\sigma}_{\mu})^{\dot {a}a} $$ (той же розділ), $$\ \varepsilon_{\alpha \beta \gamma \delta }$$ (див. розділ про антисиметричні тензори у просторі-часі Мінковського).

Крім того, поля повинні реалізовувати незвідні представлення групи Пуанкаре. Це означає, що масивні представлення повинні задовольняти умовам

$$\ p^{2}\psi_{A} = m^{2}\psi_{A}, \quad W^{2}\psi_{A} = -m^{2}s(s + 1)\psi_{A}$$,

а безмасові -

$$\ \frac{(\mathbf p \cdot \mathbf S )}{|\mathbf p|}\psi_{A} = \lambda \psi_{A}$$.

У наступному розділі буде отримана і доведена теорема, що пов'язує частинки і поля, у рамках спінорного формалізму.